2020高考数学刷题首秧单元质量测试五不等式推理与证明算法初步与复数理含解析

考点测试34 二元一次不等式组与简单的线性规划高考概览本考点是高考必考知识点，常考题型为选择题、填空题，分值5分，中等难度 考纲研读1.会从实际情境中抽象出二元一次不等式组2．了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组 3．会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决一、基础小题1．不等式y (x ＋y －2)≥0在平面直角坐标系中表示的区域(用阴影部分表示)是( )答案 C解析 由y (x ＋y －2)≥0，得⎩⎪⎨⎪⎧y ≥0，x ＋y －2≥0或⎩⎪⎨⎪⎧y ≤0，x ＋y －2≤0，所以不等式y (x ＋y －2)≥0在平面直角坐标系中表示的区域是C 项．2.已知点A (－3，－1)与点B (4，－6)在直线3x －2y －a ＝0的两侧，则实数a 的取值范围是( )A ．(－24，7)B ．(－7，24)C ．(－∞，－24)∪(7，＋∞)D ．(－∞，－7)∪(24，＋∞) 答案 B解析 (－9＋2－a )(12＋12－a )＜0，所以－7＜a ＜24.故选B.3．若实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥－1，x ＋y ≥1，3x －y ≤3，则该约束条件所围成的平面区域的面积是( )A ．3 B.52C ．2D ．2 2 答案 C解析 因为直线x －y ＝－1与x ＋y ＝1互相垂直，所以如图所示的可行域为直角三角形，易得A (0，1)，B (1，0)，C (2，3)，故|AB |＝2，|AC |＝22，所以其面积为12×|AB |×|AC |＝2.4．若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥0，x －y ≥0，3x ＋y －4≤0，则3x ＋2y 的最大值是( )A ．0B ．2C ．5D ．6 答案 C解析 作不等式组的可行域，如图：令z ＝3x ＋2y ，则y ＝－32x ＋z 2表示一系列平行于y ＝－32x 的直线，并且z2表示该直线的纵截距．显然，把直线y ＝－32x 平移至点A 处，z 最大．由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝0，3x ＋y －4＝0得A (1，1)．所以z max ＝3x ＋2y ＝3＋2＝5.故选C.5．已知点(a ，b )是平面区域⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x ≥0，y ≥－1内的任意一点，则3a －b 的最小值为( )A ．－3B ．－2C ．－1D ．0 答案 B解析 根据题意可知(a ，b )在如图阴影中，设z ＝3a －b .则b ＝3a －z ，所以－z 可以理解为y ＝3x ＋t 中的纵截距t .因而当y ＝3x ＋t 过点(0，2)时，t 最大为2.即－z 最大为2，所以z 最小为－2.6．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x －y ≤0，x ＋y －1≥0，则z ＝x ＋3y 的取值范围是( )A ．(－∞，2]B ．[2，3]C ．[3，＋∞) D．[2，＋∞) 答案 D解析 作不等式组表示的平面区域，如图．平移直线x ＋3y ＝0到点A 时，z 取得最小值，由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝0，x ＋y －1＝0，解得点A 12，12，所以z min ＝12＋32＝2，无最大值．故选D.7．在如图所示的平面区域内有A (5，3)，B (1，1)，C (1，5)三点，若使目标函数z ＝ax ＋y (a >0)取得最大值的最优解有无穷多个，则实数a 的值是( )A.23B.12 C ．2 D.32答案 B解析 由题意知，当z ＝ax ＋y 与直线AC 重合时最优解有无穷多个．因为k AC ＝－12，所以－a ＝－12，即a ＝12.故选B.8．已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y －7≤0，x ≥1，y ≥1，则|y －x |的最大值是( )A ．2 2 B.322 C ．4 D ．3答案 D解析画出不等式组表示的平面区域(如图)，计算得A (1，2)，B (4，1)，当直线z ＝x －y 过点A 时z min ＝－1，过点B 时z max ＝3，则－1≤x －y ≤3，则|y －x |≤3.9．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x >0，y >0，2x ＋y <6所表示的平面区域内的整点个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．5 答案 C解析 由不等式2x ＋y <6，得y <6－2x ，且x >0，y >0，则当x ＝1时，0<y <4，则y ＝1，2，3，此时整点有(1，1)，(1，2)，(1，3)；当x ＝2时，0<y <2，则y ＝1，此时整点有(2，1)；当x ＝3时，y 无解．故平面区域内的整点个数为4.故选C.10．某蔬菜收购点租用车辆，将100吨新鲜黄瓜运往某市销售，可供租用的卡车和农用车分别为10辆和20辆．若每辆卡车载重8吨，运费960元，每辆农用车载重2.5吨，运费360元，则蔬菜收购点运完全部黄瓜支出的最低运费为( )A ．11280元B ．12480元C ．10280元D ．11480元 答案 B解析 设租用的卡车和农用车分别为x 辆和y 辆，运完全部黄瓜支出的运费为z 元，则⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤10，0≤y ≤20，8x ＋2.5y ≥100，x ∈N *，y ∈N *，目标函数z ＝960x ＋360y ，此不等式组表示的可行域是△ABC (其中A (10，8)，B (10，20)，C (6.25，20))内横坐标和纵坐标均为整数的点．当直线l ：z ＝960x ＋360y 经过点A (10，8)时，运费最低，且其最低运费z min ＝960×10＋360×8＝12480(元)，选B.11．设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y ≥10，x ＋3y ≤6表示的平面区域为D ，若在区域D 上存在函数y ＝log a x (a >1)的图象上的点，则实数a 的取值范围是( )A ．(3，＋∞) B．(1，3) C ．[3，＋∞) D．(1，3] 答案 C解析 作不等式组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y ≥10，x ＋3y ≤6表示的平面区域D ，如图中阴影部分所示．由⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y ＝10，x ＋3y ＝6，解得点A (3，1)．由a >1，对数函数的图象经过可行域，此时满足log a 3≤1，解得a ≥3，所以实数a 的取值范围是[3，＋∞)，故选C.12．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≤0，x －y ＋1≥0，y ≥－1，则w ＝x 2＋y 2－4x －4y ＋8的最小值为________．答案 92解析目标函数w ＝x 2＋y 2－4x －4y ＋8＝(x －2)2＋(y －2)2，其几何意义是点(2，2)与可行域内的点的距离的平方．由实数x ，y 所满足的不等式组作出可行域如图中阴影部分所示，由图可知，点(2，2)到直线x ＋y －1＝0的距离为其到可行域内点的距离的最小值，又|2＋2－1|2＝322，所以w min ＝92.二、高考小题13．(2018·天津高考)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤5，2x －y ≤4，－x ＋y ≤1，y ≥0，则目标函数z ＝3x ＋5y 的最大值为( )A ．6B ．19C ．21D ．45 答案 C解析由变量x ，y 满足的约束条件画出可行域(如图中阴影部分所示)．作出基本直线l 0：3x ＋5y ＝0，平移直线l 0，当直线经过点A (2，3)时，z 取最大值，即z max ＝3×2＋5×3＝21.故选C.14．(2018·全国卷Ⅱ)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －5≥0，x －2y ＋3≥0，x －5≤0，则z ＝x ＋y 的最大值为________． 答案 9解析 不等式组表示的可行域是以A (5，4)，B (1，2)，C (5，0)为顶点的三角形区域，如图所示，由图可知目标函数z ＝x ＋y 的最大值在顶点A 处取得，即当x ＝5，y ＝4时，z max ＝9.15．(2018·全国卷Ⅰ)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －2y －2≤0，x －y ＋1≥0，y ≤0，则z ＝3x ＋2y 的最大值为________． 答案 6解析 根据题中所给的约束条件，画出其对应的可行域，如图所示：由z ＝3x ＋2y 可得y ＝－32x ＋12z ，画出直线y ＝－32x ，将其上下移动，结合z2的几何意义，可知当直线过点B 时，z 取得最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y －2＝0，y ＝0，解得B (2，0)，此时z max ＝3×2＋0＝6.16．(2018·全国卷Ⅲ)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＋3≥0，x －2y ＋4≥0，x －2≤0，则z ＝x ＋13y 的最大值是________．答案 3解析 作出可行域如图阴影部分．由图可知目标函数在直线x －2y ＋4＝0与x ＝2的交点(2，3)处取得最大值3.17．(2018·浙江高考)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，2x ＋y ≤6，x ＋y ≥2，则z ＝x ＋3y 的最小值是________，最大值是________．答案 －2 8解析 由约束条件得可行域是以A (1，1)，B (2，2)，C (4，－2)为顶点的三角形区域(含边界)，如图．当直线y ＝－13x ＋z3过点C (4，－2)时，z ＝x ＋3y 取得最小值－2，过点B (2，2)时，z ＝x ＋3y 取得最大值8.18．(2018·北京高考)若x ，y 满足x ＋1≤y ≤2x ，则2y －x 的最小值是________． 答案 3解析 由x ＋1≤y ≤2x 作出可行域，如图中阴影部分所示．设z ＝2y －x ，则y ＝12x ＋12z ，当直线y ＝12x ＋12z 过A (1，2)时，z 取得最小值3.三、模拟小题19．(2018·山西太原模拟)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≥0，x <2，x ＋y －1≥0，则z ＝2x －2y －1的取值范围是( ) A.53，5 B ．[0，5] C.53，5 D ．－53，5答案 D解析 作出不等式组表示的可行域，如图阴影部分所示，可知2×13－2×23－1≤z <2×2－2×(－1)－1，即z 的取值范围是－53，5.20．(2018·南昌一模)设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≥0，x －y ＋1≥0，3x －y －5≤0表示的平面区域为M ，若直线y＝kx 经过区域M 内的点，则实数k 的取值范围为( )A.12，2B.12，43C.12，2D.43，2 答案 C解析 作不等式组表示的平面区域，如图阴影部分所示：由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3＝0，x －y ＋1＝0得A (1，2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3＝0，3x －y －5＝0得B (2，1)，平面区域M 即为图中阴影部分△ABC ，直线y ＝kx 经过区域M 内的点A 时，k ＝2，直线y ＝kx 经过区域M 内的点B 时，k ＝12，故12≤k ≤2，故选C.21．(2018·长沙统考)已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，2x ＋3y ≤4，y ≥0，若z ＝ax ＋y 的最大值为4，则a ＝( )A ．2 B.12 C ．－2 D ．－12答案 A解析作不等式组表示的平面区域如图．当直线l ：y ＝－ax ＋z 经过△AOB 区域时，l 在y 轴上的最大截距为4，则点B (2，0)为最优解，所以z ＝2a ＝4，即a ＝2，故选A.22．(2018·太原模拟)已知不等式ax －2by ≤2在平面区域{(x ，y )||x |≤1且|y |≤1}上恒成立，则动点P (a ，b )所形成平面区域的面积为( )A ．4B ．8C ．16D ．32 答案 A解析 作平面区域{(x ，y )||x |≤1且|y |≤1}，如图1所示．该平面区域表示正方形ABCD 内部(含边界)．令z ＝ax －2by ，因为ax －2by ≤2恒成立，则函数z ＝ax －2by 在该平面区域要求的条件下，z max ＝2恒成立．当直线ax －2by －z ＝0过点A (－1，1)或B (1，1)或C (1，－1)或D (－1，－1)时，有⎩⎪⎨⎪⎧－a －2b ≤2，a －2b ≤2，a ＋2b ≤2，－a ＋2b≤2，再作该不等式组表示的可行域，即菱形EFGH 内部(含边界)．如图2所示．其中H (－2，0)，F (2，0)，E (0，1)，G (0，－1)，所以动点P (a ，b )所形成平面区域的面积为12×4×2＝4.故选A.23．(2018·湖北八市联考)已知x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x ，x ＋y ≤2，2x －y ≥m .若z ＝x ＋2y 有最大值4，则实数m 的值为( )A ．－4B ．－2C ．－1D ．1 答案B解析 可行域所表示区域为三条直线所封闭的三角形区域(含边界)，如图阴影部分所示．依题意，有直线y ＝－12x ＋z 2的纵截距z2有最大值2，则结合图形可知需满足直线2x －y＝m 过点(0，2)，从而m ＝2×0－2＝－2，故选B.24．(2018·河北石家庄质检)在平面直角坐标系中，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤0，x －y ≤0，x 2＋y 2≤r 2(r 为常数)表示的平面区域的面积为π，若x ，y 满足上述约束条件，则z ＝x ＋y ＋1x ＋3的最小值为( ) A ．－1 B ．－52＋17C.13 D ．－75 答案 D解析 作出不等式组表示的平面区域，如图所示，由题意知14πr 2＝π，解得r ＝2.z ＝x ＋y ＋1x ＋3＝1＋y －2x ＋3，易知y －2x ＋3表示可行域内的点(x ，y )与点P (－3，2)的连线的斜率，由图可知当点(x ，y )与点P 的连线与圆x 2＋y 2＝r 2相切时斜率最小．设切线方程为y －2＝k (x ＋3)，即kx －y ＋3k ＋2＝0，则有|3k ＋2|k 2＋1＝2，解得k ＝－125或k ＝0(舍)，所以z min＝1－125＝－75.故选D. 25．(2018·河北石家庄质检)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －3≤0，x ＋y ≥3，y －2≤0，则y ＋1x的最大值为________．答案 3解析 题设中的约束条件如图中阴影部分所表示的区域，则y ＋1x表示可行域内点P (x ，y )与B (0，－1)的连线的斜率，由图知，当P 位于A (1，2)时，y ＋1x 取得最大值2＋11＝3.26．(2018·福州模拟)某工厂制作仿古的桌子和椅子，需要木工和漆工两个工种，已知生产一把椅子需要木工4个工作时，漆工2个工作时；生产一张桌子需要木工8个工作时，漆工1个工作时．生产一把椅子的利润为1500元，生产一张桌子的利润为2000元，该厂每个月木工最多完成8000个工作时，漆工最多完成1300个工作时，根据以上条件，该厂安排生产每个月所能获得的最大利润是________元．答案2100000解析 依题意，设每个月生产x 把椅子、y 张桌子，那么利润t ＝1500x ＋2000y .其中x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x ，y ∈N *，4x ＋8y ≤8000，2x ＋y ≤1300，可行域如图中阴影部分所示，对于不同的t 值，t＝1500x ＋2000y 表示一组斜率为－34的平行线，且t 越大，相应的直线位置越高；t 越小，相应的直线位置越低．依题意，要求t 的最大值，需把直线t ＝1500x ＋2000y 尽量地往上平移，又考虑到x ，y 的允许范围，显然当直线通过点B 时，处在这组平行线的最高位置，此时t 取最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋8y ＝8000，2x ＋y ＝1300，得点B (200，900)，从而t max ＝1500×200＋2000×900＝2100000(元)，即生产200把椅子、900张桌子可获得最大利润2100000元．一、高考大题1．(2017·天津高考)电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧时，需要播放广告．已知每次播放甲、乙两套连续剧时，连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示：已知电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时间不多于600分钟，广告的总播放时间不少于30分钟，且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍．分别用x ，y 表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数．(1)用x ，y 列出满足题目条件的数学关系式，并画出相应的平面区域； (2)问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次，才能使总收视人次最多？ 解 (1)由已知，x ，y 满足的数学关系式为⎩⎪⎨⎪⎧70x ＋60y ≤600，5x ＋5y ≥30，x≤2y ，x ≥0，x ∈N ，y ≥0，y ∈N ，即⎩⎪⎨⎪⎧7x ＋6y ≤60，x ＋y ≥6，x －2y ≤0，x ≥0，x ∈N ，y ≥0，y ∈N ，该二元一次不等式组所表示的平面区域为图①中的阴影部分中的整数点．(2)设总收视人次为z 万，则目标函数为z ＝60x ＋25y .考虑z ＝60x ＋25y ，将它变形为y ＝－125x ＋z 25，这是斜率为－125，随z 变化的一族平行直线.z 25为直线在y 轴上的截距，当z25取得最大值时，z 的值就最大．又因为x ，y 满足约束条件，所以由图②可知，当直线z ＝60x ＋25y 经过可行域上的点M 时，截距z25最大，即z 最大．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧7x ＋6y ＝60，x －2y ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝3，则点M 的坐标为(6，3)．所以，电视台每周播出甲连续剧6次、乙连续剧3次时，才能使总收视人次最多．二、模拟大题2．(2018·广东佛山月考)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，x －y ≥－1，2x －y ≤2.(1)求目标函数z ＝12x －y ＋12的最值；(2)若目标函数z ＝ax ＋2y 仅在点(1，0)处取得最小值，求a 的取值范围．解 (1)作出可行域如图，可求得A (3，4)，B (0，1)，C (1，0)．平移初始直线12x －y ＝0，过A (3，4)取最小值－2，过C (1，0)取最大值1.∴z 的最大值为1，最小值为－2.(2)直线ax ＋2y ＝z 仅在点(1，0)处取得最小值，由图象可知－1<－a2<2，解得－4<a <2.故所求a 的取值范围是(－4，2)．3．(2018·福建泉州质检)画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0，x ＋y ≥0，x ≤3表示的平面区域，并回答下列问题：(1)指出x ，y 的取值范围； (2)平面区域内有多少个整点？解 (1)不等式x －y ＋5≥0表示直线x －y ＋5＝0上及右下方的点的集合．x ＋y ≥0表示直线x ＋y ＝0上及右上方的点的集合，x ≤3表示直线x ＝3上及左方的点的集合．所以，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0，x ＋y ≥0，x ≤3表示的平面区域如图所示． 结合图中可行域得x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－52，3，y ∈[－3，8]．(2)由图形及不等式组知⎩⎪⎨⎪⎧－x ≤y ≤x ＋5，－2≤x ≤3，且x ∈Z .当x ＝3时，－3≤y ≤8，有12个整点； 当x ＝2时，－2≤y ≤7，有10个整点； 当x ＝1时，－1≤y ≤6，有8个整点； 当x ＝0时，0≤y ≤5，有6个整点； 当x ＝－1时，1≤y ≤4，有4个整点； 当x ＝－2时，2≤y ≤3，有2个整点．所以平面区域内的整点共有2＋4＋6＋8＋10＋12＝42(个)．。

