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高等数学：第三节 定积分的换元法、分部积分法

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定积分的积分法

定积分的积分法

a
f (x)dx
-a
0
例3 （1）1 x3 ex2 dx -1 被积函数是奇函数 0
（2）2 cos 4xdx -2
被积函数是偶函数
2
2
cos 4xdx
0
二、定积分的分部积分法
定理2 设函数 u(x)，v(x)在区间a,b上具有连续
导数 u(x),v '(x)，则有定积分的分部积分公式
高等数学之——
6.3.1定积分法
第六章 定积分 第三节 定积分法
一. 定积分换元法 二. 定积分的分部积分法
一、定积分的换元积分法
例1

计算 2 cos5 x sin xdx. 0
解 令 t cos x, dt sin xdx,
x t 0, x 0 t 1,
b
bb
a udv (uv) a a vdu
2
例4 求 x ln xdx 1
解
原式=
1 2
2
ln xd
1
x2
= 1 x2 ln x 2 1 2 x2d ln x
2
1 21
=2ln 2 1
2
xdx
21
=2 ln 2 1 x2 2 41
=2 ln 法
b
a
f ( x)dx


f [ (t)](t)dt
定积分的分部积分公式
b
bb
a udv (uv) a a vdu
2
2 0
cos5
x sin xdx
0 1
t
5dt
-
t6 6
1 0 . 16

D5_3 换元法与分部积分法

D5_3 换元法与分部积分法

f (x) f (x)时
f (x) f (x)时
例4. 设 f (x) 是连续的周期函数, 周期为T, 证明：
并由此计算
n
I 0 1 sin 2x dx 解: (1) 记 (a) aT f (x)dx, 则
a
(a) f (a T ) f (a) 0 可见 (a)与a无关，因此 (a) (0), 即
1 2
b
a
f
( x)(2 x
a
b)
dx
再次分部积分
1 (2x
2
a
b)
f
(x)
b
a
b
a
f
(x) dx
=
左端
2
0
sin(
x
4
)
dx
令
t
x
4
5
n2Biblioteka 4 sin t dt
4
n 2 sin t dt 0
n 2 sin t dt 2 2 n 0
二、定积分的分部积分法
定理2. 设u(x), v(x) C1[a , b] , 则 b a
证: [u(x)v(x)] u(x)v(x) u(x)v(x)
n
0 1 sin 2x dx
anT
(2) a f (x)dx
并由此计算 则有
n
0 1 sin 2x dx n0 1 sin 2x dx
周期的周期函数
n
0 1 sin 2x dx n0 1 sin 2x dx
n0
(cos x sin x)2 dx
n0 cos x sin x dx
n
备用题
1. 证明 证：
是以 为周期的函数.

定积分的换元法和分部积分法课件

定积分的换元法和分部积分法课件
常数倍性质
定积分具有常数倍性质，即对于任 意非零常数c，有c乘以被积函数的 定积分等于该常数乘以被积函数在 积分区间上的增量。
定积分的计算
直接法
直接代入被积函数进行计算，适 用于简单的被积函数和明确的积
分区间。
换元法
通过变量替换简化被积函数或积 分区间，适用于较为复杂的积分
问题。
分部积分法
通过将两个函数的乘积进行分部 积分，将一个复杂函数的积分转 化为更简单函数的积分，适用于
计算旋转体的体积
01
定积分可以用于计算旋转体的体积，例如旋转抛物面下的体积
。
求解平面图形的面积
02
定积分可以用于求解平面图形的面积，例如椭圆、圆、三角形
等。
求解曲线长度
03
定积分可以用于求解曲线的长度，例如圆的周长、正弦函数的
长度等。
05
定积分的应用
定积分在物理中的应用
计算物体在恒力作用下的运动轨迹
分部积分法在求解三角函数的不定积分中有着广泛的应用，例如求解$int sin x dx$或$int cos x dx$等。
求解复杂函数的不定积分
对于一些复杂函数的不定积分，分部积分法可以将其转化为简单函数的定积分 ，从而简化计算过程。例如求解$int x^2 e^x dx$等。
04
定积分的几何意义
03
分部积分法在定积分中的应用
分部积分法的定义和原理
分部积分法的定义
分部积分法是一种求解定积分的技巧 ，通过将一个不定积分转化为两个函 数的乘积的导数，从而简化计算过程 。
分部积分法的原理
基于微积分基本定理，通过将一个复 杂函数的不定积分转化为简单函数的 定积分，实现积分的求解。

