用函数观点看方程

５万 吨 ，乙地 需水 １ Ｉ１ ３万 吨 ， Ｂ 两水库 各可调 出水 １ Ａ， ４万 吨 ．
任何一个一元一次不等式都可 从 Ａ 水 库 到 甲地 ５ ０千 米 ， 乙地 ３ 到 ０千 米 ； Ｂ 水 库 到 甲 地 ６ 从 ０ 化简成 似 ＋ ＞ 或 似 ＋ ＜ ａ≠ ． 千 米 到 乙地 ４ ｂ ０ ｂ ０ Ｉ ５千米 ． 你设 计 一个 调运 方 案使 水 的调 运 量 请
０
每 个 二 元 一 次 方 程 组 都 对 应
两 个函数 ． 是 也 对应 两 条 直线 ． 于 从 “ ” 角 度 看 ． 方 程 组 相 当 于 数 的 解 考虑 自变 最 为 何 值 时 两 个 函 数 值 相 本地 通 话 费 ０４ ． ０元 ／ 分 ０６ ． ０元 ／ 分
００ ． ｘ＋５ ４ ０元 ， 神州 行月 消费 ． Ｙ＝０６ ｘ元． ． ０
在 同一坐标 系 中画 出这两 个一 次 函数 的图像 ．
解 程 【 ・ ＋０ Ｉ ＝５ 方 ｆ ｏ ｘ． ５ ｙ０． ，得ｆ ２， ４ ｌ０ Ｙ＝ ６０ Ｙ＝ ５ Ｏ．
６
Ｔ ｅｂ ｓ ｙｏ ｅ ｐ ｎ ｔ ｓｔ ｅ ｐ ａｈ ａ ｔ ｏ ｎ ． ｈ ｅ ｔ ｗａ ｆ ｅ ｉｇｆ ｋ ｅ ｅ ｒ ｙ ｕ ｇ ｋ ｉ ｉ ｏ
．
０ ， 常 ） 形 其 恰 就ｊ 万 千米、 ｝ ，ｂ 数 的 式， 解 好 吨． 景， ０为 ｒ ＞
常） 值于小 数的 ：霎矗大或于 欠 ７函
，
自 ；
解 设 调 量 万吨・ 米Ａ 库 往 地 Ｙ 万 千米，水库调往甲地水 解 运 为 ． ， 调 甲 水 ７ 设总调 运量为Ｙ 吨千 水
Ｙ＝（ ．０ ０４ ｘ＋５ ）一０６ ｘ ０ ．０ ．

C有两个相等的实数根
D 没有实数根
5.根据下列表格的对应值:
x y=ax2+bx+c 3.23 3.24 3.25 0.03 3.26 0.09
-0.06 -0.02
判断方程ax2+bx+c=0 (a≠0,a,b,c为常数)一个解x的 范围是( C) A 3< X < 3.23 B 3.23 < X < 3.24
3.如图,抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是直线 x=-1,由 图象知,关于x的方程ax2+bx+c=0的两个根分别是 x1=1.3 ,x2=＿＿＿
4.已知抛物线y=ax2+bx+c的图象如图,则关于x的 方程ax2+bx+c-3=0根的情况是( )
A 有两个不相等的实数根
B 有两个异号的实数根
26.2 用函数观点看一元二次方程
问题1:如图,以
40 m /s的速度将小球沿与地面成 30度 角的方向击出时,球的飞行路线是一条抛物线,如果不考虑 空气阻力,球的飞行高度 h (单位:m)与飞行时间 t (单 位:s)之间具有关系: h= 20 t – 5 t2
考虑下列问题: (1)球的飞行高度能否达到 15 m? 若能,需要多少时间?
C 3.24 <X< 3.25
D 3.25 <X< 3.26
6.已知抛物线y=x2 + mx +m – 2
求证: 无论 m取何值,抛物线总与x轴有两个交点.
知识提高:
1.若抛物线 y=x2 + bx+ c 的顶点在第一象限,则 方程 x2 + bx+ c =0 的根的情况是＿＿＿＿＿.

