复杂网络上的传播动力学

复杂网络中的动力学模型与分析方法一、引言复杂网络是由大量节点和连接它们的边组成的网络结构，广泛应用于社交网络、生物网络、信息传播等领域。

网络中各个节点之间相互作用、信息传递的过程可以用动力学模型进行描述和研究。

本文将介绍复杂网络中的动力学模型以及常用的分析方法。

二、节点动力学模型1. 节点动力学模型的概念节点动力学模型是描述网络中单个节点状态变化规律的数学模型。

常用的节点动力学模型包括离散时间模型和连续时间模型。

离散时间模型适用于节点状态在离散时间点上更新的情况，连续时间模型适用于节点状态连续变化的情况。

2. 节点动力学模型的类型（1）布尔模型：布尔模型是一种离散时间模型，节点状态只有两种可能值：0和1。

通过定义节点间的布尔运算规则，模拟节点之间的相互作用和状态更新。

（2）Logistic模型：Logistic模型是一种连续时间模型，节点状态在[0,1]之间连续变化。

该模型可以描述节点的演化和趋于稳定的行为。

三、网络动力学模型1. 网络动力学模型的概念网络动力学模型是描述网络中全体节点的状态变化规律的数学模型。

在网络中，节点之间的相互作用和信息传递会影响节点的状态演化，网络动力学模型可以用来描述和预测整个网络的行为。

2. 网络动力学模型的类型（1）随机性网络模型：随机性网络模型假设节点的连接是随机的，节点间的相互作用和信息传递也是随机发生的。

常见的随机性网络模型包括随机图模型、随机循环模型等。

（2）小世界网络模型：小世界网络模型是一种介于规则网络和随机网络之间的网络结构。

它既具有规则性，节点之间的连接具有聚类特性，又具有随机性，节点之间的连接具有短路径特性。

（3）无标度网络模型：无标度网络模型是一种节点度数服从幂律分布的网络结构。

少数节点的度数非常高，大部分节点的度数较低。

这种模型可以很好地描述现实世界中一些复杂网络的结构。

四、网络动力学的分析方法1. 稳定性分析稳定性分析是判断网络在不同初始条件下是否趋于稳定状态的方法。

复杂网络中的动力学模型与机理分析一、引言复杂网络是近年来引起广泛关注的研究领域，它可以用来模拟和分析各种复杂系统，如社交网络、生物网络和交通网络等。

动力学模型是研究复杂网络行为的重要工具，通过对网络节点之间的相互作用进行建模，我们可以深入了解复杂网络中的动态演化过程与机理。

本文将介绍一些常用的动力学模型，并对其机理进行分析。

二、随机图模型随机图模型是最早被引入到复杂网络研究中的模型之一，它假设网络中节点之间的连接是随机生成的。

其中最经典的是随机图模型中的ER模型，它假设每一对节点间的连接概率都是相等的。

通过该模型，我们可以研究网络中的群聚现象和相变行为等，揭示了复杂网络中的一些基本特性。

三、小世界网络模型小世界网络模型克服了随机图模型中的不足，它通过引入局部连接和随机重连机制，能够同时兼顾网络的聚类特性和短路径特性。

其中比较有代表性的是Watts-Strogatz模型，它将网络的随机重连程度作为参数，可以控制网络的小世界性质。

这种模型揭示了许多实际网络中普遍存在的“六度分隔”现象。

四、无标度网络模型无标度网络模型是另一类常用的动力学模型，它假设网络中部分节点的度数比其他节点更高。

这种模型能够较好地描述现实中一些特殊的网络，如互联网和社交网络等。

其中著名的模型是BA 模型，它通过优先连接机制，使得度数较高的节点更容易获得新节点的连接。

这一模型的提出揭示了复杂网络中的“rich get richer”原则。

五、动力学机理分析除了建立动力学模型，我们还需要分析模型中的动力学机理。

常用的方法包括稳定性分析和数值模拟等。

稳定性分析可以通过线性化系统方程来推导系统的稳定性条件，从而预测网络的稳定状态。

数值模拟则利用计算机模拟的方法，通过迭代网络的动力学方程，模拟网络的演化过程并得到网络的行为特性。

六、复杂网络中的动力学现象在复杂网络中，各种有趣的动力学现象被发现并研究。

例如，网络同步现象是指网络中的节点在相互作用下，逐渐趋于统一的状态。

复杂网络中传播模型的动力学研究近年来，随着网络技术的飞速发展，复杂网络逐渐成为社会交流、信息传播的重要基础。

在复杂网络中，信息、疾病、新闻、观念等的传播过程涉及到广泛的领域，因此对于传播模型的动力学研究具有重要意义。

本文将就复杂网络中传播模型的动力学研究进行探讨，并重点介绍传统的SI、SIS、SIR模型以及更为复杂的影响力传播模型。

首先，传统的SI（Susceptible-Infected）模型是研究疾病在网络中传播的一个典型模型。

该模型假设节点只能处于两种状态之一：易感染者或已感染者。

在不考虑恢复的情况下，易感染者与感染者之间的传播可以用简单的传染率表示。

通过分析研究，我们可以得出结论：在稀疏网络中，传染病传播的临界点主要取决于网络的簇系数和平均节点度。

进一步的研究发现，节点的连接方式对于传播效果有着重要的影响。

其次，SIS（Susceptible-Infected-Susceptible）模型是对SI模型的改进和扩展。

该模型引入了节点的恢复过程，即已感染者可以恢复为易感染者。

SIS模型在复杂网络中传播行为的研究中更为常见。

通过对SIS模型的动力学特性分析，我们可以发现存在着感染-恢复的平衡状态，在该状态下传染病将不再蔓延。

然而，社区结构、节点度分布以及节点自身特性等因素也会对模型的传播行为产生影响。

此外，SIR（Susceptible-Infected-Recovered）模型是在SIS模型的基础上引入了免疫力的概念。

在该模型中，已感染者在免疫后不会再次被感染。

SIR模型更适用于描述疫苗接种后的传播情况。

通过对SIR模型的研究，我们可以发现疫苗的覆盖率对于控制传染病的蔓延至关重要。

此外，网络的拓扑结构也会对传播行为产生重要影响。

除了传统的SI、SIS和SIR模型，还存在着更为复杂的影响力传播模型。

影响力传播模型主要研究社交网络中信息、观点、新闻等的传播过程。

典型的影响力传播模型有独立级联模型（IC model）和线性阈值模型（LT model）。

