2019-2020学年安徽省合肥市蜀山区九年级(上)期末数学试卷

安徽省合肥市蜀山区19-20学年九年级(上)期末数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.如图图形中，可以看作中心对称图形的是()A. B. C. D.2.一斜坡的坡角为45°，则其坡度为：()A. 1:√33B. 1:√3C. 1:1D. 1：23.若要得到函数y=(x+1)2+2的图象，只需将函数y=x2的图象()A. 先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度B. 先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度C. 先向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度D. 先向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度4.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=1，则cos A的值是()A. 2√55B. √55C. √52D. 125.如图，△OAB∽△OCD，OA：OC=3：2，∠A=α，∠C=β，△OAB与△OCD的面积分别是S1和S2，△OAB与△OCD的周长分别是C1和C2，则下列等式一定成立的是()A. OBCD =32B. αβ=32C. S1S2=32D. C1C2=326.反比例函数y=kx的图象经过点A(−2,−5)，则当1<x<2时，y的取值范围是()A. −10<y<−5B. −2<y<−1C. 5<y<10D. y>107.下列命题是真命题的是()A. 同位角相等B. 三角形的一个外角等于它的两个内角之和C. 相等的角都是对顶角D. 如果a//b，b//c，那么a//c8.如图，AB为⊙O的直径，点C、D在⊙O上，若∠AOD=30°，则∠BCD的度数是()A. 150°B. 120°C. 105°D. 75°9.已知函数y=2ax2−2ax+b(a<0)，当自变量x=m时，y=b−a；当自变量x=n时，y=b−a，且m≠n，则下列关于m，n的关系正确的是：()A. m−n=1B. m−n=2C. m+n=1D. m+n=210.如图，在矩形ABCD中，点E是边BC的中点，AE⊥BD，垂足为F，则cos∠BDE的值是()A. 2√23B. 14C. 13D. √24二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）11.已知二次函数y=ax2+4ax+c的图象与x轴的一个交点为(−1,0)，则它与x轴的另一个交点的坐标是______．12.半径为2，圆心角为30°的扇形的弧长是______ ．13.如图，点A，B是反比例函数y=kx(x>0)图象上的两点，过点A，B分别作AC⊥x轴于点C，BD⊥x轴于点D，连接OA，BC，点C(1,0)，BD=32，S△BCD=3，则k=______．14.在Rt△ABC中，AB=AC=17，点D在BC上，点E在直线BC的下方，连接AD、DE、CE，若CE//AB，CEAD =413，∠CDE=12∠BAD，则CD=______．三、计算题（本大题共2小题，共22.0分）15.如图，已知E是∠AOB的平分线上的一点，EC⊥OA，ED⊥OB，垂足分别是C，D.求证：OE垂直平分CD．16.某商店以每件5元的价格购进一种文具，由试销知，该文具每天的销售量t(件)与单价x(元)之间满足一次函数关系t=−x+13．(1)写出商店每天悄售这种文具的利润y(元)与单价x(元)之间的函数关系式(利润=销售价−进货价)；(2)商店要想每天获得最大利润，单价应定为多少元？最大利润为多少？四、解答题（本大题共7小题，共68.0分）sin60°17.求值：√3cos245°−sin30°tan60°+1218.如图，在方格纸中每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，△ABC的顶点均在格点上，点A的坐标为(2,2)．(1)以点B为位似中心，将△ABC放大到原来的2倍得到△A1BC1，在网格中画出图形；(2)在网格中，画出△ABC绕原点O按逆时针旋转90°，所得到的△A2B2C2，并直接写出点C2的坐标；19.(1)已知顶点为(12,−94)的抛物线y=ax2+bx+c过点M(2,0)，求抛物线的解析式；(2)抛物线过点(1,0)、(0,3)，且对称轴为直线x=2，求其解析式．20.《九章算术》中记载了这样一道题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现代的语言表述为：“如果AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，AE=1寸，CD=10寸，那么直径AB的长为多少寸？”请你补全示意图，并求出AB的长．21.如图所示，某小组同学为了测量对面楼AB的高度，分工合作，有的组员测得两楼间距离为40米，有的组员在教室窗户处测得楼顶端A的仰角为30°，底端B的俯角为10°，请你根据以上数据，求出楼AB的高度．(精确到0.1米)(参考数据：sin10°≈0.17，cos10°≈0.98，tan10°≈0.18，√2≈1.41，√3≈1.73)22.如图，AB是⊙O的直径，点D，E在⊙O上，∠B=2∠ADE，点C在BA的延长线上．(Ⅰ)若∠C=∠DAB，求证：CE是⊙O的切线；(Ⅱ)若OF=2，AF=3，求EF的长．23.已知点E、F为正方形ABCD的边BC、AB上的点，DE、CF交于点M．(1)如图，若BF=CE，求证：CF⊥DE．(2)如图，∠FDE=45°，且AF=2CE，求BE的值．EC(3)如图，已知正方形的边长为4，DE=FC，当EF的长最小时，直接写出BM的长．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：解：A、不是中心对称图形，故此选项不合题意；B、不是中心对称图形，故此选项不合题意；C、不是中心对称图形，故此选项不合题意；D、是中心对称图形，故此选项符合题意；故选：D．根据把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心进行分析即可．此题主要考查了中心对称图形，关键掌握中心对称图形定义．2.答案：C解析：本题考查解直角三角形的应用，掌握坡度的概念是解决问题的关键.坡度是坡角的正切值．解：因为tan45°=1，1即坡度为1：1．故选C．3.答案：A解析：本题考查了二次函数图象与几何变换，通过平移顶点找出结论是解题的关键.找出两抛物线的顶点坐标，由a值不变即可找出结论．解：∵抛物线y=(x+1)2+2的顶点坐标为(−1,2)，抛物线y=x2的顶点坐标为(0,0)，∴将抛物线y=x2先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度即可得出抛物线y=(x+1)2+ 2．故选A．解析：本题考查了锐角三角函数的定义以及勾股定理，在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边.根据勾股定理，可得AB的长，根据余弦函数等于邻边比斜边，可得答案．解：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，由勾股定理，得AB=√AC2+BC2=√5，∴cosA=ACAB =√5=25√5，故选A．5.答案：D解析：本题考查对相似三角形性质的理解：①相似三角形周长的比等于相似比；②相似三角形面积的比等于相似比的平方；③相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比．根据相似三角形对应边成比例，相似三角形面积的比等于相似比的平方，周长的比等于相似比对各选项分析判断即可得解．解：A.OB与OD是对应边，所以，OBCD =32不一定成立，故本选项错误；B.∠A的度数：∠C的度数=1：1，所以αβ=1，故本选项错误；C.S1S2=(32)2=94，故本选项错误；D.C1C2=32，正确，故本选项正确．故选D．解析：解：∵反比例函数y=k的图象经过点A(−2,−5)，x∴−5=k，解得：k=10，−2∴反比例函数解析式为y=10．x当x>0时，反比例函数单调递减，=10；当x=1时，y=101=5．当x=2时，y=102∴当1<x<2时，5<y<10．故选C．将点A的坐标代入反比例函数解析式中，求出k值，结合反比例函数的性质可知当x>0时，反比例函数单调递减，分别代入x=1、x=2求出y值，由此即可得出结论．本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数的性质以及待定系数法求函数解析式，解题的关键是求出k值．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，由给定点的坐标利用待定系数法求出k的值，再根据反比例函数的性质确定其单调性，代入x的值即可得出结论．7.答案：D解析：解：A、两直线平行，同位角相等，本说法是假命题；B、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，本说法是假命题；C、相等的角不一定都是对顶角，本说法是假命题；D、如果a//b，b//c，那么a//c，是真命题；故选：D．根据平行线的性质、三角形的外角性质、对顶角的概念判断即可．本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．8.答案：C解析：解：连接AC ，∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB =90°，∵∠AOD =30°，∴∠ACD =15°，∴∠BCD =∠ACB +∠ACD =105°，故选C ．连接AC ，根据圆周角定理，可分别求出∠ACB =90°，∠ACD =15°，即可求∠BCD 的度数．此题主要考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．9.答案：C解析：本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答，根据题意和二次函数的性质可以求得m 、n 的关系，本题得以解决．解：∵函数y =2ax 2−2ax +b =2a(x −12)2−12a +b ，∴该函数的对称轴为直线x =12，当自变量x =m 时，y =b −a ；当自变量x =n 时， y =b −a ，且m ≠n ，∴m+n2=12，解得m +n =1 故选C ．10.答案：A解析：解：∵四边形ABCD 是矩形∴AB =CD ，AD =BC ，AD//BC∵点E 是边BC 的中点，∴BE =CE =12BC =12AD ，∵AB =CD ，BE =CE ，∠ABC =∠DCB =90°∴△ABE≌△DCE(SAS)∴AE=DE∵AD//BC ∴△ADF∽△EBF∴AFEF=ADBE=2∴AF=2EF，∴AE=3EF=DE∴DF=√DE−EF=2√2EF∴cos∠BDE=DFDE=2√2EF3EF=2√23故选：A．由矩形的性质可得AB=CD，AD=BC，AD//BC，可得BE=CE=12BC=12AD，由全等三角形的性质可得AE=DE，由相似三角形的性质可得AF=2EF，由勾股定理可求DF的长，即可求cos∠BDE 的值．本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，解直角三角形的运用，熟练运用相似三角形的判定和性质是本题的关键．11.答案：(−3,0)解析：解：∵二次函数y=ax2+4ax+c=a(x+2)2−4a+c，∴该函数的对称轴是直线x=−2，∵二次函数y=ax2+4ax+c的图象与x轴的一个交点为(−1,0)，∴它与x轴的另一个交点的坐标是：(−3,0)，故答案为：(−3,0)．根据题目中的函数解析式可以求得该函数的对称轴，然后根据题意和二次函数的性质可以求得该抛物线与x轴的另一个交点坐标，本题得以解决．本题考查抛物线与x轴的交点，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．12.答案：13π解析：解：弧长l=30⋅π×2180=13π；故答案为：13π．根据弧长的计算公式即可得到结论．本题考查了扇形的弧长的计算，熟记弧长的计算公式是解题的关键．13.答案：152解析：解：∵BD⊥x轴于点D，BD=32，∴S△BCD=12BD⋅CD=3，即CD=4，∵C(1,0)，即OC=1，∴OD=OC+CD=1+4=5，∴B(5,32)，代入反比例解析式得：k=152，故答案为：152由三角形BCD为直角三角形，根据已知面积与BD的长求出CD的长，由OC+CD求出OD的长，确定出B的坐标，代入反比例解析式求出k的值即可．此题考查了反比例函数系数k的几何意义，以及反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数k的几何意义是解本题的关键．14.答案：12√2解析：本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的性质，关键是添加辅助线构造全等三角形．延长AD，CE交于G点，作AH⊥BC于H，在CG上截取CF=AC，可证△ACD≌△FDC，可得AD=DF，通过三角形角的换算，可得∠DEF=∠EDF，可得DF=FE，可求AD的长，再解Rt△ADH可求得DH的长，进而可求CD的长．解：如图，延长AD，CE交于G点，作AH⊥BC于H，在CG上截取CF=AC，∵AB=AC=17，∠BAC=90°∴∠ABC=∠ACB=45°∵AB//CE∴∠ABC=∠BCG=45°∴∠ACB=∠BCG，且CD=CD，AC=CF=17∴△ADC≌△FDC∴DF=AD，∠ADC=∠CDF∵CEAD=413∴设AD=13a=DF，CE=4a，设∠CDE=x°，则∠BAD=2x°∵∠ADC=∠B+∠BAD=45°+2x°∴∠CDF=45°+2x°，∴∠EDF=45°+x°，且∠DEF=∠CDE+∠DCE=45°+x°∴∠FDE=∠DEF∴DF=EF=13a∵CF=EF+CE=13a+4a=17∴a=1∴AD=13，CE=4在Rt△AHC中，AC=17，∠ACH=45°∴AH=CH=17√2 2在Rt△ADH中，DH=√AD 2−AH 2=7√22∴CD =DH +CH =12√215.答案：证明：∵E 是∠AOB 的平分线上一点，EC ⊥OB ，ED ⊥OA ，∴DE =CE ，OE =OE ，在Rt △ODE 与Rt △OCE 中，{DE =CE OE =OE， ∴Rt △ODE≌Rt △OCE(HL)，∴OD =OC ，∴△DOC 是等腰三角形，∵OE 是∠AOB 的平分线，∴OE 是CD 的垂直平分线．解析：本题主要考查等腰三角形的性质与判定，角平分线的性质，，全等三角形的性质及垂直平分线的性质，先根据E 是∠AOB 的平分线上一点，EC ⊥OB ，ED ⊥OA 得出△ODE≌△OCE ，可得出OD =OC ，DE =CE ，OE =OE ，可得出△DOC 是等腰三角形，由等腰三角形的性质即可得出OE 是CD 的垂直平分线．16.答案：解：(1)根据题意知y =(x −5)(−x +13)=−x 2+18x −65；(2)∵y =−x 2+18x −65=−(x −9)2+16，∴当x =9时，y 取得最大值，最大值为16，答：商店要想每天获得最大利润，单价应定为9元，最大利润为16元．解析：本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握销售问题中关于利润的相等关系及二次函数的性质．(1)根据“总利润=单件利润×销售量”可得函数解析式；(2)将(1)中所得函数解析式配方成顶点式，利用二次函数的性质即可得出答案．17.答案：解：原式=√3×(√22)2−12×√3+12×√32=√32−√32+√34=√34．解析：根据特殊角三角函数值，可得答案．本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题关键．18.答案：解：(1)△A 1BC 1如图所示；(2)△A 2B 2C 2如图所示，点C 2的坐标为(−1,4)．解析：本题考查了作图−旋转变换和位似图形的画法：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．(1)先利用关于点B 为位似中心的对应点A 1、C 1的坐标，然后描点即可；(2)利用网格特点和旋转画出点A 、B 、C 的对应点A 2、B 2、C 2，从而得到△A 2B 2C 2．19.答案：解：(1)∵抛物线y =ax 2+bx +c 的顶点坐标为(12,−94)，∴设抛物线的解析式为y =a(x −12)2−94．∵抛物线y =ax 2+bx +c 过点M(2,0)，∴a(2−12)2−94=0，解得：a =1，∴抛物线的解析式为y =(x −12)2−94，即y =x 2−x −2．(2)设抛物线的解析式为y =m(x −2)2+n(m ≠0)，将(1,0)，(0,3)代入y =m(x −2)2+n ，得：{m +n =04m +n =3，解得：{m =1n =−1， ∴抛物线的解析式为y =(x −2)2−1，即y =x 2−4x +3．解析：本题考查了待定系数法求二次函数解析式，解题的关键是根据题目给的条件巧设二次函数解析式，通过代入点的坐标列方程解出参数即可．(1)由抛物线的顶点坐标可得出抛物线的解析式为y =a(x −12)2−94，由点M 的坐标利用二次函数图象上点的坐标特征，可得出关于a 的一元一次方程，解之即可得出结论；(2)由抛物线的对称轴为直线x =2可设抛物线的解析式为y =m(x −2)2+n(m ≠0)，根据抛物线上两点的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式． 