矩形波导 PPT

若电磁场的振荡频率ω足够小，以致于 k2 kx2 ky2
，则 k z 是纯虚数，显然由因子 ei(kzzt) 看到，这不再
是行波，而是场随着z的增加而指数衰减，所以此时电 磁场不能在该波导内以TEmn或TMmn波型传播。
我们把 k2 kx2 ky2 ，即 kz 0 称为临界状态
(Critical state)，由 k z 式子得到临界频率 c.mn 称为截
因为波导中电磁波是沿管的轴向，即沿z轴方向 传播，因而电场强度为
E ( x ,t) E 0 ( x ,y ) e i( k z z t)
将此式代入亥姆霍兹方程，得到：
1-8
2xE 20 2 yE 20(k2kz2)E 00 设u ( x , y )为电磁场的任一直角分量，它满足上 式
Ez
B1kx B1ky ikz
sinkxxsinky yei(kzzt)
波导中的磁场 H ，也应该具有电场E的形式，即
H (x t) H 0 (x y ) e i(k z z t)
1-20
根据 。且有
E B H iH
t t
E ix
j
y
kzi (HxiHyjHzk)
Ex Ey Ez
只有
，才能满足，即得
B 0
E z(A sikn xx)C (sikn yyD co kyy s)ei(kzz t) (A 1 sikn yyB 1 co kyy s)sikn xxi(e kzz t)
这里 A 1 A C ,B 1 A D .
f ) 当 y=0时， Ez 0 ，即
1-16
E zB 1 sikx n xi(k e zz t)0
Hz
i B1ky
B1kx

3-2 矩形波导
3
1 矩形波导中的传输模式
波导管作为定向导引电磁波传输的机构，是微波传输 线的一种典型类型。
虽然电磁波在波导中的传播特性仍然符合传输线的普 遍性概念和规律，但是深入研究导行电磁波在波导中的 存在模式及条件、横向分布规律等问题，则必须从场的 角度根据电磁场基本方程来分析研究。
导行电磁波的传输形态受导体或介质边界条件的约束， 边界条件和边界形状决定了导行电磁波的电磁场分布规 律、存在条件及传播特性。常用金属波导有矩形截面和 圆截面两种基本类型。
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1 矩形波导中的传输模式——场方程的求解
④由场的纵向分量求横向分量
在求解出场的纵向分量 E和z H后 z ，可由第一、第二方程找出各
横向分量与纵向分量的关系，从而求得横向分量。由
H jE
E jH
H
z
y
H y z
jE x
H
z H
x y
x
H z x H x
y
jE y jE z
关于正弦时变矢量函数E 和H的波动方程，或称赫姆
霍兹（Helmholtz）方程。
电磁场、微波技术与天线
3-2 矩形波导
7
1 矩形波导中的传输模式——场方程的求解
③标量波动方程及其分离变量法求解
把矢量波动方程在直角坐标系中展开来写，即
ax (2E x k 2E x ) a y (2E y k 2E y ) az (2E z k 2E z ) 0
有 因e子j；t 它们沿波导轴线方向应是传输波，在不考虑波衰减
的情况下，解式中应含有 因子e； j它z 们在波导横向分布规律可
设为 和 。 X (x) Y ( y)
电磁场、微波技术与天线

（3）
∂H z + j β H y = jωε 0 n 2 Ex ∂y ∂H z − jβ H x − = jωε 0 n 2 E y ∂x ∂H y ∂Hx − = jωε 0 n 2 Ez ∂x ∂y
∂ = 0 ，把这个关系代 ∂y
（4）
假设电磁场在y方向上不随坐标y变化，即
入方程（3）（4），就可以得到电磁场的两种模式：TE模和TM模 TE模 模
TM模：把磁场垂直于光的传输方 向（也就是z轴），这种电磁场分 布称为横磁模
波动 方程
+ (k 2n 2 − β 2 ) E y = 0
TE模：把电场垂直于光的传输 方向（也就是z轴），这种电磁 场分布称为横电模
2
TE模的色散方程 模的色散方程
x = ±a
κ = k 2 n 2 − β 2 1 其中 2 σ = β 2 − k 2 n0 ξ = β 2 − k 2 ns2
Acos(k x −φ)cos(k y −ψ ) x y −γ x ( x−a) Hy = Acos(kxa −φ)e cos(ky y −ψ ) −γ y ( y−d ) cos(ky d −ψ ) Acos(kx x −φ)e
2 -k x2 -k y + k 2 n12 − β 2 = 0 k x、k y、 2 2 2 -γ x -k y + k 2 n0 − β 2 = 0 γ x、γ y 2 2 2 的关系 -k x + γ y + k 2 n0 − β 2 = 0
（1 ）
% ∂H % ∇ × E = -µ 0 ∂ t （2），得到电 把它代入麦克斯韦方程： % 磁场的分量方程： 2 ∂E % ∇ × H =ε 0n ∂t

x 2
2Ex y 2
nx2k02 n2yk02 n12k02 2
Ex 0
nx2
n32 n12
n52
xa a xa x a
n2y nn1222 n42
yb b y b y b
差别仅存在于4个阴影角区域，而在马卡梯里近似下， 角区是忽略不计的。
马卡梯里近似解法
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➢ 采用分离变量法，假设 Ex x, y X xY y ，代入上
Hx
1
i0
Ez y
1
i0
y
1
i
Ex x
1
0
2Ex xy
Hy

2Ex
2Ex x 2
Hz
1
i0
E x y
Ez
1
i
E x x
马卡梯里近似解法
11
Hy
1
0
2Ex
2Ex x2
Hz
1
i0
E x y
代入下面的方程
H z y
i
Hy
i Ex
整理后得到
E
x mn
得到
r E 0
➢ 考虑 E y 0 ，得到
x
r
Ex
z
r
Ez
0
➢ 考虑波导折射率沿z方向不变，且 i ，得到
z
x
r Ex
ir Ez
0
即
Ez
1
ir
x
r
E
x
1
i
r
r
x
Ex
1
i
E x x
1
i
E x x
马卡梯里近似解法
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➢ 电、磁场分量 H x、H y 、Hz 、Ez 与电场分量Ex的关系