psr000830圆锥曲线

圆锥曲线知识点圆锥曲线是数学中一个重要的分支，研究的是平面内的曲线。

圆锥曲线包括椭圆、双曲线和抛物线三种曲线。

它们都是根据圆锥与一个平面的截痕而得到的。

首先来看椭圆。

椭圆是圆锥与一个平行于其中一条母线的平面相交而得到的。

椭圆有两个焦点，记作F1和F2，以及一个长轴AB和一个短轴CD。

椭圆的特点是到焦点的距离之和等于常数2a（焦距）。

在椭圆上的点P到焦点F1的距离记作PF1，到焦点F2的距离记作PF2，则有PF1 + PF2 = 2a。

椭圆还具有反射定律，即从椭圆的一个焦点出发的光线，在椭圆上反射后都会经过另一个焦点。

接下来是双曲线。

双曲线是圆锥与一个与其母线不平行的平面相交而得到的。

双曲线有两个焦点，记作F1和F2，以及两个虚焦点，记作F1'和F2'。

双曲线同样具有焦点定理，即到焦点的距离之差的绝对值等于常数2a（焦距）。

双曲线还具有渐近线，即与双曲线在无穷远点趋近平行的两条直线。

最后是抛物线。

抛物线是圆锥与一个平行于母线的平面相交而得到的。

抛物线有一个焦点F和一个直线准线。

抛物线的特点是到焦点的距离等于到准线的距离。

抛物线还具有对称性，即图像关于焦点F的直线对称。

抛物线还有重要的应用，如抛物面反射器、天线、喷气式飞机的火箭等。

除了上述的基本知识点，圆锥曲线还有许多重要的性质和应用。

比如，圆锥曲线可以用来描述物体的轨迹，例如行星绕太阳的轨道就是一个椭圆。

它们还有广泛的应用于数学、物理、工程等领域，如电磁场理论中的电磁波的传播路径，航天器轨道设计等。

在解题时，我们可以用方程来表示圆锥曲线。

对于椭圆，它的方程可以写成(x-h)^2/a^2 + (y-k)^2/b^2 = 1，其中(h,k)是椭圆的中心点。

对于双曲线，它的方程可以写成(x-h)^2/a^2 - (y-k)^2/b^2 = 1，其中(h,k)是双曲线的中心点。

对于抛物线，它的方程可以写成y = ax^2 + bx + c，其中a、b和c是常数。

高三圆锥曲线知识点总结人教版高三圆锥曲线知识点总结（人教版）在高三数学学习的过程中，圆锥曲线是一个重要的知识点。

它既有着理论的深度，又有着实际应用的广泛性。

下面我将对高三圆锥曲线的知识点进行总结。

一、圆锥曲线的基本概念圆锥曲线是指在一个平面内，有一个点（焦点F），到该点的距离与一个定点（直角顶点O）到平面的距离成一定比例的一组曲线。

其中，焦点与顶点连线的垂直平分线称为准线。

圆锥曲线可以分为椭圆、双曲线、抛物线三种。

1. 椭圆椭圆是一个封闭曲线，其定义是所有到焦点F1和F2的距离之和等于常数2a，其中a称为椭圆的长半轴，b称为椭圆的短半轴。

椭圆的标准方程为：x^2/a^2 + y^2/b^2 = 12. 双曲线双曲线是一个非封闭曲线，其定义是所有到焦点F1和F2的距离之差等于常数2a，其中a称为双曲线的半轴。

