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不等式整章复习课件

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2025届高中数学一轮复习课件《一元二次不等式的解法》ppt

2025届高中数学一轮复习课件《一元二次不等式的解法》ppt

高考一轮总复习•数学
第27页
对点练 3 解关于 x 的不等式 x2－ax＋1≤0.
解：由题意知，Δ＝a2－4.
①当 a2－4＞0，即 a＞2 或 a＜－2 时，方程 x2－ax＋1＝0 的两根为 x＝a± a22－4，∴
原不等式的解集为x a－
2a2－4≤x≤a＋
a2－4 2
.
②若 Δ＝a2－4＝0，则 a＝±2.
高考一轮总复习•数学
第16页
解：(1)原不等式可化为 3x2＋2x－8≤0，即(3x－4)(x＋2)≤0，解得－2≤x≤43，
所以原不等式的解集为x－2≤x≤43
.
(2)原不等式等价于xx22－－xx－－22＞≤04， ⇔xx22－－xx－－26＞≤00， ⇔xx－－23xx＋＋12＞≤00， ⇔
逆向思维，－1,2 是方程 ax2＋bx＋c＝0 的两根．
b(x－1)＋c＞2ax 的解集是( )
A．{x|0＜x＜3}
B．{x|x＜0 或 x＞3}
C．{x|1＜x＜3}
D．{x|－1＜x＜3}
高考一轮总复习•数学
第30页
解析：由 a(x2＋1)＋b(x－1)＋c＞2ax，得 ax2＋(b－2a)x＋(a＋c－b)＞0. ①
高考一轮总复习•数学
第1页
第二章 不等式
第3讲 二次函数与一元二次不等式 第2课时 一元二次不等式的解法
高考一轮总复习•数学
第2页
复习要点 1.通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的 联系.2.会解一元二次不等式和分式不等式.3.了解较简单的不等式恒成立问题的解法．
高考一轮总复习•数学
当 a＞1 时，不等式的解集为x1a＜x＜1

高考数学一轮复习第6章不等式6.3基本不等式课件理

高考数学一轮复习第6章不等式6.3基本不等式课件理

第二十七页，共61页。
2．(2018·广西三市调研)已知 m，n 为正实数，向量 a ＝(m,1)，b＝(1－n,1)，若 a∥b，则m1 ＋2n的最小值为_3_＋__2__2__．
第二十八页，共61页。
解析 ∵a∥b，∴m－(1－n)＝0，即 m＋n＝1，又 m，
n
为
正
实
数
，
∴
1 m
＋
2 n
＝
＝fa＋2 b，Q＝f(
ab)，R＝f
a2＋2 b2，则(
)
A．P＜Q＜R B．P＜R＜Q
C．R＜Q＜P D．R＜P＜Q
用导数法．
第三十页，共61页。
解析 f′(x)＝x＋1 1－1＝x－＋x1(x＞－1)，由 f′(x)>0 解 得－1<x<0，由 f′(x)<0 解得 x>0，所以 f(x)在(－1,0)上单调 递增，在(0，＋∞)上单调递减．
∴存在 m＝± 3使得△ABF1 的面积最大．
第四十页，共61页。
方法技巧 基本不等式的综合运用常见题型及求解策略
1．应用基本不等式判断不等式的成立性或比较大小， 有时也与其他知识进行综合命题，如角度 1 典例，结合函数 的单调性进行大小的比较．
根据题意得出三角形面积表达式，求最 值时，用基本不等式法．
第三十六页，共61页。
解 (1)易知直线 l：x＝my＋2 与 x 轴的交点坐标为 (2,0)，∴椭圆 C：ax22＋y2＝1(a>0)的一个焦点坐标为(2,0)，
∴c＝2，∴a2＝c2＋1＝4＋1＝5. 故椭圆 C 的方程为x52＋y2＝1. (2)存在． 将 x＝my＋2 代入x52＋y2＝1 并整理得(m2＋5)y2＋4my－ 1＝0， Δ＝(4m)2－4(m2＋5)×(－1)＝20m2＋20>0，

