高考数学专题复习专题8立体几何与空间向量第50练平行的判定与性质练习理

第50讲 用向量方法证明空间中的平行与垂直1.已知直线a 的方向向量为a ，平面α的法向量为n ，下列结论成立的是( C )A ．若a ∥n ，则a ∥αB ．若a·n ＝0，则a ⊥αC ．若a ∥n ，则a ⊥αD ．若a·n ＝0，则a ∥α解析：由方向向量和平面法向量的定义可知应选C.对于选项D ，直线a ⊂平面α也满足a·n ＝0.2.已知α，β是两个不重合的平面，其法向量分别为n 1，n 2，给出下列结论： ①若n 1∥n 2，则α∥β； ②若n 1∥n 2，则α⊥β；③若n 1·n 2＝0，则α⊥β； ④若n 1·n 2＝0，则α∥β.其中正确的是( A )A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④3.(原创)已知A (3，－2,1)，B (4，－5,3)，则与向量AB →平行的一个向量的坐标是( C )A ．(13，1,1) B ．(－1，－3,2) C ．(－12，32，－1) D ．(2，－3，－22) 解析：AB →＝(1，－3,2)＝－2(－12，32，－1)， 所以与向量AB →平行的一个向量的坐标是(－12，32，－1)，故选C. 4.设l 1的方向向量为a ＝(1,2，－2)，l 2的方向向量为b ＝(－2,3，m )，若l 1⊥l 2，则m 等于 2 .5.设平面α的法向量为(1,2，－2)，平面β的法向量为(－2，－4，k )，若α∥β，则k ＝ 4 .解析：因为α∥β，所以(－2，－4，k )＝λ(1,2，－2)，所以－2＝λ，k ＝－2λ，所以k ＝4.6.已知AB →＝(1,5，－2)，BC →＝(3,1，z )．若AB →⊥BC →，BP →＝(x －1，y ，－3)，且BP ⊥平面ABC ，则实数x ＝ 407 ，y ＝ －157，z ＝ 4 . 解析：由已知⎩⎪⎨⎪⎧ AB →·BC →＝3＋5－2z ＝0BP →·AB →＝x －1＋5y ＋6＝0BP →·BC →＝3(x －1)＋y －3z ＝0，解得x ＝407，y ＝－157，z ＝4. 7.(原创)若a ＝(2,1，－3)，b ＝(－1,5，3)，则以a ，b 为邻边的平行四边形的面积为 258 .解析：因为a·b ＝(2,1，－3)·(－1,5，3)＝0，所以a ⊥b ，又|a|＝22，|b|＝29，所以以a ，b 为邻边的平行四边形的面积为|a|·|b|＝22×29＝258.8.如图，平面P AC ⊥平面ABC ，△ABC 是以AC 为斜边的等腰直角三角形，E ，F ，O 分别为P A ，PB ，AC 的中点，AC ＝16，P A ＝PC ＝10.设G 是OC 的中点，证明：FG ∥平面BOE .证明：如图，连接OP ，因为P A ＝PC ，AB ＝BC ，所以PO ⊥AC ，BO ⊥AC ，又平面P AC⊥平面ABC ，所以可以以点O 为坐标原点，分别以OB ，OC ，OP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系O -xyz .则O (0,0,0)，A (0，－8,0)，B (8,0,0)，C (0,8,0)，P (0,0,6)，E (0，－4,3)，F (4,0,3)．由题意，得G (0,4,0)．因为OB →＝(8,0,0)，OE →＝(0，－4,3)，设平面BOE 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧ n ·OB →＝0n ·OE →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0－4y ＋3z ＝0， 取y ＝3，则z ＝4，所以n ＝(0,3,4)．由FG →＝(－4,4，－3)，得n ·FG →＝0.又直线FG 不在平面BOE 内，所以FG ∥平面BOE .9.(2012·陕西省西安市名校第一次质检改编)如图，四棱锥P -ABCD 的底面为正方形，侧棱P A ⊥底面ABCD ，且P A ＝AD ＝2，E ，F ，H 分别是线段P A ，PD ，AB 的中点．(1)求证：PB ∥平面EFH ；(2)求证：PD ⊥平面AHF .证明：建立如图所示的空间直角坐标系A -xyz ，所以A (0,0,0)，B (2,0,0)，C (2,2,0)，D (0,2,0)，P (0,0,2)，E (0,0,1)，F (0,1,1)，H (1，0,0)．(1)因为PB →＝(2,0，－2)，EH →＝(1,0，－1)，所以PB →＝2EH →，因为PB ⊄平面EFH ，且EH ⊂平面EFH ，所以PB ∥平面EFH .(2)因为PD →＝(0,2，－2)，AH →＝(1,0,0)，AF →＝(0,1,1)，所以PD →·AF →＝0×0＋2×1＋(－2)×1＝0， PD →·AH →＝0×1＋2×0＋(－2)×0＝0， 所以PD ⊥AF ，PD ⊥AH ，又因为AF ∩AH ＝A ，所以PD ⊥平面AHF .。

