(完整版)简单的线性规划问题(附答案)
简单的线性规划问题 [ 学习目标 ] 1.了解线性规划的意义以及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念 .2. 了解线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题． 知识点一线性规划中的基本概念 知识点二线性规划问题 1．目标函数的最值 线性目标函数 z＝ax＋by (b≠0)对应的斜截式直线方程是 y＝－a x＋z，在 y 轴上的 截距是z， b b b 当 z 变化时，方程表示一组互相平行的直线． 当 b>0，截距最大时， z 取得最大值，截距最小时， z 取得最小值； 当 b<0，截距最大时， z 取得最小值，截距最小时， z 取得最大值． 2．解决简单线性规划问题的一般步骤在确定线性约束条件和线性目标函数的前提下，解决简单线性规划问题的步骤可以概括为：“画、移、求、答”四步，即， (1)画：根据线性约束条件，在平面直角坐标系中，把可行域表示的平面图形准确地画出来，可行域可以是封闭的多边形，也可以是一侧开放的无限大的平面区域．(2)移：运用数形结合的思想，把目标函数表示的直线平行移动，最先通过或最后通过的顶点 (或边界 )便是最优解． (3)求：解方程组求最优解，进而求出目标函数的最大值或最小值． (4)答：写出答案．
知识点三简单线性规划问题的实际应用 1．线性规划的实际问题的类型 (1)给定一定数量的人力、物力资源，问怎样运用这些资源，使完成的任务量最大，收到的效益最大； (2)给定一项任务，问怎样统筹安排，使完成这项任务耗费的人力、物力资源量最小．常见问题有： ①物资调动问题例如，已知两煤矿每年的产量，煤需经两个车站运往外地，两个车站的运输能力是有限的，且已知两煤矿运往两个车站的运输价格，煤矿应怎样编制调动方案，才能使总运费最小？ ②产品安排问题例如，某工厂生产甲、乙两种产品，每生产一个单位的甲种或乙种产品需要的A、B、C 三种 材料的数量，此厂每月所能提供的三种材料的限额都是已知的，这个工厂在每个月中应如何安排这两种产品的生产，才能使每月获得的总利润最大？ ③下料问题例如，要把一批长钢管截成两种规格的钢管，应怎样下料能使损耗最小？2．解答线性规划实际应用题的步骤 (1)模型建立：正确理解题意，将一般文字语言转化为数学语言，进而建立数学模型，这需要在学习有关例题解答时，仔细体会范例给出的模型建立方法． (2)模型求解：画出可行域，并结合所建立的目标函数的特点，选定可行域中的特殊点作为最优解． (3)模型应用：将求解出来的结论反馈到具体的实例中，设计出最佳的方案． 题型一求线性目标函数的最值 y≤2， 例 1 已知变量 x，y 满足约束条件 x＋y≥1，则 z＝3x＋y 的最大值为 ( ) x－y≤1， A ． 12 B ．11 C ．3 D ．－ 1 答案 B 解析首先画出可行域，建立在可行域的基础上，分析最值点，然后通过解方程组得最值点 的坐标，代入即可．如图中的阴影部分，即为约束条件对应的可行域，当直线y＝－3x＋z 经 y＝2，x＝ 3，
第五章 整数规划练习题答案教程文件
第五章整数规划练习 题答案
精品资料 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢2 第五章 整数规划练习题答案 一. 判断下列说法是否正确 1. 用分枝定界法求解一个极大化的整数规划问题时，任何一个可行整数解的目标函数值是 该问题目标函数值的下界。( ) 2. 用割平面法求解整数规划时，构造的割平面有可能切去一些不属于最优解的整数解。( ) 3. 用割平面法求解纯整数规划时，要求包括松弛变量在内的全部变量必须取整数值。( ) 4. 指派问题数学模型的形式与运输问题十分相似，故也可以用表上作业法求解。( ) 二. 设有五项工作要分派给五个工人，每人的作业产值如下表所示，为了使总产值最大，问 应如何分配这五项工作，并求得最大产值。 答案： 设原矩阵为A ，因求极大问题，令B=[M-a ij ]，其中M=Max {a ij }=10，则： 16425105 3140 42132 510425 1042 4003B 13752102641015406241515130450203057470574704646111 -???? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? =→→- ? ? ?- ? ? ? ? ? ??????? --- m 4n 5 l m 44213421324324315415452352346464646=<===???? ? ??? ? ? ? ?→→????→?? ? ? ?? ? ? ? ???????0 3102340031 15406020303535?? ? ? ? ? ? ??? 31234311546233535??? ?? ? ?→ ?? ? ??? m=5=n ，得最优解。解矩阵*00 01000100X 00 0010100010000?? ? ? ?= ? ? ??? 。
破解线性规划中的整点问题