第九讲 从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式1.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义.2.借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系.3.能够从实际生活和生产中抽象出一元二次不等式的模型，并加以解决.4.能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集.【基础知识】1.一元二次不等式与一元二次函数的关系：一元二次不等式ax 2＋bx ＋c >0(a >0)的解集就是一元二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a >0)的图象在x 轴上方的点的横坐标x 的集合；ax 2＋bx ＋c <0(a >0)的解集就是一元二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a >0)的图象在x 轴下方的点的横坐标x 的集合.2.简单的分式不等式的解法系数化为正，大于取“两端”，小于取“中间”3.一元二次不等式恒成立问题(1)转化为一元二次不等式解集为R 的情况，即ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)恒成立⇔⎩⎨⎧a >0，Δ<0，ax 2＋bx ＋c <0(a ≠0)恒成立⇔⎩⎨⎧a <0，Δ<0.(2)分离参数，将恒成立问题转化为求最值问题.4.a 2b ＋2ab 2＋9>0(ab ≠0)可看作一元二次不等式把b 看作常数，则是关于a 的一元二次不等式；把a 看作常数，则是关于b 的一元二次不等式.5.一元二次不等式的形式：任意一个一元二次不等式都可以利用不等式的性质变成二次项系数大于0的形式，并且可以化为下列形式中的一种：(1)ax 2＋bx ＋c >0(a >0)；(2)ax 2＋bx ＋c <0(a >0)；(3)ax 2＋bx ＋c ≥0(a >0)；(4)ax 2＋bx ＋c ≤0(a >0).6.利用不等式解决实际问题的一般步骤如下：(1)选取合适的字母表示题目中的未知数；(2)由题目中给出的不等关系，列出关于未知数的不等式(组)；(3)求解所列出的不等式(组)；(4)结合题目的实际意义确定答案.【考点剖析】考点一：一元二次不等式及其应用例3．当x R ∈时，不等式210kx kx -+>恒成立，则k 的取值范围是( )A ．(0,)+∞B ．[0，)+∞C ．[0，4)D ．(0,4)【答案】C【解析】当0k =时，不等式210kx kx -+>可化为10>，显然恒成立；当0k ≠时，若不等式210kx kx -+>恒成立，则对应函数的图象开口朝上且与x 轴无交点则2040k k k >⎧⎨=-<⎩ 解得：04k <<综上k 的取值范围是[0，4)故选C ．考点二：解不含参数的一元二次不等式例1．不等式(1)(4)0x x +-的解集为( )A ．{|14}x x -B ．{|4x x 或1}x -C ．{|14}x x -<<D ．{|4x x >或1}x <-【答案】B【解析】不等式(1)(4)0x x +-可化为(1)(4)0x x +-，解得1x -或4x ；所以该不等式的解集为{|1x x -或4}x ．故选B ．考点三：解含参数的一元二次不等式例2．已知不等式20x ax b -+<的解是23x <<，则a ，b 的值分别是( )A ．5-，6B ．6，5C ．5，6D ．6-，5【答案】C【解析】不等式20x ax b -+<的解是23x <<，所以2和3是方程20x ax b -+=的解，由根与系数的关系知，2323ab +=⎧⎨⨯=⎩， 解得5a =，6b =．故选C ．考点四：一元二次方程的根的分布与系数的例4方程2210x ax -+=的两根分别在(0,1)与(1,3)内，则实数a 的取值范围为() A ．513a << B ．1a <或53a > C ．513a -<< D ．513a -<<-【答案】A【解析】令2()21f x x ax =-+，方程2210x ax -+=的两根分别在(0,1)与(1,3)内，∴(0)0(1)0(3)0f f f >⎧⎪<⎨⎪>⎩，∴102201060a a >⎧⎪-<⎨⎪->⎩，513a ∴<<，a ∴的取值范围为5(1,)3．故选A ．【真题演练】1．不等式(1)(2)0x x +-<的解集为( )A ．{|1x x <-或2}x >B ．{|12}x x -<<C ．{|2x x <-或1}x >D ．{|21}x x -<<【答案】B【解析】不等式(1)(2)0x x +-<对应方程的实数根是1-和2，所以该不等式的解集是{|12}x x -<<．故选B ．2．关于x 的一元二次不等式2560x x --<的解集为( )A ．{|1x x <-或6}x >B ．{|16}x x -<<C ．{|2x x <-或3}x >D ．{|23}x x -<< 【答案】B【解析】不等式2560x x --<可化为(1)(6)0x x +-<，解得16x -<<，所以不等式的解集为{|16}x x -<<．故选B ．3．关于x 的不等式210x mx -+>的解集为R ，则实数m 的取值范围是( )A ．(0,4)B ．(2,2)-C ．[2-，2]D ．(-∞，2)(2-⋃，)+∞ 【答案】B【解析】关于x 的不等式210x mx -+>的解集为R ，所以△22()41140m m =--⨯⨯=-<，解得22m -<<，所以实数m 的取值范围是(2,2)-．故选B ．4．当x R ∈时，不等式210kx kx -+>恒成立，则k 的取值范围是( )A ．(0,)+∞B ．[0，)+∞C ．[0，4)D ．(0,4) 【答案】C【解析】当0k =时，不等式210kx kx -+>可化为10>，显然恒成立；当0k ≠时，若不等式210kx kx -+>恒成立，则对应函数的图象开口朝上且与x 轴无交点则2040k k k >⎧⎨=-<⎩解得：04k <<综上k 的取值范围是[0，4)故选C ．5．不等式220ax bx ++>的解集是1(2-，1)3，则a b -等于( )A ．4-B ．14C ．10-D ．10【答案】C 【解析】因为21120,23ax bx ⎛⎫++>- ⎪⎝⎭的解集是 所以11,23-是方程220ax bx ++=的根， 所以112042112093a b a b ⎧-+=⎪⎪⎨⎪++=⎪⎩12a =-，2b =- 所以10a b -=-故选C ．6．一元二次不等式20ax bx c ++>的解集为{|12}x x -<<，则不等式20ax bx c ++的解集为()A ．{|1x x <-或2}x >B ．