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大学物理刚体力学基础-文档资料
用右手螺旋法则确定。
2）力矩的单位、 牛·米(N·m)
3）力矩的计算： M 的大小、方向均与参考点的选择有关
MFsrin
※在直角坐标系中，其表示式为
M rF ( x i y j z k ) ( F x i F y j F z k )
ri
fij fji
M i0M j0(ri rj)fji
0
rij
rj
f ij
ri jfji 0
二、刚体定轴转动的转动定律：
刚径体r绕i 的定圆轴周转运动动，，在作刚用体在上质取点一上质的元合力m i矩，绕轴作半
M ir iF ifi r iF i r ifi
( y z z F y ) i F ( z x F x z ) j F ( x y y F x ) k F
M x i M yj M zk
i jk
Mx yFz zFy
M x y z
My zFx xFz
Fx Fy Fz
Mz xFy yFx
２、力对轴的矩：
i
Fi
由牛顿第二定律可知
ri m i
Fifi miai
则质点所受力矩
Mi miri2
对刚体所受所有力矩求和得：
riF i rifi m iri2
由于刚体各质点相对轴距离不变，令
J miri2
2、刚体定轴转动的转动定理
M J
作定轴转动的刚体，其转动角加速度与外力对该轴的力矩之 和成正比，与刚体对该轴的转动惯量成反比。 其在定轴转动中的地位与牛顿定律在质点运动中地位相当。
(2)转轴通过棒一端并与棒垂直时，整个棒对该轴的转动惯量为
2）力矩的单位、 牛·米(N·m)
3）力矩的计算： M 的大小、方向均与参考点的选择有关
MFsrin
※在直角坐标系中，其表示式为
M rF ( x i y j z k ) ( F x i F y j F z k )
ri
fij fji
M i0M j0(ri rj)fji
0
rij
rj
f ij
ri jfji 0
二、刚体定轴转动的转动定律：
刚径体r绕i 的定圆轴周转运动动，，在作刚用体在上质取点一上质的元合力m i矩，绕轴作半
M ir iF ifi r iF i r ifi
( y z z F y ) i F ( z x F x z ) j F ( x y y F x ) k F
M x i M yj M zk
i jk
Mx yFz zFy
M x y z
My zFx xFz
Fx Fy Fz
Mz xFy yFx
２、力对轴的矩：
i
Fi
由牛顿第二定律可知
ri m i
Fifi miai
则质点所受力矩
Mi miri2
对刚体所受所有力矩求和得：
riF i rifi m iri2
由于刚体各质点相对轴距离不变，令
J miri2
2、刚体定轴转动的转动定理
M J
作定轴转动的刚体，其转动角加速度与外力对该轴的力矩之 和成正比，与刚体对该轴的转动惯量成反比。 其在定轴转动中的地位与牛顿定律在质点运动中地位相当。
(2)转轴通过棒一端并与棒垂直时，整个棒对该轴的转动惯量为
理论力学刚体运动
Ek ( t ) Ek ( t0 ) A外
§6.2 作用在刚体上的力系 一、力系
1、定义：同时作用在一个刚体的一组力称为力系。
2、分类： ①共面力系：所有的力位于同一平面内。 a) 共点力系（汇交力系）：所有力的作用线交 于一点的力系。 b) 平行力系：所有力互相平行或反平行。 ②异面力系：力的作用线不在一个平面内。
二、力系等效
1、等效力系的定义 如果在两个力系作用下，刚体的运动相同，则这 两个力系互为等效力系。
2、力系的等效条件：
F1i F2 j
r1i F1i r1 j F1 j
i j
i
j
3、零力系：力系力的矢量和为零，对固定参考点 的力矩和为零的力系。 说明：①所有的零力系都等效 ②任何力系加上零力系后与原力系等效 ③最简单的零力系是一对平衡力组成的力系
2
角动量定理： dL dt
M外
2、平衡条件： Fi 0,
i
且 Mi 0
i
(对任一定点成立)
