八年级数学用函数观点看方程

八年级数学用函数观点看方程（组）与不等式人教实验版【本讲教育信息】一. 教案内容：1. 一次函数与一元一次方程的内在联系。

2. 一次函数与一元一次不等式的内在联系。

3. 一次函数与二元一次方程（组）。

二. 知识要点：1. 一次函数与一元一次方程将一次函数y＝kx＋b中的y值看作0，则kx＋b＝0即为一元一次方程，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值，从图像上看，相当于求已知直线y＝kx＋b与x轴的交点的横坐标的值。

例如，解方程2x－4＝0，相当于求当y＝2x－4的函数值为0的自变量的值，也相当于确定y＝2x－4与x轴交点的横坐标的值。

也就是说，求得2x－4＝0的解为x＝2，就求得y＝2x－4的函数值为0时自变量的值为2，也就知道y＝2x－4与x轴交点的横坐标为2。

反过来，要求y＝2x－4的函数值为0时自变量的值，就是求直线y＝2x－4与x轴的交点的横坐标，就相当于解方程2x－4＝0。

2. 任何一个一元一次不等式都可以转化为ax＋b＞0或ax＋b＜0（a、b为常数，a≠0）的形式，所以，解一元一次不等式可以看作：当一次函数值大（小）于0时，求自变量相应的取值范围。