破解线性规划中的整点问题 河南省三门峡市卢氏一高（472200）赵建文 Email:zhaojw1968@https://www.doczj.com/doc/9f3287480.html, 线性规划中的整点问题是高中数学线性规划中的重要一类问题，是高中数学的一个难点，本文将整数线性规划问题解法作以简单介绍供同学们学习时参考. 例 某商店计划同时销售某品牌电热水器和太阳能热水器，由于市场需求旺盛，这两种产品供不应求，因该商店根据具体情况（如成本、员工工资）确定产品的月采购量，具体数据如下，问这两种产品各采购多少时，才能使总利润最大？最大利润是多少？ 分析：本题是整数规划问题，设采购电热水器x 台、太阳能热水器y 台，列出约束条件和目标函数，用图解法解之. 解析：设月采购电热水器x 台、太阳能热水器y 台，月总利润为z 元，则 1000300030000100050011000 ,x y x y x y N +≤??+≤??∈? ，即330222 ,x y x y x y N +≤??+≤??∈?，目标函数为 z =800600x y + 作出可行域如图所示， 作直线l ：86x y +=0， 平移直线z =800600x y +知过M 3638( ,)55时，max z =10320，但x =365，y =385不是整数，所以可行域内点M 3638( ,)55不是整点最优解. 求整点最优解 解法一 网格平移法 首先在可行域内打网格，其次描出M 3638(,)55 附近的所有整点，接着平移直线l ：86x y +=0，会发现当移至（8，6）时，直线在y 轴上截距最大，即max z =10000元. 解法二 特值检验法 由图可知目标函数取得最大值的整点应分布在可行域右上侧靠近边界的区域，一次取得满足条件的整点，（0，10），（1，9），（2，9），（3，9）（4，8），（5，8），（6，8），（7，7），（8，6），（8，5），（9，4），（10，2），（10，1），（11，0）.将这些点分别代入z =800600x y +，求出各点对应的值，经验证可知，在整点(8,6)处max z =10000元. 解法三 调整最优法 单位产品所需资金 月资金供应量（百元） 电热水器 太阳能热水器 成本 10 30 300 工资 10 5 110 单位利润 8 6
必修五——线性规划无数个最优解问题、乘1问题-答案
必修五——线性规划无数个最优解问题、乘1问题 答案和解析 【答案】 1.D 2.A 3.C 4.C 5.A 6.B 7.D 8.B 9.C 10.B 11.B 【解析】 1. 解：作出不等式组{x +y ≥1 x ?y ≥?12x ?y ≤2 表示的平面区域， 得到如图的△ABC 及其内部，其中A （1，0），B （0，1），C （3，4） 设z =F （x ，y ）=ax +by （a ＞0，b ＞0），将直线l ：z =ax +by 进行平移， 当l 经过点C 时，目标函数z 达到最大值 ∴z 最大值=F （3，4）=3a +4b =7，可得17（3a +4b ）=1因此，3a +4b =17 （3a +4b ）（3a +4b ）=17（25+12b a +12a b ） ∵12b a +12a b ≥2√12b a ?12a b =24∴17（25+24）≥17×49=7， 即当且仅当a =b =1时，3a +4b 的最小值为7故选：D 作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的△ABC 及其内部，再将目标函数z =ax +by 对应的直线进行平移，可得当x =3，y =4时，z 最大值为3a +4b =7．然后利用常数代换结合基本不等式，可得当且仅当a =b =1时，3a +4 b 的最小值为7． 本题给出二元一次不等式组，在已知目标函数z =ax +by 最大值为7的情况下求3a +4b 的最小值．着重考查了运用基本不等式求最值和简单的线性规划等知识，属于中档题． 2. 解：满足约束条件{x +y ?4＜0y ≥x x ≥0的可行域如下图所示
∵y?5x?1表示可行域内一点（x ，y ）与P （1，5）连线的斜率 又∵k PA =5?41?0=1，k PB =5?22?1=-3， ∴y?5x?1的范围是（-∞，-3）∪（1，+∞） 故选A 画出满足约束条件的可行域，分析目标函数的几何意义，数形结合即可分析出目标函数的取值范围． 本题考查的知识点是简单线性规划的应用，其中分析出目标函数的几何意义是表示可行域内一点（x ，y ）与P （1，5）连线的斜率是解答的关键． 3. 解：由约束条件{y ≥0 y ?x +1≤0y ?2x +4≥0作出可行域如图， 由z =y -ax （a ≠0），得y =ax +z ， ∵a ≠0， ∴要使z =y -ax （a ≠0）取得的最优解（x ，y ）有无数个， a 不能为负值，当a ＞0时，直线y =ax +z 与线段AC 所在直线重合时，使z =y -ax 取得最大值的最优解有无数个； 直线y =ax +z 与线段BC 所在直线重合时，使z =y -ax 取得最小值的最优解有无数个．
对线性规划整点问题的探究(蒋政)
