2018-2019学年安徽省合肥市瑶海区九年级(上)期末数学试卷

2018-2019学年合肥市瑶海区九年级（上）期末检测（时间120min；满分150分）一、选择题（本大题共10小题，每小题4分,共40分）1.反比例函数9y x=的图像在（）A.第一、二象限B.第一、三象限C.第二、四象限D.第三、四象限2.设2612w x x =-+-，则（）A.0w ≥ B.0w ≤ C.0w > D.0w <3.如图，点,,A B C 在O 上，O 的半径为8，劣弧AB 的长为4π，则ACB ∠的大小是（）A.25︒B.30︒C.40︒D.45︒第3题图第4题图第5题图第7题图4.如图，在O 上，作半径OA 的中垂线交O 于,B C 两点，半径6OA =,则图中阴影部分的面积为（）A.12πB.40πC.2πD.6π5.如图，平行四边形ABCD 中，,:2:3,4EF AB DE EA EF == ，则CD 长是（）A.163B.8C.10D.166.在Rt ABC 中，90,,,C A B C ∠=︒∠∠∠的对边分别是,,a b c ，则下列式子一定成立的是()A.sin a c B= B.cos a c B= C.sin b c A= D.tan a b B=7.如图，在ABC 中，AD BC ⊥于D ,下列条件：①90B DAC ∠+∠=︒;②B DAC ∠=∠;③::CD AD AC AB =;④2AB BD BC = 。

其中一定能够判断ABC 是直角三角形的有：（）A.1个B.2个C.3个D.4个8.如图，一次函数y x =-与二次函数为2y ax bx c =++的图像相交于点,M N ,则关于x 的一元二次方程2(1)0ax b x c +++=的根的情况是（）A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.没有实数根D.以上结论都正确9.如图，DE 是ABC 的中位线，延长DE 至F ,使EF DE =,连接CF ,则:CEF BCED S S 四边形的值是（）A.1:3B.2:3C.1:4D.2:5第8题图第9题图第10题图第11题图10.如图,在菱形ABCD 中，DE AB ⊥,4cos ,2,5A BE ==则tan DBE ∠的值是()Ａ.13B.3C.5 D.5二、填空题（本大题共4小题，每小题5分,共20分）11.二次函数2y x bx c =-++的图像如图所示，则直线y bx c =+不经过的象限是.12.如图，某数学兴趣小组想测量一棵树CD 的高度,他们先在点A 处测得树顶C 的仰角为30︒,然后沿AD 方向前行10m ,到达B 点,在B 处测得树顶C 的仰角为60︒(,,A B D 三点在同一直线上).请你根据他们测量数据计算这棵树CD 的高度是_________米.(结果保留根号)第12题图第13题图第14题图13.如图，在O 中，AB 是O 的直径，30ACE ∠=︒,则BDE ∠的度数为.14.如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC 是边长为2的正方形，顶点,A C 分别在,x y 轴的正半轴上。

九年级上学期期末数学试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．如图4，两个正六边形的边长均为1，其中一个正六边形的一边恰在另一个正六边形的对角线上，则这个图形（阴影部分）外轮廓线的周长是A ．7B ．8C ．9D ．10【答案】B【解析】解：∵个正六边形的一边恰在另一个正六边形的对角线上，∴它的一半是60°，它的邻补角也是60°，∴上面的小三角形是等边三角形，∴上面的（阴影部分）外轮廓线的两小段和为1，同理可知下面的（阴影部分）外轮廓线的两小段和为1，故这个图形（阴影部分）外轮廓线的周长是1．故选B ．2．一个小正方体沿着斜面AC 前进了10 米，横截面如图所示，已知290AB BC ABC =∠=︒，，此时小正方体上的点N 距离地面AB 的高度升高了( )A ．5米B ．25C ．45D ．103米 【答案】B 【分析】根据题意，用未知数设出斜面的铅直高度和水平宽度，再运用勾股定理列方程求解．【详解】解：Rt △ABC 中，AB=2BC ，设BC=x ，则AC=2x ，根据勾股定理可得，x 2+（2x ）2=102，解得x=25x=5-，即小正方体上的点N 距离地面AB 的高度升高了25米，故选：B ．【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用-坡度坡角问题，解题的关键是熟练运用勾股定理的知识，此题比较简单．3．若两个相似三角形的周长之比为1∶4，则它们的面积之比为（ ）A ．1∶2B ．1∶4C ．1∶8D ．1∶16【答案】D【分析】相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方.【详解】∵两个相似三角形的周长之比为1∶4∴它们的面积之比为1∶16故选D.【点睛】本题考查相似三角形的性质，本题属于基础应用题，只需学生熟练掌握相似三角形的性质，即可完成. 4．如图，△ABO ∽△CDO ，若6BO =，3DO =，2CD =，则AB 的长是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】C 【分析】根据相似三角形的性质，列出对应边的比，再根据已知条件即可快速作答.【详解】解：∵△ABO ∽△CDO∴OB AB OD CD= ∴632AB = 解得：AB=4 故答案为C.【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质，解题的关键是找对相似三角形的对应边，并列出比例进行求解. 5．（2015重庆市）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD 在第一象限内，边BC 与x 轴平行，A ，B 两点的纵坐标分别为3，1．反比例函数3y x=的图象经过A ，B 两点，则菱形ABCD 的面积为（ ）A ．2B ．4C ．22D ．42 【答案】D 【解析】试题解析：过点A 作x 轴的垂线，与CB 的延长线交于点E ，∵A ，B 两点在反比例函数y=3x的图象上且纵坐标分别为3，1， ∴A ，B 横坐标分别为1，3，∴AE=2，BE=2，∴AB=22， S 菱形ABCD =底×高=22×2=42，故选D ．考点：1.菱形的性质；2.反比例函数图象上点的坐标特征．6．若0ab <，则函数y ax =与b y x=在同一平面直角坐标系中的图象大致是（ ） A ． B ． C ． D ．【答案】B【分析】根据0ab <及正比例函数与反比例函数图象的特点，可以从00a b ><，和00a b ，两方面分类讨论得出答案．【详解】∵0ab <，∴分两种情况：（1）当00a b ><，时，正比例函数y ax =数的图象过原点、第一、三象限，反比例函数图象在第二、四象限，无此选项；（2）当00a b ，时，正比例函数的图象过原点、第二、四象限，反比例函数图象在第一、三象限，选项B 符合．故选：B ．【点睛】本题主要考查了反比例函数的图象性质和正比例函数的图象性质，解题的关键是掌握它们的性质．7．若35a b =，则a b b -的值是（ ） A ．25 B ．25- C ．85 D ．85- 【答案】B【分析】解法一：将a b b-变形为1-a b ，代入数据即可得出答案. 解法二：设3a k =，5b k =，带入式子约分即可得出答案.【详解】解法一：32=155--=-=-a b a b b b b 解法二：设3a k =，5b k =则352=55--=-a b k k b k 故选B.【点睛】本题考查比例的性质，将比例式变形，或者设比例参数是解题的关键.8．如图，在Rt ABC ∆中，CD 是斜边AB 上的高，则图中的相似三角形共有（ ）A ．1对B ．2对C ．3对D ．4对【答案】C 【分析】根据相似三角形的判定定理及已知即可得到存在的相似三角形．【详解】∵∠ACB ＝90°，CD ⊥AB∴△ABC ∽△ACD ，△ACD ∽△CBD ，△ABC ∽△CBD所以有三对相似三角形，故选：C ．【点睛】考查相似三角形的判定定理：（1）两角对应相等的两个三角形相似；（2）两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似；（3）三边对应成比例的两个三角形相似．9．如图，已知ΔABC 中，AE 交BC 于点D ，∠C=∠E ，AD ：DE=2：3，AE=10，BD=5,则DC 的长是（ ）A．103B．245C．152D．154【答案】B【分析】根据∠C=∠E以及∠BDE=∠ADC，可以得到△BDE∽△ADC，由AD：DE=2：3，AE=10，可以求出AD和DE的值，再利用对应边成比例，即可求出DC的长．【详解】解：∵∠C=∠E，∠BDE=∠ADC∴△BDE∽△ADC∵AD：DE=2：3，AE=10∴AD=4，DE=6∴BD DE AD DC=∴564DC=，解得：DC=245故选B．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，熟练找出相似三角形以及列出对应边成比例的式子是解决本题的关键．10．已知x1，x2是关于x的方程x2＋ax－2b＝0的两个实数根，且x1＋x2＝－2，x1·x2＝1，则b a的值是( ) A．B．－C．4 D．－1【答案】A【解析】根据根与系数的关系和已知x1+x2和x1•x2的值，可求a、b的值，再代入求值即可．【详解】解：∵x1，x2是关于x的方程x2+ax﹣2b=0的两实数根，∴x1+x2=﹣a=﹣2，x1•x2=﹣2b=1，解得a=2，b=，∴b a=（）2=．故选A．11．方程（m﹣2）x2+mx﹣1＝0是关于x的一元二次方程，则m的值为（）A．任何实数．B．m≠0C．m≠2D．m≠﹣2【答案】C【分析】根据二次项系数不为0列出不等式，解不等式得到答案．【详解】∵方程（m ﹣2）x 2+mx ﹣1＝0是关于x 的一元二次方程，∴m ﹣2≠0，解得，m≠2，故选：C ．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用问题，掌握一元一次方程的性质以及应用是解题的关键．12．如图，点P 在△ABC 的边AC 上，下列条件中不能判断△ABP ∽△ACB 的是（ ）A ．∠ABP ＝∠CB ．∠APB ＝∠ABC C ．AB 2＝AP•ACD ．CB 2＝CP•CA【答案】D 【分析】观察图形可得, ABP ∆与ACB ∆已经有一组角∠A 重合,根据三角形相似的判定定理,可以再找另一组对应角相等,或者∠A 的两条边对应成比例. 注意答案中的C 、D 两项需要按照比例的基本性质转化为比例式再确定.【详解】解: A 项, ∠ABP =∠C ,可以判定;B 项, ∠APB =∠ABC ,可以判定;C 项, 2AB AP AC =•,AB AP AC AB=,可以判定; D 项, 2CB CP CA =•,CB CP CA CB=,不能判定. 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定定理,结合图形,按照定理找到条件是解答关键.二、填空题（本题包括8个小题）13．如图,边长为2的正方形ABCD 中心与半径为2的⊙O 的圆心重合,E 、F 分别是AD 、BA 的延长与⊙O 的交点,则图中阴影部分的面积是______.(结果保留π)【答案】π－1【分析】延长DC ，CB 交⊙O 于M ，N ，根据圆和正方形的面积公式即可得到结论．【详解】解：延长DC ，CB 交⊙O 于M ，N ， 则图中阴影部分的面积＝14×（S 圆O −S 正方形ABCD ）＝14×（4π−4）＝π−1， 故答案为π−1．【点睛】本题考查了圆中阴影部分面积的计算，正方形的性质，正确的识别图形是解题的关键．14．已知抛物线2y x bx c =++经过点()0,5A、()4,5B ，那么此抛物线的对称轴是___________． 【答案】直线2x =【分析】根据点A 、B 的纵坐标相等判断出A 、B 关于对称轴对称，然后列式计算即可得解．【详解】解：∵点()0,5A 、()4,5B 的纵坐标都是5相同，∴抛物线的对称轴为直线0422x +==． 故答案为：直线2x =．【点睛】此题考查二次函数的性质，观察出A 、B 是对称点是解题的关键．15．质检部门为了检测某品牌电器的质量，从同一批次共10000件产品中随机柚取100件进行检测，检测出次品5件，由此估计这一批产品中的次品件数是_____．【答案】500【分析】次品率100%=⨯次品数产品总数，根据抽取的样本数求得该批产品的次品率之后再乘以产品总数即可求解.【详解】解：51005%÷=， 100005%500⨯=（件）【点睛】本题主要考查了数据样本与频率问题，亦可根据比例求解.16．如图，正方形ABCD 和正方形EFCG 的边长分别为3和1，点F 、G 分别在边BC 、CD 上，P 为AE 的中点，连接PG ，则PG 的长为_________．【答案】5【分析】延长GE交AB于点O，作PH⊥OE于点H，则PH是△OAE的中位线，求得PH的长和HG的长，在Rt△PGH中利用勾股定理求解．【详解】解：延长GE交AB于点O，作PH⊥OE于点H．则PH∥AB．∵P是AE的中点，∴PH是△AOE的中位线，∴PH= 12OA=12×（3-1）=1．∵直角△AOE中，∠OAE=45°，∴△AOE是等腰直角三角形，即OA=OE=2，同理△PHE中，HE=PH=1．∴HG=HE+EG=1+1=2．∴在Rt△PHG中，PG= 2222125PH HG++=5【点睛】本题考查了正方形的性质、勾股定理和三角形的中位线定理，正确作出辅助线构造直角三角形是关键．17．从五个数1，2，3，4，5中随机抽出1个数，则数3被抽中的概率为_________．【答案】1 5【解析】分析：直接利用概率公式求解即可求出答案.详解：从1，2，3，4，5中随机取出1个不同的数，共有5种不同方法，其中3被抽中的概率为15.故答案为1 5 .点睛：本题考查了概率公式的应用，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.18．若m 是方程2x 2﹣3x ﹣1＝0的一个根，则6m 2﹣9m+2016的值为_____．【答案】2．【分析】把x ＝m 代入方程，求出2m 2﹣3m ＝2，再变形后代入，即可求出答案．【详解】解：∵m 是方程2x 2﹣3x ﹣2＝0的一个根，∴代入得：2m 2﹣3m ﹣2＝0，∴2m 2﹣3m ＝2，∴6m 2﹣9m+2026＝3（2m 2﹣3m ）+2026＝3×2+2026＝2，故答案为2．【点睛】本题考查了求代数式的值和一元二次方程的解，解此题的关键是能求出2m 2﹣3m ＝2．三、解答题（本题包括8个小题）19．解方程：（1）()11x x x +-=；（2）23440x x --=．【答案】（1）11x =，21x =-；（2）123x =-，22x =． 【分析】（1）先去括号，再利用直接开平方法解方程即可；（2）利用十字相乘法解方程即可．【详解】（1）()11x x x +-=，210x x x +--=，21x =，∴11x =，21x =-．（2）23440x x --=，(3x+2)(x-2)=0， ∴123x =-，22x =． 【点睛】本题考查解一元二次方程，解一元二次方程的常用方法有：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法等，熟练掌握并灵活运用适当的解法是解题关键．20．