复变函数与积分变换结课试卷B及答案

复变函数复习卷及参考答案一、填空题1、复数1z i =+的三角表示式=2(cossin )44i pp+；复指数表示式=42ie p 。

2、复数()13z i =+的z =2；23Argz k pp =+；arg 3z p=；13z i =-。

3、62111i i i -æö==-ç÷+èø。

10125212131i i i i i +-=+-=-。

4、()()31123513253x y i x i y i x y +=ì++-=-Þí-=-î，求解方程组可得，45,1111x y -==。

5、()()231,f z z z =-+则()61f i i ¢-=--。

6、()n3L i -ln 226i k i pp =-+；ln()ie 12i p=+。

7、()(2)1321,(13)2ik i iiee i p p p -++==+。

8、32282(cossin)33k k i p pp p++-=+；0,1,2k =。

1224(4)2i i -==±。

9、1sin 2e e i i --=；221cos ()22i e e pp p -=+；10 、21024z dzz z ==++ò ；1212z dz i z p ==-ò 。

11、设31cos ()zf z z -=，则0z =是（一级极点）；31cos 1Re [,0]2z s z -=。

1()s i n f z z=，0z =是本性奇点。

二、判断下列函数在何处可导？何处解析？在可导处求出导数。

（1）()22f z x iy=+；解：22,,2,0,0,2u u v v u x v y x y xyxy¶¶¶¶======¶¶¶¶，一阶偏导连续，因此当,x y y x u v u v ==-时，即x y =时可导，在z 平面处处不解析。

《复变函数与积分变换》试卷（B ）考试时间： 类型：闭卷 时间：120分钟 总分：100分 专业：一、填空题（3'1030'⨯=）1、10)3131(ii-+的实部是______，虚部是________，辐角主值是______.2、i 22+的三角形式____________________。

3、设 ,1)12()(253zz z z f +-+= 则 =')(z f 4、点 =z 和点 =z 都是函数 41)(2+=z z f 的一级极点。

5、0z =为函数()81cos zf z z -=的_____级极点；在该点处的留数为_____6、ln(1)=_______。

7、25_____(2)zz ez ==-⎰。

8、310z +=的解是________,___________,____________。

９、ln(1)z +在ｚ＝０处的幂级数是_______。

１０、级数1ln nn i n +∞=∑的敛散性是_______（填：发散，条件收敛，绝对收敛）二、选择题 （3'515'⨯=） １、下面说法错误的是（ ）。

A 、1212z z z z -≥-B 、 2Re z z z +=C 、 [][]22Re Im zz z z =+D 、如果Im()0,z =则1212+=+z z z z2. 复数 8i z -= 的辐角主值 =z arg ( )(A) 2π ; (B)π; (C) 0; (D) 2π3. =⎥⎦⎤⎢⎣⎡0,sin 1Re z s ()(A) 1 ; (B) 0; (C) i π2 ; (D) i π4. 0=z 是函数 zzz f sin )(=的 ( ) (A) 本性奇点; (B) 一级极点; (C) 零点 ; (D) 可去奇点５、下列积分值不为零的是 ( ) A 、z-1=22z+3)dz ⎰（ B 、 z z-1=2e dz ⎰C 、z =1sin z dz z ⎰D 、z =1coszdz z⎰三、解答题（共７题，共计５５分）１、（８分）已知f(z)=u+iv 是解析函数，且v=2xy+3x ，求f(z)２、（８分）计算积分z =1dzzsin z ⎰院系： 专业班级： 姓名： 学号：装 订 线 内 不 准 答 题装 订 线３、（８分）设i y x y x z f 22332)(+-=，问)(z f 在何处可导？何处解析？并在可导处求出导数值.４、(10分) 将函数13232)(2+--=z z zz f 在有限孤立奇点处展开为Laurent 级数.５、(6分)求Ｆ（Ｓ）＝()()2S-3S-1S-2的拉普拉斯逆变换。

