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静电场高斯定理

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静电场的高斯定理

静电场的高斯定理
向平面）。
例7-10 求电荷呈“无限长”圆柱形轴对称均匀分布时 所激发的电场强度。
解：电场分布也应有柱对称性，方向沿径向。 作与带电圆柱同轴的圆柱形高斯面,
高为h,半径为r
•当r>R 时，
sE dS 侧面 E dS E 2 r h 为什么?
r h
E 2 r h h 0
P点的场强
E 2 0 r
1
0
d V
V
关于高斯定理的几点讨论
以上是通过用闭合曲面的电通量概念来说明高斯 定理，仅是为了便于理解而用的一种形象解释， 不是高斯定理的证明
高斯定理是在库仑定律基础上得到的，但是前者 适用范围比后者更广泛。后者只适用于真空中的 静电场，而前者适用于静电场和随时间变化的场， 高斯定理是电磁理论的基本方程之一。
③ 场源电荷为无限长均匀带电直线、均匀带电直圆柱面、直 圆柱体或同轴导体圆筒等，则电场的分布具有柱对称性。
(2) 选取高斯面
用高斯定理求场强时，选取恰当的高斯面是解题的关键。
选取高斯面的原则：
① 选取的高斯面必须通过所考查的场点。 ② 应使高斯面上各点的场强大小相等， 方向与该处面元 的
法线平行(这样则可将Ｅ提到积分号外，只对面积积分)； 或者使高斯的部分面上各点场强大小相等，方向与 的法线 平行，另一部分面上各点场强为零或场强的方向与面元的 法线垂直(即通过这部分的Ｅ通量为零)。
高斯定理解题步骤： 总结
(1)分析电场的对称性
根据题意画出示意图，分析电场的分布情况 (最好画出电场 线)，看是否具有某种特殊的对称性，这可从产生电场的场 源电荷的分布看出。
常见的情况有以下几种：
① 场源电荷为均匀带电球面、均匀带电球体、同心的均匀带 电导体球壳等，则电场的分布具有球对称性；

静电场 高斯定理

静电场 高斯定理

q q Ua U U ( ) 4 0 r1 r2 q r2 r1 4 0 r1r2
当a点很远时r>>L，则r1≈r2≈r，
1
q L cos 1 P cos Ua 2 4 0 r 4 0 r 2
r2 r1 r cos
电偶极子轴线上的场强（电势梯度法） 电偶极子电场中的电势： 轴线延长线上的电势：
有电介质存在时的高斯定理的应用
（1）分析自由电荷分布的对称性，选择适当的高斯面 ，求出电位移矢量。 （2）根据电位移矢量与电场的关系，求出电场。 （3）根据电极化强度与电场的关系，求出电极化强度。 （4）根据束缚电荷与电极化强度关系，求出束缚电荷。
非极性分子
E0
极性分子
E0
电极化强度（偶极矩密度）
1、电极化强度：
其中 pei 是第i个分子的电偶极矩
单位是[库仑/米2]、[C/m2].
def P lim
V
pei
i
V
以下将电极化强度矢量简称为极化强度 束缚电荷就是指极化电荷。
电介质的极化规律
在外电场 E0中，介质极化产生的束缚 电荷，在其周围无论介质内部还是外 部都产生附加电场 E ' 称为退极化场。
i
②极性分子 在无外场作用下存在固有电矩 因无序排列对外不呈现电性。 当有电场作用时，极性分子发 生偏转。
在外电场中的电介质
E0
E0
l
无外场下，所具有的电偶极矩称为固有电偶极矩。 在外电场中产生感应电偶极矩。
极化电荷
在外电场中，均匀介质内部各处仍呈电中性， 但在介质表面要出现电荷，这种电荷不能离开电 介质到其它带电体，也不能在电介质内部自由移 动。我们称它为束缚电荷或极化电荷。