如图，双曲线11k y x=（x ＞0）与直线22y k x b =+交于点A （2，4）和B （a ，2），连接OA 和OB ．（1）求双曲线和直线关系式；（2）观察图像直接写出：当1y ＞2y 时，x 的取值范围；（3）求△AOB 的面积．【答案】（1）18y x=，26y x =-+；（2）0＜x ＜2 或x ＞4 ；（3）△AOB 的面积是1． 【分析】（1）利用待定系数法先求出反比例函数的解析式，继而求得点B 坐标，再结合A 、B 坐标利用待定系数法即可求出直线解析式；（2）根据图象双曲线在直线上方的部分即可得出答案；（3）过点A 作y 轴的垂线，垂足为D ，过点B 作x 轴的垂线，垂足为E ，两线交于点F ，然后用四边形的面积减去三个三角形的面积即可求得答案．【详解】（1）∵ 点A （2,4）在双曲线11k y x=上 1248k =⨯=∴ 18y x= ∵ 点B （a ，2）也在双曲线11k y x =， ∴82a=， ∴ a=4（经检验a=4是方程的解），∵ 点A （2,4）和点B(4，2）在直线22y k x b =+上 ，∴ 222442k b k b +=⎧⎨+=⎩ ，解得：216k b =-⎧⎨=⎩， ∴直线关系式为26y x =-+；（2）观察图象可得，当 1y ＞2y 时，x 的取值范围是：0＜x ＜2 或x ＞4 ；（3）过点A 作y 轴的垂线，垂足为D ，过点B 作x 轴的垂线，垂足为E ，两线交于点F ，则有OD=4，OE=4，∴四边形CDFE 是正方形，∴△AOB 的面积是：4×4-11142-42-22222⨯⨯⨯⨯⨯⨯=1．【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的综合，涉及了待定系数法，利用函数图象求不等式的解集，求三角形的面积等，正确把握相关知识是解题的关键．21．如图1，是一种自卸货车．如图2是货箱的示意图，货箱是一个底边AB水平的矩形，AB=8米，BC=2米，前端档板高DE=0.5米，底边AB离地面的距离为1.3米．卸货时，货箱底边AB的仰角α=37°(如图3)，求此时档板最高点E离地面的高度．(精确到0.1米，参考值：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75)【答案】点E离地面的高度为8.1米【分析】延长DA交水平虚线于F，过E作EH⊥BF于H，根据题意，在Rt△ABF中，求出AF，从而得到EF，结合Rt△EFH，求出EH即可求得结果．【详解】解：如图3所示，延长DA交水平虚线于F，过E作EH⊥BF于H，∵∠BAF=90°，∠ABF=37°，∴Rt△ABF中，AF=tan37°×AB≈0.75×8=6(米)，∴EF=AF+AD+DE=8.5，∵∠EHF=90°=∠BAF，∠BFA=∠EFH，∴∠E=37°，∴Rt△EFH中，EH=cos37°×EF≈0.80×8.5=6.8(米)，又∵底边AB离地面的距离为1.3米，∴点E离地面的高度为6.8+1.3=8.1(米)，故答案为：8.1米．【点睛】本题考查了直角三角形中锐角三角函数值的应用，同角的余角相等，仰角的定义，掌握锐角三角函数值的应用是解题的关键．22．抛物线2y x bx c =-++过点（0，-5）和（2，1）.（1）求b,c 的值；（2）当x 为何值时，y 有最大值？【答案】（1）b, c 的值分别为5, -5；（2）当52x =时y 有最大值 【分析】（1）把点代入2y x bx c =-++求解即可得到b,c 的值；（2）代入二次函数一般式中顶点坐标的横坐标求解公式进行求解即可.【详解】解：（1）∵抛物线2y x bx c =-++过点（0，-5）和（2，1）， ∴5421c b c =-⎧⎨-++=⎩ ,解得 55b c =⎧⎨=-⎩, ∴b, c 的值分别为5, -5.（2）a= -1 ，b=5,∴当x=522b a -=时y 有最大值. 【点睛】本题考查了利用待定系数法求解析式，熟记二次函数的图象和性质是解题的关键.23．解方程：（1）2x （x ﹣1）＝3（x ﹣1）；（2）x 2﹣3x+1＝1．【答案】（1）x 1＝1,x 2＝1.2；（2）135x +=或235x -= 【分析】(1)利用因式分解法求解可得；(2)利用公式法求解可得．【详解】解：(1)∵2x(x ﹣1)＝3(x ﹣1)，∴2x(x ﹣1)﹣3(x ﹣1)＝1，则(x ﹣1)(2x ﹣3)＝1，∴x ﹣1＝1或2x ﹣3＝1，解得x ＝1或x ＝1.2；故答案为x ＝1或x ＝1.2．(2)∵a ＝1，b ＝﹣3，c ＝1，∴△＝(-3)2﹣4×1×1＝2＞1，则x ==，1x =或2x = 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，熟练掌握其常见的解法是解决本类题的关键．24．已知关于x 的一元二次方程2210.x x m -+-=（1）当m 取何值时，这个方程有两个不相等的实根？（2）若方程的两根都是正数，求m 的取值范围；（3）设12,x x 是这个方程的两个实根，且2212121-=+x x x x ，求m 的值.【答案】（1）2m <；（2）12m <<；（3）m 无解..【分析】(1)由根的判别式得出不等式，求出不等式的解集即可；(2)由根与系数的关系得出不等式，求出不等式的解集即可；(3)由根与系数的关系得出x 1+x 2=2，x 1x 2=m-1，将2212121-=+x x x x 变形后代入，即可求出答案.【详解】解：（1）∵这个方程有两个不相等的实根∴>0∆，即()()224110--⨯⨯->m解得2m <.（2）由一元二次方程根与系数的关系可得： 122x x +=，121⋅=-x x m ，∵方程的两根都是正数∴120x x ⋅>，即10m ->∴1m又∵2m <∴m 的取值范围为12m <<（3）∵2212121-=+x x x x∴2212121212122+-=++x x x x x x x x即()212121+=+x x x x ，将122x x +=，121⋅=-x x m 代入可得： 2112+-=m ，解得4m =.而2m <，所以m=4不符合题意，故m 无解.【点睛】本题考查了由一元二次方程根的情况求参数，根与系数的关系，熟练掌握根的情况与△之间的关系与韦达定理是关键.25．如图①，在矩形ABCD 中，BC ＝60cm ．动点P 以6cm/s 的速度在矩形ABCD 的边上沿A →D 的方向匀速运动，动点Q 在矩形ABCD 的边上沿A →B →C 的方向匀速运动．P 、Q 两点同时出发，当点P 到达终点D 时，点Q 立即停止运动．设运动的时间为t(s)，△PDQ 的面积为S(cm 2)，S 与t 的函数图象如图②所示． （1）AB ＝ cm ，点Q 的运动速度为 cm/s ；（2）在点P 、Q 出发的同时，点O 也从CD 的中点出发，以4cm/s 的速度沿CD 的垂直平分线向左匀速运动，以点O 为圆心的⊙O 始终与边AD 、BC 相切，当点P 到达终点D 时，运动同时停止．①当点O 在QD 上时，求t 的值；②当PQ 与⊙O 有公共点时，求t 的取值范围．【答案】（1）30，6；（2）①457；②15322-≤t ≤15322+． 【分析】（1）设点Q 的运动速度为a ，则由图②可看出，当运动时间为5s 时，△PDQ 有最大面积450，即此时点Q 到达点B 处，可列出关于a 的方程，即可求出点Q 的速度，进一步求出AB 的长；（2）①如图1，设AB ，CD 的中点分别为E ，F ，当点O 在QD 上时，用含t 的代数式分别表示出OF ，QC 的长，由OF ＝12QC 可求出t 的值；②设AB，CD的中点分别为E，F，⊙O与AD，BC的切点分别为N，G，过点Q作QH⊥AD于H，如图2﹣1，当⊙O第一次与PQ相切于点M时，证△QHP是等腰直角三角形，分别用含t的代数式表示CG，QM，PM，再表示出QP，由QP＝QH可求出t的值；同理，如图2﹣2，当⊙O第二次与PQ相切于点M时，可求出t的值，即可写出t的取值范围．【详解】（1）设点Q的运动速度为a，则由图②可看出，当运动时间为5s时，△PDQ有最大面积450，即此时点Q到达点B处，∵AP＝6t，∴S△PDQ＝12(60﹣6×5)×5a＝450，∴a＝6，∴AB＝5a＝30，故答案为：30，6；（2）①如图1，设AB，CD的中点分别为E，F，当点O在QD上时，QC＝AB+BC﹣6t＝90﹣6t，OF＝4t，∵OF∥QC且点F是DC的中点，∴OF＝12 QC，即4t＝12(90﹣6t)，解得，t＝457；②设AB，CD的中点分别为E，F，⊙O与AD，BC的切点分别为N，G，过点Q作QH⊥AD于H，如图2﹣1，当⊙O第一次与PQ相切于点M时，∵AH+AP＝6t，AB+BQ＝6t，且BQ＝AH，∴HP＝QH＝AB＝30，∴△QHP是等腰直角三角形，∵CG＝DN＝OF＝4t，∴QM＝QG＝90﹣4t﹣6t＝90﹣10t，PM＝PN＝60﹣4t﹣6t＝60﹣10t，∴QP＝QM+MP＝150﹣20t，∵QP QH，∴150﹣20t＝，∴t如图2﹣2，当⊙O第二次与PQ相切于点M时，∵AH+AP＝6t，AB+BQ＝6t，且BQ＝AH，∴HP＝QH＝AB＝30，∴△QHP是等腰直角三角形，∵CG＝DN＝OF＝4t，∴QM＝QG＝4t﹣(90﹣6t)＝10t﹣90，PM＝PN＝4t﹣(60﹣6t)＝10t﹣60，∴QP＝QM+MP＝20t﹣150，∵QP＝2QH，∴20t﹣150＝302，∴t＝15322+，综上所述，当PQ与⊙O有公共点时，t的取值范围为：1532-≤t≤1532+．【点睛】本题考查了圆和一元一次方程的综合问题，掌握圆切线的性质、解一元一次方程的方法、等腰直角三角形的性质是解题的关键．26．已知，如图，斜坡PA 的坡度为1:2.4，斜坡AP 的水平长度为24米.在坡顶A 处的同一水平面上有一座5G 信号塔BC ，在斜坡底P 处测得该塔的塔顶B 的仰角为45，在坡项A 处测得该塔的塔顶B 的仰角为60.求:()1坡顶A 到地面PQ 的距离；()2信号塔BC 的高度.(3 1.73≈，结果精确到0.1米)【答案】（1）10米；（2）33.1米.【分析】（1）首先作AD PQ ⊥于D ，延长BC 交PQ 于E ，然后根据斜坡的坡度和水平长度即可得出坡顶A 到地面PQ 的距离；（2）首先设BC x =米，在Rt ABC 中，解得AC ，然后在Rt BPE 中，利用45BPE ∠=︒构建方程，即可得出BC .【详解】()1作AD PQ ⊥于D ，延长BC 交PQ 于E ，则四边形ADEC 为矩形，AD CE ∴=，∵斜坡AP 的坡度为1:2.4，斜坡AP 的水平长度为24米，10AD ∴=，即坡项A 到地面PQ 的距离为10米；()2设BC x =米，在Rt ABC 中，BC tan BAC AC ∠=3=x AC， 解得33AC x =， 在Rt BPE 中，45BPE ∠=︒，PE BE ∴=，即324103x x +=+解得，2173x=+，2173217 1.7333.1BC∴=+≈+⨯≈(米)答:塔BC的高度约为33.1米.【点睛】此题主要考查解直角三角形的实际应用，熟练掌握，即可解题.27．一个不透明的口袋中装有4张卡片，卡片上分别标有数字1、－2、－3、4，它们除了标有的数字不同之外再也没有其它区别，小芳从盒子中随机抽取一张卡片．（1）求小芳抽到负数的概率；（2）若小明再从剩余的三张卡片中随机抽取一张，请你用树状图或列表法，求小明和小芳两人均抽到负数的概率．【答案】（1）12；（2）16【分析】（1）由一个不透明的口袋中装有4张卡片，卡片上分别标有数字1、－2、－3、4，它们除了标有的数字不同之外再也没有其它区别，小芳从盒子中随机抽取一张卡片，抽到负数的有2种情况，直接利用概率公式求解即可求得答案．（2）首先根据题意画出树状图或列表，然后由图表求得所有等可能的结果与小明和小芳两人均抽到负数的情况，再利用概率公式求解即可求得答案.【详解】（1）∵一个不透明的口袋中装有4张卡片，卡片上分别标有数字1、－2、－3、4，它们除了标有的数字不同之外再也没有其它区别，∴小芳从盒子中随机抽取一张卡片，抽到负数的有2种情况，∴P（小芳抽到负数）=2142=（2）画树状图如下：∵共有12种机会均等的结果，其中两人均抽到负数的有2种，∴P（两人均抽到负数）=21126=九年级上学期期末数学试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．如图为二次函数2y ax bx c =++的图象，在下列说法中：①0ac >；②方程20ax bx c ++=的根是11x =-，23x =；③0a b c ++>④当1x >时，y 随x 的增大而减小．不．正确的说法有( )A ．①B ．①②C ．①③D ．②④【答案】A 【分析】根据二次函数的图象与性质（对称性、增减性）、以及与二次方程的关系逐个判断即可． 【详解】二次函数的图象的开口向下，与y 轴正半轴相交0,0a c ∴<>0ac ∴<，则①不正确二次函数的对称轴为1x =，与x 轴的一个交点为(3,0)∴与x 轴的另一个交点为(1,0)-∴方程20ax bx c ++=的根是121,3x x =-=，则②正确二次函数的图象上，1x =所对应的点位于第一象限，即0y >0a b c ∴++>，则③正确由二次函数的图象可知，当1x >时，y 随x 的增大而减小，则④正确综上，不正确的说法只有①故选：A ．【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质（对称性、增减性）、以及与二次方程的关系，掌握理解并灵活运用函数的性质是解题关键．2．如图，点A 在线段BD 上，在BD 的同侧作等腰Rt ABC ∆和等腰Rt ADE ∆，CD 与BE 、AE 分别交于点P 、M .对于下列结论：①BAE CAD ∆∆；②MP MD MA ME ⋅=⋅；③22CB CP CM =⋅.其中正确的是（ ）A．①②③B．①C．①②D．②③【答案】A【解析】分析：（1）由等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE三边份数关系可证；（2）通过等积式倒推可知，证明△PAM∽△EMD即可；（3）2CB2转化为AC2，证明△ACP∽△MCA，问题可证．详解：由已知：2AB，2AE∴AC AD AB AE＝∵∠BAC=∠EAD∴∠BAE=∠CAD ∴△BAE∽△CAD 所以①正确∵△BAE∽△CAD ∴∠BEA=∠CDA∵∠PME=∠AMD ∴△PME∽△AMD∴MP ME MA MD＝∴MP•MD=MA•ME所以②正确∵∠BEA=∠CDA∠PME=∠AMD∴P、E、D、A四点共圆∴∠APD=∠EAD=90°∵∠CAE=180°-∠BAC-∠EAD=90°∴△CAP∽△CMA∴AC2=CP•CM∵2AB∴2CB2=CP•CM所以③正确故选A．点睛：本题考查了相似三角形的性质和判断．在等积式和比例式的证明中应注意应用倒推的方法寻找相似三角形进行证明，进而得到答案．3．一个不透明的袋子中装有2个红球、3个白球，每个球除颜色外都相同．从中任意摸出3个球，下列事件为必然事件的是( )A ．至少有1个球是红球B ．至少有1个球是白球C ．至少有2个球是红球D ．至少有2个球是白球 【答案】B【解析】A. 至少有1个球是红球是随机事件，选项错误；B. 至少有1个球是白球是必然事件，选项正确；C. 至少有2个球是红球是随机事件，选项错误；D. 至少有2个球是白球是随机事件，选项错误．故选B.4．如图，AB 是O 的直径，AC ，CD 是O 的两条弦，CD AB ⊥，连接OD ，若20CAB ∠=︒，则BOD ∠的度数是（ ）A ．10°B ．20°C ．30°D ．40°【答案】D 【分析】连接AD ，由AB 是⊙O 的直径及CD ⊥AB 可得出弧BC=弧BD ，进而可得出∠BAD=∠BAC ，利用圆周角定理可得出∠BOD 的度数．