第三章 流体动力学基础
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吉林大学流体力学3
所以： v dz v dy＝0 y z
v z dx v x dz＝0 v dy v dx＝0 y x
dx dy dz 即： vx v y vz
流线微分方程
流线的性质
（1）定常流动中流线不随时间变化，而且流体质点的 轨迹与流线重合。 （2）实际流场中除驻点或奇点外，流线不能相交，不 能突然转折。（速度为0的点称为驻点，速度为无穷大 的点称为奇点，奇点是一种抽象的理论模型。）
如何用欧拉法表示流体质点的加速度 a
应当注意到的是：速度是坐标和时间的函数，同时 运动质点的坐标也是随时间变化的，即坐标 x,y,z 本身也是时间的函数，因此用欧拉法表示某质点的 加速度实际上是一个对复合函数求导的问题，必须 按照复合函数求导法则进行求导。
如用加速度矢量 a 和速度矢量 来表示，则有 υ a (υ ) υ t
0
dp gdz 0
积分得： z
p C g
详细论证请参看教材P64
3.2.4 缓变流和急变流 流线不是严格平行，但流线之间夹角很小，或流线的曲率 半径很大，或两者皆有，这种流动称为缓变流，其有效断面 称为缓变流断面。
在缓变流断面上可以认为流线近似平行，有效断面为一平面，
压强分布近似与静止流体相同。
（即也近似满足： Z
p C 条件是：质量力只有重力，不可压缩流体） g
那种流线不平行，加速度较大的流动称为急变流。
均匀流、急变流和缓变流
均匀流、急变流和缓变流
均匀流
急变流
缓变流
急变流
3.3 用欧拉法描述流体运动的基本概念
3.3.1 流线 3.3.2 流管、流束、和有效断面
3.3.3 流量 3.3.4 平均流速
第3章-流体力学连续性方程微分形式
• 符号说明
物理意义
z 单位重流体的位能（比位能）
p
单位重流体的压能（比压能）
u 2 单位重流体的动能（比动能）
2g
z
p
单位重流体总势能（比势能）
z
p
u2 2g
总比能
第四节 欧拉运动微分方程的积分
几何意义
位置水头 压强水头 流速水头 测压管水头 总水头
( Xdx Ydy
Zdz)
1
(
p x
0
物理意义：不可压缩流体单位时间内流入单位空间的流体体积（质量） ，
与流出的流体体积（质量）之差等于零。
适用范围：理想、实际、恒定流或非恒定流的不可压缩流体流动。
第三节 流体动力学基本方程式
6
二、理想流体运动微分方程
理想流体的动水压强特性与静水压强的特性相同：
px py pz p
从理想流体中任取一(x,y,z)为 中心的微元六面体为控制体，边 长为dx,dy,dz，中心点压强为 p(x,y,z) 。
u2
( )dx ( )dy ( )dz
z x x 2
y 2
z 2
u2 d( )
2
由以上得：
gdz
d
(
p
)
d
u2 (
)
2
积分得：
z
p
u2 2g
C
第四节 欧拉运动微分方程的积分
• 理想势流伯努里方程
17
z
p
u2 2g
C
或
z1
p 1
u2 1
2g
z2
p2
u22 2g
物理意义：在同一恒定不可压缩流体重力势流中 ，理想流体各点的总比能 相等即在整个势流场中，伯努里常数C均相等。（应用条件：“——”所示）
流体力学基础-第三章-一维流体动力学基础
1Q1dt 2Q2dt
1. 微小流束连续性方程
1Q1 2Q2 11dA1 22dA2
对不可压缩流体：
1 2 , Q1 Q2 1dA1 2dA2
1. 微小流束连续性方程 推而广之，在全部流动的各个断面上：
Q1 Q2 ~ Q
拉格朗日法(Lagrange method)—“跟踪”法
拉格朗日法是将流场中每一流体质点作为研究对象， 研究每一个流体质点在运动过程中的位置、速度、加 速度及密度、重度、压强等物理量随时间的变化规律。 然后将所有质点的这些资料综合起来，便得到了整 个流体的运动规律。即将整个流体的运动看作许多流 体质点运动的总和。
d 2 4A d 4R d x
非圆形截面管道的当量直径 x
D 4A 4R x
R
关于湿周和水力半径的概念在非圆截面管道的水力计算中常常用到。
五、一维流动模型
一维流动： 流动参数是一个坐标的函数； 二维流动： 流动参数是两个坐标的函数； 三维流动： 流动参数是三个坐标的函数。
二维流动→一维流动
（1）（a,b,c）=const ，t 为变数，可以 得出某个指定质点在任意时刻所处的位置。 （2）（a,b,c）为变数，t =const，可以得 出某一瞬间不同质点在空间的分布情况。
流体质点速度为： x a，b，c，t
流体质点加速度为：
v x x a，b，c，t a x t t 2 v y 2 y a，b，c，t a y 2 t t vz 2 z a，b，c，t a z t 2 t
动方向的横断面, 如图中的 1-1，2-2 断面。又称为有效 截面，在流束中与各流线相垂直，在每一个微元流束的过 水断面上，各点的速度可认为是相同的。
第三章 流体动力学基础
1、在水位恒定的情况下： （1）A®A¢不存在时变加速 度和位变加速度。 （2）B®B¢ 不存在时变加速 度，但存在位变加速度。 2、在水位变化的情况下： （1）A®A¢ 存在时变加速度， 但不存在位变加速度。 （2）B®B¢ 既存在时变加速 度，又存在位变加速度。
图3-19
第二节 流体质点运动特点和有旋流
图3-13
非均匀流——流线不是平行直线的流 动， 。 非均匀流中流场中相应点的流速大 小或方向或同时二者沿程改变，即沿流 程方向速度分布不均。例：流体在收缩 管、扩散管或弯管中的流动。（非均匀 流又可分为急变流和渐变流）
