一元二次方程近似解训练

图象法求一元二次方程的近似值例1．（2017.兰州）下表是一组二次函数y=x2+3x﹣5的自变量x与函数值y的对应值：x 1 1.1 1.2 1.3 1.4y ﹣1 ﹣0.49 0.04 0.59 1.16那么方程x2+3x﹣5=0的一个近似根是（）A．1 B．1.1 C．1.2 D．1.3【分析】观察表格可得0.04更接近于0，得到所求方程的近似根即可．【解答】解：观察表格得：方程x2+3x﹣5=0的一个近似根为1.2，故选C【点评】此题考查了图象法求一元二次方程的近似根，弄清表格中的数据是解本题的关键．例2．（2017.徐州模拟）二次函数y=﹣x2+mx的图象如图，对称轴为直线x=2，若关于x的一元二次方程﹣x2+mx﹣t=0（t为实数）在1＜x＜5的范围内有解，则t的取值范围是（）A．t＞﹣5 B．﹣5＜t＜3 C．3＜t≤4D．﹣5＜t≤4【分析】如图，关于x的一元二次方程﹣x2+mx﹣t=0的解就是抛物线y=﹣x2+mx 与直线y=t的交点的横坐标，利用图象法即可解决问题．【解答】解：如图，关于x的一元二次方程﹣x2+mx﹣t=0的解就是抛物线y=﹣x2+mx与直线y=t的交点的横坐标，当x=1时，y=3，当x=5时，y=﹣5，由图象可知关于x的一元二次方程﹣x2+mx﹣t=0（t为实数）在1＜x＜5的范围内有解，直线y=t在直线y=﹣5和直线y=4之间包括直线y=4，∴﹣5＜t≤4．故答案为D．【点评】本题考查抛物线与x轴的交点、一元二次方程等知识，解题的关键是学会利用图象法解决问题，画出图象是解决问题的关键，属于中考选择题中的压轴题．例3．（2017.山西模拟）小李同学在求一元二次方程﹣2x2+4x+1=0的近似根时，先在直角坐标系中使用软件绘制了二次函数y=﹣2x2+4x+1的图象（如图），接着观察图象与x轴的交点A和B的位置，然后得出该一元二次方程两个根的范围是﹣1＜x1＜0，2＜x2＜3，小李同学的这种方法主要运用的数学思想是（）A．公理化B．类比思想C．数形结合D．模型思想【分析】结合图象解答题目，属于数形结合的数学思想．【解答】解：根据函数解析式得到函数图象，结合函数图象得到抛物线与x轴交点的大体位置，属于数学结合的数学思想．故选：C．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点．求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y=0，即ax2+bx+c=0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．例4．（2015.吴兴区一模）已知二次函数y=ax2+bx+c的y与x的部分对应值如下表：则下列判断中正确的是（）x …﹣1 0 1 2 …y …﹣3 1 3 1 …A．抛物线开口向上B．抛物线与y轴交于负半轴C．当x=3时，y＞0 D．方程ax2+bx+c=0的正根在2与3之间【分析】结合图表可以得出当x=0或2时，y=1，可以求出此函数的对称轴是x=1，顶点坐标为（1，3），借助（0，1）两点可求出二次函数解析式，从而得出抛物线的性质．【解答】解：∵由图表可以得出当x=0或2时，y=1，可以求出此函数的对称轴是x=1，顶点坐标为（1，3），∴二次函数解析式为：y=a（x﹣1）2+3，再将（0，1）点代入得：1=a（﹣1）2+3，解得：a=﹣2，∴y=﹣2（x﹣1）2+3，∵a＜0∴A，抛物线开口向上错误，故A错误；∵y=﹣2（x﹣1）2+3=﹣2x2+4x+1，与y轴交点坐标为（0，1），故与y轴交于正半轴，故B错误；∵当x=3时，y=﹣5＜0，故C错误；∵方程ax2+bx+c=0，△=16+4×2×1=22＞0，此方程有两个不相等的实数根，由表正根在2和3之间；故选：D．【点评】本题考查了二次函数的性质以及一元二次方程的解，解答该题时，充分利用了二次函数图象的对称性得出是解题关键．例5．（2017.渠县一模）如图，是二次函数y=ax2+bx﹣c的部分图象，由图象可知关于x的一元二次方程ax2+bx=c 的两个根可能是．（精确到0.1）【分析】直接利用抛物线与x 轴交点的位置估算出两根的大小．【解答】解：由图象可知关于x 的一元二次方程ax2+bx=c的两个根可能是：x 1=0.8，x2=3.2合理即可．故答案为：x1=0.8，x2=3.2合理即可．【点评】此题主要考查了图象法求一元二次方程的近似值，正确利用函数图象是解题关键．6．（2017.通州区二模）小东根据学习函数的经验，对函数y=﹣x的图象与性质进行了探究．下面是小东的探究过程，请补充完整，并解决相关问题：（1）函数y=﹣x的自变量x的取值范围是x≠0；（2）下表是y与x的几组对应值，求m的值；x …﹣4 ﹣3﹣2﹣﹣1﹣ 1 2 3 4 …y …﹣﹣m …（3）如图，在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点．根据描出的点，画出该函数的图象；（4）进一步探究发现，该函数图象在第二象限内的最低点的坐标是（﹣2，），结合函数的图象，写出该函数的其它性质（一条即可）当x＞0时，y随x的增大而减小．（5）根据函数图象估算方程﹣x=2的根为x1=﹣3.8，x2=﹣1.8．（精确到0.1）【分析】（1）根据分母不为零分式有意义，可得答案；（2）根据自变量与函数值得对应关系，可得答案；（3）根据描点法画函数图象，可得答案；（4）根据图象的变化趋势，可得答案；（5）根据图象，可得答案．【解答】解：（1）函数y=﹣x的自变量x的取值范围是：x≠0，故答案为：x≠0；（2）把x=4代入y=﹣x得，y=﹣×4=﹣，∴m=﹣，（3）如图所示，（4）当x＞0时，y随x的增大而减小；故答案为当x＞0时，y随x的增大而减小；（5）由图象，得x1=﹣3.8，x2=﹣1.8．故答案为：x1=﹣3.8，x2=﹣1.8．【点评】本题考查了函数的性质，利用描点法画函数图象，利用图象得出函数的性质是解题关键．。

初中数学如何求解一元二次方程的近似解在初中数学中，求解一元二次方程的近似解是一个重要的概念。

在这里，我将详细解释如何使用近似方法来求解一元二次方程，并提供一些实例和解题技巧。

希望这能帮助你更好地理解和应用一元二次方程的近似解。

首先，让我们回顾一下一元二次方程的一般形式：ax^2 + bx + c = 0，其中a、b和c是实数，且a不等于0。

对于一些复杂的一元二次方程，我们可能无法通过代数方法精确求解得到方程的根。

这时，我们可以使用近似方法来获得一个接近于真实解的估计值。

一元二次方程的近似解可以通过以下方法来获得：方法1：图像法通过绘制方程的图像，我们可以观察到方程的根在哪个区间内，并获得一个近似解的估计值。

我们可以使用计算机或手绘图像来帮助我们更准确地确定方程的根所在的位置。

例如，考虑方程x^2 - 4x + 3 = 0。

我们可以绘制方程的图像，并观察到方程的根位于x=1和x=3之间。

因此，我们可以估计方程的近似解为x ≈ 2。

方法2：二分法二分法是一种常用的近似求解方法，适用于对于一个在某个区间内连续的函数进行求解。

我们可以通过迭代的方式逼近方程的根。

具体步骤如下：1. 选择一个初始的区间[a, b]，确保方程在这个区间内连续。

2. 计算区间中点c = (a + b) / 2。

3. 计算方程在中点c处的函数值f(c)。

4. 如果f(c)接近于0，我们可以认为c是方程的近似解。

如果不是，则根据f(c)与0的关系，更新区间[a, b]。

5. 重复步骤2至4，直到我们获得一个满足要求的近似解。

例如，考虑方程x^2 - 4x + 3 = 0。

我们可以选择初始的区间[a, b]为[1, 3]。

计算中点c = (1 + 3) / 2 = 2，然后计算f(c) = (2)^2 - 4(2) + 3 = -1。

由于f(c)不接近于0，我们可以更新区间为[a, b] = [2, 3]，然后重复上述步骤，直到获得一个满足要求的近似解。

用二次函数的图象求一元二次方程的近似解课标要求会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解.中招考点用二次函数图象求一元二次方程的近似解．例1 阅读材料回答问题：有如下一道题：画图求方程22+-=x x 的解.两位同学的解法如下：甲：将方程22+-=x x 化为022=-+x x ，画出22-+=x x y 的图象，观察它与x 轴的交点，得出方程的解．乙：分别画出函数2x y =和2+-=x y 的图象，观察它们的交点， 把交点的横坐标作为方程的解．你对这两种解法有什么看法？请与你的同学交流．归纳反思上面甲、乙两位同学的解法都是可行的，但乙的方法要来得简便，因为画抛物线远比画直线困难，所以只要事先画好一条抛物线2x y =的图象，再根据待解的方程，画出相应的直线，两线交点的横坐标即为方程的解．所以建议同学们以后尽量用乙的方法.例2利用函数的图象，求下列方程的解：（1）0322=-+x x ；（2）02522=+-x x ．解：（1）先把方程化成x 2=-2x+3.如图：在同一直角坐标系中分别画出函数2x y =和32+-=x y 的图象，得到它们的交点（-3，9）和（1，1），则方程0322=-+x x 的解为x=–3或x=1．（2）先把方程02522=+-x x 化为 01252=+-x x ，然后在同一直角坐标系中画出函数2x y =和125-=x y 的图象，如图，得到它们的交点（21，41）和（2，4）， 则方程02522=+-x x 的解为 21，2． 归纳反思一般地，求一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的近似解时，通常先把方程化成a c x a b x --=2的形式，然后在同一直角坐标系中分别画出y=x 2和ac x a b y --=两个函数的图象，得出交点，交点的横坐标即为方程的解．例3 利用函数的图象，求下列方程组的解： (1)213,22.y x y x ⎧=-+⎪⎨⎪=⎩（2）236,2.y x y x x =+⎧⎨=+⎩ 分析：（1）可以通过直接画出函数2321+-=x y 和2x y =的图象，得到它们的交点，从而得到方程组的解；（2）也可以同样解决．解：（1）在同一直角坐标系中画出函数2x y =和2321+-=x y 的图象，如图.得到它们的交点（23-，49）和（1，1）， 则方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=22321x y x y 的解为:12213,1,29 1..4x x y y ⎧=-⎪=⎧⎪⎨⎨=⎩⎪=⎪⎩ （2）在同一直角坐标系中画出函数x x y 22+=和63+=x y 的图象，如图.得到它们的交点（-2，0）.（3，15），则方程组⎩⎨⎧+=+=x x y x y 2632的解为⎩⎨⎧==⎩⎨⎧=-=153,022211y x y x ．思考：（2）中的抛物线画出来比较麻烦，你能想出更好的解决此题的方法吗？比如利用抛物线2x y =的图象，请尝试一下．强化练习1．已知二次函数432--=x x y 的图象如图，（1）则方程0432=--x x 的解是 ，（2）不等式0432>--x x 的解集是 ，（3）不等式0432<--x x 的解集是 ．2．利用函数的图象，求方程组22.y x y x =-+⎧⎨=⎩，的解.。

