当前位置：文档之家 › 第七章-刚体力学II

第七章-刚体力学II

  • 格式：ppt
  • 大小：3.36 MB
  • 文档页数：1

下载文档原格式

  / 1

合集下载

刚体力学2

刚体力学2
§2.2 力矩 转动定律
一.力矩 M = Fd = Fr sin
r ⊙M
r r r 力矩矢量式： 力矩矢量式： M = r × F
r o r d
r F
按右手螺旋法则 右手螺旋法则如图力矩的方向为⊙ 右手螺旋法则 要按右旋规则定义坐标轴： 要按右旋规则定义坐标轴：
Y j
( )
X (i
v
r r r r r r r r r vZ i × j = k j × k = i k × i = j (k ) r r r 相同单位 r r 反序： j × i = k i ×i = 0 矢量叉乘：
转动惯量的计算: 三.转动惯量的计算 转动惯量: 转动惯量 转动惯性大小的量度 转动惯量与下列因素有关： 转动惯量与下列因素有关： ①质量大小 ; 转轴位置； ②转轴位置； 相对轴的质量分布. ③相对轴的质量分布. ---- 称为转动惯量三要素 说一个刚体的转动惯量时，只有指出该刚体 相对某一转轴的转动惯量才有明确的意义。
v
)
1
二.转动定律 转动惯量 (转动定律由牛顿定律而来) r r 质量元mi , 外力 Fi , 内力 f i
r fi O
r ri mi
O′
2
θi i
r Fi
r r r Fi + f i = mi ai
法向 Fi cos i + f i cos θ i = mi ain = miω ri 切向 Fi sin i + f i sin θ i = mi ait = mi β ri 法向力通过转轴, 力矩为零, 故不予考虑;
λ dx =
I = ∫ x 2 λdx =
d L / 2
d +L / 2

第七章 刚体动力学(讲义)

第七章 刚体动力学(讲义)

MO = ∑ MO ( Fi ) = ∑ (ri × Fi )
i =1 i =1
n
n
注意，主矩的的计算与参考点的选取有关。例如，将参考点由 O 改成 O′ ，于是
MO = ∑ ri × Fi = ∑
i =1 i =1
n
n
(ri′ + OO′) × Fi = ∑ (ri′ × Fi ) + OO′ × ∑ Fi
R = ∑ Fi
i =1
n
这是个自由矢量，它只给出矢量的大小和方向，不过问作用点的位置。 对力系的矩也可作类似的讨论。对于共点力系，合力的矩等于各个力对同一点的矩的矢量 和，即
MO ( F) = r × F = r × ∑ Fi = ∑ (r × Fi )
i =1 i =1
n
n
一般的力系中不一定存在合力，因此也就谈不上求合力的矩。但是每个力相对于同一参考 点的力矩是矢量，我们可以求这些矢量的和，并称为主矩，记为 MO ，即有
（II）刚体绕质心的转动：
dLc = ∑ ric × Fi （对质心的角动量定理） dt i
第一个式子求质心运动等同于质点动力学，可以解出刚体的平动运动部分（三个方程解三个运 动变量） 。第二个式子又可求出刚体的转动角速度 ω （ L 与 ω 有一定的关系） ，于是刚体的运动 就完全确定了。由角动量定理求刚体的转动角速度是重点讨论的内容。 7．2 作用在刚体上的力和力矩 通常矢量指的是所谓自由矢量（free vector） ：只有大小和方向，它可以平行自由移动。 作为物理量的矢量则不然，例如，力矢量 F ，为了完全确定这个力，还要说明力的作用点， 若用 r 表示作用点的话，则要有两个矢量 F 和 r ，这个力才完全被确定下来。这种矢量被称为定 位矢量（bound vector） 。除了力矢量是定位矢量外，质点的速度和加速度等也是定位矢量的例 子。 还有一种矢量，称为滑动矢量（sliding vector） ，它可在包含该矢量的一直线上自由移动。 例如，作用在刚体上的力（见下面的讨论） 。