双曲线的标准方程为：x^2/a^2 - y^2/b^2 = 13. 抛物线抛物线是一个开口朝上或朝下的曲线，其定义是到焦点F和准线的距离相等。

抛物线的标准方程为：y^2 = 2px二、圆锥曲线的性质1. 椭圆的性质（1）离心率e的定义是焦点到准线的距离与焦点到曲线的距离之比。

对于椭圆，离心率e满足0<e<1。

（2）椭圆的两个焦点F1和F2关于中心对称。

（3）椭圆的两个半焦距相加等于长轴的长度，即2ae = 2a。

（4）椭圆的两个半焦距相减等于短轴的长度，即2ae = 2b。

2. 双曲线的性质（1）离心率e的定义同样适用于双曲线。

对于双曲线，离心率e满足e>1。

（2）双曲线的两个焦点F1和F2关于中心对称，但不在曲线上。

（3）双曲线的两个半焦距相减等于长轴的长度，即2ae = 2a。

（4）双曲线的两个半焦距相加等于短轴的长度，即2ae = 2b。

3. 抛物线的性质（1）抛物线关于准线对称。

（2）焦点和准线的距离等于半焦距的绝对值，即|PF| = |PG|。

（3）抛物线的焦距与抛物线的方程有关，焦距的公式为2p = a/e。

高三数学圆锥曲线详细知识点在高中数学中，圆锥曲线是一个重要的学习内容。

它包括了椭圆、双曲线和抛物线三个部分。

这些曲线在数学和物理学中都有广泛的应用，因此掌握圆锥曲线的知识对于学生来说非常重要。

1. 椭圆椭圆是圆锥曲线中的一种，它由一个动点P和两个定点F1和F2确定。

椭圆的定义是动点P到两个定点F1和F2的距离之和等于常数2a，即PF1 + PF2 = 2a。

这个常数2a称为椭圆的长轴长度。

椭圆的形状由参数e = PF1 / 2a来确定，其中e称为离心率。

当e=0时，椭圆退化成一个圆。

椭圆有许多重要性质和公式，比如它的离心率范围是0<e<1，长轴和短轴的长度之间有关系a^2 = b^2(1 - e^2)。

此外，椭圆还有焦点、准线、主轴等概念，对于理解椭圆的性质和应用非常有帮助。

2. 双曲线双曲线是圆锥曲线中的另一种形式。

它由一个动点P和两个定点F1和F2确定，类似于椭圆。

但不同的是，双曲线的定义是动点P到两个定点F1和F2的距离之差的绝对值等于常数2a，即|PF1 - PF2| = 2a。

与椭圆不同的是，双曲线的离心率e>1，因此它的形状更加扁平。

双曲线也有许多重要的性质和公式。

比如，它的离心率范围是e>1，焦点与曲线的准线之间的距离等于常数2a。

双曲线还有渐近线，指的是双曲线两个分支无限远处趋于平行的直线。

3. 抛物线抛物线是圆锥曲线中的第三种形式。

它由一个定点F和一条直线l确定，定点F称为焦点，直线l称为准线。

抛物线的定义是动点P到焦点F的距离等于点P到直线l的距离，即PF = PD。

抛物线的形状是开口向上或向下的U形曲线。

抛物线也有许多特殊的性质和公式。

比如，抛物线的焦半径等于准线与焦点之间的垂直距离，焦半径的长度等于焦距的两倍。

抛物线还有焦平面和直径等概念，对于解决实际问题非常有帮助。

总结：在高三数学中，圆锥曲线是一个重要的学习内容。

它包括了椭圆、双曲线和抛物线三个部分。

圆锥曲线一、椭圆及其性质第一定义平面内一动点P 与两定点F 1、F 2距离之和为常数(大于F 1F 2 )的点轨迹第二定义平面内一动点到定点与到准线的距离比是常数的点轨迹MF 1d 1=MF 2d 2=e 焦点焦点在x 轴上焦点在y 轴上图形yxF 1F 2abc O A 1A 2B 2B 1x =a 2cx =-a 2c y x F 1F 2ab c A 1A 2B 2B 1y =a2cy =-a2c标准方程x 2a 2+y 2b 2=1a >b >0y 2a 2+x 2b2=1a >b >0范围-a ≤x ≤a 且-b ≤y ≤b-b ≤x ≤b 且-a ≤y ≤a顶点A 1-a ,0 ，A 2a ,0 ，B 10,-b ，B 20,bA 10,-a ，A 20,a ，B 1-b ,0 ，B 2b ,0轴长长轴长=2a ，短轴长=2b ，焦距=F 1F 2 =2c ，c 2=a 2-b 2焦点F 1-c ,0 、F 2c ,0F 10,-c 、F 20,c焦半径PF 1 =a +e x 0，PF 2 =a -e x 0PF 1 =a -e y 0，PF 2 =a +e y 0焦点弦左焦点弦|AB |=2a +e (x 1+x 2)，右焦点弦|AB |=2a -e (x 1+x 2).离心率e =c a=1-b 2a20<e <1 准线方程x =±a 2cy =±a 2c切线方程x 0x a 2+y 0y b 2=1x 0xb 2+y 0y a 2=1通径过椭圆焦点且垂直于对称轴的弦长AB =2b 2a(最短焦点弦)焦点三角形(1)由定义可知：|PF 1|+|PF 2|=2a ，周长为：2a +2c (2)焦点三角形面积：S △F 1PF 2=b 2×tan θ2(3)当P 在椭圆短轴上时，张角θ最大，θ≥1-2e 2cos (4)焦长公式：PF 1 =b 2a -c αcos 、MF 1 =b 2a +c αcos MP =2ab 2a 2-c 22αcos =2ab 2b 2+c 22αsin (5)离心率：e =(α+β)sin α+βsin sin yxF 1F 2θαP OMβ第一定义平面内一动点P与两定点F1、F2距离之差为常数（大于F1F2）的点轨迹第二定义平面内一动点到定点与到准线的距离比是常数的点轨迹MF1d1=MF2d2=e焦点焦点在x轴上焦点在y轴上图形yxF1F2bc虚轴实轴ayxF1F2实轴虚轴标准方程x2a2-y2b2=1a>0,b>0y2a2-x2b2=1a>0,b>0范围x≤-a或x≥a，y∈R y≤-a或y≥a，x∈R 顶点A1-a,0、A2a,0A10,-a、A20,a轴长虚轴长=2b，实轴长=2a，焦距=F1F2=2c，c2=a2+b2焦点F1-c,0、F2c,0F10,-c、F20,c焦半径|PF1|=a+e x0，|PF2|=-a+e x0左支添“-”离心率e=ca=1+b2a2e>1准线方程x=±a2c y=±a2c渐近线y=±ba x y=±ab x切线方程x0xa2-y0yb2=1x0xb2-y0ya2=1通径过双曲线焦点且垂直于对称轴的弦长AB=2b2a(最短焦点弦)焦点三角形(1)由定义可知：|PF1|-|PF2|=2a(2)焦点直角三角形的个数为八个，顶角为直角与底角为直角各四个；(3)焦点三角形面积：S△F1PF2=b2÷tanθ2=c∙y(4)离心率：e=F1F2PF1-PF2=sinθsinα-sinβ=sin(α+β)sinα-sinβyxF1F2Pθαβ定义平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹称为抛物线．方程y 2=2px p >0y 2=-2px p >0x 2=2py p >0x 2=-2py p >0图形yxF x =-p2yxFx =p2y xFy =-p2yxFy =p2顶点0,0对称轴x 轴y 轴焦点F p2,0 F -p 2,0 F 0,p 2 F 0,-p 2准线方程x =-p 2x =p2y =-p 2y =p 2离心率e =1范围x ≥0x ≤0y ≥0y ≤0切线方程y 0y =p x +x 0y 0y =-p x +x 0x 0x =p y +y 0x 0x =-p y +y 0通径过抛物线焦点且垂直于对称轴的弦AB =2p (最短焦点弦)焦点弦AB 为过y 2=2px p >0 焦点的弦，A (x 1,y 1)、B (x 2,y 2)，倾斜角为α.则：(1)AF =x 1+p 2BF =x 2+p2AB =x 1+x 2+p ,(2)x 1x 2=p 24y 1y 2=-p 2(3)AF =p 1-αcos BF =p 1+αcos 1|FA |+1|FB |=2P (4)AB =2psin 2αS △AOB =p 22αsin AB 为过x 2=2py (p >0)焦点的弦，A (x 1,y 1)、B (x 2,y 2)，倾斜角为α.则：(1)AF =p 1-αsin BF =p1+αsin (2)AB =2p 2αcos S △AOB=p 22αcos (3)AF BF=λ，则：α=λ-1λ+1sin yxFx =-p 2αABO yxFαABOy 2=2px (p >0)y 2=2px (p >0)四、圆锥曲线的通法F 1F 2POxyOxyFP MOxyF 1F 2P椭圆双曲线抛物线点差法与通法1、圆锥曲线综述：联立方程设交点，韦达定理求弦长；变量范围判别式，曲线定义不能忘；弦斜中点点差法，设而不求计算畅；向量参数恰当用，数形结合记心间.★2、直线与圆锥曲线的位置关系（1）直线的设法：1若题目明确涉及斜率，则设直线：y =kx +b ，需考虑直线斜率是否存在，分类讨论；2若题目没有涉及斜率或直线过(a ,0)则设直线：x =my +a ,可避免对斜率进行讨论（2）研究通法：联立y =kx +bF (x ,y )=0得：ax 2+bx +c =0判别式：Δ=b 2−4ac ,韦达定理：x 1+x 2=−b a ，x 1x 2=ca（3）弦长公式：AB =(x 1-x 2)2+(y 1-y 2)2=1+k 2|x 1-x 2|=(1+k 2)⋅[(x 1+x 2)2-4x 1x 2]=1+1k2(y 1+y 2)2−4y 1y 2 3、硬解定理设直线y =kx +φ与曲线x 2m +y 2n=1相交于A (x 1,y 1)、B (x 2,y 2)由：y =kx +φnx 2+my 2=mn,可得：(n +mk 2)x 2+2kφmx +m (φ2-n )=0判别式：△=4mn (n +mk 2-φ2)韦达定理：x 1+x 2=-2kmφn +mk 2,x 1x 2=m (φ2-n )n +mk 2由：|x 1-x 2|=(x 1+x 2)2-4x 1x 2,代入韦达定理：|x 1-x 2|=△n +mk 2★4、点差法：若直线l 与曲线相交于M 、N 两点，点P (x 0,y 0)是弦MN 中点，MN 的斜率为k MN ，则：在椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)中,有k MN ⋅y 0x 0=−b 2a2;在双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >b >0)中,有k MN ⋅y 0x 0=b 2a2；在抛物线y 2=2px (p >0)中,有k MN ⋅y 0=p .(椭圆)设M 、N 两两点的坐标分别为(x 1,y 1)、(x 2,y 2)，则有x 12a 2+y 12b 2=1,⋯⋯(1)x 22a 2+y 22b 2=1.⋯⋯(2) (1)−(2)，得x 12−x 22a 2+y 12−y 22b 2=0.∴y 2−y 1x 2−x 1⋅y 2+y 1x 2+x 1=−b 2a2.又∵k MN =y 2−y 1x 2−x 1,y 1+y 2x 1+x 2=2y 2x =y x .∴k MN ⋅y x =−b 2a2.圆锥曲线的参数方程1、参数方程的概念在平面直角坐标系中，曲线上任意一点的坐标x ,y 都是某个变数t 的函数x =f (t )y =g (t )并且对于t 的每一个允许值，由这个方程所确定的点M (x ,y )都在这条曲线上，该方程就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x ,y 的变数t 叫做参变数，简称参数.相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程.※2、直线的参数方程(1)过定点P (x 0,y 0)、倾斜角为α(α≠π2)的直线的参数方程x =x 0+t cos αy =y 0+t sin α (t 为参数)(2)参数t 的几何意义：参数t 表示直线l 上以定点M 0为起点，任意一点M (x ,y )为终点的有向线段的长度再加上表示方向的正负号，也即|M 0M|=|t |，|t |表示直线上任一点M 到定点M 0的距离.当点M 在M 0上方时，t >0；当点M 在M 0下方时，t <0；当点M 与M 0重合时，t =0；(3)直线方程与参数方程互化：y −y o =tan α(x −x o )⇔x =x 0+t cos αy =y 0+t sin α(t 为参数)(4)直线参数方程：x =x 0+aty =y 0+bt (t 为参数)，当a 2+b 2=1时，参数方程为标准型参数方程，参数的几何意义才是代表距离.当a 2+b 2≠1时，将参数方程化为x =x 0+aa 2+b 2t y =y 0+ba 2+b 2t 然后在进行计算.★3、圆的参数方程（1）圆心(a ,b )，半径r 的圆(x -a )2+(y -b )2=r 2参数方程x =a +r cos θy =b +r sin θ (θ为参数)；特别：当圆心在原点时，半径为r 的圆x 2+y 2=r 2的参数方程为：x =r cos θy =r sin θ (θ是参数).(2)参数θ的几何意义：θ表示x 轴的正方向到圆心和圆上任意一点的半径所成的角.(3)消参的方法：利用sin 2θ+cos 2θ=1，yxF 1F 2PN OMyxM 0tαO M 1αP (x ,y )rxy可得圆方程：(x -a )2+(y -b )2=r 2★4、椭圆的参数方程(1)椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的参数方程为x =a cos φy =b sin φ (φ为参数)；椭圆y 2a 2+x 2b2=1(a >b >0)的参数方程为x =b cos φy =a sin φ (φ为参数)；(2)参数θ的几何意义：参数θ表示椭圆上某一点的离心角.如图所示，点P 对应的离心角为θ=∠QOx (过P 作PQ ⊥x 轴，交大圆即以2a 为直径的圆于Q )，切不可认为是θ=∠POx .5、双曲线的参数方程（1）双曲线x 2a 2-y 2b 2=1(a >b >0)的参数方程x =a sec φy =b tan φ (φ为参数)；sec φ=1cos φ双曲线y 2a 2-x 2b2=1(a >b >0)的参数方程x =b cot φy =a csc φ (φ为参数)；csc φ=1sin φ（2）参数θ的几何意义：参数θ表示双曲线上某一点的离心角.