2019中考数学专题练习-利用二次函数图像求一元二次方程的近似根（含解析）一、单选题1.二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）中，自变量x与函数y的对应值如下表：﹣﹣若，则一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根x1 ， x2的取值范围是（）A. ﹣1＜x1＜0，2＜x2＜3B. ﹣2＜x1＜﹣1，1＜x2＜2C. 0＜x1＜1，1＜x2＜2D. ﹣2＜x1＜﹣1，3＜x2＜42.根据下列表格的对应值：）A. 8＜x＜9B. 9＜x＜10 C. 10＜x＜11 D. 11＜x＜123.下列表格是二次函数y=ax2+bx+c的自变量x与函数值y的对应值，判断方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的一个解x的范围是（）A. ﹣2＜x＜﹣2.14B. ﹣2.14＜x＜2.13C. ﹣2.13＜x＜﹣2.12 D. ﹣2.12＜x＜﹣2.114.根据下列表格中的对应值，关于x的方程ax2+bx+c=0（a≠0）的一个解x得范围正确的是（）A. 3＜x＜3.23B. 3.23＜x＜3.24 C. 3.24＜x＜3.25 D. 3.25＜x＜3.265.已知二次函数y=ax2+bx+c的y与x的部分对应值如下表：则下列判断中正确的是（）上B. 抛物线与y轴交于负半轴C. 当x=3时，y＜D. 方程ax2+bx+c=0有两个相等实数根6.根据下列表格对应值：判断关于x的方程ax2+bx+c=0 的一个解x的范围是（）A. x＜3.24B. 3.24＜x＜3.25 C. 3.25＜x＜3.26 D. 3.25＜x＜3.287.已知二次函数y=ax2+2ax﹣3的部分图象（如图），由图象可知关于x的一元二次方程ax2+2ax﹣3=0的两个根分别是x1=1.3和x2=（）A. ﹣1.3B. ﹣2.3C. ﹣0.3 D. ﹣3.38.下列表格是二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的自变量x与函数y的一些对应值．由此可以判断方程ax2+bx+c=0（a≠0）的一个根在（）A. 6.17~6.18之间B. 6.18~6.19之间 C. 6.19~6.20之间 D. 不确定9.根据下表中二次函数y=ax2+bx+c （a≠0）的对应值：A. 3.23＜x ＜3.24B. 3.24＜x ＜3.25 C. 3.25＜x ＜3.26 D. 不能确定10.根据下列表格对应值：）A. x ＜3.24B. 3.24＜x ＜3.25C. 3.25＜x ＜3.26 D. 3.25＜x ＜3.2811.根据下列表格对应值：A. x ＜3B. x ＜2C. 4＜x ＜5 D. 3＜x ＜412.根据下列表格的对应值，判断方程ax2+bx+c=0（a≠0，a 、b 、c 为常数）一个解的范围是（ ）A. 3＜x ＜3.23B. 3.23＜x ＜3.24 C. 3.24＜x ＜3.25 D. 3.25＜x ＜3.2613.根据下列表格中的对应值，判断方程ax2+bx+c=0（a≠0，a ，b ，c 为常数）的根的个数是（ ）B. 1C. 2D. 1或214.根据下列表格中的对应值，判断方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的根的个数是（）B. 1C. 2D. 1或2二、填空题15.已知二次函数y=﹣x2+2x+m的图象如图所示，则关于x的一元二次方程﹣x2+2x+m=0的根为________ ；不等式﹣x2+2x+m＞0的解集是________ ；当x________ 时，y随x的增大而减小．16.我们把一元二次方程x2﹣2x﹣3=0的解看成是抛物线y=x2﹣2x﹣3与x轴的交点的横坐标，如果把方程x2﹣2x﹣3=0适当地变形，那么方程的解还可以看成是函数________与函数________的图象交点的横坐标（写出其中的一对）．17.小颖用几何画板软件探索方程ax2+bx+c=0的实数根，作出了如图所示的图象，观察得一个近似根为x1=﹣4.5，则方程的另一个近似根为x2=________ （精确到0.1）．18.已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴的两个交点的坐标分别是(－3，0)，(2，0)，则方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的解是________.19.利用二次函数的图象求一元二次方程x2+2x﹣10=0的根：（1）（2）20.试写出一个二次函数关系式，使它对应的一元二次方程的一个根为0，另一个根在1到2之间：________．21.抛物线y=2x2﹣4x+m的图象的部分如图所示，则关于x的一元二次方程2x2﹣4x+m=0的解是________．22.根据下列表中的对应值：判断方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的一个解的取值范围为________ ．三、解答题23.利用函数图象判断方程2x2﹣3x﹣4=0有没有解．若有解，求出它的近似解（精确到0.1）．24.画图求方程x2=﹣x+2的解，你是如何解决的呢？我们来看一看下面两位同学不同的方法．甲：先将方程x2=﹣x+2化为x2+x﹣2=0，再画出y=x2+x﹣2的图象，观察它与x轴的交点，得出方程的解；乙：分别画出函数y=x2和y=﹣x+2的图象，观察它们的交点，并把交点的横坐标作为方程的解．你对这两种解法有什么看法？请与你的同学交流．四、综合题25.二次函数y=ax2+bx+c的自变量x与函数值y的部分对应值如下表：﹣﹣﹣2（1）当x=3时，y=________ ；（2）当x= 1 时，y有最________ 值为________（3）若点A（x1 ， y1）、B（x2 ， y2）是该二次函数图象上的两点，且﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2，试比较两函数值的大小：y1________ y2（4）若自变量x的取值范围是0≤x≤5，则函数值y的取值范围是________26.画出函数y=﹣2x2+8x﹣6的图象，根据图象回答：（1）方程﹣2x2+8x﹣6=0的解是什么（2）当x取何值时，y＞0（3）当x取何值时，y＜0答案解析部分一、单选题1.二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）中，自变量x与函数y的对应值如下表：﹣﹣若，则一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根x1 ， x2的取值范围是（）A. ﹣1＜x1＜0，2＜x2＜3B. ﹣2＜x1＜﹣1，1＜x2＜2C. 0＜x1＜1，1＜x2＜2D. ﹣2＜x1＜﹣1，3＜x2＜4【答案】A【考点】图象法求一元二次方程的近似根【解析】【解答】∵，∴﹣1＜m ﹣2＜﹣，＜m ﹣＜1，∴函数y=ax2+bx+c 的图象与x 轴的交点就是方程ax2+bx+c=0的根，函数y=ax2+bx+c 的图象与x 轴的交点的纵坐标为0．由表中数据可知：y=0在y=m ﹣2与y=m ﹣之间，故对应的x 的值在﹣1与0之间，即﹣1＜x1＜0，y=0在y=m ﹣2与y=m ﹣之间，故对应的x 的值在2与3之间，即2＜x2＜3．故选：A ．【分析】根据函数y=ax2+bx+c 的图象与x 轴的交点的横坐标就是方程ax2+bx+c=0的根，再根据函数的增减性即可判断方程ax2+bx+c=0两个根的范围．2.根据下列表格的对应值：）A. 8＜x ＜9B. 9＜x ＜10 C. 10＜x ＜11 D. 11＜x ＜12【答案】C【考点】图象法求一元二次方程的近似根【解析】【解答】依题意得当8＜x ＜12，y 随x 的增大而增大，而﹣0.38＜0＜1.2，∴方程ax2+bx+c=0（a≠0，a ，b ，c 为常数）的一个解x 的范围是10＜x ＜11．故选C ．【分析】根据表格知道8＜x ＜12，y 随x 的增大而增大，而﹣0.38＜0＜1.2，由此即可推出方程ax2+bx+c=0（a≠0，a ，b ，c 为常数）的一个解x 的范围．3.下列表格是二次函数y=ax2+bx+c 的自变量x 与函数值y 的对应值，判断方程ax2+bx+c=0（a≠0，a ，b ，c 为常数）的一个解x 的范围是（ ）A. ﹣2＜x ＜﹣2.14B. ﹣2.14＜x ＜2.13C. ﹣2.13＜x ＜﹣2.12 D. ﹣2.12＜x ＜﹣2.11【答案】C【考点】图象法求一元二次方程的近似根【解析】【解答】函数y=ax2+bx+c 的图象与x 轴的交点就是方程ax2+bx+c=0的根，函数y=ax2+bx+c 的图象与x 轴的交点的纵坐标为0；由表中数据可知：y=0在y=﹣0.01与y=0.02之间，∴对应的x 的值在﹣2.13与﹣2.12之间，即﹣2.13＜x1＜﹣2.12，故选C ．【分析】根据函数y=ax2+bx+c 的图象与x 轴的交点就是方程ax2+bx+c=0的根，再根据函数的增减性即可判断方程ax2+bx+c=0一个根的范围．4.根据下列表格中的对应值，关于x的方程ax2+bx+c=0（a≠0）的一个解x得范围正确的是（）A. 3＜x＜3.23B. 3.23＜x＜3.24 C. 3.24＜x＜3.25 D. 3.25＜x＜3.26【答案】C【考点】图象法求一元二次方程的近似根【解析】【解答】根据表格可知，ax2+bx+c=0时，对应的x的值在3.24～3.25之间．故选C．【分析】观察表格可知，y随x的增大而增大，ax2+bx+c的值在3.24～3.25之间由负到正，故可判断ax2+bx+c=0时，对应的x的值在3.24～3.25之间．5.已知二次函数y=ax2+bx+c的y与x的部分对应值如下表：则下列判断中正确的是（）上B. 抛物线与y轴交于负半轴C. 当x=3时，y＜D. 方程ax2+bx+c=0有两个相等实数根【答案】C【考点】图象法求一元二次方程的近似根【解析】【解答】∵由图表可以得出当x=0或2时，y=1，可以求出此函数的对称轴是x=1，顶点坐标为（1，3），∴二次函数解析式为：y=a（x﹣1）2+3，再将（0，1）点代入得：1=a（﹣1）2+3，解得：a=﹣2，∴y=﹣2（x﹣1）2+3，∵a＜0，∴A，抛物线开口向上错误，故：A错误；,∵y=﹣2（x﹣1）2+3=﹣2x2+4x+1，与y轴交点坐标为（0，1），故与y轴交于正半轴，故：B错误；∵x=3时，y=﹣5＜0，故：C正确；∵方程ax2+bx+c=0，△=16+4×2×1=22＞0，此方程有两个不相等的实数根，故：D．方程有两个相等实数根错误；故选：C．【分析】结合图表可以得出当x=0或2时，y=1，可以求出此函数的对称轴是x=1，顶点坐标为（1，3），借助（0，1）两点可求出二次函数解析式，从而得出抛物线的性质．6.根据下列表格对应值：判断关于x的方程ax2+bx+c=0 的一个解x的范围是（）A. x＜3.24B. 3.24＜x＜3.25 C. 3.25＜x＜3.26 D. 3.25＜x＜3.28【答案】B【考点】利用二次函数图像求一元二次方程的近似根【解析】【解答】由图表可知，ax2+bx+c=0时，3.24＜x＜3.25．故答案为：B．【分析】根据表中数据得到x=3.24时，ax2+bx+c=-0.02＜0；x=3.25时，ax2+bx+c=0.01＞0，于是可判断x在3.24和3.25之间取某一值时，ax2+bx+c=0，由此得到方程ax2+bx+c=0（x≠0）的一个解x的范围。