4.渐变流与急变流
非均匀流中如流动变化缓 慢，流线的曲率很小接近平行， 过流断面上的压力基本上是静 压分布者为渐变流(gradually varied flow)，否则为急变流。
图3-17
（3）三元流
三元流（threedimensional flow):流动 流体的运动要素是三 个空间坐标函数。例 如水在断面形状与大 小沿程变化的天然河 道中流动，水对船的 绕流等等，这种流动 属于三元流动。（图 3-18）
图3-18
三.描述流体运动的方法
1.拉格朗日法 拉格朗日方法（lagrangian method）是以 流场中每一流体质点作为描述流体运动 的方法，它以流体个别质点随时间的运 动为基础，通过综合足够多的质点（即 质点系）运动求得整个流动。——质点 系法
一、流体质点的运动 特点 刚体的运动是由 平移和绕某瞬时轴 的 转动两部分组成，如 图3-20(a)。
图3-20(a)
流体质点的运动， 一般除了平移、转 动外，还要发生变 形（角变形和线变 形），如图3-20(b)。
图3-20(b)
二、角速度的数学表达式 流体质点的旋转用角速度表征，习 惯上是把原来互相垂直的两邻边的角速 度平均值定义为该转轴的角速度。
流体力学 第三章 流体动力学
按周界性质： ①总流四周全部被固体边界限制——有压流。如 自来水管、矿井排水管、液压管道。 ②总流周界一部分为固体限制，一部分与气体接 触——无压流。如河流、明渠。 ③总流四周不与固体接触——射流。如孔口、管 嘴出流。
7 流量、断面平均流速 a.流量：单位时间通过某一过流断面的流体量。流
量可以用体积流量Qv（m3/s）、质量流量Qm（kg/s） 表示。显然，对于均质不可压缩流体有
元流体积流量 总流的体积流量
Qm Qv
dQv vdA
Qv
dQ vdA vA
b.断面平均流速：总流过流断面上各点的流速v一般
不相等，为了便于计算，设过流断面上各点的速度
都相等，大小均为断面平均流速v。以v计算所得的
流量与实际流量相同。
vAQv
vdA
A
8 均匀流与非均匀流
流管——在流场中任意取不与流线重合的封 闭曲线，过曲线上各点作流线，所构成的管 状表面
流束——流管内的流体
5.过流断面——在流束上作出与流线正交的横断面
1
例：
注意：只有均匀流的过流断面才是平面
2
1
Hale Waihona Puke 1处过流断面2处过流断
2
面
6.元流与总流 元流——过流断面无限小的流束 总流——过流断面为有限大小的流束，它由无数元流构成
线上各点速度矢量与曲线相切
v1
v2
性质：一般情况下不相交、不折转
流线微分方程： 流线上任一点的切线方向 (dr)与该点速度矢量 (v)一致
i jk drv dx dy dz0
dx dy dz vx vy vz
vx vy vz
——流线微分方程
（2）迹线——质点运动的轨迹 迹线微分方程：对任一质点
7 流量、断面平均流速 a.流量：单位时间通过某一过流断面的流体量。流
量可以用体积流量Qv（m3/s）、质量流量Qm（kg/s） 表示。显然，对于均质不可压缩流体有
元流体积流量 总流的体积流量
Qm Qv
dQv vdA
Qv
dQ vdA vA
b.断面平均流速：总流过流断面上各点的流速v一般
不相等，为了便于计算，设过流断面上各点的速度
都相等，大小均为断面平均流速v。以v计算所得的
流量与实际流量相同。
vAQv
vdA
A
8 均匀流与非均匀流
流管——在流场中任意取不与流线重合的封 闭曲线，过曲线上各点作流线，所构成的管 状表面
流束——流管内的流体
5.过流断面——在流束上作出与流线正交的横断面
1
例：
注意：只有均匀流的过流断面才是平面
2
1
Hale Waihona Puke 1处过流断面2处过流断
2
面
6.元流与总流 元流——过流断面无限小的流束 总流——过流断面为有限大小的流束，它由无数元流构成
线上各点速度矢量与曲线相切
v1
v2
性质：一般情况下不相交、不折转
流线微分方程： 流线上任一点的切线方向 (dr)与该点速度矢量 (v)一致
i jk drv dx dy dz0
dx dy dz vx vy vz
vx vy vz
——流线微分方程
（2）迹线——质点运动的轨迹 迹线微分方程：对任一质点
一元流体动力学基础
拉格朗日法表示流体质点的 速度
二、欧拉法
特点
以固定空间点为研究 对象，描述各瞬时物理量 在空间的分布来研究流体 运动的方法。
欧拉变量
变量 （x 、 y 、 z 、 t ）称为欧拉变量。
本书以下的流动描 述均采用欧拉法！
第二节 恒定流动和 非恒定流动
非恒定流动
运动不平衡的流动，在流场中各 点流速随时间变化，各点压强，粘性力 和惯性力也随着速度的变化而变化。
质点标志
把流体质点在某一时间 t0时 的坐标（ a 、 b 、c）作为该质点 的标志，则不同的（ a 、 b 、c） 就表示流动空间的不同质点。这 样，流场中的全部质点，都包含 在 （ a 、 b 、c） 变数中。
拉格朗日变量
表达式中的自变量（ a 、 b 、c、 t ) ， 称为拉格朗日变量。
外力（压力）作功等于流段机械能量增加
压力作功为： (a) 动能增量为： (b)
位能增量为：
(c)
理想不可压缩流体恒定流元流能量方程(伯努利方程）:
二、恒定元流能量方程本身及 其各项含义
Z: 断面对于选定基准面的高度， 水力 学中称为位置水头，表示单位重量 的位置势能，称为单位位能。
p γ
