空间几何体的表面积和体积教案

简单几何体的表面积与体积计算，主要以选择题、填空题的形式呈现，在解答题中，有时与空间线、面位置证明相结合，面积与体积的计算作为其中的一问.核心考点一空间几何体的表面积柱体、锥体、台体、球的表面积公式：①圆柱的表面积S＝2πr(r＋l)；②圆锥的表面积S＝πr(r＋l)；③圆台的表面积S＝π(r′2＋r2＋r′l＋rl)；④球的表面积S＝4πR2.1.【2018新课标1文5】已知圆柱的上、下底面的中心分别为1O，2O，过直线12O O的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为( )A．122πB．12πC．82πD．10π2．【2017新课标1文18】如图，在四棱锥P ABCD-中，//AB CD，且90BAP CDP∠=∠=（1）证明：平面PAB⊥平面PAD；（2）若PA PD AB DC===，90APD∠=，且四棱锥P ABCD-的体积为83，求该四棱锥的侧面积．【解析】（1）由已知90BAP CDP==︒∠∠，得AB AP⊥，CD PD⊥．由于AB CD∥，故AB PD⊥，从而AB⊥平面PAD．又AB⊂平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAD．精讲精练知识梳理空间几何体的表面积和体积（2）在平面PAD 内作PE AD ⊥，垂足为E ．由（1）知，AB ⊥平面PAD ，故AB PE ⊥，可得PE ⊥平面ABCD ． 设AB x =，则由已知可得2AD x =，22PE x =． 故四棱锥P ABCD -的体积31133P ABCD V AB AD PE x -=⋅⋅=． 由题设得31833x =，故2x =．从而2PA PD ==，22AD BC ==，22PB PC ==．可得四棱锥P ABCD -的侧面积为21111sin 606232222PA PD PA AB PD DC BC ⋅+⋅+⋅+︒=+．【变式训练】1．【2018新课标2理16】已知圆锥的顶点为S ，母线SA ，SB 所成角的余弦值为78，SA 与圆锥底面所成角为45°，若SAB △的面积为515，则该圆锥的侧面积为__________．2．【2015新课标1文18】如图四边形ABCD 为菱形，G 为AC 与BD 交点，BE ⊥平面ABCD ， （I ）证明：平面AEC ⊥平面BED ；（II ）若120ABC ∠=，,AE EC ⊥ 三棱锥E ACD -的体积为63，求该三棱锥的侧面积．1、【解析】因为母线，所成角的余弦值为，所以母线，所成角的正弦值为， 因为的面积为，设母线长为，所以，， 因与圆锥底面所成角为，所以底面半径为，因此圆锥的侧面积为． 2、【解析】(Ⅰ) ∵BE ⊥平面ABCD ，∴BE ⊥AC ．∵ABCD 为菱形，∴ BD ⊥AC ，∴AC ⊥平面BED ，又AC ⊂平面AEC ，∴平面AEC ⊥平面BED ． (Ⅱ)设AB=x ，在菱形ABCD 中，由∠ABC=120°可得， AG=GC=32x ，GB=GD=2x ． 在RtΔAEC 中，可得EG=32x ．∴ 在RtΔEBG 为直角三角形，可得BE=22x ．GEDACBSA SB 78SA SB 158SAB △515l 211551528l ⨯⨯=280l ∴=SA 45︒2cos42l l π=224022rl l π=π=π∴ 31132243E ACD V AC GD BE x -=⨯⋅⋅==，解得x =2．由BA=BD=BC 可得的面积为3，ΔEAD 的面积与ΔECD所以三棱锥E-ACD 的侧面积为核心考点二 空间几何体的体积柱体、锥体和球的体积公式：①V 柱体＝Sh (S 为底面面积，h 为高)； ②V 锥体＝13Sh (S 为底面面积，h 为高)；③V 球＝43πR 3.1．【2018新课标2文16】已知圆锥的顶点为S ，母线SA ，SB 互相垂直，SA 与圆锥底面所成角为30︒，若SAB △的面积为8，则该圆锥的体积为________．2.【2019新课标3文理16】学生到工厂劳动实践，利用3D 打印技术制作模型．如图，该模型为长方体1111ABCD A BC D -挖去四棱锥O EFGH -后所得的几何体，其中O 为长方体的中心，,,,E F G H 分别为所在棱的中点，16cm 4cm AB=BC =, AA =，3D 打印所用原料密度为30.9/g cm ，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为___________g ．3.【2020新课标1文19】如图，D 为圆锥的顶点，O 是圆锥底面的圆心，ABC ∆是底面的内接正三角形，P 为DO 上一点，90o APC ∠=． （1）证明：平面PAB ⊥平面PAC ；（2）设DO =，求三棱锥P ABC -的体积．1、【解析】如下图所示，，，又，解得，所以，．2、【解析】由题意得，2146423122EFGHS cm=⨯-⨯⨯⨯=，四棱锥O−EFG的高3cm，∴21123123O EFGHV cm-=⨯⨯=．又长方体1111ABCD A BC D-的体积为22466144V cm=⨯⨯=，所以该模型体积为22114412132V V V cm=-=-=，其质量0.9132118.8g⨯=．3、【解析】（1）连接,,OA OB OC，D为圆锥顶点，O为底面圆心，OD∴⊥平面ABC，P在DO上，,OA OB OC PA PB PC==∴==，ABC∆是圆内接正三角形，AC BC∴=，PAC PBC≅△△，90APC BPC∴∠=∠=︒，即,PB PC PA PC⊥⊥，PA PB P=，PC∴⊥平面,PAB PC⊂平面PAC，∴平面PAB⊥平面PAC；（2）设圆锥的母线为l，底面半径为r，圆锥的侧面积为,rl rlπ=2222OD l r=-=，解得1,r l==2sin603AC r==，在等腰直角三角形APC中，AP AC==Rt PAO∆中，PO===∴三棱锥P ABC-的体积为11333P ABC ABCV PO S-=⋅==△．【变式训练】1.【2018江苏卷】如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为________.2.如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，ED⊥平面ABCD，FC⊥平面ABCD，ED＝2FC＝2，则四面体ABEF的体积为()30SAO∠=︒90ASB∠=︒211822SABS SA SB SA=⋅==△4SA=122SO SA==AO=2183V OA SO=⋅π⋅⋅=πA.13B.23C.1D.433．【2019新课标2文17】如图，长方体ABCD –A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是正方形，点E 在棱AA 1上，BE ⊥EC 1．（1）证明：BE ⊥平面EB 1C 1；（2）若AE =A 1E ，AB =3，求四棱锥11E BB C C -的体积．1、【解析】正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体是正八面体，其中正八面体的所有棱长都是2.则该正八面体的体积为13×(2)2×1×2＝43.2、【解析】∵ ED ⊥平面ABCD 且AD ⊂平面ABCD ，∴ ED ⊥AD . ∵ 在正方形ABCD 中，AD ⊥DC ，而DC ∩ED ＝D ，∴ AD ⊥平面CDEF.易知FC ＝ED2＝1，V A －BEF ＝V ABCDEF －V F －ABCD －V A －DEF .∵ V E －ABCD ＝ED ×S 正方形ABCD ×13＝2×2×2×13＝83，V B －EFC ＝BC ×S △EFC ×13＝2×2×1×12×13＝23，∴ V ABCDEF ＝83＋23＝103.又V F －ABCD ＝FC ×S 正方形ABCD ×13＝1×2×2×13＝43，V A －DEF ＝AD ×S △DEF ×13＝2×2×2×12×13＝43，V A －BEF ＝103－43－43＝23.故选B.3、【解析】（1）因为在长方体1111ABCD A B C D -中，11B C ⊥平面c e a ==BE ⊂平面5c e a ==11B C BE ⊥， 又1BE EC ⊥，1111B C EC C ⋂=，且1EC ⊂平面11EB C ，11B C ⊂平面11EB C ，所以BE ⊥平面11EB C ；（2）设长方体侧棱长为2a ，则1AE A E a ==，由（1）可得1EB BE ⊥；所以22211EB BE BB +=，即2212BE BB =， 又3AB =，所以222122AE AB BB +=，即222184a a +=，解得3a =； 取1BB 中点F ，连结EF ，因为1AE A E =，则EF AB ∥； 所以EF ⊥平面11BB C C ，所以四棱锥11E BB C C -的体积为1111111136318333E BB C C BB C C V S EF BC BB EF -=⋅=⋅⋅⋅=⨯⨯⨯=矩形．核心考点三 多面体与球的切、接问题球的相关性质：1、用一个平面去截球，截面是圆面；经过球心的平面截的圆叫大圆；不经过球心的平面截的圆叫小圆。

