直线回归法的公式推导

回归直线法中a和b的公式巧妙记忆，保你6年不忘
1、先记住b
n∑XY 一∑X∑Y
b =
n∑XX 一∑X∑X
分子：我们就把X看作男人，Y看作女人，大家看“∑”像不像一个小房子？
一男一女在新房里面结婚就是∑XY，结婚当然有亲朋好友来祝贺，所以房子前面聚集了n多的人n∑XY 随着时间的推移，这两口子感情不和，闹离婚了，离婚当然就分开住了∑X∑Y，注意，离婚不是值得高兴的事，前面没有n个人了.分子大家记住了吧，就是结婚——离婚，
分母呢，就是把分子里面的Y换成X，这样b的方程就记住了。

2、再记住a
∑XX∑Y 一∑X∑XY
a =
n∑XX 一∑X∑X
分子：有两个男人在屋子里面搞同性恋，就是∑XX 隔壁呢住着一个单身女人∑Y 随着时间的推移，一个男人和隔壁那个女人搞上了，另一个男人独守空闺，就
变成了∑X∑XY，OK，这个过程就是同性恋——异性恋的过程.
至于分母，是和b分母一样的。

OVER，闭上眼睛回想一下，结婚——离婚，同性恋——异性恋，公式就这样记住了~。

回归直线方程公式详解及例题回归直线方程，听起来是不是有点严肃？这玩意儿就像是数学里的“小白兔”，看起来很复杂，但其实乍一看也不过是个简单的小家伙。

让咱们聊聊这个直线方程的由来，还有怎么用它解决问题。

说白了，就是用一条直线把一堆数据给“牵”起来，让我们看清楚它们之间的关系。

就像在赶集一样，把各种水果摆成一排，想要了解哪个最受欢迎。

这里，最常见的回归直线方程是y = mx + b。

听起来不算复杂吧？不过咱们慢慢来，不急。

y代表咱们要预测的东西，比如说，你想知道你的成绩和学习时间的关系，那y就可以是你的成绩；x就是你花在学习上的时间。

m，这个家伙叫做斜率，表示的是y和x之间的关系，简单来说就是学习时间每增加一个小时，成绩大概能提高多少分。

b则是当你啥都不做时，你的成绩是多少，这个也很重要，没错，人生不就是这么回事吗？想象一下，拿出一根铅笔和一张纸，把这些点点画出来。

每个点就代表了一次测量，比如说你在不同时间学习的成绩。

画得可真像一幅抽象画，虽然一开始没法看出什么，但如果仔细一看，就能发现某种趋势。

这就是回归分析的魔力，它能帮你找到这些点之间的规律。

慢慢地，这些点就会聚成一条线，给你展示出学习时间和成绩之间的关系。

再来聊聊如何计算这些参数。

有很多软件和工具可以帮你做这些。

但如果你想亲自尝试，手动计算也是个不错的选择。

先得算出这些数据的平均值，接着用这些平均值来计算m和b。

想象一下，m的计算就像是在算你朋友圈里哪个小伙伴总是抢着买单。

搞定这些，y = mx + b就能顺利出炉了。

说到这里，有些小伙伴可能会想，回归直线到底有什么用呢？这玩意儿其实是个超有用的工具。

比如说，商家可以用它预测销量，学校可以分析成绩趋势，甚至天气预报也会用到。

想想看，如果你知道晴天和下雨天的概率，你是不是就能提前决定穿哪双鞋？这不就是让生活更简单吗？回归直线也有它的局限性。

毕竟，生活可不是总那么简单。

数据点就像是小孩子一样顽皮，根本不愿意听话，完全不按常理出牌。

洋葱数学线性回归方程公式1．线性回归方程公式线性回归方程公式：b=（x1y1+x2y2+。

xnyn-nXY）/（x1+x2+。

xn-nX）。

线性回归方程公式求法：第一：用所给样本求出两个相关变量的（算术）平均值：x_=（x1+x2+x3+。

+xn）/ny_=（y1+y2+y3+。

+yn）/n第二：分别计算分子和分母：（两个公式任选其一）分子=（x1y1+x2y2+x3y3+。

+xnyn）-nx_Y_分母=（x1^2+x2^2+x3^2+。

+xn^2）-n*x_^2第三：计算b：b=分子/分母用最小二乘法估计参数b，设服从正态分布，分别求对a、b的偏导数并令它们等于零。

其中，且为观测值的样本方差。

线性方程称为关于的线性回归方程，称为回归系数，对应的直线称为回归直线。

顺便指出，将来还需用到，其中为观测值的样本方差。

先求x，y的平均值X，Y再用公式代入求解：b=（x1y1+x2y2+。

xnyn-nXY）/（x1+x2+。

xn-nX）后把x，y的平均数X，Y代入a=Y-bX求出a并代入总的公式y=bx+a得到线性回归方程（X为xi的平均数，Y为yi的平均数）2．线性回归方程的应用线性回归方程是回归分析中第一种经过严格研究并在实际应用中广泛使用的类型。

这是因为线性依赖于其未知参数的模型比非线性依赖于其位置参数的模型更容易拟合，而且产生的估计的统计特性也更容易确定。

线性回归有很多实际用途。

分为以下两大类：如果目标是预测或者映射，线性回归可以用来对观测数据集的和X的值拟合出一个预测模型。

当完成这样一个模型以后，对于一个新增的X值，在没有给定与它相配对的y的情况下，可以用这个拟合过的模型预测出一个y值。

给定一个变量y和一些变量X1，。

，Xp，这些变量有可能与y 相关，线性回归分析可以用来量化y与Xj之间相关性的强度，评估出与y不相关的Xj，并识别出哪些Xj的子集包含了关于y的冗余信息。

回归直线方程的三种推导方法下面将介绍回归直线方程的三种推导方法。

方法一：最小二乘法最小二乘法是最常用的回归直线方程推导方法。

它的基本思想是寻找一条直线，使得所有数据点到该直线的距离之和最小。

具体推导过程如下：1. 假设有 n 个数据点，表示为 (x1, y1), (x2, y2), ..., (xn, yn)。

2. 代入直线方程 y = ax + b，得到每个数据点的预测值 y_hat =ax + b。

3. 定义误差函数E = Σ(yi - y_hat)²，即每个数据点的实际值与预测值之差的平方之和。

4.求E的最小值，即求使误差函数最小化的a和b的值。

5.对E分别对a和b偏导，并令偏导数为零，得到两个方程：∂E/∂b = -2Σ(yi - axi - b) = 0∂E/∂a = -2Σ(xi(yi - axi - b)) = 06.解这两个方程，即可得到回归直线方程的斜率a和截距b。