例 质量为 m ，长为 a 的匀质杆 AB 由系于两端长是 a 的线悬于 O 点，在 B 端挂质量为 m 的重物。求平衡 时杆与水平方向的夹角θ及每根线中的张力 TA 和 TB 。
2、异面力系： 等效于一个单力与一个力偶
z -F3 A F1
F F3
O
x
B F2
y
§6.3 刚体的平衡
刚体运动 平动： 直线平动、曲线平动
转动： 定轴转动、一般转动 平动：运动过程中刚体任一直线的方向保持不变。
转动：刚体上一直线相对参考系的角度发生变化。
O
刚体的一般运动(n=6)
O
05.刚体力学
全加速度——即切向、法向加速度的矢量和. 全加速度——即切向、法向加速度的矢量和 ——即切向 矢量和
6.4 如图 已知某瞬时曲柄的角速度 ω = 4rad / s, 如图. 角加速度 ε = 2rad / s2 ；曲柄长为 r = 20cm 。 托架上重物重心G的轨迹 速度、加速度。 的轨迹、 求：托架上重物重心 的轨迹、速度、加速度。
F 1
z
F 2
r
dF t
dm
ω
ε
F n
F i
M z = I zε
—— 刚体定轴转动 刚体定轴转动 动力学基本方程 基本方程. 的动力学基本方程
作用在刚体上的所有外力对转轴之合力矩等于 作用在刚体上的所有外力对转轴之合力矩等于 刚体 刚体对于转轴的转动惯量与其角加速度的乘积。 刚体对于转轴的转动惯量与其角加速度的乘积。
ρ dm b C θx
（推导用图） 推导用图）
y
Iz = Ix + I
z r
——无限薄刚体板对任一垂直 无限薄刚体板 无限薄刚体 的转动惯量， 于它的坐标轴 z 的转动惯量， 等于该薄板 薄板刚体对另两坐标轴 等于该薄板刚体对另两坐标轴 的转动惯量之和。 的转动惯量之和。
x
y
x
y
（推导用图） 推导用图）
ω
B
如图: 曲柄作 平面运动. 连 如图: OA曲柄作定轴转动,也是平面运动.AB连 曲柄 定轴转动,也是平面运动 杆作平面运动 平面运动. 活塞作直线运动,也是平面运动 活塞作直线运动 平面运动. 杆作平面运动 B活塞作直线运动,也是平面运动
在刚体上有无限多 平面图形始终作平面 个平面图形始终作平面 运动, 这样的一个 一个平面 运动 这样的一个平面 图形的运动 的运动， 代表了 图形的运动，就代表了 平面运动。 整个刚体的平面运动 整个刚体的平面运动。 因此, 因此 只需研究其中的 一个平面图形的运动. 平面图形的运动 一个平面图形的运动 2. 平面运动的分解 平面运动的分解 将复杂的平面运动, 分解成简单的 平动” 成简单的“ --- 将复杂的平面运动, 分解成简单的“平动” 转动（定轴） 应用合成运动的概念, 合成运动的概念 与“转动（定轴）” ；应用合成运动的概念 求刚体上各点的速度 加速度. 速度和 求刚体上各点的速度和加速度 如上: 杆的运动可分解成“ 如上: AB杆的运动可分解成“平动” 与“转 杆的运动可分解成 平动” 动”.
刚体力学
例、在光滑的水平桌面上有一小孔0，一细绳穿过小孔， 其一端系一小球放在桌面上，另一端用手拉绳， 开始时小球绕孔运动，速率为 v1 ，半径为 r1 ，当半径变 为 r2 时 r2 f拉 求小球的速率 v2 解：小球受力：
f拉
L2 = L1
因f 拉为有心力
r r L2 = L1
r1 mv 1 = r2 mv 2 r1 v 2 = v1 显然 v 2 v1 r2
' 2
m
.
R
m1 Mf
' T1
m2
m
如图
T2'
T2
对m2： m 2 g - T2 = m 2 a
- m1 g = m1a
' 1
T1
m1 g
T 对m： R - T R - M f = J
m2 g
1 2 ' ' a = R , J = mR , T1 = T1 , T2 = T2 2
联立求得： = a
r M
M = rF sin = Fd
o
r r
r M
r F
r F应理解为在垂直于转轴的平面内。 r o 若不在,则将 F 分解为平行 于转轴的分量和垂直于转轴 的分量.只有垂直于转轴的力 的分量才对转轴有力矩.
r 20 F 的方向与转轴平行.