关于空间几何体的表面积和体积一、教学目标：1. 让学生掌握常见空间几何体的表面积和体积的计算公式。

2. 培养学生运用空间几何知识解决实际问题的能力。

3. 提高学生对数学知识的兴趣，培养学生的空间想象力。

二、教学内容：1. 立方体、立方体的表面积和体积计算。

2. 圆柱体、圆柱体的表面积和体积计算。

3. 球体、球体的表面积和体积计算。

4. 锥体、锥体的表面积和体积计算。

5. 空间几何体表面积和体积在实际问题中的应用。

三、教学重点与难点：重点：掌握常见空间几何体的表面积和体积计算公式。

难点：空间几何体表面积和体积在实际问题中的应用。

四、教学方法：1. 采用问题驱动法，引导学生主动探究空间几何体的表面积和体积计算方法。

2. 利用多媒体课件，展示空间几何体的形状，增强学生的空间想象力。

3. 通过实例分析，让学生学会将空间几何知识应用于实际问题。

五、教学过程：1. 导入新课：回顾平面几何知识，引出空间几何体的概念。

2. 讲解立方体的表面积和体积计算公式，让学生动手计算实例。

3. 讲解圆柱体的表面积和体积计算公式，让学生动手计算实例。

4. 讲解球体的表面积和体积计算公式，让学生动手计算实例。

5. 讲解锥体的表面积和体积计算公式，让学生动手计算实例。

6. 分析空间几何体表面积和体积在实际问题中的应用，让学生尝试解决实际问题。

7. 课堂练习：布置练习题，让学生巩固所学知识。

9. 布置课后作业，要求学生运用所学知识解决实际问题。

六、教学评价：1. 通过课堂问答、练习题和课后作业，评估学生对空间几何体表面积和体积计算公式的掌握情况。

2. 观察学生在解决实际问题时是否能灵活运用所学知识，评价其运用能力。

3. 结合学生的课堂表现和作业完成情况，对学生的学习态度、合作精神和创新能力进行评价。

七、教学资源：1. 多媒体课件：用于展示空间几何体的形状，增强学生的空间想象力。

2. 练习题：用于巩固学生对空间几何体表面积和体积计算公式的掌握。

第3课时由三视图确定几何体的表面积或体积【知识与技能】熟练掌握已知空间几何体的三视图求其表面积和体积的方法.【过程与方法】1.通过空间几何体三视图的应用，培养学生的创新精神和探究能力.2.通过研究性学习，培养学生的整体性思维.【情感态度】通过研究三视图，研究我国著名建筑物的三视图研究，培养学生的爱国情结. 【教学重点】观察，实践，猜想和归纳的探究过程.【教学难点】如何引导学生进行合理的探究.一、复习提问1.如何求空间几何体的表面积和体积（例如：球，棱柱，棱台等）；2.三视图与其几何体如何转化.二、思考探究，获取新知如图是一个几何体的三视图，已知左视图是一个等边三角形，根据图中尺寸（单位：m)，求该几何体的面积和体积.解该几何体是正三棱柱，由正视图知正三棱柱的高为3cm，底面三角形的高为3cm.则底面边长为2cm，故S底面面积=）2=3÷cm（232S侧面面积=2×3×3=18 (cm2)故这个几何体的表面积S = 2S底面面积十S侧面面积=）2+183（2cm三棱柱的体积是V=）3=3⨯cm（333【教学说明】空间几何体的表面积是几何体表面的面积，它表示几何体表面的大小，体积是几何体所占空间的大小；先将直观图的各个要素弄清楚，然后再代公式进行计算.求空间几何体的表面积是将几何体的各个面的面积相加求得；求体积是将几何体各个部分的体积相加求得，那么请同学们动脑筋想一想，假设没有给出几何体的直观图，只是给出一个几何体的三视图，我们怎样解决求该几何体的表面积和体积呢？此时应首先将该三视图转化为几何体的直观图，然后弄清给出直观图的各个要素，再代公式进行计算思考如何求出四棱台的表面积和体积？请大家回想一下，在解答的过程中，容易出错的地方是什么（让学生思考）. 【总结归纳】求组合几何体的表面积的时候容易出错.三、典例精析、掌握新知例1 长方体的主视图与俯视图如图所示，则这个长方体的体积是（）A.52B.32C.24D.9【分析】由主视图可知，这个长方体的长和高分别为4和3，由俯视图可知，这个长方体的长和宽分别为4和2，因此这个长方体的长、宽、高分别为4、3、2，因此这个长方体的体积为4×2×3 = 24(平方单位）【答案】C【教学说明】三视图问题一直是中考考查的高频考点，一般题目难度中等偏下，本题所用的知识是：主视图主要反映物体的长和高，左视图主要反映物体的宽和高，俯视图主要反映物体的长和宽.例2 将棱长是1cm的小正方体组成如图所示的几何体，那么这个几何体的表面积是（）A. 36 cm2B. 33 cm2C. 30 cm2D. 27 cm2【分析】算表面积应该从六个方向去计算，不要忽视了底面.【答案】A四、师生互动，课堂小结通过这节课的探究学习，发现由三视图求几何体的表面积和体积，要先将三视图转化为其几何体的直观图，分清楚直观图中的几何要素，然后再代公式进行计算；特别要分清几何体的侧面积与表面积；平时多动脑筋，挖掘与题目相关联的知识点.1.布置作业：从教材Pm〜1。