定积分的换元法与分部积分法

定积分的换元法与分部积分法

定积分的换元法与分部积分法摘要：定积分是微积分中的一个重要概念，它表示函数在某个区间上的累积效应。

在计算定积分时，换元法和分部积分法是常用的两种方法。

本文将对定积分的换元法和分部积分法进行介绍，并通过案例演示其具体应用。

1. 定积分简介定积分是微积分中的基本概念之一，它用于计算函数在某个区间上的累积效应。

定积分的符号表示为∫，其中∫f(x)dx表示函数f(x)在区间[a, b]上的定积分。

它的几何意义是函数f(x)与x轴所夹的面积。

2. 换元法换元法是一种常用的计算定积分的方法，它通过引入新的变量，将原函数转化为更易积分的形式。

换元法的基本思想是对函数进行代换，将原函数转化为一个新的函数，并对新函数进行积分。

换元法的公式可以表示为：∫f(g(x))g’(x)dx = ∫f(u)du其中，g(x)是一个可导函数，u=g(x)是其反函数，g’(x)是g(x)的导数。

换元法的具体步骤如下：1.选择适当的换元变量，使得被积函数的形式变得简单；2.计算变量的微分，求出关于新变量的微分表达式；3.将被积函数中原变量用新变量表示，得到新的被积函数；4.计算新的被积函数的积分。

3. 分部积分法分部积分法是另一种常用的计算定积分的方法，它将一个复杂的积分问题转化为两个简单的积分问题。

分部积分法的基本思想是使用差乘法则，将定积分的求解转化为导数和乘积的关系。

分部积分法的公式可以表示为：∫u(x)v’(x)dx = u(x)v(x) - ∫v(x)u’(x)dx其中，u(x)和v(x)是可导的函数。

分部积分法的具体步骤如下：1.选择一对函数作为u(x)和v’(x)；2.计算u’(x)和v(x)的导数；3.将u(x)v’(x)代入分部积分公式中，并进行计算。

4. 换元法与分部积分法的比较换元法和分部积分法都是计算定积分的有效方法，它们在不同的情况下有不同的应用。

换元法适用于被积函数可以通过代换变量为简单形式的情况。

通过引入新的变量，将原函数转化为更易积分的形式，从而简化计算过程。

高等数学5-3定积分的换元法和分部积分法

高等数学5-3定积分的换元法和分部积分法

设t=-u有
0
F （ x ） xf( u )( d u ) xf( u )d u
0
0
即 F （ x） xf(u)duF(x) 0
证毕，同理可证(2)
29
二、定积分的分部积分法
设函数u( x)、v( x)在区间a,b上具有连续导数，
则有abudv
uvb a
abvdu.
定积分的分部积分公式
推导 uvuvuv, a b(u v)d xa buvd xa bu vd x,
x2, x2.
1 4 f ( x - 2 ) d x 1 2 1 + c o s 1 ( x - 2 ) d x 2 4 ( x - 2 ) e - ( x - 2 ) 2 d x
tg
1 2
1e-4 2
1. 2
16
解2 令x-2=t，有
4 f(x-2)dx 2 f(t)dt
1
1
011+c1ostdt02te-t2dt
0
0
只和s有关
28
例13若 f (是t ) 连续奇函数，证明
x f是( t 偶) d t函数； 0
若 f ( t ) 是连续偶函数，证明 x f ( t是) d奇t 函数。 0
证明:(1)令 F(x) x f (t)dt, 则F （x） x f(t)dt
0
0
对
F（x）
x
f(t)dt,
12 20
(1 x2)12
1 2
12
0
3 1 12 2
31
例15 计算
4
xdx .
0 1cos2x
解 1 c2 o x 2 s c2 o x , s
4

