第五章公式推导 (1)

(36) cov[ I N (θ ) I N (ϕ )] ⎯⎯ ⎯ →
4π
2
∫ π ∫ π W [e
− − j( −ϕ ) 4
π
π
j(
w1 ]W [ w2 ] e σ
−θ ) j( −ϕ )
4
2 2 ⎡ ⎤ sin( θ + ϕ ) N / 2 sin( θ − ϕ ) N / 2 ⎢( dθ d ϕ ) +( )⎥ x⎢ ⎥ θ + ϕ θ − ϕ N sin( ) / 2 N sin( ) / 2 ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ 2 2
n=0 k =0
[ϕ 2 (m) +ϕ (k − n) + ϕ (k + m − n)ϕ (k − m − n)] xx xx xx xx
2
将上式代入到⒁式，经变量置换 r=k-n 后可得： N −|m|−1 N −|m|−1 2 2 1 ' Var[C xx (m)] = ∑ [ϕ (m) + ϕ (k − n) + ϕ (k + m − n)ϕ (k − m − n)] 2 ∑
第五章 若干表示式的推导——附页（附录）
③式的推导：
P xx(w) = P xx(− w) =
= lim
N −1
m =−∞
∑
∞
[lim
N −>∞ ∞
1 N
∑ x(n) x (n + m)]e
* n =0
N −1
jwn
1 − jwn * jw ( n + m ) [∑ x(n)e ][ ∑ x (n + m)e ] N −>∞ N n = 0 m =−∞ ∞ 1 N −1 − jwn − jwl * l =n+ m ⎯⎯⎯ → lim [∑ x(n)e ][ ∑ x (l )e ] N −>∞ N n=0 l =−∞ N −1 1 − jwn 2 = lim | ∑ x(n)e | N −>∞ N n =0 ③
（31）式得推导：
var[m x ] = E[
= 1
2
^
k
2
k ⎧ ⎫ ⎨ E[ x + x + ... + x ] + ∑∑ E[ x x ]⎬ − m ⎩ ⎭
x
2 2 k k 1 2 k i =1 i =1 i j
k i =1 j =1,i ≠ j
mxBiblioteka ^2]− E [
2
m
k
^
]=
1
2
E[( x1 + x 2 + ... + x k ) ] − m x
(N-|m|)
2
⎡ 2 (r) + (r + m)ϕ (r − m) ⎤ ϕ ϕ ⎢ ⎥ xx xx xx ⎣ ⎦ r =− ( N −|m|−1)
∑
⒂ （26）式的推导： ∞ 2 1 1 ∞ − jwl jw jw jwn * jw = 1 = = (w) ( ) ( ) (l) (m)e ∑ ∑ |X( )| e IN X X x x N e N e N N e N N N l=−∞ m =−∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 1 1 − jw (l − m) − jw (l − m) = ∑ ∑ x N (l) x N (m)e = ∑ ∑ R N (l)x(l)R N (m)x(m)e N l=−∞ m =−∞ N l=−∞ m =−∞
2 x
2
2
其中， ∑
∑
2
k
E [ x i x j ] = ∑ E[ x j ]
j =1
i =1,i ≠ j
∑ [ x ] = k m (k − 1)m = k m
2 i x x
k
2 x
− kmx
2
上式中，m x = E [ x i ] ， 则 k m x = k E [ x i ] ，拆成 k 个 E [ x i ] ，则可将上式写成：
N / 2 −1 n=0 N / 2 −1
∑
n=0
x(n)e
−j
2π (2 k +1/ 2) n N
+
N / 2 −1
∑
n=0
x(n + N / 2)e
− j 2π ( k +1/ 4)