考点测试36 合情推理与演绎推理高考概览高考在本考点的常考题型为选择题、填空题，分值5分，中等难度考纲研读1.了解合情推理的含义，能进行简单的归纳推理和类比推理，体会合情推理在数学发现中的作用2．了解演绎推理的含义，掌握演绎推理的“三段论”，并能运用“三段论”进行一些简单推理3．了解合情推理和演绎推理的联系和差异一、基础小题1．对于大于或等于2的正整数幂运算有如下分解方式：22＝1＋3,32＝1＋3＋5,42＝1＋3＋5＋7，…23＝3＋5,33＝7＋9＋11,43＝13＋15＋17＋19，…根据以上规律，若m，p均为正整数且m2＝1＋3＋5＋…＋11，p3的分解式中的最小正整数为21，则m＋p＝( )A．9 B．10C．11 D．12答案 C解析∵m2＝1＋3＋5＋…＋11＝1＋112×6＝36，∴m＝6.∵23＝3＋5,33＝7＋9＋11,43＝13＋15＋17＋19，∴53＝21＋23＋25＋27＋29.∵p3的分解式中最小的正整数是21，∴p3＝53，p＝5，∴m＋p＝6＋5＝11，故选C.2．将棱长相等的正方体按如图所示的形状摆放，从上往下依次为第1层，第2层，第3层，…，则第2019层正方体的个数为( )A．2018 B．4028C．2037171 D．2039190答案 D解析 设第n 层正方体的个数为a n ，则a 1＝1，a n －a n －1＝n (n ≥2)，所以a n －a 1＝2＋3＋…＋n ，即a n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝n n ＋12(n ≥2)，故a 2019＝1010×2019＝2039190，故选D.3．某演绎推理的“三段论”分解如下：①函数f (x )＝13x 是减函数；②指数函数y ＝a x (0<a <1)是减函数；③函数f (x )＝13x 是指数函数．则按照演绎推理的“三段论”模式，排序正确的是( )A ．①→②→③B ．③→②→①C ．②→①→③D ．②→③→①答案 D解析 易知大前提是②，小前提是③，结论是①.故排列的次序应为②→③→①.故选D. 4．甲、乙、丙、丁四名同学参加某次过关考试，甲、乙、丙三个人分别去老师处询问成绩，老师给每个人只提供了其他三人的成绩．然后，甲说：我们四人中至少两人不过关；乙说：我们四人中至多两人不过关；丙说：甲、乙、丁恰好有一人过关．假设他们说的都是真的，则下列结论一定正确的是( )A ．甲没过关B ．乙过关C ．丙过关D ．丁过关 答案 C解析 基于他们说的都是真的情况下，因为，甲说：我们四人中至少两人不过关；乙说：我们四人中至多两人不过关；所以，可以推出，他们四人中一定只有两人过关，再由丙说：甲、乙、丁恰好有一人过关．所以得到，丙一定过关，故选C.5．《周易》历来被人们视作儒家群经之首，它表现了古代中华民族对万事万物深刻而又朴素的认识，是中华人文文化的基础，它反映出中国古代的二进制计数的思想方法．我们用近代术语解释为：把阳爻“”当作数字“1”，把阴爻“”当作数字“0”，则八卦所代表的数表示如下．依次类推，已知六十四卦中的“屯”卦的符号为“”，则其表示的十进制数是( )卦名 符号表示的二进制数表示的十进制数坤 000 0 艮 001 1 坎 010 2 巽011 3C ．36D ．35答案 B解析 由题意类推，可知六十四卦中的“屯”卦的符号“”表示的二进制数为100010，转化为十进制数为0×20＋1×21＋0×22＋0×23＋0×24＋1×25＝34.故选B.6．已知P 是圆x 2＋y 2＝R 2上的一个动点，过点P 作曲线C 的两条互相垂直的切线，切点分别为M ，N ，MN 的中点为E .若曲线C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，且R 2＝a 2＋b 2，则点E 的轨迹方程为x 2a 2＋y 2b 2＝x 2＋y 2a 2＋b2.若曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，且R 2＝a 2－b 2，则点E 的轨迹方程是( ) A.x 2a 2－y 2b 2＝x 2＋y 2a 2＋b 2 B ．x 2a 2－y 2b 2＝x 2＋y 2a 2－b 2 C.x 2a 2＋y 2b 2＝x 2＋y 2a 2＋b2 D ．x 2a 2＋y 2b 2＝x 2＋y 2a 2－b2 答案 B解析 由于椭圆与双曲线定义中的运算互为逆运算，所以猜想与双曲线对应的点E 的轨迹方程为x 2a 2－y 2b 2＝x 2＋y 2a 2－b 2.7．若数列{a n }是等差数列，则数列{b n }⎝⎛⎭⎪⎫其中b n ＝a 1＋a 2＋…＋a n n 也为等差数列．类比这一性质可知，若正项数列{}是等比数列，且{d n }也是等比数列，则d n 的表达式应为( )A ．d n ＝c 1＋c 2＋…＋nB ．d n ＝c 1·c 2·…·nC ．d n ＝n c n 1＋c n 2＋…＋c n nnD ．d n ＝nc 1·c 2·…·答案 D解析 若{a n }是等差数列，则a 1＋a 2＋…＋a n ＝na 1＋n n －12d ，所以b n ＝a 1＋n －12d ＝d2n ＋a 1－d 2，即{b n }为等差数列；若{}是等比数列，则c 1·c 2·…·＝c n 1·q1＋2＋…＋(n －1)＝c n 1·qn n －12，所以d n ＝n c 1·c 2·…·＝c 1·q n －12，即{d n }为等比数列．故选D. 8．在△ABC 中，若∠C ＝90°，AC ＝b ，BC ＝a ，则△ABC 的外接圆的半径r ＝a 2＋b 22，把上面的结论推广到空间，则类似的结论为__________________．答案 取空间中有三条侧棱两两垂直的三棱锥A －BCD ，且AB ＝a ，AC ＝b ，AD ＝c ，三棱锥的外接球的半径r ＝a 2＋b 2＋c 22解析 取空间中有三条侧棱两两垂直的四面体A －BCD ，且AB ＝a ，AC ＝b ，AD ＝c ，可以将四面体补成一个长方体，则体对角线即为外接球的直径，即2r ＝a 2＋b 2＋c 2，所以r ＝a 2＋b 2＋c 22.则此三棱锥的外接球的半径r ＝a 2＋b 2＋c 22.9．如图所示，椭圆中心在坐标原点，F 为左焦点，当FB ⊥AB 时，其离心率为5－12，此类椭圆被称为“黄金椭圆”．类比“黄金椭圆”可推出“黄金双曲线”的离心率e 等于________．答案5＋12解析 类比“黄金椭圆”，设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，则F (－c,0)，B (0，b )，A (a,0)，所以FB →＝(c ，b )，AB →＝(－a ，b )．易知FB →⊥AB →，所以FB →·AB →＝b 2－ac ＝0，所以c 2－a 2－ac ＝0，即e 2－e －1＝0，又e ＞1，所以e ＝5＋12. 10．在平面上，若两个正三角形的边长的比为1∶2，则它们的面积比为1∶4.类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积比为________．答案 1∶8解析 由平面图形的面积类比立体图形的体积得出：在空间内，若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的底面积之比为1∶4，对应高之比为1∶2，所以体积比为1∶8.11．在矩形ABCD 中，对角线AC 与相邻两边所成的角为α，β，则有cos 2α＋cos 2β＝1.类比到空间中的一个正确命题是：在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，对角线AC 1与相邻三个面所成的角为α，β，γ，则________．答案 cos 2α＋cos 2β＋cos 2γ＝2解析 设长方体的长，宽，高分别为a ，b ，c ，如图所示，所以AC 1与下底面所成角为∠C 1AC ，记为α，AC 1与平面A 1D 1DA 所成的角记为β，AC 1与平面A 1B 1BA 所成的角记为γ，所以cos 2α＝AC 2AC 21＝a 2＋b 2a 2＋b 2＋c 2，同理cos 2β＝a 2＋c 2a 2＋b 2＋c 2，cos 2γ＝b 2＋c 2a 2＋b 2＋c2，所以cos 2α＋cos 2β＋cos 2γ＝2.12．若f (a ＋b )＝f (a )f (b )(a ，b ∈N *)，且f (1)＝2，则f 2f 1＋f 4f 3＋f 6f 5＋…＋f 2020f 2019＝________.答案 2020解析 因为f (a ＋b )＝f (a )f (b )(a ，b ∈N *)，令b ＝1，则f a ＋1f a ＝f (1)＝2，所以f 2f 1＝f 4f 3＝…＝f 2020f 2019＝2.所以原式＝2＋2＋…＋21010个＝2020. 二、高考小题13．(2019·全国卷Ⅱ)在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测． 甲：我的成绩比乙高． 乙：丙的成绩比我和甲的都高． 丙：我的成绩比乙高．成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为( )A ．甲、乙、丙B ．乙、甲、丙C ．丙、乙、甲D ．甲、丙、乙答案 A解析 由于三人成绩互不相同且只有一个人预测正确．若甲预测正确，则乙、丙预测错误，于是三人按成绩由高到低的次序为甲、乙、丙；若甲预测错误，则甲、乙按成绩由高到低的次序为乙、甲，又假设丙预测正确，则乙、丙按成绩由高到低的次序为丙、乙，于是甲、乙、丙按成绩由高到低排序为丙、乙、甲，从而乙的预测也正确，与已知矛盾；若甲、丙预测错误，则可推出乙的预测也错误．综上所述，三人按成绩由高到低的次序为甲、乙、丙．故选A.14．(2017·全国卷Ⅱ)甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则( )A ．乙可以知道四人的成绩B ．丁可以知道四人的成绩C ．乙、丁可以知道对方的成绩D．乙、丁可以知道自己的成绩答案 D解析由题意可知，“甲看乙、丙的成绩后，不知道自己的成绩”，说明乙、丙两人中一个优秀一个良好，则乙看了丙的成绩，可以知道自己的成绩；丁看了甲的成绩，也可以知道自己的成绩．故选D.15．(2016·高考)袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半．甲、乙、丙是三个空盒．每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，否则就放入丙盒．重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则( ) A．乙盒中黑球不多于丙盒中黑球B．乙盒中红球与丙盒中黑球一样多C．乙盒中红球不多于丙盒中红球D．乙盒中黑球与丙盒中红球一样多答案 B解析解法一：假设袋中只有一红一黑两个球，第一次取出后，若将红球放入了甲盒，则乙盒中有一个黑球，丙盒中无球，A错误；若将黑球放入了甲盒，则乙盒中无球，丙盒中有一个红球，D错误；同样，假设袋中有两个红球和两个黑球，第一次取出两个红球，则乙盒中有一个红球，第二次必然拿出两个黑球，则丙盒中有一个黑球，此时乙盒中红球多于丙盒中的红球，C错误．故选B.解法二：设袋中共有2n个球，最终放入甲盒中k个红球，放入乙盒中s个红球．依题意知，甲盒中有(n－k)个黑球，乙盒中共有k个球，其中红球有s个，黑球有(k－s)个，丙盒中共有(n－k)个球，其中红球有(n－k－s)个，黑球有(n－k)－(n－k－s)＝s个．所以乙盒中红球与丙盒中黑球一样多．故选B.16．(2017·高考)三名工人加工同一种零件，他们在一天中的工作情况如图所示，其中点A i的横、纵坐标分别为第i名工人上午的工作时间和加工的零件数，点B i的横、纵坐标分别为第i名工人下午的工作时间和加工的零件数，i＝1,2,3.(1)记Q i为第i名工人在这一天中加工的零件总数，则Q1，Q2，Q3中最大的是________；(2)记p i为第i名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，则p1，p2，p3中最大的是________．答案 (1)Q 1 (2)p 2解析 设线段A i B i 的中点为C i (x i ，y i )．(1)由题意知Q i ＝2y i ，i ＝1,2,3，由题图知y 1最大，所以Q 1，Q 2，Q 3中最大的是Q 1. (2)由题意知p i ＝2y i 2x i ＝y ix i，i ＝1,2,3.y ix i的几何意义为点C i (x i ，y i )与原点O 连线的斜率． 比较OC 1，OC 2，OC 3的斜率，由题图可知OC 2的斜率最大，即p 2最大．17．(2016·全国卷Ⅱ)有三X 卡片，分别写有1和2,1和3,2和3.甲，乙，丙三人各取走一X 卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2.”乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1.”丙说：“我的卡片上的数字之和不是5.”则甲的卡片上的数字是________．答案 1和3解析 由丙说的话可知丙的卡片上的数字一定不是2和3.若丙的卡片上的数字是1和2，则乙的卡片上的数字是2和3，甲的卡片上的数字是1和3，满足题意；若丙的卡片上的数字是1和3，则乙的卡片上的数字是2和3，此时，甲的卡片上的数字只能是1和2，不满足题意．故甲的卡片上的数字是1和3.18．(2015·某某高考)一个二元码是由0和1组成的数字串x 1x 2…x n (n ∈N *)，其中x k (k ＝1,2，…，n )称为第k 位码元．二元码是通信中常用的码，但在通信过程中有时会发生码元错误(即码元由0变为1，或者由1变为0)．已知某种二元码x 1x 2…x 7的码元满足如下校验方程组：⎩⎪⎨⎪⎧x 4⊕x 5⊕x 6⊕x 7＝0，x 2⊕x 3⊕x 6⊕x 7＝0，x 1⊕x 3⊕x 5⊕x 7＝0，其中运算⊕定义为：0⊕0＝0，0⊕1＝1,1⊕0＝1,1⊕1＝0.现已知一个这种二元码在通信过程中仅在第k 位发生码元错误后变成了1101101，那么利用上述校验方程组可判定k 等于________．答案 5解析 因为x 4⊕x 5⊕x 6⊕x 7＝1⊕1⊕0⊕1＝0⊕0⊕1＝0⊕1＝1≠0，所以二元码1101101的前3位码元都是对的；因为x 2⊕x 3⊕x 6⊕x 7＝1⊕0⊕0⊕1＝1⊕0⊕1＝1⊕1＝0，所以二元码1101101的第6、7位码元也是对的；因为x 1⊕x 3⊕x 5⊕x 7＝1⊕0⊕1⊕1＝1⊕1⊕1＝0⊕1＝1≠0，所以二元码1101101的第5位码元是错的，所以k ＝5.三、模拟小题19．(2019·某某二模)已知“正三角形的内切圆与三边相切，切点是各边的中点”，利用类比的方法可以猜想：正四面体的内切球与各面相切，切点是( )A ．各面内某边的中点B ．各面内某条中线的中点C ．各面内某条高的三等分点D ．各面内某条角平分线的四等分点 答案 C解析 平面上关于正三角形的内切圆的性质可类比为空间中关于正四面体的内切球的性质，可以推断，在空间几何中有“正四面体的内切球与各面相切，切点是各面的中心”，即各面内某条高的三等分点．故选C.20．(2019·某某一模)设f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n(n >2，n ∈N )，经计算可得f (4)>2，f (8)>52，f (16)>3，f (32)>72，…，观察上述结果，可得出的一般结论是( )A ．f (2n )>2n ＋12(n ≥2，n ∈N )B ．f (n 2)≥n ＋22(n ≥2，n ∈N )C ．f (2n )>n ＋22(n ≥2，n ∈N ) D ．f (2n )≥n ＋22(n ≥2，n ∈N )答案 C解析 不等式f (4)>2，f (8)>52，f (16)>3，f (32)>72，…，可化为f (22)>2＋22，f (23)>3＋22，f (24)>4＋22，f (25)>5＋22，…，由此归纳，可得f (2n)>n ＋22，故选C. 21．(2019·某某联考)有一个由奇数组成的数列1,3,5,7,9，…，现进行如下分组：第1组含有一个数{1}，第2组含有两个数{3,5}，第3组含有三个数{7,9,11}，…，则第n 组各数之和为( )A ．n 2B ．n 3C ．n 4D ．n (n ＋1)答案 B解析 第一组各数之和为1＝13，第2组各数之和为8＝23，第3组各数之和为27＝33，…，观察规律，归纳可得，第n 组各数之和为n 3.故选B.22．(2019·某某高三调研)一名法官在审理一起珍宝盗窃案时，四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词如下，甲说：“罪犯在乙、丙、丁三人之中”；乙说“我没有作案，是丙偷的”；丙说：“甲、乙两人中有一人是小偷”；丁说：“乙说的是事实”．经过调查核实，四人中有两人说的是真话，另外两人说的是假话，且这四人中只有一人是罪犯，由此可判断罪犯是( )A．甲B．乙C．丙D．丁答案 B解析由题可知，乙、丁两人的观点一致，即同真同假，假设乙、丁说的是真话，那么甲、丙两人说的是假话，由乙说的是真话，推出丙是罪犯，由甲说的是假话，推出乙、丙、丁三人不是罪犯，显然两个结论相互矛盾，所以乙、丁两人说的是假话，而甲、丙两人说的是真话，由甲、丙供述可得，乙是罪犯．23．(2019·某某模拟)如图，将一X等边三角形纸片沿中位线剪成4个小三角形，称为第一次操作；然后，将其中的一个三角形按同样方式再剪成4个小三角形，共得到7个小三角形，称为第二次操作；再将其中一个三角形按同样方式再剪成4个小三角形，共得到10个小三角形，称为第三次操作……，根据以上操作，若要得到100个小三角形，则需要操作( )A．31次B．32次C．33次D．34次答案 C解析由题意可知，第一次操作后，三角形共有4个；第二次操作后，三角形共有4＋3＝7个；第三次操作后，三角形共有4＋3＋3＝10个，……，由此可得第n次操作后，三角形共有4＋3(n－1)＝3n＋1个．当3n＋1＝100时，解得n＝33.故共需要操作33次．24．(2019·某某一模)某学校计划在周一至周四的艺术节上展演《雷雨》《茶馆》《天籁》《马蹄声碎》四部话剧，每天一部，受多种因素影响，话剧《雷雨》不能在周一和周四上演，《茶馆》不能在周一和周三上演，《天籁》不能在周三和周四上演，《马蹄声碎》不能在周一和周四上演，那么下列说法正确的是( )A．《雷雨》只能在周二上演B．《茶馆》可能在周二或周四上演C．周三可能上演《雷雨》或《马蹄声碎》D．四部话剧都有可能在周二上演答案 C解析由题目可知，周一上演《天籁》，周四上演《茶馆》，周三可能上演《雷雨》或《马蹄声碎》，故选C.25．(2019·某某吕梁一模)在某次语文考试中，A ，B ，C 三名同学中只有一名同学优秀，当他们被问到谁得到了优秀时，C 说：“A 没有得优秀”；B 说：“我得了优秀”；A 说：“C 说的是真话”．事实证明：在这三名同学中，只有一人说的是假话，那么得优秀的同学是________．答案 C解析 假如A 说的是假话，则C 说的也是假话，不成立；假如B 说的是假话，即B 没有得优秀，又A 没有得优秀，故C 得优秀；假如C 说的是假话，即A 得优秀，则B 说的也是假话，不成立；故得优秀的同学为C .26．(2019·株洲二模)《聊斋志异》中有这样一首诗：“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术，得诀自诩无所阻，额上坟起终不悟．”在这里，我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”：223＝223，338＝338，4415＝4415，5524＝5524，…，则按照以上规律，若88n＝88n具有“穿墙术”，则n ＝________.答案 63 解析 因为223＝223＝221×2＋1，338＝338＝332×3＋2，4415＝4415＝443×4＋3，5524＝5524＝554×5＋4，则88n＝88n＝887×8＋7＝8863.即n ＝63.一、高考大题本考点在近三年高考中未涉及此题型． 二、模拟大题1．(2019·某某某某模拟)设f (x )＝a x ＋a －x2，g (x )＝a x －a －x2(其中a ＞0，且a ≠1)．(1)请你由5＝2＋3推测g (5)能否用f (2)，f (3)，g (2)，g (3)来表示；(2)如果(1)中获得了一个结论，请你推测能否将其推广． 解 (1)由于f (3)g (2)＋g (3)f (2)＝a 3＋a －32·a 2－a －22＋a 3－a －32·a 2＋a －22 ＝a 5－a －52，又g (5)＝a 5－a －52，因此g (5)＝f (3)g (2)＋g (3)f (2)．(2)由g (5)＝f (3)g (2)＋g (3)f (2)，得g (2＋3)＝f (3)·g (2)＋g (3)f (2)， 于是推测g (x ＋y )＝f (x )g (y )＋g (x )f (y )．证明：因为f (x )＝a x ＋a －x 2，g (x )＝a x －a －x 2， 所以g (x ＋y )＝a x ＋y －a －x ＋y 2，g (y )＝a y －a －y 2，f (y )＝a y ＋a －y 2， 所以f (x )g (y )＋g (x )f (y )＝a x ＋a －x 2·a y －a －y 2＋a x －a －x 2·a y ＋a －y 2＝a x ＋y －a －x ＋y2＝g (x ＋y )．2．(2019·某某期末)已知i 为虚数单位，观察下列各等式：(cos1＋isin1)(cos2＋isin2)＝cos3＋isin3；(cos3＋isin3)(cos4＋isin4)＝cos7＋isin7；(cos5＋isin5)(cos6＋isin6)＝cos11＋isin11；(cos7＋isin7)(cos8＋isin8)＝cos15＋isin15.记f (α)＝cos α＋isin α，α∈R .(1)根据以上规律，试猜想f (α)，f (β)，f (α＋β)成立的等式，并加以证明；(2)计算：⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋12i 6. 解 (1)猜想f (α)f (β)＝f (α＋β)，证明：f (α)f (β)＝(cos α＋isin α)(cos β＋isin β)＝(cos αcos β－sin αsin β)＋(sin αcos β＋cos αsin β)i＝cos(α＋β)＋isin(α＋β)＝f (α＋β)．(2)因为f (α)f (β)＝f (α＋β)，所以f n(α)＝f (α)·f (α)·…·f (α)＝f (nα)＝cos nα＋isin nα， 所以⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋12i 6＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π6＋isin π66＝cosπ＋isinπ＝－1.。