2.1等式性质与不等式性质课件(人教版)

2.1等式性质与不等式性质课件(人教版)

综上所述，当a＝b时，a3＋b3＝a2b＋ab2；
当a≠b时，a3＋b3>a2b＋ab2.
④下结论
方法归纳
反思感悟
单调性）
作差法比较两个实数大小的基本步骤（后续证明函数的
新知探究
D
C
F
G
E
a
b
H
A
B
追问1：如果直角三角形的两条直角边边长分别为，b (a≠b)，你能
将发现的不等关系用不等式表示吗？
范围，再去求其他不等式的范围.
课堂练习
已知-1≤x＋y≤4，2≤x-y≤3，则z=2x-3y的取值范围是_____________.
课堂小结
等式性质与不等式性质(2)
实际问题、
几何问题
不等
关系
数学抽象
不等式
不等式
性质
两个实数大小
关系的基本事
实（作差法）
性质的应用
判断命题的真假
基本不等式
D
G
正方形
4个直角三角
大于
ABCD的面积
形的面积和
1
2
2
＞
+
4 ×
2
A
H
F
a
2 + 2
C
E
b
B
≠
追问2：如果直角三角形的两条直角边边长相等( = )，不等式
D
2 + 2＞2还成立吗？
2 + 2
=
2GΒιβλιοθήκη AHFE
B
C
新知讲授
追问3：∀， ∈ R，2 + 2 ≥ 2,这个猜想成立吗？请证明.
关系的基本事
实（作差法）

不等式的性质基本不等式课件高三数学一轮复习

不等式的性质基本不等式课件高三数学一轮复习
常用变形 ab≤(a＋4b)2≤a2＋2 b2
举题说法
不等式的性质
1 (1) (多选)已知a，b，c满足c＜a＜b，且ac＜0，那么下列各式一
定成立的是
( BCD
)
A．ac(a－c)＞0
B．c(b－a)＜0
【解C析．】c因b2为＜aa，b2b，c满足c＜a＜b，且Dac．＜a0b，＞所a以c c＜0，a＞0，b＞0，a－c＞0，b
3．已知 x＞1，则 x＋x－1 1的最小值为 ( C )
A．1 C．3
B．2 D．4
【解析】因为 x＞1，所以 x－1＞0，所以 x＋x－1 1＝(x－1)＋x－1 1＋1≥2 (x－1)·x－1 1 ＋1＝3，当且仅当 x－1＝x－1 1，即 x＝2(x＝0 舍去)时等号成立，此时 x＋x－1 1取最小 值 3.
4．(多选)下列说法正确的是
()
A．若
x＜1，则函数 2
y＝2x＋2x1－1的最小值为－1
B．若实数 a，b，c 满足 a＞0，b＞0，c＞0，且 a＋b＋c＝2，则a＋4 1＋b＋1 c的最小值
是3
C．若实数 a，b 满足 a＞0，b＞0，且 2a＋b＋ab＝6，则 2a＋b 的最大值是 4
D．若实数 a，b 满足 a＞0，b＞0，且 a＋b＝2，则a＋a21＋b＋b21的最小值是 1
【解析】设 2α－β＝m(α＋β)＋n(αห้องสมุดไป่ตู้β)，则mm＋ －nn＝ ＝2－，1， 解得mn＝＝3212，，
所以 2α－β
＝12(α＋β)＋32(α－β).
因为 π＜α＋β＜54π，－π＜α－β＜－π3，所以π2＜12(α＋β)＜58π，－32π＜32(α－β)＜－π2，所
以－π＜12(α＋β)＋32(α－β)＜π8，即－π＜2α－β＜π8，所以 2α－β 的取值范围是－π，π8.

