北师大版数学一次函数考点归纳及例题详解

【函数与变量】在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量，有些量的数值是始终不变的，我们称它为常量，如圆的面积2S r π=，S 与r 是变量，π是常量注意：在某一变化过程中，变量、常量都可能有多个。

常量可以是一个实数，也可以是一个代数式（数值始终保持不变） 【函数的概念】一般地，设在一个变化过程中有两个变量x 和y ，并且对于x 在它允许取值范围内的每一个值，y 都有唯一的值与它对应，那么就说x 是自变量，y 是x 的函数。

（实际上，函数说的就是y 是怎么样随着x 的变化而变化的，也可以管y 叫x 的变化规律）对函数概念的理解： （1）有两个变量（2）一个变量的数值随着另一个变量的变化而变化（3）自变量每确定一个值，函数有一个并且只有一个值与之对应（或多个x 的值可以对应一个y 值但不能一个x 值对应多个y 值，如y=x 2和x 2=y ）(4) 我们习惯上设y 为函数，但不表示其它字母不可以作为函数，如s=vt x=6y (5)我们在写函数的时候把函数写在等号的左边，把自变量写在等号的右边例：y=2x-1 例：下列变量之间的关系不是函数关系的是（ B ）A 、长方形的宽一定，其长与面积B 、正方形的周长与面积C 、等腰三角形的底边与面积D 、球的体积与球的半径 【函数的表示方法】（1）列表法：通过列出自变量的值与对应函数值的表格来表示函数关系的方法叫列表法。

优点：能明显地呈现出自变量与对应的函数值缺点：只能列出部分自变量与函数的对应值，难以从表格中看出自变量与函数之间的对应规律 （2）解析法：用数学式子表示函数的方法叫解析法。

优点：简明扼要，规范准确，便于分析推导函数的性质 缺点：有些函数关系，不能用解析式表示（3）图像法：对于一个函数，把自变量与函数的每组对应值作为点的横纵坐标在直角坐标系中画出来 ，由这些点组成的图形叫这个的图像优点：形象直观，能清晰呈现函数的一些性质缺点：所画的图像是近似的，局部的，从图像上观察的结果也是近似的 【函数图像的意义】一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横坐标与纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形就是函数的图像。

求 x 的值，可以借助图象找点的横坐标.
4.4 一次函数的应用
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考
典例3 如图，直线 y =ax +b（a≠0）过点A（0，1），
点
清 B（2，0），则关于 x的方程 ax+b=0 的解为 _______.
单
解
读
［答案］ x=2
4.4 一次函数的应用
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重 ■题型一 借助两个一次函数图象解决问题
将（1，40）代入，得 m=40，所以 L2 的表达式为
s=40t；
4.4 一次函数的应用
（2）根据题意，得-60t+300=40t，解得 t=3.
重
难
答：两辆火车行驶 3 h 时相遇；
题
型
（3）由题意，得相遇前相距 100 km：-60t+300突
破 40t=100，解得 t=2；
相遇后相距 100 km：40t-（-60t+300）=100，解得
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归纳总结
考
点
从图象上获取信息可以从两个方面去分析：（1）根据函
清
单 数图象可判断函数类型；（2）从横轴、纵轴的实际意义去
解
读 理解函数图象上点的坐标的实际意义，进而结合所学知识解
决实际问题．
4.4 一次函数的应用
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对点典例剖析
考
点
典例2 如图所示的是某种蜡烛在燃烧过程中高度与时间
清
单 之间关系的图象，此蜡烛经过 ____ h 燃烧完毕．
函数；
（2）画图象：画出一次函数的图象；
（3）找交点：找出一次函数的图象与 x
轴交点的横坐标，即为一元一次方程的解

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一次函数一．知识回顾（一）函数1、变量：在一个变化过程中可以取不同数值的量。

常量:在一个变化过程中只能取同一数值的量.2、函数：一般的，在一个变化过程中,如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值,y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把x称为自变量，把y称为因变量,y是x的函数.*判断Y是否为X的函数,只要看X取值确定的时候，Y是否有唯一确定的值与之对应3、定义域:一般的，一个函数的自变量允许取值的范围，叫做这个函数的定义域。