方法二：几何推导法几何推导法是利用几何方法推导回归直线方程的方法。

具体推导过程如下：1. 假设有 n 个数据点，表示为 (x1, y1), (x2, y2), ..., (xn, yn)。

2.在坐标系中绘制这n个数据点。

3.寻找一条直线，使得所有数据点到该直线的距离之和最小。

4.使用垂直距离作为距离的度量，即对于每个数据点，找到它到直线的垂直距离d。

这可以通过计算直线的斜率a和截距b，然后使用点到直线的距离公式来求解。

5.定义误差函数E=Σd²，即每个数据点到直线的垂直距离之和。

6.求E的最小值，即求使误差函数最小化的a和b的值。

7.求解斜率a和截距b。

方法三：代数推导法代数推导法是另一种推导回归直线方程的方法。

具体推导过程如下：1. 假设有 n 个数据点，表示为 (x1, y1), (x2, y2), ..., (xn, yn)。

2. 定义误差函数E = Σ(yi - axi - b)²，即每个数据点的实际值与预测值之差的平方之和。

第22讲 回归直线方程一、必备秘籍 1．两个变量线性相关(1)散点图：将样本中n 个数据点(,)i i x y (i ＝1,2，…，n )描在平面直角坐标系中得到的图形． (2)正相关与负相关①正相关：散点图中的点散布在从左下角到右上角的区域． ②负相关：散点图中的点散布在从左上角到右下角的区域． 2．回归直线的方程(1)回归直线：如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线．(2)回归方程：回归直线对应的方程叫回归直线的方程，简称回归方程． (3)回归方程的推导过程：①假设已经得到两个具有线性相关关系的变量的一组数据11(,)x y ,22(,)x y ,33(,)x y (,)n n x y ．②设所求回归方程为y bx a =+，其中,a b 是待定参数． ③由最小二乘法得1122211()(),()nnii i ii i nniii i xx y y x ynx yb a y bx xx xnx ====---===---∑∑∑∑其中，b 是回归方程的斜率，a 是截距． 二、例题讲解1．（2021·哈尔滨市呼兰区第一中学校高三模拟预测（文））十三届全国人大三次会议表决通过了《中华人民共和国民法典》这部法律自2021年1月1日起施行，某市相关部门进行法律宣传，某宣传小分队记录了前5周每周普及宣传的人数与时间的数据，得到下表：（2）利用（1）的回归方程，预测该宣传小分队第7周普及宣传（民法典）的人数．参考公式及数据：回归方程ˆˆˆybx a =+中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为()()()121ˆniii nii x x y y b x x ==--=-∑∑，ˆa y bx=-，()()51430i ii x x y y =--=∑.【答案】（1）4341y x =+；（2）预测该宣传小分队第7周普及宣传《民法典》的人数为342． 【分析】（1）求出x 、y 的值，将表格中的数据代入最小二乘法公式，求出b 、a 的值，可得出y 关于x 的线性回归方程；（2）将7x =代入回归直线方程，可得出结果. 【详解】（1）由题意得()11234535x =++++=，()1901201702102601705y =++++=， ()()()()()()52222221132333435310ii x x =-=-+-+-+-+-=∑，所以()()()51521430ˆ4310iii ii x x y y bx x ==--===-∑∑，所以ˆ17043341a y bx=-=-⨯=， 所以线性回归方程为4341y x =+；（2）由（1）知4341y x =+，令7x =，解得43741342y =⨯+=， 故预测该宣传小分队第7周普及宣传《民法典》的人数为342．2．（2021·合肥市第六中学高三模拟预测（文））树木根部半径与树木的高度呈正相关，即树木根部越粗，树木的高度也就越高.某块山地上种植了A 树木，某农科所为了研究A 树木的根部半径与树木的高度之间的关系，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取6棵A 树木，调查得到A 树木根部半径x (单位：米)与A 树木高度y (单位：米)的相关数据如表所示：（2）对（1）中得到的回归方程进行残差分析，若某A 树木的残差为零则认为该树木“长势标准”，在此片树木中随机抽取1棵A 树木，估计这棵树木“长势标准”的概率.参考公式：回归直线方程为y bx a =+，其中()()()1122211n ni iiii i b nnixii i x y nxy x x y y xnx x ==-==---==--∑∑∑∑，a y bx =-.