空间几何体的表面积与体积1．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式圆柱圆锥圆台侧面展开图侧面积公式S 圆柱侧＝2πrlS 圆锥侧＝πrlS 圆台侧＝π(r ＋r ′)l2．空间几何体的表面积与体积公式名称几何体表面积体积柱体 (棱柱和圆柱)S 表面积＝S 侧＋2S 底 V ＝Sh 锥体 (棱锥和圆锥)S 表面积＝S 侧＋S 底V ＝13Sh台体 (棱台和圆台)S 表面积＝S 侧＋S 上＋S 下V ＝13(S 上＋S 下＋S 上S 下)h球S ＝4πR 2V ＝43πR 31．求组合体的表面积时：组合体的衔接部分的面积问题易出错． 2．易混侧面积与表面积的概念． [试一试]1.(2012·江苏高考)如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AD ＝3 cm ，AA 1＝2 cm ，则四棱锥A -BB 1D 1D 的体积为________cm 3.2．(2013·苏州暑假调查)设P ，A ，B ，C 是球O 表面上的四个点，P A ，PB ，PC 两两垂直，且P A ＝PB ＝1，PC ＝2，则球O 的表面积是________．1．求空间几何体体积的常用方法(1)公式法：直接根据相关的体积公式计算．(2)等积法：根据体积计算公式，通过转换空间几何体的底面和高使得体积计算更容易，或是求出一些体积比等．(3)割补法：把不能直接计算体积的空间几何体进行适当的分割或补形，转化为可计算体积的几何体．2．几个与球有关的切、接常用结论(1)正方体的棱长为a，球的半径为R，①正方体的外接球，则2R＝3a；②正方体的内切球，则2R＝a；③球与正方体的各棱相切，则2R＝2a.(2)长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝a2＋b2＋c2.(3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1.3．旋转体侧面积问题中的转化思想计算旋转体的侧面积时，一般采用转化的方法来进行，即将侧面展开化为平面图形，“化曲为直”来解决，因此要熟悉常见旋转体的侧面展开图的形状及平面图形面积的求法．[练一练]1．(2014·南通一调)已知正四棱锥的底面边长是6，高为7，则这个正四棱锥的侧面积是________．2．在三棱柱ABC-A′B′C′中，已知AA′⊥平面ABC，AA′＝2，BC＝23，∠BAC＝π2，且此三棱柱的各个顶点都在一个球面上，则球的体积为________．考点一几何体的表面积1．(2013·南通三模)底面边长为2 m，高为1 m的正三棱锥的全面积为________ m2.2．(2013·苏州暑期调查)若正四面体的棱长为a，则其外接球的表面积为________．[类题通法]几何体的表面积问题的求法(1)找准几何体中各元素间的位置关系及数量关系．(2)注意组合体的表面积问题中重合部分的处理．考点二几何体的体积[典例](1)如图所示，已知三棱柱ABC -A1B1C1的所有棱长均为1，且AA1⊥底面ABC，则三棱锥B1 -ABC1的体积为________．(2)如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝AD＝3 cm，AA1＝2 cm，则三棱锥A-B1D1D的体积为________ cm3.[类题通法]求解几何体体积的策略及注意问题(1)计算柱、锥、台的体积关键是根据条件找出相应的底面积和高．(2)注意求体积的一些特殊方法：分割法、补体法、转化法等，它们是解决一些不规则几何体体积计算常用的方法，应熟练掌握．(3)注意组合体的组成形式及各部分几何体的特征．[针对训练](2013·苏北四市二模)如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，O为底面正方形ABCD的中心，则三棱锥B1-BCO的体积为________．与球有关的切、接问题考点三与球相关的切、接问题是高考命题的热点，也是考生的难点、易失分点.命题角度多变，归纳起来常见的命题角度有： (1)直三棱柱的外接球； (2)正(长)方体的外接球； (3)正四面体的内切球； (4)四面体的外接球； (5)正三棱柱的内切球.角度一 直三棱柱的外接球1．(2013·辽宁高考改编)已知直三棱柱ABC -A 1B 1C 1的6个顶点都在球O 的球面上，若AB ＝3，AC ＝4，AB ⊥AC ，AA 1＝12，则球O 的半径为________．角度二 正(长)方体的外接球2．一个正方体的棱长为2，则该几何体外接球的体积为________．角度三 正四面体的内切球3．若一个正四面体的表面积为S 1，其内切球的表面积为S 2，则S 1S 2＝________.角度四 四面体的外接球4．(2014·南通期末)正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为23，则四面体A -B 1CD 1的外接球的体积为________．角度五 正三棱柱的内切球5．点P 是底边长为23，高为2的正三棱柱表面上的动点，MN 是该棱柱内切球的一条直径，则PM ·PN 的取值范围是________．[类题通法]解决与球有关的切、接问题的方法(1)一般要过球心及多面体中的特殊点或过线作截面将空间问题转化为平面问题，从而寻找几何体各元素之间的关系．(2)若球面上四点P，A，B，C中P A，PB，PC两两垂直或三棱锥的三条侧棱两两垂直，可构造长方体或正方体确定直径解决外接问题．[课堂练通考点]1．(2013·南京三模)已知圆锥的母线长为2，高为3，则该圆锥的侧面积是________．2．(2014·苏北三市统考)若一个长方体的长、宽、高分别为3，2，1，则它的外接球的表面积是________．3．(2014·苏北四市质检)已知棱长为3的正方体ABCD-A1B1C1D1中，P，M分别为线段BD1，B1C1上的点，若BPPD1＝12，则三棱锥M-PBC的体积为________．4．已知三棱锥O-ABC中，∠BOC＝90°，OA⊥平面BOC，其中AB＝AC＝7，BC＝11，O，A，B，C四点均在球S的表面上，则球S的表面积为________．5．已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上，SA⊥平面ABC，SA＝23，AB＝1，AC＝2，∠BAC＝60°，则球O的表面积为________．[课下提升考能]第Ⅰ组：全员必做题1．正六棱柱的高为6，底面边长为4，则它的全面积为________．2．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，则圆台较小底面的半径为________．3．(2013·南京、淮安二模)已知圆锥的侧面展开图是一个半径为3 cm ，圆心角为2π3的扇形，则此圆锥的高为________ cm.4．设长方体的长、宽、高分别为2a ，a ，a ，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为________．5．设M 、N 是球O 半径OP 上的两点，且NP ＝MN ＝OM ，分别过N ，M ，O 作垂直于OP 的平面，截球面得三个圆，则这三个圆的面积之比为________．6．(2013·苏北四市三调)在矩形ABCD 中，已知AB ＝2，BC ＝3，以边BC 所在的直线为轴旋转一周，则形成的几何体的侧面积为________．7．(2014·苏北四市摸底)已知正三棱锥的底面边长为2，侧棱长为433，则它的体积为________．8.(创新题)如图，在三棱锥D -ABC 中，已知BC ⊥AD ，BC ＝2，AD ＝6，AB ＋BD ＝AC ＋CD ＝10，则三棱锥D -ABC 的体积的最大值是________．9.如图所示，四棱锥P -ABCD 的底面ABCD 是半径为R 的圆的内接四边形， 其中BD 是圆的直径，∠ABD ＝60°，∠BDC ＝45°，△ADP ∽△BAD .(1)求线段PD的长；(2)若PC＝11R，求三棱锥P-ABC的体积．10．(2014·徐州质检)如图，在直三棱柱ABC -A1B1C1中，AB＝AC＝5，BB1＝BC＝6，D，E分别是AA1和B1C的中点．(1)求证：DE∥平面ABC；(2)求三棱锥E -BCD的体积．第Ⅱ组：重点选做题1．(2014·苏中三市、宿迁调研(一))若将一个圆锥的侧面沿一条母线剪开，其展开图是半径为2 cm的半圆，则该圆锥的高为________ cm.2．已知正四面体的俯视图如图所示，其中四边形ABCD是边长为2的正方形，则这个正四面体的体积为。

