安徽省合肥市寿春中学2020-2021学年第一学期九年级数学期末考试 (1)

2020-2021学年安徽省合肥市九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）1．（4分）计算：tan45°的结果是（）A．B．1C．D．2．（4分）抛物线y＝﹣3x2+2的顶点坐标为（）A．（0，0）B．（﹣3，﹣2）C．（﹣3，2）D．（0，2）3．（4分）下列反比例函数图象的一个分支在第三象限的是（）A．B．C．D．4．（4分）在一张缩印出来的纸上，一个三角形的一条边由原图中的6cm变成了2cm，则缩印出的三角形的周长是原图中三角形周长的（）A．B．C．D．5．（4分）如图，双曲线y1＝与直线y2＝ax相交于A，B两点，点A的坐标为（2，m），若y1＜y2，则x的取值范围是（）A．x＞2或﹣1＜x＜0B．﹣2＜x＜0或0＜x＜2C．x＞2或﹣2＜x＜0D．x＜﹣2或0＜x＜26．（4分）某同学在利用描点法画二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象时，先取自变量x 的一些值，计算出相应的函数值y，如下表所示：x…01234…y…﹣30﹣103…接着，他在描点时发现，表格中有一组数据计算错误，他计算错误的一组数据是（）A．B．C．D．7．（4分）如图，△OAB与△OCD是以点O为位似中心的位似图形，相似比为1：2，∠OCD ＝90°，CO＝CD．若B（1，0），则点C的坐标为（）A．（1，1）B．（1，2）C．（，）D．（2，1）8．（4分）如图，乐器上的一根弦AB＝80cm，两个端点A，B固定在乐器板面上，支撑点C 是靠近点B的黄金分割点，支撑点D是靠近点A的黄金分割点，则C，D之间的距离为（）A．（40﹣40）cm B．（80﹣40）cmC．（120﹣40）cm D．（80﹣160）cm9．（4分）如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AC＝6，AB＝4，则BC的长是（）A．6B．2C．2D．910．（4分）已知函数y＝ax2+bx+c，当y＞0时，．则函数y＝cx2﹣bx+a的图象可能是下图中的（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）11．（5分）如果2x＝5y（y≠0），那么＝．12．（5分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，则sin A＝．13．（5分）已知二次函数y＝ax2﹣2x+1的图象与x轴只有一个公共点，则a的值是．14．（5分）如图，正方形ABCD中，点F在边AB上，且AF：FB＝1：2，AC与DF交于点N．（1）当AB＝4时，AN＝．：S四边形CNFB＝．（S表示面积）（2）S△ANF三．（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）15．（8分）计算：2cos245°+tan60°•tan30°﹣cos60°16．（8分）已知x与y成反比例，且当x＝﹣时，y＝（1）求y关于x的函数表达式；（2）当x＝﹣时，y的值是多少？四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）17．（8分）如图，a∥b∥c，直线m，n与直线a，b，c分别相交于点A，B，C和点D，E，F．若AB＝3，BC＝5，DE＝4，求EF的长．18．（8分）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC与△A'B'C'以点O为位似中心，且它们的顶点都为网格线的交点．（1）在图中画出点O（要保留画图痕迹），并直接写出：△ABC与△A'B'C'的位似比是．（2）请在此网格中，以点C为位似中心，再画一个△A1B1C，使它与△ABC的位似比等于2：1．五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）19．（10分）如图，旗杆AB竖立在斜坡CB的顶端，斜坡CB长为65米，坡度为i＝．小明从与点C相距115米的点D处向上爬12米到达建筑物DE的顶端点E．在此测得旗杆顶端点A的仰角为39°，求旗杆的高度AB．（参考数据：sin39°≈0.63，cos39°≈0.78，tan39°≈0.81）20．（10分）如图，在平面直角坐标系中，正比例函数y＝kx的图象与反比例函数y＝的图象经过点A（2，2）．（1）分别求这两个函数的表达式；（2）将直线OA向上平移3个单位长度后与y轴交于B，与反比例函数图象在第一象限内的交点为C，连接AB，AC，求点C的坐标及△ABC的面积；六、（本题满分12分）21．（12分）如图．在△ABC中．AB＝4，D是AB上的一点（不与点A，B重合），过点D 作DE∥BC，交AC于点E．连接DC，设△ABC的面积为S，△DEC的面积为S′．（1）当D是AB的中点时，直接写出＝．（2）若AD＝x，＝y，求y关于x的函数关系式以及自变量x的取值范围．七、（本题满分12分）22．（12分）网络直播销售已经成为一种热门的销售方式，某生产商在一销售平台上进行直播销售板栗．已知板栗的成本价为6元/kg，每日销售量y（kg）与销售单价x（元/kg）满足一次函数关系，下表记录的是有关数据，经销售发现，销售单价不低于成本价且不高于30元/kg．设公司销售板栗的日获利为w（元）．x（元/kg）789y（kg）430042004100（1）直接写出日销售量y与销售单价x之间的函数关系式为；（不用写自变量的取值范围）（2）当销售单价定为多少时，销售这种板栗日获利w最大？最大利润为多少元？（3）当销售单价在什么范围内时，日获利w不低于42000元？八．（本题满分14分）23．（14分）如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠C＝60°，E是边BC的中点，连接DE，AE．（1）直接写出DE的长为．（2）F为边CD上的一点，连接AF，交DE于点G，连接EF，若AF⊥EF．①求证：△AGE∽△DGF．②求DF的长．2020-2021学年安徽省合肥市九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）1．【分析】根据我们记忆的特殊角的三角函数值即可得出答案．【解答】解：tan45°＝1．故选：B．【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，属于基础题，一些特殊角的三角函数值是需要我们熟练记忆的内容．2．【分析】由抛物线顶点式y＝a（x﹣h）2+k的顶点坐标为（h，k），直接得到答案．【解答】解：抛物线y＝﹣3x2+2的顶点坐标为（0，2），故选：D．【点评】本题考查抛物线顶点坐标，解题的关键是掌握抛物线y＝a（x﹣h）2+k的顶点坐标为（h，k），题目较容易．3．【分析】当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小，依据反比例函数的性质进行判断即可．【解答】解：A．y＝图象位于第二、四象限，不合题意；B．y＝图象位于第一、三象限，符合题意；C．y＝图象不一定位于第一、三象限，不合题意；D．y＝图象位于第二、四象限，不合题意；故选：B．【点评】本题主要考查了反比例函数的性质与图象，反比例函数y＝（k≠0）的图象是双曲线；当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大．4．【分析】根据相似三角形的周长比等于相似比计算，得到答案．【解答】解：∵三角形的一条边由原图中的6cm变成了2cm，∴原三角形与缩印出的三角形是相似比为3：1，∴原三角形与缩印出的三角形的周长比为3：1，∴缩印出的三角形的周长是原图中三角形周长的，故选：A．【点评】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形的周长比等于相似比是解题的关键．5．【分析】根据反比例函数和正比例函数的对称性求得B（﹣2，﹣m），然后根据函数图象的上下位置关系结合交点的横坐标，即可得出不等式y1＜y2的解集．【解答】解：∵双曲线y1＝与直线y2＝ax相交于A，B两点，点的坐标为（2，m），∴B（﹣2，﹣m），又∵y1＜y2，∴x的取值范围是﹣2＜x＜0或x＞2．故选：C．【点评】本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题，数形结合是解答此题的关键．6．【分析】利用表中数据和二次函数的性质得到抛物线的对称轴为直线x＝2，则顶点坐标为（2，﹣1），于是可判断抛物线的开口向上，则x＝0和x＝4的函数值相等且大于0，然后可判断A选项错误．【解答】解：∵x＝1和x＝3时，y＝0；∴抛物线的对称轴为直线x＝2，∴顶点坐标为（2，﹣1），∴抛物线的开口向上，∴x＝0和x＝4的函数值相等且大于0，∴x＝0，y＝﹣3错误．故选：A．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．