对线性规划整点问题的探究 一、精确图解法求整数最优解 ( 课本P88习题16 ) 某运输公司有7辆载重量为6t 的A 型卡车与4辆载重量为10t 的B 型卡车，有9名驾驶员。在建筑某段高速公路中，此公司承包了每天至少搬运360t 沥青的任务。已知每辆卡车每天往返的次数为A 型卡车8次，B 型卡车6次，每辆卡车每天往返的成本费A 型车160元，B 型车252元。每天派出A 型车和B 型车各多少辆公司所花的成本费最低？ 解：设每天派出A 型车x 辆、B 型车y 辆，公司所花的成本为z 元，则 0x 70y 4x y 9 68x 106y 360x,y Z ≤≤??≤≤??+≤????+??≥?∈??即0x 70y 4 x y 94x 5y 30x,y Z ≤≤??≤≤? ? +≤??+≥?∈?? z=160x+252y. 如图可行域是ABCD 围成的区域， 作直线160x+252y=0，图形中两直线160x+252y=0和4x+5y=30接近平行， 比较直线斜率k=160252- >-4 5 , 平移直线160x+252y=0，由图可知在A （7， 2 5 ）处取到最小值，但A 不是整数解。 在可行域内共有（3，4），（4，3），（4，4），（5，2），（5，3），（6，2），（6，3），（7，1），（7，2）整数解，经检验只有（5，2）是最优解，此时z=160×5+252×2=1304元。 这种方法适用于区域是封闭区域，且区域内的整数点可数，坐标网络画出来容易在图上识别哪些整点在可行域内。 二、利用近似解估算整数最优解 (课本P63例4) 要将两种不同的钢板截成A 、B 、C 三种规格，每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示： 今需要A 、B 、C 三种规格的成品分别为15、18、27块，问各截这两种钢板多少张可得所需的三种规格成品，且所使用钢板张数最少。 解：设需截取第一种钢板x 张，第 二种钢板y 张，则 2x y 15x 2y 18x 3y 27x,y 0,x,y N +≥??+≥? ? +≥??≥∈? 目标函数z=x+y, 如图可行域是阴影部分，目标函数在A 点取到最优解。解方程组 x 3y 272x y 15+=?? +=? 得A （185，39 5） 但不是整数解， 规格类型 钢板类型 A 规格 B 规格 C 规格 第一种钢板 2 1 1 第二种钢板 1 2 3 2018 16 14 12 10 8 6 4 2 -15-10-5 51015 x+y=12 x+3y=27 x+2y=18 2x+y=15 A B C D E x O y x+y=9 4x+5y=3 160x+252y=0 A B C D
简单线性规划问题教案
332简单线性规划问题 “简单的线性规划”是在学生学习了直线方程的基础上，介绍直线方程的一个简 单应用，这是《新大纲》对数学知识应用的重视?线性规划是利用数学为工具，来研究一定的人、财、物、时、空等资源在一定条件下，如何精打细算巧安排，用最少的资源，取得最大的经济效益?它是数学规划中理论较完整、方法较成熟、应用较广泛的一个分支，并能解决科学研究、工程设计、经营管理等许多方面的实际问题?中学 所学的线性规划只是规划论中的极小一部分，但这部分内容体现了数学的工具性、应用性，同时也渗透了化归、数形结合的数学思想，为学生今后解决实际问题提供了一种重要的解题方法一一数学建模法.通过这部分内容的学习，可使学生进一步了解数学在解决实际问题中的应用，培养学生学习数学的兴趣和应用数学的意识和解决实际问题的能力 依据课程标准及教材分析，二元一次不等式表示平面区域以及线性规划的有关概念比较抽象，按学生现有的知识和认知水平难以透彻理解，再加上学生对代数问题等 价转化为几何问题以及数学建模方法解决实际问题有一个学习消化的过程，故本节知 识内容定为了解层次 本节内容渗透了多种数学思想，是向学生进行数学思想方法教学的好教材，也是培养学生观察、作图等能力的好教材 本节内容与实际问题联系紧密，有利于培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识以及解决实际问题的能力 教学重点重点是二元一次不等式（组）表示平面的区域教学难点难点是把实际问题转化为线性规划问题，并给出解答?解决难点的关键是根据实际问题中的已知条件，找出约束条件和目标函数，利用图解法求得最优解?为突 出重点，本节教学应指导学生紧紧抓住化归、数形结合的数学思想方法将实际问题数学化、代数问题几何化课时安排2课时 三维目标 一、知识与技能 1. 掌握线性规划的意义以及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念； 2. 运用线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题I 二、过程与方法 1. 培养学生观察、联想以及作图的能力，渗透集合、化归、数形结合的数学思想，提高学生“建模”和解决实际问题的能力； 2. 结合教学内容，培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识，激励学生创新. 三、情感态度与价值观 1. 通过本节教学着重培养学生掌握“数形结合”的数学思想，尽管侧重于用“数”研究“形”，但同时也用“形”去研究“数”，培养学生观察、联想、猜测、 归纳等数学能力； 2. 结合教学内容，培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识，激励学生勇于 创新.