4、确定函数定义域的方法:(1）关系式为整式时，函数定义域为全体实数；（2)关系式含有分式时，分式的分母不等于零；（3）关系式含有二次根式时，被开放方数大于等于零；(4)关系式中含有指数为零的式子时,底数不等于零；（5）实际问题中，函数定义域还要和实际情况相符合，使之有意义.5、函数的解析式：用含有表示自变量的字母的代数式表示因变量的式子叫做函数的解析式6、函数的图像一般来说，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象．7、描点法画函数图形的一般步骤第一步：列表（表中给出一些自变量的值及其对应的函数值);第二步：描点（在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标,相应的函数值为纵坐标,描出表格中数值对应的各点）；第三步：连线（按照横坐标由小到大的顺序把所描出的各点用平滑曲线连接起来）。

北师大版八年级上册数学第 18 讲《一次函数全章》知识点梳理【学习目标】1.了解常量、变量和函数的概念，了解函数的三种表示方法（列表法、解析式法和图象法），能利用图象数形结合地分析简单的函数关系.2.理解正比例函数和一次函数的概念，会画它们的图象，能结合图象讨论这些函数的基本性质，能利用这些函数分析和解决简单实际问题.3.通过讨论一次函数与方程（组）及不等式的关系，从运动变化的角度，用函数的观点加深对已经学习过的方程（组）及不等式等内容的再认识.4.通过讨论选择最佳方案的问题，提高综合运用所学函数知识分析和解决实际问题的能力.【知识网络】选择方案要点一、函数的相关概念一般地，在一个变化过程中. 如果有两个变量x 与y ，并且对于x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x 是自变量，y 是x 的函数.y 是x 的函数，如果当x ＝a 时y ＝b ，那么b 叫做当自变量为a 时的函数值.函数的表示方法有三种：解析式法，列表法，图象法.要点二、一次函数的相关概念一次函数的一般形式为y =kx +b ，其中k 、b 是常数，k ≠0.特别地，当b ＝0 时，一次函数y =kx +b 即y =kx （k ≠0），是正比例函数.要点三、一次函数的图象及性质1、函数的图象如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象.要点诠释：直线y =kx +b 可以看作由直线y =kx 平移| b |个单位长度而得到（当b ＞0 时，向上平移；当b ＜0 时，向下平移）.说明通过平移，函数y =kx +b 与函数y =kx 的图象之间可以相互转化.2、一次函数性质及图象特征掌握一次函数的图象及性质（对比正比例函数的图象和性质）要点诠释：理解k 、b 对一次函数y =kx +b 的图象和性质的影响：（1）k 决定直线y =kx +b 从左向右的趋势（及倾斜角α的大小——倾斜程度），b 决定它与y轴交点的位置，k 、b 一起决定直线y =kx +b 经过的象限．（2） 两条直线l 1 ： y = k 1 x + b 1 和l 2 ： y = k 2 x + b 2 的位置关系可由其系数确定： k 1 ≠ k 2 ⇔ l 1 与l 2 相交；k 1 = k 2 ，且b 1 ≠ b 2 ⇔ l 1 与l 2 平行； k 1 = k 2 ，且b 1 = b 2 ⇔ l 1 与l 2 重合； （3） 直线与一次函数图象的联系与区别一次函数的图象是一条直线；特殊的直线 x = a 、直线 y = b 不是一次函数的图象. 要点四、用函数的观点看方程、方程组、不等式【典型例题】 类型一、函数的概念1、下列说法正确的是：（ ）Ａ.变量 x , y 满足2x + y = 3 ，则 y 是 x 的函数； Ｂ.变量 x , y 满足| y |= x ，则 y 是 x 的函数； Ｃ.变量 x , Ｄ.变量 x , 【答案】A ；y 满足 y 2 = x ，则 y 是 x 的函数； y 满足 y 2 - x 2 = 1，则 y 是 x 的函数. 