7．【分析】连接CB，根据位似变换的性质得到A为OC的中点，根据平行线的性质得到OB ＝OD，根据等腰直角三角形的性质计算即可．【解答】解：连接CB，∵△OAB与△OCD是以点O为位似中心的位似图形，相似比为1：2，∴A为OC的中点，∵∠OCD＝90°，∴∠OAB＝90°，∴AB∥CD，∴OB＝OD，∵∠OCD＝90°，CO＝CD，∴CB⊥OD，OB＝BC＝1，∴点C的坐标为（1，1），故选：A．【点评】本题考查的是位似变换的性质、等腰直角三角形的性质，两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形．8．【分析】根据黄金分割的概念和黄金比值求出AC＝BD＝40﹣40，进而得出答案．【解答】解：∵点C是靠近点B的黄金分割点，点D是靠近点A的黄金分割点，∴AC＝BD＝80×＝40﹣40，∴CD＝BD﹣（AB﹣BD）＝2BD﹣AB＝80﹣160，故选：D．【点评】此题考查了黄金分割点的概念：把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，它们的比值叫做黄金比．9．【分析】作CD⊥AB，根据直角三角形的性质求出AD，根据勾股定理求出CD，根据勾股定理计算，得到答案．【解答】解：过点C作CD⊥AB，交BA的延长线于点D，∵∠BAC＝120°，∴∠DAC＝180°﹣120°＝60°，∴∠ACD＝30°，∴AD＝AC＝3，∴BD＝AB+AD＝7，由勾股定理得，CD＝＝3，在Rt△BCD中，BC＝＝2，故选：B．【点评】本题考查的是解直角三角形，掌握含30°的直角三角形的性质、勾股定理是解题的关键．10．【分析】当y＞0时，，所以可判断a＜0，可知﹣＝﹣+＝﹣，＝﹣×＝﹣，所以可知a＝6b，a＝﹣6c，则b＝﹣c，不妨设c＝1进而得出解析式，找出符合要求的答案．【解答】解：因为函数y＝ax2+bx+c，当y＞0时，所以可判断a＜0，可知﹣＝﹣+＝﹣，＝﹣×＝﹣所以可知a＝6b，a＝﹣6c，则b＝﹣c，不妨设c＝1则函数y＝cx2﹣bx+a为函数y＝x2+x﹣6即y＝（x﹣2）（x+3）则可判断与x轴的交点坐标是（2，0），（﹣3，0），故选：A．【点评】要考查了从图象上把握有用的条件，准确选择数量关系解得a，b，c的值．从条件可判断出a＜0，可知﹣＝﹣，＝﹣；所以可知a＝﹣6，b＝﹣1，c＝1，从而可判断后一个函数图象．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）11．【分析】根据比例的性质直接求解即可．【解答】解：∵2x＝5y（y≠0），∴＝．故答案为：．【点评】此题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．12．【分析】根据题意画出图形，进而利用勾股定理得出AB的长，再利用锐角三角函数关系，即可得出答案．【解答】解：如图所示：∵∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，∴AB＝＝13，∴sin A＝．故答案为：．【点评】此题主要考查了锐角三角三角函数关系以及勾股定理，得出AB的长是解题关键．13．【分析】由抛物线y＝ax2+bx+c与x轴只有一个公共点，得到b2﹣4ac＝0，即可求出a 的值．【解答】解：∵二次函数y＝ax2﹣2x+1的图象与x轴只有一个公共点，∴b2﹣4ac＝4﹣4a＝0，∴a＝1，故答案为1．【点评】本题考查了抛物线和x轴的交点问题．关键是根据抛物线与x轴只有一个公共点，得到a的方程．14．【分析】（1）根据正方形的性质得到AB∥CD，从而推出△AFN∽△CDN，利用相似三角形的性质得到，结合图形根据线段之间的和差关系推出＝，进而根据正方形的性质、线段之间的和差关系和比例关系求解即可；＝9S△AFN，根据线段的比例关系推出S△ADN＝3S （2）根据相似三角形的性质推出S△CDN，从而结合图形推出S四边形CNFB＝11S△AFN，进行求解即可．△AFN【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴△AFN∽△CDN，∴，∵AF：FB＝1：2，AF+BF＝AB，∴AF：AB＝1：3，∴＝，∵AB＝4，AC是正方形ABCD的对角线，∴AC＝4，又AN+CN＝AC，∴AN＝AC＝，故答案为：；（2）由（1）得△AFN∽△CDN，且AN：CN＝1：3，：S△CDN＝1：9，∴S△AFN＝9S△AFN，∴S△CDN又FN：DN＝1：3，：S△ADN＝1：3，∴S△AFN＝3S△AFN，∴S△ADN＝S△ADC＝S△CDN+S△ADN＝12S△AFN，∴S△ABC＝S△ABC﹣S△AFN＝11S△AFN，∴S四边形CNFB：S四边形CNFB＝1：11，∴S△ANF故答案为：1：11．【点评】本题考查相似三角形的判定与性质及正方形的性质，应充分利用数形结合思想方法，根据正方形的性质得到判定相似三角形的条件，再利用相似三角形的性质及各图形面积之间的关系进行求解．三．（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）15．【分析】把特殊角的三角函数值代入计算，得到答案．【解答】解：原式＝2×（）2+×﹣＝1+1﹣＝．【点评】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．16．【分析】（1）设xy＝k（k为常数，k≠0），把x与y的值代入求出k的值，即可确定出解析式；（2）把x的值代入解析式求出y的值即可．【解答】解：（1）∵x与y成反比例，∴可设xy＝k（k为常数，k≠0），∵当x＝﹣时，y＝，∴解得k＝﹣1，所以y关于x的表达式y＝﹣；（2）当x＝﹣时，y＝．【点评】此题考查了待定系数法求反比例解析式，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）17．【分析】根据平行线分线段成比例定理，列出比例式求解即可得到答案．【解答】解：∵a∥b∥c，∴，即，解得：EF＝．【点评】此题考查了平行线分线段成比例定理的运用，熟练利用平行线分线段成比例定理是解题关键．18．【分析】（1）直接利用位似图形的性质得出位似中心的位置；（2）直接利用位似比得出对应点位置进而得出答案．【解答】解：（1）如图所示：点O即为所求，△ABC与△A'B'C'的位似比是：1；2；故答案为：1：2；（2）如图所示：△A1B1C即为所求．【点评】此题主要考查了位似变换，正确得出对应点位置是解题关键．五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）19．【分析】过点B作BF⊥CD，垂足为F，过点E作EG⊥BF，垂足为G，通过作高，构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系和坡度即可求出答案．【解答】解：过点B作BF⊥CD，垂足为F，过点E作EG⊥BF，垂足为G，在Rt△BCF中，由斜坡BC的坡度i＝，得，＝,∵BC＝65米，设BF＝12x（米），FC＝5x（米），由勾股定理得，（12x）2+（5x）2＝652，∴x＝5，∴BF＝60米，FC＝25米，∵DC＝115米，∴DF＝DC﹣FC＝115﹣25＝90（米）＝EG，在Rt△AEG中，AG＝EG•tan39°≈90×0.81＝72.9（米），∴AB＝AG+FG﹣BF＝72.9+12﹣60＝24.9（米），答：旗杆的高度AB为24.9米．【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角、坡度坡角问题，理解坡度、仰角和直角三角形的边角关系是解决问题的关键．20．【分析】（1）把A点坐标分别代入y＝kx和y＝中分别求出k、m即可；（2）利用直线平移的规律得到直线BC的解析式为y＝x+3，则B（0，3）再解方程组＝S△OBC进行计算．得点C的坐标为（1，4）；连接OC，根据三角形面积公式，利用S△ABC【解答】解：（1）把A（2，2）代入y＝kx得2k＝2，解得k＝1；把A（2，2）代入y＝得m＝2×2＝4，∴正比例函数的解析式为y＝x；反比例函数的解析式为y＝；（2）直线y＝x向上平移3的单位得到直线BC的解析式为y＝x+3，当x＝0时，y＝x+3＝3，则B（0，3），解方程组得或，∴点C的坐标为（1，4）；连接OC，S△ABC＝S△OBC＝×3×1＝．【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．六、（本题满分12分）21．【分析】（1）先根据DE∥BC推△ADE∽△ABC，再进一步推＝，再根＝S△CED，等量代换最后求出；据△ADE与△CED等底同高，求S△ADE（2）求＝＝①，再求＝②，①÷②得最后结果．【解答】解：（1）∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴＝，∵D是AB的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴＝，AE＝EC∴＝，∵△ADE与△CED等底同高，＝S△CED，∴S△ADE∵设△ABC的面积为S，△DEC的面积为S′，∴＝．