{|1x x <-或2}xC ．{|12}x x -<<D ．{|12x x -}【答案】D【解析】一元二次不等式20ax bx c ++>的解集为{|12}x x -<<，所以不等式对应方程20ax bx c ++=的两个实数根是1-和2，且0a <；所以不等式20ax bx c ++的解集为{|12}x x -．故选D ．7．若关于x 的不等式230ax x b -+<的解集为{|12}x x <<，则实数a ，b 的值是( )A ．1a =，2b =B ．2a =，1b =C ．1a =-，2b =D ．2a =，1b =-【答案】A【解析】由题意可知，1和2是方程230ax x b -+=的两根，且0a >，312a ∴+=，12ba ⨯=，解得1a =，2b =．故选A ．8．已知关于x 的方程230x ax -+=有一根大于1，另一根小于1，则实数a 的取值范围是( )A ．(4,)+∞B ．(,4)-∞C ．(,2)-∞D ．(2,)+∞ 【答案】A【解析】设2()3f x x ax =-+，若方程230x ax -+=有一根大于1，另一根小于1，则只需要f （1）0<，即f （1）130a =-+<，得4a >，即实数a 的取值范围是(4,)+∞，故选A ．9．关于x 的不等式()(3)0ax b x -+<的解集为(-∞，3)(1-⋃，)+∞，则关于x 的不等式0ax b +>的解集为( )A ．(,1)-∞-B ．(1,)-+∞C ．(,1)-∞D ．(1,)+∞【答案】A【解析】由题意可得0a <，且1，3-是方程()(3)0ax b x -+=的两根，1x ∴=为方程0ax b -=的根，a b ∴=， 则不等式0ax b +>可化为10x +<，即1x <-，∴不等式0ax b +>的解集为(,1)-∞-．故选A ．【过关检测】1．不等式(1)0x x +的解集为( )A ．(-∞，1](0,)-+∞ B ．(-∞，1][0-，)+∞C ．[1-，0]D ．[1-，0) 【答案】B【解析】(1)0x x +=的两根为1-、0，又函数(1)y x x =+的图象开口向上，(1)0x x ∴+的解集是{|1x x -或0}x ，故选B ．2．不等式220x x +->的解集为( )A ．{|21}x x -<<B ．{|12}x x -<<C ．{|2x x <-或1}x >D ．{|1x x <-或2}x >【答案】C【解析】不等式220x x +->可化为(2)(1)0x x +->，解得2x <-或1x >，所以不等式的解集是{|2x x <-或1}x >．故选C ．3．若关于x 的不等式242x x mx -+>的解集为{|02}x x <<，则实数m 的值为( )A ．1-B ．1C ．2D ．2-【答案】B【解析】根据题意得0x =和2x =是方程242x x mx -+=的实数根，所以484m -+=，解得1m =．故选B ．4．一元二次不等式2230x x -+->的解集是( )A ．∅B ．(3,1)-C ．(1,3)-D ．(3,1)--【答案】A【解析】因为2223(1)220x x x -+-=----<恒成立，所以不等式的解集为∅．故选A ．5．若不等式20ax bx c ++>的解集是{|41}x x -<<，则不等式2(1)(3)0b x a x c -+++>的解集为()A ．4{|1}3x x -<< B ．{|1x x <或4}3x > C ．{|14}x x -<< D ．{|2x x <-或1}x >【答案】A【解析】因为不等式20ax bx c ++>的解集为(4,1)-，则04141a b ac a⎧⎪<⎪⎪-=-+⎨⎪⎪=-⨯⎪⎩，解得4c a =-，3b a =，且0a <，所以不等式2(1)(3)0b x a x c -+++>可化为：2340x x +-<，解得413x -<<， 故选A ．6．不等式(2)8x x -<的解集是( )A ．{|42}x x -<<B ．{|4x x <-或2}x >C ．{|24}x x -<<D ．{|2x x <-或4}x >【答案】C【解析】不等式(2)8x x -<可化为2280x x --<，即(4)(2)0x x -+<，解得24x -<<，所以不等式的解集是{|24}x x -<<．故选C ．7．已知不等式220ax bx -+>的解集为{|12}x x -<<，则不等式220x bx a ++<的解集为( )A ．1{|1}2x x -<<B ．{1x <-或1}2x >C ．1{|1}2x x -<<D ．1{|2x x <-或1}x > 【答案】A【解析】不等式220ax bx -+>的解集为{|12}x x -<<，所以1-，2是方程220ax bx ++=的两个实数根，且0a <， 由根与系数的关系知12212b a a ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-⨯=⎪⎩，解得1a =-，1b =-； 所以不等式220x bx a ++<化为2210x x --<， 解得112x -<<； 所以不等式220x bx a ++<的解集为1{|1}2x x -<<． 故选A ．8．关于x 的不等式2(1)10(0)ax a x a -++><的解集为( )A ．1{|1}x x a <<B ．{|1x x <或1}x a >C ．1{|x x a <或1}x >D ．1{|1}x x a<< 【答案】A【解析】不等式可化为(1)(1)0ax x -->，0a <，∴原不等式等价于1()(1)0x x a--<， 且不等式对应的一元二次方程的根为1a 和1； 又11a<， 原不等式的解集为1{|1}x x a <<． 故选A ．9．解下列不等式：（1）223x x -+<-；（2）2210x x -+．【解析】（1）2223230(1)(3)0x x x x x x -+<-⇒-->⇒+->，由“两实数相乘，同号得正，异号得负”可得1030x x +>⎧⎨->⎩①，或1030x x +<⎧⎨-<⎩②， 解①得3x >，解②得1x <-，故223x x -+<-的解集是(-∞，1)(3-⋃，)+∞；（2）22210(1)0x x x -+⇒-，解得1x =，故2210x x -+的解集是{1}．10．若不等式2460kx x -+>的解集是{|31}x x -<<．（1）求k 的值；（2）解不等式22(2)0x k x k +-->．【解析】（1）不等式2460kx x -+>的解集是{|31}x x -<<， 所以3-和1是方程2460kx x -+=的两实数根， 所以460k -+=，解得2k =-；（2）由（1）知，不等式22(2)0x k x k +-->可化为22420x x ++>， 即2210x x ++>，解得1x ≠-，所以该不等式的解集为{|1}x x ≠-．。