【解析】B 、C 、D 三个选项，对于一个确定的 x 的值，都有两个 y 值和它对应，不满足单值对应的条2x - 3 x ⎩⎩ 件，所以不是函数.【总结升华】理解函数的概念，关键是函数与自变量之间是单值对应关系，自变量的值确定后，函数值是唯一确定的. 举一反三：【变式】如图的四个图象中，不表示某一函数图象的是（ ）【答案】B ；2、求函数 的自变量的取值范围.【思路点拨】要使函数有意义，需 或 解这个不等式组即可.【答案与解析】 解：要使函数 有意义，则 x 要符合： 即：或2x -1 ≥ 0x -1解方程组得自变量取值是或.【总结升华】自变量的取值范围是使函数有意义的 x 的集合. 举一反三：【变式】求出下列函数中自变量 x 的取值范围（1） y = x +1 【答案】（2） y =x3x + 2|x -2| （3） y = +⎧x ≠ 0 解：（1）要使 y = x +1 有意义，需⎨x +1 ≠ 0 ，解得 x ≠0 且 x ≠－1；（2）要使 y = 3x + 2有意义，需⎧3x + 2 ≥ 0 ，解得 x ≥ - 2 且x ≠ 2 ；|x -2|⎨x - 2 ≠ 03 3 - 2x（3）要使y = +有意义，需⎧2x - 3 ≥ 0 ，解得x =3 .2x - 33 - 2x ⎨⎩3 - 2x ≥ 0 2类型二、一次函数的解析式3、已知y 与x - 2 成正比例关系，且其图象过点(3，3)，试确定y 与x 的函数关系，并画出其图象．【思路点拨】y 与x - 2 成正比例关系，即y =k (x - 2) ，将点(3，3)代入求得函数关系式.【答案与解析】解：设y =k (x - 2) ，由于图象过点(3，3)知k = 3 ，故y = 3(x - 2) = 3x - 6 ．其图象为过点(2，0)与(0，－6)的一条直线（如图所示）．【总结升华】y 与x 成正比例满足关系式y =kx ，y 与x －2 成正比例满足关系式y =k (x - 2) ，注意区别.举一反三：【变式】直线y =kx +b 平行于直线y = 2x -1，且与x轴交于点（2，0），求这条直线的解析式. 【答案】解：∵直线y =kx +b 平行于直线y = 2x -1∴k = 2∵与x 轴交于点（2，0）∴①将k ＝2 代入①，得b =-4∴此直线解析式为y = 2x - 4 .类型三、一次函数的图象和性质4、已知正比例函数y =kx （k ≠0）的函数值y 随x 的增大而减小，则一次函数y =x +k 的图象大致是图中的（）．【答案】B；【解析】∵ y 随x 的增大而减小，∴k ＜0．∵y =x +k 中x 的系数为1＞0，k ＜0，∴经过一、三、四象限，故选B．【总结升华】本题综合考查正比例函数和一次函数图象和性质，k ＞0 时，函数值随自变量x 的增大而增大．举一反三：【变式】已知正比例函数y =(2m -1)x 的图象上两点A( x1,y1), B( x2, y2)，当x1<x2时, 有y 1 >y2, 那么m 的取值范围是( )A．m <1B．m >1C．m < 2D．m > 0 2 2【答案】A；提示：由题意y 随着x 的增大而减小，所以2m -1 < 0 ，选A 答案.类型四、一次函数与方程（组）、不等式5、如图，平面直角坐标系中画出了函数y =kx +b 的图象．（1）根据图象，求k 和b 的值．（2）在图中画出函数y =-2x + 2 的图象．（3）求x 的取值范围，使函数y =kx +b 的函数值大于函数y =-2x + 2 的函数值．【思路点拨】（3）画出函数图象后比较，要使函数y =kx +b 的函数值大于函数y =-2x + 2 的函数值，需y =kx +b 的图象在y =-2x + 2 图象的上方.【答案与解析】解：（1）∵直线y =kx +b 经过点（－2，0），（0，2）．∴解得∴y =x + 2 ．（2）y=-2x+2经过（0，2），（1，0），图象如图所示．（3）当y =kx +b 的函数值大于y =-2x + 2 的函数值时，也就是x + 2 >-2x + 2 ，解得x ＞0，即x 的取值范围为x ＞0．