空间几何体的表面积和体积柱、锥、台和球的侧面积和体积[基础自测]1．侧面都是直角三角形的正三棱锥，底面边长为a 时，该三棱锥的全面积是( ) A.3＋34a 2B.34a 2C.3＋32a 2D.6＋34a 2解析：选A ∵侧面都是直角三角形，故侧棱长等于22a ， ∴S 全＝34a 2＋3×12×⎝⎛⎭⎫22a 2＝3＋34a 2. 2．已知正四棱锥的侧棱与底面的边长都为32，则这个四棱锥的外接球的表面积为( )A ．12πB ．36πC ．72πD ．108π解析：选B 依题意得，该正四棱锥的底面对角线长为32×2＝6，高为 (32)2－⎝⎛⎭⎫12×62＝3，因此底面中心到各顶点的距离均等于3，所以该四棱锥的外接球的球心为底面正方形的中心，其外接球的半径为3，所以其外接球的表面积等于4π×32＝36π.3.某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图是一个底边长为8，高为5的等腰三角形，侧视图是一个底边长为6，高为5的等腰三角形，则该几何体的体积为( )A ．24B ．80C ．64D ．240解析：选B 结合题意知该几何体是四棱锥，棱锥底面是长和宽分别为8和6的矩形，棱锥的高是5，可由锥体的体积公式得V ＝13×8×6×5＝80.4．表面积为3π的圆锥，它的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的底面直径为________． 解析：设圆锥的母线为l ，圆锥底面半径为r ， 则πrl ＋πr 2＝3π，πl ＝2πr . 解得r ＝1，即直径为2. 答案：25.某几何体的三视图如图所示，其中正视图是腰长为2的等腰三角形，侧视图是半径为1的半圆，则该几何体的表面积是________．解析：由三视图可知此几何体的表面积分为两部分：底面积即俯视图的面积，为23；侧面积为一个完整的圆锥的侧面积，且圆锥的母线长为2，底面半径为1，所以侧面积为2π.两部分加起来即为几何体的表面积，为2(π＋3)．答案：2(π＋3)[例1] 某几何体的三视图如图所示，该几何体的表面积是________．[自主解答] 由几何体的三视图可知，该几何体是底面为直角梯形的直四棱柱(如图所示)．在四边形ABCD 中，作DE ⊥AB ，垂足为E ，则DE ＝4，AE ＝3，则AD ＝5. 所以其表面积为2×12×(2＋5)×4＋2×4＋4×5＋4×5＋4×4＝92.[答案] 92变式练习1．如图是某宝石饰物的三视图，已知该饰物的正视图、侧视图都是面积为32，且一个内角为60°的菱形，俯视图为正方形，那么该饰物的表面积为( )A.3 B ．2 3 C ．43 D ．4解析：选D 依题意得，该饰物是由两个完全相同的正四棱锥对接而成，正四棱锥的底面边长和侧面上的高均等于菱形的边长，因此该饰物的表面积为8×⎝⎛⎭⎫12×1×1＝4.[例2] (1)某几何体的三视图如图所示，它的体积为( )A ．72πB ．48πC ．30πD ．24π(2)如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E 为线段B 1C 上的一点，则三棱锥A －DED 1的体积为________．[自主解答] (1)由三视图知，该几何体是由圆锥和半球组合而成的，直观图如图所示，圆锥的底面半径为3，高为4，半球的半径为3.V ＝V 半球＋V 圆锥＝12·43π·33＋13·π·32·4＝30π.(2)VA －DED 1＝VE －ADD 1＝13×S △ADD 1×CD ＝13×12×1＝16.[答案] (1)C (2)16变式练习2．(1)四棱锥P －ABCD 的底面ABCD 为正方形，且PD 垂直于底面ABCD ，N 为PB 中点，则三棱锥P －ANC 与四棱锥P －ABCD 的体积比为( )A ．1∶2B ．1∶3C ．1∶4D ．1∶8解析：选C 设正方形ABCD 面积为S ，PD ＝h ，则体积比为 13Sh －13·12S ·12h －13·12Sh 13Sh ＝14.（2）如图，是某几何体的三视图，则这个几何体的体积是( )A ．32B ．24C ．8D.323解析：选B 此几何体是高为2的棱柱，底面四边形可切割成为一个边长为3的正方形和2个直角边分别为3,1的直角三角形，其底面积S ＝9＋2×12×3×1＝12，所以几何体体积V ＝12×2＝24.[例3] 已知三棱锥S －ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，△ABC 是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径，且SC ＝2，则此棱锥的体积为( )A.26 B.36 C.23D.22[自主解答] 由于三棱锥S －ABC 与三棱锥O －ABC 底面都是△ABC ，O 是SC 的中点，因此三棱锥S －ABC 的高是三棱锥O －ABC 高的2倍，所以三棱锥S －ABC 的体积也是三棱锥O －ABC 体积的2倍． 在三棱锥O －ABC 中，其棱长都是1，如图所示， S △ABC ＝34×AB 2＝34， 高OD ＝12－⎝⎛⎭⎫332＝63， ∴V S －ABC ＝2V O －ABC ＝2×13×34×63＝26.[答案] A变式练习3．(1)一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的外接球的表面积为( )A ．23π B.8π3 C ．4 3D.16π3(2)如图所示，已知球O 的面上有四点A 、B 、C 、D ，DA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，DA ＝AB ＝BC ＝2，则球O 的体积等于________．解析：(1)由三视图可知几何体的直观图如图所示．其中侧面DBC ⊥底面ABC ，取BC 的中点O 1，连接AO 1，DO 1知DO 1⊥底面ABC 且DO 1＝3，AO 1＝1，BO 1＝O 1C ＝1.在Rt △ABO 1和Rt △ACO 1中，AB ＝AC ＝2， 又∵BC ＝2，∴∠BAC ＝90°.∴BC 为底面ABC 外接圆的直径，O 1为圆心， 又∵DO 1⊥底面ABC ，∴球心在DO 1上， 即△BCD 的外接圆为球大圆，设球半径为R ， 则(3－R )2＋12＝R 2，∴R ＝23. ∴S 球＝4πR 2＝4π×⎝⎛⎭⎫232＝16π3.(2)如图，以DA ，AB ，BC 为棱长构造正方体，设正方体的外接球球O 的半径为R ，则正方体的体对角线长即为球O 的直径，所以|CD |＝(2)2＋(2)2＋(2)2＝2R ，所以R ＝62. 故球O 的体积V ＝4πR 33＝6π.答案：(1)D (2)6π课后练习A 组1．某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积是( )A ．8 B.83 C ．4D.43解析：选D 将三视图还原，直观图如图所示，可以看出，这是一个底面为正方形(对角线长为2)，高为2的四棱锥，其体积V ＝13S 正方形ABCD ×P A＝13×12×2×2×2＝43. 2．已知矩形ABCD 的顶点都在半径为4的球O 的球面上，且AB ＝3，BC ＝2，则棱锥O －ABCD 的体积为( )A.51 B ．351 C ．251D ．651解析：选A 依题意得，球心O 在底面ABCD 上的射影是矩形ABCD 的中心，因此棱锥O －ABCD 的高等于42－⎝⎛⎭⎫1232＋222＝512，所以棱锥O －ABCD 的体积等于13×(3×2)×512＝51. 3．如图是一个几何体的三视图，则它的表面积为( )A ．4π B.154π C ．5πD.174π 解析：选D 由三视图可知该几何体是半径为1的球被挖出了18部分得到的几何体，故表面积为78·4π·12＋3·14·π·12＝174π. 4．用若干个大小相同，棱长为1的正方体摆成一个立体模型，其三视图如图所示，则此立体模型的表面积为( )A ．24B ．23C ．22D ．21解析：选C 这个空间几何体是由两部分组成的，下半部分为四个小正方体，上半部分为一个小正方体，结合直观图可知，该立体模型的表面积为22.5． 