6[1][1]3定积分的换元积分法和分部积分法-PPT精品文档

6[1][1]3定积分的换元积分法和分部积分法-PPT精品文档


a

0

a
f ( x ) dx x t f ( t ) dt f ( x ) dx a a 0
【6-3-7】
0
0
a
f ( x ) d x f ( x ) d x f ( x ) d x [ f ( x ) f ( x )] dx a 0 0 0
（2）与不定积分换元法的区别：
①换元后积分限也应作相对应的变换。此处变换强调对应，而 不一定是下限小于上限。 ②积分结果不需换回，直接利用新变量计算出来。 4 应用举例 例1 求下列定积分：
( 1 ) x 32 x dx
0
1
(2) 2 xsinx2dx
0
【6-3-3】

1 (3 ) dx 1 x 1lnx
即 F ( x ) f ( x ), 则有 f ( x ) dx F ( b ) F ( a )
b
而 F [ ( t )] F ( x ) x ( t ) f ( x ) x ( t ) f [ ( t )] ( t )

a

F [ ( t )] 是 f[ ( t )] ( t ) 在 与 之间的一个原函
a 0
a
a
【6-3-8】
例3 设f(x)是以T(T>0)为周期的连续函数，试证明：对任何 常数a，有 a T T
a
f( x ) dx x ) dx f(
0
证明：
a
a T
f ( x ) dx f ( x ) dx f ( x ) dx ( x ) dx f
( 3 ) a ( ), b ( )

定积分的换元法和分布积分法

定积分的换元法和分布积分法

x2 1
x
2
dx
1
40
x2(1 1 x2 ) 1 (1 x2 ) dx
1
40 (1
1
x2
)dx
4
4 1 0
1 x2dx
单位圆的面积
4 .
例 7 若 f ( x)在[0,1]上连续，证明
（1） 2 f (sin x)dx 2 f (cos x)dx ;
0
0
（2）
xf (sin x)dx
1
2 0
arcsin
xdx
x
arcsin
x
1 2
0
1
2 0
1
1
1 2
2 6 20
1 d(1 x2 ) 1 x2
xdx 1 x2
12
1
1 x2
xf (sin x)dx
f (sin x)dx.
0
20
0
1
x
sin cos
x
2
x
dx
2
0
1
sin x cos2
x
dx
2
0
1
1 cos 2
x
d
(cos
x)
2
arctan(cos
x)0
( ) 2 . 2 44 4
二、分部积分公式
设函数u( x)、v( x)在区间a,b上具有连续
必象计算不定积分那样再要把(t ) 变换成原 变量 x 的函数，而只要把新变量t 的上、下限 分别代入(t ) 然后相减就行了.
例1 计算 2 cos5 x sin xdx. 0
解 令 t cos x, dt sin xdx,
x t 0,

定积分的积分法

定积分的积分法

例3 计算 解
∫
1
0
ln(1 + x ) dx . 2 (2 + x )
∫0
1
1 ln(1 + x ) 1 dx = − ∫0 ln(1 + x )d 2 (2 + x ) 2+ x
1
1 1 ln(1 + x ) = − + ∫0 2 + x d ln(1 + x ) 2 + x 0
第三节 定积分的积分法
一、定积分的换元积分法 二、定积分的分部积分法
一、定积分的换元法
定理 假设
上连续； （1 ） f ( x ) 在[a , b]上连续； （2 ）函数 x = ϕ (t ) 在[α , β ]上是单值的且有连续 导数； 导数；
上变化时， （3 ） 当 t 在区间[α , β ]上变化时 ， x = ϕ (t ) 的值 上变化， 在[a , b]上变化，且ϕ (α ) = a 、ϕ ( β ) = b ，
则 有 ∫a f ( x )dx = ∫α f [ϕ ( t )]ϕ ′( t )dt .
b
β
应用换元公式时应注意: 应用换元公式时应注意
用 （1） x = ϕ (t ) 把变量 x 换成新变量t 时，积分限也 ） 相应的改变. 相应的改变
（2） ） 求出 f [ϕ ( t )]ϕ ′( t )的一个原函数Φ (t ) 后，不
1 ln 2 1 1 1 1 dx +∫ ⋅ =− − 0 2+ x 1+ x 3 1+ x 2 + x ln 2 5 1 =− + [ln(1 + x ) − ln( 2 + x )]0 = ln 2 − ln 3. 3 3