电通量真空中静电场的高斯定理

电通量真空中静电场的高斯定理

高斯定理的适用范围
真空环境
高斯定理适用于真空中静电场的情况，即没有电流和 变化的磁场。
静态场
高斯定理适用于描述静态场，即电场不随时间变化的 情况。
远场近似
对于远处的观察者或大尺度的空间区域，高斯定理提 供了一种近似描述电场分布的方法。
02 电通量与静电场的关系
电通量的概念
电通量是电场中穿过某一封闭曲面内 的电场线数，表示电场分布的强度和 方向。
详细描述
首先，根据微积分基本定理，电场E可以表示为电势V的负梯度，即E=-grad(V)。然后，对任意闭合曲面S 的体积分，有∫∫∫E⋅dV=∫∫(E⋅dS)⋅dV=∫∫∫grad(V)⋅dV=∫∫∫dV=∫∫V⋅dS。由于E⋅dS的方向与dS的方 向相同，因此高斯定理成立。
证明方法二：利用高斯公式
05 高斯定理的推广
推广到非均匀电场
总结词
在非均匀电场中，高斯定理的应用范围得到 扩展，可以描述电场分布的不均匀性。
详细描述
在非均匀电场中，电场线不再是均匀分布， 而是呈现出复杂的空间变化。高斯定理通过 引入电通量密度概念，能够准确描述这种非 均匀分布的电场特性。
推广到非线性电场
总结词
高斯定理在非线性电场中同样适用，可以描 述电场随空间和时间变化的非线性行为。
高斯定理是静电场的基本定理之一，它表明穿过任意封闭曲面的电通量等于该曲面 所包围的电荷量。
电通量与静电场的关系是相互依存的，电通量的计算需要依赖于静电场的分布，而 静电场的分布又受到电荷分布的影响。
03 高斯定理的证明
证明方法一：利用微积分基本定理
总结词
通过微积分基本定理，将电场分布表示为电势函数的梯度，再利用积分性质证明高斯定理。

静电场-高斯定理

静电场-高斯定理
感谢观看
电容器极板间电场分布
极板间相互作用力计算
理介
第 推质
四 章
广中 及高 应斯用定Fra bibliotek电介质极化现象及极化强度矢量引入
为了描述电介质极化 的程度和方向，引入 极化强度矢量P，其 大小与电偶极矩成正 比，方向由负电荷指 向正电荷。
在电场作用下，电介质内部正负电荷中心发生相对 位移，形成电偶极子，从而产生宏观上的电极化现 象。
高斯定理是电磁学中的基本定理之一，它表述了静电场中电场强度与电荷分布之间的关系。
高斯面选取原则及技巧
高斯面选取应遵循简单、对称、便于计算等原则。
02
在实际问题中，常根据电荷分布和电场强度的对称性来选取高斯面，以便简化计算。
03
高斯面的形状和大小应根据具体问题灵活选择，可以是平面、球面、柱面等。
高斯定理物理意义阐释
高斯定理反映了静电场的空间分布特性，即电场 强度与电荷分布之间的定量关系。
高斯定理为求解复杂静电场问题提供了一种有效 的方法，即通过选取适当的高斯面来简化计算。
高斯定理揭示了静电场的有源性，即静电场是由 电荷产生的。
高斯定理在电磁学中的地位
高斯定理是电磁学四大基本定理之一，是静 电场理论的基础。 高斯定理在电磁学中具有重要的地位，它不 仅适用于静电场，还可推广应用于恒定电场、 恒定磁场以及时变电磁场等领域。
要点一
麦克斯韦方程组
麦克斯韦方程组是描述电磁场基本规律的方程组，包括高斯定理、 安培环路定律、法拉第电磁感应定律和麦克斯韦-安培定律。
要点二
高斯定理在麦克斯韦方程组中的地 位
高斯定理是麦克斯韦方程组中的重要组成部分，它描述了电荷分 布与电场之间的关系，为电磁场理论奠定了基础。

静电场中的高斯定理

静电场中的高斯定理

静电场中的高斯定理：高斯定理是静电学中的一个重要定理, 它反映了静电场的一个基本性质, 即静电场是有源场, 其源即是电荷。

可表述为: 在静电场中, 通过任意闭合曲面的电通量, 等于该闭合曲面所包围的电荷的代数和的1/ε倍, 与闭合曲面外的电荷无关。

表达式为01()1/n i i S E ds q φε==∙=∑⎰⎰ （1）高斯定理是用来求场强E 分布, 定理中, S 是任意曲面, 由于数学水平的限制, 要由高斯定理计算出E,则对由场的分布有一定的要求, 即电荷分布具有严格的对称性( 若电荷分布不对称性即不是均匀的, 引起电场分布不对称, 不能从高斯定理求空间场强分布,高斯定理当然仍是成立的) , 由于电荷分布的对称性导致场强分布的对称性, 场强分布的对称性应包括大小和方向两个方面。

