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七年级下册因式分解公式
我们要对一个多项式进行因式分解，因式分解是一种将多项式化为几个整式的积的形式。
在七年级下册中，我们主要学习了几种因式分解的方法，包括提公因式法、公式法等。
首先，我们要理解什么是因式分解。
因式分解就是将一个多项式化为几个整式的积的形式。
例如：x^2 - 2x + 1 可以因式分解为 (x - 1)^2。
接下来，我们来看看七年级下册中主要学习的因式分解公式有哪些。
1. 平方差公式：a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)。
2. 完全平方公式：a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2 和 a^2 - 2ab + b^2 =
(a - b)^2。
3. 提公因式法：如果多项式的每一项都有一个公共的因子，那么我们可以把这个公共因子提取出来，使得剩下的部分更容易进行因式分解。
现在，我们可以使用这些公式来因式分解一些多项式了。
例如，我们可以将多项式 x^2 - 2x + 1 因式分解为 (x - 1)^2。
再比如，我们可以将多项式 4x^2 - 4x 因式分解为 4x(x - 1)。
通过因式分解，我们可以更好地理解和简化多项式，从而更好地解决数学问题。
4.3 用乘法公式分解因式（第1课时）课堂笔记两个数的平方差，等于这两个数的与这两个数的的积. 即a2-b2=（a+b）（a-b）. 分层训练A组基础训练1. 下列各式能用平方差公式分解因式的是（）A. 2x2+y2B. -x2+y2C. -x2-y2D. x3+（-y）22. 把多项式-4n2+m2分解因式，其结果正确的是（）A. （m+2n）（m-2n）B. （m+2n）2C. （m-2n）2D. （2n+m）（2n-m）3. 下列因式分解中，正确的有（）①4x2-1=（4x+1）（4x-1）②m2-n2=（m+n）（m-n）③-16+9x2=（4+3x）（-4+3x）④a2+（-b）2=（a+b）（a-b）A. ①②B. ②③C. ③④D. ①④4. 在一个边长为12.75cm的正方形内挖去一个边长为7.25cm的正方形，则剩下部分的面积是（）A．11cm2B．20cm2C．110cm2D．200cm25. （金华中考）把代数式2x2-18分解因式，结果正确的是（）A. 2（x2-9）B. 2（x-3）2C. 2（x+3）（x-3）D. 2（x+9）（x-9）6. 下列各式不是多项式x3-x的因式的是（）A. xB. 3x-1C. x-1D. x+17．小敏是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：a－b，x－y，x＋y，a＋b，x2－y2，a2－b2分别对应下列六个字：乡、爱、我、家、游、美，现将（x2－y2）a2－（x2－y2）b2因式分解，结果呈现的密码信息可能是（）A. 我爱美B. 家乡游C. 爱我家乡D. 美我家乡8．小华在抄因式分解的题目时，不小心漏抄了x的指数，他只知道该数为不大于10的正整数，且能利用平方差公式分解因式，他抄到作业本上的式子是x□-4y2（□表示漏抄的指数），则这个指数可能的结果共有（）A．2种B．3种C．4种D．5种9. 填空：（1）36x 2y 2-49a 2=（ ）2-（ ）2；（2）-4n 2+m 2=（ ）2-（ ）2；（3）m 4- =（m 2+5）（m 2- ）.10． （杭州中考）若整式x 2+ky 2（k 为不等于零的常数）能在有理数范围内因式分解，则k 的值可以是 （写出一个即可）.11． 已知x +y =2，则x 2-y 2+4y = ．12. 分解因式：9x 2（a -b ）+y 2（b -a ）= .13. 把下列各式分解因式：（1）1-16x 2；（2）-n 2+0.81m 2； （3）925x 2-64y 2；（4）（a +b ）2-4； （5）4m 2-（m +n ）2. （6）a 4-b 4；（7）x 3y 2-x 3； （8）25（m +n ）2-81（m -n ）2.14. 