陕西省西安市长安区第一中学2015-2016学年高一数学上学期期末考试试题
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长安一中2015～2016学年度第一学期期末考试高一数学试题注意事项：1. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置.2. 选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答在试题卷上无效.3. 填空题和解答题用0.5毫米黑色墨水签字笔答在答题卡上每题对应的答题区域内，答在试题卷上无效.4. 考试结束，请将答题卡上交.一、选择题：本大题共14小题，每小题5分，共70分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是满足题目要求的.1. 已知集合{}{}32,,2,3,4,5,6A x x n n N B ==+∈=，则集合A B ⋂的元素个数为（ ）.A.1B.2C.3D.42. 若()220152,01,0x x f x x x ⎧-≥⎪=⎨+<⎪⎩，则[(0)]f f 的值为（ ）.A.2B.1C.0D.-1 3.设30.5223log a b c -===，，5，则a b c ，，的大小关系是（ ）.A. a c b ＜＜B. a b c ＜＜C.b a c ＜＜D.b c a ＜＜4.已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，，则(1)f -=（ ）.A.1B.1-C. 2-D. 2 5.关于不重合的直线,m n 与平面,αβ，有以下四个命题：①若//,//m n αβ且//αβ，则//m n ；②若,m n αβ⊥⊥且αβ⊥，则m n ⊥； ③若,//m n αβ⊥且//αβ，则m n ⊥；④若//,m n αβ⊥且αβ⊥，则//m n ； 其中正确命题的序号是（ ）.A ．①②B ．③④C ．①④D ．②③ 6. 若(1,3,)A m 、(,3,2)B m ，则AB 的最小值为（ ）.A.32 B.127. 已知函数()ln(1)f x x x =+-的，则函数(2)xy f =定义域为（ ）. A.}1{>x x B.}1{<x x C.}0{>x x D.}0{<x x8. 已知等腰直角三角形的斜边的长为2，将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（ ）.A.23π B.43π C.2π D. 9.在同一直角坐标系中，函数x x g x x x f a a log )(),0()(=≥=的图像可能是（ ）.10. 三视图如图所示的几何体的全面积是（ ）. A ．2＋ 2B ．1＋ 2C ．2＋ 3D ．1＋ 311.若直线l 与直线2,4y x ==分别交于点,P Q ，且线段PQ 的中点坐标为(1,1)-，则直线l 的斜率为（ ）.A. 1B.1-C.3-D.312.垂直于直线1y x =+且与圆224x y +=相切于第一象限的直线方程是（ ）.A.0x y ++=B. 20x y ++=C.0x y +-=D. 20x y +-= 13.已知两个正四面体的表面积之比为1:4，则其外接球的体积之比为（ ）.A.1:2B.14. 设二次函数2()(0)f x ax bx c a =++>，12,x x 为函数()y f x x =-的两个零点，且满足1210x x a<<<.当1(0,)x x ∈时，则（ ）． A. 1()f x x x << B.1()x x f x << C. 1()x f x x << D.2()x x f x << 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上.15.直线310x my +-=与430x y n +-=的交点为(2,1)-，则坐标原点到直线5mx ny +=的距离为____________.16.直线1y =+被圆228210x y x y +--+=所截得的弦长等于__________. 17. 已知偶函数()f x 在(],0-∞单调递减，(1)0f =.若(lg )0f x <，则x 的取值范围是__________.18. 若函数()20162xf x b =--有两个零点，则实数b 的取值范围是__________．三、解答题：本大题共5小题，共60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（注意：在试题卷上作答．．．．．．．无效．．）19.（本小题10分）已知函数2()f x x kx =-+. （1）若2k =，求函数()f x 在[]0,3上的最小值； （2）若函数()f x 在[]0,3上是单调函数，求k 的取值范围.20.（本小题12分）如图，已知PA ⊥矩形ABCD 所在的平面，M 、N 分别为AB 、PC的中点，045PDA ∠=. （1）求证：//MN 平面PAD ； （2）求证：平面PMC ⊥平面PCD ；21.（本小题12分）有甲、乙两种商品，经营销售这两种商品所能获得的利润依次是P （万元）和Q （万元），它们与投入资金x （万元）的关系有经验公式：x Q x P 53,5==.今有3万元资金投入经营甲、乙两种商品，为获得最大利润，对甲、乙两种商品的资金投入分别应为多少？能获得最大利润是多少？22.（本小题12分）在平面直角坐标系xOy 中，曲线261y x x =-+与坐标轴的交点都在圆C 上．（1）求圆C 的方程；（2）若圆C 与直线0x y a -+=交于,A B 两点，且OA OB ⊥，求a 的值.23.