高等数学5-4

高等数学（下）试题四一、填空题（18分）1 设yxy x f arctan),(=，则=)1,1(df 。

2 曲面1222=++z y x 2在点(2,-2,2)处的切平面方程为 。

3 设{}2,20:),(≤≤≤≤=y x x y x D ，则=⎰⎰-Dy dxdy e 2。

4 如果Γ是从点(1,2,3)到点(0,0,0)的直线段，则=++⎰Γydz x dy y dx x 2233 。

5幂级数∑∞=--11212n n n x 的收敛区间为 。

6以xx e y xe y ==,为特解的二阶线性齐次微分方程为 。

二、选择题（18分）1 在点处),(y x f 可微的充分条件是（ ）（A ）),(y x f 的所有二阶偏导数连续 （B ）),(y x f 连续（C ）),(y x f 的所有一阶偏导数连续 （D ）),(y x f 连续且),(y x f 对y x ,的偏导数都存在。

2 已知222),,(z y x z y x u ++=，则=u （ ）（A ）{}z y x 2,2,2 （B ）222444z y x ++ （C ）{}z y x ,, （D ）{}1,1,1。

3 设D ：4122≤+≤y x ，则=+⎰⎰dxdy y x D22（ ）（A ）dr r d ⎰⎰10220πθ （B ）dr r d ⎰⎰41220πθ （C ）dr r d ⎰⎰21220πθ （D ）dr r d ⎰⎰2120πθ。

4 设L 是圆周：x y x 222-=+的正向，则=-+-⎰dy y x dx y x L)()(33（ ）（A ）π2- （B ）0 （C ）π3 （D ）π2。

5 将函数2)(x ex f -=展开成x 的幂级数得到（ ）（A ）∑∞=02!n nn x （B ）∑∞=-02!)1(n n n n x （C ）∑∞=0!n n n x （D ）∑∞=-0!)1(n n n n x6 函数xx ec e c y -+=21是微分方程（ ）的通解（A ）0''=+y y （B ）0''=-y y （C ）0'''=+y y （D ）0'''=-y y三、 计算与求解（49分）1 设方程z y x z y x 32)32sin(2-+=-+确定函数),(y x z z =，求yz x z ∂∂+∂∂。