高三数学高考第一轮复习课件：不等式

高三数学高考第一轮复习课件：不等式
４．构造函数，进而通过导数来证明不等式或解决不等 式恒成立的问题是高考热点问题．
第六单元 │ 使用建议
使用建议
１．本单元内容理论性强，知识覆盖面广，因此教学中 应注意：
（１）复习不等式的性质时，要克服“想当然”和“显 然成立”的思维定式，一定使要用注建议意不等式成立的条件，强化 或者弱化了条件都有可能得出错误的结论．
第34讲 │ 编读互动 编读互动
第34讲 │ 知识要点 知识要点
第34讲 │ 知识要点
第34讲 │ 知识要点
第34讲 │ 双基固化 双基固化
第34讲 │ 双基固化
第34讲 │ 双基固化
第34讲 │ 双基固化
第34讲 │ 双基固化
第34讲 │ 双基固化
第34讲 │ 双基固化
第34讲 │ 双基固化
（１）理解不等式的性质及其证明． （２）掌握两个（不扩展到三个）正数的算术平均数不小于 它们的几何平均数的定理，并会简单的应用． （３）掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式． （４）掌握简单不等式的解法． （５）理解不等式｜ａ｜－｜ｂ｜≤｜ａ＋ｂ｜≤｜ａ｜＋｜ ｂ｜．
第六单元 │ 复习策略
复习策略
不等式
目录
第34讲 不等式的概念与性质 第35讲 均值不等式 第36讲 不等式的解法 第37讲 不等式的证明 第38讲 含绝对值的不等式
第六单元 不等式
第六单元 │ 知识框架 知识框架
第六单元 │ 考点解读 考点解读
不等式、不等式的基本性质、不等式的证明、不等式的 解法、含绝对值的不等式．
第六单元 │ 考点解读
第35讲 │ 双基固化
第35讲 │ 双基固化
第35讲 │ 双基固化
第35讲 │ 双基固化

人教版七年级下册数学第9章 不等式与不等式组全章课件

人教版七年级下册数学第9章 不等式与不等式组全章课件
10天的工作量 < 500件
（2）“提前完成任务”是什么意思？
10天的工作量 ≥ 500件
（三）深入探究,阶段小结
解：每个小组每天生产x件产品，
依题意得： 3×10x<500, ① 3×10(x+1)>500. ②
①式解得：x
<
16
2 3
②式解得：x
>15
2 3
∴不等式组的解集为
15
2 3
<x
< 16
问题3：
从刚才的练习中你发现了什么？请你把你的发现和合作小组的同学 交流．
⑴ 5＞3， 5+2 ＞ 3+2， 5-2 ＞ 3-2； ⑵ -1＜3， -1+2 ＜ 3+2，-1-3＜ 3-3； ⑶ 6＜2， 6×5 ＜ 2×5，
6×（-5） ＞2×（-5）； ⑷ -2＜3， （-2）×6 ＜ 3×6，
依题意得：40x≤2400 且 40x≥2000
（二）概念认识
c>10－3 且 c<10+3
c >10－3 c <10+3
一元一次 不等式组
40x≤2400 且 40x≥2000
40x≤2400
【问题3】
40x≥2000
请大家判断一下，下列式子是一元一次不等式
组吗？一元一次不等式组有什么特点？
x － 3 >0
23 从图中可以找到两个不等式解集的公共部分， 得不等式组的解集是: x >3
（五）练习巩固
【问题 7】完成课本 140 页练习 1.
（六）课堂小结
【问题 8】本节课你学到了哪些知识？
第九章 不等式与不等式组

人教高中数学必修一B版《不等式》等式与不等式说课复习(不等式及其性质)