故答案为：．（2）∵AB＝4，AD＝x，DE∥BC，∴△ADE∽△ABC∴＝＝①，＝，∴＝，∵△ADE与△CED，AE、EC边同高，∴＝②，∴①÷②得，∵设△ABC的面积为S，△DEC的面积为S′，＝y，∴y＝﹣x2+x，∵AB＝4，∴自变量x的取值范围是0＜x＜4．【点评】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，三角形面积求法，掌握判定和性质的熟练应用是解题关键．七、（本题满分12分）22．【分析】（1）用待定系数法求解即可；（2）由题意可得w关于x的二次函数，将其写成顶点式，然后根据二次函数的性质可得答案；（3）由题意可得w关于x的一元二次方程，求得方程的根，再结合x的取值范围，可得答案．【解答】解：（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），把x＝7，y＝4300和x＝8，y＝4200代入得：，解得：，∴日销售量y与销售单价x之间的函数关系式为y＝﹣100x+5000；（2）由题意得：w＝（x﹣6）（﹣100x+5000）＝﹣100x2+5600x﹣30000＝﹣100（x﹣28）2+48400，∵a＝﹣100＜0，对称轴为直线x＝28．∴当x＝28时，w有最大值为48400元．∴当销售单价定为28元时，销售这种板栗日获利w最大，最大利润为48400元；（3）当w＝42000元时，有：42000＝﹣100（x﹣28）2+48400，∴x1＝20，x2＝36，∵a＝﹣100＜0，∴当20≤x≤36时，w≥42000，又∵6≤x≤30，∴当20≤x≤30时，日获利w不低于42000元．【点评】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，理清题中的数量关系并熟练掌握待定系数法、二次函数的性质及二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键．八．（本题满分14分）23．【分析】（1）由菱形性质可得△BCD为等边三角形，DE⊥BC，再由三角函数可得sin C＝＝＝，得DE＝3；（2）①先证明△AGD∽△EGF，得，又∠AGE＝∠DGF，可证明△AGE∽△DGF；②如图，过点E作EH⊥CD于点H，在直角三角形ADE中可由勾股定理得AE＝，EF＝＝，在直角三角形ECH中可得CH＝＝＝，EH＝，在直角三角形EFH中，由勾股定理可得FH＝＝，从而CF＝+＝，故DF＝CD﹣CF＝．【解答】解：（1）连接BD，由于四边形ABCD为菱形，∠C＝60°，∴△BCD为等边三角形，又E为BC中点，∴DE⊥BC，∠DEC＝90°，∴sin C＝＝＝，解得DE＝3．故答案为：3．（2）①证明：∵AD∥BC，∴∠ADG＝∠DGC＝90°，∴∠ADG＝∠GFE＝90°，又∠AGD＝∠EGF，∴△AGD∽△EGF，∴，∵∠AGE＝∠DGF，∴△AGE∽△DGF．②如图，过点E作EH⊥CD于点H，∵△AGE∽△DGF，∴∠EAG＝∠FDG＝30°，∵∠GFE＝∠ADG＝90°，在直角三角形ADE中，由勾股定理可得：AE＝＝＝，∴EF＝＝，在直角三角形ECH中，∠CEH＝30°，∴CH＝＝＝，EH＝，在直角三角形EFH中，由勾股定理可得：FH＝＝＝，∴CF＝+＝，∴DF＝CD﹣CF＝．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、菱形的性质、勾股定理、等边三角形的判定与性质，锐角三角函数，综合性较强，学会综合运用这些知识解题是关键．。

2021-2022学年合肥市包河区滨湖寿春中学九年级（上）期末数学试卷一、选择题：1．下列图标中，是中心对称图形的是（）A．B．C．D．2．已知a＝3，b＝27，c是a，b的比例中项，那么c为（）A．10B．9C．﹣9D．±93．如图，在⊙O中，半径OC⊥AB于点H，若∠OAB＝40°，则∠ABC的度数等于（）A．20°B．25°C．30°D．35°4．如图，点P在△ABC的边AC上，下列条件中不能判断△ABP∽△ACB的是（）A．∠ABP＝∠C B．∠APB＝∠ABC C．＝D．＝5．如图，在平面直角坐标系中，已知点E（﹣3，2），F（﹣1，﹣1），以原点O为位似中心，把△EFO扩大到原来的2倍，则点E的对应点E′的坐标为（）A．（6，4）B．（﹣6，4）或（6，﹣4）C．（6，4）或（﹣6，﹣4）D．（6，﹣4）6．如图，△ABC中，DE∥BC，面积S△ADE＝S梯形DBCE，则DE：BC＝（）A．B．C．D．7．如图要测量小河两岸相对的两点P，A的距离，点P位于点A正北方向，点C位于点A 的北偏西46°，若测得PC＝50米，则小河宽P A为（）A．50sin44°米B．50cos44°米C．50tan44°米D．50tan46°米8．如图，将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C在格点上，则∠A 正切值是（）A．B．C．2D．9．如图所示，直径为3a的⊙A经过点C（0，a）和点O（0，0）、B是y轴右侧⊙A优弧上一点，则cos∠OBC为（）A．B．C．D．10．如图，已知△ABC中，∠AED＝∠ACE，且D、E分别为AC、AB的中点，则AC：AB 的值为（）A．1：2B．2：3C．：2D．（﹣1）：2二、填空题；11．若sin（x﹣20°）＝，则x＝．12．如图，△ODC是由△OAB绕点O顺时针旋转40°后得到的图形，若点D恰好落在AB 上，且∠AOC＝98°，则∠C的度数为．13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是斜边AB的中点，DE⊥AC，垂足为E，若DE＝2，CD＝，则sin∠DEB的值为．14．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4，P是矩形内部一动点，且满足∠BCP＝∠PDC，则线段BP的最小值是；当BP取最小值时，DP延长线交线段BC于E，则CE 的长为．三、解答题：15．计算：2sin230°﹣﹣（tan30°﹣1）．16．如图，方格纸中的每格都是边长为1的正方形，将△ABC（顶点都是正方形的顶点）绕点O按逆时针方向旋转90°得到△A1B1C1．（1）在所给的图形中画出△A1B1C1；（2）以O、B、A、A1为顶点的四边形的面积为．17．如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，E、D分别是BC、AC上的点，且∠AED ＝45°，若AB＝5，BE＝，求AD长．18．如图，AB是圆O的直径，点C、D为圆O上的点，满足：点C是弧AD的中点，AD 交OC于点E．已知AD＝8，EC＝2．（1）求圆O的半径；（2）过点C作AB的平行线交弦AD于点F，求线段EF的长．19．如图，E为▱ABCD的边CD延长线上的一点，连结BE交AC于点O，交AD点F．（1）求证：△AOB∽△COE；（2）求证：BO2＝EO•FO．20．“蛟龙号”载人潜水器是中国探索深蓝的利器．如图，在某次任务中，当蛟龙号下潜到点B处时，科研人员在海面的观察点A测得点B的俯角为60°，当蛟龙号继续垂直下潜2千米到达海底C处时，在观察点A测得点C的俯角为75.97°，求点C到海面的深度．（结果精确到0.1千米）参考数据：≈1.73，sin75.97°＝0.97，cos75.97°≈0.24，tan75.97°≈4.0021．如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，AB＝6，BC＝4，tan A＝，求AD的长．22．在△ABC中，AC＝AB，∠BAC＝α，D为线段AB上的动点，连接DC，将DC绕点D 顺时针旋转α得到DE，连接CE，BE．（1）如图1，当α＝60°时，求证：△CAD≌△CBE；（2）如图2，当AD＝15，sinα＝时，求BE．23．如图（1），BC是⊙O的直径，点D、F是⊙O上的点，连接CD、BF并延长交于A点，且AD＝2CD＝8，AF＝3BF．（1）求证：△AFD∽△ACB（2）求：cos∠ADF（3）如图（2），若点E是弧BC的中点，连接BE，DE．求：EG•EF．2021-2022学年安徽省合肥市包河区滨湖寿春中学九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：1．【分析】根据中心对称图形的概念，把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，进行判断即可．【解答】解：A．不是中心对称图形，故此选项不合题意；B．是中心对称图形，故此选项符合题意；C．不是中心对称图形，故此选项不合题意；D．不是中心对称图形，故此选项不合题意．故选：B．【点评】本题考查的是中心对称图形的概念，正确掌握相关定义是解题关键．2．【分析】根据线段比例中项的概念a：c＝c：b，可得c2＝ab＝81，即可求出c的值．【解答】解：∵c是a、b的比例中项，∴c2＝ab＝3×27＝81，解得：c＝±9．故选：D．