《高数》试卷1（上）一．选择题（将答案代号填入括号内，每题3分，共30分）.1．下列各组函数中，是相同的函数的是（）. （A ）2ln 2ln f x xg x x和（B ）||f x x 和2g x x（C ）f xx 和2g xx（D ）||x f xx和g x12．函数sin 420ln 10x x f xxax在0x 处连续，则a（）.（A ）0 （B ）14（C ）1 （D ）23．曲线ln y x x 的平行于直线10x y 的切线方程为（）. （A ）1y x （B ）(1)yx （C ）ln 11y x x （D ）y x4．设函数||f x x ，则函数在点0x处（）.（A ）连续且可导（B ）连续且可微（C ）连续不可导（D ）不连续不可微5．点0x 是函数4yx 的（）.（A ）驻点但非极值点（B ）拐点（C ）驻点且是拐点（D ）驻点且是极值点6．曲线1||yx 的渐近线情况是（）.（A ）只有水平渐近线（B ）只有垂直渐近线（C ）既有水平渐近线又有垂直渐近线（D ）既无水平渐近线又无垂直渐近线7．211fdx x x 的结果是（）.（A ）1f C x（B ）1fC x（C ）1fC x（D ）1fCx8．xxdxe e的结果是（）.（A ）arctan xeC （B ）arctan xe C （C ）xxeeC （D ）ln()xxee C9．下列定积分为零的是（）.（A ）424arctan 1x dx x（B ）44arcsin x x dx （C ）112xxee dx （D ）121sin xx x dx10．设f x 为连续函数，则102f x dx 等于（）.（A ）20f f （B ）1112f f （C ）1202f f （D ）10f f 二．填空题（每题4分，共20分）1．设函数2100xex f xx a x在0x 处连续，则a.2．已知曲线y f x 在2x处的切线的倾斜角为56，则2f .3．21x yx的垂直渐近线有条.4．21ln dx x x.5．422sin cos x x x dx.三．计算（每小题5分，共30分）1．求极限①21limxxx x ②2sin 1limx xx x x e 2．求曲线ln yx y 所确定的隐函数的导数x y .3．求不定积分①13dx x x ②220dx a xa③xxe dx四．应用题（每题10分，共20分）1．作出函数323yxx 的图像.2．求曲线22yx 和直线4y x 所围图形的面积.《高数》试卷1参考答案一．选择题1．B 2．B 3．A 4．C 5．D 6．C 7．D 8．A 9．A 10．C 二．填空题1．22．33３．２４．arctanln x c５．２三．计算题１①2e②162.11xyx y3. ①11ln||23xCx②22ln||x a x C③1xe x C四．应用题１．略２．18S《高数》试卷2（上）一.选择题(将答案代号填入括号内,每题3分,共30分)1.下列各组函数中,是相同函数的是().(A)f x x 和2g x x(B) 211xf xx 和1y x (C)f xx 和22(sin cos )g xx xx (D)2ln f x x 和2ln g x x2.设函数2sin 21112111x x x fxx xx，则1lim x f x （）.(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 不存在3.设函数y f x 在点0x 处可导，且fx >0, 曲线则yf x 在点00,x f x 处的切线的倾斜角为{ }.(A)(B)2(C)锐角(D)钝角4.曲线ln y x 上某点的切线平行于直线23y x ,则该点坐标是().(A)12,ln2(B)12,ln2(C) 1,ln 22(D)1,ln 225.函数2xy x e 及图象在1,2内是().(A)单调减少且是凸的(B)单调增加且是凸的(C)单调减少且是凹的(D)单调增加且是凹的6.以下结论正确的是().(A) 若0x 为函数y f x 的驻点,则0x 必为函数y f x 的极值点. (B) 函数y f x 导数不存在的点,一定不是函数y f x 的极值点.(C) 若函数y f x 在0x 处取得极值,且0f x 存在,则必有0fx =0.(D) 若函数yf x 在0x 处连续,则0fx 一定存在.7.设函数y f x 的一个原函数为12xx e ,则f x =().(A) 121x x e (B)12xx e (C)121xx e (D) 12xxe8.若f x dx F x c ,则sin cos xf x dx ( ).(A)sin F xc(B)sin F xc (C) cos F xc(D)cos F x c9.设F x 为连续函数,则102x fdx =().(A)10f f (B)21f f (C)220f f (D) 1202ff 10.定积分badx a b 在几何上的表示().(A) 线段长b a (B) 线段长a b (C) 矩形面积1a b (D) 矩形面积1b a 二.填空题(每题4分,共20分)1.设2ln 101cos 0xx f xxax, 在0x 连续,则a =________.2.设2sin y x , 则dy _________________sin d x .3.函数211x yx的水平和垂直渐近线共有_______条.4.不定积分ln x xdx ______________________.5. 定积分2121sin 11x x dx x___________.三.计算题(每小题5分,共30分) 1.求下列极限:①10lim 12xx x ②arctan 2lim 1xx x2.求由方程1yyxe 所确定的隐函数的导数x y .3.求下列不定积分:①3tan sec x xdx②220dx a xa③2xx e dx四.应用题(每题10分,共20分) 1.作出函数313yx x 的图象.(要求列出表格)2.计算由两条抛物线：22,yx y x 所围成的图形的面积.《高数》试卷2参考答案一.选择题：CDCDB CADDD 二填空题： 1.－22.2sinx3.34.2211ln 24x x x c5.2三.计算题：1. ①2e②12.2yxey y 3.①3sec 3x c②22lnxaxc③222xxx ec四.应用题：1.略2.13S《高数》试卷3（上）一、填空题(每小题3分, 共24分)1.函数219y x的定义域为________________________.2.设函数sin 4,0,0xx f xxa x , 则当a=_________时, f x 在0x 处连续.3. 函数221()32x f x xx的无穷型间断点为________________.4.设()f x 可导, ()xyf e , 则____________.y5. 221lim_________________.25xx xx6.321421sin 1x x dx xx=______________.7.20_______________________.x td e dtdx 8. 30yyy是_______阶微分方程.二、求下列极限(每小题5分, 共15分)1.01limsin xx ex;2. 233lim9x x x; 3.1lim 1.2xxx三、求下列导数或微分(每小题5分, 共15分) 1. 2x yx , 求(0)y . 2. cos xy e, 求dy .3. 设x yxye, 求dy dx.