2016-2017学年安徽省合肥市第一中学等省级名校高二上学期期末大联考数学(文)试题 扫描版

合肥市高二上学期数学期末考试试卷D卷合肥市高二上学期数学期末考试试卷 D 卷姓名:________班级:________成绩:________一、单选题 (共 8 题；共 16 分)1. （2 分） (2016 高二上·嘉兴期末) 不等式 x2+2x﹣3＞0 的解集是（）A . {x|x＜﹣3 或 x＞1}B . {x|x＜﹣1 或 x＞3}C . {x|﹣1＜x＜3}D . {x|﹣3＜x＜1}2. （2 分）已知等比数列中有 A.2 B.4 C.8 D . 16，数列是等差数列，且，则3. （2 分） (2020 高二上·青铜峡期末) 已知点，且,则的面积为（）是椭圆的两个焦点，是该椭圆上的一A.B.C.D.24. （2 分） (2018 高二上·阳高期末) “”是“第 1 页共 14 页”的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充分必要条件D . 既不充分也不必要条件5. （2 分） (2019 高二上·南宁月考) 已知是椭圆与双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且| PF2 |>| PF1 |，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，，则的最小值为（）A.4B.6C. D.86. （2 分）(2018 高二上·鞍山期中) 在等比数列{an}中，a3 ，a15 是方程 x2+6x+2=0 的根，则的值为（）A. B.C.D.或7. （2 分）(2017·新课标Ⅱ卷文) 过抛物线 C：y2=4x 的焦点 F，且斜率为上方），l 为 C 的准线，点 N 在 l 上，且MN⊥l，则 M 到直线 NF 的距离为（）的直线交 C 于点 M（M 在 x 轴A.B.2第 2 页共 14 页C.2D.38. （2 分） (2016 高二上·翔安期中) 已知函数 f（x）=x2+bx 的图象过点（1，2），记 an= 的前 n 项和为 Sn ，则 Sn 等于（）．若数列{an}A.B.C.D.二、多选题 (共 4 题；共 12 分)9. （3 分） (2019 高二上·烟台期中) 下列说法正确的是（）.A.若，，则的最大值为 4B.若C.若，则函数，的最大值为-1 ，则的最小值为 1D . 函数的最小值为 910. （3 分） (2020 高二上·徐州期末) 给出下列四个命题，其中正确的是（）A.B.C.使得D.，使得第 3 页共 14 页11. （3 分） (2020 高二上·徐州期末) 给出下列命题，其中不正确的命题为（） A . 若＝，则必有 A 与 C 重合，B 与 D 重合，AB 与CD 为同一线段；B.若，则是钝角；C . 若为直线 l 的方向向量，则(λ∈R)也是 l 的方向向量；D . 非零向量满足与，与，与都是共面向量，则必共面．12. （3 分） (2020 高二上·徐州期末) 已知双曲线的左、右两个顶点分别是 A1,A2,左、右两个焦点分别是 F1,F2,P 是双曲线上异于 A1,A2 的任意一点，给出下列命题，其中是真命题的有（）A.B . 直线C . 使得的斜率之积等于定值为等腰三角形的点有且仅有 8 个D.的面积为三、填空题 (共 4 题；共 4 分)13. （1 分）(2017·南京模拟) 双曲线的一个焦点到其渐近线的距离是________．14. （1 分） (2018 高一下·应县期末) 若正实数满足，则的最小值是________．15. （1 分）(2020·陕西模拟) 已知数列满足是直线上的点，则数列的通项公式为________；令内时，使 y 的值为正整数的所有 k 值之和为________.，当时，，且点，则当 k 在区间16. （1 分）等差数列{an}的前 n 项和为，且得对一切正整数 n ，≤M 都成立，则 M 的最小值是________.四、解答题 (共 6 题；共 65 分)第 4 页共 14 页记，如果存在正整数 M ，使17. （5 分）(2017·海淀模拟) 对于无穷数列{an}，记T={x|x=aj ﹣ai ，i＜j}，若数列{an}满足：“存在t∈T，使得只要am﹣ak=t （m，k∈N*且m＞k），必有am+1﹣ak+1=t”，则称数列{an}具有性质 P（t）．（Ⅰ）若数列{an}满足判断数列{an}是否具有性质 P（2）？是否具有性质 P（4）？（Ⅱ）求证：“T 是有限集”是“数列{an}具有性质P（0）”的必要不充分条件；（Ⅲ）已知{an}是各项为正整数的数列，且{an}既具有性质P （2），又具有性质 P（5），求证：存在整数 N，使得 aN ， aN+1 ，aN+2 ，…，aN+k ，…是等差数列．18. （10 分）(2013·四川理) 在等差数列{an}中，a1+a3=8，且a4 为 a2 和 a9 的等比中项，求数列{an}的首项，公差及前 n 项和．19. （10 分） (2019 高二下·亳州月考) 已知函数，．（1）若函数在处取得极值，求实数的值；（2）若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围；（3）讨论函数的零点个数．20. （15 分）如图，在四棱锥 P﹣ABCD 中，PD⊥平面 ABCD，PD=DC=BC=1，AB=2，AB∥CD，∠BCD=90°．（1）求证：BC⊥平面 PDC；（2）求点 A 到平面 PBC 的距离．21. （10 分）(2018·泉州模拟) 已知椭圆第 5 页共 14 页的离心率为，上顶点为 . 点在上，点，的最大面积等于.（Ⅰ）求的方程；（Ⅱ）若直线为定值.与交于另一点，直线分别与轴交于点，试判断是否22. （15 分）已知数列中，a1=1，，数列中，b1=1，且点在直线 y=x-1 上．（1）求数列及的通项公式；（2）若，求数列的前 n 项和 Sn．第 6 页共 14 页一、单选题 (共 8 题；共 16 分)1-1、 2-1、 3-1、 4-1、 5-1、 6-1、 7-1、 8-1、二、多选题 (共 4 题；共 12 分)9-1、 10-1、 11-1、 12-1、三、填空题 (共 4 题；共 4 分)13-1、 14-1、参考答案第 7 页共 14 页15-1、 16-1、四、解答题 (共 6 题；共 65 分) 第 8 页共 14 页第 9 页共 14 页18-1、 19-1、 19-2、第 10 页共 14 页19-3、 20-1、第 11 页共 14 页20-2、第 12 页共 14 页21-1、 22-1、第 13 页共 14 页22-2、第 14 页共 14 页。

2023-2024学年安徽省合肥市六校联盟高二（上）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．12(a →+2b →−3c →)−3(a →−2b →−c →)=（ ） A ．−52a →−4c →B ．−52a →+4b →−2c →C ．−52a →+7b →+32c →D ．−52a →−5b →−92c →2．已知平面α内有一个点A （2，﹣1，2），α的一个法向量为n →=（3，1，2），则下列点P 中，在平面α内的是（ ） A ．（1，﹣1，1） B ．(1，3，32)C ．(1，−3，32)D ．(−1，3，−32)3．已知等差数列{a n }的通项公式为a n ＝9﹣2n ，则其前n 项和S n 取得最大值时，n 的值（ ） A ．6B ．5C ．4D ．34．战国时期成书《经说》记载：“景：日之光，反蚀人，则景在日与人之间”．这是中国古代人民首次对平面镜反射的研究，体现了传统文化中的数学智慧．在平面直角坐标系xOy 中，一条光线从点（2，3）射出，经y 轴反射后与圆x 2﹣6x +y 2+4y +9＝0相交所得弦长为2√3，则反射光线所在直线的斜率为（ ） A ．−43或−34B ．−34C ．−53D ．−53或−355．已知正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为2，则四棱锥A 1﹣ABC 1D 1的体积为（ ） A ．43B ．8√23C ．83D ．1636．双曲线x 29−y 216=1的两个焦点分别是F 1，F 2，双曲线上一点P 到F 1的距离是7，则P 到F 2的距离是（ ） A ．13B ．1C ．1或13D ．2或147．设S n 是等比数列{a n }的前n 项和，a n ＞0，若S 6﹣2S 3＝5，则S 9﹣S 6的最小值为（ ） A ．14B ．12C ．20D ．548．P 是抛物线y 2＝8x 上一点，点A （4，1），B 是圆C ：（x +2）2+（y ﹣4）2＝1关于直线l ：x ﹣y +2＝0的对称曲线C 1上的一点，则|P A |+|PB |的最小值是（ ） A ．3B ．4C ．5D ．6二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．如图，空间四边形OABC 中，M ，N 分别是边OA ，CB 上的点，且AM ＝2MO ，CN ＝2NB ，点G 是线段MN 的中点，则以下向量表示正确的是（ ）A ．AG →=56OA →+13OB →+16OC →B ．BG →=16OA →−23OB →+16OC →C ．CG →=16OA →−13OB →+56OC →D ．OG →=16OA →+13OB →+16OC →10．法国数学家笛卡尔开创了解析几何思想方法的先河．他研究了许多优美的曲线，在平面直角坐标系中，方程x 3+y 3＝3axy 所表示的曲线称为笛卡尔叶形线．当a ＝1时，笛卡尔叶形线具有的性质是（ ） A ．经过第三象限B ．关于直线y ＝x 对称C ．与直线x +y +1＝0有公共点D ．与直线x +y +1＝0没有公共点11．对于给定的数列{a n }，如果存在实数p ，q ，使得a n +1＝pa n +q 对任意n ∈N *成立，我们称数列{a n }是“线性数列”，数列{c n }满足c 1=1，c n+1=c n +b n (n ∈N ∗)，则（ ） A ．等差数列是“线性数列”B ．等比数列是“线性数列”C ．若{b n }是等差数列，则{c n }是“线性数列”D ．若{b n }是等比数列，则{c n }是“线性数列”12．已知P 为圆锥的顶点，O 为圆锥底面圆的圆心，M 为线段PO 的中点，AD 为底面圆的直径，△ABC 是底面圆的内接正三角形，AP =AB =2√3，则下列说法正确的是（ ） A ．BD ∥OCB ．AM ⊥平面MBCC ．在圆锥侧面上，点A 到PB 中点的最短距离为3D ．圆锥内切球的表面积为16(2−√3)π三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．设m ∈R ，b →=(1，−2，m)，c →=(2，−4，2)，b →∥c →，则m ＝ ． 14．点P 是椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)上一点，F 1，F 2分别是其左、右焦点，若|PF 1|+|PF 2|＝4，离心率为√32，则b ＝ ． 15．已知正四棱锥的侧棱长为2√2，其各顶点都在同一个球面上，若该球的体积为323π，则该正四棱锥的侧棱与底面所成的角的正弦值为 ．16．某中学响应政府号召，积极推动“公益一小时”，鼓励学生利用暑假时间积极参与社区服务，为了保障学生安全，与社区沟通实行点对点服务．原计划第一批派遣18名学生，以后每批增加6人．