工程数学（复变与积分变换B集）目录 1 工程数学（复变与积分变换B集）目录B.1 导数（第二章） (2)2.1复变函数的极限、连续性 (2)2.2导数 (5)B.2 积分（第三章） (8)3.1积分的概念、性质和计算 (8)3.2柯西定理及其推广 (12)B.3 级数（第四章） (15)4.1复数项级数 (15)4.2幂级数 (19)B.4 留数（第五章） (23)5.1孤立奇点的分类 (23)5.2留数及留数定理（1） (26)B.5 保形映照（第六章） (29)6.1保形映照的定义 (29)6.2分式线性函数及其映照性质 (30)6.3指数函数与幂函数所确定的映照 (34)B.6 拉普拉斯变换（第八章） (35)8.1拉普拉斯变换、逆变换的概念 (35)8.2拉普拉斯变换的性质 (37)8.3拉普拉斯变换的应用 (39)2 工程数学习题集（复变函数与积分变换B 集）2B.1 导数（第二章）2.1 复变函数的极限、连续性1. 判断题(1) 对数函数Ln z 在整个复平面上处处连续.（ × ）(2) cos z 在整个复平面上连续. （ √ ） (3) z α（α不等于整数）的每一个分支在除去原点的复平面上连续. （ × ） 2. 选择题 (1) ()()000Im Im limz z z z z z →-=-( D )(A) i (B) i - (C) 0 (D) 不存在 (2) 下列函数中,都有()00,f =则( C )在原点不连续(A) ()()Re 1z f z z=+ (B) ()()2Re z f z z ⎡⎤⎣⎦=(C) ()()22Re z f z z=(D) ()()222Re z fz z⎡⎤⎣⎦=(3) 函数()()(),,f z u x y iv x y =+在点000z x iy =+处连续的充要条件是( C ) (A) (),u x y 在()00,x y 处连续 (B) (),v x y 在()00,x y 处连续(C) (),u x y 和(),v x y 在()00,x y 处连续 (D) ()(),,u x y v x y +在()00,x y 处连续B.1 导数（第二章） 34 工程数学习题集（复变函数与积分变换B 集）43. 计算(1) ()()1lim 2Re z iz i z →-+解 ()()()111lim 2Re lim 2lim Re 121z iz iz iz i z z i z i i i →-→-→-+=+=-+=+(2) 31lim z i iz z i→-+解 ()()333lim 1110lim 0lim 2z i z i z iiz iz i i z i z i i i i→→→--⋅-====+++(3) ()()0lim z z P z Q z → ()()()0(0,Q z P z Q z ≠、为多项式）解 对多项式()()P z Q z 和，有()()()()000lim ;lim z z z z P z P z Q z Q z →→==，所以()()()()()()0000lim0z z P z P z Q z Q z Q z →=≠4. 证明题：设()22,00,0xyz x yf z z ⎧≠⎪+=⎨⎪=⎩，试证()f z 在0z =处不连续.证 因()22222220000lim lim lim 1z z x y kx xy kx kf z x y x k x k →→→=→===+++ 即()0lim z f z →不存在，故()f z 在0z =处不连续.B.1 导数 （第二章） 52.2 导数5. 选择题(1) 函数()w f z u iv ==+在点0z 处可导的充要条件是( C ) (A) ,u v 在点0z 处有偏导数 (B) ,u v 在点0z 处满足柯西-黎曼方程(C) ,u v 在点0z 处可微,且满足柯西-黎曼方程 (D) ,u v 在点0z 处可微(2) 下列函数中，在0z =处可导的是（ B ）(A) ()2f z x iy =- (B) ()22f z xy ix y =+ (C) ()2222x y x yf z i x y x y +-=+++(D) ()()Im f z z =(3) 对函数()()Re f z z z =，下列结论正确的是（ C ）(A) 在整个复平面上可导 (B) 在整个复平面上不可导 (C) 仅在0z =点可导 (D) 以上结论都不对 6. 判断题(1) 如果()f z 在0z 连续，那么)(0z f '存在.（ × ）(2) 如果(),u x y ,(),v x y 的偏导数存在，那么()f z u iv =+可导. （ × ） (3) 函数()2f z z =在除0z =以外的复平面上处处不可导. （ √ ） (4) 设()sin 2f z z =，则()f z '=2cos2z . （ √ ）6 工程数学习题集（复变函数与积分变换B 集）67.讨论下例函数在何处可导，并在可导处求出()f z '(1) ()121z f z z -=+解 ()()()()()()()2212112113212121z z z z z f z z z z '''-+--+-⎛⎫'=== ⎪+⎝⎭++ 12z ⎛⎫≠- ⎪⎝⎭ (2)()()Im f z z z =解 因()()2f z x iy y xy iy =+=+,而,0,,2u v u vy x y x x y y∂∂∂∂====∂∂∂∂，且这四个偏导连续，所以()f z 仅在0z =时可导，且()00f '=(3) ()2f z x iy =-解 由于2,0,0,1u u v vx x y x y∂∂∂∂====-∂∂∂∂在z 平面上处处连续，且当且仅当12x =-时，柯西-黎曼方程成立.故()2f z x iy =-仅在直线12x =-上可导，且()121x f z =-'=-(4) ()1f z z=解 因()221x iy f z z x y -==+,而()()()()222222222222222222,,,u y x u xy v xy v y x x y x y x y x y x y x y ∂-∂∂∂-==-==∂∂∂∂++++ 在除0z =外处处连续，且满足柯西-黎曼方程.故()1f z z=在除0z =外均可导，且B.1 导数 （第二章） 7()()210u v f z i z x x z∂∂'=+=-≠∂∂8 工程数学习题集（复变函数与积分变换B 集）8B.2 积分（第三章）3.1 积分的概念、性质和计算1. 填空题 (1)C z dz z ++-=+⎰)2cos()2sin((2) 若C 以0z 为圆r 为半径的正向圆周，则002101()n z z ri n dzn z z π-==⎧=⎨≠-⎩⎰ (3) 设C z 2dz z I +=⎰，则当C 为沿2z =上半圆周从0到π时， I= 42i π-+ 当C 为沿2z =下半圆周从π到2π时，I= 42i π+ 当C 为沿2z =上半圆周从0到2π时，I= 4i π 2. 选择题(1)0C zdz z z -⎰=（ Ｂ ），其中Ｃ为0z z r -=的正向圆周. (A) ０ (B) 02iz π (C) 0z (D) 2i π (2)Re()cz dz ⎰=( B ),其中C 是沿y x =从0到1i +的直线段.(A) 1i + (B)12i + (C) 12i + (D) 0 (3)⎰=⋅-1|||||1|z dz z =(Ｃ )B.2 积分（第三章）9 (A) 1 (B) 4 (C) 8 (D) 010 工程数学习题集（复变函数与积分变换B 集）103. 计算,2⎰Cdz z 其中C 为(1) 从 0到3i +的直线段; (2) 从0沿实轴到3再到3i +的直线段; (3) 从0沿虚轴到i 再到3i +的直线段.解 (1) 设x =3t 0t 1y =t ⎧≤≤⎨⎩，，，故z =3t +it 0t 1.dz =3+i dt ≤≤，（），于是 122301263t it 3i dt 3i 6i 33C z dz =++=+=+⎰⎰ （）（）（） (2)12222,CC C z dz z dz z dz =+⎰⎰⎰12x =3t x =3C :0t 1;C :(0t 1)y =0y =t,⎧⎧≤≤≤≤⎨⎨⎩⎩，，（），11222269t 3dt 3it idt 6i 3Cz dz =⋅++=+⎰⎰⎰（） (3)34222CC C z dz z dz z dz ==+⎰⎰⎰34:(01);:3(01)C z it t C z t i t =≤≤=+≤≤11222`026(3)36.3Cz dz t idt t i dt i =-++=+⎰⎰⎰ 4. 计算积分⎰C dz ||zz 的值，其中C 为4||=z 的正向.解 令θi re z = 则ri d rie rre dz z zi i r z πθπθθ2||20||==⎰⎰-= rid rie r re dz z zi i rz πθθπθ220==⎰⎰-=当4=r 时，为i π8123.2 柯西定理及其推广5. 