20.答案：解：如图所示，连接OD ．∵弦CD ⊥AB ，AB 为圆O 的直径，∴E 为CD 的中点，又∵CD =10寸，∴CE =DE =12CD =5寸，设OD =OA =x 寸，则AB =2x 寸，OE =(x −1)寸，由勾股定理得：OE 2+DE 2=OD 2，即(x −1)2+52=x 2，解得：x =13，∴AB =26寸，即直径AB 的长为26寸．解析：连接OD ，由直径AB 与弦CD 垂直，根据垂径定理得到E 为CD 的中点，由CD 的长求出DE的长，设OD =OA =x 寸，则AB =2x 寸，OE =(x −1)寸，由勾股定理得出方程，解方程求出半径，即可得出直径AB 的长．此题考查了垂径定理，勾股定理；解答此类题常常利用垂径定理由垂直得中点，进而由弦长的一半，弦心距及圆的半径构造直角三角形，利用勾股定理来解决问题． 21.答案：解：过点D 作DE ⊥AB 于点E ，在Rt △ADE 中，∠AED =90°，tan∠1=AEDE ，∠1=30°，∴AE=DE×tan∠1=40×tan30°=40×√33≈40×1.73×13≈23.1，在Rt△DEB中，∠DEB=90°，tan∠2=BEDE，∠2=10°，∴BE=DE×tan∠2=40×tan10°≈40×0.18=7.2，∴AB=AE+BE≈23.1+7.2=30.3米．故楼AB的高度约为30.3米．解析：此题主要考查了解直角三角形的应用，关键是读懂题意，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决．过点D作DE⊥AB于点E，在Rt△ADE中tan∠1=AEDE，∠1=30°，可得AE=DE×tan∠1，代入相应数据可得AE长，在Rt△DEB中，tan∠2=BEDE，代入相应数据可得EB长，进而可得AB=AE+BE 的长．22.答案：解：(Ⅰ)连接OE，∵AB为直径，∴∠ADB=90°．∴∠DAB+∠B=90°，∵∠ADE和∠AOE都对着AE⏜，∴∠AOE=2∠ADE，又∵∠B=2∠ADE，∴∠AOE=∠B，又∵∠C=∠DAB，∴∠C+∠AOE=∠DAB+∠B=90°．∴∠CEO=90°，∴OE⊥CE，∴CE是⊙O的切线；(Ⅱ)连接AE，∵AD⏜=AD⏜，∴∠1=∠B．由(Ⅰ)知∠AOE=∠B，∴∠1=∠AOE，又∵∠2=∠2，∴△EAF∽△OAE，∴AEAF =OAAE=OEEF，即AE3=5AE=5EF，∴EF=AE，AE2=3×5=15，∴EF=EA=√15．解析：(Ⅰ)连接OE，根据圆周角定理得到∠ADB=90°.∠AOE=2∠ADE，根据切线的判定定理即可得到结论；(Ⅱ)连接AE，根据圆周角定理得到∠1=∠B.根据相似三角形的性质即可得到结论．本题考查了切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，正确的作出辅助线是解题的关键．23.答案：(1)证明：在正方形ABCD中，∠B=∠BCD=90°，BC=CD，∵BF=CE，∴△BFC≌△CED(SAS)，∴∠BCF=∠CDE，∵∠CDE+∠DEC=90°，∴∠BCF+∠DEC=90°，∴∠EMC=90°，即CF⊥DE；(2)延长BA至N，使AN=CE，连接DN，∵正方形ABCD为正方形，∴∠DAB=90°，AD=CD，∴∠NAD=∠ECD=90°，∴△AND≌△CED(SAS)，∴∠ADN=∠CDE，DN=DE，∵∠EDF=45°，∠ADC=90°，∴∠ADF+∠EDC=45°，∴∠NDF=∠ADF+∠ADN=45°，∴∠EDF=∠NDF，∵DF=DF，DN=DE，∴△NDF≌△EDF(SAS)，∴FN=EF，∵AF=2CE，∴EF=3EC，∵2EC+BF=EC+BE，∴BF=BE−EC，在Rt△BFE中，BF2+BE2=EF2，即(BE−EC)2+BE2=(3EC)2，解得BEEC =1+√172;(3)BM=4√105．解析：此题主要考查全等三角形的性质与判定，勾股定理，正方形的性质等知识的综合运用．(1)可通过证明△BFC≌△CED 得到∠EMC =90°，进而可求解；(2)延长BA 至N ，使AN =CE ，连接DN ，先△AND≌△CED ，再证明△NDF≌△EDF 可得BF =BE −EC ，EF =3EC ，利用勾股定理即可求解；(3)可先确定EF 的长最小时的M 点的位置，再计算即可求解．解：(1)见答案；(2)见答案；(3)在Rt △CDE 和Rt △BCF 中，{DE =FC CD =BC, 所以Rt △CDE ≌Rt △BCF(HL)，所以BF =CE ，在Rt △BEF 中，EF 2=BF 2+BE 2=CE 2+(4−CE)2=2(CE −2)2+8，根据偶次方的非负性，知当CE =2时，EF 2最小，此时EF 的长最小，其最小值为2√2． 此时BE =2，DE =√22+42=2√5，由Rt △CDE ≌Rt △BCF ，与(1)同理，易知CF ⊥DE ，由S △CDE =12·CD ·CE =12·DE ·MC 计算可得MC =4√55， 在Rt △CME 中，EC =2，故由勾股定理得ME =2√55， 过点M 作MG ⊥BC 于点G ，则由三角形面积等得到MG =ME·MC EC =45， 进而根据勾股定理得EG =√ME 2−MG 2=25，则BG =BE +EG =2+25=125，在Rt △BMG 中，BM =√BG 2+MG 2=√(125)2+(45)2=4√105． 故当EF 的长最小时，BM 的长为4√105．。

合肥市2019-2020学年九年级上学期期末数学试题（II）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题1 . 下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（）A．B．C．D．2 . 将抛物线先向左平移个单位长，再向上平移个单位长，得到新抛物线（）A．B．C．D．3 . 如图，已知AB⊥CD，△ABD，△BCE都是等腰直角三角形．如果CD＝7，BE＝3，那么AC的长为（）A．8B．5C．3D．44 . 如图，⊙O中，，点C、D是⊙O上任意两点，则的度数是（）A．B．C．D．5 . 如图所示，已知边长为2的正三角形ABC顶点A的坐标为（0，6），BC的中点D在y轴上，且在点A下方，点E是边长为2，中心在原点的正六边形的一个顶点，把这个正六边形绕中心旋转一周，在此过程中DE的最小值为（）A．B．C．D．6 . 下列说法中错误的是A．概率很小的事件不可能发生B．不可能事件发生的概率为0C．随机事件发生的概率大于或等于0且小于或等于1D．必然事件发生的概率为17 . 由于受猪瘟的影响，今年9 月份猪肉的价格两次大幅上涨，瘦肉价格由原来每千克23 元，连续两次上涨后，售价上升到每千克40 元，则下列方程中正确的是（）A．B．C．D．8 . Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，把它沿AC所在直线旋转一周，则所得几何体的侧面积是（）A．12πB．15πC．20πD．36π9 . 如图所示,将矩形ABCD绕点A顺时针旋转到矩形AB′C′D′的位置,旋转角为α(0°<α<90°).若∠1=110°,则α等于（）A．20°B．30°C．40°D．50°10 . 如图，在直角坐标系中，点A在函数的图象上，AB⊥x轴于点B，AB的垂直平分线与y轴交于点C，与函数的图象交于点D.连结AC，CB，BD，DA，则四边形ACBD的面积等于（）A．B．3C．6D．36二、填空题11 . 某农科所在相同条件下做某种作物种子发芽率的试验，结果如表所示：种子个数n10001500250040008000150002000030000发芽种子个数m89913652245364472721368018160273000.8990.9100.8980.9110.9090.9120.9080.910发芽种子频率则该作物种子发芽的概率约为_____________．（保留一位小数）12 . 某一房间内A、B两点之间设有探测报警装置，小车（不计大小）在房间内运动，当小车从AB之间（不包括A、B两点）经过时，将触发报警．现将A、B两点放置于平面直角坐标系中，（如图），已知点A、B的坐标分别为（0，4），（4，4），小车沿抛物线（＜0）运动．若小车在运动过程中触发两次报警装置，则的取值范围是__________．13 . 已知关于x的一元二次方程x2﹣x﹣m=0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是_____．14 . 如图，在平行四边形ABCD中，AB＜AD，∠C＝150°，CD＝8，以AB为直径的⊙O交BC于点E，则阴影部分的面积为_____．15 . 已知反比例函数y＝的图象在每一象限内y随x的增大而增大，则k的取值范围是___．16 . 已知点P(x,-3)和点Q(4,y)关于原点对称,则x+y等于__.三、解答题17 . 综合与探究如图1，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在轴上，反比例函数（）的图象经过点，并与线段交于点，反比例函数（）的图象经过点，交轴于点．已知．（1）求点的坐标及反比例函数（）的表达式；（2）直接写出点的坐标；（3）如图2，点是轴正半轴上的一个动点，过点作轴的垂线，分别交反比例函数（）与反比例函数（）的图象于点，设点的坐标为①当时，求的值；②在点运动过程中，是否存在某一时刻，使？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，说明理由．18 . 在平面直角坐标系中，△ABC的位置如图所示(每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形)。

2023-2024学年安徽省合肥市蜀山区九年级（上）期末考试数学试卷一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.下列图形中，是中心对称图形的是()A. B. C. D.2.若点是反比例函数图象上一点，则此函数图象一定经过点()A. B. C. D.3.如图，将绕点O，按逆时针方向旋转后得到，若，则的度数是()A. B. C. D.4.如果将抛物线向右平移1个单位，再向上平移2个单位，那么所得的抛物线的表达式是()A. B. C. D.5.在坡度的山坡上种树，要求相邻两棵树之间的水平距离是6米，则斜坡上相邻两棵树之间的坡面距离是()A.6米B.米C.13米D.米6.一个球从地面竖直向上弹起，球距离地面的高度米与经过的时间秒满足函数关系式，那么球弹起后又回到地面所花的时间秒是()A.1B.2C.5D.107.如图，正五边形ABCDE内接于，点F在上．若，则度数为()A. B. C. D.8.如图，点D是为钝角边BC上一点，若，，，，则的面积是()A. B.3 C. D.69.已知二次函数为常数，且，给出如下结论：①函数图象一定经过第二、三、四象限；②函数图象一定不经过第一象限；③当时，y随x的增大而增大；④当时，y随x的增大而减小．其中所有正确．．．．结论的序号是()A.①②B.②③C.①③D.②④10.在中，，，点M是CB的中点，点P是CA上一点，AM与BP相交于点N，连接CN，若，则下列结论错误．．的是()A. B. C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

11.若，则__________.12.抛物线与y轴的交点坐标是__________.13.如图，在的正方形网格中，小正方形的顶点称为格点，顶点均在格点上的图形称为格点图形，图中的圆弧AC为格点外接圆的一部分，小正方形边长为1，则的长为__________.14.如图，在中，，，，O，D分别为AB，BC的中点，E为边AC上动点，为直角三角形，点F在DE的上方，且，若点E与点C重合，则DF的长是__________；点E运动过程中OF的最小值为__________.三、计算题：本大题共1小题，共8分。

合肥市2020年九年级上学期期末数学试题（I）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题1 . 某次数学测试后，对九（1）班和九（2）班的50名同学进行成绩分析，甲说：“九（1）班同学的平均分比九（2）班高”，乙说：“第25名和第26名同学的平均分九（2）班比九（1）班高．”上面两名同学说法能反映出的统计量有（）A．平均数和众数B．众数和方差C．平均数和方差D．平均数和中位数2 . 一元二次方程是x2+x＝0的根的是（）A．x1＝0，x2＝1B．x1＝1，x2＝﹣1C．x1＝0，x2＝﹣1D．x1＝x2＝﹣13 . 下列事件中，必然事件是（）A．在体育中考中，小明考了满分B．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯C．抛掷两枚正方体骰子，点数和大于1D．四边形的外角和为180度．4 . 如图，在□ABCD中，点∶1∶2，BE交AC于点F，则AF∶CF为（）A．1∶2B．1∶3C．2∶3D．2∶55 . 如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD是∠CAB的角平分线，DE⊥AB于点E，若AB=6cm，则△DEB的周长是（）A．5cm B．6cm C．7cm D．8cm6 . 在坐标系中，已知A（6，0），B（0，8），C（0，﹣2），过点C作直线L交x轴于点D，使得以点D、C、O 为顶点的三角形与△AOB相似，这样的直线一共可以作（）条．A．3B．4C．5D．67 . 在平面直角坐标系中，如图是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象的一部分，给出下列命题：①a+b+c ＝0；②b＞2a；③方程ax2+bx+c＝0的两根分别为﹣3和1；④b2﹣4ac＞0，其中正确的命题有（）A．1个B．2个C．3个D．4个8 . 如图是二次函数图象的一部分，则关于的不等式的解集是（）A．B．C．D．二、填空题9 . 已知⊙O的半径为1，弦AB=，弦AC=，则∠BAC的度数为___．10 . 如图，AB是⊙O的弦，AB=8，点C是⊙O上的一个动点，且∠ACB=45°．若点M，N分别是AB，BC的中点，则MN长的最大值是_________．11 . 现有甲乙两个合唱队，他们的平均身高都是1.70cm, 方差分别是S2甲、S2乙，且S2甲＞S2乙，则两个队队员的身高较整齐的是_________队(填甲或乙)。

安徽省合肥市蜀山区19-20学年九年级上学期期末数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.我国主要银行的商标设计基本上都融入了中国古代钱币的图案，下图所示是我国四大银行的行标图案，其中是轴对称图形而不是中心对称图形的是()A. B. C. D.2.若2a=3b，则ab=()A. 52B. 53C. 23D. 323.把抛物线y=−2x2向上平移1个单位，再向右平移1个单位，得到的抛物线是()A. y=−2(x+1)2+1B. y=−2(x−1)2+1C. y=−2(x−1)2−1D. y=−2(x+1)2−14.如图，在△ABC中，∠A=90°.若AB=12，AC=5，则cos C的值为()A. 513B. 1213C. 512D. 1255.如图，AB是⊙O直径，若∠BDC=25°，则∠AOC的度数是()A. 50°B. 100°C. 125°D.130°6.已知点A(−2,a)，B(−1,b)，C(3,c)都在函数y=4x的图象上，则a、b、c的大小关系是()A. a<b<cB. b<a<cC. c<b<aD. c<a<b7.如图，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过点(−1,2)，且与X轴交点的横坐标分别为x1，x2，其中−2<x1<−1，0<x2<1，下列结论：①4a −2b +c <0；②2a −b <0；③a +c <1；④b 2+8a >4ac ，其中正确的有( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个8. 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有一问题：“今有勾八步，股十五步，问勾中容圆径几何？”其意思是：“今有直角三角形，勾(短直角边)长为8步，股(长直角边)长为15步，问该直角三角形能容纳的圆形(内切圆)半径是多少( )A. 3步B. 5步C. 6步D. 8步9. 如图，在△ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，且BD =2AD ，CE =2AE ，则下列结论中不成立的是( )A. △ABC∽△ADEB. DE//BCC. DE ：BC =1：2D. S △ABC =9S △ADE10. 如图，一段抛物线：y =−x(x −5)(0≤x ≤5)，记为C 1，它与x 轴交于点O ，A 1；将C 1绕点A 1旋转180°得C 2，交x 轴于点A 2；将C 2绕点A 2旋转180°得C 3，交x 轴于点A 3；…如此进行下去，得到一“波浪线”，若点P(2018,m)在此“波浪线”上，则m 的值为( )A. 4B. −4C. −6D. 6二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）11. 平面直角坐标系中，点A 坐标为(2√3,2)，将点A 沿x 轴向左平移m 个单位后恰好落在反比例函数y =−2√3x 的图象上，则m 的值为______ ．12. 