2017高考数学一轮复习第八章立体几何 8.3 平行的判定与性质课时练理时间：45分钟基础组1.[2016·武邑中学预测]已知m，n为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列为真命题的是( )A．m∥n，m⊥α⇒n⊥αB．α∥β，m⊂α，n⊂β⇒m∥nC．m⊥α，m⊥n⇒n∥αD．m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β⇒α∥β答案 A解析选项A中，如图①，n∥m，m⊥α⇒n⊥α一定成立，选项A正确．选项B中，如图②，α∥β，m⊂α，n⊂β，m与n互为异面直线，∴选项B不正确．选项C中，如图③，m⊥α，m⊥n，n⊂α，∴选项C不正确．选项D中，如图④，m⊂α，n⊂α，m∥β，n ∥β，但α与β相交，∴选项D不正确．2．[2016·衡水二中模拟]直线m，n均不在平面α，β内，给出下列命题：①若m∥n，n∥α，则m∥α；②若m∥β，α∥β，则m∥α；③若m⊥n，n⊥α，则m∥α；④若m⊥β，α⊥β，则m∥α.其中正确命题的个数是( )A．1 B．2C．3 D．4答案 D解析对命题①，根据线面平行的判定定理知，m∥α；对命题②，如果直线m与平面α相交，则必与平面β相交，而这与α∥β矛盾，故m∥α；对命题③，在平面α内取一点A，设过A，m的平面γ与平面α相交于直线b.因为n⊥α，所以n⊥b，又m⊥n，所以m∥b，则m∥α；对命题④，设α∩β＝l，在α内作m′⊥β，因为m⊥β，所以m∥m′，从而m∥α.故四个命题都正确．3．[2016·枣强中学期末]已知m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，下列命题中错误的是( )A．若m⊥α，m⊥β，则α∥βB．若α∥γ，β∥γ，则α∥βC．若m⊂α，n⊂β，m∥n，则α∥βD．若m，n是异面直线，m⊂α，m∥β，n⊂β，n∥α，则α∥β答案 C解析由线面垂直的性质可知A正确；由两个平面平行的性质可知B正确；由异面直线的性质易知D也是正确的；对于选项C，α，β可以相交、可以平行，故C错误，选C.4．[2016·衡水二中仿真]平面α∥平面β，点A，C∈α，B，D∈β，则直线AC∥直线BD的充要条件是( )A．AB∥CD B．AD∥CBC．AB与CD相交D．A，B，C，D四点共面答案 D解析充分性：A，B，C，D四点共面，由平面与平面平行的性质知AC∥BD.必要性显然成立．5．[2016·枣强中学期中]如图，在正四棱柱A1C中，E，F，G，H分别是棱CC1，C1D1，D1D，DC的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M只需满足条件________时，就有MN∥平面B1BDD1.(注：请填上你认为正确的一个条件即可，不必考虑全部可能情况)答案M位于线段FH上解析连接HN，FH，FN，则FH∥DD1，HN∥BD，∴平面FHN∥平面B1BDD1，只要M∈FH，则MN⊂平面FHN，∴MN∥平面B1BDD1.(答案不唯一)6．[2016·冀州中学期末]给出下列关于互不相同的直线l、m、n和平面α、β、γ的三个命题：①若l与m为异面直线，l⊂α，m⊂β，则α∥β；②若α∥β，l⊂α，m⊂β，则l∥m；③若α∩β＝l，β∩γ＝m，γ∩α＝n，l∥γ，则m∥n.其中真命题为________．答案③解析①中当α与β不平行时，也能存在符合题意的l、m.②中l 与m 也可能异面．③中⎭⎪⎬⎪⎫l ∥γl ⊂ββ∩γ＝m ⇒l ∥m ， 同理l ∥n ，则m ∥n ，正确．7．[2016·衡水中学预测]如图所示，四棱锥P －ABCD 的底面是一个直角梯形，AB ∥CD ，BA ⊥AD ，CD ＝2AB ，PA ⊥底面ABCD .若E 为PC 的中点，则BE 与平面PAD 的位置关系是________．答案 平行解析 取PD 的中点F ，连接EF ，AF .在△PCD 中，EF ∥CD ，且EF ＝12CD .∵AB ∥CD ，且CD ＝2AB ，∴EF ∥AB ，且EF ＝AB ，∴四边形ABEF 为平行四边形，∴EB ∥AF .又∵EB ⊄平面PAD ，AF ⊂平面PAD ，∴BE ∥平面PAD .8．[2016·枣强中学热身]如图，四棱锥P －ABCD 的底面是边长为1的正方形，侧棱PA ⊥底面ABCD ，且PA ＝2，E 是侧棱PA 上的中点．(1)求证：PC ∥平面BDE ； (2)求四棱锥P －ABCD 的体积．解 (1)证明：连接AC 交BD 于点O ，连接OE ，如图：∵四边形ABCD 是正方形， ∴O 是AC 的中点．又E 是PA 的中点，∴PC ∥OE . ∵PC ⊄平面BDE ，OE ⊂平面BDE ， ∴PC ∥平面BDE . (2)∵PA ⊥平面ABCD ，∴V P －ABCD ＝13S 正方形ABCD ·PA ＝13×12×2＝23，∴四棱锥P －ABCD 的体积为23.9．[2016·衡水中学猜题]已知三棱柱ABC －A ′B ′C ′中，平面BCC ′B ′⊥底面ABC ，BB ′⊥AC ，底面ABC 是边长为2的等边三角形，AA ′＝3，E ，F 分别在棱AA ′，CC ′上，且AE ＝C ′F ＝2.(1)求证：BB ′⊥底面ABC ；(2)在棱A ′B ′上找一点M ，使得C ′M ∥平面BEF ，并给出证明．证明 (1)如图，取BC 中点O ，连接AO ，因为三角形ABC 是等边三角形，所以AO ⊥BC ，又平面BCC′B′⊥底面ABC，AO⊂平面ABC，平面BCC′B′∩平面ABC＝BC，所以AO⊥平面BCC′B′，又BB′⊂平面BCC′B′，所以AO⊥BB′.又BB′⊥AC，AO∩AC＝A，AO⊂平面ABC，AC⊂平面ABC，所以BB′⊥底面ABC.(2)如图，显然M不是A′，B′，棱A′B′上若存在一点M，使得C′M∥平面BEF，过M作MN∥AA′交BE于N，连接FN，MC′，所以MN∥C′F，即C′M和FN共面，所以C′M∥FN，所以四边形C′MNF为平行四边形，所以MN＝2，所以MN是梯形A′B′BE的中位线，M为A′B′的中点．10．[2016·衡水中学一轮检测]如图所示，在棱长均为4的三棱柱ABC－A1B1C1中，D，D1分别是BC和B1C1的中点．(1)求证：A1D1∥平面AB1D；(2)若平面ABC⊥平面BCC1B1，∠B1BC＝60°，求三棱锥B1－ABC的体积．