课件
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已知－1<x<4，2<y<3.
(1)求 x－y 的取值范围；
(2)求 3x＋2y 的取值范围．
【解】 (1)因为－1<x<4，2<y<3，所以－3<－y<－2，所以
－4<x－y<2.
(2)由－1<x<4，2<y<3，得－3<3x<12，4<2y<6，所以 1<3x＋2y<18.
栏目 导引
第二章 等式与不等式
■名师点拨
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(1)推论 1 表明，不等式中的任意一项都可以把它的符号变成相
反的符号后，从不等式的一边移到另一边．
(2)推论 2 表明，两个同向不等式的两边分别相加，所得到的不
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________．
解析：M－N＝x2＋x－4x＋2＝x2－3x＋2＝(x－1)(x－2)， 又因为 x<1，所以 x－1<0，x－2<0，所以(x－1)(x－2)>0，所 以 M >N.

湘教版数学八年级上册第4章《一元一次不等式(组)单元复习课》课件

+1<
A.0
B.-1
C.1
10.(2023·遂宁中考)若关于x的不等式组
D.2 023
4( − 1) > 3 − 1
的解集为x>3,则a的
5 > 3 + 2
取值范围是( D )
A.a>3
B.a<3
C.a≥3
D.a≤3
7 − 14 ≤ 0①,
11.(1)(2023·湘潭中考)解不等式组
方案1:租用5辆B种客车,20辆A种客车;
方案2:租用6辆B种客车,19辆A种客车;
方案3:租用7辆B种客车,18辆A种客车;
(3)在(2)的条件下,若A种客车租金为每辆220元,B种客车租金每辆300元,应该怎
最小整数解.
【解析】由①得:x<1,由②得:x≥-2,
∴不等式组的解集为:-2≤x<1,
∴该不等式组的最小整数解为x=-2.
− 3( − 2) > 4①
2−1
3
≥
3+2
6
− 1②
,并写出该不等式组的
考点4一元一次不等式(组)的应用
12.(2023·邵阳中考)低碳生活已是如今社会的一种潮流形式,人们的环保观念也
其解集在数轴上表示如图:
−1 −3
(2)(2022·宜昌中考)解不等式 ≥ +1,并在数轴上表示解集.
3
2
【解析】去分母得:2(x-1)≥3(x-3)+6,
去括号得:2x-2≥3x-9+6,
移项得:2x-3x≥-9+6+2,
合并同类项得:-x≥-1,
系数化为1得:x≤1.
表示如图.

八年级数学上册-第3章 一元一次不等式 复习课件-浙教版

第3章 一元一次不等式 复习课件
不等式的性质
不 等 式
1.加减不改变 2.乘除正不变 3.乘除负改变 4.对称性 5.同向传递性
一元一次 不等式
解一元一次不等式 解一元一次不等式组
在数轴上表示 不等式的解
根据下列数量关系列不等式：
⑴a不是正数。
a0
⑵x与y的一半的差大于-3。
x 1 y 3 2
（ 4 a<6 ）
4.若不等式2x+k<5-x没有正数解则k的范围是（ K 5 ）
5.同时满足-3x大于或等于0与4x+7>0的整数是（ 0 ，-）1
6.不等式（a-1）x<a-1的解集为x>1则a的范围是（ a<1 ）
7.不等式组 6x-1>3x-4 的整数解为（ 0，1 ） -1/3≤x 2/3
5
2
并把它的解集表示的数轴上。
x
20 3
其解集在数轴上表示如右图
4.解不等式 y 1 y 1 y 1 32 6
并把它的解集在数轴上表示出来。
2( y 1) 3( y 1) y 1 y 3
解集在数轴上表示如右图
一元一次不等式组的解集及记忆方法
图形
数学语言
文字记忆
ba ba ba ba
a
X＞a
条件是__m__＜___5____。
5.已知不等式3x-m≤0有4个正整数解，则m的取值范
围是_1_2__≤_m__≤_1_5_。
x＞a+2
6.若不等式组
无解，
x＜3a-2
则a的取值范围是____a_≤_2__。 7.若(a 2)xa23 8 2a是关于x的一元一次不等式则a的
值____-_2_____。

不等式及其性质(课件)-2024届《创新设计》高考数学一轮复习(湘教版)


综上，p≤q.