是断面压强作用使流体沿测压管所 能上升的高度，水力学中称为压强水头， 表示压力 y 作功所能提供给单位重量流 体的能量，称为单位压能。 以断面流速 u为初速的铅直上升射流所 能达到的理论高度，水力学中称为流速 水头，表示单位重量的动能，称为单位 动能。
一、总流能量方程的应用要点：
（1）基准面是写方程中 Z 值的依据。一般通过两 断面中较低一断面的形心，使一Z 为零，而另一Z 值 为正值。 （2）两计算断面必须是均匀流或渐变流断面并包含 已知和要求参数； （3）过水断面上计算点的选取，可任取，一般： 管流－断面中心点， 明渠流－自由液面上； （4）两计算断面压强必须采用相同计算基准〕 （绝对、常用：相对压强）； （5）方程中各项单位必须统一。
三章一元流体动力学基础
例如：水从管中以怎样旳速度流出，风经过门窗等等，只 要懂得一定地点（水龙头处）一定断面（门窗洞口断面）， 而不需要了解某一质点， 或某一流体集团旳全部流动过程
第三节、流线与迹线
1、迹线(path line)：运动中旳某一流体质点，在连续时间
内所占据空间点旳连线，即质点运动旳轨迹 例如：在流动旳水面上洒上某些木屑，木屑随水流漂流旳途径
欧拉法与拉格朗日法区别：
欧拉法：以固定空间为研究对象，了解质点在某一位置时 旳流动情况
拉格朗日法：以质点为研究对象，研究某一时刻质点全 部流动过程
▪在流场中，因为辨认空间比辨认某一种质点轻易。所
以，欧拉法在流体力学中被广泛采用。
▪在流动旳流体中有无数个流体质点，要用拉格朗日法描述
每个质点旳运动是很困难甚至不可能,极难实现，在流体力 学中不常采用。一般在稀薄气体动力学和数值计算中用得 较多。
三元流动旳连续性方程
利用质量守恒定律还能够导出空间流动旳连续性方 程，其体现式为
ux uy uz 0 x y z
该方程合用于不可压缩流体，对于恒定流和非恒定流均合用。
例题：P56
第六节 理想流体旳运动微分方程
（Euler’s Equation of Motion)
一、推导过程
在某一给定旳瞬间，从流动旳不可压缩性理想流体中任取一微
图3--6 连续性方程推导
u dA (u (u) ds) (dA (dA) ds) 0
s
s
（质量守恒）
u dA (u (u) ds) (dA (dA) ds) 0
s
s
u dA (udA (u) ds dA u (dA) ds (u) ds (dA) ds) 0
而合速度u与三个座标轴上旳分速度之间旳关系是：
第三节、流线与迹线
1、迹线(path line)：运动中旳某一流体质点，在连续时间
内所占据空间点旳连线，即质点运动旳轨迹 例如：在流动旳水面上洒上某些木屑，木屑随水流漂流旳途径
欧拉法与拉格朗日法区别：
欧拉法：以固定空间为研究对象，了解质点在某一位置时 旳流动情况
拉格朗日法：以质点为研究对象，研究某一时刻质点全 部流动过程
▪在流场中，因为辨认空间比辨认某一种质点轻易。所
以，欧拉法在流体力学中被广泛采用。
▪在流动旳流体中有无数个流体质点，要用拉格朗日法描述
每个质点旳运动是很困难甚至不可能,极难实现，在流体力 学中不常采用。一般在稀薄气体动力学和数值计算中用得 较多。
三元流动旳连续性方程
利用质量守恒定律还能够导出空间流动旳连续性方 程，其体现式为
ux uy uz 0 x y z
该方程合用于不可压缩流体，对于恒定流和非恒定流均合用。
例题：P56
第六节 理想流体旳运动微分方程
（Euler’s Equation of Motion)
一、推导过程
在某一给定旳瞬间，从流动旳不可压缩性理想流体中任取一微
图3--6 连续性方程推导
u dA (u (u) ds) (dA (dA) ds) 0
s
s
（质量守恒）
u dA (u (u) ds) (dA (dA) ds) 0
s
s
u dA (udA (u) ds dA u (dA) ds (u) ds (dA) ds) 0
而合速度u与三个座标轴上旳分速度之间旳关系是：
华中科技大学 流体力学第三章_1
y x
M
ln x t ln y t ln c
x t y t c
将 t = 0，x = -1，y = -1 代入，得瞬时流线 xy = 1 流线是双曲线。
流管 -- 由流线组成的管状曲面。 流束 -- 流管内的流体。 总流 -- 多个流束的集合。
质点加速度 = 局部加速度 + 对流加速度 质点加速度包括两个部分：
（1）局部加速度（时变加速度）— 特定空间点上速度 对时间的变化率；
（2）对流加速度 — 对应于质点空间位置改变所产生的 速度变化。
t
t+Δt
u x. t t u x x. t t u x. t
在定常流动中，通 过同一空间点的所有流 体质点具有相同的运动 轨迹，而且它们沿着流 线行进，所以染色液体 线或者烟线同时也是流 线和迹线。
在非定常流动中，是否可以演示流线？
v2 v1
v3
v4
设 ds =dxi+dyj+dzk 为流线上 A 点的一微元弧长，
v = ui+vj+wk 为流体质点在 A 点的流速。
对于三元定常流动，
连续性方程
u x
v y
w z
0
对于不可压缩流体的流动( = const.)，
u v w 0 x y z
柱坐标形式：
1 rvr v rvz 0 t r r z
v 1 x x, y y, z z, t t
v 0 ( x, y, z, t )
质点加速度
a lim
v 1 v 0
《流体力学》第三章一元流体动力学基础
02
能源领域
风力发电机的设计和优化需要考虑风力湍流对风能转换效率的影响；核
能和火力发电厂的冷却塔设计也需要考虑湍流流动的传热和传质特性。
