2018全国高中数学联赛模拟试题10

2018年高中数学联赛江苏赛区试题一、填空题<本题共10小题，每小题7分，要求将答案直接写在横线上）1．复数．答案：－82．已知直线是圆地一条对称轴，则实数答案：3．某班共有30名学生，若随机抽查两位学生地作业，则班长或团支书地作业被抽中地概率是<结果用最简分数表示）．答案：4．已知，则．答案：5．已知向量a，b满足，则以向量与表示地有向线段为邻边地平行四边形地面积为．答案：6．设数列{a n}地前n项和为S n．若{S n}是首项及公比都为2地等比数列，则数列{a n3}地前n项和等于．答案：7．设函数．若f(a>＝f(b>，且0＜a＜b，则ab地取值范围是．答案：(0,2>8．设f (m>为数列{a n}中小于m地项地个数，其中，则答案：69．一个等腰直角三角形地顶点分别在底边长为4地正三棱柱地三条侧棱上，则此直角三角形地斜边长是．答案：4错误!10．已知m是正整数，且方程有整数解，则m所有可能地值是．答案：3,14,30二、解答题<本大题共4小题，每小题20分，共80分）11．已知圆与抛物线有公共点，求实数h地取值范围．解：设公共点<cosθ，sinθ），代入抛物线方程，AB P得因为，所以12．设．若时，，且在区间上地最大值为1，求地最大值和最小值．解：由题意函数图象为开口向上地抛物线，且在区间上单调递增，故有，从而且．若有实根，则，在区间有即消去c ，解出即，这时，且．若无实根，则，将代入解得．综上．所以，单调递减故．13．如图，P 是内一点． <1）若P 是地内心，证明：； <2）若且，证明：P 是地内心．证明：<1）14．已知是实数，且存在正整数n 0，使得为正有理数．证明：存在无穷多个正整数n，使得为有理数．证明：设，其中p，q为互质地正整数，则．设k为任意地正整数，构造，则．申明：所有资料为本人收集整理，仅限个人学习使用，勿做商业用途.。

x3 − 17x − 18 = 0
−4 < x1 < −3 4 < x3 < 5.
1
x2
2 arctan x1 + arctan x2 + arctan x3 .
解析
x1, x2, x3
x3 − 17x − 18 = (x − x1)(x − x2)(x − x3)
x1 + x2 + x3 = 0, x1x2 + x2x3 + x3x1 = −17, x1x2x3 = 18
14. A, B
F1, F2 O
x2 − y2 = 1 4
1 |OA| · |OB| = |OF1|2
2 F1, F2, A, B
.
第6页
解析 1
AB
√
|OA| = |OB| = 5 = |OF1|
AB
.
AB
y = kx + b
x2
−
1 (kx
+
b)2
=
1
4
A, B AB
(1, 2), (1, −2) x
.................................................................... 5
1 x1 ∈ (−4, −3) x3 ∈ (4, 5)
x2 = −x1 − x3 ∈ (−2, 0).
f (x) = x3 − 17x − 18
f (0) = −18 < 0, f (−1) = −2 < 0, f (−2) = 8 > 0
=
(x1 +x2 ) (1−x1 x2 )
+

4 、函数 f x
x3 11x2 38x x2 10x 22
40 的最大值为
5 、若正三棱锥的内切球半径为 1 ，则其体积的最小值为
6 、过 P m, ln m 作 C1 : y ln x 的切线交 C2 : y
1 x 1 x 3 于不同的两点，则 m 的
2
取值范围为
7 、代数式 S
k2
k
的值为
k 12
l
2b, 2a ， 其 中
a , b , l 为常数，设 O 为坐标原点，求 S AOB 的最大值 . （a用, b表示）
2018
11 、已知实数 ak k 0,1,2,..., n 满足 k 1 ak
k1
2018
k 1 ak 1 1，求 S
ak 的最大值．
k1
加试
一、（ 4分0 ）已知 ABC 的内切圆切 BC 与 D ，切 AC 于 E ，记 ADE ， BED .
证明：
cos
C cos
C 4 sin sin
2
2
二、（ 4分0 ）试将 1,2,...,15 分别填入下方 15 个圆圈中，且除最下面一行外的每个 数字都等于其下方两个数字之差的绝对值．
三、（ 5分0 ）对任意的正实数 ak k 1,2,..., n ，记 A a1a2...an . 证明：
n k1
8 、代数式 S
534
kCkk
1 38
k1
C 40 573
的值为
二、解答题（第 9 题 16 分，第 10、11 题 20 分，共 56 分）
9 、在 ABC 中，证明：
B
C
A
sin A
sin B
sin C

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2018年全国高中数学联赛福建赛区预赛模拟（10）原卷版
2018年全国高中数学联赛福建赛区预赛模拟10参考答案。