用简便方法计算：（1）552- 452； （2）9941×10043；（3）已知a +2b =5，a -2b =3，求5a 2-20b 2的值.B组自主提高15. 两个偶数的平方差，一定是（）A. 2B. 4C. 8D. 4的倍数16. 如图，某筑路工程队需要一种空心混凝土管道，它的规格是：内径d=120cm，外径D=150cm，长L=200cm. 利用分解因式计算：浇筑一节这样的管道需要多少立方米的混凝土（π取3.14，结果精确到0.1m3）.17. 阅读题：我们在计算（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）时，发现直接运算很麻烦，如果在算式前乘以（2-1）即1，原式的值不变，而且还使整个算式能运用平方差公式计算，解答过程如下：原式=（2-1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）=（22-1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）=（24-1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）=…=264-1.你能用上述方法算出下列式子的值吗？请试试看.（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）.C组综合运用18．如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“和谐数”．如4=22-02，12=42-22，20=62-42，因此4，12，20这三个数都是和谐数．（1）36和2016这两个数是和谐数吗？为什么？（2）设两个连续偶数为2k+2和2k（其中k取非负整数），由这两个连续偶数构造的和谐数是4的倍数吗？为什么？（3）介于1到200之间的所有“和谐数”之和为．参考答案【课堂笔记】和 差【分层训练】1—6. BABCC 6. B7. C 【点拨】原式＝（x 2－y 2）（a 2－b 2）＝（x ＋y ）（x －y ）（a ＋b ）（a －b ）． ∵x ＋y ，x －y ，a ＋b ，a －b 四个代数式分别对应我、爱、家、乡，∴结果呈现的密码信息可能是“爱我家乡”．8. D9. （1）6xy 7a （2）m 2n （3）25 510. 答案不唯一，如-1，-4等11. 412. （a -b ）（3x +y ）（3x -y ）13. （1）（1+4x ）（1-4x ） （2）（0.9m +n ）（0.9m -n ）（3）（35x +8y ）（35x -8y ） （4）（a +b +2）（a +b -2） （5）（3m +n ）（m -n ） （6）（a -b ）（a +b ）（a 2+b 2）（7）x 3（y +1）（y -1） （8）4（7m -2n ）（7n -2m ）14. （1）1000 （2）9999167 （3）75 15. D16. 所需混凝土为[π（2D ）2-π（2d ）2]L =πL （2D -2d ）（2D +2d ）≈3.14×200（75-60）（75+60）=1271700（cm 3）=1.2717（m 3）≈1.3（m 3）. 所以浇筑一节这样的管道需要1.3立方米的混凝土.【点拨】混凝土的立方数即为图中阴影部分的体积，亦即大圆柱体与小圆柱体的体积差.17. 原式=21（3-1）（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）=21（32-1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）=…=21×（332-1）=21332 . 18. （1）36是“和谐数”，2016不是“和谐数”． 理由如下：36=102-82，2016=1008×2；（2）∵两个连续偶数为2k +2和2k （k 为自然数），∵（2k +2）2-（2k ）2=（2k +2+2k ）（2k +2-2k ）=（4k+2）×2=4（2k+1），∵4（2k+1）能被4整除，∴“和谐数”一定是4的倍数；（3）介于1到200之间的所有“和谐数”之和，S=（22-02）+（42-22）+（62-42）+…+（502-482）=502=2500. 故答案：2500．。