若正六边形的边长为2，则它的外接圆的半径是______ ，内接圆的半径为______ ．13. 如图，在四边形ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，∠ABC =∠DAC =90°，tan∠ACB =12，BO OD=43，则S △ABDS △CBD =______．14.已知抛物线y=x2+bx+c的图象如图所示，且OC=OB，则b+c=______．三、解答题（本大题共9小题，共90.0分）)−2+|√3−3|+2sin60°15.计算：(−1216.如图所示，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC的顶点A，B，C在格点(网格线的交点)上．(1)将△ABC绕点B逆时针旋转90°，得到△A1BC1，画出△A1BC1；(2)以点A为位似中心放大△ABC，得到△AB2C2，使放大前后的三角形面积之比为1：4，请你在网格内画出△AB2C2．17.已知二次函数y=−2x2+8x−6，完成下列各题：(1)将函数关系式用配方法化为y=a(x+ℎ)2+k的形式，并写出它的顶点坐标、对称轴；(2)它的图象与x轴交于A，B两点，顶点为C，求S△ABC．18.如图，破残的圆形轮片上，弦AB的垂直平分线交AB⌢于点C，交弦AB于点D.已知AB=24cm，CD=8c m．(1)求作此残片所在的圆;(不写作法，保留作图痕迹)(2)求(1)中所作圆的半径．19.已知：如图，斜坡AP的坡度为1:2.4，坡长AP为26米，在坡顶A处的同一水平面上有一座古塔BC，在斜坡底P处测得该塔的塔顶B的仰角为45°，在坡顶A处测得该塔的塔顶B的仰角为76°.求：(1)坡顶A到地面PQ的距离；(2)古塔BC的高度(结果精确到1米).(参考数据：sin76°≈0.97，cos76°≈0.24，tan76°≈4.01)20.已知，如图，在Rt△ABC中，CD是斜边上的中线，DE⊥AB交BC于点F，交AC的延长线于点E．求证：(1)△ADE∽△FDB；(2)CD2=DE⋅DF．21.如图，D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上，且∠CDA=∠CBD．(1)判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由．(2)过点B作的⊙O切线交CD的延长线于点E，若BC=12，BE=5，求⊙O的半径长．22.在园林维护过程中，有大面积的绿化带EF需要浇水，如图，AB是一段管道，且距离地面CD的高BC=3米，点A是喷水头，喷水头喷出的水的路径为抛物线的一部分，在离喷水头水平距离1米时达到距地面的最大高度m米，以点C为原点，CD所在直线为横轴，CB所在直线为纵轴建立平面直角坐标系．(1)当m=4时，求抛物线的解析式及抛物线与x轴正半轴的交点的坐标；(2)已知CE=5米，CF=11米，若水喷在绿化带EF内(含点E，F)才能准确地给绿化带灌水，2求m的取值范围．23.如图，正方形ABCD的边长是16，点E在边AB上，AE=3，动点F在边BC上，且不与点B、C重合，将△EBF沿EF折叠，得到△EB′F．(1)当∠BEF=45°时，求证：CF=AE；(2)当B′D=B′C时，求BF的长；(3)求△CB′F周长的最小值．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形．故此选项错误；B、是轴对称图形，也是中心对称图形．故此选项错误；C、是轴对称图形，也是中心对称图形．故此选项错误；D、是轴对称图形，不是中心对称图形．故此选项正确．故选：D．根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．此题主要考查中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．2.答案：D解析：内项之积等于外项之积，依据比例的基本性质进行变形即可．本题主要考查了比例的性质，解题时注意：内项之积等于外项之积．解：∵2a=3b，∴ab =32，故选D．3.答案：B解析：[分析]易得原抛物线的顶点及平移后新抛物线的顶点，根据平移不改变二次项系数利用顶点式可得抛物线解析式．[详解]解：∵函数y=−2x2的顶点为(0,0)，∴向上平移1个单位，再向右平移1个单位的顶点为(1,1)，∴将函数y=−2x2的图象向上平移1个单位，再向右平移1个单位，得到抛物线的解析式为y=−2(x−1)2+1，故选B．[点睛]二次函数的平移不改变二次项的系数；关键是根据上下平移改变顶点的纵坐标，左右平移改变顶点的横坐标得到新抛物线的顶点．4.答案：A解析：解：根据勾股定理得，BC=2+AB2=√52+122=13，所以，cosC=ACBC =513．故选：A．利用勾股定理列式求出BC，再根据锐角的余弦等于邻边比斜边解答．本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．5.答案：D解析：本题主要考查了圆周角定理，由圆周角定理可知∠BOC=2∠BDC，∠AOC=180°−∠BOC，即可得∠AOC的度数．解：由圆周角定理得∠BOC=2∠BDC=50°，∵∠AOC=180°−∠BOC，∴∠AOC=130°．故选D．6.答案：B解析：本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特征，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．先根据反比例函数中k>0判断出函数图象所在的象限及增减性，再根据各点横坐标的特点即可得出结论．中k=4>0，解：∵反比例函数y=4x∴函数图象的两个分支分别位于一、三象限，且在每一象限内y随x的增大而减小．∵−2<−1<0，∴点A(−2,a)，B(−1,b)位于第三象限，且b<a<0．∵3>0，∴点C(3,c)位于第一象限，∴c>0，∴b<a<c．故选B．7.答案：D解析：解：①由函数的图象可得：当x=−2时，y<0，即y=4a−2b+c<0，故①正确；>−1，得②由函数的图象可知：抛物线开口向下，则a<0；抛物线的对称轴大于−1，即x=−b2a出2a−b<0，故②正确；③已知抛物线经过(−1,2)，即a−b+c=2(1)，由图象知：当x=1时，y<0，即a+b+c<0(2)，联立(1)(2)，得：a+c<1，故③正确；④由于抛物线的对称轴大于−1，所以抛物线的顶点纵坐标应该大于2，即：4ac−b2>2，由于a<0，4a所以4ac−b2<8a，即b2+8a>4ac，故④正确，故选D．①将x=−2代入y=ax2+bx+c，可以结合图象得出x=−2时，y<0；>−1，即可得②由抛物线开口向下，可得a<0；由图象知抛物线的对称轴大于−1，则有x=−b2a出2a−b<0；③已知抛物线经过(−1,2)，即a−b+c=2(1)，由图象知：当x=1时，y<0，即a+b+c<0(2)，联立(1)(2)，可得a+c<1；④由抛物线的对称轴大于−1，可知抛物线的顶点纵坐标应该大于2，结合顶点的纵坐标与a<0，可以得到b2+8a>4ac．本题主要考查对二次函数图象与系数的关系，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)中，a的符号由抛物线的开口方向决定；c的符号由抛物线与y轴交点的位置确定；b的符号由对称轴的位置与a的符号决定；抛物线与x轴的交点个数决定根的判别式的符号，此外还要注意二次函数图象上的一些特殊点．8.答案：A解析：解：根据勾股定理得：斜边为√82+152=17，则该直角三角形能容纳的圆形(内切圆)半径r=8+15−172=3(步)．故选：A．根据勾股定理求出直角三角形的斜边，即可确定出内切圆半径．此题考查了三角形的内切圆与内心，Rt△ABC，三边长为a，b，c(斜边)，其内切圆半径r=a+b−c2．9.答案：C解析：本题考查了相似三角形的判定和性质，证明DE//BC是解题的关键．由已知条件易证ADAB =AEAC，∠A=∠A，则△ABC∽△ADE，再由相似三角形的性质即可得到问题的选项．解：∵BD=2AD，CE=2AE，∴ADBD =AEEC=12ADAB=AEAC=13，∠A=∠A，∴△ABC∽△ADE，故A正确；∴DE//BC，故B正确；∴DE：BC=1：3DEBC =13，故C错误；∴S△ABC=9S△ADE，故D正确；故选：C．10.答案：C解析：解：当y=0时，−x(x−5)=0，解得x1=0，x2=5，则A1(5,0)，∴OA1=5，∵将C1绕点A1旋转180°得C2，交x轴于点A2；将C2绕点A2旋转180°得C3，交x轴于点A3；…如此进行下去，得到一“波浪线”，∴A1A2=A2A3=⋯=OA1=5，∴抛物线C404的解析式为y=(x−5×403)(x−6×404)，即y=(x−2015)(x−2020)，当x=2018时，y=(2018−2015)(2018−2020)=−6，即m=−6．故选：C．先解方程得到−x(x−5)=0得A1(5,0)，则OA1=5，利用旋转性质得A1A2=A2A3=⋯=OA1=5，再利用抛物线的性质可确定抛物线C404的解析式为y=(x−2015)(x−2020)，然后计算自变量为2018时的函数值即可得到m的值．本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c(a,b，c是常数，a≠0)与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了抛物线的几何变换．11.答案：3√3解析：解：∵A坐标为(2√3,2)，∴将点A沿x轴向左平移m个单位后得到的点的坐标是(2√3−m,2)，∵恰好落在反比例函数y=−2√3的图象上，x∴(2√3−m)×2=−2√3，解得：m=3√3．故答案为：3√3．根据点的平移规律可得平移后点的坐标是(2√3−m,2)，再根据反比例函数图象上点的坐标特点可得(2√3−m)×2=−2√3，再解方程即可得到答案．此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特点，以及点的平移规律，图象上的点(x,y)的横纵坐标的积是定值k，即xy=k．12.答案：2；√3解析：本题考查学生对正多边形的概念掌握和计算的能力．解答这类题往往一些学生因对正多边形的基本知识不明确，将多边形的半径与内切圆的半径相混淆而造成错误计算．利用正六边形的概念以及正六边形外接圆和内切圆的性质进而计算．解：边长为2的正六边形可以分成六个边长为2的正三角形，而正多边形的内切圆的半径即为每个边长为2的正三角形的高，所以正多边形的内切圆的半径等于√32×2=√3，外接圆半径是2，内切圆半径是√3．故答案为2，√3．13.答案：332解析：解：如图，过点D作DM//BC，交CA的延长线于点M，延长BA交DM于点N，∵DM//BC，∴△ABC∽△ANM，△OBC∽△ODM，∴ABBC =ANNM=tan∠ACB=12，BCDM=OBOD=43，又∵∠ABC=∠DAC=90°，∴∠BAC+∠NAD=90°，∵∠BAC+∠BCA=90°，∴∠NAD=∠BCA，∴△ABC∽△DAN，∴ABBC =DNNA=12，设AB=a，DN=b，则BC=2a，NA=2b，MN=4b，由BCDM =OBOD=43得，DM=32a，∴4b+b=32a，即，b=310a，∴S△ABDS△BCD =12AB⋅DN12BC⋅NB=ab2a⋅(a+2b)=310a22a⋅1610a=332．故答案为：332．通过作辅助线，得到△ABC∽△ANM，△OBC∽△ODM，△ABC∽△DAN，进而得出对应边成比例，再根据tan∠ACB =12，BO OD =43，得出对应边之间关系，设AB =a ，DN =b ，表示BC ，NA ，MN ，进而表示三角形的面积，求出三角形的面积比即可．本题考查相似三角形的性质和判定，根据对应边成比例，设常数表示三角形的面积是得出正确答案的关键． 14.答案：−1解析：解：当x =0时，y =c ，则C 点坐标为(0,c)，∵OC =OB ，∴B 点坐标为(c,0)，把B(c,0)代入y =x 2+bx +c 得c 2+bc +c =0，∴b +c =−1．故答案为−1．先确定抛物线与y 轴交点C 的坐标为(0,c)，利用OB =OC 可确定B 点坐标为(c,0)，然后根据二次函数图象上点的坐标特征把B(c,0)代入y =x 2+bx +c 后经过变形即可得到b +c 的值．本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y =ax 2+bx +c(a ≠0)，二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小：当a >0时，抛物线向上开口；当a <0时，抛物线向下开口；一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置：当a 与b 同号时(即ab >0)，对称轴在y 轴左；当a 与b 异号时(即ab <0)，对称轴在y 轴右；常数项c 决定抛物线与y 轴交点：抛物线与y 轴交于(0,c).也考查了二次函数图象上点的坐标特征．15.答案：解：(−12)−2+|√3−3|+2sin60°=4+3−√3+2×√32 =7−√3+√3=7解析：首先计算乘方，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可．此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用． 16.答案：解：(1)如图所示，△A 1BC 1即为所求．(2)如图所示，△AB2C2即为所求．解析：(1)分别作出点A、C绕点B逆时针旋转90°所得对应点，再顺次连接即可得；(2)分别作出点B、C变换后的对应点，再顺次连接即可得．本题主要考查作图−旋转变换、位似变换，解题的关键是掌握旋转变换和位似变换的定义与性质．17.答案：解：(1)y=−2x2+8x−6=−2(x2−4x+3)=−2(x2−4x+4−4+3)．=−2(x−2)2+2，∴顶点坐标为(2,2)，对称轴为直线x=2．(2)令−2(x−2)2+2=0解得：x1=3，x2=1．∴A(3,0)，B(1,0)∴AB=3−1=2．∴C(2,2)，×2×2=2．∴S△ABC=12解析：本题考查了二次函数的三种形式，二次函数的性质，二次函数图象与x轴的交点问题，熟练掌握配方法的操作整理成顶点式形式求出顶点坐标和对称轴更加简便．(1)利用配方法整理成顶点式，然后写出顶点坐标和对称轴即可；(2)令y=0解关于x的一元二次方程，即可得到与x轴的交点坐标，然后利用三角形的面积公式计算即可．18.答案：解：(1)作弦AC的垂直平分线与弦BC的垂直平分线交于O点，以O为圆心，OA长为半径作圆O就是此残片所在的圆，如图．(2)连接OA，设OA=x cm，AD=12cm，OD=(x−8)cm，则根据勾股定理列方程：x2=122+(x−8)2，解得：x=13．答：圆的半径为13cm．解析：本题主要考查的是垂径定理，线段垂直平分线的性质，勾股定理的有关知识，尺规作图作已知线段的垂直平分线．(1)由垂径定理知，垂直于弦的直径是弦的中垂线，故作AC，BC的中垂线交于点O，则点O是弧ACB所在圆的圆心；(2)在Rt△OAD中，由勾股定理可求得半径OA的长．19.答案：解：(1)过点A作AH⊥PQ，垂足为点H，∵斜坡AP的坡度为1：2.4，∴AHPH =512，设AH=5k，则PH=12k，由勾股定理，得AP=13k，∴13k=26，解得k=2，∴AH=10m，答：坡顶A到地面PQ的距离为10m．(2)延长BC交PQ于点D，∵BC⊥AC，AC//PQ，∴BD⊥PQ，∴四边形AHDC是矩形，CD=AH=10m，AC=DH．∵∠BPD=45°，∴PD=BD．设BC=x，则x+10=24+DH，∴AC=DH=x−14，在Rt△ABC中，tan76°=BCAC，即xx−14≈4.0解得x=563，即x≈19，答：古塔BC的高度约为19米．解析：此题主要考查了坡度问题以及仰角的应用，根据已知在直角三角形中得出各边长度是解题关键．(1)过点A作AH⊥PQ，垂足为点H，利用斜坡AP的坡度为1：2.4，得出AH，PH，AP的关系求出即可；(2)利用矩形性质求出，设BC=x，则x+10=24+DH，再利用tan76°=BCAC，求出即可．20.答案：证明：(1)∵DE⊥AB，∴∠ADE=∠BDF=90°，∵∠ACB=∠ECF=∠FDB=90°，∴∠E+∠CFE=90°，∠B+∠DFB=90°，∵∠CFE=∠DFB，∴∠E=∠B，∴△ADE∽△FDB．(2)∵△ADE∽△FDB，∴ADDF =DEDB，∴AD⋅DB=DE⋅DF，∵∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线，∴AD=BD=CD，∴CD2=DE⋅DF．解析：(1)根据两角对应相等的两个三角形相似即可证明；(2)利用相似三角形的性质以及直角三角形斜边中线的性质即可解决问题；本题考查相似三角形的判定和性质，直角三角形斜边的中线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．21.答案：解：(1)直线CD和⊙O的位置关系是相切，理由是：连接OD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∴∠DAB+∠DBA=90°，∵∠CDA=∠CBD，∴∠DAB+∠CDA=90°，∵OD=OA，∴∠DAB=∠ADO，∴∠CDA+∠ADO=90°，即OD⊥CE，已知D为⊙O的一点，∴直线CD是⊙O的切线，即直线CD和⊙O的位置关系是相切；(2)∵BC=12，BE=5，过点B作的⊙O切线交CD的延长线于点E，∴CE=√BC2+BE2=13，∵根据切线长定理可得：DE=BE=5，∴CD=13−5=8，设⊙O的半径是x，∵∠C=∠C，∠ODC=∠EBC=90°，∴△ODC∽△EBC，∴BEOD =BCCD，即128=5x，解得：x=103，即⊙O的半径长为103．