【点评】此题考查了比例中项，掌握比例中项的定义是解题的关键．3．【分析】根据垂直求出∠AHO＝90°，根据直角三角形的两锐角互余求出∠AOC，根据圆周角定理得出∠ABC＝AOC，代入求出答案即可．【解答】解：∵OC⊥AB，∴∠AHO＝90°，∵∠OAB＝40°，∴∠AOC＝90°﹣∠OAB＝90°﹣40°＝50°，∴∠ABC＝∠AOC＝50°＝25°，故选：B．【点评】本题考查了垂直定义，圆周角定理和直角三角形的性质，能根据圆周角定理得出∠ABC＝AOC是解此题的关键．4．【分析】根据相似三角形的判定定理（①有两角分别相等的两三角形相似，②有两边的比相等，并且它们的夹角也相等的两三角形相似）逐个进行判断即可．【解答】解：A、∵∠A＝∠A，∠ABP＝∠C，∴△ABP∽△ACB，故本选项错误；B、∵∠A＝∠A，∠APB＝∠ABC，∴△ABP∽△ACB，故本选项错误；C、∵∠A＝∠A，＝，∴△ABP∽△ACB．故故本选项错误．D、正确．不能判定△ABP∽△ACB．故选：D．【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，熟练运用所学知识是解题的关键，属于基础题，中考常考题型．5．【分析】根据在平面直角坐标系中，位似变换的性质计算即可．【解答】解：∵以原点O为位似中心，把△EFO扩大到原来的2倍，点E（﹣3，2），∴点E的对应点E'的坐标为（﹣3×2，2×2）或（3×2，﹣2×2），即（﹣6，4），（6，﹣4），故选：B．【点评】本题考查的是位似变换的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k．6．【分析】根据相似三角形的性质，由已知可证S△ADE：S△ABC＝1：2，所以相似比是，故DE：BC＝．【解答】解：根据题意，S△ADE＝S梯形DBCE则S△ADE：S△ABC＝1：2∵DE∥BC则△ADE∽△ABC设相似比是k则面积的比是k2＝1：2因而相似比是∴DE：BC＝．故选：B．【点评】本题主要考查了相似三角形的性质，相似三角形面积的比等于相似比的平方．7．【分析】在直角三角形APC中根据∠PCA的正切函数可求小河宽P A的长度．【解答】解：∵P A⊥PB，∴∠APC＝90°，∵∠A＝46°，∴∠PCA＝90°﹣46°＝44°，∵PC＝50米，∠PCA＝44°，∴tan44°＝，∴小河宽P A＝PC tan∠PCA＝50•tan44°（米）．故选：C．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解直角三角形的一般过程是：①将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题）．②根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化得到实际问题的答案．8．【分析】取格点D，E，连接BD，可得∠ADB＝90°，再由勾股定理求得线段AD、AB 的长，然后由锐角三角函数定义求解即可．【解答】解：取格点D，E，连接BD，如图，∵∠ADE＝∠BDE＝45°，∴∠ADB＝90°，由勾股定理得：AD＝＝2，BD＝＝，∴tan A＝＝＝，故选：D．【点评】本题主要考查了解直角三角形．利用网格的特点巧妙构造直角三角形是解题的关键．9．【分析】设⊙A交x轴于D点，连接CD，如图，根据圆周角定理得到CD为⊙A的直径，∠OBC＝∠ODC，再利用勾股定理计算出OD＝2a，然后根据余弦的定义求出cos∠OCD＝，从而得到cos∠OBC的值．【解答】解：设⊙A交x轴于D点，连接CD，如图，∵∠COD＝90°，∴CD为⊙A的直径，即CD＝3a，∵点C（0，a），∴OC＝a，∴OD＝＝2a，∴cos∠OCD＝＝＝，∵∠OBC＝∠ODC，∴cos∠OBC＝．故选：A．【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半；半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了解直角三角形．10．【分析】证明△AED∽△ACE，根据相似三角形的性质得到AB＝2x，计算即可．【解答】解：设AD＝x，∵D为AC的中点，∴AC＝2x，∵∠AED＝∠ACE，∠A＝∠A，∴△AED∽△ACE，∴＝，即＝，解得：AE＝x，∴AB＝2x，则＝＝，故选：C．【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判断定理是解题的关键．二、填空题；11．【分析】根据特殊角的三角函数值，进行计算即可解答．【解答】解：∵sin（x﹣20°）＝，∴x﹣20°＝60°，∴x＝80°，故答案为：80°．【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．12．【分析】先根据∠AOC的度数和∠BOC的度数，可得∠AOB的度数，再根据△AOD中，AO＝DO，可得∠A的度数，进而得出△ABO中∠B的度数，可得∠C的度数．【解答】解：∵∠AOC＝98°，由旋转可得∠AOD＝∠BOC＝40°，∴∠AOB＝98°﹣40°＝58°，∵△AOD中，AO＝DO，∴∠A＝（180°﹣40°）＝70°，∴△ABO中，∠B＝180°﹣70°﹣58°＝52°，由旋转可得，∠C＝∠B＝52°，故答案为：52°．【点评】本题考查旋转的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用旋转的性质解答．13．【分析】由直角三角形的性质可得AB＝2CD＝2，通过DE⊥AC，可得，可求BC的长，在Rt△BCE中，利用勾股定理可求解．【解答】解：∵∠ACB＝90°，D是AB的中点，∴，∴，∵DE⊥BC，∴DE∥BC，∴DE是△ABC的中位线，∴BC＝2DE＝4，∴＝＝6，∴，∴＝＝5，∵∠DEB＝∠CBE，∴，故答案为：．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质等知识，求出BC的长是解题的关键．14．【分析】通过辅助圆找到点P的位置，即可解决问题．【解答】解：（1）∵四边形ABCD矩形，∴∠BCD＝90°，∴∠BCP+∠DCP＝90°，∵∠BCP＝∠PDC，∴∠PDC+∠PCD＝90°，∴∠CPD＝90°，以CD为直径作⊙O，⊙O经过点P，连接OB，交⊙O于P，此时PB长最小．∵OB2＝BC2+CO2＝42+32，∴OB＝5，∴PB＝OB﹣OP＝5﹣3＝2，（2）作OF∥BC交DE于F，∵OC＝OD，∴DF＝EF，∴OF＝CE，∵＝，∴＝，∴CE＝3．故答案为：2；3．【点评】本题考查几何中的最值问题，关键是通过辅助圆得到PB最小时的点P．三、解答题：15．【分析】直接利用特殊角的三角函数值代入，进而计算得出答案．【解答】解：原式＝2×（）2﹣﹣（﹣1）＝2×﹣﹣+1＝﹣﹣+1＝﹣+1．【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．16．【分析】（1）根据旋转的性质作图即可．（2）利用割补法求四边形的面积即可．【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求．（2）∵OA＝OA1＝＝，∠AOA1＝90°，∴＝＝，∵S△AOB＝＝，∴四边形OBAA1的面积为+S△AOB＝＝22．故答案为：22．【点评】本题考查作图﹣旋转变换、四边形的面积、勾股定理，熟练掌握旋转的性质以及勾股定理是解答本题的关键．17．【分析】由直角三角形的性质求出BC＝5，EC＝4，证明△ABE∽△ECD，由相似三角形的性质求出CD的长，则可求出AD的长．【解答】解：在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝5，∴BC＝AB＝5，∵BE＝，∴EC＝4，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠B＝∠C＝45°，∵∠AEC＝∠B+∠BAE＝∠AED+∠CED，∠AED＝45°，∴∠BAE＝∠CED，∴△ABE∽△ECD，∴，∴，∴CD＝，∴AD＝AC﹣CD＝5﹣＝．【点评】本题考查了等腰三角形性质，相似三角形的性质和判定，熟练掌握相似三角形相应的边长成比例是解决问题的关键．18．【分析】（1）先根据垂径定理的推论得到OC⊥AD，AE＝DE＝4，设⊙O的半径为r，则OE＝r﹣2，利用勾股定理得到（r﹣2）2+42＝r2，然后解方程即可；（2）根据平行线分线段成比例定得到EF：AE＝CE：OE，然后利用比例的性质可求出EF的长．【解答】解：（1）∵点C是弧AD的中点，∴OC⊥AD，∴AE＝DE＝AD＝4，设⊙O的半径为r，则OE＝r﹣2，在Rt△AOE中，（r﹣2）2+42＝r2，解得r＝5，即圆O的半径为5；（2）∵CF∥AB，∴EF：AE＝CE：OE，即EF：4＝2：3，解得EF＝，即线段EF的长为．【点评】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．推论：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．