普通物理学教程力学课后答案高等教育出版社刚体力学习题解答

普通物理学教程力学课后答案高等教育出版社刚体力学习题解答

第七章刚体力学习题解答7.1.2 汽车发动机的转速在12s 内由1200rev/min 增加到3000rev/min.⑴假设转动是匀加速转动，求角加速度。

⑵在此时间内，发动机转了多少转？解：⑴21260/2)12003000(/7.15s rad t===-∆∆πωβ⑵rad 27.152)60/2)(12003000(21039.26222202⨯===∆⨯--πβωωθ对应的转数=42010214.3239.262≈⨯=⨯∆πθ7.1.3 某发动机飞轮在时间间隔t 内的角位移为):,:(43s t rad ct bt at θθ-+=。

求t 时刻的角速度和角加速度。

解：23212643ct bt ct bt a dtd dtd -==-+==ωθβω7.1.4 半径为0.1m 的圆盘在铅直平面内转动，在圆盘平面内建立o-xy 坐标系，原点在轴上，x 和y 轴沿水平和铅直向上的方向。

边缘上一点A 当t=0时恰好在x 轴上，该点的角坐标满足θ=1.2t+t 2 (θ:rad,t:s)。

⑴t=0时，⑵自t=0开始转45º时，⑶转过90º时，A 点的速度和加速度在x 和y 轴上的投影。

解：0.222.1==+==dtd dtd t ωθβω⑴t=0时，s m R v v y x /12.01.02.10,2.1=⨯====ωω2222/2.01.00.2/144.01.0/12.0/sm R a a s m R v a a y y n x =⨯===-=-=-=-=βτ⑵θ=π/4时,由θ=1.2t+t 2,求得t=0.47s,∴ω=1.2+2t=2.14rad/ssm R v s m R v y x /15.02/21.014.245sin /15.02/21.014.245cos =⨯⨯=︒=-=⨯⨯-=︒-=ωω222222222222/182.0)14.20.2(1.0)(45sin 45sin 45sin /465.0)14.20.2(1.0)(45cos 45cos 45cos s m R R R a s m R R R a y x -=-⨯=-︒=︒-︒=-=+⨯-=+︒-=︒-︒-=ωβωβωβωβ⑶θ=π/2时,由θ=1.2t+t 2,求得t=0.7895s,ω=1.2+2t=2.78rad/s2222/77.01.078.2/2.01.00.20/278.01.078.2s m R a s m R a v s m R v y x y x -=⨯-=-=-=⨯-=-==-=⨯-=-=ωβω7.1.5 钢制炉门由两个各长1.5m 的平行臂AB 和CD 支承，以角速率ω=10rad/s 逆时针转动，求臂与铅直成45º时门中心G 的速度和加速度。

第七章 刚体力学

第七章 刚体力学

i
rc
mi ri
i

即：重心和质心重合。
M
注意：
① 该结论成立的条件是：刚体不是特别
大，各处的重力加速度相同。 ②重心仅在重力场中存在，若物体失重， 则无重心；但质心仍存在，故质心比重心更常 用到。
§7.2 刚体的平衡
刚体所受合外力为零，对任意参考点的力矩为零，则刚 体平衡。其充分必要条件可以表示为： Fi 0
解：
Q T1 T2
m1 g T1 m1a T m g m a 2 2 1 2 T1 R T2 R J a R , J MR 2 / 2
( m1 m 2 ) g a m1 m 2 M / 2
R
M
R
T1 '
Mg T ' 2
2
连续体的转动惯量： J
dm dl ：质量线密度 dm dS ：质量面密度 dm dV ：质量体密度
3.决定刚体转动惯量的因素 ⑴与刚体的体密度有关（即与m有关）； ⑵与刚体的几何形状有关（即与m的分布有关）； ⑶与刚体的转轴位置有关。
r 2 dm
dm ：质量元
即：与刚体的质量、质量的分布、以及转轴位置 有关。
P
R O m
4、垂直轴定理
如果薄板位于o-xy平面内, 则 J z J x J y
J z mi ri mi xi mi yi J y J x
2 2 2
z
yi
xi x
ri
y
mi
5. 常见对称刚体绕对称轴的转动惯量：
单个质点： I mr ，如图 7.2.2-1 (a)所示。
2