选择题(1) 设)(z f 在单连通域B 内解析，C 为B 内任一闭曲线，则必有（D ） (A)⎰=Cdz z f 0)](Im[ (B) ⎰=Cdz z f 0)](Re[(C)⎰=Cdz z f 0|)(| (D) ⎰=Cdz z f 0])(Re[(2) 函数)(z f 在单连通域B 内解析是)(z f 沿B 内任一闭曲线C 的积分⎰=Cdz z f 0)(的（ C ）(A) 充分条件 (B) 必要条件(C) 充要条件 (D) 既非充分也非必要条件(3) 函数)(z f 在单连通域B 内解析是)(z f 存在原函数的（ A ） (A) 充分条件 (B) 必要条件(C) 充要条件 (D) 既非充分也非必要条件 (4) 下列积分中,其积分值不为零的是( C ) (A)⎰=-2||3z dz z z (B) ⎰=1||sin z dz z z(C) ⎰=15z z dz ze (D) ||11zz e dz =+⎰(5) 设函数)(z f 是复平面上的解析函数,C 是复平面上的任意一条简单闭曲线,则()0cf z dz z z =-⎰在下例（ B ）的条件下成立，其中0()0f z ≠.(A) 0z 在C 内 (B) 0z 在C 外z在C上 (D) 均不对(C)146. 计算(1)⎰=-2||21z dz z z 解2||2||2||2111220(1)z z z dz dz dz i i z z z z ππ====-=-=--⎰⎰⎰(2)(1)z cz e dz --⎰，其中C 为沿2y x =从0到i 的曲线段解 因(1)zz e --为解析函数，所以，原式=(1)(1)()i iz z z e dz z d e ---=--⎰⎰00(1)|iz i z i z e e dz ie ---⎡⎤=---=-⎢⎥⎣⎦⎰sin1cos1i =--7. 计算⎰=1||)(z dz z f 的值，并说明所得结果的依据.zz f z z z f z z z f cos 1)()3(221)()2(3)()1(22=++=-=解 以上积分均为零.原因：(1) 函数奇点为3z =在1z =之外，由柯西定理知其积分为0； (2) 函数奇点为1,21z i =-±在1z =之外，积分为0； (3) 函数奇点为()10,1,2,2n z n n π⎛⎫=+=±± ⎪⎝⎭，均在1z=之外，积分为0.B.3 级数（第四章）4.1 复数项级数1. 选择题(1) 设,n n n ib a z +=则复数列n z 收敛的充要条件是（ C ） （A ）}{n a 收敛 （B ）}b {n 收敛（C ）}b {}{n ，n a 同时收敛 （D ）以上均不对 (2) 若复数项级数)(0n n n n nib a z+=∑∑∞=∞=收敛，则( D )（A ）对部分和n n z z z S ++=21，有0lim =∞→n n S（B ）对部分和数列}{n S 有界 （C ）0lim =∞→n n z（D ）∑∞=0n na和∑∞=0n nb都收敛(3) 若级数)(0n n n n nib a z+=∑∑∞=∞=绝对收敛，则下列各项不正确的是( C )（A ）||0∑∞=n nz收敛（B ）||0∑∞=n na和||0∑∞=n n b 都收敛（C ）∑∞=0n na和∑∞=0n nb均不一定收敛（D ） 任意重排各项次序所得到的级数也绝对收敛，且其和不变162. 根据复数列收敛的充要条件，判定下列数列是否收敛，如果收敛求出它们的极限.(1) 2)1(2ni z n n -+-= 解 2lim ;0)1(limlim ,2lim 2-==-=-=∞→∞→∞→∞→n n nn n n n n z n b a 故(2) 21i n n e nz π-=解 ),2sin 2(cos 112πππn i n n e n z i n n -==-于是由,0lim lim ==∞→∞→n n n n b a知}{n z 收敛，且.0lim =∞→n n z3. 选择题 (1) 设数列),2,1()1( =++-=n in ni a n n则=∞→n n a lim ( C )（A ）0 （B ）1 （C ）i（D ）不存在(2) 下列级数中，绝对收敛的级数是（ D ）（A ）∑∞=+1)1(1n n in （B ）∑∞=2ln n n n i（C ） ∑∞=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-12)1(n n n i n （D ）∑∞=1!)8(n n n i (3) 级数∑∞=1n ine为（ B ）（A ）收敛 （B ）发散 （C ）绝对收敛 （D ）条件收敛(4) 下列级数中绝对收敛的是（ A ）（A ）∑∞=+1!)43(n n n i （B ）nn i∑∞=+1)231(（C ）∑∞=1n n n i （D ）∑∞=+-11)1(n nn i184. 判断下列级数的敛散性(1) ∑∞=+08)56(n nni 解 因,.1861|8i 56|<=+故绝对收敛.(2) ∑∞=+0!)53(n nn i解 ,!)34(|!)53(|00∑∑∞=∞==+n n n n n n i 由,10!)34()!1()34(lim 1<=++∞→n n n n n 所以原级数绝对收敛.(3))11ln(10n i n n+∑∞= 解 因∑∑∞=∞=+=+10)11ln(|)11ln(1|n n n n n i 发散，而1212111112111ln(1)(cos sin )ln(1)2211(1)ln(1)(1)ln(1)221n n n k k k k n n i i n n k k ππ∞∞==∞∞==+=-+=-++-+-∑∑∑∑ 上两级数均为收敛的交错级数，故原级数条件收敛.4.2 幂级数5. 判断题(1) 每一个幂级数在它的收敛圆周上处处收敛.（ × ） (2) 每一个幂级数在它的收敛圆内与收敛圆上收敛.（ × ）(3) 每一个幂级数收敛于一个解析函数. （ × ） (4) 每一个幂级数的和函数在收敛圆内可能有奇点. （ × ） (5) 若函数)(z f 在0z 处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数.( √ )6. 选择题 (1) 若级数n n nz a)1(0-∑∞=在3=z 发散，则它必在（ B ）（A ）1-=z 收敛 （B ）23-=z 发散 （C ）2=z 收敛 （D ）以上全不正确 (2) 设幂级数n n nz a∑∞=0的收敛半径0>R ，则它（ B ）（A ）在R z ≤||上收敛 （B ）在2||Rz ≤上一致收敛 （C ）在R z <||上一致收敛 （D ）在R z ≤||上绝对收敛(3) 幂级数302nn n z n∞=∑的收敛半径是（ A ）（A ）∞ （B ）2 （C ）0 （D ）21207. 求下列幂级数的收敛半径. (1)n n nz n∑∞=02解 2212lim ||lim 11=+==+∞→+∞→n n n n nn n n a a R (2)nn n z n n ∑∞=0! 解 e na a R n n n n n =+==∞→+∞→)11(lim ||lim 1 (3)∑∞=-1)5(n nnz解 1|1|lim ||lim 1=+==∞→+∞→n na a R n n n n (4) ∑∞=++01212n n n z解 23212lim(||||)||, 1.2321n n n z z z R n n ++→∞==++ (5)n n nz an ∑∞=+0)(解 |)1(|lim ||lim 11+∞→+∞→+++==n nn n n n a n a n a a R当1||≤a 时，1=R ；当1||>a 时，.||1a R =B.3 级数（第四章） 218. 选择题 (1) 幂级数∑∞=+2)31(n n n z i的收敛半径是（ D ）（A ）2 （B ）12（C ）2 （D (2) 设幂级数n n nz a)1(0-∑∞=在点3=z 收敛而在i z 21+=发散，则它的收敛半径=R （ Ａ ）（A ） 2 （B ）12（C ） 1 （D ）∞+9. 填空题 (1) 幂级数∑∞=+0)1(n n n z i 的绝对收敛域为 22||<z ， 发散域为22||>z (2) 设幂级数nn n z a )2(0-∑∞=在4=z 收敛而在i z 22+=发散， 则其收敛半径=R 2 ，该幂级数的收敛域为2|2|<-z(3) 设幂级数n n nz c∑∞=0的收敛半径R ,那么幂级数n n n nz c ∑∞=-0)12(的收敛半径=R 2R22 工程数学习题集（复变函数与积分变换B 集）2210. 讨论幂级数n n nz a)2(0-∑∞=能否在0=z 收敛而在3=z 发散？为什么？解 不能.因幂级数在0=z 收敛，则收敛半径,2|20|=-≥R 而21|23|<=-在其收敛圆内，故幂级数在3=z 收敛 ，矛盾.11. 