定积分换元法
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定积分换元法
sqrt{x}$。
练习二：求解微分方程
总结词
将微分方程转化为可积分的定积分形式
详细描述
通过求解微分方程的练习，学生可以学会将微分方 程转化为可积分的定积分形式，进一步利用定积分 换元法求解。
练习题目示例
求解微分方程 $y' = frac{1}{x}$，其中 $y(1) = 2$。
练习三：求解物理问题中的定积分
定积分换元法的应用场景
几何意义
定积分换元法在几何上可用于计算曲线下面积、旋转体体积等问题。通过换元，可以将不规则图形转化为规则图形， 便于计算。
物理应用
在物理问题中，定积分换元法常用于解决与速度、加速度等物理量相关的积分问题，如物体运动轨迹、力做功等问题 。通过换元，可以将物理量之间的关系转化为更易于理解的形式。
根式换元法
总结词
根式换元法是通过引入根式来简化定积分计算的一种方法。
详细描述
根式换元法通常用于处理形如$int frac{1}{sqrt{x}} dx$的积分。通过令$x = t^2$，可以将积分转化为 $int frac{1}{t} dt$，进一步简化计算。
倒代换法
总结词
倒代换法是通过引入倒数变量来简化定积分计算的一种方法。
总结词
运用定积分换元法解决物理问题
详细描述
通过求解物理问题中的定积分的练习，学生可以学会运用定积分换 元法解决实际问题，加深对物理概念和公式的理解。
练习题目示例
求地球同步卫星的高度（已知地球半径和重力加速度）。
THANKS
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定积分换元法
• 引言 • 定积分换元法的基本原理 • 定积分换元法的实例 • 定积分换元法的注意事项 • 定积分换元法的应用练习
定积分的换元法
2
解 原式 = ∫1
偶函数
奇函数
= 4 ∫0
1
2 2 x2 1 x (1 1 x ) dx = 4 ∫ dx 2 2 0 1+ 1 x 1 (1 x )
2
= 4 ∫0 (1 1 x )dx = 4 4 ∫0
= 4 π.
1
1
1 x 2 dx
单位圆的面积
命题: 设 f ( x )是以正数T为周期的周期函数, 则 命题:
π 2 0
处处连续,证明: 例 8.设 f ( x ) 处处连续,证明: 设
∫
a 0
1 a2 x 3 f ( x 2 )dx = ∫ xf ( x )dx ( a > 0 ) . 2 0
t
x 2 =常数变易法 作辅助函数 证法 1:用换元法,令 ——常数变易法.作辅助函数 :用换元法, 看作变量—— t ,则 证法 2:将 a 看作变量——常数变易法 :
上变化, 在[a , b]上变化,且 (α ) = a , ( β ) = b ,
则 有 ∫a f ( x )dx = ∫α f [ ( t )] ′( t )dt .
b
β
证
的一个原函数, 设 F ( x ) 是 f ( x ) 的一个原函数 ,
∫a f ( x )dx = F (b) F (a ),
由此计算
∫
2 0
π π
x sin x π π sin x sin x dx = dx dx. ∫0 2 2 sin x + x 1 + cos cos x 2 1 + cos x
1 π π π π d (cos x ) = [arctan(cos x )]0 = ∫ 2 0 1 + cos 2 x 2
解 原式 = ∫1
偶函数
奇函数
= 4 ∫0
1
2 2 x2 1 x (1 1 x ) dx = 4 ∫ dx 2 2 0 1+ 1 x 1 (1 x )
2
= 4 ∫0 (1 1 x )dx = 4 4 ∫0
= 4 π.
1
1
1 x 2 dx
单位圆的面积
命题: 设 f ( x )是以正数T为周期的周期函数, 则 命题:
π 2 0
处处连续,证明: 例 8.设 f ( x ) 处处连续,证明: 设
∫
a 0
1 a2 x 3 f ( x 2 )dx = ∫ xf ( x )dx ( a > 0 ) . 2 0
t
x 2 =常数变易法 作辅助函数 证法 1:用换元法,令 ——常数变易法.作辅助函数 :用换元法, 看作变量—— t ,则 证法 2:将 a 看作变量——常数变易法 :
上变化, 在[a , b]上变化,且 (α ) = a , ( β ) = b ,
则 有 ∫a f ( x )dx = ∫α f [ ( t )] ′( t )dt .