解析：(1)连接OD，根据圆周角定理求出∠DAB+∠DBA=90°，求出∠CDA+∠ADO=90°，根据切线的判定推出即可；(2)根据勾股定理求出CE，根据切线长定理求出DE=EB，根据相似三角形得出方程，求出方程的解即可．本题考查了切线的性质和判定，切线长定理，圆周角定理，相似三角形的性质和判定的应用，题目比较典型，综合性比较强，难度适中．22.答案：解：(1)设y=a(x−3)2+4，∵点A(2,3)在该抛物线上，∴3=a(2−3)2+4，得a=−1，∴y=−(x−3)2+4，令y=0，得x1=1，x2=5，即抛物线的解析式是y=−(x−3)2+4，抛物线与x轴正半轴的交点的坐标是(1,0)、(5,0)；(2)设y=a(x−3)2+m，∵点A(2,3)在该抛物线上，∴3=a(2−3)2+m，得a=3−m，∴y=(3−m)(x−3)2+m，∵CE=5米，CF=112米，水喷在绿化带EF内(含点E、F)，∴{(3−m)(5−3)2+m≥0 (3−m)(112−3)2+m≤0，解得，257≤m≤4，即m的取值范围是257≤m≤4．解析：本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用二次函数的性质和不等式的性质解答．(1)根据题意可以设出抛物线的顶点式，然后根据抛物线过点A即可求得抛物线的解析式，然后令y= 0即可求得抛物线与x轴的交点坐标；(2)根据题意可以得到关于m的不等式组，从而可以求得m的取值范围．23.答案：(1)证明：如图1中，当∠BEF=45°时，易知四边形BEB′F是正方形，∴BF=BE，∵AB=BC，∴CF=AE=3．(2)解：如图2中，作B′N⊥BC于N，NB′的延长线交AD于M，作EG⊥MN于G，则四边形MNCD、四边形AEGM都是矩形．∵B′D=B′C，∴∠B′DC=∠B′CD，∵∠ADC=∠BCD=90°，∴∠B′DM=∠B′CN，∵∠B′MD=∠B′NC=90°，∴△B′MD≌△B′CN，∴B′M=B′N=8，∵AE=MG=3，∴GB′=5，在Rt△EGB′中，EG=√EB′2−GB′2=√132−52=12，∵∠EB′G+∠FB′N=90°，∠FB′N+∠B′FN=90°，∴∠EB′G=∠B′FN，∵∠EGB′=∠FNB′=90°，∴△EGB′∽△B′NF，∴EGB′N =EB′FB′，∴128=13B′F，∴BF=B′F=263．(3)解：如图3中，以E为圆心EB为半径画圆，在Rt△EBC中，∠EBC=90°，EB=13，BC=16，∴EC=√162+132=5√17，∵△CFB′的周长=CF+FB′+CB′=BF+CF+CB′=BC+CB′=16+CB′，∴欲求△CFB′的周长的最小值，只要求出CB′的最小值即可，∵CB′+EB′≥EC，∴E、B′、C共线时，CB′的值最小，CB′最小值为5√17−13．∴△CFB′的周长的最小值为3+5√17．解析：(1)如图1中，当∠BEF=45°时，易知四边形BEB′F是正方形，推出BF=BE，由AB=BC，即可证明CF=AE=3．(2)如图2中，作B′N⊥BC于N，NB′的延长线交AD于M，作EG⊥MN于G，则四边形MNCD、四边形AEGM都是矩形．由△B′MD≌△B′CN，推出B′M=B′N=8，由AE=MG=3，推出GB′=5，在Rt△EGB′中，EG=√EB′2−GB′2=√132−52=12，由△EGB′∽△B′NF，推出EGB′N =EB′FB′，由此即可解决问题．(3)如图3中，以E为圆心EB为半径画圆，在Rt△EBC中，∠EBC=90°，EB=13，BC=16，推出EC=2+132=5√17，由△CFB′的周长=CF+FB′+CB′=BF+CF+CB′=BC+CB′= 16+CB′，所以欲求△CFB′的周长的最小值，只要求出CB′的最小值即可，因为CB′+EB′≥EC，所以E、B′、C共线时，CB′的值最小．本题考查四边形综合题、正方形的性质与判定、全等三角形的判定和性质、三角形的三边关系定理、勾股定理、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造全等三角形或相似三角形解决问题，学会利用三边关系定理解决最值问题，属于中考压轴题．。

九年级上学期期末数学试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．如图是某货站传送货物的机器的侧面示意图.AD DB ⊥，原传送带AB 与地面DB 的夹角为30，为了缩短货物传送距离，工人师傅欲增大传送带与地面的夹角，使其由30改为45︒，原传送带AB 长为8m .则新传送带AC 的长度为（ ）A ．4B ．42C ．6D ．无法计算【答案】B 【分析】根据已知条件，在Rt ABD ∆中，求出AD 的长，再在Rt ACD ∆中求出AC 的值. 【详解】AD DB ⊥，30ABD ∠=︒，AB =8 ∴30sin AD AB ︒=即128AD = ∴4=AD45ACD ∠=︒ ∴sin 45AD AC ︒=即242AC= 42AC ∴=故选B.【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键.2．计算20182019103)103)的值为( )A ．1B 103C 103D ．310【答案】B【解析】逆用同底数幂的乘法和积的乘方将式子变形，再运用平方差公式计算即可.【详解】解：))2018201933 ))2018[33]3= )201813=⨯3=故选B.【点睛】本题考查二次根式的运算，高次幂因式相乘往往是先设法将底数化为积为1或0的形式，然后再灵活选用幂的运算法则进行化简求值.3．若关于x 的方程（m ﹣2）x 2+mx ﹣1=0是一元二次方程，则m 的取值范围是（ ）A ．m≠2B ．m=2C ．m≥2D ．m≠0【答案】A【解析】解：∵关于x 的方程（m ﹣1）x 1+mx ﹣1=0是一元二次方程，∴m-1≠0，解得：m≠1．故选A ． 4．为了估计抛掷某枚啤酒瓶盖落地后凸面向下的概率，小明做了大量重复试验．经过统计得到凸面向上的次数为420次，凸面向下的次数为580次，由此可估计抛掷这枚啤酒瓶盖落地后凸面向下的概率约为（ ）A ．0.12B ．0.42C ．0.5D ．0.58 【答案】D【分析】由向上和向下的次数可求出向下的频率，根据大量重复试验下，随机事件发生的频率可以作为概率的估计值即可得答案．【详解】∵凸面向上的次数为420次，凸面向下的次数为580次，∴凸面向下的频率为580÷（420+580）=0.58，∵大量重复试验下，随机事件发生的频率可以作为概率的估计值，∴估计抛掷这枚啤酒瓶盖落地后凸面向下的概率约为0.58，故选：D ．【点睛】本题考查利用频率估计概率，熟练掌握大量重复试验下，随机事件发生的频率可以作为概率的估计值是解题关键．5．下列事件中，是必然事件的是（ ）A ．某射击运动员射击一次，命中靶心B ．抛一枚硬币，一定正面朝上C ．打开电视机，它正在播放新闻联播D ．三角形的内角和等于180°【答案】D【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念解答即可．【详解】A.某射击运动员射击一次，命中靶心，是随机事件，故此选项错误；B.抛一枚硬币，一定正面朝上，是随机事件，故此选项错误；C.打开电视机，它正在播放新闻联播，是随机事件，故此选项错误；D.三角形的内角和等于180°，是必然事件．故选：D ．【点睛】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．6．将一元二次方程2210x x --=配方后所得的方程是( )A ．2(2)0x -=B ．2(1)2x -=C ．2(1)1x -=D ．2(2)2x -=【答案】B【分析】严格按照配方法的一般步骤即可得到结果．【详解】∵2210x x --=， ∴， ∴， 故选B.【点睛】解答本题的关键是掌握配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数． 7．如图，平面直角坐标系中，⊙P 经过三点A （8，0），O （0，0），B （0，6），点D 是⊙P 上的一动点．当点D 到弦OB 的距离最大时，tan ∠BOD 的值是（ ）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【解析】如图，连接AB，过点P作PE⊥BO，并延长EP交⊙P于点D，求出⊙P的半径，进而结合勾股定理得出答案．【详解】解：如图，连接AB，过点P作PE⊥BO，并延长EP交⊙P于点D，此时点D到弦OB的距离最大，∵A（8，0），B（0，6），∴AO=8，BO=6，∵∠BOA=90°，∴AB=2286+=10，则⊙P的半径为5，∵PE⊥BO，∴BE=EO=3，∴PE=2253-=4，∴ED=9，∴tan∠BOD=EDEO=3，故选B．【点睛】本题考查了圆周角定理以及勾股定理、解直角三角形等知识，正确作出辅助线是解题关键．8．如图，点A的坐标为（0，1），点B是x轴正半轴上的一动点，以AB为边作等腰Rt△ABC，使∠BAC=90°，设点B的横坐标为x，设点C的纵坐标为y，能表示y与x的函数关系的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】根据题意作出合适的辅助线，可以先证明△ADC 和△AOB 的关系，即可建立y 与x 的函数关系，从而可以得到哪个选项是正确的．【详解】作AD ∥x 轴，作CD ⊥AD 于点D ，如图所示，由已知可得，OB=x ，OA=1，∠AOB=90°，∠BAC=90°，AB=AC ，点C 的纵坐标是y ， ∵AD ∥x 轴， ∴∠DAO+∠AOD=180°，∴∠DAO=90°，∴∠OAB+∠BAD=∠BAD+∠DAC=90°，∴∠OAB=∠DAC ，在△OAB 和△DAC 中，AOB ADC OAB DAC AB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△OAB ≌△DAC （AAS ），∴OB=CD ，∴CD=x ，∵点C 到x 轴的距离为y ，点D 到x 轴的距离等于点A 到x 的距离1，∴y=x+1（x ＞0）．考点：动点问题的函数图象9．不等式5131x x +≥-的解集在数轴上表示正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．【解析】先求出不等式的解集，再在数轴上表示出来即可．【详解】解：5131x x +≥-，移项得：5311x x -≥--，合并同类项得：22x ≥-，系数化为1得，1x ≥-， 在数轴上表示为：故选：B ．【点睛】本题考查了在数轴上表示不等式的解集，把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．10．下列事件是必然事件的是（ ）A ．半径为2的圆的周长是2πB ．三角形的外角和等于360°C ．男生的身高一定比女生高D ．同旁内角互补 【答案】B【分析】根据必然事件的概念（必然事件指在一定条件下一定发生的事件），可判断出正确答案．【详解】解：A 、半径为2的圆的周长是4π，不是必然事件；B 、三角形的外角和等于360°，是必然事件；C 、男生的身高一定比女生高，不是必然事件；D 、同旁内角互补，不是必然事件；故选B.【点睛】本题考查了必然事件的定义，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．11．在平面直角坐标系中，点P （﹣1，2）关于原点的对称点的坐标为（ ）A ．（﹣1，﹣2）B ．（1，﹣2）C ．（2，﹣1）D ．（﹣2，1）【答案】B【解析】用关于原点的对称点的坐标特征进行判断即可.【详解】点P(-1,2)关于原点的对称点的坐标为(1,-2),故选: B.根据两个点关于原点对称时, 它们的坐标符号相反.12．抛物线23y x =向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得到的抛物线是（ ）A ．23(1)2=--y xB ．23(1)2y x =+-C ．23(1)2y x =++D ．23(1)2y x =-+【答案】B【分析】根据“左加右减、上加下减”的平移规律即可解答．【详解】解：抛物线23y x =向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得到的抛物线是23(1)2y x =+-， 故答案为：B ．【点睛】本题考查了抛物线的平移，解题的关键是熟知“左加右减、上加下减”的平移规律．二、填空题（本题包括8个小题）13．如图，在平面直角坐标系中，已知A （1，0），D （3，0），△ABC 与△DEF 位似，原点O 是位似中心，若AB=2，则DE=______.【答案】1【解析】利用位似的性质得到AB ：DE=OA ：OD ，然后把OA=1，OD=3，AB=2代入计算即可．【详解】解：∵△ABC 与△DEF 位似，原点O 是位似中心，∴AB ：DE=OA ：OD ，即2：DE=1：3，∴DE=1．故答案是：1．【点睛】考查了位似变换：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．14．将二次函数y=2x 2的图像沿x 轴向左平移2个单位，再向下平移3个单位后，所得函数图像的函数关系式为______________.【答案】y=2(x+2)2-3【分析】根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可.【详解】解：根据“上加下减，左加右减”的原则可知，二次函数y ＝2x 2的图象向左平移2个单位，再向下平移3个单位后得到的图象表达式为y=2(x+2)2-3本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的原则是解答此题的关键．15．如图，已知点A、B分别在反比例函数1y(x0)x=>，4y(x0)x=->的图象上，且OA OB⊥，则OBOA的值为______．【答案】2【分析】作AC y⊥轴于C，BD y⊥轴于D，如图，利用反比例函数图象上点的坐标特征和三角形面积公式得到OAC1S2=，OBDS2=，再证明Rt AOC∽Rt OBD，然后利用相似三角形的性质得到OAOB的值，即可得出OBOA．【详解】解：作AC y⊥轴于C，BD y⊥轴于D，如图，点A、B分别在反比例函数1y(x0)x=>，4y (x 0)x=->的图象上，OAC11S122∴=⨯=，OBD1S422=⨯-=，OA OB⊥，AOB90∠∴=︒AOC BOD90∠∠∴+=︒，AOC DBO∠∠∴=，Rt AOC∴∽Rt OBD，2AOCOBD1S OA2()S OB2∴==，OA 1OB 2∴=． OB 2OA∴= 故答案为2．【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数k y (k x=为常数，k 0)≠的图象是双曲线，图象上的点()x,y 的横纵坐标的积是定值k ，即xy k =．16．某小区2010年屋顶绿化面积为2000平方米，计划2012年屋顶绿化面积要达到2880平方米．如果每年屋顶绿化面积的增长率相同，那么这个增长率是_________．【答案】20%【解析】分析：本题需先设出这个增长率是x ，再根据已知条件找出等量关系列出方程，求出x 的值，即可得出答案．解答：解：设这个增长率是x ，根据题意得：2000×（1+x ）2=2880解得：x 1=20%，x 2=-220%（舍去）故答案为20%．172020191(3)10sin 30(1)2π-⎛⎫----+ ⎪⎝⎭︒=_____________． 【答案】1【分析】由题意首先计算乘方、开方和特殊三角函数，然后从左向右依次进行加减计算，即可求出算式的值．2020191(3)10sin 30(1)2π-⎛⎫---+ ⎝︒--⎪⎭=12110(1)42--⨯--+ =21514--++=1故答案为1.【点睛】本题主要考查实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行；另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．18．将一副三角尺按如图所示的方式叠放在一起，边AC 与BD 相交于点E ，则AE EC的值等于_________．【答案】63 【分析】如图（见解析），先根据等腰直角三角形的判定与性质可得2EC EF =，设EF x =，从而可得2EC x =，再在Rt AEF 中，利用直角三角形的性质、勾股定理可得233x AE =，由此即可得出答案． 【详解】如图，过点E 作EF AC ⊥于点F ，由题意得：90,30,45CAD ACB B D ∠=∠=︒∠=︒∠=︒， 9045,9060ECF D EAF B ∴∠=︒-∠=︒∠=︒-∠=︒， Rt CEF ∴是等腰直角三角形，2EC EF ∴=，设EF x =，则2EC x =，在Rt AEF 中，9030AEF EAF ∠=︒-∠=︒，2213,2AF AE EF AE AF AE ∴==-=， 32AE x ∴=， 解得233x AE =， 则236332xA EC xE ==， 故答案为：63．【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定与性质、直角三角形的性质、勾股定理等知识点，通过作辅助线，构造两个直角三角形是解题关键．三、解答题（本题包括8个小题）19．某校3男2女共5名学生参加黄石市教育局举办的“我爱黄石”演讲比赛．（1）若从5名学生中任意抽取3名，共有多少种不同的抽法，列出所有可能情形；（2）若抽取的3名学生中，某男生抽中，且必有1女生的概率是多少？