例如，解不等式2x－4＞0，相当于求使y＝2x－4的函数值大于0的自变量取值范围，也相当于y＝2x－4在x轴上方部分对应的自变量取值范围。

也就是说，求得2x－4＞0的解集为x＞2，就得出当x＞2时，函数y＝2x－4的值大于0，也就得出当x＞2时这条直线上的点在x 轴的上方。

如图所示。

反过来，求使y ＝2x －4函数值大于0的自变量的取值范围，要求y ＝2x －4在x 轴上方部分对应的自变量的取值范围，都相当于解不等式2x －4＞0。

3. 二元一次方程与一次函数由于任意一个二元一次方程都可以转化为y ＝kx ＋b 的形式，所以每个二元一次方程都对应一个一次函数，于是也对应一条直线。

例如，二元一次方程2x －3y －6＝0可以化为y ＝23x －2，所以方程2x －3y －6＝0对应直线y ＝23x －2。

初二数学用函数观点看方程（组）与不等式通用版【本讲主要内容】用函数观点看方程（组）与不等式 1. 一次函数与一元一次方程的关系 2. 一次函数与一元一次不等式的关系 3. 一次函数与二元一次方程（组）的关系【知识掌握】【知识点精析】一. 一次函数与一元一次方程的关系由于任何一元一次方程都可以转化为ax b +=0（a b 、是常数，a ≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值．从图象上看这相当于已知直线y ax b =+，确定它与x 轴交点的横坐标的值．二. 一次函数与一元一次不等式的关系由于任何一元一次不等式都可以转化为ax b +>0或ax b +<0（a b 、是常数，a ≠0）的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数值大（小）于0时，求自变量相应的取值范围．从图象上看，解ax b +>0相当于已知直线y ax b =+在x 轴上方时，自变量x 相应的取值范围；解ax b +<0相当于已知直线y ax b =+在x 轴下方时，自变量x 相应的取值范围．三. 一次函数与二元一次方程（组）的关系每个二元一次方程组都对应两个一次函数，于是也对应两条直线．从“数”的角度看，解方程组相当于考虑自变量为何值时两个函数的值相等，以及这个函数值是何值；从“形”的角度看，解方程组相当于确定两条直线交点的坐标． 方程（组）、不等式与函数之间互相联系，用函数观点可以把它们统一起来，解决问题时，应根据具体情况灵活地、有机地把它们结合起来使用．【解题方法指导】例1. （2006年重庆市中考题）（课改实验区考生做）如图，已知函数y ax b y kx =+=和的图像交于点P ，则根据图像可得，关于x y 、的二元一次方程组y ax by kx =+=⎧⎨⎩的解是______．x答案：x y =-=-⎧⎨⎩42点评：本题考查了借助一次函数图象可求二元一次方程组解的知识，两个一次函数图象的交点的坐标，就是二元一次方程组的解．观察图象得该方程组的解为x y =-=-⎧⎨⎩42例2. （2006年陕西省中考题）甲、乙两车从A 地出发，沿同一条高速公路行驶至距A 地400千米的B 地．l l 12、分别表示甲、乙两车行驶路程y （千米）与时间x （时）之间的关系（如图所示）．根据图象提供的信息，解答下列问题：（1）求l 2的函数表达式（不要求写出x 的取值范围）；（2）甲、乙两车哪一辆先到达B 地？该车比另一辆车早多长时间到达B 地？解：（1）设l 2的函数表达式是y k x b =+2，则03440019422=+=+⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪k b k b解之，得k b 210075==-， ∴l 2的函数表达式为y x =-10075 （2）乙车先到达B 地． 30010075154=-∴=x x ， 设l 1的函数表达式是y k x =1O图像过点()154300， ∴k 1=80．即y x =80当y =400时，400805=∴=x x ，∴-=519414（小时） ∴乙车比甲车早14小时到达B 地．例3. 某单位组织员工到外地旅游，人数估计在10—25人之间．甲乙两个旅行社的服务质量相同，价格都是每人200元，该单位联系时，甲旅行社表示每位游客七五折优惠；乙旅行社表示可以免去一位游客的费用，按八折优惠．问该单位应怎样选择，使其支付的旅游费用较少．解：设旅游人数为x 人，甲旅行社支付的旅游费用为y 1元，乙旅行社支付的旅游费用为y 2元y x y x y x 112200075150200081=⨯==⨯-..()，即；，即y x 2160160=-； 当y y 12=时，150********x x x =-∴=，（人） 当y y 12>时，150********x x x >-∴<，（人） 当y y 12<时，150********x x x <-∴>，（人）答：当人数为16人时，任选其一；当人数在10—15人之间选乙旅行社，人数在17—25人之间选甲旅行社． 点评：本题综合应用了一元一次方程、一元一次不等式和一次函数的知识解决实际问题．【考点突破】【考点指要】用函数观点看一次函数与方程（组）、不等式的应用题是近几年在中考中的新型题，这类问题取材于国情国策、环保生态、市场决策、经济核算、生产生活，具有很强的探索性和灵活性，对学生的数学能力提出了较高的要求，要顺利地解答它，一要具备扎实的数学基础知识和熟练的解题技巧；二是要有较强的阅读能力，能全面深刻地领会题意，特别是其中关键性词语；三要有一定的生产、生活常识，对当前市场经济条件下各种常见的现象有所了解，能抓住它们的本质和规律，恰当地构建出数学模型．【典型例题分析】例1. （2006年云南省课改实验区中考题）如图，直线l l 12与相交于点P ，l 1的函数表达式为y x =+23，点P 的横坐标为-1，且l 2交y 轴于点A （0，-1）．求直线l 2的函数表达式．解：设点P 坐标为（-1，y ），代入y x =+23，得y =1 ∴点P （-1，1）设直线l 2的函数表达式为y kx b =+，把P （-1，1）、A （0，-1）分别代入y kx b =+得：11=-+-=⎧⎨⎩k b b ，∴=-=-⎧⎨⎩k b 21∴直线l 2的函数表达式为y x =--21点评：本题综合应用了二元一次方程组与一次函数的知识解决实际问题．例2. （2004年安徽省中考题）某电视台在黄金时段的2分钟广告时间内，计划插播长度为15秒和30秒的两种广告．15秒广告每播1次收费0.6万元，30秒广告每播1次收费1万元，若要求每种广告播放不少于2次．问： （1）两种广告的播放次数有几种安排方式？ （2）电视台选择哪种方式播放收益较大？ 解：（1）设15秒广告播放x 次，30秒广告播放y 次，由题意得： 1530120x y += 则x y =-82x y ,为不小于2的正整数∴==⎧⎨⎩x y 42或x y ==⎧⎨⎩23∴有两种播放次数方式，即15秒广告播放4次，30秒广告播放2次；或15秒广告播放2次，30秒广告播放3次．（2）若x y ==42，，则0641244..⨯+⨯=（万元） 若x y ==23，，则0621342..⨯+⨯=（万元）∴电视台选择15秒广告播放4次、30秒广告播放2次的方式，收益较大． 点评：本题综合应用了二元一次方程与一次函数的知识解决实际问题．例3. （2006年浙江省中考题）宁波市土地利用现状通过国土资源部验收，我市在节约集约用地方面已走在全国前列．1996~2004年，市区建设用地总量从33万亩增加到48万亩，相应的年GDP 从295亿元增加到985亿元．宁波市区年GDP y （亿元）与建设用地总量x （万亩）之间存在着如图所示的一次函数关系．（1）求y 关于x 的函数关系式．（2）据调查2005年市区建设用地比2004年增加4万亩，如果这些土地按以上函数关系式开发使用，那么2005年市区可以新增GDP 多少亿元？（3）按以上函数关系式，我市年GDP 每增加1亿元，需增建设用地多少万亩？（精确到0.001万亩）x )解：（1）设函数关系式为y kx b =+由题意得3329548985k b k b +=+=⎧⎨⎩解得k b ==-461223，∴该函数关系式为y x =-461223 （2）由（1）知2005年的年GDP 为4648412231169⨯+-=()（亿元）1169985184-=（亿元）∴2005年市区相应可以新增加GDP184亿元．