【详解】连接AD ，如图所示：∵AB 是⊙O 的直径，CD ⊥AB ，∴弧BC=弧BD ，∴∠BAD=∠BAC=20°．∴∠BOD=2∠BAD=40°，故选：D ．【点睛】此题考查了圆周角定理以及垂径定理．此题难度不大，利用圆周角定理求出∠BOD 的度数是解题的关键．5．在实数|﹣3|，﹣2，0，π中，最小的数是（）A．|﹣3| B．﹣2 C．0 D．π【答案】B【分析】直接利用利用绝对值的性质化简，进而比较大小得出答案．【详解】在实数|-3|，-1，0，π中，|-3|=3，则-1＜0＜|-3|＜π，故最小的数是：-1．故选B．【点睛】此题主要考查了实数大小比较以及绝对值，正确掌握实数比较大小的方法是解题关键．6．抛物线y＝（x﹣2）2+3的顶点坐标是（）A．(2，3) B．(﹣2，3) C．(2，﹣3) D．(﹣2，﹣3)【答案】A【分析】根据抛物线的顶点式可直接得到顶点坐标.【详解】解：y＝（x﹣2）2+3是抛物线的顶点式方程，根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（2，3）．故选：A．【点睛】本题考查了二次函数的顶点式与顶点坐标，顶点式y=（x-h）2+k，顶点坐标为（h，k），对称轴为直线x=h，难度不大.7．下列方程式属于一元二次方程的是（）A．330x x+-=B．212 +=xx C．221x xy+=D．22x=【答案】D【解析】根据一元二次方程的定义逐项进行判断即可. 【详解】A、是一元三次方程，故不符合题意；B、是分式方程，故不符合题意；C、是二元二次方程，故不符合题意；D、是一元二次方程，符合题意.故选：D.【点睛】本题考查一元二次方程的定义，熟练掌握定义是关键.8．如图，OAB是等边三角形，且OA与x轴重合，点B是反比例函数83yx=-的图象上的点，则OAB的周长为（）A．122B．102C．92D．82【答案】A【分析】设△OAB的边长为2a，根据等边三角形的性质，可得点B的坐标为（-a，3a），代入反比例函数解析式可得出a的值，继而得出△OAB的周长．【详解】解：如图，设△OAB的边长为2a，过B点作BM⊥x轴于点M．又∵△OAB是等边三角形，∴OM=12OA=a，3，∴点B的坐标为（-a3），∵点B是反比例函数83图象上的点，∴-33解得2（负值舍去），∴△OAB的周长为：2．故选：A．【点睛】此题考查反比例函数图象上点的坐标特征，等边三角形的性质，设△OAB的边长为2a，用含a的代数式表示出点B的坐标是解题的关键．9．已知一个矩形的面积为24cm2，其长为ycm，宽为xcm，则y与x之间的函数关系的图象大致是A ．B ．C ．D ．【答案】D【详解】根据题意有：xy=24；且根据x ，y 实际意义x 、y 应大于0，其图象在第一象限．故选D ． 10．已知点（x 1，y 1）、（x 2，y 2）、（x 3，y 3）在反比例函数y=-5x 的图象上，当x 1＜x 2＜0＜x 3时，y 1，y 2，y 3的大小关系是（ ）A ．y 1＜y 3＜y 2B ．y 2＜y 1＜y 3C ．y 3＜y 1＜y 2D ．y 3＜y 2＜y 1 【答案】C【分析】根据反比例函数为y=-5x，可得函数图象在第二、四象限，在每个象限内，y 随着x 的增大而增大，进而得到y 1，y 2，y 3的大小关系． 【详解】解：∵反比例函数为y=-5x ， ∴函数图象在第二、四象限，在每个象限内，y 随着x 的增大而增大，又∵x 1＜x 2＜0＜x 3，∴y 1＞0，y 2＞0，y 3＜0，且y 1＜y 2，∴y 3＜y 1＜y 2，故选：C ．【点睛】本题主要考查反比例函数图象上的点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答．11．如图，在正方形ABCD 中，E 是BC 的中点，F 是CD 上一点，AE EF ⊥，则下列结论正确的有( ) ①30BAE ∠= ②2CE AB CF = ③13CF CD = ④ABE ∆∽AEF ∆A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B【分析】由题中条件可得△CEF∽△BAE，进而得出对应线段成比例，进而又可得出△ABE∽△AEF，即可得出题中结论．【详解】∵四边形ABCD是正方形，∴∠B=∠C=90°，AB=BC=CD，∵AE⊥EF，∴∠AEF=∠B=90°，∴∠BAE+∠AEB=90°，∠AEB+FEC=90°，∴∠BAE=∠CEF，∴△BAE∽△CEF，∴CE CF AB BE∵E是BC的中点，∴BE=CE∴CE2=AB•CF，∴②正确；∵BE=CE=12 BC，∴CF=12BE=14CD，故③错误；∵1 tan2BEBAEAB∠==∴∠BAE≠30°，故①错误；设CF=a，则BE=CE=2a，AB=CD=AD=4a，DF=3a，∴5，5，AF=5a，∴2525255555AE a BEAF a EF a====∴AE BE AF EF=∴△ABE∽△AEF，故④正确．∴②与④正确．∴正确结论的个数有2个．故选：B ．【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质，以及正方形的性质．题目综合性较强，注意数形结合思想的应用． 12．将抛物线22y x =向右平移1个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线是（ ）A ．2y 2(x 1)3=++B ．22(1)3y x =--C ．22(1)3y x =+-D ．2y 2(x 1)3=-+ 【答案】D【分析】由题意可知原抛物线的顶点及平移后抛物线的顶点，根据平移不改变抛物线的二次项系数可得新的抛物线解析式．【详解】解：由题意得原抛物线的顶点为（0，0），∴平移后抛物线的顶点为（1，3），∴得到的抛物线解析式为y=2（x-1）2+3，故选：D ．【点睛】本题考查二次函数的几何变换，熟练掌握二次函数的平移不改变二次项的系数得出新抛物线的顶点是解决本题的关键．二、填空题（本题包括8个小题）13．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，D 、E 、F 分别是AB 、BC 、CA 的中点，若CD=5cm ，则EF=_______cm ．【答案】1【详解】∵△ABC 是直角三角形，CD 是斜边的中线，∴CD=12AB ， ∴AB=2CD=2×1=10cm ，又∵EF 是△ABC 的中位线，∴EF=12×10=1cm ． 故答案为1．考点：三角形中位线定理；直角三角形斜边上的中线．14．如图，在⊙O 中，弦AB ，CD 相交于点P ，∠A ＝30°，∠APD ＝65°，则∠B ＝_____．【答案】35°【分析】先根据三角形外角性质求出∠C的度数，然后根据圆周角定理得到∠B的度数．【详解】解：∵∠APD＝∠C+∠A，∴∠C＝65°﹣30°＝35°，∴∠B＝∠C＝35°．故答案为35°．【点睛】本题主要考查的是三角形的外角性质以及圆周角定理，这是一道综合性几何题，掌握三角形的外角性质以及圆周角定理是解题关键.15．一个不透明的袋子中装有3个白球和若干个黑球，它们除颜色外，完全相同.从袋子中随机摸出一球，记下颜色并放回，重复该试验多次，发现得到白球的频率稳定在0.6，则可判断袋子中黑球的个数为______. 【答案】2【分析】由摸到白球的频率稳定在0.6附近得出口袋中得到白色球的概率，进而求出黑球个数即可．【详解】解：设黑球个数为：x个，∵摸到白色球的频率稳定在0.6左右，∴口袋中得到白色球的概率为0.6，∴30.6 3x=+，解得：x=2，故黑球的个数为2个．故答案为2.【点睛】此题主要考查了利用频率估计概率，根据大量反复试验下频率稳定值即概率得出是解题关键．16．如图，坐标系中正方形网格的单位长度为1，抛物线y1=-12x2+3向下平移2个单位后得抛物线y2，则阴影部分的面积S=_____________．。

合肥市瑶海区2018-2019学年九年级质量检测（一）（时间：120min 满分150分）一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1. 12−的倒数的绝对值是：（ ）.A.12B. 2C. 2−D. 12−2. 下列计算正确的是:（ ）.A. ()22436x x = B. 235x x x += C. ()3225ab a b = D . 2122a a a −=3. 2019年两会政府报告指出：我们要切实把宝贵的资金用好，努力办好人民满意的教育，托起明天的希望.今年财力虽然很紧张，国家财政性教育经费占国内生产总值比例继续保持在4%以上，中央财政教育支出安排超过1万亿元.其中1万亿元用科学计数法表示为:（ ）.A. 8110⨯元B. 10110⨯元C. 11110⨯元D. 12110⨯元4. 如图所示是张老师电动车的一个零件，张老师要求小亮按如图摆放位置画出它的左视图，小亮经过仔细观察画出了正确的图形，则小亮画的图形是（ ）.A. B. C. D. 第4题图5. 如图, AB 是O 的直径，点C D 、在O 上，110BOC ∠=,//OC AD ,则ABD ∠等于:（ ）.A. 20B. 30C. 40D. 50 6. 关于x 的不等式组12x m x m >−⎧⎨>+⎩的解集是1x >−，则m 的值是: ( ).A. 3−B. 0C. 1−D. 2−7. 某小组5名同学在一周内参加家务劳动的时间如下表所示，关于“劳动时间”的这组数据，以下说法正确的是（ ）.A. 中位数是4，平均数是3.75B. 众数是4，平均数是3.75C. 中位数是4，平均数是3.8D. 众数是2，平均数是3.88. “桃花流水窅然去，别有天地非人间”桃花园景点2017年三月共接待游客a 万人，2018年三月比2017年三月旅游人数增加5%，已知2017年三月至2019年三月欣赏桃花的游客人数平均年增长率为8%，设2019年三月比2018年三月游客人数增加b %，则可列方程为:（ ）.A. ()()15%1%(18%2)a b a ++=+⨯B. ()()215%1%(18%)a b a ++=+C. ()()15%18%(1%2)a a b ++=+⨯D. ()()15%18%2(1%)a a b ++=+ 9. 二次函数2y ax bx c =++的图像如图所示，则一次函数24y bx b ac =+−与反比例函数a b cy x++=在同一坐标系内的图像大致为: （ ）A. B. C. D.10. 如图，在ABCD 中，M 是AB 上一点，且:2:3AM MB =, AC 与DM 交于点N ，若AMN ∆的面积是1，则ABCD 的面积是（ ）.A ．16.5B ．17.25C ．17.5D ．18.75二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 分解因式： ()222y x x +−= .12. 如图，点C 是以AB 为直径的半圆O 的三等分点，2AC =, 则图中阴影部分的面积是 ．13. 在数轴上，点A 表示1,现将点A 沿x 轴做如下移动，第一次点A 向左移动3个单位长度到达点1A ,第二次将点1A 向右移动6个单位长度到达点2A ,第三次将点2A 向左移动9个单位长度到达点3A ,按照这种移动规律移动下去，第n 次移动到点n A ,那么2019A 表示的数是 .14. 在平面直角坐标系中，点A 的坐标是()3,0，B 为y 轴正半轴上的点，C 是第一象限内的点，且2AC =,设tan BOC m ∠=，则m 的取值范围是 ．三、解答题（每小题8分，共16分）15. 计算：011(3)()12π−−+16. 解分式方程：2236111x x x +=+−−四、解答题（每小题8分，共16分） 17. 列方程或方程组解应用题：《九章算术》中的方程问题：“五只雀、六只燕，共重1斤（等于16两），雀重燕轻．互换其中一只，恰好一样重，问：每只雀、燕的重量各为多少？“译文如下：有5只麻雀和6只燕子，一共重16两；5只麻雀的重量超过6只燕子的重量，如果互换其中一只，重量恰好相等。

九年级上册合肥数学期末试卷测试卷（含答案解析）一、选择题1．抛物线223y x x =++与y 轴的交点为（ ）A ．(0,2)B ．(2,0)C ．(0,3)D ．(3,0)2．如图，在△ABC 中，点D 、E 分别在AB 、AC 边上，DE ∥BC ，若AD =1，BD =2，则DE BC的值为（ ）A ．12B ．13C ．14D ．193．函数y=mx 2+2x+1的图像 与x 轴只有1个公共点，则常数m 的值是（ ） A ．1 B ．2 C ．0,1 D ．1,2 4．若直线l 与半径为5的O 相离，则圆心O 与直线l 的距离d 为（ ）A ．5d <B ．5d >C ．5d =D ．5d ≤5．如图，以AB 为直径的⊙O 上有一点C ，且∠BOC ＝50°，则∠A 的度数为（ ）A ．65°B ．50°C ．30°D ．25°6．在平面直角坐标系中，点A(0,2)、B(a ,a +2)、C(b ,0)（a >0,b >0），若AB=2且∠ACB 最大时，b 的值为（ ） A ．226+B ．226-+C ．242+D ．2427．方程x 2﹣3x ＝0的根是（ ） A ．x ＝0B ．x ＝3C ．10x =，23x =-D ．10x =，23x =8．一元二次方程230x x k -+=的一个根为2x =，则k 的值为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．49．不透明袋子中有2个红球和4个蓝球，这些球除颜色外无其他差别，从袋子中随机取出1个球是红球的概率是（ ）A ．13B ．14C ．15D ．1610．在4张相同的小纸条上分别写上数字﹣2、0、1、2，做成4支签，放在一个盒子中，搅匀后从中任意抽出1支签（不放回），再从余下的3支签中任意抽出1支签，则2次抽出的签上的数字的和为正数的概率为（）A．14B．13C．12D．2311．cos60︒的值等于（）A．12B．22C．32D．3312．如图，AB，AM，BN 分别是⊙O 的切线，切点分别为 P，M，N．若 MN∥AB，∠A＝60°，AB＝6，则⊙O 的半径是（）A．32B．3 C．323D．3二、填空题13．平面直角坐标系内的三个点A（1，－3）、B（0，－3）、C（2，－3），___ 确定一个圆．（填“能”或“不能”）14．已知tan（α+15°）=33，则锐角α的度数为______°．15．将二次函数y=2x2的图像沿x轴向左平移2个单位，再向下平移3个单位后，所得函数图像的函数关系式为______________.16．如图，已知正六边形内接于O，若正六边形的边长为2，则图中涂色部分的面积为______.17．如图，一个可以自由转动的转盘，任意转动转盘一次，当转盘停止时，指针落在红色区域的概率为____．18．如图，在Rt△ABC中，BC AC⊥，CD是AB边上的高，已知AB＝25，BC＝15，则BD＝__________．19．如图，用一张半径为10 cm 的扇形纸板做一个圆锥形帽子（接缝忽略不计），如果做成的圆锥形帽子的高为8 cm ，那么这张扇形纸板的弧长是________cm ．20．已知二次函数y ＝ax 2+bx+c 中，函数y 与自变量x 的部分对应值如表， x 6.17 6.18 6.19 6.20 y﹣0.03﹣0.010.020.04则方程ax 2+bx+c ＝0的一个解的范围是_____．21．如图，曲线AB 是顶点为B ，与y 轴交于点A 的抛物线y ＝﹣x 2+4x +2的一部分，曲线BC 是双曲线ky x的一部分，由点C 开始不断重复“A ﹣B ﹣C ”的过程，形成一组波浪线，点P （2018，m ）与Q （2025，n ）均在该波浪线上，则mn ＝_____．