线性规划经典例题及详细解析
一、已知线性约束条件，探求线性目标关系最值问题 1. 设变量x 、y 满足约束条件?? ? ??≥+-≥-≤-1122y x y x y x ，则y x z 32+=的最大值为 。 二、已知线性约束条件，探求非线性目标关系最值问题 2. 已知1,10,220x x y x y ≥?? -+≤??--≤? 则22x y +的最小值是 。 3. 已知变量x ，y 满足约束条件+201-70x y x x y -≤??≥??+≤? ，则 y x 的取值范围是（ ）. A. [95，6] B.（－∞，9 5 ]∪[6，＋∞） C.（－∞，3]∪[6，＋∞） D. [3，6] 三、 研究线性规划中的整点最优解问题 4. 某公司招收男职员x 名，女职员y 名，x 和y 须满足约束条件?? ? ??≤≥+-≥-.112,932, 22115x y x y x 则1010z x y =+的最大 值是 。 四、已知最优解成立条件，探求目标函数参数范围问题 5. 已知变量x ，y 满足约束条件14 22x y x y ≤+≤??-≤-≤? 。若目标函数z ax y =+（其中0a >）仅在点(3,1)处 取得最大值，则a 的取值范围为 。 6. 已知x 、y 满足以下约束条件5503x y x y x +≥?? -+≤??≤? ，使z=x+a y (a >0) 取得最小值的最优解有无数个，则a 的 值为（ ） A. －3 B. 3 C. －1 D. 1 五、求可行域的面积 7. 不等式组260302x y x y y +-≥?? +-≤??≤? 表示的平面区域的面积为 （ ） A. 4 B. 1 C. 5 D. 无穷大 解析： 图1
如何认识线性规划实际问题中有关最优解的精确问题
如何认识线性规划实际问题中有关最优解的精确问题 课本线性规划第二节，提到两个实际问题，一个要求将最优解精确到0.1，一个要求将最优解是整数，如果说师生们对例4的答案还可接受的话，那么，例3到最后四舍五入式的解答实在让人难以把握，况且最优解应为（12.3，34.5），那么关于这种最优解需要得到精确的题目有没有统一的解答步骤，我的回答是有。 在实际问题中，可行域一般都是一整片区域不存在间断现象，所以题目所要求的最优解无论精确到0.1还是精确到0.01，符合要求的最优解都确实存在在可行域中，我们要做的应该是把它找出来，而不是通过任何手段去精确。如何才能把它找出来呢？我的办法是，不考虑x、y需要精确的要求，先依其他条件列出不等式组，作出可行域，求出符合题中其他条件的最优解，然后看此最优解是否符合题目要求，若符合，则即为所求解．若不符合，则应继续滑动参照线，求出经过可行域内的符合要求的且与原点距离最远（或最近）的点的直线，在该线经过可行域的部分上寻找最优解即可。具体操作请看以下示范 课本例3、某工厂生产甲、乙两种产品，已知生产甲种产品1t需消耗A种矿石10t、B种矿石5t、煤4t；生产乙种产品1t需消耗A种矿石4t、B种矿石4t、煤9t。每1 t甲种产品的利润是600元，每1 t甲种产品的利润是1000元。工厂在生产这两种产品的计划中要求消耗A种矿石不超过300t、B种矿石不超过200t、煤不超过360t。甲、乙两种产品应各生产多少（精确到0.1t），能使利润总额达到最大？ 解：设生产甲、乙两种产品分别为x t、y t，利润总额为z元，那么
104300542004936000 x y x y x y x y +≤??+≤?? +≤??≥?≥?? Z=600x+1000y 作直线l ：600x+1000y=0 即直线l ：3x+5y=0 把直线l 向右上方平移，使其划过可行域，此时3x+5y>0 当直线经过点M 3601000 (,)2929时3x+5y 达到最大,即z 也达到最大， 此时3x+5y=6080 29 ≈209.655, 若要将最优解精确到0.1，需将直线向回平移到3x+5y=209.6 由35209.649360 x y x y +=??+=? 得到3x+5y=209.6与可行域左边界的交点A （12.343,34.514） 由35209.654200x y x y +=??+=? 得到3x+5y=209.6与可行域右边界的交 点B （12.431,34.462） 可知有可能成为最优解的点的横坐标为12.4 代入3x+5y=209.6得到纵坐标约为34.48，不符合题目精确到0.1要求
线性规划习题精讲
线性规划常见题型及解法 线性规划是新教材中新增的内容之一，由已知条件写出约束条件，并作出可行域，进而通过平移直线在可行域内求线性目标函数的最优解是最常见的题型，除此之外，还有以下六类常见题型。 一、求线性目标函数的取值范围 例1、若x、y满足约束条件 2 2 2 x y x y ≤ ? ? ≤ ? ?+≥ ? ，则z=x+2y的取值范围 是（） A、[2,6] B、[2,5] C、[3,6] D、（3,5] 解：如图，作出可行域，作直线l：x+2y＝0，将l向右上方平移，过点A（2,0）时，有最小值2，过点B（2,2）时，有最大值6，故选 A 二、求可行域的面积 例2、不等式组 260 30 2 x y x y y +-≥ ? ? +-≤ ? ?≤ ? 