b
β
证
的一个原函数, 设 F ( x ) 是 f ( x ) 的一个原函数 ,
∫a f ( x )dx = F (b) F (a ),
由此计算
∫
2 0
π π
x sin x π π sin x sin x dx = dx dx. ∫0 2 2 sin x + x 1 + cos cos x 2 1 + cos x
1 π π π π d (cos x ) = [arctan(cos x )]0 = ∫ 2 0 1 + cos 2 x 2
定积分的二种换元法及其应用
定积分的二种换元法及其应用
一、换元法：
1、等价换元法：即将原有的积分值与另一种积分值进行相互转换，使得两者
之间的价值相同。
例如：将100点A积分换成50点B积分，即100A=50B。
2、定量换元法：即在固定的量上进行转换，使得不同的积分之间能够保持一
定的价值关系。
例如：将1A=2B, 则100A=200B。
二、应用：
1、企业顾客奖励方面应用广泛。
企业通常会采用不同形式的奖励来酬谢忠诚
的顾客。
通过采用不同形式的奖励来衡量顾客对企业所作出的贡献大小是很有必要的。
而通过采用换元法可以使得不同形式的奖励能够保持一定的价值关系；
2、在旅行回馈方面也有应用。
旅行回馈是旅行者在出差或旅行中所获得回馈
物品或服务所对应的数字化标准化代币体系。
通过采用不同形式的回馈来衡量旅行者对旅行所作出贡状大小也是很有必要性的。
考虑到不同形式回馈之间存在差异性；此时可以选择采用换元法来使得不吓当前式回馈能够保护一定价值关系。
定积分的换元法
换元法的步骤
确定换元变量
根据定积分的被积函数和积分限，选择合适 的换元变量。
计算新定积分
将原定积分的积分变量替换为新变量，并计 算新定积分的值。
建立新变量与原变量的关系
根据选择的换元变量，建立新变量与原变量 的关系式。
还原原定积分
将新定积分的值还原为原定积分的值。
换元法的应用范围
简化计算
通过换元法，可以将复杂的定积分转化为简单 的定积分，从而简化计算过程。
解决特殊问题
对于一些特殊形式的定积分，通过换元法可以 找到更有效的求解方法。
推广定理
换元法还可以用于推广某些定积分的定理和性质。
03
定积分的换元法实例分析
三角函数换元法
总结词
通过将自变量替换为正弦或余弦函数，可以将原函数转化为易于积分的三角函数形式。
详细描述
假设被积函数为$f(x)$，选择一个角$\theta$，使得$x = \cos\theta$或$x = \sin\theta$，将原函数转化为关 于$\theta$的三角函数形式，再利用正弦或余弦函数的性质进行积分。
详细描述
假设被积函数为$f(x)$，选择一个变量$t$，使得$x = e^t$，将原函数转化为关于$t$的指数函数形式 ，再利用指数函数的性质进行积分。
04
定积分的换元法在解题中的应用
利用换元法求定积分
三角换元法
对于形如$\int \sqrt{a^2 - b^2} dx$的 定积分，可以令$x = a\cos\theta, y = b\sin\theta$进行换元，化简为$\int \sqrt{a^2 - b^2} d\theta$的定积分。
06
定积分的换元法的应用前景与发 展趋势
§3.3定积分换元法
π 2
0
sin n xdx = − ∫
π 2
0
sin n −1 xd (cos x )
π 2 0
= − sin n −1 x cos x
[
= (n − 1) ∫
π 2 0 π 2
]
π 2 0
+∫
cos xd (sin n −1 x )
cos 2 x sin n − 2 xdx
= (n − 1) ∫
0
8．已知 g ( x ) = ∫ t f ′( x − t )dt ，求 g′( x ) 。
0
x
g( x ) = ∫ t f ′( x − t )dt
0
x 0
x
令x−t=u
=
− ∫ ( x − u ) f ′(u )du
x
0
= ∫ ( x − u ) f ′(u )du = x
x
∫0 f ′(u )du − ∫0 uf ′(u )du
a a ∫ 0 f(− x) dx
0
f(x) dx =
+
a ∫0
f(x) dx = ∫ [ f(x) + f(− x)] dx.
0
a
续上
∴∫
a
−a
f(x) dx = ∫ [f(x) + f( − x)] dx ，
0
a
（2）∵ f ( x ) 为偶函数，即 f (− x ) = f ( x ) ，
∴∫
π 2 sin 2 t − 1 dt π sin t 6
6 cos t dt = π cos t sin t 2
∫
6 cos t dt π cos t ⋅ sin t 2
定积分的换元法和分部换元法
则
(t) (t)
满足:
机动 目录 上页 下页 返回 结束
(t) (t)
说明:
1) 当 < , 即区间换为[ ,]时， 定理 1 仍成立 .