一元二次方程 同步训练21.1 一元二次方程(1) 一元二次方程的概念一、学习要求：通过学习感受现实生活和学习环境中方程知识的实际意义、体会建模思想，接受和理解一元二次方程及相关概念，通过交流、辨析，能将方程化为一般形式，认识二次项系数、一次项系数、常数项等概念，并注意系数的符号．二、同步训练： (一)填空题：1．一元二次方程5x 2＝3x ＋2的一般形式是____________，它的二次项系数是______，一次项系数是______，常数项是______．2．已知方程(m ＋1)x 2－2mx ＝1是一元二次方程，那么m ≠______．3．当m ______时，方程223213x x mx =--不是关于x 的一元二次方程． 4．已知：方程(m 2－4)x 2－6(m －2)x ＋3m －4＝0，当m ______时，它是一元二次方程，当m ______时，它是一元一次方程．(二)选择题：5．把方程(2x ＋1)(3x ＋1)＝x 化成一般形式后，一次项系数和常数项分别是( ) (A)4，1 (B)6，1 (C)5，1 (D)1，6 6．下列方程中，一元二次方程是( )(A)2x 4－5x 2＝0(B)(2x 2＋7)2－3＝0 (C)012=+xx(D)0312142=++-x x 7．把方程(2x －1)(3x ＋2)＝x 2＋2化成一般形式后，二次项系数和常数项分别是( )(A)5，－4 (B)5，1 (C)5，4 (D)1，－4 (三)解答题：8．根据题意，列出方程：(1)一个三角形的底比高多2cm ，三角形面积是30cm 2，求这个三角形的底和高．(2)两个连续正整数的平方和是313，求这两个正整数．(3)已知两个数的和为6，积为7，求这两个数．9. 已知关于x 的一元二次方程3(x －k )2＋4k －5＝0的常数项等于1，则所得关于k 的一元二次方程的一般形式是什么?21.1 一元二次方程(2) 一元二次方程的进一步理解一、学习要求：进一步理解一元二次方程的概念，灵活掌握二次项系数、一次项系数、常数项，体会一元二次方程与现实生活的关系．二、同步训练： (一)填空题：1．方程(x ＋1)(x ＋2)＝3化为一般形式是____________． 2．两个连续奇数的积是255，求这两个数，若设较小奇数为x ，则根据题意，可得方程为____________．3．一个矩形的长比宽多2cm ，面积为30cm 2，求这个矩形的长与宽，设矩形的长为x cm ，列出方程为____________．(二)选择题：4．下列各方程中，一定是关于x 的一元二次方程的是( ) (A)mx 2＋8x ＝6x (x －1)－2 (B)ax 2＋bx ＋c ＝0(C)(m 2＋1)x 2－5x ＋3＝0(D)x1＋5x ＋8＝0 5．下列各方程中，一定是关于x 的一元二次方程的个数是( )①1232=-x x ；②mx 2＋nx －4＝0；③11-=-x x x ；④x 2－x 2(1＋x 2)－2＝0 (A)4个 (B)3个 (C)2个 (D)1个6．长50cm ，宽30cm 的矩形薄铁片，在四个角截去四个大小相同的正方形，做成底面积为1200cm 2的无盖长方体盒子．设截去的小正方形边长为x cm ，列出的正确方程是( )(A)(50－2x )(30－2x )＝1200 (B)(50－x )(30－x )＝1200 (C)(50－2x )(30－x )＝1200 (D)50 ×30－4x 2＝1200 (三)解答题：7．根据下列问题，列出方程(不必求解)．学校有一块长方形空地，长42米，宽30米，准备在中间开辟花圃，四周修建等宽的林荫小道，使小道的面积和花圃面积相等，求小道的宽．8. 根据方程：(50＋x )(40＋x )＝3000，你能结合身边的实际，编一个应用问题吗?试试看．21.1 一元二次方程(3) 直接开平方解一元二次方程一、学习要求：在进一步理解一元二次方程的有关概念的基础上，结合平方根的意义，初步体会利用开平方可以将一些一元二次方程降次转化为一元一次方程．二、同步训练： (一)填空题：1．x (x ＋2)＝5(x ＋2)的一般形式是_______，其中二次项系数是______，一次项系数是______，常数项是______．2．若x ＝2满足方程x 2－12x －m ＝0，则m ＝______． 3．形如方程x 2＝a (a ≥0)的解是______．4．形如方程(x ＋m )2＝n (n ≥0)的解是______． (二)选择题：5．方程(x ＋2)2＝9的解为( ) (A)x 1＝9，x 2＝－9 (B)x 1＝9，x 2＝0 (C)x 1＝－9，x 2＝0 (D)x 1＝1，x 2＝－56．方程(x ＋3)2－9＝0的解的情况为( ) (A)x 1＝3，x 2＝－3 (B)x 1＝0，x 2＝－6 (C)x 1＝9，x 2＝－6 (D)x 1＝6，x 2＝07．方程4x 2－1＝0的根的情况是( )(A)x ＝±2(B)0,2121=-=x x (C)21±=x (D)无实根(三)解答题： 8．解下列方程： (1)x 2＝169； (2)5x 2＝125； (3)(x ＋3)2＝16；(4)(6x －7)2－128＝0．9. 若等式24x a ·(a 1－2x)4＝a 9成立，求x 的值．21.2 降次——解一元二次方程21.2.1 配方法一、学习要求：在掌握了利用求平方根的方法解一元二次方程以后，结合完全平方的特征，体会转化思想：即配方转化降次求解一元二次方程．理解配方法的要领，掌握配方法的基本步骤．二、同步训练： (一)填空题： 1．根据公式a 2±2ab ＋b 2＝(a ±b )2，填充下列各式：(A)x 2＋8x ＋______＝(x ＋______)2 (B)x 2－2x ＋______＝(x －______)2 (C)x 2＋x ＋______＝(x ＋______)2 (D)x 2－x ＋______＝(x －______)2 (二)选择题：2．用配方法解方程x 2－3x －1＝0时，以下解法中的配方过程正确的是( ) (A)x 2－3x －1＝0 (B)x 2－3x －1＝0 (C)x 2－3x －1＝0 (D)x 2－3x －1＝0x 2－3x ＋9＝9＋1 x 2－3x ＋9＝1 1494932+=+-x x1232332+=+-x x(x －3)2＝10 (x －3)2＝1 413)23(2=-x 25)23(2=-x (三)解答题：3．用配方法解下列方程： (1)x 2－6x ＋4＝0； (2)x 2＋5x －6＝0； (3)x 2＋6x ＋8＝0；(4)x 2＋4x －12＝0； (5)(2x －3)2－3＝0； (6)x 2＋2mx －n 2＝0．4. 求证：不论a 、b 取何实数，多项式a 2b 2＋b 2－6ab －4b ＋14的值都不小于1．21.2.2 公式法(1)一、学习要求：在理解了配方法的基本思想和配方过程的基础之上，通过对一般形式的一元二次方程进行配方，从而导出求根公式，对求根公式要在理解的基础上记住它，并能利用它求解一元二次方程．二、同步训练： (一)填空题： 1．一元二次方程4x (x ＋3)＝5(x －1)＋2的一般形式是______，其中a ＝______，b ＝______，c ＝______．2．一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根的判别式为______． 3．已知关于x 的一元二次方程s －r ＝sx 2－rx ＋sx －rx 2＋t (s －r ≠0)的一般形式是______，其中a ＝______，b ＝______，c ＝_______．(二)选择题：4．已知一元二次方程x 2－2x －m ＝0，用配方法解该方程，配方后的方程是( ) (A)(x －1)2＝m 2＋1 (B)(x －1)2＝m －1 (C)(x －1)2＝1－m (D)(x －1)2＝m ＋1 5．方程x 2＝x ＋1的解是( )(A)1+=x x(B)251±=x (C)1+±=x x(D)251±-=x 6．方程x 2－6x －3＝0的解的情况为( ) (A)有两个相等的实数根 (B)有两个不等的实数根 (C)有一个实数根 (D)没有实数根 7. 在方程x 2＋mx ＋n ＝0的两个根中，有一个根为0，另一个根不为0，那么m ，n 应满足( ) (A)m ＝0，n ＝0 (B)m ≠0，n ≠0 (C)m ≠0，n ＝0 (D)m ＝0，n ≠0 (三)解答题：8．用公式法解方程： (1)2x 2＋2x ＝1； (2)5x ＋2＝3x 2； (3)x (x ＋8)＝16； (4)(2y ＋1)(3y －2)＝3．21.2.2 公式法(2)一、学习要求：在理解配方法和掌握求根公式之后，应能准确认识公式中的a ，b ，c ．结合实际应用它．应用公式法求解一元二次方程．要养成认真踏实的学习习惯，提高运算的正确率．二、同步训练： (一)填空题：1．方程x 2＋x －3＝0的两根是____________． 2．方程x (x ＋1)＝2的根为____________．3．两个连续奇数之积是143，设其中较小的奇数为y ＋1，则可得关于y 的一元二次方程的一般形式是________________________．(二)选择题：4．已知px 2－3x ＋p 2－p ＝0是关于x 的一元二次方程，则( )(A)p ＝1 (B)p ＞0 (C)p ≠0 (D)p 为任意实数5．已知x 2－3x ＋1＝0，则xx 1的值为( ) (A)3(B)－3 (C)23(D)16．下列方程中，两实根之和等于零的是( ) (A)9x 2＋4＝0 (B)(2x ＋3)2＝0 (C)(x －1)2＝4 (D)5x 2＝6 (三)解答题： 7．解下列方程： (1)x 2＋3x －4＝0； (2)x 2－x －1＝0； (3)－2x 2＝5x －3； (4)3x 2＋2x ＝4．8. 一根长36cm 的铁丝剪成相等的两段，一段弯成矩形，另一段弯成有一边长为5cm 的等腰三角形．如果弯成的矩形和等腰三角形的面积相等，求矩形的长与宽．21.2.3 因式分解法(1)一、学习要求：在理解了利用求平方根的思想来达到降次求解一元二次的方程之后，因式分解又是一种转化的思想，来实现将一元二次方程降次为一元一次方程求解．二、同步训练：(一)填空题：1．当x＝3时，(x－3)(x＋3)的值为____________．2．方程x(x－3)＝0的根为______________．3．方程x2＝x的右边化为零后变为________，左边分解因式后化为______，原方程的解为______(二)选择题：4．关于x的方程(m2－m)x2＋mx＋n＝0是一元二次方程的条件是( )(A)m≠0(B)m≠1(C)m≠0或m≠1(D)m≠0且m≠15．方程x2＝2x的解是( )(A)x＝0 (B)x＝2 (C)x＝0或x＝2 (D)x＝±26．方程(x－3)2＝3－x的解是( )(A)x＝3 (B)x＝2或x＝3 (C)x＝2 (D)x＝4(三)解答题：7．用因式分解法解方程：(1)(x－1)(x－2)＝0；(2)x2－3x＝0；(3)x2－4x＋4＝0；(4)x2－5x＋4＝0．8. 若等腰三角形的两边长分别是方程x2－9x＋14＝0的两根．那么这个等腰三角形的周长是多少?21.2.3 因式分解法(2)一、学习要求：进一步体会利用因式分解法降次的基本思想，掌握因式分解法求解一元二次方程．二、同步训练：(一)填空题：1．分解因式：2x2＋5x－3＝____________．2．用因式分解法解方程x2－5x＝6，得方程的根为____________．3．方程2(x＋3)2－5(x＋3)＝0的解为______．最简便的解法是____________．4．若代数式x2＋6x的值为零，则x的值为______．(二)选择题：5．已知(x＋y)(x＋y＋2)＝15，则x＋y的值为( )(A)3或5 (B)3或－5 (C)－3或5 (D)－3或－56．下列方程：①x2－5x－6＝0；②x2－6x－5＝0；③x2＋5x＋6＝0；④x2＋6x＋5＝0．适宜用因式分解求解的是( )(A)①、②、③、④(B)①、③、④(C)①、②、③(D)②、③、④(三)解答题：7．解下列方程：(1)9(x－3)2＝25；(2)6x2－x＝1；(3)x2＋4x－96＝0；(4)x(x－1)＝2；(5)4(2x－1)2＝9(x－2)2；(6)(2x－3)2－2(3－2x)＝8．8. 当k是什么整数时，方程(k2－1)x2－6(3k－1)x＋72＝0只有正整数根?21.2 解一元二次方程综合一、学习要求：在掌握了配方法、公式法及因式分解法求解一次二次方程之后，同学们应注意灵活地应用这些知识．二、同步训练： (一)填空题：1．方程0)75.0)(5.0()43(2=--+-x x x 的较小根是____________．2．已知单项式xxb a 3222-与4221b a -是同类项，则x 的值是__________． 3．++x x 222______＝(x ＋______)2． 4．4x 2－______＋9＝(______－3)2． (二)选择题：5．方程x (x 2＋1)＝0的实数根的个数是( ) (A)0 (B)1 (C)2 (D)36．下列方程中，两根分别为－1＋3和－1－3的是( ) (A)0)31)(31(=--++x x(B)0)31)(31(=+--+x x(C)0)31)(31(=--+-x x (D)0)31)(31(=++-+x x (三)解答题： 7．解下列方程 (1)x 2－6x ＋4＝0； (2)x 2－22x －3＝0； (3)2y (y ＋2)＝(y ＋2)；(4)(2x －1)2－4＝0； (5)3y 2＋1＝23y ； (6)(2x －1)(x －2)＝－1．8. 小明养了一群鸽子，小亮问小明养了几只鸽子，小明说：“如果你给我一只鸽子，那么鸽子总数的平方是鸽子总数的9倍．”你知道小明现在有几只鸽子吗?阅读与思考——一元二次方程的近似解与连分数学习要求：将一些具体值代入所要解的一元二次方程，大致估计出一元二次方程解的范围，再在这个范围内逐步加细赋值，逐步估计出一元二次方程的近似解．这就是求一元二次方程近似解的基本要领．下面介绍另外一种估计一元二次方程近似解的方法．方程：x 2－3x －1＝0，因为x ≠0，所以先将其变形为x ＝x 13+，用x 13+代替x ，得xxx 131313++=+=反复若干次用x 13+代替x ，就得到xx +++++++=31313133313形如上式右边的式子称为连分数．可以猜想，随着替代次数的不断增加，右式最后的x1对整个式子的值的影响将越来越小，因此可以根据需要，在适当的时候把x 1忽略不计，例如，当忽略x ＝x13+中的x 1时，就得到x ＝3，当忽略xx 1313++=的x 1时，就得到313+=x ；如此等等．于是就可以得到一系列分数：,,3131313,31313,313,3 ++++++即：.30303.333109,3.31033,333.3310,3 ===可以发现它们越来越趋于方程x 2－3x －1＝0的正根．同学们不妨利用此方法求一求方程x 2－5x －1＝0的近似解．21.3 实际问题与一元二次方程(1)一、学习要求：在学习一元二次方程的解法的过程中，同学们应注意与实际问题相联系，逐步培养用方程的思想与知识解决实际问题的能力，培养学数学用数学的意识．二、同步训练：(一)填空题：1．某公司10月份产值为a 万元，比5月份增长20％，则5月份产值为____________．2．一个六位数，低位上的三个数字组成的三位数是a ，高位上的三个数字组成的三位数是b ，现将a ，b 互换，则得到的六位数是____________3．一项工程，甲班干完需m 天，乙班干完需(m ＋2)天，甲、乙两班合干，完成工程需___________天.(二)选择题：4．甲走20天的路程乙走30天，已知乙每天走15千米，问甲每天走多少千米?在下列几种设未知数的写法中，正确的是( )(A)设甲每天走x (B)设甲速为x 千米 (C)设甲走x 千米 (D)设甲每天走x 千米5．一件工作，甲独做4天完成，乙独做6天完成，则二人合做( )天完成．(A)6 (B)5 (C)512 (D)2(三)解答题：6．列方程解应用题：(1)两个数的差为4，它们的积为45，求这两个数．(2)一个直角三角形的三条边的长是三个连续的整数，求三条边的长．(3)某林场第一年造林200亩，第一年到第三年共造林728亩，求后两年造林面积的平均增长率．7. 我国古代数学家杨辉所著的《田亩比类乘除捷法》中有这样一题：直田积(矩形面积)八百六十四步(平方前)，只云长阔(长与宽)共六十步，问阔及长各几步?21.3 实际问题与一元二次方程(2)一、学习要求：进一步运用方程解决实际问题，逐步培养逻辑思维能力和分析问题、解决问题的能力．二、同步训练：(一)填空题：1．某公司今年的年产值是1000万元，若以后每年的平均增长率为10％，则两年后该公司的年产值是______万元．2．制造某种产品，原来每件的成本是100元，由于连续两次降低成本，现在的成本是每件81元，则平均每次降低成本的百分率是______．3．一块长方形硬纸片，在它的四个角上截去四个小正方形，折成一个没有盖子的长方体盒子，已知纸片的长为40cm，宽为32cm，要使盒子的底面积为768cm2，则截去的小正方形边长应为______cm．(三)解答题：4．有一个两位数恰等于其个位与十位上的两个数字乘积的3倍，已知十位上的数字比个位上的数字小2，求这个两位数．5．某电冰箱厂今年每个月的产量都比上个月增长同样的百分数．已知该厂今年4月份的电冰箱产量为5万台，6月份比5月份多生产了12000台，求该厂今年产量的月增长率．6．某养鸡场的矩形鸡舍一边靠墙，另三边用竹篱笆围成，现有材料可制作竹篱笆13m，若欲围成20m2的鸡舍，鸡舍的长、宽应各是多少?7. 第6题中，利用13m的竹篱笆，能围成21m2的鸡舍吗?能围成22m2的鸡舍吗?若能围成，求出鸡舍的长和宽，若不能围成，说明理由．21.3 实际问题与一元二次方程(3)一、学习要求：通过应用一元二次方程解决一些实际问题，进一步体会学数学用数学的意识，培养分析问题和解决问题的能力．二、同步训练：(二)选择题：1．已知两个连续奇数的积为63，求这两个数．设其中一个数为x ，甲、乙、丙三同学分别列出方程 ①x (x ＋2)＝63 ②x (x －2)＝63 ③(x －1)(x ＋1)＝63其中正确的是( )(A)只有① (B)只有② (C)只有①② (D)①②③都正确2．某机床厂今年一月份生产机床500台，三月份生产机床720台，求二，三月份平均每月的增长率，设平均每月增长的百分率为x ，则列出方程正确的是( )(A)500＋500x ＝720 (B)500(1＋x )2＝720 (C)500＋500x 2＝720 (D)(500＋x )2＝7203．生物兴趣小组的同学，将自己采集到的标本向本组其他组员各赠送一件，全组共互赠了182件，全组共有多少名同学?设全组有x 名同学，则根据题意列出的方程是( )(A)x (x ＋1)＝182 (B)x (x －1)＝182 (C)x 21(x ＋1)＝182 (D)x 21(x －1)＝182 4．某经济开发区今年一月份工业产值达50亿元，第一季度总产值175亿元，问二月、三月平均每月的增长率是多少．设每月的平均增长率为x ，根据题意列方程为( )(A)50(1＋x )2＝175 (B)50＋50(1＋x )2＝175(C)50(1＋x )＋50(1＋x )2＝175 (D)50＋50(1＋x )＋50(1＋x )2＝175(三)解答题：5．为响应国家“退耕还林”的号召，改变某省水土流失严重的现状，2004年某省退耕还林1600公顷，到2006年全年退耕还林1936公顷，问这两年平均每年退耕还林的增长率是多少?6．某人用1000元人民币购买一年期的甲种债券，到期后兑换人民币并将所得利息购买一年期的乙种债券，若乙种债券的年利率比甲种债券的年利率高2个百分点，到期后，此人将乙种债券兑换人民币共得本息和112元，求甲种债券的年利率．7. 在长为a 的线段AB 上有一点C ，且AC 是AB 和BC 的比例中项，试求线段AC 的长．*21.4 观察与猜想——一元二次方程根与系数的关系一、学习要求：一元二次方程根与系数的关系作为观察与猜想提供给同学们，同学们还是应认真研究，交流体会，它能更深入地认识和理解一元二次方程．学有余力的同学还可以学习它在其它方面的应用．二、同步训练：(一)填空题：1．如果x 1，x 2是方程2x 2＋4x －1＝0的两根，那么x 1＋x 2＝______，x 1·x 2＝______．2．若α，β是一元二次方程x 2－3x －2＝0的两个实数根，则11αβ+=______． 3．若α，β是方程x 2－3x ＝5的两根，则α2＋β2－αβ的值是______4．若x 1，x 2是方程2x 2＋ax －c ＝0的两个根，则x 1＋x 2－2x 1x 2等于______(结果用a ，c 表示)．(二)选择题：5．一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一个根是零的条件是( )(A)b 2－4ac ＝0 (B)b ＝0 (C)c ＝0 (D)c ≠06．若α，β是方程2x 2＋3x －4＝0的两根，则＋＋的值是( )(A)－7 (B)213- (C)21- (D)77．已知一元二次方程5x 2＋kx －6＝0的一个根是2，则方程的另一个根为( ) (A)53 (B)53- (C)－3 (D)38．已知一元二次方程2x 2－3x ＋3＝0，下列说法中正确的是( )(A)两个实数根的和为23-(B)两个实数根的和为23 (C)两个实数根的积为23 (D)以上说法都不正确 (三)解答题：9．设x 1，x 2是方程2x 2－6x ＋3＝0的两个根，利用根与系数的关系计算下列各式的值： (1);221221x x x x +(2)(x 1－x 2)2．10．若关于x 的方程2x 2＋(k ＋1)x ＋k ＋2＝0的一个根是2，求它的另一个根．11. 已知关于x 的方程x 2－2(m －2)x ＋m 2＝0．问：是否存在实数m ，使方程的两个实数根的平方和等于56．若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．一元二次方程 数学活动数学活动(1)一、学习要求：通过合作、交流、归纳与探索，挖掘一元二次方程两根与一些二次三项式的分解因式之间的内在联系，认识二次三项式的因式分解，并进一步理解一元二次方程的根．二、做一做：我们已经学过一些特殊的二次三项式的因式分解，如3x 2－2x ＝x (3x －2)，x 2－9＝(x ＋3)(x －3)，x 2＋4x ＋4＝(x ＋2)2但对于一般的二次三项式ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，你能把它分解因式吗?x 1，x 2，则二次三项式分解因式为ax 2＋bx ＋c ＝_________________________．你能说说其中的道理吗?根据你们得到的结论，试一试将下列因式分解．(1)x 2＋20x －69； (2)24x 2－2x －35； (3)x 2－x －1； (4)2x 2－6x ＋3．数学活动(2)一、学习要求：通过合作、交流利用方程的知识解决一些实际问题，体会建立数学模型、学数学用数学的意识，提高学习基本素养．二、同步训练：1．如果与水平面成45°角向斜上方投掷标枪，那么标枪飞行的水平距离S (单位：m)与标枪出手的速度v (单位：m/s)之间大致有如下关系：28.92+=v S ．某同学按这种要求投掷标枪，标枪飞行的水平距离为42m ，求标枪出手时的速度(结果精确到0.1m/s)．2．某商场销售一批名牌衬衫，现在平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果这种衬衫的售价每降低1元，那么商场平均每天可多售出2件．商场若要平均每天盈利1200元，每件衬衫应降价多少元?3．小明将勤工俭学挣得的500元钱按一年定期存入银行，到期后取出50元用来购买学习用品，剩下的450元连同应得税后利息又全部按一年定期存入银行．如果存款的年利率保持不变，且到期后可得税后本息约461元，那么这种存款的年利率大约是多少?(利息税为利息的20％，结果精确到0.01％)．数学活动(3)一、学习要求：通过合作、交流、实践与探索，初步学习把现实世界的问题化为纯数学的问题，即建立数学模型，培养创新精神与实践能力．二、课题：洗衣服的数学问题．现在衣物已打好了肥皂，揉搓得很充分了，再拧一拧，当然不可能完全把水拧干，设衣服上还残留含有污物的水1斤，用20斤清水来漂洗，怎样才能漂得更干净?(1)如果把衣服一下放到20斤清水里，那么连同衣服上那1斤水，一共21斤水，污物均匀分布在这21斤水里，拧干后，衣服上还有1斤水，所以污物残存量是原来的 211如何洗，效果更佳呢?(2)如果衣服上残存水量是1.5斤或2斤，洗衣用水量是37斤，那么又该怎么洗法?第二十一章 一元二次方程 小结一、学习要求：通过复习，全面认识和理解一元二次方程的有关概念，掌握用公式法、因式分解法求解一元二次方程．理解配方法原理及这一思想的含意，会用方程的思想解决一些实际问题，认识根与系数之间的关系．二、同步训练：(一)填空题：1．方程(2x －1)(3x ＋2)＝x 2＋2化为一般形式后，a ＝______，b ＝______，c ＝______．2．y 2－4y ＋______＝(y －______)2．3．+-x x 252______＝(x －______)2． 4．如果关于x 的一元二次方程x 2＋px ＋q ＝0的两个根是x 1＝1，x 2＝3，那么这个一元二次方程是______．5．等腰△ABC 两边的长分别是一元二次方程x 2－5x ＋6＝0的两个解，则这个等腰三角形的周长是______．(二)选择题：6．①,542=-x ②xy ＝1，③2122=+x x；④0312=x ，以上方程中，是一元二次方程的有( ) (A)0个 (B)1个 (C)2个 (D)3个7．x 2－3＝3x 化为一般式后，a ，b ，c 的值分别为( )(A)0，－3，－3 (B)1，－3，3 (C)1，3，－3 (D)1，－3，－38．解方程3x 2＋27＝0得( )(A)x ＝±3 (B)x ＝3 (C)x ＝－3 (D)无实根9．方程0)21()21(2=--+x x 的解是( ) (A)332,021-==x x (B)223,121-==x x (C)322,021-==x x(D)x 1＝0，x 2＝110．下面是李刚同学在一次测验中解答的填空题，其中答对的是( ) (A)若x 2－8＝0，则22=x (B)方程x (2x －1)＝2x －1的解为x ＝1(C)若方程x 2＋2x ＋k ＝0有一个根是－3，则k ＝－3 (D)若分式1232-+-x x x 的值等于零，则x ＝1或2 (三)解答题：11．用适当的方法解下列方程： (1);17.052=+x (2)4x 2＋3x ＝0； (3)x 2－25x ＋144＝0；(4)(3y －2)2－5(3y －2)＝14； (5)x 2－6x ＋6＝0；(6)(x ＋6)(x －7)＝14．12．一个两位数的两个数字之和为9，把个位数与十位数字互换后所得的新数乘以原数，积为1458，求这个两位数．13．有一个两位数等于其各位数字之和的4倍，其中十位数字比个位数字小2，求此两位数．14．已知关于x 的方程x 2－bx －a ＝0有两等根，且一次函数y＝ax ＋b 的图像如图所示，又a 、b 满足5||2=--b a b ，求a 2＋b 2的值．15．爱华中学从2003年到2006年四年内师生共植树2008棵，已知该校2003年植树353棵，2004年植树500棵，如果2005年和2006年植树棵数的年增长率相同，那么该校2006年植树多少棵?一元二次方程 全章测试一、填空题(每题6分，满分36分)1．一元二次方程的一般形式是________________，当一次项系数为零时，其形式为________________．2．方程2x 2＝9的二次项系数是________________，一次项系数是________________常数项是________________二、选择题：3．方程①5x 2－38＝x ，②4x 2－5y ＋9＝0，032=x ③，0312=+-x x ④中，是一元二次方程的有( ) (A)①② (B)① (C)①③④ (D)①③4．把方程x 2＋3＝4x 配方，得( )(A)(x －2)2＝7 (B)(x ＋2)2＝1 (C)(x －2)2＝1 (D)(x ＋2)2＝25．方程x 3＝3x 的所有的解为( )(A)0 (B)0，3 (C)3,3- (D)3,3,0-6．方程(x ＋m )2＝n 2的解为( )(A)x ＝－m ± n (B)x ＝m ±n (C)x ＝m ＋n (D)x ＝－m ＋n三、解答题：7．解下列方程：(每题6分，满分36分)(1)x 2－3x ＋2＝0； (2)(y －2)2＝3； (3)(2x ＋1)2＋3(2x ＋1)＝0；(4)x 2－4x ＝8； (5)6x 2－4＝2x ； (6)3x 2＋5(2x ＋1)＝0．8．(9分)一个两位数，它的十位数字比个位数字小3，而它的个位数字的平方恰好等于这个两位数，求这个两位数．9．(9分)某发电厂规定，该厂家属区的每户居民如果一个月的用电量不超过akWh ，那么这个月这户居民只要交10元电费．如果超过akWh ，则这个月除仍要交10元电费外，超过部分还要按100a 元/kWh 交费．下表是一户居民3月和410．(10分)一次函数y ＝x ＋b 与反比例函数xk y 3+=图象的交点为A (m ，n )，且m 、n (m ＜n )是关于x 的一元二次方程kx 2＋(2k －7)x ＋k ＋3＝0的两个不相等的实数根，其中k 为非负整数，m 、n 为常数．(1)求k 的值；(2)求点A 的坐标与一次函数、反比例函数的解析式．一元二次方程 同步训练 参考答案21.1 一元二次方程(1) 一元二次方程的概念1．5x 2－3x －2＝0，5，－3，－2． 2．－1 3．＝3 4．≠±2， ＝－2 5．A 6．D 7．A 8．(1)设宽为x cm ，x (x ＋2)＝15 (2)设两个连续的整数分别为x ，x ＋1．x 2＋(x ＋1)2＝313．(3)设一个数为x ．x (6－x )＝7 9. 3k 2＋4k －6＝021.1 一元二次方程(2) 一元二次方程的进一步理解1．x 2＋3x －1＝0 2．x (x ＋2)＝255 3．x (x －2)＝30 4．C 5．D 6．A 7．设小道的宽为x 米．(42－2x )(30－2x )＝304221⨯⨯ 8. 略 21.1 一元二次方程(3) 直接开平方解一元二次方程1．x 2－3x －10＝0，1， －3， －10 2．－20 3．a x ±= 4．n m x ±-= 5．D 6．B 7．C8．(1)x ＝±13 (2)x ＝±5 (3)x 1＝1，x 2＝－7 (4)6287±=x 9. 25或21- 21.2.1 配方法1．(A)16，4 (B)1，1 (C)21,41 (D).21,41 2．C 3．(1),531+=x 532-=x (2)x 1＝1，x 2＝－6 (3)x 1＝－2，x 2＝－4 (4)x 1＝2，x 2＝－6 (5)233±=x (6)22n m m +±- 4. 提示：将a 2b 2＋b 2－6ab －4b ＋14进行配方为a 2b 2－6ab ＋9＋b 2－4b ＋4＋1＝(ab －3)2＋(b －2)2＋1，可证21.2.2 公式法(1)1．4x 2＋7x ＋3＝0，4，7，3 2．b 2－4ac 3．(s －r )x 2＋(s －r )x －s ＋r ＋t ＝0，s －r ，s －r ， －s ＋r ＋t 4．D 5．B 6．B 7．C 8. (1)231±-=x (2)2,3121=-=x x ，(3)x 244±-= (4)65,121-==y y 21.2.2 公式法(2)1．2131,213121--=+-=x x 2．x 1＝－2，x 2＝1 3．y 2＋4y －140＝0 4．C 5．A 6．D 7．(1)x 1＝1，x 2＝－ 4 (2)251,25121-=+=x x (3)211=x ，x 2＝－ 3 (4)3131,313121--=+-=x x 8. 长：cm 2219+ 宽cm 2219-，或长cm 2339+ 宽cm 2339- 21.2.3 因式分解法(1) 1．0 2．x 1＝0，x 2＝3 3．x 2－x ＝0，x (x －1)＝0，x 1＝0，x 2＝1 4．D 5．C 6．B 7．(1)x 1＝1，x 2＝2 (2)x 1＝0，x 2＝3 (3)x 1＝x 2＝2 (4)x 1＝4，x 2＝1 8. 1621.2.3 因式分解法(2)1．(2x －1)(x ＋3) 2．x 1＝6，x 2＝－1 3．－3，21- 因式分解 4．0或－6 5．B 6．B 7．(1)34,31421==x x (2)31,2121-==x x (3)x 1＝8，x 2＝－12 (4)x 1＝2，x 2＝－1 (5)78,421=-=x x(6)25,2121=-=x x 8. 1，2，3．提示：分两种情况讨论：(1)当k 2－1＝0，即k ＝±1，检验当k ＝1时，x ＝6，k ＝－1时，x ＝－3(不合题意舍去) (2)k 2－1≠0时，用因式分解法可得,16,11221-=+=k x k x 因k 为整数，要使x 1，x 2，都为整数，只有k ＝2，k ＝3，综上所述k ＝1，2，321.2 解一元二次方程综合1．85 2．4或－1 3．2,2 4．12x ，2x 5．B 6．D 7．(1)53,5321-=+=x x (2)52,5221-=+=x x (3)21,221=-=y y (4)23,2121=-=x x (5)3321==y y (6)1,2321==x x 8. 8只 21.3 实际问题与一元二次方程(1)1．a 65万元 2．1000a ＋b 3．22)2(++m m m 4．D 5．C 6．(1)5，9或－5，－9 (2)3，4，5 (3)20％ 7. 阔为24步，长为36步21.3 实际问题与一元二次方程(2)1．1210 2．10％ 3．4 4．24 5．20％ 6．长8m ，宽2.5m 或长5m ，宽4 m ．7. 能围成21m 2的，长为7m ，宽为3m ，也可为长6m ，宽3.5m ，不能围成22m 2的21.3 实际问题与一元二次方程(3)1．C 2．B 3．B 4．D 5．10％ 6．10％ 7.a 215- *21.4 观察与猜想——一元二次方程根与系数的关系1．－2，21- 2．23- 3．24 4．c a +-2 5．C 6．B 7．B 8．D 9．(1)29 (2)3 10．21- 11. m ＝－2，提示：由,562221=+x x ，即(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝56，所以有[2(m －2)]2－2m 2＝56 解之m 1＝－2，m ＝10，检验可知m ＝10不合题意第二十一章 一元二次方程 数学活动(1)：(1)(x －3)(x ＋23) (2)(6x ＋7)(4x －5) (3))251)(251(--+-x x (4))233)(233(2--+-x x (2)：1.标枪出手时的速度约为19.8m/s. 2.每件衬衫应降价20元. 3.这种存款的年利率大约为1.44％(3)：略第二十一章 一元二次方程 小结1．5，1，－4 2．4，2 3．45,1625 4．x 2－4x ＋3＝0 5．7或8 6．B 7．D 8．D 9．C 10．C 11．(1)26±=x (2)43,021-==x x (3)x 1＝9，x 2＝16 (4)y 1＝0，y 2＝3 (5)33±=x (6)x 1＝－7，x 2＝8 12．18或81 13．24 14．45 15．605棵第二十一章 一元二次方程 全章测试1. ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)，ax 2＋c ＝0(a ≠0)2. 2，0，－93. D4. C5. D6. A7. (1)x 1＝1，x 2＝2 (2)32,3221-=+=y y (3)211-=x ，x 2＝－2 (4)x 1＝,322+ 3222-=x (5)321-=x ，x 2＝1 (6)3105,310521--=+-=x x 8. 25或36 9. a ＝50(kWh) 10. (1)k ＝1，(2)A (1，4)，y ＝x ＋3，4 yx。