表示的平面区域的面积为（） A、4 B、1 C、5 D、无穷大 解：如图，作出可行域，△A B C的面积即为所求，由梯形OM B C的面积减去梯形OM A C的面积即可，选B 三、求可行域中整点个数 例3、满足|x|＋|y|≤2的点（x，y）中整点（横纵坐标都是整数）有（） A、9个 B、10个 C、13个 D、14个 解：|x|＋|y|≤2等价于 2(0,0) 2(0,0) 2(0,0) 2(0,0) x y x y x y x y x y x y x y x y +≤≥≥ ? ?-≤≥ ? ? -+≤≥? ?--≤ ? 作出可行域如右图，是正方形内部（包括边界），容易得到整点个数为13个，选 D 四、求线性目标函数中参数的取值范围 例4、已知x、y满足以下约束条件 5 50 3 x y x y x +≥ ? ? -+≤ ? ?≤ ? ，使z=x+ay(a>0)取得 最小值的最优解有无数个，则a的值为（） A、－3 B、3 C、－1 D、1 解：如图，作出可行域，作直线l：x+a y＝0，要使目标函数z=x+a y(a>0)取得最小值的最优解有无数个，则将l向右上方平移后与直线x+y＝5重合，故a=1，选 D 五、求非线性目标函数的最值
1用“线性规划问题的最优解在边界上”简解高考题
用“线性规划问题的最优解在边界上”简解高考题 线性规划问题是指在线性约束条件(即关于变量y x ,的二元一次不等式或不等式组)下，求线性目标函数by ax z +=的最大值或最小值问题.在线性规划问题中，满足线性约束条件的解),(y x 叫做可行解，可行解的集合叫做可行域(可行域的边界是直线、射线或线段)，使目标函数取得最值的可行解叫做这个线性规划问题的最优解.求解线性规划问题，通常是通过平移初始直线0=+by ax 来解决的，所以有下面的结论： (1)若线性规划问题存在最优解，则最优解一定在边界上. (2)若目标函数by ax z +=在两个不同的点B A ,处均取到最大值或均取到最小值，则初始直线0=+by ax 与直线AB 平行(此时线段AB 一定是可行域的边界，且线段AB 上的所有点都是最优解). (3)若可行域有凸顶点，则目标函数在可行域的所有凸顶点处的函数值中的最大(小)值就是目标函数的最大(小)值. 下面用这些结论简解几道线性规划题. 题1 (2015年高考山东卷理科第6题)已知x ，y 满足约束条件?????x －y ≥0，x ＋y ≤2，y ≥0. 若z ＝ax ＋y 的最大值为4，则a ＝( ) A ．3 B ．2 C ．－2 D ．－3 解 B.题中的可行域为图1中的OAB ?(其顶点坐标分别是)0,2(),1,1(),0,0(B A O )及其内部的区域. 图1 再由结论(3)，可得3=a 或2.再检验，得2=a . 题2 (2015年高考福建卷文科第10题)变量x ，y 满足约束条件?????x ＋y ≥0，x －2y ＋2≥0，mx －y ≤0. 若z ＝
线性规划整点问题
线性规划整点问题 1.某电脑用户计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒装磁盘，根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒，不同的选购方式有多少种？（7） 2.配制,A B两种药剂，需要甲、乙两种原料，已知配一剂A种药品需要甲料3mg，乙料5mg，配一剂B种药品需要甲料5mg，乙料4mg. 今有甲料20mg，乙料25mg，若,A B两种药至少各配一剂，问共有多少种配制方法？(8) 3.有一批同规格的钢条，每根钢条有两种切割方式，可截成长度为a的钢条2根，长度为b的钢条1根；或截成长度为a的钢条1根，长度为b的钢条3根；现长度为a的钢条至少需要15根，长度为b的钢条至少需要27根.问：如何切割可使钢条用量最省？ （()() 4,8,3,9） 4. 有一批同规格的钢条，每根钢条有两种切割方式，可截成长度为a的钢条2根，长度为b的钢条3根；或截成长度为a的钢条3根，长度为b的钢条1根. (1)现需2根a长与1根b长配成一套，问按两种切割方式进行切割应满足的比例是多少? (2)如果长度为a的钢条至少需要50根，长度为b的钢条至少需要45根.问：如何切割 可使钢条用量最省？（1：4；()() 13,8,12,9） 5.某人有一栋楼房，室内面积共计2 m拟割成两类房间作为旅游客房，大房间每间 180, 面积为2 15, m可住游m可住游客5名，每名游客每天住宿费40元；小房间每间面积为2 18, 客3名，每名游客每天住宿费50元. 装修大房间每间需要1000元，装修小房间每间需要600元，如果他只能筹款8000元用于装修，且游客能注满客房，他应隔出大房间和小房间多少间，能获得最大效益?(()() 0,12,3,8) 6.某厂用甲、乙两种原料生产,A B两种产品，制造,A B一吨产品分别需要的各种原料 （1）在现有原料的条件下，如何组织生产才能使利润最大? （2）每吨产品B的利润限制在什么范围内变化，原最优解才会不改变？
整数规划例题