03
环境工程领域
大气污染物的扩散和传输、城市空气质量等环境问题与湍流流动密切相
关，需要利用湍流模型和方法进行模拟和分析。
06
一元流体动力学的实验研 究方法
实验设备与测量技术
一元流体动力学
研究一元流体运动规律和特性的学科。
研究内容
包括流体运动的基本方程、流体的物理性质、流动状态和流动特 性等。
02
一元流体动力学基本概念
流体静力学基础
静止流体
流体处于静止状态，没有相对运动，只有由于重力引起的势能变 化。
平衡状态
流体内部各部分之间没有相对运动，且作用于流体的外力平衡。
流体静压力
总结词
求解无旋流动的方法主要包括拉普拉斯方程和泊松方程。
详细描述
拉普拉斯方程是描述无旋流动的偏微分方程，它可以通过求 解偏微分方程得到流场的速度分布。泊松方程是另一种求解 无旋流动的方法，它通过求解泊松方程得到流场的速度分布 。
无旋流动的应用实例
总结词
无旋流动在许多工程领域中都有应用，如航 空航天、气象学、环境工程等。
能量方程
• 总结词：能量方程是一元流体动力学的基本方程之一，用于描述流体能量的传递和转化规律。
• 详细描述：能量方程基于热力学第一定律，表示流体能量的变化率等于流入流体的净热流量和外力对流体所做的功。在直角坐标系下，能量方程可以表示为：$\frac{\partial}{\partial t}(\rho E) + \frac{\partial}{\partial x_j}(\rho u_j E + p u_j) = \frac{\partial}{\partial x_j}(k \frac{\partial T}{\partial x_j}) + \frac{\partial}{\partial xj}(\tau{ij} u_i)$，其中$E$为流体 的总能，$T$为温度，$k$为热导率。
第三章流体动力学基础(1)
A Control Volume is a region in space, mass can cross its boundary 8
2019/3/27
流体力学基础
第三章 流体动力学基础
§2 流体运动中的几个基本概念
一、物理量的质点导数（全导数） • 运动中的流体质点所具有的物理量N（例如速度、压强、 密度、温度、质量、动量、动能等）对时间的变化率称 为物理量N的质点导数。 • 流体质点处于静止状态，则不存在质点导数概念； • 质点导数是针对某一物理量； • 质点导数必然是数学上多元复合函数对独立自变量t的 导数
流体微团的标识：通常取 t0 时刻该流体微团的初始空间坐标 （a, b, c ）作为该流体微团的标识 （a, b, c ）可以是直角坐标系下，也可以任选，只要能把所 研究的流体微团彼此区别开即可
2019/3/27
流体力学基础
2
第三章 流体动力学基础
• 拉格朗日变数 ： ( a, b, c ) 和 t • 任一时刻流体微团(a, b, c )的运动空间坐标（x， y，z）
r t
(2)
2019/3/27
流体力学基础
16
第三章 流体动力学基础
• 欧拉参数转换为拉格朗日参数
若已知欧拉法表示的速度场为 v = v (r, t) = v (x, y, z, t ) 利用流体质点的速度关系式： dr/dt = v(r, t) 或分量形式： dx/dt = u(x, y, z, t) dy/dt = v(x, y, z, t) dz/dt = w(x, y, z, t) 设此组常微分方程组的解为： x = x(c1, c2, c3, t) y = y(c1, c2, c3, t) z = z(c1, c2, c3, t) 由起始条件确定积分常数，t=t0时有： a = x(c1, c2, c3, t0) b = y(c1, c2, c3, t0) c = z(c1, c2, c3, t0) 积分常数由拉格朗日参数（a, b, c）表示，获得拉氏与欧氏 参数关系：x=x (a, b, c, t), y=y (a, b, c, t), z=z (a, b, c, t), 原速度场：v = v [x(a,b,c,t), y(a,b,c,t), z(a,b,c,t), t] = v (a,b,c,t) 完成欧氏参数向拉氏参数转换 流体力学基础 17
流体力学第三章简(安徽工业大学)
直角坐标系中，流线微分方程为 质点瞬时速度: 微元线段矢量（切线方向）： ds dxi dyj dzk 根据流线定义 v d s 0 得
v vx i v y j vz k
dx dy dz vx vy vz
3.流线性质 a.流线是光滑的连续曲线，一般不能突然折转； b.流线是假想的瞬时线； c.定常流动中流线形状不随时间变化，流线与迹 线重合；非定常流动二者不重合； d.实际流场中除驻点(v=0)或奇点(v无穷大)外， 流线不能相交、不能突然转折（速度唯一性）。
第三章 流体动力学基础 §3-1 描述流体运动的两种方法
一、拉格朗日法与质点系 跟踪每个流体质点随时间的运动变化规律， 不同质点规律不同，再综合所有流体质点的运动， 得到整个流场的运动规律。 研究对象是每个流体质点。 用拉格朗日变数（a，b，c，t）描述流体 运动，（a，b，c）为质点初始坐标，t为时间变 量，变数各自独立。
二、迹线与流线 1.迹线 流体质点的运动轨迹，是拉格朗日法描述 流体运动的几何基础。
•迹线的拉格朗日表示式
迹线的拉格朗日表示式
r r a, b, c, t
2.流线 流线是欧拉法描述流体运动的几何基础， 是某一瞬时不同流体质点组成的光滑曲线。 流线上任一质点的瞬时速度方向与该点的 切线方向一致。