复杂网络上的意见动力学对谣言传播的影响*王祁月 刘润然 贾春晓†(杭州师范大学, 复杂科学研究中心, 杭州　311121)(2020 年9 月6日收到; 2020 年10 月31日收到修改稿)通过在SIR (susceptible-infected-recovered)模型中引入抑制者对谣言的辟谣机制研究了在线社交网络上的意见动力学对谣言传播的影响. 在这一模型中, 节点可以与自身的邻居组成1个群, 传播者可以通过该群传播信息, 抑制者也可以在此群中对信息发表意见进行辟谣. 辟谣机制在降低未知者对于谣言的接受概率的同时也可以促使传播者向抑制者转变. 本文采用ER (Erdös-Rényi) 随机网络、无标度网络以及真实的社交网络研究了抑制者的沉默概率对于谣言传播范围的影响. 首先发现, 谣言传播的过程以传播者的峰值为界可以分为两个阶段, 即谣言自由传播的前期以及抑制者和传播者互相制衡的后期; 其次, 谣言的传播会随着抑制者的沉默概率的增大而突然暴发. 在谣言暴发阈值之下, 沉默概率的增大不会导致谣言传播范围显著增大,这是由于未知者在感知到谣言并转变为传播者后又迅速转变为抑制者; 而当沉默概率达到谣言暴发阈值时,抑制者将不能控制传播者对谣言的传播从而导致抑制者的降低和谣言的暴发; 最后, 无标度上的谣言自由传播的前期阶段比随机网络持续的时间更短, 从而使无标度上的谣言更难以暴发. 本文的模型综合考虑了意见动力学和谣言传播的相互作用, 更加真实地模拟了真实世界社交网络中的谣言传播过程. 为谣言传播的控制和干预提供了一些有用的思路和见解.关键词：谣言传播, 在线社交网络, 意见动力学, 辟谣PACS：89.75.–k, 05.70.Jk, 89.20.–a　DOI: 10.7498/aps.70.202014861 引　言近年来, 随着各种在线社交软件的兴起和壮大[1,2], 如Twitter、微博和微信等, 互联网上的信息和谣言传播行为也引起了研究人员的极大关注[3],特别是社交网络中谣言的爆炸性传播现象[4]. 在谣言和信息传播的过程中, 依靠人与人之间的好友关系所形成的信息传播网络结构对于信息的传播具有至关重要的作用, 如网络的无标度效应[5]、小世界效应[6], 以及聚类、社团结构[7]和度度相关性[8]等, 这些网络结构性质极大地增强了谣言传播的速率[9], 使得信息或谣言在网络上的传播过程中涌现出了非常丰富的现象[10].在谣言传播的研究中, 最为广泛采用的两个谣言传播模型是由Daley和Kendall[11]提出的DK 模型和由Maki和Thompson[12]提出的MK模型.这两个模型都在考虑了信息传播动力学特征的基础上, 借鉴了Kermack和McKendrick[13]提出的疾病传播SIR模型. 在模型中, 人群被分为三部分:不知道谣言的人 (S), 知道谣言并传播谣言的人 (I)和知道谣言但已经停止传播的人 (R). 随着网络科学的发展, 一些学者发现信息传播过程所依赖的网络是高度结构化的, 同时在时间和空间上都具备特定的规律和特性. 因此一些谣言传播的研究也引入了复杂网络理论. Zanette[6]通过数据仿真的方式研究了小世界网络上的谣言传播, 发现小世界网络存在1个断边重连的临界概率p c, 当断边重连概* 国家自然科学基金(批准号: 61773148)资助的课题.† 通信作者. E-mail: chunxiaojia@© 2021 中国物理学会 Chinese Physical Society 率p小于p c时, 谣言被局限于传播者的周围而不能暴发; 而当p大于p c时, 谣言能够传播到整个系统而暴发. 对于度分布异质性较强的网络, 度大的节点更容易变为R状态, 谣言相对于同质性的网络更不容易得到大范围的传播, 这一结果与疾病传播的情况恰恰相反[14]. 此外, 信息传播的效率问题也受到广泛关注, 通常来说无标度网络的传播效率高于随机网络, 一对一传播的效率高于一对多传播的效率[15].在谣言传播的研究中, 识别网络中对于谣言传播具有关键作用的节点对于理解谣言的传播也具有重要的意义. 文献[16]通过Maki-Thompson模型研究了实证网络上k核指数较大的节点对于谣言传播的作用, 发现R状态的节点密度并不依赖于k核指数, 这说明k核指数较大的节点并不是好的传播者. 然而在实证网络的研究中, k核指数较大或度值较大的特权传播者是存在的, 因此后续有人提出了两种修正的信息传播模型: 第一种情况是, 当S遇到I时, S以一定的概率直接变化为I,以剩余的概率直接变为R; 第二种情况是, 传播者可能处于活跃和非活跃状态两种不同状态. 此外,在谣言传播动力学的研究中, 谣言传播的路径和网络结构往往是未知的, 如何获取谣言传播的路径和过程, 以及谣言传播的源头也是非常重要的问题,因此谣言传播网络的识别[17]、溯源[18]和目标传播[19]问题也受到广泛关注.随后人们发现, 信息或疾病可能通过不同网络分别传播或者跨网络传播, 因此引入了多层网络模型来描述信息或疾病传播动力学过程[20], 此外, 信息传播还可能与其他传播的动力学发生较为复杂的相互作用, 如竞争[21,22]和合作[23]等. 文献[24]研究了信息传播对疾病传播的影响, 并且探讨了在不同网络拓扑结构下的最优传播机制. 文献[25]研究了双层网络上个体的异质性对多层网络上疾病传播和个体警惕性传播的影响. 文献[26]分析了带有记忆机制和遗忘机制的经典谣言传播模型, 并研究了该模型在均质网络中的动力学行为. Xia等[27]考虑谣言内容的吸引力和模糊性, 提出了具有犹豫机制的修正SEIR模型. Soriano-Paños等[28]引入了1个双层网络模型来研究社会系统中信息传播与舆论形成的相互作用. 多层网络概念的引入为研究传播过程与其他动力学的相互作用提供了便利条件, 产生了极为丰富的研究成果.在当前主流在线社会网络中, 谣言传播往往会引发舆情, 谣言的传播和舆论的形成是1个双生话题. 目前, 过去复杂网络上舆论的研究往往采用意见动力学模型, 该模型主要分为两类: 第一类为离散观点模型, 如Sznajd模型[29]、选民模型[30]等;第二类为连续观点模型, 如边界信任模型[31,32]等.借助于这些模型, 人们从社会网络结构[33]、评价文本挖掘[34]、个体特征[35]等角度研究了舆论形成机制. 谣言的传播过程亦会受到人们的判断力和他人观点的影响. 