高一数学必修5课件：34基本不等式(新人教A)

函数的最小值为 4.
用均值不等式求最值,必须注意 “相等” 的条件. 如果取等的条件不成立,则不能取到该最值.
基本不等式人教A版高中数学必修五PP T课件
基本不等式人教A版高中数学必修五PP T课件
练习
1、若x 0，求f ( x) 12 3x的最小值 x
2、已知x 0，y 0，求证 x y 2 yx
基本不等式人教A版高中数学必修五PP T课件
2.基本不等式 基本不等式人教A版高中数学必修五PPT课件 （均值定理）
如果a 0, b 0，那么 a b ab 2
(当且仅当a b时，取""号)
我们把 a b 叫做正数a, b的算术平均数， 2
把 ab叫做正数a, b的几何平均数。
此定理又可叙述为：
解：∵ x 0
x
x 1 2 x 1 2
x
x
当且仅当x 1 ,即x 1时，原式有最小值 2 x
变式、已知x 0，求x 1 的最值 x
解：∵ x 0， x 0
x 1 [( x) 1 ] 2 ( x) 1 2
x
( x)
( x)
运用均当且值仅不当等式x 的1过,程即x中，1时a、，b原必式须有最为大“正值 数 2”．
(1)a、b均为正数;
(2)a+b与ab有一个为定值;
(3)等号必须取到。பைடு நூலகம்
以上三个条件缺一不可. “一正”、“二定”、“三相等”。
构造积为定值，利用基本不等式求最值
例1、求函数y 1 x( x 3)的最小值
x3
练习:
已知x 1，求x 1 的最小值以及取得最小 值时x的值 x1
答：最小值是3，取得最小值时x的值为2

4 3 求函数y sin 其中 0， ] （ sin 2 的最小值。 4 4 解：y sin 2 sin sin sin 4,函数的最小值为4。
用均值不等式求最值,必须注意 “相等” 的条 件. 如果取等的条件不成立,则不能取到该最值.
4800 z 150 120( 2 3 x 2 3 y ) =240000+720(x+y) 3
由容积为4800m3 ,可得3xy=4800,
因此xy=1600,
由基本不等式与不等式性质，可得 240000+720(x+y)≥ 240000+720×2 xy 即:z≥240000+720×2 xy =297600
2 ( x 1) x 1 1 3
(1)x=2 (2)x=1/2
思考：取到最值时x的值呢？
构造法
变式：（1）已知x>-2,求
1 x 的最小值； x2
（2）已知0<x<1/2,求x(1-2x)的最大值.
1 变式：（1）已知x>-2,求 x 的最小值；0 x2 （2）已知0<x<1/2,求x(1-2x)的最大值. 1 8
解：设矩形菜园的长为x m,宽为y m 则 2(x+y)=36，x+y=18 由
xy x y 18 9 2 2
矩形菜园的面积为xy m2 xy≤81
可得
等号当且仅当x=y时成立，这时x=y=9.
因此，这个矩形的长、宽都为9m时，菜园的 面积最大，最大面积为81m2
例6 某工厂要建造一个长方形无盖贮水池，其容 积为4800m3，深为3 m。如果池底每平方米的造价为 所以,将水池的地面设计成边长为40 m的正方形 150元,池壁每平方米的造价为120元，怎样设计水池能 时总造价最低,最低造价为297600元 使总造价最低？最低造价为多少元？ 解：设底面的长为x m,宽为y m, 水池总造价为z元,根据题意，有