三、流管、流束、总流、过流断面
1.流管：流过任意封闭曲线的流线围成的管状 假想表面。 2.流束：流管内部的全部流体。
流线和流管只有几何形状，没有体积和质 量；流束具有体积、质量、动量、动能。
3.总流：封闭曲线取在管道内壁周线上，充满 管道内部的全部流体。 4.过流断面：与速度方向垂直的断面。
四、流量与净通量 1.流量：单位时间内流过某一控制面的流体体积， 为标量。 d qv v d A 在微元流束上 qv v d A 在平面控制面上 A qv vdA 在曲面控制面上
流体动力学理论基础第三章解析
az= x
uy
ux y
uz
ux z
ay
u y t
ux
u y x
uy
u y y
uz
u y z
az
uz t
ux
uz x
uy
uz y
uz
uz z
式中第一项叫时变加速度或当地加速度 (Local Acceleration)，流动过程中流体由于速度 随时间变化而引起的加速度；第二项叫位变速度 ，流动过程中流体由于速度随位置变化而引起的 加速度(Connective Acceleration)。
uz uz (x、y、z、t)
（x,y,z,t）—欧拉变量
考察不同时刻液体质点通过流场中固定空间点 的运动情况，综合足够多的固定空间点的运动情 况，得到整个液流的运动规律。——流场法
欧拉法不直接追究质点的运动过程，而是研究各时 刻质点在流场中的变化规律。将个别流体质点运动过程 置之不理，而固守于流场各空间点。通过观察在流动空 间中的每一个空间点上运动要素随时间的变化，把足够 多的空间点综合起来而得出的整个流体的运动情况。
显然，在欧拉描述中，各空间点上的物理量（实际上是通 过此点的流体质点所具有的物理量）是随时间变化的。因此， 流体的运动参数应该是空间坐标和时间的函数。如流体的速 度、压强和密度可以表示为
z
t时刻
M （x，y，z） O
x
y
ux ux (x, y, z,t) uy uy (x, y, z,t) uz uz (x, y, z,t)
算子
全质 导点 数导
数
d dt
=
t
+ (u )
时变导数 当地导数 局部导数
位变导数 迁移导数 对流导数
第3章-流体力学连续性方程微分形式
欧拉运动微分方程组各式分别乘以dx，dy，dz（流场任意相邻两点间距ds 的坐标分量），然而相加得：
( Xdx
Ydy
Zdz)
1
( px
dx
p y
dy
p z
dz)
dux dt
dx
duy d;
<II>
<III>
一、在势流条件下的积分
考虑条件 1、恒定流
当为恒定流时
t
0
(ux
x
)
(uy
y
)
(uz
z
)
0
适用范围：理想、实际、可压缩、不可压缩的恒定流。
（2）不可压缩流体的连续性微分方程
当为不可压缩流时 Const
u x x
u y y
u z z
0
物理意义：不可压缩流体单位时间内流入单位空间的流体体积（质量） ，
dt
p'xx 'xz 'xy
x
第三节 流体动力学基本方程式
考虑条件：
13
1）
不可压缩流体的连续性微分方程：uxx
uy y
uz z
0
2）切应力与主应力的关系表达式
• 不可压缩粘性流体运动微分方程：纳维埃-斯托克斯方程（Navier-
Stokes，N-S)方程：
X
1
p x
1
第三章 流体动力学基础
第三节 流体动力学基本方程式
一、连续性微分方程 二、理想流体运动微分方程 三、粘性流体的运动微分方程
流体力学讲义 第三章 流体动力学基础
第三章流体动力学基础本章是流体动力学的基础。
主要阐述了流体运动的两种描述方法,运动流体的基本类别与基本概念，用欧拉法解决运动流体的连续性微分方程、欧拉运动微分方程及N-S方程。
此外，还阐述了无旋流与有旋流的判别，引出了流函数与势函数的概念，并且说明利用流网与势流叠加原理可解决流体的诸多复杂问题。
第一节流体流动的基本概念1.流线（1）流线的定义流线（stream line）是表示某一瞬时流体各点流动趋势的曲线，曲线上任一点的切线方向与该点的流速方向重合。
图3-1为流线谱中显示的流线形状。
（2）流线的作法：在流场中任取一点（如图3-2），绘出某时刻通过该点的流体质点的流速矢量u1，再画出距1点很近的2点在同一时刻通过该处的流体质点的流速矢量u2…，如此继续下去，得一折线1234 …，若各点无限接近，其极限就是某时刻的流线。
流线是欧拉法分析流动的重要概念。
图3-1 图3-2（3）流线的性质（图3-3）a.同一时刻的不同流线，不能相交。
图3-3因为根据流线定义，在交点的液体质点的流速向量应同时与这两条流线相切，即一个质点不可能同时有两个速度向量。
b.流线不能是折线，而是一条光滑的曲线。
因为流体是连续介质，各运动要素是空间的连续函数。
c.流线簇的疏密反映了速度的大小（流线密集的地方流速大，稀疏的地方流速小）。
因为对不可压缩流体，元流的流速与其过水断面面积成反比。
（4）流线的方程（图3-4）根据流线的定义，可以求得流线的微分方程：图3-4设d s为流线上A处的一微元弧长:u为流体质点在A点的流速:因为流速向量与流线相切，即没有垂直于流线的流速分量，u和d s重合。
所以即展开后得到：——流线方程（3-1）（或用它们余弦相等推得)2.迹线(1)迹线的定义迹线(path line)某一质点在某一时段内的运动轨迹线。
图3-5中烟火的轨迹为迹线。
(2)迹线的微分方程（3-2）式中，u x,u y,u z均为时空t,x,y,z的函数，且t是自变量。
流体力学 第3章流体动力学基础
