用比例方法解答应用题（一）
一、判断下列两个量成不成比例, 成什么比例
1、速度一定，路程和时间（）比例
路程一定，速度和时间（）比例
时间一定，路程和速度（）比例
2、在三角形里，底一定，面积和高（）比例
高一定，面积和底（）比例
面积一定，底和高（）比例
3、在同一个圆中，面积和半径（）比例
周长和半径（）比例
直径和半径（）比例
直径和面积（）比例
4、每块砖的面积一定，铺地总面积和用砖的总块数（比例
铺地总面积一定，每块砖的面积和用砖的总块数（比例
5、4X二Y, ）比例
）比例
6、每块砖的面积一定，铺地总面积和用砖的总块数（比例
铺地总面积一定，每块砖的面积和用砖的总块数（比例
二、用比例方法解答应用题
1、用同样的方砖铺地，铺20平方米要320块，如果铺42平方米，要用多少块方砖
2、一间教室，用面积是平方米的方砖铺地，需要275块，如果用面积是平方米的方砖铺地,
需要方砖多少块
3、一间教室，用边长是米米的方砖铺地，需要275块，如果用边长是平方米的方砖铺地,
需要方砖多少块
4、100千克黄豆可以榨油13千克，照这样计算，要榨豆油吨，需黃豆多少吨
5、学校计划买54张桌子，每张30元，如果这笔钱买椅子，可以买90张，每张椅子多少钱
6、小明读一本书，每天读12页，8天可以读完。如果每天多读4页，儿天可以读完
7、小华看一本240页的小说，4天看了64页，照这样计算，看完这本书还需多少天
用比例方法解答应用题（二）
一、判断下列两个量成不成比例，成什么比例
1、工作效率一定，工作总量和工作时间（）比例
工作时间一定，工作效率和工作总量（）比例
工作总量一定，工作效率和工作时间（）比例
2、前项一定，比的后项和比值（）比例
比值一定，比的前项和后项（）比例
后项一定，比的前项和比值（）比例
3、在比例尺中，比例尺一定，图上距离和实际距离（）比例
图上距离一定，比例尺和实际距离（）比例
实际距离一定，比例尺和图上距离（）比例
4、长方形的面积一定时，长和宽成反比例。（）比例
长方形的周长一定时，长和宽成反比例。（）比例
）
5、Y二X X与丫（）比例
10Y=X, 乂与丫（）比例
二、用比例方法解答应用题
1、汽车在高速公路上3小时行240千米，照这样计算，5小时行多少千米
2、修一条公路，4天修了200米，照这样计算，乂修了6天，乂修了多少米
3、一种铁丝，米长重3千克，现在有米长的这种铁丝，重多少千克
4、一艘轮船，从甲地开往乙地，每小时行20千米，12小时到达，从乙地返回屮地时，每小
时航行4千米,儿小时可以到达
5、一张地图的经例尺是1: 20000,从屮地到乙地的距离是60千米，求图上距离是多少厘米。
6、在一幅比例尺是1:300的地图上，量得东、西两村的距离是厘米，东、西两村的实际距离是
多少米
7、用5辆同样汽车运粮食一次能运吨，照这样计算，要把36吨粮食一次运完，需要增加多
少辆这样的汽车
8、生产一批零件，计划每天生产160个，15天可以完成，实际每天超产80个，可以提前儿
天完成
用比例知识解应用题及答案 解答正、反比例应用题的步骤 （1） 审题，找出题中相关连的量； （2） 分析判断题中相关的两个量是正比例关系还是反比例关系； （3） 设未知数，列出比例式 （4） 解比例式 （5） 检验，写答句 例题分析 例1 在一幅比例尺是1：200 000的地图上，量得甲、乙两地相距20厘米。如果再另一幅地图上，甲、乙两地相 距10厘米，另一幅地图的比例尺是？ 【分析解答】 题中的“图上距离”和“比例尺”这两种量发生了变化，只有甲乙两地的实际距离不变，可以先求出实际距离，再根据另一幅地图上甲乙两地的距离求出比例尺。 20÷1200 000 =4 000 000（厘米） 104 000 000 =1400 000 答：另一幅地图的比例尺是1:400 000 例2 在一块长45米、宽20米的长方形菜地里种黄瓜、辣椒、西红柿三种作物，黄瓜、辣椒、西红柿种植面积 的比是5:7:8，黄瓜种植面积是多少平方米？ 【例题分析】 本题已知分配的比，但分配的总量没有直接告诉我们。通过已知长方形地的长和宽，可以算出要分配的总量即 长方形的面积，把长方形的面积按照5:7:8的比进行分配，其中黄瓜占总面积的 55+7+8 。 长方形地面积：45×20=900（平方米） 黄瓜的种植面积是：900×55+7+8 =225（平方米） 答：黄瓜种植面积是225平方米。 例3 甲、乙两地相距270千米，客车、货车两车同时分别从两地相向开出，2.5小时相遇。已知客车和货车每小 时的速度比是5:4，求客车每小时行多少千米？ 【例题分析】 要求客车每小时行多少千米，要先求出客、货车每小时的速度和，再把速度和按5:4的比进行分配。 客车、货车的速度和：270÷2.5=108（千米/时）， 客车的速度：108×55+4 =108×59 =60（千米/时） 列综合算式：270÷2.5×55+4 =270÷2.5×59 =60（千米/时） 答：客车每小时行60千米。 例4 某工程队计划修一条长8000米的公路，前5天修了全长的25%，要照这样的进度，修完这条路还需要多少 天？ 【分析解答】 题中有“修的天数”和“修的米数占全长的百分之几”这两个相关联的量，他们的关系如下：