22．如图，1ABB △，12AB B ，△A 2B 2B 3 是全等的等边三角形，点 B ，B 1，B 2，B 3 在同一条 直线上，连接 A 2B 交 AB 1 于点 P ，交 A 1B 1 于点 Q ，则 PB 1∶QB 1 的值为___．23．设二次函数y ＝x 2﹣2x ﹣3与x 轴的交点为A ，B ，其顶点坐标为C ，则△ABC 的面积为_____．24．若一个圆锥的侧面展开图是一个半径为3cm ，圆心角为120°的扇形，则该圆锥的底面半径为__________cm ．三、解答题25．如图，Rt △FHG 中，∠H=90°，FH ∥x 轴，=0.6GHFH，则称Rt △FHG 为准黄金直角三角形（G 在F 的右上方）.已知二次函数21y ax bx c =++的图像与x 轴交于A 、B 两点，与y轴交于点E （0，3-），顶点为C （1，4-），点D 为二次函数22(1)0.64(0)y a x m m m =--+->图像的顶点.（1）求二次函数y 1的函数关系式；（2）若准黄金直角三角形的顶点F 与点A 重合、G 落在二次函数y 1的图像上，求点G 的坐标及△FHG 的面积；（3）设一次函数y=mx+m 与函数y 1、y 2的图像对称轴右侧曲线分别交于点P 、Q. 且P 、Q 两点分别与准黄金直角三角形的顶点F 、G 重合，求m 的值并判断以C 、D 、Q 、P 为顶点的四边形形状，请说明理由.26．如图1，矩形OABC 的顶点A 的坐标为（4,0），O 为坐标原点，点B 在第一象限，连接AC ， tan ∠ACO=2，D 是BC 的中点， （1）求点D 的坐标；（2）如图2，M 是线段OC 上的点，OM=23OC ，点P 是线段OM 上的一个动点，经过P 、D 、B 三点的抛物线交x 轴的正半轴于点E ，连接DE 交AB 于点F.①将△DBF 沿DE 所在的直线翻折，若点B 恰好落在AC 上，求此时点P 的坐标； ②以线段DF 为边，在DF 所在直线的右上方作等边△DFG ，当动点P 从点O 运动到点M 时，点G 也随之运动，请直接写出点G 运动的路径的长.27．（1）（学习心得）于彤同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易.例如：如图1，在ABC 中，,90AB AC BAC ∠==,D 是ABC 外一点，且AD AC =,求BDC ∠的度数.若以点A为圆心，AB 为半径作辅助A ，则C 、D 必在A 上，BAC ∠是A 的圆心角，而BDC ∠是圆周角，从而可容易得到BDC ∠=________.（2）（问题解决）如图2，在四边形ABCD 中，90BAD BCD ∠=∠=,25BDC ∠=,求BAC ∠的度数.（3）（问题拓展）如图3，,E F 是正方形ABCD 的边AD 上两个动点，满足AE DF =.连接交于点，连接CF 交BD 于点G ,连接BE 交于点H ,若正方形的边长为2，则线段DH 长度的最小值是_______.28．已知，如图，抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的顶点为(1,9)M ，经过抛物线上的两点(3,7)A --和(3,)B m 的直线交抛物线的对称轴于点C ．（1）求抛物线的解析式和直线AB 的解析式．（2）在抛物线上,A M 两点之间的部分（不包含,A M 两点），是否存在点D ，使得2DAC DCM S S ∆∆=？若存在，求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由．（3）若点P 在抛物线上，点Q 在x 轴上，当以点,,,A M P Q 为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出满足条件的点P 的坐标．29．如图，在ABC ∆中，90B ∠=︒，5cm AB =，7cm BC =，点P 从点A 开始沿AB 边向点B 以1cm/s 的速度移动，同时，点Q 从点B 开始沿BC 边向点C 以2cm /s 的速度移动(到达点C ，移动停止).(1)如果P ，Q 分别从A ，B 同时出发，那么几秒后，PQ 的长度等于10cm ？(2)在(1)中，PQB ∆的面积能否等于27cm ？请说明理由. 30．已知关于x 的一元二次方程()222140x m x m +++-=．（1）当m 为何值时，方程有两个不相等的实数根？（2）设方程两根分别为1x 、2x ，且21x 、22x 分别是边长为5的菱形的两条对角线，求m 的值．31．如图甲，在△ABC 中，∠ACB=90°，AC=4cm ，BC=3cm ．如果点P 由点B 出发沿BA 方向向点A 匀速运动，同时点Q 由点A 出发沿AC 方向向点C 匀速运动，它们的速度均为1cm/s ．连接PQ ，设运动时间为t （s ）（0＜t ＜4），解答下列问题： （1）设△APQ 的面积为S ，当t 为何值时，S 取得最大值，S 的最大值是多少； （2）如图乙，连接PC ，将△PQC 沿QC 翻折，得到四边形PQP′C ，当四边形PQP′C 为菱形时，求t 的值；（3）当t 为何值时，△APQ 是等腰三角形．32．如图示，AB 是O 的直径，点F 是半圆上的一动点（F 不与A ，B 重合），弦AD 平分BAF ∠，过点D 作DE AF ⊥交射线AF 于点AF .（1）求证：DE 与O 相切：（2）若8AE =，10AB =，求DE 长；（3）若10AB =，AF 长记为x ，EF 长记为y ，求y 与x 之间的函数关系式，并求出AF EF ⋅的最大值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C【解析】【分析】令x=0，则y=3，抛物线与y轴的交点为（0，3）．【详解】解：令x=0，则y=3，∴抛物线与y轴的交点为（0，3），故选：C．【点睛】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数的图象及性质，会求函数与坐标轴的交点是解题的关键．2．B解析：B【解析】试题分析：∵DE∥BC，∴AD DEAB BC=，∵13ADAB=，∴31DEBC=．故选B．考点：平行线分线段成比例．3．C解析：C【解析】【分析】分两种情况讨论，当m=0和m≠0，函数分别为一次函数和二次函数，由抛物线与x轴只有一个交点，得到根的判别式的值等于0，列式求解即可．【详解】解：①若m=0，则函数y=2x+1，是一次函数，与x轴只有一个交点；②若m≠0，则函数y=mx2+2x+1，是二次函数．根据题意得：b2-4ac=4-4m=0，解得：m=1．∴m=0或m=1故选：C.【点睛】本题考查了一次函数的性质与抛物线与x轴的交点，抛物线与x轴的交点个数由根的判别式的值来确定．本题中函数可能是二次函数，也可能是一次函数，需要分类讨论，这是本题的容易失分之处．4．B解析：B【解析】【分析】直线与圆相离等价于圆心到直线的距离大于半径，据此解答即可.解：∵直线l 与半径为5的O 相离，∴圆心O 与直线l 的距离d 满足：5d >.故选：B. 【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，属于应知应会题型，若圆心到直线的距离为d ，圆的半径为r ，当d >r 时，直线与圆相离；当d =r 时，直线与圆相切；当d <r 时，直线与圆相交.5．D解析：D 【解析】 【分析】根据圆周角定理计算即可． 【详解】解：由圆周角定理得，1252A BOC ∠=∠=︒，故选：D ． 【点睛】本题考查的是圆周角定理，在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．6．B解析：B 【解析】 【分析】根据圆周角大于对应的圆外角可得当ABC ∆的外接圆与x 轴相切时，ACB ∠有最大值，此时圆心F 的横坐标与C 点的横坐标相同，并且在经过AB 中点且与直线AB 垂直的直线上，根据FB=FC 列出关于b 的方程求解即可. 【详解】解：∵AB=A(0,2)、B(a ,a +2)= 解得a =4或a =-4（因为a >0，舍去） ∴B(4,6)，设直线AB 的解析式为y=kx+2， 将B(4,6)代入可得k =1，所以y=x+2，利用圆周角大于对应的圆外角得当ABC ∆的外接圆与x 轴相切时，ACB ∠有最大值. 如下图，G 为AB 中点，()2,4G ，设过点G 且垂直于AB 的直线:l y x m =-+， 将()2,4G 代入可得6m =，所以6y x =-+.设圆心(),6F b b -+，由FC FB =，可知()()()2226466b b b -+=-+-+-，解得262b =（已舍去负值）.故选：B. 【点睛】本题考查圆的综合题，一次函数的应用和已知两点坐标，用勾股定理求两点距离.能结合圆的切线和圆周角定理构建图形找到C 点的位置是解决此题的关键.7．D解析：D 【解析】 【分析】先将方程左边提公因式x ，解方程即可得答案． 【详解】 x 2﹣3x ＝0， x （x ﹣3）＝0， x 1＝0，x 2＝3， 故选：D ． 【点睛】本题考查解一元二次方程，解一元二次方程的常用方法有：配方法、直接开平方法、公式法、因式分解法等，熟练掌握并灵活运用适当的方法是解题关键．8．B【解析】【分析】将x=2代入方程即可求得k的值，从而得到正确选项．【详解】解：∵一元二次方程x2-3x+k=0的一个根为x=2，∴22-3×2+k=0，解得，k=2，故选：B．【点睛】本题考查一元二次方程的解，解题的关键是明确一元二次方程的解一定使得原方程成立．9．A解析：A【解析】【分析】根据红球的个数以及球的总个数，直接利用概率公式求解即可.【详解】因为共有6个球，红球有2个，所以，取出红球的概率为2163 P==，故选A.【点睛】本题考查了简单的概率计算，正确把握概率的计算公式是解题的关键.10．C解析：C【解析】【分析】画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出2次抽出的签上的数字和为正数的结果数，最后根据概率公式计算即可．【详解】根据题意画图如下：共有12种等情况数，其中2次抽出的签上的数字的和为正数的有6种，则2次抽出的签上的数字的和为正数的概率为612＝12；【点睛】本题考查列表法与树状图法、概率计算题，解题的关键是画树状图展示出所有12种等可能的结果数及准确找出2次抽出的签上的数字和为正数的结果数，11．A解析：A【解析】【分析】根据特殊角的三角函数值解题即可．【详解】解：cos60°=12. 故选A.【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值. 12．D解析：D【解析】【分析】根据题意可判断四边形ABNM 为梯形，再由切线的性质可推出∠ABN=60°，从而判定△APO ≌△BPO ，可得AP=BP=3，在直角△APO 中，利用三角函数可解出半径的值.【详解】解：连接OP ，OM ，OA ，OB ，ON∵AB ，AM ，BN 分别和⊙O 相切，∴∠AMO=90°，∠APO=90°，∵MN ∥AB ，∠A ＝60°，∴∠AMN=120°，∠OAB=30°，∴∠OMN=∠ONM=30°，∵∠BNO=90°，∴∠ABN=60°，∴∠ABO=30°，在△APO 和△BPO 中，OAP OBP APO BPO OP OP ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△APO ≌△BPO （AAS ），∴AP=12AB=3，∴tan∠OAP=tan30°=OPAP=33，∴OP=3，即半径为3.故选D.【点睛】本题考查了切线的性质，切线长定理，解直角三角形，全等三角形的判定和性质，关键是说明点P是AB中点，难度不大.二、填空题13．不能【解析】【分析】根据三个点的坐标特征得到它们共线，于是根据确定圆的条件可判断它们不能确定一个圆．【详解】解：∵B（0，-3）、C（2，-3），∴BC∥x轴，而点A（1，-3）与C、解析：不能【解析】【分析】根据三个点的坐标特征得到它们共线，于是根据确定圆的条件可判断它们不能确定一个圆．【详解】解：∵B（0，-3）、C（2，-3），∴BC∥x轴，而点A（1，-3）与C、B共线，∴点A、B、C共线，∴三个点A（1，-3）、B（0，-3）、C（2，-3）不能确定一个圆．故答案为：不能．【点睛】本题考查了确定圆的条件：不在同一直线上的三点确定一个圆．14．15【解析】【分析】直接利用特殊角的三角函数值求出答案．【详解】解：tan（α+15°）=∴α+15°=30°,∴α=15°故答案是15【点睛】此题主要考查了特殊角的三角函数值，解析：15【解析】【分析】直接利用特殊角的三角函数值求出答案．【详解】解：tan（α+15°）∴α+15°=30°,∴α=15°故答案是15【点睛】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关特殊角的三角函数值是解题关键．15．y=2(x+2)2-3【解析】【分析】根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可.【详解】解：根据“上加下减，左加右减”的原则可知，二次函数y＝2x2的图象向左平移2个单位，再向下平移解析：y=2(x+2)2-3【解析】【分析】根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可.【详解】解：根据“上加下减，左加右减”的原则可知，二次函数y＝2x2的图象向左平移2个单位，再向下平移3个单位后得到的图象表达式为y=2(x+2)2-3【点睛】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的原则是解答此题的关键．16．【解析】【分析】根据圆的性质和正六边形的性质证明△CDA≌△BDO，得出涂色部分即为扇形AOB的面积，根据扇形面积公式求解.【详解】解：连接OA,OB,OC,AB,OA与BC交于D点∵正解析：2 3π【解析】【分析】根据圆的性质和正六边形的性质证明△CDA≌△BDO，得出涂色部分即为扇形AOB的面积，根据扇形面积公式求解.【详解】解：连接OA,OB,OC,AB,OA与BC交于D点∵正六边形内接于O,∴∠BOA=∠AOC=60°,OA=OB=OC=4,∴∠BOC=120°，OD⊥BC,BD=CD∴∠OCB=∠OBC=30°,∴OD=1122OB OA DA ,∵∠CDA=∠BDO,∴△CDA≌△BDO,∴S△CDA=S△BDO,∴图中涂色部分的面积等于扇形AOB的面积为：26022 3603ππ⨯=.故答案为：23π.【点睛】本题考查圆的内接正多边形的性质，根据圆的性质结合正六边形的性质将涂色部分转化成扇形面积是解答此题的关键.17．【解析】【分析】用红色区域的圆心角度数除以圆的周角的度数可得到指针落在红色区域的概率．【详解】解：因为蓝色区域的圆心角的度数为120°，所以指针落在红色区域内的概率是=，故答案为.【解析：2 3【解析】【分析】用红色区域的圆心角度数除以圆的周角的度数可得到指针落在红色区域的概率．【详解】解：因为蓝色区域的圆心角的度数为120°，所以指针落在红色区域内的概率是360120360=23，故答案为2 3 .【点睛】本题考查了几何概率：求概率时，已知和未知与几何有关的就是几何概率．计算方法是利用长度比，面积比，体积比等．18．9【解析】【分析】利用两角对应相等两三角形相似证△BCD∽△BAC，根据相似三角形对应边成比例得比例式，代入数值求解即可.