典型情况有三种:1) 球对称性, 如点电荷, 均匀带电球面或球体等;2) 轴对称性, 如无限长均匀带电直线, 无限长均匀带电圆柱或圆柱面, 无限长均匀带电同轴圆柱面3) 面对称性, 如均匀带电无限大平面或平板,或者若干均匀带电无限大平行平面。

根据高斯定理计算场强时, 必须先根据电荷分布的对称性, 分析场强分布的对称性; 再适当选取无厚度的几何面作为高斯面。

选取的原则是:○1 待求场强的场点必须在高斯面上;○2 使高斯面的各个部分或者与E 垂直, 或者E 平行;○3 与E 垂直的那部分高斯面上各点的场强应相等;○4 高斯面的形状应是最简单的几何面。

最后由高斯定理求出场强。

高斯定理说明的是通过闭合曲面的电通量与闭合曲面所包围的所有电荷的代数和之间的关系, 即闭合曲面的总场强E 的电通量只与曲面所包围的电荷有关, 但与曲面内电荷的分布无关。

但闭合曲面上的电场强度却是与曲面内外所有电荷相联系的,是共同激发的结果。

下面举一些例子来说静电场中高定理的应用：例1：一半径为R 的带电球体，其电荷体密度分布为()Ar r R ρ=≤，0()r R ρ=>，A 为大于零的常量。

高斯定理

高斯定理

λ
∑q
r
∑ q = λh
φ = ∫∫S EdS cosθ =
φ左底 = φ右底 = 0
φ = φ左底 + φ侧 + φ右底
ε0
h
Q E⊥dS , cosθ = 0
§4.高斯定理 / 五、解题方法及应用举例 高斯定理
φ = φ侧 = ∫∫侧 EdS cosθ
侧面上各点的场强 E 大小相等，方向 大小相等， 与法线相同。 与法线相同。
E = E+ − E− = 0
+σ
−σ
E+ E− E+
极板右侧
E = E+ − E− = 0
E+
E−
E−
两极板间
σ σ σ + = E = E+ + E− = 2ε 0 2ε 0 ε 0
§4.高斯定理 / 五、解题方法及应用举例 高斯定理
E
n
r
λ
φ = E ∫∫侧 dS
= E 2πrh =
∑q
ε0
λh = ε0
λ E= 2πε 0r
h
§4.高斯定理 / 五、解题方法及应用举例 高斯定理
例3：无限大带电平面，面电荷密度为 σ， ：无限大带电平面， 求平面附近某点的电场强度。 求平面附近某点的电场强度。 解：作底面积为 S ， 高为 h 的闭合圆柱面， 的闭合圆柱面， σ
S
r
ε0 σS 2ES = ε0 σ E= 2ε 0
§4.高斯定理 / 五、解题方法及应用举例 高斯定理
φ=
∑q
例4：两无限大带电平面（平行板电容 ：两无限大带电平面（ 器），面电荷密度分别为 +σ 和 −σ ， ），面电荷密度分别为 电容器内、外的电场强度。 求：电容器内、外的电场强度。 解：极板左侧

8-(2-3)静电场的高斯定理

§8-2 静电场的高斯定理
一、电场线
为了形象和直观地描述电场，在电场中画出的一系列 有指向的虚拟曲线，称为电场线。
（1）电场线描述电场
① E方向： 电场线各点的切线方向
② E大小：
E
电场线的疏密反映电场的强弱。
E lim e de 电 场 线 密 度 S0 S dS
电场线密度：（定量描述电力线疏密与电场的强弱的关系）
Φ e
E dS
S
1
ε 0
qi
（λ为沿轴线方向单位长度带电量）
解： r R 高
E dS
S
E dS E dS E dS
斯 面
r
S上
S下
S侧
l
E dS E 2πrl
S侧
E
q r 2l
E r
2 0
§8-3 静电场的环路定理 电势
一、电场力做功
b
Aab q0 E dl
θ
π
2
θ
π
2
Φ e
0
Φ e
0
[例]求均匀电场中一半球面的电通量。
nE
n
n
S1
oR
n
S2
Φ S1
E
dS
S1
E S2
Φ S1
EπR 2
三、高斯定理
在真空中的任意静电场中，通过任一闭合曲面S
的电通量e ,等于该闭合曲面所包围的电荷电量的
代数和除以0 而与闭合曲面外的电荷无关。
Φ e
E
S
dS
ε1 0
a
当带电体在静电场中移动时，静电场力对带电体
要作功，这说明静电场具有能量。
dA F dl q0 E dl q0E cosθdl