（3）设连续两年建设用地总量分别为x 1万亩和x 2万亩，相应年GDP 分别为y 1亿元和y 2亿元，满足y y 211-=，则y x y x 1122461223461223=-=-⎧⎨⎩③④ ④③-得，y y x x 212146-=-() 即46121()x x -=∴-=≈x x 211460022.（万亩） 即年GDP 每增加1亿元，需增加建设用地约0.022万亩．例4. （2006年云南省中考题）云南省公路建设发展速度越来越快，通车总里程已位居全国第一，公路的建设促进了广大城乡客运的发展．某市扩建了市县际公路，运输公司根据实际需要计划购买大、中两型客车共10辆，大型客车每辆价格为25万元，中型客车每辆价格为15万元．（1）设购买大型客车x （辆），购车总费用为y （万元），求y 与x 之间的函数表达式； （2）若购车资金为180万元至200万元（含180万元和200万元），那么有几种购车方案？在确保交通安全的前提下，根据客流量调查，大型客车不能少于4辆，此时如何确定购车方案可使该运输公司购车费用最少？ 解：（1）设购买大型客车x 辆，则购买中型客车()10-x 辆． 由题意得：y x x =+-251510()，即y x =+10150（2）1015018010150200x x +≥+≤⎧⎨⎩，解得x x ≥≤⎧⎨⎩35，∴≤≤35x且x 是非负整数，∴=x 345，，∴共有三种购车方案第一种：大型客车3辆，中型客车7辆； 第二种：大型客车4辆，中型客车6辆； 第三种：大型客车5辆，中型客车5辆；但大型客车不能少于4辆，故第一种方案不符合要求，舍去； 第二种方案的购车费用为：2⨯+⨯=54156190（万元）； 第三种方案的购车费用为：255155200⨯+⨯=（万元）答：符合客流量要求并且购车费用较少的购车方案是大型客车4辆，中型客车6辆． 点评：本题是一道实际生活中的问题，不仅要求学生具有阅读理解文字的能力，而且要善于把实际问题转化为数学问题，从而解决实际问题并从中养成用数学的头脑去解决日常生活中的问题．【综合测试】一. 选择题：（2006年中考题）1. （山西省课改实验区）如图，是某函数的图象，则下列结论中正确的是（ ）A. 当y =1时，x 的取值是-325， B. 当y =-3时，x 的近似值是0，2C. 当x =-32时，函数值y 最大 D. 当x >-3时，y 随x 的增大而增大2. （太原市）小亮用作图象的方法解二元一次方程组时，在同一直角坐标系内作出了相应的两个一次函数的图象l l 12、如图所示，他解的这个方程组是（ ）A. ⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=1x 21y ,2x 2yB. y x y x =-+=-⎧⎨⎩22,C. ⎪⎩⎪⎨⎧-=-=3x 21y ,8x 3yD. y x y x =-+=--⎧⎨⎪⎩⎪22121,3. （贵阳市课改实验区）小明根据邻居家的故事写了一首小诗：“儿子学成今日返，老父早早到车站，儿子到后细端详，父子高兴把家还．”如果用纵轴y 表示父亲与儿子行进中离家的距离，用横轴x 表示父亲离家的时间，那么下面的图象与上述诗的含义大致吻合的是（ ）4. （黄冈市课改实验区）如图，在光明中学学生耐力测试比赛中，甲、乙两学生测试的路程S （米）与时间t （秒）之间的函数关系图像分别为折线OABC 和线段OD ，下列说法正确的是（ ）A. 乙比甲先到达终点B. 乙测试的速度随时间增加而增大C. 比赛进行到29.4秒时，两人出发后第一次相遇D. 比赛全程甲的测试速度始终比乙的测试速度快二. 填空题：某医药研究所开发了一种新药，在试验药效时发现，如果成人按规定剂量服用，那么每毫升血液中含药量y （微克）随时间x （小时）的变化情况如图所示，当成人按规定剂量服用后，（1）服药后________小时，血液中含药量最高，达每毫升______毫克，接着逐步衰减； （2）服药5小时，血液中含药量_______毫克；（3）当x ≤2时，y 与x 之间的函数关系式是___________； （4）当x ≥2时，y 与x 之间的函数关系式是___________；（5）如果每毫升血液中含药量3毫克或3毫克以上时，治疗疾病最有效，那么这个有效时间是_________小时．三. （昆明市课改实验区）如图，直线l 1与l 2相交于点P ，l 1的函数表达式为y x =+23，点P 的横坐标为-1，且l 2交y 轴于点A （0，-1）．求直线l 2的函数表达式．四. （河北省课改实验区）甲、乙两个工程队分别同时开挖两段河渠，所挖河渠的长度y （m ）与挖掘时间x （h ）之间的关系如图所示，请根据图象所提供的信息解答下列问题：（1）乙队开挖到30m 时，用了__________h ．开挖6h 时甲队比乙队多挖了______m ； （2）请你求出：①甲队在06≤≤x 的时段内，y 与x 之间的函数关系式； ②乙队在26≤≤x 的时段内，y 与x 之间的函数关系式；（3）当x 为何值时，甲、乙两队在施工过程中所挖河渠的长度相等？五. （2004年黑龙江省中考题）某送奶公司计划在三栋楼之间建一个取奶站，三栋楼在同一条直线上，顺次为A 楼、B 楼、C 楼，其中A 楼与B 楼之间的距离为40米，B 楼与C 楼之间的距离为60米．已知A 楼每天有20人取奶，B 楼每天有70人取奶，C 楼每天有60人取奶，送奶公司提出两种建站方案．方案一：让每天所有取奶的人到奶站的距离总和最小；方案二：让每天A 楼与C 楼所有取奶的人到奶站的距离之和等于B 楼所有取奶的人到奶站的距离之和．（l ）若按照方案一建站，取奶站应建在什么位置？ （2）若按照方案二建站，取奶站应建在什么位置？（3）在（2）的情况下，若A 楼每天取奶的人数增加（增加的人数不超过22人），那么取奶站将离B 楼越来越远，还是越来越近？请说明理由．综合测试答案一. 选择题：1. B2. D3. C4. C二. 填空题：（1）2，6； （2）3 （3）y x =3（4）y x =-+8 （5）4三. 解：设点P 坐标为（-1，y ），代入y x =+23，得y =∴1,点P （-1，1）设直线l 2的函数表达式为y kx b =+，把P （-1，1）、A （0，-1）分别代入y kx b =+，得11=-+-=⎧⎨⎩k b b ∴=-=-⎧⎨⎩k b 21，∴直线l 2的函数表达式为y x =--21．四. 解：（1）2，10；（2分）（2）①设甲队在06≤≤x 的时段内y 与x 之间的函数关系式为y k x =1， 由图可知，函数图像过点（6，60）， ∴=6601k ，解得k y x 11010=∴=,（4分）②设乙队在26≤≤x 的时段内y 与x 之间的函数关系式为y k x b =+2， 由图可知，函数图像过点（2，30），（6，50），∴+=+=⎧⎨⎩23065022k b k b ,解得k b 2520==⎧⎨⎩,∴=+y x 520 （6分）（3）由题意，得10520x x =+，解得x h =4()． ∴当x 为4h 时，甲、乙两队所挖的河渠长度相等．五. 解：（1）设取奶站建在距A 楼x 米处，所有取奶的人到奶站的距离总和为y 米， ①当040≤≤x 时，y x x x x =+-+-=-+207040601001108800()()∴当x =40时，y 的最小值为4400②当40100<≤x 时，y x x x x =+-+-=+20704060100303200()()，此时，y 的值大于4400因此按方案一建奶站，取奶站应建在B 楼处 （2）设取奶站建在距A 楼x 米处，①当040≤≤x 时，20601007040x x x +-=-()()解得x =-<32030（舍去） ②当40100<≤x 时，20601007040x x x +-=-()()解得x =80因此按方案二建奶站，取奶站应建在距A 楼80米处 （3）设A 楼取奶人数增加a 人，①当040≤≤x 时，()()()20601007040++-=-a x x x ，解得x a =-+320030（舍去）， ②当40100<≤x 时，()()()20601007040++-=-a x x x 解得x a=-∴8800110,当a 增大时，x 增大， ∴当A 楼取奶的人数增加时，按照方案二建奶站，取奶站仍建在B 、C 两楼之间，且随着人数的增加，离B 楼越来越远。