※6、抛物线的参数方程（1）抛物线y 2=2px 参数方程x =2pt 2y =2pt(t 为参数，t =1tan α)；（2）参数t 的几何意义：抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数.t =1k OP仿射变换与齐次式1、仿射变换：在几何中，一个向量空间进行一次线性变换并接上一个平移，变换为另一个向量空间.※2、椭圆的变换：椭圆b 2x 2+a 2y 2=a 2b 2变换内容x =x y=a b y x =xy =b a yx =b a x y=yx =a b x y =y圆方程x 2+y 2=a 2x 2+y 2=b 2图示yxAB OCyxABOCyxAB OCyxAB OC 点坐标A (x 0,y 0)→A '(x 0,a by 0)A (x 0,y 0)→A '(b ax 0,y 0)斜率变化k '=a bk ，由于k A 'C '⋅k B 'C '=−1．k AC ⋅k BC =b a k A 'C '⋅b a k B 'C '=−b 2a 2k '=a bk ，由于k A 'C '⋅k B 'C '=−1．k AC ⋅k BC =b a k A 'C '⋅b a k B 'C '=−b 2a2弦长变化则AB =1+k 2x 1-x 2 ⇒A 'B '=1+k '2x 1-x 2 =1+(a b)2k 2x 1-x 2 yxαPOQ面积变化S△ABC=b a S△A'B'C'(水平宽不变，铅锤高缩小)S△ABC=a b S△A'B'C'(水平宽扩大，铅垂高不变)3、中点弦问题，k OP⋅k AB=−b2a2，中垂线问题k OPk MP=b2a2，且x M=c2x0a2y N=-c2y0b2，拓展1：椭圆内接△ABC中，若原点O为重心，则仿射后一定得到△OB'C'为120°的等腰三角形；△A'B'C'为等边三角形；拓展2：椭圆内接平行四边形OAPB(A、P、B)在椭圆上，则仿射后一定得菱形OA'P'B' 4、面积问题：（1）若以椭圆x2a2+y2b2=1对称中心引出两条直线交椭圆于A、B两点，且k OA⋅k OB=−b2a2,则经过仿射变换后k OA'⋅k OB'=−1，所以S△AOB为定值.（2）若椭圆方程x2a2+y2b2=1上三点A，B，M，满足：①k OA⋅k OB=−b2a2②S△AOB=ab2③OM=sinαOA+cosαOBα∈0,π2，三者等价※5、平移构造齐次式：（圆锥曲线斜率和与积的问题）（1）题设：过圆锥曲线上的一个定点P作两条直线与圆锥曲线交于A、B，在直线PA和PB斜率之和或者斜率之积为定值的情况下，直线AB过定点或者AB定斜率的问题.（2）步骤：①将公共点平移到坐标原点（点平移：左加右减上减下加）找出平移单位长.②由①中的平移单位长得出平移后的圆锥曲线C ，所有直线方程统一写为：mx+ny=1③将圆锥曲线C 展开，在一次项中乘以mx+ny=1，构造出齐次式.④在齐次式中，同时除以x2,构建斜率k的一元二次方程，由韦达定理可得斜率之积（和）.圆锥曲线考点归类(一)条件方法梳理1、椭圆的角平分线定理（1）若点A、B是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上的点，AB与椭圆长轴交点为N，在长轴上一定存在一个点M，当仅当则x M⋅x N=a2时，∠AMN=∠BMN，即长轴为角平分线；（2）若点A、B是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上的点，AB与椭圆短轴交点为N，在短轴上一定存在一个点M，当仅当则y M⋅y N=b2时，∠AMN=∠BMN，即短轴为角平分线；※2、关于角平分线的结论：若直线AO的斜率为k1,直线CO的斜率为k2,EO平分∠AOC则有：k1+k2=tanα+tan(π-α)=0角平分线的一些等价代换条件：作x轴的对称点、点到两边的距离相等.3、四种常用直线系方程(1)定点直线系方程：经过定点P 0(x 0,y 0)的直线系方程为y -y 0=k (x -x 0)(除直线x =x 0),其中k 是待定的系数;经过定点P 0(x 0,y 0)的直线系方程为A (x -x 0)+B (y -y 0)=0,其中A ,B 是待定的系数．(2)共点直线系方程：经过两直线l 1:A 1x +B 1y +C 1=0,l 2:A 2x +B 2y +C 2=0的交点的直线系方程为(A 1x +B 1y +C 1)+λ(A 2x +B 2y +C 2)=0(除l 2)，其中λ是待定的系数．(3)平行直线系方程：直线y =kx +b 中当斜率k 一定而b 变动时，表示平行直线系方程．与直线Ax +By +C =0平行的直线系方程是Ax +By +λ=0(λ≠0)，λ是参变量．(4)垂直直线系方程：与直线Ax +By +C =0(A ≠0，B ≠0)垂直的直线系方程是Bx -Ay +λ=0,λ是参变量．4、圆系方程(1)过直线l :Ax +By +C =0与圆C :x 2+y 2+Dx +Ey +F =0的交点的圆系方程是x 2+y 2+Dx +Ey +F +λ(Ax +By +C )=0,λ是待定的系数．(2)过圆C 1:x 2+y 2+D 1x +E 1y +F 1=0与圆C 2:x 2+y 2+D 2x +E 2y +F 2=0的交点的圆系方程是x 2+y 2+D 1x +E 1y +F 1+λ(x 2+y 2+D 2x +E 2y +F 2)=0,λ是待定的系数．★(二)圆锥曲线过定点问题1、直线过定点的背景：（1）直线过定点模型：A ,B 是圆锥曲线上的两动点，M 是一定点，其中α,β分别为MA ,MB 的倾斜角，则：①、MA ⋅MB 为定值⇔直线AB 恒过定点；②、k MA ⋅k MB 为定值⇔直线AB 恒过定点；③、α+β=θ(0<θ<π)⇔直线AB 恒过定点.（2）抛物线中直线过定点：A ,B 是抛物线y 2=2px (p >0)上的两动点，α,β分别为OA ,OB 的倾斜角，则：OA ⊥OB ⇔k OA ⋅k OB =-1⇔α-β =π2⇔直线AB 恒过定点(2p ,0).（3）椭圆中直线过定点模型：A ,B 是椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)上异于右顶点D 的两动点，其中α,β分别为DA ,DB 的倾斜角，则可以得到下面几个充要的结论：DA ⊥DB ⇔k DA ⋅k DB =-1⇔α-β =π2⇔直线AB 恒过定点(ac 2a 2+b 2,0)2、定点的求解方法：1含参形式简单的直线方程，通过将直线化为y -y 0=k (x -x 0)可求得定点坐标(x 0,y 0)2含参形式复杂的通过变换主元法求解定点坐标.变换主元法：将直线化为h (x ,y )+λf (x ,y )=0,解方程组：h (x ,y )=0f (x ,y )=0 可得定点坐标.eg :直线方程：（2m +1）x +(m -5)y +6=0,将m 看作主元，按照降幂排列：（2x +y ）m+x -5y +6=0,解方程组：2x +y =0x -5y +6=0,解得：x =-611y =1211,求得直线过定点（-611,1211）.3、关于以AB 为直径的圆过定点问题：(1)直接法：设出参数后，表示出圆的方程.圆的直径式方程：（x -x 1）(x -x 2)+(y -y 1)(y -y 2)=0(2)由特殊到一般：利用赋值法，先求出几个位置的圆方程，联立圆方程解出公共交点，该交点即为圆所过的定点，再利用向量数量积为0证明点恒在圆上.★(三)圆锥曲线面积问题1、面积的求解方法：（1）S △ABC =12MN ∙d ，从公式可以看出，求面积重在求解弦长和点到线的距离.（2）S △ABC =12×水平宽×铅锤高，主要以点的坐标运算为主.（3）S △AOB =12x 1y 2-x 2y 1例题1.在平面直角坐标系xOy 中，已知点O 0,0 ，A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 不共线，证明：△AOB 的面积为S △AOB =12x 1y 2-x 2y 1 .2、面积中最值的求解(1)f (x )=αx 2+βx +φx +n型：令t =x +n ⇒x =t -n 进行代换后裂项转化为：y =at +bt (2)f (x )=x +n αx 2+βx +φ型：先在分母中配出分子式f (x )=x +n α(x +n )2+λ(x +n )+υ令t =x +n ，此时：y =t αt 2+λt +υ，分子分母同时除t ，此时y =1αt +υt+λ，再利用对勾函数或不等式分析最值.(3)f (x )=αx +βx +n型：令t =x +n ⇒x =t 2-n 进行代换后裂项，可转化为：y =at +bt五、椭圆的二级结论1.PF1+PF2=2a2.标准方程x2a2+y2b2=13.PF1d1=e<14.点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的外角.5.PT平分△PF1F2在点P处的外角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.6.以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离.7.以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.8.设A1、A2为椭圆的左、右顶点，则△PF1F2在边PF2(或PF1)上的旁切圆，必与A1A2所在的直线切于A2 (或A1).9.椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的两个顶点为A1(-a,0),A2(a,0)，与y轴平行的直线交椭圆于P1、P2时A1P1与A2P2交点的轨迹方程是x2a2-y2b2=1.10.若点P0(x0,y0)在椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0上，则在点P0处的切线方程是x0xa2+y0yb2=1.11.若P0(x0,y0)在椭圆x2a2+y2b2=1外，则过Po作椭圆的两条切线切点为P1、P2，则切点弦P1P2的直线方程是x0xa2+y0yb2=1.12.AB是椭圆x2a2+y2b2=1的不平行于对称轴的弦，M为AB的中点，则k OM⋅k AB=-b2a2.13.若P0(x0,y0)在椭圆x2a2+y2b2=1内，则被PO所平分的中点弦的方程是x0xa2+y0yb2=x02a2+y02b2.14.若P0(x0,y0)在椭圆x2a2+y2b2=1内，则过PO的弦中点的轨迹方程是x2a2+y2b2=x0xa2+y0yb2.15.若PQ是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上对中心张直角的弦，则1r12+1r22=1a2+1b2(r1=|OP|,r2=|OQ|).16.若椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上中心张直角的弦L所在直线方程为Ax+By=1(AB≠0),则(1)1a2+1 b2=A2+B2;(2)L=2a4A2+b4B2a2A2+b2B2.17.给定椭圆C1：b2x2+a2y2=a2b2(a>b>0),C2：b2x2+a2y2=a2-b2a2+b2ab2,则(i)对C1上任意给定的点P(x0,y0),它的任一直角弦必须经过C2上一定点M a2-b2a2+b2x0,-a2-b2a2+b2y0. (ii)对C2上任一点P (x0 ,y0 )在C1上存在唯一的点M ,使得M 的任一直角弦都经过P 点.18.设P(x0,y0)为椭圆(或圆)C:x2a2+y2b2=1(a>0,.b>0)上一点，P1P2为曲线C的动弦,且弦PP1,PP2斜率存在，记为k1,k2,则直线P1P2通过定点M(mx0,-my0)(m≠1)的充要条件是k1⋅k2=-1+m1-m⋅b2a2.19.过椭圆x2a2+y2b2=1(a>0,b>0)上任一点A(x0,y0)任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C两点，则直线BC有定向且k BC=b2x0a2y0(常数).20.椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右焦点分别为F1，F2，点P为椭圆上任意一点∠F1PF2=γ，则椭圆的焦点三角形的面积为S△F1PF2=b2tanγ2，P±ac c2-b2tan2γ2,±b2c tanγ2.21.若P为椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上异于长轴端点的任一点,F1,F2是焦点,∠PF1F2=α,∠PF2F1=β，则a-ca+c=tanα2tanβ2.22.椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的焦半径公式：|MF1|=a+ex0,|MF2|=a-ex0(F1(-c,0),F2(c,0)，M(x0,y0)).23.若椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，左准线为L，则当2-1≤e<1时，可在椭圆上求一点P，使得PF1是P到对应准线距离d与PF2的比例中项.24.P为椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上任一点,F1,F2为二焦点，A为椭圆内一定点，则2a-|AF2|≤|PA|+|PF1|≤2a+|AF2|,当且仅当A,F2,P三点共线时，等号成立.25.椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上存在两点关于直线l：y=k(x-x0)对称的充要条件是x02≤(a2-b2)2a2+b2k2.26.