第3章 流体动力学基础教学提示：流体力学是研究流体机械运动的一门学科，与理论力学中分析刚体运动的情况相似。
如研究的范围只限于流体运动的方式和状态，则属于流体运动学的范围。
如研究的范围除了流体运动的方式和状态以外，还联系到流体发生运动的条件，则属于流体动力学的范围。
前者研究流体运动的方式和速度、加速度、位移等随空间与时间的变化，后者研究引起运动的原因和流体作用力、力矩、动量和能量的方法。
如前所述，流体力学的研究方法是基于连续介质体系的，重点研究由流体质点所组成的连续介质体系运动所产生的宏观效果，而不讨论流体分子的运动。
与处于相对平衡状态下的情况不同，处于相对运动状态下的实际流体，粘滞性将发生作用。
由于流体具有易流动性和粘滞性的影响，因此流体力学的研究方法与固体力学有明显的区别。
教学要求：流体运动的形式虽然多种多样的，但从普遍规律来讲，都要服从质量守恒定律、动能定律和动量定律这些基本原理。
在本章中，我们将阐述研究流体流动的一些基本方法，讨论流体运动学方面的一些基本概念，应用质量守恒定律、牛顿第二运动定律、动量定理和动量矩定理等推导出理想流体动力学中的几个重要的基本方程：连续性方程、欧拉方程、伯努利方程、动量方程、动量矩方程等，并举例说明它们的应用。
3.1 流体运动的描述方法要研究流体运动的规律，就要建立描述流体运动的方法。
在流体力学中，表达流体的运动形态和方式有两种不同的基本方法：拉格朗日法和欧拉法。
3.1.1 拉格朗日法拉格朗日法是瑞士科学家欧拉首先提出的，法国科学家J. L.拉格朗日作了独立的、完整的表述和具体运用。
该方法着眼于流体内部各质点的运动情况，描述流体的运动形态。
按照这个方法，在连续的流体运动中，任意流体质点的空间位置，将是质点的起始坐标),,(c b a (即当时间t 等于起始值0t 时的坐标)以及时间t 的单值连续函数。
若以r 代表任意选择的质点在任意时间t 的矢径，则： ),,,(t c b a r r = (3-1) 式中，r 在x 、y 、z 轴上的投影为x 、y 、z ；a 、b 、c 称为拉格朗日变量。
水力学：第三章 流体动力学理论基础
若过水断面为渐变流，则在断面上 得
g
积分可
p
(z
p
Q
g
) gdQ ( z
p
g
) g dQ ( z
u x t p t 0 u y t 0 t u z
非恒定流：流场中任何点上有任何一个运动要素是随 时间而变化的。
6
二、 迹线与流线
拉格朗日法研究个别流体质点在不同时刻的运动情况 ，引出了迹线的概念。 欧拉法考察同一时刻流体质点在不同空间位置的运动 情况引出了流线的概念。
u x x
t
0
0
u y y
常数
u z z 0
22
二、 恒定不可压缩总流的连续性方程
液流的连续性方程是质量守恒定律的一种特殊方式。 取恒定流中微小流束如图所示: 因液体为不可压缩的连续介质，有
1 2
根据质量守恒定律在dt时段内
流入的质量应与流出的质量
）于1738年首先推导出来的。
28
二、实际流体恒定元流的能量方程
理想流体没有粘滞性无须克服内摩擦力而消耗能量，
其机械能保持不变。
对实际流体，令单位重量流体从断面1-1流至断面2-2
所失的能量为
hw
'
。则1-1断面和2-2断面能量方程为：
p1
z1
g
u1
2
2g
z2
p2
g
u2
2
2g
hw
相等。
u 1 dA 1 dt u 2 dA 2 dt u 1 dA 1 u 2 dA 2
第三章流体动力学理论基础
连续性方程说明了流速与过水断面的关系，是运 动学方程；能量方程则是从动力学的观点讨论 流体各运动要素之间的关系。
一、理想流体恒定元流的能量方程 (伯诺里方程）
依据：动能定理
运动流体的动能增量等于作用 在它上面各力做功的代数和。
动能增量
dA1
1
1’
u1
dm dl1dA1 dl2dA2
uy
ux y
uz
ux z
法有， 加将速度（a分xy ,y量,dz）u的y (看x表d,ty成达, z是,式t) 时间＝t的ut函y 数， u则x uxy
uy
uy y
uz
uy z
az
duz (x, y, dt
z,t)
uz t
ux
uz x
6.断面平均流速
若过流断面上各点的流 ω 速都相等（等于v）， 此时通过的流量与实际 流速为不均匀分布时通 过的流量相等，v就叫 做断面平均流速。
x
不均匀分布
Q ud
断面平均流速v
Q vd v
Q ud vd v
vQ
四、均匀流与非均匀流
1.均匀流
流体静力学
关于流体平衡的规律 ，它研究流体处于静 止（或相对平衡）状 态时，作用于流体上 的各种力之间的关系 。
流体动力学
关于流体运动的规律， 它研究流体在运动状 态时，作用于流体上 的力与运动要素之间 的关系，以及流体的 运动特性与能量转换 等等。
第一节 描述流体运动的两种方法
流体运动时，表征运动特征的运动要素一般随 时空而变，而流体又是众多质点组成的连续介质
③在恒定流条件下，流线的形状及位置以及流谱不随时 间发生变化，且流线与迹线重合。
一、理想流体恒定元流的能量方程 (伯诺里方程）
依据：动能定理
运动流体的动能增量等于作用 在它上面各力做功的代数和。
动能增量
dA1
1
1’
u1
dm dl1dA1 dl2dA2
uy
ux y
uz
ux z
法有， 加将速度（a分xy ,y量,dz）u的y (看x表d,ty成达, z是,式t) 时间＝t的ut函y 数， u则x uxy
uy
uy y
uz
uy z
az
duz (x, y, dt
z,t)
uz t
ux
uz x
6.断面平均流速