用函数观点看方程（组）与不等式【教学目标】1、能用函数观点看一次方程（组）、不等式；2、能用辩证的观点认识一次函数与一次方程、不等式的区别与联系；3、在解决简单的一次函数的问题过程中，建立数形结合的思想及转化思想.【知识梳理】1．一次函数与一元一次方程由于任何一元一次方程都可以转为（为常数，）的形式，所以解一元一次方程可转化为：当某一个函数的值为0时，求__________的值.从图像上看，这相当于已知直线，确定它与轴交点的横坐标的值.2.一次函数与不等式由于任何一元一次不等式都可以转为或（为常数，）的形式，所以解一元一次不等式可看作：当一次函数的值_________时，求自变量相应的取值范围.3．一次函数与二元一次方程组一般地，每个二元一次方程组都对应两个一次函数，于是对应两条直线.从“数”的角度看，解方程组相当于考虑自变量为何值时两个函数的值相等，以及这个函数值是何值；从的“形”角度看，解方程组相当于确定两条直线_________的坐标.参考答案：1.相应的自变量2.大（小）于03.交点【典例精讲】1、解一次函数与一元一次方程【例1】一个物体现在的速度是5米/秒，其速度每秒增加2米/秒，再过几秒它的速度是17米/秒？【解析】应用一次函数的与一元一次方程的方法即可求解.解法1：设再过秒物体的速度是17米/秒，列方程得解法2：速度（单位：米/秒）是时间（单位：秒）的函数由∴由下图可看出直线与轴的交点为（6,0），得总结：解一元一次方程可转化为：当某一个函数的值为0时，求相应的自变量的值.从图像上看，这相当于已知直线，确定它与轴交点的横坐标的值.练1.将方程全部的解写成坐标的形式，那么用全部的坐标描出的点都在直线（）上.A. B. C. D.【解析】将方程转化成直线的形式，即可求解.解：∵∴故选C.练2.一次函数和的图像的交点坐标是_____________.【解析】采用带入法，将其中一个一次函数带入另一个，即可求解坐标.解：将代入，得∴∴交点坐标为（2，-3）.2．解一次函数与一元一次不等式【例2】用画函数图像的方法解不等式.【解析】化简不等式，再画出一次函数图像，结合图像即可求解.解法1：原不等式为，画出直线，可看出，当时这条直线上的点在轴的下方，即这时，所以不等式的解集为.解法2：将原不等式为的两边分别看作两个一次函数，画出直线与，可看出，它们的交点的横坐标为2，当时，对于同一个，直线上的点在直线上相应点的下方，这时，所以不等式的解集为.总结把解不等式转化为比较直线上点的位置的高低，数形结合即可求解.练3.如图，直线与轴交于点（-4,0），则时，的取值范围是______.【解析】结合图象，满足时，即直线位于轴的上方部分，即可求解.解：∵直线与轴交于点（-4,0），结合图象特点，∴当时，.练4.一次函数的图象如下图，则当________时，.【解析】根据函数图象特殊点（-2,4），即可求解.解：由图象可知，直线过点（-2,4），∴当时，.3．一次函数与二元一次方程组【例3】一家电信公司给顾客提供上网费的两种计费方式：方式A以每分0.1元的价格按上网时间计费；方式B除收月基本费20元外，再以每分0.05元的价格按上网时间计费.上网时间为多少分，两种方式的计费相等？【解析】计费与上网时间有关，所以可设上网时间为分，分别写出两种计费方式的函数模型，然后再考虑自变量为何值时两个函数的值相等．解：设上网时间为分方式A的计费元；按方式B的计费元.在同一直角坐标系中分别画出这两个函数的图像.两个函数的图象交于点（400,40），这表示当时，两个函数的值都等于40.因此，上网时间为400分，两种方式的计费相等（都是40元）.总结方程组、不等式与函数之间的相互联系，用函数观点可以把它们统一起来.解决问题时，应根据具体情况灵活地把它们结合起来考虑.练5.如下图，反映了某公司的销售收入与销售量的关系，反映了该公司产品的销售成本与销售量的关系，当该公司赢利（收入大于成本）时，销售量（）A.小于3吨B.小于4吨C.大于3吨D.大于4吨【解析】根据图象两直线交点的坐标，赢利时即为的值大于的的值.解：由题意可知，要使得公司赢利，即的值大于的的值∴∴选D.练6.一次函数与的图象如下图，则当____时，；当_____时，;当_______时，.【解析】根据两个函数图象的交点坐标，即可求解.解：由图象可知，两函数的交点坐标为（1，-3）当时，;当时，;当时，.【例4】小亮用作图象的方法解二元一次方程组时，在同一直角坐标系内作出了相应的两个一次函数的图象L1，L2，如图所示，他解的这个方程组是（）.A．B．C．D．【解析】根据函数图象特殊点坐标，即可求解．解：由图象可知，两个函数均过点（2,-2）且直线L1过点（1,0），直线L2过点（-2，0）∴将点坐标带入选项中的一次函数，即可得，故选D.练7．如下图，已知函数和的图象交点为P，则不等式的解集为_____________.【解析】根据图象交点坐标，求出直线在直线上方的部分即可．解：由图象交点横坐标可知，时，两直线的值相等，∴当时，.练8．如图，一次函数的图象经过A,B两点，则的解集是（）.A. B. C. D.【解析】根据一次函数直线特殊点坐标，求出直线位于轴上方的部分，即可求解．.解：由图象可知，直线过点A（-3,0），B（0，2）要使，即故选C.【例5】已知如图，一次函数的图象与轴交于点M，则点M的横坐标_______.（1）若，则当时，_____0；当时，_____0；（2）若，则当时，_____0；当时，_____0；【解析】根据函数图象，与轴交点坐标，及为当时，求出方程的解即可．解：由函数图象可知，当时，即，故（1）若，则当时，；当时，；（2）若，则当时，；当时，总结：利用一次函数直线与轴的交点坐标，即可求出与0的大小关系.练9．已知直线和，若它们的交点在第四象限内，求的取值范围.【解析】可以根据已知条件列出方程组解题．解：依题意有则解得因为两条直线的交点在第四象限内，∴∴，即的取值范围是练10．已知直线经过点，且与坐标轴围成的三角形的面积为，求该直线的函数解析式．【解析】由点在直线上，可以得到一个关于的方程，再求出直线与两坐标轴的交点坐标，由三角形面积为可列出第二个方程，由两个方程组成的方程组可以解出的值．解：∵直线过点，∴∵直线与轴、轴的交点坐标分别为（O为原点），∴，由①和②组成的方程组解得，∴，则所求直线的解析式为或．4.实际应用题【例6】．一个有进水管与出水管的容器，从某时刻开始的4分钟内只进水不出水，在随后的8分钟内既进水又出水，每分钟的进水量和出水量是两个常数，容器内的水量（单位：升）与时间（单位：分）之间的关系如图所示.（1）求时随变化的函数关系式.（2）求时随变化的函数关系式.（3）每分钟进水、出水各多少升？【解析】根据容器内每分钟水量=进水量-出水量建立关系式，再根据前4分钟只有进水，即可得到进水的函数关系式，结合图象特殊点坐标，即可求解．解：由函数图象可知，（1）当时，直线过点（0,0）、（4,20）；∴（2）当时，直线过点（4,20）、（12,30）∴（3）每分钟进水量=L；每分钟出水量=L.练11．如图，某公司专销A产品，第一批A产品上市40天内全部售完，该公司对第一批A产品上市后的市场销售情况进行了跟踪调查，调查结果如图所示，其中甲图中的折线表示的是市场日销售量与上市时间的关系；乙图中的折线表示的是每件A产品的销售利润与上市时间的关系.（1）试写出第一批A产品的市场日销售量与上市时间的关系式：（2）第一批A产品上市后，哪一天这家公司市场日销售利润最大？最大利润是多少万元？【解析】根据图象特殊点坐标，对应的变化范围建立函数关系式，即可求解．解：（1）由甲图可知，图象过点（30，6）第一批A产品的市场日销售量与上市时间的关系式为：当时，当时，（2）结合甲、乙两图可知，∵日销售利润=日销售量×每件产品销售利润∴当时，（万元）..练12．某商场计划投入一笔资金购一批紧销商品，经过市场调查发现，如果月初出售，可获利15%，并可用本和利再投资其他商品，到月末又可获利10%；如果月末出售，可获利30%，但要付出仓库储存费用700元，请根据商场投资情况，分析如何购销获利较多？.【解析】根据题意建立一次函数关系式，再采用数形结合法，即可求解．解：设商场投资元，月初出售获利：∴月末出售获利：在直角坐标系中画出两个函数的图象：两图象的交点坐标为(20000，5300)∴方程组的的解是∴由图象可知：当时，，两种方式任意选；当时，，选择在月末出售.=3，即·|BQ|·|AO|=3，由|AO|=3，可知|BQ|=2，解：根据图象和已知条件有S△QAB=3，即·|PA|·|BO|=3，由|BO|=3，可知|PA|=2因为S△PQB再因为P、Q两点在直线AB同侧，所以P点坐标为(-5，0)．设直线PQ的解析式为y=kx+b，则有则所以所求一次函数解析式为y=x+5．。