四、求下列积分(每小题5分, 共15分)1.12sin x dx x.2.ln(1)x x dx .3.120xe dx五、(8分)求曲线1cos x t yt在2t处的切线与法线方程.六、(8分)求由曲线21,y x直线0,0y x 和1x 所围成的平面图形的面积, 以及此图形绕y 轴旋转所得旋转体的体积.七、(8分)求微分方程6130y yy的通解.八、(7分)求微分方程xy ye x满足初始条件10y 的特解.《高数》试卷3参考答案一．1．3x2.4a 3.2x 4.'()xxe f e 5.126.07.22x xe8.二阶二.1.原式=0lim1x x x2.311lim 36x x3.原式=112221lim[(1)]2xx e x三.1.221','(0)(2)2y y x2.cos sin xdyxe dx3.两边对x 求写：'(1')x yyxy ey 'x yx yey xy y y xexxy四.1.原式=lim2cos x x C2.原式=2221lim(1)()lim(1)[lim(1)]22x xx d x x d x x =22111lim(1)lim(1)(1)221221x xxx dxx x dxx x=221lim(1)[lim(1)]222xx x x x C3.原式=12212111(2)(1)222xx e d x ee五.sin 1,122dy dy ttt ydxdx且.切线：1,1022y x y x 即法线：1(),1022y x yx 即六.1221013(1)()22Sxdxx x 1122425210(1)(21)228()5315Vx dx x xdxxxx 七.特征方程:231261332(cos2sin 2)xrr riyeC x C x 八.11()dxdxxxx ye e e dxC 1[(1)]xx e C x由10,yxC1xx yex《高数》试卷4（上）一、选择题（每小题3分）1、函数2)1ln(x x y 的定义域是（）. A 1,2 B1,2 C 1,2 D1,22、极限xxe lim 的值是（）.A 、B 、C 、D 、不存在3、211)1sin(limxx x（）. A 、1B 、C 、21D 、214、曲线23xxy 在点)0,1(处的切线方程是（）A 、)1(2x y B 、)1(4x y C 、14xyD 、)1(3x y 5、下列各微分式正确的是（）.A 、)(2x d xdx B 、)2(sin 2cos x d xdxC 、)5(x d dx D 、22)()(dx x d 6、设C x dxx f 2cos2)(，则)(x f （）.A 、2sin xB 、2sinxC 、Cx2sinD 、2sin2x 7、dx xx ln 2（）. A 、C x x 22ln 212B 、Cx 2)ln 2(21C 、Cxln 2ln D 、Cxx 2ln 18、曲线2xy，1x ，0y 所围成的图形绕y 轴旋转所得旋转体体积V（）.A 、104dx x B 、1ydy C 、10)1(dyy D 、14)1(dxx 9、11dx eexx（）.A 、21lne B 、22lne C 、31lne D 、221lne 10、微分方程xey yy22的一个特解为（）.A 、xe y273B 、xey73C 、xxey272D 、xey272二、填空题（每小题4分）1、设函数xxe y ，则y；2、如果322sin 3lim 0xmx x , 则m.3、113cos xdxx ；4、微分方程044yyy 的通解是. 5、函数x x x f 2)(在区间4,0上的最大值是，最小值是；三、计算题（每小题5分）1、求极限xxx x11lim；2、求x xysin ln cot 212的导数；3、求函数1133xx y的微分；4、求不定积分11xdx ；5、求定积分eedx x 1ln ；6、解方程21xy x dxdy ；四、应用题（每小题10分）1、求抛物线2xy与22x y 所围成的平面图形的面积.2、利用导数作出函数323xxy 的图象.参考答案一、1、C ；2、D ；3、C ；4、B ；5、C ；6、B ；7、B ；8、A ；9、A ；10、D ；二、1、xe x )2(；2、94；3、；4、xex C C y221)(；5、8，0三、1、1；2、x 3cot ；3、dxxx 232)1(6；4、C x x )11ln(212；5、)12(2e；6、Cxy2212；四、1、38；2、图略《高数》试卷5（上）一、选择题（每小题3分）1、函数)1lg(12xxy 的定义域是（）.A 、,01,2B 、),0(0,1C 、),0()0,1(D 、),1(2、下列各式中，极限存在的是（）.A 、x x c o s lim 0B 、x xarctan lim C 、x xsin lim D 、xx2lim 3、xxxx )1(lim （）.A 、eB 、2eC 、1D 、e14、曲线x x y ln 的平行于直线01y x 的切线方程是（）.A 、xyB 、)1)(1(ln x x yC 、1x yD 、)1(xy 5、已知x x y 3sin ，则dy （）.A 、dx x x )3sin 33cos (B 、dx x x x )3cos 33(sinC 、dxx x)3sin 3(cos D 、dxx x x)3cos 3(sin 6、下列等式成立的是（）.A 、Cxdx x 111B 、Cx a dxa xxln C 、C x xdxsin cos D 、Cxxdx 211tan7、计算xdx x e x cos sin sin 的结果中正确的是（）. A 、C e x sin B 、Cx e x cos sin C 、C xe x sin sin D 、C x e x )1(sin sin 8、曲线2x y，1x ，0y 所围成的图形绕x 轴旋转所得旋转体体积V （）. A 、104dx x B 、10ydyC 、10)1(dyy D 、104)1(dx x 9、设a ﹥0，则dx x a a022（）. A 、2a B 、22a C 、241a 0 D 、241a 10、方程（）是一阶线性微分方程. A 、0ln 2x y yx B 、0y e y x C 、0sin )1(2y y y x D 、0)6(2dy x y dxy x 二、填空题（每小题4分）1、设0,0,1)(x b ax x e x f x ，则有)(lim 0x f x ，)(lim 0x f x ；2、设x xe y ，则y；3、函数)1ln()(2x x f 在区间2,1的最大值是，最小值是；4、113cos xdxx ；5、微分方程023y y y 的通解是 .三、计算题（每小题5分）1、求极限)2311(lim 21x x x x ；2、求x x y arccos 12的导数；3、求函数21x xy 的微分；4、求不定积分dx x x ln 21；5、求定积分eedx x 1ln ；6、求方程y xy y x 2满足初始条件4)21(y 的特解.四、应用题（每小题10分）1、求由曲线22x y 和直线0y x 所围成的平面图形的面积.2、利用导数作出函数49623x x x y 的图象.参考答案（B卷）一、1、B ；2、A ；3、D ；4、C ；5、B ；6、C ；7、D ；8、A ；9、D ；10、B. 二、1、2，b ；2、x e x )2(；3、5ln ，0；4、0；5、x x e C e C 221. 三、1、31；2、1arccos 12x x x；3、dxx x 221)1(1；4、C x ln 22；5、)12(2e ；6、x e x y 122；四、1、29；2、图略。