讨论级数)(01n n n z z∑∞=+-的收敛性.解 级数的部分和为1)(101-=-=+∞=+∑n n n n n z z zs)1(lim lim 1-=+∞→∞→n n n n zS当1||<z 时，1lim -=∞→n n S ，级数收敛.当1||>z 时，n n S ∞→lim 不存在，级数发散.当1||=z 时，0lim =∞→n n S ，级数收敛.当1||-=z 时，n n S ∞→lim 不存在，级数发散.B.4 留数（第五章） 23B.4 留数（第五章）5.1 孤立奇点的分类1. 选择题 (1) 设函数21()(1)(2)f z z z =--则1z =为()f z 的（ B ）（A ）二阶零点 (B)二阶极点 (C)本性奇点 (D)可去奇点 (2) 设函数sin ()zf z z=则0z =为()f z 的（ C ）（A ）本性奇点 (B) 一阶极点 (C) 可去奇点 (D) 一阶零点(3) 设()f z 、()g z 分别以z a =为本性奇点和m 阶极点，则z a =为()()f z g z ⋅的（ B ）（A ）可去奇点 (B)本性奇点 (C) m 阶极点 (D) 小于m 阶极点 (4) 0z 为()f z 的m 阶零点是0z 为1()f z的m 阶极点的（ C ）（A ）充分条件 (B) 必要条件 (C) 充要条件 (D) 均不对24 工程数学习题集（复变函数与积分变换B 集）242. 找出下例函数的孤立奇点并加以分类，若为极点，指出其阶数.(1) 722(1)(1)z z z --解 因772232(1)(1)(1)(1)z z z z z z =---+,所以,1z =为三阶极点,1z =-为二阶极点.(2) 31z e z-解 因2333111!2!3!z e z z z z z ⎛⎫-=+++ ⎪⎝⎭,所以,0z =为二阶极点.(3) 21cosz z解 因22231111111cos 11!2!3!z z z z z z⎛⎫=+⋅+⋅+⋅+ ⎪⎝⎭,所以, 0z =为本性奇点.(4)1sin zπ⎛⎫ ⎪⎝⎭解 孤立奇点为0z =,1z k=(1,2,k =±±), 因01lim sin z z π→⎛⎫ ⎪⎝⎭不存在, 又因11lim sin z k z π→=∞⎛⎫ ⎪⎝⎭,且12111(1)lim sin k z k z k k z ππ+→-⎛⎫-= ⎪⎛⎫⎝⎭ ⎪⎝⎭, 所以, 0z =为本性奇点,1z k=为一阶极点.B.4 留数（第五章） 253. 选择题 (1) 设函数34561111()(1)(1)(1)(1)f z z z z z z ==-+-----其中11z ->，则1z =为（ B ）（A ）本性奇点 (B)3阶极点 (C) 4阶极点(D)可去奇点(2) 函数cot ()23zf z z π=-在2z i -=内的奇点个数为（ D ）（A ）1 (B)2 (C)3 (D)4(3) 设0z 是()f z 的m 阶零点、是()g z 的n 阶极点()n m ≤，则0z 为()()f z g z的（ A ）（A ）可去奇点(B) 本性奇点 (C) m n -阶极点(D) 均不对(4) 设0z 是()f z 的m 阶极点，则0z 是'()f z 的（ C ）阶极点（A ） m (B) 1m - (C) 1m +(D) 均不对(5) 若函数()f z 在点a 解析,且'''()0,()0f a f a =≠，则a 是 ()f z 的（ B ） （A ）一阶零点. (B) 二阶零点. (C) 一阶极点.(D)二阶极点.(6) 设0z 是()f z 的本性极点，则0z 一定为()f z e 的（ D ） （A ）零点. (B) 可去极点. (C) 极点.(D)本性极点.26 工程数学习题集（复变函数与积分变换B 集）265.2 留数及留数定理（1）4. 利用留数定理计算下列积分（所给曲线均为正向曲线） (1)z z z z ⎰=-21||34d 1解 原式 = 2Re ((),0)i s f z π=2i π011()21z z =''-=4i π-.(2)⎰= 1||53d 1sin z z zz 解 因 )1()!51!311(1sin 53553353 -=-+-=zz z z z z z z ,原式=2Re ((),0)i s f z π=0.(3) ⎰= nz z z ||d tan π，n = 1，2，…解 因()f z 被z n =包含的所有奇点1(0,1,(1),)2k z k k k k n k n =+==±=±-=-均为一阶极点,且12sin 1Re ((),)(cos )k z k z s f z z z πππ=+==-',所以,⎰= nz z z ||d tan π=∑<+-=-=nk k ni ni z f s i|21|4)2(2),(Re 2πππ.B.4 留数（第五章） 275.选择题(1) 函数2()(2)ze f z z =-在2z =处的留数为（ C ） (A ）0(B)1 (C) 2e(D)22e(2) 设1()sin f z z z=，则Re ((),)s f z k π=（ D ）（A ）(1)k-(B)0(C)1k π(D)1(1)kk π- (3) 设211()1(1)(1)(1)(1)(1)n n f z z z z z =-+--++--+--则Re ((),1)s f z =( C)（A ）0 (B)1 (C)-1 (D)2 (4) 设函数1()1zef z z=-则Re ((),0)s f z =（ D ） （A ）0(B)1 (C)e (D)1e -(5) 设z a =是()f z 的m 阶极点，则'()()f z f z 在z a =处的留数为（ D ）（A ）1m - (B)1m - (C) m (D)m - (6) 设C 为正向圆周1z =，则cot czdz =⎰（B ）（A ）-2i π (B) 2i π (C)2π (D) 2π- (7) 设C 为正向圆周12z i -=,则2(1)c dz z z +⎰=( B )（A ）i π (B)-i π (C) -1 (D) -2i π28 工程数学习题集（复变函数与积分变换B 集）286. 利用留数定理计算下列积分（所给曲线均为正向曲线） (1)11cos m z zdz z =-⎰(m 为整正数)解 因241cos 1()2!4!mm z z z z z -=-+，所以，① 当2m ≤时，原式=0 ② 当3m =时，原式=12③ 当3m >时，原式=322(1)(1)!0m im m m π-⎧-⎪-⎨⎪⎩，当为奇数，当为偶数(2)2sin (1)c zdz z z -⎰，C 为不过0和1的任何简单闭曲线解 ①C 不包含0,1时,原式=0②C 只包含0时,原式='0sin 2lim 21z z i i z ππ→⎛⎫=- ⎪-⎝⎭③C 只包含1时,原式=21sin 2lim2sin1z zi i z ππ→=④C 同时包含0,1时,原式2(1sin1)i π=-+B.5 保形映照（第六章） 29B.5 保形映照（第六章）6.1保形映照的定义1. 填空题(1) 保形映照的概念： 如果函数解析且导数不为零,则称此函数所形成的映照为保形映照(2) 保形映照具有保角性和保伸缩性：保角性是指 映照前后两曲线交点处切线间的夹角和夹角的方向保持不变保伸缩性是指 映照前的图象与映照后的图象近似保持相似 2. 选择题 (1) 映射zw 1=在点i 10+=z 处的伸缩率和旋转角分别为(A)(A)1π,22 (B)1π,24 (C) 1π,32(D) 1π,44 (2) 映射i 0e z z w z z θ-=-) 0)Im ( ,(0<z 为任意实数θ 将Im()0z =映照为(A)(A) 圆周 (B) 直线 (C) 上半平面 (D) A, B, C 都不对 (3) 解析函数的导数的几何意义是（A ）(A) 伸缩比和转动角 (B) 伸缩比 (C) 转动角 (D) 曲线的斜率30 工程数学习题集（复变函数与积分变换B 集）306.2分式线性函数及其映照性质3. 试说明以下各题的映照结果. (1) 1 ||≤z ,zzw +-=i i 解 zzw +-=i i , ∴i )1( ,i)( ,0(i)=∞=-=w w w . 1||=z 映为虚轴 0=v .又 (0)1w =, || 1z <映照成 0)Re(>w .1 || ≤∴z 映照成 0)Re(≥w .(2) 1 |1|≤-z ,zz w 2-=解 zz w 2-=, i i)1( ,0)2( ,)0( =+=∞=∴w w w . |1|1z -=映为虚轴 0=v .又 (1)1w =-, |1| 1z -<映照成 0)Re(<w .1 |1| ≤-∴z 映照成 0)Re(≤w .B.5 保形映照（第六章） 314. 填空题(1) 分式线性映照的定义：分式线性函数 (0)az bw ad bc cz d+=-≠+形成的映照称为分式线性映照.(2) 分式线性映照具有保角性、保圆性、保对称性。