也考查了平行线分线段成比例定理．19．【分析】（1）由题意可直接得到结论；（2）由相似三角形的性质可得，通过证明△AOF∽△COB，可得，可得结论．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴△AOB∽△COE；（2）∵△AOB∽△COE，∴，∵AD∥BC，∴△AOF∽△COB．∴，∴，即OB2＝OF•OE．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，证明三角形相似是解题的关键．20．【分析】延长CB，交AE于点D，设BD＝x千米，则CD＝（x+2）千米，在Rt△ABD 中，tan60°＝＝，解得AD＝，在Rt△ACD中，tan75.97°＝≈4.00，求出x的值，即可得出答案．【解答】解：延长CB，交AE于点D，由题意得，∠DAB＝60°，∠DAC＝75.97°，∠ADC＝90°，BC＝2千米，设BD＝x千米，则CD＝（x+2）千米，在Rt△ABD中，tan60°＝＝，解得AD＝，在Rt△ACD中，tan75.97°＝≈4.00，解得x≈1.5，经检验，x≈1.5是原方程的解且符合题意，∴CD≈3.5千米．∴点C到海面的深度约为3.5千米．【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键．21．【分析】方法1：如图，延长AD与BC交于点E，在直角△ABE中利用三角函数求得BE，利用勾股定理求得AE，然后在直角△CDE中利用三角函数的定义求出DE，代入AD＝AE﹣DE计算即可．方法2：如图，过D点作MN⊥BC，交BC的延长线于N，过A点作AM⊥MN于M，则∠ADM＝∠BAD，∠DCN＝∠BAD，根据正切的定义可得tan∠ADM＝＝，tan∠DCN＝＝，设AM＝4a，则DM＝3a，设DN＝4b，则CN＝3b，可得MN＝3a+4b，BN＝4+3b，可得方程组，解方程组得．根据勾股定理可求AD的长为．【解答】解：方法1：如图，延长AD与BC交于点E．在直角△ABE中，tan A＝＝，AB＝6，∴BE＝8，∴AE＝＝10，EC＝BE﹣BC＝8﹣4＝4．在△ABE与△CDE中，∠B＝∠CDE＝90°，∠E＝∠E，∴∠DCE＝∠A．∴tan∠DCE＝tan A＝＝，∴设DE＝4x，则CD＝3x，在直角△CDE中，EC2＝DE2+CD2，∴42＝（4x）2+（3x）2，解得：x＝（负值舍去），∴DE＝，∴AD＝AE﹣DE＝10﹣＝．即AD的长为．方法2：如图，过D点作MN⊥BC，交BC的延长线于N，过A点作AM⊥MN于M，则∠ADM＝∠BAD，∠DCN＝∠BAD，∴tan∠ADM＝＝，tan∠DCN＝＝，设AM＝4a，则DM＝3a，设DN＝4b，则CN＝3b，∴MN＝3a+4b，BN＝4+3b，∴，解得．∴AD＝5a＝．即AD的长为．【点评】本题考查了解直角三角形，勾股定理，锐角三角函数定义，准确作出辅助线，构造直角三角形进而求出AE与DE的长是解题的关键．22．【分析】（1）首先证明△ACB，△CDE都是等边三角形，再根据SAS证明三角形全等即可．（2）过点C作CK⊥AB于K．证明△ACB∽△DCE，得出，证明△ACD∽△BCE，由相似三角形的性质得出，则可得出答案．【解答】（1）证明：如图（1），∵α＝60°，AC＝AB，∴△ABC是等边三角形，∴CA＝CB，∠ACB＝60°，∵将DC绕点D顺时针旋转α得到DE，∴DC＝DE，∠CDE＝60°，∴△CDE是等边三角形，∴CD＝CE，∠DCE＝∠ACB＝60°，∴∠ACD＝∠BCE，∴△CAD≌△CBE（SAS）．（2）解：过点C作CK⊥AB于K．∵sinα＝，∴可以假设CK＝3k，AC＝5k，则AK＝4k，AC＝AB＝5k，∴BK＝AB﹣AK＝k，∴BC＝＝k，∵∠A＝∠CDE，AC＝AB，CD＝DE，∴∠ACB＝∠ABC＝∠DCE＝∠DEC，∴△ACB∽△DCE，∴，∴，∵∠ACB＝∠DCE，∴∠ACD＝∠BCE，∴△ACD∽△BCE，∴，∵AD＝15，∴，∴BE＝3．【点评】本题考查了旋转变换，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．23．【分析】（1）根据圆内接四边形的外角等于内对角得出∠C＝∠AFD即可得证；（2）连接CF，根据∠ADF＝∠B，利用比例关系和勾股定理求出CF和BC即可得出；（3）证△EBG∽△EFB，得出EG•EF＝EB2，再利用等腰直角三角形得出EB2的值即可．【解答】解：（1）∵四边形BCDF是圆O的内接四边形，∴∠C＝∠AFD，又∵∠A＝∠A，∴△AFD∽△ACB；（2）连接CF，∵BC是⊙O的直径，∴∠BFC＝90°，由（1）知△AFD∽△ACB，∴，∵AD＝2CD＝8，∴CD＝4，∴AC＝AD+CD＝12，∵AF＝3BF，∴AB＝AF+BF＝3BF+BF＝4BF，即，∴BF＝2，∴AF＝6，在Rt△ACF中，CF＝＝＝6，在Rt△BCF中，BC＝＝＝4，∴cos∠ADF＝cos∠B＝＝＝；（3）如下图：∵E是弧BC的中点，∴，∴∠BFE＝∠CBE，又∵∠GEB＝∠BEF，∴△EBG∽△EFB，∴，即EG•EF＝BE2，∵，∴BE＝CE，∵BE2+CE2＝BC2即2BE2＝BC2，∴BE2＝BC2＝×（4）2＝40，∴EG•EF＝40．【点评】本题主要考查圆的综合知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．。

2020-2021学年合肥市庐阳区寿春中学九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.下列四个立体图形中，其主视图是轴对称图形但不是中心对称图形的是()A. B. C. D.2.把抛物线y=x2+4先向左平移1个单位，再向下平移3个单位，所得的抛物线表达式为()A. y=(x+1)2+7B. y=(x−1)2+7C. y=(x−1)2+1D. y=(x+1)2+13.已知反比例函数y=k−1，当x>0时，y随x的增大而增大，则k的取值范围是()xA. k>1B. k>−1C. k≤1D. k<14.如图，锐角△ABC内接于⊙O，AO=3，AC=4，则tanB=()A. 2√55B. √52C. 43D. √1345.如图，BC是△ABC外接圆⊙O的直径，∠ABC的平分线BD交⊙O于点E，过点E作AB的垂线交BA，则△COG与△BGF的面积的延长线于点F，连结OF，交BD于点G，连结CG，若cos∠ACB=45之比为()A. 35B. 56C. 58D. 456.如图，AB//CD，AOOD =23，则△AOB的周长与△DOC的周长比是()A. 25B. 32C. 49D. 237.如图，在▱ABCD中，点E在CD边上，连BE，交对角线AC于点F，则下列等式中错误的是()A. CEAB =CFAFB. EFBE =CFACC. BFEF =AFCFD. DECE =AFCF8.如图所示，四边形ABCD内接于⊙O，∠BOD=140°，则∠BCD等于()A. 140°B. 110°C. 70°D. 20°9.点(4,3)经过某种图形变换后得到点B(4,−3)，这种图形变换可以是()A. 关于x轴对称B. 关于y轴对称C. 绕原点逆时针旋转90°D. 绕原点顺时针旋转90°10. 如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点H ，∠A =30°，CD =4√3，则⊙O 的直径的长为( ) A. 2B. 4C. 6D. 8二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）11. 若3 =4，则．12. 如图，某抛物线的对称轴为直线x =2，点E 是该抛物线顶点，抛物线与y 轴交于点C ，过点C 作CD//x 轴，与抛物线交于点B ，与对称轴交于点D ，点A 是对称轴上一点，连结AC 、AB ，若△ABC 是等边三角形，则图中阴影部分图形的面积之和是______ ．13.14. 如图设计一张折叠型方桌子，若AO =BO =50cm ，CO =DO =30cm ，将桌子放平后，要使AB距离地面的高为40cm ，则两条桌腿需要叉开的∠AOB 应为______．三、解答题（本大题共9小题，共90.0分）15. 计算：(1)√25−√−273+√14(2)|1−√2|+|√2−√3|．16.若函数y=(m2−1)x m2−m+(m−1)x+1．(1)当m为何值时，该函数为二次函数？(2)该函数可能为反比例函数吗？为什么？17.如图所示，正方形网格中，ABC为格点三角形(即三角形的顶点都在格点上)．(1)把ABC沿BA方向平移后，点A移到点A1，在网格中画出平移后得到的△A1B1C1；(2)把△A1B1C1绕点A1按逆时针旋转90°，在网格中画出旋转后的△A1B2C2．18.均衡化验收以来，乐陵每个学校都高楼林立，校园环境美如画，软件、硬件等设施齐全，小明想要测量学校食堂和食堂正前方一棵树的高度，他从食堂楼底M处出发，向前走6米到达A处，测得树顶端E的仰角为30°，他又继续走下台阶到达C处，测得树的顶端的仰角是60°，再继续向前走到大树底D处，测得食堂楼顶N的仰角为45°，已如A点离地面的高度AB=4米，∠BCA=30°，且B、C、D三点在同一直线上．