《用不同的知识解应用题》教学设计 一、教学内容：教科书第115～116页，练习二十四． 二、教学目标： 1、使学生进一步加深对应用题中数量关系的认识，能结合实际情况，用不同的知识解决简单实际问题。 2、让学生在解决问题的过程中，获得成功的体验，发展实践能力与创新精神，以培养和提高分析问题和解决问题的能力。 三、教学重点和难点： 引导学生运用所学知识来解答生活实际问题的能力，培养学生一题多解的思路与方法。 四、教具准备；小黑板 五、教学过程： 教学过程自我增减 一、复习简单相关知识。 1、出示小黑板。 已知甲数是乙数的６倍，根据这个条件让学生提出有价值的数学问题， 并请同学回答。 生1：乙数是甲数的几分之几？ 生2：甲数与乙数的比是()：() 生3：甲数与甲乙两数和的比是()：() 生4：乙数与甲乙两数和的比是()：() 生5：甲乙两数差与甲乙两数和的比是（）：（） 教师小结：同学们从“甲数是乙数的６倍”这个数学条件中，发现并 提出了甲、乙两数之间存在的许多数学关系。根据这些关系，能综合运用 与它们有关的数学知识，我们就可以用不同的方法来解同一道应用题。 二、用不同的知识解应用题。 １、出示例６：少先队员在山坡上栽松树和柏树，一共栽了120棵， 松树的棵数是柏树的4倍。松树和柏树各栽了多少棵? （1）学生认真审题，弄清题意。 （2）组织学生在个人独立思考的基础上进行小组讨论，说一说自己解 题的方法。 （3）让学生按照自己的想法独立解题。 教师边巡视边了解学生解题的情况，并对有疑问的学生进行个别交流， 指名学生说一说自己是怎么解这道题的，解题的根据是什么？ ２、分析、汇报完成情况。 第一种解法：
解答应用题的思维方法的研究 一、问题的提出 《数学课程标准》提出了当前我国数学课程改革的基本理念，指出：“义务教育阶段的数学课程，其基本出发点是促进学生全面、持续、和谐的发展，强调从学生已有的生活经验出发，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型进行解释与应用过程，进而使学生获得对数学理解的同时，在思维能力、情感态度与价值观等多方面得到进步和发展。人人学有价值的数学；人人都获得必需的数学；不同的人在数学上得到不同的发展。学生的数学学习内容应当是现实的、有意义的、富有挑战性的，内容的呈现应采用不同的表达方式，动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式。数学教学活动必须建立在学生的认知发展水平和已有的知识经验基础之上，教师应激发学生的学习积极性，向学生提供充分从事数学活动的机会，帮助他们真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想与方法，获得广泛的数学活动经验。”（摘自《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》）基于这一理念，数学教学必须体现应用性、开放性、探究性、创新性，而在小学数学教学内容中占很大比例的应用题教学就成为实践这一改革理念的有效手段。 应用题，故名思义，应该具有应用价值，使学生在理解掌握数量关系，培养初步的逻辑思维能力基础上能够运用所学的问题解决策略，解决简单的实际问题。不可否认，应用题教学对培养学生应用数学的意识和能力及创新精神起了积极的作用。但目前，传统的应用题数量关系抽象复杂，情节事理单调枯燥，教学方式机械刻板，知识运用脱离生活实际，普遍存在着“教师难教，学生怕学”的现象。尤其对农村学生更是如此。 随着教育观念的不断更新，我们越来越意识到小学应用题教学在发挥效益的同时也带来了许多负效应：虽然占用了大量的教学时间和精力，却还是成为导致学生分化的主要内容。不论对教师还是对学生而言，普遍视应用题为“头痛题”，应用题不仅没起到应有的“应用”功能，相反却很大程度地扼杀了学生的创造性。从平时教学和调研中经常发现，应用题更是农村学生学习数学中的重大障碍，得分率很低。很多学生甚至是一些优秀生对应用题也是“望而生畏”，“屡战屡败”：对应用题题意不理解，对数量关系分析不清晰，解法随意。因此，不得不深思：目前农村小学生解答应用题的现状令人担扰。 二、归因分析 为此，笔者就本县农村小学本学期其中质量检测四年级学生的解题情况作了统计分析，并从中随机抽取117 位学生进行抽样调查，旨在通过调查分析引起教师对农村小学生解答应用题现状的分析及对存在问题的警觉，以促进农村小学应用题教学改革，同时也对农村小学应用题教学谈一些粗略看法。 统计结果表明学生对各种类型应用题的基本题掌握较好，对需要综合分析、应用的综合题缺乏足够的认识与分析，而对一些需要联系生活实际探索解题策略 寻求多种可能结论的实际问题，思维则比较僵化，摆脱不了答案唯一的思维模式。 笔者认为，产生以上现象的原因是多方面的，但主要还是教材本身及教师教学观念、教学方法上的问题。 1、教材本身的局限性
用比例知识解应用题及答案解答正、反比例应用题的步骤 （1）审题，找出题中相关联的量； （2）分析判断题相关的两个量是 （3）设未知数，列出比例式 （4）解比例式 （5）检验，写答句
例题分析 例1 在一幅比例尺是1：200 000的地图上，量得甲、乙两地相距20厘米。 如果再另一幅地图上， 甲、乙两地相距10厘米， 另一幅地图的比例尺是
【分析解答】 题中的“图上距离”和“比例尺”这两种量发生了变化，只有甲乙两地的实际距离不变，可以先求出实际距离，再根据另一幅地图上甲乙两地的距离求出比例尺。 20÷ 1 200 000 =4 000 000（厘米） 10 4 000 000 = 1 400 000 答：另一幅地图的比例尺是1:400 000
例2 在一块长45米、宽20米的长方形菜地里种黄瓜、辣椒、西红柿三种作物，黄瓜、辣椒、西红柿种植面积的比是5:7:8，黄瓜种植面积是多少平方米【例题分析】 本题已知分配的比，但分配的总量没有直接告诉我们。通过已知长方形地的长和宽，可以算出要分配的总量即长方形的面积，把长方形的面积按照5:7:8 的比进行分配，其中黄瓜占总面积的 5 5+7+8 。 长方形地面积：45×20=900（平方米） 黄瓜的种植面积是：900× 5 5+7+8 =225（平 方米） 答：黄瓜种植面积是225平方米。例3
甲、乙两地相距270千米，客车、货车两车同时分别从两地相向开出， 小时相遇。 已知客车和货车每小时的速度比是5:4， 求客车每小时行多少千米 【例题分析】 要求客车每小时行多少千米，要先求出客、货车每小时的速度和，再把速度和按5:4的比进行分配。 客车、货车的速度和：270÷=108（千米/时）， 客车的速度：108×55+4 =108×59 =60（千米/时） 列综合算式： 270÷×55+4 =270÷×59 =60（千米/时） 答：客车每小时行60千米。 例4 某工程队计划修一条长8000米的公
