第二讲电场强度计算续高斯定理
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电力线特点
E = dΦn ds
dΦn ds
◎起始于正电荷或无穷远，终止于负电荷或无穷远。
◎任何两条电力线不相交。
◎电力线疏密的不同，反映出场强强弱的不同。
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二、电通量
●通过某一曲面的电力线数，叫通
过这一曲面的电通量。记为“Φe”.
电通量的计算
KG
设电场为非均匀。则
dΦ
K
e
=G E ⋅ dS
∫ Φ e =
⎧0 (−∞ < x < 0) +σ
E
=
⎪⎪ σ
⎨ ⎪
ε
0
(0 ≤ x ≤ d)
⎪⎩0 (d < x < ∞)
证明：
d
-σ
+σ+ --σ
+-
+-
X
++-
+O+ - X
d
5
证明：
⎧0 (−∞ < x < 0)
E
=
⎪⎪ σ
⎨ ⎪
ε
0
(0 ≤ x ≤ d)
⎪⎩0 (d < x < ∞)
+σ
-σ
X
d
σ
σ
2ε 0
例3：电荷q 均匀地分布在半径为R的圆环上，求圆环
{ 中心轴线上距离环心为x的任一点 p 的场强。
解：分割带电体，取dl : dq = λdl
λ
dE
=
dq
4πε0r 2
=
λdl 4πε0r 2
dE// = dE cosθ
dE⊥ = dE sinθ
=q
2π R
E⊥ = 0
Y dl
R
O Z
∫ E = E//
+ ++++ + + ++ + +++ + +++++ + ++++
++ +++
+++
++ +++
+++
+ ++ ++ + ++
+
+++ +++
+++ +++
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2.以轴线为中心，作半径为r的圆柱形高斯面S
v∫ ∫ ∫ ∫ K G
KK
KK
KK
E ⋅ dS = E ⋅ dS + E ⋅dS + E ⋅dS
S
K KS上
S下
S侧
∫= E ⋅dS = E ⋅ S侧 = E ⋅ 2π rl S侧
+ + + S上
∑ = 1
ε0
qi
S内
= 1 λl ε0
l
K E=
λ
rˆ
(R ≤ r < ∞)
2πε 0 r
+ + +r
+++ +++
◎柱外电场等效于轴线处的无限长带电直线的场。
S侧 S下
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3.在圆柱内作半径为r的圆柱形高斯面S
22
E 4π
r2
=
1
ε0
⋅
q
(4 / 3)π
R3
⋅
4 π r3
3
E(r)
K E
=
qr
4πε 0 R3
rˆ
(0 ≤ r < R)
R
r
K E (r)
=
⎧
⎪⎪ ⎨ ⎪ ⎪⎩
q
4πε 0
qr
4πε 0
r2 R3
rˆ" ( R rˆ" (0
< ≤
r r
< <
∞) R)
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例3：求无限大带电平面的电场。设电荷面密度为σ.
+++ S下
+++
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圆柱体内、外电场分布：
K E(r)
=
⎧ ⎪⎪ ⎨ ⎪
λr 2πε 0 R 2
λ rˆ
rˆ
⎪⎩ 2πε0r
(0 ≤ r < R) (R ≤ r < ∞)
E(r)
r
R
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S En+2 ⋅ dS +"+ E ⋅ Sn+K n+k
K dS
∑ = q1
ε0
+ q2
ε0
+"+ qn
ε0
+ 0 +"+ 0
=1
ε0
n
qi
i =1
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3.连续带电体
带电体是点电荷的集 合。同样可证明高斯 定理的结论。
定理证毕！
+++++++++
+++Q+++1+++++++
S
●穿出任一闭合曲面的电通量Φe等于该曲面所包围
K E(r)
解：由对称性分析知，该带电球 的电场是以O为中心的球对称电场.
1.球外电场：作半径r的高斯球面
+
+
+q
R O
+ +
(R ≤ r < ∞)
v∫ ∑ 依高斯定理：
KG E ⋅ dS
S
=
1
ε0
qi
S内
r+++
v∫ ∑ v∫ E cos0dS = 1
S
K E (r)
=
ε0 q
4πε 0 r 2
S内
S面内电荷代数和
●高斯定理是说明静电场基本性质的方程 —静电场是有源场
当S面内只有正电荷,Φe > 0, 从S面内发出正通量; 当S面内只有负电荷,Φe < 0, 有通量进入S面内.
正电荷称为源头,负电荷称为负源头（尾闾）
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四、利用高斯定理计算具有对称性的电场
若某个电场可以找到这样的高斯面，面上的场强处
⎪
⎨q
⎪⎩ 4πε 0r2
rˆ " ( R
≤
r
<
∞)
E(r) R
r
◎球外电场等效于电量集中于球心的点电荷的场。
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例2：求半径为R、均匀带电q的球体的电场分布。 解：将球体分成许多薄球壳. ◎球内外场为球对称分布
1.球外电场：等同于均匀带电球壳的球外电场
v∫ 由高斯定理得 E d S
K E (r)
qn+1,qnK+2, "K qn+k k个电荷
∫ Φe =
E ⋅ dS
KS K
KK
∫=
S
(E1 K
+
E2 K
+
"+ K
En+k
)
⋅
dS
q1 +
-
GK
q+4
+ q2
q3
q5-
S
=
∫∫ ∫∫ ∫ ∫ +
S S
E1 ⋅
K En+1
dS +
K ⋅ dS +
S E2 ⋅ dS + " +
K
Sn
En
⋅ dS G
4πε 0 R 2
dS
S
K
dS
q
K E
+
S
=
q
4πε 0 R 2
⋅ 4πR 2
=
q
ε0
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三、高斯定理
●穿出任一闭合曲面的电通量Φe等于该曲面所包围
∫ ∑ 无的关所。有电荷Φ的e代=数S和EK 除⋅ d以SG ε=0，ε1而0 S与面内闭q合i 面外的电荷
v∫ 例：如右图 K G
Φe =
E ⋅ dS
2
−θ0
2
dE cosθ
=
q
4πε a2
sin(θ0 / 2) θ0 / 2
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例：一带电细棒被弯成半圆型，上半部均匀带+Q电 荷，下半部均匀带-Q电荷，半径为R,求圆心O处的
电场强度的大小和方向。
分析：利用上一例的结果，先分别求 +Q、-Q 产生
的电场强度，再矢量迭加
E+
=
E−
=
Q
4πε R2
sin(π / 4) (π / 4)
E ⋅ dS
S
通过封闭曲面的电通量
KG
K
∫ Φe =
E ⋅ dS
S
E
规定面积正法线由曲面指向外
E = dΦn
ds
K dS
K E
q
+
S
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例：球面内有一点电荷q，求通过此球面的电通量。
E
=
q
4πε 0 R 2
●E是球面上的电场强度.
Φe
=
v∫S
K E
⋅
G dS
=
v∫S
q
4πε 0
R
2
dS
v∫ = q
E