一些谣言在经过网络持续发酵后, 产生了惊人的传播暴发力, 而传播的扩大化又会进一步影响舆论. 而还有一些谣言, 经过公众理性辨识后, 自发在网络中传播终止了. 究竟在什么情况下,谣言能够暴发？基于人群中观点的演化, 对信息传播动力学的过程进行建模, 对于我们理解谣言传播会有所帮助. 然而, 如何基于意见动力学对信息传播建模, 并度量意见动力学对于信息传播进程的影响是1个全新的问题.社交网络中群的存在能够使得信息以广播的方式快速高效地传播, 如微信群、QQ群以及微博,同时这些群的存在也会促使个体对信息进行封闭性讨论, 这种讨论或对信息的传播起到发酵或抑制的作用[36]. 本文将采用群传播的方式来对信息传播进行建模, 并基于群来探讨人群的意见会对信息传播构成的影响[37]. 在某些情况下, 信息的真伪是难于判断的, 这里采用类似意见动力学模型中“多数者”规则, 1个个体是否采信某个信息取决于他所感知到的群中相信该信息的个体数量. 根据这一规则, 个体意见和信息传播是相互影响的. 基于此,本文结合SIR信息传播模型和意见动力学理论,建立了在线社交网络谣言传播模型, 使其能描述社交网络上谣言传播与意见动力学的相互作用, 以期望我们的研究可以更好地理解信息传播中的复杂现象, 对丰富谣言传播理论和舆情的防控具有重要的现实意义.2 基于意见动力学的SIR谣言传播模型接下来将介绍本文SIR谣言传播模型. 首先,在本文模型中存在1个由N个个体组成的社交网络, 在这个网络中, 个体被视为节点, 个体之间的关系被视为网络节点之间的连接. 根据网络中的个体在谣言传播过程所处的不同状态, 把网络的节点细分为未知者S 、传播者I 和抑制者R. 类似于SIR 流行病传播模式, 未知者代表了从未听过或没有采信消息的人, 传播者代表了相信信息并能够传播的人, 移除者代表了已经知道信息但持反对态度的人. 为了刻画真实网络中信息往往通过社交网络中的群进行传播的特征, 在本文SIR 模型中, 假设每个个体都和他的最近邻形成1个信息传播群, 信息通过群进行传播, 个体也可以在群内对信息进行评论或发表自己的看法. 在信息传播的初始阶段只有少数比例的个体i (t = 0)是传播者, 同时也有少数比例的个体r (t = 0) 是抑制者, 而其余比例的个体是未知者s (t = 0). 采用蒙特卡罗模拟方法对系统进行模拟, 在每1个时间步, 系统以如下规则进行演化:γγ1)首先, 随机挑选1个个体, 如果该个体不是传播者, 进行下个时间步的演化, 否则这一个体将信息转发至以他自己为中心的群中(群由传播者和其直接相连的节点构成), 群中抑制者会以概率 选择保持沉默, 以概率1– 选择进行评论并发表自己对信息的怀疑看法, 试图影响群中其他个体.λ=γm γγ2)未知者接收到消息后会以概率 转换成传播者. 其中m 代表群中抑制者的个数. 在给定抑制者数量m 的情况下, 抑制者的沉默概率 越大, 未知者转变为传播者的概率就越大; 同时在给定抑制者的沉默概率 的情况下, 群中抑制者数量m 越大, 未知者转变为传播者的概率就越小.1−λλ3)群中的传播者也会受到抑制者评论的影响,从而对信息的真实性产生怀疑, 即每1个传播者以概率转换成抑制者, 以概率 保持不变.规则1)描述了信息在网络中的传播过程, 以及个体之间对信息的讨论过程. 规则2)和3)则描述微观层面上信息传播与个体观点的相互作用机理. 这3个规则是基于现实热点舆情案例的抽象,即传播者最初将信息转发朋友圈、微信群或微博,然后引发网友的关注、评论和讨论, 这些讨论和评论又会促使部分网友转发给更多的人, 从而引发更多的评论和传播[38]. 考虑现实中, 传播者对他所收到的信息总是在有限的时间内保持激活的状态, 即传播者通常不会在1个群中多次转发同一信息. 在该模型中, 假定每个传播者只能传播1次谣言. 当所有的个体不再传播谣言时, 系统达到稳定状态.通常来说未知者的数量在系统中是非常重要的[39],可以度量没有受到谣言传播和影响的个体数量. 本文用稳态传播者的比例或抑制者的比例来度量谣言传播的范围. 谣言传播示意图如图1所示.3 数值模拟结果与分析3.1 ER 随机网络γ=0.4图2(a)表示当 时, ER 网络上SIR 三种状态节点占比随时间的演化. 在谣言传播的早期, 研究发现传播者增加速度较快, 而抑制者却几乎没有增加. 这说明在谣言传播的前期, 谣言的传播处于一种较为自由的方式, 大量的未知者收到谣言后迅速转变为传播者. 由于此时传播者没有遇到抑制者, 抑制者的群体规模几乎保持不变. 到了谣言传播的后期, 传播者群体规模已经变得较为庞大, 其中一部分传播者遇到抑制者后会被转变为抑制者. 此时, 传播者的群体规模开始下降, 而抑制者群体规模开始突然上升, 同时未知者群体数量在抑制者和传播者的互相制衡下到达了稳定的状态.(a)(b)(c)(d)图 1 谣言传播示意图　(a) 网络有三种状态节点, S 状态、I 状态和R 状态, 图中蓝色圆圈表示其中1个传播者I 与其邻居所构成的群; (b), (c)传播者向在以自己为中心的群中传播信息; 在受到抑制者的影响的情况下, S 状态节点以一定概率转换成I 状态节点, I 状态节点以一定概率转换成R 状态节点; (d) 系统到达稳态, 传播停止Fig. 1. Schematic diagram of rumor propagation. (a) The network is composed of N nodes with three states S, I and R. The blue circle in the figure represents the group formed by one of the spreaders I and its neighbors. (b), (c) Spreaders spread the rumor to their self-centered groups. Influenced by the stiflers, S state node turns into I state node with a certain probability, and I state node turns into R state node with a certain probability. (d) The system reaches to a steady state and the spreading process ends.