3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调求根公式和计算器操作这两个重点。对于难点部分，如判别式的应用和近似方法的选择，我会通过举例和比较来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与一元二次方程近似根相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的计算器操作实验。这个操作将演示如何使用计算器求解一元二次方程的近似根。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解一元二次方程及其近似根的基本概念。一元二次方程是形如ax^2 + bx + c = 0的方程，它的近似根是指在一定误差范围内接近真实解的数值解。这些近似根在工程、物理等领域有着广泛的应用。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。通过计算器求解方程x^2 - 3x + 2 = 0的近似根，展示近似方法在实际中的应用，以及如何帮助我们解决问题。
举例：
-重点1：求解一元二次方程近似根的公式，如ax^2 + bx + c = 0的求根公式；
-重点2：使用计算器进行近似计算的方法，如牛顿迭代法、二分法等；
-重点3：结合实际例题，如求解二次方程x^2 - 5x + 6 = 0的近似根。
2.教学难点
（1）理解求根公式中各个参数的含义，尤其是判别式的应用；
2.5.2求一元二次方程的近似根（教案）
一、教学内容
本节课选自教材第二章第五节第二部分“2.5.2求一元二次方程的近似根”。教学内容主要包括以下两个方面：
1.掌握用求根公式求一元二次方程的Байду номын сангаас似根的方法。
2.学会利用计算器计算一元二次方程的近似根，并比较不同近似方法的精确度。

