陕西省西安市第一中学2013届高三上学期期中考试数学(理)试题

长安一中、高新一中、交大附中、师大附中、西安中学高2013届第一次模拟考试数学（理）试题第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合M={x|一3<x<3，x ∈Z ），N={x|x<1}，则M N=A ．{|3x x -<<1}B ．{|02}x x <<C ．{-3，-2，-1，0,1）D ．{-2，一1，0}2．已知直线a 和平面α，那么a//α的一个充分条件是A ．存在一条直线b ，a//b 且b ⊂αB ．存在一条直线b ，a ⊥b 且b ⊥αC ．存在一个平面β，a ⊂β∥且α//βD ．存在一个平面β，α//β且α//β3．如果数列321121,,,,,nn a a a a a a a - …是首项为1，公比为2-的等比数列，则a 5等于A ．32B ．64C ．—32D ．—644．过抛物线22(0)y px p =>的焦点作直线交抛物线于1122(,),(,)P x y Q x y 两点，若122,||4x x PQ +==，则抛物线方程是A ．24y x =B ．28y x =C ．22y x =D ．26y x = 5．21()nx x -展开式中，常数项为15，则n 的值可以为A ．3B ．4C ．5D ．66．若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是A ．226++B ．2(12)6++C ．23 D ．32262++7．给出15个数：1，2，4，7，1 l ，…，要计算这15个数的和，现给出解决该问题的程序框图（如右图所示），那么框图中判断框①处和执行框②处应分别填入A ．16?;1i p p i ≤=+-B ．14?;1i p p i ≤=++C ．15?;1i p p i ≤=++D ．15?;i p p i ≤=+8．已知实数x ，y 满足1(10)||,(,)()2cos (0)||12x x x x y f x x x y ππ---≤<⎧⎧≤⎪⎪=⎨⎨≤<⎪⎪≤⎩⎩则点在函数的图象与坐标轴所围成的封闭图形的内部的概率为A ．32πB ．14πC ．34πD ．12π9．台风中心从A 地以每小时20千米的速度向东北方向移动，离台风中心30千米内的地区为危险区。

高三数学理科试题一、 选择题（每小题5分，共60分）1、已知集合M ＝{0,1,2,3,4}，N ＝{1,3,5}，P ＝M ∩N ，则P 的子集共有( )A ．2个B ．4个C ．6个D ．8个2、P= log 23，Q= log 32，R= log 2(log 32)，则( )A. R<Q<PB. P<R<QC. Q<R<PD. R<P<Q3、参数方程为1()2x t t t y ⎧=+⎪⎨⎪=⎩为参数表示的曲线是（ ）． A ．一条直线 B ．两条直线 C ．一条射线 D ．两条射线4、设命题p ：函数y ＝sin 2x 的最小正周期为π2；命题q ：函数y ＝cos x 的图像关于直线x ＝π2对称．则下列判断正确的是 ( )A ．p 为真B ．q ⌝为假C ．p 且q 为假D ．p 或q 为真5、若α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，且21sin cos 24αα+=，则tan α的值等于( )A.22B.33C. 2D. 36、在下列区间中，函数f (x )＝e x＋4x －3的零点所在的区间为( )A ．(－14，0)B ．(0，14)C ．(14，12)D ．(12，34)7、若函数f (x )＝13x 3－12ax 2＋(a －1)x ＋1在区间(1,4)内为减函数，在区间(6，＋∞)内为增函数，则实数a 的取值范围是 ( )A ．a ≤2B ．5≤a ≤7C ．4≤a ≤6D ．a ≤5或a ≥78、若x 是一个三角形的最小内角，则函数sin cos y x x =-的值域是( )A. [B.(-C.[-D.(- 9、设x ，y ∈R ，a >1，b >1，若3x ya b ==，a ＋b ＝23，则1x ＋1y的最大值为 ( ) A ．2 B.32 C ．1 D.1210、△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c，2sin sin cos a A B b A +=，则b a等于( ) A ．2 3B ．2 2 C. 3 D. 211、设函数f (x )＝2x1＋2x －12，[x ]表示不超过x 的最大整数，则函数y ＝[f (x )]的值域是( ) A ．{0,1}B ．{0，－1}C ．{－1,1}D ．{1,1}12、函数y ＝11－x的图像与函数2sin y x π=(－2≤x ≤4)的图像所有交点的横坐标之和等于( ) A ．2B ．4C ．6D ．8二、填空题（每小题4分，共20分）：13、命题”“存在01,:2>+-∈x x R x P 的否定P ⌝为__________14、323(9)x dx --⎰＝________.15、若曲线4y x =的一条切线l 与直线x ＋4y －8＝0垂直，则l 的方程为 16、从边长为10 cm×16 cm 的矩形纸板的四角截去四个相同的小正方形，作成一个无盖的盒子，则盒子容积的最大值为________3cm ．