复变函数与积分变换试题(一）一、填空(３分×10)１.得模ﻩﻩ、幅角ﻩ。

２.-8i得三个单根分别为：、、。

3.Lｎz在得区域内连续。

4．得解极域为:ﻩﻩﻩﻩﻩ。

５.得导数ﻩﻩﻩﻩﻩ。

6. ﻩﻩ。

７.指数函数得映照特点就是:ﻩﻩﻩﻩﻩﻩﻩﻩﻩ。

8．幂函数得映照特点就是: ﻩﻩﻩﻩﻩﻩﻩ。

9.若=F [f(t)]、则= F ﻩﻩﻩﻩ。

１０.若f(ｔ)满足拉氏积分存在条件、则L [f(ｔ)］= ﻩﻩﻩ。

二、(10分)已知、求函数使函数为解析函数、且f(0)＝0。

三、(10分)应用留数得相关定理计算四、计算积分(5分×2)1.2．C:绕点ｉ一周正向任意简单闭曲线。

五、(1０分)求函数在以下各圆环内得罗朗展式。

1.2.六、证明以下命题：（5分×2)(1)与构成一对傅氏变换对。

（2）七、(10分)应用拉氏变换求方程组满足x （0)＝y （０)=z (0)＝0得解y (t )。

八、(１0分)就书中内容、函数在某区域内解析得具体判别方法有哪几种。

复变函数与积分变换试题答案(一)一、1．ﻩﻩ、ﻩ ﻩ２、ﻩ-i ﻩﻩ2ｉﻩ-i ﻩ3、ﻩZ 不取原点与负实轴 ４、 空集５、ﻩ2z ﻩ6.０ 7、将常形域映为角形域ﻩ８、 角形域映为角形域 9、ﻩ ﻩ1０、 二、解:∵ﻩ ∴ ﻩ(5分)∵f (0）=0ﻩﻩﻩﻩc =0(３分)∴ﻩﻩ(2分)三、解：原式＝(2分)ﻩ（2分）⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⋅--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∞--0,1)31)(11(11Re 2,)3)(1(1Re 266z z z z s z z z s 分）（=0∴原式=(2分) =四、1.解:原式ﻩ(３分) z 1=0 ﻩｚ2=１ﻩ=0ﻩﻩ(2分)2．解:原式=五、1.解:nn i i z i i z ii z ii z i i z i z z f ∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛--⋅-=-+⋅⋅-=+-⋅-=0111111)(111)(11)(分）（分）（分）（ ﻩﻩ(2分) ﻩ２.解: （1分)ﻩ(2分）六、1.解:∵ﻩ(3分）ﻩ∴结论成立 （２)解:∵ﻩ(２分)ﻩ ∴与1构成傅氏对∴（2分)七、解:∵ﻩﻩ（3分)S (２)-（1):∴ （3分)∴八、解：①定义;②C-R 充要条件Th ; ③v 为u 得共扼函数ﻩ1０分复变函数与积分变换试题（二)一、填空(3分×10)1.函数f (z )在区域D 内可导就是ｆ(ｚ）在D 内解析得（ﻩ ﻩ）条件。

复变函数与积分变换试题（一）一、填空（3分×10）1．的模 ，幅角 。

)31ln(i --2．-8i 的三个单根分别为： ，，。

3．Ln z 在 的区域内连续。

4．的解极域为：。

z z f =)(5．的导数。

xyi y x z f 2)(22+-==')(z f 6．。

=⎥⎦⎤⎢⎣⎡0,sin Re 3z z s 7．指数函数的映照特点是：。

8．幂函数的映照特点是：。

9．若=F [f (t )]，则= F 。

)(ωF )(t f )][(1ω-f 10．若f （t ）满足拉氏积分存在条件，则L [f (t )]=。

二、(10分)已知，求函数使函数为解析函222121),(y x y x v +-=),(y x u ),(),()(y x iv y x u z f +=数，且f (0)=0。

三、（10分）应用留数的相关定理计算⎰=--2||6)3)(1(z z z z dz四、计算积分（5分×2）1．⎰=-2||)1(z z z dz2． C ：绕点i 一周正向任意简单闭曲线。

⎰-c i z z3)(cos 五、（10分）求函数在以下各圆环内的罗朗展式。

)(1)(i z z z f -=1．1||0<-<i z 2．+∞<-<||1i z 六、证明以下命题：（5分×2）（1）与构成一对傅氏变换对。

)(0t t -δo iwt e -（2）)(2ωπδ=⎰∞+∞-ω-dt e t i 七、（10分）应用拉氏变换求方程组满足x (0)=y (0)=z (0)=0的解y (t )。

⎪⎩⎪⎨⎧='+=+'+='++'0401z y z y x z y x 八、（10分）就书中内容，函数在某区域内解析的具体判别方法有哪几种。

复变函数与积分变换试题答案（一）一、1．， 2.-i 2i -i22942ln π+ππk arctg 22ln 32+-333.Z 不取原点和负实轴 4. 空集5.2z 6．07.将常形域映为角形域8.角形域映为角形域9.10.⎰∞+∞-ωωπωωd e F i )(21⎰∞+-0)(dte tf st 二、解：∵∴（5分）yu x x v ∂∂-=-=∂∂xuy y v ∂∂==∂∂c xy u +=cxy y x i z f ++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=222121)(∵f (0)=0c =0（3分）∴（2分）222222)2(2)(2)(z ixyi y x i y x i xy z f -=+--=--=三、解：原式=（2分）⎥⎦⎤⎢⎣⎡--∑=k k z z z z s i ,)3)(1(1Re 2621π01=z 12=z （2分）⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=∑=k k z z z z s i ,)3)(1(1Re 2643π33=z ∞=4z 2312(3,)3)(1(1Re 66⨯=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--分）z z z s =0⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⋅--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∞--0,1)31)(11(11Re 2,)3)(1(1Re 266z z z z s z z z s 分）（∴原式=（2分） =23126⨯⨯i πi 63π-四、1．解：原式（3分）z 1=0z 2=1⎥⎦⎤⎢⎣⎡-π=∑=k k z z z s i ,)1(1Re 221=0（2分）]11[2+-=i π2．解：原式=iz z i=''=s co !22πi z z i =-π=）（cos i i cos π-=1ich π-五、1．解：ni z z f ∑∞⎪⎫⎛--⋅=⋅⋅=⋅=1111111111)(分）（分）（分）（（2分）11)(--∞=-=∑n n n i z in nn i z i )(1-=∑∞-=2．解：⎪⎭⎫⎝⎛-+⋅-=-+⋅-=i z i i z i z i i z z f 11)(11)(1)(11)(2分）（分）（（1分）（2分）nn i z i i z ∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛---=02)(120)(11+∞=-=∑n n n i z i 20)(--∞=-=∑n n n i z i 六、1．解：∵（3分）∴结论成立0)(0t i e t t ti t i e dt e t t ωωωδ-==--∞+∞-=-⎰（2）解：∵（2分）1)(2210==ωπδπ=ωω-ω-∞+∞-⎰t i t i e dw e ∴与1构成傅氏对)(2w πδ∴（2分）)(2ωπδω=-∞+∞-⎰dt e t i 七、解：∵（3分）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=++=++)3(0)(4)()2(0)()()()1(1)()()(s sZ s Y s Z s sY s X S s sZ s Y s sX S （2）-（1）：∴（3分）⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅-=s s s Y 111)(2⎪⎭⎫ ⎝⎛++--=--=1111211112s s s s s s ∴cht e e t Y t t -=--=-121211)(八、解：①定义；②C-R 充要条件Th ；③v 为u 的共扼函数10分复变函数与积分变换试题（二）一、填空（3分×10）1．函数f (z )在区域D 内可导是f (z )在D 内解析的（）条件。