4.3《公式法》第1课时一、教学目标1．经历通过整式乘法公式(a＋b)(a－b)= a2－b2的逆向变形得出公式法因式分解的方法的过程，发展逆向思维和推理能力。
2. 会用平方差公式分解因式。
二、教学重点及难点重点：运用平方差公式分解因式．难点：将某些单项式化为平方形式，再用平方差公式分解因式．正确判断因式分解的彻底性．三、教学用具多媒体课件四、教学过程【问题导入】本图片是微课的首页截图，本微课资源前半部分讲解了利用平方差公式进行因式分解，并通过讲解实例巩固知识点,有利于启发教师教学或学生预习或复习使用.若需使用，请插入微课【知识点解析】公式法因式分解.如果一个多项式的各项，不具备相同的因式，是否就不能分解因式了呢？当然不是，本节课我们就来学习另外的一种因式分解的方法——公式法．问题1：请同学们观察多项式x 2－25，9x 2－y 2，它们有什么共同的特征？讨论结果：因为多项式x 2－25，9x 2－y 2，可分别化为x 2－52和(3x )2－y 2的形式，所以它们的共同特征是：都是两个数平方差的形式．问题2：尝试将它们分别写成两个因式的乘积，并与同伴交流．讨论结果：多项式x 2－25，9x 2－y 2的共同特征都是两项，且都是差的形式，各项都能写成平方的形式：x 2－25＝x 2－52＝(x ＋5)(x －5)；9x 2－y 2＝(3x )2－y 2＝(3x ＋y )(3x －y )．事实上把乘法公式(a ＋b )(a －b )= a 2－b 2反过来，就得到平方差公式a 2－b 2=(a ＋b )(a －b )．设计意图：利用因式分解是多项式乘法的相反过程这种关系找到新的因式分解的方法． 培养学生观察总结能力．【探究新知】1．平方差公式的再认识问题1：上面我们将一个具备一定特征的多项式进行了分解因式，这里的特征就是该多项式是两项差式，各项都能够写成平方形式．现在你能结合平方差公式具体谈谈它的用途吗？ 讨论结果：公式：从左向右用来处理特殊的整式乘法，而由右向左则用来处理特殊多项式的分解因式问题．由此可以又进一步体会到整式乘法与因式分解的互逆过程．问题2：你能给平方差公式a 2－b 2＝(a ＋b )(a －b )一个直观的解释吗？讨论结果：如图1，在边长为a 的大正方形左下角挖去一个边长为b 的小正方形后剩下的图形面积为a 2－b 2；将图1中下方的阴影部分割补到上方阴影的右侧(如图2)，在图2中阴影的面积为(a ＋b )(a －b )，所以有a 2－b 2＝(a ＋b )(a －b )．图1 图2设计意图：问题1是让学生进一步感知整式乘法与分解因式互为逆变形．问题2目的就是加深学生对平方差公式的记忆与理解．【典型例题】例1 把下列各式分解因式：（1）25－16x 2；（2）9a 2－14b 2． 解：（1）25－16x 2＝52－(4x )2＝(5＋4x )(5－4x )；（2）9a 2－14b 2＝(3a )2－(12b )2＝(3a ＋12b )(3a －12b )．点评：本题是把一个多项式的两项都化成两个单项式的平方，再利用平方差公式分解因式；在（1）中公式中的a 指代5，b 指代4x ；在（2）中公式中的a 指代3a ，b 指代12b ． 例2 把下列各式分解因式：（1）9(m ＋n )2－(m －n )2；（2）2x 3－8x ．解：（1）9(m ＋n )2－(m －n )2＝[3(m ＋n )]2－(m －n )2＝[3(m ＋n )＋(m －n )][3(m ＋n )－(m －n )]＝(3m ＋3n ＋m －n )(3m ＋3n －m ＋n )＝(4m ＋2n )(2m ＋4n )＝4(2m ＋n )(m ＋2n )．（2）2x 3－8x ＝2x (x 2－4)＝2x (x ＋2)(x －2)．点评：本题的（1）是把一个二项式化成两个多项式的平方差，然后借助于整体方法使用平方差公式分解因式，公式中的a 在这里指代的是3(m ＋n )，b 指代的是m －n ；（2）是先提公因式，然后再用平方差公式分解因式，由此可知，当一个题中既要用提公因式法，又要用公式法分解因式时，首先要考虑提公因式法，再考虑公式法．