静电场103静电场的高斯定理

静电场103静电场的高斯定 理
contents
目录
• 静电场简介 • 高斯定理的推导 • 高斯定理的应用 • 静电场的物理意义 • 高斯定理的局限性
ห้องสมุดไป่ตู้ 01
静电场简介
静电场的定义
静电场是由静止电荷产生的电场，其 电场线不闭合、不发散，且与带电体 的位置和电量分布有关。
静电场的电场线起于正电荷或无穷远 ，终止于负电荷或无穷远，沿电场线 方向电势降低。
按空间分布分类
根据静电场的空间分布，可将静电场分为均匀静电场 和非均匀静电场。
按电场线特征分类
根据静电场的电场线特征，可将静电场分为标量场和 矢量场。
02
高斯定理的推导
电场线的引入
电场线
表示电场中电场强度分布的曲线，其 上的每一点的切线方向与该点的电场 强度方向一致。
电场线的特点
不闭合、不相交、不相切、终止于正 负电荷。
揭示了电场与电荷之间的内在联系， 是静电场的基本定理之一，对于研究 静电场的性质和规律具有重要的作用。
推导过程
基于库仑定律和电场叠加原理，通过 引入电场线，利用微积分的知识，逐 步推导出高斯定理。
03
高斯定理的应用
电场分布的确定
高斯定理
通过一个闭合曲面的电场线数，等于该曲面所包围的电荷量与一个电荷量单位 的比值。
应用
通过测量或计算某一闭合曲面内的电场线数，可以确定该闭合曲面内的电场强度 。
04
静电场的物理意义
静电场的能量分布
静电场的能量分布反映了电场中电场力做功的能力，即电场能密度。在静电场中 ，电场能密度与电场强度成正比，表示单位体积内的电场能。
电场能密度可以通过积分计算得到整个电场的总能量，对于了解和预测电场的行 为具有重要意义。

大学物理Ⅱ 高斯定理


P
l
e
E dS S
E dS
侧 E dS 上底 E dS 下底 E dS
侧 EdS E 侧 dS E 2r l
根据高斯定理得 E 2r l 1 l 0
E 2 0 r
用高斯定理求场强小结：
1 . 对称性分析
电荷分布对称性→场强分布对称性
点电荷 球对称性 均匀带电球面
均匀带电球壳
球体
轴对称性 柱对称
无限带电直线
无限带电圆柱 无限圆柱面 无限同轴圆柱面
无限大平面 面对称性 无限大平板
若干无限大平面
2. 高斯面的选择
①高斯面必须通过所求的场强的点。
②高斯面上各点场强大小处处相等，方向处处与该 面元线平行；或者使一部分高斯面的法线与场强方 向垂直；或者使一部分场强为零。
+ q+ +
+
0
R
r
高斯定理的应用
例2 均匀带电球体的电场。球半径为R，带电为q。
解：电场分布也应有球对称性，方向沿径向。
作同心且半径为r的高斯面
1）r R时 ，
E ds E ds
E 4r2
s
s
r
q
0
4 r3
3
0
q
4 R3
4 r3330E qr4 0R3
R
高斯面
高斯定理的应用
Φe前 Φe后 Φe下
s
E
dS
0
y
P
N
en
o
zM
en
E
en
Q
Rx
Φe左
s左
E
dS
ES左
cosπ
ES左
Φe右 s右E dS ES右 cos ES左