专题11 不等式、推理与证明、算法初步、复数1．【2020年高考全国Ⅰ卷理数】若z =1+i ，则|z 2–2z |= A ．0 B ．1CD ．22．【2020年高考全国III 卷理数】复数113i-的虚部是 A ．310- B ．110-C ．110 D ．3103．【2020年新高考全国Ⅰ】2i12i-=+ A ．1 B ．−1 C ．iD ．−i4．【2020年高考北京】在复平面内，复数z 对应的点的坐标是(1,2)，则i z ⋅= A ．1i 2+B ．2i -+C ．12i -D ．2i --5．【2020年新高考全国Ⅰ】已知a >0，b >0，且a +b =1，则 A ．2212a b +≥B ．122a b ->C ．22log log 2a b +≥-D 6．【2020年高考浙江】若实数x ，y 满足约束条件31030x y x y -+≤⎧⎨+-≥⎩，则2z x y =+的取值范围是A ．(,4]-∞B ．[4,)+∞C ．[5,)+∞D ．(,)-∞+∞7．【2020年高考全国Ⅰ卷理数】埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为ABC．14D．128．【2020年高考浙江】设集合S ，T ，S ⊆N *，T ⊆N *，S ，T 中至少有2个元素，且S ，T 满足：①对于任意的x ，y ∈S ，若x ≠y ，则xy ∈T ；②对于任意的x ，y ∈T ，若x <y ，则yx∈S ．下列命题正确的是 A ．若S 有4个元素，则S ∪T 有7个元素 B ．若S 有4个元素，则S ∪T 有6个元素 C ．若S 有3个元素，则S ∪T 有5个元素 D ．若S 有3个元素，则S ∪T 有4个元素9．【2020年高考全国II 卷理数】0-1周期序列在通信技术中有着重要应用．若序列12na a a 满足{0,1}(1,2,)i a i ∈=，且存在正整数m ，使得(1,2,)i m i a a i +==成立，则称其为0-1周期序列，并称满足(1,2,)i m i a a i +==的最小正整数m 为这个序列的周期．对于周期为m 的0-1序列12na a a ，11()(1,2,,1)mi i k i C k a a k m m +===-∑是描述其性质的重要指标，下列周期为5的0-1序列中，满足1()(1,2,3,4)5C k k ≤=的序列是A ．11010B ．11011C ．10001D ．1100110．【2020年高考全国Ⅰ卷理数】若x ，y 满足约束条件220,10,10,x y x y y +-≤⎧⎪--≥⎨⎪+≥⎩则z =x +7y 的最大值为 . 11．【2020年高考全国III 卷理数】若x ，y 满足约束条件0201x y x y x +≥⎧⎪-≥⎨⎪≤⎩，，，则32z x y =+的最大值为__________．12．【2020年高考全国II 卷理数】设复数1z ，2z 满足12||=||=2z z，12i z z +=+，则12||z z -=__________． 13．【2020年高考江苏】已知i 是虚数单位，则复数(1i)(2i)z =+-的实部是 ▲ ． 14．【2020年高考江苏】已知22451(,)x y y x y +=∈R ，则22x y +的最小值是 ▲ ． 15．【2020年高考江苏】如图是一个算法流程图，若输出y 的值为2-，则输入x 的值是_____.16．【2020年高考天津】i 是虚数单位，复数8i2i-=+_________． 17．【2020年高考天津】已知0,0a b >>，且1ab =，则11822a b a b+++的最小值为_________．1．【重庆市江津中学、实验中学等七校2020届高三下学期6月联考】设z =，则在复平面内z 对应的点位于 A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．【辽宁省锦州市黑山县黑山中学2020届高三6月模拟考试数学】复数()311i iz =--(i 是虚数单位)，则z 的共轭复数为 A ．2i -+B ．2i --C ．23i -+D ．2i +3．【山东省日照五莲县丶潍坊安丘市、潍坊诸城市、临沂兰山区2020届高三6月模拟数学试题】若复数1z ，2z 在复平面内对应的点关于y 轴对称，且12i z =-，则复数12z z =A ．1-B ．1C ．3455i -+ D ．3455-i 4．【河北省正定中学2019-2020学年高三下学期第四次阶段质量检测数学】在复平面内，若复数342i 2i z =++所对应的点位于 A ．第一象限B ．第二象限C ．第四象限D ．虚轴5．【广东省深圳市高级中学2020届高三下学期5月适应性考试数学】设i 为虚数单位，复数2(i 1)8i 1z -+=+的实部为 A ．5B ．5-C ．3-D ．36．【河北省衡水中学2020届高三下学期(5月)第三次联合考试数学】已知复数2i (2)z =+，则z 的虚部为A ．3B ．3iC ．4D ．4i7．【广西南宁市第三中学2020届高三适应性月考卷】设i 是虚数单位，若复数z 满足()i i 11z -=+，则其共轭复数z = A ．iB ．i -C ．1i -+D ．1i --8．【河北省衡水中学2020届高三下学期第九次调研数学】已知复数2(1i)i(1i)z +=-，则下列结论正确的是A ．z 的虚部为iB ．2z =C ．z 的共轭复数1i z =-+D ．2z 为纯虚数9．【广西来宾市2019-2020学年高三5月教学质量诊断性联合考试数学】已知复数1023i iz =-+(i 是虚数单位)，则z 的共轭复数是 A ．33i --B ．33i +C ．1513i 44-- D ．1513i 44+ 10．【2020届清华大学中学生标准学术能力诊断性测试高三5月测试数学】已知复数z 满足i 4zi=-(其中i 为虚数单位)，则z 的虚部为 A ．4iB ．4C ．1D ．1-11．【2020届四川省成都市石室中学高三下学期5月月考数学】复数23i32iz -=+，则z z ⋅= A ．iB ．i -C ．1D ．1-12．【河南省名校联盟2020届高三5月质量检测数学】已知复数z 2ia=+-1(i 为虚数单位，a ∈R )为纯虚数，则实数a = A ．52B ．52-C ．0D ．213．【广东省深圳外国语学校2020届高三下学期4月综合能力测试数学】已知集合{}2230A x x x =--≥，202x B x x ⎧⎫+=∈≤⎨⎬-⎩⎭Z ，则A B =A ．[]2,1--B ．[)1,2-C ．{}2,1--D ．{}1,2-14．【安徽省合肥一中、安庆一中等六校教育研究会2020届高三上学期第一次素质测试数学】若1,01a c b ><<<，则下列不等式不正确的是A ．20192019log log a b >B ．log log c b a a >C ．()()cbc b a c b a ->-D ．()()cba c a a c a ->-15．【辽宁省葫芦岛市2020届高三5月联合考试数学】某校甲、乙、丙、丁四位同学参加了第34届全国青少年科技创新大赛，老师告知只有一位同学获奖，四人据此做出猜测：甲说：“丙获奖”；乙说：“我没获奖”；丙说：“我没获奖”；丁说：“我获奖了”，若四人中只有一人判断正确，则判断正确的是 A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁16．【2020届河南省商丘周口市部分学校联考高三5月质量检测数学】宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：“松长六尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，何日竹逾松长？”如图是解决此问题的一个程序框图，其中a 为松长、b 为竹长，则矩形框与菱形框处应依次填A ．2a a a =+；a b <B ．2aa a =+；a b < C ．2a a a =+；a b ≥ D ．2aa a =+；a b > 17．【河北省正定中学2019-2020学年高三下学期第四次阶段质量检测数学】圆224610x y x y ++-+=关于直线()800,0ax by a b -+=>>对称，则32a b+的最小值是A ．B ．3C ．154D18．【重庆市江津中学、实验中学等七校2020届高三下学期6月联考(三诊)数学】2019年10月1日上午，庆祝中华人民共和国成立70周年阅兵仪式在天安门广场隆重举行，这次阅兵不仅展示了我国的科技军事力量，更是让世界感受到了中国的日新月异，去年的阅兵方阵有一个很抢眼，他们就是院校科研方阵，他们是由军事科学院，国防大学，国防科技大学联合组建，若已知甲，乙，丙三人来自上述三所学校，学位分别有学士、硕士、博士学位，现知道：①甲不是军事科学院的，②来自军事科学院的均不是博士，③乙不是军事科学院的，④乙不是博士学位，⑤来自国防科技大学的是硕士，则甲是来自哪个院校的，学位是什么 A ．国防大学，博士 B ．国防科技大学，硕士 C ．国防大学，学士D ．军事科学院，学士19．【广西南宁市第三中学2020届高三适应性月考卷】运行如图所示的程序算法，则输出的结果为A ．2B ．12C ．13D ．13220．【广西来宾市2019-2020学年高三5月教学质量诊断性联合考试数学】设实数,x y 满足不等式组4,2,4,x y y x x +≥⎧⎪-≤⎨⎪⎩则11y z x +=+的最小值为 A ．13B ．15C ．13-D ．12-21．【河北省衡水中学2020届高三下学期第二次调研数学】执行如图所示的程序框图，输出的结果是A ．5B ．6C ．7D ．822．【广东省深圳市2020届高三下学期第二次调研数学】执行如图的程序框图，如果输入的k ＝0.4，则输出的n ＝A ．5B ．4C ．3D ．223．【2020届清华大学中学生标准学术能力诊断性测试高三5月测试数学】下列程序框图的算法思想源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”.执行该程序框图，若输入16a =，10b =，则程序中需要做减法的次数为A ．6B ．5C ．4D ．324．【甘肃省西北师大附中2020届高三5月模拟试卷】“辗转相除法”是欧几里得《原本》中记录的一个算法，是由欧几里得在公元前300年左右首先提出的，因而又叫欧几里得算法．如图所示是一个当型循环结构的“辗转相除法”程序框图．当输入2020m =，303n =时，则输出的m 是A ．2B ．6C ．101D ．20225．【重庆市第一中学2019-2020学年高三下学期期中数学】冰雹猜想也称奇偶归一猜想：对给定的正整数进行一系列变换，则正整数会被螺旋式吸入黑洞(4，2，1)，最终都会归入“4-2-1”的模式.该结论至今既没被证明，也没被证伪. 下边程序框图示意了冰雹猜想的变换规则，则输出的i =A ．4B ．5C ．6D ．726．【重庆市南开中学2019-2020学年高三下学期线上期中数学】若某程序框图如图所示，则输出的S 的值是A ．31B ．63C ．127D ．25527．【重庆市南开中学2019-2020学年高三下学期第六次教学质量检测数学】数独起源于18世纪初瑞士数学家欧拉等人研究的一种拉丁方阵，是一种运用纸、笔进行演算的数学逻辑游戏.如图就是一个迷你数独，玩家需要根据66⨯盘面上的已知数字，推理出所有剩余空格的数字，并满足每一行、每一列、每一个粗线宫(32⨯)内的数字均含16-，每一行，每一列以及每一个粗线宫都没有重复的数字出现，则图中的a b c d +++=A ．11B ．13C ．15D ．1728．【河北省衡水中学2020届高三下学期(5月)第三次联合考试数学】要使得满足约束条件42y x y x x y ⎧⎪-⎨⎪+⎩，的变量,x y 表示的平面区域为正方形，则可增加的一个约束条件为 A ．4x y +≤B ．4x y +C ．6x y +D ．6x y +29．【2020届华大新高考联盟高三4月教学质量测评数学】执行如图所示的程序框图，设输出数据构成集合A ，从集合A 中任取一个元素m ，则事件“函数()2f x x mx =+在[)0,+∞上是增函数”的概率为A ．14B ．12C ．34D ．3530．【江西省景德镇市2019-2020学年高三第三次质检数学】科赫曲线是一种外形像雪花的几何曲线，一段科赫曲线可以通过下列操作步骤构造得到：任画…条线段，然后把它分成三等分，以中间一段为边向外作正三角形，并把中间一段去掉，这样，原来的一条线段就变成了由4条小线段构成的折线，称为“一次构造”；用同样的方法把每一条小线段重复上述步骤，得到由16条更小的线段构成的折线，称为“二次构造”；…；如此进行“n 次构造”，就可以得到一条科赫曲线.若要在构造过程中使得到的折线的长度大于初始线段的100倍，则至少需要构造的次数是( )(取lg30.4771≈，lg 20.3010≈)A．16B．17C．24D．25。