〈运筹学〉补充例题 例题 1.1 某工厂可以生产产品A和产品B两种产品。生产单位产品A和B所需要的机时、人工工时的数量以及可利用资源总量由下表给出。这两种产品在市场上是畅销产品。该工厂经理要制订季度的生产计划，其目标是使工厂的销售额最大。 产品A 产品B 资源总量 机器（时） 6 8 120 人工（时） 10 5 100 产品售价（元） 800 300 MAX 800X1 +300X2 ST 6X1 +8X2 <= 120 10X1 +5X2 <= 100 X1, X2 >=0 例题 1.2该工厂根据产品A和产品B的销售和竞争对手的策略，调整了两种产品的售价。产品A和B的价格调整为600元和400元。假设其它条件不变，请你帮助该工厂经理制订季度的生产计划，其目标仍然是使工厂的销售额最大。 X 600X1 +400X2 ST 6X1 +8X2 <= 120 10X1 +5X2 <= 100 X1, X2 >=0 例题 1.3由于某些原因，该工厂面临产品原料供应的问题。因此，工厂要全面考虑各种产品所需要的机时、人工工时、原材料的资源数量及可用资源的总量、产品的售价等因素。有关信息在下表中给出。 产品A 产品B 资源总量 机器（时） 6 8 120 人工（时） 10 5 100 原材料(公斤) 11 8 130 产品售价（元） 600 400 MAX 600X1 +400X2 ST 6X1 +8X2 <= 120 10X1 +5X2 <= 100 11X1 +8X2 <= 130 X1, X2 >=0 例题 1.４随着企业改革的不断深化，该企业的经理的管理思想产生了变化，由原来的追求销售额变为注重销售利润，因此，要考虑资源的成本。工厂的各种产品所需要的机时、人
线性规划最优解的几种可能情况
线性规划最优解的几种可能情况： 1.有唯一的最优解（可行域为封闭的有界区域、可行域为非封闭的无界区域） 2.有一个以上的最优解（可行域为封闭的有界区域、可行域为非封闭的无界区域） 3.无界解（目标函数无界，即虽有可行解，但在可行域中，目标函数可以无限增大或无限 减小） 4.无可行解（可行域为空集） Min型与Max型单纯形表的唯一区别： 检验数反号 Min型单纯形表中 -当检验数均大于等于零时为最优； -令负检验数中最小的对应变量为换入变量。 Max型单纯形表中 -当检验数均小于等于零时为最优； -令正的检验数中最大的对应变量为换入变量。 ①②②③④⑤⑤⑥⑴⑵⑵⑶ 解的几种情况在单纯形表上的体现（Max型）： 1）唯一最优解判别：最优表中所有非基变量的检验数非零,则线性规划具有唯一最优解。2）多重最优解判别：最优表中存在非基变量的检验数为零,则线则性规划具有多重最优解（或无穷多最优解）。 3）无界解判别：某个检验数大于零且换入变量对应的列中所有的分量皆非正，则线性规划具有无界解。 4）无可行解的判断：当用大M单纯形法计算得到最优解并基变量中还存在非零人工变量时，则表明原问题无可行解。 5）退化解的判别：存在某个基变量为零的基本可行解。 4.2 对偶问题的基本性质 1.对称性对偶问题的对偶是原问题。 2.弱对偶性若X是原问题的可行解，Y是对偶问题的可行解，则存在 求目标函数最大化时，在单纯形表中： ①如果检验数均非正，而b列中有负值，这时使用 对偶单纯形法； ②如果所有bi ≥0, 检验数有正值，使用 单纯形法: ③如果b列中有负值，且检验数中有正值，这时必须引入 人工变量，建立新的单纯形表，重新计算
运筹学整数规划例题
练习4.9 连续投资问题 某公司现有资金10万元,拟在今后五年考虑用于下列项目的投资: 项目A:从第一年到第四年每年年初需要投资,并于次年收回本利115%,但要求第一年投资最低金额为4万元,第二.三.四年不限. 项目B:第三年初需要投资,到第五年末能收回本利128%,但规定最低投资金额为3万元,最高金额为5万元. 项目C:第二年初需要投资,到第五年末能收回本利140%,但规定其投资金额或为2万元,或为4万元,或为6万元,或为8万元. 项目D:五年每年年初都可购买公债,于当年末归还,并获利6%,此项目投资金额不限. 试问该公司应图和确定这些项目的每年投资金额,使到第五年末拥有最大的资金收益. (1) x 为项目各年月初投入向量。 (2) ij x 为 i 种项目j 年的月初的投入。 (3) 向量c 中的元素 ij c 为i 年末j 种项目收回本例的百分比。 (4) 矩阵A 中元素 ij a 为约束条件中每个变量ij x 的系数。 (5) Z 为第5年末能拥有的资金本利最大总额。 因此目标函数为 4325max 1.15 1.28 1.40 1.06A B C D Z x x x x =+++ 束条件应是每年年初的投资额应等于该投资者年初所拥有的资金. 第1年年初该投资者拥有10万元资金,故有 11100000A D x x +=. 第2年年初该投资者手中拥有资金只有()116%D x +,故有 22211.06A C D D x x x x ++=. 第3年年初该投资者拥有资金为从D 项目收回的本金: 21.06D x ,及从项目A 中第1年投资收回的本金: 11.15A x ,故有 333121.15 1.06A B D A D x x x x x ++=+ 同理第4年、第5年有约束为 44231.15 1.06A D A D x x x x +=+, 5341.15 1.06D A D x x x =+
数学建模——混合整数规划