2) 必需注意换元必换限 , 原函数中的变量不必代回 .
3) 换元公式也可反过来使用 , 即
(t) (t)
b
f (x)d x
(令 x (t) )
a
或配元
(t) (t)
例4.
偶倍奇零
(1) 若
则 a a
f
( x) dx
a
20
f
( x) dx
(2) 若
则 a f (x) dx 0 a
证:
a
0
a
f (x)dx f (x)dx f (x)dx
a
a
0
a
a
0 f (t) d t 0 f (x) dx
a
0[ f (x) f (x)]dx
令 x t
f (x) f (x)时
(t) d(t)
配元不换限
机动 目录 上页 下页 返回 结束
例1. 计算
解:
令 x asin t ,
t
2
,
2
则dx a cos t d t , 且
当 x 0 时, t 0;
x
a
时,
t
2
.
y
∴
原式 =
a2
2 cos 2 t d t
0
y a2 x2
a2
2 (1 cos 2t) d t
解
1
0
ln(1 (2
x
x) )2
dx
1 0
ln(1
定积分的换元法
2
；
2
1
1+ x
∫
∫
5. 7. 8. 9.
∫
π
1
0
1 + cos 2 x dx ；
6.
π 2 π − 2 π 2 π − 2
cos x − cos 3 x dx ；
4cos 4 θ dθ
；
∫ ∫ ∫
−1 2
( x 2 1 − x 2 + x 3 1 + x 2 )dx ；
0 2 0
max{ x , x 3 }dx ； x x − λ dx
1 sec t ⋅ tan tdt sec t ⋅ tan t
= − ∫2 π
π dt = − . 12
练习题
一、 填空题： 填空题：
π 1. ∫ π sin( x + )dx = ___________________； ___________________； 3 3
π
2. 3. 4.
∫ ∫
π
0
t 1 = − ∫ t dt = = . 1 60 6
5
6 1
应用换元公式时应注意（ 应用换元公式时应注意（一）:
（1）用 x = ϕ ( t ) 把变量 x 换成新变量 换成新变量 t 时，积分限 积分限也
相应的改变 相应的改变. 改变.
求出 f [ϕ ( t )]ϕ ′( t )的一个原函数 Φ( t ) 后，不必 （2 ） 象计算不定积分那样再要把 Φ( t ) 回代成原变量 x 的函数， 的函数，而只要把新变量 t 的上、 的上、下限分别代 入 Φ( t ) 然后相减就行了. 然后相减就行了.
（ λ 为参数 ）.
1 , 当x ≥ 0时， 1 + x 三、 设 f ( x ) = 求 1 , 当x < 0时， 1 + e x
；
2
1
1+ x
∫
∫
5. 7. 8. 9.
∫
π
1
0
1 + cos 2 x dx ；
6.
π 2 π − 2 π 2 π − 2
cos x − cos 3 x dx ；
4cos 4 θ dθ
；
∫ ∫ ∫
−1 2
( x 2 1 − x 2 + x 3 1 + x 2 )dx ；
0 2 0
max{ x , x 3 }dx ； x x − λ dx
1 sec t ⋅ tan tdt sec t ⋅ tan t
= − ∫2 π
π dt = − . 12
练习题
一、 填空题： 填空题：
π 1. ∫ π sin( x + )dx = ___________________； ___________________； 3 3
π
2. 3. 4.
∫ ∫
π
0
t 1 = − ∫ t dt = = . 1 60 6
5
6 1
应用换元公式时应注意（ 应用换元公式时应注意（一）:
（1）用 x = ϕ ( t ) 把变量 x 换成新变量 换成新变量 t 时，积分限 积分限也
相应的改变 相应的改变. 改变.
求出 f [ϕ ( t )]ϕ ′( t )的一个原函数 Φ( t ) 后，不必 （2 ） 象计算不定积分那样再要把 Φ( t ) 回代成原变量 x 的函数， 的函数，而只要把新变量 t 的上、 的上、下限分别代 入 Φ( t ) 然后相减就行了. 然后相减就行了.
（ λ 为参数 ）.
1 , 当x ≥ 0时， 1 + x 三、 设 f ( x ) = 求 1 , 当x < 0时， 1 + e x
定积分的换元法
dt sin xdx ,
x t 0, 2
x 0 t 1,
0
2
cos 5 x sin xdx
0 5
6 1
t 1 1 t dt . 60 6
例2
计算 0
sin 3 x sin 5 xdx .