学家大会的会标，它是根据中国古代数
学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使
它看上去象一个风车，代表中国人民热
情好客.在这个图案中既有一些相等关系，
也有一些不等关系，
对这
些等与不等的关系，
我们作些相应研究.
精品PPT
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探究（一）:基本不等式的原理
思考1：将图中的“风车”
抽象成如图，在正方形
ABCD中有4个全等的直角
2
两边平方可得什么结论？它与不等式 a2＋b2≥2ab有什么内在联系？
( a + b)2 ³ ab 2
精品PPT
思考2：在不等式a2＋b2≥2ab两边同加
上a2＋b2可得什么结论？所得不等式有
什么特色？ a 0
y ax2 bx c x1, x2 (x1 x2 )
a2 + b2 ³
2
(a + b)2 2
b
和
ab 分别为a，
2
b的算术平均数和几何平均数，如何用 文字语言表述基本不等式？
两个正数的算术平均数不小于它们的 几何平均数.
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a+b
思2 考8：如图，在直角三角形ABC中，CD
为斜边上的高， CO为斜边上中线，你能
利用这个图形对基本不等式作出几何解
释吗？
C
A
O
DB
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探究（二）：基本不等式的变通 思考1：将基本不等式 a b ab
三角形.设直角三角形的
两a2b2 条直角边长为a，b那么 正方形ABCD和EFGH的边长 D
分别为多少？
A
F GE
C
H
a2 b2
|a－b |
B

基本不等式
[大纲要求]
• 基本不等式： • （1）了解基本不等式的证明过程； • （2）会用基本不等式解决简单的最大（小）
值问题.
1.复习并掌握“两个正数的算术平均数不小于它们的几何 平均数”的定理.了解它的变式：
(1)a2+b2≥2ab(a，b∈R)； (2) a b ab (a，b∈R+)；
4
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典型例题分析
例1、求证：lg9·lg11<1
分析：由构成特点：乘积、小于，联 想到基本不等式，并用到放缩法。
∴lg9·lg11<1
例2、求证：lg9·lg11<1
分析：由构成特点：乘积、小于，联 想到基本不等式，并用到放缩法。
lg 9lg11
lg 9lg11 2

lg 99 2

lg100 2
2
(3) b a 2(ab＞0)； ab
(4)a 2 b2 a b 2 (a，b∈R).
2 2
以上各式当且仅当a＝b时取等号，并注意各式中字母的取
值要求.
2.理解四个“平均数”的大小关系；a，b∈R+，则 2ab ab
a b a 2 b2．其中当且仅当a＝b时取等号. a b
x (B)y sinx
4
0 x
sinx
(C)y 4e x e -x
(D)y log 3 x log x 30 x 1
例4、已知a、b R，且a 2b 1， 求 1 1 的最小值.
ab
练习：已知x、y R，且lgx+lgy 1， 求 2 5 的最小值.
2
2
3.在使用“和为常数，积有最大值”和“积为常数，和 有最小值”这两个结论时，应把握三点：“一正、二 定、三相等、四最值”.当条件不完全具备时，应创造 xy的最值.

∴x＋ 1 ＝（x－1）＋ 1 ＋1
x 1
(x 1)
凑项法
2 x 1 1 1 3
x 1
当且仅当x－1＝ 1 时取“＝”号。
x 1
于是x＝2或x＝0（舍去）
பைடு நூலகம்
高中数学人教A版必修5必修五基本不 等式PPT 课件
高中数学人教A版必修5必修五基本不 等式PPT 课件
已知0 x 1 ,求函数y x1 3x的最大值。
例1：(1)用篱笆围成一个面积为100m2的矩形菜园， 问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短。
最短的篱笆是多少？
解：设矩形菜园的长为x m，宽为y m，
则xy=100，篱笆的长为2（x+y）m.
x y xy 2
x y 2 100
2(x y) 40
等号当且仅当x=y时成立，此时x=y=10. 因此，这个矩形的长、宽都为10m时，所用的篱笆 最短最短的篱笆是40m.
① x 0 2,
② x0
,2
③ x 0 ,2 2,
④ x2
5 2
,
一正 、二定 、三等
一不正,需变号
二不定,需变形 三不等,需单调
两个不等式：
a2 b2 2ab (a, b R)
ab
ab
(a 0, b 0)
2
得：
a2 b2 ab
ab ( a b )2
2
2
ab
a
2
高中数学人教A版必修5必修五基本不 等式PPT 课件
最值定理：若x、y皆为正数，则
（1）当x+y的值是常数S时，当且仅当x=y时，xy有最 和
大值__14__S_2__；
定 积
（2）当xy的值是常数P时，当且仅当x=y时， x+y有最 最