例3 判断下列分解因式是否正确．错误的加以改正．（1）(a ＋b )2－c 2＝a 2＋2ab ＋b 2－c 2．（2）a 4－1＝(a 2)2－1＝(a 2＋1)·(a 2－1)．解：（1）不正确．本题错在对分解因式的概念不清，左边是多项式的形式，右边应是整式乘积的形式，但（1）中还是多项式的形式，因此，最终结果未对所给多项式进行因式分解，而是典型的整式乘法化简题，正确应为：(a ＋b )2－c 2＝(a ＋b ＋c )(a ＋b －c )．（2）不正确．错误原因是因式分解不彻底，因为a 2－1还能继续分解成(a ＋1)(a －1)．正确解答应为a 4－1＝(a 2＋1)(a 2－1)＝(a 2＋1)(a ＋1)(a －1)．设计意图：例1是直接利用平方差公式分解因式，应让学生体会公式中的a ，b 在此问题中分别是什么．例2中的（1）进一步让学生理解平方差公式中的字母a ，b 不仅可以表示具体的数，而且可以表示其他代数式(注意使用整体方法进行教学)；问题2中的（2）要引导学生体会多项式中若含有公因式，就要先提取公因式，然后再进一步分解，直至不能分解为止．设置例3的目的是明确的，就是让学生明白分解因式的结果必须彻底．【课堂练习】1．判断下列因式分解的正误．（1）x 2＋y 2＝(x ＋y )(x －y )； ( )（2）x 2－y 2＝(x ＋y )(x －y )； ( )（3）－x 2＋y 2＝(－x ＋y )(－x －y )； ( )（4）－x 2－y 2＝－(x ＋y )(x －y )． ( )2．把下列各式因式分解．（1）a2b2－m2；（2）(m－a)2－(n＋b)2；（3）x2－(a＋b－c)2；（4）－16x4＋81y4．3．把下列各式分解因式．（1）36(x＋y)2－49(x－y)2；（2）(x－1)＋b2(1－x)；（3）(x2＋x＋1)2－1．设计意图：继续巩固新知识，熟练公式的应用．答案：1．解：（1）(×)（2）(√)（3）(×)（4）(×)2．解：（1）a2b2－m2＝(ab)2－m2＝(ab＋m)(ab－m)；（2）(m－a)2－(n＋b)2＝[(m－a)＋(n＋b)][(m－a)－(n＋b)]＝(m－a＋n＋b)(m－a－n－b)；（3）x2－(a＋b－c)2＝[x＋(a＋b－c)][x－(a＋b－c)]＝(x＋a＋b－c)(x－a－b＋c)；（4）－16x4＋81y4＝(9y2)2－(4x2)2＝(9y2＋4x2)(9y2－4x2)＝(9y2＋4x2)(3y＋2x)(3y－2x)．3．解：（1）36(x＋y)2－49(x－y)2＝[6(x＋y)]2－[7(x－y)]2＝[6(x＋y)＋7(x－y)][6(x＋y)－7(x－y)]＝(6x＋6y＋7x－7y)(6x＋6y－7x＋7y)＝(13x－y)(13y－x)；（2）(x－1)＋b2(1－x)＝(x－1)－b2(x－1)＝(x－1)(1－b2)＝(x－1)(1＋b)(1－b)；（3）(x2＋x＋1)2－1＝(x2＋x＋1＋1)(x2＋x＋1－1)＝(x2＋x＋2)(x2＋x)＝x(x＋1)(x2＋x＋2)．【课堂小结】1．引导学生回顾总结本节你学习了哪些知识与方法，有哪些收获？我们已学习过的因式分解方法有提公因式法和运用平方差公式法．如果多项式各项含有公因式，则第一步是提公因式，然后看是否符合平方差公式的结构特点，若符合则继续进行．第一步分解因式以后，所含的多项式还可以继续分解，则需要进一步分解因式，直到每个多项式都不能分解为止．2．师生共同归纳总结出分解因式的步骤：（1）观察．观察多项式的结构特征，明确下一步的方向．（2）提取公因式．有公因式的先提取出来，为下一步做好准备．（3）使用平方差公式继续分解．（4）分解因式的最终结果必须彻底．【板书设计】分解因式的步骤：（1）观察．（2）提取公因式．（3）使用平方差公式继续分解．（4）分解因式的最终结果必须彻底．。