比和比例应用题 教学内容：教材第116页比表示的具体含义、“练一练”，练习二十二第3～8题。 教学要求： 1.使学生加深理解比与除法、分数的关系，能用不同的表述方法说明比、分数和倍数关系的含义。 2.使学生进一步学会应用不同的知识解答比和比例的应用题，培养学生灵活、合理地解答应用题的能力。 教学过程： 一、揭示课题 1．口算。 让学生口算练习二十二第3题。 2．引入课题。 我们已经复习了比和比例的知识，知道了比和除法、分数之间的联系，根据这样的联系，对于，可以用不同的方法来解答。这节课，我们来复习用不同的方法解答。(板书课题)通过复习，要学会用不同的知识解答同一道应用题，提高灵活、合理地解答应用题的能力。 二、复习比与除法、分数的关系 1．提问：比与除法、分数有什么关系? 2．出示：甲数与乙数的比是1：4。提问：根据甲数与乙数的比是1：4，你能用分数、倍数关系表示甲数与乙数的关系吗? 3．做练习二十二第4题。
小黑板出示。指名一人板演，其余学生做在课本上。集体订正，选择两题让学生说说是怎样想的。 三、用不同方法解答应用题 l，说明：对于一个比或一个分数、倍数，我们都可以从不同的角度来理解数量之间的关系。这样，就可以用不同的知识来解答关于比和比例方面的应用题。 2．做“练一练”第1题。 让学生读题，再说一说80克盐这个数量与比的哪一部分是对应的。提问：盐和水的重量比1：15可以怎样理解?提问：按照1：15这三种角度的理解，题里已知盐重80克，你能用三种不同的方法解答吗?请同学们做在练习本上，如果有困难，再看看书上是怎样想的。(老师巡视辅导)指名学生口答算式，老师板书三种解法。提问：第一种解法为什么用80×15可以求出加水的重量?这样做的数量关系是怎样的?第二种解法按怎样的数量关系列等式的?为什么用方程解答?第三种解法是按怎样的方法解答的?列比例的依据是什么?提问：这三种不同的解法，都是根据哪个条件来找数量之间的关系的?指出：这三种解法虽然不同，但都是根据盐和水的重量比1：15这个条件，从倍数、分数和比的意义这三个不同的角度来找出盐和水的重量之间的关系，得出相应的三种解法，求出了问题的结果。 3．做“练—练”第2题。 学生读题。指名板演，其余学生做在练习本上。集体订正，让学生说说各是怎样想的。注意学生中的不同解法。
课题：用比例知识解答应用题 教学目的： 1．通过复习，使学生能够正确判断出应用题中所涉及的相关联的量成什么比例关系。 2．通过复习，能够使学生利用正反比例的意义正确、熟练的解答应用题。3．通过复习，培养学生的分析能力、综合能力以及判断推理能力。 教学重点： 通过复习，使学生能够利用正反比例的意义正确、熟练的解答应用题。 教学难点： 通过复习，使学生能够利用正反比例的意义正确、熟练的解答应用题。 教学过程： 一、复习准备： 下面每题中的两种量成什么比例关系？ （1）速度一定，路程和时间。 （2）总价一定，每件物品的价格和所买的数量。 （3）小朋友的年龄与身高。 （4）正方体每一个面的面积和正方体的表面积。 （5）被减数一定，减数和差。 谈话引入：我们今天运用正反比例的知识来解决实际问题。 （板书：用比例知识解应用题） 二、探讨新知： （一）教学例5（用比例解答下题） 修一条公路，总长12千米，开工3天修了1.5千米。照这样计算，修完这条路还要多少天？ 1．学生读题，独立解答。 2．学生反馈： 3．分析： （1）为什么需要用正比例解答？ （2）12和要求的天数之间有什么关系？ 4．小结：我们在做题时，根据注意题目中的数量关系，不仅需要判定运用什么比例方法，而且还要注意找准题目中的对应关系。 （二）反馈。 1．某车队运送一批救灾物品，原计划每小时行60千米，6.5小时到达灾区，实际每小时行了78千米。照这样计算，行完全程需要多少小时？ 2．大齿轮与小齿轮的齿数比为4∶3．大齿轮有36个齿，小齿轮有多少个齿？ 三、巩固反馈。 1．一张大纸，如果裁成长36厘米，宽26厘米的小纸张，可以裁成28张；如果裁成长18厘米，宽13厘米的小纸张，可以裁成多少张？ 2．某车间有男工25人，女工20人．如果男工增加15人，要想使男工和女工人数的比不发生变化，女工应该增加多少人？ 3．一项工程，10人去做24天可以完成；如果每人的工作效率不变，现在需要提前4天完成，需要多少人？ 4．两个底面半径相等的圆柱体，第一个圆柱的高是第二个圆柱高的。第二个圆柱的体积是60立方米，第一个圆柱体的体积是多少立方米？
如何提高小学生分析及解答应用题的能力应用题是小学数学教学的重要内容。所谓“应用题”，就是把日常生活或生产中的实际数量问题，用语言、文字或图形、表格来表达已知数量和求知数量的相互关系，然后求未知数量的题目。通过解答应用题，促使学生把所学的数学知识同实际生活和一些简单的科学技术知识联系起来，从而使学生既了解数学的实际应用，又初步培养了运用所学的数学知识解决实际问题的能力。因此它在低年级数学教材中占有非常重要的地位。 目前的应用题教学在注重提高学生解题能力的同时，而忽视了对应用能力的培养。新课程标准提出：“人人学有价值的数学，人人都能够获得必需的数学，不同的人在数学上得到不同的发展。”教师要用身边的人和事来组织教学，能使学生感到：数学离我们并不那么遥远，数学就在我们身边，同时我们可以用所学知识解决我们身边的问题，以此来培养学生对数学的兴趣。那么如何培养小学生解答应用题的能力？ 一、转变教学观念，优化应用题的教学方法 我国的新《数学课程标准》把问题解决列为义务教育阶段的重要目标之一，并明确指出：“教师应该充分利用学生已有的生活经验，引导学生把所学的数学知识应用到现实中去，以体会数学在现实生活中的应用价值。培养学生应用数学的意识和综合应用所学知识解决问题的能力。”这包括从现实生活中发现和表述数学问题、分析数量关系、运用所学知识解数学问题并进行反思的能力。学生要能把数学知识运用生活中去，必须会解从生活中提炼的重要数学模型题——应用题，培养学生解应用题的能力并非一日之功，需要我们在每一节课中，激发学