(1)求树DE的高度；(2)求食堂MN的高度．19.如图，Rt△ABO的顶点A是双曲线y=k与直线y=−x−(k+1)在第x二象限的交点．AB⊥x轴于B，且S△ABO=3．2(1)求这两个函数的解析式；(2)求直线与双曲线的两个交点A、C的坐标和△AOC的面积；≤0的解集．(3)直接写出关于x的不等式x+(k+1)+kx20.如图，A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠APC=∠CPB=60°．(1)判断△ABC的形状：______ ；(2)试探究线段PA，PB，PC之间的数量关系，并证明你的结论．21.如图，△ABC中，D是BC边的中点，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F.求证：(1)DE=DF；(2)∠B=∠C．22.已知某种汽车刹车后行驶的距离S(单位：m)关于行驶的时间t(单位：s)的函数关系式为S=15t−at2，且t=1时，S=9．(1)求S与r的函数关系．(2)该汽车刹车后到停下来前进了多远？(3)该汽车刹车后前6m时行驶了多长时间？23.如图，点A(0,a)，点B(b，0)且满足a2+2b2−2ab−2b+1=0.经过原点O的直线l交线段AB于点C，过C作OC⊥CP，与直线BP相交于点P，BP⊥OB.现将直线l绕O点旋转，使交点C从A向B运动，但P点必须在第一象限内，分析此图后，对下列问题作出探究：(1)求点A、B的坐标；(2)探索线段OC和CP的长来判断它们之间的大小关系？并证明你得到的结论；(3)过C作CD⊥OB于点D，试判断CD与OB+PB间的数量关系，并说明理由；(4)设点P的坐标为(b,c)，请直接写出当△PBC为等腰三角形时c=______．参考答案及解析1.答案：C解析：解：A、是轴对称图形，也是中心对称图形．故错误；B、是轴对称图形，也是中心对称图形．故错误；C、是轴对称图形，不是中心对称图形．故正确；D、是轴对称图形，也是中心对称图形．故错误．故选：C．根据从正面看得到的图形是主视图以及轴对称图形、中心对称图形的概念，可得答案．本题考查了几何体的三视图以及中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．2.答案：D解析：解：抛物线y=x2+4的顶点坐标为(0,4)，向左平移1个单位，再向下平移3个单位顶点坐标为(−1,1)，∴平移后抛物线解析式为y=(x+1)2+1故选：D．原抛物线的顶点坐标为(0,2)，根据平移规律得平移后抛物线顶点坐标为(−1,1)，根据抛物线的顶点式求解析式．本题考查了抛物线的平移与抛物线解析式的联系．关键是把抛物线的平移转化为顶点的平移，利用顶点式求解析式．3.答案：D解析：(k≠0)中，当k>0时，双曲线的两支分别本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数y=kx位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小是解答此题的关键．根据当x>0时，y随x的增大而减小得出关于k的不等式，求出k的取值范围即可．中，当x>0时，y随x的增大而增大，解：∵反比例函数y=k−1x∴k−1<0，解得k<1．故选D．4.答案：A解析：本题考查了圆周角定理和解直角三角形，锐角三角函数的定义，能正确作出辅助线是解此题的关键．延长AO交⊙O于D，连接CD，根据圆周角定理求出∠B=∠D，∠ACD=90°，根据勾股定理求出CD，解直角三角形求出即可．解：延长AO交⊙O于D，连接CD，由圆周角定理得：∠B=∠D，∠ACD=90°，∵AC=4，AO=3=OD，∴由勾股定理得：CD=√AD2−AC2=√62−42=2√5，∴tanB=tanD=ACCD =42√5=2√55，故选A．5.答案：C解析：解：如图，连接CE，过点D作DM⊥BC，垂足为M．∵BC为直径，∴∠BAC=90°，∠BEC=90°，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，cos∠ACB=45，∴sin∠ACB=35=ABBC，∵BD是∠ABC的平分线，DA⊥AB，DM⊥BC，∴AD=DM，∴sin∠ACB=35=DMDC=ADDC，∴ADDC =ABBC=35，设AB=3x，则BC=5x，AC=4x，∴AD=33+5AC=32x，∴ADAB =12，∵∠ABD=∠EBC，∴tan∠ABD=tan∠EBC，∴ECBE =ADAB=12，∴BEBC =√12+22=2√55，∴BE=2√5x，∴BF=2√55BE=4x，∴BOBF =52 x4x=58，∴S△BOGS△BGF =58，∵S△BOG=S△COG，∴S△COGS△BGF =58．故选：C．连接CE，过点D作DM⊥BC，垂足为M.由cos∠ACB=45，可得出sin∠ACB=35，利用角平分线的性质可得AD=DM，设AB=3x，则BC=5x，AC=4x，AD=32x，进而可得出ADAB=12，结合等角的正切相等可得ECBE =12，利用勾股定理及比例的性质可求出BE，BF的长，再利用等底三角形的面积比等于高的比可得出△BOG与△BGF的面积之比，结合S△BOG=S△COG即可得出△COG与△BGF的面积之比．本题考查了三角形外接圆与外心，三角形的面积、等边三角形、角平分线的性质以及解直角三角形，解题的关键是利用等底三角形的面积比等于高的比，求出△BOG的面积．6.答案：D解析：解：∵AB//CD，∴∠A=∠D，∠B=∠C，∴△AOB∽△DOC，，故选D．由平行可证明△AOB∽△DOC，再结合条件利用相似三角形的性质可求得答案．本题主要考查相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的周长比等于相似比是解题的关键．7.答案：D解析：解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴EC//AB，∴CEAB =CFAF，EFBE=CFAC，BFEF=AFCF，∴选项A，B，C正确，故选：D．根据平行线分线段成比例定理解决问题即可．本题考查平行四边形的性质，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．8.答案：B解析：解：∵∠BOD=140°，∴∠A=12∠BOD=70°，∠BCD=180°−∠A=110°．故选：B．由圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍．可求∠A=12∠BOD=70°，再根据圆内接四边形对角互补，可得∠BCD=180°−∠A=110°．本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．以及圆内接四边形对角互补的性质．9.答案：A解析：解：∵点(4,3)关于x轴对称点的坐标为(4,−3)，∴点(4,3)经过某种图形变换后得到点B(4,−3)，这种图形变换可以是关于x轴对称，故选：A．根据关于x轴、y轴对称的点的坐标、平移变换、旋转变换的概念和性质判断即可．本题考查的是关于x轴、y轴对称的点的坐标、平移变换、旋转变换的概念和性质，掌握几何变换的几种类型的概念和性质是解题的关键．10.答案：D解析：解：连接BC，如图所示：∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，CD=2√3，∴∠ACB=90°，CH=DH=12∵∠A=30°，∴AC=2CH=4√3，在Rt△ABC中，∠A=30°，∴AC=√3BC=4√3，AB=2BC，∴BC=4，AB=8，故选：D．CD=2√3，由直角三角形的性连接BC，由圆周角定理和垂径定理得出∠ACB=90°，CH=DH=12质得出AC=2CH=4√3，AC=√3BC=4√3，AB=2BC，得出BC=4，AB=8．本题考查的是垂径定理、圆周角定理、含30°角的直角三角形的性质、勾股定理等知识；熟练掌握圆周角定理和垂径定理是解题的关键．11.答案：解：3x=4y则故答案为：．解析：本题考查了比例的基本性质的应用，属于基础类题目，难度不大，在本题的解题过程中，能够熟练的应用比例的性质是解题关键点．12.答案：2√3解析：解：∵对称轴为直线x=2，∴CD=2，∵△ABC为等边三角形，∴AC=BC=2CD=4，在Rt△ACD中，AD=2√3，∴S△ACD=12S△ABC=12×12×4×2√3=2√3，由抛物线的对称性可知S阴影=S△ACD=2√3，故答案为：2√3．由抛物线的对称性可知阴影部分面积之和等于△ABC的一半，由对称轴为x=2可求得CB的长，则可求得△ABC的面积，则可求得答案．本题主要考查二次函数的对称性及正三角形的性质，由对称性得出阴影部分面积之和等于△ABC的一半是解题的关键．13.答案：3.解析：14.答案：120°解析：解：作DE⊥AB于E．