解(1)证明：如图所示，连接DD1，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，因为D ，D 1分别是BC 与B 1C 1的中点， 所以B 1D 1∥BD ，且B 1D 1＝BD .所以四边形B 1BDD 1为平行四边形，所以BB 1∥DD 1，且BB 1＝DD 1.又因为AA 1∥BB 1，AA 1＝BB 1，所以AA 1∥DD 1，AA 1＝DD 1，所以四边形AA 1D 1D 为平行四边形， 所以A 1D 1∥AD .又A 1D 1⊄平面AB 1D ，AD ⊂平面AB 1D ，故A 1D 1∥平面AB 1D . (2)在△ABC 中，因为AB ＝AC ，D 为BC 的中点，所以AD ⊥BC .因为平面ABC ⊥平面B 1C 1CB ，交线为BC ，AD ⊂平面ABC ，所以AD ⊥平面B 1C 1CB ，即AD 是三棱锥A －B 1BC 的高．在△ABC 中，因为AB ＝AC ＝BC ＝4，得AD ＝2 3. 在△B 1BC 中，B 1B ＝BC ＝4，∠B 1BC ＝60°， 所以△B 1BC 的面积S △B 1BC ＝12×4×4×32＝43，所以三棱锥B 1－ABC 的体积即三棱锥A －B 1BC 的体积，V ＝13S △B 1BC ·AD ＝13×43×23＝8.11．[2016·冀州中学模拟]如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，S 是B 1D 1的中点，E 、F 、G 分别是BC 、DC 、SC 的中点，求证：(1)直线EG ∥平面BDD 1B 1； (2)平面EFG ∥平面BDD 1B 1. 证明 (1)如图，连接SB ，∵E 、G 分别是BC 、SC 的中点， ∴EG ∥SB .又∵SB ⊂平面BDD 1B 1，EG ⊄平面BDD 1B 1，∴直线EG ∥平面BDD 1B 1.(2)连接SD ，∵F 、G 分别是DC 、SC 的中点，∴FG ∥SD . 又∵SD ⊂平面BDD 1B 1，FG ⊄平面BDD 1B 1，∴FG ∥平面BDD 1B 1，又EG ⊂平面EFG ，FG ⊂平面EFG ，EG ∩FG ＝G ，∴平面EFG ∥平面BDD 1B 1.12．[2016·衡水二中周测]如图所示的多面体中，ABCD 是菱形，BDEF 是矩形，ED ⊥平面ABCD ，∠BAD ＝π3，AD ＝2.(1)求证：平面FCB ∥平面AED ；(2)若二面角A －EF －C 为直二面角，求直线BC 与平面AEF 所成的角θ的正弦值． 解 (1)证明：在矩形BDEF 中，FB ∥ED ， ∵FB ⊄平面AED ，ED ⊂平面AED ， ∴FB ∥平面AED ， 同理BC ∥平面AED ，又FB ∩BC ＝B ，∴平面FBC ∥平面EDA .(2)取EF 的中点M .连接AM ，CM .连接AC 交BD 于点N .由于ED ⊥平面ABCD ，ED ∥FB ， ∴ED ⊥AD ，ED ⊥DC ，FB ⊥BC ，FB ⊥AB . 又ABCD 是菱形，BDEF 是矩形，∴△ADE ，△EDC ，△ABF ，△BCF 是全等三角形， ∴AE ＝AF ，CE ＝CF ，∴AM ⊥EF ，CM ⊥EF ，∠AMC 就是二面角A －EF －C 的平面角．解法一：(几何法)延长CB 到G ，使BC ＝BG ，由已知可得，ADBG 是平行四边形，又BDEF 是矩形，∴AEFG 是平行四边形，即A ，E ，F ，G 共面，由此可知，AM ⊥MC ，CM ⊥EF ，EF ，AM 相交于M ，∴CM ⊥平面AEFG ，∠CGM 为所求． 由AD ＝2，∠DAB ＝60°，得AC ＝23，等腰Rt △AMC 中，AC ＝23，可得MC ＝6，Rt △GMC 中，sin ∠CGM ＝CM CG ＝64.解法二：(向量法)以D 为原点，DC 为y 轴，DE 为z 轴，建立如图的直角坐标系，由AD ＝2，则M ⎝⎛⎭⎪⎫32，12，3，C (0,2,0)，平面AEF 的法向量n ＝MC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，32，－3. CB →＝DA →＝(3，－1,0)，cos 〈n ，CB →〉＝n ·CB→|n ||CB →|＝－64.∴sin θ＝64. 能力组13.[2016·枣强中学仿真]已知m，n，l1，l2表示直线，α，β表示平面．若m⊂α，n⊂α，l1⊂β，l2⊂β，l1∩l2＝M，则α∥β的一个充分条件是( ) A．m∥β且l1∥αB．m∥β且n∥βC．m∥β且n∥l2D．m∥l1且n∥l2答案 D解析由定理“如果一个平面内有两条相交直线分别与另一个平面平行，那么这两个平面平行”可知，选项D可推知α∥β.14．[2016·衡水二中月考]平面α∥平面β的一个充分条件是________(填写正确的序号)．①存在一条直线a，a∥α，a∥β；②存在一条直线a，a⊂α，a∥β；③存在两条平行直线a，b，a⊂α，b⊂βa∥β，b∥α；④存在两条异面直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α.答案④解析根据两平面平行的条件，只有④符合．15. [2016·武邑中学热身]在如图所示的多面体中，四边形ABB1A1和ACC1A1都为矩形．(1)若AC⊥BC，证明：直线BC⊥平面ACC1A1；(2)设D，E分别是线段BC，CC1的中点，在线段AB上是否存在一点M，使直线DE∥平面A1MC？请证明你的结论．解(1)证明：因为四边形ABB1A1和ACC1A1都是矩形，所以AA1⊥AB，AA1⊥AC.因为AB，AC为平面ABC内两条相交直线，所以AA1⊥平面ABC.因为直线BC⊂平面ABC，所以AA1⊥BC.又AC⊥BC，AA1，AC为平面ACC1A1内两条相交直线，所以BC⊥平面ACC1A1.(2)取线段AB的中点M，连接A1M，MC，A1C，AC1，设O为A1C，AC1的交点．由已知可知O为AC1的中点．连接MD ，OE ，则MD ，OE 分别为△ABC ，△ACC 1的中位线，所以MD 綊12AC ，OE 綊12AC ，因此MD 綊OE .连接OM ，从而四边形MDEO 为平行四边形，则DE ∥MO . 因为直线DE ⊄平面A 1MC ，MO ⊂平面A 1MC ， 所以直线DE ∥平面A 1MC ，即线段AB 上存在一点M (线段AB 的中点)，使直线DE ∥平面A 1MC .。