---《复变函数》考试试题（一）一、判断题（ 20 分）：1. 若 f(z) 在 z 0 的某个邻域内可导，则函数f(z) 在 z 0 解析 .2. 有界整函数必在整个复平面为常数.3. 若{ z n }收敛，则{Re z n } 与{Im z n }都收敛 .4. 若 f(z) 在区域 D 内解析，且f '( z)，则f ( z) C（常数） 5. 若函数 f(z) 在 z 0 处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数6. 若 z 0 是 f ( z)的 m 阶零点，则 z 0 是 1/f (z)的 m 阶极点 .lim f ( z)7. 若 zz 0存在且有限，则 z 0 是函数 f(z) 的可去奇点 .( ) ( ) ( ). ( ).( )()()8. 若函数 f(z) 在是区域 D 内的单叶函数，则f ' (z) 0( zD ).()9. 若 f(z)在区域 D 内解析 , 则对 D 内任一简单闭曲线Cf z dz.( )C( )10. 若函数 f(z) 在区域 D 内的某个圆内恒等于常数，则 f(z)在区域 D 内恒等于常数 . （）二. 填空题（ 20 分）1、|z z 0 |dz__________. （ n 为自然数）1 ( z z )n2.sin 2zcos 2z_________.3. 函数sin z的周期为 ___________.f (z)z 2 11，则f ( z)的孤立奇点有 __________.4.设5. 幂级数nz n 的收敛半径为 __________.n 06. 若函数 f(z) 在整个平面上处处解析，则称它是__________.lim z nlimz 1z 2 ...z n7. 若 n，则 nn______________.Res(e z8.n,0)________，其中 n 为自然数 .z---9.sin z的孤立奇点为 ________ .z若z 0 是 f (z)lim f (z)___10. 的极点，则z z.三. 计算题（ 40 分）：f (z)11. 设(z 1)( z 2) ，求 f ( z) 在 D { z : 0 | z | 1} 内的罗朗展式 .1dz.|z| 1cos z2.3. 设f ( z)3 271d{ z :| z | 3} ，试求 f ' (1 i ).Cz，其中 Cz 1w1 的实部与虚部 .4.求复数z四 . 证明题 .(20 分 )1. 函数f (z)在区域 D 内解析 . 证明：如果 | f ( z) |在 D 内为常数，那么它在D 内为常数 .2. 试证 : f ( z) z(1 z) 在割去线段 0Re z 1 的 z 平面内能分出两个单值解析分支,并求出支割线0 Re z 1上岸取正值的那支在 z 1的值 .《复变函数》考试试题（一）参考答案一． 判断题1．× 2．√ ３．√ ４．√５．√6．√ ７．×８．×９．× 10．×二．填空题2 in1 2.1 ；3. 2k ， ( k z) ；4.z i ； 5.11.n；16. 整函数；7. ； 1 ； 9. 0； 10..8.(n 1)!三．计算题 .1. 解因为 0 z 1, 所以 0 z 1f ( z)1 1 1 z zn1 ( z )n.( z 1)(z 2) 1 z 2(1 )n 02 n 0 22---2.解因为z21Re s f (z)lim lim,cosz sin z1 z z z222Re s f (z)lim z2lim1 1 . cosz sin zz z z2 22所以1dz2i(Re s f (z)Re s f (z)0. z2 cosz z2z23.解令 ()3271,则它在 z 平面解析,由柯西公式有在z 3内,f (z)c ()dz2i(z) . z所以 f (1i )2i( z) z 1 i2i (136i )2(613i ) .4.解令 z a bi ,则w z 11212( a1bi )12( a1)2b2. z 1z 1222b22b( a 1) b( a 1)(a 1)z12(a1)z12bb2 .故 Re( z1)1( a1)2b2,Im(z1)(a1)2四. 证明题 .1.证明设在 D 内 f (z) C .令 f ( z) u iv ,2u2v2c2.则 f ( z)两边分别对 x, y 求偏导数,得uu x vv x0(1) uu y vv y0(2)因为函数在 D 内解析,所以 u x v y ,u y v x.代入 (2)则上述方程组变为uu x vv x0 .消去 u x得,(u2v2 )v x0 .vu x uv x01)若 u2v20 ,则 f (z)0 为常数.2)若 v x0,由方程(1) (2) 及C.R.方程有u x0,u y0 , v y0 .所以 u c1, v c2. ( c1 ,c2为常数).---所以 f ( z) c 1 ic 2 为常数 .2. 证明 f ( z)z(1 z) 的支点为 z 0,1 . 于是割去线段 0 Re z 1 的 z 平面内变点就不可能单绕 0 或 1 转一周 , 故能分出两个单值解析分支 .由于当 z 从支割线上岸一点出发 ,连续变动到 z0,1 时 , 只有 z 的幅角增加. 所以f ( z)z(1 z) 的幅角共增加. 由已知所取分支在支割线上岸取正值 , 于是可认为该分2z1的幅角为, 故 f ( 1)i2i .支在上岸之幅角为 0,因而此分支在2e22《复变函数》考试试题（二）一. 判断题 . （20 分）1. 若函数 f ( z)u( x, y) iv ( x, y) 在 D 内连续，则 u(x,y)与 v(x,y)都在 D 内连续 .( ) 2. cos z 与 sin z 在复平面内有界 .()3.若函数 f(z)在 z 解析，则 f(z)在 z 连续 .()0 04. 有界整函数必为常数 .一定不存在 .()5. 如 0是函数f(z)的本性奇点，则 lim f ( z) ()zz z 06. 若函数 f(z)在 z 0 可导，则 f(z)在 z 0 解析 .()7.若 f(z)在区域 D 内解析 , 则对 D 内任一简单闭曲线 Cf (z)dz0 .C( ) 8. 若数列 { z n } 收敛，则 {Re z n } 与 {Im z n } 都收敛 .() 9. 若 f(z)在区域 D 内解析，则 |f(z)|也在 D 内解析 .()10. 存在一个在零点解析的函数1 ) 0 1 1 1,2,... .f(z) 使 f (且 f ( ) ,nn 1 2n 2n( )二 . 填空题 . (20 分)1. 设 zi ，则 | z | __,arg z__, z __2.设 f (z) ( x 22xy) i(1 sin( x 2y 2 ), z x iy C ，则 limf ( z) ________.z 1i3.|z z 0| 1(zdz_________.z )n（ n 为自然数）---4.幂级数 nz n的收敛半径为__________ .n05.若 z0是 f(z)的 m 阶零点且 m>0，则 z0是f '( z)的 _____零点 .6.函数 e z的周期为 __________.7.方程 2z5z33z 8 0 在单位圆内的零点个数为________.8.设 f ( z)1，则 f (z) 的孤立奇点有_________.21z9.函数 f ( z) | z | 的不解析点之集为________.10. Res(z41,1) ____ . z三. 计算题 . (40 分)1.求函数sin( 2z3)的幂级数展开式 .2.在复平面上取上半虚轴作割线 . 试在所得的区域内取定函数z在正实轴取正实值的一个解析分支，并求它在上半虚轴左沿的点及右沿的点 z i 处的值.i3.计算积分： I| z | dz，积分路径为（1）单位圆（ | z | 1）i的右半圆 .sin z dzz 2(z) 24.求2.四. 证明题 . (20 分)1. 设函数 f(z)在区域 D 内解析，试证： f(z)在 D 内为常数的充要条件是 f (z) 在D内解析 .2.试用儒歇定理证明代数基本定理 .《复变函数》考试试题（二）参考答案一.判断题 .1．√２．×３．√４．√ ５．× 6．×７．×８．√９．× 10．× .二.填空题---1.1 ，， i ；2. 3(1sin 2)i ；3.2 i n14. 1；5. m 1 . 0n；216.2k i ，( k z) .7. 0；8. i；9.R ；10. 0.三.计算题1.解 sin(2 z3 )( 1)n (2 z3 )2 n 1(1)n 22n 1 z6n3.n 0(2 n1)!n 0(2n1)!2.解令 z re i.2 ki则 f ( z)z re2,(k0,1).又因为在正实轴去正实值，所以k0 .所以 f (i)ie 4.3.单位圆的右半圆周为z e i,ide i e i 所以 zdz22i22 4.解.2 2 2i .即 u, v 满足 C.R.,且u x , v y , u y ,v x连续 , 故f ( z)在D内解析 .( 充分性 ) 令f ( z)u iv, 则 f ( z)u iv ,因为 f ( z) 与 f ( z) 在D内解析,所以u x v y , u y v x,且 u x ( v) y v y , u y( v x )v x.比较等式两边得u x v y u y v x0 .从而在 D 内 u, v 均为常数,故f ( z)在 D 内为常数.2. 即要证“任一n次方程a0 z n a1z n1a n 1z a n0(a00) 有且只有n 个根”.证明令 f (z)a0 z n a1z n 1a n1za n0 ,取 R max a1a n,1 ,当 za0在 C : z R 上时,有(z)a1 R n 1an 1R a n( a1a n )R n 1a0R n.f ( z) .由儒歇定理知在圆z R 内,方程 a0 z n a1z n 1a n 1z a n0与 a0 z n0有相---同个数的根 . 而 a 0 z n 0 在 z R 内有一个 n 重根 z 0 . 因此 n 次方程在 z R 内有 n 个根 .《复变函数》考试试题（三）一 . 判断题 . (20 分).1. cos z 与 sin z 的周期均为 2k .( )2. 若 f ( z) 在 z 0 处满足柯西 - 黎曼条件 , 则 f ( z) 在 z 0 解析 . ( )3. 若函数 f ( z) 在 z 0 处解析，则 f ( z) 在 z 0 连续 . ( )4. 若数列 { z n } 收敛，则 {Re z n } 与 {Im z n } 都收敛 .( )5.若函数 f ( z) 是区域 D 内解析且在 D 内的某个圆内恒为常数，则数 f ( z) 在区域 D 内为常数 . ( )6. 若函数 f ( z) 在 z 0 解析，则 f ( z) 在 z 0 的某个邻域内可导 . ()7.如果函数 f ( z) 在 D{ z :| z | 1} 上解析 , 且 | f (z) | 1(| z | 1) , 则| f ( z) | 1(| z | 1) .（ ）8.若函数 f ( z) 在 z 0处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数.( ) 9. 若 z 0 是 f ( z) 的 m 阶零点 , 则 z 0 是 1/ f ( z) 的 m 阶极点 . ( )10.若z 0 是 f (z)的可去奇点，则 Res( f ( z), z 0 ) 0. ( )二 . 填空题 . (20 分)1. 设 f ( z)1 ，则 f ( z) 的定义域为 ___________.2 z 12. 函数 e z 的周期为 _________.3. 若 z nn 2 i (1 1) n ，则 lim z n__________.1 nnn4. sin 2 z cos 2 z___________.dz5.|z z 0 | 1(z z )n（ n 为自然数）_________.6. 幂级数nx n 的收敛半径为 __________.n设 f (z) 1f z 的孤立奇点有z 2 1，则7.( ) __________.ez---9.若 z 是 f (z)的极点，则 lim f (z) ___ .z z 0z10.Res(en ,0) ____ .z三 . 计算题 . (40 分)11. 将函数 f ( z) z 2e z 在圆环域 0 z内展为 Laurent 级数 .2. 试求幂级数n!z n的收敛半径 .n nn3. 算下列积分：e zdz，其中 C是| z |1.Cz 2 (z29)4. 求 z92z6z 28z 2 0 在| z|<1内根的个数 .四 . 证明题 . (20 分)1.函数 f (z) 在区域 D 内解析 . 证明：如果 | f ( z) |在 D 内为常数，那么它在D 内为常数 .2.设 f (z) 是一整函数，并且假定存在着一个正整数 n ，以及两个正数 R 及 M ，使得当 | z|R 时| f ( z) |M | z |n，证明 f (z) 是一个至多 n 次的多项式或一常数。