C
B
u 数的角度
B
a2+b2－2ab=(a－b)2 0
a2 b2 2ab
当且仅当a b时等号成立.
当 a、b为任意实数时，a2 b2 2ab
都成立吗？
结论：一般地，对于任意实数a、b，我们有 a2 b2 2ab
当且仅当a b时，等号成立. 重要不等式
a2 b2 2ab
如果a 0,b 0,我们用 a, b分别代替a,b,能得到
文字叙述
两数的平方和不 小于它们积的2倍
两个正数的算术平均数 不小于它们的几何平均 数
“=”成立条 件
ab
ab
下面说法正确吗？
(1)x2 y2 2xy √
不等式中，不等关 系与字母形式无关
(2)m2 1 2m √
(3)x 0时，x 1 2 x
√
(4)若xy 0,则x y 2 xy ×
两个不等式
a
2
b
ab(a 0,b 0)
利用基本不
等式求最值
和定积最大 积定和最小
一“正” 二“定”
三“相等”
作业布置 一.课本习题3.4 A组2,3,4
二、思考题 1.下列说法正确的有
。
A.若a, b
R,
则
b a
a b
2

ba 2 ab
B.
x
1 x
2
C.若ab 0, b a 2
D. 3x 3x 2
❖ 走进生活 感悟数学
1.知识与技能：学会推导并掌握基本不等式， 理解基本不等式的几何意义，会用基 本不等式求最值、证明不等式；
2.过程和方法：培养观察、试验、归纳、判 断、猜想的思维能力；
3：情感、态度和价值观：敢于探索，体会 数与形的和谐统一，领略数学的应用 价值。

由容积为4800m3,可得:3xy=4800
因此
xy=1600
由基本不等式与不等式的性质,可得
240000 720(x y) 240000 720 2 xy
即 z 240000 720 2 1600
z 297当60x0=y,即x=y=40时,等号成立 所以,将水池的地面设计成边长为40m的正方形 时总造价最低,最低总造价为297600元.
(1)a,b R,那么a2 b2≥2ab ,当且仅当a b时,等号成立
(2) ab≤ a b (a>0,b>0)，当且仅当a b时，等号成立。 2
2. 利用基本不等式求最值
已知 x, y 都是正数, P, S 是常数.
(1) xy=P x+y≥2 P(当且仅当 x=y 时, 取“=”号).
3x y 6 0,
2.（2009山东理12T)设 x, y 满足约束条件 x y 2 0, 若目标函数
x 0, y 0,
a z ax by（
＞0， b
>0）的最大值为12，则
2 a
b3的最小值为（A）
A. 25 6
8
B.
3
11
C.
D. 4
3
略解：
y
把点（4，6）代入z = ax + by得4a + 6b = 12,
0,求x
1
x 的最值;
x
(3)若x 3,函数y x
1
,当x为何值时，函数
x3
有最值，并求其最值。
解: x 1 2 x 1 2
x
x
当且仅当x 1即x 1时原式有最小值2. x
2、解: x 1 [(x) ( 1 )] 2 ( x) ( 1 ) 2

面积S=＿a＿2＿＿＿b 2
C ２、四个直角三角形的
面积和S’ =＿2＿ab
３、S与S’有什么
样的不等关系？
B
S>S′即
问：那么它们有相等的情况吗？ a2 b2 > 2ab (a≠b)
D
D
a2 b2
b
G Fa
C
a
A
E
A E(FGH)
b
C
H
a2
b
2B
>
2ab
(a≠b)
B
a2 b2＝ 2ab (a＝b)
重要不等式：一般地，对于任意实数a、b，总有
a2 b2≥2ab
当且仅当a=b时，等号成立 适用范围： a,b∈R 文字叙述为: 两数的平方和不小于它们积的2倍.
如果a 0,b 0,我们用 a, b分别代替a,b, 可得到什么结论？
如果a 0,b 0,我们用 a, b分别代替a,b, 可得到什么结论？
猜想： 一般地，对于任意实数a、b，我们有
a2 b2 2ab
当且仅当a=b时，等号成立。
思考：你能给出不等式 a2 b2≥2ab 的证明吗？
证明：（作差法） a2 b2 2ab (a b)2 当a b时 (a b)2 0 当a b时 (a b)2 0 所以(a b)2≥0 所以a2 b2≥2ab.
③OD与CD的大小关系怎样? OD__≥＞___CD
a b≥ ab 2
几何意义：半径不小于弦长的一半
填表比较：
适用范围
a2 b2≥2ab
a,b∈R
a b≥ ab 2
a>0,b>0
文字叙述
两数的平方和不 两个正数的算术平均数不 小于它们积的2倍 小于它们的几何平均数