3 2
解
f ( x ) sin 3 x sin 5 x cos x sin x
5、 2 2 ；
17 8 当 0 时 9、 ； 10、 , 2 ； 当0 2 4 3 8 8 3 2 时, 2 ； 当 时, 2 . 3 3 3 1 三、 1 ln( 1 e ) . 六、 2.
3 6、 ； 2
7、 ； 4
8、 ； 8
2
3 3 4
dt . 12
思考题解答
计算中第二步是错误的.
x sec t
x 2 1 tan t tan t .
2 3 t , , tan t 0, 3 4
正确解法是
2
2
dx x x2 1
3 4 3
x sec t
由此计算
2 0
x sin sin x sinx x . dx dx dx 2 2 sin x cos 1 cos x x 2 0 1 cos x
1 d (cos x ) arctan(cos x ) 0 2 0 2 2 1 cos x
2 0 2
( x 2 1 x 2 x 3 1 x 2 )dx ；
8、 max{ x , x 3 }dx ； 9、 x x dx
定积分的换元法
例12 设 f ( x ) 连续
解
二、小结
定积分的换元法 几个特殊积分、定积分的几个等式
思考题
解令
思考题解答
计算中第二步是错误的.
正确解法是
练习题
练习题答案
由定积分的几何意义，这个结论也是比较明显的
例8 计算 解 原式
偶函数
奇函数
四分之一单位圆的面积
证 （1）设 （2）设
另证 将上式改写为
奇函数
例10 设 f(x) 是以L为周期的连续函数，证明
证明
与 a 的值无关
例11 设 f(x) 连续，常数 a > 0 证明
证明 比较等式两边的被积函数知，
先来看一个例子
例1
换元求不定积分 令
则
故
尝试一下直接换元求定积分
为去掉根号 令
则
当 x 从0连续地增加到4时，t 相 应地从1连续地增加到3
于是
由此可见，定积分也可以象不定积分一 样进行换元，所不同的是不定积分换元时要 回代原积分变量，而对定积分则只需将其上 、下限换成新变量的上、下限即可计算出定 积分，而不必回代原积分变量
将上例一般化就得到定积分的换元积分公式
一、换元公式
证
应用换元公式时应注意:
（1）
（2）
例2 计算 解1 由定积分的几何意义
o 等于圆周的第一象限部分的面积 解2
故
解3 令
解4 令 仍可得到上述结果
例3 计算 解令
注
定积分的换元积分公式也可以反过来使用
为方便计 将换元公式的左、右两边对调
同时把 x 换成 t ， t 换成 xFra bibliotek这说明可用
引入新变量
定积分的换元法和分部积分法
微积分基本公式
不定积分法
定积分法，
且使用方法与相应的不定积分法类似。
一、定积分的换元法
我们知道，不定积分的换元法有两种，下面就分别 介绍对应于这两种换元法的定积分的换元法。
1. 第一类换元积分法（凑微分法）
设函数 f ( x) 在区间 [a, b]上连续， f (x)dx F( x) C
那么
b a
0
1
1
t
)dt
2t
ln
|
1
t
|
2 0
4 2ln3
（2）根号下为 x 的二次式
例8 计算
1
2
0
x2 dx 1 x2
解 设 x sint， π t π ， 则 dx cos t dt，
2
2
且当 x 0 时，t 0； 当 x 1 时，t π， 因此
2
6
1 2 0
x2 dx 1 x2
0
分部积分
t sint
6
0
6 sintdt
0
1 62
[
cos
t
]6 0
3 1.
12 2
例16
计算
e-1
ln(1
x)dx
0
解
e-1
ln(1
x)dx
e-1
ln(1
x)d( x)
0
0
x
ln(1
x)
e1 0
e1
0
xd
ln(1
x)
e
1
e-1 0
x
1
1
x
dx
e
1
e-1 0
(1
1
1
x
不定积分法
定积分法，
且使用方法与相应的不定积分法类似。
一、定积分的换元法
我们知道，不定积分的换元法有两种，下面就分别 介绍对应于这两种换元法的定积分的换元法。
1. 第一类换元积分法（凑微分法）
设函数 f ( x) 在区间 [a, b]上连续， f (x)dx F( x) C
那么
b a
0
1
1
t
)dt
2t
ln
|
1
t
|
2 0
4 2ln3
（2）根号下为 x 的二次式
例8 计算
1
2
0
x2 dx 1 x2
解 设 x sint， π t π ， 则 dx cos t dt，
2
2
且当 x 0 时，t 0； 当 x 1 时，t π， 因此
2
6
1 2 0
x2 dx 1 x2
0
分部积分
t sint
6
0
6 sintdt
0
1 62
[
cos
t
]6 0
3 1.