第4节直线、平面平行的判定及其性质考试要求1。

以立体几何的定义、公理和定理为出发点,认识和理解空间中线面平行的有关性质与判定定理；2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些有关空间图形的平行关系的简单命题。

知识梳理1.直线与平面平行(1）直线与平面平行的定义直线l与平面α没有公共点，则称直线l与平面α平行。

（2）判定定理与性质定理文字语言图形表示符号表示判定定理平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线平行于此平面a⊄α，b⊂α,a∥b⇒a∥α性质定理一条直线和一个平面平行,则过这条a∥α，a⊂β，α∩β直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行＝b⇒a∥b2。

平面与平面平行（1）平面与平面平行的定义没有公共点的两个平面叫做平行平面.(2）判定定理与性质定理文字语言图形表示符号表示判定定理一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行a⊂α,b⊂α，a∩b＝P，a∥β，b∥β⇒α∥β性质定两个平面平行，则其中一个平面内的直线平行于α∥β，a⊂α⇒a∥β理另一个平面如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b3。

与垂直相关的平行的判定(1）a⊥α，b⊥α⇒a∥b.(2)a⊥α，a⊥β⇒α∥β。

[常用结论与易错提醒］1.平行关系的转化2。

平面与平面平行的六个性质(1）两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面。

(2）夹在两个平行平面间的平行线段长度相等。

（3）经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行。

(4）两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例.（5）如果两个平面分别和第三个平面平行,那么这两个平面互相平行.(6）如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线，那么这两个平面平行.诊断自测1.判断下列说法的正误。