【详解】解：∵，,∴∠ACB=∠CDB=90°,∵∠B=∠B,解析：9【解析】【分析】利用两角对应相等两三角形相似证△BCD ∽△BAC ，根据相似三角形对应边成比例得比例式，代入数值求解即可.【详解】解：∵BC AC ⊥，CD AB ⊥,∴∠ACB=∠CDB=90°,∵∠B=∠B,∴△BCD ∽△BAC, ∴BC BD AB BC = , ∴152515BD =, ∴BD=9.故答案为：9.【点睛】本题考查利用相似三角形的性质求线段长，证明两三角形相似注意题中隐含条件，如公共角，对顶角等，利用相似的性质得出比例式求解是解答此题的关键.19．【解析】【分析】首先求出圆锥的底面半径，然后可得底面周长，问题得解．【详解】解：∵扇形的半径为10cm ，做成的圆锥形帽子的高为8cm ，∴圆锥的底面半径为cm ，∴底面周长为2π×6＝12解析：12π【解析】【分析】首先求出圆锥的底面半径，然后可得底面周长，问题得解．【详解】解：∵扇形的半径为10cm ，做成的圆锥形帽子的高为8cm ，6=cm ，∴底面周长为2π×6＝12πcm ，即这张扇形纸板的弧长是12πcm ，故答案为：12π．【点睛】本题考查圆锥的计算，用到的知识点为：圆锥的底面周长＝侧面展开扇形的弧长．20．18＜x＜6.19【解析】【分析】根据表格中自变量、函数的值的变化情况，得出当y＝0时，相应的自变量的取值范围即可．【详解】由表格数据可得，当x＝6.18时，y＝﹣0.01，当x＝6.19解析：18＜x＜6.19【解析】【分析】根据表格中自变量、函数的值的变化情况，得出当y＝0时，相应的自变量的取值范围即可．【详解】由表格数据可得，当x＝6.18时，y＝﹣0.01，当x＝6.19时，y＝0.02，∴当y＝0时，相应的自变量x的取值范围为6.18＜x＜6.19，故答案为：6.18＜x＜6.19．【点睛】本题考查了用图象法求一元二次方程的近似根，解题的关键是找到y由正变为负时，自变量的取值即可．21．24【解析】【详解】点B是抛物线y=﹣x2+4x+2的顶点，∴点B的坐标为（2，6），2018÷6=336…2，故点P离x轴的距离与点B离x轴的距离相同，∴点P的坐标为（2018，6），解析：24【解析】【详解】点B是抛物线y=﹣x2+4x+2的顶点，∴点B的坐标为（2，6），2018÷6=336…2，故点P离x轴的距离与点B离x轴的距离相同，∴点P的坐标为（2018，6），∴m＝6；点B （2，6）在k y x =的图象上， ∴k ＝6； 即12y x=， 2025÷6=337…3，故点Q 离x 轴的距离与当x ＝3时，函数12y x =的函数值相等，又 x ＝3时，1243y ==， ∴点Q 的坐标为（2025，4），即n ＝4，∴mn =6424.⨯=故答案为24．【点睛】本题主要考查了反比例函数图象上的点的坐标特征以及二次函数的图象与性质．本题是一道找规律问题．找到点P 、Q 在A ﹣B ﹣C 段上的对应点是解题的关键．22．【解析】【分析】根据题意说明PB1∥A2 B3，A1B1∥A2B2，从而说明△BB1P∽△BA2 B3，△BB1Q∽△BB2A2，再得到PB1 和A2B3的关系以及QB1和A2B2的关系，根据 解析：23【解析】【分析】根据题意说明PB 1∥A 2 B 3，A 1B 1∥A 2B 2，从而说明△BB 1P ∽△BA 2 B 3，△BB 1Q ∽△BB 2A 2，再得到PB 1 和A 2B 3的关系以及QB 1和A 2B 2的关系，根据A 2B 3=A 2B 2，得到PB 1和QB 1的比值.【详解】解：∵△ABB 1，△A 1B 1B 2，△A 2B 2B 3是全等的等边三角形，∴∠BB 1P=∠B 3，∠A 1B 1 B 2=∠A 2B 2B 3，∴PB 1∥A 2B 3，A 1B 1∥A 2B 2，∴△BB 1P ∽△BA 2 B 3，△BB 1Q ∽△BB 2A 2， ∴112331==3PB BB A B BB ,112221==2QB BB A B BB , ∴1231=3PB A B ，1221=2QB A B ， ∵2322=A B A B ， ∴PB 1∶QB 1=13A 2B 3∶12A 2 B 2=2：3.故答案为：2 3 .【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，等边三角形的性质，平行线的判定，正确的识别图形是解题的关键．23．8【解析】【分析】首先求出A、B的坐标，然后根据坐标求出AB、CD的长，再根据三角形面积公式计算即可．【详解】解：∵y＝x2﹣2x﹣3，设y＝0，∴0＝x2﹣2x﹣3，解得：x1＝3，解析：8【解析】【分析】首先求出A、B的坐标，然后根据坐标求出AB、CD的长，再根据三角形面积公式计算即可．【详解】解：∵y＝x2﹣2x﹣3，设y＝0，∴0＝x2﹣2x﹣3，解得：x1＝3，x2＝﹣1，即A点的坐标是（﹣1，0），B点的坐标是（3，0），∵y＝x2﹣2x﹣3，＝（x﹣1）2﹣4，∴顶点C的坐标是（1，﹣4），∴△ABC的面积＝12×4×4＝8，故答案为8．【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，二次函数的三种形式的应用，主要考查学生运用性质进行计算的能力，题目比较典型，难度适中．24．1【解析】【分析】（1）根据，求出扇形弧长，即圆锥底面周长；（2）根据，即，求圆锥底面半径． 【详解】该圆锥的底面半径= 故答案为：1． 【点睛】圆锥的侧面展开图是扇形，解题关键是理解扇解析：1 【解析】 【分析】 （1）根据180n Rl π=，求出扇形弧长，即圆锥底面周长； （2）根据2C r π=，即2Cr π=，求圆锥底面半径． 【详解】 该圆锥的底面半径=()1203=11802cm ππ⋅⋅故答案为：1． 【点睛】圆锥的侧面展开图是扇形，解题关键是理解扇形弧长就是圆锥底面周长．三、解答题25．（1）y=(x-1)2-4；（2）点G 坐标为（3.6，2.76），S △FHG =6.348；（3）m=0.6，四边形CDPQ 为平行四边形，理由见解析. 【解析】 【分析】（1）利用顶点式求解即可,（2）将G 点代入函数解析式求出坐标,利用坐标的特点即可求出面积,（3）作出图象,延长QH ，交x 轴于点R ，由平行线的性质得证明△AQR ∽△PHQ,设Q[n,0.6(n+1)],代入y=mx+m 中，即可证明四边形CDPQ 为平行四边形. 【详解】（1）设二次函数的解析式是y=a(x-h)2+k,(a≠0),由题可知该抛物线与y 轴交于点E （0，3-），顶点为C （1，4-），∴y=a(x-1)2-4,代入E （0，3-），解得a=1,2(1)4y x =--（223y x x =--）（2）设G[a,0.6(a+1)],代入函数关系式， 得，2(1)40.6(1)a a --=+， 解得a 1=3.6，a 2=-1（舍去）， 所以点G 坐标为（3.6,2.76）. S △FHG =6.348（3）y=mx+m=m（x+1），当x=-1时，y=0，所以直线y=mx+m延长QH，交x轴于点R，由平行线的性质得，QR⊥x轴.因为FH∥x轴，所以∠QPH=∠QAR,因为∠PHQ=∠ARQ=90°，所以△AQR∽△PQH,所以QR QHAR PH= =0.6,设Q[n,0.6(n+1)],代入y=mx+m中，mn+m=0.6（n+1），m（n+1）=0.6（n+1），因为n+1≠0，所以m=0.6..因为y2=（x-1-m）2+0.6m-4,所以点D由点C向右平移m个单位，再向上平移0.6m个单位所得，过D作y轴的平行线,交x轴与K,再作CT⊥KD,交KD延长线与T,所以KD QRSK AR==0.6,所以tan∠KSD=tan∠QAR，所以∠KSD=∠QAR，所以AQ∥CS，即CD∥PQ.因为AQ∥CS，由抛物线平移的性质可得，CT=PH,DT=QH,所以PQ=CD，所以四边形CDPQ为平行四边形.【点睛】本题考查了待定系数法求解二次函数解析式,二次函数的图象和性质,一次函数与二次函数的交点问题,相似三角形的判定和性质,综合性强,难度较大,掌握待定系数法是求解（1）的关键,求出G 点坐标是求解（2）的关键,证明三角形的相似并理解题目中准黄金直角三角形的概念是求解（3）的关键.26．（1）D （2,2）；（2）①P （0,0）；②13【解析】 【分析】（1）根据三角函数求出OC 的长度，再根据中点的性质求出CD 的长度，即可求出D 点的坐标；（2）①证明在该种情况下DE 为△ABC 的中位线，由此可得F 为AB 的中点，结合三角形全等即可求得E 点坐标，结合二次函数的性质可设二次函数表达式（此表达式为交点式的变形，利用了二次函数的平移的特点），将E 点代入即可求得二次函数的表达式，根据表达式的特征可知P 点坐标；②可得G 点的运动轨迹为'GG ，证明△DFF'≌△FGG'，可得GG'＝FF'，求得P 点运动到M 点时的解析式即可求出F'的坐标，结合①可求得FF'即GG'的长度. 【详解】解：（1）∵四边形OABC 为矩形， ∴BC=OA=4，∠AOC=90°， ∵在Rt △ACO 中，tan ∠ACO=OAOC=2， ∴OC=2， 又∵D 为CB 中点， ∴CD=2， ∴D （2,2）； （2）①如下图所示，若点B 恰好落在AC 上的'B 时,根据折叠的性质1'','2BDF B DF BDB BD B D ∠=∠=∠=, ∵D 为BC 的中点， ∴CD=BD, ∴'CD B D =,∴1''2BCA DB C BDB ∠=∠=∠, ∴BCA BDF ∠=∠，∴//DF AC ,DF 为△ABC 的中位线， ∴AF=BF,∵四边形ABCD 为矩形 ∴∠ABC=∠BAE=90° 在△BDF 和△AEF 中，∵ABC BAE BF AF BFD AFE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△BDF ≌△AEF ， ∴AE=BD=2, ∴E(6,0), 设(2)(4)2y a x x ，将E （6,0）带入，8a+2=0∴a=14-，则二次函数解析式为21342y x x =-+，此时P （0,0）；②如图，当动点P 从点O 运动到点M 时，点F 运动到点F'，点G 也随之运动到G'．连接GG'．当点P 向点M 运动时，抛物线开口变大，F 点向上线性移动，所以G 也是线性移动．∵OM=23OC=43 ∴4(0,)3M ,当P 点运动到M 点时，设此时二次函数表达式为1(2)(4)2y a x x ，将4(0,)3M 代入得14823a ，解得1112a ，所以抛物线解析式为1(2)(4)212y x x ，整理得21141223y x x =-++. 当y=0时，211401223x x -++=，解得x=8（已舍去负值），所以此时(8,0)E ，设此时直线'DF 的解析式为y=kx+b ，将D （2,2），E （8,0）代入2208k b k b =+⎧⎨=+⎩解得1383k b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以1833y x =-+， 当x=4时，43y =，所以4'3AF =,由①得112AF AB ==， 所以1''3FF AF AF =-=, ∵△DFG 、△DF'G'为等边三角形，∴∠GDF ＝∠G'DF'＝60°，DG ＝DF ，DG'＝DF'， ∴∠GDF ﹣∠GDF'＝∠G'DF'﹣∠GDF'， 即∠G'DG ＝∠F'DF ， 在△DFF'与△FGG'中，''''DF DG F DF G DG DF DG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△DFF'≌△FGG'（SAS ）， ∴GG'＝FF'， 即G 运动路径的长为13． 【点睛】本题考查二次函数综合，解直角三角形，全等三角形的性质与判定，三角形中位线定理，一次函数的应用，折叠问题.（1）中能根据正切求得OC 的长度是解决此问的关键；（2）①熟练掌握折叠前后对应边相等，对应角相等是解题关键；②中能通过分析得出G 点的运动轨迹为线段GG',它的长度等于FF'，是解题关键. 27．（1）45；（2）25°；（31 【解析】 【分析】（1）利用同弦所对的圆周角是所对圆心角的一半求解． （2）由A 、B 、C 、D 共圆，得出∠BDC ＝∠BAC ，（3）根据正方形的性质可得AB ＝AD ＝CD ，∠BAD ＝∠CDA ，∠ADG ＝∠CDG ，然后利用“边角边”证明△ABE 和△DCF 全等，根据全等三角形对应角相等可得∠1＝∠2，利用“SAS ”证明△ADG 和△CDG 全等，根据全等三角形对应角相等可得∠2＝∠3，从而得到∠1＝∠3，然后求出∠AHB ＝90°，取AB 的中点O ，连接OH 、OD ，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OH ＝12AB ＝1，利用勾股定理列式求出OD ，然后根据三角形的三边关系可知当O 、D 、H 三点共线时，DH 的长度最小． 【详解】（1）如图1，∵AB ＝AC ，AD ＝AC ，∴以点A 为圆心，点B 、C 、D 必在⊙A 上， ∵∠BAC 是⊙A 的圆心角，而∠BDC 是圆周角，∴∠BDC ＝12∠BAC ＝45°， 故答案是：45；（2）如图2，取BD 的中点O ，连接AO 、CO ．∵∠BAD ＝∠BCD ＝90°， ∴点A 、B 、C 、D 共圆， ∴∠BDC ＝∠BAC ， ∵∠BDC ＝25°， ∴∠BAC ＝25°；（3）在正方形ABCD 中，AB ＝AD ＝CD ，∠BAD ＝∠CDA ，∠ADG ＝∠CDG ， 在△ABE 和△DCF 中，AB CD BAD CDA AE DF ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝， ∴△ABE ≌△DCF （SAS ）， ∴∠1＝∠2， 在△ADG 和△CDG 中，AD CDADG CDGDG DG⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△ADG≌△CDG（SAS），∴∠2＝∠3，∴∠1＝∠3，∵∠BAH＋∠3＝∠BAD＝90°，∴∠1＋∠BAH＝90°，∴∠AHB＝180°−90°＝90°，取AB的中点O，连接OH、OD，则OH＝AO＝12AB＝1，在Rt△AOD中，OD2222125AO AD++=根据三角形的三边关系，OH＋DH＞OD，∴当O、D、H三点共线时，DH的长度最小，最小值＝OD−OH5．【点睛】本题主要考查了圆的综合题，需要掌握垂径定理、圆周角定理、等腰直角三角形的性质以及勾股定理等知识，难度偏大，解题时，注意辅助线的作法．28．（1）抛物线的表达式为：228y x x=-++，直线AB的表达式为：21y x=-；（2）存在，理由见解析；点P(6,16)-或(4,16)--或(17,2)+或(17,2)-．【解析】【分析】（1）二次函数表达式为：y=a（x-1）2+9，即可求解；（2）S△DAC=2S△DCM，则()()()()()21112821139112 222DAC C AS DH x x x x x x =-=-++-++=--⨯，，即可求解；（3）分AM是平行四边形的一条边、AM是平行四边形的对角线两种情况，分别求解即可．