【答案】（1）ˆ 20.9y x =+；（2）12【分析】（1）由最小二乘法先求样本点中心(),x y ，再代入公式求ˆ2b=，即可得到答案；（2）先计算6棵A 树木中残差为零的有3棵，占比为3162=，即可得到答案； 【详解】（1）由1(0.10.20.30.40.50.6)0.356x =⨯+++++=，1(1.1 1.3 1.6 1.5 2.0 2.1) 1.66y =⨯+++++=，610.1 1.10.2 1.30.3 1.60.4 1.50.5 2.00.6 2.1 3.71i ii x y==⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=∑，6222222210.10.20.30.40.50.60.91ii x==+++++=∑，有62261216 3.7160.35 1.6ˆ20.9160.356i ii ii x yxybxx ==--⨯⨯===-⨯-∑∑，ˆˆ 1.6020.350.9ay bx =-=-⨯=， 故y 关于x 的回归方程为：ˆ 20.9yx =+. （2）当0.1x =时，ˆ20.10.9 1.1y=⨯+=，残差为1.1 1.10-=， 当0.2x =时，ˆ20.20.9 1.3y=⨯+=，残差为1.3 1.30-=， 当0.3x =时，ˆ20.30.9 1.5y=⨯+=，残差为1.6 1.50.1-=， 当0.4x =时，ˆ20.40.9 1.7y=⨯+=，残差为1.5 1.70.2-=-， 当0.5x =时，ˆ20.50.9 1.9y=⨯+=，残差为2.0 1.90.1-=， 当0.6x =时，ˆ20.60.9 2.1y=⨯+=，残差为2.1 2.10-=， 由这6棵A 树木中残差为零的有3棵，占比为3162=，∴这棵树木“长势标准”的概率为12.1．（2021·湖南师大附中高三月考）今年五月，某医院健康管理中心为了调查成年人体内某种自身免疫力指标，从在本院体检的人群中随机抽取了100人，按其免疫力指标分成如下五组：(10,20],(20,30],(30,40],(40,50],(50,60]，其频率分布直方图如图1所示．今年六月，某医药研究所研发了一种疫苗，对提高该免疫力有显著效果．经临床检测，将自身免疫力指标比较低的成年人分为五组，各组分别按不同剂量注射疫苗后，其免疫力指标y 与疫苗注射量x 个单位具有相关关系，样本数据的散点图如图2所示．（1）健管中心从自身免疫力指标在(40,60]内的样本中随机抽取3人调查其饮食习惯，记X 表示这3人中免疫力指标在(40,50]内的人数，求X 的分布列和数学期望；（2）由于大剂量注射疫苗会对身体产生一定的副作用，医学部门设定：自身免疫力指标较低的成年人注射疫苗后，其免疫力指标不应超过普通成年人群自身免疫力指标平均值的3倍．以健管中心抽取的100人作为普通人群的样本，据此估计疫苗注射量不应超过多少个单位．附：对于一组样本数据()()()1122,,,,,,n n x y x y x y ⋅⋅⋅，其回归直线ˆybx a =+的斜率和截距的最小二乘估计值分别为()()()1122211,nniii ii i nniii i x x yy x ynxyb a y bx x xxnx ====---===---∑∑∑∑． 【答案】（1）分布列见解析，125；（2）疫苗注射量不应超过80个单位． 【分析】（1）根据频率分布直方图分别求出自身免疫力指标在(40,50]内和在(50,60]内的人数，写出X 的可能取值，求出对应概率，即可写出分布列，再根据期望公式即可求得数学期望；（2）根据最小二乘法求得回归方程，然后求出免疫力指标的平均值，根据题意列出不等式，从而可得答案. 【详解】解：（1）由直方图知，自身免疫力指标在(40,50]内的人数为0.008101008⨯⨯=，在(50,60]内的人数为0.002101002⨯⨯=，则X 的可能取值为1，2，3．其中122130828282233101010177(1),(2),(3)151515C C C C C C P X P X P X C C C =========．所以X 的分布列为()7121231515155E X =⨯+⨯+⨯=． （2）由散点图知，5组样本数据(,)x y 分别为(10,30),(30,50),(50,60),(70,70),(90,90)，且x 与y 具有线性相关关系． 因为50,60x y ==，则22222210303050506070709090550607103050709055010b ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯-⨯⨯==++++-⨯，760502510a =-⨯=，所以回归直线方程为ˆ0.725yx =+． 由直方图知，免疫力指标的平均值为26402482152535455527100100100100100⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=． 由27381ˆy≤⨯=，得0.72581x +≤，解得80x ≤． 据此估计，疫苗注射量不应超过80个单位．2．（2021·安徽师范大学附属中学（理））根据国际疫情形势以及传染病防控的经验，加快新冠病毒疫苗接种是当前有力的防控手段，我国正在安全、有序加快推进疫苗接种工作，某乡村采取通知公告、微信推送、广播播放、条幅宣传等形式，积极开展疫苗接种社会宣传工作，消除群众疑虑，提高新冠疫苗接种率，让群众充分地认识到了疫苗接种的重要作用，自宣传开始后村干部统计了本村200名居民（未接种）的一个样本，5天内每天新接种疫苗的情况，如下统计表：（2）假设全村共计2000名居民（均未接种过疫苗），用样本估计总体来预测该村80%居民接种新冠疫苗需要几天？参考公式：回归方程y bx a =+中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：1221ˆi ii nii x ynxybxnx π==-=-∑∑，ˆˆay bx =-． 【答案】（1）222955y x =+；（2）7． 