∵AD=50+30=80cm，DE=40cm，∴∠A=30°，∵AO=BO，∴∠B=∠A=30°，∴∠AOB=180°−30°−30°=120°．故答案为：120°．作DE⊥AB于E，根据题意，得在Rt△ADE中，AD=50+30=80cm，DE=40cm，由此可以推出∠A=30°，接着可以求出∠B=∠A=30°，再根据三角形的内角和即可求出∠AOB的度数．此题考查了含30度角的直角三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理．作出辅助线得到∠A=30°是解题的关键．15.答案：解：(1)原式=5+3+12=17；2(2)原式=√2−1+√3−√2=−1+√3．解析：(1)直接利用二次根式以及立方根的性质计算得出答案；(2)直接利用绝对值的性质化简得出答案．此题主要考查了实数运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．16.答案：解：(1)∵函数y=(m2−1)x m2−m+(m−1)x+1，∴m2−m=2时，解得：m1=2，m2=−1，∵m2−1≠0，∴m=2时，该函数为二次函数；(2)该函数不可能为反比例函数．理由：当该函数为反比例函数，则m2−m=−1，此时△=b2−4ac=−3<0，方程无实数根，故该函数不可能为反比例函数．解析：(1)直接利用二次函数的定义分析得出答案；(2)直接利用反比例函数的定义分析得出答案．此题主要考查了反比例函数以及二次函数的定义，正确掌握一元二次方程的解法是解题关键．17.答案：解：(1)如图，△A1B1C1为所作；(2)如图，△A1B2C2为所作．解析：(1)把△ABC沿BA方向平移后，点A移到点A1，相当于把△ABC先向右平移3个单位，再向上平移3个单位，利用此平移规律画出B、C的对应点即可；(2)利用旋转的定义和网格的特点画图．本题考查了作图−旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了平移变换．18.答案：解：(1)如图，设DE=x，∵AB=DF=4，∠ACB=30°，∴AC=8，∵∠ECD=60°，∴△ACE是直角三角形，∵AF//BD，∴∠CAF=30°，∴∠CAE=60°，∠AEC=30°，∴AE=2AC=16，∴Rt△AEF中，EF=12AE=8，即x−4=8，解得x=12，∴树DE的高度为12米；(2)延长NM交DB延长线于点P，则AM=BP=6，由(1)知CD=12CE=12×√3AC=4√3，BC=4√3，∴PD=BP+BC+CD=6+4√3+4√3=6+8√3，∵∠NDP=45°，且∠NPD=90°，∴NP=PD=6+8√3，∴NM=NP−MP=6+8√3−4=2+8√3，∴食堂MN的高度为(2+8√3)米．解析：(1)设DE=x，依据AB=DF=4，∠ACB=30°，可得AC=8，进而得到AE=16，EF=8，依据x−4=8，解得x=12，即可得出树DE的高度为12米；(2)延长NM交DB延长线于点P，依据CD=12CE=4√3，BC=4√3，可得PD=BP+BC+CD=6+ 8√3，进而得到NP=PD=6+8√3，依据NM=NP−MP=2+8√3，可得食堂MN的高度为(2+ 8√3)米．本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是正确的构造直角三角形并选择正确的边角关系解直角三角形．19.答案：解：(1)设A点坐标为(x,y)，且x<0，y>0，则S△ABO=12⋅|BO|⋅|BA|=12⋅(−x)⋅y=32，∴xy=−3，又∵y=kx，即xy=k，∴k=−3．∴所求的两个函数的解析式分别为y=−3x，y=−x+2；(2)由y=−x+2，令x=0，得y=2，∴直线y=−x+2与y轴的交点D的坐标为(0,2)，∵A、C在反比例函数的图象上，∴{y=−x+2y=−3x，解得{x1=−1y1=3，{x2=3y2=−1，∴交点A为(−1,3)，C为(3,−1)，∴S△AOC=S△ODA+S△ODC=12OD⋅(|x1|+|x2|)=12×2×(3+1)=4；(3)关于x的不等式x+(k+1)+kx≤0的解集是：x≤−1或0<x≤3．解析：(1)欲求这两个函数的解析式，关键求k值．根据反比例函数性质，k绝对值为3且为负数，由此即可求出k；(2)由函数的解析式组成方程组，解之求得A、C的坐标，然后根据S△AOC=S△ODA+S△ODC即可求出；(3)根据图象即可求得．本题考查利用待定系数法确定函数解析式，利用解方程组来确定图象的交点坐标，及利用坐标求出线段和图形的面积．也考查了函数和不等式的关系．20.答案：(1)△ABC是等边三角形(2)CP=BP+AP．证明：在PC上截取PD=AP，如图1，∵∠APC =60°，∴△APD 是等边三角形，∴AD =AP =PD ，∠ADP =60°，即∠ADC =120°．又∵∠APB =∠APC +∠BPC =120°，∴∠ADC =∠APB ，在△APB 和△ADC 中，{∠APB =∠ADC ∠ABP =∠ACD AP =AD，∴△APB≌△ADC(AAS)，∴BP =CD ，又∵PD =AP ，∴CP =BP +AP ．解析：(1)利用圆周角定理可得∠BAC =∠CPB ，∠ABC =∠APC ，而∠APC =∠CPB =60°，所以∠BAC =∠ABC =60°，从而可判断△ABC 的形状为等边三角形；(2)在PC 上截取PD =AP ，则△APD 是等边三角形，然后证明△APB≌△ADC ，证明BP =CD ，即可证得CP =BP +AP ．本题考查了圆周角定理、等边三角形的判定、三角形的全等的判定与性质，正确作出辅助线，证明△APB≌△ADC 是关键．21.答案：证明：(1)∵AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，∴DE =DF ；(2)∵D 是BC 边的中点，∴BD =CD ，在Rt △BDE 和Rt △CDF 中，{DE =DF BD =DC， ∴Rt △BDE≌Rt △CDE(HL)，∴∠B =∠C ．解析：(1)根据角平分线的性质，可得到DE =DF ；(2)根据BD =DC ，利用HL 判定Rt △DBE≌Rt △DCF ，由全等三角形的性质即可得到∠B =∠C ．本题考查了三角形全等的判定及性质，用到的知识点是角平分线的性质和全等三角形的判定与性质，得到DE =DF 是解决本题的关键．22.答案：解：(1)t =1，S =9代入S =15t −at 2，即9=15−a ，解得a =6，∴S 与t 的函数关系：s =15t −6t 2；(2)∵s =15t −6t 2=−6(t −54)2+758， ∴汽车刹车后到停下来前进了758m.(3)当s =6时，即15t −6t 2=6，解得：t 1=12s ，t 2=2s ，∴汽车刹车后前6m 时行驶了12s.解析：(1)把t =1，S =9代入S =15t −at 2，即可得到结论；(2)把(1)中的结论化成顶点式即可得到结论；(3)当s =6时，解方程15t −6t 2=6，即可得到结论．此题主要考查了二次函数的应用，利用配方法求最值的问题，根据已知得出顶点式是解题关键． 23.答案：(1)∵a 2+2b 2−2ab −2b +1=0，∴(a −b)2+(b −1)2=0，∴a =b =1，∴A(0,1 )，B( 1，0 )；(2)OC =CP ．证明：如图，过点C 作x 轴的平行线，分别交OA 、BP 于点T 、H ．∵PC ⊥OC ，∴∠OCP=90°，∵OA=OB=1，∴∠OBA=45°，∵TH//OB，∴∠BCH=45°，又∵∠CHB=90°，∴△CHB为等腰直角三角形，∴CH=BH，∵∠AOB=∠OBH=∠BHT=90°，∴四边形OBHT为矩形，∴OT=BH，∴OT=CH，∵∠TCO+∠PCH=90°，∠CPH+∠PCH=90°，∴∠TCO=∠CPH，∵HB⊥x轴，TH//OB，∴∠CTO=∠PHC=90°，在△OTC和△CHP中，{∠TCO=∠CPH ∠CTO=∠PHC OT=CH，∴△OTC≌△CHP(AAS)，∴OC=CP；(3)2CD=OB+PB，理由：过C作CD⊥OB于点D，则∠CDB=∠DBH=∠BHC=90°，∴四边形CDBH是矩形，∴CD=BH，又∵∠ABO=45°，∴△BCD是等腰直角三角形，∴CD=BD，∵∠CDO=∠TOD=∠OTC=90°，∴四边形CDOT是矩形，∴OD=TC，由(2)可得，△OTC≌△CHP，∴TC=HP，∴OD=HP，∴OB+PB=OD+DB+BP=HP+BP+DB=BH+BD=2CD；(4)1．解析：解：(1)见答案；(2)见答案；(3)见答案；(4)见答案．(1)根据a2+2b2−2ab−2b+1=0，运用非负数的性质，即可得出a=b=1，进而得到点A、B的坐标；(2)先过点C作x轴的平行线，分别交OA、BP于点T、H.根据△CHB为等腰直角三角形，以及四边形OBHT为矩形，得到OT=CH，进而根据AAS，判定△OTC≌△CHP，从而得出OC=CP；(3)先根据四边形CDBH是矩形，得到CD=BH，再根据△BCD是等腰直角三角形，得出CD=BD，然后根据四边形CDOT是矩形，△OTC≌△CHP，即可得到OD=HP，最后得出OB+PB=OD+DB+ BP=HP+BP+DB=BH+BD=2CD；(4)根据P点必须在第一象限内，可得只有当∠BCP=∠CBP=45°时，△BCP为等腰直角三角形，据此得到点C与点A重合，此时BP=CP=1，故当△PBC为等腰三角形时，c=1．本题属于三角形综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，非负数的性质，全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质以及等腰三角形的性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形以及等腰直角三角形，根据全等三角形的对应边相等以及矩形的对边相等进行推导．。