【详解】解：（1）二次函数表达式为：()219y a x =-+， 将点A 的坐标代入上式并解得：1a =-， 故抛物线的表达式为：228y x x =-++…①， 则点()3,5B ，将点,A B 的坐标代入一次函数表达式并解得： 直线AB 的表达式为：21y x =-； （2）存在，理由：二次函数对称轴为：1x =，则点()1,1C ， 过点D 作y 轴的平行线交AB 于点H ，设点()2,28D x x x -++，点(),21H x x -，∵2DAC DCM S S ∆∆=， 则()()()()()21112821139112222DACC A SDH x x x x x x =-=-++-++=--⨯， 解得：1x =-或5（舍去5）， 故点()1,5D -；（3）设点(),0Q m 、点(),P s t ，228t s s =-++， ①当AM 是平行四边形的一条边时，点M 向左平移4个单位向下平移16个单位得到A ，同理，点(),0Q m 向左平移4个单位向下平移16个单位为()4,16m --，即为点P ， 即：4m s -=，6t -=，而228t s s =-++， 解得：6s =或﹣4， 故点()6,16P -或()4,16--； ②当AM 是平行四边形的对角线时，由中点公式得：2m s +=-，2t =，而228t s s =-++， 解得：17s =±故点()12P 或()12；综上，点()6,16P -或()4,16--或()12或()12． 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、平行四边形性质、图形的面积计算等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．29．(1)3秒后，PQ 的长度等于(2)PQB ∆的面积不能等于27cm . 【解析】 【分析】（1）由题意根据PQ=BP 2+BQ 2=PQ 2，求出即可；（2）由（1）得，当△PQB 的面积等于7cm 2，然后利用根的判别式判断方程根的情况即可； 【详解】解：(1)设x 秒后，PQ =5BP x =-，2BQ x =， ∵222BP BQ PQ +=∴()()(22252x x -+=解得：13x =，21x =-(舍去) ∴3秒后，PQ 的长度等于；(2)设t 秒后，5PB t =-，2QB t =， 又∵172PQB S BP QB ∆=⨯⨯=，()15272t t ⨯-⨯=， ∴2570t t -+=，25417252830∆=-⨯⨯=-=-<，∴方程没有实数根，∴PQB ∆的面积不能等于27cm . 【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，找到关键描述语“△PBQ 的面积等于27cm ”，得出等量关系是解决问题的关键． 30．（1）174m >-；（2）4m =- 【解析】 【分析】（1）由根的判别式2=40b ac ∆->即可求解；（2）根据菱形对角线互相垂直且平分，由勾股定理得222125x x +=，又由一元二次方程根与系数的关系1212, b c x x x x a a+=-=，所以有()2221212122x x x x x x +-=+，据此列出关于m 的方程求解． 【详解】（1）∵方程有两个不相等的实数根， ∴()()22=2144=417m m m ∆+--+>0解得：174m >- ∴当174m >-时，方程有两个不相等的实数根； （2）由题意得： 2221212212521?4x x x x m x x m ⎧+=⎪+=--⎨⎪=-⎩ ∴()()()222222121212=2212424925x x x x x x m m m m ++-=----=++=解得：2m =或4m =-∵21x 、22x 分别是边长为5的菱形的两条对角线 ∴122 1 0x x m +=-->，即12m <- ∴4m =- 【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式、结合菱形的性质考查勾股定理和韦达定理，熟知一元二次方程根与系数的关系是解题关键． 31．(1)当t 为52秒时，S 最大值为185；（2）2013； （3）52或2513或4013．【解析】 【分析】（1）过点P 作PH ⊥AC 于H ，由△APH ∽△ABC ，得出=PH APBC AB，从而求出AB ，再根据535PH t -，得出PH=3﹣35t ，则△AQP 的面积为：12AQ•PH =12t （3﹣35t ），最后进行整理即可得出答案；（2）连接PP′交QC 于E ，当四边形PQP′C 为菱形时，得出△APE ∽△ABC ，=AE APAC AB，求出AE=﹣45t+4，再根据QE=AE ﹣AQ ，QE=12QC 得出﹣95t+4=﹣12t+2，再求t 即可； （3）由（1）知，PD=﹣35t+3，与（2）同理得：QD=﹣95t+4，从而求出。

学年安徽省九年级期末数学试题（试题卷）注意事项：．你拿到的试卷满分为分，考试时间为分钟．．本卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分，“试题卷”共页，“答题卷”共页． ．请你“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的． ．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回． 一、选择题（本大题共小题，每小题分，满分分） 每小题都给出、、、四个选项，其中只有一个是正确的． ．在－，，－，这四个数中，比－小的数是．－ ． ．－ ． ．计算×的结果是． ． ． ．．移动互联网已经全面进入人们的日常生活．截止年月，全国用户总数达到亿，其中亿用科学记数法表示为．× ．× ．× ．× ．下列几何体中，俯视图是矩形的是．与＋最接近的整数是． ． ． ．．我省年的快递业务量为亿件，受益于电子商务发展和法治环境改善等多重因素，快递业．． ． ．务迅猛发展，年增速位居全国第一．若年的快递业务量达到亿件，设年与年这两年的平均增长率为，则下列方程正确的是．(＋)＝．(＋)＝．(＋)＝．(＋)＋(＋)＝．某校九年级()班全体学生年初中毕业体育考试的成绩统计如下表：成绩(分)人数(人)根据上表中的信息判断，下列结论中错误的是．．．该班一共有名同学．该班学生这次考试成绩的众数是分．该班学生这次考试成绩的中位数是分．该班学生这次考试成绩的平均数是分．在四边形中，∠＝∠＝∠，点在边上，∠＝°，则一定有．∠＝°．∠＝°．∠＝)∠．∠＝)∠．如图，矩形中，＝，＝．点在边上，点第题图在边上，点、在对角线上．若四边形是菱形，则的长是．．．．．如图，一次函数＝与二次函数＝＋＋图象相交于、两点，则函数＝＋(－)＋的图象可能是二、填空题（本大题共小题，每小题分，满分分） ．－的立方根是 ▲ ．．如图，点、、在半径为的⊙上，的长为 2，则∠的大小是 ▲ ．．按一定规律排列的一列数：，，，，，，…，若、、表示这列数中的连续三个数，猜想、、满足的关系式是 ▲ ． ．已知实数、、满足＋＝＝，有下列结论：①若≠，则)＋)＝；②若＝，则＋＝；③若＝＝，则＝；④若、、中只有两个数相等，则＋＋＝． 其中正确的是 ▲ (把所有正确结论的序号都选上)． 三、（本大题共小题，每小题分，满分分） ．先化简，再求值：― )＋― ))·, )，其中＝－)． ．解不等式：)＞－－ )．四、（本大题共小题，每小题分，满分分）．如图，在边长为个单位长度的小正方形网格中，给出了△(顶点是网格线的交点)．()请画出△关于直线对称的△；()将线段向左平移个单位，再向下平移个单位，画出平移得到的线段，并以它为一边作一个格点△，使＝．．．．．第题图第题图．如图，平台高为，在处测得楼房顶部点的仰角为°，底部点的俯角为°，求楼房的高度(＝)． 五、（本大题共小题，每小题分，满分分）．、、三人玩篮球传球游戏，游戏规则是：第一次传球由将球随机地传给、两人中的某一人，以后的每一次传球都是由上次的传球者随机地传给其他两人中的某一人． ()求两次传球后，球恰在手中的概率； ()求三次传球后，球恰在手中的概率．．在⊙中，直径＝，是弦，∠＝°，点在上，点在⊙上，且⊥．()如图，当∥时，求的长度；()如图，当点在上移动时，求长的最大值． 六、（本题满分分）．如图，已知反比例函数＝)与一次函数＝＋的图象交于点(，)、(－，)．()求、、的值； ()求△的面积；()若(，)、(，)是比例函数＝)图象上第题图 第题图°° 第题图第题图。

九年级上学期期末数学试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．如图是某货站传送货物的机器的侧面示意图.AD DB ⊥，原传送带AB 与地面DB 的夹角为30，为了缩短货物传送距离，工人师傅欲增大传送带与地面的夹角，使其由30改为45︒，原传送带AB 长为8m .则新传送带AC 的长度为（ ）A ．4B ．42C ．6D ．无法计算【答案】B 【分析】根据已知条件，在Rt ABD ∆中，求出AD 的长，再在Rt ACD ∆中求出AC 的值. 【详解】AD DB ⊥，30ABD ∠=︒，AB =8 ∴30sin AD AB ︒=即128AD = ∴4=AD45ACD ∠=︒ ∴sin 45AD AC ︒=即242AC= 42AC ∴=故选B.【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键.2．计算20182019103)103)的值为( )A ．1B 103C 103D ．310【答案】B【解析】逆用同底数幂的乘法和积的乘方将式子变形，再运用平方差公式计算即可.【详解】解：))2018201933 ))2018[33]3= )201813=⨯3=故选B.【点睛】本题考查二次根式的运算，高次幂因式相乘往往是先设法将底数化为积为1或0的形式，然后再灵活选用幂的运算法则进行化简求值.3．若关于x 的方程（m ﹣2）x 2+mx ﹣1=0是一元二次方程，则m 的取值范围是（ ）A ．m≠2B ．m=2C ．m≥2D ．m≠0【答案】A【解析】解：∵关于x 的方程（m ﹣1）x 1+mx ﹣1=0是一元二次方程，∴m-1≠0，解得：m≠1．故选A ． 4．为了估计抛掷某枚啤酒瓶盖落地后凸面向下的概率，小明做了大量重复试验．经过统计得到凸面向上的次数为420次，凸面向下的次数为580次，由此可估计抛掷这枚啤酒瓶盖落地后凸面向下的概率约为（ ）A ．0.12B ．0.42C ．0.5D ．0.58 【答案】D【分析】由向上和向下的次数可求出向下的频率，根据大量重复试验下，随机事件发生的频率可以作为概率的估计值即可得答案．【详解】∵凸面向上的次数为420次，凸面向下的次数为580次，∴凸面向下的频率为580÷（420+580）=0.58，∵大量重复试验下，随机事件发生的频率可以作为概率的估计值，∴估计抛掷这枚啤酒瓶盖落地后凸面向下的概率约为0.58，故选：D ．【点睛】本题考查利用频率估计概率，熟练掌握大量重复试验下，随机事件发生的频率可以作为概率的估计值是解题关键．5．下列事件中，是必然事件的是（ ）A ．某射击运动员射击一次，命中靶心B ．抛一枚硬币，一定正面朝上C ．打开电视机，它正在播放新闻联播D ．三角形的内角和等于180°【答案】D【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念解答即可．【详解】A.某射击运动员射击一次，命中靶心，是随机事件，故此选项错误；B.抛一枚硬币，一定正面朝上，是随机事件，故此选项错误；C.打开电视机，它正在播放新闻联播，是随机事件，故此选项错误；D.三角形的内角和等于180°，是必然事件．故选：D ．【点睛】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．6．将一元二次方程2210x x --=配方后所得的方程是( )A ．2(2)0x -=B ．2(1)2x -=C ．2(1)1x -=D ．2(2)2x -=【答案】B【分析】严格按照配方法的一般步骤即可得到结果．【详解】∵2210x x --=， ∴， ∴， 故选B.【点睛】解答本题的关键是掌握配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数． 7．如图，平面直角坐标系中，⊙P 经过三点A （8，0），O （0，0），B （0，6），点D 是⊙P 上的一动点．当点D 到弦OB 的距离最大时，tan ∠BOD 的值是（ ）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【解析】如图，连接AB，过点P作PE⊥BO，并延长EP交⊙P于点D，求出⊙P的半径，进而结合勾股定理得出答案．【详解】解：如图，连接AB，过点P作PE⊥BO，并延长EP交⊙P于点D，此时点D到弦OB的距离最大，∵A（8，0），B（0，6），∴AO=8，BO=6，∵∠BOA=90°，∴AB=2286+=10，则⊙P的半径为5，∵PE⊥BO，∴BE=EO=3，∴PE=2253-=4，∴ED=9，∴tan∠BOD=EDEO=3，故选B．【点睛】本题考查了圆周角定理以及勾股定理、解直角三角形等知识，正确作出辅助线是解题关键．8．如图，点A的坐标为（0，1），点B是x轴正半轴上的一动点，以AB为边作等腰Rt△ABC，使∠BAC=90°，设点B的横坐标为x，设点C的纵坐标为y，能表示y与x的函数关系的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】根据题意作出合适的辅助线，可以先证明△ADC 和△AOB 的关系，即可建立y 与x 的函数关系，从而可以得到哪个选项是正确的．【详解】作AD ∥x 轴，作CD ⊥AD 于点D ，如图所示，由已知可得，OB=x ，OA=1，∠AOB=90°，∠BAC=90°，AB=AC ，点C 的纵坐标是y ， ∵AD ∥x 轴， ∴∠DAO+∠AOD=180°，∴∠DAO=90°，∴∠OAB+∠BAD=∠BAD+∠DAC=90°，∴∠OAB=∠DAC ，在△OAB 和△DAC 中，AOB ADC OAB DAC AB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△OAB ≌△DAC （AAS ），∴OB=CD ，∴CD=x ，∵点C 到x 轴的距离为y ，点D 到x 轴的距离等于点A 到x 的距离1，∴y=x+1（x ＞0）．考点：动点问题的函数图象9．不等式5131x x +≥-的解集在数轴上表示正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．【解析】先求出不等式的解集，再在数轴上表示出来即可．【详解】解：5131x x +≥-，移项得：5311x x -≥--，合并同类项得：22x ≥-，系数化为1得，1x ≥-， 在数轴上表示为：故选：B ．【点睛】本题考查了在数轴上表示不等式的解集，把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．10．下列事件是必然事件的是（ ）A ．半径为2的圆的周长是2πB ．三角形的外角和等于360°C ．男生的身高一定比女生高D ．同旁内角互补 【答案】B【分析】根据必然事件的概念（必然事件指在一定条件下一定发生的事件），可判断出正确答案．【详解】解：A 、半径为2的圆的周长是4π，不是必然事件；B 、三角形的外角和等于360°，是必然事件；C 、男生的身高一定比女生高，不是必然事件；D 、同旁内角互补，不是必然事件；故选B.【点睛】本题考查了必然事件的定义，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．11．在平面直角坐标系中，点P （﹣1，2）关于原点的对称点的坐标为（ ）A ．（﹣1，﹣2）B ．（1，﹣2）C ．（2，﹣1）D ．（﹣2，1）【答案】B【解析】用关于原点的对称点的坐标特征进行判断即可.【详解】点P(-1,2)关于原点的对称点的坐标为(1,-2),故选: B.根据两个点关于原点对称时, 它们的坐标符号相反.12．