用函数观点看方程(组)与不等式艾细荣太阳中学【学习目标】1、进一步认识和理解一次函数，同时进一步巩固一元一次方程的解法。

2、弄通一次函数与x轴的交点与一元一次方程的解的关系。

【预习形成】1、解方程2x+4=02、自变量x为何值时函数y=2x+4的值为0？3、以上方程2x+4=0与函数y=2x+4有什么关系？4、是不是任何一个一元一次方程都可以转化为ax+b=0（a、b是常数，a≠0）？5、当某个一次函数y=ax+b的值为0时，求相应的自变量x的值。

从图像上看，相当于确定直线y=ax+b与x轴交点的横坐标的值。

6、仔细理解例1中的解法1与解法2有什么不同。

【学习流程】1、解方程ax+b=0（a、b为常数，a≠0）2、自变量x为何值时，一次函数y=ax+b的值为0，这句话与解方程ax+b=0（a、b为常数）到底有什么关系？3、探究问题一个物体现在的速度是3m/秒，其速度每秒增加2m/秒，再过几秒它的速度为11m/秒？1）、此问题用方程来解如何去解？2）、画出y=2x-8的函数图象如果速度y是时间x的函数，则上述问题与y=2x+3有什么关系？如何去解上述问题？4、知识巩固1）、当自变量x的取值满足什么条件时，函数y=3x+8的值满足于下列条件：①、y=0 ②、y=-7 2）、利用函数图象解5x-3=x+25、整体感知如何理解一次函数与x轴交点的横坐标与解方程的关系？【课堂检测】A、基础知识巩固1、当自变量x的取值满足什么条件时，函数y=5x+7的值满足下列条件（1）、y=0 （2）、y=20 B、能力提升当自变量x取何值时，函数y=+1与y=5x+17的值相等？。