生思维的灵活性和创造性，把运用知识解应用题变成一种意识和能力，进而上升为一种解决数学问题的思想和方法，这才是我们数学教育的终极目标。 当前新课改把“问题解决”作为数学教育的主要目标，这就更清楚地体现了数学教育思想的根本性转变，教育思想的转变决定了“解决问题”教学中的应用题教学应当采取与传统的数学教学不相同的一种新模式。转变教学观念是改进教学方法的前提，现在实施的小学数学教学大纲指出：“解决问题教学是培养学生解决简单的实际问题和发展思维的一个重要方面，要注意联系学生生活实际，引导学生分析数量关系，掌握解题思路。”“要充分发挥教师的主导作用和学生学习的积极性、主动性，要坚持启发式，反对注入式。”以此我们认为应用题教学作为“解决问题教学”中的首要的任务，同样要着眼于学生素质提高。过去我们常常注重研究教师如何教，从主观愿望出发考虑问题，把“学”看成为“教”服务的。这种思想指导下的教学多为“注入式”，不利于培养有创造性思维的人才，因而必须转变。改革教学方法，必须从改变“教”和“学”的关系入手，那就是使“教”更好地服务于“学”。因此，教师要引导、启发学生动脑、动手、动口，发挥主体作用，首先教师要深入钻研教材，领会编者意图；其次，教师还要营造和谐的教学氛围，鼓励学生质疑问难，为学生问题意识的培养提供适宜的环境。最后，教师在教学中的呈现应该有层次，方式要灵活多变，解应用题体现生活化、开放性，当然，在教学中，教师首先还是要学生能够解决基本的、常规的数学问题，然后再鼓励学生解决开放题等有挑战性的非常规问题，并在教学过程中引导学生探寻不同的解法。 二、通过应用题的结构训练，增强学生解答应用题的能力
用不同的知识解答应用题 教学内容 教科书第111—112页，例6和“做一做”，练习二十七的第l- 5题。 教学目标 1．整理和复习有关分数、比和比例的知识，并联系这些知识用不同的方法解答应用题。 2．加深对这些应用题中数量关系的理解，进一步提高同学们解答应用题的能力。 3．体会数学的实用价值，提高同学们对学习数学的兴趣。 教学重点 用不同的方法解答应用题。 教学难点 灵活地用不同的方法解答应用题。 教具准备 教师准备两块小黑板，一块写好如教科书第121页例6上面的练习题，另一块写好例6。 教学过程 教学环节教师活动学生学习设计说明复习铺垫一、复习有关倍数、分数和比的知识 教师出示小黑板：已知甲数是乙数的6倍， 那么 （1）乙数是甲数的（1/6）； （2）甲数与乙数的比是（6）：（1）：（3）甲数与甲乙两数和的比是（6）：（7）；（4）乙数与甲乙两数和的比是（1）：（7）。小结：“通过以上的问题，我们可以看出。如果中数是乙数的几倍。那么乙数就是甲数的几分之一。” “从另一个角度看，我们也可以把乙数看作1份，那么甲数就是6份，甲乙两数的和就是7份。这样，很容易就可以得出甲数与乙数的比是6：1。甲数与甲乙两数和的比是6：7等等。” “弄清这些数量关系，我们就可以在解答应用题时灵活运用。有时用两个数之间的倍数关系解答，有时用分数解答；有时用比的关系解答，有时用比例的关系解答。总之，怎样方便就怎样解答。” 二、教学用不同的知识解答应用题 1．教学例6。指名学生回答问题。 仔细审题，找出题中有哪些数量，它们之间存在着什么样的关系。指名学生说数量关系。
系列训练布置作业教师出示例6 “少先队员在山坡上栽松树 和柏树、一共栽了120棵。松树的棵数是柏 树的4倍。松树和柏树各栽了多少棵？” 归纳整理：“题目中说‘松树的棵数就是柏 树的4倍’，那么我们可以把柏树的棵数看 作1份，松树的棵数看作4份。这样，我们 就可以得到它们之间的分数或者比的关系。 由此，我们就可以用不同的知识来解答这道 应用题。”（板书如下） 一共120棵 松树柏树 4份1份 第一种解法： “我们先用它们之间的倍数关系列方程解 答。设柏树栽了X棵。请同学们根据‘松 树的棵数加上柏树的棵数等于总棵数’这个 等量关系列方程解答。” “如果我们设松树栽了X棵。怎么列方 程？” 第二种解法： “根据题里的数量关系。我们还可以得出， 松树的棵数与柏树的棵数的比是4：1。这 样，我们还可以用以前学过的‘按比例分配’ 的方法解答。”教师巡视，个别指导。集体 订正：由于松树的棵数是4份，柏树的棵数 是1份，总的棵数就是5份。所以，松树占 总棵数的 4 5，柏树占总棵数的 1 5。 第三种解法： “根据松树的棵数与柏树的棵数的比是4： 1，或者由松树占总棵数的45，还可以进一 步得出，松树的棵数与总棵数的比是几比 几？”（是4：5。） 根据这个关系，已知总棵树是120棵。能不 能用比例的知识来解答这道题？ 教师巡视、个别指导、集体订正。 设松树栽了x棵，按比例关系列出的方程如 下； 120 x =45 2．小结。 通过这道题以上几种不同的解法，你有 什么想法？ 学生在练习本上解答。（方程 为：4X十X＝120） （柏树的棵数就是 1 4X，列出 的方程就是x+ 1 4x=120） 学生在练习本上解答。 120× 4 5＝96（棵） 120× 1 5＝24（棵） 学生在练习本上解答。 指名学生发表意见。 至少用两种方法解答这道题。 做完以后，指名说一说自己是 怎样解答的。 选择一种方法解答。