r F
r r
合外力矩 M = r1 F1 sin 1 - r2 F2 sin 2 r3 F3 sin 3
r Fi = m
r dv c
dt
注意各量的 物理意义
质心运动定理说明：不管物体的质量如何分布、外力作用 在什么地方，质心的运动就象物体的全部质量都集中于此， 而且所有的外力都作用于其上的一个质点的运动一样。 （例:炮弹在飞行轨道上爆炸 ……见教材p98--例3)
力学中的刚体运动
力学中的刚体运动刚体运动是力学中的基础概念之一，涉及物体在空间中的平移和旋转运动。
刚体指的是一个具有无穷多个质点的物体，其内部任意两点之间的相对位置保持不变。
本文将介绍刚体运动的基本原理、刚体运动的类型以及刚体运动的相关公式。
一、刚体运动的基本原理刚体运动的基本原理是“刚体上的任一质点在任意时刻的平面运动状态都完全相同”。
这意味着无论刚体如何运动，刚体上的各个质点之间的相对位置都保持不变。
这种相对位置的不变性使得刚体的运动可以用一个简化的模型来描述。
二、刚体运动的类型刚体运动可以分为平面运动和空间运动两种类型。
1. 平面运动平面运动指的是刚体在一个平面内的运动。
在平面运动中，刚体的质心沿直线或曲线轨迹运动，同时围绕质心进行旋转。
平面运动可以进一步分为平行轴定理和垂直轴定理两种类型。
- 平行轴定理：当刚体的所有质点在一个平面内运动，且对于每个平行于该平面的轴，刚体质量对该轴的转动惯量都相等，则刚体的转动可以看作是质心绕着某个轴的转动。
- 垂直轴定理：当刚体的所有质点在一个平面内运动，且对于每个垂直于该平面的轴，刚体质量对该轴的转动惯量都相等，则刚体的转动可以看作是绕着该轴的转动。
2. 空间运动空间运动指的是刚体在三维空间中的运动。
在空间运动中，刚体的质心和各个质点都可以沿直线或曲线轨迹进行平移和旋转。
空间运动需要考虑刚体在三个方向上的运动和转动，其描述较为复杂，常用欧拉角和四元数等方法进行分析和计算。
三、刚体运动的相关公式刚体运动的描述离不开相关的公式和定理。
以下是一些常用的刚体运动公式：1. 质心运动的描述：- 质心速度公式：v = ds/dt，其中v为质心速度，s为质心位移，t为时间。
2. 刚体的平面运动：- 转动惯量公式：I = ∑mi ri²，其中I为转动惯量，mi为每个质点的质量，ri为质点到旋转轴的距离。
- 角动量公式：L = Iω，其中L为角动量，ω为刚体的角速度。
- 动能定理：∑(1/2mi vi²) = (1/2)Iω²，其中vi为每个质点的速度。
刚体力学基础详解
(2) 如以重量P =98 N的物体挂在绳端，试计 算飞轮的角加速。
rO T
解 (1) FrJ F r9 80.23.2 9rad 2 /s
J 0.5 (2) m gTma
F mg
TrJ ar
J
mgr mr2
两者区别
0.59 1 80 0.2 0.222.1 8rad 2 /s
例 圆盘以 0 在桌面上转动,受摩擦力而静止
3. 一般运动
刚体不受任何限制的的任意运动称为刚体
的一般运动。它可视为以下两种刚体的基
本运动的叠加：
随基点O（可任 选）的平动
FMac
绕通过基点O的瞬时 轴的定轴转动
质点运动
本章主要讨论
§5.2 刚体绕定轴转动运动学
z 组成刚体的各质点都绕同一直线 做圆周运动 _____ 刚体转动。
转轴固定不动 — 定轴转动
当 M 为零时，则刚体保持静止或匀速转动
实验证明 当存在 M 时， 与 M 成正比
M
在国际单位中 M J
刚体的转动定律 Mz J
作用在刚体上所有的外力对 定轴 z 轴的力矩的代数和
推论
刚体对 z 轴 的转动惯量
(1) M 正比于 ，力矩越大，刚体的 越大
(2) 力矩相同，若转动惯量不同，产生的角加速度不同
dr
J0 m r2 d m 0 R2 R m 2r3 d rm 2R 2
O
Rm dr
r O
(3) J 与转轴的位置有关
z
z
M
L
M
L
O
dx
x
O dx
x
J Lx2dx1M2L
0
3
J L/2x2dx1M2L
刚体力学基础
非专业训练，请勿模仿
例 解 由转动定律得
1 mgl sin J 2 1 2 式中 J ml 3 3g sin 得 2l
角加速度与质量无关，与长 度成反比，竹竿越长越安全。
-------------------------------------------------------------------------------