过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.27.过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.28.P是椭圆x=a cosϕy=b sinϕ(a>b>0)上一点，则点P对椭圆两焦点张直角的充要条件是e2=11+sin2ϕ.29.设A,B为椭圆x2a2+y2b2=k(k>0,k≠1)上两点，其直线AB与椭圆x2a2+y2b2=1相交于P,Q,则AP=BQ.30.在椭圆x 2a 2+y 2b 2=1中，定长为2m (o <m ≤a )的弦中点轨迹方程为m 2=1-x 2a 2+y 2b 2a 2cos 2α+b 2sin 2α ,其中tan α=-bx ay ,当y =0时,α=90∘.31.设S 为椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的通径，定长线段L 的两端点A ,B 在椭圆上移动，记|AB |=l ，M(x 0,y 0)是AB 中点，则当l ≥ΦS 时，有(x 0)max =a 2c -l 2e c 2=a 2-b 2,e =c a;当l <ΦS 时，有(x 0)max =a 2b4b 2-l 2,(x 0)min=0.32.椭圆x 2a 2+y 2b2=1与直线Ax +By +C =0有公共点的充要条件是A 2a 2+B 2b 2≥C 2.33.椭圆(x -x 0)2a 2+(y -y 0)2b2=1与直线Ax +By +C =0有公共点的充要条件是A 2a 2+B 2b 2≥(Ax 0+By 0+C )2.34.设椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的两个焦点为F 1、F 2,P (异于长轴端点)为椭圆上任意一点，在△PF 1F 2中，记∠F 1PF 2=α,∠PF 1F 2=β,∠F 1F 2P =γ，则有sin αsin β+sin γ=c a =e.35.经过椭圆b 2x 2+a 2y 2=a 2b 2(a >b >0)的长轴的两端点A 1和A 2的切线，与椭圆上任一点的切线相交于P 1和P 2，则|P 1A 1|⋅|P 2A 2|=b 2.36.已知椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)，O 为坐标原点，P 、Q 为椭圆上两动点，且OP ⊥OQ .(1)1|OP |2+1|OQ |2=1a 2+1b2;(2)|OP |2+|OQ |2的最小值为4a 2b 2a 2+b 2;(3)S ΔOPQ 的最小值是a 2b 2a 2+b 2.37.MN 是经过椭圆b 2x 2+a 2y 2=a 2b 2(a >b >0)焦点的任一弦，若AB 是经过椭圆中心O 且平行于MN 的弦，则|AB |2=2a |MN |.38.MN 是经过椭圆b 2x 2+a 2y 2=a 2b 2(a >b >0)焦点的任一弦，若过椭圆中心O 的半弦OP ⊥MN ，则2a |MN |+1|OP |2=1a 2+1b2.39.设椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0),M (m ,o )或(o ,m )为其对称轴上除中心，顶点外的任一点，过M 引一条直线与椭圆相交于P 、Q 两点，则直线A 1P 、A 2Q (A 1,A 2为对称轴上的两顶点)的交点N 在直线l ：x =a2m(或y =b 2m)上.40.设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF .41.过椭圆一个焦点F的直线与椭圆交于两点P、Q,A1、A2为椭圆长轴上的顶点，A1P和A2Q交于点M，A2P和A1Q交于点N，则MF⊥NF.42.设椭圆方程x2a2+y2b2=1,则斜率为k(k≠0)的平行弦的中点必在直线l：y=kx的共轭直线y=k x上,而且kk =-b2 a2 .43.设A、B、C、D为椭圆x2a2+y2b2=1上四点,AB、CD所在直线的倾斜角分别为α,β，直线AB与CD相交于P,且P不在椭圆上,则PA⋅PBPC⋅PD=b2cos2β+a2sin2βb2cos2α+a2sin2α.44.已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0),点P为其上一点F1,F2为椭圆的焦点，∠F1PF2的外(内)角平分线为l，作F1、F2分别垂直l于R、S，当P跑遍整个椭圆时，R、S形成的轨迹方程是x2+y2=a2c2y2=a2y2+b2x x±c2 a2y2+b2x±c2.45.设△ABC内接于椭圆Γ，且AB为Γ的直径，l为AB的共轭直径所在的直线，l分别交直线AC、BC于E和F，又D为l上一点，则CD与椭圆Γ相切的充要条件是D为EF的中点.46.过椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点F作直线交该椭圆右支于M,N两点，弦MN的垂直平分线交x轴于P，则|PF||MN|=e2.47.设A(x1,y1)是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上任一点，过A作一条斜率为-b2x1a2y1的直线L，又设d是原点到直线L的距离,r1,r2分别是A到椭圆两焦点的距离，则r1r2d=ab.48.已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)和x2a2+y2b2=λ(0<λ<1)，一直线顺次与它们相交于A、B、C、D四点，则│AB│=|CD│.49.已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0),A、B、是椭圆上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点P(x0,0),则-a2-b2a<x0<a2-b2 a.50.设P点是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上异于长轴端点的任一点,F1、F2为其焦点记∠F1PF2=θ，则(1)|PF1||PF2|=2b21+cosθ.(2)SΔPF1F2=b2tanθ2.51.设过椭圆的长轴上一点B(m,o)作直线与椭圆相交于P、Q两点，A为椭圆长轴的左顶点，连结AP和AQ分别交相应于过H点的直线MN：x=n于M，N两点,则∠MBN=90∘⇔a-ma+m=a2n-m2 b2(n+a)2.52.L是经过椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)长轴顶点A且与长轴垂直的直线，E、F是椭圆两个焦点，e是离心率,点P∈L，若∠EPF=α，则α是锐角且sinα≤e或α≤arcsin e(当且仅当|PH|=b时取等号).53.L是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的准线，A、B是椭圆的长轴两顶点,点P∈L，e是离心率，∠EPF=α，H是L与X轴的交点c是半焦距，则α是锐角且sinα≤e或α≤arcsin e(当且仅当|PH|=ab c时取等号).54.L是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的准线，E、F是两个焦点，H是L与x轴的交点，点P∈L，∠EPF=α,离心率为e，半焦距为c，则α为锐角且sinα≤e2或α≤arcsin e2(当且仅当|PH|=b c a2+c2时取等号).55.已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)，直线L通过其右焦点F2,且与椭圆相交于A、B两点，将A、B与椭圆左焦点F1连结起来，则b2≤|F1A|⋅|F1B|≤(2a2-b2)2a2(当且仅当AB⊥x轴时右边不等式取等号，当且仅当A、F1、B三点共线时左边不等式取等号).56.设A、B是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的长轴两端点，P是椭圆上的一点，∠PAB=α,∠PBA=β,∠BPA=γ，c、e分别是椭圆的半焦距离心率，则有(1)|PA|=2ab2|cosα|a2-c2cos2α.(2)tanαtanβ=1-e2.(3)SΔPAB=2a2b2b2-a2cotγ.57.设A、B是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)长轴上分别位于椭圆内(异于原点)、外部的两点，且x A、x B的横坐标x A⋅x B=a2，(1)若过A点引直线与这椭圆相交于P、Q两点，则∠PBA=∠QBA；(2)若过B引直线与这椭圆相交于P、Q两点，则∠PAB+∠QAB=180∘.58.设A、B是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)长轴上分别位于椭圆内(异于原点)，外部的两点，(1)若过A点引直线与这椭圆相交于P、Q两点，(若BP交椭圆于两点，则P、Q不关于x轴对称)，且∠PBA=∠QBA，则点A、B的横坐标x A、x B满足x A⋅x B=a2；(2)若过B点引直线与这椭圆相交于P、Q两点，且∠PAB+∠QAB=180∘,则点A、B的横坐标满足x A⋅x B=a2.59.设A,A 是椭圆x2a2+y2b2=1的长轴的两个端点，QQ 是与AA 垂直的弦，则直线AQ与A Q 的交点P的轨迹是双曲线x2a2-y2b2=1.60.过椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点F作互相垂直的两条弦AB、CD则8ab2a2+b2≤|AB|+|CD|≤2(a2+b2)a.61.到椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)两焦点的距离之比等于a -c b (c 为半焦距)的动点M 的轨迹是姊妹圆(x ±a )2+y 2=b 2.62.到椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的长轴两端点的距离之比等于a -c b (c 为半焦距)的动点M 的轨迹是姊妹圆x ±a e 2+y 2=b e 2.63.到椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的两准线和x 轴的交点的距离之比为a -c b (c 为半焦距)的动点的轨迹是姊妹圆x ±a e 2 2+y 2=b e 2 2(e 为离心率).64.已知P 是椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)上一个动点，A ,A 是它长轴的两个端点,且AQ ⊥AP ,A Q ⊥AP ，则Q 点的轨迹方程是x 2a 2+b 2y 2a4=1.65.椭圆的一条直径(过中心的弦)的长，为通过一个焦点且与此直径平行的弦长和长轴之长的比例中项.66.设椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)长轴的端点为A ,A ,P (x 1,y 1)是椭圆上的点过P 作斜率为-b 2x 1a 2y 1的直线l ，过A ,A 分别作垂直于长轴的直线交l 于M ,M ,则(1)|AM ||A M |=b 2.(2)四边形MAA M 面积的最小值是2ab .67.已知椭圆x 2a 2+y2b2=1(a >b >0)的右准线l 与x 轴相交于点E ，过椭圆右焦点F 的直线与椭圆相交于A 、B 两点,点C 在右准线l 上，且BC ⎳x 轴，则直线AC 经过线段EF 的中点.68.OA 、OB 是椭圆(x -a )2a 2+y 2b 2=1(a >0,b >0)的两条互相垂直的弦，O 为坐标原点，则(1)直线AB必经过一个定点2ab 2a 2+b 2,0 .(2)以OA 、OB 为直径的两圆的另一个交点Q 的轨迹方程是x -ab 2a 2+b 2 2+y 2=ab 2a 2+b 2 2(x ≠0).69.P (m ,n )是椭圆(x -a )2a 2+y 2b2=1(a >b >0)上一个定点，PA 、PB 是互相垂直的弦，则(1)直线AB 必经过一个定点2ab 2+m (a 2-b 2)a 2+b 2,n (b 2-a 2)a 2+b 2 .(2)以PA 、PB 为直径的两圆的另一个交点Q 的轨迹方程是x -ab 2+a 2m a 2+b 2 2+y -b 2n a 2+b 2 2=a 2[b 4+n 2(a 2-b 2)](a 2+b 2)2(x ≠m 且y ≠n ).70.如果一个椭圆短半轴长为b ，焦点F 1、F 2到直线L 的距离分别为d 1、d 2，那么(1)d 1d 2=b 2，且F 1、F 2在L 同侧⇔直线L 和椭圆相切.(2)d 1d 2>b 2，且F 1、F 2在L 同侧⇔直线L 和椭圆相离，(3)d 1d 2<b 2，或F 1、F 2在L 异侧⇔直线L 和椭圆相交.71.AB 是椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的长轴，N 是椭圆上的动点，过N 的切线与过A 、B 的切线交于C 、D两点，则梯形ABDC的对角线的交点M的轨迹方程是x2a2+4y2b2=1(y≠0).72.设点P(x0,y0)为椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的内部一定点，AB是椭圆x2a2+y2b2=1过定点P(x0,y0)的任一弦，当弦AB平行(或重合)于椭圆长轴所在直线时(|PA|⋅|PB|)max=a2b2-(a2y02+b2x02)b2.当弦AB垂直于长轴所在直线时,(|PA|⋅|PB|)min=a2b2-(a2y02+b2x02)a2.73.椭圆焦三角形中,以焦半径为直径的圆必与以椭圆长轴为直径的圆相内切.74.椭圆焦三角形的旁切圆必切长轴于非焦顶点同侧的长轴端点.75.椭圆两焦点到椭圆焦三角形旁切圆的切线长为定值a+c与a-c.76.