习 题 1-11．求下列函数的自然定义域：（1）211y x =+- 解：依题意有21020x x ⎧-≠⎨+≥⎩，则函数定义域{}()|2x 1D x x x =≥-≠±且．（2）21arccosx y -= 解：依题意有2211360x x x ⎧-≤⎪⎨⎪-->⎩，则函数定义域()D x =∅．（3）2ln(32)y x x =-+-；解：依题意有2320x x -+->，则函数定义域{}()|12D x x x =<<．（4）312x xy -=；解：依题意有30x x -≠，则函数定义域{}()|x 0,1D x x x =-∞<<+∞≠±且．（5）1sin1,121;x y x x ⎧≠⎪=-⎨⎪=⎩, ， 解：依题意有定义域{}()|D x x x =-∞<<+∞．（6）1arctan y x =+解：依题意有030x x ≠⎧⎨-≥⎩，则函数定义域{}()|3x 0D x x x =≤≠且．2．已知()f x 定义域为[0,1]，求2(), (sin ), (), ()()f x f x f x a f x a f x a +++-(0a >)的定义域．解：因为()f x 定义域为[0,1]，所以当201x ≤≤时，得函数2()f x 的定义域为[1,1]-；当0sin 1x ≤≤时，得函数(sin )f x 定义域为[2π,(21)π]k k +； 当01x a ≤+≤时，得函数()f x a +定义域为[,1]a a --+；当0101x a x a ≤+≤⎧⎨≤-≤⎩时，得函数()()f x a f x a ++-定义域为：（1）若12a <，[],1x a a ∈-；（2）若12a =，12x =；（3）若12a >，x ∈∅．3．设21()1,f x x ⎛⎫= ⎝其中0,a >求函数值(2),(1)f a f ．解：因为21()1f x x ⎛⎫= ⎝，则 2211(2)142a f a a a a -⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，20 ,>1,11(1)1 2 ,0<<111a a f a a ⎛⎫⎧-=-= ⎪⎨ ⎪-⎩⎝⎭．4．设1||1,()0||1,()21|| 1.x x f x x g x x <⎧⎪===⎨⎪->⎩，求(())f g x 与(())g f x ，并做出函数图形．解：121(())0211 21x x xf g x ⎧<⎪==⎨⎪->⎩，即10(())001 0x f g x x x <⎧⎪==⎨⎪->⎩，1012||1(())2||12||1x g f x x x -⎧<⎪==⎨⎪>⎩，即2||1(())1||11 ||12x g f x x x ⎧⎪<⎪==⎨⎪⎪>⎩，函数图形略．5．设1,0,()1,0,x x f x x +<⎧=⎨≥⎩试证：2,1,[()]1, 1.x x f f x x +<-⎧=⎨≥-⎩证明：1(),()0[()]1,()0f x f x f f x f x +<⎧=⎨≥⎩，即2,1,[()]1,1x x f f x x +<-⎧=⎨≥-⎩，得证． 6．下列各组函数中，()f x 与()g x 是否是同一函数？为什么？ （1）))()ln,()ln3f x x g x ==- ；不是，因为定义域和对应法则都不相同． （2）()()f x g x ==； 是．（3）22()2,()sec tan f x g x x x ==-； 不是，因为对应法则不同． （4）2()2lg ,()lg f x x g x x ==； 不是，因为定义域不同．7．确定下列函数在给定区间内的单调性： （1）3ln y x x =+，(0,)x ∈+∞； 解：当(0,)x ∈+∞时，函数13y x =单调递增，2ln y x =也是单调递增，则12y y y =+在(0,)+∞内也是递增的．（2）1xy x-=-，(,1)x ∈-∞． 解：(1)111111x x y x x x ---===+---，当(,1)x ∈-∞时，函数11y x =-单调递增，则21111y y x ==-是单调递减的，故原函数1xy x-=-是单调递减的． 8. 判定下列函数的奇偶性． （1）lg(y x =+；解：因为1()lg(lg(lg(()f x x x x f x --=-+==-+=-，所以lg(y x =+是奇函数．（2）0y =；解：因为()0()f x f x -==，所以0y =是偶函数． （3）22cos sin 1y x x x =++-；解：因为2()2cos sin 1f x x x x -=+--，()()()()f x f x f x f x -≠-≠-且，所以22cos sin 1y x x x =++-既非奇函数，又非偶函数．（4）2x xa a y -+=.解：因为()()2x x a a f x f x -+==，所以函数2x xa a y -+=是偶函数． 9．设()f x 是定义在[,]l l -上的任意函数，证明：（1）()()f x f x +-是偶函数，()()f x f x --是奇函数； （2）()f x 可表示成偶函数与奇函数之和的形式. 证明：（1）令()()(),()()()g x f x f x h x f x f x =+-=--，则()()()(),()()()()g x f x f x g x h x f x f x h x -=-+=-=--=-，所以()()f x f x +-是偶函数，()()f x f x --是奇函数．（2）任意函数()()()()()22f x f x f x f x f x +---=+，由（1）可知()()2f x f x +-是偶函数，()()2f x f x --是奇函数，所以命题得证． 10．证明：函数在区间I 上有界的充分与必要条件是：函数在I 上既有上界又有下界.证明：（必要性）若函数()f x 在区间I 上有界，则存在正数M ，使得x I ∈，都有()f x M ≤成立，显然()M f x M -≤≤，即证得函数()f x 在区间I 上既有上界又有下界（充分性）设函数()f x 在区间I 上既有上界2M ，又有下界1M ，即有12()()f x M f x M ≥≤且，取12max{,}M M M =，则有()f x M ≤，即函数()f x 在区间I 上有界．11．下列函数是否是周期函数？对于周期函数指出其周期： （1）|sin |y x =；周期函数，周期为π． （2）1sin πy x =+； 周期函数，周期为2． （3）tan y x x =； 不是周期函数． （4）2cos y x =.周期函数，周期为π．12．求下列函数的反函数：（1）331xx y =-；解：依题意，31x y y =-，则3log 1yx y =-，所以反函数为13()log ,(,0)(1,)1xf x x x -=∈-∞⋃+∞-．（2）()ax by ad bc cx d+=≠+；解：依题意，b dy x cy a -=-，则反函数1()()b dxf x ad bc cx a--=≠-．（3）(lg y x =+；解：依题意，1(1010)2y y x -=+，所以反函数11()(1010),2x x f x x R --=+∈．（4）ππ3cos 2,44y x x ⎛⎫=-≤≤ ⎪⎝⎭． 解：依题意，arccos 32y x =，所以反函数1arccos3(),[0,3]2x f x x -=∈． 13．在下列各题中，求由所给函数构成的复合函数，并求这函数分别对应于给定自变量值1x 和2x 的函数值：（1）212e ,1,0,2u y u x x x ====＋；（2）2121,e 1,1,1,1v y u u v x x x =+=-=+==-． 解：（1）215()e ,(0),(2)x y f x f e f e +====（2）12()(e 1)1x y f x +==-+，42(0)22f e e =-+，(1)1f -=．14．在一圆柱形容器内倒进某种溶液，该容器的底半径为r ，高为H ．当倒进溶液后液面的高度为h 时，溶液的体积为V ．试把h 表示为V 的函数，并指出其定义区间．解：依题意有2πV r h =，则22,[0,π]πV h V r H r =∈． 解：依题意有0.64,0 4.5() 4.50.64( 4.5) 3.2, 4.5x x f x x x ≤≤⎧=⎨⨯+-⨯>⎩，所以(3.5) 2.24(4.5) 2.88(5.5) 6.08f f f ===元，元，元．习 题 1-21．设21(1,2,3,)31n n a n n +==+， （1） 求110100222||,||,||333a a a ---的值；（2） 求N ，使当n N >时，不等式42||103n a --<成立；（3） 求N ，使当n N >时，不等式2||3n a ε-<成立．解：(1) 12321||||,34312a -=-= 1022121||||,331393a -=-=100220121||||33013903a -=-=． （2） 要使 42||10,3n a --< 即 4113310<（n+1）， 则只要9997,9n > 取N＝99971110,9⎡⎤=⎢⎥⎣⎦故当n>1110时，不等式42||103n a --<成立． （3）要使2||3n a ε-<成立，13,9n εε-> 取139N εε-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，那么当n N >时， 2||3n a ε-<成立.2．根据数列极限的定义证明：（1）1lim 0!n n →∞=； （2）1n →∞=．解：（1）0ε∀>， 要使111|0|!!n n n ε-<<＝， 只要取1N ε⎡⎤=⎢⎥⎣⎦， 所以，对任意0ε>，存在1N ε⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，当n N >时，总有1|0|!n ε-<，则1lim 0!n n →∞=.(2) 0ε∀>,要使221|2n ε-=<<, 即n >,只要取N =,所以,对任意的ε>0,存在N =, 当n N >, 总有1|ε-<,则1n →∞=. 3．若lim n n x a →∞=，证明lim ||||n n x a →∞=．并举例说明：如果数列}{||n x 有极限，但数列}{n x 未必有极限．证明: 因为lim n n x a →∞=, 所以0ε∀>, 1N ∃, 当1n N >时, 有||n x a ε-<.不妨假设a>0, 由收敛数列的保号性可知:2N ∃, 当2n N >时, 有0n x >, 取{}12max ,N N N =, 则对0ε∀>, N ∃, 当n N >时, 有||||||||n n x a x a ε-=-<.故lim ||||n n x a →∞=. 同理可证0a <时, lim ||||n n x a →∞=成立.反之,如果数列{}||n x 有极限, 但数列{}||n x 未必有极限.