1教案设计学科名称2.所在班级情况，学生特点分析3.教案内容分析4.教案目标5.教案难点分析6.教案课时7.教案过程8课堂练习9.作业安排10.附录（教案资料及资源）11.自我问答用函数观点看方程（组）与不等式第一课时课题：一次函数与一元一次方程教案目标：（一）教案知识点1.用函数观点认识一元一次方程.2.用函数的方法求解一元一次方程.3.加深理解数形结合思想.（二）能力训练目标1•培养多元思维能力.2•拓宽解题思路.3•加深数形结合思想的认识与应用.（三）情感与价值观要求1．经过活动，会从不同方面认识事物本质的方法．2．培养学生实事求是，一分为二的分析思维习惯．教案重点：1．函数观点认识一元一次方程．2．应用函数求解一元一次方程．教案难点：用函数观点认识一元一次方程．教案方法：自主一合作一探究归纳一总结一应用..教案过程：一、提出问题，创设情境我们来看下面两个问题：1.解方程2x+20=02.当自变量x 为何值时，函数y=2x+20 的值为0？这两个问题之间有什么联系吗？我们这节课就来研究这个问题，并学习利用这种关系解决相关问题的方法.二. 导入新课思考上面提出的两个问题.在问题1中，解方程2x+20=0, ?得x=?-10 .解决问题2就是要考虑当函数y=2x+20的值为0时，所对应的自变量x为何值.这可以通过解方程2x+20=0,得出x=-10 .因此这两个问题实际上是一个问题.从函数图象上看，直线y=2x+20与x轴交点的坐标（-10, 0）,这也说明函数y=2x+20 值为0 对应的自变量x 为-10,即方程2x+20=0的解是x=-10 .[ 活动一]活动内容设计：由上面两个问题的关系,大家来讨论思考,归纳概括出解一元一次方程与求自变量x 为何值时,一次函数y=kx+b的值为0有什么关系？教师活动：引导学生从特殊事例中寻求一般规律.进而总结出一次函数与一元一次方程的内在联系,从思想上真正理解函数与方程的关系.学生活动：在教师引导下,通过自主合作,分析思考,找出这两个具体问题中的一般规律,从而经过讨论,归纳概括出较完整的关系,还要从思想上正确理解函数与方程关系的目的.活动过程与结论：规律：任何一个一元一次方程都可转化为：kx+b=0（k、b 为常数,k M 0）的形式.而一次函数解读式形式正是y=kx+b （k、b为常数，k M0）.当函数值为0 时, ?即kx+b=0 就与一元一次方程完全相同.结论：由于任何一元一次方程都可转化为kx+b=0 (k、b为常数，k M 0) 的形式．所以解一元一次方程可以转化为：当一次函数值为0 时，求相应的自变量的值．从图象上看，这相当于已知直线y=kx+b 确定它与x 轴交点的横坐标值．［例］一个物体现在的速度是5m/s，其速度每秒增加2m/s，再过几秒它的速度为17m/s？［解］方法一：设再过x秒物体速度为17m/s •由题意可知：2x+5=17解之得：x=6．方法二：速度y (m/s)是时间x (s)的函数，关系式为：y=2x+5．当函数值为17时，对应的自变量x值可通过解方程2x+5=17得到x=6．方法三：由2x+5=17可变形得到：2x-12=0 .从图象上看，直线y=2x-12 与x 轴的交点为( 6，0)．得x=6．总结：这个题我们通过三种方法，从方程、函数解读式及图象三个不同方面进行解答．它是数与形的完美结合，结果是相同的，这就是特途同归．［活动二］活动内容设计：利用图象求方程6x-3=x+2 的解．教师活动：引导学生通过解决问题掌握方法，提高认识，从思想上真正理解数形结合的重要性．学生活动：在教师引导下用不同的思维方法来解决这一问题，从思想上理清数与形的有机结合.活动过程与结论：方法一：我们首先将方程6x-3=x+2整理变形为5x-5=0 .然后画出函数y=5x-5的图象，看直线y=5x-5与x轴的交点在哪儿，？坐标是什么，由交点横坐标即可知方程的解.由图可知直线y=5x-5与x轴交点为（1，0），故可得x=1.方法二：我们可以把方程6x-3=x+2看作函数y=6x-3与y=x+2在何时两函数值相等，？即可从两个函数图象上看出，直线y=6x-3与y=x+2的交点，？交点的横坐标即是方程的解.由图象可以看出直线y=6x-3与y=x+2交于点（1，3），所以x=1.1 . 2x-3=x-2 . 2 . x+3=2x+1.三、随堂练习四、课时小结五、课后作业六、板书设计第二课时课题：一次函数与一元一次不等式教案目标（一）知识认知要求1. 认识一元一次不等式与一次函数问题的转化关系.2. 学会用图象法求解不等式3 •进一步理解数形结合思想.（二）能力训练要求1. 通过一元一次不等式与一次函数的图象之间的结合，培养学生的数形结合意识•2. 训练大家能利用数学知识去解决实际问题的能力.（三）情感与价值观要求体验数、图形是有效地描述现实世界的重要手段，认识到数学是解决问题和进行交流的重要工具，了解数学对促进社会进步和发展人类理性精神的作用•教案重点1. 理解一元一次不等式与一次函数的转化及本质联系。

一次函数与一元一次方程教学目标：掌握一次函数与一元一次方程知识解决相关实际问题；体会解决问题方法多样性。

教学重点：灵活运用知识解决相关问题．教学难点：初步了解数形结合的内涵。

教具准备：三角尺教学过程一、观察思考：二者之间有什么联系？（１）．方程2x+20=0解（２）．函数y=2x+20从数上看：方程2x+20=0的解，是函数y=2x+20的值为0时，对应自变量的值从形上看：函数y=2x+20与x轴交点的横坐标即为方程2x+20=0的解关系：由于任何一元一次方程都可转化为kx+b=0（k、b为常数，k≠0）的形式．所以解一元一次方程可以转化为：当一次函数值为0时，求相应的自变量的值从图象上看，这相当于已知直线y=kx+b确定它与x轴交点的横坐标值．二、讲例：例1 一个物体现在的速度是5m/s，其速度每秒增加2m/s，再过几秒它的速度为17m/s？（用两种方法求解）解法一：设再过x秒物体速度为17m/s．由题意可知：2x+5=17 解之得：x=6．解法二：速度y（m/s）是时间x（s）的函数，关系式为：y=2x+5．当函数值为17时，对应的自变量x值可通过解方程2x+5=17得到x=6解法三：由2x+5=17可变形得到：2x-12=0．从图象上看，直线y=2x-12与x轴的交点为（6，0）．得x=6．(例1图) (例2图)例利用图象求方程6x-3=x+2的解，并笔算检验解法一：由图可知直线y=5x-5与x轴交点为（1，0），故可得x=1 我们可以把方程6x-3=x+2看作函数y=6x-3与y=x+2在何时两函数值相等，•即可从两个函数图象上看出，直线y=6x-3与y=x+2的交点，•交点的横坐标即是方程的解．解法二：由图象可以看出直线y=6x-3与y=x+2交于点（1，3），所以x=1三、小结本节课从解具体一元一次方程与当自变量x为何值时一次函数的值为0这两个问题入手，发现这两个问题实际上是同一个问题，进而得到解方程kx+b=0与求自变量x为何值时，一次函数y=kx+b值为0的关系，并通过活动确认了这个问题在函数图象上的反映．数形结合在以后学习中有很重要的作用四、练习：用不同种方法解下列方程：1．2x-3=x-2．2．x+3=2x+1．五、课后作业：P129习题14.3 1、2题一次函数与一元一次不等式教学目标：求一元一次不等式的解;理解数形结合的内涵。