17、 关于函数()cos2cos f x x x x =-，下列命题：①存在1x ，2x ，当12x x π-=时，()()12f x f x =成立；②()f x 在区间,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是单调递增；③函数()f x 的图像关于点,012π⎛⎫⎪⎝⎭成中心对称图像； ④将函数()f x 的图像向左平移512π个单位后将与2sin 2y x =的图像重合． 其中正确的命题序号 （注：把你认为正确的序号都填上）三.解答题（本大题共有6个小题，满分70分） 18、（本小题满分10分）函数()sin()1(0,0)6f x A x A πωω=-+>>的最大值为3，其图像相邻两条对称轴之间的距离为π2.(1)求函数f (x )的解析式； (2)设(0,),()222f παα∈=，求α的值．19、（本小题满分10分）已知函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋1－a 在x ∈[0,1]时有最大值2， 求a 的值．20、（本小题满分12分）已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (x )的图象关于直线x ＝1对称．(1)求证：f (x )是周期为4的周期函数； (2)若f (x )＝x (0<x ≤1)，求x ∈[－5，－4]时，函数f (x )的解析式．21、（本小题满分12分）已知向量()x x cos ,22sin 3+=，()x cos 2,1=，x f ⋅=)(．（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期及对称轴方程；（Ⅱ）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是,,a b c 若()4f A =，b=1，△ABC 的面积为，求a 的值． 22、（本小题满分12分）已知f (x )是二次函数，不等式f (x )<0的解集是(0,5)，且f (x )在区间[－1,4]上的最大值是12. (1)求f (x )的解析式；(2)是否存在自然数m ，使得方程f (x )＋37x＝0在区间(m ，m ＋1)内有且只有两个不等的实数根？若存在，求出所有m 的值；若不存在，请说明理由．23、（本小题满分14分）设函数()()21xf x x e kx =--(其中k ∈R ).(Ⅰ) 当1k =时,求函数()f x 的单调区间； (Ⅱ) 当1,12k ⎛⎤∈⎥⎝⎦时,求函数()f x 在[]0,k 上的最大值M . 西安市第一中学2013-2014学年度第一学期期中考试高三数学理科参考答案二、填空题（共4小题，满分20分）：13.”“任意01,2≤+-∈x x R x 14. 36 15. 4x －y －3＝016.144 17. ①③三、解答题（共6小题，满分70分）18、（满分10分）函数f (x )＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6＋1(A >0，ω>0)的最大值为3，其图像相邻两条对称轴之间的距离为π2.(1)求函数f (x )的解析式； (2)设α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝2，求α的值．解 (1)∵函数f (x )的最大值为3， ∴A ＋1＝3，即A ＝2.∵函数图像的相邻两条对称轴之间的距离为π2，∴最小正周期T ＝π，∴ω＝2，∴函数f (x )的解析式为y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋1. ……………………5分 (2)∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π6＋1＝2，∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π6＝12. ∵0<α<π2，∴－π6<α－π6<π3，∴α－π6＝π6，∴α＝π3. ……………………10分19、（满分10分）已知函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋1－a 在x ∈[0,1]时有最大值2，求a 的值．解 f (x )＝－(x －a )2＋a 2－a ＋1， ……………………1分 当a ≥1时，y max ＝f (1)＝a ； ……………………3分 当0<a <1时，y max ＝f (a )＝a 2－a ＋1； ……………………5分 当a ≤0时，y max ＝f (0)＝1－a . ……………………7分 根据已知条件：⎩⎪⎨⎪⎧a ≥1，a ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，a 2－a ＋1＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a ≤01－a ＝2，解得a ＝2或a ＝－1. ……………………10分20、（满分12分）已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (x )的图象关于直线x ＝1对称．