这一结果说明, 本文谣言传播模型所描述的动力学过程以传播者群体规模的峰值位置为界可以分为两个阶段, 第1个阶段为谣言自由传播的前期, 第2阶段为抑制者和传播者互相制衡的后期, 当第2阶段结束后系统到达稳态.γγγγc γc γ<γc γγγc γ<γc γγc γc γ<γc γ>γc 图2(b)给出了ER 随机网络上SIR 三种不同群体的个体的稳态规模随沉默概率 的变化. 可以发现, 抑制者数量与沉默概率 之间呈现出非单调的函数关系, 即随着 的不断增加, 抑制者的比例先增后减. 将抑制者比例的峰值位置记为 , 这是抑制者数量随g 的变化从增加到减少的转折点. 在所在的位置, 未知者的群体规模和传播者的群体规模也存在显著变化. 在参数 时, 未知者节点规模随着 值的增加呈现单调递减趋势, 在 趋近于 时, 已经接近零值; 传播者规模在参数 时, 一直处于非常低的水平, 在当 接近于 时,网络中的传播者节点数量迅速上升. 由此可以看出, 可以看成系统中谣言暴发的阈值, 当 时, 谣言可以较好地受到抑制者的控制而不能暴发;当 时, 抑制者将不能控制谣言的传播, 从而导致传播者的数量在系统中暴发式地增长.γγ图3给出了不同沉默概率下SIR 三种不同状态的节点数量随时间的演化情况. 可以看到, 在传播的前期, 由于传播者未遇到抑制者, 传播者在系统中以一种较为自由的方式增加, 网络中传播者在早期增长的趋势与 无关(见图3(b)), 同时未知者随时间的推进而减少的趋势也与参数 无关(见γγ=0.3γ=0.6γ=0.9图3(a)), 而抑制者在此时的规模也不会有显著的变化(见图3(c)). 但到了后期, 传播者会受到抑制者的影响, 沉默概率 越大, 稳态未知者的数量就越小, 传播者数量的峰值就越大, 后期减少的趋势就越缓, 抑制者开始增加的阈值就越大. 这一结果揭示了ER 网络上该模型谣言传播的动态特性, 在传播前期, 谣言具有自由传播的现象, 在当传播者的规模到达一定程度时, 抑制者才能感知到谣言并对谣言的传播产生干预和影响. 对于 和这两个特例, 由于沉默概率较低, 谣言被抑制者有力地控制住了, 传播者在稳态保持了较低的比例. 而对于 的情况, 抑制者由于不能控制谣言的传播, 传播者在稳态仍然有较高的比例.3.2 无标度网络γ=0.4γ在无标度网络上谣言传播的研究中, 首先生成1个满足幂率分布而且平均值为10的度序列,其中最小值为5, 最大值为60, 幂指数为–2.5, 然后采用配置模型来生成无标度网络. 图4(a) 给出了在 时无标度网络上三种状态的节点比例随时间的演化. 与ER 随机网络类似, 无标度网络中SIR 三种状态的节点比例具有类似的变化趋势, 传播者I 节点数量在不同 参数值下也出现了峰值现象. 相比于ER 随机网络, 传播者I 节点数量的峰值出现得较早, 这说明谣言在无标度网络中前期自由传播阶段持续时间较短. 这是因为无标度网络度分布的异质性较强, 传播者和抑制者都能够较快地1.00.80.60.40.211T 1062T 1063T 1064T 106三种不同类型节点比例0(a)未知者S 传播者I 抑制者R1.00.80.60.40.200.40.20.60.81.0三种不同类型节点比例0(b)未知者S 传播者I 抑制者Rγ=0.4γ图 2 (a) ER 网络上SIR 三种状态的节点比例随时间的演化图, 沉默概率 ; (b) ER 网络上稳态SIR 节点比例随 值的变化图, 图中曲线来自于网络规模为N = 1 × 106, 平均度为10 的ER 随机网络, 初始传播者和抑制者的比例均设为0.1%. 图(b) 中的数据来自于演化时间t = 4 × 106时的结果γγFig. 2. (a) Time evolution of the fractions of nodes with different states on ER network, where the silence probability is equal to 0.4; (b) the steady fractions of nodes with different states as a function of on ER networks. The curves in the figure come from the ER random network with a size N = 1 × 106 and an average degree of 10. The fractions of both the initial spreaders and the stiflers are set as 0.1%. The data in panel (b) are from the simulation results for t = 4 × 106.占据网络的中心节点, 在谣言未得到充分传播之前二者能够较快地发生相互作用, 从而使系统中大量的度值较小的节点不能较快地接触到信息. 因此,谣言更不容易在无标度网络中扩散, 表现谣言自由传播的前期持续时间较短, 同时网络中未知者的比例也较大(由图2(a)和图4(a)的比较可知). 这说明无标度网络度分布的异质性对于谣言的传播具有抑制作用.γγc 图4(b)为无标度网络中SIR 三种状态节点在不同的参数 下的比例曲线图. 相对于ER 随机网络, 抑制者节点数量的峰值所对应的阈值 较大(由图2(b)和图4(b)的比较可知). 这一结果再次证实了无标度网络度分布的异质性对谣言传播的抑制作用, 这一结果与文献[13]的结果一致. 