【分析】（1）根据公式求线性回归方程即可； （2）根据线性回归方程可设222955n a n ，求出67,S S ，与200080%1600⨯=比较即可求解. 【详解】 （1）1234535x ++++==，1015192328195y ++++==，则51522222222110305792140531922ˆ12345535i ii ii x y nxybxnx ==-++++-⨯⨯===++++-⨯-∑∑，222919355ˆa =-⨯=， 故y 关于x 的线性回归方程222955y x =+． （2）设222955na n ，数列{}n a 的前n 项和为n S ，易知数列{}n a 是等差数列， 则()12222922291155558225n n n a a S n n n n⎛⎫+++ ⎪+⎝⎭=⋅=⋅=+， 因为6127.2S ，7163.8S ， 所以6101272S =，7101638S =200080%1600⨯=（人），所以预测该村80%居民接种新冠疫苗需要7天．3．（2021·九龙坡·重庆市育才中学高三月考）随着城市规模的扩大和人们生活水平的日益提高，某市近年机动车保有量逐年递增.根据机动车管理部门的统计数据，以5年为一个研究周期，得到机动车每5年纯增数据情况为：其中，时间变量i 对应的机动车纯增数据为i ，且通过数据分析得到时间变量与对应的机动车纯增数量y （单位：万辆）具有线性相关关系.（1）求机动车纯增数量y （单位：万辆）关于时间变量x 的回归方程，并预测2025~2030年间该市机动车纯增数量的值；附：回归直线方程y bx a =+中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：()()()1122211n ni iiii i nniii i x y nx y x x y y b xnxx x ====-⋅--==--∑∑∑∑；a y bx =-.（2）该市交通管理部门为了了解市民对“单双号限行”的赞同情况，随机采访了200名市民，将他们的意见和是否拥有私家车情况进行了统计，得到如下的22⨯列联表：附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，n a b c d =+++.【答案】（1） 5.7 5.1y x =-，2025~2030年间，机动车纯增数量的值约为34.8万辆；（2）没有95%的把握认为“对限行的意见与是否拥有私家车有关”. 【分析】（1）根据最小二乘法求得线性回归方程，再求估计值即可； （2）根据列联表求得卡方观测值，再对照表即可得解. 【详解】 （1）由 51132639415527237i ii x y=⨯+⨯+⨯+=⨯+⨯=∑.()12222222212375312575.755451234553ni ii ni i x y nx yb x nx==-⋅-⨯⨯====-++++-⨯-∑∑. 因为y bx a =+过点(),x y ，所以 5.7y x a =+，5.1a =-，所以 5.7 5.1y x =-.2025~2030年时，7x =，所以 5.77 5.134.8y =⨯-=， 所以2025~2030年间，机动车纯增数量的值约为34.8万辆.（2）根据列联表，由()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++得观测值为()2220025 3.12510085251575100160084K ⨯⨯-⨯⨯=⨯⨯==，3.125 3.841<，所以没有95%的把握认为“对限行的意见与是否拥有私家车有关”.4．（2021·贵州贵阳·高三月考（理））据贵州省气候中心报，2021年6月上旬，我省降水量在15.2-170.3mm 之间，毕节市局地、遵义市北部、铜仁市局地和黔东南州东南部不足50mm ，其余均在50mmm 以上，局地超过100mm.若我省某地区2021年端午节前后3天，每一天下雨的概率均为50%.通过模拟实验的方法来估计该地区这3天中恰好有2天下雨的概率，利用计算机或计算器可以产生0到9之间取整数值的随机数x （x ∈N ，且09x ≤≤）表示是否下雨：当[]()0,x k k Z ∈∈时表示该地区下雨，当[]1,9x k ∈+时，表示该地区不下雨.因为是3天，所以每三个随机数作为一组，从随机数表中随机取得20组数如下: 332 714 740 945 593 468 491 272 073 445 992 772 951 431 169 332 435 027 898 719（1）求出k 的值，使得该地区每一天下雨的概率均为50%；并根据上述20组随机数估计该地区这3天中恰好有2天下雨的概率；（2）2016年到2020年该地区端午节当天降雨量（单位:mm ）如表：回归直线方程y bt a =+.并预测该地区2022年端午节有降雨的话，降雨量约为多少？参考公式：()()()1122211nniii ii i nniii i tty y t y nt yb tttnt====---==--∑∑∑∑，a y bt =-.【答案】（1）4， 25；（2）814955y t =-+，935mm ．【分析】（1）由于该地区每一天下雨的概率均为50%，所以150%10k +=，从而可求出k 的值，在所给的20组数据中找出有两天小于等于k 的数，从而利用古典概型的概率公式可求出概率，（2）直接利用所给的数据和公式求出回归直线方程。