刚体的一般运动 质心的平动
+
绕质心的转动
-------------------------------------------------------------------------------
二、刚体绕定轴转动定律
F外力 F内力 mi ai
ai ：质元绕轴作圆运动
-------------------------------------------------------------------------------
二、定轴转动的角动量守恒定律
质点角动量（相对O点）
定轴转动刚体
L r p r mv
-------------------------------------------------------------------------------
解：
M 1l gdl cos M mgL cos 2 m g1 l cos dl cos mgl M 2 3g cos L 1 22 J 2l M ml L g 3 cos L 2 3g cos d d d d 1 2 l dt cos d d mgL dt 2
2 法向： F cos F cos m r 法向力的作用线过转轴 i i i i. 内力 ,其力矩为零 外力 切向：F外力 sin i F内力 sin i mi ri
刚体力学
转动定律
M J
3) M ——外力矩之和，而不是合外力之矩。
4)适用条件：惯性系 两类基本问题:
1) 地位等同于平动问题中的牛顿第二定律，适于研究刚体转动 的瞬时效应； 2)对于有固定转轴的刚体转动，转动定理可以写为标量式， Mz = Jβz 此时，外力、位矢应当分解到与转轴垂直的平面内。
A.已知刚体转动状态求刚体所受力矩
——力矩的瞬时效应
上午5时46分
9
力矩——改变物体转动状态的原因
1、力对固定点的力矩
1）定义：作用于质点的力对惯性系 中某参考点的力矩，等于力的作用 点对该点的位矢与力的矢积，即
M r F
M
o
－－力矩是矢量 大小：
r
F
m
方向： 垂直于 r 和 F 所决定的平面，其指向用右手螺旋法则
F
F
B）力的方向沿矢径的方向
r
sin 0
力对固定轴的力矩为零的情况：
若力的作用线与轴平行 若力的作用线与轴相交
则力对该轴无力矩作用
。
上午5时46分
14
合力矩等于各分力矩的矢量和
M M1 M 2 M 3
f ji
质点系内一对内力对任一点的力矩之矢量和为零
M i 0 M j 0 ri fij rj f ji f ij f ji
M i 0 M j 0 (r j ri ) f ji r ji f ji 0
上午5时46分
rj
j
rji
i
o
ri
f ij
上午5时46分
3
转动：刚体中所有的点都绕同一直线做圆周运动. 定轴转动、非定轴转动
第七章 刚体力学
i
rc
mi ri
i
即：重心和质心重合。
M
注意：
① 该结论成立的条件是：刚体不是特别
大，各处的重力加速度相同。 ②重心仅在重力场中存在，若物体失重， 则无重心；但质心仍存在，故质心比重心更常 用到。
§7.2 刚体的平衡
刚体所受合外力为零，对任意参考点的力矩为零，则刚 体平衡。其充分必要条件可以表示为： Fi 0
解：
Q T1 T2
m1 g T1 m1a T m g m a 2 2 1 2 T1 R T2 R J a R , J MR 2 / 2
( m1 m 2 ) g a m1 m 2 M / 2
R
M
R
T1 '
Mg T ' 2
2
连续体的转动惯量： J
dm dl ：质量线密度 dm dS ：质量面密度 dm dV ：质量体密度
3.决定刚体转动惯量的因素 ⑴与刚体的体密度有关（即与m有关）； ⑵与刚体的几何形状有关（即与m的分布有关）； ⑶与刚体的转轴位置有关。
r 2 dm
dm ：质量元
即：与刚体的质量、质量的分布、以及转轴位置 有关。
P
R O m
4、垂直轴定理
如果薄板位于o-xy平面内, 则 J z J x J y
J z mi ri mi xi mi yi J y J x
2 2 2
z
yi
xi x
ri
y
mi
5. 常见对称刚体绕对称轴的转动惯量：
单个质点： I mr ，如图 7.2.2-1 (a)所示。
2
刚体力学基础
1).形状、大小相同时, m↑→J↑(决定于m); 2).m相同, m分布离轴越远,J越大(决定于m的分布); 3).同一刚体,转轴不同,J不同,(决定于转轴的位置).
