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3
Y Yvvv V 3
u u 0 ,v r 0
3Y Yrrr 3 r
Yvvr
u u0 ,v r 0
3Y V 2 r
u u 0 ,v r 0
………………….
本部分必须掌握的问题
一、粘性水动力的线性展开式及其无因次化。
二、线性水动力导数的物理意义和几何意义。
常见线性导数的特点——旋转导数
Yr , N r 是船具有速度
u0 ,角速度 r (v 0)
,作匀速圆周运动时， 横向力和力矩曲线在原 点的斜率。 重心前后的力产生 的绕重心的力矩符号相 同而相叠加。故 N r 是较大的负值, Yr 方向 不定,数值较小。
N (r )
0
A
VA
r
Y (r )
§１－4 作用在船上的粘性类水动力
f (x)
x
f (x)
f ( x1 ) x1 x1 x
x
df ( x) f ( x1 ) | x x1 x dx
§１－4 作用在船上的粘性类水动力
线性水动力导数的意义：
以 Yv 为例：
Y Yv v
u u0 ,v r 0
物理意义：各线性水动力导数表示船舶在以u=u0 运动的 情况下，保持其它参数都不变，只改变某一个运动参数 所引起船体所受水动力的改变与此运动参数的比值。 几何意义：各线性水动力导数表示相应于某一变化参数 的受力（矩）曲线在原点处的斜率。以 Yv , N v 为例：
相反，同时由于粘性的影响，尾部的横向力减少，所以
§１－4 作用在船上的粘性类水动力
Y (v )
N (v )
v
v
§１－4 作用在船上的粘性类水动力
常见线性导数的特点——控制导数
Y , N 是船具有舵角 δ作等速直航 u u0 , v 0, r 0 ， 船舵作用在船上的水动力曲线在原点处的斜率。
由于：
0, Y ( ) 0 N ( ) 0
所以：
Y 0 N 0
§１－4 作用在船上的粘性类水动力
常见线性导数的特点—— 控制导数
Y ( )
N ( )
u0
§１－4 作用在船上的粘性类水动力
常见线性导数的特点—— 控制导数
Y ( )
N ( )
§１－4 作用在船上的粘性类水动力
表达式3：将螺旋桨作为外力，且忽略转舵速率的影响， 则 ：
F
f (V , , )
§１－4 作用在船上的粘性类水动力
对于水平面运动，可将表达式3分解为：
X f X (u , v, r , ) Y fY (u , v, r , ) N f (u , v, r , ) N
Y (v ) Yv lim v 0 v
N (v ) N v lim v 0 v
§１－4 作用在船上的粘性类水动力
水动力导数的种类： ①线速度导数：水动力或力矩分量对 Ox 轴和 Oy 轴方向 线速度分量的偏导数,如 X u , Yv , Yvvv , Nv , Nvvv 。其中关于v 的导数是由于有漂角的存在产生的，故又称为“位置导 数”。 ②角速度导数：水动力分量对角速度分量的偏导数， 如 Yr , Yrrr , N r , N rrr 。它们是由于船舶旋转产生的，故又 称为“旋转导数”。 ③线加速度导数与角加速度导数：例如 X u , Yv , Nv , Yr , Nr ④耦合导数：例如 Yvvr , Yvrr , Nvvr , Nvrr , Yr , Nr ⑤控制导数： , N Y
0 0 u u
故：
X X 0 X u u Y Yv v Yr r Y N N v N r N v r
§１－4 作用在船上的粘性类水动力
国 际 水 池 水 动 力 导 数 标 准 符 号
X X u u |u u0 ,v r 0 Y Yv |u u0 ,v r 0 v Y Y | r r u u0 ,v r 0 Y |u u0 ,v r 0 Y N N | v v u u0 ,v r 0 N |u u0 ,v r 0 Nr r N N |u u ,v r 0 0
§１－4 作用在船上的粘性类水动力
X X 0 X u u Y Y0 Yu u Yv v Yr r Y N N N u N v N r N 0 u v r
其中， X 0 , Y0 , N0 为无扰动时的受力。由船的左右对 称特征，可知： Y 0, N 0, Y 0, N 0
§１－4 作用在船上的粘性类水动力
假定：无限深广的平静水域，无浪、无流。则作用在 一艘确定的船（船型已定）上的粘性水动力只与船的 运动状态有关，并可采用三种形式来表达： 表达式1：去掉桨、舵，只考虑船体，则有 ：F f (V , )
表达式2：考虑船（船型已定）+桨+舵，则 ：
F
f (V , , , , n)
其中：
Yvvv
Y 3 v
3
u u0 ,v r 0
Y Yrrr 3 r
3
Yvvr
u u0 ,v r 0
3Y 2 v r
u u0 , v r 0
………………….