用比例的知识解答应用题 1．基础知识训练。 判断下面各题中的两种量成不成比例？成什么比例？（口答。） （1）工作总量一定，工作效率和工作时间。 （2）速度一定，路程和时间。 （3）绳子的长度不变，剪下的米数和剩下的米数。 （4）单价一定，总价和数量。 （5）煤的总量一定，每天烧煤量和能够烧的天数。 （6）圆的半径和它的面积。 学生回答后，可让他们说说正、反比例关系的相同点及不同点，正、反比例的判断方法。 [订正：（1）成反比例（2）成正比例（3）不成比例（4）成正比例（5）成反比例（6）不成比例] 2．对比练习，加深理解。 教师谈话：我们已经学习了正、反比例的意义及正、反比例的应用题，这一节课要复习。 （1）教师提问：用正、反比例知识解答应用题的步骤是什么？关键是什么？ 先判断题中的数量关系成不成比例，成什么比例；再根据题中的比例关系，找到等量关系；然后把其中的未知数量用x表示，列出方程解答。关键是正确判断题中的数量关系成不成比例，成什么比例。 （2）基本练习，区分比较。 出示复习题。（全班同学动笔完成，指名板演。） ①修一条公路，总长12千米。开工3天修了1.5千米。照这样计算，修完这条路共用几天？ ②修一条公路，计划每天修0.5千米，24天完成。实际每天修0.6千米。实际多少天修完？ [订正： ①解：设修完这条路共用x天。 答：修完这条路共用24天。 ②解：设实际x天修完。
答：实际20天完成。] 订正时，可让学生说说解答正、反比例应用题的相同点和不同点是什么？ [相同点是解题步骤和解题关键相同；不同点是正比例应用题根据商一定列比例式，反比例应用题根据积一定列比例式，所列出的比例式的形式不同。] （3）变式练习，加深理解。 出示复习题。 ①修一条公路，总长12千米。开工3天修了1.5千米。照这样计算，修完这条公路还要多少天？ ②修一条公路，计划每天修0.5千米，24天完成。实际每天多修0.1千米。实际多少天可以修完？ 指导学生审题，并与前面的基本题进行比较，找出它们的相同点和不同点，然后让学生独立解答，指名板演。学生可能有如下的解法： ①解法一： 解：设修完这条路还要x天。 解法二： 解：设修完这条路一共用x天。 答：修完这条路一共用21天。 ②解：设实际x天可以修完。 （0.5+0.1）x=0.5×24 0.6x=12
《用比例知识解应用题》教学设计 一、教学内容： P113例5，练习二十三。 二、教学目标： 使学生进一步认识正反比例应用题的特点，理解并掌握解答正反比例应用题的解题思路和解题方法。 三、教学重点： 使学生学会正确的解答正反比例应用题。 四、教学难点： 进一步培养学生应用知识进行分析、推理的能力，发展学生的思维。 五、教具准备：小黑板。 六、教学过程： 教学过程自我增减 一、复习： 1、判断比例关系练习 出示一块小黑板，指名学生回答下列数量关系是否成比例，成什么比例? 并说明理由。 （1）汽车行驶的速度一定，行驶的路程与行驶的时间。() （2）把一袋大米平均分装成小袋，每小袋装的数量与装的袋数。() （3）一段公路的长度—定，已经修完的长度与还没有修的长度。() （4）总产量一定．每天的产量与生产的天数。() （5）一本书的单价一定，售出的本数与总价。() （6）长方形的面积一定，它的长与它的宽。(） 2、说出这两种量成什么比例，并列出相应的等式。 （1）一台机床5小时加工40个零件，照这样计算，8小时加工64个。 （2）一列火车行驶360千米。每小时行90千米，要行4小时；每小时行 80千米，要行X小时。 二、复习用正比例知识解答应用题 1、教师出示 例5：“修一条公路，总长12千米。开工3天修了1.5千米。照这样计算， 修完这条公路还要多少天?” 问：这道题可以怎样解答?题中的数量关系能否成比例?如果成比例，成 什么比例? 生：分析、讨论、交流并汇报。 师：巡视并提醒学生，题里问的是修完这条公路还要多少天?而不是求 一共用多少天。在设未知数时要怎样设?列方程时应当怎样列?” （1）学生动脑想、动手试做。
用比例知识解应用题 一、比的应用题 （一）解题方法： （1）比的知识解应用题 例：学校书画节的展品共有800件。其中美术展品与书法展品的比是5∶3，两种展品各有多少件？ 解：美术展品：书法展品=5∶3 美术展品占总展品的 535+ = 85 书法展品占总展品的533+=8 3 美术展品=800×85=100×5=500（件） 书法展品=800×83=100×3=300（件） （2）用方程解比的应用题 例：学校书画节的展品共有800件。其中美术展品与书法展品的比是5∶3，两种展品各有多少件？ 分析：美术展品：书法展品=5∶3 设美术展品为5x ，则书法展品为3x 美术展品＋书法展品=800 5x ＋3x =800 8x =800 x =100 美术展品=5x =5×100=500（件） 书法展品=3x =3×100=300（件） （二）提高练习 1、喜盈门大酒店要按男女人数的比3∶5招收一批服务员，结果招收了48人，其中女服务员有多少人？ 2、某实验小学男女教师人数的比是2∶5，女教师有35人，男教师有多少人？ 二、比例尺应用题 （一）基本知识： 比例尺=图上距离：实际距离 实际距离=图上距离：比例尺 图上距离=实际距离×比例尺 （二）提高训练 1、甲、乙两城市间的实际距离是120千米，在比例尺1∶4000000的地图上，这两个城市间的图上距离是多少？ 2、在比例尺是1∶4000000的中国地图上，量得北京到韶山的距离是35厘米。北京到韶山的实际距离是多少千米？
三、比例应用题 （一）解题方法 1、比值一定，用正比例解题 例：一农民收割小麦，3天收割了165公顷，照这样计算，8天可以收割多少公顷小麦？ 分析： ①题中相关联的两种量是（）和（）。 ②“照这样计算”就是说（）是一定的。 ③题中相关联的两种量成（）比例。 ④解：设。 ⑤列比例式：。 2、乘积一定，用反比例解题 例：一辆汽车从甲地开往乙地，每小时行80千米，5小时到达。如果要4小时到达，每小时需要行使多少千米？ ①这道题里的是一定的，和成比例关系。所以两次行使的和的是相等的。 ②解：设。 ③列方程为：。 （二）提高训练 1、某人步行4小时走了22.4千米，照这样的速度，如果再走3小时，一共可以走多少千米？ 2、一台织布机4小时可以织布24米，照这样计算，要织布54米，需要几小时？ 3、装配小组要装配一批洗衣机，计划每天装配27台，20天完成任务。实际每天装配了30台，只需几天就可以完成任务？ 四、综合练习 1、配制一种农药，其中药与水的比为1∶150。 ①要配制这种农药755千克，需要药和水各多少千克？ ②有药3千克，能配制这种农药多少千克？ ③如果有水525千克，要配制这种农药，需要放进多少千克的药？