专题11 不等式、推理与证明、算法初步、复数1．【2020年高考全国Ⅰ卷理数】若z =1+i ，则|z 2–2z |= A ．0 B ．1CD ．2【答案】D【解析】由题意可得：2i (2i)(12i)5ii 12i (12i)(12i)5----===-++-，则()222212z z i i -=-+=-. 故2222z z -=-=. 故选：D ．【点睛】本题主要考查复数的运算法则和复数的模的求解等知识，属于基础题. 2．【2020年高考全国III 卷理数】复数113i-的虚部是 A ．310- B ．110-C ．110D ．310【答案】D 【解析】因为i i i i 1131313(13)(i 13)1010z +===+--+， 所以复数113i z =-的虚部为310. 故选：D ．【点晴】本题主要考查复数的除法运算，涉及到复数的虚部的定义，是一道基础题. 3．【2020年新高考全国Ⅰ】2i12i-=+ A ．1 B ．−1 C ．i D ．−i【答案】D【解析】2(2)(12)512(12)(i i i ii i 12)i i 5----===-++- 故选：D【点睛】本题考查复数除法，考查基本分析求解能力，属基础题.4．【2020年高考北京】在复平面内，复数z 对应的点的坐标是(1,2)，则i z ⋅= A ．1i 2+ B ．2i -+C ．12i -D ．2i --【答案】B【解析】由题意得12i z =+，i i 2z ∴=-.故选：B ．【点睛】本题考查复数几何意义以及复数乘法法则，考查基本分析求解能力，属基础题. 5．【2020年新高考全国Ⅰ】已知a >0，b >0，且a +b =1，则 A ．2212a b +≥B ．122a b ->C ．22log log 2a b +≥-D 【答案】ABD【解析】对于A ，()222221221a b a a a a +=+-=-+21211222a ⎛⎫⎪⎭+ ⎝≥-=，当且仅当12a b ==时，等号成立，故A 正确； 对于B ，211a b a -=->-，所以11222a b-->=，故B 正确；对于C ，2222221log log log log log 224a b a b ab +⎛⎫+=≤==- ⎪⎝⎭， 当且仅当12a b ==时，等号成立，故C 不正确；对于D ，因为2112a b =+≤++=，≤，当且仅当12a b ==时，等号成立，故D 正确； 故选：ABD.【点睛】本题主要考查不等式的性质，综合了基本不等式，指数函数及对数函数的单调性，侧重考查数学运算的核心素养.6．【2020年高考浙江】若实数x ，y 满足约束条件31030x y x y -+≤⎧⎨+-≥⎩，则2z x y =+的取值范围是A ．(,4]-∞B ．[4,)+∞C ．[5,)+∞D ．(,)-∞+∞【答案】B【解析】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，目标函数即：1122y x z =-+， 其中z 取得最大值时，其几何意义表示直线系在y 轴上的截距最大， z 取得最小值时，其几何意义表示直线系在y 轴上的截距最小， 据此结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A 处取得最小值，联立直线方程：31030x y x y -+=⎧⎨+-=⎩，可得点A 的坐标为：()2,1A ，据此可知目标函数的最小值为：min 2214z =+⨯= 且目标函数没有最大值.故目标函数的取值范围是[)4,+∞. 故选：B【点睛】求线性目标函数z ＝ax ＋by (ab ≠0)的最值，当b ＞0时，直线过可行域且在y 轴上截距最大时，z 值最大，在y 轴截距最小时，z 值最小；当b ＜0时，直线过可行域且在y 轴上截距最大时，z 值最小，在y 轴上截距最小时，z 值最大.7．【2020年高考全国Ⅰ卷理数】埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，.以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为A ．14 B ．12C ．14D ．12【答案】C【解析】如图，设,CD a PE b ==，则PO ==由题意212PO ab =，即22142a b ab -=，化简得24()210b b a a -⋅-=，解得b a =负值舍去). 故选：C ．【点晴】本题主要考查正四棱锥的概念及其有关计算，考查学生的数学计算能力，是一道容易题. 8．【2020年高考浙江】设集合S ，T ，S ⊆N *，T ⊆N *，S ，T 中至少有2个元素，且S ，T 满足：①对于任意的x ，y ∈S ，若x ≠y ，则xy ∈T ；②对于任意的x ，y ∈T ，若x <y ，则yx∈S ．下列命题正确的是 A ．若S 有4个元素，则S ∪T 有7个元素 B ．若S 有4个元素，则S ∪T 有6个元素 C ．若S 有3个元素，则S ∪T 有5个元素 D ．若S 有3个元素，则S ∪T 有4个元素 【答案】A【解析】首先利用排除法：若取{}1,2,4S =，则{}2,4,8T =，此时{}1,2,4,8S T =，包含4个元素，排除选项D ； 若取{}2,4,8S =，则{}8,16,32T =，此时{}2,4,8,16,32ST =，包含5个元素，排除选项C ；若取{}2,4,8,16S =，则{}8,16,32,64,128T =，此时{}2,4,8,16,32,64,128S T =，包含7个元素，排除选项B ；下面来说明选项A 的正确性：设集合{}1234,,,S p p p p =，且1234p p p p <<<，*1234,,,p p p p N ∈，则1224p p p p <，且1224,p p p p T ∈，则41p S p ∈， 同理42p S p ∈，43p S p ∈，32p S p ∈，31p S p ∈，21p S p ∈， 若11p =，则22p ≥，则332p p p <，故322p p p =即232p p =， 又444231p p p p p >>>，故442232p p p p p ==，所以342p p =， 故{}232221,,,S p p p =，此时522,p T p T ∈∈，故42p S ∈，矛盾，舍.若12p ≥，则32311p p p p p <<，故322111,p p p p p p ==即323121,p p p p ==， 又44441231p p p p p p p >>>>，故441331p p p p p ==，所以441p p =， 故{}2341111,,,S p p p p =，此时{}3456711111,,,,p p p p p T ⊆.若q T ∈， 则31q S p ∈，故131,1,2,3,4i qp i p ==，故31,1,2,3,4i q p i +==， 即{}3456711111,,,,q p p p p p ∈，故{}3456711111,,,,p p p p p T =， 此时{}234456711111111,,,,,,,S T p p p p p p p p ⋃=即S T 中有7个元素.故A 正确. 故选：A ．【点睛】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.9．【2020年高考全国II 卷理数】0-1周期序列在通信技术中有着重要应用．若序列12na a a 满足{0,1}(1,2,)i a i ∈=，且存在正整数m ，使得(1,2,)i m i a a i +==成立，则称其为0-1周期序列，并称满足(1,2,)i m i a a i +==的最小正整数m 为这个序列的周期．对于周期为m 的0-1序列12na a a ，11()(1,2,,1)mi i k i C k a a k m m +===-∑是描述其性质的重要指标，下列周期为5的0-1序列中，满足1()(1,2,3,4)5C k k ≤=的序列是A ．11010B ．11011C ．10001D ．11001【答案】C【解析】由i m i a a +=知，序列i a 的周期为m ，由已知，5m =，511(),1,2,3,45i i k i C k a a k +===∑对于选项A ，511223344556111111(1)()(10000)55555i i i C a a a a a a a a a a a a +===++++=++++=≤∑52132435465711112(2)()(01010)5555i i i C a a a a a a a a a a a a +===++++=++++=∑，不满足；对于选项B ，51122334455611113(1)()(10011)5555i i i C a a a a a a a a a a a a +===++++=++++=∑，不满足；对于选项D ，51122334455611112(1)()(10001)5555i i i C a a a a a a a a a a a a +===++++=++++=∑，不满足；故选：C【点晴】本题考查数列的新定义问题，涉及到周期数列，考查学生对新定义的理解能力以及数学运算能力，是一道中档题.10．【2020年高考全国Ⅰ卷理数】若x ，y 满足约束条件220,10,10,x y x y y +-≤⎧⎪--≥⎨⎪+≥⎩则z =x +7y 的最大值为 . 【答案】1【解析】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，目标函数7z x y =+即：1177y x z =-+， 其中z 取得最大值时，其几何意义表示直线系在y 轴上的截距最大， 据此结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A 处取得最大值，联立直线方程：22010x y x y +-=⎧⎨--=⎩，可得点A 的坐标为：1,0A ，据此可知目标函数的最大值为：max 1701z =+⨯=. 故答案为：1．【点睛】求线性目标函数z ＝ax ＋by (ab ≠0)的最值，当b ＞0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z 值最大，在y 轴截距最小时，z 值最小；当b ＜0时，直线过可行域且在y 轴上截距最大时，z 值最小，在y 轴上截距最小时，z 值最大.11．【2020年高考全国III 卷理数】若x ，y 满足约束条件0201x y x y x +≥⎧⎪-≥⎨⎪≤⎩，，，则32z x y =+的最大值为__________．【答案】7【解析】不等式组所表示的可行域如图因为32z x y =+，所以322x zy =-+，易知截距2z 越大，则z 越大， 平移直线32x y =-，当322x zy =-+经过A 点时截距最大，此时z 最大， 由21y x x =⎧⎨=⎩，得12x y =⎧⎨=⎩，(1,2)A ， 所以max 31227z =⨯+⨯=. 故答案为：7.【点晴】本题主要考查简单线性规划的应用，涉及到求线性目标函数的最大值，考查学生数形结合的思想，是一道容易题.12．【2020年高考全国II 卷理数】设复数1z ，2z 满足12||=||=2z z，12i z z +=+，则12||z z -=__________．【答案】【解析】方法一：设1,(,)z a bi a R b R =+∈∈，2,(,)z c di c R d R =+∈∈，12()z z a c b d i i ∴+=+++=，1a cb d ⎧+=⎪∴⎨+=⎪⎩12||=||=2z z ，所以224a b +=，224cd +=， 222222()()2()4a c b d a c b d ac bd ∴+++=+++++= 2ac bd ∴+=-12()()z z a c b d i ∴-=-+-====故答案为：方法二：如图所示，设复数12z ,z 所对应的点为12Z ,Z ,12OP OZ OZ =+, 由已知1232OZ OZ OP =+===,∴平行四边形12OZ PZ 为菱形，且12,OPZ OPZ 都是正三角形，∴12Z 120OZ ∠=︒，222221212121||||||2||||cos12022222()122Z Z OZ OZ OZ OZ =+-︒=+-⋅⋅⋅-=∴1212z z Z Z -==【点睛】方法一：本题考查复数模长的求解，涉及到复数相等的应用；考查学生的数学运算求解能力，是一道中档题.方法二：关键是利用复数及其运算的几何意义，转化为几何问题求解.13．【2020年高考江苏】已知i 是虚数单位，则复数(1i)(2i)z =+-的实部是 ▲ ．【答案】3【解析】∵复数()()i 12i z =+- ∴2i i i 2i 23z =-+-=+ ∴复数的实部为3. 故答案为：3.【点睛】本题考查复数的基本概念，是基础题．14．【2020年高考江苏】已知22451(,)x y y x y +=∈R ，则22x y +的最小值是 ▲ ．【答案】45【解析】∵22451x y y +=∴0y ≠且42215y x y -=∴42222221144+5555y y x y y y y -+=+=≥=，当且仅当221455y y =，即2231,102x y ==时取等号. ∴22xy+的最小值为45. 故答案为：45. 【点睛】本题考查了基本不等式在求最值中的应用.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值(和定积最大，积定和最小)；三相等是，最后一定要验证等号能否成立(主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用≥或≤时等号能否同时成立).15．【2020年高考江苏】如图是一个算法流程图，若输出y 的值为2-，则输入x 的值是_____.【答案】3-【解析】由于20x >，所以12y x =+=-，解得3x =-. 故答案为：3-【点睛】本小题主要考查根据程序框图输出结果求输入值，考查指数函数的性质，属于基础题.16．【2020年高考天津】i 是虚数单位，复数8i2i-=+_________． 【答案】3i 2-【解析】()()()()828151032222i i i ii i i i 5----===-++-. 故答案为：3i 2-.【点睛】本题考查复数的四则运算，属于基础题. 17．【2020年高考天津】已知0,0a b >>，且1ab =，则11822a b a b+++的最小值为_________． 【答案】4 【解析】0,0,0a b a b >>∴+>，1ab =,11882222ab ab a b a b a b a b∴++=++++842a b a b +=+≥=+，当且仅当a b +=4时取等号， 结合1ab =,解得22a b ==+，或22a b =+=. 故答案为：4【点睛】本题考查应用基本不等式求最值，“1”合理变换是解题的关键，属于基础题.1．【重庆市江津中学、实验中学等七校2020届高三下学期6月联考】设z =，则在复平面内z 对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限【答案】A【解析】1i 21z ===++， ∴在复平面内z对应的点的坐标为12⎫⎪⎪⎝⎭，位于第一象限． 故选：A ．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，属于基础题． 2．【辽宁省锦州市黑山县黑山中学2020届高三6月模拟考试数学】复数()311i iz =--(i 是虚数单位)，则z的共轭复数为 A ．2i -+ B ．2i --C ．23i -+D ．2i +【答案】A【解析】∵()()()()32211i 1i 1ii 21i 2i i i iiz =--=---=--+=--， ∴2i z =-+. 故选：A ．【点睛】本题考查复数代数形式的四则运算和共轭复数，考查运算求解能力，是基础题.3．【山东省日照五莲县丶潍坊安丘市、潍坊诸城市、临沂兰山区2020届高三6月模拟数学试题】若复数1z ，2z 在复平面内对应的点关于y 轴对称，且12i z =-，则复数12z z = A ．1- B ．1C ．3455i -+ D ．3455-i 【答案】C【解析】依题意可得22i z =--，所以122i (2i)(2i)34i 2i 555z z ---+===-+--， 故选：C ．【点睛】本题考查了复数的几何意义和复数的乘除法运算，属于基础题.4．【河北省正定中学2019-2020学年高三下学期第四次阶段质量检测数学】在复平面内，若复数342i 2iz =++所对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限C ．第四象限D ．虚轴【答案】C【解析】因为3422=4i i iz =++-,所以在复平面上，复数z 表示的点是()41-，,在第四象限， 故选C ．【点睛】本题考查复数的运算和复数的几何意义，属于基础题.5．【广东省深圳市高级中学2020届高三下学期5月适应性考试数学】设i 为虚数单位，复数2(i 1)8i 1z -+=+的实部为 A ．5 B ．5-C ．3-D ．3【答案】D【解析】()2i 12i -=-，()()()()82i i 182i 610i35i i 1i 1i 12z ----====-++-，实部为3， 故选：D ．【点睛】本题考查复数的概念和复数的运算，属于基础题.6．【河北省衡水中学2020届高三下学期(5月)第三次联合考试数学】已知复数2i (2)z =+，则z 的虚部为A ．3B ．3iC ．4D ．4i【答案】C【解析】2(2i)34i z =+=+，所以z 的虚部为4. 故选：C ．【点睛】本题考查复数代数形式的乘法，复数的相关概念，属于基础题.7．【广西南宁市第三中学2020届高三适应性月考卷】设i 是虚数单位，若复数z 满足()i i 11z -=+，则其共轭复数z = A ．i B ．i -C ．1i -+D ．1i --【答案】A【解析】()()()21i 1i2i i i 1i 1i 21z ++===--+=--，所以i z =， 故选：A ．【点睛】该题考查的是有关复数的问题，涉及到的知识点有复数的除法运算，复数的共轭复数，属于基础题目.8．【河北省衡水中学2020届高三下学期第九次调研数学】已知复数2(1i)i(1i)z +=-，则下列结论正确的是A ．z 的虚部为iB ．2z =C ．z 的共轭复数1i z =-+D ．2z 为纯虚数【答案】D【解析】()()()222i 1i (1i)12i i 2i 22i====1i i(1i)i+11i 1i 1i 2z -++++==+-++-,z 的虚部为1,z =1i z =-,()22i 12i =z +=.故选:D ．【点睛】本题考查复数的乘除运算,考查复数的概念,难度容易.9．【广西来宾市2019-2020学年高三5月教学质量诊断性联合考试数学】已知复数1023i iz =-+(i 是虚数单位)，则z 的共轭复数是 A ．33i -- B ．33i +C ．1513i 44-- D ．1513i 44+ 【答案】B 【解析】1010(3i)10(3i)2i 2i 2i 3i 2i 33i 3i (3i)(3i)10z --=-=-=-=--=-++-， 33i z ∴=+.故选：B【点睛】本题考查复数的除法运算，还考查了求共轭复数，属于基础题.10．【2020届清华大学中学生标准学术能力诊断性测试高三5月测试数学】已知复数z 满足i 4zi=-(其中i 为虚数单位)，则z 的虚部为 A ．4i B ．4C ．1D ．1-【答案】B 【解析】由i 4iz=-，得2i(4i)4i i 14i z =-=-=+． ∴复数z 的虚部是4．故选：B ．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题． 11．【2020届四川省成都市石室中学高三下学期5月月考数学】复数23i32iz -=+，则z z ⋅= A ．i B ．i -C ．1D ．1-【答案】C【解析】(23i)(32i)13ii (32i)(32i)13z ---===-+-，i z ∴=，∴1z z ⋅=.故选：C ．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查共轭复数的基本概念，是基础题. 12．【河南省名校联盟2020届高三5月质量检测数学】已知复数z 2ia=+-1(i 为虚数单位，a ∈R )为纯虚数，则实数a = A ．52B ．52-C ．0D ．2【答案】B【解析】∵z ()()()2i 2511i 2i 2i 2i 55a a a a ++=+=+=+--+为纯虚数，∴250505a a +⎧=⎪⎪⎨⎪≠⎪⎩，解得a 52=-. 故选B ．【点睛】本题考查了根据复数的类型求参数，意在考查学生的计算能力和转化能力.13．【广东省深圳外国语学校2020届高三下学期4月综合能力测试数学】已知集合{}2230A x x x =--≥，202x B x x ⎧⎫+=∈≤⎨⎬-⎩⎭Z ，则A B =A ．[]2,1--B ．[)1,2-C ．{}2,1--D ．{}1,2-【答案】C 【解析】{}{22301A x x x x x =--≥=≤-或}3x ≥，{}{}20222,1,0,12x B x Z x Z x x ⎧⎫+=∈≤=∈-≤<=--⎨⎬-⎩⎭，因此，{}2,1A B =--.故选：C ．【点睛】本题考查交集的计算，同时也考查了一元二次不等式与分式不等式的求解，考查计算能力，属于基础题.14．【安徽省合肥一中、安庆一中等六校教育研究会2020届高三上学期第一次素质测试数学】若1,01a c b ><<<，则下列不等式不正确的是A ．20192019log log a b >B ．log log c b a a >C ．()()cbc b a c b a ->-D ．()()cba c a a c a ->-【答案】D【解析】因为1,01a c b ><<<，所以0a c ->，考查指数函数(1)xy a a =>，所以()()c b c ba a a c a a c a ⇔<-<-，所以D 不正确.【点睛】本题考查不等式的基本性质及指数函数的单调性，求解时注意利用分析法判断不等式的正确性.15．【辽宁省葫芦岛市2020届高三5月联合考试数学】某校甲、乙、丙、丁四位同学参加了第34届全国青少年科技创新大赛，老师告知只有一位同学获奖，四人据此做出猜测：甲说：“丙获奖”；乙说：“我没获奖”；丙说：“我没获奖”；丁说：“我获奖了”，若四人中只有一人判断正确，则判断正确的是 A ．甲 B ．乙C ．丙D ．丁【答案】C【解析】由题意知，甲和丙的说法矛盾，因此两人中有一人判断正确，故乙和丁都判断错误，乙获奖，丙判断正确. 故选C ．【点睛】本题考查了逻辑推理，意在考查学生的逻辑推理能力.16．【2020届河南省商丘周口市部分学校联考高三5月质量检测数学】宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：“松长六尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，何日竹逾松长？”如图是解决此问题的一个程序框图，其中a 为松长、b 为竹长，则矩形框与菱形框处应依次填A ．2a a a =+；a b <B ．2aa a =+；a b < C ．2a a a =+；a b ≥ D ．2aa a =+；a b > 【答案】B【解析】松日自半，则表示松每日增加原来长度的一半，即矩形框应填2aa a =+；何日竹逾松长，则表示竹长超过松长，即松长小于竹长，即菱形框应填ab <. 故选：B【点睛】本小题主要考查补全程序框图，属于基础题.17．【河北省正定中学2019-2020学年高三下学期第四次阶段质量检测数学】圆224610x y x y ++-+=关于直线()800,0ax by a b -+=>>对称，则32a b+的最小值是A ．B ．3C ．154D【答案】B【解析】根据圆的方程可知，圆心坐标为()2,3C -，而直线经过圆心，所以2380a b --+=， 得238a b +=，因为0,0a b >>，所以()3213214312312+388289b a a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+=⨯+⨯+=⨯+≥+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 故选：B ．【点睛】本题考查圆的对称性，基本不等式的应用，关键在于巧妙地运用“1”，构造基本不等式，属于中档题.18．【重庆市江津中学、实验中学等七校2020届高三下学期6月联考(三诊)数学】2019年10月1日上午，庆祝中华人民共和国成立70周年阅兵仪式在天安门广场隆重举行，这次阅兵不仅展示了我国的科技军事力量，更是让世界感受到了中国的日新月异，去年的阅兵方阵有一个很抢眼，他们就是院校科研方阵，他们是由军事科学院，国防大学，国防科技大学联合组建，若已知甲，乙，丙三人来自上述三所学校，学位分别有学士、硕士、博士学位，现知道：①甲不是军事科学院的，②来自军事科学院的均不是博士，③乙不是军事科学院的，④乙不是博士学位，⑤来自国防科技大学的是硕士，则甲是来自哪个院校的，学位是什么A．国防大学，博士B．国防科技大学，硕士C．国防大学，学士D．军事科学院，学士【答案】A【解析】由①③可知，丙是军事科学院的.进而由②④可知，乙丙不是博士，故甲是博士.进而由⑤可知甲不是来自国防科技大学，所以甲来自国防大学.所以甲来自国防大学，学位是博士.故选A．【点睛】本小题主要考查合情推理，属于基础题.19．【广西南宁市第三中学2020届高三适应性月考卷】运行如图所示的程序算法，则输出的结果为A．2B．12C．13D．132【答案】A【解析】当2a =时， 1k =；当132a =时，3k =； 当132132a ==时，5k =；…；当132a =时，99k =，当2a =时，101k =，跳出循环； 故选:A ．【点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程模拟运行程序发现a 值出现的周期性的变化是解题的关键，属于基础题.20．【广西来宾市2019-2020学年高三5月教学质量诊断性联合考试数学】设实数,x y 满足不等式组4,2,4,x y y x x +≥⎧⎪-≤⎨⎪⎩则11y z x +=+的最小值为 A ．13B ．15C ．13-D ．12-【答案】B【解析】作出不等式组所表示的平面区域如下图阴影部分所示， 目标函数11y z x +=+表示平面区域内的点(,)x y 与(1,1)D --连线的斜率， 则11y z x +=+的最小值为()()011415CDk --==--.故选：B 【点睛】本题考查线性规划问题中分式型目标函数求最值问题，属于简单题.21．【河北省衡水中学2020届高三下学期第二次调研数学】执行如图所示的程序框图，输出的结果是A ．5B ．6C ．7D ．8【答案】B【解析】1i =，12n =， 第一次循环： 8n =，2i =， 第二次循环：31n =，3i =， 第三次循环：123n =，4i =， 第四次循环：119n =，5i =，第五次循环：475n =，6i =，停止循环， 输出6i =. 故选B ．【点睛】本题考查了循环结构流程图和条件结构流程图，属于基础题.22．【广东省深圳市2020届高三下学期第二次调研数学】执行如图的程序框图，如果输入的k ＝0.4，则输出的n ＝A ．5B ．4C ．3D ．2【答案】C【解析】模拟程序的运行，可得k ＝0.4，S ＝0，n ＝1， S 11133==⨯， 不满足条件S ＞0.4，执行循环体，n ＝2，S 11113352=+=⨯⨯(1111335-+-)25=， 不满足条件S ＞0.4，执行循环体，n ＝3，S 11111335572=++=⨯⨯⨯(11111133557-+-+-)37=， 此时，满足条件S ＞0.4，退出循环，输出n 的值为3. 故选：C ．【点睛】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题.23．【2020届清华大学中学生标准学术能力诊断性测试高三5月测试数学】下列程序框图的算法思想源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”.执行该程序框图，若输入16a =，10b =，则程序中需要做减法的次数为A ．6B ．5C ．4D ．3【答案】C【解析】由16a =，10b =，满足a b ，满足a b >，则16106a =-=；满足a b ，不满足a b >，则1064b =-=； 满足a b ，满足a b >，则642a =-=； 满足a b ，不满足a b >，则422b =-=； 不满足ab ，则输出2a =；则程序中需要做减法的次数为4， 故选：C ．【点睛】本题主要考查算法和程序框图，主要考查循环结构的理解和运用，以及赋值语句的运用，属于基础题．24．【甘肃省西北师大附中2020届高三5月模拟试卷】“辗转相除法”是欧几里得《原本》中记录的一个算法，是由欧几里得在公元前300年左右首先提出的，因而又叫欧几里得算法．如图所示是一个当型循环结构的“辗转相除法”程序框图．当输入2020m =，303n =时，则输出的m 是A ．2B ．6C ．101D ．202【答案】C【解析】输入2020m =，303n =，又1r =． ①10r =>，202r =，303m =，202n =； ②2020r =>，3032021101÷=，101r =，202m =，101n ；③1010r =>，0r =，101m =，0n =；④0r =，则0r >否，输出101m =. 故选：C ．【点睛】本题主要考查程序框图和计算程序框图的输出值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 25．【重庆市第一中学2019-2020学年高三下学期期中数学】冰雹猜想也称奇偶归一猜想：对给定的正整数进行一系列变换，则正整数会被螺旋式吸入黑洞(4，2，1)，最终都会归入“4-2-1”的模式.该结论至今既没被证明，也没被证伪. 下边程序框图示意了冰雹猜想的变换规则，则输出的i =A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】B【解析】由题意，第一次循环，12S Z ∉，35116S =⨯+=，011i =+=，1S ≠； 第二次循环，12S Z ∈，11682S =⨯=，112i =+=，1S ≠； 第三次循环，12S Z ∈，1842S =⨯=，213i =+=，1S ≠；第四次循环，12S Z ∈，1422S =⨯=，314i =+=，1S ≠；第五次循环，12S Z ∈，1212S =⨯=，415i =+=，1S =；此时输出5i =. 故选：B【点睛】本题考查循环结构程序框架图的应用，属于基础题.26．【重庆市南开中学2019-2020学年高三下学期线上期中数学】若某程序框图如图所示，则输出的S 的值是A ．31B ．63C ．127D ．255【答案】C【解析】第一次运行，1i =，0S =，8i <成立，则2011S =⨯+=，112i =+=； 第二次运行，2i =，1S =，8i <成立，则2113S =⨯+=，213i =+=； 第三次运行，3i =，3S =，8i <成立，则2317S =⨯+=，314i =+=； 第四次运行，4i =，7=S ，8i <成立，则27115S =⨯+=，415i =+=； 第五次运行，5i =，15S =，8i <成立，则215131S =⨯+=，516i =+=； 第六次运行，6i =，31S =，8i <成立，则231163S =⨯+=，617i =+=； 第七次运行，7i =，63S =，8i <成立，则2631127S =⨯+=，718i =+=； 第八次运行，8i =，127S =，8i <不成立， 所以输出S 的值为127. 故选：C ．【点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题.解决程序框图问题时，一定要注意以下几点：(1)不要混淆处理框和输入框；(2)注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3)注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4)处理循环结构的问题时，一定要正确控制循环次数；(5)要注意各个框的顺序；(6)在给出程序框图求解输出结果的试题中，只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.27．【重庆市南开中学2019-2020学年高三下学期第六次教学质量检测数学】数独起源于18世纪初瑞士数学家欧拉等人研究的一种拉丁方阵，是一种运用纸、笔进行演算的数学逻辑游戏.如图就是一个迷你数独，玩家需要根据66⨯盘面上的已知数字，推理出所有剩余空格的数字，并满足每一行、每一列、每一个粗线宫(32⨯)内的数字均含16-，每一行，每一列以及每一个粗线宫都没有重复的数字出现，则图中的a b c d +++=A ．11B ．13C ．15D ．17【答案】D【解析】由题意，如图，从第二列出发，由于每行每列都有1—6，所以第4行第2列为2，第4行第6列为5，所以4610b d +=+=，第2行第3列为6，第5行第3列为4，第5行第5列为6，第3行第5列为4，第3行第1列为5，所以167a c +=+=， 所以a b c d +++=17. 故选：D【点睛】本题考查推理与证明中的合情推理，考查学生分析，观察，判断等能力，是一道容易题.28．【河北省衡水中学2020届高三下学期(5月)第三次联合考试数学】要使得满足约束条件42y xy x x y ⎧⎪-⎨⎪+⎩，的变量,x y 表示的平面区域为正方形，则可增加的一个约束条件为 A ．4x y +≤ B ．4x y +C ．6x y +D ．6x y +【答案】C【解析】根据正方形的性质可设新增加的约束条件为x y c +，两组对边的距离相等，故d ===，所以6c =或2c =-(舍去). 如图所示故选:C ．【点睛】本题考查二元不等式组表示的平面区域，两平行线间的距离公式的应用，属于基础题. 29．【2020届华大新高考联盟高三4月教学质量测评数学】执行如图所示的程序框图，设输出数据构成集合A ，从集合A 中任取一个元素m ，则事件“函数()2f x x mx =+在[)0,+∞上是增函数”的概率为A ．14B ．12C ．34D ．35【答案】C【解析】当20x y =-⇒=； 当2111x y =-+=-⇒=-； 当1100x y =-+=⇒=； 当0113x y =+=⇒=； 当1128x y =+=⇒=； 当213x =+=，退出循环. 所以{}0,1,3,8A =-，又函数()2f x x mx =+在[)0,+∞上是增函数，所以002mm -≤⇒≥. 函数()2f x x mx =+在[)0,+∞上是增函数的概率为34. 故选：C ．【点睛】本题主要考查了当型循环结构，以及与集合和古典概型相结合等问题，属于基础题． 30．【江西省景德镇市2019-2020学年高三第三次质检数学】科赫曲线是一种外形像雪花的几何曲线，一段科赫曲线可以通过下列操作步骤构造得到：任画…条线段，然后把它分成三等分，以中间一段为边向外作正三角形，并把中间一段去掉，这样，原来的一条线段就变成了由4条小线段构成的折线，称为“一次构造”；用同样的方法把每一条小线段重复上述步骤，得到由16条更小的线段构成的折线，称为“二次构造”；…；如此进行“n 次构造”，就可以得到一条科赫曲线.若要在构造过程中使得到的折线的长度大于初始线段的100倍，则至少需要构造的次数是( )(取lg30.4771≈，lg 20.3010≈)A ．16B ．17C ．24D ．25【答案】B【解析】设初始长度为a ，各次构造后的折线长度构成一个数列{}n a ， 由题知143a a =，143n n a a +=，则{}n a 为等比数列，4()3n n a a ∴=⋅，假设构造n 次后，折线的长度大于初始线段的100倍，即4()1003n n a a => ， 43lg100log 100lg 4lg 3n ∴>=-，lg100216lg 4lg 320.30100.4771=≈-⨯-17n ∴≥【点睛】本题考查了图形的归纳推理，等比数列的实际应用，指数不等式的求解，考查了数形结合的思想.其中对图形进行归纳推理，构造等比数列是关键.属于中档题.。