图5展示了无标度网络中SIR 三种状态节点在不同的γ参数 的情况下随时间的演化, 这一结果与ER 网络的情况类似, 但是自由传播阶段持续时间较短(由图3(b)和图5(b)的比较可知), 再次证实了无标度网络度分布的异质性能够使抑制者较早干预传播者对谣言的传播, 这也证实了两个不同的谣言传播阶段的特性.3.3 真实网络的模拟结果为了了解真实社交网络拓扑如何影响传播动力学, 图6(a)和图6(b)给出了对Facebook 和Gow-alla 网络得到的网络样本数据的模拟结果. Face-book 数据提取于2017年11月, 其中22470个节点代表政治家、政府组织、电视节目和公司四类主体的页面, 171002边代表这些页面之间的相互关0.60.40.211T 1062T 1063T 1064T 106S 状态节点比例0.60.40.211T 1062T 1063T 1064T 106I 状态节点比例0.60.40.211T 1062T 1063T 1064T 106R 状态节点比例γ图 3 ER 网络上不同沉默概率 = 0.3, 0.6, 0.9下SIR 三种不同状态节点的比例随时间演化图　(a) S 态; (b) I 态; (c) R 态; 初始传播者和抑制者的比例均为0.1%, ER 网络的平均度为10γFig. 3. Time evolution of the fractions of nodes with different states on ER random networks with different silencing probability =0.3, 0.6 and 0.9: (a) State S; (b) state I; (c) state R. The initial fractions of spreaders and the stiflers are both 0.1%, and the aver-age degree of the ER network is 10.1.00.80.60.40.211T 1062T 1063T 1064T 106三种不同类型节点比例0(a)未知者S 传播者I 抑制者R 1.00.80.60.40.200.40.20.60.81.0三种不同类型节点比例0(b)未知者S 传播者I 抑制者Rγ=0.4γ图 4 (a)无标度网络上SIR 三种状态的节点比例随时间的演化图, 沉默概率 ; (b)无标度网络上稳态SIR 节点比例随 值的变化图, 图中曲线来自于网络规模为N = 1 × 106, 平均度为10的无标度网络, 初始传播者和抑制者的比例均为0.1%, 图(b)中的数据来自于演化时间t = 4 × 106时的结果γγFig. 4. (a) Time evolution of the fractions of nodes with different states on scale-free networks, where the silence probability is equal to 0.4; (b) the steady fractions of nodes with different states as a function of on scale-free network. The curves in the fig-ure come from the scale-free network with a network size of N = 1 × 106 and an average degree of 10. The fractions of both the ini-tial spreaders and the stiflers are set as 0.1%. The data in panel (b) are from the simulation results for t = 4 × 106.注. Gowalla 是1个区域性社交网络, 其中含有196591个用户, 950327条边代表这些用户之间的朋友关系. Facebook 网络和Gowalla 网络度分布如图6所示, 可以看出二者累积度分布的尾部非常接近于幂率分布.将这两种网络作为个体相互作用的结构来对本文模型进行数值模拟. 图7给出了两个网络上稳态三种不同节点的比例. 可以看出, 抑制者比例峰值出现的位置较大, 这与SF 网络的结构接近, 同时上述描述的抑制者数量的非单调现象依然存在.0.60.40.211T 1062T 1063T 1064T 106S 状态节点比例0.60.40.211T 1062T 1063T 1064T 106I 状态节点比例0.60.40.211T 1062T 1063T 1064T 106R 状态节点比例γ图 5 无标度网络上不同沉默概率 = 0.3, 0.6, 0.9下SIR 三种状态节点的比例随时间演化图　(a) S 态; (b) I 态; (c) R 态; 初始传播者和抑制者的比例均为0.1%, 网络平均度为10γFig. 5. Time evolution of the fractions of nodes with different states on scale-free networks with different silencing probability =0.3, 0.6 and 0.9: (a) State S; (b) state I; (c) state R. The initial fractions of spreaders and the stiflers are both 0.1%, and the aver-age degree of the scale-free network is 10.10101103(a)10210010-110-210-310-410-5Facebook10101104103(b)10210010-110-210-310-410-5Gowalla图 6 Facebook 网络(a)和Gowalla 网络(b)在双对数坐标下的累积度分布P (k )Fig. 6. Cumulative degree distribution of Facebook network (a) and Gowalla network (b) in logarithmic coordinates.1.00.80.60.40.200.20.40.60.81.0三种不同类型节点比例(a)未知者S 传播者I 抑制者R1.00.80.60.40.200.40.20.60.8 1.0三种不同类型节点比例(b)未知者S 传播者I 抑制者Rγ图 7 Facebook 网络(a)和Gowalla 网络(b)稳态SIR 三种节点比例随不同 值的变化; 在数值模拟中, 初始传播者和抑制者的比例均设为0.1%; 图(b) 中的数据来自于演化时间t = 4 × 106时的结果γFig. 