若一个几何体的三视图如下图所示，则此几何体的体积为( )A.112 B ．5 C.92D ．4解析：选D 由三视图可知，所求几何体是一个底面为六边形，高为1的直棱柱，因此只需求出底面积即可．由俯视图和主视图可知，底面面积为1×2＋2×12×2×1＝4，所以该几何体的体积为4×1＝4.6.如图，正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′的棱长为4，动点E ，F 在棱AB 上，且EF ＝2，动点Q 在棱D ′C ′上，则三棱锥A ′－EFQ 的体积( )A ．与点E ，F 位置有关B ．与点Q 位置有关C ．与点E ，F ，Q 位置都有关D ．与点E ，F ，Q 位置均无关，是定值解析：选D 因为V A ′－EFQ ＝V Q －A ′EF ＝13×⎝⎛⎭⎫12×2×4×4＝163，故三棱锥A ′－EFQ 的体积与点E ，F ，Q 的位置均无关，是定值．7．如图所示，已知一个多面体的平面展开图由一个边长为1的正方形和4个边长为1的正三角形组成，则该多面体的体积是________．解析：由题知该多面体为正四棱锥，底面边长为1，侧棱长为1，斜高为32，连接顶点和底面中心即为高，可求得高为22，所以体积V ＝13×1×1×22＝26. 答案：268．若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，则该圆锥的体积为________． 解析：因为半圆的面积为2π，所以半圆的半径为2，圆锥的母线长为2.底面圆的周长为2π，所以底面圆的半径为1，所以圆锥的高为3，体积为33π. 答案：33π9．在三棱锥A －BCD 中，AB ＝CD ＝6，AC ＝BD ＝AD ＝BC ＝5，则该三棱锥的外接球的表面积为________．解析：依题意得，该三棱锥的三组对棱分别相等，因此可将该三棱锥补形成一个长方体，设该长方体的长、宽、高分别为a 、b 、c ，且其外接球的半径为R ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝62，b 2＋c 2＝52，c 2＋a 2＝52，得a 2＋b 2＋c 2＝43，即(2R )2＝a 2＋b 2＋c 2＝43，易知R 即为该三棱锥的外接球的半径，所以该三棱锥的外接球的表面积为4πR 2＝43π.答案：43π10．如图，把边长为2的正六边形ABCDEF 沿对角线BE 折起，使AC ＝ 6.(1)求证：面ABEF ⊥平面BCDE ； (2)求五面体ABCDEF 的体积．解：设原正六边形中，AC ∩BE ＝O ，DF ∩BE ＝O ′，由正六边形的几何性质可知OA ＝OC ＝3，AC ⊥BE ，DF ⊥BE .(1)证明：在五面体ABCDE 中，OA 2＋OC 2＝6＝AC 2， ∴OA ⊥OC ，又OA ⊥OB ，∴OA ⊥平面BCDE .∵OA ⊂平面ABEF ， ∴平面ABEF ⊥平面BCDE .(2)由BE ⊥OA ，BE ⊥OC 知BE ⊥平面AOC ，同理BE ⊥平面FO ′D ，∴平面AOC ∥平面FO ′D ，故AOC －FO ′D 是侧棱长(高)为2的直三棱柱，且三棱锥B －AOC 和E －FO ′D 为大小相同的三棱锥，∴V ABCDEF ＝2V B －AOC ＋V AOC －FO ′D ＝2×13×12×(3)2×1＋12×(3)2×2＝4.11．如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面是直角梯形ABCD ，其中AD⊥AB ，CD ∥AB ，AB ＝4，CD ＝2，侧面P AD 是边长为2的等边三角形，且与底面ABCD 垂直，E 为P A 的中点．(1)求证：DE ∥平面PBC ； (2)求三棱锥A －PBC 的体积．解：(1)证明：如图，取AB 的中点F ，连接DF ，EF .在直角梯形ABCD 中，CD ∥AB ，且AB ＝4，CD ＝2，所以BF 綊CD .所以四边形BCDF 为平行四边形． 所以DF ∥BC .在△P AB 中，PE ＝EA ，AF ＝FB ，所以EF ∥PB . 又因为DF ∩EF ＝F ，PB ∩BC ＝B ， 所以平面DEF ∥平面PBC .因为DE ⊂平面DEF ，所以DE ∥平面PBC . (2)取AD 的中点O ，连接PO . 在△P AD 中，P A ＝PD ＝AD ＝2， 所以PO ⊥AD ，PO ＝ 3.又因为平面P AD ⊥平面ABCD ，平面P AD ∩平面ABCD ＝AD ， 所以PO ⊥平面ABCD .在直角梯形ABCD 中，CD ∥AB ，且AB ＝4，AD ＝2， AB ⊥AD ，所以S △ABC ＝12×AB ×AD ＝12×4×2＝4.故三棱锥A －PBC 的体积V A －PBC ＝V P －ABC ＝13×S △ABC ×PO ＝13×4×3＝433.12．一个空间几何体的三视图及部分数据如图所示，其正视图、俯视图均为矩形，侧视图为直角三角形．(1)请画出该几何体的直观图，并求出它的体积； (2)证明：A 1C ⊥平面AB 1C 1.解：(1)几何体的直观图如图所示，四边形BB 1C 1C 是矩形，BB 1＝CC 1＝3，BC ＝B 1C 1＝1，四边形AA 1C 1C 是边长为3的正方形，且平面AA 1C 1C 垂直于底面BB 1C 1C ，故该几何体是直三棱柱，其体积V ＝S △ABC ·BB 1＝12×1×3×3＝32.(2)证明：由(1)知平面AA 1C 1C ⊥平面BB 1C 1C 且B 1C 1⊥CC 1， 所以B 1C 1⊥平面ACC 1A 1.所以B 1C 1⊥A 1C . 因为四边形ACC 1A 1为正方形，所以A 1C ⊥AC 1.而B 1C 1∩AC 1＝C 1，所以A 1C ⊥平面AB 1C 1.B 组1．已知矩形ABCD 的面积为8，当矩形ABCD 周长最小时，沿对角线AC 把△ACD 折起，则三棱锥D －ABC 的外接球表面积等于( )A ．8πB ．16πC ．482πD ．不确定的实数 解析：选B 设矩形长为x ，宽为y ，周长P ＝2(x ＋y )≥4xy ＝82，当且仅当x ＝y ＝22时，周长有最小值．此时正方形ABCD 沿AC 折起，∵OA ＝OB ＝OC ＝OD ，三棱锥D －ABC 的四个顶点都在以O为球心，以2为半径的球上，此球表面积为4π×22＝16π.2．如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AD ＝3 cm ，AA 1＝2 cm ，则四棱锥A －BB 1D 1D 的体积为________cm 3.解析：由题意得VA －BB 1D 1D ＝23VABD －A 1B 1D 1＝23×12×3×3×2＝6. 答案：63．如图，平行四边形ABCD 中，AB ⊥BD ，AB ＝2，BD ＝2，沿BD 将△BCD 折起，使二面角A －BD －C 是大小为锐角α的二面角，设C 在平面ABD 上的射影为O .(1)当α为何值时，三棱锥C －OAD 的体积最大？最大值为多少？(2)当AD ⊥BC 时，求α的大小．解：(1)由题知CO ⊥平面ABD ，∴CO ⊥BD ，又BD ⊥CD ，CO ∩CD ＝C ，∴BD ⊥平面COD .∴BD ⊥OD .∴∠ODC ＝α.V C －AOD ＝13S △AOD ·OC ＝13×12·OD ·BD ·OC ＝26·OD ·OC ＝26·CD ·cos α·CD ·sin α＝23·sin 2α≤23， 当且仅当sin 2α＝1，即α＝45°时取等号．∴当α＝45°时，三棱锥C －OAD 的体积最大，最大值为23.(2)连接OB ，∵CO ⊥平面ABD ，∴CO ⊥AD ，又AD ⊥BC ，∴AD ⊥平面BOC .∴AD ⊥OB .∴∠OBD ＋∠ADB ＝90°.故∠OBD ＝∠DAB ，又∠ABD ＝∠BDO ＝90°，∴Rt △ABD ∽Rt △BDO . ∴OD BD ＝BDAB .∴OD ＝BD 2AB ＝(2)22＝1，在Rt △COD 中，cos α＝OD CD ＝12，得α＝60°.。