椭圆焦三角形的非焦顶点到其内切圆的切线长为定值a-c.77.椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率).(注:在椭圆焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.)78.椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e.79.椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项.80.椭圆焦三角形中,椭圆中心到内点的距离、内点到同侧焦点的距离、半焦距及外点到同侧焦点的距离成比例.81.椭圆焦三角形中,半焦距、外点与椭圆中心连线段、内点与同侧焦点连线段、外点与同侧焦点连线段成比例.82.椭圆焦三角形中,过任一焦点向非焦顶点的外角平分线引垂线,则椭圆中心与垂足连线必与另一焦半径所在直线平行.83.椭圆焦三角形中,过任一焦点向非焦顶点的外角平分线引垂线,则椭圆中心与垂足的距离为椭圆长半轴的长.84.椭圆焦三角形中,过任一焦点向非焦顶点的外角平分线引垂线,垂足就是垂足同侧焦半径为直径的圆和椭圆长轴为直径的圆的切点.85.椭圆焦三角形中,非焦顶点的外角平分线与焦半径、长轴所在直线的夹角的余弦的比为定值e.86.椭圆焦三角形中,非焦顶点的法线即为该顶角的内角平分线.87.椭圆焦三角形中,非焦顶点的切线即为该顶角的外角平分线.88.椭圆焦三角形中,过非焦顶点的切线与椭圆长轴两端点处的切线相交,则以两交点为直径的圆必过两焦点.89.已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>0,b>0)(包括圆在内)上有一点P,过点P分别作直线y=b a x及y=-b a x的平行线，与x 轴于M ,N ，与y 轴交于R ,Q .,O 为原点，则：(1)|OM |2+|ON |2=2a 2；(2)|OQ |2+|OR |2=2b 2.90.过平面上的P 点作直线l 1:y =b a x 及l 2:y =-b ax 的平行线，分别交x 轴于M ,N ，交y 轴于R ,Q .(1)若|OM |2+|ON |2=2a 2，则P 的轨迹方程是x 2a 2+y 2b2=1(a >0,b >0).(2)若|OQ |2+|OR |2=2b 2，则P 的轨迹方程是x 2a 2+y 2b2=1(a >0,b >0).91.点P 为椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >0,b >0)(包括圆在内)在第一象限的弧上任意一点，过P 引x 轴、y 轴的平行线，交y 轴、x 轴于M ,N ，交直线y =-b ax 于Q ,R ，记ΔOMQ 与ΔONR 的面积为S 1,S 2，则：S 1+S 2=ab 2.92.点P 为第一象限内一点，过P 引x 轴、y 轴的平行线，交y 轴、x 轴于M ,N ，交直线y =-b ax 于Q ,R ，记△OMQ 与△ONR 的面积为S 1,S 2，已知S 1+S 2=ab 2，则P 的轨迹方程是x 2a 2+y 2b2=1(a >0,b >0).93.过椭圆焦点垂直于长轴的弦(通径)是最短的弦，长为2b 2a，过焦点最长弦为长轴．94.过原点最长弦为长轴长2a ，最短弦为短轴长2b .95.与椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)有共焦点的椭圆方程为x 2a 2+λ+y 2b 2+λ=1(a >b >0，λ>-b 2)．96.与椭圆y 2a 2+x 2b 2=1(a >b >0)有共焦点的椭圆方程为y 2a 2+λ+x 2b 2+λ=1(a >b >0，λ>-b 2)．97.焦点三角形：椭圆上的点P (x 0，y 0)与两焦点F 1，F 2构成的△PF 1F 2叫做焦点三角形．若r 1=|PF 1|，r 2=|PF 2|，∠F 1PF 2=θ，△PF 1F 2的面积为S ，则在椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)中：①当r 1=r 2时，即点P 为短轴端点时，θ最大；cos θ=r 21+r 22-4c 22r 1r 2=r 1+r 2 2-2r 1r 2-4c22r 1r 2=4b 22r 1r 2-1=2b 2r 1r 2-1≥2b 2r 1+r 222-1=2b 2-a 2a 2=b 2-c 2a 2当且仅当r 1=r 2时，等号成立.②S =12|PF 1||PF 2|sin θ=c |y 0|=sin θ1+cos θb 2=b 2tan θ2，当|y 0|=b ，即点P 为短轴端点时，S 取得最大值，最大值为bc ；③△PF 1F 2的周长为2(a +c )．98.AB 为过F 的焦点弦，则1FA +1FB =2ab 299.已知椭圆Γ:x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的左右焦点分别为F 1、F 2.椭圆Γ在点P 处的切线为l ，Q ∈l .且满足∠AQF1=θ0<θ<π2，则点Q在以C0,±cθcot为圆心，a θsin为半径的圆上.六、双曲线的二级结论1.PF1-PF2=2a2.标准方程x2a2-y2b2=13.PF1d1=e>14.点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的内角.5.PT平分△PF1F2在点P处的内角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以实轴为直径的圆，除去实轴的两个端点.6.以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相交.7.以焦点半径PF1为直径的圆必与以实轴为直径的圆外切.8.设P为双曲线上一点，则△PF1F2的内切圆必切于与P在同侧的顶点.9.双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的两个顶点为A1(-a,0),A2(a,0)，与y轴平行的直线交双曲线于P1、P2时A1P1与A2P2交点的轨迹方程是x2a2+y2b2=1.10.若点P0(x0,y0)在双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)上，则在点P0处的切线方程是x0xa2-y0yb2=1.11.若P0(x0,y0)在双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)外，则过P0作双曲线的两条切线切点为P1、P2，则切点弦P1P2的直线方程是x0xa2-y0yb2=1.12.若AB是双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的不平行于对称轴且过原点的弦，M为AB的中点，则k OM⋅k AB=b2a2.13.若P0(x0,y0)在双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)内，则被P0所平分的中点弦的方程是x0xa2-y0yb2=x02a2-y02 b2 .14.若P0(x0,y0)在双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)内，则过Po的弦中点的轨迹方程是x2a2-y2b2=x0xa2-y0y b2.15.若PQ是双曲线x2a2-y2b2=1(b>a>0)上对中心张直角的弦，则1r12+1r22=1a2-1b2(r1=|OP|,r2=|OQ|).16.若双曲线x2a2-y2b2=1(b>a>0)上中心张直角的弦L所在直线方程为Ax+By=1(AB≠0),则(1)1a2-1 b2=A2+B2;(2)L=2a4A2+b4B2|a2A2-b2B2|.17.给定双曲线C1：b2x2-a2y2=a2b2(a>b>0),C2：b2x2-a2y2=a2+b2a2-b2ab2,则(i)对C1上任意给定的点P(x0,y0),它的任一直角弦必须经过C2上一定点M a2+b2a2-b2x0,-a2+b2a2-b2y0. (ii)对C2上任一点P (x0 ,y0 )在C1上存在唯一的点M ,使得M 的任一直角弦都经过P 点.18.设P(x0,y0)为双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)上一点，P1P2为曲线C的动弦,且弦PP1,PP2斜率存在，记为k1,k2,则直线P1P2通过定点M(mx0,-my0)(m≠1)的充要条件是k1⋅k2=1+m1-m⋅b2a2.19.过双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>o)上任一点A(x0,y0)任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于B,C两点，则直线BC有定向且k BC=-b2x0a2y0(常数).20.双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左右焦点分别为F1，F2，点P为双曲线上任意一点∠F1PF2=γ，则双曲线的焦点角形的面积为S△F1PF2=b2cotγ2=b2γ2tan，P±ac c2+b2cot2γ2,±b2c cotγ2.21.若P为双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)右(或左)支上除顶点外的任一点,F1,F2是焦点,∠PF1F2=α,∠PF2F1=β，则c-ac+a=tan α2cotβ2(或c-ac+a=tanβ2cotα2).22.双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>o)的焦半径公式：F1(-c,0),F2(c,0)当M(x0,y0)在右支上时，|MF1|=ex0+a,|MF2|=ex0-a.当M(x0,y0)在左支上时，|MF1|=-ex0-a,|MF2|=-ex0+a.23.若双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，左准线为L，则当1<e≤2+1时，可在双曲线上求一点P，使得PF1是P到对应准线距离d1与PF2的比例中项.24.P为双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)上任一点,F1,F2为二焦点，A为双曲线左支内一定点，则|AF2|-2a≤|PA|+|PF1|,当且仅当A,F2,P三点共线且P在左支时，等号成立.25.双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)上存在两点关于直线l：y=k(x-x0)对称的充要条件是x02>(a2+b2)2 a2-b2k2k≠0且k≠±a b .26.过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.27.过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.28.P是双曲线x=a secϕy=b tanϕ(a>0，b>0)上一点，则点P对双曲线两焦点张直角的充要条件是e2=11-tan2ϕ.29.设A,B为双曲线x2a2-y2b2=k(a>0,b>0，k>0,k≠1)上两点，其直线AB与双曲线x2a2-y2b2=1相交于P,Q,则AP=BQ.30.在双曲线x2a2-y2b2=1中，定长为2m(m>0)的弦中点轨迹方程为m2=1-x2a2-y2b2a2cosh2t+b2sinh2t,coth t=-aybx,x=0时t=0，弦两端点在两支上x2a2-y2b2-1a2sinh2t+b2cosh2t，coth t=-bxay,y=0时t=0，弦两端点在同支上31.设S为双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的通径，定长线段L的两端点A,B在双曲线右支上移动，记|AB|=l，M(x0,y0)是AB中点，则当l≥ΦS时，有(x0)min=a2c+l2e c2=a2+b2,e=c a;当l<ΦS时，有(x0)min=a2b4b2+l2.32.双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)与直线Ax+By+C=0有公共点的充要条件是A2a2-B2b2≤C2.33.双曲线(x-x0)2a2-(y-y0)2b2=1(a>0,b>0)与直线Ax+By+C=0有公共点的充要条件是A2a2-B2b2≤(Ax0+By0+C)2.34.设双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的两个焦点为F1、F2,P(异于长轴端点)为双曲线上任意一点，在△PF1F2中，记∠F1PF2=α,∠PF1F2=β,∠F1F2P=γ，则有sinα±(sinγ-sinβ)=c a=e.35.经过双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的实轴的两端点A1和A2的切线，与双曲线上任一点的切线相交于P1和P2，则|P1A1|⋅|P2A2|=b2.36.已知双曲线x2a2-y2b2=1(b>a>0)，O为坐标原点，P、Q为双曲线上两动点，且OP⊥OQ.(1)1|OP|2+1 |OQ|2=1a2-1b2;(2)|OP|2+|OQ|2的最小值为4a2b2b2-a2;(3)SΔOPQ的最小值是a2b2b2-a2.37.MN是经过双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)过焦点的任一弦(交于两支)，若AB是经过双曲线中心O且平行于MN的弦，则|AB|2=2a|MN|.38.MN是经过双曲线x2a2-y2b2=1(a>b>0)焦点的任一弦(交于同支)，若过双曲线中心O的半弦OP⊥。