7. Steady fraction of nodes with different states as functions of on Facebook network (a) and Gowalla network (b). In the numerical simulations, the initial fractions of spreaders and the stiflers are both 0.1%. The data in panel (b) are from the simula-tion results for t = 4 × 106.γc 这一结果表明, 在真实的网络上, 同样存在谣言暴发的阈值 , 通过控制模型抑制者的沉默概率可以避免系统中谣言的暴发.4 结果与讨论γγγc 为了更好地描述真实在线社交网络的谣言传播过程, 本文提出了一种新的基于个体意见的谣言传播模型. 与标准SIR 模型不同的是, 该模型考虑到了谣言传播和个体意见之间的交互作用. 传播者I 主导着系统中谣言扩散的动力学过程, 通过对谣言的传播来促使更多未知者S 相信并传播谣言;而抑制者R 通过对谣言的评论试图使人们不信谣言或者放弃传谣来对抗谣言的传播. 在模型中, 存在1个关键可调参数 控制着抑制者在收到谣言时的沉默概率. 首先, 研究发现在沉默概率阈值以下, 沉默概率的变化对传播范围的影响较小, 而当沉默概率超过阈值时, 谣言的传播范围将会暴发式增长. 抑制者节点数量与沉默概率存在非单调关系, 即随着 值的不断增加, 抑制者R 的节点比例先增后减, 存在峰值. 这一现象为定位谣言的暴发阈值提供了有用的信息. 其次, 我们发现整个谣言传播动力学过程存在两个关键阶段, 在前一个阶段, 谣言在网络中自由传播, 在后一个阶段, 抑制者和传播者互相制衡并达到稳态, 这两个阶段以传播者数量的峰值为分界线. 这一结果为理解网络上的谣言传播行为提供了有用的信息. 再次, 比较了无标度网络和ER 随机网络上的谣言传播动力学过程的不同特征. 对于无标度网络, 谣言暴发的阈值 大于ER 随机网络, 谣言传播的范围也小于ER 随机网络, 这说明无标度网络度分布的异质性对谣言的传播存在抑制作用: 由于度值较大的中心节点的存在, 使得传播者更容易占据中心节点, 促使抑制者较早地和传播者发生相互作用从而制约了传播者对谣言的传播. 最后, 在真实的Facebook 和Gowalla 社交网络中采用本文模型进行了数值试验. 仿真结果表明, 在真实社交网络中, 抑制者数量和沉默概率之间的非单调关系仍然存在. 这些结果为舆情防控提供了有力理论依据和启发. 因此, 如何引导人们抵制有害信息的影响, 营造良好的网络文化氛围是非常重要的. 根据本文研究, 可以得出: 减小抑制者的沉默概率可以有效地控制谣言的传播范围.考虑现实中也存在未知者在听到辟谣信息后直接转化成抑制者的可能, 我们也曾研究了模型规则2)的另一种情况, 即当未知者接收到辟谣消息后会以概率l = g m 转换成传播者, 以1－l 的概率转变为抑制者. 这一修改版本的模型与正文所介绍的模型在定性的结果上存在相似性. 但是, 本文研究工作对整个社交网络尚有不足之处, 如传播者只能传播1次谣言, 在考虑传播者能够多次传播信息的情况下, 结果又会如何？另外, 对于一些真实的社交网络, 参与讨论的人群是能够动态变化的,在这种情况下, 谣言又会以何种方式传播？这些问题以及模型的理论解析都值得今后进行进一步的思考与研究.参考文献S kvoretz J, Faust K, Fararo T J 1996 J. Math. Sociol. 21 57[1]W eng L L, Menczer F, Ahn Y Y 2013 Sci. Rep. 3 2522[2]L azer D M J, Baum M A, Benkler Y, et al. 2018 Science 3596380[3]C astellano C, Fortunato S, Loreto V 2009 Rev. Mod. Phys. 81591[4]M oreno Y, Nekovee M, Pachec A F 2004 Phys. Rev. E 69066130[5]Z anette D H 2002 Phys. Rev. E 65 041908[6]Y ang J, McAuley J, Leskovec J 2013 IEEE 13th InternationalConference on Data Mining Texas, USA, December 7–10,2013 p1151[7]M oreno Y, Gómez J B, Pacheco A F 2003 Phys. Rev. E 68035103[8]S hu P P, Gao L, Zhao P C, Wang W, Stanley H E 2017 Sci.Rep. 7 44669[9]G uilbeault D, Becker J, Centola D 2018 Complex SpreadingPhenomena in Social Systems (Berlin: Springer) pp3−25[10]D aley D J, Kendall D J 1964 Nature 204 1118[11]M aki D P, Thompson M 1973 Mathematical Models andApplications : With Emphasis on the Social , Life , and Management Sciences (New Jersey: Prentice-Hall) p492[12]K ermack W O, Mckendrick A G 1991 Bull. Mathemat. Biol.53 5787[13]L iu Z H, Lai Y C, Ye N 2003 Phys. Rev. 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复杂网络的动力学研究随着网络技术的日益发展，网络系统正变得愈加复杂。