若过流断面上各点的流 ω 速都相等（等于v）， 此时通过的流量与实际 流速为不均匀分布时通 过的流量相等，v就叫 做断面平均流速。
x
不均匀分布
Q ud
断面平均流速v
Q vd v
Q ud vd v
vQ
四、均匀流与非均匀流
1.均匀流
流体静力学
关于流体平衡的规律 ，它研究流体处于静 止（或相对平衡）状 态时，作用于流体上 的各种力之间的关系 。
流体动力学
关于流体运动的规律， 它研究流体在运动状 态时，作用于流体上 的力与运动要素之间 的关系，以及流体的 运动特性与能量转换 等等。
第一节 描述流体运动的两种方法
流体运动时，表征运动特征的运动要素一般随 时空而变，而流体又是众多质点组成的连续介质
③在恒定流条件下，流线的形状及位置以及流谱不随时 间发生变化，且流线与迹线重合。
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第三章 流体动力学基础习 题一、单选题1、在稳定流动中，在任一点处速度矢量是恒定不变的，那么流体质点是 （ ） A ．加速运动 B ．减速运动 C ．匀速运动 D ．不能确定2、血管中血液流动的流量受血管内径影响很大。
如果血管内径减少一半，其血液的流量将变为原来的（ ）倍。
A ．21B ．41C ．81D ．1613、人在静息状态时，整个心动周期内主动脉血流平均速度为0.2 m/s ，其内径d =2×10-2m ，已知血液的粘度η =×10-3Pa·S，密度ρ=×103kg/m 3，则此时主动脉中血液的流动形态处于（ ）状态。
A ．层流B ．湍流C ．层流或湍流D ．无法确定4、正常情况下，人的小动脉半径约为3mm ，血液的平均速度为20cm/s ，若小动脉某部分被一硬斑阻塞使之变窄，半径变为2mm ，则此段的平均流速为（ ）m/s 。
A ．30B ．40C ．45D ．605、有水在同一水平管道中流动，已知A 处的横截面积为S A =10cm 2，B 处的横截面积为S B =5cm 2，A 、B 两点压强差为1500Pa ，则A 处的流速为（ ）。
A ．1m/sB ．2m/sC ．3 m/sD ．4 m/s6、有水在一水平管道中流动，已知A 处的横截面积为S A =10cm 2，B 处的横截面积为S B =5cm 2，A 、B 两点压强之差为1500Pa ，则管道中的体积流量为（ ）。
A ．1×10-3m 3/s B ．2×10-3m 3/s C ．1×10-4m 3/s D ．2×10-4m 3/s7、通常情况下，人的小动脉内径约为6mm ，血流的平均流速为20cm/s ，若小动脉某处被一硬斑阻塞而变窄，测得此处血流的平均流速为80cm/s ，则小动脉此处的内径应为（ ）mm 。
A ．4B ．3C ．2D ．18、正常情况下，人的血液密度为×103kg/m 3，血液在内径为6mm 的小动脉中流动的平均速度为20cm/s ，若小动脉某处被一硬斑阻塞而变窄，此处内径为4mm ，则小动脉宽处与窄处压强之差（ ）Pa 。
二、判断题1、有水在同一水平管道中作稳定流动，管道横截面积越大，流速越小，压强就越小。
（ ）2、由直径为15cm 的水平光滑的管子，把20℃的水抽运到空气中去。
如果抽水保持水的流速为30cm/s ，已知20℃水的粘度η＝×10-3Pa/S ，则水在管子中的流动形态属于湍流。
（ ）3、烟囱越高，通风效能越好，即把烟从炉中排出来的本领就越大。
（ ）4、在深海中下落的一个铝球，整个过程始终是加速运动的。
（ ）5、飞机机翼的升力来自机翼上下表面压强之差，这个压强之差主要由于机翼上表面流速大于下表面流速所致。
（ ）6、流体的内摩擦力与固体间接触表面的摩擦力共同的特点都是阻碍相对运动，但流体的内摩擦力不存在最大的静摩擦力。
（ ）三、填空题1、流管的作用相当于管道，流体只能从流管一端____，从另一端______。
2、液体的粘度与液体的______、温度、_______因素有关，且随着温度的升高而_______。
3、理想流体是指 的流体，是一理想的模型，它是实际流体的近似。
4、稳定流动是实际流体流动的一种特殊情况， ，称为稳定流动。
5、为形象地描绘流速场的分布情况，可在其中描绘一些曲线，使 的曲线称为流线。
6、 称为流阻。
四、简答题1、连续性方程和伯努利方程适用的条件是什么2、从水龙头流出的水流，在下落过程中逐渐变细，为什么3、如图2-1所示为下面接有不同截面漏管的容器，内装理想流体。
若下端堵住，器内为静液，显然B 内任一点压强总比C 内低。
若去掉下端的塞子，液体流动起来，C 内压强是否仍旧一定高于B 内压强4、两艘轮船不允许靠近并排航行，否则会相碰撞，试解释这一现象。
5、水从粗流管向细流管流动时，流速将变大，其加速度是怎样获得的 五、计算题1、两个桶，用号码1和2表示，每个桶顶都开有一个大口，两个桶中盛有不同的液体，图2-1在每个桶的侧面，在液面下相同深度h 处都开有一个小孔，但桶1的小孔面积为桶2的小孔面积的一半，问：（1） 如果由两个小孔流出的质量流量（即单位时间内通过截面的质量）相同，则两液体的密度比值ρ1/ρ2为多少（2） 从这两个桶流出的体积流量的比值是多少（3） 在第二个桶的孔上要增加或排出多少高度的液体，才能使两桶的体积流量相等2、在水管的某处，水的流速为2 m/s,压强比大气压大104Pa ，在水管另一处高度下降了1 m ，此点水管截面积比最初面积小21，求此点的压强比大气压大多少3、一圆形水管的某处横截面积为5 cm 2，有水在水管内流动，在该处流速为4 m/s ，压强比大气压大×104Pa ，在另一处水管的横截面积为10 cm 2,压强比大气压大×104Pa ，求此点的高度与原来的高度之差。