由于志愿者人数暴涨，学校与社区临时决定改变派遣计划，具体规则为：把原计划拟派遣的各批人数依次构成的数列记为{a n }，在数列{a n }的任意相邻两项a k 与a k +1（k ＝1，2，…）之间插入3k 个2，使它们和原数列的项构成一个新的数列{b n }．按新数列{b n }的各项依次派遣支教学生．记S 50为派遣了50批学生后参加公益活动学生的总数，则S 50的值为 ．四、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17题10分，第18～22题每题12分．17．（10分）已知圆C 经过点A （0，2），B （6，4），且圆心在直线x ﹣3y ﹣4＝0上． （1）求圆C 的方程；（2）若平面上有两个点P （﹣6，0），Q （6，0），点M 是圆C 上的点且满足|MP||MQ|=2，求点M 的坐标．18．（12分）已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 3＝3a 1﹣2，且S 5﹣S 3＝4a 2． （1）求数列{a n }的通项公式； （2）求数列{1S n}的前n 项和T n ．19．（12分）如图，在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，四边形AA 1C 1C 是边长为4的正方形，平面ABC ⊥平面AA 1C 1C ，AB ＝3，BC ＝5． （1）求证：AA 1⊥平面ABC ；（2）求平面A 1C 1B 与平面B 1C 1B 夹角的余弦值．20．（12分）已知数列{a n }的首项a 1=38，且满足a n +1=3a n 3a n +2．（1）求数列{1a n−3}的通项公式； （2）若1a 1+1a 2+1a 3+⋯+1a n＜101，求满足条件的最大整数n 的值．21．（12分）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，P A ⊥面ABCD ，AB ∥CD ，且CD ＝2，AB ＝1，BC ＝2√2，P A ＝1，AB ⊥BC ，E ，F 分别为PD ，BC 的中点． （1）求证：EF ∥平面P AB ；（2）在平面PBC 内是否存在点H ，满足HD →•HA →=0，若不存在，请简单说明理由；若存在，请写出点H 的轨迹图形形状．22．（12分）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的左、右顶点分别为A 1，A 2，且A 1A 2＝4，椭圆C 的一条以(1，12)为中点的弦所在直线的方程为3x +2y ﹣4＝0．（1）求椭圆C 的方程；（2）点P 为直线x ＝4上一点，且P 不在x 轴上，直线P A 1，P A 2与椭圆C 的另外一个交点分别为M ，N ，设△P A 1A 2，△PMN 的面积分别为S 1，S 2，求S 1S 2的最大值，并求出此时点P 的坐标．2023-2024学年安徽省合肥市六校联盟高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．12(a →+2b →−3c →)−3(a →−2b →−c →)=（ ） A ．−52a →−4c →B ．−52a →+4b →−2c →C ．−52a →+7b →+32c →D ．−52a →−5b →−92c →解：12(a →+2b →−3c →)−3(a →−2b →−c →)=−52a →+7b →+32c →．故选：C ．2．已知平面α内有一个点A （2，﹣1，2），α的一个法向量为n →=（3，1，2），则下列点P 中，在平面α内的是（ ） A ．（1，﹣1，1） B ．(1，3，32)C ．(1，−3，32)D ．(−1，3，−32)解：由题意可知符合条件的点P 应满足PA →⋅n →=0，选项A ，PA →=（2，﹣1，2）﹣（1，﹣1，1）＝（1，0，1）， PA →⋅n →=3×1+1×0+2×1＝5≠0，故不在平面α内；同理可得：选项B ，PA →=（1，﹣4，12），PA →⋅n →=0，故在平面α内；选项C ，PA →=（1，2，12），PA →⋅n →=6≠0，故不在平面α内；选项D ，PA →=（3，﹣4，72），PA →⋅n →=12≠0，故不在平面α内；故选：B ．3．已知等差数列{a n }的通项公式为a n ＝9﹣2n ，则其前n 项和S n 取得最大值时，n 的值（ ） A ．6B ．5C ．4D ．3解：由题意等差数列{a n }的通项公式为a n ＝9﹣2n ，则a 1＝9﹣2＝7， 故S n =n(7+9−2n)2=−(n −4)2+16， 即当n ＝4时，S n 取得最大值，即S n 取得最大值时，n 的值是4． 故选：C ．4．战国时期成书《经说》记载：“景：日之光，反蚀人，则景在日与人之间”．这是中国古代人民首次对平面镜反射的研究，体现了传统文化中的数学智慧．在平面直角坐标系xOy 中，一条光线从点（2，3）射出，经y 轴反射后与圆x 2﹣6x +y 2+4y +9＝0相交所得弦长为2√3，则反射光线所在直线的斜率为（ ） A ．−43或−34B ．−34C ．−53D ．−53或−35解：根据题意，设B 与点（2，3）关于y 轴对称，则B 的坐标为（﹣2，3）， 则反射光线经过点B ，且与圆x 2﹣6x +y 2+4y +9＝0相交．设反射光线所在直线的方程为y ﹣3＝k （x +2），即kx ﹣y +2k +3＝0， 圆x 2﹣6x +y 2+4y +9＝0的标准方程为（x ﹣3）2+（y +2）2＝4， 则圆心为（3，﹣2），半径r ＝2．因为弦长l =2√3，根据勾股定理得，圆心（3，﹣2）到反射光线的距离d ＝1， 故d =|5k+5|√1+k =1，即12k 2+25k +12＝0，解得k =−43或k =−34．故选A ．5．已知正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为2，则四棱锥A 1﹣ABC 1D 1的体积为（ ） A ．43B ．8√23 C ．83D ．163解：正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为2，以D 为原点，DA 所在直线为x 轴，DC 所在直线为y 轴，DD 1所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系，如图，A （2，0，0），B （2，2，0），D 1（0，0，2），A 1（2，0，2）， AB →=(0，2，0)，AD 1→=(−2，0，2)，AA 1→=(0，0，2)， 设平面ABC 1D 1的法向量n →=(x ，y ，z)，则{n →⋅AB →=2y =0n →⋅AD 1→=−2x +2z =0，取x ＝1，得n →=(1，0，1)，点A1到平面ABC1D1的距离d=|AA1→⋅n→||n→|=√2，S四边形ABC1D1=AB×AD1=2×√4+4=4√2，∴四棱锥A1﹣ABC1D1的体积为：V=13×S四边形ABC1D1×d=13×4√2×√2=83．故选：C．6．双曲线x29−y216=1的两个焦点分别是F1，F2，双曲线上一点P到F1的距离是7，则P到F2的距离是（）A．13B．1C．1或13D．2或14解：由题意双曲线x29−y216=1，a＝3，c＝5，|PF1|＜a+c，所以P在靠近F1的那一支上，则由双曲线的定义可知|PF2|﹣|PF1|＝6，P到F1的距离是7，∴|PF2|＝13，故选：A．7．设S n是等比数列{a n}的前n项和，a n＞0，若S6﹣2S3＝5，则S9﹣S6的最小值为（）A．14B．12C．20D．54解：设等比数列的{a n}的公比q，显然q＞0，q≠1，∵S6﹣2S3＝5，∴a1(q6−1)q−1−2a1(q3−1)q−1=5，∴a1(q3−1)2q−1=5，∴q＞1⇒q3＞1，则S9﹣S6=a1(q9−1)q−1−a1(q6−1)q−1=a1(q3−1)q−1⋅q6=5q6q3−1=5[(q3−1)+1q3−1]+10≥5×2√(q3−1)⋅1q3−1+10=20，当且仅当q3＝2，即q=√23时取等号，∴S9﹣S6的最小值为20，故选：C．8．P是抛物线y2＝8x上一点，点A（4，1），B是圆C：（x+2）2+（y﹣4）2＝1关于直线l：x﹣y+2＝0的对称曲线C1上的一点，则|P A|+|PB|的最小值是（）A．3B．4C．5D．6解：由题意可知曲线C1是半径为1的圆，设圆心C1（x0，y0），圆C：（x+2）2+（y﹣4）2＝1的圆心坐标为（﹣2，4），则有{4−y 0−2−x 0=−1−2=x 02−4+y 02+2=0，解得{x 0=2y 0=0，即C 1（2，0）是抛物线的焦点，该抛物线的准线方程为x ＝﹣2，过A （4，1）作准线x ＝﹣2的垂线，垂足为D ， 当P 在线段DA 上时，|P A |+|PC 1|有最小值，最小值为|DA |＝4﹣（﹣2）＝6， 所以当B 在线段PC 1上时，如下图所示：|P A |+|PB |有最小值，最小值为6﹣1＝5， 故选：C ．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．如图，空间四边形OABC 中，M ，N 分别是边OA ，CB 上的点，且AM ＝2MO ，CN ＝2NB ，点G 是线段MN 的中点，则以下向量表示正确的是（ ）A ．AG →=56OA →+13OB →+16OC →B ．BG →=16OA →−23OB →+16OC →C ．CG →=16OA →−13OB →+56OC →D ．OG →=16OA →+13OB →+16OC →解：由题意点G 是线段MN 的中点，CN ＝2NB ，可得OG →=12OM →+12ON →=12×13OA →+12×（23OB →+13OC →）=16OA →+13OB →+16OC →，故D 正确， AG →=OG →−OA →=16OA →+13OB →+16OC →−OA →=−56OA →+13OA →+16OC →，故A 错误，BG →=OG →−OB →=16OA →−23OB →+16OC →，故B 正确，CG →=OG →−OC →=16OA →+13OB →−56OC →，故C 错误，故选：BD ．10．法国数学家笛卡尔开创了解析几何思想方法的先河．他研究了许多优美的曲线，在平面直角坐标系中，方程x 3+y 3＝3axy 所表示的曲线称为笛卡尔叶形线．当a ＝1时，笛卡尔叶形线具有的性质是（ ） A ．经过第三象限B ．关于直线y ＝x 对称C ．与直线x +y +1＝0有公共点D ．与直线x +y +1＝0没有公共点解：当a ＝1时，笛卡尔叶形线为x 3+y 3＝3xy ，A ：若x ＜0，y ＜0，则x 3+y 3＜0，3xy ＞0，x 3+y 3≠3xy ，故不经过第三象限，故A 错误；B ：若点（x ，y ）在曲线上，则点（y ，x ）也在曲线上，故笛卡尔叶形线关于直线y ＝x 对称，故B 正确；C ，D ：由方程组{x 3+y 3=3xy x +y =−1，得{(x +y)(x 2−xy +y 2)=3xy x +y =−1，得{x +y =0x +y =−1，此方程组无解，故笛卡尔叶形线与直线x +y +1＝0没有公共点，故D 正确，C 错误； 故选：BD ．11．对于给定的数列{a n }，如果存在实数p ，q ，使得a n +1＝pa n +q 对任意n ∈N *成立，我们称数列{a n }是“线性数列”，数列{c n }满足c 1=1，c n+1=c n +b n (n ∈N ∗)，则（ ） A ．