网络中的节点和连接不仅数量庞大，而且还存在着各种不稳定和随机性，使得其行为表现出各种复杂特征。

复杂网络动力学研究就是对这些复杂网络系统进行研究和探索的学科。

一、复杂网络概述复杂网络是指由大量节点和连接组成的网络系统，其拓扑结构分布无序、随机，并且存在着较强的动态变化性和性能异质性。

复杂网络系统包括社交网络、交通网络和生物网络等。

在复杂网络中，每个节点代表一个实体，连接表示实体之间的关系。

复杂网络中的节点和连接数量可以是任意的，拓扑结构可以是随机的、规则的、分形的、层次的或具有自相似性的。

二、复杂网络动力学复杂网络动力学是研究复杂网络系统中的节点之间以及节点与连接之间的相互作用和大规模行为规律的学科。

在这个领域中，人们关注的是如何描述和预测网络中各个节点的运动、状态和发展趋势，以及分析网络中节点之间以及节点与连接之间的相互作用。

网络中的动力学模型通常包括节点动力学模型和连接动力学模型。

在节点动力学模型中，每个节点的状态和行为受到其邻居节点和外部输入的影响。

连接动力学模型描述了连接的动态演化和改变。

三、复杂网络动力学研究现状在复杂网络动力学研究领域中，人们尝试建立各种数学模型和理论，以分析和预测复杂网络的行为。

其中，著名的模型包括：1. 随机网络模型：基于随机化方法建立的复杂网络模型，包括随机图、随机网络等。

2. 小世界网络模型：模拟现实社交网络的经验法则建立的模型，包括沃茨-斯特罗格兹模型等。

3. 无标度网络模型：与生物网络的拓扑结构相似的复杂网络模型，包括巴拉巴西-阿尔伯特模型等。

此外，人们还研究了复杂网络系统的同步现象、群体行为、稳定性和控制策略等方面的问题。

在这些研究中，人们使用复杂网络动力学模型和数学方法，以及计算机仿真和实验研究等手段进行分析。

四、复杂网络动力学的应用复杂网络动力学已经被广泛应用于各个领域，包括社交网络、物理学、化学、生物学、交通运输和互联网等。

复杂网络的动力学特性及应用研究随着互联网的发展，人们之间的联系已经超越了地域和时间的限制。

然而，在这个物质流动非常便利的时代里，人们之间的信息流动似乎还有着很多瓶颈。

为了更好地了解网络中信息的流动规律，提高网络传播的效率，科学家们开始研究复杂网络的动力学特性和应用。

一、复杂网络的概念与特征复杂网络是由大量的节点和连接构成的网络结构，它在生物系统、社交系统、交通系统、通信系统等各个领域中都有广泛应用。

复杂网络的性质因应用场景而异，但它们都有以下三个基本特征：复杂度、自组织性和小世界性。

1. 复杂度复杂网络中的节点数目非常大，且它们之间的联系非常复杂，数据的传输和处理都需要高度的复杂性和优化策略。

例如，互联网就是一个全球性的复杂网络，它的节点数目可能达到数十亿，而且这些节点之间存在着极为复杂的联系和交互。

2. 自组织性复杂网络中的每一个节点都有着自己的行为规律，但是它们之间的联系却是非常自然地形成的，而这种联系通常有自己的优化机制，使得网络的结构很好地适应了不同应用场景。

例如，社交网络中的“朋友圈”就是通过节点间的自发联系而形成的，它不需要特别的设计或规划。

3. 小世界性复杂网络中的节点之间的联系非常复杂，但是他们之间的距离也非常短。

也就是说，一个任何两个随机节点之间的路径长度是非常短的，甚至只需要经过少量的中间节点就能够到达。

例如，六度分隔理论就是基于这一特性而提出的。

二、复杂网络的动力学模型在复杂网络中，节点的状态和节点之间的连接关系都会不断地变化，因此必须建立动力学模型来描述网络的发展规律。

其中著名的动力学模型有ER模型和BA模型。

1. ER模型ER模型是最早的随机网络模型，它是由Erdős和Rényi在1959年提出的。

该模型假设节点之间是随机互联的，每个节点间的连边是等概率的。

这种简单模型可以用来产生随机网络，但是它缺乏现实的应用背景。

2. BA模型BA模型是由Barabási和Albert在1999年提出的，它放弃了ER模型的随机互联假设，而提出了“富人愈富”的思想。

复杂网络结构及动力学模型研究与应用概述：复杂网络结构及动力学模型是计算机科学与应用数学领域中的重要研究方向，近年来受到广泛关注。

本文将介绍复杂网络的基本概念、典型结构以及常用的动力学模型，并重点探讨其在现实生活中的应用。

一、复杂网络的概念与特征复杂网络是由大量节点和连接节点的边所构成的网络结构，它具有以下几个重要特征：1. 尺度无关性：复杂网络的节点度数分布呈幂律分布，即存在少量节点具有极高的连接度。