(1)若一条直线和平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。

（)（2）若直线a∥平面α，P∈α，则过点P且平行于直线a的直线有无数条。

§8.4直线、平面平行的判定与性质最新考纲考情考向分析1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行的有关性质与判定定理．2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些有关空间图形的平行关系的简单命题. 直线、平面平行的判定及其性质是高考中的重点考查内容，涉及线线平行、线面平行、面面平行的判定及其应用等内容．题型主要以解答题的形式出现，解题要求有较强的推理论证能力，广泛应用转化与化归的思想.1．线面平行的判定定理和性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行(简记为“线线平行⇒线面平行”)⎭⎪⎬⎪⎫⇒l∥α性质定理一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行(简记为“线面平行⇒线线平行”)⎭⎪⎬⎪⎫⇒l∥b2.面面平行的判定定理和性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行(简记为“线面平行⇒面面平行”)⎭⎪⎬⎪⎫⇒α∥β性质定理如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行⎭⎪⎬⎪⎫⇒a∥b概念方法微思考1．一条直线与一个平面平行，那么它与平面内的所有直线都平行吗？2．一个平面内的两条相交直线与另一个平面内的两条相交直线分别对应平行，那么这两个平面平行吗？题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若一条直线平行于一个平面内的一条直线，则这条直线平行于这个平面．()(2)平行于同一条直线的两个平面平行．()(3)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行．()(4)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面．()(5)若直线a与平面α内无数条直线平行，则a∥α.()(6)若α∥β，直线a∥α，则a∥β.()题组二教材改编2．[P58练习T3]平面α∥平面β的一个充分条件是()A．存在一条直线a，a∥α，a∥βB．存在一条直线a，a⊂α，a∥βC．存在两条平行直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥αD．存在两条异面直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α3．[P62A组T3]如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为DD1的中点，则BD1与平面AEC 的位置关系为________．题组三易错自纠4．(2019·荆州模拟)对于空间中的两条直线m，n和一个平面α，下列命题中的真命题是() A．若m∥α，n∥α，则m∥nB．若m∥α，n⊂α，则m∥nC．若m∥α，n⊥α，则m∥nD．若m⊥α，n⊥α，则m∥n5．若平面α∥平面β，直线a∥平面α，点B∈β，则在平面β内且过B点的所有直线中() A．不一定存在与a平行的直线B．只有两条与a平行的直线C．存在无数条与a平行的直线D．存在唯一与a平行的直线6．设α，β，γ为三个不同的平面，a，b为直线，给出下列条件：①a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α；②α∥γ，β∥γ；③α⊥γ，β⊥γ；④a⊥α，b⊥β，a∥b.其中能推出α∥β的条件是______．(填上所有正确的序号)题型一直线与平面平行的判定与性质命题点1直线与平面平行的判定例1 如图，在几何体ABCDE中，四边形ABCD是矩形，AB⊥平面BEC，BE⊥EC，AB＝BE＝EC＝2，G，F分别是线段BE，DC的中点．求证：GF∥平面ADE.命题点2 直线与平面平行的性质例2 (2019·东三省四市教研联合体模拟)在如图所示的几何体中，四边形ABCD 是正方形，P A ⊥平面ABCD ，E ，F 分别是线段AD ，PB 的中点，P A ＝AB ＝1.(1)证明：EF ∥平面PDC ； (2)求点F 到平面PDC 的距离．思维升华 判断或证明线面平行的常用方法 (1)利用线面平行的定义(无公共点)．(2)利用线面平行的判定定理(a ⊄α，b ⊂α，a ∥b ⇒a ∥α)． (3)利用面面平行的性质(α∥β，a ⊂α⇒a ∥β)． (4)利用面面平行的性质(α∥β，a ⊄β，a ∥α⇒a ∥β)．跟踪训练1 (2019·崇左联考)如图，在四棱锥P －ABCD 中，平面P AC ⊥平面ABCD ，且P A ⊥AC ，P A ＝AD ＝2，四边形ABCD 满足BC ∥AD ，AB ⊥AD ，AB ＝BC ＝1.点E ，F 分别为侧棱PB ，PC 上的点，且PE PB ＝PFPC＝λ(λ≠0)．(1)求证：EF ∥平面P AD ；(2)当λ＝12时，求点D 到平面AFB 的距离．题型二平面与平面平行的判定与性质例3 如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：(1)B，C，H，G四点共面；(2)平面EF A1∥平面BCHG.引申探究1．在本例中，若将条件“E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点”变为“D1，D 分别为B1C1，BC的中点”，求证：平面A1BD1∥平面AC1D.2．在本例中，若将条件“E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点”变为“点D，D1分别是AC，A1C1上的点，且平面BC1D∥平面AB1D1”，试求ADDC的值．跟踪训练2 (2018·合肥质检)如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，BF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，BF＝DE，M为棱AE的中点．(1)求证：平面BDM∥平面EFC；(2)若AB＝1，BF＝2，求三棱锥A－CEF的体积．题型三平行关系的综合应用例4 如图所示，四边形EFGH为空间四边形ABCD的一个截面，若截面为平行四边形．(1)求证：AB∥平面EFGH，CD∥平面EFGH；(2)若AB＝4，CD＝6，求四边形EFGH周长的取值范围．思维升华利用线面平行的性质，可以实现与线线平行的转化，尤其在截面图的画法中，常用来确定交线的位置，对于最值问题，常用函数思想来解决．跟踪训练3 如图，E是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱DD1的中点，过A，C，E三点作平面α与正方体的面相交．(1)画出平面α与正方体ABCD－A1B1C1D1各面的交线；(2)求证：BD1∥平面α.1．下列命题中正确的是()A．若a，b是两条直线，且a∥b，那么a平行于经过b的任何平面B．若直线a和平面α满足a∥α，那么a与α内的任何直线平行C．平行于同一条直线的两个平面平行D．若直线a，b和平面α满足a∥b，a∥α，b⊄α，则b∥α2．已知m，n是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题正确的是()A．若α，β垂直于同一平面，则α与β平行B．若m，n平行于同一平面，则m与n平行C．若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线D．若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面3．(2019·济南模拟)如图所示的三棱柱ABC－A1B1C1中，过A1B1的平面与平面ABC交于DE，则DE与AB的位置关系是()A．异面B．平行C．相交D．以上均有可能4．(2018·大同模拟)若平面α截三棱锥所得截面为平行四边形，则该三棱锥与平面α平行的棱有()A．0条B．1条C．2条D．0条或2条5．(2017·全国Ⅰ)如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是()6．α，β是两个平面，m，n是两条直线，有下列四个命题：①如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β；②如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n；③如果α∥β，m⊂α，那么m∥β；④如果m∥n，α∥β，那么m与α所成的角和n与β所成的角相等．其中正确的命题有________．(填写所有正确命题的序号)7．(2018·贵阳模拟)设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列四个命题：①若m⊂α，n∥α，则m∥n；②若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ；③若α∩β＝n，m∥n，m∥α，则m∥β；④若m∥α，n∥β，m∥n，则α∥β.其中是真命题的是________．(填序号)8．棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M是棱AA1的中点，过C，M，D1作正方体的截面，则截面的面积是________．9.如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，点E为AD的中点，点F在CD上．若EF∥平面AB1C，则线段EF的长度为________．10.如图所示，在正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，E，F，G，H分别是棱CC1，C1D1，D1D，DC的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M只需满足条件______时，就有MN∥平面B1BDD1.(注：请填上你认为正确的一个条件即可，不必考虑全部可能情况)11．(2019·南昌模拟)如图，在四棱锥P－ABCD中，∠ABC＝∠ACD＝90°，∠BAC＝∠CAD ＝60°，P A⊥平面ABCD，P A＝2，AB＝1.设M，N分别为PD，AD的中点．(1)求证：平面CMN∥平面P AB；(2)求三棱锥P－ABM的体积．12.如图，四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是正方形．(1)证明：平面A1BD∥平面CD1B1；(2)若平面ABCD∩平面B1D1C＝直线l，证明：B1D1∥l.13.如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，E，F是线段B1D1上的两个动点，且EF＝2 2，则下列结论中错误的是()A．AC⊥BFB．三棱锥A－BEF的体积为定值C．EF∥平面ABCDD．异面直线AE，BF所成的角为定值14．如图所示，侧棱与底面垂直，且底面为正方形的四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，AA1＝2，AB＝1，M，N分别在AD1，BC上移动，始终保持MN∥平面DCC1D1，设BN＝x，MN＝y，则函数y＝f(x)的图象大致是()15.如图，在三棱锥S －ABC 中，△ABC 是边长为6的正三角形，SA ＝SB ＝SC ＝10，平面DEFH 分别与AB ，BC ，SC ，SA 交于D ，E ，F ，H ，且D ，E 分别是AB ，BC 的中点，如果直线SB ∥平面DEFH ，那么四边形DEFH 的面积为( )A.452B.4532 C ．15 D ．45 316.如图，在四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，四边形ABCD 为直角梯形，AC 与BD 相交于点O ，AD ∥BC ，AD ⊥AB ，AB ＝BC ＝AP ＝3，三棱锥P －ACD 的体积为9.(1)求AD 的值；(2)过点O 的平面α平行于平面P AB ，平面α与棱BC ，AD ，PD ，PC 分别相交于点E ，F ，G ，H ，求截面EFGH 的周长．。