(1)求证：f (x )是周期为4的周期函数；(2)若f (x )＝x (0<x ≤1)，求x ∈[－5，－4]时，函数f (x )的解析式．解析：(1)证明：由函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称，有f (x ＋1)＝f (1－x )，即有f (－x )＝f (x ＋2)． ……………………2分又函数f (x )是定义在R 上的奇函数，故有f (－x )＝－f (x )．故f (x ＋2)＝－f (x )，从而f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )，即f (x )是周期为4的周期函数． ……………………6分(2)由函数f (x )是定义在R 上的奇函数，可知f (0)＝0.x ∈[－1,0)时，－x ∈(0,1]，f (x )＝－f (－x )＝－－x .故x ∈[－1,0]时，f (x )＝－－x . …………9分x ∈[－5，－4]时，x ＋4∈[－1,0]，f (x )＝f (x ＋4)＝－－x －4.从而，x ∈[－5，－4]时，函数f (x )的解析式为f (x )＝－－x －4. …………12分 21、（满分12分）已知向量()x x cos ,22sin 3+=，()x cos 2,1=，x f ⋅=)(．（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期及对称轴方程；（Ⅱ）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是,,a b c 若()4f A =，b=1，△ABC 的面积为，求a 的值．解析：（Ⅰ）2()222cos 2cos 232sin(2)36f x x x x x x π=++=++=++．…………………4分所以最小正周期T=π，对称轴方程为,()26k x k Z ππ=+∈ …… (6分) （Ⅱ）依题意2sin(2)34,6A π++=即1sin(2)62A π+=,由于0A π<<,所以52,66A ππ+=A=3π ………………(9分)又∵1sin 22bc A =且b=1，∴,42c =得c=2，在ABC ∆中，由余弦定理得2222cos 3a b c bc A =+-=,所以a =…………………(12分)22、（本小题满分12分）已知f (x )是二次函数，不等式f (x )<0的解集是(0,5)，且f (x )在区间[－1,4]上的最大值是12. (1)求f (x )的解析式；(2)是否存在自然数m ，使得方程f (x )＋37x＝0在区间(m ，m ＋1)内有且只有两个不等的实数根？若存在，求出所有m 的值；若不存在，请说明理由．解析：(1)∵f (x )是二次函数，且f (x )<0的解集是(0,5)， ∴可设f (x )＝ax (x －5)(a >0)．∴f (x )在区间[－1,4]上的最大值是f (－1)＝6a . 由已知，得6a ＝12，∴a ＝2，∴f (x )＝2x (x －5)＝2x 2－10x (x ∈R )． …………………5分(2)方程f (x )＋37x＝0等价于方程2x 3－10x 2＋37＝0设h (x )＝2x 3－10x 2＋37，则h ′(x )＝6x 2－20x ＝2x (3x －10)． ……………………7分当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，103时，h ′(x )<0，因此h (x )在此区间上是减少的；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫103，＋∞时，h ′(x )>0，因此h (x )是在此区间上是增加的． ∵h (3)＝1>0，h ⎝ ⎛⎭⎪⎫103＝－127<0，h (4)＝5>0， ……………………10分 ∴方程h (x )＝0在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫3，103，⎝ ⎛⎭⎪⎫103，4内分别有唯一实数根，而在区间(0,3)，(4，＋∞)内没有实数根，∴存在唯一的自然数m ＝3，使得方程f (x )＋37x＝0在区间(m ，m ＋1)内有且只有两个不等的实数根． ……………………12分 23、（本小题满分14分）设函数()()21xf x x e kx =--(其中k ∈R ).(Ⅰ) 当1k =时,求函数()f x 的单调区间；(Ⅱ) 当1,12k ⎛⎤∈⎥⎝⎦时,求函数()f x 在[]0,k 上的最大值M . 【解析】(Ⅰ) 当1k =时,()()21x f x x e x =--,()()()1222x x x x f x e x e x xe x x e '=+--=-=-令()0f x '=,得10x =,2ln 2x = ……………2分 当x 变化时,()(),f x f x '的变化如下表:右表可知,函数f x 的递减区间为0,ln 2,递增区间为,0-∞,ln 2,+∞.