第2课时一元二次方程的根及近似解【学习目标】1．会进行简单的一元二次方程的试解．2．根据题意判定一个数是否是一元二次方程的根及利用试解方法解决一些具体问题．3．理解方程的解的概念，培养有条理的思考与表达的能力．【学习重点】判定一个数是否是方程的根．【学习难点】会在简单的实际问题中估算方程的解，理解方程解的实际意义．情景导入生成问题1．使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解．2．一元二次方程(x＋1)2－x＝3(x2－2)化成一般形式是2x2－x－7＝0．3．近似数≈(精确到十分位)．自学互研生成能力知识模块一探索一元二次方程的近似解1．先阅读教材P33“做一做〞前面的内容，并完成所设计的四个小问题．答：(1)x的值不能小于0，不能大于4，不能大于，因为x表示四周未铺地毯局部的宽度，所以x的值不能为负，又因为(8－2x)和(5－2x)分别表示地毯的长和宽，所以有8－2x＞0，5－2x＞0，即x＜.(2)x的取值范围是0＜x＜.(3)表格中的对应值分别为：28、18、10、4.(4)所求宽度为x＝1m.2．学生活动：请同学独立完成以下问题．问题1：如图，一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m，那么梯子的底端距墙多少米？设梯子底端距墙为x m，那么，根据题意，可得方程为x2＋82＝102．整理，得x2－36＝0．列表：x 0 1 2 3 4 5 6 7 8x2－36 －36 －35 －32 －27 －20 －11 0 13 28 问题2：一个面积为120m2的矩形苗圃，它的长比宽多2m，苗圃的长和宽各是多少？设苗圃的宽为x m，那么长为(x＋2)m.根据题意，得x(x＋2)＝120．整理，得x2＋2x－120＝0．列表：x 5 6 7 8 9 10 11 x2＋2x－－85 －72 －57 －40 －21 0 23 120提问：(1)问题1中一元二次方程的解是多少？问题2中一元二次方程的解是多少？(2)如果抛开实际问题，问题1中还有其他解吗？问题2呢？教师点评：(1)问题1中x＝6是x2－36＝0的解；问题2中，x＝10是x2＋2x－120＝0的解．(2)如果抛开实际问题，问题1中还有x＝－6的解；问题2中还有x＝－12的解．为了与以前所学的一元一次方程只有一个解的情况区别，我们也称一元二次方程的解叫做一元二次方程的根．回过头来看：x2－36＝0有两个根，一个是6，另一个是－6，但－6不满足题意；同理，问题2中的x＝－12的根也不满足题意．知识模块二一元二次方程根的判定及应用解答以下各题：1．关于x的方程x2－kx－6＝0的一个根为x＝3，那么实数k的值为(A)A．1B．－1C．2D．－22．下面哪些数是方程2x2＋10x＋12＝0的根？－4，－3，－2，－1，0，1，2，3，4.解：将上面的这些数代入后，只有－2和－3满足该等式方程，所以x＝－2或x＝－3是一元二次方程2x2＋10x＋12＝0的两根．典例讲解：假设x＝1是关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝1(a≠0)的一个根，求代数式2022(a＋b＋c)的值．分析：如果一个数是方程的根，那么把该数代入方程，一定能使左右两边相等，这一点同学们要深刻理解．解：将x＝1代入得a＋b＋c＝1，故2022(a＋b＋c)＝2022.对应练习：1．假设x＝1是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的解，那么a＋b＋c＝__0__；假设x＝－1是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的解，那么a－b＋c＝__0__．2．假设x＝－1是一元二次方程ax2＋bx－2＝0的根，那么a－b＝__2__．3．如果x＝1是方程ax2＋bx＋3＝0的一个根，求(a－b)2＋4ab的值．解：由，得a＋b＝－3，原式＝(a＋b)2＝(－3)2＝9交流展示生成新知1．将阅读教材时“生成的问题〞和通过“自主探究、合作探究〞得出的“结论〞展示在各小组的小黑板上．并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论〞展示在黑板上，通过交流“生成新知〞．知识模块一探索一元二次方程的近似解知识模块二一元二次方程根的判定及应用检测反应达成目标1．长方形宽为x cm，长为3x cm，面积为24cm2，那么x最大不超过(C)A．1B．2C．3D．42．根据关于x的一元二次方程x2＋px＋q＝0，可列表如下：那么方程x2＋px＋q＝0的正数解满足(D)A．0＜x＜B．＜x＜1 C．1＜x＜D．＜x＜3．根据下表得知，方程x2＋2x－10＝0的一个近似解为x≈－．(精确到课后反思查漏补缺1．收获：________________________________________________________________________ 2．存在困惑：________________________________________________________________________。

☞ 做一做
估算一元二次方程的解
x2+7x = 36 w在实数中取任意值计算：比如
w你能猜得出x取值的大致范围吗? x取值的大致范围是:0<x<5.
☞ 做一做
估算一元二次方程的解
x2+7x = 36 x取值的大致范围是:0<x<5.
w在实数0-5之间取一个中间值,x=3计算：
w你能猜得出x取值的大致范围吗? x取值的大致范围是:3<x<5.
数呢?
知识回顾 Knowledge Review
w你能猜得出x取值的大致范围吗? x取值的大致范围是:3<x<3.5.
一直做下去…..x取的值就可以试验出来
w你能求出x的另一个负根吗?怎么去估计呢？
小结 拓展
回味无穷
• 本节课你又学会了哪些新知识b,c为常数,a≠０近似解的方法； • 知道了估算步骤: • 先确定大致范围; • 再取值计算,逐步逼近. • 想一想,有没有便捷的方法去求方程中的未知
☞ 做一做
估算一元二次方程的解
x2+7x = 36 x取值的大致范围是:3<x<5.
w在实数3-5之间取一个中间值,x=4计算：
w你能猜得出x取值的大致范围吗? x取值的大致范围是:3<x<4.
☞ 做一做
估算一元二次方程的解
x2+7x = 36 x取值的大致范围是:3<x<4.
w在实数3-4之间取一个中间值,x=3.5计算：
一元二次方程的解法
试验探索之逼近法
☞ 做一做
生活中的数学
w如图,一个直角三角形的三边都是整数,它的斜边长是
11cm,两条直角边的差为7cm,求两直角边的长

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全品教学课件
数学
九年级 上册
新课标（BS）
第二章 一元二次方程
1 认识一元二次方程
第二章 一元二次方程
第2课时 一元二次方程的根
及近似解
知识回顾
情知景识导回入顾
获取新知
例知题识讲回解顾
随堂演练
课堂小结
第2课时 一元二次方程的根及近似解 问1：一元二次方程有哪些特点？
① 只含有一个未知数; ②未知数的最高次项系数是2; ③整式方程； ④二次项的系数不能为0
问2：一元二次方程的一般形式是什么？ ax2 +bx + c = 0(a , b , c为常数, a≠0)
第2课时 一元二次方程的根及近似解
情景导入
上节中我们遇到了这样一个问题 １．从前有一天，一个醉汉拿着竹竿进屋，横拿竖拿都进不去， 横着比门框宽４尺，竖着比门框高２尺，另一个醉汉教他沿着门 的两个对角斜着拿竿，这个醉汉一试，不多不少刚好进去了．你 知道竹竿有多长吗？ 我们得到了方程x2－12 x ＋20 ＝ 0 如何求解x呢？
第2课时 一元二次方程的根及近似解
（2）继续列表,依次取x=2.1,2.2,2.3,2.4,2.5,…
x
2.2
2.3
2.4
2.5
…
x2 - 2x - 1 -0.79 -0.31 -0.04
0.25
…
由表发现，当2.4＜x＜2.5时,-0.04＜ x2 -2x-1＜0.25; （3）取x=2.45,则x2 - 2x - 1≈0.1025. ∴2.4＜x＜2.45, ∴x≈2.4.
根据题意,x的取值范围大致是0 < x < 11. 解方程 x2 + 2x - 120 = 0. 完成下表(在0 < x < 11这个范围内取值计算,逐步逼近):