2020年高中数学 人教A 版 必修5 单元检测卷不等式一、选择题1.不等式x 2≥2x 的解集是( )A ．{x|x ≥2}B ．{x|x ≤2}C ．{x|0≤x ≤2}D ．{x|x ≤0或x≥2}2.不等式(x ＋3)2＜1的解集是( )A ．{x|x ＞－2}B ．{x|x ＜－4}C ．{x|－4＜x ＜－2}D ．{x|－4≤x≤－2}3.已知点P(x ，y)在不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －2≤0，y －1≤0，x ＋2y －2≥0表示的平面区域上运动，则z=x －y 的最小值是( )A ．－2B ．2C ．－1D ．14.下列函数：①y=x ＋1x (x≥2)；②y=tan x ＋1tan x ；③y=x－3＋1x －3.其中最小值为2的个数有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个5.二次不等式ax 2＋bx ＋1＞0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－1＜x ＜13，则ab 的值为( )A ．－6B ．6C ．－5D ．56.若不等式(a －2)x 2＋2(a －2)x －4<0对一切x∈R 恒成立，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，2]B ．[－2，2]C ．(－2，2]D ．(－∞，－2) 7.若1a ＜1b＜0，则下列结论不正确的是( )A ．a 2＜b 2B ．ab ＜b 2C.b a ＋a b＞2 D ．|a|－|b|=|a －b|8.不等式组⎩⎪⎨⎪⎧（x －y ＋5）（x ＋y ）≥0，0≤x ≤3表示的平面区域的面积是( )A ．12B ．24C ．36D ．489.函数y=log 12⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x －1＋5(x>1)的最大值为( ) A ．4 B ．3 C ．－4 D ．－310.已知a ＞0，b ＞0，a ，b 的等差中项是12，且α=a＋1a ，β=b ＋1b.则α＋β的最小值是( )A ．3B ．4C ．5D ．611.若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y≥0，2x ＋y≤2，y ≥0，x ＋y≤a表示的平面区域是一个三角形，则正数a 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫43，＋∞ B ．(0，1] C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，43 D ．(0，1]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫43，＋∞12.定义符号函数sgn x=⎩⎪⎨⎪⎧1，x ＞0，0，x ＝0，－1，x ＜0，则当x∈R 时，不等式x ＋2＞(2x －1)sgn x的解集是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－3＋334＜x ＜－3＋334 B.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＞－3＋334 C.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＜－3＋334 D.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－3＋334＜x ＜3二、填空题13.|x|2－2|x|－15＞0的解集是________．14.若不等式x 2－(a ＋1)x ＋a≤0的解集是[－4，3]的子集，则a 的取值范围是________．15.设a ，b 为正数，且a ＋b=1，则12a ＋1b的最小值是________．16.某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x 吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x=________吨．三、解答题17. (1)已知正数a ，b 满足a ＋b=1，求证：a 2＋b 2≥12；(2)设a 、b 、c 为△ABC 的三条边，求证：a 2＋b 2＋c 2<2(ab ＋bc ＋ca)．18.已知lg(3x)＋lg y=lg(x ＋y ＋1)．(1)求xy 的最小值； (2)求x ＋y 的最小值．19.徐州、苏州两地相距500千米，一辆货车从徐州行驶到苏州，规定速度不得超过100千米/时．已知货车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v(千米/时)的平方成正比，比例系数为0.01；固定部分为a元(a＞0)．(1)把全程运输成本y(元)表示为速度v(千米/时)的函数，并指出这个函数的定义域；(2)为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？20.某企业生产A，B两种产品，生产每一吨产品所需的劳动力、煤和电耗如下表：已知生产每吨A产品的利润是7万元，生产每吨B产品利润是12万元，现因条件限制，该企业仅有劳动力300个，煤360吨，并且供电局只能供电200千瓦，试问该企业如何安排生产，才能获得最大利润？21.某个集团公司下属的甲、乙两个企业在2014年1月的产值都为a 万元，甲企业每个月的产值与前一个月相比增加的产值相等，乙企业每个月的产值与前一个月相比增加的百分数相等，到2015年1月两个企业的产值再次相等．(1)试比较2014年7月甲、乙两个企业产值的大小，并说明理由．(2)甲企业为了提高产能，决定投入3.2万元买台仪器，并且从2015年2月1日起投入使用．从启用的第一天起连续使用，第n 天的维修保养费为n ＋4910元(n∈N *)，求前n 天这台仪器的日平均耗资(含仪器的购置费)，并求日平均耗资最小时使用的天数？22.已知f(x)=x 2－2ax ＋2(a∈R)，当x∈[－1，＋∞)时，f (x)≥a 恒成立，求a 的取值范围．答案解析1.答案为：D ；解析：由x 2≥2x 解得：x(x －2)≥0，所以x ≤0或x≥2.2.答案为：C ；解析：原不等式可化为x 2＋6x ＋8＜0，解得－4＜x ＜－2.3.答案为：C ；解析：画出可行域：z=x －y ⇒y=x －z ，由图形知最优解为(0，1)，所以z min =－1.4.答案为：A ；解析：①y=x＋1x ≥2x ·1x ≥2，当且仅当x=1x，即x=1时等号成立，由于x≥2，因此①的最小值不是2；②中tan x 可能小于零，最小值不是2； ③中x －3可能小于零，最小值不是2.5.答案为：B ；解析：由题意知a ＜0，－1与13是方程ax 2＋bx ＋1=0的两根，所以－1＋13=－b a ，(－1)×13=1a，解得a=－3，b=－2，所以ab=6.6.答案为：C ；解析：当a=2时，不等式－4<0恒成立，因此a=2满足题意．当a≠2时，不等式(a －2)x 2＋2(a －2)x －4<0对一切x ∈R 恒成立，需满足⎩⎪⎨⎪⎧a －2<0，4（a －2）2－4（a －2）（－4）<0，解得－2<a<2.综上所述，a 的取值范围是－2<a≤2.故选C.7.答案为：D ；解析：由1a ＜1b＜0，所以a ＜0，b ＜0，所以0＞a ＞b ，由不等式基本性质知A ，B ，C 对．8.答案为：B ；解析：平面区域图形如图所示：S=（5＋11）×32=24.9.答案为：D ；解析：由x ＋1x －1＋5=x －1＋1x －1＋6≥2＋6=8(x>1)，所以y=log 12⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x －1＋5≤log 128=－3，故选D.10.答案为：C ；解析：因为α＋β=a＋1a ＋b ＋1b =1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ·(a ＋b)=1＋1＋1＋b a ＋a b ≥5.11.答案为：D ；解析：画出前三个不等式表示的平面区域，为图中△OAB，当直线l ：x ＋y=a 在l 0与l 1之间(包括l 1)时不等式组表示的平面区域为三角形； 当l 在l 2的位置或从l 2向右移动时，不等式组表示的平面区域是三角形；又l 在l 1，l 2的位置时，a 的值分别为1，43.所以0<a ≤1或a≥43.12.答案为：D ；解析：当x ＞0时，不等式化为x ＋2＞2x －1，解得x ＜3，即0＜x ＜3；当x=0时，不等式恒成立；当x ＜0时，不等式化为x ＋2＞(2x －1)－1，即2x 2＋3x －3＜0，解得－3＋334＜x ＜－3＋334，即－3＋334＜x ＜0.综上可知，不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－3＋334＜x ＜3.13.答案为：(－∞，－5)∪(5，＋∞)；解析：因为|x|2－2|x|－15＞0，所以|x|＞5或|x|＜－3(舍去)．所以x ＜－5或x ＞5.14.答案为：[－4，3]；解析：原不等式即(x －a)(x －1)≤0，当a<1时，不等式的解集为[a ，1]，此时只要a≥－4即可，即－4≤a<1；当a=1时，不等式的解为x=1，此时符合要求； 当a>1时，不等式的解集为[1，a]，此时只要a≤3即可，即1<a ≤3.综上可得－4≤a≤3.15.答案为：32＋2；解析：因为12a ＋1b =⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＋1b (a ＋b)=12＋1＋a b ＋b 2a ≥32＋ 2.16.答案为：20；解析：该公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x 吨，则需要购买400x次，运费为4万元/年，一年的总存储费用为4x 万元，一年的总运费与总存储费用之和为⎝ ⎛⎭⎪⎫400x ·4＋4x 万元，400x ·4＋4x≥160，当1 600x =4x ，即x=20吨时，一年的总运费与总存储费用之和最小．17.证明：(1)a 2＋b 2=(a ＋b)2－2ab=1－2ab ≥1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22=1－12=12. (2)因为a ，b ，c 是△ABC 的三边，不妨设a ≥b ≥c>0， 则a>b －c≥0，b>a －c≥0，c>a －b≥0.平方得： a 2>b 2＋c 2－2bc ，b 2>a 2＋c 2－2ac ，c 2>a 2＋b 2－2ab ，三式相加得：0>a 2＋b 2＋c 2－2bc －2ac －2ab.所以2ab ＋2bc ＋2ac>a 2＋b 2＋c 2，即a 2＋b 2＋c 2<2(ab ＋bc ＋ca)．18.解：由lg(3x)＋lg y=lg(x ＋y ＋1)，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，y ＞0，3xy ＝x ＋y ＋1.(1)因为x ＞0，y ＞0，所以3xy=x ＋y ＋1≥2xy ＋1. 所以3xy －2xy －1≥0.即3(xy)2－2xy －1≥0. 所以(3xy ＋1)(xy －1)≥0. 所以xy ≥1，所以xy≥1.当且仅当x=y=1时，等号成立． 所以xy 的最小值为1. (2)因为x ＞0，y ＞0，所以x ＋y ＋1=3xy≤3·⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22. 所以3(x ＋y)2－4(x ＋y)－4≥0. 所以[3(x ＋y)＋2][(x ＋y)－2]≥0. 所以x ＋y≥2.当且仅当x=y=1时取等号． 所以x ＋y 的最小值为2.19.解：(1)依题意知汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为500v，则全程运输成本为y =a·500v ＋0.01v 2·500v =500a v＋5v ，则y=500a v＋5v, v ∈(0，100]．(2)依题意知a ，v 都为正数， 则500a v ＋5v≥2 500a v·5v=100a ，当且仅当500av=5a ，即v=10a 时取等号．若10a ≤100，即0＜a≤100，当v=10a 时，全程运输成本y 最小．若10a ＞100，即a ＞100时，则当v∈(0，100]时，可以证明函数y=500av＋5v 是减函数，即此时当v=100时，全程运输成本y 最小．综上所得，当0＜a≤100时，行驶速度应为v=10a 千米/时，全程运输成本最小； 当a ＞100时，行驶速度应为v=100千米/时，全程运输成本最小．20.解：设生产A ，B 两种产品分别为x 吨，y 吨，利润为z 万元，依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋10y≤300，9x ＋4y≤360，4x ＋5y≤200，x ≥0，y ≥0.目标函数为z=7x ＋12y. 作出可行域，如图阴影所示．当直线7x ＋12y=0向右上方平行移动时，经过M 时z 取得最大值．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋10y ＝300，4x ＋5y ＝200，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝20，y ＝24.因此，点M 的坐标为(20，24)．所以该企业生产A ，B 两种产品分别为20吨和24吨时，才能获得最大利润．21.解：(1)设从2014年1月到2015年1月甲企业每个月的产值分别为a 1，a 2，a 3，…，a 13，乙企业每个月的产值分别为b 1，b 2，…，b 13.由题意{a n }成等差数列，{b n }成等比数列，所以a 7=12(a 1＋a 13)，b 7=b 1·b 13，因为a 1=b 1，a 13=b 13，从而a 7=12(a 1＋a 13)＞a 1·a 13=b 1·b 13=b 7，所以到7月份甲企业的产值比乙企业的产值要大． (2)设一共使用了n 天，n 天的平均耗资P(n)=32 000＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋4910＋2＋4910＋3＋4910＋…＋n ＋4910n=32 000＋49n 10＋n （n ＋1）20n =32 000n ＋n 20＋9920≥2 32 000n ·n 20＋9920=1 69920(元)， 当且仅当32 000n =n 20时，取得最小值，此时n=800，即日平均耗资最小时使用了800天．22.解：法一：f(x)=(x －a)2＋2－a 2，此二次函数图象的对称轴为x=a.①当a∈(－∞，－1)时，f(x)在[－1，＋∞)上单调递增，f(x)min =f(－1)=2a ＋3.要使f(x)≥a 恒成立，只需f(x)min ≥a ，即2a ＋3≥a，解得－3≤a＜－1；②当a∈[－1，＋∞，)时，f(x)min =f(a)=2－a 2，由2－a 2≥a ，解得－1≤a≤1.综上所述，所求a 的取值范围为－3≤a≤1.法二：令g(x)=x 2－2ax ＋2－a ，由已知，得x 2－2ax ＋2－a≥0在[－1，＋∞)上恒成立，即Δ=4a 2－4(2－a)≤0或⎩⎪⎨⎪⎧Δ＞0，a ＜－1，g （－1）≥0.解得－3≤a≤1.。