【答案】（1）共有10种不同的抽法，分别是：男男男，男男女，男男女，男男女，男男女，男女女，男男女，男男女，男女女，男女女；（2）910【分析】（1）根据题意得出不同的抽法，再列举出即可；（2）根据（1）的不同的抽法，找出必有1女生的情况数，再根据概率公式即可得出答案．【详解】解：（1）从5名学生中任意抽取3名，共有10种不同的抽法，分别是：男男男，男男女，男男女，男男女，男男女，男女女，男男女，男男女，男女女，男女女；（2）共有10种不同的抽法，其中必有1女生的有9种，则必有1女生的概率是910． 【点睛】此题考查了概率的求法，用到的知识点为：概率 所求情况数与总情况数之比；解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．20．已知四边形ABCD 中，E ，F 分别是AB ，AD 边上的点，DE 与CF 相交于点G ．（1）如图①，若四边形ABCD 是矩形，且DE ⊥CF ，求证：DDE CF AD C ＝． （2）如图②，若四边形ABCD 是平行四边形，要使DDE CF AD C ＝成立，完成下列探究过程： 要使D DE CF AD C ＝，转化成D DE AD CF C ＝，显然△DEA 与△CFD 不相似，考虑DDE AD DF G ＝，需要△DEA ∽△DFG ，只需∠A ＝∠________;另一方面，只要D CF CD DF G ＝，需要△CFD ∽△CDG ，只需∠CGD ＝∠________．由此探究出使DDE CF AD C ＝成立时，∠B 与∠EGC 应该满足的关系是________． （3）如图③，若AB ＝BC ＝6，AD ＝CD=8，∠BAD=90°，DE ⊥CF ，那么DE CF的值是多少?(直接写出结果)【答案】（1）证明见解析；（2）DGF ，CDF ，∠B ＋∠EGC ＝180°；（3）9520DE CF ． 【分析】（1）根据矩形性质得出∠A ＝∠FDC ＝90°，求出∠CFD ＝∠AED ，证出△AED ∽△DFC 即可； （2）当∠B ＋∠EGC ＝180°时，DDE CF AD C ＝成立，分别证明即可； （3）过C 作CN ⊥AD 于N ，CM ⊥AB 交AB 延长线于M ，连接BD ，设CN ＝x ，△BAD ≌△BCD ，推出∠BCD ＝∠A ＝90°，证△BCM ∽△DCN ，求出CM 25x ，在Rt △CMB 中，由勾股定理得出BM 2＋CM 2＝BC 2，代入得出方程（x−2）225x ）2＝22，求出CN ＝209，证出△AED ∽△NFC ，即可得出答案． 【详解】（1）证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴∠A ＝∠FDC ＝90°，∵CF ⊥DE ，∴∠DGF ＝90°，∴∠ADE ＋∠CFD ＝90°，∠ADE ＋∠AED ＝90°，∴∠CFD ＝∠AED ，∵∠A ＝∠CDF ，∴△AED ∽△DFC ， ∴DDE CF AD C ＝； （2）当∠B ＋∠EGC ＝180°时，D DE CF AD C ＝． 要使D DE CF AD C ＝，转化成D DE AD CF C ＝，显然△DEA 与△CFD 不相似，考虑DDE AD DF G ＝，需要△DEA ∽△DFG ，只需∠A ＝∠DGF;另一方面，只要D CF CD DF G ＝，需要△CFD ∽△CDG ，只需∠CGD ＝∠CDF ． 当∠B ＋∠EGC ＝180°时：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴∠B ＝∠ADC ，AD ∥BC ，∴∠B ＋∠A ＝180°，∵∠B ＋∠EGC ＝180°，∴∠A ＝∠EGC ＝∠FGD ，∵∠FDG ＝∠EDA ，∴△DFG ∽△DEA ， ∴G DE AD DF D ＝， ∵∠B ＝∠ADC ，∠B ＋∠EGC ＝180°，∠EGC ＋∠DGC ＝180°，∴∠CGD ＝∠CDF ，∵∠GCD ＝∠DCF ，∴△CGD ∽△CDF ，∴DDF DG CF C ＝， ∴DDE AD CF C ＝， ∴DDE CF AD C ＝， 即当∠B ＋∠EGC ＝180°时，D DE CF AD C ＝成立； （3）过C 作CN ⊥AD 于N ，CM ⊥AB 交AB 延长线于M ，连接BD ，设CN ＝x ，∵∠BAD ＝90°，即AB ⊥AD ，∴∠A ＝∠M ＝∠CNA ＝90°，∴四边形AMCN 是矩形，∴AM ＝CN ，AN ＝CM ，∵在△BAD 和△BCD 中，AD CD AB BC BD BD ⎧⎪⎨⎪⎩＝＝＝，∴△BAD ≌△BCD （SSS ），∴∠BCD ＝∠A ＝90°，∴∠ABC ＋∠ADC ＝180°，∵∠ABC ＋∠CBM ＝180°，∴∠MBC ＝∠ADC ，∵∠CND ＝∠M ＝90°，∴△BCM ∽△DCN ， ∴CM BC CN CD=，∴5CM x =， ∴CMx ， 在Rt △CMB 中，CMx ，BM ＝AM−AB ＝x−2，由勾股定理得：BM 2＋CM 2＝BC 2， ∴（x−2）2x ）2＝22， x ＝0（舍去），x ＝209， CN ＝209， ∵∠A ＝∠FGD ＝90°，∴∠AED ＋∠AFG ＝180°，∵∠AFG ＋∠NFC ＝180°，∴∠AED ＝∠CFN ，∵∠A ＝∠CNF ＝90°，∴△AED ∽△NFC ，∴9DE AD CF CN ===【点睛】本题考查了矩形性质和判定，勾股定理，平行四边形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定的应用，主要考查学生综合运用性质和定理进行推理的能力，题目比较好． 21．如图，在每个小正方形的边长均为1的方格纸中，线段AB 的端点A 、B 均在小正方形的顶点上.（1）在方格纸中画出以AB 为一条直角边的等腰直角ABC ∆，顶点C 在小正方形的顶点上.（2）在方格纸中画出ABC ∆的中线BD ，将线段DC 绕点C 顺时针旋转90︒得到线段'CD ，画出旋转后的线段'CD ，连接'BD ，直接写出四边形'BDCD 的面积.【答案】（1）见解析；（2）图形见解析，10【解析】（1）直接利用等腰直角三角形的性质得出C 点位置；（2）直接利用三角形中线的定义按要求作图，结合网格可得出四边形BDCD′的面积．【详解】（1）如图所示：（2）如图所示： BD=223110+=2'10BDCD S BD ==四边形.【点睛】考查等腰直角三角形的性质，作图-旋转变换，比较简单，找出旋转后的对应点是解题的关键.22．如图，河的两岸MN 与PQ 相互平行，点A ，B 是PQ 上的两点，C 是MN 上的点，某人在点A 处测得∠CAQ=30°，再沿AQ 方向前进20米到达点B ，某人在点A 处测得∠CAQ=30°，再沿AQ 方向前进20米到达点B ，测得∠CBQ=60°，求这条河的宽是多少米？（结果精确到0.1米，参考数据2≈1.414，3≈1.732）【答案】17.3米.【解析】分析：过点C 作CD PQ ⊥于D ，根据3060CAB CBD ∠=︒∠=︒，，得到30,ACB ∠=︒ 20AB BC ==，在Rt △CDB 中，解三角形即可得到河的宽度.详解：过点C 作CD PQ ⊥于D ，∵3060CAB CBD ∠=︒∠=︒，∴30,ACB ∠=︒∴20AB BC ==米，在Rt △CDB 中，∵90BDC ，∠=︒ sin ,CD CBD BC ∠= ∴sin60,CD BC︒= ∴3,220CD = ∴103CD =米，∴17.3CD ≈米．答：这条河的宽是17.3米．点睛：考查解直角三角形的应用，作出辅助线，构造直角三角形是解题的关键.23．在不透明的袋中有大小形状和质地等完全相同的4个小球，它们分别标有数字1234、、、，从袋中任意摸出一小球(不放回)，将袋中的小球搅匀后，再从袋中摸出另一小球．（1）请你用列表或画树状图的方法表示摸出小球上的数字可能出现的所有结果；（2）规定：如果摸出的两个小球上的数字都是方程27120x x -+=的根，则小明贏；如果摸出的两个小球上的数字都不是方程27120x x -+=的根，则小亮赢．你认为这个游戏规则对小明、小亮双方公平吗？请说明理由．【答案】（1）见解析；（2）公平，理由见解析．【分析】（1）可以利用树状图表示出所有的可能出现的结果；（2）分别求得两人赢的概率，判断是否相等即可求解．【详解】(1)利用树状图表示为：；(2)公平；解方程27120x x -+=得：1234x x ==，，根据树状图知，共有12种情况，小明赢的情况有：3，4和4，3两种， 因而小明赢的概率是：21126=， 小亮赢的情况有：1，2和2，1两种，小亮赢的概率是： 小亮赢的概率是：21126=， 两人赢的机会相等，因而双方公平．【点睛】本题主要考查了列表法和树状图法、游戏公平性的判断，一元二次方程的求解．解答本题的关键是明确题意，画出相应的树状图，求出相应的概率．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．24．我市某公司用800万元购得某种产品的生产技术后，进一步投入资金1550万元购买生产设备，进行该产品的生产加工，已知生产这种产品每件还需成本费40元.经过市场调研发现：该产品的销售单价需要定在200元到300元之间较为合理.销售单价x （元）与年销售量y （万件）之间的变化可近似的看作是如下表所反应的一次函数：（1）请求出y 与x 之间的函数关系式，并直接写出自变量x 的取值范围；（2）请说明投资的第一年，该公司是盈利还是亏损？若盈利，最大利润是多少？若亏损，最少亏损是多少？【答案】（1）()0.134200300y x x =-+≤≤；（2）亏损，赔了110万元【分析】（1）设y kx b =+，将()200,14,()220,11代入求得系数即可.（2）根据年获利=单件利润⨯销量-800-1550【详解】解：（1）设y kx b =+，1420011230k b k b=+⎧⎨=+⎩ 11034k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩ 0.134y x =-+；（2）()()400.134W x x =--+20.138136x x =-+-，对称轴1902b x a=-=， ∵200300x ≤≤，0.10a =-<，∴200x =时，max 2240W =（万元）1550+800-2240=110（万元）∴赔了110万元.【点睛】本题考查了二次函数的实际中的应用，首先要明确题意，确定变量，建立模型解答.25．（10(1)|1+-+-π； （2）解方程311(1)(2)x x x x -=--+．【答案】（11；（2）无解【分析】（1）先算开方，0指数幂，绝对值，再算加减；（2）两边同时乘以(1)(2)x x -+，去分母，再解整式方程.【详解】（1）解：原式=3211-++1-（2）解：两边同时乘以(1)(2)x x -+，得：(2)3(1)(2)x x x x +-=-+222322x x x x x +-=+--1x =经检验1x =是原方程的增根，∴原方程无解．【点睛】考核知识点：解分式方程.把分式方程化为整式方程是关键.26．初三年级的一场篮球比赛中，如图队员甲正在投篮，已知球出手时离地面高209m ，与篮圈中心的水平距离为7m ，当球出手后水平距离为4m 时到达最大高度4m ，设篮球运行的轨迹为抛物线，篮圈距地面3m ．（1）建立如图所示的平面直角坐标系，求抛物线的解析式并判断此球能否准确投中？（2）此时，若对方队员乙在甲前面1m 处跳起盖帽拦截，已知乙的最大摸高为3.1m ，那么他能否获得成功？【答案】（1）y=−19(x−4)2+4；能够投中；（2）能够盖帽拦截成功． 【分析】（1）根据题意可知：抛物线经过（0，209），顶点坐标是（4，4），然后设出抛物线的顶点式，将（0，209）代入，即可求出抛物线的解析式，然后判断篮圈的坐标是否满足解析式即可； （2）当1x =时，求出此时的函数值，再与3.1m 比较大小即可判断.【详解】解：由题意可知，抛物线经过（0，209），顶点坐标是（4，4）． 设抛物线的解析式是()244y a x =-+， 将（0，209）代入，得()2200449a =-+ 解得19a =-， 所以抛物线的解析式是()21449y x =--+； 篮圈的坐标是（7，3），代入解析式得()2174439y =--+=， ∴这个点在抛物线上，∴能够投中答：能够投中．（2）当1x =时，()2114439y =--+=<3.1， 所以能够盖帽拦截成功.答：能够盖帽拦截成功.【点睛】此题考查的是二次函数的应用，掌握二次函数的顶点式和利用二次函数解析式解决实际问题是解决此题的关键.27．解方程：x(x －2)＋x －2＝1．【答案】1221x x ==-，．【分析】把方程中的x-2看作一个整体，利用因式分解法解此方程．【详解】解：（x－2）（x+2）=2，∴x－2=2或x+2=2，∴x2=2，x2=-2．九年级上学期期末数学试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．我们知道：过直线外一点有且只有一条直线和已知直线垂直，如图，已知直线l和l外一点A，用直尺和圆规作图作直线AB，使AB⊥l于点A．下列四个作图中，作法错误的是（）A．B．C．D．【答案】C【分析】根据垂线的作法即可判断．【详解】观察作图过程可知：A．作法正确，不符合题意；B．作法正确，不符合题意；C．作法错误，符号题意；D．作法正确，不符合题意．故选：C．【点睛】本题考查了作图-复杂作图、垂线，解决本题的关键是掌握作垂线的方法．2．函数y=ax+b和y=ax2+bx+c（a≠0）在同一个坐标系中的图象可能为（）A．B．C．D．【答案】D【分析】本题可先由一次函数y=ax+b图象得到字母系数的正负，再与二次函数ax2+bx+c的图象相比较看是否一致．【详解】解：A．由一次函数的图象可知a＞0，b＞0，由抛物线图象可知，开口向上，a＞0，对称轴x=﹣2b a＞0，b ＜0；两者相矛盾，错误； B ．由一次函数的图象可知a ＞0，b ＜0，由抛物线图象可知a ＜0，两者相矛盾，错误；C ．由一次函数的图象可知a ＜0，b ＞0，由抛物线图象可知a ＞0，两者相矛盾，错误；D ．由一次函数的图象可知a ＞0，b ＜0，由抛物线图象可知a ＞0，对称轴x=﹣2b a＞0，b ＜0；正确． 故选D ．【点睛】解决此类问题步骤一般为：（1）根据图象的特点判断a 取值是否矛盾；（2）根据二次函数图象判断其顶点坐标是否符合要求．3．如图，该图形围绕点O 按下列角度旋转后，不能与其自身重合的是( )A ．72︒B ．108︒C ．144︒D ．216︒【答案】B 【解析】该图形被平分成五部分，因而每部分被分成的圆心角是72°，并且圆具有旋转不变性，因而旋转72度的整数倍，就可以与自身重合．【详解】解：由该图形类同正五边形，正五边形的圆心角是360725︒=．根据旋转的性质，当该图形围绕点O 旋转后，旋转角是72°的倍数时，与其自身重合，否则不能与其自身重合．由于108°不是72°的倍数，从而旋转角是108°时，不能与其自身重合．故选B ．【点睛】本题考查旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角．4．⊙O 的半径为4，圆心O 到直线l 的距离为3，则直线l 与⊙O 的位置关系是（ ）A ．相交B ．相切C ．相离D ．无法确定【答案】A【解析】∵圆心O 到直线l 的距离d=3，⊙O 的半径R=4，则d ＜R ，∴直线和圆相交．故选A ．5．反比例函数m y x=的图象如图所示，以下结论：① 常数m ＜－1；② 在每个象限内，y随x的增大而增大；③ 若A（－1，h），B（2，k）在图象上，则h＜k；④ 若P（x，y）在图象上，则P′（－x，－y）也在图象上.其中正确的是A．①②B．②③C．③④D．①④【答案】C【解析】分析：因为函数图象在一、三象限，故有m＞0，故①错误；在每个象限内，y随x的增大而减小，故②错；对于③，将A、B坐标代入，得：h＝－m，mk2，因为m＞0，所以，h＜k，故③正确；函数图象关于原点对称，故④正确．因此，正确的是③④．故选C．6．一元二次方程3x2﹣x＝0的解是（）A．x＝13B．x1＝0，x2＝3 C．x1＝0，x2＝13D．x＝0【答案】C【解析】根据题意对方程提取公因式x,得到x( 3x-1)=0的形式,则这两个相乘的数至少有一个为0,由此可以解出x的值.【详解】∵3x2﹣x=0，∴x（3x﹣1）=0，∴x=0或3x﹣1=0，∴x1=0，x2=，故选C．【点睛】本题考查了一元二次方程的解法.解一元二次方程常用的方法有直接开平方法,配方法,公式法,因式分解法,要根据方程的提点灵活选用合适的方法.7．如图，⊙O中，点D，A分别在劣弧BC和优弧BC上，∠BDC=130°，则∠BOC=()A ．120°B ．110°C ．105°D ．100°【答案】D 【分析】根据圆内接四边形的性质，对角互补可知，∠D+∠BAC=180°，求出∠D ，再利用圆周角定理即可得出．【详解】解：∵四边形ABDC 为圆内接四边形∴∠A+∠BDC=180°∵∠BDC=130°∴∠A=50°∴∠BOC=2∠A=100°故选：D ．【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，掌握圆内接四边形的性质是解题的关键．8．关于x 的一元二次方程()2a 1x 2x 30--+=有实数根，则整数a 的最大值是（ ） A ．2B ．1C ．0D ．－1【答案】C 【分析】根据一元二次方程的根的判别式可得答案.【详解】解：∵关于x 的一元二次方程()2a 1x 2x 30--+=有实数根， ∴()a 1a 10{{4412a 10a 3≠-≠⇒∆=--≥≤. 即a 的取值范围是4a 3≤且a 1≠. ∴整数a 的最大值为0.故选C.【点睛】本题考查了一元二次方程，熟练掌握根的判别式与根的关系是解题关键.9．如图所示的几何体，它的左视图是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】分析：根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．详解：从左边看是等长的上下两个矩形，上边的矩形小，下边的矩形大，两矩形的公共边是虚线， 故选D ．点睛：本题考查了简单组合体的三视图，从左边看得到的图形是左视图．10．在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，5AC =，12BC =，则cos B 的值为（ ）A ．1213B ．1312C ．135D ．513【答案】A【分析】根据勾股定理求出AB ，根据余弦的定义计算即可． 【详解】由勾股定理得，222251213AB AC BC +=+=， 则1213BC cosB AC ==， 故选：A ．【点睛】本题考查的是锐角三角函数的定义，掌握锐角A 的邻边b 与斜边c 的比叫做∠A 的余弦是解题的关键． 11．解方程2（5x-1）2=3(5x-1)的最适当的方法是 （ ）A ．直接开平方法．B ．配方法C ．公式法D ．分解因式法 【答案】D【详解】解：方程可化为[2（5x-1）-3]（5x-1）=0，即（10x-5）（5x-1）=0，根据分析可知分解因式法最为合适．故选D ．12．如图，在平面直角坐标系中，若反比例函数(0)k y k x=≠过点(2)2，，则k 的值为（ ）A ．2B ．2﹣C ．4D ．4﹣【答案】C 【解析】把(2)2，代入k y x ＝求解即可. 【详解】反比例函数()0k y k x≠＝过点()22，， =22=4k ∴⨯，故选：C ．【点睛】本题考查反比例函数图象上的点的特征，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．二、填空题（本题包括8个小题）13．（2016广东省茂名市）如图，在平面直角坐标系中，将△ABO 绕点B 顺时针旋转到△A 1BO 1的位置，使点A 的对应点A 1落在直线33y x =上，再将△A 1BO 1绕点A 1顺时针旋转到△A 1B 1O 2的位置，使点O 1的对应点O 2落在直线33y x =上，依次进行下去…，若点A 的坐标是（0，1），点B 的坐标是（3，1），则点A 8的横坐标是__________．【答案】636+．【解析】试题分析：由题意点A 2的横坐标（+1），点A 4的横坐标3（+1），点A 6的横坐标（+1），点A 8的横坐标6（+1）．。