《力学》漆安慎答案07章

《力学》漆安慎答案07章

力学（第二版）漆安慎习题解答第七章刚体力学第七章刚体力学一、基本知识小结1.刚体的质心定义：r c m i r i/ m r c rdm/ dm求质心方法：对称分析法，分割法，积分法。

2.刚体对轴的转动惯量定义：I m i r i2I r2dm平行轴定理I o = l c+md2正交轴定理I z = X+I y.常见刚体的转动惯量：（略）3.刚体的动量和质心运动定理p mv c F ma c4.刚体对轴的角动量和转动定理L I I5.刚体的转动动能和重力势能E k ?I 2E p mgy c6•刚体的平面运动=随质心坐标系的平动+绕质心坐标系的转动动力学方程： F ma c c I c c（不必考虑惯性力矩）动能：E k 2mv；今I c c27.刚体的平衡方程、思考题解答火车在拐弯时所作的运动是不是平动答：刚体作平动时固联其上的任一一条直线，在各时刻的位置（方位）始终彼此平行。

若将火车的车厢看作一个刚体，当火车作直线运行时，车厢上各部分具有平行运动的轨迹、相同的运动速度和加速度，选取车厢上的任一点都可代替车厢整体的运动，这就是火车的平动。

但当火车拐弯时，车厢上各部分的速度和加速度都不相同，即固联在刚体上任一条直线，在各时刻的位置不能保持彼此平行，所以火车拐弯时的运动不是平动。

对静止的刚体施以外力作用，如果合外力为零，刚体会不会运动r r答：对静止的刚体施以外力作用，当合外力为了零，即Fi ma c 0时，刚体的质心将保持静止，但合外力为零并不表明所有的外力都作用于刚体的同一点。

所以，对某一确定点刚体所受合外力的力矩M Mi r i Fi不一定为零。

由刚体的转动定律M J可知，刚体将发生转动。

比如，置于光滑水平面上的匀质杆，对其两端施以大小相同、方向相反，沿水平面且垂直于杆的两个作用力时，杆所受的外力的合力为零，其质心虽然保持静止，但由于所受合外力矩不为零，将作绕质心轴的转动。

如果刚体转动的角速度很大，那么（1）作用在它上面的力是否一定很大（2）作用在它上面的力矩是否一定很大M r i F sin j J J「答：由刚体的定轴转动定律dt可知，刚体受对轴的合外力矩正比于绕定轴转动角速度的时间变化率。

第7章-刚体力学

第7章-刚体力学

d
3g
cos
d
0
0 2l
＝
3g sin
l
运用质心运动定理，对质心C：
nˆ F1
F
F2
l
O C
ˆt
mg
x
nˆ : F1 mg sin man ˆt : F2 mg cos mat
F
an
r2
l 2 2
3g sin 2l
l 3g cos
at
r
2
4
F12 F22
arctan F1 F2
(7.5.2)
即刚体相对于质心的轴的转动同样服从定轴转 动定律. 式(7.5.1)和(7.5.2)称刚体平面运动的基本动 力学方程.
§7.5.2 作用于刚体上的力
1.作用于刚体上力的两种效果 ·滑移矢量
(1) 施于刚体的力的特点 施于刚体的某个点的力,决不可以随便移到另一点去.
A
F
作用力通过质心，对质心轴上的 力矩为零，使刚体产生平动.
FT
11 10
mg
比较上面结果，可见提升弧形闸门
所用的拉力较小.
W
图(b)
[例题3]如图表示一种用实验方法测量转动惯量的装置。
待测刚体装在转动架上，线的一端绕在转动架的轮轴上，
线与线轴垂直，轮轴的轴体半径为r，线的另一端通过定
滑轮悬挂质量为m的重物，已知转动架惯量为I0 ，并测得 m自静止开始下落 h 高度的时间为 t ,求待测物体的转动
L
r1
r1
L2
L1
r2
O r2
m2
k
2mr 2
v1 v2 r
2如.转图轴, 为非对称k 轴对O点同样有