2021年高考数学（理）立体几何突破性讲练08利用空间向量证明平行、垂直一、考点传真：能用向量语言表述线线、线面、面面的平行和垂直关系 二、知识点梳理：证明平行、垂直问题的思路(1)恰当建立空间直角坐标系，准确表示各点与相关向量的坐标，是运用向量法证明平行和垂直的关键． (2)证明直线与平面平行，只需证明直线的方向向量与平面的法向量的数量积为零，或证直线的方向向量与平面内的不共线的两个向量共面，或证直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行，然后说明直线在平面外即可．这样就把几何的证明问题转化为向量运算．3其一证明直线与直线垂直，只需要证明两条直线的方向向量垂直；其二证明线面垂直，只需证明直线的方向向量与平面内不共线的两个向量垂直即可，当然，也可证直线的方向向量与平面的法向量平行；其三证明面面垂直：①证明两平面的法向量互相垂直；②利用面面垂直的判定定理，只要能证明一个平面内的一条直线的方向向量为另一个平面的法向量即可. 三、例题：例1.（2020年浙江卷，19）如图，在三棱台ABC DEF -中，平面ACFD ⊥平面ABC ，45ACB ACD ∠=∠=︒， 2DC BC =。

（1）证明：EF DB ⊥；（2）求直线DF 与平面DBC 所成角的正弦值.【解析】（1）如图，过点D 作DO AC ⊥，交直线AC 于点O ，连结OB . 由45ACD ∠=︒，DO AC ⊥得2CD CO ，由平面ACFD ⊥平面ABC 得DO ⊥平面ABC ，所以DO BC ⊥. 由45ACB ∠=︒，1222BC CD ==得BO BC ⊥.所以BC ⊥平面BDO ，故 BC DB ⊥.由三棱台ABC DEF -得//BC EF .所以EF DB ⊥.（2）方法一过点O 作OH BD ⊥，交直线BD 于点H ，连结CH .由三棱台ABC DEF -得//DF CO ，所以直线DF 与平面DBC 所成角等于直线CO 与平面DBC 所成角. 由BC ⊥平面BDO 得OH BC ⊥，故OH ⊥平面BCD ，所以OCH ∠为直线CO 与平面DBC 所成角.设CD =.由2,DO OC BO BC ===BD OH =sin OH OCH OC ∠==因此，直线DF 与平面DBC. 方法二：由三棱台ABC DEF -得//DF CO .所以直线DF 与平面DBC 所成角等于直线CO 与平面DBC 所成角，记为θ.如图，以O 为原点，分别以射线OC OD ,为y z ，轴的正半轴，建立空间直角坐标系O xyz -.设CD =.由题意知各点坐标如下：()()()()0,00110020002O B C D ,,,,,,,,,,.因此()()()020,110,022OC BC CD ==-=-，，，，，，. 设平面BCD 的法向量()x y z =,,n .由0,0,BC CD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 即0,220,x y y z -+=⎧⎨-+=⎩可取111=（，，）n所以||sin cos ,||||OC OC OC θ⋅=<>==⋅n n n因此，直线DF 与平面DBC .例2.（2020年全国1卷理数，18）如图，D 为圆锥的顶点，O 是圆锥底面的圆心，AE 为底面直径，AE AD =.ABC 是底面的内接正三角形，P 为DO 上一点，PO =.(1)证明：PA ⊥平面PBC ； (2)求二面角B PC E --的余弦值.【解析】(1)设DO a =，由题设可得,,PO AO AB a ===，PA PB PC ===. 因此222PA PB AB +=，从而PA PB ⊥. 又222PA PC AC +=，故PA PC ⊥. 所以PA ⊥平面PBC .(2)以O 为坐标原点，OE 的方向为y 轴正方向，OE 为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -.由题设可得1(0,1,0),(0,1,0),,0,2E A C P ⎛⎫⎛- ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭.所以31,,0,0,2EC EP ⎛⎫⎛=--=- ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭. 设(,,)x y z=m 是平面PCE 的法向量，则 0,0,EP EC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m即0,10.2y y ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩可取⎛= ⎝m . 由(1)知AP ⎛= ⎝⎭是平面PCB 的一个法向量，记n AP =,则cos ,||||⋅==⋅n m n m n m所以二面角B PC E --. 例3. （2019江苏卷）如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D ，E 分别为BC ，AC 的中点，AB =BC ． 求证：（1）A 1B 1∥平面DEC 1； （2）BE ⊥C 1E ．【解析】证明：（1）因为D ，E 分别为BC ，AC 的中点， 所以ED ∥AB .在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，AB ∥A 1B 1， 所以A 1B 1∥ED .又因为ED ⊂平面DEC 1，A 1B 1平面DEC 1， 所以A 1B 1∥平面DEC 1.（2）因为AB =BC ，E 为AC 的中点，所以BE ⊥AC . 因为三棱柱ABC-A 1B 1C 1是直棱柱，所以CC 1⊥平面ABC . 又因为BE ⊂平面ABC ，所以CC 1⊥BE .因为C 1C ⊂平面A 1ACC 1，AC ⊂平面A 1ACC 1，C 1C ∩AC =C ， 所以BE ⊥平面A 1ACC 1.因为C 1E ⊂平面A 1ACC 1，所以BE ⊥C 1E .例4.（2016年北京卷） 如图，在四棱锥中，平面PAD ⊥平面，，，，，，.⊄P ABCD -ABCD PA PD ⊥PA PD =AB AD ⊥1AB =2AD=AC CD ==（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值；（3）在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，说明理由. 