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力学（第二版）漆安慎习题解答第七章刚体力学第七章 刚体力学 一、基本知识小结⒈刚体的质心定义：∑⎰⎰==dm dm r r mr m r c i i c //求质心方法：对称分析法，分割法，积分法。
⒉刚体对轴的转动惯量定义：∑⎰==dm r I r m I ii 22平行轴定理 I o = I c +md 2 正交轴定理 I z = I x +I y.常见刚体的转动惯量：（略） ⒊刚体的动量和质心运动定理∑==c c a m F v m p⒋刚体对轴的角动量和转动定理∑==βτωI I L⒌刚体的转动动能和重力势能c p k mgy E I E ==221ω⒍刚体的平面运动=随质心坐标系的平动+绕质心坐标系的转动动力学方程：∑∑==c c c c I a m F βτ（不必考虑惯性力矩）动能：221221cc c k I mv E ω+= ⒎刚体的平衡方程∑=0F， 对任意轴∑=0τ二、思考题解答7.1 火车在拐弯时所作的运动是不是平动？答：刚体作平动时固联其上的任一一条直线，在各时刻的位置（方位）始终彼此平行。
若将火车的车厢看作一个刚体，当火车作直线运行时，车厢上各部分具有平行运动的轨迹、相同的运动速度和加速度，选取车厢上的任一点都可代替车厢整体的运动，这就是火车的平动。
但当火车拐弯时，车厢上各部分的速度和加速度都不相同，即固联在刚体上任一条直线，在各时刻的位置不能保持彼此平行，所以火车拐弯时的运动不是平动。
7.2 对静止的刚体施以外力作用，如果合外力为零，刚体会不会运动？答：对静止的刚体施以外力作用，当合外力为了零，即0i c F ma ==∑时，刚体的质心将保持静止，但合外力为零并不表明所有的外力都作用于刚体的同一点。
所以，对某一确定点刚体所受合外力的力矩i i iM M r F ==⨯∑∑不一定为零。
由刚体的转动定律M J α=可知，刚体将发生转动。
比如，置于光滑水平面上的匀质杆，对其两端施以大小相同、方向相反，沿水平面且垂直于杆的两个作用力时，杆所受的外力的合力为零，其质心虽然保持静止，但由于所受合外力矩不为零，将作绕质心轴的转动。
第七章刚体力学习题解答7.1.2 汽车发动机的转速在12s 内由1200rev/min 增加到3000rev/min.⑴假设转动是匀加速转动，求角加速度。
⑵在此时间内，发动机转了多少转？解：⑴21260/2)12003000(/7.15s rad t===-∆∆πωβ⑵rad 27.152)60/2)(12003000(21039.26222202⨯===∆⨯--πβωωθ对应的转数=42010214.3239.262≈⨯=⨯∆πθ7.1.3 某发动机飞轮在时间间隔t 内的角位移为):,:(43s t rad ct bt at θθ-+=。
求t 时刻的角速度和角加速度。
解：23212643ct bt ct bt a dtd dtd -==-+==ωθβω7.1.4 半径为0.1m 的圆盘在铅直平面内转动，在圆盘平面内建立o-xy 坐标系，原点在轴上，x 和y 轴沿水平和铅直向上的方向。
边缘上一点A 当t=0时恰好在x 轴上，该点的角坐标满足θ=1.2t+t 2 (θ:rad,t:s)。
⑴t=0时，⑵自t=0开始转45º时，⑶转过90º时，A 点的速度和加速度在x 和y 轴上的投影。
解：0.222.1==+==dtd dtd t ωθβω⑴t=0时，s m R v v y x /12.01.02.10,2.1=⨯====ωω2222/2.01.00.2/144.01.0/12.0/sm R a a s m R v a a y y n x =⨯===-=-=-=-=βτ⑵θ=π/4时,由θ=1.2t+t 2,求得t=0.47s,∴ω=1.2+2t=2.14rad/ssm R v s m R v y x /15.02/21.014.245sin /15.02/21.014.245cos =⨯⨯=︒=-=⨯⨯-=︒-=ωω222222222222/182.0)14.20.2(1.0)(45sin 45sin 45sin /465.0)14.20.2(1.0)(45cos 45cos 45cos s m R R R a s m R R R a y x -=-⨯=-︒=︒-︒=-=+⨯-=+︒-=︒-︒-=ωβωβωβωβ⑶θ=π/2时,由θ=1.2t+t 2,求得t=0.7895s,ω=1.2+2t=2.78rad/s2222/77.01.078.2/2.01.00.20/278.01.078.2s m R a s m R a v s m R v y x y x -=⨯-=-=-=⨯-=-==-=⨯-=-=ωβω7.1.5 钢制炉门由两个各长1.5m 的平行臂AB 和CD 支承，以角速率ω=10rad/s 逆时针转动，求臂与铅直成45º时门中心G 的速度和加速度。