考点测试33 一元二次不等式及其解法高考概览高考在本考点的常考题型为选择题、填空题，分值5分，中、低等难度 考纲研读1.会从实际问题的情境中抽象出一元二次不等式模型2．通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系3．会解一元二次不等式一、基础小题1．不等式－3<4x －4x 2≤0的解集是( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－12<x ≤0或1≤x <32 B ．{x |x ≤0或x ≥1}C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－12<x <32D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≤－12或x ≥32答案 A解析 不等式可化为⎩⎪⎨⎪⎧4x x －1≥0，4x 2－4x －3<0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0或x ≥1，－12<x <32，所以－12<x ≤0或1≤x <32.故选A.2．若不等式ax 2＋bx －2<0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－2<x <14，则ab ＝( ) A ．－28 B ．－26 C ．28 D ．26答案 C解析 ∵－2，14是方程ax 2＋bx －2＝0的两根，∴⎩⎪⎨⎪⎧－2a ＝－2×14＝－12，－b a ＝－74，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝7，∴ab ＝28.3．不等式3x －1x －2≤0的解集为( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |13≤x ≤2 B ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x >2或x ≤13C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |13≤x <2 D ．{x |x <2}答案 C解析 不等式3x －1x －2≤0等价于(3x －1)(x －2)≤0，且x －2≠0，解得13≤x <2.故选C.4．若关于x 的不等式x 2－ax －a ≤－3的解集不是空集，则实数a 的取值X 围是( ) A ．[2，－∞) B ．(－∞，－6]C ．[－6,2]D ．(－∞，－6]∪[2，＋∞)答案 D解析 由关于x 的不等式x 2－ax －a ≤－3的解集不是空集，得对应方程x 2－ax －a ＋3＝0有实数根，即Δ＝a 2＋4(a －3)≥0，解得a ≥2或a ≤－6，所以实数a 的取值X 围是(－∞，－6]∪[2，＋∞)．故选D.5．若函数f (x )＝kx 2－6kx ＋k ＋8的定义域为R ，则实数k 的取值X 围是( ) A ．{k |0＜k ≤1} B ．{k |k ＜0或k ＞1} C ．{k |0≤k ≤1} D ．{k |k ＞1}答案 C解析 当k ＝0时，8＞0恒成立；当k ≠0时，只需⎩⎪⎨⎪⎧k ＞0，Δ≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧k ＞0，36k 2－4k k ＋8≤0，则0＜k ≤1.综上，0≤k ≤1.6．不等式|x 2－x |<2的解集为( ) A ．(－1,2) B ．(－1,1) C ．(－2,1) D ．(－2,2)答案 A解析 由|x 2－x |<2，得－2<x 2－x <2，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x <2， ①x 2－x >－2. ②由①，得－1<x <2.由②，得x ∈R .所以解集为(－1,2)．故选 A.7．存在x ∈[－1,1]，使得x 2＋mx －3m ≥0，则m 的最大值为( ) A ．1 B ．14 C ．12 D ．－1答案 C解析 若对于任意x ∈[－1,1]，不等式x 2＋mx －3m <0恒成立，则由函数f (x )＝x 2＋mx －3m 的图象可知⎩⎪⎨⎪⎧f －1＝1－m －3m <0，f1＝1＋m －3m <0，解得m >12.所以若存在x ∈[－1,1]，使得x 2＋mx－3m ≥0，则m ≤12，所以m 的最大值为12.故选C.8．设不等式x 2－2ax ＋a ＋2≤0的解集为A ，若A ⊆[1,3]，则实数a 的取值X 围为( ) A.⎝⎛⎦⎥⎤－1，115 B ．⎝⎛⎭⎪⎫1，115C.⎝⎛⎭⎪⎫2，115D ．[－1,3]答案 A解析 设f (x )＝x 2－2ax ＋a ＋2，因为不等式x 2－2ax ＋a ＋2≤0的解集为A ，且A ⊆[1,3]，所以对于方程x 2－2ax ＋a ＋2＝0，若A ＝∅，则Δ＝4a 2－4(a ＋2)<0，即a 2－a －2<0，解得－1<a <2；若A ≠∅，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4a 2－4a ＋2≥0，f 1≥0，f 3≥0，1≤a ≤3，即⎩⎪⎨⎪⎧a ≥2或a ≤－1，a ≤3，a ≤115，1≤a ≤3，所以2≤a ≤115.综上，实数a 的取值X 围为⎝ ⎛⎦⎥⎤－1，115，故选A. 9．不等式|x (x －2)|>x (x －2)的解集是________． 答案 {x |0<x <2}解析 不等式|x (x －2)|>x (x －2)的解集即x (x －2)<0的解集，解得0<x <2，故不等式的解集为{x |0<x <2}．10．已知三个不等式：①x 2－4x ＋3<0，②x 2－6x ＋8<0，③2x 2－9x ＋m <0.要使同时满足①②的所有x 的值满足③，则实数m 的取值X 围为________．答案 m ≤9解析 由①②得2<x <3，要使同时满足①②的所有x 的值满足③，即不等式2x 2－9x ＋m <0在x ∈(2,3)上恒成立，即m <－2x 2＋9x 在x ∈(2,3)上恒成立，又－2x 2＋9x 在x ∈(2,3)上大于9，所以实数m ≤9.11．若关于x 的不等式5x 2－a ≤0的正整数解是1,2,3，则实数a 的取值X 围是________． 答案 [45,80)解析 因为关于x 的不等式5x 2－a ≤0的正整数解是1,2,3，所以a >0，解不等式得x 2≤a5，所以－a5≤x ≤ a5，所以3≤a5<4，所以9≤a5<16，即45≤a <80，所以实数a 的取值X 围是[45,80)．12．若a <0，则关于x 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ax －a 2<0，x 2－ax －2a 2<0的解集为________．答案 (a ，－a )解析 因为a <0，所以由ax －a 2＝a (x －a )<0，得x >a ，由x 2－ax －2a 2＝(x －2a )(x ＋a )<0，得2a <x <－a .所以原不等式组的解集为(a ，－a )．二、高考小题13．(2019·某某高考)设x ∈R ，使不等式3x 2＋x －2<0成立的x 的取值X 围为________． 答案 ⎝⎛⎭⎪⎫－1，23解析 3x 2＋x －2<0变形为(x ＋1)(3x －2)<0，解得－1<x <23，故使不等式成立的x 的取值X 围为⎝⎛⎭⎪⎫－1，23. 14．(2015·某某高考)不等式－x 2－3x ＋4>0的解集为________(用区间表示)． 答案 (－4,1)解析 不等式－x 2－3x ＋4>0等价于x 2＋3x －4<0，解得－4<x <1.15．(经典某某高考)已知函数f (x )＝x 2＋mx －1，若对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )<0，则实数m 的取值X 围是________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，0 解析 由题可得f (x )<0对于x ∈[m ，m ＋1]恒成立，等价于⎩⎪⎨⎪⎧fm ＝2m 2－1<0，f m ＋1＝2m 2＋3m <0，解得－22<m <0. 16．(经典某某高考)已知f (x )是定义域为R 的偶函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－4x .那么，不等式f (x ＋2)<5的解集是________．答案 (－7,3)解析 当x ≥0时，f (x )＝x 2－4x <5的解集为[0,5)，又f (x )为偶函数，所以f (x )<5的解集为(－5,5)．所以f (x ＋2)<5的解集为(－7,3)．三、模拟小题17．(2019·某某二模)若a <b ，d <c ，并且(c －a )(c －b )<0，(d －a )(d －b )>0，则a ，b ，c ，d 的大小关系为( )A ．d <a <c <bB ．a <d <c <bC ．a <d <b <cD ．d <c <a <b答案 A解析 因为a <b ，(c －a )(c －b )<0，所以a <c <b ，因为(d －a )(d －b )>0，所以d <a <b 或a <b <d ，又d <c ，所以d <a <b .综上，d <a <c <b .18．(2019·某某二中月考)在R 上定义运算☆：a ☆b ＝ab ＋2a ＋b ，则满足x ☆(x －2)<0的实数x 的取值X 围为( )A ．(0,2)B ．(－2,1)C ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)D ．(－1,2)答案 B解析 根据定义得x ☆(x －2)＝x (x －2)＋2x ＋(x －2)＝x 2＋x －2<0，解得－2<x <1，所以实数x 的取值X 围为(－2,1)．故选B.19．(2019·某某实验中学诊断)不等式－x 2＋|x |＋2<0的解集是( ) A ．{x |－2<x <2} B ．{x |x <－2或x >2} C ．{x |－1<x <1} D ．{x |x <－1或x >1}答案 B解析 原不等式化为|x |2－|x |－2>0，所以(|x |－2)·(|x |＋1)>0.因为|x |＋1>0，所以|x |－2>0，即|x |>2，解得x <－2或x >2.故选B.20．(2019·鄂尔多斯第一中学模拟)关于x 的不等式x 2－2ax －8a 2<0(a >0)的解集为(x 1，x 2)，且x 2－x 1＝15，则a ＝( )A.154B ．72C ．52D ．152答案 C解析 因为x 2－2ax －8a 2<0(a >0)，所以(x ＋2a )·(x －4a )<0(a >0)，得－2a <x <4a .又x 2－x 1＝15，所以6a ＝15，解得a ＝52.故选C.21．(2019·某某高三一模)已知关于x 的不等式x 2－4ax ＋3a 2<0(a <0)的解集为(x 1，x 2)，则x 1＋x 2＋ax 1x 2的最大值是( ) A.63B ．233C ．433D ．－433答案 D解析 ∵不等式x 2－4ax ＋3a 2<0(a <0)的解集为(x 1，x 2)，∴在方程x 2－4ax ＋3a 2＝0中，由根与系数的关系知x 1x 2＝3a 2，x 1＋x 2＝4a ，则x 1＋x 2＋a x 1x 2＝4a ＋13a .∵a <0，∴－⎝⎛⎭⎪⎫4a ＋13a ≥2－4a ·－13a ＝433，即4a ＋13a ≤－433，故x 1＋x 2＋a x 1x 2的最大值为－433.故选D.22．(2019·苏北四市、苏中三市三调)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥0，－x 2－2x ，x ≤0，则不等式f (x )>f (－x )的解集为________．答案 (－2,0)∪(2，＋∞)解析 若x ≥0，则f (x )＝x 2－2x ，f (－x )＝－x 2＋2x ，由f (x )>f (－x )得x 2－2x >－x 2＋2x ⇒x >2，故x >2.若x <0，则f (x )＝－x 2－2x ，f (－x )＝x 2＋2x ，由f (x )>f (－x )得，－x 2－2x >x 2＋2x ⇒－2<x <0，故－2<x <0.综上，不等式f (x )>f (－x )的解集为(－2,0)∪(2，＋∞)．一、高考大题本考点在近三年高考中未涉及此题型． 二、模拟大题1．(2019·某某模拟)对任意m ∈[－1,1]，函数f (x )＝x 2＋(m －4)x ＋4－2m 的值恒大于零，求x 的取值X 围．解 由f (x )＝x 2＋(m －4)x ＋4－2m ＝(x －2)m ＋x 2－4x ＋4， 令g (m )＝(x －2)m ＋x 2－4x ＋4.由题意知在[－1,1]上，g (m )的值恒大于零，所以⎩⎪⎨⎪⎧g －1＝x －2×－1＋x 2－4x ＋4>0，g 1＝x －2＋x 2－4x ＋4>0，解得x <1或x >3.故当x ∈(－∞，1)∪(3，＋∞)时，对任意的m ∈[－1,1]，函数f (x )的值恒大于零． 2．(2019·某某质检)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且当x ≥0时，f (x )＝e x.若对任意x ∈[a ，a ＋1]，恒有f (x ＋a )≥f (2x )成立，某某数a 的取值X 围．解 因为函数f (x )是偶函数，故函数f (x )的图象关于y 轴对称，且在(－∞，0]上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增． 所以由f (x ＋a )≥f (2x )可得|x ＋a |≥2|x |在[a ，a ＋1]上恒成立， 从而(x ＋a )2≥4x 2在[a ，a ＋1]上恒成立， 化简得3x 2－2ax －a 2≤0在[a ，a ＋1]上恒成立， 设h (x )＝3x 2－2ax －a 2， 则有⎩⎪⎨⎪⎧h a ＝0≤0，ha ＋1＝4a ＋3≤0，解得a ≤－34.故实数a 的取值X 围是⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－34. 3．(2019·某某八校联考)已知关于x 的不等式(ax －1)(x ＋1)＞0.(1)若此不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－1＜x ＜－12，某某数a 的值；(2)若a ∈R ，解这个关于x 的不等式． 解 (1)∵不等式(ax －1)(x ＋1)＞0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－1＜x ＜－12，∴方程(ax －1)(x ＋1)＝0的两根是－1，－12；∴－12a －1＝0，∴a ＝－2.(2)∵(ax －1)(x ＋1)＞0，∴当a ＜0时，不等式可化为⎝⎛⎭⎪⎫x －1a (x ＋1)＜0.若a ＜－1，则1a ＞－1，解得－1＜x ＜1a；若a ＝－1，则1a＝－1，不等式的解集为∅； 若－1＜a ＜0，则1a ＜－1，解得1a＜x ＜－1；当a ＝0时，不等式为－(x ＋1)＞0，解得x ＜－1.当a ＞0时，不等式为⎝⎛⎭⎪⎫x －1a (x ＋1)＞0，∵1a ＞－1，∴解不等式得x ＜－1或x ＞1a.综上，当a ＜－1时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－1＜x ＜1a ；当a ＝－1时，不等式的解集为∅；当－1＜a ＜0时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |1a＜x ＜－1；当a ＝0时，不等式的解集为{x |x ＜－1}；当a ＞0时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＜－1或x ＞1a .4．(2019·某某正定中学月考)已知f (x )＝ax 2＋x －a ，a ∈R .(1)若不等式f (x )>(a －1)x 2＋(2a ＋1)x －3a －1对任意的x ∈[－1,1]恒成立，某某数a 的取值X 围；(2)若a <0，解不等式f (x )>1.解 (1)原不等式等价于x 2－2ax ＋2a ＋1>0对任意的x ∈[－1,1]恒成立， 设g (x )＝x 2－2ax ＋2a ＋1＝(x －a )2－a 2＋2a ＋1，x ∈[－1,1]， ①当a <－1时，g (x )min ＝g (－1)＝1＋2a ＋2a ＋1>0，无解；②当－1≤a ≤1时，g (x )min ＝g (a )＝－a 2＋2a ＋1>0，得1－2<a ≤1； ③当a >1时，g (x )min ＝g (1)＝1－2a ＋2a ＋1>0，得a >1. 综上，实数a 的取值X 围为(1－2，＋∞)． (2)f (x )>1，即ax 2＋x －a －1>0， 即(x －1)(ax ＋a ＋1)>0， 因为a <0，所以(x －1)⎝⎛⎭⎪⎫x ＋a ＋1a <0， 因为1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－a ＋1a ＝2a ＋1a ，所以当－12<a <0时，1<－a ＋1a ，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |1<x <－a ＋1a ； 当a ＝－12时，不等式可化为(x －1)2<0，不等式无解；当a <－12时，1>－a ＋1a，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－a ＋1a <x <1. 5．(2019·某某河东一模)设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，函数F (x )＝f (x )－x 的两个零点为m ，n (m <n )．(1)若m ＝－1，n ＝2，求不等式F (x )>0的解集； (2)若a >0，且0<x <m <n <1a，比较f (x )与m 的大小．解 (1)由题意知，F (x )＝f (x )－x ＝a (x －m )(x －n )． 当m ＝－1，n ＝2时，不等式F (x )>0，即a (x ＋1)(x －2)>0. 当a >0时，不等式F (x )>0的解集为{x |x <－1或x >2}； 当a <0时，不等式F (x )>0的解集为{x |－1<x <2}． (2)f (x )－m ＝F (x )＋x －m ＝a (x －m )(x －n )＋x －m ＝(x －m )(ax －an ＋1)， 因为a >0，且0<x <m <n <1a，所以x －m <0,1－an ＋ax >0. 所以f (x )－m <0，即f (x )<m .。

考点测试39 数学归纳法 一、基础小题 1．在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为12n(n－3)条时，第一步检验第一个值n0

等于( ) A．1 B．2 C．3 D．0 答案 C 解析 边数最少的凸n边形是三角形．

2．用数学归纳法证明“1＋a＋a2＋…＋an＝1－an＋11－a，a≠1，n∈N*”，在验证n＝1时，左边是( ) A．1 B．1＋a C．1＋a＋a2 D．1＋a＋a2＋a3 答案 B 解析 当n＝1时，代入原式有左边＝1＋a.故选B. 3．对于不等式n2＋n≤n＋1(n∈N*)，某学生的证明过程如下： (1)当n＝1时， 12＋1≤1＋1，不等式成立． (2)假设n＝k(k∈N*)时，不等式成立，即k2＋kk＋12＋k＋1＝k2＋3k＋2＋1)＋

1. ∴当n＝k＋1时，不等式成立． 上述证法( ) A．过程全都正确 B．n＝1检验不正确 C．归纳假设不正确 D．从n＝k到n＝k＋1的推理不正确 答案 D 解析 n＝1的验证及归纳假设都正确，但从n＝k到n＝k＋1的推理中没有使用归纳假设，而通过不等式的放缩法直接证明，不符合数学归纳法的证题要求，故应选D.

4．利用数学归纳法证明不等式1＋12＋13＋…＋12n－1k到n＝k＋1时，左边增加了( )

A．1项 B．k项 C．2k－1项 D．2k项 答案 D

解析 1＋12＋13＋…＋12k＋1－1－ 1＋12＋13＋…＋

12k－1＝12k＋12k＋1＋…＋12k＋1－1，共增加了2k项．

5．某个命题与自然数n有关，若n＝k(k∈N*)时命题成立，那么可推得当n＝k＋1时该命题也成立，现已知n＝5时，该命题不成立，那么可以推得( ) A．n＝6时该命题不成立 B．n＝6时该命题成立 C．n＝4时该命题不成立 D．n＝4时该命题成立 答案 C 解析 假设n＝4时该命题成立，由题意可得n＝5时，该命题成立，而n＝5时，该命题不成立，所以n＝4时，该命题不成立，而n＝5，该命题不成立，不能推得n＝6该命题是否成立，故选C.

高中数学不等式、推理与证明、复数（含高考真题及解析）1．【2022年全国甲卷】若z=1+i．则|i z+3z̅|=（）A．4√5B．4√2C．2√5D．2√2【答案】D【解析】【分析】根据复数代数形式的运算法则，共轭复数的概念以及复数模的计算公式即可求出．【详解】因为z=1+i，所以i z+3z̅=i(1+i)+3(1−i)=2−2i，所以|i z+3z̅|=√4+4=2√2．故选：D.2．【2022年全国甲卷】若z=−1+√3i，则zzz̅−1=（）A．−1+√3i B．−1−√3i C．−13+√33iD．−13−√33i【答案】C【解析】【分析】由共轭复数的概念及复数的运算即可得解.【详解】z̅=−1−√3i,zz̅=(−1+√3i)(−1−√3i)=1+3=4.z zz̅−1=−1+√3i3=−13+√33i故选：C3．【2022年全国乙卷】设(1+2i)a+b=2i，其中a,b为实数，则（）A．a=1,b=−1B．a=1,b=1C．a=−1,b=1D．a=−1,b=−1【答案】A【解析】【分析】根据复数代数形式的运算法则以及复数相等的概念即可解出．因为a,b∈R，(a+b)+2a i=2i，所以a+b=0,2a=2，解得：a=1,b=−1．故选：A.4．【2022年全国乙卷】若x，y满足约束条件{x+y⩾2,x+2y⩽4,y⩾0,则z=2x−y的最大值是（）A．−2B．4C．8D．12【答案】C【解析】【分析】作出可行域，数形结合即可得解.【详解】由题意作出可行域，如图阴影部分所示，转化目标函数z=2x−y为y=2x−z，上下平移直线y=2x−z，可得当直线过点(4,0)时，直线截距最小，z最大，所以z max=2×4−0=8.故选：C.5．【2022年全国乙卷】已知z=1−2i，且z+az̅+b=0，其中a，b为实数，则（）A．a=1,b=−2B．a=−1,b=2C．a=1,b=2D．a=−1,b=−2【答案】A【解析】先算出z̅,再代入计算,实部与虚部都为零解方程组即可 【详解】z̅=1+2iz +az̅+b =1−2i +a(1+2i )+b =(1+a +b)+(2a −2)i由z +az̅+b =0,得{1+a +b =02a −2=0 ,即{a =1b =−2 故选:A6．【2022年新高考1卷】若i (1−z)=1，则z +z̅=（ ） A ．−2 B ．−1 C ．1 D ．2【答案】D 【解析】 【分析】利用复数的除法可求z ，从而可求z +z̅. 【详解】由题设有1−z =1i =i i2=−i ，故z =1+i ，故z +z̅=(1+i )+(1−i )=2，故选：D7．【2022年新高考2卷】(2+2i )(1−2i )=（ ） A ．−2+4i B ．−2−4iC ．6+2iD ．6−2i【答案】D 【解析】 【分析】利用复数的乘法可求(2+2i )(1−2i ). 【详解】(2+2i )(1−2i )=2+4−4i +2i =6−2i ， 故选：D.8．【2022年北京】若复数z 满足i ⋅z =3−4i ，则|z |=（ ） A ．1 B ．5C ．7D ．25【答案】B 【解析】利用复数四则运算，先求出z，再计算复数的模．【详解】由题意有z=3−4ii =(3−4i)(−i)i⋅(−i)=−4−3i，故|z|=√(−4)2+(−3)2=5．故选：B．9．【2022年浙江】已知a,b∈R,a+3i=(b+i)i（i为虚数单位），则（）A．a=1,b=−3B．a=−1,b=3C．a=−1,b=−3D．a=1,b=3【答案】B【解析】【分析】利用复数相等的条件可求a,b.【详解】a+3i=−1+b i，而a,b为实数，故a=−1,b=3，故选：B.10．【2022年浙江】若实数x，y满足约束条件{x−2≥0,2x+y−7≤0,x−y−2≤0,则z=3x+4y的最大值是（）A．20B．18C．13D．6【答案】B【解析】【分析】在平面直角坐标系中画出可行域，平移动直线z=3x+4y后可求最大值.【详解】不等式组对应的可行域如图所示：当动直线3x +4y −z =0过A 时z 有最大值. 由{x =22x +y −7=0可得{x =2y =3，故A(2,3)， 故z max =3×2+4×3=18， 故选：B.11．【2022年浙江】已知a,b ∈R ，若对任意x ∈R,a|x −b|+|x −4|−|2x −5|≥0，则（ ） A ．a ≤1,b ≥3 B ．a ≤1,b ≤3 C ．a ≥1,b ≥3 D ．a ≥1,b ≤3【答案】D 【解析】 【分析】将问题转换为a|x −b|≥|2x −5|−|x −4|，再结合画图求解． 【详解】由题意有：对任意的x ∈R ，有a|x −b|≥|2x −5|−|x −4|恒成立．设f(x)=a|x −b|，g(x)=|2x −5|−|x −4|={1−x,x ≤523x −9,52<x <4x −1,x ≥4，即f(x)的图像恒在g(x)的上方（可重合），如下图所示：由图可知，a≥3，1≤b≤3，或1≤a<3，1≤b≤4−3a≤3，故选：D．12．【2022年新高考2卷】（多选）若x，y满足x2+y2−xy=1，则（）A．x+y≤1B．x+y≥−2C．x2+y2≤2D．x2+y2≥1【答案】BC【解析】【分析】根据基本不等式或者取特值即可判断各选项的真假．【详解】因为ab≤(a+b2)2≤a2+b22（a,b∈R），由x2+y2−xy=1可变形为，(x+y)2−1=3xy≤3(x+y2)2，解得−2≤x+y≤2，当且仅当x=y=−1时，x+y=−2，当且仅当x=y=1时，x+y=2，所以A错误，B正确；由x2+y2−xy=1可变形为(x2+y2)−1=xy≤x2+y22，解得x2+y2≤2，当且仅当x=y =±1时取等号，所以C正确；因为x2+y2−xy=1变形可得(x−y2)2+34y2=1，设x−y2=cosθ,√32y=sinθ，所以x=cosθ+√3y=√3，因此x2+y2=cos2θ+53sin2θ√3=1+√3−13cos2θ+13=43+23sin(2θ−π6)∈[23,2]，所以当x=√33,y=−√33时满足等式，但是x2+y2≥1不成立，所以D错误．故选：BC ．1．（2022·北京四中三模）在复平面内，复数12iiz -=对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】C 【解析】 【分析】根据复数的除法运算法则求复数z 的代数形式，根据复数的几何意义确定对应点的象限. 【详解】()()()12i i 12i 2i i i i z -⋅--===--⋅-， 所以复数z 在复平面上的对应点为()2,1--，该点在第三象限. 故选：C.2．（2022·湖南·长沙一中模拟预测）已知复数23i i i 1iz ++=+，z 是z 的共轭复数，则z z ⋅=（ ）A ．0B ．12C ．1D ．2【答案】B 【解析】 【分析】利用复数的除法可求z ，进而可求z z ⋅. 【详解】∵()()23i i i 11i 11i 1i 1i 1i 1i 22z ++--+====-++++-， 所以1111111i i =2222442z z ⎛⎫⎛⎫⋅=---++= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.故选：B ．3．（2022·内蒙古·满洲里市教研培训中心三模（文））复数z 满足()12i 3i z +=-，则z 的虚部为（ ） A ．75-B ．7i 5-C ．7i 5D ．15【答案】A 【解析】 【分析】化简方程求出复数z 的代数形式，结合复数虚部的定义确定其虚部. 【详解】因为()12i 3i z +=-，所以()()()()3i 12i 3i 17i 17i 12i 12i 12i 555z ----====-++-， 所以复数z 的虚部为75-，故选：A.4．（2022·黑龙江·哈九中模拟预测（文））观察下列等式，3211=，332123+=，33321236++=，33332123410+++=，根据上述规律，3333333123456n ++++++⋅⋅⋅+=（ ） A ．43224n n n ++B ．43224n n n ++C ．43224n n n -+D ．43224n n n -+【答案】B 【解析】 【分析】根据3211=，23()212=+，26()2123=++，210()21234=+++，观察其规律，可得3333333123456n ++++++⋅⋅⋅+=()21234n +++++.【详解】3211=，332123+=()212=+，33321236++=()2123=++， 33332123410+++=()21234=+++，根据上述规律，得3333333123456n ++++++⋅⋅⋅+=()21234n +++++2(1)2n n +⎛⎫= ⎪⎝⎭=43224n n n++. 故选：B.5．（2022·江苏·南京市天印高级中学模拟预测）若复数z 满足1i 1i z -=+（） ，则z =（ ） A ．i - B ．i C ．1 D ．1-【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的除法运算求得复数z ，继而可得其共轭复数. 【详解】由题意1i 1i z -=+（），得21i (1i)i 1i 2z ++===-， 故i z =-， 故选：A6．（2022·四川眉山·三模（文））由若干个完全一样的小正方体无空隙地堆砌（每相邻两层堆砌的规律都相同）成一个几何体，几何体部分如图所示.用下面公式不能计算出该几何体三视图中所看到的小正方体或全部小正方体个数的是（ ）A ．()1122n n n +++⋅⋅⋅+=B ．()21321n n ++⋅⋅⋅+-=C ．()()222121126n n n n ++++⋅⋅⋅+=D ．()223331124n n n +++⋅⋅⋅+=【答案】D 【解析】 【分析】计算正视图或左视图看到的小正方形的个数是相同的，再计算俯视图中看到的小正方形的个数和几何体的全部小正方体个数即可. 【详解】从正视图或左视图可以看出小正方形的个数为()1122n n n +++⋅⋅⋅+= 从俯视图可以看到小正方形的个数为()21321n n ++⋅⋅⋅+-=几何体的全部小正方体个数为()()222121126n n n n ++++⋅⋅⋅+=故选：D.7．（2022·北京·北大附中三模）已知0a b >>，下列不等式中正确的是（ ） A ．c ca b> B ．2ab b < C ．12a b a b-+≥- D ．1111a b <-- 【答案】C 【解析】 【分析】由0a b >>，结合不等式的性质及基本不等式即可判断出结论. 【详解】解：对于选项A ，因为110,0a b a b>><<，而c 的正负不确定，故A 错误； 对于选项B ，因为0a b >>，所以2ab b >，故B 错误；对于选项C ，依题意0a b >>，所以10,0a b a b ->>-，所以12a b a b-+≥=-，故C 正确；对于选项D ，因为10,111,1a b a b a >>->->--与11b -正负不确定，故大小不确定，故D 错误； 故选：C.8．（2022·山东泰安·模拟预测）已知42244921x x y y ++=，则2253x y +的最小值是（ ）A ．2B ．127 C ．52D ．3【答案】A 【解析】 【分析】对原式因式分解得()()2222421x y x y ++=，然后利用基本不等式即可求解. 【详解】由42244921x x y y ++=，得()()222222222222425342122x y x y x y x y x y ⎛⎫⎛⎫++++++=≤= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即()222453x y ≤+，所以22532x y +≥，当且仅当222242x y x y +=+，即22337y x ==时，等号成立，所以2253x y +的最小值是2. 故选：A.9．（2022·辽宁实验中学模拟预测）已知实数a ，b 满足()2log 1,01a a b a +=<<，则21log 4b a a -的最小值为（ ） A ．0 B ．1- C ．1 D ．不存在【答案】A 【解析】 【分析】由题设条件可得2log 1a b a =-，从而利用换底公式的推论可得21log 1b a a =-，代入要求最小值的代数式中，消元，利用均值不等式求最值 【详解】2log 1a a b +=2log 1a b a ⇒=-21log 1b a a ⇒=- 又01a <<，则2011a <-<()()22211log 11441b a a a a -=+---10≥=当且仅当()221141a a =--即a = 故选：A10．（2022·全国·模拟预测）已知正实数x ，y 满足()21x y =，则2x y+的最小值为（ ） A ．1 B ．2C ．4D ．32【答案】B【解析】 【分析】将已知的式子12x y ==()f t t =0t >，的单调性，从而可得12x y =，即21xy =，再利用基本不等式可求得结果 【详解】因为()21x y =，所以12x y ==设()f t t =0t >，易知()f t t =()0,∞+上单调递增，故12x y =，即21xy =，又0x >，0y >，所以22x y +≥=， 当且仅当2x y =时取等号， 所以2x y +的最小值为2． 故选：B ． 【点睛】关键点点睛：此题考查函数单调性的应用，考查基本不等式的应用，解题的关键是将已知等式转化为等式两边结构相同的形式，然后构造函数判断其单调性，从而可得21xy =，再利用基本不等式可求得结果，考查数学转化思想，属于较难题11．（2022·北京·101中学三模）设m 为实数，复数1212i,3i z z m =+=+（这里i 为虚数单位），若12z z ⋅为纯虚数，则12z z +的值为______．【答案】【解析】 【分析】先根据12z z ⋅为纯虚数计算出m 的值，再计算12z z + ，最后计算12z z +的值 【详解】1212i,3i z z m =+=+，23i z m ∴=-12(12i)(3i)3i 2i 6(6)(23)i z z m m m m m ⋅=+-=-++=++-∴ 12z z ⋅为纯虚数 606m m ∴+=⇒=-12(12i)(63i)55i z z ∴+=++-+=-+12z z ∴+故答案为：12．（2022·全国·模拟预测）已知正数a ，b 满足21a b +=，则2221a b ab++的最小值为______．【答案】4##4+【解析】 【分析】根据题意得()222222221a b a b a b ab ab+++++=，再化简整理利用基本不等式求解即可. 【详解】()22222222221246a b a b a b a ab b ab ab ab+++++++==26444a b b a =++≥=，当且仅当2621a bba ab ⎧=⎪⎨⎪+=⎩，即3a =，2b =故答案为：4.13．（2022·浙江·杭师大附中模拟预测）已知正数,,a b c ，则2222ab bca b c +++的最大值为_________．【解析】 【分析】将分母变为222212233a b b c ⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，分别利用基本不等式即可求得最大值.【详解】2222222122233abbc ab bca b ca b b c++=≤++⎛⎫⎛⎫+++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（当且仅当=c=时取等号），2222ab bca b c+∴++14．（2022·宁夏·吴忠中学三模（理））在第24届北京冬奥会开幕式上，一朵朵六角雪花飘拂在国家体育场上空，畅想着“一起向未来”的美好愿景.如图是“雪花曲线”的一种形成过程：图1，正三角形的边长为1，在各边取两个三等分点，往外再作一个正三角形，得到图2中的图形；对图2中的各边作相同的操作，得到图3中的图形；依此类推，我们就得到了以下一系列图形，记第n个图形（图1为第一个图形）中的所有外围线段长的和为n c，则满足12381nc c c c++++>的最小正整数n的值为______.（参考数据：lg20.3010≈，lg30.4771≈）【答案】9【解析】【分析】根据图形变化规律分析出n c的通项公式，然后求和确定.【详解】由图形变化规律可得11231643,4,,,3()33nnc c c c-===⋅⋅⋅=⨯，12343(1())439(()1)814313nnnc c c c-++++==->-，则有441()10lg()lg108.006332lg2lg3n n n>⇒>⇒>=-，所以最小正整数n的值为9.故答案为：9.15．（2022·江苏·扬中市第二高级中学模拟预测）若i为虚数单位，复数z满足11iz≤++≤则1i z --的最大值为_______.【答案】【解析】 【分析】利用复数的几何意义知复数z 对应的点Z 到点(1,1)C --的距离d 满足1d ≤≤1i z --表示复数z 对应的点Z 到点(1,1)P 的距离，数形结合可求得结果. 【详解】复数z 满足11z i ≤++()11i z ≤---≤即复数z 对应的点Z 到点(1,1)C --的距离d 满足1d ≤设(1,1)P ，1i z --表示复数z 对应的点Z 到点(1,1)P 的距离数形结合可知1i z --的最大值||||AP CP ==故答案为：。