4、理想流体在如图2-2所示的圆锥形管中作稳定流动，当A 、B 两点压强相等时的体积流量等于多少（已知A 、B 两点的高度差为3 m ，两点处的管道半径分别为R A =10 cm ，R B =5 cm ，g=10 m/s 2）5、水在截面不同的水平管中作稳定流动，出口处的截面积为管的最细处的3倍，若出口处的流速为2 m/s,求最细处的压强为多少若在此最细处开一小孔，水会不会流出来6、通过毛细血管中心的血液流速为0.066cm/s ，毛细血管长为0.1cm ，它是半径r 为2×10-4cm ，求（1）通过毛细血管的流量Q （已知毛细血管压降为2600Pa ）；（2）从通过主动脉的血液流量是83cm 3/s 这一事实，估计体内毛细血管的总数。
7、人的心脏每搏左心室射血为0.07kg ，在26660Pa 的压强下将血液注入主动脉，心率为75/min ，试求24小时左心室射血所作的功是多少(设主动脉血流的平均速度为0.4m/s)8、成年人主动脉的半径约为R =×10-2m,长约为L =0.20 m,求这段主动脉的流阻及其两端的压强差。
设心输出量为Q =×10-4m 3/s,血液粘度η=×10-3Pa·s。
9、直径为0.01mm 的水滴在速度为2cm/s的上升气流中，是否可向地面落下（设此时空图2-2气的粘度η =×10-5Pa·s）10一根直径为6.0 mm的动脉内出现一硬斑块，此处有效直径为4.0 mm，平均血流速度为5.0cm/s。
求：（1）未变窄处的平均血流速度。
（2）狭窄处会不会发生湍流已知血液体粘度η=×10-3Pa·s,其密度ρ=×103 kg/m311、液体中有一空气泡，泡的直径为1 mm，液体的粘度为Pa·s,密度为×103 kg/m3。
求：（1）空气泡在该液体中上升时的收尾速度是多少（2）如果这个空气泡在水中上升，其尾速度又是多少（水的密度取103 kg/m3,粘度为1×10-3Pa·s）12、一个红细胞可近似地认为是一个半径为×10-6m的小球，它的密度ρ为×103kg/m3,求红细胞在重力作用下，在37℃的血液中均匀下降后沉降1.0 cm所需的时间（已知血液粘度η=×10-3Pa·s，密度σ =×103 kg/m3）第二章 流体动力学基础参考答案一、单选题1、D分析：稳定流动是指任一个流体质点经过流体空间某一点时流速矢量恒定不变，并不是说流体质点流速在流动过程中始终不变。
2、D分析：根据泊肃叶定律412()8R Q P P L πη-＝可知，血管中血液的流量与血管半径的四次方成正比，在其它条件不变的情况下，血管内径减少一半，血液流量应为原来的116倍。
3、A分析：粘滞性流体在管道中流动处于何种流动形态由雷诺数来确定，根据已知条件，可计算其雷诺数e 3402000dR ρυη==<做层流流动。
4、C分析：由连续性方程S 1v 1=S 2v 2得（把血管视为圆形管道）2212122232045cm/s2R R υυ=⨯=＝5、A分析：由连续性方程S A v A =S B v B 得v B =2v A ；又由伯努利方程22A B 1122A B P P ρυρυ+=+，即求出v A 的值。
6、C分析：按上题的步骤求出管中某处的流速，如A 处的流速v A ，根据体积流量的定义Q v＝S A v A ，即可求出结果。
7、B分析：由连续性方程，同时注意211π4S d =，222π4S d =（视血管为圆形管道），即可求出小动脉窄处的内径d 2=3mm 。
8、B分析：由连续性方程S 1v 1=S 2v 2，得v 2 = 45cm/s ，再由伯努利方程2211221122P P ρυρυ+=+得P 1－P 2＝ P a 。
二、判断题1、×分析：水在同一水平管道作稳定流动，由连续性方程和伯努利方程，得S 1v 1=S 2v 22211221122P P ρυρυ+=+若S 1＞S 2，则v 1＜v 2，必有P 1＞ P 2，所以此说法不正确。
2、√分析：水在管子流动形态由雷诺数来确定。
计算其雷诺数3431100.30.15e 4.481030001.00510d R ρυη-⨯⨯⨯===⨯>⨯可见做湍流流动。
3、√分析：烟囱可看作一个管道，其气体的排出量，即流量Q 跟烟囱低处与高处压强之差（P 1－P 2）成正比，烟囱越高，压强差就越大，流量就越大，通风效能就越好。
4、×分析：铝球在深海中下落过程中，受到三个力的作用：一个是向下的重力mg ，另外两个是向上的浮力343gR ρ和粘滞阻力6πR ηυ；粘滞力随着下落速度的增加而增大，当铝球自身的重力大小等浮力和粘滞力之和时，铅球将匀速下落。
5、√分析：流速越大，压强越小，所以机翼上表面压强小于下表面压强。
6、√分析：流体的内摩擦力和固体间接触面的摩擦力都是相对运动而产生，其共同的效果都是阻碍相对运动；但流体是很容易产生相对运动的，说明流体的内摩擦力不存在最大的静摩擦力。
三、填空题1、流进；流出2、种类；杂质浓度；降低3、绝对不可压缩、完全没有粘性4、流速场中各点的流速不随时间而变化的流动5、曲线上每一点的切线方向与流体质点经过该点的流速方向一致6、流管对流体的流动产生的总阻力四、简答题1、答：连续性方程成立的条件是不可压缩流体在同一流管中作稳定流动。
伯努利方程适用的条件是理想流体在同一流管中作稳定流动。
2、答：水从龙头流出下落过程中，流速不断增大，由连续性方程可知，流速越大，横截面积越小，所以水在下落过程中逐渐变细。