如：数列()1nn x =-,||1n x =， 显然lim ||1n n x →∞=, 但lim n n x →∞不存在．4．设数列{}n x 有界，又lim 0n n y →∞=．证明：lim 0n n n x y →∞=．证明: 依题意,存在M>0, 对一切n 都有||n x M ≤， 又lim 0n n y →∞=, 对0ε∀>,存在N ,当n N >时, |0|n y ε-<, 因为对上述N , 当n N >时, |0|||||n n n n n x y x y M y M ε-=≤<,由ε的任意性, 则lim 0n n n x y →∞=．5．设数列{}n x 的一般项(3)π2n n x +=，求lim n n x →∞．解: 因为0x =, (3)π|cos |12n +≤, 所以 (3)π02x n +=. 6．对于数列{}n x ，若21()k x A k -→→∞，2()k x A k →→∞，证明：()n x A n →→∞．证明: 由于21lim k k x A -→∞=, 所以, 0ε∀>, 10N ∃>, 当1>k N 时，有21||k x A ε--<,同理, 0ε∀>,20N ∃>, 当2k N >时, 有2||k x A ε-<．取N =max {}12,N N , 0ε∀>, 当n N >时, ||n x A ε-<成立, 故()n x A n →→∞．习 题 1-31．当1x →时，234y x =+→．问δ等于多少，使当|1|x δ-<时，|4|0.01y -<？解：令 1|1|2x -<，则35|1|22x <+<，要使225|4||34||1||1||1||1|0.012y x x x x x -=+-=-=-+<-<， 只要|1|0.004x -<，所以取0.004δ=，使当 |1|x δ-< 时，|4|0.01y -<成立．2．当x →∞时，222123x y x +=→-．问X 等于多少，使当||x X >时，|2|0.001y -<？ 解：要使222217|2||2|3|3|x y x x +-=-=--2|3|7000x ->, 即237000x ->. 因此,只要||x >,所以取X ≥3．根据函数极限的定义证明：（1）3lim(21)5x x →-=； （2）35lim31x x x →∞+=-；（3）224lim 42x x x →--=-+； （4）lim0x =. 证明:(1) 由于|(21)5|2|3|x x --=-, 任给0ε>,要使|(21)5|x ε--<,只要|3|2x ε-<．因此取2εδ=,则当0|3|x δ<-<时, 总有|(21)5|x ε--<,故3lim(21)5x x →-=．(2) 由于358|3|1|1|x x x +-=--,任给0ε>, 要使35|3|1x x ε+-<-,只要8|1|x ε<-,即81x ε>+或81x ε<-, 因为0ε>,所以88|1||1|εε+>-, 取8|1|M ε=+，则当||x M >时,对0ε∀>,总有35|3|1x x ε+-<-,故有35lim 31x x x →∞+=-．(3)由于24|(4)||2|2x x x ---=++,任给0ε>,,要使24|(4)|2x x ε---<+,只要|2|x ε+<,因此取δε=,则当0|(2)|x δ<--<时,总有24|(4)|2x x ε---<+,故224lim 42x x x →--=-+. (4) 由于0|-<,任给0ε>,要使|0|ε<,ε<,即21x ε>,因此取21M ε=,则当x>M 时,总有0|ε-<,故lim 0x =. 4．用X ε-或εδ-语言，写出下列各函数极限的定义： （1）lim ()1x f x →-∞=； （2）lim ()x f x a →∞=；（3）lim ()x a f x b +→=； （4）3lim ()8x f x -→=-．解: (1) 0,ε∀> 0M ∃>, 当x<-M 时, 总有|()1|f x ε-<;(2) 0,ε∀> 0M ∃>, 当||x M >, 总有|()|f x a ε-<;(3) 0,ε∀> 0δ∃>, 当a x a δ<<+时, 总有|()|f x b ε-<; (4) 0,ε∀> 0δ∃> 当33x δ-<<时, 总有|()8|f x ε+<． 5．证明:0lim ||0x x →=.证明: 由于00lim ||lim 0x x x x ++→→==, 00lim ||lim()0x x x x --→→=-=,所以0lim ||0x x →=.6．证明：若x →+∞及x →-∞时，函数()f x 的极限都存在且都等于A ，则lim ()x f x A →∞=．证明: 由于lim ()x f x A →+∞=,则对0ε∀>,10M ∃>,当1x M >时,有|()|f x A ε-<．又lim ()x f x A →-∞=,则20M ∃>,当2x M <-,有|()|f x A ε-<.取{}12max ,M M M =那么对0ε∀>,当||x M >时,总有|()|f x A ε-<,故有lim ()x f x A →∞=.习 题 1-41．根据定义证明：（1）211x y x -=+为当1x →时的无穷小；（2）1sin y x x =为当x →∞时的无穷小；（3）13xy x+=为当0x →时的无穷大．证明:(1) 0ε∀>,因为21|0||1|1x x x --=-+,取δε=,则当0|1|x δ<-<时, 总有0x ≠,故211lim 01x x x →-=+． (2) 0ε∀>,因为111|sin 0||sin |||||x x x x x -=≤,取1M ε=, 则当||x M >时, 总有1|sin |1|sin 0|||||x x x x x ε-=≤<, 故1lim sin 0x x x →∞=.(3) 0M ∀>, 13M δ∃=+,当0||x δ<<时,总有1311|||3|3||x M x x x +=+>->,所以013lim x x x→+=∞. 2．函数sin y x x =在(0,)+∞内是否有界？该函数是否为x →+∞时的无穷大？解答: 取2πn x n =,则0n y =,因此当2πn x n =()n →∞时, ()0n n y x →→+∞故函数sin y x x = 当x →+∞时,不是无穷大量．下证该函数在()0,+∞内是无界的. 0M ∀>,π2π2n x n ∃=+ 且()n x n →+∞→∞,πππ2πsin 2π2π222n y n n n ⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，取[]01N M =+, 00π2π(0,)2x N ∃=+∈+∞,有0π2π2n y N M =+≥，所以sin y x x =是无界的.3．证明：函数11cos y x x=在区间(0,1]上无界，但这函数不是0x +→时的无穷大．证明: 令1t x=,类似第2题可得．习 题 1-51．求下列极限：（1）23231lim 41n n n n n →∞+++-；（2）111lim 1223(1)n n n →∞⎡⎤+++⎢⎥⋅⋅+⎣⎦；（3）22212lim n n n n n →∞⎛⎫+++ ⎪⎝⎭； （4）1132lim 32n nn n n ++→∞+-；（5）2211lim 54x x x x →--+；（6）3221lim 53x x x x →+-+；（7）limx →+∞；（8）2221lim 53x x x x →∞+++；（9）330()lim h x h x h→+-；（10）22131lim 41x x x x →+-+；（11）3131lim 11x x x →⎛⎫- ⎪--⎝⎭； （12）23lim 531x x xx x →∞+-+；（13）x →（14）3lim 21x x x →∞+；（15）3lim(236)x x x →∞-+； （16）323327lim 3x x x x x →+++-．解:(1) 23231lim 41n n n n n →∞+++- = 233311lim 0411n n n n n n→∞++=+-． (2) 111lim 1223(1)n n n →∞⎡⎤+++⎢⎥⋅⋅+⎣⎦= 111111lim ()()()12231n n n →∞⎡⎤-+-++-⎢⎥+⎣⎦= 1lim(1)11n n →∞-=+． (3) 22212lim n n n n n →∞⎛⎫+++ ⎪⎝⎭=21(1)12lim 2n n n n →∞+=． (4) 1132lim 32n nn n n ++→∞+-=21()13lim 2332()3n n n →∞+=-⋅．(5) 2211lim 54x x x x →--+=1(1)(1)lim (1)(4)x x x x x →-+--=112lim 43x x x →+=--． (6) 3221lim 53xx x x →+-+=322132523+=--⨯+．(7) limx →+∞=limx=limx =111lim 2x -=． (8) 2221lim53x x x x →∞+++=2212lim 2531x x x x→∞+=++． (9) 330()lim h x h x h →+-=322330(33)lim h x x h xh h x h→+++-=3220lim(33)3h x xh h x →++=．(10) 3131lim 11x x x →⎛⎫- ⎪--⎝⎭=2313(1)lim 1x x x x →⎛⎫-++ ⎪-⎝⎭=21(1)(2)lim (1)(1)x x x x x x →-+-++ =212lim11x xx x →+=++．(11) 23lim 531x x x x x →∞+-+=22311lim 0315x x x x x→∞+=-+．(12) x →=x →=x →(13) 3lim 21x x x →∞+=2lim12x x x→∞=+∞+． (14) 3lim(236)x x x →∞-+=32336lim (2)x x x x→∞-+=∞．(15) 323327lim 3x x x x x →+++-=32331lim(327)lim 3x x x x x x →→+++⨯=∞-．2．设,0,()2,0.x e x f x x a x ⎧<=⎨+≥⎩问当a 为何值时，极限0lim ()x f x →存在．解：因为0000lim ()lim 1,lim ()lim(2)x x x x x f x e f x x a a --++→→→→===+=，所以，当00lim ()lim ()x x f x f x -+→→=，即1a =时，0lim ()x f x →存在． 3．求当x 1→时，函数12111x x e x ---的极限．解：因为11211111lim lim(1)0,1x x x x x e x e x ----→→-=+=-所以12111lim 1x x x e x -→--不存在。