力学第二版习题答案第七章

第七章基本知识小结⒈刚体的质心定义：∑⎰⎰==dm dm r r mr m r c i i c//求质心方法：对称分析法，分割法，积分法。

⒉刚体对轴的转动惯量定义：∑⎰==dm r I r m Iii 22平行轴定理 I o = I c +md 2 正交轴定理 I z = I x +I y. 常见刚体的转动惯量：（略） ⒊刚体的动量和质心运动定理∑==cc a m F v m p⒋刚体对轴的角动量和转动定理∑==βτωI I L⒌刚体的转动动能和重力势能c p k mgy E I E ==21ω⒍刚体的平面运动=随质心坐标系的平动+绕质心坐标系的转动动力学方程：∑∑==cc ccI a m F βτ（不必考虑惯性力矩）动能：221221cc c kI mv E ω+=⒎刚体的平衡方程∑=0F， 对任意轴∑=0τ7.1.2 汽车发动机的转速在12s 内由1200rev/min 增加到3000rev/min.⑴假设转动是匀加速转动，求角加速度。

⑵在此时间内，发动机转了多少转？解：⑴21260/2)12003000(/7.15s rad t===-∆∆πωβ ⑵rad27.152)60/2)(12003000(21039.26222202⨯===∆⨯--πβωωθ对应的转数=42010214.3239.262≈⨯=⨯∆πθ7.1.3 某发动机飞轮在时间间隔t 内的角位移为):,:(43s t rad ct bt at θθ-+=。

求t 时刻的角速度和角加速度。

解：23212643ct bt ct bt a dt d dtd -==-+==ωθβω7.1.4 半径为0.1m 的圆盘在铅直平面内转动，在圆盘平面内建立o-xy 坐标系，原点在轴上，x 和y 轴沿水平和铅直向上的方向。

边缘上一点A 当t=0时恰好在x 轴上，该点的角坐标满足θ=1.2t+t 2 (θ:rad,t:s)。

⑴t=0时，⑵自t=0开始转45º时，⑶转过90º时，A 点的速度和加速度在x 和y 轴上的投影。

工程力学-材料力学-第7章 刚体的基本运动(唐学彬)


=0.2m,O1O2=AB=0.6m,AM=0.2m，如O1A按φ=15πt的规律转动， 其中φ以rad计，t以s计。试求t=0.8s时，M点的速度与加速度。
解： 在运动过程中，杆AB始终与O1O2平行。因此，杆AB为 平移，O1A为定轴转动。根据平移的特点，在同一瞬时M、A两 点具有相同的速度和加速度。A点作圆周运动，它的运动规律为
rB rA rAB
(7-1)
式（7-3）、（7-4）两式表明，在任何瞬时，A、B两点的速 度相同，加速度也相同。由于A、B是任取的两点，于是可推得如 下的定理： 刚体平移时，其内所有各点的轨迹的形状相同。在同一瞬时， 所有各点具有相同的速度和相同的加速度。
既然平动刚体上各点的运动规律相同，因此只须确定出刚体 内任一点的运动，就确定了整个刚体的运动。由此可知刚体平动 的问题，可归结为点的运动问题。若刚体上任一点的轨迹为直线， 则刚体的运动称为直线平移；若刚体上任一点的轨迹为平面曲线 或空间曲线，则刚体的运动称为平面平移或空间平移，或称为曲 线平移。火车沿直线轨道行驶时，其车厢的运动即是直线平动， 其平行杆的运动就是平面运动。
沿逆时针方向量取为正值，反之为负值。当刚体转 动时，位置角φ随时间t变化，是时间t的单值连续函 数，可表示为
t
（7-5）
这就是刚体的定轴转动方程。若转动方程φ（t） 已知，则刚体在任一瞬时的位置即可确定。
转角φ实际上是确定转动刚体位置的“角坐标”。
设由瞬时t到瞬时t+Δt，位置角由φ改变到φ+ Δφ ，位置角的增 量Δφ称为角位移。比值Δφ/Δt称为在时间Δt内的平均角速度。当 Δt→0时， Δφ/Δt的极限称为刚体在瞬时t的角速度，并用字母ω表 示，即
at a sin 40sin 30 m s 20 m s