索引
(2)eπ·πe与ee·ππ的大小关系为__e_π·_π_e_＜__e_e·_π_π_. 解析 eeπe··πππe＝πeππ－－ee＝πeπ－e， 又 0＜πe＜1，0＜π－e＜1， 所以πe π－e＜1， 即eeπe··πππe＜1， 即 eπ·πe＜ee·ππ.
索引
感悟提升
因为 a＞b＞0＞c，所以 b－a＜0，a－c＞0，所以ba－ －cc＞ab，正确；
对于 C，因为 c＜0，所以 y＝xc 单调递减，又 a＞b，所以 ac＜bc，错误；
对于 D，a－c＝a＋(－c)≥2 －ac＞2 －bc，正确.
索引
感悟提升
解决此类题目常用的三种方法： (1)直接利用不等式的性质逐个验证，要特别注意前提条件； (2)利用特殊值排除法； (3)利用函数的单调性，当直接利用不等式的性质不能比较大小时，可以利用 指数、对数、幂函数等函数的单调性进行判断.
知识梳理
1.两个实数比较大小的方法 a－b>0⇔a > b，
(1)作差法a－b＝0⇔a = b， a－b<0⇔a < b. ba>1（a∈R，b>0）⇔a > b（a∈R，b>0），
(2)作商法ab＝1⇔a = b（a，b≠0）， ba<1（a∈R，b>0）⇔a < b（a∈R，b>0）.
索引
2.不等式的性质 (1)对称性：a＞b⇔b＜a； (2)传递性：a＞b，b＞c⇒a＞c； (3)同向可加性：a＞b⇔a＋c__＞__b＋c；a＞b，c＞d⇒a＋c__＞__b＋d； (4)可乘性：a＞b，c＞0⇒ac_＞___bc；a＞b，c＜0⇒ac＜bc；a＞b＞0，c＞d＞ 0⇒ac__＞__bd； (5)可乘方性：a＞b＞0⇒an_＞___bn(n∈N，n≥1)； (6)可开方性：a＞b＞0⇒n a ＞ n b(n∈N，n≥2).
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a＞b， c 0 ，那么ac＜bc ④、a＞b＞0， c d 0 那么，ac＞bd ⑤、a＞b＞0 那么 n a n b（条件n N, n 2） ⑥、|a|－|b|≤|a＋b|≤|a|＋|b|
这些性质是推导不等式其他性质的基础，也是证明不等式的依据。
基本性质练习
1、对于实数a,b,c，判断下列命题的真假
①c－b＞c－a，那么b＞a
（× ）
②a＞b＞0，则 1 1 ab
（× ）
③a＞b，则ac＞bc ④ac2＞bc2，则a＞b
（× ） （ √）
⑤a＞b， 1 1 ab
则a＞0，b＜0 （ √）
⑥a＜b＜0，则|a|＞|b|
（ √）
2、判断下列命题是否正确:
(1) a b,c b a c ( × ) (6) a 2 b2 a b (× )
不 等 式 复 习(一）
2019年5月21日星期二 03:53:23
《不等式》知识结构
均值不等式
不
实 数与
不
的大
等
不 等
等
运小
式
不等式证明
式
式
算顺 性序 质
性 质
应 用
不等式解法
两实数比较大小
2019年5月21日星期二 03:53:23
作差比较法的步骤：作差——变形（化简）——判断 （差值 与0的大小）——得出结论
(2) a b c a c b (√ ) (3) a b a2 b2 (√ )
(7) a b a2 b2 (× )
(8) a b ac2 bc2 ( ×)
(4) a b a2 b2 ( ×) (9) a b,c d ac bd ( ×)
a=b
不等式的基本性质： ①对称性： a>b ②传递性： a>b,b>c ③可加性： a>b ④加法法则： a>b,c>d ⑤可乘性： a>b,c>0
a>b,c<0
b<a; a>c;
a+c>b+c; a+c>b+d; ac>bc; ac<bc;
2019年5月21日星期二 03:53:23
⑥乘法法则：a>b>0,c>d>0 ⑦倒数法则：a>b,ab>0 ⑧乘方法则：a>b>0 ⑨开方法则：a>b>0
2019年5月21日星期二 03:53:23
⑩绝对值不等式的性质：
(1)|x|<a (2)|x|>a
-a<x<a. (a>0); x>a或x<-a. (a>0)
(3)|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|
a （4）绝对值的定义 | a | 0
a
(当a 0时) (当a 0时) (当a 0时)