等差数列是“线性数列”B ．等比数列是“线性数列”C ．若{b n }是等差数列，则{c n }是“线性数列”D ．若{b n }是等比数列，则{c n }是“线性数列”解：对A ，数列{a n }为等差数列，则a n +1﹣a n ＝d ，即a n +1＝a n +d ， 满足“线性数列”的定义，A 正确；对C ，{b n }是等差数列，设b 1＝1，b 2＝2，b 3＝3，b 4＝4， 则c 1＝1，c 2＝2，c 3＝4，c 4＝7，若{c n }是“线性数列”，则{c 2=pc 1+q c 3=pc 2+q ，∴{2=p +q 4=2p +q ，∴{p =2q =0，则应有c 4＝2c 3+q ＝8≠7，故{c n }不是“线性数列”，C 错误； 对B ，数列{a n }为等比数列，则a n+1a n=q ，即a n +1＝qa n ，满足“线性数列”的定义，B 正确；对D ，{b n }是等比数列，设首项为b 1，公比为t ，若t ＝1时，b n ＝b 1，则c 1=1，c n+1=c n +b 1(n ∈N ∗)，满足“线性数列”的定义； 若t ≠1时，由c 1=1，c n+1=c n +b n (n ∈N ∗)，得c n +1﹣c n ＝b n ， c 2﹣c 1＝b 1，c 3﹣c 2＝b 2，⋯，c n ＝c n ﹣1+b n ﹣1， 累加的c n −c 1=b 1+b 2+⋯+b n−1=b 1(1−t n−1)1−t，则c n=1+b1(1−t n−1)1−t=b1−b1t n−1+1−t1−t，经验证当n＝1时，c1=1+b1(1−t1−1)1−t=1满足c n，则c n=b1−b1t n−1+1−t1−t，若{c n}是“线性数列”，则存在实数p，q，使得c n+1＝p c n+q成立，则b1−b1t n+1−t1−t=pb1−b1t n−1+1−t1−t+q，b1−b1t n+1−t=p(b1−b1t n−1+1−t)+q(1−t)，b1−b1t n+1−t=pb1−pb1t n−1+p−pt+q−qt，则{−b1t=−pb1b1+1−t=pb1+p−pt+q−qt，则{p=tq=b1+1−t，则{c n}是“线性数列”，D正确．故选：ABD．12．已知P为圆锥的顶点，O为圆锥底面圆的圆心，M为线段PO的中点，AD为底面圆的直径，△ABC 是底面圆的内接正三角形，AP=AB=2√3，则下列说法正确的是（）A．BD∥OCB．AM⊥平面MBCC．在圆锥侧面上，点A到PB中点的最短距离为3D．圆锥内切球的表面积为16(2−√3)π解：对A选项，因为△ABC是底面圆的内接正三角形，AD为底面圆的直径，所以∠CAD＝30°，∠ADB＝60°，又∠COD＝2∠CAD＝60°，所以∠ADB＝∠COD，故BD∥OC，A正确；对B选项，因为P为圆锥的顶点，O为圆锥底面圆的圆心，M为线段PO的中点，所以MO⊥平面ABC，因为BC⊂平面ABC，所以MO⊥BC，又AO⊥BC，MO∩AO＝O，MO，AO⊂平面MOA，所以BC⊥平面AMO，因为AM⊂平面AMO，所以AM⊥BC，因为AP =AB =2√3，所以AO ＝2，由勾股定理得：PO =√AP 2−AO 2=2√2，则MO =√2， 故AM =√AO 2+MO 2=√4+2=√6，同理可得BM =√6， 因为BM 2+AM 2＝AB 2，所以BM ⊥AM ， 因为BC ，BM ⊂平面MBC ，且BC ∩BM ＝B ， 所以AM ⊥平面MBC ，∴B 正确； 对C 选项，将侧面展开，如图所示，设PB 中点为Q ，连接AQ ，则|AQ |为点A 到PB 中点的最短距离， 其中AP =BP =CP =2√3，故底面周长为2π•AO ＝4π，故AB̂=4π3，则∠APB =4π32√3=2√3π9， 若∠APB =π3，由AP =2√3，PQ =√3，由余弦定理得：AQ =√AP 2+PQ 2−2AP ⋅PQcos∠APB =√12+3−6=3， 因为∠APB =2√3π9≠π3，所以在圆锥侧面上，点A 到PB 中点的最短距离不为3，∴C 错误； 对D 选项，由对称性可知，圆锥内切球球心在OP 上，作出图形，如图所示，设内切球球心为T ，设内切球半径为R ，TU ＝R ，PO =2√2，则PT =PO −R =2√2−R ， 其中UD ＝OD ＝2，故PU =PD −UD =2√3−2， 在Rt △PUT 中，由勾股定理得TU 2+PU 2＝PT 2， 即R 2+(2√3−2)2=(2√2−R)2，解得R =√6−√2，故圆锥内切球的表面积为4πR 2=4π(√6−√2)2=16(2−√3)π，∴D 正确．故选：ABD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．设m ∈R ，b →=(1，−2，m)，c →=(2，−4，2)，b →∥c →，则m ＝ 1 ． 解：因b →∥c →，则b →=λc →，则{1=2λ−2=−4λm =2λ⇒{λ=12m =1． 故答案为：1． 14．点P 是椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)上一点，F 1，F 2分别是其左、右焦点，若|PF 1|+|PF 2|＝4，离心率为√32，则b ＝ 1 ． 解：根据题意可得{2a =4c a =√32，∴a ＝2，c =√3，∴b 2＝a 2﹣c 2＝1，b ＞0，∴b ＝1．故答案为：1．15．已知正四棱锥的侧棱长为2√2，其各顶点都在同一个球面上，若该球的体积为323π，则该正四棱锥的侧棱与底面所成的角的正弦值为√22． 解：如图所示，正四棱锥E ﹣ABCD ，AC ∩BD ＝O ，则EO ⊥平面ABCD ．设正四棱锥外接球的半径为R ，由题意，43πR 3=323π，可得R ＝2，设正四棱锥底面边长为a ，高为h ＝OE ，则(√22a)2+ℎ2=(2√2)2=8，12a 2+ℎ2=8①， 由(ℎ−2)2+(√22a)2=22整理得12a 2+ℎ2−4ℎ=0②， 由①②解得a =2√2，ℎ=2，由于EO ⊥平面ABCD ，所以正四棱锥的侧棱与底面所成的角为∠EAO ，则sin ∠EAO =2√2=√22． 故答案为：√22． 16．某中学响应政府号召，积极推动“公益一小时”，鼓励学生利用暑假时间积极参与社区服务，为了保障学生安全，与社区沟通实行点对点服务．原计划第一批派遣18名学生，以后每批增加6人．由于志愿者人数暴涨，学校与社区临时决定改变派遣计划，具体规则为：把原计划拟派遣的各批人数依次构成的数列记为{a n}，在数列{a n}的任意相邻两项a k与a k+1（k＝1，2，…）之间插入3k个2，使它们和原数列的项构成一个新的数列{b n}．按新数列{b n}的各项依次派遣支教学生．记S50为派遣了50批学生后参加公益活动学生的总数，则S50的值为200．解：由已知原计划第一批派遣18名学生，以后每批增加6人，所以数列{a n}为等差数列，且a1＝18，数列{a n}的公差d＝6，所以a n＝6n+12，数列{b n}为数列{a n}的任意相邻两项a k与a k+1（k＝1，2，⋯）之间插入3k个2所得，所以数列{b n}满足条件，b1＝18，当2≤n≤4时，b n＝2，b5＝24，当6≤n≤14时，b n＝2，b15＝30，当16≤n≤42时，b n＝2，b43＝36，当44≤n≤50时，b n＝2，所以数列{b n}的前50项的和为18+24+30+36+46×2＝200．故答案为：200．四、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17题10分，第18～22题每题12分．17．（10分）已知圆C经过点A（0，2），B（6，4），且圆心在直线x﹣3y﹣4＝0上．（1）求圆C的方程；（2）若平面上有两个点P（﹣6，0），Q（6，0），点M是圆C上的点且满足|MP||MQ|=2，求点M的坐标．解：（1）∵圆心在直线x﹣3y﹣4＝0上，设圆心C（3a+4，a），已知圆C经过点A（0，2），B（6，4），则由|CA|＝|CB|，得√(3a+4)2+(a−2)2=√(3a+4−6)2+(a−4)2解得a＝0，所以圆心C为（4，0），半径r=|CA|=√(4−0)2+(0−2)2=2√5，所以圆C的方程为（x﹣4）2+y2＝20；（2）设M（x，y），∵M在圆C上，∴（x﹣4）2+y2＝20，又P（﹣6，0），Q（6，0），由|MP||MQ|=2可得：（x+6）2+y2＝4[（x﹣6）2+y2]，化简得（x﹣10）2+y2＝64，联立{(x−4)2+y2=20 (x−10)2+y2=64解得M(103，4√113)或(103，−4√113)．18．（12分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a3＝3a1﹣2，且S5﹣S3＝4a2．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{1S n}的前n项和T n．解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，因为a3＝3a1﹣2，且S5﹣S3＝4a2．所以{a1+2d=3a1−22a1+7d=4a1+4d，解得{a1=3d=2，所以数列{a n}的通项公式a n＝3+2（n﹣1）＝2n+1．（2）S n＝3n+n(n−1)2×2＝n（n+2），所以1S n=1n(n+2)=12（1n−1n+2），所以T n=12（1−13+12−14+13−15+⋯+1n−1−1n+1+1n−1n+2）=12（1+12−1n+1−1n+2）=34−2n+32(n+1)(n+2)．19．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，四边形AA1C1C是边长为4的正方形，平面ABC⊥平面AA1C1C，AB＝3，BC＝5．（1）求证：AA1⊥平面ABC；（2）求平面A1C1B与平面B1C1B夹角的余弦值．证明：（Ⅰ）因为四边形AA1C1C为正方形，所以AA1⊥AC．因为平面ABC⊥平面AA1C1C，且平面ABC∩平面AA1C1C＝AC，所以AA1⊥平面ABC．解：（Ⅱ）由（Ⅰ）的结论，建立空间直角坐标系：A﹣xyz，如图所示：则A 1（0，0，4），B （0，3，0），B 1（0，3，4），C 1（4，0，4）， 所以BC 1→=(4，−3，4)，BA 1→=(0，−3，4)，BB 1→=(0，0，4)， 设平面A 1C 1B 的法向量为n 1→=(x 1，y 1，z 1)，n 2→=(x 2，y 2，z 2)，所以{n 1→⋅BC 1→=0n 1→⋅BA 1→=0，故{4x 1−3y 1+4z 1=0−3y 1+4z 1=0，故n 1→=(0，4，3)，同理n 2→=(3，4，0)，所以cos ＜n 1→，n 2→＞=|n 1→⋅n 2→||n 1→||n 2→|=165×5=1625． 平面A 1C 1B 与平面B 1C 1B 夹角的余弦值为1625．20．（12分）已知数列{a n }的首项a 1=38，且满足a n +1=3a n3a n +2．（1）求数列{1a n−3}的通项公式； （2）若1a 1+1a 2+1a 3+⋯+1a n＜101，求满足条件的最大整数n 的值．解：（1）由a n+1=3a n3a n +2，得1a n+1=23a n +1，即1a n+1−3=23(1a n −3)， 1a 1−3=83−3=−13≠0，所以{1a n −3}是以−13为首项，23为公比的等比数列． 所以1a n−3=−13×(23)n−1； （2）由（1）可得：1a n=−13×(23)n−1+3， 可得1a 1+1a 2+1a 3+...