⾼中数学必修2《空间⼏何体的表⾯积与体积》教案 ⾼中数学必修2《空间⼏何体的表⾯积与体积》教案 1教学⺫标 1.知道柱体、锥体、台体侧⾯展开图，弄懂柱体、锥体、台体的表⾯积的求法. 2.能运⽤公式求解柱体、锥体和台体的表⾯积，并知道柱体、锥体和台体表⾯积之间的关系. 2学情分析 通过学习空间⼏何体的结构特征，空间⼏何体的三视图和直观图，了解了空间⼏何体和平⾯图形之间的关系，从中反映出⼀个思想⽅法，即平⾯图形和空间⼏何体的互化，尤其是空间⼏何问题向平⾯问题的转化。

该部分内容中有些是学⽣已经熟悉的，在解决这些问题的过程中，⾸先要对学⽣已有的知识进⾏再认识，提炼出解决问题的⼀般思想——化归的思想，总结出⼀般的求解⽅法，在此基础上通过类⽐获得解决新问题的思路，通过化归解决问题，深化对化归、类⽐等思想⽅法的应⽤。

3重点难点 重点：知道柱体、锥体、台体侧⾯展开图，弄懂柱体、锥体、台体的表⾯积公式。

难点：会求柱体、锥体和台体的表⾯积，并知道柱体、锥体和台体表⾯积之间的关系. 4教学过程 4.1 第⼀学时教学活动活动1【导⼊】第1课时　柱体、锥体、台体的表⾯积 (⼀)、基础⾃测： 1.棱⻓为a的正⽅体表⾯积为__________. 2.⻓、宽、⾼分别为a、b、c的⻓⽅体，其表⾯积为___________________. 3.⻓⽅体、正⽅体的侧⾯展开图为__________. 4.圆柱的侧⾯展开图为__________. 5.圆锥的侧⾯展开图为__________. (⼆).尝试学习 1.柱体的表⾯积 (1)侧⾯展开图：棱柱的侧⾯展开图是____________，⼀边是棱柱的侧棱，另⼀边等于棱柱的__________，如图①所⽰;圆柱的侧⾯展开图是_______，其中⼀边是圆柱的⺟线，另⼀边等于圆柱的底⾯周⻓，如图②所⽰. (2)⾯积：柱体的表⾯积S表=S侧+2S底.特别地，圆柱的底⾯半径为r，⺟线⻓为l，则圆柱的侧⾯积S侧=__________，表⾯积S表=__________. 2.锥体的表⾯积 (1)侧⾯展开图：棱锥的侧⾯展开图是由若干个__________拼成的，则侧⾯积为各个三⾓形⾯积的_____，如图①所⽰;圆锥的侧⾯展开图是_______，扇形的半径是圆锥的______，扇形的弧⻓等于圆锥的__________，如图②所⽰. (2)⾯积：锥体的表⾯积S表=S侧+S底.特别地，圆锥的底⾯半径为r，⺟线⻓为l，则圆锥的侧⾯积S侧=__________，表⾯积S表=__________. 3.台体的表⾯积 (1)侧⾯展开图：棱台的侧⾯展开图是由若干个__________拼接⽽成的，则侧⾯积为各个梯形⾯积的______，如图①所⽰;圆台的侧⾯展开图是扇环，其侧⾯积可由⼤扇形的⾯积减去⼩扇形的⾯积⽽得到，如图②所⽰. (2)⾯积：台体的表⾯积S表=S侧+S上底+S下底.特别地，圆台的上、下底⾯半径分别为r′，r，⺟线⻓为l，则侧⾯积S侧=____________，表⾯积S表=________________________. (三).互动课堂 例1：在三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=a，∠AA1B1=∠AA1C1=60°，∠BB1C1=90°，侧棱⻓为b，则其侧⾯积为( ) A. B.ab C.(+)ab D.ab 例2:(1)若⼀个圆锥的轴截⾯是等边三⾓形，其⾯积为，则这个圆锥的侧⾯积是( )A.2πB.C.6πD.9π (2)已知棱⻓均为5，底⾯为正⽅形的四棱锥S-ABCD，如图，求它的侧⾯积、表⾯积. 例3：⼀个四棱台的上、下底⾯都为正⽅形，且上底⾯的中⼼在下底⾯的投影为下底⾯中⼼(正四棱台)两底⾯边⻓分别为1,2，侧⾯积等于两个底⾯积之和，则这个棱台的⾼为( ) A. B.2 C. D. (四).巩固练习： 1.⼀个棱柱的侧⾯展开图是三个全等的矩形，矩形的⻓和宽分别为6 cm,4 cm，则该棱柱的侧⾯积为________. 2.已知⼀个四棱锥底⾯为正⽅形且顶点在底⾯正⽅形射影为底⾯正⽅形的中⼼(正四棱锥)，底⾯正⽅形的边⻓为4 cm，⾼与斜⾼的夹⾓为30°，如图所⽰，求正四棱锥的侧⾯积________和表⾯积________(单位：cm2). 3.如图所⽰，圆台的上、下底半径和⾼的⽐为1：4：4，⺟线⻓为10，则圆台的侧⾯积为( )A.81πB.100πC.14πD.169π (五)、课堂⼩结： 求柱体表⾯积的⽅法 (1)直棱柱的侧⾯积等于它的底⾯周⻓和⾼的乘积;表⾯积等于它的侧⾯积与上、下两个底⾯的⾯积之和. (2)求斜棱柱的侧⾯积⼀般有两种⽅法：⼀是定义法;⼆是公式法.所谓定义法就是利⽤侧⾯积为各侧⾯⾯积之和来求，公式法即直接⽤公式求解. (3)求圆柱的侧⾯积只需利⽤公式即可求解. (4)求棱锥侧⾯积的⼀般⽅法：定义法. (5)求圆锥侧⾯积的⼀般⽅法：公式法：S侧=πrl. (6)求棱台侧⾯积的⼀般⽅法：定义法. (7)求圆台侧⾯积的⼀般⽅法：公式法S侧=2(r+r′)l. 五、当堂检测 1.(2011·北京)某四棱锥的三视图如图所⽰，该四棱锥的表⾯积是( )A.32B.16+16C.48D.16+32 ⺴] 2.(2013·重庆)某⼏何体的三视图如图所⽰，则该⼏何体的表⾯积为( )A.180B.200C.220D.240 3.(2013⼲东)若⼀个圆台的正视图如图所⽰，则其侧⾯积等于( )A.6B.6πC.3πD.6π 六、作业：(1)课时闯关(今晚交) 七、课后反思：本节课你会哪些?还存在哪些问题? 1.3　空间⼏何体的表⾯积与体积 课时设计课堂实录 1.3　空间⼏何体的表⾯积与体积 1第⼀学时教学活动活动1【导⼊】第1课时　柱体、锥体、台体的表⾯积 (⼀)、基础⾃测： 1.棱⻓为a的正⽅体表⾯积为__________. 2.⻓、宽、⾼分别为a、b、c的⻓⽅体，其表⾯积为___________________. 3.⻓⽅体、正⽅体的侧⾯展开图为__________. 4.