高数(大一上)期末试题及答案第一学期期末考试试卷（1）课程名称：高等数学（上）考试方式：闭卷完成时限：120分钟班级：学号：姓名：得分：一、填空（每小题3分，满分15分）1.lim (3x^2+5)/ (5x+3x^2) = 02.设 f''(-1) = A，则 lim (f'(-1+h) - f'(-1))/h = A3.曲线 y = 2e^(2t) - t 在 t = 0 处切线方程的斜率为 44.已知 f(x) 连续可导，且 f(x)。

0，f(0) = 1，f(1) = e，f(2) = e，∫f(2x)dx = 1/2ex，则 f'(0) = 1/25.已知 f(x) = (1+x^2)/(1+x)，则 f'(0) = 1二、单项选择（每小题3分，满分15分）1.函数 f(x) = x*sinx，则 B 选项为正确答案，即当x → ±∞ 时有极限。

2.已知 f(x) = { e^x。

x < 1.ln x。

x ≥ 1 }，则 f(x) 在 x = 1 处的导数不存在，答案为 D。

3.曲线 y = xe^(-x^2) 的拐点是 (1/e。

1/(2e))，答案为 C。

4.下列广义积分中发散的是 A 选项，即∫dx/(x^2+x+1)在区间 (-∞。

+∞) 内发散。

5.若 f(x) 与 g(x) 在 (-∞。

+∞) 内可导，且 f(x) < g(x)，则必有 B 选项成立，即 f'(x) < g'(x)。

三、计算题（每小题7分，共56分）1.lim x^2(e^(2x)-e^(-x))/((1-cosx)sinx)lim x^2(e^(2x)-e^(-x))/((1-cosx)/x)*x*cosxlim x(e^(2x)-e^(-x))/(sinx/x)*cosxlim (2e^(2x)+e^(-x))/(cosx/x)应用洛必达法则)2.lim {arcsin(x+1) + arcsin(x-1) - 2arcsin(x)}/xlim {arcsin[(x+1)/√(1+(x+1)^2)] + arcsin[(x-1)/√(1+(x-1)^2)] - 2arcsin(x)/√(1+x^2)}lim {arcsin[(x+1)/√(1+(x+1)^2)] - arcsin(x/√(1+x^2)) + arcsin[(x-1)/√(1+(x-1)^2)] - arcsin(x/√(1+x^2))}lim {arcsin[(x+1)/√(1+(x+1)^2)] - arcsin(x/√(1+(x+1)^2)) + arcsin[(x-1)/√(1+(x-1)^2)] - arcsin(x/√(1+(x-1)^2))}lim {arcsin[(x+1)/√(1+(x+1)^2)] - arcsin[(x-1)/√(1+(x-1)^2)]} π/2 (应用洛必达法则)3.y = y(x) 由 x + y - 3 = 0 确定，即 y = 3 - x，因此 dy/dx = -1.4.f(x) = arctan(2x-9) - arctan(x-3) 的导数为 f'(x) = 1/[(2x-9)^2+1] - 1/[(x-3)^2+1]，因此 f'(x)。