漆安慎《力学》教案第07章 刚体力学

角速度 lim Δ d
Δt0 Δt dt
在定轴转动中, 只有两个转向
第七章 刚体力学
P(t+t )
+ P(t)

O
x
逆时针转动时 >0； 顺时针转动时 < 0.
角速度用每分 n 转表示时： 2πn πn rad/s
60 30
类似地可得： 角加速度
lim Δ d
d (t)dt
t
0
(t)dt
0
d (t) dt
t
0
(t)dt
0
匀速转动时 =常量
匀变速转动时 =常量
0 t 0 t

0
t

1 t2
2
2 02 2（ 0）
与质点作匀速或匀变速直线运动的公式完全对应!!!
特点
(1) 刚体可以看成由许多质点组成的质点 系，每一个质点叫做刚体的一个质元
(2) 刚体内任意两点间的距离保持不变. 所以将刚体称为“不变质点系”.
研究刚体的基本方法 将刚体看作质点系，并运用已知的质
点系的运动规律去研究.
上页 下页 返回 结束
第七章 刚体力学
§7.1 刚体运动的描述
刚体最基本的运动形式有： ⑴平动；⑵绕固定轴的转动；⑶平面运动
r j
z
r k
其中
x

dx
dt
y

dy
dt
z

dz
dt
当刚体作定轴转动时，可令转轴与 z 轴重合，
则有
x y 0 x y
r

z
r k

理论力学7—刚体的平面运动2


vC
vC C C 2 w BC
3 rw 3
习题7-12 图示小型精压机的传动机构，OA＝ O1B＝r＝0.1m，EB＝BD＝AD＝l＝0.4 m，在 图示瞬时OA⊥AD，O1B⊥ED，O1D在水平位 置，OD和EF在铅直位置。已知曲柄OA的转速 n＝120 rpm，求此时压头F 的速度。
a C O r r
t
w
O
vO
n aCO
aO aO
aO r
vO r
aO
2
t aCO
C
aCO rw
n 2
r(
)
2
vO r
w
vO r
,
aO r
a C O a O , a C O vO / r
t n 2
取如图的投影轴, 将各矢量 投影到投影轴上得
y
aCx aO aCO 0
A2 A4
vA2
A1
v A 3 2 rw 2 v
2 rw 2v
例7-7 曲柄肘杆式压床如图。已知曲柄OA长r， 以匀角速度w 转动，AB = BC = BD = l，当曲柄 与水平线成30º 角时，连杆AB处于水平位置，而 肘杆DB与铅垂线也成30º 角。试求图示位置时， 杆AB、BC的角速度以及冲头C 的速度。 解：连杆AB作平面运动，瞬 D 30º 心在点C1，则
7.2.3 求平面图形上各点速度的瞬心法
设有一个平面图形S角速度 vCA 为 w ，图形上点A的速度为 N vA 。在vA 的垂线上取一点C S C (由vA 到AC的转向与图形的 vA 转向一致)，有 vC v A w A C A 如果取AC＝ vA /w ，则 w vA vC v A w A C 0
  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
F Ff