抛物线23y x =向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得到的抛物线是（ ）A ．23(1)2=--y xB ．23(1)2y x =+-C ．23(1)2y x =++D ．23(1)2y x =-+【答案】B【分析】根据“左加右减、上加下减”的平移规律即可解答．【详解】解：抛物线23y x =向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得到的抛物线是23(1)2y x =+-， 故答案为：B ．【点睛】本题考查了抛物线的平移，解题的关键是熟知“左加右减、上加下减”的平移规律．二、填空题（本题包括8个小题）13．如图，在平面直角坐标系中，已知A （1，0），D （3，0），△ABC 与△DEF 位似，原点O 是位似中心，若AB=2，则DE=______.【答案】1【解析】利用位似的性质得到AB ：DE=OA ：OD ，然后把OA=1，OD=3，AB=2代入计算即可．【详解】解：∵△ABC 与△DEF 位似，原点O 是位似中心，∴AB ：DE=OA ：OD ，即2：DE=1：3，∴DE=1．故答案是：1．【点睛】考查了位似变换：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．14．将二次函数y=2x 2的图像沿x 轴向左平移2个单位，再向下平移3个单位后，所得函数图像的函数关系式为______________.【答案】y=2(x+2)2-3【分析】根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可.【详解】解：根据“上加下减，左加右减”的原则可知，二次函数y ＝2x 2的图象向左平移2个单位，再向下平移3个单位后得到的图象表达式为y=2(x+2)2-3本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的原则是解答此题的关键．15．如图，已知点A、B分别在反比例函数1y(x0)x=>，4y(x0)x=->的图象上，且OA OB⊥，则OBOA的值为______．【答案】2【分析】作AC y⊥轴于C，BD y⊥轴于D，如图，利用反比例函数图象上点的坐标特征和三角形面积公式得到OAC1S2=，OBDS2=，再证明Rt AOC∽Rt OBD，然后利用相似三角形的性质得到OAOB的值，即可得出OBOA．【详解】解：作AC y⊥轴于C，BD y⊥轴于D，如图，点A、B分别在反比例函数1y(x0)x=>，4y (x 0)x=->的图象上，OAC11S122∴=⨯=，OBD1S422=⨯-=，OA OB⊥，AOB90∠∴=︒AOC BOD90∠∠∴+=︒，AOC DBO∠∠∴=，Rt AOC∴∽Rt OBD，2AOCOBD1S OA2()S OB2∴==，OA 1OB 2∴=． OB 2OA∴= 故答案为2．【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数k y (k x=为常数，k 0)≠的图象是双曲线，图象上的点()x,y 的横纵坐标的积是定值k ，即xy k =．16．某小区2010年屋顶绿化面积为2000平方米，计划2012年屋顶绿化面积要达到2880平方米．如果每年屋顶绿化面积的增长率相同，那么这个增长率是_________．【答案】20%【解析】分析：本题需先设出这个增长率是x ，再根据已知条件找出等量关系列出方程，求出x 的值，即可得出答案．解答：解：设这个增长率是x ，根据题意得：2000×（1+x ）2=2880解得：x 1=20%，x 2=-220%（舍去）故答案为20%．172020191(3)10sin 30(1)2π-⎛⎫----+ ⎪⎝⎭︒=_____________． 【答案】1【分析】由题意首先计算乘方、开方和特殊三角函数，然后从左向右依次进行加减计算，即可求出算式的值．2020191(3)10sin 30(1)2π-⎛⎫---+ ⎝︒--⎪⎭=12110(1)42--⨯--+ =21514--++=1故答案为1.【点睛】本题主要考查实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行；另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．18．将一副三角尺按如图所示的方式叠放在一起，边AC 与BD 相交于点E ，则AE EC的值等于_________．【答案】63 【分析】如图（见解析），先根据等腰直角三角形的判定与性质可得2EC EF =，设EF x =，从而可得2EC x =，再在Rt AEF 中，利用直角三角形的性质、勾股定理可得233x AE =，由此即可得出答案． 【详解】如图，过点E 作EF AC ⊥于点F ，由题意得：90,30,45CAD ACB B D ∠=∠=︒∠=︒∠=︒， 9045,9060ECF D EAF B ∴∠=︒-∠=︒∠=︒-∠=︒， Rt CEF ∴是等腰直角三角形，2EC EF ∴=，设EF x =，则2EC x =，在Rt AEF 中，9030AEF EAF ∠=︒-∠=︒，2213,2AF AE EF AE AF AE ∴==-=， 32AE x ∴=， 解得233x AE =， 则236332xA EC xE ==， 故答案为：63．【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定与性质、直角三角形的性质、勾股定理等知识点，通过作辅助线，构造两个直角三角形是解题关键．三、解答题（本题包括8个小题）19．某校3男2女共5名学生参加黄石市教育局举办的“我爱黄石”演讲比赛．（1）若从5名学生中任意抽取3名，共有多少种不同的抽法，列出所有可能情形；（2）若抽取的3名学生中，某男生抽中，且必有1女生的概率是多少？【答案】（1）共有10种不同的抽法，分别是：男男男，男男女，男男女，男男女，男男女，男女女，男男女，男男女，男女女，男女女；（2）910【分析】（1）根据题意得出不同的抽法，再列举出即可；（2）根据（1）的不同的抽法，找出必有1女生的情况数，再根据概率公式即可得出答案．【详解】解：（1）从5名学生中任意抽取3名，共有10种不同的抽法，分别是：男男男，男男女，男男女，男男女，男男女，男女女，男男女，男男女，男女女，男女女；（2）共有10种不同的抽法，其中必有1女生的有9种，则必有1女生的概率是910． 【点睛】此题考查了概率的求法，用到的知识点为：概率 所求情况数与总情况数之比；解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．20．已知四边形ABCD 中，E ，F 分别是AB ，AD 边上的点，DE 与CF 相交于点G ．（1）如图①，若四边形ABCD 是矩形，且DE ⊥CF ，求证：DDE CF AD C ＝． （2）如图②，若四边形ABCD 是平行四边形，要使DDE CF AD C ＝成立，完成下列探究过程： 要使D DE CF AD C ＝，转化成D DE AD CF C ＝，显然△DEA 与△CFD 不相似，考虑DDE AD DF G ＝，需要△DEA ∽△DFG ，只需∠A ＝∠________;另一方面，只要D CF CD DF G ＝，需要△CFD ∽△CDG ，只需∠CGD ＝∠________．由此探究出使DDE CF AD C ＝成立时，∠B 与∠EGC 应该满足的关系是________． （3）如图③，若AB ＝BC ＝6，AD ＝CD=8，∠BAD=90°，DE ⊥CF ，那么DE CF的值是多少?(直接写出结果)【答案】（1）证明见解析；（2）DGF ，CDF ，∠B ＋∠EGC ＝180°；（3）9520DE CF ． 【分析】（1）根据矩形性质得出∠A ＝∠FDC ＝90°，求出∠CFD ＝∠AED ，证出△AED ∽△DFC 即可； （2）当∠B ＋∠EGC ＝180°时，DDE CF AD C ＝成立，分别证明即可； （3）过C 作CN ⊥AD 于N ，CM ⊥AB 交AB 延长线于M ，连接BD ，设CN ＝x ，△BAD ≌△BCD ，推出∠BCD ＝∠A ＝90°，证△BCM ∽△DCN ，求出CM 25x ，在Rt △CMB 中，由勾股定理得出BM 2＋CM 2＝BC 2，代入得出方程（x−2）225x ）2＝22，求出CN ＝209，证出△AED ∽△NFC ，即可得出答案． 【详解】（1）证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴∠A ＝∠FDC ＝90°，∵CF ⊥DE ，∴∠DGF ＝90°，∴∠ADE ＋∠CFD ＝90°，∠ADE ＋∠AED ＝90°，∴∠CFD ＝∠AED ，∵∠A ＝∠CDF ，∴△AED ∽△DFC ， ∴DDE CF AD C ＝； （2）当∠B ＋∠EGC ＝180°时，D DE CF AD C ＝． 要使D DE CF AD C ＝，转化成D DE AD CF C ＝，显然△DEA 与△CFD 不相似，考虑DDE AD DF G ＝，需要△DEA ∽△DFG ，只需∠A ＝∠DGF;另一方面，只要D CF CD DF G ＝，需要△CFD ∽△CDG ，只需∠CGD ＝∠CDF ． 当∠B ＋∠EGC ＝180°时：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴∠B ＝∠ADC ，AD ∥BC ，∴∠B ＋∠A ＝180°，∵∠B ＋∠EGC ＝180°，∴∠A ＝∠EGC ＝∠FGD ，∵∠FDG ＝∠EDA ，∴△DFG ∽△DEA ， ∴G DE AD DF D ＝， ∵∠B ＝∠ADC ，∠B ＋∠EGC ＝180°，∠EGC ＋∠DGC ＝180°，∴∠CGD ＝∠CDF ，∵∠GCD ＝∠DCF ，∴△CGD ∽△CDF ，∴DDF DG CF C ＝， ∴DDE AD CF C ＝， ∴DDE CF AD C ＝， 即当∠B ＋∠EGC ＝180°时，D DE CF AD C ＝成立； （3）过C 作CN ⊥AD 于N ，CM ⊥AB 交AB 延长线于M ，连接BD ，设CN ＝x ，∵∠BAD ＝90°，即AB ⊥AD ，∴∠A ＝∠M ＝∠CNA ＝90°，∴四边形AMCN 是矩形，∴AM ＝CN ，AN ＝CM ，∵在△BAD 和△BCD 中，AD CD AB BC BD BD ⎧⎪⎨⎪⎩＝＝＝，∴△BAD ≌△BCD （SSS ），∴∠BCD ＝∠A ＝90°，∴∠ABC ＋∠ADC ＝180°，∵∠ABC ＋∠CBM ＝180°，∴∠MBC ＝∠ADC ，∵∠CND ＝∠M ＝90°，∴△BCM ∽△DCN ， ∴CM BC CN CD=，∴5CM x =， ∴CMx ， 在Rt △CMB 中，CMx ，BM ＝AM−AB ＝x−2，由勾股定理得：BM 2＋CM 2＝BC 2， ∴（x−2）2x ）2＝22， x ＝0（舍去），x ＝209， CN ＝209， ∵∠A ＝∠FGD ＝90°，∴∠AED ＋∠AFG ＝180°，∵∠AFG ＋∠NFC ＝180°，∴∠AED ＝∠CFN ，∵∠A ＝∠CNF ＝90°，∴△AED ∽△NFC ，∴9DE AD CF CN ===【点睛】本题考查了矩形性质和判定，勾股定理，平行四边形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定的应用，主要考查学生综合运用性质和定理进行推理的能力，题目比较好． 21．如图，在每个小正方形的边长均为1的方格纸中，线段AB 的端点A 、B 均在小正方形的顶点上.（1）在方格纸中画出以AB 为一条直角边的等腰直角ABC ∆，顶点C 在小正方形的顶点上.（2）在方格纸中画出ABC ∆的中线BD ，将线段DC 绕点C 顺时针旋转90︒得到线段'CD ，画出旋转后的线段'CD ，连接'BD ，直接写出四边形'BDCD 的面积.【答案】（1）见解析；（2）图形见解析，10【解析】（1）直接利用等腰直角三角形的性质得出C 点位置；（2）直接利用三角形中线的定义按要求作图，结合网格可得出四边形BDCD′的面积．【详解】（1）如图所示：（2）如图所示： BD=223110+=2'10BDCD S BD ==四边形.【点睛】考查等腰直角三角形的性质，作图-旋转变换，比较简单，找出旋转后的对应点是解题的关键.22．如图，河的两岸MN 与PQ 相互平行，点A ，B 是PQ 上的两点，C 是MN 上的点，某人在点A 处测得∠CAQ=30°，再沿AQ 方向前进20米到达点B ，某人在点A 处测得∠CAQ=30°，再沿AQ 方向前进20米到达点B ，测得∠CBQ=60°，求这条河的宽是多少米？（结果精确到0.1米，参考数据2≈1.414，3≈1.732）【答案】17.3米.【解析】分析：过点C 作CD PQ ⊥于D ，根据3060CAB CBD ∠=︒∠=︒，，得到30,ACB ∠=︒ 20AB BC ==，在Rt △CDB 中，解三角形即可得到河的宽度.详解：过点C 作CD PQ ⊥于D ，∵3060CAB CBD ∠=︒∠=︒，∴30,ACB ∠=︒∴20AB BC ==米，在Rt △CDB 中，∵90BDC ，∠=︒ sin ,CD CBD BC ∠= ∴sin60,CD BC︒= ∴3,220CD = ∴103CD =米，∴17.3CD ≈米．答：这条河的宽是17.3米．点睛：考查解直角三角形的应用，作出辅助线，构造直角三角形是解题的关键.23．在不透明的袋中有大小形状和质地等完全相同的4个小球，它们分别标有数字1234、、、，从袋中任意摸出一小球(不放回)，将袋中的小球搅匀后，再从袋中摸出另一小球．（1）请你用列表或画树状图的方法表示摸出小球上的数字可能出现的所有结果；（2）规定：如果摸出的两个小球上的数字都是方程27120x x -+=的根，则小明贏；如果摸出的两个小球上的数字都不是方程27120x x -+=的根，则小亮赢．你认为这个游戏规则对小明、小亮双方公平吗？请说明理由．【答案】（1）见解析；（2）公平，理由见解析．【分析】（1）可以利用树状图表示出所有的可能出现的结果；（2）分别求得两人赢的概率，判断是否相等即可求解．【详解】(1)利用树状图表示为：；(2)公平；解方程27120x x -+=得：1234x x ==，，根据树状图知，共有12种情况，小明赢的情况有：3，4和4，3两种， 因而小明赢的概率是：21126=， 小亮赢的情况有：1，2和2，1两种，小亮赢的概率是： 小亮赢的概率是：21126=， 两人赢的机会相等，因而双方公平．【点睛】本题主要考查了列表法和树状图法、游戏公平性的判断，一元二次方程的求解．解答本题的关键是明确题意，画出相应的树状图，求出相应的概率．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．24．我市某公司用800万元购得某种产品的生产技术后，进一步投入资金1550万元购买生产设备，进行该产品的生产加工，已知生产这种产品每件还需成本费40元.经过市场调研发现：该产品的销售单价需要定在200元到300元之间较为合理.销售单价x （元）与年销售量y （万件）之间的变化可近似的看作是如下表所反应的一次函数：（1）请求出y 与x 之间的函数关系式，并直接写出自变量x 的取值范围；（2）请说明投资的第一年，该公司是盈利还是亏损？若盈利，最大利润是多少？若亏损，最少亏损是多少？【答案】（1）()0.134200300y x x =-+≤≤；（2）亏损，赔了110万元【分析】（1）设y kx b =+，将()200,14,()220,11代入求得系数即可.