第七章 刚体动力学(讲义)

MO = ∑ MO ( Fi ) = ∑ (ri × Fi )
i =1 i =1
n
n
注意，主矩的的计算与参考点的选取有关。例如，将参考点由 O 改成 O′ ，于是
MO = ∑ ri × Fi = ∑
i =1 i =1
n
n
(ri′ + OO′) × Fi = ∑ (ri′ × Fi ) + OO′ × ∑ Fi
R = ∑ Fi
i =1
n
这是个自由矢量，它只给出矢量的大小和方向，不过问作用点的位置。 对力系的矩也可作类似的讨论。对于共点力系，合力的矩等于各个力对同一点的矩的矢量 和，即
MO ( F) = r × F = r × ∑ Fi = ∑ (r × Fi )
i =1 i =1
n
n
一般的力系中不一定存在合力，因此也就谈不上求合力的矩。但是每个力相对于同一参考 点的力矩是矢量，我们可以求这些矢量的和，并称为主矩，记为 MO ，即有
（II）刚体绕质心的转动：
dLc = ∑ ric × Fi （对质心的角动量定理） dt i
第一个式子求质心运动等同于质点动力学，可以解出刚体的平动运动部分（三个方程解三个运 动变量） 。第二个式子又可求出刚体的转动角速度 ω （ L 与 ω 有一定的关系） ，于是刚体的运动 就完全确定了。由角动量定理求刚体的转动角速度是重点讨论的内容。 7．2 作用在刚体上的力和力矩 通常矢量指的是所谓自由矢量（free vector） ：只有大小和方向，它可以平行自由移动。 作为物理量的矢量则不然，例如，力矢量 F ，为了完全确定这个力，还要说明力的作用点， 若用 r 表示作用点的话，则要有两个矢量 F 和 r ，这个力才完全被确定下来。这种矢量被称为定 位矢量（bound vector） 。除了力矢量是定位矢量外，质点的速度和加速度等也是定位矢量的例 子。 还有一种矢量，称为滑动矢量（sliding vector） ，它可在包含该矢量的一直线上自由移动。 例如，作用在刚体上的力（见下面的讨论） 。
F = ∑ Fi
i =1
n
这是一个定位矢量，其作用点在公共点上。
P1
P3
F1
P2
F1
F2
F3
F3
F2
R
但是，一般说来，一个物体所受的各个力的作用点并不一定相同，因此，我们并不能求出 合力来。可 F1 ， F2 ， " ， Fn 既然是矢量，我们仍然可以求出它们的矢量和 F = F1 + F2 + " + Fn ， 这个矢量和我们用 R 表示，称为力系的主矢量：
L = Θω
考 察 惯 量 张 量 的 计 算 。 为 此 ， 取 刚 体 坐 标 系 {O , x1 , x2 , x3} ， 则 在 该 坐 标 系 下 ，
r = x1e1 + x2e 2 + x3e 3 ，且 xi 与时间无关，惯量张量的分量为
Θij = ei ⋅ Θe j = ei ⋅∫ [r 2I − rr ]dme j = ei ⋅∫ [r 2e j − rx j ]dm = ∫ [r 2δ ij − xi x j ]dm = ∫ [xk xkδ ij − x j xi ]dm
yG = y c zG = zc
表明作用线通过质心。 这样就得：任意力系都可以化为通过任意点的一个单力和一个力偶。
7．3 惯量张量
角动量定理给出的是外力矩下刚体角动量 L 的变化率，但直接描述刚体转动的物理量不是 角动量 L ，而是角速度 ω ，因此，首先要找出 L 与 ω 之间的关系。
7．3．1 刚体的角动量 L 与角速度 ω 的关系，惯量张量
i =1 i =1
n
n
因为 R = ∑ Fi ，所以有
i =1
n
MO = MO′ + OO′ × R
7．2．2 力系的简化
如果两个力系对刚体产生同样的力学效果（运动，平衡、约束反力等） ，就称这两个力系为 等效力系。 定理：两个力系等效的条件是主矢量相等，对同一参考点的主矩相等。 （1）力的滑动性 实践表明：作用在刚体的两个等值反向且在一条直线上的力不改变刚体的平衡状态。
F1
P 1
d
P2
O
F2
力偶的主矢量为 F1 + F2 = 0 ；它对力偶面内任意点 O 的总力矩为
JJJG JJJG JJJG JJJG MO = OP1 × F1 + OP2 × F2 = −OP1 × F2 + OP2 × F2
JJJJ G JJJG JJJG = (OP2 − OP1 ) × F2 = P1 P2 × F2 = M P1 ( F2 ) 可见，力偶的主矩与参考点无关。故把力偶对任意参考点的主矩叫做力偶矩，用 M 表示（不再 须标明参考点 O ） ，由此也可以看出，力偶矩为一自由矢量，可作用于力偶面上任一点。注意： 力偶的自由性对变形物体不成立。 考虑这两个力的力矩：由于力偶矩与参考点无关，方向为垂直于力偶所构成的平面，所以，力
