第七章 刚体力学

�
ν x2 = − 0.77(m / s2 ) R
7.1.5
钢制炉门由两个各长 1.5m 的平行臂 AB 和 CD 支承， 以角速度
ω = 10rad / s 逆时针转动，求臂与铅直 45� 时门中心 G 的速度和加速度.
[解 答] 因炉门在铅直面内作平动，门中心 G 的速度、加速度与 B 或 D 点相同。所以：
一 点 A 当 t=0 时 恰 好 在 x 轴 上 ， 该 点 的 角 坐 标 满 足
� θ = 1.2t + t 2 (θ : rad, t : s). 求（1）t=0 时， （2）自 t=0 开始转 45 时， （3）
转过 90 时，A 点的速度和加速度在 x 和 y 轴上的投影. [解 答]
∵θ = 1.2t + t 2 ω = 1.2 + 2t β =2 � ˆ t = 0, ω = 1.2,ν A = Rω ˆ j = 0.12j(m/s). ∴ν x = 0,ν y = 0.12(m/s)
a x = an = −
2 νy
�
（1）
R
= −0.144(m / s 2 )
a y = Rβ = 0.2(m / s2 )
（2） θ = 45 时，
π , 得t = 0.47(s) 4 ∴ω = 2.14(rad / s) � � � v = ω ×R 由 A θ = 1.2t + t 2 =
ˆ i = 0 R cos θ ˆj 0 R sin θ ˆk ˆ − 0.1 ˆ ω = 0.15j 5i 0
2 2
由于桨头同时参与两个运动：匀速直线运动和匀速圆周运 动。故桨头轨迹应是一个圆柱螺旋线。 7.1.8 桑塔纳汽车时速为 166km/h.车轮滚动半径为 0.26m.自发动
机至驱动轮的转速比为 0.909.问发动机转速为每分多少转. [解 答] 设发动机转速为 n 发 ，驱动轮的转速为 n 轮 。
2 2 2
3 2
∫
π 2 0
R 4 cos4 θ dθ
∫
π 2 0
1 + cos 2θ 2 1 ( ) dθ = mR 2 2 4
R
4 m I= 2 或 3 πR
n 2 2
∫
0
(R − x ) dx,
n
2
3 2 2
利用公式
n −1 u(u 2 ± a 2 ) 2 na 2 2 2 2 2 (u ± a ) du = ± (u ± a ) du ∫ ∫ n +1 n +1
取地面为基本参考系，收割机为运动参考系。
� � � ∴ν 轮 = ν 板 + ν 牵
取收割机前进的方向为坐标系正方向
∴−ν 板对地 = −ν 板对轴 +ν 轴对地 = − ∴ν 板对地 = 0.53(m / s) � ˆ / s) ∴ν 板对地 = −0.53i(m
πn D × + 1.2 = −0.53(m / s) 30 2
∵ ∑ M z = Iz β z
∴ βz =
∑M
Iz
z
= −15.68(rad / s 2 )
ωz = ω0z + β z t=41.9 − 15.68t
t=2.67(s)
7.3.6
均质杆可绕支点 O 转动，当与杆垂直的冲力作用某点 A 时，
支点 O 对杆的作用力并不因此冲力之作用而发生变化， 则 A 点称为打 击中心.设杆长为 L，求打击中心与支点的距离. [解 答] 杆不受 F 作用时，支点 O 对杆的作用力 N ，方向竖直向上，大小
�
∴ν x = −0.15(m / s),ν y = 015(m / s) � dν A d � aA = = (− Rω sin θ ˆ i + Rω cos θ ˆj) dt dt
d R(−ω sin θ ˆ i + ω cos θ ˆj) dt ˆ + (−ω 2 sin θ + β cos−1 θ )ˆj = R[( − ω 2 cos θ − β sin θ )i = ˆ − 0.465i(m ˆ / s2 ) = −0.183j ∴ a x = −0.465(m / s 2 ), a y = −0.183(m / s 2 )
ν 相 = ωR = πn ×1.5 = 314.16(m / s) 30
（2）研究桨头相对于基本参考系的运动：
� � � � � ∵ν 绝 = ν 相 + ν 牵 ,ν 相 ⊥ ν 牵 ⎛ 250 × 1000 ⎞ ∴ν 绝 = (314.16) + ⎜ ⎟ = 321.7(m / s) ⎝ 3600 ⎠
由题意：
n发 = 0.909, n 发 = 0.909n 轮 n轮
（1）
166 × 103 , 汽车的速率为 60 ∵ 2π R 轮n 轮 = 166 × 103 60