+1a n=−13×[1−(23)n ]1−23+3n =3n +(23)n −1，令3n +(23)n −1＜101，即3n +(23)n −102＜0，设f(n)=3n +(23)n −102，当n ≥1时，f(n +1)−f(n)=3−13×(23)n ＞0，所以f （n ）单调递增，又f （33）＜0，f （34）＞0，所以满足不等式的最大整数n ＝33．21．（12分）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，P A ⊥面ABCD ，AB ∥CD ，且CD ＝2，AB ＝1，BC ＝2√2，P A ＝1，AB ⊥BC ，E ，F 分别为PD ，BC 的中点． （1）求证：EF ∥平面P AB ；（2）在平面PBC 内是否存在点H ，满足HD →•HA →=0，若不存在，请简单说明理由；若存在，请写出点H 的轨迹图形形状．（1）证明：如图，过E 作EG ⊥AD 交AD 于点G ，连接EG ，GF ， P A ⊥面ABCD ，AD ⊂面ABCD ，则P A ⊥AD ，又EG ⊂面P AD ，P A ⊂面P AD ，且EG ，P A 不共线，故EG ∥P A ， 因为E 为PD 的中点，所以G 也为AD 中点， 又F 为BC 的中点，所以GF ∥AB ，而EG ⊄平面P AB ，P A ⊂平面P AB ，所以EG ∥平面P AB ，同理GF ∥平面P AB ， 又因为EG ∩GF ＝G ，EG ，GF ⊂平面EGF ， 所以平面EGF ∥平面P AB ，而EF ⊂平面EGF ， 所以EF ∥平面P AB ；（2）解：因为AB ⊥BC ，过点A 作Ax ∥BC ，则Ax ⊥AB ， 又P A ⊥面ABCD ，故Ax ，AB ，AP 两两垂直， 如图，以点A 为坐标原点建立空间直角坐标系，则P(0，0，1)，B(0，1，0)，C(2√2，1，0)，D(2√2，−1，0)， 故PB →=(0，1，−1)，PC →=(2√2，1，−1)， 设平面PBC 的一个法向量为n →=(x ，y ，z)，则有{n →⋅PB →=y −z =0n →⋅PC →=2√2x +y −z =0，令y ＝1，可得n →=(0，1，1)，又AD 中点G(√2，−12，0)，则BG →=(√2，−32，0)，则AD 中点到平面PBC 的距离为|BG →⋅n →||n →|=|0×√2+1×(−32)+1×0|√1+1=|−32|√2=3√24，由HD →⋅HA →=0，可得HD ⊥HA ，故H 在以AD 中点为球心，半径为12AD =32的球面上，而3√24＜32，故H 在面PBC 上的轨迹是半径为√(32)2−(3√24)2=3√24的圆，故存在符合题意的H ，此时H 轨迹是半径为3√24的圆． 22．（12分）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的左、右顶点分别为A 1，A 2，且A 1A 2＝4，椭圆C 的一条以(1，12)为中点的弦所在直线的方程为3x +2y ﹣4＝0．（1）求椭圆C 的方程；（2）点P 为直线x ＝4上一点，且P 不在x 轴上，直线P A 1，P A 2与椭圆C 的另外一个交点分别为M ，N ，设△P A 1A 2，△PMN 的面积分别为S 1，S 2，求S 1S 2的最大值，并求出此时点P 的坐标．解：（1）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）， 分别代入椭圆方程可得，x 12a 2+y 12b 2=1，x 22a 2+y 22b 2=1，相减可得：(x 1+x 2)(x 1−x 2)a 2+(y 1+y 2)(y 1−y 2)b 2=0，∵x 1+x 2＝2，y 1+y 2＝1，y 1−y 2x 1−x 2=−32，∴2a 2+1b 2×（−32）＝0，化为b 2=34a 2．又2a ＝4，解得a ＝2，b 2＝3， ∴椭圆C 的方程为x 24+y 23=1．（2）设P （4，t ）（t ≠0），M （x 3，y 3），N （x 4，y 4），可得直线P A 1的方程为：y =t 6（x +2），直线P A 2的方程为：y =t2（x ﹣2），联立{y =t6(x +2)3x 2+4y 2=12，化为（t 2+27）y 2﹣18ty ＝0，解得y 3=18t t 2+27． 联立{y =t2(x −2)3x 2+4y 2=12，化为（t 2+3）y 2+6ty ＝0，解得y 4=−6t t 2+3．∴S 1S 2=12|PA 1|⋅|PA 2|⋅sin∠P 12|PM|⋅|PN|⋅sin∠P =|PA 1||PM|•|PA 2||PN|=t−0t−y 3•t−0t−y 4=t t−18t t 2+27•t t−−6t t 2+3=(t 2+27)(t 2+3)(t 2+9)2， 令m ＝t 2+9＞9， 则S 1S 2=(m+18)(m−6)m 2=m 2+12m−108m 2=−108(1m )2+12m +1（0＜1m ＜19），当且仅当1m=−122×(−108)=118∈（0，19），即m ＝18，t ＝±3时，S 1S 2取得最大值43． ∴当点P 的坐标为（4，±3）时，S 1S 2取得最大值43．。

2023-2024学年安徽省合肥一中高二（上）期末数学试卷一、选择题：共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1．直线y =√33x +1的倾斜角为（ ）A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π62．在平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，M 为A 1C 1与B 1D 1的交点，AD →=a →，AB →=b →，AA 1→=c →，则下列向量中与BM →相等的向量是（ ） A ．12a →−12b →+c →B ．−12a →−12b →+c →C ．12a →+12b →+c →D ．−12a →+12b →+c →3．已知S n 为等差数列{a n }的前n 项和，a 4+2a 9+a 20＝24，则S 20＝（ ） A ．60B ．120C ．180D ．2404．已知抛物线x 2＝2y 上有两个点A ，B ，焦点为F ，若|AF |+|BF |＝7，则线段AB 的中点到x 轴的距离是（ ） A ．32B ．2C ．52D ．35．已知平行于x 轴的直线l 与双曲线C ：y 2a 2−x 2b2=1(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线分别交于P 、Q 两点，O 为坐标原点，若△OPQ 为等边三角形，则双曲线C 的渐近线方程为（ ） A ．y =±√33x B ．y =±√3x C ．y =±√32x D ．y ＝±x6．已知数列{a n }的前n 项和S n 满足S n ＝1﹣2a n ，（n ∈N +）则S n 的取值范围是（ ） A ．[12，1)B ．[13，12)C ．[13，1)D ．(13，1)7．若圆C 1：x 2+（y ﹣4）2＝r 2（r ＞0）上存在点M ，点M 关于直线y ＝x ﹣1的对称点M '在圆C 2：（x ﹣4）2+（y ﹣1）2＝4上，则r 的取值范围为（ ）A ．[√5−2，√5+2]B ．(√5−2，√5+2)C ．[√5−2，+∞)D ．(−∞，√5+2]8．正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为5，点M 在棱AB 上，且AM ＝2，点P 是正方体下底面ABCD 内（含边界）的动点，且动点P 到直线A 1D 1的距离与点P 到点M 的距离的平方差为25，则动点P 到B 点的最小值是（ ） A ．72B ．2√3C ．√6D ．√2二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9．关于空间向量，以下说法正确的是（ ）A ．若直线l 的方向向量为m →=(2，4，−2)，平面α的一个法向量为n →=(−1，−2，1)，则l ⊥α B ．若空间中任意一点O ，有OP →=13OA →−16OB →+12OC →，则P 、A 、B 、C 四点共面C ．若空间向量a →，b →满足a →⋅b →＜0，则a →与b →夹角为钝角D ．若空间向量a →=(1，0，1)，b →=(0，1，−1)，则a →在b →上的投影向量为(0，−12，12)10．已知方程：x 2sin θ+y 2cos θ＝1，则以下说法正确的是（ ） A ．若sin θ＞cos θ＞0，则方程表示的曲线是椭圆，且焦点在x 轴上B ．若sin θ＝cos θ＞0，则方程表示的曲线是圆，其半径为√24C ．若sin θ•cos θ＜0，则方程表示的曲线是双曲线，其渐近线方程为：y =±√−tanθ⋅xD ．若sin θ＝0，则方程表示的曲线是两条直线11．古希腊著名数学家阿波罗尼斯（约公元前262～前190）发现：平面内到两个定点A ，B 的距离之比为定值λ（λ≠1）的点的轨迹是圆．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．在平面直角坐标系xOy 中，已知A （﹣1，0），B （2，0），动点P 满足|PA||PB|=12，直线l ：mx ﹣y +m +1＝0，则（ ）A ．直线l 过定点（﹣1，1）B ．动点P 的轨迹方程为（x +2）2+y 2＝4C ．动点P 到直线l 的距离的最大值为√2+1D ．若点D 的坐标为（﹣1，1），则|PD |+2|P A |的最小值为√1012．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n 满足S n =2n+1+m ，数列{b n }满足b 1+b 22+b 33+⋯+bn n=n ，则下列说法正确的是（ ） A ．m ＝﹣1B ．设f(n)=a n 2+36a n ，n ∈N *，则f （n ）的最小值为12C ．若ta n ﹣b n +2＞0对任意的n ∈N *恒成立，则t ＞18D ．设c n =a n (1−b n )b n b n+1，若数列{c n }的前n 项和为T n ，则T n ＜2三、填空题：共4小题，每小题5分，共20分.13．已知直线l 1：2x ﹣y ﹣2＝0与直线l 2：4x ﹣2y +1＝0，则这两条平行直线之间的距离为 ．14．已知数列{a n }，满足a 1＝2，若a n +1＝a n +2，则数列{1a n ⋅a n+1}的前2024项和为 ．15．已知P 为直线x ﹣y +4＝0上一动点，过点P 作圆O ：x 2+y 2＝4的切线，切点分别为A ，B 则当四边形P AOB 面积最小时，直线AB 的方程为 ．16．如图，在△ABC 中，已知∠BAC ＝120°，其内切圆与AC 边相切于点D ，且AD ＝1，延长BA 到E ，使BE ＝BC ，连接CE ，设以E ，C 为焦点且经过点A 的椭圆的离心率为e 1，以E ，C 为焦点且经过点A 的双曲线的离心率为e 2，则1e 1⋅e 2的取值范围是 ．四、解答题：共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）如图所示，正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长是2，E 、F 分别是线段AB 、CD 1的中点． （1）证明：EF ∥平面ADD 1A 1； （2）求A 1点到平面CD 1E 的距离．