圆锥曲线的极坐标方程、焦半径公式、焦点弦公式一、圆锥曲线的极坐标方程椭圆、双曲线、抛物线可以统一定义为：与一个定点(焦点)的距离和一条定直线(准线)的距离的比等于常数e 的点的轨迹．以椭圆的左焦点(双曲线的右焦点、抛物线的焦点)为极点，过点F 作相应准线的垂线，垂足为K ，以FK 的反向延长线为极轴建立极坐标系．椭圆、双曲线、抛物线统一的极坐标方程为： θρcos 1e ep -=. 其中p 是定点F 到定直线的距离，p ＞0 ．当0＜e ＜1时，方程表示椭圆；当e ＞1时，方程表示双曲线，若ρ＞0，方程只表示双曲线右支，若允许ρ＜0，方程就表示整个双曲线；当e=1时，方程表示开口向右的抛物线.二、圆锥曲线的焦半径公式设F 为椭圆的左焦点(双曲线的右焦点、抛物线的焦点)，P 为椭圆(双曲线的右支、抛物线)上任一点，则 ∵PQ e PF =，∴)cos (p PF e PF +=θ，其中FH p =，=θ〈x 轴，FP 〉 ∴焦半径θcos 1e ep PF -=． 当P 在双曲线的左支上时，θcos 1e ep PF +-=. 推论：若圆锥曲线的弦MN 经过焦点F ，则有ep NF MF 211=+.三、圆锥曲线的焦点弦长若圆锥曲线的弦MN 经过焦点F ，1、椭圆中，cb c c a p 22=-=，θθπθ2222cos 2)cos(1cos 1c a ab e ep e ep MN -=--+-=. 2、双曲线中，若M 、N 在双曲线同一支上，θθπθ2222cos 2)cos(1cos 1c a ab e ep e ep MN -=--+-=； 若M 、N 在双曲线不同支上，2222cos 2cos 1cos 1a c ab e ep e ep MN -=--+-=θθθ. 3、抛物线中，θθπθ2sin 2)cos(1cos 1p p p MN =--+-=. 四、直角坐标系中的焦半径公式设P （x,y ）是圆锥曲线上的点，1、若1F 、2F 分别是椭圆的左、右焦点，则ex a PF +=1，ex a PF -=2；2、若1F 、2F 分别是双曲线的左、右焦点，当点P 在双曲线右支上时，a ex PF +=1，a ex PF -=2；当点P 在双曲线左支上时，ex a PF --=1，ex a PF -=2；3、若F 是抛物线的焦点，2p x PF +=.。