定积分的换元法和分部积分法

定积分的换元法和分部积分法
f (x)dx
x = (t)
f [ (t) ] '(t) d t
a

b u d v = u vb −
b
v du
a
aa
a
aa
此公式称为定积分的分部积分公式.
例4.计算 1 x e x d x 0

0 x cos x d x
解: 1 x e x d x = 1 x d (e x )
0
0
=

x
e
x

1 0
−
1
e
x
d
x
0
=

x
e

x

1 0
−

e
x

1 0
= e − (e −1)
=1
1
例5.计算 arctan x d x 0
定积分的换元法和分部积分法
一 定积分的换元法
提出问题
对于
1
e
2x
d
x
,
令
t
=
2
x
, 即令
x
=
1
t
,则
0
2
e 2x d t = 1 e t d t = 1 e t + C = 1 e 2x + C
2
2
2
于是
1
e
0
2x
d
x
=
1 2
e
2x
1 0
=
1 (e 2
2
− 1)
分析问题
1
(t
10−
t
11
)
d
t

6.2(2) 定积分的换元法和

6.2(2) 定积分的换元法和

(t ) (t )
证: 所证等式两边被积函数都连续, 因此积分都存在 , 且它们的原函数也存在 .
则
(t ) 是
(t ) (t ) 的原函数 , 因此有
F (b) F (a) F [ ( )] F [ ( )]
(t ) (t )
2
(t ) (t )
提示: 两边求导, 得
19
3. 设
求 解:
(分部积分)
20
例题
1. 证明 是以 为周期的函数.
证：
令u t
是以 为周期的周期函数.
21
2. 设 f ( x) 在 [a, b] 上有连续的二阶导数 , 且 f (a)
f (b) 0 , 试证
1 b 解： 右端 ( x a )( x b) d f ( x) 分部积分积分 2 a b 1 ( x a)( x b) f ( x) 2 a 1 b f ( x)(2 x a b) d x 2 a
Байду номын сангаас
a
证: [u ( x) v( x)] u( x)v( x) u ( x)v( x)
两端在 [a, b] 上积分 b b b u ( x) v( x) u ( x)v( x) dx u ( x)v( x) dx a a a b b u ( x)v( x) u ( x) v( x) dx a a
x2
sin t dt , 求 t
xf ( x )dx.
1 0
sin t 解 因为 没有初等形式的原函数（积分正弦)， t 无法直接求出 f ( x ) ，所以采用分部积分法 1 1 1 1 2 1 2 1 1 2 0 xf ( x )dx 2 0 f ( x )d ( x ) 2 x f ( x ) 0 2 0 x df ( x ) 1 1 2 1 1 1 2 si nx 2 2 x dx f (1) 0 x f ( x )dx 0 x 2 2 x 2 2

第三节定积分的换元法和分部积分法(1)98796

第三节定积分的换元法和分部积分法(1)98796
第三节 定积分的换元法和分部积分法
一、换元公式 二、分部积分公式 三、小结 思考题
11
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一、换元公式
【定理】 假设
（1） f ( x)在[a,b]上连续；
（2）函数 x (t)在[ , ]上是单值的且有连续
导数；
（3）当t 在区间[ , ]上变化时，x (t) 的值在 [a,b]上变化，且 ( ) a 、 ( ) b，
4
2
于是 f ( x 2)dx f (t)dt
1
1
0

dt
2 tet2dt
11 cos t 0
或先求f(x-2)再求原积分
4
f ( x 2)dx
较麻烦
1
1166
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【总结】 定积分的证明题——一般用到积分区间的分割性
1 2
x
2
f
(
x)
1 0

1 2
1
0
x
2df
(
x
)

1 2
f
(1)

11
2 0
x2
f
( x)dx
2233
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f ( x)
x2 sin t dt,
定积分的分部积分公式
【推导】 uv uv uv,
b
a (uv
)dx

uv
b
a
,
uv
b a

b
a
uvdx

b
a
uvdx
,

定积分的换元积分法与分部积分法

定积分的换元积分法与分部积分法


解：对 p 1,

a
dx (a 0) p x
收敛或发散

b
1
1 1 1 p 1 p 1 ( b ) x dx x p 1 p 1 p 1
p
重要的问题是b的指数是正数还是负数. 假如是
负数, 则当b趋向无穷时, b–p+1趋向于0. 若指数为
正数,则b–p+1当b趋于无穷时无界增长. 因此, 若–