……………………6分 (Ⅱ)()()()1222x x x x f x e x e kx xe kx x e k '=+--=-=-,令()0f x '=,得10x =,()2ln 2x k =, ……………………7分 令()()ln 2g k k k =-,则()1110k g k k k -'=-=>,所以()g k 在1,12⎛⎤ ⎥⎝⎦上递增, 所以()ln 21ln 2ln 0g k e ≤-=-<,从而()ln 2k k <,所以()[]ln 20,k k ∈ 所以当()()0,ln 2x k ∈时,()0f x '<；当()()ln 2,x k ∈+∞时,()0f x '>； 所以()(){}(){}3max 0,max 1,1k M f f k k e k ==--- ………………10分 令()()311kh k k e k =--+,则()()3k h k k e k '=-,令()3kk e k ϕ=-,则()330kk e e ϕ'=-<-<所以()k ϕ在1,12⎛⎤⎥⎝⎦上递减,而()()1313022e ϕϕ⎛⎫⎫⋅=-< ⎪⎪⎝⎭⎭所以存在01,12x ⎛⎤∈⎥⎝⎦使得()00x ϕ=,且当01,2k x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,()0k ϕ>, ………………12分 当()0,1k x ∈时,()0k ϕ<, 所以()k ϕ在01,2x ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增,在()0,1x 上单调递减.因为17028h ⎛⎫=>⎪⎝⎭,()10h =, 所以()0h k ≥在1,12⎛⎤⎥⎝⎦上恒成立,当且仅当1k =时取得“=”.综上,函数()f x 在[]0,k 上的最大值()31kM k e k =--. ………………14分。

西安市第一中学2012-2013学年度第二学期期中高三年级数学（理科）试题 命题人：白恒兴一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设全集为{}{}06,101,2=-+∈=≤≤∈==x x R x B x N x A R U ,则右图中阴影表示的集合为（ ）A.{}2 B ．{}3 C ．{}2,3- D ．{}3,2-2．复数满足(1)2z i i +=，则复数Z 的实部与虚部之差为（ ）A ．2-B ．2C ．1D ．0 3 .函数()e 2x f x x =+-的零点所在的一个区间是（ ）A.()2,1--B.()1,0-C.()0,1D.()1,24. 已知圆O:224x y +=，直线l 过点(1,1)P ,且与直线OP 垂直，则直线l 的方程为（ ） A. 340x y +-= B. 10y -= C. 0x y -= D. 20x y +-=5．为了得到函数sin(2)3y x π=-的图像，只需将函数sin(2)6y x π=+的图像（ ） A.向左平移4π个长度单位 B. 向右平移4π个长度单位 C.向左平移2π个长度单位 D. 向右平移2π个长度单位 6．若,,a b c 是空间三条不同的直线，,αβ是空间两个不同的平面，则下列命题中，逆命题不正确的是( )A ．当c α⊥时，若c β⊥，则//αβB ．当b α⊂时，若b β⊥，则αβ⊥C ．当,b a αα⊂⊄且c 是a 在α内的射影时，若b c ⊥，则a b ⊥D ．当b α⊂且c α⊄时，若//c α，则//b c7．已知,a b ∈R ，下列四个条件中，使“a b >”成立的必要而不充分的条件是（ ）A ．1a b >-B ．1a b >+C ．||||a b >D ．22a b>8．已知,x y 满足0,404,x y x y x -≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩，则3z x y =+的最小值为（ ）A.6B.8C.12D.159. 已知2()2f x x x =-，()2(0)g x ax a =+>，若对任意1[1,2]x ∈-，都存在0[1,2]x ∈-，使10()()g x f x =，则a 的取值范围是（ ） A.1(0,]2 B.1[,3)2C.[3,)+∞D.(0,3] 10.已知函数⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤≤-+=)10(,1)01(,1)(2x x x x x f , 则⎰-=11)(dx x f ( ) A.124π-+ B. 421π+ C. 41π+ D.122π-+ 二、填空题（每小题5分，共25分）11．某大学对1000名学生的自主招生水平测试成绩进行统计，得到不合格的成绩的频率为0.4，则合格的人数是 ．12. 阅读如图程序框图，如果输出的函数值在区间11[,]42 内，则输入的实数x 的取值范围是___________.13. 一个几何体的三视图如图所示（长度单位：cm ），则此几何体的体积是__________㎝3.14．下列四种说法中，①命题“存在2,0x R x x ∈->”的否定是“对于任意2,0x R x x ∈-<”；②命题“p 且q 为真” 是“p 或q 为真”的必要不充分条件；③已知幂函数()f x x α=的图象经过点，则(4)f 的值等于12④某路公共汽车每7分钟发车一次，某位乘客到乘车点的时刻是随机的，则他候车时间超 过3分钟的概率是47. 说法正确的序号是 . 15．选做题：A.