小学六年级数学教案《用比例知识解答应用题》 1．通过复习，使学生能够正确判断出应用题中所涉及的相关联的量成什么比例关系． 2．通过复习，能够使学生利用正反比例的意义正确、熟练的解答应用题． 3．通过复习，培养学生的分析能力、综合能力以及判断推理能力． 教学重点 通过复习，使学生能够利用正反比例的意义正确、熟练的解答应用题． 教学难点 通过复习，使学生能够利用正反比例的意义正确、熟练的解答应用题． 教学过程 一、复习准备． 下面每题中的两种量成什么比例关系？ （1）速度一定，路程和时间． （2）总价一定，每件物品的价格和所买的数量． （3）小朋友的年龄与身高． （4）正方体每一个面的面积和正方体的表面积． （5）被减数一定，减数和差． 谈话引入：我们今天运用正反比例的知识来解决实际问题． （板书：用比例知识解应用题）
二、探讨新知． （一）教学例5（用比例解答下题） 修一条公路，总长12千米，开工3天修了1.5千米．照这样计算，修完这条路还要多少天？ 1．学生读题，独立解答． 2．学生反馈： 3．分析： （1）为什么需要用正比例解答？ （2）12和要求的天数之间有什么关系？ 4．小结：我们在做题时，根据注意题目中的数量关系，不仅需要判定运用什么比例方法，而且还要注意找准题目中的对应关系．（二）反馈． 1．某车队运送一批救灾物品，原计划每小时行60千米，6.5小时到达灾区，实际每小时行了78千米．照这样计算，行完全程需要多少小时？ 2．大齿轮与小齿轮的齿数比为4∶3．大齿轮有36个齿，小齿轮有多少个齿？ 三、巩固反馈． 1．一张大纸，如果裁成长36厘米，宽26厘米的小纸张，可以裁成28张；如果裁成长18厘米，宽13厘米的小纸张，可以裁成多少张？ 2．某车间有男工25人，女工20人．如果男工增加15人，要想使男工和女工人数的比不发生变化，女工应该增加多少人？
如何提高小学生解答应用题的能力 应用题是小学数学教学的重要内容。所谓“应用题”，就是把日常生活或生产中的实际数量问题，用语言、文字或图形、表格来表达已知数量和求知数量的相互关系，然后求未知数量的题目。通过解答应用题，促使学生把所学的数学知识同实际生活和一些简单的科学技术知识联系起来，从而使学生既了解数学的实际应用，又初步培养了运用所学的数学知识解决实际问题的能力。因此它在低年级数学教材中占有非常重要的地位。 目前的应用题教学在注重提高学生解题能力的同时，而忽视了对应用能力的培养。新课程标准提出：“人人学有价值的数学，人人都能够获得必需的数学，不同的人在数学上得到不同的发展。”教师要用身边的人和事来组织教学，能使学生感到：数学离我们并不那么遥远，数学就在我们身边，同时我们可以用所学知识解决我们身边的问题，以此来培养学生对数学的兴趣。那么如何培养小学生解答应用题的能力？ 一、转变教学观念，优化应用题的教学方法 我国的新《数学课程标准》把问题解决列为义务教育阶段的重要目标之一，并明确指出：“教师应该充分利用学生已有的生活经验，引导学生把所学的数学知识应用到现实中去，以体会数学在现实生活中的应用价值。培养学生应用数学的意识和综合应用所学知识解决问题的能力。”这包括从现实生活中发现和表述数学问题、分析数量关系、运用所学知识解数学问题并进行反思的能力。学生要能把数学知识运用生活中去，必须会解从生活中提炼的重要数学模型题——应用题，培养学生解应用题的能力并非一日之功，需要我们在每一节课中，激发学生思维的灵活性和创造性，把运用知识解应用题变成一种意识和能力，进而上升为一种解决数学问题的思想和方法，这才是我们数学教育的终极目标。 当前新课改把“问题解决”作为数学教育的主要目标，这就更清楚地体现了数学教育思想的根本性转变，教育思想的转变决定了“解决问题”教学中的应用题教学应当采取与传统的数学教学不相同的一种新模式。转变教学观念是改进教学方法的前提，现在实施的小学数学教学大纲指出：“解决问题教学是培养学生解决简单的实际问题和发展思维的一个重要方面，要注意联系学生生活实际，引导学生分析数量关系，掌握解题思路。”“要充分发挥教师的主导作用和学生学习的积极性、主动性，要坚持启发式，反对注入式。”以此我们认为应用题教学
用比例知识解应用题简单拓 展,提高 -标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII
用比例知识解应用题及答案解答正、反比例应用题的步骤 （1）审题，找出题中相关联的量；（2）分析判断题相关的两个量是 （3）设未知数，列出比例式 （4）解比例式 （5）检验，写答句 2
例题分析 例1 在一幅比例尺是1：200 000的地图上，量得甲、乙两地相距20厘米。如果再另一幅地图上， 甲、乙两地相距10厘米， 另一幅地图的比例尺是？ 3
【分析解答】 题中的“图上距离”和“比例尺”这两种量发生了变化，只有甲乙两地的实际距离不变，可以先求出实际距离，再根据另一幅地图上甲乙两地的距离求出比例尺。 20÷ 1 200 000 =4 000 000（厘米） 10 4 000 000 =1 400 000 答：另一幅地图的比例尺是1:400 000 4
例2 在一块长45米、宽20米的长方形菜地里种黄瓜、辣椒、西红柿三种作物，黄瓜、辣椒、西红柿种植面积的比是5:7:8，黄瓜种植面积是多少平方米？ 【例题分析】 本题已知分配的比，但分配的总量没有直接告诉我们。通过已知长方形地的长和宽，可以算出要分配的总量即长方形的面积，把长方形的面积按照 5:7:8的比进行分配，其中黄瓜占总面积的 5 5+7+8。 长方形地面积：45×20=900（平方米） 黄瓜的种植面积是：900× 5 5+7+8 =225（平 方米） 答：黄瓜种植面积是225平方米。例3 5