实验四 混合整数规划 一、问题重述 某开放式基金现有总额为15亿元的资金可用于投资，目前共有8个项目可供投资者选择，每个项目可重复投资。根据专家经验，对每个项目投资总额不能太高，应有上限。这些项目所需要的投资额已知，一般情况下投资一年后各项目所得利润也可估算出来，如表1所示。 请帮该公司解决以下问题： (1) 就表1提供的数据，应该投资哪些项目，使得第一年所得利润最高？ (2) 在具体投资这些项目时，实际还会出现项目之间互相影响的情况。公司咨询有关专家后，得到以下可靠信息：同时投资项目A 1，A 3，它们的年利润分别是1005万元，1018.5万元；同时投资项目A 4，A 5，它们的年利润分别是1045万元，1276万元；同时投资项目A 2，A 6，A 7，A 8，它们的年利润分别是1353万元，840万元，1610万元，1350万元，该基金应如何投资？ 其中M 为你的学号后3位乘以10。 (3) 如果考虑投资风险，则应如何投资，使收益尽可能大，而风险尽可能小。投资项目 总体风险可用投资项目中最大的一个风险来衡量。专家预测出各项目的风险率，如表2所示。 二、符号说明 i A :：投资额； i b ：i A 个项目所获得的年利润； i C ：第i A 个项目投资所获得的利润； 'i C ：第i A 个项目同时投资所获得的利润； i m ：投资i A 的上限； i y ：表示0—1变量； i p ：投资第i A 个项目的投资风险； 三、模型的建立 对于问题一 目标函数：8 1max i i i c x ==∑
s.t. 150000i i i i i i b x b x m ?≤? ??≤?∑ 对于问题二 设定0—1变量 131130...,1...,A A y A A ?? ?项目不同时投资项目同时投资 452450...,1...,A A y A A ???项目不同时投资 项目同时投资 2678326780...,,1...,,A A A A y A A A A ?? ?,项目不同时投资 ,项目同时投资 目标函数：'''' 11133111332445524455' '''322 66 77 88 322667788max ()(1)()()(1)()()(1)() y x c x c y x c x c y x c x c y x c x c y x c x c x c x c y x c x c x c x c =++-++++-++ ++++-+++ s.t. 1 13 131 24545 23267826783 1500001000i i i i i i b x k y x x x x y k y x x x x y k y x x x x x x x x y k b x m ?≤?? =??≤??≥?? ≤???≥? ?≤? ?≥?? ≤?∑ 对于问题三： 目标函数： max min max() i i i i i i c x b x p =∑ s.t. 150000i i i i i i b x b x m ?≤? ??≤?∑ 对于问题三模型的简化 固定投资风险，优化收益，设a 为固定的最大风险。 max i i i c x =∑
高中数学线性规划题型总结复习过程
高考线性规划归类解析 一、已知线性约束条件，探求线性目标关系最值问题 例1、设变量x 、y 满足约束条件?? ???≥+-≥-≤-1122y x y x y x ，则y x z 32+=的最大值为 。 解析：如图1，画出可行域，得在直线2x-y=2与直线x-y=-1 的交点A(3,4)处，目标函数z 最大值为18 点评：本题主要考查线性规划问题,由线性约束条件画出可 行域,然后求出目标函数的最大值.，是一道较为简单的送分 题。数形结合是数学思想的重要手段之一。 二、已知线性约束条件，探求非线性目标关系最值问题 例2、已知1,10,220x x y x y ≥??-+≤??--≤? 则22x y +的最小值是 . 解析：如图2，只要画出满足约束条件的可行域，而22x y +表示 可行域内一点到原点的距离的平方。由图易知A （1，2）是满足条 件的最优解。22x y +的最小值是为5。 点评：本题属非线性规划最优解问题。求解关键是在挖掘目标关 系几何意义的前提下，作出可行域，寻求最优解。 三、约束条件设计参数形式，考查目标函数最值范围问题。 例3、在约束条件0 024x y y x s y x ≥??≥??+≤??+≤?下，当35s ≤≤时，目标函数32z x y =+的最大值的变化范围是（） A.[6,15] B. [7,15] C. [6,8] D. [7,8] 解析：画出可行域如图3所示,当34s ≤<时, 目标函数 32z x y =+在(4,24)B s s --处取得最大值, 即 max 3(4)2(24)4[7,8)z s s s =-+-=+∈;当45s ≤≤时, 目标函数 32z x y =+在点 (0,4)E 处取得最大值,即max 30248z =?+?=,故[7,8]z ∈,从而选D; 点评：本题设计有新意，作出可行域，寻求最优解条件，然后转化为目标函数Z 关于S 的函数关系是求解的关键。 四、已知平面区域，逆向考查约束条件。 例4、已知双曲线22 4x y -=的两条渐近线与直线3x =围成一个三角形 区域,表示该区域的不等式组是（） (A)0003x y x y x -≥??+≥??≤≤? (B)0003x y x y x -≥??+≤??≤≤? (C) 0003x y x y x -≤??+≤??≤≤? (D) 0003x y x y x -≤??+≥??≤≤? 解析：双曲线224x y -=的两条渐近线方程为y x =±，与直线3x =围 图2 图1 C
若是某线性规划问题的最优解,则也是该问题的最优解 ( )