166 × 103 ∴n轮 = 2π R 轮 60 n 发 = 0.909
（2）
166 × 103 = 1.54 × 103 (rev / min) 2π R 轮 60
∫
L
0
π h a L m = ∫ ρ 0 (1 − )π ( ⋅ x )2 dx = ρ 0π a 2 0 L L 4 质量
7.2.3
长度为 ℓ 的均质杆， 令其竖直地立于光滑的桌面上， 然后放开
手，由于杆不可能绝对沿铅直方向，故随即到下.求杆子的上端点运 动的轨迹（选定坐标系，并求出轨迹的方程式）. [解 答] 建立坐标系，水平方向为 x 轴，竖直方向为 y 轴.杆上端坐标为 （x,y）,杆受重力、地面对杆竖直向上的支承力，无水平方向力。
圆孔中心在半径 R 的中点， 求剩余部分对过大圆盘中心且与盘面垂直 的轴线的转动惯量. [解 答] 设未挖两个圆孔时大圆盘转动惯量为 I。如 图半径为 r 的小圆盘转动惯量为 I1 和 I2 。 则有 Ix = I − I1 − I2
= =
R r r
（ I1 = I 2 ）
1 1 m M R MR 2 − 2[ iπ r 2 r 2 + π r 2 ( )2 ] 2 2 2 2 πR πR 2 1 2r 4 M(R 2 − r 2 − 2 ) 2 R
2
7.3.5
一转动系统的转动惯量为 I = 8.0kg.m ，转速为 ω = 41.9rad / s ，
两 制 动 闸 瓦 对 轮 的 压 力 都 为 392N ， 闸 瓦 与 轮 缘 间 的 摩 擦 系 数 为
µ = 0.4 ，轮半径为 r = 0.4m ，从开始制动到静止需要用多少时间？
[解 答]
1 2 2 I1 = 3 m ℓ L ≐ 0.14(kg im ) 1 2 2 I2 = 2 m r r + m r (L + r) ≐ 2.51(kg im 2 )
2 I=0.14+2.51=2.65 (kgi m )
（用平行轴定理）
7.3.3
在质量为 M 半径为 R 的均质圆盘上挖出半径为 r 的两个圆孔，
第七章刚体力学 7.1.1
习题
设地球绕日作圆周运动.求地球自转和公转的角速度为多少
rad/s?估算地球赤道上一点因地球自转具有的线速度和向心加速度. 估算地心因公转而具有的线速度和向心加速度 （自己搜集所需数据） . [解 答]
2π = 7.27 ×10-5 (rad/s) 24 × 3600 2π ω公 = = 2.04 × 10-7 (rad/s) 365 × 24 × 3600
[解 答]
I = 2∫
R
0
1 m 4 m (2 R 2 − x 2 )2 (2 R 2 − x 2 )dx= 2 12 πR 3 π R2
∫
R
3
0
(R 2 − x 2 ) 2 dx
令 x = R sin θ
4 m I= 3 π R2 4 m = 3 πR2
∫
π 2 0
4 m (R − R sin θ ) R cosθ dθ = 3 πR2
（2）代入（1） 7.2.2
在下面两种情况下求直圆锥体的总质量和质心位置.（1）圆
锥体为均质； （2）密度为 h 的函数:
h ρ = ρ � (1 − ), ρ � L 为正常数.
[解 答] 建立如图坐标 O-x,由对称轴分析知质心在 x 轴上。
xc
由
xc
∫ xdm = ∫ x ρ dv = ∫ xdv = ∫ dm ∫ ρ dv ∫ dv
7所在半径为 150cm，发动
机转速 2000rev/min.（1）桨尖相对于飞机的线速率等于多少？（2） 若飞机以 250km/h 的速率飞行，计算桨尖相对于地面速度的大小， 并 定性说明桨尖的轨迹. [解 答] 取地球为基本参考系，飞机为运动参考系。 （1）研究桨头相对于运动参考系的运动：
1 mℓ 2 12 与杆垂直的轴线的转动惯量等于 .
[解 答] 建立水平方向 o—x 坐标
dI = x 2 m dx ℓ
ℓ 2 0
I = 2∫ x 2
m 1 dx = mℓ2 ℓ 12
（2）用积分法证明：质量为 m、半径为 R 的均质薄圆盘对通过中心
1 mR 2 且在盘面内的转动轴的转动惯量为 4 .
球 t 时刻的角速度和角加速度. [解 答]
θ = at + bt 3 − ct 4
ω=
dθ = a + 3bt 2 − 4ct 3 dt dω β= = 6bt − 12ct 2 dt
7.1.4
半径为 0.1m 的圆盘在铅直平面内转动，在圆盘平面内建立
O-xy 坐标系，原点在轴上.x 和 y 轴沿水平和铅直向上的方向.边缘上
� � N F 为杆的重量。依题意，当杆受力 时， 不变。建立如图坐标系， z 轴 � �