2020全国高考数学专题测试专题 一 不等式推理与证明算法初步与复数一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．(2019·南昌摸底)已知复数z 满足(1＋i)z ＝2，i 是虚数单位，则复数z 的虚部为( )A ．1B ．－1C ．iD ．－i 答案 B 解析 因为z ＝21＋i ＝2(1－i )(1＋i )(1－i )＝2(1－i )2＝1－i ，则复数z 的虚部为－1，故选B. 2．(2019·太原三模)已知复数z 满足i z ＝4＋3i1＋2i ，则复数z 在复平面内对应的点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 答案 C解析 z ＝4＋3i (1＋2i )i ＝4＋3i －2＋i ＝(4＋3i )(－2－i )(－2＋i )(－2－i )＝－5－10i5＝－1－2i ，所以复数z 在复平面内对应的点在第三象限，故选C.3．(2019·大庆质检一)若m >n >0，p <q <0，则一定有( ) A.m q >np B.m q <n p C.m p >n qD.m p <n q答案 B解析 由m >n >0，p <q <0，可得|m |>|n |>0，|p |>|q |>0，所以n p <m q ，而m p ，m q ，n p ，n q均为负数，所以n p >m q .而m p 与n q的大小则无法比较，故选B.4．(2019·青岛质检)已知复数z 的共轭复数为z ，且z ＋z (1＋i)＝3－4i ，则在复平面内，复数z 所对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 答案 B解析 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R ，故z ＋z (1＋i)＝a ＋b i ＋(a －b i)(1＋i)＝(2a ＋b )＋a i ＝3－4i ，则a ＝－4，b ＝11，故z ＝－4＋11i ，则在复平面内，复数z 所对应的点为(－4，11)，位于第二象限．故选B.5．观察(x 2)′＝2x ，(x 4)′＝4x 3，(cos x )′＝－sin x ，由归纳推理可得：若定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝f (x )，记g (x )为f (x )的导函数，则g (－x )＝( )A ．f (x )B ．－f (x )C ．g (x )D ．－g (x ) 答案 D解析 由所给函数及其导数知，偶函数的导函数为奇函数，因此当f (x )是偶函数时，其导函数应为奇函数，故g (－x )＝－g (x )．6．(2019·浙江高考)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋y －3≥0，x －2y ≤0，则z ＝x ＋2y 的取值范围是( ) A ．[0，6] B ．[0，4] C ．[6，＋∞) D．[4，＋∞) 答案 D解析不等式组形成的可行域如图所示．平移直线y ＝－12x ，当直线过点A (2，1)时，z 有最小值4.显然z 没有最大值．故选D.7．(2019·长春质检)设正实数a ，b 满足a ＋b ＝1，则( ) A.1a ＋1b 有最大值4 B.ab 有最小值12 C.a ＋b 有最大值 2 D ．a 2＋b 2有最小值22答案 C解析 由于a >0，b >0，由基本不等式得1＝a ＋b ≥2ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立，∴ab ≤12，∴ab ≤14，1a ＋1b ＝a ＋b ab ＝1ab ≥4，因此1a ＋1b 的最小值为4，a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab＝1－2ab ≥1－12＝12，(a ＋b )2＝a ＋b ＋2ab ＝1＋2ab ≤1＋1＝2，所以a ＋b 有最大值 2.故选C.8．(2019·福建质检)程大位是明代著名数学家，他的《新编直指算法统宗》是中国历史上一部影响巨大的著作．它问世后不久便风行宇内，成为明清之际研习数学者必读的教材，而且传到朝鲜、日本及东南亚地区，对推动汉字文化圈的数学发展起到了重要的作用．卷八中第33问是：“今有三角果一垛，底阔每面七个．问该若干？”如图是解决该问题的程序框图．执行该程序框图，求得该垛果子的总数S 为( )A ．120B ．84C ．56D ．28 答案 B解析 第一次循环，i ＝0＋1＝1，n ＝0＋1＝1，S ＝0＋1＝1；i <7，第二次循环，i ＝1＋1＝2，n ＝1＋2＝3，S ＝1＋3＝4；i <7，第三次循环，i ＝2＋1＝3，n ＝3＋3＝6，S ＝4＋6＝10；i <7，第四次循环，i ＝3＋1＝4，n ＝6＋4＝10，S ＝10＋10＝20；i <7，第五次循环，i ＝4＋1＝5，n ＝10＋5＝15，S ＝20＋15＝35；i <7，第六次循环，i ＝5＋1＝6，n ＝15＋6＝21，S ＝35＋21＝56；i <7，第七次循环，i ＝6＋1＝7，n ＝21＋7＝28，S ＝56＋28＝84；i ＝7，结束循环，输出S ＝84.故选B.9．(2018·湖北武汉调研)一名法官在审理一起珍宝盗窃案时，四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词如下，甲说：“罪犯在乙、丙、丁三人之中”；乙说：“我没有作案，是丙偷的”；丙说：“甲、乙两人中有一人是小偷”；丁说：“乙说的是事实”．经过调查核实，四人中有两人说的是真话，另外两人说的是假话，且这四人中只有一人是罪犯，由此可判断罪犯是( )A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁 答案 B解析 由题可知，乙、丁两人的观点一致，即同真同假，假设乙、丁说的是真话，那么甲、丙两人说的是假话，由乙说的是真话，推出丙是罪犯，由甲说假话，推出乙、丙、丁三人不是罪犯，显然两个结论相互矛盾，所以乙、丁两人说的是假话，而甲、丙两人说的是真话，由甲、丙供述可得，乙是罪犯．10．(2019·山东滨州模拟)已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2，3x －y ≥1，y ≥x ＋1，若z ＝ax ＋by (a >0，b >0)的最小值为2，则ab 的最大值为( )A ．1 B.12 C.14 D.16答案 D解析作出不等式组满足的可行域如图所示，目标函数z ＝ax ＋by (a >0，b >0)，故当x ，y 均取最小值时，z 取到最小值．即当x ＝2，y ＝3时，z ＝ax ＋by 取得最小值2，即2a ＋3b ＝2，所以2a ·3b ≤(2a ＋3b )24＝1，当且仅当2a ＝3b ＝1，即a ＝12，b ＝13时等号成立，所以(6ab )max＝1，即(ab )max ＝16.11．(2019·河南郑州三模)中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外”．其中的“筹”原意是指《孙子算经》中记载的算筹，古代是用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，算筹的摆放形式有纵横两种形式，如下表：表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十万位用横式表示，以此类推，例如6613用算筹表示就是：，则5288用算筹式可表示为( )答案 C解析 由题意可知，5288用算筹式表示，从左到右依次是横式5，纵式2，横式8，纵式8.故选C.12．(2019·邯郸调研)若正数a ，b 满足1a ＋1b ＝1，则4a －1＋16b －1的最小值为( )A ．16B ．25C ．36D ．49 答案 A解析 因为a ，b >0，1a ＋1b ＝1，所以a ＋b ＝ab ，所以4a －1＋16b －1＝4(b －1)＋16(a －1)(a －1)(b －1)＝4b ＋16a －20ab －(a ＋b )＋1＝4b ＋16a －20.又4b ＋16a ＝4(b ＋4a )＝4(b ＋4a )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝20＋4⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋4a b ≥20＋4×2 b a ·4a b ＝36，当且仅当b a ＝4a b 且1a ＋1b ＝1，即a ＝32，b ＝3时取等号．所以4a －1＋16b －1≥36－20＝16. 第Ⅱ卷 (非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．(2019·天津高考)已知a ∈R ，i 为虚数单位，若a －i2＋i为实数，则a 的值为________．答案 －2解析 因为a －i 2＋i ＝(a －i )(2－i )(2＋i )(2－i )＝2a －1－(a ＋2)i 5为实数，所以－a ＋25＝0，解得a ＝－2.14．(2019·长春质检二)更相减损术是出自《九章算术》的一种算法，如图所示的程序框图是依据更相减损术写出来的，若输入a ＝91，b ＝39，则输出a 的值为________．答案 13解析 第一次循环得：a ＝91－39＝52；第二次循环得：a ＝52－39＝13；第三次循环得：b ＝39－13＝26；第四次循环得：b ＝26－13＝13，此时a ＝b ，所以输出13.15．(2019·大庆质检一)若f (x )＝e x ln a ＋e －xln b 为奇函数，则1a ＋2b的最小值为________．答案 2 2解析 由f (x )的定义域为R ，且f (x )为奇函数，则有f (0)＝ln a ＋ln b ＝0，即ab ＝1.从而1a ＋2b≥22ab ＝22，当且仅当1a ＝2b ，即a ＝22，b ＝2时，取等号． 16．(2019·豫南九校联考)已知不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0，x －y ＋1≥0，2x －y －2≤0表示的平面区域为D ，若对任意的(x ，y )∈D ，不等式t －4<x －2y ＋6<t ＋4恒成立，则实数t 的取值范围是________．答案 (3，5)解析 作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，可求得A (3，4)，B (0，1)，C (1，0)．设z ＝x －2y ＋6，平移直线y ＝12x ，可知z ＝x －2y ＋6在A (3，4)处取得最小值1，在C (1，0)处取得最大值7，所以⎩⎪⎨⎪⎧t －4<1，t ＋4>7，解得3<t <5.故实数t 的取值范围是(3，5)．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)已知复数z 1满足(z 1－2)(1＋i)＝1－i(i 为虚数单位)，复数z 2的虚部为2，且z 1·z 2是实数，求z 2.解 由(z 1－2)(1＋i)＝1－i ，得z 1－2＝1－i1＋i ，即z 1＝1－i 1＋i ＋2＝(1－i )2(1＋i )(1－i )＋2＝2－i.设z 2＝a ＋2i(a ∈R )，则z 1·z 2＝(2－i)(a ＋2i)＝(2a ＋2)＋(4－a )i. 又z 1·z 2是实数，∴4－a ＝0，∴a ＝4.∴z 2＝4＋2i.18．(2018·湖南浏阳调研)(本小题满分12分)已知lg (3x )＋lg y ＝lg (x ＋y ＋1)． (1)求xy 的最小值； (2)求x ＋y 的最小值．解 由lg (3x )＋lg y ＝lg (x ＋y ＋1)，得⎩⎪⎨⎪⎧x >0，y >0，3xy ＝x ＋y ＋1.(1)∵x >0，y >0，∴3xy ＝x ＋y ＋1≥2xy ＋1. ∴3xy －2xy －1≥0，即3(xy )2－2xy －1≥0. ∴(3xy ＋1)(xy －1)≥0.∴xy ≥1，∴xy ≥1.当且仅当x ＝y ＝1时，等号成立． ∴xy 的最小值为1.(2)∵x >0，y >0，∴x ＋y ＋1＝3xy ≤3·⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22.∴3(x ＋y )2－4(x ＋y )－4≥0.∴[3(x ＋y )＋2][(x ＋y )－2]≥0.∴x ＋y ≥2. 当且仅当x ＝y ＝1时取等号，∴x ＋y 的最小值为2. 19．(本小题满分12分)关于x 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －2＞0，2x 2＋(2k ＋5)x ＋5k ＜0的整数解的集合为{－2}，求实数k 的取值范围．解 不等式x 2－x －2>0的解集是(－∞，－1)∪(2，＋∞)． 不等式2x 2＋(2k ＋5)x ＋5k <0， 即为(2x ＋5)(x ＋k )<0，(*)当－k ＜－52，即k ＞52时，(*)的解集是－k ，－52，此时－2不在不等式组的解集中，所以k >52不符合题意；当－k ＝－52，即k ＝52时，(*)无解，也不符合题意；当－k ＞－52，即k <52时，(*)的解集是－52，－k .要使不等式组的整数解的集合为{－2}， 借助数轴可得－2<－k ≤3，解得－3≤k <2， 又k <52，所以－3≤k <2.综上，实数k 的取值范围是[－3，2)．20．(本小题满分12分)先阅读下列不等式的证法，再解决后面的问题： 已知a 1，a 2∈R ，a 1＋a 2＝1，求证：a 21＋a 22≥12.证明：构造函数f (x )＝(x －a 1)2＋(x －a 2)2，则f (x )＝2x 2－2(a 1＋a 2)x ＋a 21＋a 22＝2x 2－2x ＋a 21＋a 22，因为对一切x ∈R ，恒有f (x )≥0，所以Δ＝4－8(a 21＋a 22)≤0，从而得a 21＋a 22≥12.(1)若a 1，a 2，…，a n ∈R ，a 1＋a 2＋…＋a n ＝1，请写出上述结论的推广式； (2)参考上述证法，对你推广的结论加以证明． 解 (1)若a 1，a 2，…，a n ∈R ，a 1＋a 2＋…＋a n ＝1， 则a 21＋a 22＋…＋a 2n ≥1n.(2)证明：构造函数f (x )＝(x －a 1)2＋(x －a 2)2＋…＋(x －a n )2，则f (x )＝nx 2－2(a 1＋a 2＋…＋a n )x ＋a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝nx 2－2x ＋a 21＋a 22＋…＋a 2n ， 因为对一切x ∈R ，恒有f (x )≥0， 所以Δ＝4－4n (a 21＋a 22＋…＋a 2n )≤0， 从而得a 21＋a 22＋…＋a 2n ≥1n.21．(本小题满分12分)已知不等式mx 2－2x －m ＋1<0.(1)是否存在m 对所有的实数x 不等式恒成立？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由；(2)设不等式对于满足|m |≤2的一切m 的值都成立，求x 的取值范围． 解 (1)不等式mx 2－2x －m ＋1<0恒成立，即函数f (x )＝mx 2－2x －m ＋1的图象全部在x 轴下方． 当m ＝0时，f (x )＝1－2x ，不满足f (x )<0恒成立； 当m ≠0时，f (x )＝mx 2－2x －m ＋1，要使f (x )<0恒成立，需⎩⎪⎨⎪⎧m <0，Δ＝4－4m (1－m )<0，则m 无解．综上可知，不存在这样的m . (2)设g (m )＝(x 2－1)m ＋(1－2x )，则g (m )为一个以m 为自变量的一次函数，其图象是直线．由题意知，当－2≤m ≤2时，g (m )的图象为在x 轴下方的线段，∴⎩⎪⎨⎪⎧g (－2)<0，g (2)<0，即⎩⎪⎨⎪⎧－2x 2－2x ＋3<0， ①2x 2－2x －1<0， ②解①得x <－1－72或x >－1＋72，解②得1－32<x <1＋32.由①②，得－1＋72<x <1＋32.∴x 的取值范围为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－1＋72<x <1＋32. 22．(本小题满分12分)首届世界低碳经济大会在南昌召开，本届大会以“节能减排，绿色生态”为主题．某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y (元)与月处理量x (吨)之间的函数关系可近似地表示为y ＝12x 2－200x ＋80000，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元．(1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？(2)该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损？解 (1)由题意可知，二氧化碳的每吨平均处理成本为y x ＝12x ＋80000x －200≥212x ·80000x－200 ＝200(400≤x ≤600)，当且仅当12x ＝80000x ，即x ＝400时等号成立．故该单位每月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低，最低成本为200元．(2)不获利．设该单位每月获利为S ，则S ＝100x －y＝100x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－200x ＋80000＝－12x 2＋300x －80000＝－12(x －300)2－35000.∵400≤x ≤600，∴S max ＝－12(400－300)2－35000＝－40000.故该单位每月不获利，需要国家每月至少补贴40000元才能不亏损．专题测试二立体几何第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．某空间几何体的三视图中，有一个是正方形，则该空间几何体不可能是( ) A．圆柱 B．圆锥 C．棱锥 D．