12 2
例16
计算
e-1
ln(1
x)dx
0
解
e-1
ln(1
x)dx
e-1
ln(1
x)d( x)
0
0
x
ln(1
x)
e1 0
e1
0
xd
ln(1
x)
e
1
e-1 0
x
1
1
x
dx
e
1
e-1 0
(1
1
1
x
§5.3_定积分的换元法与分部法
2
20
定积分的换元法和分部积分法
3
例
e4
dx
e x ln x(1 ln x)
d( ln x) 1 1 d ln x 2 ln x
3
e4
解 原式
d(ln x)
e ln x(1 ln x)
3
3
e4
d(ln x)
e4 d ln x
2
e ln x (1 ln x)
e 1 ( ln x)2
2 arcsin(
ln x )
3
e4 e
.
6
21
定积分的换元法和分部积分法
a
1
dx (a 0)
0 x a2 x2
解 令 x a sint, dx a cos tdt
x0t0
x a t
2
原式
2
0
a
sin
t
a cost a 2 (1
则
b
a f ( x)dx F(b) F(a)
N--L公式
由于 d dt
F (t) F(t)(t)t) (t)的原函数, N--L公式
则
f [ (t)](t)dt
F ( )
b
a
所以 f (a b x)dx f (t)(dt)
a
b
b
b
a f (t)dt a f (x)dx
所以，原命题成立。
10
例
计算
4 dx .
0 1 x
解 用定积分换元法.
令
x
t， 则
定积分的换元法和分部换元法课件
分部换元法的定义
分部换元法是一种将定积分转化为几个易于计算的定积分的和或差的方法。
分部换元法的思路
通过将原被积函数分解为若干个易于计算的部分函数，并分别对每个部分函数进行换元，从而将原定 积分的计算转化为简单定积分的计算。
分部换元法的应用范围与限制
应用范围
分部换元法适用于被积函数可以分解为若干个易于计算的部分函数的定积分，以及定积 分的和或差。
换元法的目的是简化积分表达式，使其更易于计算。
常用的换元技巧
根式代换
用根式代换原有的变量， 将积分表达式转化为易于 计算的幂函数积分。
三角代换
用三角函数代换原有的变 量，将积分表达式转化为 三角函数的积分。
倒代换
用倒数代换原有的变量， 将积分表达式转化为易于 计算的幂函数积分。
定积分的换元公式及其应用
分部换元法的进一步研究与应用
理论深化
分部换元法的基础理论还需要进一步深化和完善，例如分部积分 公式的推导和应用等方面需要更加严谨和精细的研究。
应用拓展
分部换元法的应用领域也需要进一步拓展，例如在解决某些特殊类 型的积分和微分方程时可以发挥重要作用。
数值计算
分部换元法的数值计算也需要进一步研究和改进，以提高计算效率 和精度。
对于某些特定的定积分问题，可以通过两种方法的结合使 用，以达到更好的效果。
如何选择合适的解题方法
根据题目特点选择
对于涉及多项式、有理函数的定积分问题，分部换元法 可能更为合适。
对于熟练掌握换元法和分部换元法的同学来说，可以根 据题目的难易程度和个人喜好来选择合适的方法。
对于涉及三角函数的定积分问题，换元法可能更为合适 。
效率。
02
通过使用不同的换元方法，可以将不同类型的定积分
分部换元法是一种将定积分转化为几个易于计算的定积分的和或差的方法。
分部换元法的思路
通过将原被积函数分解为若干个易于计算的部分函数，并分别对每个部分函数进行换元，从而将原定 积分的计算转化为简单定积分的计算。
分部换元法的应用范围与限制
应用范围
分部换元法适用于被积函数可以分解为若干个易于计算的部分函数的定积分，以及定积 分的和或差。
换元法的目的是简化积分表达式，使其更易于计算。
常用的换元技巧
根式代换
用根式代换原有的变量， 将积分表达式转化为易于 计算的幂函数积分。
三角代换
用三角函数代换原有的变 量，将积分表达式转化为 三角函数的积分。
倒代换
用倒数代换原有的变量， 将积分表达式转化为易于 计算的幂函数积分。
定积分的换元公式及其应用
分部换元法的进一步研究与应用
理论深化
分部换元法的基础理论还需要进一步深化和完善，例如分部积分 公式的推导和应用等方面需要更加严谨和精细的研究。
应用拓展
分部换元法的应用领域也需要进一步拓展，例如在解决某些特殊类 型的积分和微分方程时可以发挥重要作用。
数值计算
分部换元法的数值计算也需要进一步研究和改进，以提高计算效率 和精度。
对于某些特定的定积分问题，可以通过两种方法的结合使 用，以达到更好的效果。
如何选择合适的解题方法
根据题目特点选择
对于涉及多项式、有理函数的定积分问题，分部换元法 可能更为合适。
对于熟练掌握换元法和分部换元法的同学来说，可以根 据题目的难易程度和个人喜好来选择合适的方法。
对于涉及三角函数的定积分问题，换元法可能更为合适 。
效率。
02
通过使用不同的换元方法，可以将不同类型的定积分
定积分换元法和分部积分法
x
f (t)dt 是奇函数。
0
证明：令
F(x)
x f (t)dt,则F（ x）
x
f (t)dt
0
0
对
F（ x）
x
f (t)dt,
设t=-u有
0
F（ x）
x
x
f (u)(du) f (u)du
0
0
即
F（ x）
x 0
f (u)du
F ( x), F(x),
若f (u) f (u) 若f (u) f (u)
0 f (sin x)dx 0 xf (sin x)dx,
xf (sin x)dx
f (sin x)dx.