6 甲、乙两地相距270千米，客车、货车两车同时分别从两地相向开出， 2.5小时相遇。 已知客车和货车每小时的速度比是5:4， 求客车每小时行多少千米？ 【例题分析】 要求客车每小时行多少千米，要先求出客、货车每小时的速度和，再把速度和按5:4的比进行分配。 客车、货车的速度和：270÷2.5=108（千米/时）， 客车的速度：108×55+4 =108×59 =60（千米/ 时） 列综合算式： 270÷2.5×55+4 =270÷2.5×59 =60（千米/时） 答：客车每小时行60千米。
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用比例知识解应用题及答案 解答正、反比例应用题的步骤 （1） 审题.找出题中相关连的量； （2） 分析判断题中相关的两个量是正比例关系还是反比例关系； （3） 设未知数.列出比例式 （4） 解比例式 （5） 检验.写答句 例题分析 例1 在一幅比例尺是1：200 000的地图上.量得甲、乙两地相距20厘米。如果再另一幅地图上. 甲、乙两地相距10厘米.另一幅地图的比例尺是？ 例2 【分析解答】 题中的“图上距离”和“比例尺”这两种量发生了变化.只有甲乙两地的实际距离不变.可以先求出实际距离.再根据另一幅地图上甲乙两地的距离求出比例尺。 20÷1200 000 =4 000 000（厘米） 104 000 000 =1400 000 答：另一幅地图的比例尺是1:400 000 例3 在一块长45米、宽20米的长方形菜地里种黄瓜、辣椒、西红柿三种作物.黄瓜、辣椒、西红 柿种植面积的比是5:7:8.黄瓜种植面积是多少平方米？ 例4 【例题分析】 本题已知分配的比.但分配的总量没有直接告诉我们。通过已知长方形地的长和宽.可以算出要 分配的总量即长方形的面积.把长方形的面积按照5:7:8的比进行分配.其中黄瓜占总面积的55+7+8 。 长方形地面积：45×20=900（平方米） 黄瓜的种植面积是：900×55+7+8 =225（平方米） 答：黄瓜种植面积是225平方米。 例5 甲、乙两地相距270千米.客车、货车两车同时分别从两地相向开出.2.5小时相遇。已知客车 和货车每小时的速度比是5:4.求客车每小时行多少千米？ 例6 【例题分析】 要求客车每小时行多少千米.要先求出客、货车每小时的速度和.再把速度和按5:4的比进行分配。 客车、货车的速度和：270÷2.5=108（千米/时）. 客车的速度：108×55+4 =108×59 =60（千米/时） 列综合算式：270÷2.5×55+4 =270÷2.5×59 =60（千米/时） 答：客车每小时行60千米。
用比例知识解答应用题 教学目的： 1．通过复习，使学生能够正确判断出应用题中所涉及的相关联的量成什么比例关系． 2．通过复习，能够使学生利用正反比例的意义正确、熟练的解答应用题． 3．通过复习，培养学生的分析能力、综合能力以及判断推理能力． 教学重点 通过复习，使学生能够利用正反比例的意义正确、熟练的解答应用题 教学难点 通过复习，使学生能够利用正反比例的意义正确、熟练的解答应用题． 教学过程一、复习准备． 下面每题中的两种量成什么比例关系？ （1）速度一定，路程和时间． （2）总价一定，每件物品的价格和所买的数量． （3）小朋友的年龄与身高． （4）正方体每一个面的面积和正方体的表面积． （5）被减数一定，减数和差． 谈话引入：我们今天运用正反比例的知识来解决实际问题． （板书：用比例知识解应用题） 二、探讨新知． （一）教学例5（用比例解答下题） 修一条公路，总长12千米，开工3天修了1.5千米．照这样计算，修完这条路还要多少天？ 1．学生读题，独立解答． 2．学生反馈：
3．分析： （1）为什么需要用正比例解答？ （2）12和要求的天数之间有什么关系？ 4．小结：我们在做题时，根据注意题目中的数量关系，不仅需要判定运用什么比例方法，而且还要注意找准题目中的对应关系． （二）反馈． 1．某车队运送一批救灾物品，原计划每小时行60千米，6.5小时到达灾区，实际每小时行了78千米．照这样计算，行完全程需要多少小时？ 2．大齿轮与小齿轮的齿数比为4∶3．大齿轮有36个齿，小齿轮有多少个齿？ 三、巩固反馈． 1．一张大纸，如果裁成长36厘米，宽26厘米的小纸张，可以裁成28张；如果裁成长18厘米，宽13厘米的小纸张，可以裁成多少张？ 2．某车间有男工25人，女工20人．如果男工增加15人，要想使男工和女工人数的比不发生变化，女工应该增加多少人？ 3．一项工程，10人去做24天可以完成；如果每人的工作效率不变，现在需要提前4天完成，需要多少人？ 4．两个底面半径相等的圆柱体，第一个圆柱的高是第二个圆柱高的．第二个圆柱的体积是60立方米，第一个圆柱体的体积是多少立方米？ 四、课堂总结． 通过这堂课的学习，你有什么收获？ 五、课后作业． 1．生产小组加工一批零件，原计划用14天，平均每天加工1500个零件．实际每天加工2100个零件．实际用了多少天就完成了任务？ 2．一个编织组，原来30人10天生产1500只花篮，现在增加到80人，按原来的工效，生产6000只花篮需要多少天？ 五、课后作业．
《用不同的知识解应用题》教学设计 西池学校景文霞 教学内容：人教版小学数学六年级下册总复习 教学目标： 1、进一步加深对应用题中数量关系的认识，能结合实际 情况，用不同的知识解决简单的实际问题。 2、通过实例使学生感受到数学来源于生活，生活离不开数学。 3、让学生在解决问题的过程中，获得成功的体验，发展实践能 力与创新精神。 教学重点： 1、用不同的知识解应用题。 2、灵活地自己选择最喜欢的方法解应用题。 教学难点：理解不同方法的解题思路以及它们的内在联系。 教学理念： 给学生提供了足够的思维时间和空间，使学生在解决问题的过程中，都能获得成功的体验。 教学准备：多媒体课件。 教学设计： 一、创设情景 1、谈话引入，设置问题。 星期天上午，王老师来了小明家，刚巧爸妈有事出去了。于是，