18．（12分）已知圆心为M 的圆经过点A （1，1），B （2，﹣2）和C （0，2）． （1）求圆M 的方程；（2）若过点D （﹣1，﹣1）的直线m 被圆M 截得的弦长为2√21，求直线m 的方程． 19．（12分）已知数列{a n }是递增的等比数列且满足{a 2+a 4=90a 1a 5=729，令b n ＝a n log 3a n ．（1）求数列{a n }的通项公式； （2）求数列{b n }的前n 项和T n ．20．（12分）如图1，AB ∥CE ，AB ⊥BC ，且AB =BC =12CE =2，D 是CE 中点，沿AD 将△ADE 折起到△P AD 的位置（如图2），使得∠PDC ＝120°．（1）求证：面PCD ⊥面ABCD ；（2）若线段PC 上存在一点M ，使得平面BDM 与平面CDM 夹角的余弦值是√55，求PM PC的值． 21．（12分）已知{a n }为等差数列，b n ={a n −6，n 为奇数2a n ，n 为偶数，记S n ，T n 分别为数列{a n }，{b n }的前n 项和，S 4＝32，T 3＝16． （1）求{a n }的通项公式；（2）若对任意n ≥m （m ∈N *）都有S n ＜T n 成立，求m 的最小值． 22．（12分）已知椭圆E ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)，离心率为√32，点(√3，12)在椭圆上．（1）求E 的方程；（2）过K （﹣1，0）作互相垂直的两条直线l 1与l 2，设l 1交E 于A ，B 两点，l 2交E 于C ，D 两点，AB ，CD 的中点分别为M ，N ．探究：△OMN 与△KMN 的面积之比是否为定值？若是，请求出定值；若不是，请说明理由．2023-2024学年安徽省合肥一中高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1．直线y =√33x +1的倾斜角为（ ）A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π6解：直线y =√33x +1的斜率为√33，故它的倾斜角为π6， 故选：A ．2．在平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，M 为A 1C 1与B 1D 1的交点，AD →=a →，AB →=b →，AA 1→=c →，则下列向量中与BM →相等的向量是（ ） A ．12a →−12b →+c →B ．−12a →−12b →+c →C ．12a →+12b →+c →D ．−12a →+12b →+c →解：如图，BM →=BB 1→+B 1M →=AA 1→+12(B 1A 1→+B 1C 1→)=−12AB →+12AD →+AA 1→=12a →−12b →+c →．故选：A ．3．已知S n 为等差数列{a n }的前n 项和，a 4+2a 9+a 20＝24，则S 20＝（ ） A ．60B ．120C ．180D ．240解：解法一、设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，则a 4+2a 9+a 20＝（a 1+3d ）+2（a 1+8d ）+（a 1+19d ）＝4a 1+38d ＝24， 所以2a 1+19d ＝12，所以S 20＝20a 1+12×20×19d ＝10（2a 1+19d ）＝10×12＝120．解法二、因为数列{a n }为等差数列，所以a 4+2a 9+a 20＝2a 12+2a 9＝24，所以a 12+a 9＝12，所以S 20=20(a 1+a 20)2=10(a 1+a 20)=10(a 12+a 9)=120．故选：B ．4．已知抛物线x 2＝2y 上有两个点A ，B ，焦点为F ，若|AF |+|BF |＝7，则线段AB 的中点到x 轴的距离是（ ） A ．32B ．2C ．52D ．3解：由已知可得抛物线x 2＝2y 的准线方程为y =−12，设点A ，B 的坐标分别为（x 1，y 1）和（x 2，y 2）， 由抛物线的定义得|AF |+|BF |＝y 1+y 2+1＝7，则y 1+y 2＝6， 可得线段AB 中点的纵坐标为y 1+y 22=3，则AB 的中点到x 轴的距离是3．故选：D ．5．已知平行于x 轴的直线l 与双曲线C ：y 2a 2−x 2b2=1(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线分别交于P 、Q 两点，O 为坐标原点，若△OPQ 为等边三角形，则双曲线C 的渐近线方程为（ ） A ．y =±√33x B ．y =±√3x C ．y =±√32x D ．y ＝±x解：因为△OPQ 为等边三角形，所以渐近线的倾斜角为π3，所以渐近线方程为y =±√3x ．故选：B ．6．已知数列{a n }的前n 项和S n 满足S n ＝1﹣2a n ，（n ∈N +）则S n 的取值范围是（ ） A ．[12，1)B ．[13，12)C ．[13，1)D ．(13，1)解：因为S n ＝1﹣2a n ，且S n ﹣1＝1﹣2a n ﹣1（n ≥2），两式相减得a n ＝2a n ﹣1﹣2a n ，整理3a n ＝2a n ﹣1，所以a n =23a n−1，结合a 1＝S 1＝1﹣2a 1，解得a 1=13，可知{a n }是首项为13，公比为23的等比数列．因此可得S n =13[1−(23)n]1−23=1−(23)n ＜1，结合{a n }各项大于0，可知S n 单调递增，所以S n ≥S 1=13， 综上所述，13≤S n ＜1，即S n 的取值范围是[13，1)．故选：C ．7．若圆C 1：x 2+（y ﹣4）2＝r 2（r ＞0）上存在点M ，点M 关于直线y ＝x ﹣1的对称点M '在圆C 2：（x ﹣4）2+（y ﹣1）2＝4上，则r 的取值范围为（ ）A ．[√5−2，√5+2]B ．(√5−2，√5+2)C ．[√5−2，+∞)D ．(−∞，√5+2]解：由题知，如图所示：因为圆C1：x2+(y−4)2=r2的圆心为（0，4），设（0，4）关于直线y＝x﹣1对称的点为C3（m，n），则{4+n2=m2−1n−4m−0⋅1=−1，解得{m=5n=−1，所以（0，4）关于直线y＝x﹣1对称的点为C3（5，﹣1），所以圆C1：x2+(y−4)2=r2关于直线y＝x﹣1对称的圆为C3：(x−5)2+(y+1)2=r2，若要圆C1：x2+(y−4)2=r2上存在点M，点M关于直线y＝x﹣1的对称点M'在圆C2：(x−4)2+(y−1)2=4上，其中圆C2的圆心为（4，1），半径为2，则只需C2：(x−4)2+(y−1)2=4与C3：(x−5)2+(y+1)2=r2有交点即可，又|C3C2|=√(5−4)2+(−1−1)2=√5＞2，所以C3（5，﹣1）在C2：(x−4)2+(y−1)2=4外，根据两圆有交点，则两圆心的距离大于半径之差的绝对值，小于等于半径之和可得：|r−2|≤√5≤r+2，两圆分别内切与外切的时候取等号，解得：√5−2≤r≤√5+2．故选：A．8．正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为5，点M在棱AB上，且AM＝2，点P是正方体下底面ABCD内（含边界）的动点，且动点P到直线A1D1的距离与点P到点M的距离的平方差为25，则动点P到B点的最小值是（）A．72B．2√3C．√6D．√2解：如图所示，作PQ⊥AD，Q为垂足，则PQ⊥面ADD1A1，过点Q作QR⊥A1D1，则A1D1⊥面PQR，所以PR即为P到直线A1D1的距离，因为PR 2﹣PQ 2＝RQ 2＝25，PR 2﹣PM 2＝25，所以PM ＝PQ ， 所以点P 的轨迹是以AD 为准线，点M 为焦点的抛物线， 如图，建立直角坐标系，则点P 的轨迹方程是y 2＝4x （0≤y ≤4），则点B （4，0），设P(y 24，y)， 所以|PB|=√(y 24−4)2+y 2=√116(y 2−8)2+12，所以当y 2＝8时，|PB |取得最小值2√3． 故选：B ．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9．关于空间向量，以下说法正确的是（ ）A ．若直线l 的方向向量为m →=(2，4，−2)，平面α的一个法向量为n →=(−1，−2，1)，则l ⊥α B ．若空间中任意一点O ，有OP →=13OA →−16OB →+12OC →，则P 、A 、B 、C 四点共面C ．若空间向量a →，b →满足a →⋅b →＜0，则a →与b →夹角为钝角D ．若空间向量a →=(1，0，1)，b →=(0，1，−1)，则a →在b →上的投影向量为(0，−12，12)解：根据题意，依次分析选项：对于A ：若直线l 的方向向量为m →=(2，4，−2)，平面α的一个法向量为n →=(−1，−2，1)，易得m →=−2n →，即m →∥n →，则有l ⊥α，A 正确；对于B ：在OP →=13OA →−16OB →+12OC →中，由于13−16+12≠1，故P ，A ，B ，C 四点不共面，B 错误；对于C ：当 a →，b →反向共线时，a →⋅b →＜0 也成立，但a →与b →夹角不为钝角，C 错误； 对于D ，a →在b →上的投影向量为a →⋅b→|b →⋅b→|b→=−12b →=(0，−12，12)，D 正确．故选：AD ．10．已知方程：x 2sin θ+y 2cos θ＝1，则以下说法正确的是（ ） A ．若sin θ＞cos θ＞0，则方程表示的曲线是椭圆，且焦点在x 轴上B ．若sin θ＝cos θ＞0，则方程表示的曲线是圆，其半径为√24C ．若sin θ•cos θ＜0，则方程表示的曲线是双曲线，其渐近线方程为：y =±√−tanθ⋅xD ．若sin θ＝0，则方程表示的曲线是两条直线解：对于A ，若sin θ＞cos θ＞0，则1cosθ＞1sinθ＞0，则x 2sin θ+y 2cos θ＝1即为y 21cosθ+x 21sinθ，故表示焦点在y 轴上的椭圆，A 错误；对于B ，若sin θ＝cos θ＞0，则sinθ=cosθ=√22，所以x 2sin θ+y 2cos θ＝1即为x 2+y 2=1sinθ=√2，故C 是圆，其半径为 √24，B 正确；对于C ，若sin θcos θ＜0，则不妨设sin θ＞0，cos θ＜0，则x 2sin θ+y 2cos θ＝1即为x 21sinθ−y 2−1cosθ=1，曲线C 此时表示焦点在x 轴上的双曲线，其渐近线方程为y ＝±√−1√sinθx ＝±√−tanθx ，故选项C 正确；对于D ，sin θ＝0，则cos θ＝±1，cos θ＝﹣1时，方程﹣y 2＝1不表示任何曲线，故D 错误． 故选：BC ．11．古希腊著名数学家阿波罗尼斯（约公元前262～前190）发现：平面内到两个定点A ，B 的距离之比为定值λ（λ≠1）的点的轨迹是圆．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．在平面直角坐标系xOy 中，已知A （﹣1，0），B （2，0），动点P 满足|PA||PB|=12，直线l ：mx ﹣y +m +1＝0，则（ ）A ．直线l 过定点（﹣1，1）B ．动点P 的轨迹方程为（x +2）2+y 2＝4C ．动点P 到直线l 的距离的最大值为√2+1D ．