圆锥曲线知识点圆锥曲线是数学中一个重要的概念，它指的是平面上由一个动点P 与一个定点F和一条定直线L确定的一类曲线。

圆、椭圆、抛物线和双曲线都是圆锥曲线的具体例子。

本文将介绍圆锥曲线的定义、特征以及它们在现实生活中的应用。

一、圆锥曲线的定义圆锥曲线是平面几何中的重要概念，它由一个定直线L和一个定点F以及平面上P点的轨迹组成。

其中，定直线L称为准线，定点F称为焦点，而曲线上的点P为动点。

根据焦点与准线之间的距离关系，圆锥曲线可以分为四种类型。

1. 圆：当焦点F与准线L上的点重合时，即F为L的中点时，形成的曲线为圆。

圆锥曲线上的所有点到焦点F的距离都相等，这是圆的特征。

2. 椭圆：当焦点F到准线L的距离小于曲线上点P到焦点F的距离之和时，形成的曲线为椭圆。

椭圆是我们生活中常见到的圆形，特点是离焦点F 越远的点到焦点F的距离与到准线L的距离之和越大。

3. 抛物线：当焦点F到准线L的距离等于曲线上点P到焦点F的距离时，形成的曲线为抛物线。

抛物线可以看作是圆锥曲线的一种极端情况，具有开口向上或向下的特点。

4. 双曲线：当焦点F到准线L的距离大于曲线上点P到焦点F的距离之和时，形成的曲线为双曲线。

双曲线的特点是离焦点F越远的点到焦点F的距离与到准线L的距离之和越大。

二、圆锥曲线的性质圆锥曲线具有许多重要的性质，其中一些性质如下：1. 焦点与准线之间的距离关系：对于椭圆和双曲线而言，焦点F到准线L的距离是一个恒定值。

而对于抛物线而言，焦点F到准线L的距离等于焦距的两倍。

2. 离心率：离心率是一个衡量圆锥曲线形状的重要参数。

对于椭圆而言，离心率介于0和1之间；对于双曲线而言，离心率大于1；而对于抛物线而言，离心率等于1。

3. 对称性：圆锥曲线具有一定的对称性。

例如，椭圆具有关于两个对称轴的对称性，而抛物线具有关于焦点和准线的对称性。

4. 焦点与直线之间的关系：对于给定的圆锥曲线上的一点P，焦点F到点P的连线与准线L之间的夹角相等。

圆锥曲线知识点总结高三网圆锥曲线知识点总结在高三学习数学的阶段，我们经常会遇到圆锥曲线这一知识点。

圆锥曲线是解析几何的重要内容，它包括椭圆、双曲线和抛物线三种曲线形式。

下面我们将对这些曲线的基本性质进行总结。

1. 椭圆椭圆是圆锥曲线中的一种，具有以下特点：- 定义：椭圆由一个固定点F（焦点）和一个不经过焦点的定长线段2a（长轴）上的所有点P组成。

- 离心率：离心率e是一个用来描述椭圆的形状的参数，它的取值范围是0<e<1，而当e=0时，椭圆退化为一个圆。

- 焦点和直径：椭圆的两个焦点与长轴的中点相连，得到的线段就是椭圆的两个直径。

- 焦半径性质：对于椭圆上的任意一点P，到F1的距离加上到F2的距离等于常数2a，即PF1 + PF2 = 2a。

2. 双曲线双曲线也是圆锥曲线中的一种，具有以下特点：- 定义：双曲线由一个固定点F（焦点）和一个不经过焦点的线段2a（长轴）上的所有点P组成。

- 离心率：与椭圆不同，双曲线的离心率e大于1。

- 渐近线性质：双曲线的两个分支在无穷远处会趋近于两条互相平行的直线，这两条直线称为双曲线的渐近线。

- 双曲线方程：双曲线的方程一般形式为(x^2 / a^2) - (y^2 / b^2) = 1，其中a为长轴的半长，b为短轴的半长。

3. 抛物线抛物线是圆锥曲线中的一种，具有以下特点：- 定义：抛物线是由一个焦点F和与焦点不重合的一条直线l上的所有点P所构成。

- 焦半径性质：对于抛物线上的任意一点P，其到焦点F的距离PF等于点P到直线l的距离PL。

- 抛物线方程：抛物线的一般方程形式为y^2 = 2px，其中p是焦点到准线的距离，同时也是抛物线的离心率。

4. 特殊情况除了一般情况下的椭圆、双曲线和抛物线之外，还有一些特殊的情况需要额外注意：- 圆：当离心率e=0时，椭圆退化为一个圆，此时圆锥的两个焦点和直径重合。

- 线：当离心率e=1时，双曲线退化为两条平行直线。

高三关于圆锥曲线的知识点圆锥曲线是高中数学学科中一个重要的知识点，它涉及了从代数、几何以及计算器操作等多个方面。

下面就让我们来系统性地了解和掌握圆锥曲线的相关知识。

一、圆锥曲线的定义和分类圆锥曲线是由一个固定点（称为焦点）和到这个点的距离与到一条直线（称为准线）的距离之比等于一个常数（称为离心率）的点构成的集合。

根据离心率的不同，圆锥曲线分为三类：当离心率为0时，是椭圆；当离心率为1时，是抛物线；当离心率大于1时，是双曲线。

二、椭圆的性质和方程椭圆是圆锥曲线中最简单的一类曲线。

它具有很多有趣的性质。

例如，椭圆的对称轴是准线上的线段，焦点在对称轴上，并且椭圆上的任意一点到焦点的距离和到准线的距离之和是一个常数。

椭圆的方程一般为x²/a²+y²/b²=1，其中a和b分别是椭圆的长半轴和短半轴。

三、抛物线的性质和方程抛物线与椭圆相比，更加特殊一些。

它的准线是水平的直线，焦点在准线之上。

抛物线有一个很重要的性质，就是焦点到准线的距离等于焦点到抛物线上任意一点的距离。

抛物线的方程可以有多种形式，例如：y²=4ax和x²=4ay。

其中，焦点在原点，准线与x轴平行，a是一个常数。

四、双曲线的性质和方程双曲线是圆锥曲线中最复杂的一类曲线。

它的准线有两条，且并不平行。

双曲线有两个焦点和两个顶点，同时还有两条渐近线。

它具有很多有趣的性质，例如，双曲线的各个点到焦点的距离差的绝对值等于到准线的距离差的绝对值之比等于一个常数。

双曲线的方程一般有两种形式：x²/a²-y²/b²=1和y²/b²-x²/a²=1，其中a和b分别是双曲线的半轴。

五、圆锥曲线的应用除了了解圆锥曲线的性质和方程，我们还可以通过几何和代数的方法来解决实际问题。

例如，我们可以利用椭圆的性质来解决地球上船只航行问题；我们可以利用抛物线的性质来解决物体抛射问题；我们可以利用双曲线的性质来解决电磁波传播问题等等。

高考数学回归课本教案圆锥曲线一、基础知识1．椭圆的定义，第一定义：平面上到两个定点的距离之和等于定长（大于两个定点之间的距离）的点的轨迹，即|PF 1|+|PF 2|=2a (2a>|F 1F 2|=2c).第二定义：平面上到一个定点的距离与到一条定直线的距离之比为同一个常数e(0<e<1)的点的轨迹（其中定点不在定直线上），即e dPF =||(0<e<1). 第三定义：在直角坐标平面内给定两圆c 1: x 2+y 2=a 2, c 2: x 2+y 2=b 2, a, b ∈R +且a ≠b 。

从原点出发的射线交圆c 1于P ，交圆c 2于Q ，过P 引y 轴的平行线，过Q 引x 轴的平行线，两条线的交点的轨迹即为椭圆。

2．椭圆的方程，如果以椭圆的中心为原点，焦点所在的直线为坐标轴建立坐标系，由定义可求得它的标准方程，若焦点在x 轴上，列标准方程为12222=+by a x (a>b>0)， 参数方程为⎩⎨⎧==θθsin cos b y a x （θ为参数）。