回归直线法a,b的计算公式
公式是b=(n∑xiyi-∑xi·∑yi)÷[n∑xi2-(∑xi)^2]，a=[(∑xi^2)∑yi-∑xi·∑xiyi]÷[n∑xi^2-(∑xi)^2]，其中xi、yi代表已知的观测点。

另有一种求a和b的“简捷”，其公式是：b=(n∑xy-∑x·∑y)，回归直线法是根据若干期业务量和资金占用的历史资料，运用最小平方法原理计算不变资金a 和单位产销量所需变动资金b。

相关信息：
回归直线方程指在一组具有相关关系的变量的数据（x与Y）间，一条最好地反映x与y之间的关系直线。

离差作为表示Xi对应的回归直线纵坐标y与观察值Yi的差，其几何意义可用点与其在回归直线竖直方向上的投影间的距离来描述。

数学表达:Yi-y^=Yi-a-bXi.
总离差不能用n个离差之和来表示，通常是用离差的平方和，即(Yi-a-bXi)^2计算。

回归直线方程的三种推导方法 巴州二中母润萍回归直线方程是新课改新增内容之一，在必修数学3中对两个具有线性相关关系的变量利用回归分析的方法进行了研究，书中直接给出了回归直线方程系数的公式，在选修2-3中给出了回归直线方程的截距和斜率的最小二乘法估计公式的另一种形式的推导方法，根据所学知识，我总结了3种推导回归直线方程的方法：设x 与y 是具有线性相关关系的两个变量，且相应于样本的一组观测值的n 个点的坐标分别是：112233()()()()n n x y x y x y x y ，，，，，，，，，设所求的回归方程为i i y bx a =+，(123)i n =，，，，．显然，上面的各个偏差的符号有正、有负，如果将他们相加会相互抵消一部分，因此他们的和不能代表n 个点与回归直线的整体上的接近程度，因而采用n 个偏差的平方和Q 来表示n 个点与相应直线（回归直线）在整体上的接近程度，即Q =∑(y i −y i ̂)2ni=1=∑(y i −bx i −a )2ni=1求出当Q 取最小值时的a b ，的值，就求出了回归方程． 下面给出回归方程的推导方法一：一、先证明两个在变形中用到的公式公式（一）22211()nni ii i x x x nx ==-=-∑∑，其中12nx x x x n +++=证明：2222121()()()()ni n i x x x x x x x x =-=-+-++-∑∵22221212()2n n x x x x x x nxnxn+++=+++-+222222222212121()2()nnni i x x x nx nx x x x x nx==+++-+=+++=-∑22211()nni i i i x x x nx==-=-∑∑∴．公式（二）11()()nnii i i i i xx y y x y nx y==--=-∑∑证明：11221()()()()()()()()ni i n n i x x y y x x y y x x y y x x y y =--=--+--++--∑∵11221122()()n n n n x y x y x y x y y x x y y x x y y x nx y=+++-+++++++12121[()()]ni i n n i x y x x x y y y y x nx y==-++++++++∑12121()()n n n i i i x x x y y y x y n y x nx y n n=++++++⎡⎤=-++⎢⎥⎣⎦∑112nni i i i i i x y nxy nxy x y nxy===-+=-∑∑，11()()nni i i i i i x x y y x y nx y==--=-∑∑∴．二、推导：将Q 的表达式的各项先展开，再合并、变形 2222112233()()()()n n Q y bx a y bx a y bx a y bx a =--+--+--++--2222121122()[2()2()]n y y y y bx a y bx a =+++-+++展开222211111222n n nnni i i i ii i i i i i y b x y a y bxab x na ======--+++∑∑∑∑∑合并同类项22221111122nnii n n ni i i i i i i i i y x na na b b x b x y y nn =====⎛⎫ ⎪ ⎪=--+-+ ⎪ ⎪⎝⎭∑∑∑∑∑以a b ，的次数为标准整理22221112()2nn nii i i i i i na na y bx bxb x y y ====--+-+∑∑∑转化为平均数x y，22222111[()]()2nnnii i i i i i n a y bx n y bx bxb x y y ====----+-+∑∑∑配方法2222222111[()]22nnnii i i i i i n a y bx ny nbxy nb x bxb x y y ====---+-+-+∑∑∑展开222222111[()]()2()()nnni i i i i i i n a y bx b x nx b x y nxy y ny ====--+---++∑∑∑整理2222111[()]()2()()()nnnii i i i i i n a y bx bxx b x x y y y y ====--+----+-∑∑∑用公式（一）、（二）变形22212111()()[()]()()()ni i n ni i i nii i i x x y y n a y bx x x b y y x x ====⎡⎤--⎢⎥⎢⎥=--+--+-⎢⎥-⎢⎥⎣⎦∑∑∑∑配方22212212211111()()()()()()()()()nni i i i n n i i i i n ni i i i i x x y y x x y y n a y bx x x b y y x x x x ======⎡⎤⎡⎤----⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎢⎥=--+---+-⎣⎦⎢⎥--⎢⎥⎣⎦∑∑∑∑∑∑配方法在上式中，共有四项，后两项与a b ，无关，为常数；前两项是两个非负数的和，因此要使得Q 取得最小值，当且仅当前两项的值都为0．所以b =∑(x i −x̅)(y i −y ̅)n i=1∑(x i−x̅)2n i=1 a ＝y ̅−bx̅ 或1221ni ii n i i x ynxyb x nx==-=-∑∑用公式（一）、（二）变形得上述推导过程是围绕着待定参数a b ，进行的，只含有i i x y ，的部分是常数或系数，用到的方法有： ① 配方法，有两次配方，分别是a 的二次三项式和b 的二次三项式； ② 形时，用到公式（一）、（二）和整体思想； ③ 用平方的非负性求最小值．④ 实际计算时，通常是分步计算：先求出x y，，再分别计算1()()nii i xx y y =--∑，21()nii xx =-∑或1ni ii x ynx y=-∑，221nii xnx=-∑的值，最后就可以计算出a b ，的值．推导方法二：Q =∑(y i −y i ̂)2ni=1=∑(y i −bx i −a )2ni=1=∑[y i −bx i −(y ̅−bx̅)+(y ̅−bx̅)−a ]2ni=1=∑{[y i −bx i −(y ̅−bx̅)]2+2[y i −bx i −(y ̅−bx̅)]∗[(y ̅−bx̅)−a ]+[(y ̅−bx̅)−a ]2}ni=1=∑[y i −bx i −(y ̅−bx̅)]2+2∑[y i −bx i −(y ̅−bx̅)]∗[(y ̅−bx̅)−a ]ni=1+n (y ̅−bx̅−a )2ni=1注意到∑[y i −bx i −(y ̅−bx̅)]∗[(y ̅−bx̅)−a ]=(y ̅−bx̅−a )∑[y i −bx i −(y ̅−bx̅)]ni=1ni=1=(y ̅−bx̅−a )[∑y i −b ∑x i −n (y ̅−bx̅)ni=1n i=1]=(y ̅−bx̅−a )[ny ̅−nbx̅−n (y ̅−bx̅)]=0因此，Q =∑[y i −bx i −(y̅−bx̅)]2+n (y ̅−bx̅−a )2n i=1 =b 2∑(x i −x̅)2ni=1−2b ∑(x i −x̅)(y i −y ̅)+∑(y i −y ̅)2ni=1ni=1+n (y ̅−bx̅−a )2=n (y ̅−bx̅−a )2+∑(x i −x̅)2[b −∑(x i −x̅)(y i −y ̅)n i=1∑(x i −x̅)2n i=1]2ni=1−[∑(x i −x̅)(y i −y ̅)n i=1]2∑(x i −x̅)2n i=1+∑(y i −y ̅)2ni=1在上式中，后面两项和a,b 无关，前两项为非负数，因此，要使Q 达到最小值，当且仅当前两项均为0，即有b =∑(x i −x̅)(y i −y ̅)n i=1∑(x i −x̅)2n i=1a ＝y ̅−bx̅ 总结：这种方法难想到为什么要这样处理，并且计算量很大。