0
20
0
1
x
sin x cos2
x
dx
2
0
1
sin x cos2
x
dx
2
0
1
1 cos2
x
d
(cos
x)
arctan(cos
2
x )0
( ) 2 . 2 44 4
sin3 x sin5 xdx
cos
x
sin
x
3
2
dx
0
0
3
2 cos xsin x2 dx
0
cos
xsin
x
3
2
dx
3
2 sin x2 d sin x
0
2
sin
x
3
2
d
sin
x
2
sin
5
x 2
2
2
2
sin
x
5
一、定积分的换元法.
4
x2 2x 1
0
dx
3
1
1 2 ( u - 1) 2 2 udu u
3
u 3 u 6 2
3
1
22 . 3
例 3
求
a 3 a 3
dx x2 x2 a2
( a 0) .
解 设 x a tan u ，则 dx a sec2 udu ， 3 当x a时， u , 当 x a时， u . 于是 3 6 4
解 设 x cos x， 则 du = -sinxdx，
当 x = 0 时，u=1，当 x 时， u 0 . 于是 2
2 0
cos x sin xdx
3
0
1
u 3 du
1
0
u 3 du
1
u 4
4
0
1 . 4
例 2
求
4
x2 2x 1
0
dx .
2
u -1 则x , dx udu ， 解 令u 2 x 1 ， 2 当 x = 0 时，u=1， 当 x 4 时， u 3 . 于是
0
a
(2) 当 f (x) 是奇函数，即 f (- x) = - f (x)， 得
0
-a
f ( x )dx f ( x ) f (- x )dx
a 0
f ( x ) - f ( x )dx 0.
a 0
例 5 解
求
2
-2
( x - sin x cos x )dx.
b a a b b a
b
定积分的换元法
其中 ( ) a ， ( ) b． 定积分的换元积分公式，也可以反过来使用，即
b
a
f [ ( x)] ( x) d x f (u ) d u ，
其中 u ( x) ，而 ( a ) ， (b) ．
例 求积分 sin 5 x cos x d x ． 解
sin x 1 sin 2 x d x sin x | cos x | d x
0 π 3 2
x x cos ， 0 ， 2 | cos x | cos x ， x 2
sin x cos x d x π sin x( cos x) d x ，
π 2 0 π 2 0 1
令 u sin x ，则 x 0 时 u 0 ， x 时 u 1 ， 2
1
π 2 0
sin 5 x cos x d x sin 5 x(sin x) d x
1 1 6 u du u ． 0 6 0 6
5
2
π 2 0
3 2
π
3 2
π
0
sin 3 x sin 5 x d x
sin x cos x d x π sin x cos x d x
0 2 π 2 3 2 π 3 2
sin x d(sin x ) π sin x d(sin x )
0
π 2
3 2
π
3 2
2 2 4 sin x sin x ． 5 5 0 5
aaຫໍສະໝຸດ f ( x) d x 2 f ( x) d x ；
定积分的换元法和分部积分法
1
4
R2
R
x x
例2 计算
0
cos3 x cos5 xdx
2
解
0
cos3 x cos5 xdx
2
0
cos3 x cos5 xdx
0
3
cos 2 x
1 cos2 xdx
0
3
cos 2 x sin x dx
2
2
2
0
3
cos2 x sin xdx
2
0
2
3
cos 2
解:
I1 tax
a 0
f (a t) dt f (a t) f (t)
2I1
a 0f f(a (ax) x)f f
(x) (x)
dt
a,
I1
a 2
I2 tx
0
( 1
t) sin cos2 t
t
dt
sin t 0 1 cos2 t dt
t sin t
0
1
cos2
dt t
第三节 定积分的换元法和分部积分法
一 定积分的换元法
定理1 设函数f(x)在[a,b]上连续,且x=φ(t)满足条件:(1) φ(t)在[α,β]上连续 可微;(2)当t在[α,β]上变化时, x= φ (t)的值在[a,b]上单调变化,且 φ(α)=a,φ(β)=b则
b
a f (x)dx f [ (t)](t)dt(1)
xd
cos
x
2 5
5
cos 2
x |0 2
2 5
利用换元法计算定积分时,要注意: (1).在换元时,积分的上下限必须同时变化. (2).在换元时,要注意换元后的函数在积分区域内是否有 意义.