八年级用函数的观点看方程（组）与不等式1．一元一次方程、一元一次不等式及一次函数的关系一次函数及其图像与一元一次方程及一元一次不等式有着密切的关系，函数y=ax+b （a≠0，a ，b 为常数）中，函数的值等于0时自变量x 的值就是一元一次方程ax+•b=0（a≠0）的解，所对应的坐标（－ba，0）是直线y=ax+b 与x 轴的交点坐标，反过来也成立；•直线y=ax+b 在x 轴的上方，也就是函数的值大于零，x 的值是不等式ax+b>0（a≠0）的解；在x 轴的下方也就是函数的值小于零，x 的值是不等式ax+b<0（a ≠0）的解． 2．坐标轴的函数表达式函数关系式x=0的图像是y 轴，反之，y 轴可以用函数关系式x=0表示；•函数关系式y=0的图像是x 轴，反之，x 轴可以用函数关系式y=0表示． 3．一次函数与二元一次方程组的关系一般地，每个二元一次方程组，都对应着两个一次函数，于是也就是对应着两条直线，从“数”的角度看，解方程相当于考虑自变量为何值时两个函数的值相等，以及这两函数值是何值；从形的角度考虑，解方程组相当于确定两条直线的交点坐标，所以一次函数及其图像与二元一次方程组有着密切的联系． 4．两条直线的位置关系与二元一次方程组的解（1）二元一次方程组1122y k x b y k x b =+⎧⎨=+⎩有唯一的解⇔直线y=k 1x+b 1不平行于直线y=k 2x+b 2 ⇔k 1≠k 2．（2）二元一次方程组1122y k x b y k x b =+⎧⎨=+⎩无解⇔直线y=k 1x+b 1∥直线y=k 2x+b 2 ⇔k 1=k 2，b 1≠b 2．（3）二元一次方程组1122y k x b y k x b =+⎧⎨=+⎩有无数多个解⇔直线y=k 1x+b 1与y=k 2x+b 2重合⇔k 1=k 2，b 1=b 2．◆例题解析例1 （2006，长河市）我市某乡A ，B 两村盛产柑橘，A •村有柑橘200t ，•B •村有柑橘300t ．现将这些柑橘运到C ，D 两个冷藏仓库，•已知C •仓库可储存240t ，•D •仓库可储存260t ；从A 村运往C ，D 两处的费用分别为每吨20元和25元，从B 村运往C ，D 两处的费用分别为每吨15元和18元，设从A 村运往C 仓库的柑橘重量为xt ，A ，B •两村运往两仓库的柑橘运输费用分别为y A 元和y B 元． （1）请填写下表，并求出y B ，y A 与x 之间的函数关系式； （2）试讨论A ，B 两村中，哪个村的运费较少；（3）考虑到B 村的经济承受能力，B 村的柑橘运费不得超过480元．在这种情况下，•请问怎样调运，才能使两村运费之和最小？求出这个最小值． 例2 某家庭今年3个月的煤气量和支付费用见下表：该市的煤气收费方法是：基本费+超额费+•保险费，•若每月用气量不超过最低量am 3，则只付3元基本费和每户的定额保险费c 元；若用气量超过acm 3，则超过的部分每立方米支付b 元，并知c≤5元，求a ，b ，c ．一、填空题1．（2008，武汉）如图1所示，直线y=kx+b 经过A （－2，－1）和B （－3，0）两点，则不等式组12x<kx+b<0的解集为_______．图1 图2 图32．（2006，江苏南通）如图2，直线y=kx （k>0）与双曲线y=4x交于A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）两点，则2x 1y 2－7x 2y 1的值等于_______．3．如图3所示，L 甲，L 乙分别表示甲走路与乙骑自行车（在同一条路上）行走的路程s 与时间t 的关系，观察图像并回答下列问题：（1）乙出发时，与甲相距______km ； （2）走了一段路后，乙的自行车发生故障，停下来修理，修车为_____h ； （3）乙从出发起，经过_____h 与甲相遇； （4）甲行走的路程s 与时间t 之间的函数关系式_______； （5）如果乙自行车不出现故障，那么乙出发后经过______h 与甲相遇，相遇处离乙的出发点____km ．并在图中标出其相遇点．4．直线y=－x+a 与直线y=x+b 的交点坐标为（m ，8），则a+b=______． 5．已知一次函数y=2x －a 与y=3x －b 的图像相交于x 轴原点外一点，则aa b=_____． 6．已知关于x 的一次函数y=mx+2m －7在－1≤x≤5上的函数值总是正数，则m 的取值范围是_______．7．若A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）为一次函数y=3x －1图像上的两个不同的点，且x 1>x 2，则y 1与y 2的大小关系是_______． 8．（2008，绍兴）如图4所示，已知函数y=x+b 和y=ax+3的图像交点为P ，•则不等式x+b>ax+3的解集为________．图4 图5 图6 二、选择题9．函数y 1=x+1与y 2=ax+b （a≠0）的图像如图5所示，•这两个函数图像的交点在y 轴上，那么使y 1，y 2的值都大于零的x 的取值范围是（ ）A ．x>－1B ．x<2C ．1<x<2D ．－1<x<210．（2006，河南）如图6，一次函数y=kx+b 的图像经过A ，B 两点，则kx+b>0•的解集是（ ） A ．x>0 B ．x>2 C ．x>－3 D ．－3<x<211．小亮用作图像的方法解二元一次方程组时，在同一直角坐标系内作出了相应的两个一次函数的图像L 1，L 2如图所示，他解的这个方程组是（ ）A ．22112y x y x =-+⎧⎪⎨=-⎪⎩ B ．22y x y x =-+⎧⎨=-⎩ C ．38,132y x y x =-⎧⎪⎨=-⎪⎩ D ．22,112y x y x =-+⎧⎪⎨=--⎪⎩ 12．已知一次函数y=32x+m 和y=－12x+n 的图像都经过点A （－2，0），且与x 轴交于A ，B 两点，那么△ABC的面积是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．613．如图，一次函数y=kx+6的图像经过A ，B 两点，则kx+b>0的解集是（ ）A ．x>0B ．x<2C ．x>－3D ．－3<x<214．（2004，安徽省）购某种三年期国债x 元，到期后可得本息和y 元，已知y=kx ，•则这种国债的年利率为（ ） A ．k B ．3k C ．k －1 D ．13k - 三、解答题15．（2006，浙江舟山）近阶段国际石油迅速猛涨，中国也受期影响，为了降低运行成本，部分出租车进行了改装，改装后的出租车可以用液化气来代替汽油．•假设一辆出租车日平均行程为300km ．（1）使用汽油的出租车，假设每升汽油能行驶12km ，当前的汽油价格为4.6元/L ，•当行驶时间为t 天时，所耗的汽油费用为p 元，试写出p 关于t 的函数关系式；（2）使用液化气的出租车，假设每千克液化气能行驶15～16km ，•当前的液化气价格为4.95元/kg ，当行驶时间为t 天时，所耗的液化气费用为w 元，试求w 的取值范围（用t 表示）；（3）若出租车要改装为使用液化气，每辆需配置成本为8000元的设备，•根据近阶段汽油和液化气的价位，请在（1）（2）的基础上，计算出最多几天就能收回改装设备的成本？•并利用你所学的知识简单说明使用哪种燃料的出租车对城市的健康发展更有益．（用20字左右谈谈感想）．16．（2003，岳阳市）我市某化工厂现有甲种原料290kg ，乙种原料212kg ，计划利用这两种原料生产A ，B 两种产品共80件．生产一件A 产品需要甲种原料5kg ，•乙种原料1.5kg ，生产成本是120元；生产一件B 产品，需要甲种原料2.5kg ，乙种原料3.5kg ，•生产成本是200元．（1）该化工厂现有的原料能否保证生产？若能的话，有几种生产方案，请你设计出来；（2）设生产A ，B 两种产品的总成本为y 元，其中一种的生产件数为x ，试写出y 与x 之间的函数关系，并利用函数的性质说明（1）中哪种生产方案总成本最低？•最低生产总成本是多少？17．（2006，宁波市）宁波市土地利用现状通过国土资源部验收，该市在节约集约用地方面已走在全国前列．1996～2004年，市区建设用地总量从33万亩增加到48万亩，相应的年GDP从295亿元增加到985亿元．宁波市区年GDPy（亿元）与建设用地总量x（•万亩）之间存在着如图所示的一次函数关系．（1）求y关于x的函数关系式；（2）据调查2005年市区建设用地比2004年增加4万亩，•如果这些土地按以上函数关系式开发使用，那么2005年市区可以新增GDP多少亿元？（3）按以上函数关系式，该市年GDP每增加1亿元，需增建设用地多少万亩？（•精确到0.001万亩）18．（2005，盐城市）学校书法举小组准备到文具店购买A，B两种类型的毛笔，文具店的销售方法是：一次性购买A型毛笔不超过20支时，按零售价销售；超过20支时，•超过部分每支比零售价低0.4元，其余部分仍按零售价销售．一次性购买B型毛笔不超过15支时，按零售价销售；超过15支时，超过部分每支比零售价低0.6元，•其余部分仍按零售价销售．（1）如果全组共有20名同学，若每人各买1支A型毛笔和2支B型毛笔，共支付145元；若每人各买2支A 型毛笔和1支B型毛笔，共支付129元．这家文具店的A，B•两种类型毛笔的零售价各是多少？（2）为了促销，该文具店的A型毛笔除了原来的销售方法外，同时又推出了一种新的销售方法：无论购买多少支，一律按原零售价[即（1）中所求得的A型毛笔的零售价]的90%出售．现要购买A型毛笔a支（a>40），在新的销售方法和原来的销售方法中，•应选哪种方法购买花钱较少？并说说理由．21．（2004，河北省）光华农机租赁公司共有50台联合收割机，其中甲型20台，乙型30台．现将这50台联合收割机派往A，B两地区收割小麦，其中30台派往A地区，20•台派往B地区．Array两地区与该农村租赁公司商定的每天的租赁价格见下表：（1）设派往A地区x台乙型联合收割机，租赁公司这50台联合收割机一天获得的租金为y（元），求y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围；（2）若使农机租赁公司这50台联合收割机一天获得的租金总额不低于79600元，•说明有多少种分派方案，并将各种方案设计出来；（3）如果要使这50台联合收割机每天获得的租金最高，请你为光华租赁公司提出一条合理建议．。