§１－4 作用在船上的粘性类水动力
需注意的问题：
①线性化的几何意义： ②线性化只有在船的运动偏离匀速直线运动不大的情况 下才是正确的。此时 u, v, r , u, v, r , 等运动参数 均为小量，它们的高阶项均是高阶小量。但是对于强机 动情形，上述假定已不满足，需要考虑非线性项的影响。
三、常见线性水动力导数的特点。
§１－4 作用在船上的粘性类水动力
Nv N Nr N v r 1 1 1 2 3 3 4 V 2 3 1 L 2 V L 2 VL V 2 VL 2 V L
' ' X ' X 0 X u u ' ' Y Yv'v ' Yr' r ' Y ' N N v' v ' N r' r ' N'
§１－4 作用在船上的粘性类水动力
为了进行比较，需将水动力导数无因次化，取船 长L为特征长度，重心处的航速 V 为特征速度。
1 F V 2 L2 将力的方程两端除以力： 2 1 将力矩的方程两端除以力矩： M V 2 L3 2
即：
X0 Xu X u 1 1 2 2 2 2 2 1 V 2 V L 2 V L 2 VL Yv Y Yr Y v r 1 1 1 2 2 2 3 V 2 2 1 L 2 V L 2 VL V 2 VL 2 V L
u0BVBx Nhomakorabeay
O
非线性的粘性水动力展开式：
对于研究船舶大舵角下的操纵运动和航向不稳定船的操纵性， 需考虑运动参数的非线性项（高阶导数项）。
按照泰勒级数展开的原理，并考虑水动力的奇偶性，得到： X 0 X u u
X 2 2 2 X vv v X vr v r X rr r X Yv v Yr r Y Yr r Yv v Y 3 3 2 2 3 Yvvv v Yrrr r Yvvr v r Yvrr v r Y N v N r r N N r r N v v N v 3 3 2 2 3 N vvv v N rrr r N vvr v r N vrr v r N
则无因次的粘性 力及力矩的线性 表达式为：
§１－4 作用在船上的粘性类水动力
非线性的粘性水动力展开式： 按照泰勒级数展开的原理，并考虑水动力的奇偶 性，可以得到：
X X 0 X u u X vvv 2 X vr vr X rr r 2 X 2 3 3 2 2 3 Y Yv v Yr r Yvvvv Yrrr r Yvvrv r Yvrr vr Y Yr r Yv v Y N N v v N r r N vvvv 3 N rrr r 3 N vvrv 2 r N vrr vr 2 N N r r N v v N 3
§１－4 作用在船上的粘性类水动力
常见线性导数的特点—— 位置导数
当船以 u0 和 到横向力 v v Y
v
作直线运动时，有一漂角，船受 是较
作用。船首部和尾部所受横向力方向相
同，都是负的，所以合力是较大的负值，即 Yv
大的负值。而首、尾部的横向力对 Gz
对于一般的船型， Nv 是不大的负值。
轴的力矩方向
该式就是粘性力的函数表达式。
§１－4 作用在船上的粘性类水动力
为了求出粘性水动力的具体表达式，选择等速直航 运动状态为初始状态，u 0, v 0, r 0, 0 ， 0 0 0 0 作为展开点，当船受到扰动后，上述参数的变化为：
u u u 0 v v v v 0 r r r0 r 0 由于船对称于纵舯剖面，所以当 v, r 改变时，纵 向力 X 的大小和方向不变，而 N,Y 都要改变，所以， X 为 v, r 的偶函数,而 N,Y 为 v, r 的奇函数。另外， 对于小舵角的操纵运动，可以认为是缓慢运动，假设可 忽略二阶以上的微量，则水动力的泰勒展开式可以写为：