方法(二) 利用常数代换法求最值
[例 2] 已知两个正数 x，y 满足 x＋2y＝8xy，则 4x＋2y 的最小值为( )
A．74
B．2
C．94
D．52
[解析] 将 x＋2y＝8xy 两边同时除以 xy，
得2x＋1y＝8，则 4x＋2y＝18(4x＋2y)2x＋1y
＝1810＋4xy＋4yx≥1810＋2
二、“基本技能”运用好
1．(好题分享——新人教 A 版必修第一册 P45 例 1 改编)
设 a>0，则 9a＋1a的最小值为
A．4
B．5
C．6 答案：C
D．7
()
2．矩形两边长分别为 a，b，且 a＋2b＝6，则矩形面积的最大值是 ( )
A．4
9 B.2
32 C. 2
D．2
解析：依题意可得 a，b>0，则 6＝a＋2b≥2 a·2b＝2 2· ab，当且仅当
4xy×4yx＝94，
当且仅当4xy＝4yx，即 y＝x＝38时取等号．
故 4x＋2y 的最小值为94. [答案] C
[解题方略] 1．常数代换法的运用技巧 常数代换的实质是 x×1＝x，所以关键是找到常数，从而找到结果为 1 的式子，然后通过乘积的运算利用基本不等式解题． 2．用常数代换法求最值时应注意的两个方面 (1)注意目标代数式的结构特征，看是否需要整体乘以“1”的替身； (2)注意常数的获得方式，要根据已知代数式的结构特征灵活处理，如本 题，等式 x＋2y＝8xy 两边也可以同时除以 8xy，则可直接得到结果为常数 1 的式子：41x＋81y.
命题点一 利用基本不等式求最值最值 [例 1] 函数 y＝xx2－＋12(x＞1)的最小值为________．

(2)由条件知 S＝xy＝24. 设钢筋网总长为 l，则 l＝4x＋6y. 解法一：∵2x＋3y≥2 2x·3y＝2 6xy＝24，∴l＝4x＋6y＝2(2x＋3y)≥48， 当且仅当 2x＝3y 时，等号成立．由2xxy＝ ＝32y4， ， 解得xy＝ ＝64， .
故每间虎笼长 6 m，宽 4 m 时，可使钢筋网总长最小．
(2)若使每间虎笼面积为24 m2，则每间虎笼的长、宽各设计 为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小？
分析:设每间虎笼长x m，宽y m，则问题 (1)是在4x＋6y＝36的前提下求xy的最大值； 而问题(2)则是在xy＝24的前提下求4x＋6y的
最小值．因此，使用均值定理解决．
解析:设每间虎笼长 x m，宽 y m，则由条件知：4x＋6y＝36，即 2x＋3y＝18.
2．由不等式性质可知，对任意a，b∈R，(a－ b)2________0，因此a2＋b2________2ab，当且仅 当________时，取等号． 答案： ≥ ≥ a＝b
引例： 一般地，对于任意实数a、b，我们有 a2b2 2ab
当且仅当a=b时，等号成立。 证明: a2 + b2 – 2ab = ( a – b )2
当 a≠ b时, (a – b)2 > 0 ; 当a=b时, (a – b)2 =0 所以( a – b )2≥0, 即 a2 + b2≥2ab
分别用 a , b 代替引例中的a,b, 即可得 ab2 ab
基本不等式的代数解释
∵a＋b－2 ab＝( a)2＋( b)2－2 ab＝( a－ b)2≥0， ∴a＋b－2 ab≥0，即 a＋b≥2 ab， ∴a＋2 b≥ ab.
第三章 不等式
3.4 基本不等式