【解析】(1)∵面PAD面ABCD AD =，面PAD ⊥面ABCD ，∵AB ⊥AD ，AB ⊂面ABCD ，∴AB ⊥面PAD ， ∵PD ⊂面PAD ， ∴AB ⊥PD ， 又PD ⊥PA ，∴PD ⊥面PAB ， (2)取AD 中点为O ，连结CO ，PO ，∵CD AC == ∴CO ⊥AD ， ∵PA PD =， ∴PO ⊥AD ，以O 为原点，如图建系易知(001)P ，，，(110)B ，，，(010)D -，，，(200)C ，，，则(111)PB =-，，，(011)PD =--，，，(201)PC =-，，，(210)CD =--，，， 设n 为面PDC 的法向量，令00(,1)n x y =，．011,120n PD n n PC ⎧⋅=⎪⎛⎫⇒=-⎨⎪⎝⎭⋅=⎪⎩，，则PB 与面PCD 夹角θ有，sin cos ,1n PB n PB n PBθ⋅=<>== PD ⊥PAB PB PCD PA M //BM PCD AMAP(3)假设存在M 点使得BM ∥面PCD ， 设AMAPλ=，()0,','M y z ， 由(2)知()0,1,0A ，()0,0,1P ，()0,1,1AP =-，()1,1,0B ，()0,'1,'AM y z =- 有()0,1,AM AP M λλλ=⇒- ∴()1,,BM λλ=--∵BM ∥面PCD ，n 为PCD 的法向量， ∴0BM n ⋅=，即102λλ-++=，∴1=4λ∴综上，存在M 点，即当14AM AP =时，M 点即为所求． 例5.（2011江苏）如图，在四棱锥ABCD P -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，AB AD =，BAD ∠=60°，E 、F 分别是AP 、AD 的中点．求证：（Ⅰ）直线EF ∥平面PCD ；（Ⅱ）平面BEF ⊥平面PAD ．【证明】（Ⅰ）在△PAD 中，因为E 、F 分别为AP ，AD 的中点，所以EF//PD ．又因为EF ⊄平面PCD ，PD ⊂平面PCD ，所以直线EF//平面PCD ．（Ⅱ）连结DB ，因为AB=AD ，∠BAD=60°，所以ABD ∆为正三角形，因为F 是AD 的中点，所以BF ⊥AD ．因为平面PAD ⊥平面ABCD ，BF ⊂平面ABCD ，平面PAD 平面ABCD=AD ，所以BF ⊥平面PAD ．又因为BF ⊂平面BEF ，所以平面BEF ⊥平面PAD ． 四、巩固练习：1. 如图,四棱锥P-ABCD 的底面为正方形,侧棱PA ⊥底面ABCD,且PA=AD=2,E,F,H 分别是线段PA,PD,AB 的中点.求证:(1)PB ∥平面EFH; (2)PD ⊥平面AHF.【解析】证明:建立如图所示的空间直角坐标系Axyz.所以A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2),E(0,0,1), F(0,1,1),H(1,0,0). (1)因为PB →=(2,0,-2),EH →=(1,0,-1), 所以PB →=2EH→,所以PB ∥EH.因为PB ⊈平面EFH,且EH 平面EFH,所以PB ∥平面EFH.(2)PD →=(0,2,-2),AH →=(1,0,0),AF →=(0,1,1), 所以PD →·AF →=0×0+2×1+(-2)×1=0, PD →·AH →=0×1+2×0+(-2)×0=0, 所以PD ⊥AF,PD ⊥AH. 又因为AF ∩AH=A, 所以PD ⊥平面AHF.2. 已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，P Q ，分别是BC CD ，上的动点，且2PQ =P Q ，的位置，使11QB PD ⊥．【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，设BP t =， 得22(2)CQ t --222(2)DQ t =--那么211(202)(022)(20)(22(2)20)B D P t Q t ---，，，，，，，，，，，，从而1(222)QB =-，，1(222)PD t =--，，， 由11110QB PD QB PD ⊥⇒=·，即2(2)401t t --+=⇒=． 故P Q ，分别为BC CD ，的中点时，11QB PD ⊥．3.如图，在多面体ABCDEF 中，底面ABCD 是边长为2的菱形，∠BAD ＝60°，四边形BDEF 是矩形，平面BDEF ⊥平面ABCD ，DE ＝2，M 为线段BF 的中点．(1)求M 到平面DEC 的距离及三棱锥M －CDE 的体积； (2)求证：DM ⊥平面ACE .【解析】(1)设AC ∩BD ＝O ，以O 为原点，OB 为x 轴，OC 为y 轴，过O 作平面ABCD 的垂线为z 轴，建立空间直角坐标系，则C (0，3，0)，D (－1,0,0)，E (－1,0,2)，M (1,0,1)， DE →＝(0,0,2)，DC →＝(1，3，0)，DM →＝(2,0,1)，∵DE →·DC →＝0， ∴DE ⊥DC ，∴S △DEC ＝12×DE ×DC ＝12×2×2＝2，设平面DEC 的法向量n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·DE →＝2z ＝0，n ·DC →＝x ＋3y ＝0，取x ＝3，得n ＝(3，－1,0)，∴M 到平面DEC 的距离h ＝|DM →·n ||n |＝233＋1＝3，∴三棱锥M －CDE 的体积V ＝13×S △CDE ×h ＝13×2×3＝233.(2)证明：A (0，－3，0)，AC →＝(0,23，0)，AE →＝(－1，3，2)， AC →·DM →＝0，AE →·DM →＝－2＋2＝0，∴AC ⊥DM ，AE ⊥DM ，∵AC ∩AE ＝A ，∴DM ⊥平面ACE .4．如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，AP ＝AB ＝2，BC ＝22，E ，F 分别是AD ，PC 的中点．证明：PC ⊥平面BEF ；∴PC BF ⋅=-2+4-2=0，PC EF ⋅=2+0-2=0∴PC ⊥BF ，PC ⊥EF ，BF ∩EF ＝F ，∴PC ⊥平面BEF .5．