静电场的高斯定理


r
E1
dS
S
E1 4
r
2
R
面内电量 qi 0
用高斯定理求解：
E1 4 r2 0 E1 0
E
高斯面
44
2） r R
Φe S E2 dS
r
E2
dS
S
E2
4
r2
qi q
E2 4r 2 q 0
E
E2
q
40r 2
q
40 R2
O
R
E
1 r2
r
45
例题 求均匀带电球体的电场。（已知 q、R）
复习
库仑定律
F12
1 4πε0
q1q2 r122
e12
电场强度
F
E
q0
电场强度的计算
（1）点电荷的场强
E
1 4πε0
q r2
r0
(2) 场强叠加原理
E E1 E2 En
1
(3) 电荷连续分布的带电体的电场
E
dE
(q)
dq (q)4πε0r 2
r0
电荷分布
dq ρdV (体 分 布) dq σdS (面 分 布)
其余三个面上直接计算困难
考虑用 8 个这样的立方体 将点电荷拥在中心
其外表面上的通量为
Φ'e
E
S
由对称性
dS
q
03
e 24
q
0
•
39
4. 高 斯 定 理 的 应 用
Applications of Gauss’ Law
Φe
E dS
1
S
ε0
qi (内)
高斯定理的一个重要应用是：计算带电体
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q
0
高 斯 面
内
l
q
内
可得
E外
2 0 r
E
r
l
课堂练习：
求均匀带电圆柱体的场强分布，已知R，
rR
2 E 2rl r l 2 0 R
l r R E 2rl 0 r rR 2 2 0 R E r
dS E
电通量=味道；闭合曲面=包子皮； 电量的代数和=馅
q
2、定理的验证 ⑴ 点电荷的电场 a、点电荷位于闭 球面中心
+
r
e E dS S
S
q 4 0 r
2
2
r0 dS
q 4 0 r
2
dS
S

q 4 0 r
2
4r
r R时
e E1 dS
电通量
E 具有球对称
作高斯面——球面
E1 dS E1 4r 2
电量
qi 0
s1
用高斯定理求解 2 E1 4r 0 E1 0
+ R r + + + + + +
+
+ +
+ q + + + + +
E
r R时
4、高斯定理的意义 ⑴ 反映了静电场是有源场 ⑵ 在电荷分布具有特殊对称性时，可利用高 斯定理求解场强分布
5、理解上的注意点 ⑴ E、q、φe是三个不同的物理量 ⑵ E与φe的关系为φe＝∮E· dS ⑶ q与φe的关系为φe＝∑q/ε0 ⑷ φe＝0只说明Σq内＝0
⑸空间任意点的场强都是所有电荷共同产生的
qj
＋ q1
e1 e 2 en ei ei
i 1 i 1
n
j k 1

n
ej

k k e E dS Ei dS ei S
j k 1


n
ej

j k 1 s
2
例：有一无限长的均匀带电直线， 单位长度上的电量为λ，求该带 电直线产生的电场对一半径为 R 的同轴圆柱面的通量。
已知E

R
l
E
解： S闭合 ＝S上 ＋S下 ＋S侧
2 0 r
m
m
S上
S下 0 0 E侧 dS
S侧
E
上
E dS dS E
S
下
dS E侧 dS
S侧
E
S侧
侧
cos0 dS

1 2Rl l 20 R 0
二、高斯定理 1、定理内容 在真空中的任意静电场内，通过任一闭合曲面S的电 通量e ,等于该闭合曲面所包围的电荷电量的代数和除 以0 而与闭合曲面外的电荷无关。
1 e E dS