2020-2021学年第一学期初三期末试卷数 学一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有．．一个． 1．如果23m n =(0n ≠)，那么下列比例式中正确的是 （A ）32m n = （B ）32m n= （C ）23m n = （D ）23m n= 2．将抛物线2y x =向下平移2个单位长度，得到的抛物线为 （A ）22y x =+（B ）22y x =-（C ）2(2)y x =- （D ）2(2)y x =+3．在Rt △ABC 中，90C ∠=︒，若1AC=，2AB =，则cos A 的值为 （A ）12（B （C （D（C （D5．如图，将△ABO 的三边扩大一倍得到△CED （顶 点均在格点上），它们是以点P 为位似中心的位似 图形，则点P 的坐标是 （A ）03()，（B ）00()， （C ）02()， （D ）03()-，6．在□ABCD 中，E 是AD 上一点，，AC BE 交于点O ，若:1:2AE ED =，2OE =，则OB 的长为 （A ）4 （B ）5 （C ）6（D ）7（A ） （B ） （C ） （D ） 二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．如图，△ABC ∽△A B C '''，AH A H ''，分别为 △ABC 和△A B C '''对应边上的高，若:2:3AB A B ''=，则:AH A H ''= ．10．请写出一个反比例函数的表达式，满足条件“当0x >时，y 随x 的增大而增大”，则此函 数的表达式可以为 ．11．如图，⊙O 是正方形ABCD 的外接圆，若E 是BC 上一点，则DEC ∠= °．H'B'A'C'H C B ABOE CDA12．如图，DE 是△ABC 的中位线，若△ADE 的面积为1，则四边形DBCE 的面积为 ．13．走进中国科技馆，同学们会在数学区发现截面为“莱洛三角形”的轮子．如图，分别以等边△ABC 的三个顶点为圆心，边长为半径画弧，则AB ，BC ，AC 组成的封闭图形就是“莱洛三角形”．若3AB =，则此“莱洛三角形”的周长为 ． 14．如图，在平面直角坐标系xOy 中，函数20()y x x=>的图象经过 点A ，B ，AC ⊥x 轴于点C ，BD ⊥y 轴于点D ，连接OA ，OB ， 则△OAC 与△OBD 的面积之和为 ．15．如图，某中学综合楼入口处有两级台阶，台阶高15AD BE ==cm ，深30DE =cm ，在台阶处加装一段斜坡作为无障碍通道，设台阶起点为A ，斜坡的起点为C ，若斜 坡CB 的坡度1:9i =，则AC 的长为 cm ．16．已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠，y 与x 的部分对应值如下表所示：x… -1 0 1 2 3 4 … y…61-2-3-2m…下面有四个论断：①抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的顶点为(23)-，；②240b ac -=；③关于x 的方程2=2ax bx c ++-的解为12=13x x =，；④=3m -．其中，正确的有 ．BCACE BDACB AEDxyODC BA三、解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题6分，第27， 28题，每小题7分）解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 17．下面是小飞设计的“过圆外一点作圆的切线”的尺规作图过程．已知：P 为⊙O 外一点．求作：经过点P 的⊙O 的切线．作法：如图，①连接OP ，作线段OP 的垂直平分线 交OP 于点A ；②以点A 为圆心，OA 的长为半径作圆，交⊙O 于B ，C 两点；③作直线PB ，PC ．所以直线PB ，PC 就是所求作的切线． 根据小飞设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规补全图形（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明（说明：括号里填写推理的依据）． 证明：连接OB ,OC ,∵PO 为⊙A 的直径，∴PBO PCO ∠=∠= （ ）． ∴PB OB ⊥,PC OC ⊥．∴PB ,PC 为⊙O 的切线（ ）．18．计算：3tan30sin452sin60︒+︒-︒．19．如图，在Rt △ABC 中，90ABC ∠=︒，2cos 3A =，4AB =，过点C 作CD ∥AB ，且2CD =，连接BD ，求BD 的长．DCBA P20．如图，△ABC 的高AD ，BE 交于点F ．写出图中所有与△AFE 相似的三角形，并选择一个进行证明．21．如图，在平面直角坐标系xOy 中，二次函数2y x bx c =++的图象与x 轴，y 轴的交点分别为(10)，和(03)-，． （1）求此二次函数的表达式；（2）结合函数图象，直接写出当3y >-时，x22．某数学小组在郊外水平空地上对无人机进行测高实验，以便与遥控器显示的高度数据进行对比．如图，在E 处测得无人机C 的仰角45CAB ∠=︒，在D 处测得无人机C 的仰角30CBA ∠=︒，已知测角仪的高1AE BD ==m ，E ，D 两处相距50m ，请根据数据计算无人机C 的高（结果精确到0.1m ， 1.41≈ 1.73≈）．F ECBA23．在平面直角坐标系xOy 中，一次函数12y x b =+的图象经过点(43)A ，，与反比例函数0()k y k x=≠图象的一个交点为(2,)B n ．（1）求一次函数与反比例函数的表达式； （2）若点P 在x 轴上，且PB AB =，则点P 的坐标是 ．24．小明用篱笆围出一块周长为12m 的矩形空地做生物试验，已知矩形的一边长为x （单位：m ），面积为y （单位：m 2）．（1）求y 与x 的函数表达式，并写出自变量x 的取值范围； （2）当x 为何值时，矩形的面积最大？并求出此最大面积．25．如图，AB 是⊙O 的直径，C 为AB 延长线上一点，过点C 作⊙O 的切线CD ，D 为切点，点F 是AD 的中点，连接OF 并延长交CD 于点E ，连接BD ，BF ． （1）求证：BD ∥OE ； （2）若OE =3tan 4C =，求⊙O 的半径．EC26．在平面直角坐标系xOy 中，直线(0)y kx b k =+≠与抛物线243y ax ax a =-+的对称轴交于点(1)A m -，，点A 关于x 轴的对称点恰为抛物线的顶点． （1）求抛物线的对称轴及a 的值；（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记直线(0)y kx b k =+≠与抛物线围成的封闭区域（不含边界）为W ．①当=1k 时，直接写出区域W 内的整点个数；②若区域W 内恰有3个整点，结合函数图象，求b 的取值范围．27．在Rt △ABC 中，90ACB ∠=︒，2AC =，BC =，过点B 作直线l ∥AC ，将 △ABC 绕点C 逆时针旋转得到△A B C ''，直线CA '，CB '分别交直线l 于点D E ，． （1）当点A '，D 首次重合时，①请在图1中，补全旋转后的图形； ②直接写出A CB '∠的度数； （2）如图2，若CD AB ⊥，求线段DE 的长；（3）求线段DE 长度的最小值．图1 图2 备用图l C B A lC BA E D B'A'l CB A28．对于平面直角坐标系xOy 中的点P 和⊙C ，给出如下定义：连接PC 交⊙C 于点N ，若点P 关于点N 的对称点Q 在⊙C 的内部，则称点P 是⊙C 的外应点． （1）当⊙O 的半径为1时，① 在点(11)D --，，(20)E ，，(04)F ，中，⊙O的外应点是 ；② 若点(,)M m n 为⊙O 的外应点，且线段MO 交⊙O点G ，求m 的取值范围； （2）⊙T 的圆心为(0)T t ，，半径为1，直线y x b =-+过点(11)A ，，与x 轴交于点B ．若线段AB 上的所有点都是⊙T 的外应点，直接写出t 的取值范围．2020-2021学年第一学期初三期末数学试卷答案及评分参考阅卷须知：为了阅卷方便，解答题中的推导步骤写得较为详细，考生只要写明主要过程即可。