1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题2求空间角

A．5
B．8
C． 60 13
D．13 3
【答案】C
【解析】解：以 D 为坐标原点， DA ， DC ， DD1 的方向分别为 x，y，z 轴的正方向建立如
图所示的空间直角坐标系， 设 B(x，12，0)，B1(x，12，5)(x>0)，平面 A1BCD1 的法向量为 n ＝(a，b，c)，则 C(0，12，
B1B n n
60 ， 13
因为 B1C1∥BC，BC 平面 A1BCD1，B1C1 平面 A1BCD1，
所以 B1C1∥平面 A1BCD1，所以 B1C1 到平面 A1BCD1 的距离即为点 B1 到平面 A1BCD1 的距离，
所以直线
B1C1
到平面
A1BCD1
的距离为
60 13
，故选：C.
知识点01 线面角的向量
1．已知在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中，AB=BC=1，AA1=2，E 是侧棱 BB1 的中点，则直线 AE 与平面
A1ED1 所成角的大小为（ ）
A．60°
B．90°
C．45°
D．以上都不对
【答案】B 【解析】 以点 D 为原点，分别以 DA，DC，DD1 所在直线为 x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间 直角坐标系，
0)，D1(0，0，5), CD1
0, 12,5
, BC
x, 0, 0
，由
n n
BC CD1
，得
n n
BC a x
CD1 a 0
b0 b 12
c0 c
5
ax 0 12b
5c
0
，所以
a＝0，b＝ 152
c，取 n
＝(0，5，12)，

例、（石家庄市2023届高三质量检测（二））
如图(1).在平行四边形ABCD中，AD 2BD 4 , AD BD ,
将 ABD 沿BD折起，使得点A到达点P 处，如图（2）所示。
(1).若 PC 6，求证：PD BC
(2).若PC 2 5 ，求平面PDC与平面PBC夹角的余弦值.
(1)证明： 因为平行四边形ABCD中，AD BD ，可得BD BC AD 2BD 4 BC 4, DC 2 5
四、基础知识回顾
● 1.二面角的定义 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。
四、基础知识回顾
● 2.二面角的平面角 在二面角的棱上任取一点O，以点O为垂足，分别在半平面和内分别作垂直 于棱的射线OA和OB，则射线OA和OB所成的角称为二面角的平面角.
● 二面角的平面角的取值范围是00 ≤α ≤1800
与平面 的夹角.
C
D
AB
解 CD CA AB BD
2
2
2
2
2
CD CA AB BD CA AB BD 2CA AB 2CA BD 2AB BD
2
2 17 36 16 64 2 68cos CA, BD
cos CA, BD 1 2
所以平面 与平面 的夹角为 600
又 PC 6 PD2 DC2 PC2，PD DC 又 PD BD, BD DC D,PD 平面BDC. PD BC
六、构建模型、解决问题
(2).解：方法一：由 BD BC，建立如图所示的空间直角坐标系
AD 2BD 4,B0,0,0,C4,0,0, D0,2,0 ，设 Px, y, z （其中 z 0 ）
由题意可知，BD PD, BD DF, PD DF D BD 平面PDF，BD PF,CF PFPF PC2 CF 2 4 又 BD 平面BCFD，平面BCFD 平面PDF

平面平行，或在平面内，我们说它所成的角是0°的角。
θ∈[0°，90°]
斜线l
l P 垂线
A
O
斜线l的射影
回顾旧知
5、二面角的定义
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，棱为l，
两个面分别为、 的二面角. 记为 -l- .
6、二面角的平面角
l
与在距二离面类角似-，l-角的度棱是l上立任体取几一何点中O另，一如个图重，要在的半度平量. 下面我们 B
2、若A( x1, y1, z1 )，B( x2 , y2 , z2 )，则 AB ( x2 x1, y2 y1 , z2 z1 )
回顾旧知
3、异面直线所成的角
已知两条异面直线a、b，经过空间任一点O作直线a'//a,
b'//b，我们把a'与b'所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成
的角(或夹角)。 (0, ]
解：化为向量问题
如图，以{CA,CB,CD}作为基底，则MA CA CM CA 1 CB
2
CN 1 (CA CD) 设向量CN与MA的夹角为，
则直线A2M与CN夹角的余弦值等于| cos | .
B
A N D
进行向量运算
M
CN
MA
1 (CA 2
CD) (CA
1 CB) 2
12 CA
2
| CN || MA | 3 3 3
回到图形问题
22
所 以 直 线AM和CN夹 角 的 余 弦 值 为2 3
A
N
B
D
M C
思考：以上我们用向量方法解决了异面直线AM和CN所成角的问题，你
能用向量方法求直线AB与平面BCD所成的角吗？

P35-2(2).棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E,F分别是线段DD1, BB1的中点，求直
线FC1到直线AE的距离.
①公式法 析 : 可证AE // FC1,
直线FC1到直线AE的距离即为点F到直线AE的距离,
A
建系Dxyz , A(2,0,0), E (0,0,1), F (2,2,1) AE (2,0,1), AF (0,2,1), 1
E
B
C
P
| AB n |
|n |
z
P
(法4 : 几何补形法)
E
将四棱锥补成正方体可以快速找到高
A
Cy
D
B
探究交流
③找垂线法(过点找面的垂线)
[例1]各棱长为1的正四面体, 求点O到面ABC的距离.
O
析 : 分别取BC, AC的中点E, F .
连接AE , BF交于点D, 则D为ABC 的中心.
,
, 2),
2
2
2 2
设直线AN 与CM 所成角为 ,
AN CM
7
∵cos AN , CM

8
| AN || CM |
7
所以直线与夹角的余弦值等于− .
8
M
O
N
探究交流 考点八.求线面角
①空间向量法
例 7 如图 1.4-19，在棱长为 1 的正四面体（四个面都是正三角形）
点，求异面直线AN和CM所成角的余弦值.
三棱锥对棱相等，可以补成一个长方体，如图
解 : 如图建立空间直角坐标系O xyz.
2 2
2
2
则A(0, 0, 2), C ( 2, 7, 2), N (