若焦点在y 轴上，列标准方程为12222=+by a y (a>b>0)。

3．椭圆中的相关概念，对于中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆12222=+b y a x ， a 称半长轴长，b 称半短轴长，c 称为半焦距，长轴端点、短轴端点、两个焦点的坐标分别为(±a, 0), (0, ±b), (±c, 0)；与左焦点对应的准线（即第二定义中的定直线）为c a x 2-=，与右焦点对应的准线为c a x 2=；定义中的比e 称为离心率，且ac e =，由c 2+b 2=a 2知0<e<1.椭圆有两条对称轴，分别是长轴、短轴。

4．椭圆的焦半径公式：对于椭圆=+2222by a x 1(a>b>0), F 1(-c, 0), F 2(c, 0)是它的两焦点。

2010届福州市高三数学基础回归备考资料八、圆锥曲线福州三中 黄炳锋1． 圆锥曲线的定义：椭圆中，与两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数2a ，且此常数2a 一定要大于21F F ，当常数等于21F F 时，轨迹是线段F 1F 2，当常数小于21F F 时，无轨迹；双曲线中，与两定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数2a ，且此常数2a 一定要小于|F 1F 2|，定义中的“绝对值”与2a ＜|F 1F 2|不可忽视．若2a ＝|F 1F 2|，则轨迹是以F 1，F 2为端点的两条射线，若2a ﹥|F 1F 2|，则轨迹不存在．若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支．要重视定义中“括号”内的限制条件：如（1）已知定点)0,3(),0,3(21F F -，在满足下列条件的平面上动点P 的轨迹中是椭圆的是 A ．421=+PF PF B ．621=+PF PF C ．1021=+PF PF D ．122221=+PF PF （答：C ）；（2）已知12F F 、为椭圆221259x y +=的两个焦点，过1F 的直线交椭圆于A 、B 两点．若22||||12||___F A F B AB +==，则 （答：8）（3）方程8表示的曲线是_____（答：双曲线的左支） （4）已知)0(),0,(),0,(>=--c c PN PM c N c M 若，则动点P 的轨迹是（ ）A ．双曲线的左支B ．双曲线的右支C ．以N 为端点的射线D ．线段MN （答：B ）2． 圆锥曲线的标准方程（标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程）：（1）椭圆：焦点在x 轴上时12222=+by a x （0a b >>），焦点在y 轴上时2222b x a y +＝1（0a b >>）．方程22Ax By C +=表示椭圆的充要条件是什么？（ABC ≠0，且A ，B ，C 同号，A ≠B ）．如：已知方程12322=-++ky k x 表示椭圆，则k 的取值范围为____（答：11(3,)(,2)22--- ）；（2）双曲线：焦点在x 轴上：2222b y a x - =1，焦点在y 轴上：2222bx a y -＝1（0,0a b >>）．方程22Ax By C +=表示双曲线的充要条件是什么？（ABC ≠0，且A ，B 异号）．如（1）双曲线的离心率等于25，且与椭圆14922=+y x 有公共焦点，则该双曲线的方程_______（答：2214x y -=）； （2）设中心在坐标原点O ，焦点1F 、2F 在坐标轴上，离心率2=e 的双曲线C 过点)10,4(-P ，则C 的方程为_______（答：226x y -=）（3）抛物线：开口向右时22(0)y px p =>，开口向左时22(0)y px p =->，开口向上时22(0)x py p =>，开口向下时22(0)x py p =->．3． 圆锥曲线焦点位置的判断（首先化成标准方程，然后再判断）： （1）椭圆：由x 2，y2分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上．如已知方程222x my +=表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是__（答：(0,1)）（2）双曲线：由x 2，y2项系数的正负决定，焦点在系数为正的坐标轴上；（3）抛物线：焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向．特别提醒：（1）在求解椭圆、双曲线问题时，首先要判断焦点位置，焦点F 1，F 2的位置，是椭圆、双曲线的定位条件，它决定椭圆、双曲线标准方程的类型，而方程中的两个参数,a b ，确定椭圆、双曲线的形状和大小，是椭圆、双曲线的定形条件；在求解抛物线问题时，首先要判断开口方向；（2）在椭圆中，a 最大，222a b c =+，在双曲线中，c 最大，222c a b =+．4． 圆锥曲线的几何性质：（1）椭圆（以12222=+by a x （0a b >>）为例）：①范围：,a x a b y b -≤≤-≤≤； ②焦点：两个焦点(,0)c ±；③对称性：两条对称轴0,0x y ==，一个对称中心（0，0），四个顶点(,0),(0,)a b ±±，其中长轴长为2a ，短轴长为2b ；④离心率：ce a=，椭圆⇔01e <<，e 越小，椭圆越圆；e 越大，椭圆越扁． 如（1）若椭圆1522=+m y x 的离心率510=e ，则m 的值是__（答：3或325）； （2）以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为1时，则椭圆长轴的最小值为__（答：22）（3）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆2222x y a b+=1( a b >>0)的焦距为2c ，以点O 为圆心，a 为半径作圆M ，过点P 2,0a c ⎛⎫ ⎪⎝⎭作圆M 的两切线互相垂直，则离心率e = ．（答：） （2）双曲线（以22221x y a b -=（0,0a b >>）为例）： ①范围：x a ≤-或,x a y R ≥∈； ②焦点：两个焦点(,0)c ±；③对称性：两条对称轴0,0x y ==，一个对称中心（0，0），两个顶点(,0)a ±，其中实轴长为2a ，虚轴长为2b ，特别地，当实轴和虚轴的长相等时，称为等轴双曲线，其方程可设为22,0x y k k -=≠；④离心率：ce a=，双曲线⇔1e >，等轴双曲线⇔e =e 越小，开口越小，e 越大，开口越大；⑤两条渐近线：by x a=±．如（1）双曲线的渐近线方程是023=±y x ，则该双曲线的离心率等于______）； （2）设双曲线12222=-by a x （a>0，b>0）中，离心率e ∈[2，2]，则两条渐近线夹角θ的取值范围是________（答：[,]32ππ）；（3）双曲线虚轴的一个端点为M ，两个焦点为F 1、F 2，∠F 1MF 2=120°，则双曲线的离心率（ ）A ．3B ．26 C ．36 D ．33 （答：B ） （3）抛物线（以22(0)y px p =>为例）：①范围：0,x y R ≥∈； ②焦点：一个焦点(,0)2p，其中p 的几何意义是：焦点到准线的距离； ③对称性：一条对称轴0y =，没有对称中心，只有一个顶点（0，0）； ④准线：一条准线2px =-； ⑤离心率：c e a=，抛物线⇔1e =．如设R a a ∈≠,0，则抛物线24ax y =的焦点坐标为________（答：)161,0(a）；5． 点00(,)P x y 和椭圆12222=+by a x （0a b >>）的关系：（1）点00(,)P x y 在椭圆外⇔2200221x y a b+>；（2）点00(,)P x y 在椭圆上⇔220220b y a x +＝1；（3）点00(,)P x y 在椭圆内⇔2200221x y a b+<6．直线与圆锥曲线的位置关系：（通过联立方程来判断）（1）相交：直线与椭圆相交⇔0∆>（或者能直接判断直线过椭圆内的一个定点）； 0∆>⇒直线与双曲线相交，但直线与双曲线相交不一定有0∆>，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交且只有一个交点，故0∆>是直线与双曲线相交的充分条件，但不是必要条件；0∆>⇒直线与抛物线相交，但直线与抛物线相交不一定有0∆>，当直线与抛物线的对称轴平行时，直线与抛物线相交且只有一个交点，故0∆>也仅是直线与抛物线相交的充分条件，但不是必要条件．（2）相切：直线与椭圆相切⇔0∆=；0∆=⇔直线与双曲线相切；0∆=⇔直线与抛物线相切； （3）相离：直线与椭圆相离⇔0∆<；0∆<⇔直线与双曲线相离；0∆<⇔直线与抛物线相离．如（1）若直线y=kx+2与双曲线x 2-y 2=6的右支有两个不同的交点，则k 的取值范围是_______ （答：(-315，-1)）； （2）直线y ―kx ―1=0与椭圆2215x y m+=恒有公共点，则m 的取值范围是_______ （答：[1，5）∪（5，+∞））；（3）求椭圆284722=+y x 上的点到直线01623=--y x （4）过双曲线12122=-y x 的右焦点直线交双曲线于A 、B 两点，若│AB ︱＝4，则这样的直线有_____条（答：3）；特别提醒：（1）直线与双曲线、抛物线只有一个公共点时的位置关系有两种情形：相切和相交．如果直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交，但只有一个交点；如果直线与抛物线的轴平行时，直线与抛物线相交，也只有一个交点；（2）过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条平行于对称轴的直线．如（1）过点)4,2(作直线与抛物线x y 82=只有一个公共点，这样的直线有______（答：2）； （2）对于抛物线C ：x y 42=，我们称满足0204x y <的点),(00y x M 在抛物线的内部，若点),(00y x M 在抛物线的内部，则直线l ：)(200x x y y +=与抛物线C 的位置关系是_______（答：相离）；（3）设斜率为2的直线l 过抛物线2(0)y ax a =≠的焦点F ，且和y 轴交于点A ，若△OAF(O 为坐标原点)的面积为4，则抛物线方程为 ( )．A ．24y x =±B ．28y x =±C ． 24y x =D ． 28y x =(答：B)（4）设双曲线191622=-y x 的右焦点为F ，右准线为l ，设某直线m 交其左支、右支和右准线分别于R Q P ,,，则PFR ∠和QFR ∠的大小关系为___________(填大于、小于或等于) （答：等于）；（5）直线1+=ax y 与双曲线1322=-y x 交于A 、B 两点．①当a 为何值时，A 、B 分别在双曲线的两支上？②当a 为何值时，以AB为直径的圆过坐标原点？（答：①(；②1a =±）；7． 圆锥曲线上的点P 到焦点F 的距离（焦半径）问题： 结合定义求解．如（1）点P 在椭圆192522=+y x 上，它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍，则点P 的横坐标为_______（答：2512）； （2）设F 是椭圆16722=+y x 的右焦点，且椭圆上至少有21个不同的点(1,2,3),i P i = 使123,,,FP FP FP 组成公差为d 的等差数列，则d 的取值范围为 ．（答：d ∈11,00,1010⎡⎫⎛⎤-⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦） （3）已知抛物线方程为x y 82=，若抛物线上一点到y 轴的距离等于5，则它到抛物线的焦点的距离等于____；（4）若该抛物线上的点M 到焦点的距离是4，则点M 的坐标为_____（答：7,(2,4)±）； （5）抛物线x y 22=上的两点A 、B 到焦点的距离和是5，则线段AB 的中点到y 轴的距离为______（答：2）；8． 焦点三角形（椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形）问题：常利用定义和正弦、余弦定理求解．设椭圆或双曲线上的一点00(,)P x y 到两焦点12,F F 的距离分别为12,r r ，焦点12F PF ∆的面积为S ，12F PF θ∠=，则在椭圆12222=+by a x 中：①2122cos 1b rr θ=-，且当12r r =即P 为短轴端点时，θ最大，满足222cos b c a θ-=； ②20tan||2S b c y θ==，当0||y b =即P 为短轴端点时，max S 的最大值为bc ；如（1）短轴长为5，离心率32=e 的椭圆的两焦点为1F 、2F ，过1F 作直线交椭圆于A 、B 两点，则2ABF ∆的周长为________（答：6）；（2）已知12F F 、是椭圆 的两个焦点，P 为椭圆上一点，2F 为右焦点，若1260F PF ∠=，则椭圆的离心率的范围是______． （答：1[12，））（3）已知1F 、2F 是椭圆1:2222=+by a x C （a ＞b ＞0）的两个焦点，P 为椭圆C 上一点，且21PF PF ⊥．若21F PF∆的面积为9，则b =____________．（答：3） （4）椭圆22194x y +=的焦点为F 1、F 2，点P 为椭圆上的动点，当PF 2→ ·PF 1→<0时，点P 的横坐标的取值范围是（答：(）； （5）已知1F 、2F 是椭圆的两个焦点，满足120MF MF ⋅=的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（ ）A ．(0,1)B ．1(0,]2C ．(0,2 D ．[,1)2（答：选C ） （6）设P 是等轴双曲线)0(222>=-a a y x 右支上一点，F 1、F 2是左右焦点，若0212=⋅F F PF ，|PF 1|=6，则该双曲线的方程为 （答：224x y -=）；（7）双曲线的虚轴长为4，离心率e ＝26，F 1、F 2是它的左右焦点，若过F 1的直线与双曲线的左支交于A 、B 两点，且AB 是2AF 与2BF 等差中项，则AB ＝__________（答：（8）已知双曲线的离心率为2，F 1、F 2是左右焦点，P 为双曲线上一点，且 6021=∠PF F ，31221=∆F PF S ．求该双曲线的标准方程（答：221412x y -=）；9． 抛物线中与焦点弦有关的一些几何图形的性质： （1）以过焦点的弦为直径的圆和准线相切；（2）设AB 为焦点弦， M 为准线与x 轴的交点，则∠AMF ＝∠BMF ；（3）设AB 为焦点弦，A 、B 在准线上的射影分别为A 1，B 1，若P 为A 1B 1的中点，则PA ⊥PB ； （4）若AO 的延长线交准线于C ，则BC 平行于x 轴，反之，若过B 点平行于x 轴的直线交准线于C 点，则A ，O ，C 三点共线．10． 弦长公式：若直线y kx b =+与圆锥曲线相交于两点A 、B ，且12,x x 分别为A 、B 的横坐标，则AB12x -，若12,y y 分别为A 、B 的纵坐标，则AB ＝21211y y k -+，若弦AB 所在直线方程设为x ky b =+，则AB12y y -．特别地，焦点弦（过焦点的弦）：焦点弦的弦长的计算，一般不用弦长公式计算，而是利用圆锥曲线的定义求解．如（1）斜率为1的直线与椭圆2214x y +=相交于A 、B 两点，则|AB|的最大值是____() （2）过抛物线y 2=4x 的焦点作直线交抛物线于A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）两点，若x 1+x 2=6，那么|AB|等于_______（答：8）；（3）已知ABC ∆的顶点A 、B 在椭圆2234x y +=上，C 在直线:2l y x =+上，且AB 平行于直线l ．（1）当AB 边通过坐标原点O 时，求AB 的长及ABC ∆的面积；（2）当90ABC ∠=︒，且斜边AC 的长最大时，求AB 所在直线的方程．（答：2;1ABC S AB y x ∆==-直线：）（4）过抛物线x y 22=焦点的直线交抛物线于A 、B 两点，已知|AB|=10，O 为坐标原点，则ΔABC 重心的横坐标为_______（答：3）；（5）过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 作倾斜角为45的直线交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 的长为8，则p =________________ （答：2）11． 圆锥曲线的中点弦问题：遇到中点弦问题常用“韦达定理”求解．在椭圆12222=+by a x 中，以00(,)P x y 为中点的弦所在直线的斜率k=－0202y a x b ；在双曲线22221x y a b -=中，以00(,)P x y 为中点的弦所在直线的斜率k=0202y a x b ；在抛物线22(0)y px p =>中，以00(,)P x y 为中点的弦所在直线的斜率k=0py ．如（1）如果椭圆221369x y +=弦被点A （4，2）平分，那么这条弦所在的直线方程是 （答：280x y +-=）；（2）已知直线y=－x+1与椭圆22221(0)x y a b a b+=>>相交于A 、B 两点，且线段AB 的中点在直线L ：x －2y=0上，则此椭圆的离心率为_______（答：2）； （3）若椭圆22123x y +=上存在不同的两点A 、B 关于直线l ：m x y +=4对称，求实数m 的取值范围．（答：,55⎛-⎝⎭）；（4）已知椭圆的一个顶点为A （0，-1），焦点在x 轴上，若右焦点到直线0x y -+=的距离为3，（1）求椭圆的方程；（2）设直线l ：y x m =+，是否存在实数m ，使得直线l 与该椭圆有两个不同的交点C 、D ，使得||||AC AD =？若存在，求m 的值；若不存在，请说明理由．（答：2213x y +=；不存在） 特别提醒：因为0∆>是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件，故在求解有关弦长、对称问题时，务必别忘了检验0∆>！12．你了解下列结论吗？（1）双曲线12222=-b y a x 的渐近线方程为02222=-b y a x ；（2）以x a by ±=为渐近线（即与双曲线12222=-b y a x 共渐近线）的双曲线方程为λλ(2222=-b y a x 为参数，λ≠0）．如与双曲线116922=-y x 有共同的渐近线，且过点)32,3(-的双曲线方程为_______（答：224194x y -=） （3）中心在原点，坐标轴为对称轴的椭圆、双曲线方程可设为221mx ny +=；（4）若抛物线22(0)y px p =>的焦点弦为AB ，1122(,),(,)A x y B x y ，则①12||AB x x p =++；②221212,4p x x y y p ==- （5）若OA 、OB 是过抛物线22(0)y px p =>顶点O 的两条互相垂直的弦，则直线AB 恒经过定点(2,0)p13．动点轨迹方程：（1）求轨迹方程的步骤：建系、设点、列式、化简、确定点的范围； （2）求轨迹方程的常用方法：①直接法：直接利用条件建立,x y 之间的关系(,)0F x y =；如已知动点P 到定点F(1，0)和直线3=x 的距离之和等于4，求P 的轨迹方程．（答：212(4)(34)y x x =--≤≤或24(03)y x x =≤<）；②待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程――先根据条件设出所求曲线的方程，再由条件确定其待定系数．如 线段AB 过x 轴正半轴上一点M （m ，0）)0(>m ，端点A 、B 到x 轴距离之积为2m ，以x 轴为对称轴，过A 、O 、B 三点作抛物线，则此抛物线方程为（答：22y x =）；③定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程；如（1）求过点A （2，0）且与圆224320x x y ++-=内切的圆的圆心的轨迹方程．（答：22195x y +=）（2）由动点P 向圆221x y +=作两条切线PA 、PB ，切点分别为A 、B ，∠APB=600，则动点P 的轨迹方程为（答：224x y +=）；（3）点M 与点F(4，0)的距离比它到直线05=+x l ：的距离小于1，则点M 的轨迹方程是_______（答：216y x =）；（4）一动圆与两圆⊙M ：122=+y x 和⊙N ：012822=+-+x y x 都外切，则动圆圆心的轨迹为_____ （答：双曲线的一支）注意：①寻求轨迹或轨迹方程时应注意轨迹上特殊点的限制；②在与圆锥曲线相关的综合题中，常借助于“平面几何性质”数形结合、“方程与函数性质”化解析几何问题为代数问题、“分类讨论思想”化整为零分化处理、“求值构造等式、求变量范围构造不等关系”等等；③如果在一条直线上出现“三个或三个以上的点”，那么可选择应用“斜率或向量”为桥梁转化．14． 解析几何与向量综合时可能出现的向量内容：（1）给出直线的方向向量()k u ,1= 或()n m u ,=； （2）给出M 是AB 的中点，则)(21OM +=； （3）给出0=+，等于已知P 是MN 的中点；（4）给出()+=+λ，等于已知Q P ,与AB 的中点三点共线；（5） 给出以下情形之一：①AC AB //；②存在实数,AB AC λλ=使；③若存在实数,,1,OC OA OB αβαβαβ+==+且使，等于已知C B A ,,三点共线．（6） 给出0=⋅，等于已知MB MA ⊥，即AMB ∠是直角，给出0<=⋅m ，等于已知AMB ∠是钝角， 给出0>=⋅m ，等于已知AMB ∠是锐角；（7）给出MP =⎪⎫ ⎛+λ，等于已知MP 是AMB ∠的平分线；（8）在平行四边形ABCD 中，给出0)()(=-⋅+AD AB AD AB ，等于已知ABCD 是菱形；（9） 在平行四边形ABCD 中，给出||||AB AD AB AD +=-，等于已知ABCD 是矩形；（10）在ABC ∆中，给出222==，等于已知O 是ABC ∆的外心（三角形外接圆的圆心，是三角形三边垂直平分线的交点）；（11） 在ABC ∆中，给出=++，等于已知O 是ABC ∆的重心（三角形的重心是三角形三条中线的交点）；（12）在ABC ∆中，给出⋅=⋅=⋅，等于已知O 是ABC ∆的垂心（三角形的垂心是三角形三条高的交点）；（13）在ABC ∆中，给出+=OA OP ()||||AB AC AB AC λ+ )(+∈R λ等于已知通过ABC ∆的内心； （14）在ABC ∆中，给出0=⋅+⋅+⋅c b a 等于已知O 是ABC ∆的内心（三角形内切圆的圆心，三角形的内心是三角形三条角平分线的交点）；（15） 在ABC ∆中，给出()12AD AB AC =+，等于已知AD 是ABC ∆中BC 边的中线．如在直xoy 中，点P 到两点(0,的距离之和为4，设点P 的轨迹为C ，直线1y kx =+与C 交于A ，B 两点，（1）写出曲线C 的方程；（2）是否存在实数k ，使得OA OB ⊥，若存在，求出k ；若不存在，说明理由．（答：2211;.42y x k +==±）。