会计回归直线法公式全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：在会计学中，回归直线法是一种用于确定两个或多个变量之间关系的方法。

回归直线法可以帮助会计师们分析数据，预测未来趋势，并做出决策。

本文将介绍会计回归直线法的公式以及如何应用这一方法。

回归直线法的基本公式为：Y = a + bX，其中Y表示因变量（被解释变量），X表示自变量（解释变量），a为截距，b为斜率。

该公式描述了变量Y如何随着变量X的变化而变化。

在会计学中，回归直线法常常用于预测未来的销售额、成本、利润等。

通过分析历史数据，会计师可以确定变量Y和X之间的关系，然后利用回归直线法的公式来预测未来的数值。

在实际应用中，会计师可以使用统计软件如Excel或SPSS来进行回归分析。

通过输入相关数据并运行回归分析功能，可以得到最佳拟合直线的截距和斜率，从而进行未来预测。

除了用于预测未来趋势，回归直线法还可以用于检验两个变量之间的关系是否显著。

通过计算回归系数的显著性水平，可以确定两个变量之间的关系是否具有统计学意义。

需要注意的是，在使用回归直线法进行分析时，要确保数据质量高，避免数据的误差和偏差对结果的影响。

此外，还需要考虑变量之间可能存在的多重共线性和异方差性等问题，以确保分析结果的准确性。

总的来说，回归直线法是会计学中一种重要的分析方法，能够帮助会计师们理解数据之间的关系，预测未来趋势，并做出有效的决策。

通过掌握回归直线法的基本原理和公式，会计师可以更好地应用这一方法，提升自己的分析能力和决策水平。

【字数不足，继续增加内容】。

在实际应用中，回归直线法还可以应用于成本控制和风险管理等领域。

通过分析成本和销售量之间的关系，企业可以控制成本，提升盈利能力。

而在风险管理方面，通过回归直线法的分析，企业可以预测未来的市场变化和风险，并采取相应的风险管理措施。

总的来说，回归直线法是会计学中一种重要的分析方法，具有广泛的应用价值。

通过掌握回归直线法的基本原理和公式，会计师可以更好地理解数据，做出准确的决策，并提升企业的竞争力。

直线回归相关系数r计算公式在我们的数学世界里，直线回归相关系数r 可是个相当重要的家伙！它就像是一个神奇的小魔杖，能帮我们揭示出两个变量之间线性关系的紧密程度。

先来说说直线回归相关系数 r 的计算公式，那就是：\[r = \frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})(y_i -\bar{y})}{\sqrt{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2 \sum_{i=1}^{n} (y_i -\bar{y})^2}}\]哎呀，这一串公式看起来是不是有点让人头疼？别担心，咱们来慢慢拆解它。

就拿我之前教过的一个班级的学生成绩来说吧。

有一次考试，我们统计了数学成绩（x）和物理成绩（y），想看看这两门学科成绩之间的关系。

先算出数学成绩的平均值 \(\bar{x}\) 和物理成绩的平均值\(\bar{y}\) 。

然后把每一个同学的数学成绩减去数学平均成绩，物理成绩减去物理平均成绩，再把它们两两相乘并求和，这就是分子。

分母呢，就是数学成绩与平均值差值的平方求和，再乘以物理成绩与平均值差值的平方求和，然后开根号。

比如说，有个叫小明的同学，数学考了 85 分，全班数学平均成绩是 75 分，他的物理考了 70 分，全班物理平均成绩是 65 分。

那么对于小明，\((85 - 75)(70 - 65) = 50\) 。

就这样把每个同学的这个值都算出来再相加，就是分子。

通过这个公式算出来的 r 值，如果接近 1 ，那就说明这两个变量之间有很强的正相关关系，就好像是手牵手一起向前跑的好朋友；如果接近 -1 ，那就是很强的负相关关系，像是在拔河比赛中往相反方向用力的对手；要是接近 0 ，那这两个变量之间的线性关系就比较弱啦，就像只是偶尔碰面打个招呼的路人。

在实际应用中，直线回归相关系数r 可有用啦！比如说在经济学里，研究收入和消费的关系；在医学里，看看某种药物的剂量和疗效的关联；在农业中，瞧瞧施肥量和农作物产量的联系。