第七章刚体力学习题及解答7。
1.1 设地球绕日作圆周运动.求地球自转和公转的角速度为多少rad/s?估算地球赤道上一点因地球自转具有的线速度和向心加速度。
估算地心因公转而具有的线速度和向心加速度（自己搜集所需数据）。
解：7.1.2 汽车发动机的转速在12s内由1200rev/min增加到3000rev/min。
（1）假设转动是匀加速转动,求角加速度.（2）在此时间内,发动机转了多少转？解：（ 1）（ 2)所以转数 =7.1.3 某发动机飞轮在时间间隔t内的角位移为球 t时刻的角速度和角加速度.解：7.1.4 半径为0。
1m的圆盘在铅直平面内转动,在圆盘平面内建立坐标系,原点在轴上。
x和y轴沿水平和铅直向上的方向.边缘上一点A当t=0时恰好在x轴上,该点的角坐标满足求（1）t=0时，(2)自t=0开始转时，（3）转过时，A点的速度和加速度在x和y轴上的投影。
解:（ 1）( 2) 时，由（ 3）当时，由7。
1。
5 钢制炉门由两个各长1.5m的平行臂AB和CD支承，以角速度逆时针转动，求臂与铅直时门中心G的速度和加速度.解:因炉门在铅直面内作平动，门中心 G的速度、加速度与B或D点相同.所以：7。
1.6 收割机拔禾轮上面通常装4到6个压板。
拔禾轮一边旋转，一边随收割机前进。
压板转到下方才发挥作用，一方面把农作物压向切割器，另一方面把切割下来的作物铺放在收割台上,因此要求压板运动到下方时相对于作物的速度与收割机前进方向相反.已知收割机前进速率为 1。
2m/s，拔禾轮直径1.5m，转速22rev/min，求压板运动到最低点挤压作物的速度.解：取地面为基本参考系，收割机为运动参考系。
取收割机前进的方向为坐标系正方向7。
1.7 飞机沿水平方向飞行，螺旋桨尖端所在半径为150cm,发动机转速2000rev/min。
（1)桨尖相对于飞机的线速率等于多少？（2）若飞机以250km/h的速率飞行,计算桨尖相对于地面速度的大小，并定性说明桨尖的轨迹。
第七章 刚体力学 习题7.1.1 设地球绕日作圆周运动.求地球自转和公转的角速度为多少rad/s?估算地球赤道上一点因地球自转具有的线速度和向心加速度.估算地心因公转而具有的线速度和向心加速度（自己搜集所需数据）.[解 答]-527.2710(rad/s)243600πω==⨯⨯自-72 2.0410(rad/s)365243600πω==⨯⨯⨯公R νω=自22n a RRνω==7.1.2 汽车发动机的转速在12s 内由1200rev/min 增加到3000rev/min.（1）假设转动是匀加速转动，求角加速度.(2)在此时间内，发动机转了多少转？[解 答] （1）22(30001200)1/601.57(rad /s )t12ωπβ⨯-⨯===（2）22222()(30001200)302639(rad)2215.7πωωθβ--===⨯所以 转数=2639420()2π=转7.1.3 某发动机飞轮在时间间隔t 内的角位移为34at bt ct θ=+- (:rad,t :s).θ球t 时刻的角速度和角加速度.[解 答]34at bt ct θ=+-23d a 3bt 4ct dt θω==+-2d 6bt 12ct dt ωβ==-7.1.4 半径为0.1m 的圆盘在铅直平面内转动，在圆盘平面内建立O-xy 坐标系，原点在轴上.x 和y 轴沿水平和铅直向上的方向.边缘上一点A 当t=0时恰好在x 轴上，该点的角坐标满足21.2t t (:rad,t :s).θθ=+求（1）t=0时，（2）自t=0开始转45时，（3）转过90时，A 点的速度和加速度在x 和y 轴上的投影.