若点D 的坐标为（﹣1，1），则|PD |+2|P A |的最小值为√10解：对A ，直线l ：mx ﹣y +m +1＝0，m （x +1）﹣y +1＝0，所以直线l 过定点M （﹣1，1），故A 正确； 对B ，设P （x ，y ），因为动点P 满足|PA||PB|=12，所以 2222=12，整理可得x 2+y 2+4x ＝0， 即（x +2）2+y 2＝4，所以动点P 的轨迹是以C （﹣2，0）为圆心，r ＝2为半径的圆， 动点P 的轨迹方程为圆C ：（x +2）2+y 2＝4，故B 正确； 对于C ，当直线l 与MC 垂直时，动点P 到直线l 的距离最大，且最大值为|MC|+r =√(−2+1)2+(0−1)2+2=√2+2，故C 错误； 对于D ，由|PA||PB|=12，得2|P A |＝|PB |，所以|PD |+2|P A |＝|PD |+|PB |， 又因为点D 在圆C 内，点B 在圆C 外， 所以|PD|+2|PA|=|PD|+|PB|≥|BD|=√10，当且仅当P 为线段DB 与圆C 的交点时取等号，故D 正确． 故选：ABD ．12．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n 满足S n =2n+1+m ，数列{b n }满足b 1+b 22+b 33+⋯+bn n=n ，则下列说法正确的是（ ） A ．m ＝﹣1B ．设f(n)=a n 2+36a n，n ∈N *，则f （n ）的最小值为12C ．若ta n ﹣b n +2＞0对任意的n ∈N *恒成立，则t ＞18D ．设c n =a n (1−b n )b n b n+1，若数列{c n }的前n 项和为T n ，则T n ＜2解：选项A ，在S n =2n+1+m 中，当n ＝1时，a 1＝4+m ； 当n ≥2时，a n ＝S n ﹣S n ﹣1＝（2n +1+m ）﹣（2n +m ）＝2n ， 因为{a n }为等比数列，所以a 1＝4+m 满足上式，即a 1＝4+m ＝21， 解得m ＝﹣2，且a n ＝2n ，即A 错误；选项B，由f(n)=a n+36a n，n∈N*，令t＝a n＝2n，则有y=t+36t，在t∈（0，6）上单调递减，在t∈（6，+∞）上单调递增，当t＝4，即n＝2时，y＝13；当t＝8，即n＝3时，y＝12.5，所以f（n）min＝f（3）＝12.5，即B错误；选项C，因为b1+b22+b33+⋯+b nn=n，所以b1+b22+b33+⋯+b n−1n−1=n﹣1（n≥2），两式相减得b nn=1（n≥2），所以b n＝n（n≥2），而b1＝1满足上式，所以b n＝n，若ta n﹣b n+2＞0对n∈N*恒成立，即t⋅2n−n+2＞0⇔t＞n−22n对n∈N*恒成立，令f(n)=n−22n，则f(n+1)−f(n)=n−12n+1−n−22n=−n+32n+1，当1≤n≤2时，f（n+1）＞f（n）；当n＝3时，f（3）＝f（4）；当n≥4时，f（n+1）＜f（n），所以f(n)max=f(3)=f(4)=18，所以t＞18，即C正确；选项D，c n=a n(1−b n)b n b n+1=2n(1−n)n(n+1)=2nn−2n+1n+1，所以T n=21−222+222−233+⋯+2nn+1−2n+1n+1=2−2n+1n+1＜2，即D正确．故选：CD．三、填空题：共4小题，每小题5分，共20分.13．已知直线l1：2x﹣y﹣2＝0与直线l2：4x﹣2y+1＝0，则这两条平行直线之间的距离为√52．解：直线l1：2x﹣y﹣2＝0，即l1：4x﹣2y﹣4＝0，故所求距离d=|−4−1|√16+4=√52．故答案为：√5 2．14．已知数列{a n}，满足a1＝2，若a n+1＝a n+2，则数列{1a n⋅a n+1}的前2024项和为5062025．解：由题意知，数列{a n}是首项为2，公差为2的等差数列，所以a n＝2+（n﹣1）×2＝2n，所以1a n a n+1=12n⋅12(n+1)=14(1n−1n+1)，所以数列{1a n⋅a n+1}的前2024项和为14(1−12+12−13+⋯+12024−12025)=5062025．故答案为：506 2025．15．已知P为直线x﹣y+4＝0上一动点，过点P作圆O：x2+y2＝4的切线，切点分别为A，B则当四边形P AOB面积最小时，直线AB的方程为x﹣y+2＝0．解：因为圆O：x2+y2＝4，所以圆心为O（0，0），半径r＝2，所以四边形P AOB的面积为S=2×(12|PA|×r)=2|PA|=2√|OP|2−r2=2√|OP|2−4，所以当OP最小，也即OP垂直于直线x﹣y+4＝0时，四边形P AOB面积最小，此时直线OP的方程为y＝﹣x，由{x−y+4=0y=−x，解得{x=−2y=2，即P（﹣2，2），对应|OP|=√4+4=2√2，|PA|=|PB|=√8−4=2，以P为圆心，半径为2的圆的方程为：（x+2）2+（y﹣2）2＝4，即x2+y2+4x﹣4y+4＝0，由{x2+y2+4x−4y+4=0 x2+y2=4，两式相减并化简得x﹣y+2＝0，即直线AB的方程为x﹣y+2＝0．故答案为：x﹣y+2＝0．16．如图，在△ABC中，已知∠BAC＝120°，其内切圆与AC边相切于点D，且AD＝1，延长BA到E，使BE＝BC，连接CE，设以E，C为焦点且经过点A的椭圆的离心率为e1，以E，C为焦点且经过点A的双曲线的离心率为e2，则1e1⋅e2的取值范围是（0，1）．解：如图，设M，G分别是BC，BE与圆的切点．由圆的切线性质知，AG＝AD＝1，设CD＝CM＝GE＝m（m＞1），所以AC＝1+m，AE＝GE﹣AG＝m﹣1，在△ACE中，CE2＝CA2+AE2﹣2CA•EA cos60°＝m2+3，所以CE=√m2+3，以E，C为焦点且经过点A的双曲线的离心率为e2=√m2+32，以E，C为焦点且经过点A的椭圆的离心率为e1=√m2+3 2m，则1e1e2=4mm2+3=4m+3m，在△ABC中，设BM＝n，所以BC＝m+n，AB＝n+1，AC＝m+1，由余弦定理可知：BC2＝AB2+AC2﹣2AB•AC cos120°，从而得到mn＝3m+3n+3，所以n=3m+3 m−3，由n=3m+3m−3＞0⇒m＞3，所以1e1e2=4mm2+3=4m+3m＜43+1=1，所以1e1⋅e2∈(0，1)．故答案为：（0，1）．四、解答题：共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）如图所示，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长是2，E、F分别是线段AB、CD1的中点．（1）证明：EF∥平面ADD1A1；（2）求A1点到平面CD1E的距离．解：（1）证明：如图，取DD1中点M，连AM，MF，∵正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长是2，E、F分别是线段AB、CD1的中点，∴MF∥AE，且MF＝AE，∴四边形AEFM是平行四边形，从而EF∥AM，又AM⊂面ADD1A1，EF⊄面ADD1A1，∴EF∥平面ADD1A1．（2）以D为坐标原点，DA所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，DD 1所在直线为z 轴，建立如图的空间直角坐标系D ﹣xyz ，则C （0，2，0），E （2，1，0），A 1（2，0，2），D 1（0，0，2）， 则A 1D 1→=(−2，0，0)，CD 1→=(0，−2，2)，CE →=(2，−1，0)， 设平面CD 1E 的法向量n →=(x ，y ，z)， 由n →⋅CD 1→=0，n →⋅CE →=0，得{−2y +2z =02x −y =0，解得n →=(1，2，2)，∴A 1点到平面CD 1E 的距离为d =|A 1D 1→⋅n|→|n →|=23． 18．（12分）已知圆心为M 的圆经过点A （1，1），B （2，﹣2）和C （0，2）． （1）求圆M 的方程；（2）若过点D （﹣1，﹣1）的直线m 被圆M 截得的弦长为2√21，求直线m 的方程． 解：（1）解法一：设圆M 的标准方程为：（x ﹣a ）2+（y ﹣b ）2＝r 2（r ＞0）， 由题意得：{(1−a)2+(1−b)2=r 2(2−a)2+(−2−b)2=r 2(0−a)2+(2−b)2=r 2，解得{a =−3b =−2r =5，所以圆M 的标准方程为（x +3）2+（y +2）2＝25．解法二：设线段AB 的中点为E ，则E(32，−12)，又因为k AB ＝﹣3，所以线段AB 的垂直平分线l 1的方程为：y +12=13(x −32)，即x ﹣3y ﹣3＝0， 同理可得：线段BC 的垂直平分线l 2的方程为：x ﹣2y ﹣1＝0， 由{x −3y −3=0x −2y −1=0，解得{x =−3y =−2，所以圆心M （﹣3，﹣2），半径r =|AM|=√(1+3)2+(1+2)2=5， 所以圆的标准方程为 （x +3）2+（y +2）2＝25．（2）由题意得：圆心M 到直线m 的距离为√25−(√21)2=2． ①当直线m 垂直于x 轴时，方程为x ＝﹣1，满足条件；②当直线m 斜率存在时，设直线m 的方程为y +1＝k （x +1），即kx ﹣y +k ﹣1＝0，由√k 2+1=2，解得k =−34，所以直线m 的方程为3x +4y +7＝0，综上所述，直线m 的方程为x ＝﹣1或3x +4y +7＝0． 19．（12分）已知数列{a n }是递增的等比数列且满足{a 2+a 4=90a 1a 5=729，令b n ＝a n log 3a n ．（1）求数列{a n }的通项公式； （2）求数列{b n }的前n 项和T n ．解：（1）由等比数列的性质可得：a 1a 5＝a 2a 4＝729， 又a 2+a 4＝90， 又a 4＞a 2， 则a 2＝9，a 4＝81，又∵数列 {a n } 是递增的等比数列， ∴q 2=a 4a 2=9， 又q ＞1， 则q ＝3，则a n =9×3n−2=3n ， ∴a n =3n ；（2）由（1）可得b n =3n log 33n =n ⋅3n ， ∴T n =1×31+2×32+3×33+⋯+n ×3n ①， ∴3T n =1×32+2×33+3×34+⋯+n ×3n+1②， ①﹣②可得：﹣2Tn ＝3+32+ (3)﹣n •3n +1=3(1−3n)1−3−n ⋅3n+1，即−2T n =(1−2n)23n+1−32， 即T n =(2n−1)43n+1+34． 20．（12分）如图1，AB ∥CE ，AB ⊥BC ，且AB =BC =12CE =2，D 是CE 中点，沿AD 将△ADE 折起到△P AD 的位置（如图2），使得∠PDC ＝120°．（1）求证：面PCD ⊥面ABCD ；（2）若线段PC 上存在一点M ，使得平面BDM 与平面CDM 夹角的余弦值是√55，求PM PC的值． （1）证明：因为AD ⊥CD ，AD ⊥DP ，CD ∩DP ＝D ， 所以AD ⊥平面PCD ，又AD ⊂面ABCD ， 从而面PCD ⊥面ABCD ．