小明就做起了小主人，亲自招待王老师。 师：请客人坐下后，一般要干什么？(泡茶)对，这是待客的基 本礼仪。小明打算亲手配制一杯又香又浓的奶茶，来招待王老师。可王老师说自己喜欢喝牛奶和红茶比是2∶9的奶茶。 师：“牛奶和红茶比是2∶9”你从中得到了哪些信息？(课件出示) (1)观察、独立思考、解答。 (2)指名回答。(口述要完整) (3)其他同学指证或补充。 2、补充练习(课件出示我来做) (有困难的同桌合作完成，也可动笔写写) 二、自主探索、小组讨论、寻找不同解题方法。 1、配置奶茶。(课件出示)一杯奶茶220毫升。 师：小明应该各取牛奶和红茶多少？你知道吗？怎么想的？ (要求：能列式的请列式表示，并与同桌说说你的方法。) (1)同桌讨论。 (2)汇报结果。(同样解答的请举手。) (3)指名口述思路。 (4)由说出算式的同学验证思路的正确性，或发表不同的见解。 (有问题就抛给学生解答。教师不发表评论。) 2、选择最喜欢的方法说说。(课件出示)
用不同的方法解答应用题 胡彦会 应用题是小学数学的重点和难点，是学习上的“碉堡”。应用题看似难学，但是只要灵活运用知识的内在联系、迁移规律也是不难解决的。如用比的知识解答应用题，与根据分数的意义解答应用题，以及根据数量间的倍数关系解应用题，虽然方法不同，但是它们之间是可以互相转化的。因为当把两个数量中的一个作为标准量时，如果另一个数量是它的几倍，那么当把另一个数量作为标准量时，它就是另一个数量的几分之一。同时这两个数量也存在着比的关系。由此根据这些数量的转化、迁移就可以用不同方法来解答同一道应用题了。 例．学校试验田共种小麦和油菜6O公亩，小麦的面积是油菜的4倍，小麦、油菜各多少公亩？ 解法1：用倍数解答。 根据“小麦公亩数+油菜公亩数＝6O”及“小麦的面积是油菜的4倍”列方程。
解：设油菜x公亩，那么小麦为4x公亩。 x＋4x＝60 5x＝6O x＝12 4x＝12×4＝48 答：小麦48公亩，油菜12公亩。 解法2：用按比例分配来解答。 已知小麦的面积是油菜的4倍，则小麦的面积和油菜面积的比为4:1。 总面积平均分的份数为：1＋4＝5 小麦的面积：6O×＝48（公亩） 油菜的面积：6O×＝12（公亩） 解法3：用比例解答。 小麦的面积与总面积的比为4:5。 设：小麦的面积为公亩，则有x:60＝4:5。 解之x＝12 或：油菜面积与总面积的比为1:5。
设：油菜的面积为公亩，则有 x:60＝1: 5 解之x＝12 解法4：用分数解答。 小麦的面积与总面积的比为4:5，则说明小麦的面积占总面积的(比和分数相互转化），那么，就是求6O的是多少。 60×＝48（公亩） 或油菜面积与总面积的比为1:5，则说明油菜的面积占总面积的，那么就是求6O的是多少。 6O×＝12（公亩） 以上列出了四种解答方法，还有一些其它方法，但是不论用哪一种方法（倍数、按比例分配、比例、分数），它们之间都是有内在联系的，只要把握好了内在的联系，就可以用不同的方法解答应用题了。通过不同的方法，更加深人地理解题中的数量关系，以达到对应用题的理解和掌握的目的。 （作者单位：江苏省赣榆县青口镇中心小学）
用比例知识解答应用题 教学目标 1．复习正反比例的意义，练习判断两种相关联的量成正比例还是成反比例。掌握正、反比例应用题构题特征、解题步骤和解题方法。 2．探索解题规律，形成解题技能。 3．培养学生应用对比、判断和多角度思考问题的方法，进一步形成学生分析问题、解决问题的能力。 教学重点：使学生进一步掌握正、反比例应用题的解题思路和解题方法。 教学难点：提高学生解答问题的能力。（用正反比列两种方法解答） 教学过程： 一、揭示课题： 今天我和同学们共同来复习用正反比例知识来解答应用题。本节课主要是让同学们进一步掌握正、反比例应用题构题特征及其解题步骤和解题方法。 二、基本训练： 1、填空： 正比例关系用字母表示（）反比例关系用字母表示（）。2、判断下面每题中两种量是不是成比例，如果成比例，成什么比例关系。（1）长方形的面积一定，它的长与宽。（） （2）汽车行驶的速度一定，行驶的路程与行驶的时间。（） （3）一辆汽车从甲地开往乙地，行驶的时间和速度。（） （4）一本书的单价一定，售出的本数与总价。（） （5）时间一定，工作总量和工效。（） （6）人的体重和身高。（） 3、选择正确答案的字母填在括号里。 〈1〉李师傅5小时做80个零件，照这样计算，16小时可以做多少个零件？这题（） A.用正比例解 B.用反比例解 C.不能用比例解 〈2〉某农具厂要生产一批农具，原计划每天生产80件，25天完成，由于改
进技术，实际每天生产100件，实际多少天完成任务？这道题（）A. .用正比例解 B.用反比例解 C.不能用比例解 〈3〉装订一批书，计划每天装订1800本，40天完成，实际每天装订2000本，实际几天可以完成？解答时设实际X天可以完成。正确的列式是 （） A. 1800 X = 2000 × 40 B. 2000 X = 1800 ×40 三、针对性练习： 1、用正反比列两种方法解答下面各题： （1）、修一条公路，总长12千米，开工3天修了1.5千米。照这样计算，修完这条公路需要多少天？ （2）一辆汽车从甲地开往乙地，每小时行70千米，5小时到达。如果提前1小时到达，每小时需要行驶多少千米？（用正反比列两种方法解答） 2、多解对比，深化认知。 〈1〉大齿轮与小齿轮的齿数比是4 ：3，大齿轮有36个齿，小齿轮有多少个齿？ 〈2〉某车队运送一批救灾物资。原计划每小时行60千米，6.5小时到达灾区，实际每小时行了78千米。照这样计算，行完全程需要多少小时？ 〈3〉修一条长300米的公路，3天修75米。照这样计算，余下的要几天才能修完 〈4〉一项工程原计划42人工作，14天可以做完。现在要求提前2天完成，需要安排多少人？ 〈5〉一辆汽车从A地开往B 地，4小时行驶144千米，用同样的速度，再行3小时到达B地。A、B两地相距多少千米？ 四、课堂小结： 今天我们复习研究了正反比例应一、填空。(27分) (1)运一批粮食，卡车的载重量和所需要的次数如下表：