考研数学一-高等数学(五)(总分：99.99，做题时间：90分钟) 一、填空题(总题数：10，分数：40.00)（分数：4.00）解析： [解析] 先作如下变形：解法一：用洛必达法则求这个极限其中解法二：用泰勒公式求这个极限相减得因此（分数：4.00）解析： [解析] 因为故则所以3.极限（分数：4.00）解析： [解析] 将分子变形为又，当x→0时，则（分数：4.00）解析： [解析] 所求极限为“∞-∞”型未定式，应首先通分化为“ ”型未定式后，再进行求解．（分数：4.00）解析： [解析] 解法一：属1 ∞型利用等价无穷小因子替换得即解法二：属1 ∞型，用求指数型极限的一般方法而即（分数：4.00）解析：1 [解析] 因故所求极限是“ ”型未定式，用分项求极限法可得(后一项的分子为有界变量，分母是无穷大量，故其极限为0)．7.设，则（分数：4.00）解析： [解析]因为，所以8.设f(x)在x=0处可导且f(0)=1，f"(0)=3，则数列极限（分数：4.00）解析：e 6 [解析] 这是指数型的数列极限，一般先进行变形，并转化为函数极限求解．又故I=e 6．（分数：4.00）解析： [解析]把看作函数在处的函数值，其中正好是将区间[0，1]n等分所得的第k个分点(k=1，2，…，n)，这时每个小区间的长度为．于是可看作定积分对应的和式极限其中又因为在[0，1]上连续，于是在[0，1]上可积，故10.设f(x)连续，且当x→0时，x 3等价的无穷小量，则f(0)= 1．（分数：4.00）解析： [解析] 由无穷小量的定义及洛必达法则，可得所以，二、解答题(总题数：15，分数：60.00)11.设f(x)在(x 0 -δ，x 0 +δ)有n阶连续导数，且f k (x 0 )=0，k=2，3，…，n-1；f (n) (x 0)≠0，当0＜|h|＜δ时，f(x 0 +h)-f(x 0 )=hf"(x 0 +θh)(0＜θ＜1)，求的值．（分数：4.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：将f"(x 0 +θh)在x=x 0处展开成泰勒公式得代入原式得令h→0得所以12.设函数f(x)在(-∞，+∞)三阶可导，且存在正数M，使得|f(x)|≤M，|f"(x)|≤M对-∞，+∞)成立，求证：f"(x)，f"(x)在(-∞，+∞)有界．（分数：4.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：将f(x+1)与f"(x-1)分别在点x展开成带拉格朗日余项的二阶泰勒公式得为估计|f"(x)|的大小，将上面两式相减并除以2即得于是即f"(x)在(-∞，+∞)有界．为估计|f"(x)|的大小，由式①+式②得于是即f"(x)在(-∞，+∞)有界．13.设函数f(x)在(-∞，+∞)内连续，f(0)=0，且x，t∈(-∞，+∞)满足试求f(x)在(-∞，+∞)内的导函数f"(x)．（分数：4.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：当x≠0时，令xt=μ，可得于是，当x≠0时，，即由f(x)的连续性知可导，从而xf(x)可导，于是f(x)当x≠0时可导，且f(x)=xf"(x)+f(x)+2xsinx+x 2 cosx．由此可得f"(x)=-2sinx-xcosx，x≠0，求积分知，当x≠0时，利用f(x)在(-∞，+∞)内的连续性及f(0)=0，可得，得C=-1．于是f(x)=cosx-xsinx-1，不仅当x≠0时成立，而且对x=0也成立，即 f(x)=cosx-xsinx-1，x∈(-∞，+∞)，故 f"(x)=-2sinx-xcosx，x∈(-∞，+∞)．证明：（分数：4.00）(1).若f(x)在[a，b]上连续，则存在ξ∈(a，b) 2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：设M和m分别是连续函数f(x)在区间[a，b](b＞a)上的最大值和最小值，则有不等式两边同时除以(b-a)得到显然，介于函数f(x)的最大值和最小值之间．根据闭区间上连续函数的介值定理可知．在区间[a，b]上至少存在一点ξ，使得函数f(x)在该点处的函数值与相等，即等式两边同时乘以(b-a)可得结论得证．(2).若φ(x)有二阶导数，且满足φ(2)＞φ(1)ξ∈(1，3)，使得φ"(ξ)＜0．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：由第一小题知，至少存在一点η∈(2，3)，使得，又，所以有φ(2)＞φ(1)，φ(2)＞φ(η)．因为φ(x)有二阶导数，所以由拉格朗日微分中值定理可知，至少存在一点ξ1∈(1，2)，使得且至少存在一点ξ2∈(2，η)，使得再由拉格朗日微分中值定理可知，至少存在一点ξ∈(ξ1，ξ2 )，使得14.设函数f(x)可导，且有f"(x)+xf"(x-1)=4，又求（分数：4.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：对变限积分，需经过两次求导，方可得到f(x)的导数形式，而中含有x，需先换元再求导．可设u=xt，则所以即两边同时对x求导得再次对x求导得f"(x)+xf"(x-1)+2f(x-1)=24x 2 +6x，将f"(x)+xf"(x-1)=4代入得f(x-1)=12x 2 +3x-2，故15.设f(x)在[0，+∞)内可导，f(0)=1，且满足求（分数：4.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：∫[f"(x)-f"(x)]e -x dx=∫f"(x)e -x dx-∫f"(x)e -x dx．由于∫f"(x)e -x dx=f"(x)e -x+∫f"(x)e -x dx，所以∫[f"(x)-f"(x)]e -x dx=f"(x)e -x +C．对于方程令x=0得f"(0)=f"(0)=1．对两边求导，有(1+x)f"(x)+f"(x)-(1+x)f"(x)-f(x)+f(x)=0，即 (1+x)f"(x)-xf"(x)=0．令p=f"(x)，有即 lnp=x-ln(1+x)+lnC，所以，即又f"(0)=1，于是C=1，即，所以16.设质点P所受的作用力为F，其大小反比于点P到坐标原点O的距离，比例系数为k；其方向垂直于P、O的连线，指向如下图所示，试求质点P由点经曲线到点时，力F所做的功．（分数：4.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：设点P坐标为P(x，y)，∠POB=θ，则故其中L为从点沿到点的一段．设，因故曲线积分①在第一象限与路径无关，可选择从A到B的直线段积分．所在的直线方程为，故17.求直线在平面π：x-y+2x-1=0上的投影直线L 0的方程，并求L 0绕y轴旋转一周所成曲面的方程．（分数：4.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：经过L作平面π1与π垂直，则π1与π的交线就是L在π上的投影，L的方向向量s={1，1，-1}，π的法向量n={1，-1，2}是平面π1上的两个不共线向量，点p 0 (1，0，1)是L上一定点，设p 1(x，y，z)是平面π1上任一点，则共面，即即x-3y-2z+1=0．故L在π上的投影是为求L 0绕Y轴的旋转面，先把L 0表示为以Y为参数的形式，则旋转面的参数方程为消去θ得即旋转曲面的方程为4x 2 -17y 2 +4z 2 +2y-1=0．18.已知f(x，y)的2阶偏导存在且连续，且f(x，0)=1，f" yy(x，y)=x 2+2x+4，f" y(1，0)=-cos1，求f(x，y)的表达式．（分数：4.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：f" yy (x，y)=x 2 +2x+4两边对y积分得f" y (x，y)=(x 2 +2x+4)y+φ(x)，①式①两边对x求偏导得则对φ"(x)取积分得所以(C为任意常数)．代入点(1，0)得则，故对式②两边求积分：代入点(x，0)，f(x，0)=C 1 =1，所以f(x，y)在点(0，0)处的连续性以及可微性．（分数：4.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：(1)因为sin(x 2 +y 2)≤x 2 +y 2，所以0≤|f(x，y)|≤|x+y|，且所以所以f(x，y)在点(0，0)处连续．(2)同理f" y (0，0)=1，因为所以式①为0，即f(x，y)在点(0，0)处可微．综上f(x，y)在点(0,0)处连续可微．4.00）(1). 2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：(x，y)≠(0，0)时，(2).f(x，y)在点(0，0)处是否可微?为什么? 2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：因为又因此在点(0，0)处连续，故f(x，y)在点(0，0)处可微，且微分为零．设u=u(x，t)有二阶连续偏导数，并满足其中a＞0为常数．（分数：3.99）(1).作自变量代换ξ=x-at u对x，t的一、二阶偏导数与u对ξ，η的一、二阶偏导数的关系式．（分数：1.33）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：由复合函数求导法求导得(2).导出u作为ξ，η的函数的二阶偏导数所满足的方程．（分数：1.33）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：由第一小题中的式①、②及题设条件得即(3).求u(x，t)．（分数：1.33）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：把式③写成，即与η无关，h(ξ)是连续可微的任意函数，再对ξ积分一次，并注意到积分常数可依赖η，于是将u=f(ξ)+g(η)用变量x，t表示得u(x，t)=f(x-at)+g(x+at)，其中，f(ξ)，g(η)是任意二阶连续可微的函数．20.已知一个三角形的周长为16，求使它绕自己的一边旋转时所构成旋转体体积最大时的三角形。