对任意x R ∈，2234x x a a -++≥-恒成立，则a 满足________.B.在极坐标系中，点(2,)6P π-到直线l ：sin()16πρθ-=的距离是_______.C.如图，点P 在圆O 直径AB 的延长线上，且PB ＝OB ＝2，PC 切圆O 于点C ，CD ⊥AB 于点D ，则CD ＝________.三、解答题：（本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16．（本题满分12分）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，点(,)a b 在直线(sin sin )sin sin x A B y B c C -+=上.（1）求角C 的值；（2）若4ab =，求ABC ∆的面积.17. （本题满分12分）已知数列{}n a 的首项为11=a ，其前n 项和为n S ，且对任意正整数n 有：n 、n a 、n S 成等差数列．（1）求证：数列{}2++n S n 成等比数列；（2）求数列{}n a 的通项公式．18. （本题满分12分）如图，四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥底面ABCD ，PA ＝AB ＝1，AD ＝3， 点F 是PB 的中点，点E 在边BC 上移动．(1)点E 为BC 的中点时，试判断EF 与平面PAC 的位置关系，并说明理由；(2)求证：无论点E 在BC 边的何处，都有PE AF ⊥；(3)当BE 为何值时,PA 与平面PDE 所成角的大小为45°.19. （本题满分12分）已知232()816(),()254f x x x k k R g x x x x =+-∈=++.（1）求()g x 的极值；（2）[]12123,3,()().x x f x g x k ∈-≤若对任意、都有成立，求的取值范围20. （本题满分13分）一次考试中共有8道选择题，每道选择题都有4个选项，其中有且只有一个是正确的. 评分标准规定：“每题只选一个选项，答对得5分，不答或着打错得0分”. 某考生已确定 有5道题的答案是正确的，其余题中，有一道题都可判断两个选项是错误的，有一道题可 以判断一个选项是错误的，还有一道题因不理解题意只好乱猜.（1）求出该考生得40分的概率;（2）写出该考生所得分数X 的分布列，并求出X 数学期望.21. （本题满分14分）如图，已知抛物线24x y =的焦点为F ，过焦点F 且不平行于x 轴的动直线l 交抛物线于A ，B 两点，抛物线在A 、B 两点处的切线交于点M .（Ⅰ）求证：A ，M ，B 三点的横坐标成等差数列；（Ⅱ）设直线MF 交该抛物线于C ，D 两点，求四边形ACBD 面积的最小值．高三第二学期期中考试数学（理）参考答案一、选择题（每小题5分，共50分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A D C D B B A B A B二、填空题（每小题5分，共25分）11．600 12.[2,1]-- 13.2243 14.③④ 15A.[1,5]-1 C.三、解答题（共75分）16.（本题满分12分）解：⑴因点(,)a b 在直线(sin sin )sin sin x A B y B c C -+=上，所以(sin sin )sin sin a A B b B c C -+=，……………..2分由正弦定理，得22()a a b b c -+=，即222a b c ab +-=，……..4分 由余弦定理，得2221cos 22a b c C ab +-==，……………6分又(0,)C π∈，所以060C =………………8分⑵01sin 602S ab ==………………12分17．（本题满分12分）解：⑴因对任意n N +∈有,,n n n a S 成等差数列，所以2n n a n S =+……2分又当2n ≥时，1n n n a S S -=-，所以12()n n n S S n S --=+，………4分即122(12)n n S n S n -++=+-+，又1124S ++=，所以{}2++n S n 成以4为首项、2为公比的等比数列……………6分 ⑵由⑴得112422n n n S n -+++=⨯=，所以122n n S n +=--当2n ≥时，11(22)(212)21n n n n n n a S S n n +-=-=----+-=- 又11a =满足此式，所以21n n a =-……………………12分（或把122n n S n +=--代入2n n a n S =+得通项n a 也可）18.（本题满分12分）解：⑴当E 是BC 中点时，因F 是PB 的中点，所以EF 为PCB ∆的中位线， 故EF//PC ，又因PC ⊂面PAC ，EF ⊄面PAC ，所以EF//面PAC ……4分⑵证明：因PA ⊥底面ABCD ，所以DA ⊥PA ，又DA ⊥AB ，所以DA ⊥面PAB ， 又DA//CB ，所以CB ⊥面PAB ，而AF ⊂面PAB ，所以AF CB ⊥， 又在等腰三角形PAB 中，中线AF ⊥PB ，PB CB=B ，所以AF ⊥面PBC. 