教 材 使 用 的 三 重 层 次谈“用函数的观点看一元二次方程”的教材使用的三重层次叶圣陶先生说：“教材无非是个例子，凭借这些例子教学生掌握这个工具，形成良好的学习习惯，达到不需要教的目的”这句话深刻阐明了“教师”、“教材”、“学生”三者之间的内在关系，“教师”是凭借，“教学”是手段，“学生”是教而为了不教目的。

虽然教材仅仅是教学的一个凭借，但它可作为凭借的对象，其使用的有效性与教学效果有密切关系。

通过几十年来的教学实践，笔者发现是否能有效使用教材可通过使用教材的三重层次来评价，下面结合具体教学内容，谈一谈对这三重层次的认识与思考。

一、 教材使用的第一重层次——了解教材教材是对话的文本，是学生学习活动所凭借的话题与依据，作为教师应努力钻研教材， 全面了解教材所在的应有地位与作用。

只有这样，教师才能凭借教材去整体使用教材，才能俣进学生整体的发展，使教学有的放矢。

如某教师在“用函数的观点看一元二次方程”的教学中，直接使用教材中的问题。

教材片段1：如图，以40m/s 的速度将小球沿与地面成300角的方向击出时，球的 飞行路线将是一条抛物线，如果不考虑空气阻力，球的飞行高度（单位：m ）与飞行时间t （单位：s ）之间具有关系：2520t t h -=。

考虑以下问题：（1） 球的飞行高度能否达到15m ？如能，需要多少飞时间？（2） 球的飞行高度能否达到20m ？如能， 需要多少飞时间？（3） 球的飞行高度能否达到20.5m? 如能， 需要多少飞时间？（4） 球从飞出到落地要用多少时间?让学生开展探究讨论，最后师生总结二次函数与一元二次方程的关系。

这样的课堂看似十分开放，也体现了学生的主体性，然而，一节课下来，学生除了知道这个2520t t h -=二次函数与一元二次方程的关系外，其他收获很微小。

教学的目的远不止知识的表象，更重要的是要弄清知识的内涵，从中领悟实质，掌握研究的一般方法。

细读教材会发现，“用函数的观点看一元二次方程”教材是在学生学习了“用函数的观点看一元一次方程、一元一次不等式、二元一次方程组”后提出的，学生已初步了解函数与方程问题的研究方法和关系所在。