1．请使用你的计算器探索方程x2+x﹣1=0的一个正数解，结果取近似值并保留三个有效数字．你探索出的结果是x≈0.618．考点：估算一元二次方程的近似解。

专题：计算题。

分析：根据公式法求出x的正数解，再由计算器求出的近似值，最后求解即可得出答案．解答：解：∵x2+x﹣1=0，∴x=，∵要求方程的正数解，∴x=，由计算器得：≈2.236，∴x=≈0.618，故答案为：0.618．点评：本题考查了估算一元二次方程的近似解，属于基础题，关键是先用公式法求出x的值后再估算方程的解．2．设方程x2﹣x﹣1=0的一个较小的根为a，估算a与﹣0.5的大小结果是a＜﹣0.5．考点：估算一元二次方程的近似解。

分析：由公式法解得a，再与﹣0.5比较．解答：解：∵方程x2﹣x﹣1=0的一个较小的根为a，∴a=．点评：本题考查了解一元二次方程的方法，当把方程通过移项把等式的右边化为0后方程的左边能因式分解时，一般情况下是把左边的式子因式分解，再利用积为0的特点解出方程的根．因式分解法是解一元二次方程的一种简便方法，要会灵活运用．当化简后不能用分解因式的方法即可考虑求根公式法，此法适用于任何一元二次方程．2考点：估算一元二次方程的近似解。

分析：看0在相对应的哪两个y的值之间，那么近似根就在这两个y对应的x的值之间．解答：解：根据表格得，当﹣4.4＜x＜﹣4.3时，﹣0.11＜y＜0.56，即﹣0.11＜x2+2x﹣10＜0.56，∵0距﹣0.11近一些，∴方程x2+2x﹣10=0的一个近似根是﹣4.3，故答案为﹣4.3．点评：此题考查了学生估算一元二次方程的近似解的能力，解题关键是根据相对应的y值判4．方程x4﹣7=0误差不超过0.01的近似解的范围是 1.62＜x＜1.63．考点：估算一元二次方程的近似解。

专题：计算题。

分析：由方程x4﹣7=0，可得x=，根据1.624＜7＜1.634，即可求解．解答：解：∵方程x4﹣7=0，∴x=，∵1.624＜7＜1.634，故方程的误差不超过0.01的近似解的范围是：1.62＜x＜1.63．故答案为：1.62＜x＜1.63．点评：本题考查了估算一元二次方程的近似解，属于基础题，关键是求出1.624＜7＜1.634．5．估算方程x2﹣5=0的根约是±2.236．考点：估算一元二次方程的近似解。