[解 答]21.2t t 1.22t 2θωβ=+=+=（1） A ˆˆt 0,1.2,R j 0.12j(m/s).0,0.12(m/s)x y ωνωνν====∴== 22n a a 0.144(m /s )Ryx ν==-=-2y a R 0.2(m/s )β==（2）45θ=时，由2A 1.2t t ,t 0.47(s)42.14(rad /s)v Rπθωω=+==∴==⨯得ˆˆˆ i j kˆˆ 0 0 0.15j0.15i R cos R sin 0ωθθ==-x y A A 0.15(m /s),015(m /s)d dˆˆa (R sin i R cos j)dt dt νννωθωθ∴=-===-+221222x y dˆˆR(sin i cos j)dtˆˆR[(cos sin )i (sin cos )j ˆˆ0.183j0.465i(m /s )a 0.465(m /s ),a 0.183(m /s )ωθωθωθβθωθβθ-=-+=--+-+=--∴=-=-（3）当90θ=时，由2A x y 2x 22x y 1.2t t ,t 0.7895(s), 2.78(rad /s)2ˆˆv R i 0.278i(m/s)0.278(m /s),0(m /s)a R 0.2(m /s )a 0.77(m /s )Rπθωωννβν=+====-⨯=-∴=-==-=-=-=-得7.1.5 钢制炉门由两个各长1.5m 的平行臂AB 和CD 支承，以角速度10rad/s ω=逆时针转动，求臂与铅直45时门中心G 的速度和加速度.[解 答]因炉门在铅直面内作平动，门中心G 的速度、加速度与B 或D 点相同。
所以：G 222G AB 1.51015(m/s)a AB 1.510150(m/s )νωω=⋅=⨯==⋅=⨯=7.1.6 收割机拔禾轮上面通常装4到6个压板.拔禾轮一边旋转，一边随收割机前进.压板转到下方才发挥作用，一方面把农作物压向切割器，另一方面把切割下来的作物铺放在收割台上，因此要求压板运动到下方时相对于作物的速度与收割机前进方向相反.已知收割机前进速率为1.2m/s ，拔禾轮直径1.5m ，转速22rev/min,求压板运动到最低点挤压作物的速度.[解 答]取地面为基本参考系，收割机为运动参考系。
ννν∴=+板牵轮取收割机前进的方向为坐标系正方向n D1.20.53(m /s)3020.53(m /s)ˆ0.53i(m /s)πννννν∴-=-+=-⨯+=-∴=∴=-板对地板对轴轴对地板对地板对地7.1.7 飞机沿水平方向飞行，螺旋桨尖端所在半径为150cm ，发动机转速2000rev/min.（1）桨尖相对于飞机的线速率等于多少？（2）若飞机以250km/h 的速率飞行，计算桨尖相对于地面速度的大小，并定性说明桨尖的轨迹.[解 答]取地球为基本参考系，飞机为运动参考系。
（1）研究桨头相对于运动参考系的运动：nR 1.5314.16(m /s)30πνω==⨯=相（2）研究桨头相对于基本参考系的运动：,(314.16)321.7(m /s)3600νννννν=+⊥∴=+= ⎝绝相牵相牵绝由于桨头同时参与两个运动：匀速直线运动和匀速圆周运动。
故桨头轨迹应是一个圆柱螺旋线。
7.1.8 桑塔纳汽车时速为166km/h.车轮滚动半径为0.26m.自发动机至驱动轮的转速比为0.909.问发动机转速为每分多少转.[解 答]设发动机转速为n 发，驱动轮的转速为n 轮。
由题意：n 0.909,n 0.909n n ==发发轮轮 （1）汽车的速率为316610,60⨯ 3166102R n 60π⨯=轮轮316610n 2R 60π⨯∴=轮轮 （2） （2）代入（1）3316610n 0.9091.5410(rev /min)2R 60π⨯==⨯发轮7.2.2 在下面两种情况下求直圆锥体的总质量和质心位置.（1）圆锥体为均质；（2）密度为h 的函数:h (1),Lρρρ=-为正常数.[解 答]建立如图坐标O-x,由对称轴分析知质心在x 轴上。
由cdm dv dv dm dv dv x x x x ρρ===⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 得：（1质量 21m v a L 3ρπρ==（2）L200c 200a h ()(1)d 4L L L(h=L )h a 5(1)()d L L x x x x x x x ππρρπ⋅⋅-==--⋅⎰⎰质量22000h a Lm (1)()d a L L 4x x πρπρπ=-⋅=⎰ 7.2.3 长度为的均质杆，令其竖直地立于光滑的桌面上，然后放开手，由于杆不可能绝对沿铅直方向，故随即到下.求杆子的上端点运动的轨迹（选定坐标系，并求出轨迹的方程式）.[解 答]建立坐标系，水平方向为x 轴，竖直方向为y 轴.杆上端坐标为（x,y ）,杆受重力、地面对杆竖直向上的支承力，无水平方向力。
由i c F a m =∑外（质心运动定理）质心在杆的中点，沿水平方向质心加速度为零。