2. 小世界性：任意两个节点之间的平均最短路径长度较短，网络具有快速的信息传播能力。

3. 聚类特性：网络中的节点倾向于形成聚类，即存在多个密集连接的子群。

二、复杂网络的典型结构1. 随机网络：节点之间的连接随机分布，节点度数呈高斯分布。

2. 规则网络：节点之间的连接按照固定的规则形成，例如正方形晶格、环形结构等。

3. 无标度网络：节点度数分布呈幂律分布，少数节点具有极高的度数。

三、常用的动力学模型1. 随机游走模型：节点按照一定概率随机地选择与之相连的节点进行信息传递。

2. 光波传播模型：模拟信息在复杂网络中的传播过程，节点之间的边具有传播概率，节点接收到信息后可能以一定的概率继续传播。

3. 病毒传播模型：模拟疾病在人群中的传播过程，节点之间的边表示人与人之间的接触关系，节点可能具有感染病毒的概率，疾病传播具有阈值效应。

四、复杂网络在现实生活中的应用1. 社交网络分析：借助复杂网络理论，可以研究社交网络中的信息传播、群体行为等。

例如，利用动力学模型可以预测疾病在社交网络中的传播趋势，从而制定有效的防控策略。

2. 物流网络优化：将物流系统中的节点与边抽象为复杂网络结构，可以利用复杂网络模型优化物流运输路径以及货物分配策略，提高物流效率。

3. 金融风险管理：通过构建金融网络模型，可以研究金融系统中的风险传播和系统性风险。

借助动力学模型，可以模拟金融市场的波动、投资者行为以及系统性风险的爆发。

五、研究挑战与展望复杂网络与动力学模型的研究仍面临一些挑战，例如难以准确地刻画真实系统中的复杂网络特征，设计适用于不同领域的动力学模型等。

几类复杂网络传播动力学的研究复杂网络传播动力学的研究是研究在复杂网络中信息、疾病、观念等现象的传播过程和规律的学科。

在复杂网络中传播动力学的研究已经成为重要的交叉学科。

以下是几类复杂网络传播动力学的研究。

1.信息传播动力学：信息传播动力学是研究在复杂网络中信息的传播过程和规律的学科。

信息传播模型是研究的重点之一、例如，研究病毒式传播模型，模拟信息在网络中的传播路径，分析信息传播速度和范围，研究信息传播的影响因素。

另一个研究方向是研究信息传播的影响力，包括研究哪些节点对信息传播有较大的影响力，以及如何选择种子节点来优化信息传播效果。

2.疾病传播动力学：疾病传播动力学是研究在复杂网络中疾病的传播过程和规律的学科。

在这个领域，研究者主要关注传染病传播模型。

例如，研究SIS模型（易感者-感染者-易感者），通过建立数学模型和仿真实验来研究传染病的传播速度和规模，以及如何控制传染病的传播。

此外，疾病传播动力学还研究了网络结构对疾病传播的影响，如何通过调整网络结构来控制疾病传播等问题。

3.观念传播动力学：观念传播动力学是研究在复杂网络中观念的传播过程和规律的学科。

观念可以包括政治观点、文化观念、舆论等。

观念传播动力学研究的一个重要问题是如何模拟观念在网络中的传播过程。

在此基础上，研究者可以通过仿真实验和数学模型研究观念的传播速度和范围，研究网络结构对观念传播的影响等问题。

观念传播动力学的研究对于理解公共舆论形成和影响具有重要意义。

4.传播思维网络的动力学：传播思维网络的动力学是研究在复杂网络中思维的传播过程和规律的学科。

传播思维网络的研究主要关注信息、疾病、观念等传播过程中的个体心理状态和行为变化。

通过建立数学模型和仿真实验，研究者可以研究思维的传播速度和规模，研究网络结构对思维传播的影响等问题。

传播思维网络的研究对于理解人类行为和决策过程具有重要意义。

总之，复杂网络传播动力学的研究包括信息传播动力学、疾病传播动力学、观念传播动力学和传播思维网络动力学等多个方向。

复杂网络结构与信息传播动力学复杂网络结构和信息传播动力学是关于网络中信息传播的重要主题，它们在诸多领域中都有广泛的应用，特别是在社交媒体、病毒传播和市场营销等方面。

本文将回答以下几个问题：什么是复杂网络结构？复杂网络结构与信息传播动力学有什么关系？复杂网络结构如何影响信息传播动力学？一、复杂网络结构是指由节点和边构成的网络结构。

节点代表网络中的个体，例如个人、公司或者网站等；边代表节点之间的连接关系，例如社交关系、传输通道或者合作关系等。

复杂网络结构可以用图论来描述，其中节点是图中的顶点，边是图中的边。

复杂网络通常具有以下特点：拓扑结构复杂、节点之间的连接方式多样、网络中节点的度分布具有幂律特性等。

常见的复杂网络模型有随机网络模型、小世界网络模型和无标度网络模型等。

二、复杂网络结构与信息传播动力学之间存在密切的关系。

信息传播动力学研究的是在网络中信息如何传播的过程，包括信息在网络中的传播路径、传播速度、传播规模等。

而网络的拓扑结构是影响信息传播的重要因素之一。

不同的网络拓扑结构会导致信息传播的速度、范围和影响力不同。

例如，在随机网络中，信息传播的速度较慢，范围较小，因为网络中存在较多的短程连接和随机连接；而在无标度网络中，少数节点具有较高的度，这些节点成为信息传播的重要枢纽，使得信息能够迅速传播到整个网络。

三、复杂网络结构对信息传播动力学的影响主要体现在以下几个方面。

1. 信息传播速度：网络的拓扑结构会影响信息在网络中的传播路径。

在小世界网络中，节点之间具有较短的平均路径长度，信息传播速度较快；而在无标度网络中，由于少数节点具有较高的度，信息可以通过这些节点迅速传播，传播速度也较快。

相比之下，在随机网络中，信息传播速度较慢。

2. 信息传播范围：网络的拓扑结构也会影响信息在网络中的传播范围。

在无标度网络中，少数高度连接的节点可以将信息迅速传播到整个网络，使得信息传播范围较广；而在随机网络中，由于节点之间的连接是随机的，信息传播范围较小。