合肥市2019-2020年度九年级上学期期末数学试题D卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题1 . 下列说法正确的是（）A．打开电视，它正在播天气预报是不可能事件B．要考察一个班级中学生的视力情况适合用抽样调查C．在抽样调查过程中，样本容量越大，对总体的估计就越准确D．甲、乙两人射中环数的方差分别为，，说明甲的射击成绩比乙稳定2 . 下列式子中表示是关于的反比例函数的是（）D．A．B．C．3 . 下列结论中，错误的有：（）①所有的菱形都相似；②放大镜下的图形与原图形不一定相似；③等边三角形都相似；④有一个角为110度的两个等腰三角形相似；⑤所有的矩形不一定相似．A．1个B．2个C．3个D．4个4 . 若，则a的值可以是（）A．B．C．0D．15 . 某公园一喷水池喷水时水流的路线呈抛物线（如图）．若喷水时水流的高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系式是y=﹣x2+2x+1.25，则水池在喷水过程中水流的最大高度为（）A．1.25米B．2.25米C．2.5米D．3米6 . 抛物线y=（x﹣2）2﹣1可以由抛物线y=x2平移而得到，下列平移正确的是（）A．先向左平移2个单位长度，然后向上平移1个单位长度B．先向左平移2个单位长度，然后向下平移1个单位长度C．先向右平移2个单位长度，然后向上平移1个单位长度D．先向右平移2个单位长度，然后向下平移1个单位长度7 . 尺规作图要求：Ⅰ、过直线外一点作这条直线的垂线；Ⅱ、作线段的垂直平分线；Ⅲ、过直线上一点作这条直线的垂线；Ⅳ、作角的平分线．如图是按上述要求排乱顺序的尺规作图：则正确的配对是（）A．①﹣Ⅳ，②﹣Ⅱ，③﹣Ⅰ，④﹣ⅢB．①﹣Ⅳ，②﹣Ⅲ，③﹣Ⅱ，④﹣ⅠC．①﹣Ⅱ，②﹣Ⅳ，③﹣Ⅲ，④﹣ⅠD．①﹣Ⅳ，②﹣Ⅰ，③﹣Ⅱ，④﹣Ⅲ8 . 如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，且，则：（）A．1：2B．1：4C．1：8D．1：99 . 规定：如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根是另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”.现有下列结论：①方程是倍根方程；②若关于的方程是倍根方程，则a=±3；③若关于x的方程是倍根方程，则抛物线与x轴的公共点的坐标是(2,0)和（4,0）；④若点（m，n）在反比例函数的图象上，则关于x的方程是倍根方程上述结论中正确的有（）A．①②B．③④C．②③D．②④10 . 在中，，，，则的长度为（）A．B．C．D．二、填空题11 . 已知反比例函数的图象经过点，则当时，随着的增大而______.12 . 抛物线y＝ax2经过点（2，﹣3），则a＝___．13 . 如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别是边AD、AB上的点，连结OE、OF、E A．若AB=7，BC=5，∠DAB=45°，则①点C到直线AB的距离是_____.②△OEF周长的最小值是________．14 . 直角三解形的两条直角边的长分别是和，则斜边长为______.(精确到0.1)15 . 2018年我国新能源汽车保有量居世界前列，2016年和2018年我国新能源汽车保有量分别为51.7万辆和261万辆.设我国2016至2018年新能源汽车保有量年平均增长率为，根据题意，可列方程为______.三、解答题16 . 如图，内接于，是直径，的切线交的延长线于点，交于点，交于点，连接．判断与的位置关系并说明理由；若的半径为，，求的长．17 . 某商店销售每台A型电脑的利润为100元，销售每台B型电脑的利润为150元，该商店计划一次购进A、B两种型号的电脑共100台.（1）设购进A型电脑x台，这100台电脑的销售总利润为y元.①求y与x的函数关系式；②该商店计划购进的B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍，那么商店购进A型、B型电脑各多少台，才能使销售总利润最大？（2）在（1）的条件下，实际进货时，厂家对A型电脑出厂价下调m(50<m<100)元，且限定商店最多购进A型电脑70台，若商店保持同种电脑的售价不变，请你设计出使这100台电脑销售总利润最大的进货方案.18 . 如图，已知在△ABC中，∠B=90°，AB=8cm，BC=6cm，点P开始从点A开始沿△ABC的边做逆时针运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿△ABC的边做逆时针运动，且速度为每秒2cm，他们同时出发，设运动时间为t秒．（1）出发2秒后，求PQ的长；（2）在运动过程中，△PQB能形成等腰三角形吗？若能，则求出几秒后第一次形成等腰三角形；若不能，则说明理由；19 . 如图，在平面直角坐标系中，正比例函数y=kx的图象与反比例函数y=的图象经过点A（2，2）．（1）分别求这两个函数的表达式；（2）将直线OA向上平移3个单位长度后与y轴交于点B，与反比例函数图象在第一象限内的交点为C，连接AB，AC，求点C的坐标及△ABC的面积；（3）在第一象限内，直接写出反比例函数的值大于直线BC的值时，自变量x的取值范围．20 . 如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过两点．(1)求抛物线的表达式；(2)抛物线在第一象限内的部分记为图象，如果过点的直线与图象有唯一公共点，请结合图象，求的取值范围．21 . △ABC的位置如图所示：（1）画出将△ABC先向右平移4个单位，再向下平移2个单位的△A1B1C1．（2）写出点A1、B1、C1的坐标．（3）求出△ABC的面积．22 . 一个不透明的口袋里装有分别标有汉字“最”、“美”、“丹”、“东”的四个小球，除汉字不同之外，小球没有任何区别，每次摸球前先搅拌均匀再摸球．（1）若从中任取一个球，球上的汉字刚好是“丹”的概率为．（2）甲从中任取一球，记下汉字后再放回袋中，然后再从中任取一球，请用树状图或列表格的方法，求出甲取出的两个球上的汉字恰能组成“最美”或“丹东”的概率为P1；（3）乙从中任取一球，不放回，再从中任取一球，记乙取出的两个球上的汉字恰能组成“最美”或“丹东”的概率P2，指出P1，P2的大小关系．（请直接写出结论）．23 . 解一元二次方程：（1）（2）。

安徽省合肥市2019—2020年度第一学期期末考试模拟试题九年级数学（时间90分钟，满分120分）班级 姓名 学号 分数________一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1. sin 60︒的值等于（ ）A ．12B ．2C ．2D2. 下列函数解析式中，一定为二次函数的是（ ） A ．31y x =- B ．2y ax bx c =++ C ．2221y t t =-+D ．21y x x=+3. 将抛物线21y x =+先向左平移2个单位，再向下平移3个单位，那么所得抛物线的函数关系式是（ ） A ．2(2)2y x =++ B ．2(2)2y x =+- C ．2(2)2y x =-+D ．2(2)2y x =--4. 在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，4BC =，3AC =，则sin B =（ ） A ．35B ．45C ．34D ．435. 对于反比例函数2y x=，下列说法不正确的是（ ） A ．点()2,1--在它的图象上 B ．它的图象在第一、三象限C ．y 随x 的增大而减小D ．当0x <时，y 随x 的增大而减小6.6. 如图，在平行四边形ABCD 中，点E 在边DC 上，:3:1DE EC =，连接AE 交BD 于点F ，则DEF ∆的面积与BAF ∆的面积之比为（ ）A ．3:4B ．9:16C ．9:1D ．3:17. 如图是二次函数2y ax bx c =++图象的一部分，且过点()3,0A ，二次函数图象的对称轴是直线1x =，下列结论正确的是（ ）A ．24b ac <B ．0ac >C ．20a b -=D ．0a b c -+=8. 在平面直角坐标中，正方形ABCD 与正方形BEFG 是以原点O 为位似中心的位似图形，且相似比为1:3，点A ，B ，E 在x 轴上，若正方形BEFG 的边长为6，则C 点坐标为（ ）A ．()3,2B ．()3,1C ．()2,2D ．()4,29. 在平面直角坐标系xOy 中，将一块含有45︒角的直角三角板如图放置，直角顶点C 的坐标为()1,0，顶点A 的坐标为()0,2，顶点B 恰好落在第一象限的双曲线上，现将直角三角板沿x 轴正方向平移，当顶点A 恰好落在该双曲线上时停止运动，则此时点C 的对应点C '的坐标为（ ）A ．()3,0B ．()2,0C ．3,02⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．5,02⎛⎫ ⎪⎝⎭10. 如图，边长为2的正ABC ∆的边BC 在直线l 上，两条距离为1的平行直线a 和b 垂直于直线l ，a 和b 同时向右移动（a 的起始位置在B 点），速度均为每秒1个单位，运动时间为t （秒），直到b 到达C 点停止，在a 和b 向右移动的过程中，记ABC ∆夹在a 和b 间的部分的面积为S ，则S 关于t 的函数图象大致为（ ）A ．B ．题号 12345678910答案二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）11. 已知点P 是线段MN 的黄金分割点，MP NP >，且()MP 51cm =-，则MN 等于____________cm .12. 如图所示，河堤横断面迎水坡AB 的坡比是1:3，堤高5m BC =，则坡面AB 的长度是__________m ．13. 已知()0,3A ，()2,3B 是抛物线2y x bx c =-++上两点，该抛物线的顶点坐标是 ．14. 矩形ABCD 中，6AB =，8BC =．点 P 在矩形ABCD 的内部，点E 在边BC 上，满足PBE DBC ∆∆∽．若APD ∆是等腰三角形，则PE 的长为____________．三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）15.计算：2(1)2sin 45(2018)2π--︒+-+- 16.若578a b c==且329a b c -+=，求243a b c +-的值（a ，b ，c 均不为0） 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）17．已知二次函数的图象以()1,4A -为顶点，且过点()2,5B - （1）求该函数的关系式；（2）求该函数图象与坐标轴的交点坐标；18．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，按要求画出111A B C ∆和222A B C ∆：(1) 将ABC ∆先向右平移4个单位，再向上平移1个单位，得到111A B C ∆； (2) 以图中的点O 为位似中心，将111A B C ∆作位似变换且放大到原来的两倍，得到222A B C ∆．五 、（本大题共2小题 ，每小题10分，满分20分 ）19．随着中国经济的快速发展以及科技水平的飞速提高，中国高铁正迅速崛起．高铁大大缩短了时空距离，改变了人们的出行方式．如图，A ，B 两地被大山阻隔，由A 地到B 地需要绕行C 地，若打通穿山隧道，建成A ，B 两地的直达高铁，可以缩短从A 地到B 地的路程．已知：30CAB ∠=︒，45CBA ∠=︒，640AC =公里，求隧道打通后与打通前相比，从A 地到B 地的路程将约缩短多少公里？（参考数据：3 1.7≈，2 1.4≈）20．如图，在ABC ∆中，8AB =，4BC =，6CA =，CD AB ∥，BD 是ABC ∠的平分线，BD 交AC 于点E ，求AE 的长．六、（本题满分12分） 21．如图，已知反比例函数(0)k y x x =>的图象与一次函数142y x =-+的图象交于A 和()6,B n两点．（1）求k 和n 的值；（2）若点(),C x y 也在反比例函数(0)ky x x=>的图象上，求当26x ≤≤时，函数值y 的取值范围．七、（本题满分12分 ）22．某公司投入研发费用80万元（80万元只计入第一年成本），成功研发出一种产品．公司按订单生产（产量=销售量），第一年该产品正式投产后，生产成本为6元/件．此产品年销售量y （万件）与售价x （元/件）之间满足函数关系式26y x =-+．（1）求这种产品第一年的利润1W （万元）与售价x （元/件）满足的函数关系式； （2）该产品第一年的利润为20万元，那么该产品第一年的售价是多少？（3）第二年，该公司将第一年的利润20万元（20万元只计入第二年成本）再次投入研发，使产品的生产成本降为5元/件．为保持市场占有率，公司规定第二年产品售价不超过第一年的售价，另外受产能限制，销售量无法超过12万件．请计算该公司第二年的利润2W 至少为多少万元． 八、23．如图1所示，在ABC ∆中，点O 是AC 上一点，过点O 的直线与AB ，BC 的延长线分别相交于点M ，N ．图1（1）若点O 是AC 的中点，13AM BM =，求CNBN的值； 温馨提示：过点A 作MN 的平行线交BN 的延长线于点G ． （2）若点O 是AC 上任意一点（不与A ，C 重合），求证：1AM BN COMB NC OA⋅⋅=； （3）如图2所示，点P 是ABC ∆内任意一点，射线AP ，BP ，CP 分别交BC ，AC ，AB 于点D ，E ，F ，若13AF BF =，12BD CD =，求AECE的值．图2参考答案一、选择题题号 12345678910答案CCBACBDADB二、填空题11.2 12.10 13.()1,4 14.1.2或3三、15. 解：原式2=16. 解：24310282414a b c +-=+-=四、17. （1）()214y x =-++（2）该函数的图像与坐标轴的交点是()10，，()30-，，()03， 18.五、19. 解：过点C 作CD AB ⊥于点D ，在Rt ADC ∆和Rt BCD ∆中，30CAB ∠=︒，45CBA ∠=︒，640AC =，320CD ∴=，3203AD =320BD CD ∴==，3202BC =64032021088AC BC ∴+=+≈，3203320864AB AD BD ∴=+=≈，1088864224∴=﹣（公里）答：隧道打通后与打通前相比，从A 地到B 地的路程将约缩短224公里． 20．解：BD 为ABC ∠的平分线，ABD CBD ∴∠=∠，AB CD ∥，D ABD ∴∠=∠，D CBD ∴∠=∠，BC CD ∴=，4BC =，4CD ∴=，AB CD ∥，ABE CDE ∴∆∆∽，AB AE CD CE ∴=，84AECE∴=，2AE CE ∴=，6AC AE CE ==+，4AE ∴=．六、解：（1）当6x =时，16412n =⨯+=﹣，∴点B 的坐标为()6,1．∵反比例函数k y x=过点()6,1B ，616k ∴=⨯=． （2）60k =>，∴当0x >时，y 随x 值增大而减小，∴当26x ≤≤时，13y ≤≤．七、（本题满分12分）解：（1）()()162680W x x =--+-232236x x =-+-． （2）由题意：22032236x x =-+-．解得：16x =，答：该产品第一年的售价是16元． （3）由题意：1416x ≤≤，()()252620W x x =--+-231150x x =-+-， 1416x ≤≤，14x ∴=或16时，2W 有最小值，最小值88=（万元），答：该公司第二年的利润2W 至少为88万元．八、解：（1）过点A 作AG MN ∥交BN 延长线于点G ，G BNM ∴∠=∠，又B B ∠=∠，ABG MBN ∴∆∆∽，BG AB BN MB ∴=，11BG AB BN MB ∴-=-，BG BN AB MBBN MB--∴=，即NG AMBN MB=， 同理，在ACG ∆和OCN ∆中，NG AO CN CO =，CO CNAO NG ∴=，O 为AC 中点，AO CO ∴=，NG CN ∴=，13CN NG AM BN BN BM ===∴. （2）由（1）知，NG AM BN MB =、CO CN AO NG =，1AM BN CO NG BN CNMB NC OA BN NC NG ∴⋅⋅=⋅⋅=；（3）在ABD ∆中，点P 是AD 上的一点，过点P 的直线与AC 、BD 的延长线相交于点C ，由（2）得1AF BC DP BF CD PA⋅⋅=，在ACD ∆中，点P 是AD 上一点，过点P 是AD 上一点，过点P 的直线与AC 、AD 的延长线分别相交于点E 、B ，由（2）得1AE CB DP EC BD PA ⋅⋅=，AF BC DP AE CB DPBF CD PA EC BD PA∴⋅⋅=⋅⋅， AE AF BC BD EC BF CD CB =⋅⋅∴111326AF BD FB CD =⋅=⨯=.。