解一元二次方程五种方法解一元二次方程五种方法一元二次方程是高中数学中比较重要的一种方程类型，解题方法也非常多样。

下面介绍五种解一元二次方程的方法。

方法一：配方法配方法是一种比较常用的解一元二次方程的方法。

通过给方程两边添加一个适当的常数，使得方程左边变成一个平方式，从而利用完全平方公式求解。

例如，将方程x^2+6x-7=0配成(x+3)^2-16=0的形式，然后利用完全平方公式(x+3)^2=a^2-b^2=(a+b)(a-b)求解方程。

方法二：公式法公式法是一种利用一元二次方程求根公式解方程的方法。

一元二次方程的求根公式为x=(-b±√(b^2-4ac))/2a。

例如，对于方程x^2+6x-7=0，利用公式x=(-6±√(6^2-4×1×(-7)))/2×1，化简得到x=-3±√16，即x=-7或x=1。

方法三：因式分解当一元二次方程的系数a,b,c都是整数时，可以尝试使用因式分解的方法解方程。

主要思路是将方程左边化成一个二次式的乘积。

例如，对于方程x^2+6x-7=0，可以将其因式分解为(x-1)(x+7)=0，从而解得x=1或x=-7。

方法四：图解法图解法是一种利用平面直角坐标系中的图形来解一元二次方程的方法。

主要思路是将方程左边的二次式与右边的常数b进行比较，从而确定图形的形状。

例如，对于方程x^2+6x-7=0，将其化为x^2+6x=7，可以发现这是一个开口向上的抛物线，与y=7的直线交于两点，即方程的两个解。

方法五：牛顿迭代法牛顿迭代法是一种利用曲线的切线来近似求解方程的方法。

它的基本思路是从一个初始值开始，利用切线和方程的导数来逐步逼近方程的解。

例如，对于方程x^2+6x-7=0，可以选取一个初始值x0，然后通过迭代公式x=x0-(x0^2+6x0-7)/(2x0+6)来不断逼近方程的解。

当相邻两次迭代值的差小于一定精度时，可以认为迭代已经收敛，此时的迭代值即为方程的解。

中考数学专项练习利用二次函数图像求一元二次方程的近似根（含解析）【一】单项选择题1.二次函数y=ax2+bx+c〔a≠0〕中，自变量x与函数y的对应值如下表：2假设，那么一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根x1 ，x2的取值范围是〔〕A.﹣1＜x1＜0，2＜x2＜3B.﹣2＜x1＜﹣1，1＜x2＜2C.0＜x1＜1，1＜x2＜2D.﹣2＜x1＜﹣1，3＜x2＜4判断方程ax2+bx+c=0〔a≠0，a，b，c为常数〕的一个解x的范围是〔〕A.8＜x＜9 B.9＜x＜10 C.10＜x＜11 D.11＜x＜123.以下表格是二次函数y=ax2+bx+c的自变量x与函数值y的对应值，判断方程ax2+bx+c=0〔a≠0，a，b，c为常数〕的一个解x的范围是〔〕A.﹣2＜x＜﹣2.14B.﹣2.14＜x＜2.13 C.﹣2.13＜x＜﹣2.12 D.﹣2. 12＜x＜﹣2.114.根据以下表格中的对应值，关于x的方程ax2+bx+c=0〔a≠0〕的一个解x得范围正确的选项是〔〕A.3＜x＜3.23B. 3.23＜x＜3.24 C. 3.24＜x＜3.25 D. 3.25＜x＜3.265.二次函数y=ax2+bx+c的y与x的部分对应值如下表：那么以下判断中正确的选项是〔〕A.抛物线开口向上B.抛物线与y轴交于负半轴C.当x=3时，y＜D.方程ax2+bx+c=0有两个相等实数根判断关于x的方程ax2+bx+c=0 的一个解x的范围是〔〕A.x＜3.24B. 3.24＜x ＜3.25C. 3.25＜x＜3.26 D. 3.25＜x＜3.287.二次函数y=ax2+2ax﹣3的部分图象〔如图〕，由图象可知关于x的一元二次方程ax2+2ax﹣3=0的两个根分别是x1=1.3和x2=〔〕A.﹣1.3B.﹣2.3C.﹣0.3D.﹣3.38.以下表格是二次函数y=ax2+bx+c〔a≠0〕的自变量x与函数y的一些对应值．由此可以判断方程ax2+bx+c=0〔a≠0〕的一个根在〔〕A. 6.17~6.18之间B. 6. 18~6.19之间C. 6.19~6.20之间 D.不确定判断方程ax2+bx+c=0〔a≠0〕的一个解x的范围是〔〕A. 3.23＜x＜3.24 B. 3.24＜x＜3.25 C. 3.25＜x＜3.26 D.不能确定判断关于x的方程ax2+bx+c=0的一个解x的范围是〔〕A.x＜3.24B. 3.24＜x ＜3.25C. 3.25＜x＜3.26 D. 3.25＜x＜3.28判断关于x的方程ax2+bx+c=0的一个解x的范围是〔〕A.x＜3B.x＜2C.4＜x＜5D.3＜x＜412.根据以下表格的对应值，判断方程ax2+bx+c=0〔a≠0，a、b、c为常数〕一个解的范围是〔〕A.3＜x＜3.23B. 3.23＜x＜3.24 C. 3.24＜x＜3.25 D. 3.25＜x＜3.2613.根据以下表格中的对应值，判断方程ax2+bx+c=0〔a≠0，a，b，c 为常数〕的根的个数是〔〕A.0B.1C.2D.1或214.根据以下表格中的对应值，判断方程ax2+bx+c=0〔a≠0，a，b，c 为常数〕的根的个数是〔〕A.0B.1C.2D.1或2【二】填空题15.二次函数y=﹣x2+2x+m的图象如下图，那么关于x的一元二次方程﹣x2+2x+m=0的根为________；不等式﹣x2+2x+m＞0的解集是_____ ___；当x________时，y随x的增大而减小．16.我们把一元二次方程x2﹣2x﹣3=0的解看成是抛物线y=x2﹣2x﹣3与x轴的交点的横坐标，如果把方程x2﹣2x﹣3=0适当地变形，那么方程的解还可以看成是函数________与函数________的图象交点的横坐标〔写出其中的一对〕．17.小颖用几何画板软件探索方程ax2+bx+c=0的实数根，作出了如下图的图象，观察得一个近似根为x1=﹣4.5，那么方程的另一个近似根为x2=________〔精确到0.1〕．18.抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴的两个交点的坐标分别是(－3，0)，(2，0)，那么方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的解是________.19.利用二次函数的图象求一元二次方程x2+2x﹣10=0的根：〔1〕________是方程的一个近似根．〔2〕________ 是方程的另一个近似根．20.试写出一个二次函数关系式，使它对应的一元二次方程的一个根为0，另一个根在1到2之间：________．21.抛物线y=2x2﹣4x+m的图象的部分如下图，那么关于x的一元二次方程2x2﹣4x+m=0的解是________．判断方程ax2+bx+c=0〔a≠0，a，b，c为常数〕的一个解的取值范围为________．【三】解答题23.利用函数图象判断方程2x2﹣3x﹣4=0有没有解．假设有解，求出它的近似解〔精确到0.1〕．24.画图求方程x2=﹣x+2的解，你是如何解决的呢？我们来看一看下面两位同学不同的方法．甲：先将方程x2=﹣x+2化为x2+x﹣2=0，再画出y=x2+x﹣2的图象，观察它与x轴的交点，得出方程的解；乙：分别画出函数y=x2和y=﹣x+2的图象，观察它们的交点，并把交点的横坐标作为方程的解．你对这两种解法有什么看法？请与你的同学交流．【四】综合题的自变量x与函数值y的部分对应值如下表：﹣﹣根据表格中的信息，完成以下各题〔1〕当x=3时，y=________；〔2〕当x=1时，y有最________值为________〔3〕假设点A〔x1 ，y1〕、B〔x2 ，y2〕是该二次函数图象上的两点，且﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2，试比较两函数值的大小：y1________y 2〔4〕假设自变量x的取值范围是0≤x≤5，那么函数值y的取值范围是________26.画出函数y=﹣2x2+8x﹣6的图象，根据图象回答：〔1〕方程﹣2x2+8x﹣6=0的解是什么〔2〕当x取何值时，y＞0〔3〕当x取何值时，y＜0【一】单项选择题1.二次函数y=ax2+bx+c〔a≠0〕中，自变量x与函数y的对应值如下表：2假设，那么一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根x1 ，x2的取值范围是〔〕A.﹣1＜x1＜0，2＜x2＜3B.﹣2＜x1＜﹣1，1＜x2＜2C.0＜x1＜1，1＜x2＜2D.﹣2＜x1＜﹣1，3＜x2＜4【考点】图象法求一元二次方程的近似根【解析】【解答】∵，∴﹣1＜m﹣2＜﹣，＜m﹣＜1，∴函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点就是方程ax2+bx+c=0的根，函数y= ax2+bx+c的图象与x轴的交点的纵坐标为0．由表中数据可知：y=0在y= m﹣2与y=m﹣之间，故对应的x的值在﹣1与0之间，即﹣1＜x1＜0，y =0在y=m﹣2与y=m﹣之间，故对应的x的值在2与3之间，即2＜x2＜3．应选：A、【分析】根据函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点的横坐标就是方程ax2 +bx+c=0的根，再根据函数的增减性即可判断方程ax2+bx+c=0两个根的范围．判断方程ax2+bx+c=0〔a≠0，a，b，c为常数〕的一个解x的范围是〔〕A.8＜x＜9 B.9＜x＜10 C.10＜x＜11 D.11＜x＜12【考点】图象法求一元二次方程的近似根【解析】【解答】依题意得当8＜x＜12，y随x的增大而增大，而﹣0. 38＜0＜1.2，∴方程ax2+bx+c=0〔a≠0，a，b，c为常数〕的一个解x的范围是10＜x＜11．应选C、【分析】根据表格知道8＜x＜12，y随x的增大而增大，而﹣0.38＜0＜1.2，由此即可推出方程ax2+bx+c=0〔a≠0，a，b，c为常数〕的一个解x的范围．3.以下表格是二次函数y=ax2+bx+c的自变量x与函数值y的对应值，判断方程ax2+bx+c=0〔a≠0，a，b，c为常数〕的一个解x的范围是〔〕A.﹣2＜x＜﹣2.14B.﹣2.14＜x＜2.13 C.﹣2.13＜x＜﹣2.12 D.﹣2. 12＜x＜﹣2.11【考点】图象法求一元二次方程的近似根【解析】【解答】函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点就是方程ax2+ bx+c=0的根，函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点的纵坐标为0；由表中数据可知：y=0在y=﹣0.01与y=0.02之间，∴对应的x的值在﹣2.13与﹣2.12之间，即﹣2.13＜x1＜﹣2.12，应选C、【分析】根据函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点就是方程ax2+bx+c=0的根，再根据函数的增减性即可判断方程ax2+bx+c=0一个根的范围．4.根据以下表格中的对应值，关于x的方程ax2+bx+c=0〔a≠0〕的一个解x得范围正确的选项是〔〕A.3＜x＜3.23B. 3.23＜x＜3.24 C. 3.24＜x＜3.25 D. 3.25＜x＜3.26【考点】图象法求一元二次方程的近似根【解析】【解答】根据表格可知，ax2+bx+c=0时，对应的x的值在3.2 4～3.25之间．应选C、【分析】观察表格可知，y随x的增大而增大，ax2+bx+c的值在3.24～3.2 5之间由负到正，故可判断ax2+bx+c=0时，对应的x的值在3.24～3.25之间．5.二次函数y=ax2+bx+c的y与x的部分对应值如下表：那么以下判断中正确的选项是〔〕A.抛物线开口向上B.抛物线与y轴交于负半轴C.当x=3时，y＜D.方程ax2+bx+c=0有两个相等实数根【考点】图象法求一元二次方程的近似根【解析】【解答】∵由图表可以得出当x=0或2时，y=1，可以求出此函数的对称轴是x=1，顶点坐标为〔1，3〕，∴二次函数解析式为：y=a〔x ﹣1〕2+3，再将〔0，1〕点代入得：1=a〔﹣1〕2+3，解得：a=﹣2，∴y=﹣2〔x﹣1〕2+3，∵a＜0，∴A，抛物线开口向上错误，故：A错误；,∵y=﹣2〔x﹣1〕2+3=﹣2x2+4x+1，与y轴交点坐标为〔0，1〕，故与y轴交于正半轴，故：B错误；∵x=3时，y=﹣5＜0，故：C正确；∵方程ax2+bx+c=0，△=16+4×2×1=22＞0，此方程有两个不相等的实数根，故：D、方程有两个相等实数根错误；应选：C、【分析】结合图表可以得出当x=0或2时，y=1，可以求出此函数的对称轴是x=1，顶点坐标为〔1，3〕，借助〔0，1〕两点可求出二次函数解析式，从而得出抛物线的性质．判断关于x的方程ax2+bx+c=0 的一个解x的范围是〔〕A.x＜3.24B. 3.24＜x ＜3.25C. 3.25＜x＜3.26 D. 3.25＜x＜3.28【考点】利用二次函数图像求一元二次方程的近似根7.二次函数y=ax2+2ax﹣3的部分图象〔如图〕，由图象可知关于x的一元二次方程ax2+2ax﹣3=0的两个根分别是x1=1.3和x2=〔〕A.﹣1.3B.﹣2.3C.﹣0.3D.﹣3.3【考点】图象法求一元二次方程的近似根8.以下表格是二次函数y=ax2+bx+c〔a≠0〕的自变量x与函数y的一些对应值．由此可以判断方程ax2+bx+c=0〔a≠0〕的一个根在〔〕A. 6.17~6.18之间B. 6. 18~6.19之间C. 6.19~6.20之间 D.不确定【考点】图象法求一元二次方程的近似根【解析】【解答】由表格中的数据看出﹣0.01和0.02更接近于0，故x 应取对应的范围．应选B、【分析】利用二次函数和一元二次方程的性质．判断方程ax2+bx+c=0〔a≠0〕的一个解x的范围是〔〕A. 3.23＜x＜3.24 B. 3.24＜x＜3.25 C. 3.25＜x＜3.26 D.不能确定【考点】图象法求一元二次方程的近似根【解析】【解答】由表可以看出，当x取3.24与3.25之间的某个数时，y=0，即这个数是ax2+bx+c=0的一个根．ax2+bx+c=0的一个解x的取值范围为3.24＜x＜3.25．应选：B、【分析】利用二次函数和一元二次方程的性质进行解答即可．判断关于x的方程ax2+bx+c=0的一个解x的范围是〔〕A.x＜3.24B. 3.24＜x ＜3.25C. 3.25＜x＜3.26 D. 3.25＜x＜3.28【考点】图象法求一元二次方程的近似根【解析】【解答】由图表可知，ax2+bx+c=0时，3.24＜x＜3.25．应选B、【分析】根据图表数据确定出代数式的值为0的x的取值范围即可．判断关于x的方程ax2+bx+c=0的一个解x的范围是〔〕A.x＜3B.x＜2C.4＜x＜5D.3＜x＜4【考点】图象法求一元二次方程的近似根【解析】【解答】由图表可知，ax2+bx+c=0时，3＜x＜4．应选D、【分析】根据图表数据确定出代数式的值为0的x的取值范围即可．12.根据以下表格的对应值，判断方程ax2+bx+c=0〔a≠0，a、b、c为常数〕一个解的范围是〔〕A.3＜x＜3.23B. 3.23＜x＜3.24 C. 3.24＜x＜3.25 D. 3.25＜x＜3.26【考点】图象法求一元二次方程的近似根【解析】【解答】解：函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点就是方程a x2+bx+c=0的根，函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点的纵坐标为0；由表中数据可知：y=0在y=﹣0.02与y=0.03之间，∴对应的x的值在3.24与3.25之间，即3.24＜x＜3.25．应选：C、【分析】根据函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点就是方程ax2+bx+c=0的根，再根据函数的增减性即可判断方程ax2+bx+c=0一个解的范围．13.根据以下表格中的对应值，判断方程ax2+bx+c=0〔a≠0，a，b，c 为常数〕的根的个数是〔〕A.0B.1C.2D.1或2【考点】图象法求一元二次方程的近似根【解析】【解答】∵当x=6.17时，y=0.02；当x=6.18时，y=﹣0.01；当x=6.19时，y=0.02；∴方程的一个根在6.17﹣6.18之间，另一个根在6.18﹣6.19之间，应选C、【分析】由表格中的对应值可得出，方程的一个根在6.17﹣6.18之间，另一个根在6.18﹣6.19之间．14.根据以下表格中的对应值，判断方程ax2+bx+c=0〔a≠0，a，b，c 为常数〕的根的个数是〔〕A.0B.1C.2D.1或2【考点】图象法求一元二次方程的近似根【解析】【解答】∵当x=6.17时，y=0.02；当x=6.18时，y=﹣0.01；当x=6.19时，y=0.02；∴方程的一个根在6.17～6.18之间，另一个根在6.18～6.19之间．应选C、【分析】由表格中的对应值可得出，方程的一个根在6.17～6.18之间，另一个根在6.18～6.19之间．【二】填空题15.二次函数y=﹣x2+2x+m的图象如下图，那么关于x的一元二次方程﹣x2+2x+m=0的根为________；不等式﹣x2+2x+m＞0的解集是_____ ___；当x________时，y随x的增大而减小．【考点】图象法求一元二次方程的近似根【解析】解：∵对称轴为x=1，一个根为3，∴=1，∴x=﹣1，∴﹣x2+2x+m=0的根为x1=﹣1，x2=3，∴不等式﹣x2+2x+m＞0的解集是﹣1＜x＜3，当x＞1时，y随x的而减小．【分析】根据二次函数y=﹣x2+2x+m的图象可以得到其对称轴和与x轴一个交点，由此可以得到抛物线与x轴的另一个交点坐标，然后就可得m的值，那么解方程就能求得一元二次方程的解，可得到函数与x轴的交点，那么x轴上方的函数图象所对应的x的取值即为不等式﹣x2+2x+m＞0的解集，对称轴的右侧，y随x的增大而减小．16.我们把一元二次方程x2﹣2x﹣3=0的解看成是抛物线y=x2﹣2x﹣3与x轴的交点的横坐标，如果把方程x2﹣2x﹣3=0适当地变形，那么方程的解还可以看成是函数________与函数________的图象交点的横坐标〔写出其中的一对〕．【考点】图象法求一元二次方程的近似根【解析】【解答】解：∵x2﹣2x﹣3=0可以变为x2=2x+3，∴x2﹣2x﹣3 =0的解还可以看成是函数y=x2与函数y=2x+3的图象交点的横坐标．【分析】由于一个方程组的解即是组成方程组的两个函数的图象的交点坐标，所以抛物线x2﹣2x﹣3=0可看作两个函数组合而成，而将y=x2和y=2 x+3相减即可得到x2﹣2x﹣3=0，所以方程的解还可以看成是函数y=x2与函数y=2x+3的图象交点的横坐标．17.小颖用几何画板软件探索方程ax2+bx+c=0的实数根，作出了如下图的图象，观察得一个近似根为x1=﹣4.5，那么方程的另一个近似根为x2=_ _______〔精确到0.1〕．【考点】图象法求一元二次方程的近似根【解析】【解答】解：由函数图象可知，此函数的对称轴为x=﹣1，设函数的另一根为x，那么=﹣1，解得x=2.5．【分析】由函数的图象可求出函数的对称轴方程，再根据对称轴与方程两根之间的关系建立起方程，求出未知数的值即可．18.抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴的两个交点的坐标分别是(－3，0)，(2，0)，那么方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的解是________.【考点】利用二次函数图像求一元二次方程的近似根19.利用二次函数的图象求一元二次方程x2+2x﹣10=0的根：〔1〕________是方程的一个近似根．〔2〕________ 是方程的另一个近似根．【考点】图象法求一元二次方程的近似根20.试写出一个二次函数关系式，使它对应的一元二次方程的一个根为0，另一个根在1到2之间：________．【考点】图象法求一元二次方程的近似根21.抛物线y=2x2﹣4x+m的图象的部分如下图，那么关于x的一元二次方程2x2﹣4x+m=0的解是________．【考点】图象法求一元二次方程的近似根判断方程ax2+bx+c=0〔a≠0，a，b，c为常数〕的一个解的取值范围为________．【考点】图象法求一元二次方程的近似根【三】解答题23.利用函数图象判断方程2x2﹣3x﹣4=0有没有解．假设有解，求出它的近似解〔精确到0.1〕．描点，连线，画出函数y=2x2﹣3x﹣4的图象，如答图所示，故方程2x2﹣3x﹣4=0的解为x1≈﹣0.8，x2≈1.8．【考点】图象法求一元二次方程的近似根24.画图求方程x2=﹣x+2的解，你是如何解决的呢？我们来看一看下面两位同学不同的方法．甲：先将方程x2=﹣x+2化为x2+x﹣2=0，再画出y=x2+x﹣2的图象，观察它与x轴的交点，得出方程的解；乙：分别画出函数y=x2和y=﹣x+2的图象，观察它们的交点，并把交点的横坐标作为方程的解．你对这两种解法有什么看法？请与你的同学交流．【考点】图象法求一元二次方程的近似根【解析】【分析】利用函数图象求一元二次方程的解的方法，从画图角度比较两种方法即可．【四】综合题的自变量x与函数值y的部分对应值如下表：﹣﹣根据表格中的信息，完成以下各题〔1〕当x=3时，y=________；〔2〕当x=1时，y有最________值为________〔3〕假设点A〔x1 ，y1〕、B〔x2 ，y2〕是该二次函数图象上的两点，且﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2，试比较两函数值的大小：y1________y 2〔4〕假设自变量x的取值范围是0≤x≤5，那么函数值y的取值范围是________【考点】图象法求一元二次方程的近似根26.画出函数y=﹣2x2+8x﹣6的图象，根据图象回答：〔1〕方程﹣2x2+8x﹣6=0的解是什么〔2〕当x取何值时，y＞0〔3〕当x取何值时，y＜0【考点】图象法求一元二次方程的近似根【解析】【分析】利用描点连线的方法画出函数y=﹣2x2+8x﹣6的图象．再根据图象判断函数的增减性．。

(8 － 2x) (5 － 2x) = 18. 即：2x2-13x+11 = 0.
你能求出x吗?怎么去估计x呢？
（1）你能猜得出x取值 x 的大致范围吗?
（2）X可能小于等于0 x
（8－2x）
吗?说说你的理由. 5 （3）X可能大于等于4
18m2
吗?可能大于等于2.5吗?
说说你的理由.
8
因此,x取值的大致范围是:0<x<2.5.
如果设五个连续整数中的第一个数为x，那么后面四个 数依次可表示为：X＋1 ，X＋2 ，X＋3 ，X＋4 ． 根据题意，可得方程：
X2 ＋ (X＋1)2＋ (X＋ 2)2 ＝ (X＋3)2＋ (X＋4)2
即: x2-8x-20=0.
你能求出这五个整数分别是多少吗?
随堂练习
可列表如下:
培养能力之源泉
x
做一做☞
估算一元二次方程的解
在0<x<2.5这个范围中,x具体的值时
才能使2x2-13x+11 = 0成立? 完成下表(取值计算,逐步逼近):
x
… 0.5 1 1.5 2 …
2x2-13x+11 … 5 0 -4 -7 …
由此看出,可以使2x2-13x+11的值为0的x=1. 故可知花边宽为1m.
你能总结出估算的方法步骤吗?
估算法解一元二次方程步骤：
第一步：化为一般形式 ，如：2x2 –13x+11=0 第二步：根据实际情况确定x大体的取值范围。
第三步:在x范围内取整数值,能够使方程左边等于0,则
这个数就是方程的一个解.
第四步：若在x的范围内取值，没有一个整数能够
使方程的左边等于0, 则找出值最接近于0的数，这 个数就是方程的近似取值。

由图象可知,它们有两个交点,其横坐标一 个在-5与-4之间,另一个在2与3之间,分别约 为-4.7和2.7(可将单位长再十等分,借助计 算器确定其近似值). (4).确定方程x2+2x-10=3的解; 由此可知,方程x2+2x-10=3的近似根为:x1≈-4.7,x2≈2.7.
2.利用二次函数的图象求一元二次方程x2+2x-10=3的 近似根.
点拨5分钟
一元二次方程的图象解法
用图象求一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一般步骤.
(1).用描点法作二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象；
(2).观察图象，估计二次函数y=ax2+bx+c(a≠o)的 图象与x轴的交点的横坐标； 由图象可知,图象与x轴有两个交点,其横坐 标一个在-1与0之间,另一个在2与3之间,分 别约为-0.2和2.2(可将单位长再十等分,借 助计算器确定其近似值). (3).所确定的横坐标即为方程ax2+bx+c=0(a≠0)的解 ;由此可知,方程ax2+bx+c=0(a≠0)的近似根为:x1≈-0.2,x2≈2.2.
当堂训练：20分钟
1
3
九年级数学(下)第二章 二次函数
5. 二次函数与一元二次方程(2) 一元二次方程的图象解法
学习目标：1分钟
能够利用二次函数的图象 求一元二次方程的近似根。
自学指导：1分钟
1.看课本51页，由图象如何估计一元二 次方程x +22x-10=0的根？
2+2x-10=3的近似根.
学生自学，老师巡视。（8分钟）
自学检测（10分钟）
1.利用二次函数的图象求一元二次方程x2+2x-10=3的 近似根.