r
FN

r
W W
若滚子匀速平动
F FN W
表7.2与表3.2相比，有

F F
§7.6 刚体的平衡
一、 刚体的平衡方程
刚体平衡的充要条件 无平动 Fi 0 无转动
Mi 0
（对任一定点）
共面力系—— 所有力的作用线位于同一平面内. 对共面力系, 在直角坐标系O-xyz中平衡条件化为
[解] 汽车受力如图.
y
FN1
y´ l C
FN2
x´
F2
O 根据质心运动定理 y 轴投影 对质心轴的转动定理
F1
x
W FN1 FN2 F1 F2 mac
FN1 FN2 W 0
W
F1 FN1
F2 FN2
( F1 F2 )h FN 2 ( L l ) FN1l 0
FN
杆处于铅直位置时不受力矩作用，由转动 定理可知，角加速度为零，所以
et
Ep=0
en
C
act＝rc 0
FNt 0
W
1 v 1 rc l , vc 3 gl 又 2 2 2 3 5 FN FNn mg mg mg 方向向上 . 2 2
§7.5 刚体平面运动的动力学
dA d Mz M z z 力矩的功率：P dt dt
二、 刚体定轴转动的动能定理
1. 定轴转动刚体的动能
当刚体绕定轴转动时,其动能为所有质点作圆
周运动动能的总和.
任意质元的动能为： 刚体的动能
1 1 1 2 Ek Eki m i v i mi ri z 2 2 ( mi ri z 2 ) 2 2 2 2
平面的轴. 在质心系中
M 外i ' M 惯
又 M惯 = 0
dL'z d( I zz ) I z z dt dt
dLz ' dt
M
外i '
I z z
即刚体相对于质心轴的转动同样服从定轴转动定律.
3、 刚体平面运动的基本动力学方程 刚体平面运动 = 质心平动+绕质心轴的定轴转动
Fix 0
F
iy
0
M iz 0
其中，Z轴是垂直于Oxy面的任意轴.
刚体平衡方程的其它形式
刚体平衡时，诸力对任意轴的力矩和为零. (1) 在力的作用平面内选O和O´ 两个参考点，OO´ 连线不 与Ox轴正交
Fix 0
M iz 0
M iz 0
(2) 在力的作用平面内选O、O´ 和O´´ 三个参考点， O、O´ 和O´´ 三点不共线
质心的平动： Fi mac
绕质心轴的定轴转动：
F
ix
ma cx
F
外i '
iy
ma cy
M
I z z
两式合称为刚体的平面运动的基本动力学方程.
[P238 例题1]如图，固定斜面倾角为 ，质量为 m 半径
为 R 的均质圆柱体顺斜面向下作无滑滚动，求圆柱体
质心的加速度ac 及斜面作用于柱体的摩擦力F . [解] 根据质心运动定理
FN O
W
FN O FN W
FP
M滚 F
N
W FP
O
如图 FN 对质心产生反向力矩 ——滚动摩擦力矩M滚
M 滚 FN
—滚动摩擦因数，由实验测定.
FN O FN W
FP
M滚 F
N
W FP
O
M滚 使物体角速度减小，则接触面各点有向前滑动趋势， 从而产生反向摩擦力（滚动摩擦）使物体减速. 滚动阻力因数´：
力 学
主讲老师：李志攀 zpli.phy@ Mailbox: 109#
Southwest University
第七章 刚体力学（二）
1
刚体定轴转动的动能定理
2
刚体平面运动的动力学
3
刚体的平衡
§7.4 刚体定轴转动的动能定理
一、力矩的功
刚体中P点在力F 的作用下位移 dr 则力元功
Eki
1 m i v i2 2
1 Ek I z 2 2
2.刚体定轴转动的动能定理
质点系的动能定理： 刚体：
A A E E A 0
外 内 K
K0
内
A
外i
M 外iz d ＝
0

Δ
Δ
0
M
外iz
d
M z I z－刚体定轴转动的转动定律
W ( EB cos 30 C B sin 30 ) 0
解以上三方程得
FN 8.75 kN
C C´
B E
30°
xA[解] 受源自分析如图. 建立 Fy j
y
F
C C´ B
直角坐标系 Exyz，得
Fx FN sin 30 0