《复变函数》考试试卷(B)专业： 考试日期： 时间120分钟 总分100分 闭卷2分，计10分） 1、设z=3-3i 则argz=( )。

A.4πB. 4π-C. 3π-D.3π2、在全平面不解析的函数是 ( C )。

A.xyi y x z f 2)(22+-=B.f(z)=sinzC.f(z)=LnzD.f(z)= z e 3、z=0 为f(z)=zzsin 的( )。

A.可去奇点 B.一阶极点 C.本性奇点 D.二阶极点 4、级数nn z n∑∞=021的收敛半经为( )。

A.0 B.1 C.2 D.∞5、函数⎰=-=-21)1(sin z dz z z（ ）。

A.cos1 B.sin1 C.2πicos1 D. 2πisin1 (每空2分，计18分)1、设复数z=-i ,则z 的 三角形式为2、从z 1=0到z 2=1-i 的直线段的参数方程是3、f(z)=zsinz 的导数为4、方程表示的曲线是21=+z5、设z=6)1(i +，则z ＝6、积分⎰==21002)(sin (z z dz z e z7、函数z=11sin -z 的奇点为 8、设f(z)=zz z 212-+,则f(z)在z=0的留数Res[f(z),0]= 9、dz i z i z ⎰=--1221= 三、求下列积分(20分)1、⎰izdz ze 0 2、dz z e z z⎰=-22)1( 3、⎰=++22))(9(z dz i z z z4、dx x x x ⎰+∞∞-++)4)(9(22四、计算题(每题5分,计15分) 1、求31i +的值2、求Ln(-2-2i)的值3、设5335)(--=z z z f ,求)(z f 的导数)('z f .五、级数(每题6分，计12分)(1)、将函数f(z)=)2)(1(1--z z 在0<|z-2|<1内展开为洛朗级数;(2)、求f(z)=z231- 在z=2处的泰勒级数,并指出收敛范围六、(12分)设)()(2222y dxy cx i by axy x z f +++++=在全复平面解析,求 d c b a .,,的值.七、(13分)（1）讨论函数z z f =)(的可导性与解析性.(2)验证u=122+-y x 是平面上的调和函数,并求解析函数f(z)=u+vi,使 f(0)=i.《复变函数》考试试卷(B)评分标准专业： 考试日期： 时间120分钟 总分100分 闭卷2分，计10分） 1、设z=3-3i 则argz=( B )。

一、将下列复数用代数式、三角式、指数式表示出来。

(1) i 解：2cossin22ii e i πππ==+(2) -1解：1cos sin i e i πππ-==+ (3)1+解：()/3122cos /3sin /3i e i πππ+==+ (4) 1cos sin i αα-+ 解：2221cos sin 2sin 2sincos2sin(sincos )2222222sincos()sin()2sin 222222i i i i i e πααααααααααπαπαα⎛⎫- ⎪⎝⎭-+=+=+⎛⎫=-+-= ⎪⎝⎭(5) 3z解：()3333cos3sin3i z r e r i θθθ==+ (6) 1i e +解：()1cos1sin1i i e ee e i +==+(7)11ii-+ 解：3/411cos3/4sin 3/411i i i i e i i i πππ--==-==+++二、计算下列数值(1) 解：1ar 21ar 21ar 2 b i ctg k a bi ctg abi ctgaπ⎛⎫+ ⎪⎝⎭==⎧⎪=⎨⎪⎩(2)解：6226363463222i k i i i i e i ee e iπππππππ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎧=+⎪⎪⎪⎨====-+⎪⎪⎪=-⎩(3) i i 解：()2222ii k k i i e eππππ⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==(4)解：()1/2222ii k k eeππππ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==(5) cos5α解：由于：()()552cos5i i e e ααα-+=，而：()()()()()()()()5555555555cos sin cos sin cos sin cos sin nni nn nni n n e i C i e i C i αααααααααα-=--==+==-=-∑∑所以：()()()()()()()()()()()555505555043253543251cos5cos sin cos sin 21 cos sin 112 5cos sin cos sin cos 5cos sin 10cos sin cos n n n nn n n n nn n C i i C i i C i ααααααααααααααααα--=--=⎡⎤=+-⎣⎦⎡⎤=+-⎣⎦=++=-+∑∑(6) sin5α解：由于：()()552sin 5i i ee ααα--=，所以：()()()()()()()()()()()()55550555505234245552341sin 5cos sin cos sin 21 cos sin 1121 sin cos sin sin cos sin 10cos sin 5sin cos n n n nn n n n nn n C i i i C i i i C i C i iααααααααααααααααα--=--=⎡⎤=--⎣⎦⎡⎤=--⎣⎦=++=-+∑∑ (7) cos cos2cos n ααα+++L L 解：()()221cos cos 2cos ()()2(1)1(1)11(1)(1)1 21122(1cos )1 2i i in i i in i in i i in i i in i in i i i n e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e ααααααααααααααααααααααα----------⎡⎤+++=+++++++⎣⎦⎡⎤--+--⎡⎤--⎢⎥=+=⎢⎥---⎢⎥⎣⎦⎣⎦+=L L L L L L (1)(1)22(1cos )12cos 22cos(1)2cos cos 1cos(1)cos 22(1cos )2(1cos )1sin()sin22 2sin2i i n i n in in e e e e n n n n n ααααααααααααααααα+-+-⎡⎤---++⎢⎥-⎣⎦⎡⎤--++--++==⎢⎥--⎣⎦+-=(8) sin sin 2sin n ααα+++L L 解：()()221sin sin 2sin ()()2(1)1(1)11(1)(1)1 21122(1cos )1 2i i in i i in i in i i in i i in i in i i i n e e e e e e i e e e e e e e e e e i e e i e i αααααααααααααααααααααα---------⎡⎤+++=+++-+++⎣⎦⎡⎤-----⎡⎤--⎢⎥=-=⎢⎥---⎢⎥⎣⎦⎣⎦=L L L L L L (1)(1)112(1cos )12sin 2sin(1)2sin sin sin(1)sin 22(1cos )2(1cos )1cos()cos22 2sin2i n in i i n in e e e e e i i n i n n n i n αααααααααααααααααα+--+-⎡⎤--+-++-⎢⎥-⎣⎦⎡⎤-++-++==⎢⎥--⎣⎦-++=1.2 复变函数1、试证明函数f (z )=Arg(z ) (-π<Arg(z) ≤π)，在负实轴上(包括原点)不连续。