图象法求一元二次方程的近似根（北京习题集）（教师版）一．填空题（共4小题）1．（2013•灌云县模拟）根据下列表格中的自变量与函数值的对应值，判断方程，，，为常数）的一个解的范围是 ． 6.176.18 6.19 6.200.02 0.04 2．（2018秋•朝阳区校级期中）在实际问题中往往需要求得方程的近似解，这个时候，我们通常利用函数的图象来完成．如，求方程的实数根的近似解，观察函数的图象，发现，当自变量为2时，函数值小于0（点在轴下方），当自变量为3时，函数值大于0（点在轴上方）．因为抛物线是一条连续不断的曲线，所以抛物线在这一段经过轴，也就是说，当取2、3之间的某个值时，函数值为0，即方程在2、3之间有根．进一步，我们取2和3的平均数2.5，计算可知，对应的数值为，与自变量为3的函数值异号，所以这个根在2.5与3之间任意一个数作为近似解，该近似解与真实值的差都不会大于．重复以上操作，随着操作次数增加，根的近似值越来越接近真实值．用以上方法求得方程的小于0的解，并且使得所求的近似解与真实值的差不超过0.3，该近似解为 3．（2016秋•通州区期末）二次函数的图象如图所示，那么关于的方程的近似解为 （精确到．2y ax bx c =++x y 20(0ax bx c a ++=≠a b c x x 2y ax bx c =++0.03-0.01-2220x x --=222y x x =--(2,2)-x (3,1)x 222y x x =--222y x x =--23x <<x x 2220x x --=0.75-3 2.50.5-=2220x x --=2123y x x =--x 21203x x --=0.1)4．（2009春•东城区期末）形如：的函数叫二次函数，它的图象是一条抛物线．类比一元一次方程的解可以看成两条直线的交点的横坐标；则一元二次方程的解可以看成抛物线与直线轴）的交点的横坐标；也可以看成是抛物线与直线 的交点的横坐标；也可以看成是抛物线 与直线的交点的横坐标．二．解答题（共3小题）5．（2017春•海淀区校级月考）（1）已知二次函数，请你化成的形式为 ，并在直角坐标系中画出的图象；（2）如果，，，是（1）中图象上的两点，且，请直接写出、的大小关系为 ；（3）利用（1）中的图象表示出方程的根来，要求保留画图痕迹，说明解题思路即可，不用计算结果．6．（2017•通州区二模）有这样一个问题：探究函数的图象与性质． 小东根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究． 下面是小东的探究过程，请补充完整，并解决相关问题：（1）函数的自变量的取值范围是 ； （2）下表是与的几组对应值，求的值；2(0)y ax bx c a =++≠230x x +-=23y x x =+-0(y x =2y x =y =y =y x =-223y x x =--2()y x h k =-+223y x x =--1(A x 1)y 2(B x 2)y 121x x <<1y 2y 2210x x --=2212y x x =-2212y x x =-2212y x x =-x y x m1234（3）如图，在平面直角坐标系中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点．根据描出的点，画出该函数的图象；（4）进一步探究发现，该函数图象在第二象限内的最低点的坐标是，结合函数的图象，写出该函数的其它性质（一条即可） ．（5）根据函数图象估算方程的根为 ．（精确到7．（2017秋•海淀区校级期中）已知二次函数，（1）请你将函数解析式化成的形式，并在直角坐标系中画出的图象；（2）利用（1）中的图象结合图象变换表示方程的根，要求保留画图痕迹，指出方程的图形意义．x⋯4-3-2-32-1-23-23⋯y⋯1783118325936522962563212-2318-m⋯xOy3(2,2-22122xx-=0.1)223y x x=--2()y x h k=-+223y x x=--2210x x--=图象法求一元二次方程的近似根（北京习题集）（教师版）参考答案与试题解析一．填空题（共4小题）1．（2013•灌云县模拟）根据下列表格中的自变量与函数值的对应值，判断方程，，，为常数）的一个解的范围是 ． 6.176.18 6.19 6.200.02 0.04 【分析】利用二次函数和一元二次方程的性质．【解答】解：由表格中的数据看出和0.02更接近于0，故应取对应的范围．故答案为：．【点评】本题考查了用图象法求一元二次方程的近似根，解题的关键是找到由正变为负时，自变量的取值即可．2．（2018秋•朝阳区校级期中）在实际问题中往往需要求得方程的近似解，这个时候，我们通常利用函数的图象来完成．如，求方程的实数根的近似解，观察函数的图象，发现，当自变量为2时，函数值小于0（点在轴下方），当自变量为3时，函数值大于0（点在轴上方）．因为抛物线是一条连续不断的曲线，所以抛物线在这一段经过轴，也就是说，当取2、3之间的某个值时，函数值为0，即方程在2、3之间有根．进一步，我们取2和3的平均数2.5，计算可知，对应的数值为，与自变量为3的函数值异号，所以这个根在2.5与3之间任意一个数作为近似解，该近似解与真实值的差都不会大于．重复以上操作，随着操作次数增加，根的近似值越来越接近真实值．用以上方法求得方程的小于0的解，并且使得所求的近似解与真实值的差不超过0.3，该近似解为 2y ax bx c =++x y 20(0ax bx c a ++=≠a b c x 6.18 6.19x <<x 2y ax bx c =++0.03-0.01-0.01-x 6.18 6.19x <<y 2220x x --=222y x x =--(2,2)-x (3,1)x 222y x x =--222y x x =--23x <<x x 2220x x --=0.75-3 2.50.5-=2220x x --=0.75-【分析】观察函数的图象，发现，当自变量为0时，函数值小于0，当自变量为时，函数值大于0，求得和0的平均数，对应的数值为，与自变量为的函数值异号，再求和的平均数，对应的数值为0.0625，即可求得这个根在与之间任意一个数作为近似解，由，即可求得近似值．【解答】解：观察函数的图象，发现，当自变量为0时，函数值小于0，当自变量为时，函数值大于0，因为抛物线是一条连续不断的曲线，所以抛物线在这一段经过轴，也就是说，当取、0之间的某个值时，函数值为0，即方程在、0之间有根．我们取和0的平均数，计算可知，对应的数值为，与自变量为的函数值异号，所以这个根在与之间，取和的平均数，计算可知，对应的数值为0.0625，与自变量为的函数值异号，所以这个根在与之间任意一个数作为近似解，该近似解与真实值的差都不会大于，该近似解为，故答案为．【点评】本题考查的是根据图象求一元二次方程的解，读懂函数图象，从中获取正确的信息是解题的关键．3．（2016秋•通州区期末）二次函数的图象如图所示，那么关于的方程的近似解为　，　（精确到．【分析】根据二次函数图象与轴交点的横坐标是相应的一元二次方程的解，可得一元二次方程的近似根．【解答】解：抛物线与轴的两个交点分别是、，222y x x =--1-1-0.5-0.75-1-1-0.5-0.75-0.75-0.5-0.5(0.75)0.250.3---=<222y x x =--1-222y x x =--222y x x =--10x -<<x x 1-2220x x --=1-1-0.5-0.75-1-1-0.5-1-0.5-0.75-0.5-0.75-0.5-0.5(0.75)0.250.3---=<0.75-0.75-2123y x x =--x 21203x x --=1 1.3x =-2 4.3x =0.1)x Q 2123y x x =--x ( 1.3,0)-(4.3,0)又抛物线与轴的两个交点，就是方程的两个根， 方程的两个近似根是4.3或 故答案为，．【点评】本题考查了图象法求一元二次方程的近似根，二次函数图象与轴交点的横坐标是相应的一元二次方程的解．4．（2009春•东城区期末）形如：的函数叫二次函数，它的图象是一条抛物线．类比一元一次方程的解可以看成两条直线的交点的横坐标；则一元二次方程的解可以看成抛物线与直线轴）的交点的横坐标；也可以看成是抛物线与直线 的交点的横坐标；也可以看成是抛物线 与直线的交点的横坐标．【分析】一元二次方程可变形为，或者，故一元二次方程可以看成是抛物线与直线的交点的横坐标；也可以看成是抛物线与直线的交点的横坐标．【解答】解：依题意，一元二次方程可以看成是抛物线与直线的交点的横坐标；也可以看成是抛物线与直线的交点的横坐标．故本题答案为：，．【点评】本题考查了用函数观点解一元二次方程的一般方法．关键是将方程转化为两个函数式，求两个函数的交点．二．解答题（共3小题）5．（2017春•海淀区校级月考）（1）已知二次函数，请你化成的形式为　，　，并在直角坐标系中画出的图象；（2）如果，，，是（1）中图象上的两点，且，请直接写出、的大小关系为 ；（3）利用（1）中的图象表示出方程的根来，要求保留画图痕迹，说明解题思路即可，不用计算结果．Q 2123y x x =--x 21203x x --=∴21203x x --= 1.3-1 1.3x =-2 4.3x =x 2(0)y ax bx c a =++≠230x x +-=23y x x =+-0(y x =2y x =y =3x -+y =y x =-230x x +-=23x x =-+23x x -=-230x x +-=2y x =3y x =-+23y x =-y x =-230x x +-=2y x =3y x =-+23y x =-y x =-3x -+23x -223y x x =--2()y x h k =-+2(1)4y x =--223y x x =--1(A x 1)y 2(B x 2)y 121x x <<1y 2y 2210x x --=【分析】（1）根据配方法整理即可，再求出、0、1、2、3时的函数值，然后画出函数图象即可；（2）求出对称轴为直线，然后根据，随的增大而减小解答；（3）求出时对应的的近似值即可．【解答】解：（1），函数图象如图所示；故答案为，（2）函数的对称轴为直线，，；故答案为．（3）时，，，方程的根如图所示．【点评】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，图象法求一元二次方程的近似根，通常利用“五点法”作二次函数图象．1x =-1x =1x <y x 2y =-x 2223(1)4y x x x =--=--2(1)4y x =--1x =121x x <<Q 12y y ∴>12y y >2y =-2232x x --=-2210x x --=2210x x --=6．（2017•通州区二模）有这样一个问题：探究函数的图象与性质．小东根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究．下面是小东的探究过程，请补充完整，并解决相关问题：（1）函数的自变量的取值范围是 ；（2）下表是与的几组对应值，求的值；1234（3）如图，在平面直角坐标系中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点．根据描出的点，画出该函数的图象；（4）进一步探究发现，该函数图象在第二象限内的最低点的坐标是，结合函数的图象，写出该函数的其它性质（一条即可） ．（5）根据函数图象估算方程的根为 ．（精确到【分析】（1）根据分母不为零分式有意义，可得答案；（2）根据自变量与函数值得对应关系，可得答案；（3）根据描点法画函数图象，可得答案；（4）根据图象的变化趋势，可得答案；（5）根据图象，可得答案．【解答】解：（1）函数的自变量的取值范围是：，故答案为：；（2）把代入得，，2212y xx=-2212y xx=-2212y xx=-x0x≠y x mx⋯4-3-2-32-1-23-23⋯y⋯1783118325936522962563212-2318-m⋯xOy3(2,2-22122xx-=0.1)2212y xx=-x0x≠x≠4x=2212y xx=-221154428y=-⨯=-，（3）如图所示，（4）当时，随的增大而减小；故答案为当时，随的增大而减小；（5）由图象，得，，．故答案为：，，．【点评】本题考查了函数的性质，利用描点法画函数图象，利用图象得出函数的性质是解题关键．7．（2017秋•海淀区校级期中）已知二次函数，（1）请你将函数解析式化成的形式，并在直角坐标系中画出的图象；（2）利用（1）中的图象结合图象变换表示方程的根，要求保留画图痕迹，指出方程的图形意义．【分析】（1）根据配方法整理即可，再求出、0、1、2、3时的函数值，然后画出函数图象即可；（2）求出时对应的的近似值即可．158m ∴=-0x >y x 0x >y x 10.8x =2 1.2x =-3 3.9x =-10.8x =2 1.2x =-3 3.9x =-223y x x =--2()y x h k =-+223y x x =--2210x x --=1x =-2y =-x【解答】解：（1），函数图象如图所示；（2）时，，，方程的根如图所示．【点评】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，图象法求一元二次方程的近似根，通常利用“五点法”作二次函数图象．2223(1)4y x x x =--=--2y =-2232x x --=-2210x x --=2210x x --=。