w w [ e w w − e w w ] . e w w [e w w − e w w =e e w w [e w w − e w w ] e w w [e w w − e w w ⎡ e jN (w1+ w2) / 2 −e − jN (w1+ w2) / 2 ⎤ ⎡ sin(w1+ w2) N / 2 ⎤ = ⎢ j (w1+ w2) / 2 − − j (w1+ w2) / 2 ⎥ = ⎢ sin( + ) / 2 ⎥ e w1 w2 ⎦ ⎣ e ⎦ ⎣ w w = ⎡ sin(w1− w2) N / 2 ⎤ 同理， ∑∑ e ⎢ sin( − ) / 2 ⎥ w1 w2 ⎣ ⎦
l =−∞
m =−∞
R
2
N
(m)σ
4
x
e
− j(
w1− w2 )(l − m )}
⎧ 2 N −1 N −1 − j (l − m )( w1+ w 2 ) N −1 N −1 − j ( l − m )( w1− w2 ) ⎫ = σ x2 ⎨ N + ∑ ∑ e + ∑∑ e ⎬ l =0 m=0 l =0 m=0 ⎭ N ⎩
2
N
(w)] = σ x
4
（26）
2
其中 E[x(l)x(m)] =
1 N 2
σ
N
x
δ (l − m)
（27）式得推导： E[I ( w )I ( w )] 1 ⎯⎯ → ∑ ∑ ∑ ∑ R (l)R (m)R (k)R (n)E[x(l)x(m)x(k)x(n)]e w e w N 1 ⎯⎯→ ∑ ∑ ∑ ∑ R (l)R (m)R (k)R (n) {E[x(l)x(m)]E[x(k)x(n)] + E[x(l)x(k)]E[x(m)x(n)] + E[x(l)x(n)E[x(m)x (k)]} e N 1 = ∑ ∑ ∑ ∑ R (l)R (m)R (k)R (n) {ϕ (m − l)ϕ (n − k) + ϕ (k − l)ϕ (n − m) + ϕ (n − l)ϕ (k − m)} e w e w N (b)
1
2
∑ ∑
k =0
{E[ x(n) x(n + m)]E[ x(k ) x(k + m)]
+ E[ x(n) x(k )][ x(n + m) x(k + m)] + E[ x(n) x(k + m)]E[ x(n + m) x(k )]} =
N −|m|−1 N −|m|−1
( N −|m|)
∑ ∑
2
2
2
2
var[m x] = E[ x1 ] − E [ x1] + E[ x 2] − E [ x 2] + ... + E[ x k ] − E [ x k ] = 1
^
{
2
2
2
2
2
2
}
（31）
k
2
{σ + σ
2 1
+ ... + σ k = 2
2 2
}
1
k
2
kσ = σ k
2
2
=
var[ x i ] k
4
（c）
其中：
∑∑ e
l =0 m=0
− jN ( − j(
N −1 N −1
− j ( l − m )(
w1+ w2 ) =
jN ( j(
1
∑e
l =0
+
2 2
N −1
− jl (
w1+ w 2 )
− jN (
m=0
1
∑e
+
2 2
N −1
jm (
− jN ( w + w ) − jN ( + ) 1 2 1 − e w1 w 2 w1+ w2 ) = 1 − e . − j( + ) − j( + ) 1 − e w1 w 2 1 − e w1 w 2
(a ) ∞ ∞ ∞ ∞ −j
1
(l − m)
−j
2
(k − n )
2
l =−∞ m =−∞ k =−∞ n =−∞ ∞ ∞ ∞ ∞
N
N
N
(11)
−j
2
w 1(l − m)
l =−∞ m =−∞ k =−∞ n =−∞ ∞ ∞
N
N
N
N
e
−j
w 2 (k − n )
∞
∞
−j
1
(l − m)
−j
2
(k − n )
（41）式得推导： (35) a cov[ s xx( w1), s xx ( w2)] ⎯⎯⎯ → E {( s xx ( w1) − E[ s xx( w1)])( s xx ( w2) − E[ s xx ( w2)])} 其中，
→ ( s (w ) − E[s (w )] ⎯⎯⎯⎯ 2π ∫ π I
'
1
N −|m|−1 2 r =− ( N −|m|−1)
( N −|m|)
N −|m|−1 r =− ( N −|m|−1) N −|m|−1
∑
(N − | m | − | r |)[ϕ (r)+ϕ (r + m)ϕ (r − m)]