5.3 定积分的换元法和分部积分法
−a
0
0
a
= ∫ 0 [ f (x ) + f (− x) ]d x
a
a
即
∫ ∫ f ( x)d x = [ f ( x) + f (− x) ] d x
−a
0
a
a
∫ ∫ 即
f (x)d x = [ f (x) + f (−x) ] d x
−a
0
（1）若 f (x) 为偶函数，即 f ( x ) = f (− x )
π
原式 =
t 2
+
ln
|
sin
t
+
cos
t
|
2 0
=π
4
例6：证明
（1）若 f (x) 在 [ - a , a ] 上连续且为偶函数，
a
a
则 ∫ − a f (x)d x = 2∫ 0 f (x)d x
（2）若 f (x) 在 [ - a , a ] 上连续且为奇函数，
a
则 ∫ −a f (x)d x = 0
1 −1
f (u) d u
∫ ∫ ∫ =
1
f (x)d x =
0 (1 + x2 ) d x +
1 e−x d x
−1
−1
0
=
[
x
+
1 3
x
3
]0−1
+
[−e − x ]10
= 7− 1 3e
二、 定积分的分部积分法
设 u = u (x) , v = v(x) 在区间 [ a , b ] 上有连续导
π 2
−
t
dt
π
定积分的换元法
定积分的换元法
定积分的换元，三个地方都要换。
令你想换的地等于t，解出x关于t的表达式。
接着对x关于t的函数进行微分，dx＝f'（t）dt，不定积分换元到此结束。
定积分的的第三个需要换元的地方是上下限。
原来的式子是x 的上下限对x积分，你变成对t积分了，你得把x的上下限换成t的上下限。
具体怎么换呢？你不是让t＝一个关于x的表达式吗？用x的上下限，通过这个表达式，解出t的上下限。
这里需要重点注意，没人规定上限一定大于下限，你用x的下限解出t的下限用x的上限解出t的上限，即便下限数大，也要写下边。
这是规矩。
以下是我自己写的一个例子，供理解。
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0
f ( x)dx
a
f ( x)dx
a
a
0
对 0 f ( x)dx作变换, 令x t, dx dt. a
定积分的换元法和分部积分法
a
f ( x)dx
0
f ( x)dx
a
f ( x)dx
a
a
0
则 x a, t a; x 0, t 0.
令x t dx dt.
0
f ( x)dx
定积分的换元法和分部积分法
例 2 sin3 xdx 0
t cosx0
2
解
2 sin3 xdx
2 sin2 x sin xdx
0
0
x 0, t 1 x ,t 0
2
2 (1 cos2 x)dcos x
t cos x
0(1 t 2 )dt
0
1
0
t 1 t 3 2
偶函数
奇函数
1
40 1
x2 1
x2
dx
1
40
x
2(1 1 (1
1
x x2)
2
)
dx
1
40
(1
1
x2
)dx
4
1
40
1 x2dx
单位圆的面积
4 .
定积分的换元法和分部积分法
三角函数的定积分公式
例 若f ( x)在[0,1]上连续,证明
(1) 2 f (sin x)dx 2 f (cos x)dx;
a
[ f (x)
f ( x)]dx
可得:
a
0
奇、偶函数在对称区间上的定积分性质
当f ( x)在[a, a]上连续,且有
(1) f (x)为偶函数,则
a
a
f ( x)dx 2 f ( x)dx
a
0
(2) f (x)为奇函数,则
a
f ( x)dx 0 a
由定积分的几何意义(面积的代数和)也可得.F(b) F(ຫໍສະໝຸດ ),baf
(
x)dx
F
(b)
F
(a)
(
)
(
)
f [ (t)](t)dt.