【总结升华】函数图象在上方函数值比函数图象在下方函数值大.举一反三：【变式】（2015•武汉校级模拟）已知一次函数y=kx+b 的图象经过点（3，5）与（﹣4，﹣9）．（1）求这个一次函数的解析式；（2）求关于x 的不等式kx+b≤5 的解集．【答案】解：∵一次函数y=kx+b 的图象经过点点（3，5）与（﹣4，﹣9），∴，解得∴函数解析式为：y=2x﹣1；（2）∵k=2＞0，∴y 随x 的增大而增大，把y=5 代入y=2x﹣1 解得，x=3，∴当x≤3 时，函数y≤5，故不等式kx+b≤5 的解集为x≤3．类型五、一次函数的应用6、（2015•黔西南州）某地为了鼓励居民节约用水，决定实行两级收费制，即每月用水量不超过12 吨（含12 吨）时，每吨按政府补贴优惠价收费；每月超过12 吨，超过部分每吨按市场调节价收费，小黄家1 月份用水24 吨，交水费42 元．2 月份用水20 吨，交水费32 元．（1）求每吨水的政府补贴优惠价和市场调节价分别是多少元；（2）设每月用水量为x 吨，应交水费为y 元，写出y 与x 之间的函数关系式；（3）小黄家3 月份用水26 吨，他家应交水费多少元？【答案与解析】解：（1）设每吨水的政府补贴优惠价为a 元，市场调节价为b 元．根据题意得，解得：．答：每吨水的政府补贴优惠价为1 元，市场调节价为2.5 元．（2）∵当0≤x≤12 时，y=x；当x＞12 时，y=12+（x﹣12）×2.5=2.5x﹣18，∴所求函数关系式为：y= ．（3）∵x=26＞12，∴把 x=26 代入 y=2.5x ﹣18，得：y=2.5×26﹣18=47（元）．答：小英家三月份应交水费 47 元．【总结升华】本题考查了一次函数的应用，题目还考查了二元一次方程组的解法，特别是在求一次函数的解析式时，此函数是一个分段函数，同时应注意自变量的取值范围． 举一反三：【变式】一报刊销售亭从报社订购某晚报的价格是每份 0.7 元，销售价是每份 1 元，卖不掉的报纸还可以以 0.20 元的价格返回报社，在一个月内（以 30 天计算），有 20 天每天可卖出 100 份，其余 10 天，每天可卖出 60 份，但每天报亭从报社订购的份数必须相同，若以报亭每天从报社订购报纸的份数为 ，每月所获得的利润为 ．（1） 写出 与 之间的函数关系式，并指出自变量 的取值范围；（2） 报亭应该每天从报社订购多少份报纸，才能使每月获得的利润最大？最大利润是多少？【答案】解：（1）．类型六、一次函数综合7、如图所示，直线l 1 的解析表达式为 y = -3x + 3 ，且l 1 与 x 轴交于点 D ，直线l 2 经过 A 、B 两点， 直线l 1 、l 2 交于点 C ．(1) 求点 D 的坐标； (2) 求直线l 2 的解析表达式； (3) 求△ADC 的面积；(4) 在直线l 2 上存在异于点 C 的另一点 P ，使得△ADP 与△ADC 的面积相等，请直接写出点 P 的坐标．⎨ ⎪ ⎨ ⎨ y = -3.【答案与解析】解： (1)由 y = -3x + 3 ，当 y ＝0，得-3x + 3 ＝0，得 x ＝l ．∴ D(1，0)．(2) 设直线l 2 的解析表达式为 y = kx + b ，由图象知， x = 4 ， y = 0 ； x = 3 ， y = - 3．2⎧4k + b = 0, 将这两组值代入，得方程组⎪33k + b = - . ⎩ 2⎧k = 3 ,解得⎪2⎪⎩b = -6. ∴ 直线l 2 的解析表达式为 y = 3x - 6 ．2⎧y = -3x + 3, (3) ∵ 点 C 是直线l 与l 的交点，于是有⎪312⎨ y = ⎩ x - 6. 2解得⎧x = 2,⎩ ∴ C(2，－3)． ∴ △ADC 的 AD 边上的高为 3． ∵ OD ＝1，OA ＝4， ∴ AD ＝3． ∴ S= 1 ⨯ 3⨯ | -3 |= 9． △ADC2 2(4)P(6，3)．【总结升华】这是一道一次函数图象与性质的综合应用问题，求直线的函数解析式，一般运用待定系数法，但运用过程中，又要具体问题具体分析；求底边在坐标轴上三角形的面积的关键是探求该三角形的高．。