q
均匀带电球体电场强度分布曲线
E
q 4 0 R 2
E
R
O
R
r
如果电荷在球体内非均匀分布
ε (r )
其分析的思路和计算方法上有哪些差异？
例3. 求均匀带电无限大平面的电场，已知
解: E具有面对称 高斯面:柱面 e E dS E dS E dS E dS
E= ΔΦe/ ΔS⊥
电场线上任意点的切线方向与该点处电场强度的方向一致;电 场中任意点附近的电场线密度与该点处电场强度的大小相等.
⑵电场线的特征
(i)由正电荷出发，不中断、不闭合，止于负电荷或无穷远; (ii)任意两条电场线都不相交.
2、电通量（电场强度的通量） ⑴电通量的形象定义 电通量的定义：通过电场中任意给定面积S的电场线 数叫做通过该面积的电场强度通量， 简称电通量Φe
1 ES1 ES2 0 S 0 1 E 2 ES S
S1 S2 S侧
高斯面
S2
S
0
E
E 2 0
S侧
σ
S1
例4. 均匀带电圆柱面的电场。沿轴线方向单位长度 带电量为 高
解：场具有轴对称 高斯面：圆柱面 (1) r <R e E dS E dS E dS E dS
上节回顾
已知电荷分布求场强分布函数的思路和步骤 1、画示意图、选电荷元 dq dl、dS或dV 2、确定dq产生的dE的大小和方向 3. 建立坐标，将 dE 投影到坐标轴上
dE x、 dE y、dE z
4. 根据几何关系和已知条件选择并统一积分变量 5. 通过积分计算出结果并加以分析 典型结果
0
0
V
其中divE E
E dS divEdV
s V
divE
1
算符＝ i j k x y z
0
e
——电场强度的散度
E 0 该矢量场有源 e 0 E＝0 该矢量场无源 e 0
+q
e 0
E dS 0
s
P qn qi qk
k
⑵ 点电荷系的电场
e E dS S E1 dS E2 dS En dS
s S s
E E1 E2 En
q E r 3 4 0 r 1
E Ey 2 0a
E Ey cos 1 2 0a E＝ 2 0
§9－2 静电场的高斯定理
一、电场线与电通量 1、电场线(在电场中假想的一系列曲线) ⑴画电场线的原则
画电场线时有如下规定：使穿过垂直于场强方向的面元ΔS⊥的 电场线条数ΔΦe与该面元的比值等于场强大小，即：


n
E j dS 0
i 1 S i 1
1
0
q
i 1
k
1
i
0
q
内
3、高斯定理的微分形式 若高斯面内，电荷连续分布，则： 1 1 e E dS q内 e dV
s
利用矢量分析的奥-高公式(Ostrovski-Gauss formula)
4 3 qi 4 3 3 r R 3 3 q
q
E
R
S1
场强 E
1 qr E 4r 3 R 0 qr
2
r
高斯面
4 0 R
3
r
q
内
S2
在r＞R区域，作高斯面 S2 电通量 e E dS E 4r 2 2 q E 4r q 0 E 4 0 r 2
S
n n
E
n
s

E
E

均匀电场
e ES

S
s
S S cos ; e ES cos E S
非均匀电场 闭合曲面
ds
e d e E dS
s s
e

s
E dS

s
E cos dS
几种常见电场的电场线
正电荷
负电荷
均匀电场
e E2 dS E2 dS E2 4r 2
qi q
E2
s2
q
E 2 4r q 0
2
2
场强分布曲线
4 0 r
E
q 4 0 R 2
1 r2
+ + R r O + + + q + + + + + +
+
+ +
+
E
O
R
r
例2. 求均匀带电球体的电场。已知q,R 解：在r<R 区域，作高斯面S1 e E dS E 4r 2
q2
2．如图 讨论 移动两电荷对场强及通量的影响
0 q e 24 0
q1
课堂练习
n
n
O
E
S1
求均匀电场中一半球面的电通量。
S n
S2
1
E dS
S1
R

n
S1
E cosdS
S1
EdS

E S2
S1 S 2 ER
q
0
q 0 e 0 q 0 e 0
与球面半径无关，即以点电荷q为中心的任一球面， 不论半径大小如何，通过球面的电通量都相等。 b、点电荷位于闭曲面内任意点 若q不在球面中心，积分值不变。 若封闭面不是球面，积分值 不变。 q
+q
即：
E dS
s
0
c、点电荷在闭曲面外 因为有几条电力线进面 内必然有同样数目的电力 线从面内出来。
即：de E dS E cos dS EdS
对有限曲面S的通量： e E dS
s
对闭合曲面S的通量： e

s
E dS
闭合曲面的法线n正方向统一指向闭合曲面的外侧。
⑶电通量的计算
n
在已知场强分布函数的条件 下，计算给定曲面 S的电通量的 方法如下：

E
平行板
+
+
+
电偶极子的电场线 一对等量正点电荷的电场线 ⑶由电场线看静电场的特征 有源场 唯一性