试 题2018 年 ~ 2019 年第 二 学期课程名称： 复变函数 专业年级： 考生学号： 考生姓名： 试卷类型： A 卷 □ B 卷 √ 考试方式: 开卷 □ 闭卷 √…………………………………………………………………………………………………………………… 一、单项选择题。

（每小题3分，共18分）1. 复数(1)(12)z i i =+-的虚部是 ( B ) A ．3 B ．1- C ．i - D ．i2．若32(,)v x y x axy =+为某一解析函数的虚部，则实常数a 等于 ( C )A ．1-B ．2-C ．3-D ．4-3．设C 为正向圆周2z =，则积分Cz dz =⎰Ñ ( D )A ．0B ．2i πC ．4i πD ．8i π4．设C 为正向圆周2z =，则下列积分值不为零的是 ( C ) A.zCe dz ⎰Ñ B ．2(3)Cz z dz ++⎰Ñ C ． cos 1C zdz z -⎰Ñ D ． sin C zdz z ⎰Ñ5．若幂级数0()nn n c z i ∞=-∑在点1z =处收敛，则该级数在点0z =处 ( A )A ．绝对收敛B ．条件收敛C ．发散D ．敛散性不确定6．若0z =是函数sin ()kz zf z z-=的一阶极点，那么整数k 的值为 ( D ) A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题。

（每小题3分，共18分）7. 设(1)(3)(3)i i z i i +-=+，则z = 2 .8. 极限31limz i iz z i→-=+ 0 ． 9. 34ie-+的辐角主值为 42p - .。

得分得分«复变函数与积分变换»期末试题（A ）题号 一 二 三 四 五 六 总分 得分一．填空题（每小题3分，共计15分）1．231i -的幅角是（ ）； 2.)1(i Ln +-的主值是（ ）；3.211)(z z f +=，=)0()5(f （ ）；4．0=z 是 4sin z zz -的（ ）极点；5． zz f 1)(=，=∞]),([Re z f s （ ）；二．选择题（每小题3分，共计15分）1．解析函数),(),()(y x iv y x u z f +=的导函数为（ ）；（A ） y x iu u z f +=')(； （B ）y x iu u z f -=')(；（C ）y x iv u z f +=')(； （D ）x y iv u z f +=')(.2．C 是正向圆周3=z ，如果函数=)(z f （ ），则0d )(=⎰Cz z f ．（A ）23-z ； （B ）2)1(3--z z ； （C ）2)2()1(3--z z ； （D ）2)2(3-z . 3．如果级数∑∞=1n nnz c 在2=z 点收敛，则级数在（A ）2-=z 点条件收敛 ； （B ）i z 2=点绝对收敛；（C ）i z+=1点绝对收敛； （D ）i z 21+=点一定发散．４．下列结论正确的是( )（A ）如果函数)(z f 在0z 点可导，则)(z f 在0z 点一定解析； (B) 如果)(z f 在C 所围成的区域内解析，则0)(=⎰Cdz z f（C ）如果0)(=⎰Cdz z f ，则函数)(z f 在C 所围成的区域内一定解析；（D ）函数),(),()(y x iv y x u z f +=在区域内解析的充分必要条件是),(y x u 、),(y x v 在该区域内均为调和函数．5．下列结论不正确的是（ ）．(A) 的可去奇点；为z1sin ∞(B) 的本性奇点；为z sin ∞(C) ;1sin 1的孤立奇点为z∞(D) .sin 1的孤立奇点为z ∞ 三．按要求完成下列各题（每小题10分，共计40分）（1）设)()(2222y dxy cx i by axy x z f +++++=是解析函数，求.,,,d c b a得分（2）．计算⎰-Czz z z e d )1(2其中C 是正向圆周：2=z ；（3）计算⎰=++3342215d )2()1(z z z z z（4）函数323 2)(sin)3 ()2)(1()(z zzzzzfπ-+-=在扩充复平面上有什么类型的奇点？，如果有极点，请指出它的级.四、（本题14分）将函数)1(1)(2-=z z z f 在以下区域内展开成罗朗级数； （1）110<-<z ，（2）10<<z ，（3）∞<<z 1得分五．（本题10分）用Laplace 变换求解常微分方程定解问题⎩⎨⎧='==+'-''-1)0()0()(4)(5)(y y e x y x y x y x六、（本题6分）求)()(0>=-ββtet f 的傅立叶变换，并由此证明：te d t ββπωωβω-+∞=+⎰2022cos得分得分«复变函数与积分变换»期末试题（A ）答案及评分标准一．填空题（每小题3分，共计15分）1．231i -的幅角是（ 2,1,0,23±±=+-k k ππ）；2.)1(i Ln +-的主值是（ i 432ln 21π+ ）； 3.211)(z z f +=，=)0()5(f （ 0 ），4．0=z 是 4sin z zz -的（ 一级 ）极点；5． zz f 1)(=，=∞]),([Re z f s （-1 ）；二．选择题（每题4分，共24分）1．解析函数),(),()(y x iv y x u z f +=的导函数为（B ）；（A ） y x iu u z f +=')(； （B ）y x iu u z f -=')(；（C ）y x iv u z f +=')(； （D ）x y iv u z f +=')(.2．C 是正向圆周3=z ，如果函数=)(z f （ D ），则0d )(=⎰Cz z f ．（A ）23-z ； （B ）2)1(3--z z ； （C ）2)2()1(3--z z ； （D ）2)2(3-z . 3．如果级数∑∞=1n nnz c 在2=z 点收敛，则级数在（C ）（A ）2-=z 点条件收敛 ； （B ）i z 2=点绝对收敛；（C ）i z+=1点绝对收敛； （D ）i z 21+=点一定发散．４．下列结论正确的是( B )（A ）如果函数)(z f 在0z 点可导，则)(z f 在0z 点一定解析；(B) 如果)(z f 在C 所围成的区域内解析，则0)(=⎰Cdz z f（C ）如果0)(=⎰Cdz z f ，则函数)(z f 在C 所围成的区域内一定解析；（D ）函数),(),()(y x iv y x u z f +=在区域内解析的充分必要条件是),(y x u 、),(y x v 在该区域内均为调和函数．5．下列结论不正确的是（ D ）．的可去奇点；为、zA 1sin )(∞的本性奇点；为、z B sin )(∞.sin )(的孤立奇点为、zC 11∞的孤立奇点；为、z D sin )(1∞ 三．按要求完成下列各题（每小题10分，共40分）（1）．设)()(2222y dxy cx i by axy x z f +++++=是解析函数，求.,,,d c b a解：因为)(z f 解析，由C-R 条件y v x u ∂∂=∂∂ xv y u ∂∂-=∂∂ y dx ay x 22+=+,22dy cx by ax --=+,2,2==d a ，,2,2d b c a -=-=,1,1-=-=b c给出C-R 条件6分，正确求导给2分，结果正确2分。