用函数观点看方程（组）与不等式【教学目标】1、能用函数观点看一次方程（组）、不等式；2、能用辩证的观点认识一次函数与一次方程、不等式的区别与联系；3、在解决简单的一次函数的问题过程中，建立数形结合的思想及转化思想.【知识梳理】1．一次函数与一元一次方程由于任何一元一次方程都可以转为0ax b +=（,a b 为常数，0a ≠）的形式，所以解一元一次方程可转化为：当某一个函数的值为0时，求__________的值.从图像上看，这相当于已知直线y ax b =+，确定它与轴交点的横坐标的值.2. 一次函数与不等式由于任何一元一次不等式都可以转为0ax b +>或0ax b +<（,a b 为常数，0a ≠）的形式，所以解一元一次不等式可看作：当一次函数的值_________时，求自变量相应的取值范围.3．一次函数与二元一次方程组一般地，每个二元一次方程组都对应两个一次函数，于是对应两条直线.从“数”的角度看，解方程组相当于考虑自变量为何值时两个函数的值相等，以及这个函数值是何值；从的“形”角度看，解方程组相当于确定两条直线_________的坐标.参考答案：1. 相应的自变量2. 大（小）于03. 交点【典例精讲】1、解一次函数与一元一次方程【例1】一个物体现在的速度是5米/秒，其速度每秒增加2米/秒，再过几秒它的速度是17米/秒？【解析】应用一次函数的与一元一次方程的方法即可求解.解法1：设再过x 秒物体的速度是17米/秒，列方程得2517x +=6x =解法2：速度y （单位：米/秒）是时间x （单位：秒）的函数25y x =+由 2517x +=∴ 2120x -=由下图可看出直线212y x =-与x 轴的交点为（6,0），得6x =总结：解一元一次方程可转化为：当某一个函数的值为0时，求相应的自变量的值.从图像上看，这相当于已知直线y ax b =+，确定它与轴交点的横坐标的值.练 1. 将方程37x y +=全部的解写成坐标(,)x y 的形式，那么用全部的坐标描出的点都在直线（ ）上.A. 1733y x =-B. 1733y x =+C. 1733y x =-+D. 1733y x =-- 【解析】将方程转化成直线y ax b =+的形式，即可求解.解： ∵37x y +=∴1733y x =-+ 故选C.练2.一次函数142y x =-和33y x =-+的图像的交点坐标是_____________. 【解析】采用带入法，将其中一个一次函数带入另一个，即可求解坐标. 解： 将142y x =- 代入33y x =-+，得 14332x x -=-+ 2x =∴ 3y =-∴交点坐标为（2，-3）.2．解一次函数与一元一次不等式【例2】用画函数图像的方法解不等式54210x x +<+.【解析】化简不等式，再画出一次函数图像，结合图像即可求解.解法1：原不等式为360x -<，画出直线36y x =-，可看出，当2x <时这条直线上的点在轴的下方，即这时360y x =-<，所以不等式的解集为2x <.解法2：将原不等式为的两边分别看作两个一次函数，画出直线54y x =+与210y x =+，可看出，它们的交点的横坐标为2，当时，对于同一个，直线上的点在直线上相应点的下方，这时，所以不等式的解集为2x <.总结把解不等式转化为比较直线上点的位置的高低，数形结合即可求解.练3.如图，直线y kx b =+与x 轴交于点（-4,0），则0y >时，x 的取值范围是______.【解析】结合图象，满足0y >时，即直线位于x 轴的上方部分，即可求解.解： ∵直线与x 轴交于点（-4,0），结合图象特点，∴当0y >时，4x >-.练4.一次函数y kx b =+的图象如下图，则当x ________时，4y <.【解析】根据函数图象特殊点（-2,4），即可求解.解： 由图象可知，直线过点（-2,4），∴当2x >-时，4y <.3．一次函数与二元一次方程组【例3】一家电信公司给顾客提供上网费的两种计费方式：方式A 以每分0.1元的价格按上网时间计费；方式B 除收月基本费20元外，再以每分0.05元的价格按上网时间计费.上网时间为多少分，两种方式的计费相等？【解析】计费与上网时间有关，所以可设上网时间为x 分，分别写出两种计费方式的函数模型，然后再考虑自变量为何值时两个函数的值相等．解：设上网时间为x 分方式A 的计费0.1y x =元；按方式B 的计费0.0520y x =+元.在同一直角坐标系中分别画出这两个函数的图像.两个函数的图象交于点（400,40），这表示当时，两个函数的值都等于40.因此，上网时间为400分，两种方式的计费相等（都是40元）.总结方程组、不等式与函数之间的相互联系，用函数观点可以把它们统一起来.解决问题时，应根据具体情况灵活地把它们结合起来考虑.练5. 如下图，1l 反映了某公司的销售收入与销售量的关系，2l 反映了该公司产品的销售成本与销售量的关系，当该公司赢利（收入大于成本）时，销售量（ ）A. 小于3吨B. 小于4吨C. 大于3吨D. 大于4吨【解析】根据图象两直线交点的坐标，赢利时即为1l 的y 值大于的2l 的y 值.解： 由题意可知，要使得公司赢利，即1l 的y 值大于的2l 的y 值∴ 4x >∴选D.练6.一次函数111y k x b =+与222y k x b =+的图象如下图，则当x ____时，12y y <；当x _____时，12y y =;当x _______时，12y y >.【解析】根据两个函数图象的交点坐标，即可求解.解： 由图象可知，两函数的交点坐标为（1，-3）当1x =时，12y y =;当1x <时，12y y >;当1x >时，12y y <.【例4】小亮用作图象的方法解二元一次方程组时，在同一直角坐标系内作出了相应的两个一次函数的图象L1，L2，如图所示，他解的这个方程组是（ ）.A ．22112y x y x =-+⎧⎪⎨=-⎪⎩B ．22y x y x =-+⎧⎨=-⎩C ．38132y x y x =-⎧⎪⎨=-⎪⎩D ．22112y x y x =-+⎧⎪⎨=--⎪⎩【解析】根据函数图象特殊点坐标，即可求解．解：由图象可知，两个函数均过点（2,-2）且直线L1过点（1,0），直线L2过点（-2，0）∴将点坐标带入选项中的一次函数，即可得，故选D.练7．如下图，已知函数y x b =+和3y ax =+的图象交点为P ，则不等式3x b ax +>+的解集为_____________.【解析】根据图象交点坐标，求出直线y x b =+在直线3y ax =+上方的部分即可．解：由图象交点横坐标可知，1x =时，两直线的值相等，∴当1x >时，3x b ax +>+.练8．如图，一次函数的图象经过A,B 两点，则0kx b +>的解集是（ ）.A. 0x >B. 2x <C. 3x >-D. 32x -<<【解析】根据一次函数直线特殊点坐标，求出直线位于x 轴上方的部分，即可求解．.解：由图象可知，直线过点A （-3,0），B （0，2）要使0kx b +>，即3x >-故选C.【例5】已知如图，一次函数y kx b =+的图象与x 轴交于点M ，则点M 的横坐标M x =_______.（1） 若0k >，则当M x x <时，y _____0；当M x x >时，y _____0；（2） 若0k <，则当M x x <时，y _____0；当M x x >时，y _____0；【解析】根据函数图象，与x 轴交点坐标，及为当0y =时，求出方程的解即可．解：由函数图象可知，当0y =时，即0kx b +=，故M b x k=- （1） 若0k >，则当M x x <时，0y <；当M x x >时，0y >；（2） 若0k <，则当M x x <时，0y >；当M x x >时，0y <总结：利用一次函数直线与x 轴的交点坐标，即可求出y 与0的大小关系.练9．已知直线26x y k -=-+和341x y k +=+，若它们的交点在第四象限内，求k 的取值范围.【解析】可以根据已知条件列出方程组解题．解：依题意有26341x y k x y k -=-+⎧⎨+=+⎩则解得41x k y k =+⎧⎨=-⎩因为两条直线的交点在第四象限内，∴4010k k +>⎧⎨-<⎩∴41k -<<，即k 的取值范围是41k -<<练10．已知直线y kx b =+经过点5,02⎛⎫⎪⎝⎭，且与坐标轴围成的三角形的面积为254，求该直线的函数解析式． 【解析】由点5,02⎛⎫ ⎪⎝⎭在直线y kx b =+上，可以得到一个关于,k b 的方程，再求出直线与两坐标轴的交点坐标，由三角形面积为254可列出第二个方程，由两个方程组成的方程组可以解出,k b 的值． 解：∵直线y kx b =+过点5,02⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴502k b =+① ∵直线与x 轴、y 轴的交点坐标分别为25(,0),(0,),4ABC b A B b S k -=（O 为原点）， ∴1125224b OA OB b k =-=②， 由①和②组成的方程组解得2k =，∴122,2k k ==-， 125,5b b =-=则所求直线的解析式为25y x =-或25y x =-+．4. 实际应用题【例6】．一个有进水管与出水管的容器，从某时刻开始的4分钟内只进水不出水，在随后的8分钟内既进水又出水，每分钟的进水量和出水量是两个常数，容器内的水量y （单位：升）与时间x （单位：分）之间的关系如图所示.（1） 求04x ≤≤时y 随x 变化的函数关系式.（2） 求412x ≤≤时y 随x 变化的函数关系式.（3） 每分钟进水、出水各多少升？【解析】根据容器内每分钟水量=进水量-出水量建立关系式，再根据前4分钟只有进水，即可得到进水的函数关系式，结合图象特殊点坐标，即可求解．解：由函数图象可知，（1）当04x ≤≤时，直线过点（0,0）、（4,20）；∴5y x =（2）当412x ≤≤时，直线过点（4,20）、（12,30）∴5154y x =+（3）每分钟进水量=2054=L ； 每分钟出水量=105 3.758-=L. 练11．如图，某公司专销A 产品，第一批A 产品上市40天内全部售完，该公司对第一批A 产品上市后的市场销售情况进行了跟踪调查，调查结果如图所示，其中甲图中的折线表示的是市场日销售量与上市时间的关系；乙图中的折线表示的是每件A 产品的销售利润与上市时间的关系.（1） 试写出第一批A 产品的市场日销售量与上市时间的关系式：（2） 第一批A 产品上市后，哪一天这家公司市场日销售利润最大？最大利润是多少万元？【解析】根据图象特殊点坐标，对应x 的变化范围建立函数关系式，即可求解．解：（1）由甲图可知，图象过点（30，6）第一批A 产品的市场日销售量与上市时间的关系式为：当30t ≤时，5y t =当3040t <≤时，3245y t =-+（2）结合甲、乙两图可知，∵日销售利润=日销售量×每件产品销售利润∴当30t =时，630180y =⨯=（万元）.. 练12．某商场计划投入一笔资金购一批紧销商品，经过市场调查发现，如果月初出售，可获利15%，并可用本和利再投资其他商品，到月末又可获利10%；如果月末出售，可获利30%，但要付出仓库储存费用700元，请根据商场投资情况，分析如何购销获利较多？.【解析】根据题意建立一次函数关系式，再采用数形结合法，即可求解．解：设商场投资x 元，月初出售获利：115%10%(15%)y x x x =++∴ 10.265y x =月末出售获利：20.3700y x =-在直角坐标系中画出两个函数的图象：两图象的交点坐标 为 (20000，5300)∴方程组的0.2650.3700y xy x =⎧⎨=-⎩ 的解是200005300x y =⎧⎨=⎩∴由图象可知：当020000x <<时，12y y >，选择在月初出售；当20000x = 时，12y y =，两种方式任意选； 当20000x >时，12y y <，选择在月末出售. 【当堂检测】1．若一次函数4833y x =-中，x 的取值为22x -≤≤，则y 的取值范围是___________；若y 的取值为44y -≤≤，则x 的取值范围是___________．2．一次函数y=kx+3，当x 减少2时，y 的值增加6，则此函数的解析式为___________．.3．已知直线y=kx+3和y=3x+p 交于(-)，则k=_______________,p=____________． 4．用作图象的方法解方程组 3236x y x y +=⎧⎨-=⎩5. 已知：如图，y 1＝3x ＋b 和y 2＝ax －3的图象交于点P (－2， －5)， 则3x ＋b ＞ax －3的解集是____.【家庭作业】1.已知直线y=kx与直线y=-平行，则k=_________．2. 直线y=(3k-2)x+b-12与y=kx-3-2b重合，则k=_____________，b=____________．3．一次函数y=mx+n(m≠0)的图象过点(-2，3)，且m：n=2：3，那么这个图象的函数解析式为_______________．4．两个函数y1=2x+1和y2=4x-7，当x__________时，y2＞y1．5. 用作图象的方法解方程组341x yx y-=⎧⎨=-⎩.6．如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（-3，0），（0，3）．一次函数图象上的两点P，Q在直线AB的同侧，且直线PQ与y轴交点在y轴正半轴上，若△QAB的面积都等于3，求这个一次函数的解析式．参考答案：当堂检测1．-≤y≤0 -1≤x≤5 分析：由题意得x=，所以-2≤≤2，解得-≤y≤0，同理，由-4≤≤4得-1≤x≤5．2．答案：y=-3x+3 分析：函数y=kx+3经过点(0，3)，又因为x减2时y的值增加6，故该一次函数还经过点（-2，9），把（-2，9）代入y=kx+3得k=-3，所以解析式为y=-3x+3．3．答案：分析：把（-）代入两个解析式，得k=．4．答案：30 xy=⎧⎨=⎩.5. 答案：2x>-．家庭作业1.-.2. 1 3 分析：两直线重合，即两直线为同一条直线，所以有.3. 答案：y=-6x-9. 分析：把点（-2，3）代入y=mx+n得-2mm+n=3，又因为m：n=2：3，解得m=-6，n=-9，故解析式为y=-6x-9．4. 答案：x＞4 分析：由y2＞y1得4x-7＞2x+1，解得x＞4．5. 答案：2.53.5 xy=⎧⎨=⎩6. 解析：三角形的面积=×底×高，由图象可知|AO|=3，|BO|=3，则本题解析式可求．解：根据图象和已知条件有S△QAB=3，即·|BQ|·|AO|=3，由|AO|=3，可知|BQ|=2，因为S△PQB=3，即·|PA|·|BO|=3，由|BO|=3，可知|PA|=2再因为P、Q两点在直线AB同侧，所以P点坐标为(-5，0)．设直线PQ的解析式为y=kx+b，则有则所以所求一次函数解析式为y=x+5．。