棱柱答案 B解析易知仅圆锥的三视图中一定不会出现正方形，故选B．2．(2018·郑州检测)已知一三棱锥的俯视图与侧视图如图所示，俯视图是边长为2的正三角形，侧视图是有一条直角边为2的直角三角形，则该三棱锥的正视图可能为( )答案 C解析由已知条件得直观图如图所示，正视图是直角三角形，中间的线是看不见的线PA形成的投影，应为虚线．故选C．3．已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱的高为2，这个球的表面积为6π，则这个正四棱柱的体积为( )A．1 B．2 C．3 D．4答案 B解析S表＝4πR2＝6π，∴R＝62，设正四棱柱底面边长为x，则x2＋x2＋22＝(2R)2，∴x＝1．∴V正四棱柱＝2．故选B．4．(2018·贵阳模拟)设m，n为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，给出下列命题：①若m⊥α，m⊥β，则α∥β；②若m∥α，m∥β，则α∥β；③若m∥α，n∥α，则m∥n；④若m⊥α，n⊥α，则m∥n．上述命题中，所有真命题的序号是( )A．①④ B．②③ C．①③ D．②④答案 A解析对于①，垂直于同一条直线的两个平面互相平行，所以①正确；对于②，平行于同一条直线的两个平面的位置关系不确定，所以②错误；对于③，平行于同一个平面的两条直线的位置关系不确定，所以③错误；对于④，垂直于同一个平面的两条直线互相平行，所以④正确．故选A．5．(2018·太原三模)如图是某几何体的三视图，则这个几何体的体积是( )A ．2＋π2B ．2＋π3C ．4＋π3D ．4＋π2答案 A解析 由三视图可知，该几何体由一个半圆柱与三棱柱组成，这个几何体的体积V ＝12×π×12×1＋12×(2)2×2＝2＋π2．故选A ．6．(2018·江西赣州二模)某几何体的主视图和左视图如图1，它的俯视图的直观图是矩形O 1A 1B 1C 1，如图2，其中O 1A 1＝6，O 1C 1＝2，则该几何体的侧面积为( )A ．48B ．64C ．96D ．128 答案 C解析由题图2及斜二测画法可知原俯视图为如图所示的平行四边形OABC，设CB与y 轴的交点为D，则易知CD＝2，OD＝2×22＝42，∴CO＝CD2＋OD2＝6＝OA，∴俯视图是以6为边长的菱形，由三视图知几何体为一个直四棱柱，其高为4，所以该几何体的侧面积为4×6×4＝96．故选C．7．(2018·郑州质检三)已知A，B，C，D四点在半径为5的球面上，且AC＝BD＝4，AD ＝BC＝11，AB＝CD，则三棱锥D－ABC的体积是( )A．67 B．47 C．27 D．7答案 C解析如图所示，将三棱锥D－ABC放在长、宽、高分别为a，b，c的长方体中，则依题意有⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋c 2＝AC 2＝16，a 2＋b 2＝BC 2＝11，a 2＋b 2＋c 2＝(2R )2＝20，解得⎩⎨⎧a ＝7，b ＝2，c ＝3，则三棱锥D －ABC 的体积为abc －413·12abc ＝27．选C ．8．(2018·山西四校联考)如图所示，P 为矩形ABCD 所在平面外一点，矩形对角线交点为O ，M 为PB 的中点，给出下列五个结论：①PD ∥平面AMC ；②OM ∥平面PCD ；③OM ∥平面PDA ；④OM ∥平面PBA ；⑤OM ∥平面PBC ．其中正确的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 C解析 矩形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，所以O 为BD 的中点．在△PBD 中，M 是PB 的中点，所以OM 是△PBD 的中位线，OM ∥PD ，则PD ∥平面AMC ，OM ∥平面PCD ，且OM ∥平面PDA ．因为M ∈PB ，所以OM 与平面PBA 、平面PBC 相交．故选C ．9．(2018·大庆质检一)已知一个圆柱的轴截面是边长为a 的正方形．在圆柱内有一个球O ，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切，则圆柱内除了球之外的几何体的体积为( )A ．πa 34 B ．πa 36 C ．πa 38 D ．πa312答案 D解析 由题意可知，该圆柱底面直径和高都是a ，故其体积为V 1＝πR 2h ＝π×a 22×a ＝πa 34．而圆柱体的内切球的直径也为a ，故其体积为V 2＝4π3R 3＝4π3×a 23＝πa36，所以圆柱体内除球体以外部分的体积为V ＝V 1－V 2＝πa 312．故选D ．10．(2018·湖南长沙四校联考)祖暅是南北朝时代的伟大数学家，5世纪末提出体积计算原理，即祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．意思是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任何一个平面所截，如果截面面积都相等，那么这两个几何体的体积一定相等．现有以下四个几何体：图①是从圆柱中挖去一个圆锥所得的几何体，图②、图③、图④分别是圆锥、圆台和半球，则满足祖暅原理的两个几何体为( )A ．①② B．①③ C．②④ D．①④ 答案 D解析 设截面与底面的距离为h ，则①中截面内圆的半径为h ，则截面圆环的面积为π(R 2－h 2)；②中截面圆的半径为R －h ，则截面圆的面积为π(R －h )2；③中截面圆的半径为R －h2，则截面圆的面积为πR －h 22；④中截面圆的半径为R 2－h 2，则截面圆的面积为π(R2－h 2)．所以①④中截面的面积相等，故其体积相等，故选D ．11．(2018·福建莆田质检)已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1，平面α过直线BD ，α⊥平面AB 1C ，α∩平面AB 1C ＝m ，平面β过直线A 1C 1，β∥平面AB 1C ，β∩平面ADD 1A 1＝n ，则m ，n 所成的角的余弦值为( )A ．12B ．13C ．22D ．32 答案 D解析如图，由题中条件知，直线m为B1O，直线n为A1D，∵B1C∥A1D，∴B1O与A1D所成的角为∠CB1O(或其补角)，设正方体的棱长为a，在△CB1O中，B1C＝2a，CO＝22a，B1O＝62a，∴cos∠CB1O＝62a2＋(2a)2－22a22×62a×2a＝32．故选D．12．(2018·太原模拟)三棱锥D－ABC中，已知CD⊥底面ABC，△ABC为正三角形，若AE∥CD，AB＝CD＝AE＝2，则三棱锥D－ABC与三棱锥E－ABC的公共部分构成的几何体的体积为( )A．39B．33C．13D． 3答案 B解析如图所示，设AD∩CE＝F，连接DE．三棱锥D－ABC与三棱锥E－ABC的公共部分为三棱锥F －ABC ．由题意AE ∥CD ，AE ＝CD ，所以四边形ACDE 是平行四边形，取AC 的中点M ，连接FM ，BM ，则FM ＝1，BM ＝BC 2－CM 2＝3，由题意可知FM ⊥平面ABC ．所以三棱锥F－ABC 的高是FM ．又正三角形ABC 的面积S ＝12AB ·AC sin60°＝3，所以三棱锥F －ABC 的体积V ＝13S ·FM ＝33．故选B ．第Ⅱ卷 (非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．如图，一个底面半径为R 的圆柱形量杯中装有适量的水．若放入一个半径为r 的实心铁球，水面高度恰好升高r ，则Rr＝________．答案233解析 由水面高度升高r ，得圆柱体积增加πR 2r ，恰好是半径为r 的实心铁球的体积，因此有43πr 3＝πR 2r ．故R r ＝233．14．直三棱柱ABC －A 1B 1C 1的六个顶点都在球O 的球面上．若AB ＝BC ＝2，∠ABC ＝90°，AA 1＝22，则球O 的表面积为________．答案 16π解析 由题设可知，直三棱柱可以补成一个球的内接长方体，所以球的直径为长方体的体对角线长，即22＋22＋(22)2＝4，故球O 的表面积S ＝4πR 2＝16π．15．已知某几何体的三视图如图所示，则其体积为________．答案8π解析由三视图可知该几何体为一个底面半径为1，高为5的圆柱与一个底面半径为1，高为3的圆柱的组合体，其体积为V＝π×12×(5＋3)＝8π．16．(2018·唐山模拟)已知一个几何体由八个面围成，每个面都是正三角形，有四个顶点在同一平面内且为正方形，若该八面体的棱长为2，所有顶点都在球O上，则球O的表面积为________．答案8π解析依题意，该八面体的各个顶点都在同一球面上，则其中四点所组成的截面在球的大圆面上，因为该八面体的棱长为2，所以这四点组成的正方形的对角线的长为22，故球的半径为2，该球的表面积为4π(2)2＝8π．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(2018·珠海摸底)(本小题满分10分)中秋节即将到来，为了做好中秋节商场促销活动，某商场打算将进行促销活动的礼品盒重新设计．方案如下：将一块边长为10的正方形纸片ABCD 剪去四个全等的等腰三角形(△SEE ′，△SFF ′，△SGG ′，△SHH ′)，再将剩下的阴影部分折成一个四棱锥形状的包装盒S －EFGH ，其中A ，B ，C ，D 重合于点O ，E 与E ′重合，F 与F ′重合，G 与G ′重合，H 与H ′重合(如图所示)．(1)求证：平面SEG ⊥平面SFH ；(2)已知AE ＝52，过O 作OM ⊥SH 于点M ，求cos ∠EMO 的值．解 (1)证明：因为折叠后A ，B ，C ，D 重合于一点O ，所以拼接成底面EFGH 的四个直角三角形必为全等的等腰直角三角形， 所以底面EFGH 是正方形，故EG ⊥FH ． 因为在原平面图形中，△SEE ′≌△SGG ′， 所以SE ＝SG ，所以EG ⊥SO ．又FH ∩SO ＝O ，FH ⊂平面SFH ，SO ⊂平面SFH ， 故EG ⊥平面SFH ． 又因为EG ⊂平面SEG ， 所以平面SEG ⊥平面SFH ．(2)依题意，当AE ＝52时，即OE ＝52．Rt △SHO 中，OH ＝52，SH ＝552，故SO ＝5，所以OM ＝SO ·OHSH＝5． 由(1)知EG ⊥平面SFH ，且OM ⊂平面SFH ， 故EG ⊥OM ，从而EO ⊥OM ，故Rt △EMO 中，EM ＝EO 2＋OM 2＝352，所以cos ∠EMO ＝OM EM ＝23．18．(2018·全国卷Ⅲ)(本小题满分12分)如图，矩形ABCD 所在平面与半圆弧C D 所在平面垂直，M 是C D 上异于C ，D 的点．(1)证明：平面AMD ⊥平面BMC ；(2)在线段AM 上是否存在点P ，使得MC ∥平面PBD ？说明理由． 解 (1)证明：由题设知，平面CMD ⊥平面ABCD ，交线为CD ． 因为BC ⊥CD ，BC ⊂平面ABCD ， 所以BC ⊥平面CMD ，故BC ⊥DM ．因为M 为C D 上异于C ，D 的点，且DC 为直径，所以DM ⊥CM ． 又BC ∩CM ＝C ，所以DM ⊥平面BMC ． 而DM ⊂平面AMD ，故平面AMD ⊥平面BMC ． (2)当P 为AM 的中点时，MC ∥平面PBD ．证明如下：连接AC交BD于O．因为四边形ABCD为矩形，所以O为AC的中点．连接OP，因为P为AM的中点，所以MC∥OP．又MC⊄平面PBD，OP⊂平面PBD，所以MC∥平面PBD．19．(2018·南昌二模)(本小题满分12分)如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，AB⊥AD，AB＝2CD＝2AD＝4，侧面PAB是等腰直角三角形，PA＝PB，平面PAB ⊥平面ABCD，点E，F分别是棱AB，PB上的点，平面CEF∥平面PAD．(1)确定点E，F的位置，并说明理由；(2)求三棱锥F－DCE的体积．解(1)因为平面CEF∥平面PAD．平面CEF∩平面ABCD＝CE，平面PAD ∩平面ABCD ＝AD ，所以CE ∥AD ，又AB ∥DC ，所以四边形AECD 是平行四边形，所以DC ＝AE ＝12AB ，即点E 是AB 的中点． 因为平面CEF ∥平面PAD ， 平面CEF ∩平面PAB ＝EF ， 平面PAD ∩平面PAB ＝PA ．所以EF ∥PA ，又因为点E 是AB 的中点， 所以点F 是PB 的中点，综上，E ，F 分别是AB ，PB 的中点． (2)因为PA ＝PB ，AE ＝EB ，所以PE ⊥AB ， 又平面PAB ⊥平面ABCD ， 平面PAB ∩平面ABCD ＝AB ， 所以PE ⊥平面ABCD ．又F 为PB 的中点，AB ∥CD ，AB ⊥AD ，所以V 三棱锥F －DCE ＝12V 三棱锥P －DCE ＝16S △DEC ·PE ＝16×12×2×2×2＝23．20．(2018·石家庄一模)(本小题满分12分)四棱锥S －ABCD 的底面ABCD 为直角梯形，AB ∥CD ，AB ⊥BC ，AB ＝2BC ＝2CD ＝2，△SAD 为正三角形．(1)点M 为棱AB 上一点，若BC ∥平面SDM ，AM →＝λAB →，求实数λ的值； (2)若BC ⊥SD ，求点B 到平面SAD 的距离．解(1)因为BC ∥平面SDM ，BC ⊂平面ABCD ，平面SDM ∩平面ABCD ＝DM ， 所以BC ∥DM ．因为AB ∥DC ，所以四边形BCDM 为平行四边形， 又AB ＝2CD ，所以M 为AB 的中点， 因为AM →＝λAB →， 所以λ＝12．(2)因为BC ⊥SD ，BC ⊥CD ，CD ∩SD ＝D ， 所以BC ⊥平面SCD ， 又BC ⊂平面ABCD ， 所以平面SCD ⊥平面ABCD ，在平面SCD 内过点S 作SE ⊥CD 于点E ，连接AE ， 因为平面SCD ∩平面ABCD ＝CD ， 所以SE ⊥平面ABCD ， 在Rt △SEA 和Rt △SED 中， 因为SA ＝SD ，所以AE ＝SA 2－SE 2＝SD 2－SE 2＝DE ， 又由题知∠EDA ＝45°， 所以AE ⊥ED ， 由已知求得AD ＝2， 所以AE ＝ED ＝SE ＝1．连接BD ，则V 三棱锥S －ABD ＝13×12×2×1×1＝13，又求得△SAD 的面积为32， 设点B 到平面SAD 的距离为h ，所以由V 三棱锥B －SAD ＝V 三棱锥S －ABD ＝13S △SAD ·h ＝13，解得h ＝233，所以点B 到平面SAD 的距离为233．21．(2018·山东青岛统测)(本小题满分12分)如图，圆柱H 横放在底面边长为1的正六棱锥P －ABCDEF 的顶点P 上，O 1和O 2分别是圆柱左、右两个底面的圆心，正六棱锥P －ABCDEF 底面中心为O ，PO ＝1，M ，N 分别是圆柱H 的底面O 1的最高点和最低点，G 是圆柱H 的底面O 2的最低点，P 为NG 的中点，点M ，O 1，N ，A ，O ，D ，G ，P 共面，点O 1，P ，D 共线，四边形ADGN 为矩形．(1)求圆柱H 的体积V ，并证明：MG ∥平面PCD ； (2)作出点O 在平面PAB 上的正投影K ，并加以证明．注：正棱锥就是底面是一个正多边形，顶点在底面上的正投影为底面的中心的棱锥． 解 (1)∵O 为正六棱锥P －ABCDEF 底面的中心， ∴PO ⊥底面ABCDEF ，∵P 为NG 的中点，四边形ADGN 为矩形，O 为AD 的中点，PO ＝1， ∴NA ∥PO ，NA ＝PO ＝1，从而NA ⊥底面ABCDEF ，∵M ，N 分别是圆柱H 的底面O 1的最高点和最低点， ∴O 1N ⊥底面ABCDEF ， 从而M ，O 1，N ，A 四点共线．∵正六棱锥P －ABCDEF 的底面边长为1，∴AD ＝2， ∵四边形ADGN 为矩形， ∴NG ∥AD ，且NG ＝AD ＝2，又P 为NG 中点，NP ∥AD ，且NP ＝12AD ＝1，∴在△O 1AD 中，NP 为△O 1AD 的中位线，从而N 为O 1A 中点， ∴O 1N ＝AN ＝1，∴圆柱H 的体积V ＝π×12×2＝2π．∵P 为NG 的中点，O 1为MN 的中点，∴PO 1∥MG ， 又O 1，P ，D 共线，∴PD ∥MG ， ∵PD ⊂平面PCD ，MG ⊄平面PCD ， ∴MG ∥平面PCD ．(2)取AB 的中点Q ，连接OQ ，PQ ， 在△POQ 中，作OK ⊥PQ 于K ， 则K 为点O 在平面PAB 上的正投影． 下面证明：∵六棱锥P －ABCDEF 为正棱锥， ∴PA ＝PB ，从而AB ⊥PQ ，∵正六棱锥P －ABCDEF 底面中心为O ， ∴PO ⊥底面ABCDEF ，又AB ⊂底面ABCDEF ，∴AB ⊥PO ， ∵PO ∩PQ ＝P ，∴AB ⊥平面POQ ， 又OK ⊂平面POQ ，∴AB ⊥OK ， 又PQ ∩AB ＝Q ，∴OK ⊥平面PAB ， ∴点O 在平面PAB 上的正投影为K ．22．(2018·河北衡水中学九模)(本小题满分12分)如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝1，AD ＝2，E ，F 分别为AD ，AA 1的中点，Q 是BC 上一个动点，且BQ ＝λQC (λ>0)．(1)当λ＝1时，求证：平面BEF∥平面A1DQ；(2)是否存在λ，使得BD⊥FQ？若存在，请求出λ的值；若不存在，请说明理由．解(1)证明：λ＝1时，Q为BC的中点，因为E是AD的中点，所以ED＝BQ，ED∥BQ，则四边形BEDQ是平行四边形，所以BE∥QD．又BE⊄平面A1DQ，DQ⊂平面A1DQ，所以BE∥平面A1DQ．又F是A1A中点，所以EF∥A1D，因为EF⊄平面A1DQ，A1D⊂平面A1DQ，所以EF∥平面A1DQ．因为BE∩EF＝E，EF⊂平面BEF，BE⊂平面BEF，所以平面BEF∥平面A1DQ．(2)连接AQ，BD，FQ，因为A1A⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以A1A⊥BD．若BD⊥FQ，A1A，FQ⊂平面A1AQ，A1A∩FQ＝F，所以BD⊥平面A1AQ．因为AQ⊂平面A1AQ，所以AQ⊥BD．在矩形ABCD中，由AQ⊥BD，得△AQB∽△DBA，所以AB2＝AD·BQ．又AB＝1，AD＝2，所以BQ＝12，QC＝32，则BQQC＝13，即λ＝13．。