12 x

3x

2
12 3x 12 x
二定
当且仅当 12 3x即x 2 时取等号,
即当x=2时x函数的最小值为12.
三相等
利用均值不等式求函数最值的步骤:
典型错解举例：
一正,二定,三相等
5 例1、求函数 f (x) 2 log2 x log2 x (0 x 1)
(5) a b a b ( √ )
c2 c2
(10)
a

b

0, c

d

0

a c

b d
( ×)
3、已知 2 a b 3,2 c 0, 求 c(a b) 的取值范
围.
复习二：
1. 基本不等式,均值不等式:
①a,b∈R,a2 +b2≥2ab
(当且仅当a=b时取“=”号)
比较法
作差比较法
不等式的证明
综合法 分析法
不 等
其他证明方法
式
一元一次和一元
不等式的解法 二次不等式
作商比较法 反证法 换元法 放缩法
分式不等式 指数和对数不等式
不等式的应用
求最值 解实际应用题
2019年5月21日星期二 03:53:23
实数的运算性质：a-b>0 a>b
a-b<0
a<b
a-b=0
一正,二定,三相等
利用均值不等式求函数最值的步骤: 一正,二定,三相等
练习1)若x>0,f(x)= 12 3x的最小值为___1_2___;此时x=__2_____
x
若x<0,f(x)= 12 3x的最大值为__-_1_2___;此时x=__-_2____.
一正 x
解:因为x>0,
f (x)
ab
(5)a b 2 ab (a 0,b 0)
推广 : a b c 3 abc (当且仅当a=b=c时取“=”号)
3
当a1,a2, … ,an是正数时
a1 a2 n
an n a1a2
an
(当且仅当a1=a2= =an时取" "号)
利用均值不等式求函数最值的步骤: ①各项必须为正; ②含变数的各项和或积必须为定值; ③必须有自变量值能使函数取到 = 号.
②a,b是正数, a b ab (当且仅当a=b时取”=“号) 2
2.上面两个重要不等式有如下变形及推广:
(1)ab a2 b2 (a R,b R) (2)ab ( a b)2 (a 0,b 0)
2
2
(3) b a 2(a,b同号) (4)a b 2 ab(a 0,b 0)
ac>bd;
1
a
1 b
;
an>bn;
n anb ;
例1，已知c>a>b>0，求证：
c
a a
b cb
分析：此题要根据不等式的构成特征，从已知条件入手， 以不等式的性质为依据，应用构造法完成证明。
a>b>0
-a<-b<0
0<c-a<c-b

1 ca

1 cb
0
ab0

a ca

b cb
（5）实数乘法与除法绝对值的性质
|ab|=|a|·|b|， a | a | (b 0) b |b|
2019年5月21日星期二 03:53:23
重点内容
不等式的主要性质有： ①、对称性：a b b a 传递性：a___b_,b___c__ a c ②、 a b,c R ，a+c＞b+c ③、a＞b， c 0 ， 那么ac＞bc；
作商比较法的原理及步骤： a, b R a b a 1 b a b a 1 b a b a 1 b
步骤：作商——变形（化简）——判断 （差值与实数1的大小关系）——得出结论
2019年5月21日星期二 03:5等式的性质