注意 当 时，换元公式仍成立.
应用换元公式时应注意:
（1）用 x (t )把变量x 换成新变量t 时，积分限也
相应的改变.
（2）求出 f [ (t )] (t )的一个原函数(t ) 后，不
必象计算不定积分那样再要把(t ) 变换成原 变量x 的函数，而只要把新变量t 的上、下限 分别代入(t )然后相减就行了.
0
0
(2) xf (sin x)dx f (sin x)dx,
0
由此计算
x sin x 2
0 1 cos2 x dx.
0
证
(1)
设
0x2
2
t
dx dt
2 f (sin x)dx 0
0
2
f
sin
2
t
dt
2 f (cos t )dt 2 f (cos x)dx 证毕.
0
b
a f ( x)dx F (b) F (a),
(t) F[(t)],
(t) dF dx f ( x) (t) f [(t )](t),
dx dt
(t)是 f [ (t )] (t )的一个原函数.
f
[(t )](t )dt
()
(),
( ) a、( ) b,
( ) ( ) F[( )] F[( )]
0
定积分的换元法和分部积分法 若f ( x)在[0,1]上连续, 证明
(2) 0 xf (sin x)dx 2 0 f (sin x)dx
由此计算
0
1
x
sin cos
x
2
x
dx
.
证 设 x0 t dx dt
0
xf
(sin
x)dx
0(
t)
f
[sin(
t )]dt
0 ( t) f (sin t)dt
解 令x a sin t, dx a costdt.
x 0, t 0
x a,t 2
原式 a2
2 cos 2tdt a2
2
1 cos 2t
dt
1 a2
0
0
2
4
这是半径为a的四分之一的圆的面积.
定积分的换元法和分部积分法
a
1
dx (a 0)
0 x a2 x2
解 令 x a sint, dx a costdt
0 f (sin t)dt 0 xt f (sinxt)dxt
xf (sin x)dx
f (sin x)dx.
0
20
定积分的换元法和分部积分法
0
xf (sin x)dx
定积分的换元法和分部积分法
例 x4 sin xdx 0
5 5
x
x3 sin2 4 2x2
x
dx 1
0
1 4 x2dx 2 1 4 x2dx
1
0
例6
计算
1
2x2 x cos x dx.
1 1 1 x2
解
原式
1
1
1
2x2 1
x2
dx
1
1
x cos x 1 1 x2
dx
一、换元公式
定理 假设
（1） f ( x)在[a,b]上连续；
（2）函数 x (t)在[ , ]上有连续导数；
（3）当t 在区间[ , ]上变化时， x (t) 的值 在[a,b]上变化，且 ( ) a、 ( ) b ，
则
有 b a
f
(
x
)dx
f [ (t)] (t)dt .
证 设F ( x)是 f ( x)的一个原函数，
注
在用3“凑 ”1 微3分的方法
不明显地写出
时, 新的变量
t
,
定积分的上、下限就不要变.
定积分的换元法和分部积分法
或
2 sin3 xdx
2 sin2 x sin xdx
0
0
2 (1 cos2 x)dcos x
0
[cos x
1 cos3
2
x]
2
3
03
例 a a2 x2dx (a 0) 0
x0t0
x a t
2
原式
2
0
a
sin
t
a cost a 2 (1
sin2
t
)
dt
1
2
20
sin t cost cos t sin t sin t cos t
dt
1 2
2 0
1
cos t sin t
sin t cos t
dt
1 2
2
1 ln sin t
2
cos t
2 0
4
.
定积分的换元法和分部积分法
换元积分 还可以证明一些定积分等式, 通常 由被积函数的变化和积分区间变化来确定变换.
几个关于奇、偶函数及周期函数的定积分
的例子.
例 设f ( x)在区间[a, a]上可积,则
a
a
f ( x)dx [ f ( x) f ( x)]dx
a
0
证
由于
a
f ( x)dx
0
f (t)dt
a f (xt)dxt
a
a
0
a
a
f ( x)dx [ f ( x) f ( x)]dx
a
0
利用这一结果计算:
4
4
cos 1 e
x
x
dx
4
0
cos x 1 e x
cos x 1 ex
dx
4 cos xdx
0
2 2
定积分的换元法和分部积分法
由
a
f ( x)dx