圆柱的侧⾯展开图为__________. 5.圆锥的侧⾯展开图为__________. (⼆).尝试学习 1.柱体的表⾯积 (1)侧⾯展开图：棱柱的侧⾯展开图是____________，⼀边是棱柱的侧棱，另⼀边等于棱柱的__________，如图①所⽰;圆柱的侧⾯展开图是_______，其中⼀边是圆柱的⺟线，另⼀边等于圆柱的底⾯周⻓，如图②所⽰. (2)⾯积：柱体的表⾯积S表=S侧+2S底.特别地，圆柱的底⾯半径为r，⺟线⻓为l，则圆柱的侧⾯积S侧=__________，表⾯积S表=__________. 2.锥体的表⾯积 (1)侧⾯展开图：棱锥的侧⾯展开图是由若干个__________拼成的，则侧⾯积为各个三⾓形⾯积的_____，如图①所⽰;圆锥的侧⾯展开图是_______，扇形的半径是圆锥的______，扇形的弧⻓等于圆锥的__________，如图②所⽰. (2)⾯积：锥体的表⾯积S表=S侧+S底.特别地，圆锥的底⾯半径为r，⺟线⻓为l，则圆锥的侧⾯积S侧=__________，表⾯积S表=__________. 3.台体的表⾯积 (1)侧⾯展开图：棱台的侧⾯展开图是由若干个__________拼接⽽成的，则侧⾯积为各个梯形⾯积的______，如图①所⽰;圆台的侧⾯展开图是扇环，其侧⾯积可由⼤扇形的⾯积减去⼩扇形的⾯积⽽得到，如图②所⽰. (2)⾯积：台体的表⾯积S表=S侧+S上底+S下底.特别地，圆台的上、下底⾯半径分别为r′，r，⺟线⻓为l，则侧⾯积S侧=____________，表⾯积S表=________________________. (三).互动课堂 例1：在三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=a，∠AA1B1=∠AA1C1=60°，∠BB1C1=90°，侧棱⻓为b，则其侧⾯积为( ) A. B.ab C.(+)ab D.ab 例2:(1)若⼀个圆锥的轴截⾯是等边三⾓形，其⾯积为，则这个圆锥的侧⾯积是( )A.2πB.C.6πD.9π (2)已知棱⻓均为5，底⾯为正⽅形的四棱锥S-ABCD，如图，求它的侧⾯积、表⾯积. 例3：⼀个四棱台的上、下底⾯都为正⽅形，且上底⾯的中⼼在下底⾯的投影为下底⾯中⼼(正四棱台)两底⾯边⻓分别为1,2，侧⾯积等于两个底⾯积之和，则这个棱台的⾼为( ) A. B.2 C. D. (四).巩固练习： 1.⼀个棱柱的侧⾯展开图是三个全等的矩形，矩形的⻓和宽分别为6 cm,4 cm，则该棱柱的侧⾯积为________. 2.已知⼀个四棱锥底⾯为正⽅形且顶点在底⾯正⽅形射影为底⾯正⽅形的中⼼(正四棱锥)，底⾯正⽅形的边⻓为4 cm，⾼与斜⾼的夹⾓为30°，如图所⽰，求正四棱锥的侧⾯积________和表⾯积________(单位：cm2). 3.如图所⽰，圆台的上、下底半径和⾼的⽐为1：4：4，⺟线⻓为10，则圆台的侧⾯积为( )A.81πB.100πC.14πD.169π (五)、课堂⼩结： 求柱体表⾯积的⽅法 (1)直棱柱的侧⾯积等于它的底⾯周⻓和⾼的乘积;表⾯积等于它的侧⾯积与上、下两个底⾯的⾯积之和. (2)求斜棱柱的侧⾯积⼀般有两种⽅法：⼀是定义法;⼆是公式法.所谓定义法就是利⽤侧⾯积为各侧⾯⾯积之和来求，公式法即直接⽤公式求解. (3)求圆柱的侧⾯积只需利⽤公式即可求解. (4)求棱锥侧⾯积的⼀般⽅法：定义法. (5)求圆锥侧⾯积的⼀般⽅法：公式法：S侧=πrl. (6)求棱台侧⾯积的⼀般⽅法：定义法. (7)求圆台侧⾯积的⼀般⽅法：公式法S侧=2(r+r′)l. 五、当堂检测 1.(2011·北京)某四棱锥的三视图如图所⽰，该四棱锥的表⾯积是( )A.32B.16+16C.48D.16+32 ⺴] 2.(2013·重庆)某⼏何体的三视图如图所⽰，则该⼏何体的表⾯积为( )A.180B.200C.220D.240 3.(2013⼲东)若⼀个圆台的正视图如图所⽰，则其侧⾯积等于( )A.6B.6πC.3πD.6π 六、作业：(1)课时闯关(今晚交) 七、课后反思：本节课你会哪些?还存在哪些问题? ⼩编推荐各科教学设计： 、、、、、、、、、、、、 ⼩编推荐各科教学设计： 、、、、、、、、、、、、。

空间几何体的表面积与体积【知识网络】1、球的表面积和体积；2、圆柱、圆锥、圆台的体积及侧面积；3、棱柱、棱锥、棱台的表面积及体积；4、利用几何体的展开图求几何体的表面积。

【典型例题】例1：（1）直三棱柱ABC —A 1B 1C 1的体积为V ，点P 、Q 分别在侧棱AA 1和CC 1上如图，AP=C 1Q ，则四棱锥B —APQC 的体积为 （ ）A ．2V B ．3VC ．4VD ．5V答案：B ；解析：取P 、Q 分别为AA 1、CC 1的中点，设矩形AA 1C 1C 的面积为S ，点B 到底面AA 1C 1C 的距离为h ，则 111111111()()()32323233B APQC ABC S V h Sh AC h AA AA S V -∆=⋅⋅==⋅⋅=⋅=。

（2）半径为R 的半球，一个正方体的四个顶点在半球的底面上，四个顶点在半球的球面上，则该正方体的表面积为 （ ）A 、2πR 2B 、4R 2C 、2R 2D 、4πR 2 答案：B 。

解析：222222212,,6423a a R a R a R +=∴=∴=。

（3）平行六面体的棱长都是a ，从一个顶点出发的三条棱两两都成60°角，则该 平行六面体的体积为A ．3a B ．321a C ．322a D ．323a答案：C 。

解析：32sin 603V a a a =⋅⋅=。

（4）已知直平行六面体1111D C B A ABCD -的各条棱 长均为3，︒=∠60BAD ，长为2的线段MN 的一个端点M 在1DD 上运动，另一端点N 在底面ABCD 上运动，则MN 的中点P 的轨迹（曲面）与共一顶点D 的三个面所围成的几何体的体积为为__ ____。