（2）解：∵面PCD ⊥面ABCD ，面PCD ∩面ABCD ＝CD ， 过D 点作Dz ⊥DC ，则Dz ⊥底面ABCD ，所以以D 为坐标原点，DA ，DC ，Dz 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴， 建立空间直角坐标系D ﹣xyz ，则D （0，0，0），P(0，−1，√3)，C （0，2，0），B （2，2，0）， 则DB →=(2，2，0)，DP →=(0，−1，√3)，PC →=(0，3，−√3)， 设PM →=λPC →(0≤λ≤1)，则PM →=(0，3λ，−√3λ)， ∴DM →=DP →+PM →=(0，3λ−1，√3−√3λ)， 设面BDM 的一个法向量为n →=(x ，y ，z)， 由{n →⋅DB →=2x +2y =0n →⋅DM →=(3λ−1)y +(√3−√3λ)z =0， 令x ＝1，可得y ＝﹣1，z =3λ−13−3λ，可得n →=(1，−1√3−√3λ)，不妨取平面CDM 的一个法向量为DA →=(2，0，0)， 设平面BDM 与平面CDM 的夹角为θ， 则由题意有cos θ=|cos ＜DA →，n →＞|=|DA →⋅n →||DA →||n →|=22×√2+(3λ−1√3−√3λ)=√55，整理得(3λ−1λ−1)2=9，解得λ=23，即平面BDM 与平面CDM 夹角的余弦值为√55时，PM PC =23． 21．（12分）已知{a n }为等差数列，b n ={a n −6，n 为奇数2a n ，n 为偶数，记S n ，T n 分别为数列{a n }，{b n }的前n 项和，S 4＝32，T 3＝16． （1）求{a n }的通项公式；（2）若对任意n ≥m （m ∈N *）都有S n ＜T n 成立，求m 的最小值． 解：（1）设数列{a n }的公差为d ， 因为S 4＝32，所以4a 1+4×32d ＝32，即2a 1+3d ＝16， 又b 1＝a 1﹣6，b 2＝2a 2，b 3＝a 3﹣6，所以T 3＝16＝（a 1﹣6）+2a 2+（a 3﹣6）＝（a 1﹣6）+2（a 1+d ）+（a 1+2d ﹣6）＝4a 1+4d ﹣12， 即a 1+d ＝7，解得a 1＝5，d ＝2， 所以a n ＝5+2（n ﹣1）＝2n +3． （2）由（1）知a n ＝2n +3， 所以S n =n(a 1+a n )2=n(5+2n+3)2=n(n +4)， 所以b n ={2n −3，n 为奇数4n +6，n 为偶数，所以b 2n ﹣1+b 2n ＝2×（2n ﹣1）﹣3+4×（2n ）+6＝12n +1，①当n 为偶数时，T n =n 2×13+n 2(n2−1)2×12=32n 2+72n ，所以T n −S n =32n 2+72n −n(n +4)=n(n−1)2，所以当n 为偶数且n ≥2时，T n ﹣S n ＞0恒成立；②当n 为奇数时，T n =T n−1+b n =32(n −1)2+72(n −1)+(2n −3)=32n 2+52n −5，所以T n −S n =32n 2+52n −5−n(n +4)=12n 2−32n −5=12(n +2)(n −5)，所以当n 为奇数且n ≥7时，T n ﹣S n ＞0恒成立，综上，对任意n ≥m （m ∈N *），都有S n ＜T n 成立的m 的最小值为6． 22．（12分）已知椭圆E ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)，离心率为√32，点(√3，12)在椭圆上．（1）求E 的方程；（2）过K （﹣1，0）作互相垂直的两条直线l 1与l 2，设l 1交E 于A ，B 两点，l 2交E 于C ，D 两点，AB ，CD 的中点分别为M ，N ．探究：△OMN 与△KMN 的面积之比是否为定值？若是，请求出定值；若不是，请说明理由．解：（1）由题意可知{e=ca=√323a2+14b2=1c2=a2−b2，解得a＝2，b＝1，所以椭圆E的方程为：x24+y2＝1；（2）因为当直线BA斜率为0时，则AB为x轴，可得AB的中点M为原点O，不存在三角形OMN，所以直线l1，l2的斜率存在，且不为0，设直线l1的方程为x＝my﹣1，设A（x1，y1），B（x2，y2），联立{x=my−1x24+y2=1，整理可得：（4+m2）y2﹣2my﹣3＝0，可得y1+y2=2m4+m2，所以AB的中点M的纵坐标为y M=m4+m2，代入直线AB中，可得x M＝m•m4+m2−1=−44+m2，即M（−44+m2，m4+m2），由题意可得N（−44+(−1m)2，−1m4+(−1m)2），即N（−4m21+4m2，−m1+4m2），可得|y M﹣y N|＝|m4+m2−−m1+4m2|=5|m|(1+m2)(4+m2)(1+4m2)，则S四边形KNOM=12|OK||y M﹣y N|=12×1×5|m|(1+m2)(4+m2)(1+4m2)，|MK|=√(−44+m2+1)2+(m4+m2)2=|m|√1+m24+m2，|NK|=√(−4m21+4m2+1)2+(−m1+4m2)2=√1+m21+4m2，所以S△KMN=12|MK|•|NK|=12•|m|(1+m2)(4+m2)(1+4m2)，所以S△OMN＝S四边形KNOM﹣S△KMN=12•（5|m|(1+m2)(4+m2)(1+4m2)−•|m|(1+m2)(4+m2)(1+4m2)）=12•4•|m|(1+m2)(4+m2)(1+4m2)，所以S△OMNS△KMN=12⋅4⋅|m|(1+m2)(4+m2)(1+4m2)12⋅|m|(1+m2)(4+m2)(1+4m2)=4．即△OMN与△KMN的面积之比为定值，且定值为4．。

安徽省合肥市第一中学2016-2017学年高二上学期第一次月考理数试题一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.下列命题是公理的是（ ）A ．直线和直线外一点确定一个平面B ．过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面C ．空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补D ．平行于同一个平面的两个平面相互平行【答案】B【解析】试题分析：由题意得，对于A 、C 、D 中，都是推论，只有B 中，过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面是公理三，故选B ．考点：立体几何的公理．2.下面是一些命题的叙述语（,A B 表示点，a 表示直线，,αβ表示平面），其中命题和叙述方法都正确的是（ ）A ．∵,AB αα∈∈，∴AB α∈ B ．∵,a a αβ∈∈，∴a αβ=C ．∵,A a αα∈∈，∴A α∈D ．∵,A a αα∉∈，∴A α∉【答案】C考点：点、直线与平面的关系．3.下列命题中正确的个数是（ ）①由五个面围成的多面体只能是三棱柱；②用一个平面去截棱锥便可得到棱台；③仅有一组对面平行的五面体是棱台；④有一个面是多边形，其余各面是三角形的几何体是棱锥．A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【答案】A【解析】试题分析：①中，由五个面围成的多面体可以是四棱锥，所以不正确；②中，用一个平行于底面的平面截棱锥才能得到一个棱台；③中，仅有一组对面平行的五面体，可以是三棱柱；④中，有一个个面是多边形，其余各面是三甲型的几何体不一定是棱锥，如三棱台，所以选A ． 考点：多面体的特征．4.设,a b 是两条直线，,,αβγ是三个平面，则下列推导错误的是（ ）A ．//,,//a b b a a βββ⊂⊄⇒B ．//,a b a b βα⊥⇒⊥C ．//,,//a b a b αβαγβγ==⇒D ．,,//,////a b a b ααββαβ⊂⊂⇒【答案】D考点：线面位置关系的判定与证明．5.一个几何体的三视图如图所示，其中侧视图与俯视图均为半径是2的圆，则这个几何体的体积是（ ）A ．2πB ．4πC ．8πD ．16π【答案】C考点：几何体的三视图及体积的计算．【方法点晴】本题主要考查了空间几何体的三视图的应用，着重考查了推理和运算能力及空间想象能力，属于中档试题，解答此类问题的关键是根据三视图的规则“长对正、宽相等、高平齐”的原则，还原出原几何体的形状，本题的解答中，根据几何体的三视图得出原几何体表示表示一个半径为2的球，去掉14个球是解得关键，属于基础题． 6.已知直线//a 平面α，直线//a 平面β，b αβ=，直线a 与直线b （ ）A ．相交B ．平行C ．异面D ．不确定【答案】B【解析】试题分析：直线//a 平面α，直线//a 平面β，所以在,αβ中可以找到一条直线平行与直线a ，设m 在平面α内，n 在平面β内，则//,//m a n a ，所以//m n ，又因为m 不在平面β内，n 在平面β内，所以//m β，又因为b αβ=，所以//m b ，又因为//m a ，所以//a b ，故选B ．考点：直线与平面平行的判定及性质．7.平面α截球O O 到平面α的距离为1，则此球的半径为（ ）A ．1B D ．2【答案】C【解析】试题分析：因为平面α截球O O 到平面α的距离为1，所=，故选C ．考点：球的性质．8.两条异面直线在同一平面上的正投影不可能是（ ）A ．两条相交直线B ．两条平行直线C ．一条直线和直线外一点D ．两个点【答案】D考点：异面直线的定义及投影的概念．9.如图，圆锥的底面直径2AB =，母线长3VA =，点C 在母线VB 上，且1VC =，有一只蚂蚁沿圆锥的侧面从点A 到达点C ，则这只蚂蚁爬行的最短距离是（ ）AD ．2【答案】B【解析】试题分析：由题意得，底面圆的直径为2，故底面周长等于2π，设圆锥的侧面展开后的扇形圆心角为α，根据底面周长等于展开后扇形的弧长得23πα=，解得23πα=，所以23AOAπ'∠=，则13π∠=，过C 作CF OA ⊥，因为C 为OB 的三等分点，3BO =，所以1OC =,13π∠=，所以6OCF π∠=，所以12FO =， 所以22234CF CO OF =⋅=，因为13,2AO FO ==，所以52AF =，在直角AFC ∆中，利用勾股定理得：2227AC AF FC =-=，则AC B ．考点：圆锥的侧面展开图．10.已知,,a b c 均为直线，,αβ为平面，下面关于直线与平面关系的命题：①任意给定一条直线与一个平面α，则平面α内必存在与a 垂直的直线；②//,a ββ内必存在与a 相交的直线；③//,,a a b βαβ⊂⊂，必存在与,a b 都垂直的直线；其中正确命题的个数为（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【答案】C考点：线面位置关系的判定与证明．11.空间四边形ABCD 中，E F 、分别为AC BD 、中点，若22,CD AB EF AB ==⊥，则EF与CD 所成的角为（ ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°【答案】A【解析】试题分析：设G 为AD 的中点，连接,GF GE ，则,GF GE 分别为,ABD ACD ∆∆的中线，所以//GF AB ，且11,//22GF AB GE CD ==且112GE CD ==，则EF 与CD 所成角的度数等于EF 与CE 所成角的度数，又,//EF AB GF AB ⊥，所以EF GF ⊥，则GEF ∆为直角三角形，01,1,902GF GE GEF ==∠=，所以在直角GEF ∆中，1sin 2GEF ∠=，所以030GEF ∠=，故选A ．考点：异面直线所成的角．【方法点晴】本题主要考查了异面直线所成的角，其中解答中涉及到三角形的中位线定理、异面所成角的概念、三角函数的概念及已知三角函数值求角，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，本题的解答中利用//,//GF AB GE CD ，进而得到GEF ∠为异面所成的角，放置在三角形中求解．属于基础题．12.