Fy FN cos 30 W W 0
30° E Fi x W W A
x
FN
选择过E点的 z 轴为定轴
M z EA FN sin 30 W ( EB cos 30 CB sin 30 )
刚体的重力势能与质量集中在重心上的一个质点的重力
势能相同.
[P233例题1]装置如图所示，均质圆柱体质量为m1，半
径为R，重锤质量为m2 ，最初静止，后将重锤释放下落 并带动柱体旋转，求重锤下落 h 高度时的速率v，不计
阻力，不计绳的质量及伸长.
[解] 方法1. 利用质点和刚体转
动的动能定理求解.
F ''
A
F'
如图, 施于A点的力F´ 可用施于B点的力F´´ 代替,即 作用于刚体的力可沿作用线滑移而不改变其效果. 作用于刚体的力的三要素： 大小、方向和作用线.
2.力偶和力偶矩
力偶:大小相等方向相反彼此平行的一对力. F1 F2
M力 偶 r1 F1 r2 F2 ( r1 r2 ) F1 r12 F1
1 1 1 2 mgh mv c ( mR 2 ) 2 2 2 2
x´ FN
W
x
y´ y
C
O

F
1 1 2 mv c mR 2 2 2 4
无滑滚动条件
v c R
2 vc 3 gh 3
*四、 滚动摩擦力偶矩
滚动摩擦发生的原因： 是物体与接触面处的非弹性形变引起. 设滚轮在接触区无形变，地面有非弹性形变.
3.刚体的二维平动 二维平动： 刚体做平面运动又只作平动
Fi mac
M
外i '
0
刚体并未转动，但存在力矩平衡问题
[P239 例题2]质量为m的汽车在水平路面上急刹车，前后 轮均停止转动. 前后轮相距L，与地面的摩擦因数为 .汽 车质心离地面高度为h，与前轮轴水平距离为l .求前后车 轮对地面的压力.
/ r , r是轮半径.
表7.2 是常见汽车轮在几种典型路面上的´ 值
如何理解滚动摩擦 << 滑动摩擦 ？
M滚 FN F C
W
F' A
Ff
C
设滚子匀速滚动，则阻力和阻力矩分别为 Ff r M 滚 0 M 滚 FN Ff F FN W 联立得
FN W F mac
y 轴上投影
x´ FN
y´ y
x
C
W sin F ma c
对质心轴的转动定理 无滑滚动 ac R 2 ac g sin 3

W
O F
1 FR I mR 2 2
1 F mg sin 3
二、 作用于刚体上的力
y
FN1
y´ l C
FN2
x´
F2
O 由上面方程可解出
F1
x
W
FN1 mg( L l h) / L FN 2 mg( l h) / L
根据牛顿第三定律，前后轮对地面的压力大小分别为 FN1、FN2 ，但方向向下.
三、 刚体平面运动的动能
由克尼希定理可知，刚体平面运动动能
Iz
0
d d I z dt
d
0

1 1 2 A外 I z I z0 2 －刚体定轴转动的动能定理 2 2
三、 刚体的重力势能
刚体的重力势能
y
mi yi
O
Ep mi gyi (mi yi ) g
mg ( mi yi ) m
Ep mgy c
由质点动能定理
R m1
1 m2 gh FT h m2v 2 2
由刚体动能定理
m2
h
1 2 1 FT R I m1 R 2 2 2 4
约束关系：
R h
v2
v R
m 2 gh m1 2 m 2
R m1 h
联立得
m2
方法2. 利用质点系动能定理求解
将转动柱体、下落物体视作质点系
F1
大小:
M 力偶 Fr12 sin Fd
m1
力偶矩的大小与参考点的选择无关. 方向:与二力旋转方向呈右手螺旋关系
O
d r1 m2 F2 r2
r12
一般作用于刚体的力等效于一作用线通过质心的力和一力偶，这 力的方向和大小与原力相同，而力偶矩等于原力对质心轴的力矩.