九年级上学期期末数学试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．如图，矩形ABCD 的对角线交于点O .若BC n =，BAC α∠=∠，则下列结论错误的是（ ）A ．sin nAC α=B ．tan nCD α=C ．2sin nOA α=D ．cos nBD α=【答案】D【分析】根据矩形的性质得出∠ABC=∠DCB=90°，AC=BD ，AO=CO ，BO=DO ，再解直角三角形求出即可． 【详解】解：∵四边形ABCD 是矩形，∴∠ABC=∠DCB=90°，AC=BD ，AO=CO ，BO=DO ， A 、在Rt △ABC 中，sin BCACα= ∴sin nAC α=，此选项不符合题意 由三角形内角和定理得：∠BAC=∠BDC=∠α， B 、在Rt △BDC 中，tan BCDCα=， ∴tan nCD α=，故本选项不符合题意； C 、在Rt △ABC 中，sin nAC α=，即AO=12AC 2sin n α=，故本选项不符合题意； D 、∴在Rt △DCB 中，cos DCBDα= ∴cos DCBD α=，故本选项符合题意； 故选：D ． 【点睛】本题考查了矩形的性质和解直角三角形，能熟记矩形的性质是解此题的关键． 2．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A ．4πB ．3πC ．2π+4D ．3π+4【答案】D【解析】试题解析：观察该几何体的三视图发现其为半个圆柱，半圆柱的直径为2，表面积有四个面组成：两个半圆，一个侧面，还有一个正方形. 故其表面积为： 212π1π12223π42⨯⨯⨯+⨯⨯+⨯=+， 故选D.3．抛物线2y ax x =+的对称轴是（ ） A ．1x a=B ．1x a=-C ．12x a=D ．12x a=-【答案】D【解析】根据二次函数的对称轴公式2bx a =-计算即可，其中a 为二次项系数，b 为一次项系数． 【详解】由二次函数的对称轴公式得：122b x a a=-=- 故选：D ． 【点睛】本题考查了二次函数的对称轴公式，熟记公式是解题关键． 4．一元二次方程x 2+x ﹣1=0的两根分别为x 1，x 2，则1211x x +=（ ） A ．12B ．1 CD【答案】B【解析】根据根与系数的关系得到x 1+x 2=-1，x 1•x 2=-1，然后把1211x x +进行通分，再利用整体代入的方法进行计算．【详解】根据题意得x 1+x 2=-1，x 1•x 2=-1，所以1211x x +=121211x x x x +-=-=1， 故选B ． 【点睛】本题考查了一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的根与系数的关系：若方程两个为x 1，x 2，则x 1+x 2=-b a ，x 1•x 2=ca. 5．某班抽取6名同学参加体能测试，成绩如下：1，95，1，80，80，1．下列表述错误的是（ ） A ．众数是1 B ．平均数是1C ．中位数是80D ．极差是15【答案】C【分析】本题考查统计的有关知识．找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个．利用平均数和极差的定义可分别求出．【详解】解：这组数据中1出现了3次，出现的次数最多，所以这组数据的众数位1；由平均数公式求得这组数据的平均数位1，极差为95-80=15；将这组数据按从大到校的顺序排列，第3，4个数是1，故中位数为1． 所以选项C 错误． 故选C ． 【点睛】本题考查了统计学中的平均数，众数，中位数与极差的定义．解答这类题学生常常对中位数的计算方法掌握不好而错选．6．如图，Rt ABC △中，90ACB ∠=，30CAB ∠=，2BC =，O H ，分别为边AB AC ，的中点，将ABC 绕点B 顺时针旋转120到11A BC 的位置，则整个旋转过程中线段OH 所扫过部分的面积（即阴影部分面积）为（ ）A ．77π338- B ．47π338+ C ．πD ．4π33+ 【答案】C【分析】连接BH ，BH 1，先证明△OBH ≌△O 1BH 1，再根据勾股定理算出BH ，再利用扇形面积公式求解即可.【详解】∵O 、H 分别为边AB ，AC 的中点，将△ABC 绕点B 顺时针旋转120°到△A 1BC 1的位置， ∴△OBH ≌△O 1BH 1，利用勾股定理可求得437+=所以利用扇形面积公式可得()()2212012074360360BH BC πππ-⨯-==．故选C ． 【点睛】本题考查全等三角形的判定及性质、勾股定理、扇形面积的计算，利用全等对面积进行等量转换方便计算是关键.7．四边形ABCD 内接于⊙O ，点I 是ABC ∆的内心，124AIC ∠=，点E 在AD 的延长线上，则CDE ∠的度数为( )A ．56°B ．62°C ．68°D ．48°【答案】C【分析】由点I 是ABC 的内心知2BAC IAC =∠∠ ，2ACB ICA =∠∠，从而求得()1802180B AIC =︒-⨯︒-∠∠ ，再利用圆内接四边形的外角等于内对角可得答案．【详解】∵点I 是ABC 的内心 ∴2BAC IAC =∠∠ ，2ACB ICA =∠∠ ∵124AIC =︒∠∴B ()180BAC ACB =︒-+∠∠()1802180AIC =︒-⨯︒-∠ 68=︒∵四边形ABCD 内接于⊙O ∴68CDE B ==︒∠∠ 故答案为：C ． 【点睛】本题考查了三角形的内心，圆内接四边形的性质，掌握三角形内心的性质和圆内接四边形的外角等于内对角是解题的关键．8．如图,在矩形ABCD 中,BC=2,AE ⊥BD,垂足为E,∠BAE=30°,那么△ECD 的面积是 （ ）A．23B．3C．3D．3【答案】D【分析】根据已知条件，先求Rt△AED的面积，再证明△ECD的面积与它相等．【详解】如图：过点C作CF⊥BD于F.∵矩形ABCD中，BC=2，AE⊥BD，∠BAE=30°.∴∠ABE=∠CDF=60°,AB=CD,AD=BC=2,∠AEB=∠CFD=90°，∠AED=30°，∴△ABE≌△CDF.∴AE=CF.∴S△AED=12ED⋅AE,S△ECD=12ED⋅CF.∴S△AED=S△CDE∵AE=12AD=1,DE=223AD AE=-=，∴△ECD3故答案选:D.【点睛】本题考查了矩形的性质与含30度角的直角三角形相关知识，解题的关键是熟练的掌握矩形的性质与含30度角的直角三角形并能运用其知识解题.92x+x的取值范围是（）A．x＞﹣2 B．x≥﹣2 C．x＜﹣2 D．x≤﹣2【答案】B【分析】根据二次根式有意义的条件可得20x+≥，再解不等式即可．【详解】解：由题意得：20x+≥，解得：2x≥-，故选：B ． 【点睛】此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数． 10．已知二次函数23y ax bx =++自变量x 的部分取值和对应函数值y 如表：则在实数范围内能使得50y +>成立的x 取值范围是（ ） A ．2x >- B ．2x <-C ．24x -<<D ．2x >-或4x <【答案】C【分析】根据y=0时的两个x 的值可得该二次函数的对称轴，根据二次函数的对称性可得x=4时，y=5，根据二次函数的增减性即可得图象的开口方向，进而可得答案. 【详解】∵50y +>， ∴5y >-，∵x=-1时，y=0，x=3时，y=0， ∴该二次函数的对称轴为直线x=132-+=1， ∵1-3=-2，1+3=4，∴当2x =-时的函数值与当4x =时的函数值相等， ∵2x =-时，5y =-， ∴4x =时，5y =-，∵x>1时，y 随x 的增大而减小，x<1时，y 随x 的增大而增大， ∴该二次函数的开口向下，∴当24x -<<时，5y >-，即50y +>， 故选：C. 【点睛】本题考查二次函数的性质，正确提取表中信息并熟练掌握二次函数的性质是解题关键.11．要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形的三边长分别为5cm ，6cm ，9cm ，另一个三角形的最长边长为4.5cm ，则它的最短边长是（ ） A ．1.5cm B ．2.5cmC ．3cmD ．4cm【答案】B【分析】根据题意可得出两个三角形相似，利用最长边数值可求出相似比，再用三角形的最短边乘以相似比即可．【详解】解：由题意可得出：两个三角形的相似比为：4.5192=， 所以另一个三角形最短边长为：15 2.52⨯=． 故选：B ． 【点睛】本题考查的知识点是相似三角形的相似比，根据题目求出两个三角形的相似比是解此题的关键． 12．若点P （﹣m ，﹣3）在第四象限，则m 满足（ ） A ．m ＞3 B ．0＜m≤3C ．m ＜0D ．m ＜0或m ＞3【答案】C【分析】根据第四象限内点的特点，横坐标是正数，列出不等式求解即可． 【详解】解：根据第四象限的点的横坐标是正数，可得﹣m ＞1，解得m ＜1． 故选：C ． 【点睛】本题考查平面直角坐标系中各象限内点的坐标符号，关键是掌握四个象限内点的坐标符号． 二、填空题（本题包括8个小题）13．若二次函数2y ax bx =+的图象开口向下，则a _____0（填“＝”或“>”或“<”）． 【答案】<【解析】由二次函数2y ax bx =+图象的开口向下，可得0a <． 【详解】解：∵二次函数2y ax bx =+的图象开口向下， ∴0a <． 故答案是：<． 【点睛】考查了二次函数图象与系数的关系．二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小．当0a >时，抛物线向上开口；当0a <时，抛物线向下开口；a 还可以决定开口大小，a 越大开口就越小． 14．半径为6 cm 的圆内接正四边形的边长是____cm ．. 【答案】62 【详解】解：如图：圆的半径是6cm ，那么内接正方形的边长为：AB=CB ，因为：AB 2+CB 2=AC 2， 所以：AB 2+CB 2=122 即AB 2+CB 2=144 解得AB=62cm. 故答案为：62．15．若12,x x 是方程2210x x --=的两个根，则12122x x x x ++的值为________ 【答案】1【分析】先由根与系数的关系得出12122,1x x x x +==-，然后代入即可求解． 【详解】∵12,x x 是方程2210x x --=的两个根12122,1x x x x ∴+==-∴原式=22(1)220+⨯-=-= 故答案为：1． 【点睛】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 16．如图，AB 为O 的弦，O 的半径为5，OC AB ⊥于点D ，交O 于点C ，且1CD =，则弦AB的长是_____．【答案】1【分析】连接AO ，得到直角三角形，再求出OD 的长，就可以利用勾股定理求解． 【详解】连接AO ，∵半径是5，1CD =， ∴514OD =-=， 根据勾股定理，2222543AD AO OD =--=，∴326AB =⨯=， 因此弦AB 的长是1． 【点睛】解答此题不仅要用到垂径定理，还要作出辅助线AO ，这是解题的关键．17．在直角坐标平面内有一点A(3，4)，点A 与原点O 的连线与x 轴的正半轴夹角为α，那么角α的余弦值是_____． 【答案】35【解析】根据勾股定理求出OA 的长度，根据余弦等于邻边比斜边求解即可. 【详解】∵点A 坐标为（3，4）， ∴OA=2234+=5，∴cosα=35， 故答案为35【点睛】本题主要考查锐角三角函数的概念，在直角三角形中，在直角三角形中，正弦等于对边比斜边；余弦等于邻边比斜边；正切等于对边比邻边，熟练掌握三角函数的概念是解题关键.18．如图，⊙O 与矩形ABCD 的边AB 、CD 分别相交于点E 、F 、G 、H ，若AE+CH=6，则BG+DF 为_________．【答案】6【分析】作EM ⊥BC ，HN ⊥AD ，易证得EG FH =，继而证得Rt EMG Rt HNF ≅，利用等量代换即可求得答案.【详解】过E 作EM ⊥BC 于M ，过H 作HN ⊥AD 于N ，如图， ∵四边形ABCD 为矩形， ∴AD ∥BC ， ∴EG FH =， ∴EG FH =，∵四边形ABCD 为矩形，且EM ⊥BC ，HN ⊥AD ， ∴四边形ABME 、EMHN 、NHCD 均为矩形， ∴ME NH =，AE=BM ，EN=MH ，ND=HC ， 在Rt EMG 和RtHNF 中ME NHEG FH=⎧⎨=⎩， ∴Rt EMG Rt HNF ≅(HL ) ， ∴MG NF =，∴6BG FD BM MG FD BM NF FD BM ND AE CH +=++=++=+=+=， 故答案为：6【点睛】本题考查了矩形的判定和性质、直角三角形的判定和性质、平行弦所夹的弧相等、等弧对等弦等知识，灵活运用等量代换是解题的关键. 三、解答题（本题包括8个小题）19．当前，“精准扶贫”工作已进入攻坚阶段，凡贫困家庭均要“建档立卡”．某初级中学七年级共有四个班，已“建档立卡”的贫困家庭的学生人数按一、二、三、四班分别记为A 1，A 2，A 3，A 4，现对A 1，A 2，A 3，A 4统计后，制成如图所示的统计图．（1）求七年级已“建档立卡”的贫困家庭的学生总人数；（2）将条形统计图补充完整，并求出A 1所在扇形的圆心角的度数；（3）现从A 1，A 2中各选出一人进行座谈，若A 1中有一名女生，A 2中有两名女生，请用树状图表示所有可能情况，并求出恰好选出一名男生和一名女生的概率．【答案】（1）15人;(2)补图见解析.（3）12. 【分析】（1）根据三班有6人，占的百分比是40%，用6除以所占的百分比即可得总人数；（2）用总人数减去一、三、四班的人数得到二班的人数即可补全条形图，用一班所占的比例乘以360°即可得A 1所在扇形的圆心角的度数；（3）根据题意画出树状图，得出所有可能，进而求恰好选出一名男生和一名女生的概率． 【详解】解:（1）七年级已“建档立卡”的贫困家庭的学生总人数：6÷40%=15人；（2）A2的人数为15﹣2﹣6﹣4=3（人）补全图形，如图所示，A1所在圆心角度数为：215×360°=48°；（3）画出树状图如下：共6种等可能结果,符合题意的有3种∴选出一名男生一名女生的概率为：P=31 62 .【点睛】本题考查了条形图与扇形统计图，概率等知识，准确识图，从图中发现有用的信息，正确根据已知画出树状图得出所有可能是解题关键．20．求的值.【答案】4【解析】先设t=x2+y2，则方程即可变形为t（t-1）-12=0，解方程即可求得t即x2+y2的值．【详解】设t=x2+y2，所以原式可变形为为t（t-1）-12=0，t2-t-12=0，（t-4）（t+3）=0，所以t=-3或t=4；因为x2+y2≥0，所以x2+y2=4.【点睛】此题考查换元法解一元二次方程，解题关键在于设t=x2+y2.21．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，AC=10cm，P为BC的中点，动点Q从点P出发，沿射线PC3的速度运动，以P为圆心，PQ长为半径作圆．设点Q运动的时间为t秒．（1）当t=2.5s时，判断直线AB与⊙P的位置关系，并说明理由．（2）已知⊙O为Rt△ABC的外接圆，若⊙P与⊙O相切，求t的值．【答案】（1）相切，证明见解析；（2）t为53s 53s【分析】（1）直线AB与⊙P关系，要考虑圆心到直线AB的距离与⊙P的半径的大小关系，作PH⊥AB于H点，PH为圆心P到AB的距离，在Rt△PHB中，由勾股定理PH，当t=2.5s时，求出PQ的长，比较PH、PQ 大小即可，（2）OP为两圆的连心线，圆P与圆O内切r O-r P=OP, 圆O与圆P内切，r P-r O=OP即可．【详解】（1）直线AB与⊙P相切．