（本小题14分）已知指数函数()y g x =满足：1()2g =，定义域为R 的函数()()()12g x f x m g x -=+是奇函数．（1）确定()y f x =和()y g x =的解析式； （2）判断函数()f x 的单调性，并用定义证明；（3）若对于任意[]5,5x ∈-，都有()()1120f x f x -+->成立，求x 的取值范围．长安一中2015～2016学年度第一学期期末考试高一数学参考答案及评分标准一、选择题：本大题共14小题，每小题5分，共70分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是满足题目要求的.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上.15.216. 4 17.1(,10)10 18.(0,2)三、解答题：本大题共5小题，共60分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．） 19.（本小题10分） 解：（1）∵2k =，∴22()2(1)1f x x x x =-+=--+ …… 3分 ∵[]0,3x ∈∴由二次函数图像性质可知，当3x =时，()f x 取得最小值3-. ……5分 （2）∵ 函数2()f x x kx =-+在区间[]0,3上是单调函数 ∴ 函数2()f x x kx =-+的对称轴2kx =不在区间()0,3内 ……7分 即02k ≤ 或 32k≥ ∴0k ≤ 或 6k ≥ ……9分故 k 的取值范围为(][),06,-∞⋃+∞ ……10分 20.（本小题12分）(1)证明：取PD 的中点E ，连接AE ，EN ，∵N 为PC 中点，∴EN 为△PDC 的中位线，∴EN//12CD ，又∵CD //=AB ，M 为中点，∴EN //=AM .∴四边形AMNE 为平行四边形. ……3分 ∴MN ∥AE .又∵MN ⊄平面PAD ，AE ⊂平面PAD ，∴MN ∥平面PAD . ……6分 (2)证明 ∵PA ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD . ∴PA ⊥CD ，PA ⊥AD . ∵CD ⊥AD ，PA ∩AD ＝A ，∴CD ⊥平面PAD . ……8分 又∵AE ⊂平面PAD ，∴CD ⊥AE . ∵∠PDA ＝45°，E 为PD 中点， ∴AE ⊥PD .又∵PD ∩CD ＝D ，∴AE ⊥平面PCD . ……10分 ∵MN ∥AE ，∴MN ⊥平面PCD ， 又∵MN ⊂平面PMC ，∴平面PMC ⊥平面PCD . ……12分21.解：设对乙种商品投资x 万元，则对甲种商品投资)3(x -万元，总利润为y 万元， ……2分 根据题意得x x y 53)3(51+-=（)30≤≤x ……5分 令x t =，则2t x =，30≤≤t .所以,2021)23(5153)3(5122+--=+-=t t t y （30≤≤t ） ……9分 当23=t 时，2021min =y ，此时433,49=-=x x ……11分由此可知，为获得最大利润，对甲、乙两种商品投资分别为0.75万元和2.25万元，获得的最大利润为1.05万元. ……12分 22.（本小题12分）解：（1）易知曲线261y x x =-+与坐标轴的交点为(0,1),(3±，……2分 故可设圆的圆心坐标为(3,)C t，则有22223(1)t t +-=+ ……4分解得1t =,3=. ……6分所以圆的方程为22(3)(1)9x y -+-=. ……7分 （2）设1122(,),(,)A x y B x y ，其坐标满足方程组22(3)(1)9x y a x y -+=⎧⎨-+-=⎩ ……8分 消去y 得到方程222(28)210x a x a a +-+-+=，由已知可得判别式2561640a a =--> ，由韦达定理可得122124212x x a a a x x +=-⎧⎪⎨-+=⎪⎩， ① ……10分由OA OB ⊥可得12120x x y y +=，又1122,y x a y x a =+=+,所以 212122()0x x a x x a +++= ， ②由①②可得1a =-,满足0> .故 1a =-. ……12分23.（本小题14分）解：（1）设()xg x a =，∴121()2g a ==∴2a =∴()2x g x = ……2分∴()1222xx f x m -=+⋅， ()f x 是奇函数，∴()()110f f -+=，即11212014m m ---+=++， 解得2m =∴()12222xxf x -=+⋅. 经检验()12222xxf x -=+⋅为奇函数（注：如果用()()f x f x -=-推出解析式可不需验证）∴()12222xxf x -=+⋅ ……4分 （2）任取1x ，2R x ∈，12x x <()()()()()()12211212121212222122121212x x x x x x x x f x f x ----=-=++++ ……6分 12x x <，∴21220x x ->，又 1120x +>，2120x +>，∴()()120f x f x ->，∴()()12f x f x > ……8分所以()f x 是定义在R 上的减函数． ……9分 （3） ()()1120f x f x -+->且()f x 为奇函数∴()()121f x f x ->- ……11分 ∴由（2）可知121x x -<-∴23x >……12分 又 []5,5x ∈-∴253x <≤所以x 的取值范围是2,53⎛⎤⎥⎝⎦． ……14分。