而PE ⊂面PBC ，所以无论点E 在BC 上何处，都有PE AF ⊥………8分 ⑶以A 为原点，分别以AD 、AB 、AP 为x\y\z 轴建立坐标系，设BE m =， 则(0,0,1)P，D ，(,1,0)E m ，设面PDE 的法向量为(,,)n x y z =，由00PE n PD n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得00mx y z z +-=⎧⎪⎨-=⎪⎩，取(1,3,n m =-，又(0,0,1)AP =， 则由0cos ,sin 45PA n ==，解得m =故当BE =时，PA 与面PDE 成045角……………12分（前2问也可以用空间向量解答） 19.（本题满分12分）解：（1）32'22()254,()61040,13g x x x x g x x x x =++=++==--或，……2分 由单调性即得()g x 极大值为(1)1,g -=-()g x 极小值为228().327g -=-……………………6分 （2）[]12123,3,()()x x f x g x ∀∈-≤、都有成立，即[]max min 3,3()()f x g x -≤上，(3)111,(3)21,g g =-=-min max ()21,()(3)120,g x f x f k ∴=-==-12021,k ∴-≤-141,[141,)k k ≥∈+∞即…………………12分20.（本题满分13分）解：⑴其余3道题中，各题答对的概率分别为12，13，14. 故得40分的概率为111123424P =⨯⨯=………6分 ⑵X 的取值为25、30、35、40…………………8分 1111(25)(1)(1)2344P X ==⨯-⨯-=， 12311312111(30)23423423424P X ==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=， 1111211131(35)2342342344P X ==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=, 1(40)24P X ==. 分布列（略） 111113652530354030.442442412EX =⨯+⨯+⨯+⨯=≈………13分21.（本题满分14分）解：（Ⅰ）由已知，得(0,1)F ，显然直线AB 的斜率存在且不为0，则可设直线AB 的方程为1y kx =+（0k ≠），11(,)A x y ，22(,)B x y ， 由24,1x y y kx ⎧=⎨=+⎩消去y ，得2440x kx --=，216160k ∆=+>. 124x x k +=，124x x =-…2分由24x y =，得214y x =，所以'12y x =，直线AM 的斜率为112AM k x =， 所以，直线AM 的方程为1111()2y y x x x -=-，又2114x y =， 所以，直线AM 的方程为 112()x x y y =+ ①………………4分 同理，直线BM 的方程为 222()x x y y =+ ②………………5分②-①并据12x x ≠得点M 的横坐标122x x x +=， 即A ，M ，B 三点的横坐标成等差数列.………………………………7分 （Ⅱ）由①②易得y=-1,所以点M 的坐标为（2k,-1）(0k ≠). 所以212MF k k k ==--，则直线MF 的方程为11y x k=-+………………8分设C(x 3,y 3),D(x 4,y 4), 由24,11x y y x k ⎧=⎪⎨=-+⎪⎩消去y ，得2440x x k +-=， 216160k ∆=+>344x x k+=-，344x x =-. …………………………9分又||AB ==24(1)k ==+.…………………………….10分||CD ==214(1)k==+. …………………12分 因为1MF AB k k ⋅=-，所以AB CD ⊥， 所以，2222111||||8(1)(1)8(2)322ACBD S AB CD k k k k=⋅=++=++≥， 当且仅当1k =±时，四边形ACBD 面积的取到最小值32.…………14分。

已知函数
f
(x)
=
(2 cos2
x
- 1)
× sin
2x
+
1 2
cos
4x
.
（1）求 f (x) 的最小正周期及最大值；
（2）若 a
Î
çæ è
p 2
,p
÷ö ø
,且
f
(a
)
=
2 2
，求 a
的值.
解：（1）因为
f
(x)
=
(2 cos2
x
-1) × sin
2x
+
1 2
cos 4x
=
cos 2x sin
2x
由 a1 = 1, a5 = -7 ，可得1 + 4d = -7 ，解得 d = -2 .
从而， an = -2n + 3 .
（2）由（1）可知 an = -2n + 3 ，所以，
Sn
=
n × [1 + (3 - 2n)]
2
=
2n - n2 .
由 Sk = -35 ，可得 2k - k 2 = -35 ，即 k 2 - 2k - 35 = 0 ，解得 k = 7或k = -5
+
0
-0
+
f (x)
-11 增加
极大值 5
减少 极小值 103 增加 5
27
所以，函数
f
(x)
的极大值为
5
，极小值为
103 27
.
（2）由（1）知，当 x = 0或2时 ， f (x) 在 [- 2,2]上取最大值 5 .
当 x = -2时 ， f (x) 在 [- 2,2]上取最小值 -11.