试题 16 一、填空题 1. 滞后效应速度分析的常用指标有_____________________，____________________。 2. 使用阿尔蒙估计法须事先确定：__________________，_______________________。 3. 考耶克模型可以描述的两个最著名的理论假设是：__________________________和_______________________。 4. 联立方程中的变量分为：_________________和__________________。 5. 联立方程模型有两种基本形式：__________________和___________________。 二、判断题 1. 若21,X X 是某线性规划问题的最优解，则） （）101(21≤≤-+=λλλX X X 也是该问题的最优解。 （ ） 2. 用单纯形法求解标准型的线性规划问题，当所有检验数0≤-j j z c 时，即可判定表中解即为最优解。 （ ） 3. 数学模型123 1231231212max 3572685820.3412 ,0f x x x x x x x x x s t x x x x =++-≥??++≤??+=??≥?＋为线性规划模型。 （ ） 4. 表达形式i i bx a y +=是正确的。 （ ） 5. 表达形式i i i bx a y ε++=是正确的。 （ ） 6. 表达形式i i x b a y ??+=是正确的。 （ ） 7. 表达形式i i x b a y ???+=是正确的。 （ ） 8. 在存在异方差情况下，常用的OLS 法总是高估了估计量的标准差。 （ ） 9. 当存在序列相关时，OLS 估计量是有偏的并且也是无效的。 （ ） 10. 消除序列相关的一阶差分变换假定自相关系数ρ必须等于1。 （ ） 三、问答题 1. 简述古典回归模型的基本假定。 2. 试举出三个模糊集合的例子。 3. 叙述Leslie 人口模型的特点。并讨论稳定状况下种群的增长规律。 4. 静态贝叶斯博弈中参与人的策略有什么特点？为什么？ 5. 有了海萨尼转换，不完全信息动态博弈和完全但不完美信息动态博弈基本上是相同的，，这种论述是否正确？ 四、计算题 1. 在超市购物时你注意到大包装商品比小包装商品便宜这种现象了吗。比如洁银牙膏50g
第六章整数规划
第五章整数规划 一、填空题 1．用分枝定界法求极大化的整数规划问题时，任何一个可行解的目标函数值是该问题目标函数值的（）。 2．在分枝定界法中，若选Xr=4／3进行分支，则构造的约束条件应为（）。 3．已知整数规划问题P0，其相应的松驰问题记为P0’，若问题P0’无可行解，则问题P。（）。 4．在0 - 1整数规划中变量的取值可能是（）或（）。 5．对于一个有n项任务需要有n个人去完成的分配问题，其解中取值为1的变量数为（）个。 6．分枝定界法和割平面法的基础都是用（）求解整数规划。 7．若在对某整数规划问题的松驰问题进行求解时，得到最优单纯形表中，由X。所在行得X1+1／7x3+2／7x5=13／7，则以X1行为源行的割平面方程为（）。 8．在用割平面法求解整数规划问题时，要求全部变量必须都为（）。 9．用（）求解整数规划问题时，若某个约束条件中有不为整数的系数，则需在该约束两端扩大适当倍数，将全部系数化为整数。 10．求解纯整数规划的方法是割平面法。求解混合整数规划的方法是（）。 11．求解0—1整数规划的方法是隐枚举法。求解分配问题的专门方法是（）。 12．在应用匈牙利法求解分配问题时，最终求得的分配元应是（）。 13.分枝定界法一般每次分枝数量为（）个. 二、单选题 1．整数规划问题中，变量的取值可能是（）。 A．整数B．0或1C．大于零的非整数D．以上三种都可能 2．在下列整数规划问题中，分枝定界法和割平面法都可以采用的是A（）。 A．纯整数规划B．混合整数规划C．0—1规划D．线性规划 3．下列方法中用于求解分配问题的是（）。 A．单纯形表B．分枝定界法C．表上作业法D．匈牙利法 三、多项选择
教你如何做出最佳选择——简单线性规划求最优解
教你如何做出最佳选择 ——简单的线性规划求最优解 在线性约束条件下，求线性目标函数最值问题，称为“线性规划”。目标函数),(y x f z =取得最值时，变量y x ,的对应解),(y x 称为最优解。若Z y x ∈,时，z 取得最值，称),(y x 为最优整数解，简称整解。点),(y x 的横、纵坐标都是整数，称为整点。 求最优整解问题出现在高中数学新教材中，常见的实际应用题型有两种，（1）给出一定数量的人力、物力资源，问怎样安排能使完成的任务量最大，收益最大； （2）给出一项任务，问怎样统筹安排，能使完成这项任务投入的人力、物力最小。因为研究的对象是人、物等个体，故y x ,往往是整数，较y x ,不是整数时求解困难，所以这是一个应用数学知识解决实际问题的新难点，加之教材介绍较为笼统简略，对教师和学生的理解掌握造成了一定的困难，针对这一问题，总结两种寻找最优整解的方法与大家探讨。 这两种求解方法分别是：调整优值法(简称调值法)、枚举整点法(简称枚举法)。调值法是先求非整点最优解，再借助不定方程，调整最优解，最后筛选出最优解；枚举法，因为取得最值的整点分布在可行域内，可从y x ,中选取系数的绝对值较大的一个对其逐一取值，以此为标准分类讨论，取得另一变量的最值，代入目标函数，比较函数值大小，找到最优解。 下面通过几个典型例题，介绍一下这几种方法的具体运用。 例1（调整优值法）要将两种大小不同的钢板截成A 、B 、C 三种规格，每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示： 今需A 、B 、C 三种规格的成品分别为15、18、27块，问各截这两种钢板多少张可得所需三种规格成品，且使所用钢板张数最少？ 解析：设需要第一种钢板x 张，第二种钢板y 张，钢板总数z 张，则