4.3 用乘法公式分解因式学习目标1．能说出平方差公式和完全平方公式的特点．2．能较熟练地应用公式分解因式．学习重、难点学习重点：应用公式分解因式．学习难点：灵活应用公式和提公因式法分解因式，并理解因式分解的要求．学习过程(一)知识链接问题1：你能叙述多项式因式分解的定义吗？问题2：运用提公因式法分解因式的步骤是什么？问题3：你能将a2-b2分解因式吗？你是如何思考的？(二)探索平方差公式分解因式观察平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b)的项、指数、符号有什么特点？(1)左边是二项式，每项都是平方的形式，两项的符号相反．(2)右边是两个多项式的积，一个因式是两数的和，另一个因式是这两数的差．(3)在乘法公式中，“平方差”是计算结果，而在分解因式，“平方差”是得分解因式的多项式．由此可知如果多项式是两数差的形式，并且这两个数又都可以写成平方的形式，那么这个多项式可以运用平方差公式分解因式．填空：(1)4a2=( )2；(2)49b2=( )2；(3)0．16a4=( )2；(4)1．21a2b2=( )2；(5)214x4=( )2；(6)549x4y2=( )2．(三)运用平方差公式分解因式1、分解因式(1)4x2-9(2)(x+p)2-(x+q)2、分解因式(1)x4-y4(2)a3b-ab3、计算7582-2582注：(1)多项式分解因式的结果要化简．(2)在化简过程中要正确应用去括号法则，并注意合并同类项．(四)在前面我们不仅学习了平方差公式(a +b )(a －b )=a 2－b 2，而且还学习了完全平方公式(a ±b )2=a 2±2ab +b 2．(五) 探索完全平方公式分解因式1．推导用完全平方公式分解因式的公式以及公式的特点．由因式分解和整式乘法的关系，大家能否猜想出用完全平方公式分解因式的公式呢？ 将完全平方公式倒写：a 2+2ab +b 2=(a +b )2；a 2－2ab +b 2=(a －b )2．便得到用完全平方公式分解因式的公式．从上面的式子来看，两个等式的左边都是三项，其中两项符号为“+”，是一个整式的平方，还有一项符号可“+”可“－”，它是那两项乘积的两倍．凡具备这些特点的三项式，就是一个二项式的完全平方，将它写成平方形式，便实现了因式分解．左边的特点有：(1)多项式是三项式；(2)其中有两项同号，且此两项能写成两数或两式的平方和的形式；(3)另一项是这两数或两式乘积的2倍．右边的特点：这两数或两式和(差)的平方．用语言叙述为：两个数的平方和，加上(或减去)这两数的乘积的2倍，等于这两个数的和(或差)的平方．形如a 2+2ab +b 2或a 2－2ab +b 2的式子称为完全平方式．由分解因式与整式乘法的关系可以看出，如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做运用公式法．练一练下列各式是不是完全平方式？(1)a 2－4a +4；(2)x 2+4x +4y 2；(3)4a 2+2ab +41b 2； (4)a 2－ab +b 2；(5)x 2－6x －9；(6)a 2+a +0．25．判断一个多项式是否为完全平方式，要考虑三个条件，项数是三项；其中有两项同号且能写成两个数或式的平方；另一项是这两数或式乘积的2倍．2．例题讲解1、把下列完全平方式分解因式：(1)x 2+14x +49；(2)(m +n )2－6(m +n )+9．先把多项式化成符合完全平方公式特点的形式，然后再根据公式分解因式．公式中的a，b可以是单项式，也可以是多项式．解：(1)x2+14x+49=x2+2×7x+72=(x+7)2(2)(m+n)2－6(m+n)+9=(m+n)2－2·(m+n)×3+32=［(m+n)－3］2=(m+n－3)2．2、把下列各式分解因式：(1)3ax2+6axy+3ay2；(2)－x2－4y2+4xy．如果三项中有两项能写成两数或式的平方，但符号不是“+”号时，可以先提取“－”号，然后再用完全平方公式分解因式．解：(1)3ax2+6axy+3ay2=3a(x2+2xy+y2)=3a(x+y)2．(2)－x2－4y2+4xy=－(x2－4xy+4y2)=－［x2－2·x·2y+(2y)2］=－(x－2y)2．如果把乘法公式反过来，就可以用来把某些多项式分解因式.这种分解因式的方法叫做运用公式法.（六）课堂小结要掌握用平方差公式和完全平方公式分解因式，有时候某些单项式化为平方形式，再用平方差公式分解因式。