浙江省2021年专升本：高等数学考试真题与答案解析一、选择题本大题共5小题，每小题4分，共20分。

1、设，则在内（ C ）⎪⎩⎪⎨⎧≤>=00,,sin )(x x xx x x f )(x f )1,1(-A 、有可去间断点B 、连续点C 、有跳跃间断点D 、有第二间断点解析：1sin lim )(lim ,0lim )(lim 0====++--→→→→xxx f x x f x x x x ，但是又存在，是跳跃间断点)(lim )(lim 0x f x f x x +-→→≠ 0=∴x 2、当时，是的（ D ）无穷小0→x x x x cos sin -2x A 、低阶B 、等阶C 、同阶D 、高阶解析：高阶无穷小02sin lim 2sin cos cos lim cos sin lim0020==+-=-→→→xx x x x x x x x x x x x ⇒3、设二阶可导，在处，，则在处（ B ）)(x f 0x x =0)(0<''x f 0)(lim 0=-→x x x f x x )(x f 0x x =A 、取得极小值B 、取得极大值C 、不是极值D 、是拐点())(0,0x f x 解析：，则其，0000)()(lim)(,0)(lim00x x x f x f x f x x x f x x x x --='∴=-→→ 0)(,0)(00=='x f x f 为驻点，又是极大值点。

0x 000)(x x x f =∴<'' 4、已知在上连续，则下列说法不正确的是（ B ）)(x f []b a ,A 、已知，则在上，⎰=ba dx x f 0)(2[]b a ,0)(=x f B 、，其中⎰-=xx x f x f dt t f dx d 2)()2()([]b a x x ,2,∈C 、，则内有使得0)()(<⋅b f a f ()b a ,ξ0)(=ξfD 、在上有最大值和最小值，则)(x f y =[]b a ,M m ⎰-≤≤-baa b M dx x f a b m )()()(解析：A.由定积分几何意义可知，，为在上与轴围成的面积，0)(2≥x f dx x f ba)(2⎰)(2x f []b a ,x 该面积为0，事实上若满足⇒0)(2=x f )(x f )(0)(0)(b x a x f dx x f ba≤≤=⇒⎪⎩⎪⎨⎧=⎰非负连续B.)()2(2)(2x f x f dx x f dx d xx-=⎰C.有零点定理知结论正确D.由积分估值定理可知，，，()b a x ,∈M x f m ≤≤)(则)()()()(a b M dx x f a b m Mdx dx x f mdx babababa-≤≤-⇒≤≤⎰⎰⎰⎰5、下列级数绝对收敛的是（ C ）A 、B 、∑∞=-+-111)1(n n n ∑∞=-+-11)1ln()1(n n n C 、D 、∑∞=+139cos n n n ∑∞=11n n解析：A.，由发散发散1111lim =+∞→nn n ∑∞=11n n 11+⇒n B.，由发散发散011lim )1ln(lim )1ln(11lim =+=+=+∞→∞→∞→n n n n n n n n ∑∞=11n n ∑∞=+⇒1)1ln(1n n C.，而=1，由收敛收敛收敛919cos 22+≤+n n n232191lim n n n +∞→∑∞=1231n n ⇒912+n ⇒9cos 2+n n D.发散∑∞=11n n二、填空题6、axx e x a =+→1)sin 1(lim 解析：axa x a xx a x a xx xx e e e ex a x x ====+⋅+++→→→→1cos sin 11lim )sin 1ln(lim )sin 1ln(11000lim )sin 1(lim 7、，则3sin )23()3(lim=--→xx f f x 23)3(='f 解析：3)3(22)3()23(lim 2sin )23()3(lim00='=---=--→→f xf x f x x f f x x 8、若常数使得，则b a ,5)(cos sin lim 20=--→b x ae xx x 9-=b 解析：5)(cos lim )(cos sin lim2020=--=--→→ae b x x b x a e x x x x x 所以根据洛必达法则可知：1,01==-a a 212cos lim 2)(cos lim00b b x x b x x x x -=-=-→→9,521-==-b b9、设，则⎩⎨⎧-=+=tt y t x arctan )1ln(11==t dx dy 解析：，2221)1(11111t t t tt dtdxdt dydx dy++=++-=11==t dx dy 10、是所确定的隐函数，则)(x f y =0122=--y x 32222y x y dx y d -=解析：方程两边同时求导，得：，，022='-y y x yx y ='方程同时求导，得：，将带入，022='-y y x 0)(12=''-'-y y y yxy ='则得，，0(12=''--y y y x 32232221y x y y x y y dx y d -=-=''=11、求的单增区间是21x xy +=)1,1(-解析：，令，则，2222222)1(1)1(21x x x x x y +-=+-+='0>'y 12<x 11<<-x 12、求已知，则 ⎰+=C e dx x f x 2)(=⋅∑==∞→)(1lim 10n kf nn k n 1-e 解析：1)()()((1lim 10101012-=+===⋅⎰⎰∑==∞→e C e dx x f dx x f n kf n x n k n 13、=⎰+∞dx x x e2)(ln 11解析：1ln 1ln )(ln 1)(ln 122=-==∞++∞+∞⎰⎰ee exx d x dx x x 14、由：围成的图形面积为2x y =2,1==x y 34解析：34)31()1(212132=-=-=⎰x x dx x A 15、常系数齐次线性微分方程的通解为（为任意常数）02=+'-''y y y x e x C C y )(21+=21C C 解析：特征方程：，特征根：0122=+-r r 121==r r 通解为（为任意常数）x e x C C y )(21+=21C C三、计算题本大题共8小题，其中16-19小题每小题7分，20-23小题每小题8分，共60分。