在正三棱柱111ABC A B C -中，若14AB AA ==，点D 是1AA 的中点，则点A 到平面1DBC 的距离是（ ）A ．1B D ．2【答案】B【解析】考点：点到平面的距离的求解．【方法点晴】本题主要考查了点到平面的距离问题，其中解答中涉及到空间向量的应用、平面法向量的求解、点、线、面的位置关系的判定等知识点综合考查，解答中要认真审题，合理地运用空间向量法进行合理求解，其中向量法是求解点到平面距离问题的一种常用方法，着重考查了学生的推理与运算能力，属于中档试题．第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）13.等边三角形AOB的边长为a，建立如图所示的直角坐标系xOy，用斜二测画法得到它的直观图，则它的直观图的面积是______________．【答案】216a 【解析】试题分析：过B 作,BD OA BC OC ⊥⊥，则1,2OD a BD OC ===，作x '轴和y '轴，使得045x O y '''∠=，在x '轴上取点,A D ''，使得1,2O A OA a O D OD a ''''====，在y '轴上取点C '，使得12O C OC ''==，过点C '//C B x '''轴，使得12C B O D a ''''==，连接,,O B A B B D ''''''，则A O B '''∆的直观图，由直观图作法可知0,45B D O C B D A x O y ''''''''''==∠=∠=，过B '作B E O A '''⊥于E ，则0s i n B E B D a ''''==，所以1122A O B S O A B E a '''∆''''=⋅=⨯=．考点：平面图形的直观图．14.如果底面直径和高相等的圆柱的侧面积为S ，那么该圆柱的体积为_____________．考点：圆柱的侧面积．15.如图所示，G N M H 、、、分别是正三棱柱（两底面为正三角形的直棱柱）的顶点或所在棱的、是异面直线的图形有____________（填上所有正确答案的序中点，则表示直线GH MN号）．【答案】②④考点：异面直线的判定．【方法点晴】本题主要考查了空间中异面直线的判定问题，其中解答中涉及到异面直线的定义和异面直线的判定方法、三棱柱的结构特征等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，属于基础题，本题的解答中正确把握三棱柱的基本结构特征和异面直线的概念与判定方法是解答的关键．16.已知一个三棱锥的俯视图与侧（左）视图如图所示，俯视图是边长为2的正三角形，侧视图是有一条直角边长为2的直角三角形，则该三棱锥的表面积为______________．2【解析】试题分析：由已知中的三视图，可知该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，其直观图如图所示，其中2AE BC CD BD ====,则DE AB AC AD ===ABC ∆的面积为12222⨯⨯=，BCD ∆的面积为224=ABD ∆和ACD ∆的三边边长方程为ABD ∆和ACD ∆的面积为2，所以该三棱锥的表面积为2．考点：几何体的三视图和几何体的表面积．【方法点晴】本题主要考查了空间几何体的三视图和几何体的表面积的计算，其中解答中涉及到几何体的三视图的规则——“长对正、宽相等、高平齐”的原则，还原出原几何体的形状，在利用三角形的面积公式求解几何体的表面积，其中解答中还原出几何体的直观图是解答的关键，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，属于中档试题．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分10分）如图，在直角梯形ABCD 中，0090,60,1,DAB CBA DCB AD AB ∠=∠=∠===，在直角梯形内挖去一个以A 为圆心，以AD 为半径的四分之一圆，得到图中阴影部分，求图中阴影部分绕直线AB 旋转一周所得旋转体的体积、表面积．【答案】V =，12S π=． 【解析】试题分析：旋转后几何体是一个圆台，从上面挖去一个半球，根据数据利用面积公式与体积公式，即可求解该几何体的体积与表面积．试题解析：;12V S π== 考点：旋转体的概念及体积．18.（本小题满分12分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，,,,E F G H 分别是1111,,,AB AC A B AC 的中点． 求证：（1）平面1//EFA 平面BCHG ；（2）1BG CH AA 、、三线共点．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．试题解析：证明：（1）∵,E F 分别为,AB AC 的中点，∴//EF BC ，∵EF ⊄平面,BCHG BC ⊂平面BCHG ，∴//EF 平面BCHG ．∵1AG 与EB 平行且相等， ∴四边形1A EBG 是平行四边形，∴1//GB A E ，∵1A E ⊄平面,BCHG GB ⊂平面BCHG ，∴1//A E 平面BCHG ．∵1A E EF E =，∴平面1//EFA 平面BCHG ．（2）∵//,GH BC GH BC <，∴BG 与CH 必相交，设交点为P ，则由,P BG BG ∈⊂平面11BAA B ，得P ∈平面11BAA B ，同理P ∈平面11CAAC ，又平面11BAA B 平面111CAAC AA =，∴P ∈直线1AA ，∴1BG CH AA 、、三线共点．考点：直线与平面平行的判定与证明；平面的性质．19.（本小题满分12分）如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，设E 为PD 的中点．（1）证明：//PB 平面AEC ；（2）设异面直线BP 与CD 所成角为45°，1,AP AD ==求三棱锥E ACD -的体积．【答案】（1）证明见解析；（2）12．试题解析：（1）连BD 交AC 于,F F 为BD 中点，连EF 又在三角形PBD 中，E 为PD 的中点，所以：//PB EF ，因为EF ⊆平面,AEC PB ⊄平面AEC ，所以//PB 平面AEC ．（2）∵//AB CD ，∴异面直线BP 与CD 所成角的平面角为045ABP ∠=，∴1AB AP ==，所以：111111223212E ACD P ACD V V --==⨯⨯⨯=．考点：直线与平面平行；三棱锥的体积的计算．20.（本小题满分12分）如图所示，四棱锥P ABCD -的底面是边长为a 的正方形，侧棱PA ⊥底面ABCD ，在侧面PBC 内，有BE PC ⊥于E ，且BE =．（1）求证：PB BC ⊥；（2）试在AB 上找一点F ，使//EF 平面PAD ．【答案】（1）证明见解析；（2）23AF AB =． 【解析】试题分析：（1）由PA ⊥面ABCD ，∴PA BC ⊥，又BC AB ⊥，根据线面垂直的判定定理，得出BC ⊥面PAB ，即可证明PB BC ⊥；（2）在平面PCD 内，过E 作//EG CD 交PD 于AG ，连接AG ，在AB 上取点F ，使AF EG =，得到//FE AG ，又PB BC ⊥∴222222PC BC PB BC AB PA =+=++，设PA x =，即可求解x 的值，从而得出23AF AB =．（2）在平面PCD 内，过E 作//EG CD 交PD 于AG ，连接AG ，在AB 上取点F ，使AF EG =，∵////,EG CD AF EG AF =，∴四边形FEGA 为平行四边形，∴//FE AG ．又AG ⊂平面,PAD FE ⊄平面PAD ，∴//EF 平面PAD ，∴F 即为所示的点．∵PB BC ⊥，∴222222PC BC PB BC AB PA =+=++，设PA x =，则PC PB BC BE PC =得：2262a a x a =+，∴x a =，即PA a =，∴PC =．又3CE a ==，∴23PE PC =，∴23GE PE CD PC ==， 即2233GE CD a ==，∴23AF a =，即23AF AB =．考点：直线与直线垂直的判定；直线与平面平行的判定与应用．21.（本小题满分12分）如图，在边长为4的等边三角形ABC 中，点,,D E F 分别是边,,AB AC BC 的中点，DC EF O =，沿EF 将CEF ∆翻折到PEF ∆，连接,,PA PB PD ，得到如图的四棱锥P ABFE -，且PB =（1）求证：AB ⊥平面POD ；（2）求四棱锥P ABFE -的体积．【答案】（1）证明见解析；（2）3．试题解析：（1）证明：∵点,E F 分别是边,CA CB 的中点，∴//EF AB ．∵CD EF ⊥，∴,EF DO EF PO ⊥⊥，∵DO ⊂平面,POA PO ⊂平面,POA DO PO O =，∴EF ⊥平面POD ．∴AB ⊥平面POA ．（2）连接BO ，∴CD DO PO ==在Rt BHO ∆中，BO == 在PBO ∆中，22210BO PO PB +==，∴PO BO ⊥．∵,,PO EF EF BO O EF ⊥=⊂平面,BFED BO ⊂平面BFED ，∴PO ⊥平面ABFE ．梯形BFED 的面积为()1332S EF AB DO =+=∴四棱锥P BFED -的体积11333V S PO ==⨯=． 考点：直线与平面垂直；几何体的体积的计算．【方法点晴】本题主要考查了直线与平面垂直的判定与证明、几何体的体积的计算，其中解答中涉及到直线与平面垂直的判定定理与性质定理，三棱锥的体积的计算、勾股定理的应用等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力以及推理与运算能力，其中熟记判定定理是解得关键，属于中档试题．22.（本小题满分12分）如图，圆锥顶点为P ，底面圆心为O ，其母线与底面所成的角为45°，AB 和CD 是底面圆O 上的两条平行的弦，060COD ∠=．（1）证明：平面PAB 与平面PCD 的交线平行于底面；（2）求轴OP 与平面PCD 所成的角的正切值．【答案】（1）证明见解析；（2．试题解析：（1）设面PAB ⋂面PCD =直线m ，∵//AB CD 且CD ⊂平面//PCD AB ⇒面//PCD AB ⇒直线m ，∵AB ⊂面ABCD ⇒直线//m 面ABCD ．所以面PAB 与面PCD 的公共交线平行底面ABCD ．（2）设CD 的中点为M ，连接OM PM 、，因为OC OD =，所以OM CD ⊥，设OD r =，则2OM =， 又OP ⊥平面PCD ，所以OP CD ⊥，又OP OM O =，所以CD ⊥平面OPM ，过O 作OH PM ⊥，垂足为H ，则CD OH ⊥，又OH PM H =，所以OH ⊥平面PCD ，所以OP 在平面PCD 内的射影为PH ， 所以OPH ∠为轴OP 与平面PCD 所成的角的平面角，又母线与底面所成的角为45°，即045ODP ∠=，所以OP OD r ==，在直角POM ∆中，tan 2OPM =∠=，而OPM OPH ∠=∠，所以轴OP 与平面PCD 考点：直线与平面所成的角；直线与平面垂直的判定与性质．【方法点晴】本题主要考查了直线与平面所成的角、直线与平面垂直的判定与性质，其中解答中直线与平面平行的判定定理与性质定理，以及直线与平面所成角、已知三角函数值求解角等知识点的考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，本题的解答中熟记线面位置关系的判定定理与性质定理和直线与平面所成角是解得的关键．属于中档试题．。