3.计算
1).质量不连续分布 J＝ miri2 i
m1
r2
r1
其中ri为Δmi到转轴的垂直距离
J m1r12 m2r22 m3r32
4.均匀细棒可绕棒一端的垂直于棒的水平轴无摩擦转
动.若细棒竖直悬挂,现有一弹性小球水平飞来与细棒
发生完全非弹性碰撞,在碰撞过程中球、棒组成的系
统的动量是否守恒?对转轴的角动量是否守恒?机械能
是否守恒?
动量不守恒,角动量守恒,机械能不守恒.
质点与刚体碰撞组成的系统一般 情况下动量不守恒,而角动量守恒.
1.刚体角动量定理 M J J d
dt
M J J d
dt
2
Mdt Jd J2 J1
1
刚体所受合外力的冲量矩等于其角动量的增量
2.刚体角动量守恒定律
条件：M 0, J 常量
刚体所受合外力矩为零,则其角动量守恒.
注意:1).L=Jω=常量, J、ω可变但乘积不变;
2).M、L、ω均对同一转轴, M为合外力矩;
a1 a2 a
a R
J 1 m R2
2
a1
a2
a
(m2 m1 )g
m1
m2
1 2
m
T1
m1
2m2g m1 m2
1 2
mg 1m 2
T2
m2
2m1g m1 m2
1 mg 2 1m
2
注意:1.涉及滑轮转动,滑轮两端绳的张力不相等T1≠T2; 2.绳与滑轮无相对滑动, a=R α
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a j ai
O
rj
ri
rij
结论：刚体平动时,其上各点具有相同的速度、加速
度及相同的轨迹.可用一个质点的运动代替刚体的运
动.
取图参中考rij点表O示质元i指向质 元j的矢量,
由平dd动rtj 定 d义drtirijr为j 恒r矢ivj量rij
vi
d2rj d2ri dt 2 dt 2
做圆周运动.其圆心都在一条固定不动的直线(转轴)上.
(2)刚体上各点到转轴的垂直线在同样的时间内所转过
的角度都相同.因而用角量描述刚体的运动.
2. 定轴转动的描述
(1) 角坐标 称角位置或角坐标. 规定逆时针转向 为正.
刚体定轴转动 的运动学方程
p x
O
= (t) (2) 角位移 为 t时间内刚体所转过的角度.
P
r
O
dt
at
d dt
r
v r
§7.1.3角速度矢量
角速度是矢量，其方向沿转
轴且与刚体转动方向成右手螺旋
O
系统.
若刚体同时参与两个轴的转动，
则合成角速度按平行四边形法则进
行合成. 注：角速度总是与无限小角位移 相联系,无限小角位移是矢量,所以
A'
2
O 1
A'' A
角速度也是矢量.而有限角位移不
角量——描述刚体转动整体运动的 ，，
弧长 线速度 切向加速度
法向加速度
s r
v r
at r
an
v2 r
2r
y et
O r s x
注: r 的原点必须在转轴上.
角量与线量的矢量关系式为
v r
at
d
dt
r
an ( r )
an ( r )
a
datarn
(
r)
m m1 v空r m m1 vRRm
空间站在新椭圆轨道，机械能守恒
1 2
m
m1
v空2
G m m1 mm
r
1 2
m
m1
vR2
G m m1 mm
Rm
例6-2 人造卫星绕地球作圆周运动，受空气摩擦阻力，卫星 速度和轨道半径如何变化？
G Mm m v2
r2
r
v2 G M r
M 2vdv G r2 dr
解得：
IF 2msin
l g i m cos
lg cos k
5
第七章 刚体力学
§7.1 刚体运动的描述
§7.1.1 刚体的平动 §7.1.2 刚体绕固定轴的转动
§7.1.3 角速度矢量 §7.1.4 刚体的平面运动
第七章 刚体力学
刚体——是受力时不改变形状和体积的物体. 是理 想模型.