回归直线法公式口诀回归直线法这玩意儿，听起来是不是有点让人头大？别慌，让我来给您念叨念叨这其中的公式口诀，保证让您能轻松拿下它！先来说说回归直线法到底是个啥。

您就想象啊，咱们生活中有好多数据，比如说学生的学习时间和考试成绩，或者是气温和用电量之类的。

这些数据看起来好像没啥规律，但其实它们之间存在着一种隐隐约约的关系。

回归直线法就是要找出这条隐藏在数据背后的“线”，来帮助我们预测未来的情况。

那回归直线法的公式是啥呢？这公式就像是一把神奇的钥匙，能打开数据背后的秘密之门。

公式是：y = a + bx 。

这里的 y 是我们要预测的那个值，x 是已知的数据，a 和 b 就是咱们要算出来的关键系数。

算a 和b 可有点麻烦，不过别怕，有口诀帮忙！“求和乘积要分清，平方求和别放松。

分母分子细计算，回归直线在心中。

” 这口诀听起来有点玄乎，我给您详细解释解释。

先说“求和乘积要分清”。

咱们得先把 x 的总和、y 的总和、x 乘 y的总和都算出来，这可不能马虎，一个数算错了，后面可就全乱套啦。

“平方求和别放松”呢，就是要把 x 的平方的总和也给算清楚。

这一步可不能偷懒，要不然得出的结果可就不准喽。

“分母分子细计算”，这就是关键中的关键啦。

分子是 x 乘 y 的总和减去 x 的总和乘以 y 的总和，分母是 x 的平方的总和减去 x 的总和的平方。

算的时候可得瞪大眼睛，小数点啥的都得看准咯。

我记得之前教过一个班，里面有个叫小李的同学，怎么都搞不明白这回归直线法。

我就拿他们班的考试成绩和平时作业完成时间做例子，一点点给他算，一点点给他讲。

一开始他那迷茫的小眼神，看得我都着急。

但我没放弃，一遍不行两遍，两遍不行三遍。

终于，在我讲到第五遍的时候，他眼睛突然一亮，大喊一声：“老师，我懂啦！”那一刻，我心里那个美呀，比自己考了满分还高兴。

算好了 a 和 b ，把它们代回到公式里，这条回归直线就算是被咱们给“揪”出来啦。

有了这条线，就可以根据新的 x 值，预测出对应的 y 值。

直线回归法的公式推导直线回归（Linear Regression）是一种用于建立线性关系模型的统计方法。

它通过对数据集进行拟合，找到一条最优的直线来描述自变量和因变量之间的关系。

在实际应用中，直线回归常被用于预测和解释因变量的变化。

假设我们有一个数据集包含n个样本点，每个样本点由(x,y)坐标表示。

我们的目标是找到一条直线y=β₀+β₁x，使得最小化观测值y与预测值（直线上的点）之间的误差。

首先，我们定义误差e_i为观测值y_i与预测值的差异：e_i=y_i-(β₀+β₁x_i)为了找到最佳的直线，我们希望最小化所有样本点的误差的平方和SSR（Sum of Squared Residuals）：SSR=Σ(e_i)²=Σ(y_i-(β₀+β₁x_i))²为了最小化SSR，我们需要求解β₀和β₁的最优解。

我们可以通过最小二乘法来求解。

最小二乘法的思想是通过最小化误差的平方和来估计未知参数。

为了实现这一点，我们首先对SSR对β₀和β₁求偏导数，并令偏导数为零，得到最佳拟合直线的参数估计。

对β₀求偏导数，令偏导数为零：∂SSR/∂β₀=-2Σ(y_i-(β₀+β₁x_i))=0对β₁求偏导数，令偏导数为零：∂SSR/∂β₁=-2Σx_i(y_i-(β₀+β₁x_i))=0通过代数运算，我们可以得到β₀和β₁的估计公式：β₁=(Σ(x_i-x̄)(y_i-ȳ))/Σ(x_i-x̄)²其中，x̄和ȳ分别表示自变量和因变量的平均值。

β₀=ȳ-β₁x̄这样，我们可以得到最佳拟合直线的方程。

当我们获得了β₀和β₁的估计值后，我们就可以用这个估计的线性关系模型进行预测。

对于一个新的自变量值x_new，通过简单地将其代入直线方程，我们可以计算出相应的预测值y_new:y_ne w = β₀ + β₁x_new最后，我们可以使用一些统计指标来评估模型的拟合程度和预测精度。

常用的指标包括均方误差（Mean Squared Error）、决定系数（Coefficient of Determination）等。

线性回归直线方程公式解题方法是什么线性回归建模直线观察到的数据通过使用一个线性方程变量之
间的关系是一种方法，下文是回归直线方程公式及解题方法，快来参考吧！回归直线方程公式线性回归方程公式：
b=(x1y1+x2y2+...xnyn-nXY)/(x1+x2+...xn-nX)。

回归直线方程指在一组具有相关关系的变量的数据（x与Y）间，一条最好地反映x与y 之间的关系直线。

离差作为表示Xi对应的回归直线纵坐标y与观察值Yi的差，其几何意义可用点与其在回归直线竖直方向上的投影间的距离来描述。

数学表达:Yi-y–Yi-a-bXi.总离差不能用n个离差之和来表示，通常是用离差的平方和，即(Yi-a-bXi) 计算。

线性回归方程怎么解第一：用所给样本求出两个相关变量的(算术）平均值第二：分别计算分子和分母：（两个公式任选其一）分子第三：计算b：b=分子/分母用最小二乘法估计参数b,设服从正态分布,分别求对a、b的偏导数并令它们等于零。

先求x,y的平均值X,Y再用公式代入求
解:b=(x1y1+x2y2+...xnyn-nXY)/(x1+x2+...xn-nX)后把x,y的平均数X，Y代入a=Y-bX求出a并代入总的公式y=bx+a得到线性回归方程(X 为xi的平均数，Y为yi的平均数)。