a
udv uv a vdu .
a
回忆：：
定积分的分部积分公式
不定积分的分部积分公 式为 :

udv uv vdu .
例1. 计算
解: 原式 =
x arctan x
1 2
1 0

1
0
1 1 2 d (1 x ) 2 4 2 0 1 x
1 2 ln( 1 x ) 2 4 0 1 ln 2 2 4
当p>1时积分有值


1
b 1 1 1 1 p 1 b ) dx lim p dx lim ( p b p 1 b 0 x p 1 x
1 1 ( ) p 1 p 1
定理1 (比较判别法) [a,), g ( x) f ( x) 0, 设 且f ( x)， ( x)于[a,)内有界, 则 g (1) 当 a g ( x)dx 收敛时，a f ( x)dx 也收敛 ； (2) 当
1
dx 增长且无界, x
y 1 x
dx 发散. y x
1
b
dx x
0
1
b
x
2. 其它情形意义

定积分的换元法和分部积分法(1)

定积分的换元法和分部积分法(1)

16
【补充题解答】
原式
lim
n
1 n
sin
n
sin
2 n
sin
(n
1) n
sin
n n
lim 1 n sin i
n n i1 n
1
lim
n
n i 1
sin
i n
n
1
0
sin
xdx
1
[
cos
x]0
2
i
xi
或上式 lim 1
n sin i lim n sin i 1
17 17
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18
【思考题】
设 f ( x) 在 0,1 上 连 续 ， 且 f (0) 1 ，
f
(2)
3，
f
(2)
5
，求
1
0
xf
(2 x )dx
.
18 18
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【思考题解答】
1
0
xf
(2 x )dx
1 2
1
0
xdf
(2
x)
1 2
xf
x
)
1 2
f
(1)
11
2 0
x2
f
( x)dx
66
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7
f ( x)
x2 sin t dt,
1t
f
(1)
1 sin
1 t
t
dt
0,
f
( x)
sin x2 x2
2x
2sin x
x2

定积分的换元法与分部积分法

定积分的换元法与分部积分法
1
1 1 1 1 xf ( 2 x )0 f ( 2 x )dx 2 2 0
1 1 1 f ( 2) f ( 2 x )0 2 4 5 1 f ( 2) f (0) 2. 2 4
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练 习 题1
一、填空题：
1、 sin( x )dx ___________________； 3 3

2、
0

(1 sin 3 )d ________________；
2
3、 0 4、
2 x 2 dx _____________；
2
1 x 5 x 3 sin 2 x dx ________________________ .. 5、 5 4 2 x 2x 1
2 , 3 , t tan t 0, 3 4
正确解法是
2
2
dx x x2 1
3 4 3
x sec t

3 4
2 3
1 sec t tan tdt sec t tan t
2
dt . 12
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思考题2解答
1 1 0 xf (2 x )dx 2 0 xdf (2 x )

则 有 a f ( x )dx f [ ( t )] ( t )dt .
上页 下页 返回
b
应用换元公式时应注意:
t （1）用 x (t ) 把变量x 换成新变量 时，积分限也
相应的改变.
求出 f [ ( t )] ( t )的一个原函数(t ) 后，不 （2）
必象计算不定积分那样再要把(t ) 变换成原 变量 x 的函数，而只要把新变量 t 的上、下 限分别代入(t ) 然后相减就行了.

§5.3_定积分的换元法与分部法

§5.3_定积分的换元法与分部法

2
20
定积分的换元法和分部积分法
3
例
e4
dx
e x ln x(1 ln x)
d( ln x) 1 1 d ln x 2 ln x
3
e4
解 原式
d(ln x)
e ln x(1 ln x)
3
3
e4

d(ln x)
e4 d ln x
2
e ln x (1 ln x)
e 1 ( ln x)2
2 arcsin(
ln x )
3
e4 e
.
6
21
定积分的换元法和分部积分法
a
1
dx (a 0)
0 x a2 x2
解 令 x a sint, dx a cos tdt
x0t0
x a t
2
原式


2
0
a
sin
t

a cost a 2 (1

则
b
a f ( x)dx F(b) F(a)
N--L公式
由于 d dt
F (t) F(t)(t)t) (t)的原函数, N--L公式
则


f [ (t)](t)dt

F ( )
b
a
所以 f (a b x)dx f (t)(dt)
a
b
b
b
a f (t)dt a f (x)dx
所以，原命题成立。
10
例
计算
4 dx .
0 1 x
解 用定积分换元法.
令
x

t， 则

5.3 定积分的换元法和分部积分法

5.3 定积分的换元法和分部积分法

例12 解
求


2
0
e cos xdx.