理由：作PH⊥AB于H点，∵∠ACB=90°，∠ABC=30°，AC=10，∴AB=2AC=20，BC=103∵P为BC的中点∴BP=53∴PH=1253，当t=2.5s时，533=22，∴53∴直线AB与⊙P相切，（2）连结OP，∵O为AB的中点，P为BC的中点，∴OP=12AC=5，∵⊙O为Rt△ABC的外接圆，∴AB为⊙O的直径，∴⊙O的半径OB=10 ，∵⊙P与⊙O相切，∴ PQ-OB=OP或OB-PQ=OP 3或3，∴ t=53或t= 53， 故当t 为53s 或53s 时，⊙P 与⊙O 相切．【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，圆与圆相切时求运动时间t 问题，关键点到直线的距离与半径是否相等，会求点到直线的距离，会用t 表示半径与点到直线的距离，抓住两圆相切分清情况，由圆心在圆O 内，没有外切，只有内切，要会分类讨论，掌握圆P 与圆O 内切r O -r P =OP, 圆O 与圆P 内切，r P -r O =OP ． 22．某校综合实践小组要对一幢建筑物MN 的高度进行测量.如图，该小组在一斜坡坡脚A 处测得该建筑物顶端M 的仰角为45︒，沿斜坡向上走20m 到达B 处，（即20AB m =）测得该建筑物顶端M 的仰角为30.已知斜坡的坡度3:4i =，请你计算建筑物MN 的高度（即MN 的长，结果保留根号）.【答案】建筑物MN 的高度为()14326m .【分析】过点B 作BC MN ⊥，根据坡度的定义求出AB ，BD,AD ，再利用三角函数的定义列出方程求解.【详解】解：过点B 作BC MN ⊥，垂足为C .过点B 作BD AN ⊥，垂足为D .∵MN AN ⊥，∴90BCN CND BDN ∠=∠=∠=︒，∴四边形BCND 是矩形，∴BC DN =，BD CN =，90ADB ∠=︒.∵3:4i =，∴34BD AD =， ∴设3BD k =，4AD k =，∴520AB k ==，∴4x =，∴12BD m =，16AD m =.根据题意，30MBC ∠=︒，45MAN ∠=︒，在Rt BCM ∆中，设CM x m =， ∵3tan 303CM BC ︒==， ∴3BC x m =，∴3DN x m =，∴()316AN DN AD x m =-=-， 在Rt AMN ∆中，∵45MAN ∠=︒，()316MN AN x m ==-. 又∵()12MN MC CN x m =+=+，∴31612x x -=+，解得14314x =+，∴()14326MN m =+.答：建筑物MN 的高度为()14326m +.【点睛】此题主要考查解直角三角形，解题的关键是熟知三角函数的定义.23．有A 、B 两组卡片共1张，A 组的三张分别写有数字2，4，6，B 组的两张分别写有3，1．它们除了数字外没有任何区别，（1）随机从A 组抽取一张，求抽到数字为2的概率；（2）随机地分别从A 组、B 组各抽取一张，请你用列表或画树状图的方法表示所有等可能的结果.现制定这样一个游戏规则：若选出的两数之积为3的倍数，则甲获胜；否则乙获胜．请问这样的游戏规则对甲乙双方公平吗？为什么？【答案】（1）P （抽到数字为2）=13；（2）不公平，理由见解析. 【解析】试题分析：（1）根据概率的定义列式即可；（2）画出树状图，然后根据概率的意义分别求出甲、乙获胜的概率，从而得解．试题解析: （1）P= 13； （2）由题意画出树状图如下：一共有6种情况，甲获胜的情况有4种，P=42 63 =，乙获胜的情况有2种，P=21 63 =，所以，这样的游戏规则对甲乙双方不公平．考点：游戏公平性；列表法与树状图法．24．一个盒子中装有两个红球，一个白球和一个蓝球，这些球除颜色外都相同，从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，再从中随机摸出一个球，请你用列表法和画树状图法求两次摸到的球的颜色能配成紫色的概率（说明：红色和蓝色能配成紫色）【答案】14．【分析】利用画树状图法得到总的可能和可能发生的结果数，即可求出概率. 【详解】解：画树状图为：共有16种等可能的结果数，其中红色和蓝色的结果数4，所以摸到的两个球的颜色能配成紫色的概率＝41 164=.【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A 或B的结果数目m，然后利用概率公式求事件A或B的概率.25．如图，在⊙O中，AB AC=，∠ACB=60°，求证∠AOB=∠BOC=∠COA.【答案】详见解析.【解析】试题分析：根据弧相等，则对应的弦相等从而证明AB=AC，则△ABC易证是等边三角形，然后根据同圆中弦相等，则对应的圆心角相等即可证得．试题解析：证明：∵=AB AC，∴AB=AC，△ABC为等腰三角形（相等的弧所对的弦相等）∵∠ACB=60°∴△ABC为等边三角形，AB=BC=CA∴∠AOB=∠BOC=∠COA（相等的弦所对的圆心角相等）26．如图，已知一次函数y=ax+b（a，b为常数，a≠0）的图象与x轴，y轴分别交于点A，B，且与反比例函数kyx=（k为常数，k≠0）的图象在第二象限内交于点C，作CD⊥x轴于D，若OA=OD=34OB=1．（1）求一次函数与反比例函数的解析式；（2）观察图象直接写出不等式0＜ax+b≤kx的解集；（1）在y轴上是否存在点P，使得△PBC是以BC为一腰的等腰三角形？如果存在，请直接写出P点的坐标；如果不存在，请简要说明理由【答案】（1）24yx=-；（2）-1≤x＜0；（1）存在满足条件的点P，其坐标为（0，-1）或（0，9）或（0，12）【分析】（1）根据平行线分线段成比例性质可得3162OB OACD AD===，求出A（1，0），B（0，4），C（-1，8），再用待定系数法求解；（2）由题意可知所求不等式的解集即为直线AC在x轴上方且在反比例函数图象下方的图象所对应的自变量的取值范围：0＜-43x+4≤-24x ；（1）△PBC 是以BC 为一腰的等腰三角形，有BC=BP 或BC=PC 两种情况.【详解】解：（1）∵CD ⊥OA ，∴DC ∥OB ， ∴3162OB OA CD AD ===， ∴CD=2OB=8，∵OA=OD=34OB=1， ∴A （1，0），B （0，4），C （-1，8），把A 、B 两点的坐标分别代入y=ax+b 可得304a b b +=⎧⎨=⎩，解得434a b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴一次函数解析式为443y x =-+， ∵反比例函数y=k x 的图象经过点C ， ∴k=-24，∴反比例函数的解析式为y=-24x（2）由题意可知所求不等式的解集即为直线AC 在x 轴上方且在反比例函数图象下方的图象所对应的自变量的取值范围，即线段BC （包含C 点，不包含B 点）所对应的自变量x 的取值范围，∵C （-1，8），∴0＜-43x+4≤-24x的解集为-1≤x ＜0 （1）∵B （0，4），C （-1，8），∴BC=5，∵△PBC 是以BC 为一腰的等腰三角形，∴有BC=BP 或BC=PC 两种情况，①当BC=BP 时，即BP=5，∴OP=BP+OB=4+5=9，或OP=BP-OB=5-4=1，∴P 点坐标为（0，9）或（0，-1）；②当BC=PC 时，则点C 在线段BP 的垂直平分线上，∴线段BP 的中点坐标为（0，8），∴P点坐标为（0，12）；综上可知存在满足条件的点P，其坐标为（0，-1）或（0，9）或（0，12）【点睛】考核知识点：相似三角形，反比例函数.数形结合分类讨论是关键.27．如图，△ABC中，AB=AC，BE⊥AC于E，D是BC中点，连接AD与BE交于点F，求证：△AFE∽△BCE．【答案】证明详见解析．【解析】试题分析：根据等腰三角形的性质，由AB=AC，D是BC中点得到AD⊥BC，易得∠ADC=∠BEC=90°，再证明∠FAD=∠CBE，于是根据有两组角对应相等的两个三角形相似即可得到结论．试题解析：证明：∵AB=AC，D是BC中点，∴AD⊥BC，∴∠ADC=90°，∴∠FAE+∠AFE=90°，∵BE⊥AC，∴∠BEC=90°，∴∠CBE+∠BFD=90°，∵∠AFE=∠BFD，∴∠FAD=∠CBE，∴△AFE∽△BCE．考点：相似三角形的判定．九年级上学期期末数学试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．在矩形ABCD 中，B 的角平分线BE 与AD 交于点E ，BED ∠的角平分线EF 与DC 交于点F ，若7AB =，34DF FC =，则BC 的长为（ ）A ．721-B ．432+C ．225+D ．423+【答案】D 【分析】先延长EF 和BC ，交于点G ，再根据条件可以判断三角形ABE 为等腰直角三角形，并求得其斜边BE 的长，然后根据条件判断三角形BEG 为等腰三角形，最后根据△EFD ∽△GFC 得出CG 与DE 的倍数关系，并根据BG ＝BC ＋CG 进行计算即可．【详解】延长EF 和BC ，交于点G ，∵3DF ＝4FC ，∴34CF DF =， ∵矩形ABCD 中，∠ABC 的角平分线BE 与AD 交于点E ，∴∠ABE ＝∠AEB ＝45°，∴AB ＝AE ＝7，∴直角三角形ABE 中，BE 227772+=又∵∠BED 的角平分线EF 与DC 交于点F ，∴∠BEG ＝∠DEF ，∵AD ∥BC ，∴∠G ＝∠DEF ，∴∠BEG ＝∠G ，∴BG ＝BE ＝72∵∠G ＝∠DEF ，∠EFD ＝∠GFC ，∴△EFD ∽△GFC ，∴34 CG CFDE DF==，设CG＝3x，DE＝4x，则AD＝7＋4x＝BC，∵BG＝BC＋CG，∴7＋4x＋3x＝72，解得x＝2−1，∴BC＝7＋4x＝7＋42−4＝3＋42，故选：D．【点睛】本题主要考查了矩形、相似三角形以及等腰三角形，解决问题的关键是掌握矩形的性质：矩形的四个角都是直角，矩形的对边相等．解题时注意：有两个角对应相等的两个三角形相似．2．等腰三角形底边长为10㎝，周长为36cm，那么底角的余弦等于（）．A．513B．1213C．1013D．512【答案】A【分析】过顶点A作底边BC的垂线AD，垂足是D点，构造直角三角形．根据等腰三角形的性质，运用三角函数的定义，则可以求得底角的余弦cosB的值．【详解】解：如图，作AD⊥BC于D点．则CD=5cm，AB=AC=13cm．∴底角的余弦=513．故选A．【点睛】本题考查的是解直角三角形，解答本题的关键是熟练掌握等腰三角形的三线合一的性质：等腰三角形顶角平分线、底边上的高，底边上的中线重合．3．抛物线y=（x+2）2﹣2的顶点坐标是（）A．（2，﹣2）B．（2，2）C．（﹣2，2）D．（﹣2，﹣2）【答案】D【分析】根据二次函数的顶点式方程可以直接写出其顶点坐标．【详解】∵抛物线为y=（x+2）2﹣2，∴顶点坐标为（﹣2，﹣2）．故选D．【点睛】本题考查了二次函数的顶点坐标的求法，掌握二次函数的顶点式y=a（x﹣h）2+k是解题的关键．4．如图2，四边形ABCD的对角线AC、BD互相垂直，则下列条件能判定四边形ABCD为菱形的是（）A．BA＝BC B．AC、BD互相平分C．AC＝BD D．AB∥CD【答案】B【详解】解：对角线互相垂直平分的四边形为菱形．已知对角线AC、BD互相垂直，则需添加条件：AC、BD互相平分故选：B5．如图，等边三角形ABC的边长为5，D、E分别是边AB、AC上的点，将△ADE沿DE折叠，点A恰好落在BC边上的点F处，若BF＝2，则BD的长是（）A．2 B．3 C．218D．247【答案】C【分析】根据折叠得出∠DFE＝∠A＝60°，AD＝DF，AE＝EF，设BD＝x，AD＝DF＝5﹣x，求出∠DFB＝∠FEC，证△DBF∽△FCE，进而利用相似三角形的性质解答即可．【详解】解：∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，AB＝BC＝AC＝5，∵沿DE折叠A落在BC边上的点F上，∴△ADE≌△FDE，∴∠DFE＝∠A＝60°，AD＝DF，AE＝EF，设BD＝x，AD＝DF＝5﹣x，CE＝y，AE＝5﹣y，∵BF＝2，BC＝5，∴CF＝3，∵∠C＝60°，∠DFE＝60°，∴∠EFC+∠FEC＝120°，∠DFB+∠EFC＝120°，∴∠DFB＝∠FEC，∵∠C＝∠B，∴△DBF∽△FCE，∴BD BF DFFC CE EF==，即2535x xy y-==-，解得：x＝218，即BD＝218，故选：C．【点睛】此题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟知折叠的性质、相似三角形的判定定理.6．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∠CAB＝25°，则∠BOD等于（）A．70°B．65°C．50°D．45°【答案】C【分析】先根据垂径定理可得BC BD=，然后根据圆周角定理计算∠BOD的度数．【详解】解：∵弦CD⊥AB，∴BC BD=，∴∠BOD＝2∠CAB＝2×25°＝50°．故选：C．【点睛】本题考查了垂径定理、圆心角定理和圆周角定理，熟悉掌握定义，灵活应用是解本题的关键7．在一个不透明的袋子中装有除颜色外其余均相同的m个小球，其中8个黑球，从袋中随机摸出一球，记下其颜色，这称为一次摸球实验，之后把它放回袋中，搅匀后，再继续摸出一球，记下其颜色，以下是利用计算机模拟的摸球试验次数与摸出黑球次数的列表：摸球试验次数100 1000 5000 10000 50000 100000根据列表，可以估计出m 的值是（ ）A ．8B ．16C ．24D ．32【答案】C【分析】利用大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率求解即可．【详解】解：∵通过大量重复试验后发现，摸到黑球的频率稳定于3332911000003≈， 由题意得：813=m ， 解得：m=24，故选：C ．【点睛】此题主要考查了利用频率估计概率，本题利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率，关键是根据黑球的频率得到相应的等量关系．8．若关于x 的方程kx 2﹣2x ﹣1＝0有实数根，则实数k 的取值范围是（ ）A ．k ＞﹣1B ．k ＜1且k≠0C ．k≥﹣1且k≠0D ．k≥﹣1【答案】C【分析】根据根的判别式（240b ac =-≥△ ）即可求出答案．【详解】由题意可知：440k +≥△＝∴1k ≥-∵0k ≠∴1k ≥- 且0k ≠ ，故选：C ．【点睛】本题考查了根的判别式的应用，因为存在实数根，所以根的判别式成立，以此求出实数k 的取值范围． 9．下列图形中，是相似形的是（ ）A ．所有平行四边形B ．所有矩形C ．所有菱形D ．所有正方形 【答案】D【分析】根据对应角相等，对应边成比例的两个多边形相似，依次分析各项即可判断.【详解】所有的平行四边形、矩形、菱形均不一定是相似多边形，而所有的正方形都是相似多边形，故选D.【点睛】本题是判定多边形相似的基础应用题，难度一般，学生只需熟练掌握特殊四边形的性质即可轻松完成. 10．如图所示是滨河公园中的两个物体一天中四个不同时刻在太阳光的照射下落在地面上的影子，按照时间的先后顺序排列正确的是（ ）A ．(3)(4)(1)(2)B ．(4)(3)(1)(2)C ．(4)(3)(2)(1)D ．(2)(4)(3)(1)【答案】C 【解析】试题分析：根据平行投影的特点和规律可知，（3），（4）是上午，（1），（2）是下午，根据影子的长度可知先后为（4）（3）（2）（1）．故选C ．考点：平行投影．11．下列各组图形中，两个图形不一定是相似形的是（ ）A ．两个等边三角形B ．有一个角是100︒的两个等腰三角形C ．两个矩形D ．两个正方形 【答案】C【分析】根据相似图形的定义，以及等边三角形，等腰三角形，矩形，正方形的性质对各选项分析判断后利用排除法求解．【详解】解：A 、两个等边三角形，对应边的比相等，角都是60°，相等，所以一定相似，故A 正确； B 、有一个角是100°的两个等腰三角形，100°的角只能是顶角，夹顶角的两边成比例，所以一定相似，故B 正确；C 、两个矩形，四个角都是直角，但四条边不一定对应成比例，不一定相似，故C 错误；D 、两个正方形，对应边的比相等，角都是90°，相等，所以一定相似，故D 正确．故选：C ．【点睛】本题考查了相似图形的判断，严格按照定义，对应边成比例，对应角相等进行判断即可，另外，熟悉等腰三角形，等边三角形，正方形的性质对解题也很关键．12．已知一元二次方程的一般式为20(a 0)++=≠ax bx c ，则一元二次方程x 2－5＝0中b 的值为（ ） A ．1B ．0C ．－5D ．5【答案】B【分析】对照一元二次方程的一般形式，根据没有项的系数为0求解即可．【详解】∵一元二次方程的一般式为20(a 0)++=≠ax bx c ，对于一元二次方程x 2－5＝0中没有一次项，故b 的值为0，故选：B ．【点睛】此题主要考查对一元二次方程的一般形式的认识，掌握住各项系数是解题的关键．二、填空题（本题包括8个小题）13．半径为2的圆中，60°的圆心角所对的弧的弧长为_____. 【答案】2π3 【解析】根据弧长公式可得：602180π⨯⨯=23π， 故答案为23π. 14．一元二次方程()()320x x --=的根是_____．【答案】123,2==x x【分析】利用因式分解法把方程化为x-3=0或x-2=0，然后解两个一次方程即可．【详解】解：30x -=或20x -=，所以123,2==x x ．故答案为123,2==x x ．【点睛】本题考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．15．如图，在矩形ABCD 中对角线AC 与BD 相交于点O ，CE BD ⊥，垂足为点, 5E CE =，且2EO DE =，则AD 的长为___________.【答案】56【分析】由矩形的性质可得OC ＝OD ，于是设DE ＝x ，则OE ＝2x ，OD ＝OC ＝3x ，然后在Rt △OCE 中，根据勾股定理即可得到关于x 的方程，解方程即可求出x 的值，进而可得CD 的长，易证△ADC ∽△CED ，然后利用相似三角形的性质即可求出结果．。