会计回归直线法公式
会计回归直线法是一种用于确定成本函数或者其他业务关系的
方法。

它通过拟合一条直线来描述两个或多个变量之间的关系。

公
式可以表示为：
Y = a + bX.
其中，Y表示因变量（通常是成本），X表示自变量（通常是产
量或者其他业务活动的量），a表示截距，b表示斜率。

这个公式表
示了自变量X对因变量Y的影响，斜率b表示了单位自变量变化对
因变量变化的影响，截距a表示了当自变量为0时，因变量的值。

在会计回归直线法中，通过收集数据，利用最小二乘法来估计
出最符合数据的直线方程，从而可以预测未来的成本或者业务关系。

这种方法在成本控制和预测中具有重要的应用，能够帮助企业更好
地理解业务活动之间的关系，从而做出更准确的决策。

除了公式本身，还需要考虑回归分析的假设条件、参数估计的
方法、残差分析等内容，这些都是会计回归直线法中需要全面理解
和考虑的内容。

希望这个回答能够满足你的要求。

回归直线公式记忆回归直线公式是数学中的一个重要概念，用于描述两个变量之间的线性关系。

在统计学和机器学习等领域，回归分析是一种常用的方法，而回归直线公式则是回归分析的基础。

回归直线公式可以表示为y = ax + b，其中y是因变量，x是自变量，a和b分别是斜率和截距。

斜率a表示因变量y随自变量x的变化率，截距b表示当自变量x为0时，因变量y的取值。

通过回归直线公式，我们可以预测因变量的值，或者根据自变量的值来推断因变量的变化。

回归直线公式的意义在于描述了两个变量之间的线性关系。

在实际问题中，我们经常需要分析变量之间的关系，并进行预测和推断。

回归直线公式可以帮助我们理解这种关系，并提供一种简洁的方式来进行预测和推断。

在回归分析中，选择合适的回归直线公式是非常重要的。

通常情况下，我们会通过最小二乘法来确定回归直线的斜率和截距。

最小二乘法是一种常用的拟合方法，它通过最小化残差平方和来选择最优的回归直线。

回归直线公式的应用非常广泛。

在经济学中，回归直线公式可以用来研究经济变量之间的关系，如GDP和失业率之间的关系。

在社会科学中，回归直线公式可以用来研究人口统计学数据和社会现象之间的关系，如教育水平和收入的关系。

在工程领域中，回归直线公式可以用来预测产品的性能，如汽车的燃油效率和引擎功率之间的关系。

除了简单的一元线性回归，回归直线公式还可以扩展到多元线性回归，其中自变量有多个。

多元线性回归可以更准确地描述多个变量之间的关系，并进行更精确的预测和推断。

回归直线公式的应用还可以进一步扩展到非线性回归，其中因变量和自变量之间的关系不是线性的。

非线性回归可以通过引入非线性函数来描述更复杂的关系，如指数函数、对数函数等。

回归直线公式是一种重要的数学工具，用于描述两个变量之间的线性关系。

它可以帮助我们理解和分析实际问题中的数据，并进行预测和推断。

通过选择合适的回归直线公式，我们可以更好地理解变量之间的关系，并进行有效的数据分析。

线性回归直线方程公式解题方法是什么
线性回归建模直线观察到的数据通过使用一个线性方程变量之间的关系是一种方法，下文是回归直线方程公式及解题方法，快来参考吧！
线性回归直线方程公式解题方法是什么
1回归直线方程公式
线性回归方程公式：b=(x1y1+x2y2+...xnyn-nXY)/(x1+x2+...xn-nX)。

回归直线方程指在一组具有相关关系的变量的数据（x与Y）间，一条最好地反映x与y之间的关系直线。

离差作为表示Xi对应的回归直线纵坐标y与观察值Yi的差，其几何意义可用点与其在回归直线竖直方向上的投影间的距离来描述。

数学表达:Yi-y^=Yi-a-bXi.
总离差不能用n个离差之和来表示，通常是用离差的平方和，即(Yi-a-bXi)^2计算。

2线性回归方程怎么解
第一：用所给样本求出两个相关变量的(算术）平均值
第二：分别计算分子和分母：（两个公式任选其一）分子
第三：计算b：b=分子/分母
用最小二乘法估计参数b,设服从正态分布,分别求对a、b的偏导数并令它们等于零。

先求x,y的平均值X,Y
再用公式代入求解:b=(x1y1+x2y2+...xnyn-nXY)/(x1+x2+...xn-nX)
后把x,y的平均数X，Y代入a=Y-bX
求出a并代入总的公式y=bx+a得到线性回归方程
(X为xi的平均数，Y为yi的平均数)。

线性回归算法的原理简单的线性回归算法举例引⼦⼩学的时候⽼师出过的⼀道题，⽅程 y = w0 + w1x ，已知两组数据，求解w0和w1x = 1 ，y = 2x = 2 ，y = 3两点确定⼀条直线，此时可以准确求得w0 和 w1但是如果给了3组数据，可不可以准确求得w0 和 w1呢x = 1 ，y = 2x = 2 ，y = 3x = 3 ，y = 5由于这3点不在⼀条直线，所以不能准确求得w0 和 w1。

这其实是⼀道错题，⽼师会让随便去掉⼀组数据求解。

这道错题其实是⼀个机器学习问题。

我们是否可以找到⼀条完美直线，使得误差最⼩呢？如果数据量更⼤，给了3亿组x和y的数据，不在⼀条直线上，是否能找到⼀条完美直线，使得误差最⼩呢？从这3亿组数据找到规律的过程就是机器学习，规律就是w参数。

完美直线的定义：空间的点到直线的距离最近。

不是穿过的点最多。

如何使得空间的点到直线的距离最近？1、量化公式有⼀个量化公式衡量了总误差，假设⼀共有m个点(x i,y i)，i = 1,2,3 ... ... m，拟合的直线的⽅程为 hθ(x) = w0 + w1x，那么该量化公式为：公式含义解释：分母中的2，是为了⽅便求导分母中的m是为了衡量m个点的平均距离是指将x i 代⼊到拟合的直线⽅程中得到的值求平⽅是因为要考虑的是差值，排除负数的影响，为什么不⽤绝对值排除负数的影响呢？上述公式表⽰将m个点的直线⽅程计算出的y值与实际的y的差值的平⽅求和，除以2m，可以衡量m个点到拟合直线的平均误差2、虚晃⼀枪：求导让导数为0⾄此问题转化为求J(θ)的极⼩值，为了使得量化公式J(θ)越⼩越好，⾸先需要确认J(θ)是否有极⼩值如果J(θ)是凹函数，就有极⼩值，我们可以推导出来J(θ)确实是凹函数，以下是推导过程我们已知y = x2 是凹函数，y = kx2 + b , k>0 也是凹函数。

W为包含w0,w1两个值的列向量，X (1;x) 也是⼀个列向量那么可知 W的转置乘以X 等于 w0+w1x 则？凹函数有极⼩值，可以通过对w0和w1求导，使导数等于0的⽅法求极⼩值w(w0,w1) 与J的图像如下对w0和w1分别求偏导，令导数为0 ，求解w参数w0的偏导的求解过程如下w1的偏导的求解过程如下⾄此我们终于把导数求出来了但是在实际情况下，上述⽅式不可⾏。