开始静止，杆质心无水平方向移动。
由杆在下落每一瞬时的几何关系可得：222(2x)y +=即杆上端运动轨迹方程为：x2224x y +=7.3.1 （1）用积分法证明：质量为m 长为的均质细杆对通过中心且与杆垂直的轴线的转动惯量等于21m12.[解 答]建立水平方向o —x 坐标2m dI x dx=2220m1I 2x dx m 12==⎰（2）用积分法证明：质量为m 、半径为R 的均质薄圆盘对通过中心且在盘面内的转动轴的转动惯量为21mR 4.[解 答]3RR2222221m 4m I 2(R x )dx12R 3R ππ=-⎰⎰令x Rsin θ=322244222224m 4mI (R R sin )R cos d R cos d 3R 3R ππθθθθθππ=-=⎰⎰=22224m1cos 21()d mR 3R24πθθπ+=⎰或3R22224mI (R x )dx,3Rπ=-⎰利用公式n n n 22221222222u(u a )na (u a )du (u a )du n 1n 1-±±=±±++⎰⎰7.3.2 图示实验用的摆，0.92m =，r 0.08m =，m 4.9kg =，r m 24.5kg =，近似认为圆形部分为均质圆盘，长杆部分为均质细杆.求对过悬点且与摆面垂直的轴线的转动惯量.[解 答]将摆分为两部分：均匀细杆（1I ），均匀圆柱（2I ） 则12I I I =+1I =221m L0.14(kg m )32I =22r r1m r m (L r)2++ （用平行轴定理）22.51(kg m ) I=0.14+2.51=2.652(kg m ) 7.3.3 在质量为M 半径为R 的均质圆盘上挖出半径为r 的两个圆孔，圆孔中心在半径R 的中点，求剩余部分对过大圆盘中心且与盘面垂直的轴线的转动惯量.[解 答]设未挖两个圆孔时大圆盘转动惯量为I 。
如图半径为r 的小圆盘转动惯量为1I 和2I 。
则有x 12I I I I =-- （12I I =）222222211m M R MR 2[r r r ()]22R R 2ππππ=-+422212r M(R r )2R =--7.3.5 一转动系统的转动惯量为2I 8.0kg.m =，转速为41.9rad /s ω=，两制动闸瓦对轮的压力都为392N ，闸瓦与轮缘间的摩擦系数为0.4μ=，轮半径为r 0.4m =，从开始制动到静止需要用多少时间？[解 答] zz z MI β=∑z2z zM15.68(rad /s )I β∴==-∑z 0z z t=41.915.68tt=2.67(s)ωωβ=+-7.3.6 均质杆可绕支点O 转动，当与杆垂直的冲力作用某点A 时，支点O 对杆的作用力并不因此冲力之作用而发生变化，则A 点称为打击中心.设杆长为L ，求打击中心与支点的距离.[解 答]杆不受F 作用时，支点O 对杆的作用力N ，方向竖直向上，大小为杆的重量。
依题意，当杆受力F 时，N 不变。
建立如图坐标系，z 轴垂直纸面向外。
由质心运动定理得：（O x -方向投影）c F ma =（质心在杆中点） （1）由转动定理得：201F OA I mL 3ββ⋅== （2）有角量与线量的关系c 1a L 2β=（3）（1）（2）（3）联立求解21mL 23OA L 13L 2ββ==7.3.7 现在用阿特伍德机测滑轮转动惯量.用轻线且尽可能润滑轮轴.两端悬挂重物质量各为1m 0.46kg =，且2m 0.5kg =.滑轮半径为0.05m .自静止始，释放重物后并测得5.0s 内2m 下降0.75m .滑轮转动惯量是多少？[解 答]分析受力。
建立坐标系，竖直向下为x 轴正方向，水平向左为y 轴正方向。
z 轴垂直纸面向里。
根据牛顿第二定律，转动定理，角量与线量关系可列标量方程组：()1111222212m g T m a m g T m (a )T T R I β⎧-=⎪-=-⎨⎪''-=⎩已知21121122121a R ,a a ,T T ,T T ,at m ,m ,R,,t 2x x β''=====（其中为已知）求解上列方程组：2122221212112a 0.06(m /s )tR I [(m m )g (m m )a ]1.3910(kg m )a x-===-++=⨯⋅7.3.8 斜面倾角为θ，位于斜面顶端的卷扬机鼓轮半径为R ，转动惯量为I ，受到驱动力矩M ，通过绳索牵引斜面上质量为m 的物体，物体与斜面间的摩擦系数为μ，求重物上滑的加速度.绳与斜面平行，不计绳质量.[解 答]分析受力及坐标如图。