特点
(1)是一个质点组（刚体可以看成由许多质点 组成，每一个质点叫做刚体的一个质元.）
a j ai
O
rj
ri
rij
结论：刚体平动时,其上各点具有相同的速度、加速
度及相同的轨迹.可用一个质点的运动代替刚体的运
动.
§7.1.2刚体绕固定轴的转动
转动：刚体运动时,其上各质元
O’
都绕同一直线作圆周运动.这种
运动称转动.该直线称为转轴.若
转轴不动，称定轴转动. O
1.定轴转动特征
(1)刚体上各点都在垂直于固定轴的平面内(转动平面)
(5)刚体定轴转动运动方程
d (t)dt
t
0 0 (t )dt
匀速转动 =常量
0 t
d (t)dt
t
0
(t )dt
0
匀变速转动 =常量
0 t
0
t
1 t 2
2
2 02 2（ 0）
与质点匀变速直线运动公式相对应.
(6) 角量与线量的关系
线量——质点做圆周运动的位移r、速度v、加速度a
解：设绳中张力为 F ，摆锤的运动周期为 T 。
对摆锤应用牛顿第二定律：
竖直方向：F cos mg
水平方向：F sin m v02
R
其中，R l sin
又知： 2 R v0T
4
从 A到 B 位置应用对摆锤应用动量定理：
Img I F (mv0i) mv0i
即
mg
T 2
k
IF
2mv0i
E 1 mv2 G Mm
2
r
卫星受空气摩擦阻力，阻力的元功
Af
dE
1 2
mv2
G
Mm r
Mm mvdv G r2 dr mvdv 0
dv 0 dr 0
质点系动量y方向分量守恒
v1
mv0 mv1y mv2
绳伸直时，质点A对固定点B角动量守恒
y v1 r
A v2
x
B
L
p x O
(3) 角速度
角速度 lim Δ d
Δt0 Δt dt 在定轴转动中,转向只可能有两
个方向.取逆时针转动 >0，顺
P(t+t )
+
P(t) x
O
时针转动 < 0.
每分转n转
2πn πn rad/s
60 30
(4) 角加速度
角加速度
lim Δ d
Δt0 Δt dt
可正可负, 当与 同号时,转动加快,异号时减慢.
(2)组内任意两点间的距离保持不变.
§7.1 刚体运动的描述
§7.1.1 刚体的平动
rj
ri
O
rij
动画演示
平动——刚体运动时,刚体内任一直线恒保持平行的 运动.
取图参中考rij点表O示质元i指向质 元j的矢量,
由平dd动rtj 定 d义drtirijr为j 恒r矢ivj量rij
vi
d2rj d2ri dt 2 dt 2
是矢量.
角速度和角加速度在直角坐标系的正交分解式为
x i y j z k
x i y j z k
其中
x
d x
dt
y
d y
dt
z
d z
dt
刚体作定轴转动，令转轴与 z 轴重合，
有
x y 0
z k
z k
§7.1.4刚体的平面运动
刚体的平面运动——刚体内所有的点都平行于某一平 面而运动. 如车轮滚动等.
例6-3 质量为m的空间站 沿半径为 r的圆周绕月运动.在圆轨道P
点向前发射一质量m1的物体以使空间站在月球表面登陆。
求m1的发射速度v1(已知月球质量mm半径Rm)
月球
空间站发射m1的物体,轨道切线方向动量守恒
p
mv0 m1v1 m m1 v空
而G mmm m v02
r2
r
空间站在新椭圆轨道，对月球中心点角动量守恒
mv0 2 k mr v1 m
cos Li sin j
v1xi v1y j
m cos Lv1y m sin Lv1x k
v0 v1y 3v1x
v1 v1 v2
v1x v1x v1 sin
3 2
v1
v1 y
v1
y
v2
1 2
v1
v2
4．一圆锥摆的摆线长为 L，摆锤的质量为 m ，圆锥的半顶 角为α。试求当摆锤从图中位置 A 沿圆周匀速运动到位置 B 的过程中张力的冲量。
动画演示
1.刚体的平面运动特点：
(1)每一质元轨迹都是一条平面曲线，质心始终落在 一个平面上. (2)转轴总是保持平行，并与固定平面垂直.