因此，角速度的大小为
L = 2mω l 2 sin α
其方向为垂直于联杆，如图所示。表明：刚体的角动量方向与角速度的方向一般并不相同！
z
ω
θi
O
mi
y
ri
x
假设刚体在某一时刻以角速度绕定点 O 以角速度 ω 转动，求相应的角动量 L 。根据角动量 定义
L = ∑ ri × mi v i
i =1
n
或
L = ∫ (r × v )dm
一般情况下， L 与角速度 ω 并不同方向，这点与质点的动量和速度之间的关系 P = mv 并不 一样。一般地说， L 与 ω 之间的关系要复杂得多。 例 1 ，如图所示，刚体有固联在一无质量刚性杆两端的质点 1 和质点 2 组成（质量
m1 = m2 = m ） ，杆长为 2l ，在其中点 O 处与刚性轴 ZOZ ′ 成 α 角斜向固联。此刚体以角速度 ω 绕
( Δm1 + Δm2 )
x123 =
Δm1 x1 + Δm2 x2 + Δm3 x3 Δm1 + Δm2 ( Δm1 + Δm2 ) + Δm3
=
Δm1 x1 + Δm2 x2 + Δm3 x3 Δm1 + Δm2 + Δm3
类似可得： y123 ， z123 。应用数学归纳法可得
xG =
Δm1 x1 + " + Δmn xn = xc Δm1 + " + Δmn
注意，转动惯量是对称的，即有： Θij = Θ ji 。因此，张量（在取定的坐标系下）的表示为
⎛ Θ11 Θ12 [Θ ] = ⎜ ⎜ Θ 21 Θ 22 ⎜Θ ⎝ 31 Θ32 Θ13 ⎞ ⎟ Θ 23 ⎟ Θ33 ⎟ ⎠
本章目录： （2010-6-3，符力平，中南大学物理学院） 7．1 刚体动力学基本方程 7．2 作用在刚体上的力和力矩 7．3 惯量张量 7．4 刚体定轴转动 7．5 刚体平面平行运动 7．6 刚体绕固定点的运动 7．7 刚体的平衡 第七章 刚体动力学 7．1 刚体动力学基本方程 刚体是特殊的质点组。刚体的动力学规律是质点组动力学规律（质点组动量定理、动能定 理、角动量定理）的特殊形式。另外，由于刚体内任意二质点之间的距离在运动中都不改变， 因此，质点组的基本定理不但适用于刚体动力学，而且形式上与质点的基本规律是一样的。 一个自由刚体，有六个自由度，由刚体运动学知道，刚体的任意运动都可以用随其上（或 与它刚性连接）的某参考点的平动和绕该参考点的转动来描述。在运动学里，参考点的选择是 任意的，但在动力学中一般选质心为参考点。这样， （I）刚体随质心的平动： m dv c = ∑ Fi （质心运动定理） dt i
F
F2
将刚体可视为质点组，记它们的质量为 Δm1 ， Δm2 ， " Δmn ，它们都受重力的作用。如果 刚体不太大，这些重力都可认为是平行的，并且为 Δm1 g ， Δm2 g ， " Δmn g ，其合力为
F = ∑ Δmi g = mg
作用线：根据前面两力的作用线公式，把 P 点取在 c = 0 的位置上，则有
7．2．1 力系的主矢量和主矩 作用在物体上的一组力便称为力系。假设作用在物体上的力系有 n 个力 F1 ， F2 ， " ， Fn ， 作用点分别为 P1 ， P2 ，" ， Pn ，这些点相应的位置矢量为 r1 ，r2 ，" ，rn ，若有 r1 = r2 = " = rn ， 则称力系为共点力系。例如，作用在一个质点上的力便是共点力系。 对于共点力系，可以求出其合力：
再利用并矢的定义： (a ⊗ b) v = a( b ⋅ v ) ，上式可写成
= ∫ [r 2Iω − (r ⊗ r )ω]dm
=
(∫
[r 2I − rr ]dm ω
)
令
Θ = ∫ [r 2I − rr ]dm
显然， Θ 是二阶张量（实为视 dm 为权重的张量之和） 。这样，就可得到 L 与 ω 的关系
由于绕定点转动，将（欧拉公式）
v = ω×r
代入上式，并利用矢量三重积公式： a × ( b × c) = (a ⋅ c)b − (a ⋅ b)c ，得
L = ∫ r × (ω × r )dm = ∫ [(r ⋅ r )ω − (ω ⋅ r )r ]dm = ∫ [r 2ω − r (r ⋅ ω)]dm
轴旋转，求角动量的大小和方向。 解：
N1
Z
m1
r1
l O
L
α
l
r2 m2
ω
Z′
N2
取 O 点为参考点，令两质点的位置矢量分别为 r1 和 r2 ，则 r1 = −r2 。角速度矢量 ω 沿 OZ 方向， 由定义有