答案：29π。

解析：P 点的轨迹是以D 为球心、半径为1的六分之一球， ∴142639V ππ=⨯=。

（5）已知球的内接正方体的表面积为S ，那么球的体积为 。

32S 。

1.3空间几何体的表面积与体积教学任务分析:根据柱，锥，台的结构特征，并结合它们的展开图，推导它们的表面积的计算公式，从度量的角度认识空间几何体；用极限思想推导球的体积公式和表面公式，使学生初步了解利用极限思想解决问题的基本步骤，体会极限思想的基本内涵。

与此同时，培养学生积极探索的科学精神，培养学生的思维能力，空间想象能力。

教学重点：柱体，锥体，台体的表面积和体积的计算公式。

教学难点：球的体积和表面积的推导教学设计：1． 从学生熟悉的正方体和长方体的展开图入手，分析展开图与其表面积的关系。

其目的是㈠复习表面积的概念，即表面积是各个面的面积的和㈡介绍求几何体表面积的方法，把它们展开成平面图形，利用平面图形求面积的方法，求立体图形的表面积。

2． 通过类比正方体和长方体的表面积，讨论棱柱，棱锥，棱台的表面积问题。

实际上，求棱柱，棱锥，棱台的表面积问题可转化成求平行四边形，三角形和梯形问题。

3． 利用计算机或实物展示圆柱的侧面可以展开成一个矩形。

圆锥的侧面可以展开成一个扇形。

随后的有关圆台表面积的探究，也可以按照这样的思路进行教学。

说明圆台表面积公式时,可推导侧面积公式。

圆台侧面积的推导：设圆台侧面的母线长为，上，下底周长分别是，半径分别是则S 圆台侧=()x c x l c '-+2121=()[]x c c cl '-+21()()()l r r l c c c c l c c c cl S c c l c x lx x c c '+='+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡'-''-+='-'=∴+='π2121圆台侧在分别学习了圆柱，圆锥，圆台的表面积公式后，可以引导学生用运动，变化的观点分析它们之间的关系。

圆柱可看成上，下两底面全等的圆台，圆锥可看成上底面半径为零的圆台。

因此，圆柱，圆锥可看成圆台的特例。

（可用计算机演示）4．柱体， 锥体和台体的体积从正方体，长方体的体积公式引入到一般棱柱的体积也是V=Sh若有时间，可推导棱锥的体积公式棱锥的体积公式的推导如图,设三棱柱ABC-ABC 的底面积(即ΔABC 的面积)为S ，高（即点A ¹到平面ABC 的距离）为h ，则它的体积为Sh ，沿平面A ¹BC 和平面A ¹B ¹C ，将这个三棱柱分割为3个三棱锥，其中三棱锥1，2的底面积相等（S ΔA ¹AB=S ΔA ¹B ¹B ），高也相等点C 到平面AB ，BA 的距离）三棱锥也有相等的底面积，和相等的高（点A ¹到平面BCC ¹B ¹ 的高）因此，这三个三棱锥的体积相等，每个三棱锥体积是sh ，得sh台体 推导出台体的体积公式V=S ¹+Sh让学生思考，柱体，锥体台体的体积公式之间的联系。

空间几何体的表面积和体积【教学要求】1、会求空间几何体表面积和体积2、熟练计算球面距离3、会解决求展开的几何体和不规则几何体的体积问题【要点回顾】1．多面体的面积和体积公式【学习过程】例1、求下列几何体的全面积和体积π1、已知正四棱锥的底面正方形的边长为4cm，高与斜高的夹角为42、在三棱锥S—ABC中，∠SAB=∠SAC=∠ACB=90°，且AC=BC=5，SB=55。

变式：一个长方体的相交于一个顶点的三个面的面积分别是2，3，6，求长方体的体积。

例2、1、一个圆柱的侧面展开图是一个边长为a的正方形，求这个圆柱的全面积和体积2、圆锥的母线长为2，侧面的展开图扇形的圆心角为240︒，求该圆锥的全面积和体积变式：已知圆台的上下底面半径分别是2，5，且侧面面积等于两底面面积之和，求该圆台的母线长例3、如图，正四棱锥P ABCD-底面的四个顶点,,,A B C D在球O的同一个大圆上，点P在球面上，如果163P ABCDV-=，求球O的表面积。

A. 4πB. 8πC. 12πD. 16π变式：，求球的表面积和体积例4、如图，一圆锥内接于半径为R的球，求此圆锥的体积最大值基础达标：1、圆柱的一个底面积为S，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是( )．A．4πS B．2πS C．πS D.233πS2、设长方体的长、宽、高分别为2a、a、a，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( )．A．3πa2 B．6πa2 C．12πa2 D．24πa23、圆柱的轴截面是正方形，面积是S，则它的侧面积是( )A．1πS B．πS C．2πS D．4πS4、若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是( )A．12B．23C．1 D．25、右图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为( )．A.92π＋12 B.92π＋18 C．9π＋42 D．36π＋186、如图，某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形，且体积为12，则该几何体的俯视图可以是( )7、一个几何体的三视图如图，该几何体的表面积为( )A．280 B．292 C．360 D．3728、棱长为a的正方体中，连接相邻面的中心，以这些线段为棱的八面体的体积为( )A．a33B．a34C．a36D．a3129、已知一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面相切，若这个球的体积是32π3，则这个三棱柱的体积是( )A．96 3 B．16 3 C．24 3 D．48 310、一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为________．11、若某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的体积是________cm3．12、圆柱形容器内盛有高度为8 cm的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球(如图所示)，则球的半径是________cm．13、求棱长为1的正四面体（各棱长都相等的三棱柱）的外接球的体积与表面积。

《空间几何体的表面积和体积》教学设计教材的地位和作用几何学是研究现实世界中物体的形状、大小与位置关系的数学学科。

通常采用直观感知、操作确认、思辨论证、度量计算等方法和探索几何图形及其性质。

三维空间是人类生存的现实空间，认识空间图形，培养和发展学生的几何直观能力、运用图形语言进行交流的能力空间想象能力在本章，学生将从对空间几何体的整体入手，认知空间图形；了解简单几何体的表面积和体积的计算方法。

学情分析学生是在义务教育阶段学习的基础上展开的，具有一定的直观感知、操作确认、度量计算等方法。

他们的思维正从属于经验性的逻辑思维向抽象思维发展，但仍需要依赖一定的具体形象的经验材料来理解抽象的逻辑关系。

同时思维的严密性还有待加强。

学习目标1、认识柱体、锥体、台体及其简单组合体的结构特征，认真了解它们的几何特征。

2、推导柱体、锥体、台体表面积和体积公式，会利用这些公式解决一些简单的实际问题。

3、认识球的结构特征，了解它的有关概念。

4、知道球的表面积和体积公式，并能解决一些简单的实际问题。

5、通过对柱体、锥体、台体及球的侧（表）面积公式和体积公式之间的关系，体验数学发现和创造的过程。

教学过程一、课题引入在初中我们学习了正方体和长方体的表面积，以及它们的展开图，问：你知道①正方体和长方体的表面积与它们的展开图的面积的关系吗？②其他几何体的展开图与其表面积的关系吗？③棱柱、棱锥、棱台都是多面体，它们的展开图是什么？④如何计算棱柱、棱锥、棱台的表面积？二、自学检测1、几何体的表面积，它表示___________________________；求多面体的表面积时，可以把多面体展成平面图形，利用__________________________的方法来求。

2、棱长为1的正四面体S－ABC的表面积为_______。

3、圆柱的侧面展开图是_________，若圆柱的底面半径为r，母线长为l,则圆柱的底面积为___，侧面积为_________，全面积为______。