2
2x
[e sin x ] 0 sinxde
2x
2
2


2
0
e cos xdx e d sinx
2x 2x


0
2x

2
e 2 e sinxdx e 2 e 2 x d cos x

2

0
2x

0
e 2 4 e cos xdx 0 1 2 2x e cos xdx (e 2). 0 5
例5 解
计算
0
2
cos x sin xdx.
5
令 t cos x ,
x t 0, 2
dt sin xdx ,
x 0 t 1,
0
2
cos 5 x sin xdx
0 5
6 1
t 1 1 t dt . 60 6
5.3定积分换元法和分部积分法
5.3定积分换元法和分部积分法
I n sin n1 x cos x 0 ( n 1)0 sin n 2 x cos 2 xdx
2 2
0
I n ( n 1)0 sin
2
1 sin 2 x
n 2

xdx ( n 1)0 sinn xdx
2

(n 1) I n2 (n 1) I n
例2
计算
解 令 x a sin t , 则 dx a cos t d t , 且
. 当 x 0 时, t 0 ; x a 时, t 2

§3.3定积分换元法11

§3.3定积分换元法11

8
x 令 =t 2
7 5 3 1 π 35 = 4 = π . 8 6 4 2 2 64
13． 例 13 ． 设
x 2 t 2 f ( x )= e dt 1
∫
， 求 ∫ x f ( x )dx .
0
x4
1
解 ： f ( x )= ∫
1
x 2 t 2 e dt 1
， f ′( x ) = 2 xe
则
∫ a f ( x )dx = ∫ α f [(t )]′(t )dt 。
b
β
证：设 F ( x ) 是 f ( x ) 在 [a , b] 上的一个原函数，则 设 上的一个原函数，
上的一个原函数。 F [( t )] 是 f [( t )]′( t ) 在 [α ,β ] 上的一个原函数 。
由牛顿— 由牛顿—莱布尼兹公式得
∫
b b udv =[uv ]a a a
b
∫
vdu 。
例 8．计算定积分（1） ∫ 1 ．计算定积分（ ）
2
π
1 2
(1+ x )arcsin x 1 x 2
dx 。
(2) ∫ e 2 x cos xdx
2
0
n 例 10．计算 I n = ∫ sin xdx （ n ∈ N + ） ．
π 2
（1） ∫
π
2
0
6 4 2 16 sin xdx = 1 = . 7 5 3 35
7
π
2
5 3 1 π 5π （2） π cos xdx = 2∫ 0 cos xdx = 2 = 6 4 2 2 16 2
∫
6
π
2Leabharlann 6（3） π∫π
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（1）换元的基本思路是方便有效地找出被积函
数的原函数。这与不定积分的换元思路相同。
（2）换元的同时一定要相应地变换积分的上、 下限。
（3）同不定积分的换元法不同的是，在用换元 法求出原函数后，不必代回原来的变量，这使 问题变得更加方便、简单。
（4）同不定积分一样，d x 可看作对 x 的微分 .
（5）上述换元公式也可反过来使用。
a
0
0
a
0 [ f (x ) f ( x) ]d x
即
a
a
f ( x)d x [ f ( x) f ( x) ] d x
a
0
a
a
即
f (x)d x [ f (x) f (x) ] d x
a
0
（1）若 f (x) 为偶函数，即 f (x ) f ( x )
a
a
a f (x)d x 2 0 f (x)d x
则
b
f (x)d x F(b) F(a)
a
由不定积分换元法有 f [ (t)] '(t)d t F[ (t)] c
f [ (t)] '(t)d t F[ (t)]
F[( )] F[( )]
b
F(b) F(a) a f (x)d x
几点注记：
b
a
f ( x)d x
f [ (t)] '(t)d t
第四节 定积分的换元法和分部积分法 一、定积分的换元法 不定积分的换元法
• 第一类换元公式
u (x)
f [(x)] '(x) d x
f (u) du (1)
• 第二类换元公式
x (t)
f (x) d x f [ (t) ] '(t)dt (2)
定理：假设（1） f ( x)在[a,b]上连续；