如图,在四棱锥P-ABCD 中,PA ⊥平面ABCD,PB 与底面所成的角为45°,底面ABCD 为直角梯形,∠ABC=∠BAD=90°,PA=BC=12AD=1,问在棱PD 上是否存在一点E,使CE ∥平面PAB?若存在,求出E 点的位置;若不存在,请说明理由.【解析】分别以AB,AD,AP 为x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系,所以P(0,0,1),C(1,1,0),D(0,2,0),设E(0,y,z),则PE →=(0,y,z-1),PD →=(0,2,-1),因为PE →∥PD →,所以y(-1)-2(z-1)=0,①因为AD →=(0,2,0)是平面PAB 的法向量,又CE →=(-1,y-1,z),CE ∥平面PAB,所以CE →⊥AD →,所以(-1,y-1,z)·(0,2,0)=0.所以y=1,代入①得z=12,所以E 是PD 的中点,所以存在E 点,当点E 为PD 中点时,CE ∥平面PAB.6. 如图所示，已知四棱锥P －ABCD 的底面是直角梯形，∠ABC ＝∠BCD ＝90°，AB ＝BC ＝PB ＝PC ＝2CD ，侧面PBC ⊥底面ABCD .证明：(1)PA ⊥BD ；(2)平面PAD ⊥平面PAB .【解析】证明 (1)取BC 的中点O ，连接PO ，△PBC 为等边三角形，即PO ⊥BC ，∵平面PBC ⊥底面ABCD ，BC 为交线，PO ⊂平面PBC ，∴PO ⊥底面ABCD .以BC 的中点O 为坐标原点，以BC 所在直线为x 轴，过点O 与AB 平行的直线为y 轴，OP 所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示.不妨设CD ＝1，则AB ＝BC ＝2，PO ＝ 3.∴A (1，－2，0)，B (1，0，0)，D (－1，－1，0)，P (0，0，3).∴BD →＝(－2，－1，0)，PA →＝(1，－2，－3).∵BD →·PA →＝(－2)×1＋(－1)×(－2)＋0×(－3)＝0，∴PA →⊥BD →，∴PA ⊥BD .(2)取PA 的中点M ，连接DM ，则M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－1，32. ∵DM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，32，PB →＝(1，0，－3)， ∴DM →·PB →＝32×1＋0×0＋32×(－3)＝0， ∴DM →⊥PB →，即DM ⊥PB .∵DM →·PA →＝32×1＋0×(－2)＋32×(－3)＝0， ∴DM →⊥PA →，即DM ⊥PA .又∵PA ∩PB ＝P ，PA ，PB ⊂平面PAB ，∴DM ⊥平面PAB .∵DM ⊂平面PAD ，∴平面PAD ⊥平面PAB .7.如图所示，在四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，A 1D ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是边长为1的正方形，侧棱A 1A ＝2.(1)证明：AC ⊥A 1B ；(2)是否在棱A 1A 上存在一点P ，使得AP →＝λPA 1→且面AB 1C 1⊥面PB 1C 1.【解析】 如图所示，以DA ，DC ，DA 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则D (0,0,0)，A (1，0,0)，C (0,1,0)，A 1(0,0，3)，B (1,1,0)，D 1(－1,0，3)，B 1(0,1，3)，C 1(－1,1，3)．(1)证明：AC →＝(－1,1,0)，A 1B →＝(1,1，－3)，∴AC →·A 1B →＝0，∴AC ⊥A 1B .(2)假设存在，∵AP →＝λPA 1→，∴P ⎝ ⎛⎭⎪⎫11＋λ，0，3λ1＋λ. 设平面AB 1C 1的一个法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，∵AB 1→＝(－1,1，3)，AC 1→＝(－2,1，3)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ n 1·AB 1→＝－x 1＋y 1＋3z 1＝0，n 1·AC 1→＝－2x 1＋y 1＋3z 1＝0.令z 1＝3，则y 1＝－3，x 1＝0.∴n 1＝(0，－3，3)．同理可求面PB 1C 1的一个法向量为n 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，3λ＋1，－1， ∴n 1·n 2＝0.∴－331＋λ－3＝0，即λ＝－4. ∵P 在棱A 1A 上，∴λ>0，矛盾．∴这样的点P 不存在．8. 在四棱锥P-ABCD 中,PD ⊥底面ABCD,底面ABCD 为正方形,PD=DC, E,F 分别是AB,PB 的中点.(1)求证:EF ⊥CD;(2)在平面PAD 内是否存在一点G,使GF ⊥平面PCB?若存在,求出点G 的坐标;若不存在,请说明理由.【解析】(1)证明:如图,以DA,DC,DP 所在直线分别为x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系,设AD=a,则D(0,0,0),A(a,0,0),B(a,a,0),C(0,a,0),E(a,a 2,0), P(0,0,a),F(a 2,a 2,a 2), EF →=(-a 2,0,a 2),DC →=(0,a,0). 因为EF →·DC →=0,所以EF →⊥DC →,即EF ⊥CD.(2)解:假设存在满足条件的点G, 设G(x,0,z),则FG →=(x-a 2,-a 2,z-a 2), 若使GF ⊥平面PCB,则由FG →·CB →=(x-a 2,-a 2,z-a 2)·(a,0,0)=a(x-a 2)=0,得x=a2; 由FG →·CP →=(x-a 2,-a 2,z-a 2)·(0,-a,a) =a 22+a(z-a 2)=0,得z=0.所以点G 的坐标为(a 2,0,0),即存在满足条件的点G,且点G 为AD 的中点.。