则
a
a
a f (x)d x 2 0 f (x)d x
（2）若 f (x) 在 [ - a , a ] 上连续且为奇函数，
则
a
a f (x)d x 0
证明：
a
a
0
f (x)d x a
a
f (x)d x 0
f (x)d x
对右边第一个积分作变换： x t d x d t
当 x a 时 , t a , 当 x 0 时 , t sin 3 x sin 5 x d x
解：
0
sin 3 x sin 5 x d x
0
sin 3 x (1 sin 2 x) d x
0
sin 3 x cos x d x
0
sin 3 x d (sin x)
[2 5
sin
5 2
x]
0
000
×
y
在 [0 , ] 上 sin 3 x sin 5 x 0
y sin 3 x sin 5 x
且仅当 x 0, , 时等于零
2
sin 3 x sin 5 x d x 0 0
0
x
2
例3：计算
0
sin 3 x sin 5 x d x
解：
0
sin 3 x sin 5 x d x 0
sin 3 x cos 2 x d x
0
sin 3 x |cos x | d x
2
0
sin 3 x cos x d x
sin 3 x cos x d x
2
2
0
sin 3 x d (sin x)
sin 3 x d (sin x)
2
[2 5
sin
5 2
x]
2 0
[2 5
sin
5 2
x]
( 20) (0 2 )
5
5
4 5
2
例4：证明
（1）若 f (x) 在 [ - a , a ] 上连续且为偶函数，
（2）若 f (x) 为奇函数，即 f (x ) f ( x )
a
a f (x)d x 0
例5：求 解：设
5 5
x 3 sin 2x x4 x2 1
d
x
f (x)
x 3 sin 2x x4 x2 1
f
(x)
( x) 3 sin 2( x) (x)4 (x)2 1
x 3 sin 2x x4 x2 1
证明：
a
a
0
f (x)d x a
a
f (x)d x 0 f (x)d x
对右边第一个积分作变换： x t d x d t
当 x a 时 , t a , 当 x 0 时 , t 0 ,
0
0
a
a f (x)d x a f ( t )dt 0 f ( x)dx
a
a
a
f ( x)d x f ( x)d x f ( x)d x
例1：求积分
8
0
1
d
x
3
x
解： 令 x t 3 , d x 3t 2d t ,
当 x = 0 时，t = 0， 当 x = 8 时， t = 2， 在 [ 0 , 2 ] 上， x t 3 连续可导且单调，所以
8 d x
0 13 x
2 3t 2 d t 3 2 (t 2 t) (t 1) 1 d t
b
x ( t )
a f ( x)dx f [ (t)] (t)dt
x (t )
f ( x)d x f [ (t)] '(t)d t
b
u ( x )
f [ ( x)] ( x)dx
f (u)d u
a
其中 (a) , (b) ,
u (x)
f [ ( x)] ( x)d x f (u) du
（2）函数x (t)在[ , ]上 是f (单x)值d x的且 有f 连[续(t)导]数'(；t)d t
（3）当t 在区间[ , ]上变化时， x (t )的值在
[a,b]上变化，且 ( ) a、 ( ) b，
则
有 b a
f
(
x)dx
f [ (t )] (t )dt .
证明：设 f (x)d x F(x) c
0 1t
0
1t
3
2
0
(
t
1 1 1
t
)
d
t
3[
t2 2
t
ln (1
t )]
2 0
3ln 3
• 对换元法中的条件常用观测法加以验证。
例2：求积分
a
0
a 2 x 2 d x (a 0)
解：令 x asint , d x acost d t ,
当 x 0 时, 取 t 0 , 当 x a 时, sin t 1, t ,
2
a
a2 x2dx 2
a 2 a 2 sin 2t a cos t d t
0
0
2 a| cos t | acos t d t 2 acos t acos t d t
0
0
a 2 2
2
0
( 1 cos 2t ) d t
a2 2
[t sin2t 2
]
2
0
a 2
4
想一想，为什么不能取 t 的范围为 [ 0 ,