（2）根据年获利=单件利润⨯销量-800-1550【详解】解：（1）设y kx b =+，1420011230k b k b=+⎧⎨=+⎩ 11034k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩ 0.134y x =-+；（2）()()400.134W x x =--+20.138136x x =-+-，对称轴1902b x a=-=， ∵200300x ≤≤，0.10a =-<，∴200x =时，max 2240W =（万元）1550+800-2240=110（万元）∴赔了110万元.【点睛】本题考查了二次函数的实际中的应用，首先要明确题意，确定变量，建立模型解答.25．（10(1)|1+-+-π； （2）解方程311(1)(2)x x x x -=--+．【答案】（11；（2）无解【分析】（1）先算开方，0指数幂，绝对值，再算加减；（2）两边同时乘以(1)(2)x x -+，去分母，再解整式方程.【详解】（1）解：原式=3211-++1-（2）解：两边同时乘以(1)(2)x x -+，得：(2)3(1)(2)x x x x +-=-+222322x x x x x +-=+--1x =经检验1x =是原方程的增根，∴原方程无解．【点睛】考核知识点：解分式方程.把分式方程化为整式方程是关键.26．初三年级的一场篮球比赛中，如图队员甲正在投篮，已知球出手时离地面高209m ，与篮圈中心的水平距离为7m ，当球出手后水平距离为4m 时到达最大高度4m ，设篮球运行的轨迹为抛物线，篮圈距地面3m ．（1）建立如图所示的平面直角坐标系，求抛物线的解析式并判断此球能否准确投中？（2）此时，若对方队员乙在甲前面1m 处跳起盖帽拦截，已知乙的最大摸高为3.1m ，那么他能否获得成功？【答案】（1）y=−19(x−4)2+4；能够投中；（2）能够盖帽拦截成功． 【分析】（1）根据题意可知：抛物线经过（0，209），顶点坐标是（4，4），然后设出抛物线的顶点式，将（0，209）代入，即可求出抛物线的解析式，然后判断篮圈的坐标是否满足解析式即可； （2）当1x =时，求出此时的函数值，再与3.1m 比较大小即可判断.【详解】解：由题意可知，抛物线经过（0，209），顶点坐标是（4，4）． 设抛物线的解析式是()244y a x =-+， 将（0，209）代入，得()2200449a =-+ 解得19a =-， 所以抛物线的解析式是()21449y x =--+； 篮圈的坐标是（7，3），代入解析式得()2174439y =--+=， ∴这个点在抛物线上，∴能够投中答：能够投中．（2）当1x =时，()2114439y =--+=<3.1， 所以能够盖帽拦截成功.答：能够盖帽拦截成功.【点睛】此题考查的是二次函数的应用，掌握二次函数的顶点式和利用二次函数解析式解决实际问题是解决此题的关键.27．解方程：x(x －2)＋x －2＝1．【答案】1221x x ==-，．【分析】把方程中的x-2看作一个整体，利用因式分解法解此方程．【详解】解：（x－2）（x+2）=2，∴x－2=2或x+2=2，∴x2=2，x2=-2．九年级上学期期末数学试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．我们知道：过直线外一点有且只有一条直线和已知直线垂直，如图，已知直线l和l外一点A，用直尺和圆规作图作直线AB，使AB⊥l于点A．下列四个作图中，作法错误的是（）A．B．C．D．【答案】C【分析】根据垂线的作法即可判断．【详解】观察作图过程可知：A．作法正确，不符合题意；B．作法正确，不符合题意；C．作法错误，符号题意；D．作法正确，不符合题意．故选：C．【点睛】本题考查了作图-复杂作图、垂线，解决本题的关键是掌握作垂线的方法．2．函数y=ax+b和y=ax2+bx+c（a≠0）在同一个坐标系中的图象可能为（）A．B．C．D．【答案】D【分析】本题可先由一次函数y=ax+b图象得到字母系数的正负，再与二次函数ax2+bx+c的图象相比较看是否一致．【详解】解：A．由一次函数的图象可知a＞0，b＞0，由抛物线图象可知，开口向上，a＞0，对称轴x=﹣2b a＞0，b ＜0；两者相矛盾，错误； B ．由一次函数的图象可知a ＞0，b ＜0，由抛物线图象可知a ＜0，两者相矛盾，错误；C ．由一次函数的图象可知a ＜0，b ＞0，由抛物线图象可知a ＞0，两者相矛盾，错误；D ．由一次函数的图象可知a ＞0，b ＜0，由抛物线图象可知a ＞0，对称轴x=﹣2b a＞0，b ＜0；正确． 故选D ．【点睛】解决此类问题步骤一般为：（1）根据图象的特点判断a 取值是否矛盾；（2）根据二次函数图象判断其顶点坐标是否符合要求．3．如图，该图形围绕点O 按下列角度旋转后，不能与其自身重合的是( )A ．72︒B ．108︒C ．144︒D ．216︒【答案】B 【解析】该图形被平分成五部分，因而每部分被分成的圆心角是72°，并且圆具有旋转不变性，因而旋转72度的整数倍，就可以与自身重合．【详解】解：由该图形类同正五边形，正五边形的圆心角是360725︒=．根据旋转的性质，当该图形围绕点O 旋转后，旋转角是72°的倍数时，与其自身重合，否则不能与其自身重合．由于108°不是72°的倍数，从而旋转角是108°时，不能与其自身重合．故选B ．【点睛】本题考查旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角．4．⊙O 的半径为4，圆心O 到直线l 的距离为3，则直线l 与⊙O 的位置关系是（ ）A ．相交B ．相切C ．相离D ．无法确定【答案】A【解析】∵圆心O 到直线l 的距离d=3，⊙O 的半径R=4，则d ＜R ，∴直线和圆相交．故选A ．5．反比例函数m y x=的图象如图所示，以下结论：① 常数m ＜－1；② 在每个象限内，y随x的增大而增大；③ 若A（－1，h），B（2，k）在图象上，则h＜k；④ 若P（x，y）在图象上，则P′（－x，－y）也在图象上.其中正确的是A．①②B．②③C．③④D．①④【答案】C【解析】分析：因为函数图象在一、三象限，故有m＞0，故①错误；在每个象限内，y随x的增大而减小，故②错；对于③，将A、B坐标代入，得：h＝－m，mk2，因为m＞0，所以，h＜k，故③正确；函数图象关于原点对称，故④正确．因此，正确的是③④．故选C．6．一元二次方程3x2﹣x＝0的解是（）A．x＝13B．x1＝0，x2＝3 C．x1＝0，x2＝13D．x＝0【答案】C【解析】根据题意对方程提取公因式x,得到x( 3x-1)=0的形式,则这两个相乘的数至少有一个为0,由此可以解出x的值.【详解】∵3x2﹣x=0，∴x（3x﹣1）=0，∴x=0或3x﹣1=0，∴x1=0，x2=，故选C．【点睛】本题考查了一元二次方程的解法.解一元二次方程常用的方法有直接开平方法,配方法,公式法,因式分解法,要根据方程的提点灵活选用合适的方法.7．如图，⊙O中，点D，A分别在劣弧BC和优弧BC上，∠BDC=130°，则∠BOC=()A ．120°B ．110°C ．105°D ．100°【答案】D 【分析】根据圆内接四边形的性质，对角互补可知，∠D+∠BAC=180°，求出∠D ，再利用圆周角定理即可得出．【详解】解：∵四边形ABDC 为圆内接四边形∴∠A+∠BDC=180°∵∠BDC=130°∴∠A=50°∴∠BOC=2∠A=100°故选：D ．【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，掌握圆内接四边形的性质是解题的关键．8．关于x 的一元二次方程()2a 1x 2x 30--+=有实数根，则整数a 的最大值是（ ） A ．2B ．1C ．0D ．－1【答案】C 【分析】根据一元二次方程的根的判别式可得答案.【详解】解：∵关于x 的一元二次方程()2a 1x 2x 30--+=有实数根， ∴()a 1a 10{{4412a 10a 3≠-≠⇒∆=--≥≤. 即a 的取值范围是4a 3≤且a 1≠. ∴整数a 的最大值为0.故选C.【点睛】本题考查了一元二次方程，熟练掌握根的判别式与根的关系是解题关键.9．如图所示的几何体，它的左视图是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】分析：根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．详解：从左边看是等长的上下两个矩形，上边的矩形小，下边的矩形大，两矩形的公共边是虚线， 故选D ．点睛：本题考查了简单组合体的三视图，从左边看得到的图形是左视图．10．在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，5AC =，12BC =，则cos B 的值为（ ）A ．1213B ．1312C ．135D ．513【答案】A【分析】根据勾股定理求出AB ，根据余弦的定义计算即可． 【详解】由勾股定理得，222251213AB AC BC +=+=， 则1213BC cosB AC ==， 故选：A ．【点睛】本题考查的是锐角三角函数的定义，掌握锐角A 的邻边b 与斜边c 的比叫做∠A 的余弦是解题的关键． 11．解方程2（5x-1）2=3(5x-1)的最适当的方法是 （ ）A ．直接开平方法．B ．配方法C ．公式法D ．分解因式法 【答案】D【详解】解：方程可化为[2（5x-1）-3]（5x-1）=0，即（10x-5）（5x-1）=0，根据分析可知分解因式法最为合适．故选D ．12．如图，在平面直角坐标系中，若反比例函数(0)k y k x=≠过点(2)2，，则k 的值为（ ）A ．2B ．2﹣C ．4D ．4﹣【答案】C 【解析】把(2)2，代入k y x ＝求解即可. 【详解】反比例函数()0k y k x≠＝过点()22，， =22=4k ∴⨯，故选：C ．【点睛】本题考查反比例函数图象上的点的特征，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．二、填空题（本题包括8个小题）13．（2016广东省茂名市）如图，在平面直角坐标系中，将△ABO 绕点B 顺时针旋转到△A 1BO 1的位置，使点A 的对应点A 1落在直线33y x =上，再将△A 1BO 1绕点A 1顺时针旋转到△A 1B 1O 2的位置，使点O 1的对应点O 2落在直线33y x =上，依次进行下去…，若点A 的坐标是（0，1），点B 的坐标是（3，1），则点A 8的横坐标是__________．【答案】636+．【解析】试题分析：由题意点A 2的横坐标（+1），点A 4的横坐标3（+1），点A 6的横坐标（+1），点A 8的横坐标6（+1）．。

九年级上学期期末数学试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．如图，点A 在线段BD 上，在BD 的同侧作等腰Rt ABC ∆和等腰Rt ADE ∆，CD 与BE 、AE 分别交于点P 、M .对于下列结论： ①BAECAD ∆∆；②MP MD MA ME ⋅=⋅；③22CB CP CM =⋅.其中正确的是（ ）A ．①②③B ．①C ．①②D ．②③【答案】A【解析】分析：（1）由等腰Rt △ABC 和等腰Rt △ADE 三边份数关系可证； （2）通过等积式倒推可知，证明△PAM ∽△EMD 即可； （3）2CB 2转化为AC2，证明△ACP ∽△MCA ，问题可证． 详解：由已知：2AB ，2AE ∴AC ADAB AE＝ ∵∠BAC=∠EAD ∴∠BAE=∠CAD ∴△BAE ∽△CAD 所以①正确 ∵△BAE ∽△CAD ∴∠BEA=∠CDA ∵∠PME=∠AMD ∴△PME ∽△AMD ∴MP MEMA MD＝ ∴MP•MD=MA•ME 所以②正确 ∵∠BEA=∠CDA ∠PME=∠AMD∴P 、E 、D 、A 四点共圆 ∴∠APD=∠EAD=90°∵∠CAE=180°-∠BAC-∠EAD=90° ∴△CAP ∽△CMA∴AC 2=CP•CM∵AB ∴2CB 2=CP•CM 所以③正确 故选A ．点睛：本题考查了相似三角形的性质和判断．在等积式和比例式的证明中应注意应用倒推的方法寻找相似三角形进行证明，进而得到答案． 2．抛物线y ＝x 2﹣4x+2不经过（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】C【分析】求出抛物线的图象和x 轴、y 轴的交点坐标和顶点坐标，再根据二次函数的性质判断即可． 【详解】解：y ＝x 2﹣4x+4﹣2＝（x ﹣2）2﹣2， 即抛物线的顶点坐标是（2，﹣2），在第四象限；当y ＝0时，x 2﹣4x+2＝0，解得：x ＝2，即与x 轴的交点坐标是（，0）和（2，0），都在x 轴的正半轴上， a ＝1＞0，抛物线的图象的开口向上，与y 轴的交点坐标是（0，2）， 即抛物线的图象过第一、二、四象限，不过第三象限， 故选：C ． 【点睛】本题考查了求函数图像与坐标轴交点坐标和顶点坐标，即求和x 轴交点坐标就要令y=0、求与y 轴的交点坐标就要令x=0，求顶点坐标需要配成顶点式再求顶点坐标3．若关于x 的一元二次方程()2110k x x -++=有两个实数根，则k 的取值范围是（）A ．54k ≤B ．54k ＞C ．514k k ≠＜且D ．514k k ≤≠且 【答案】D【解析】运用根的判别式和一元二次方程的定义，组成不等式组即可解答 【详解】解：∵关于x 的一元二次方程（k ﹣1）x 2+x+1＝0有两个实数根， ∴210=1-41)10k k -⎧⎨∆⨯-⨯≥⎩≠（ ，解得：k≤54且k≠1． 故选：D ． 【点睛】此题考查根的判别式和一元二次方程的定义，掌握根的情况与判别式的关系是解题关键4．在一个不透明的塑料袋中装有红色、白色球共40个，除颜色外其它都相同，小明通过多次摸球试验后发现，其中摸到红色球的频率稳定在15%左右，则口袋中红色球可能 （ ） A ．4个 B ．6个C ．34个D ．36个【答案】B【解析】试题解析：∵摸到红色球的频率稳定在15%左右， ∴口袋中红色球的频率为15%，故红球的个数为40×15%=6个. 故选B.点睛：由频数=数据总数×频率计算即可．5．如图，在ABC 中， 10AB AC cm ==， F 为AB 上一点，2AF =，点E 从点A 出发，沿AC 方向以2/cm s 的速度匀速运动，同时点D 由点B 出发，沿BA 方向以1/cm s 的速度匀速运动，设运动时间为05()()t s t <<，连接DE 交CF 于点G ，若2CG FG =，则t 的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【分析】过点C 作CH ∥AB 交DE 的延长线于点H ，则DF=10-2-t=8-t ，证明△DFG ∽△HCG ，可求出CH ，再证明△ADE ∽△CHE ，由比例线段可求出t 的值．【详解】解：过点C 作CH ∥AB 交DE 的延长线于点H ，则BD=t ，AE=2t ，DF=10-2-t=8-t ，∵DF ∥CH ， ∴△DFG ∽△HCG ， ∴1==2DF FG CH CG ， ∴CH=2DF=16-2t ， 同理△ADE ∽△CHE ，∴=AD AECH CE ， ∴102=162102t tt t---，解得t=2，t=253（舍去）．故选：B ． 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．6．如图，在▱ABCD 中，AC ，BD 相交于点O ，点E 是OA 的中点，连接BE 并延长交AD 于点F ，已知S △AEF =4，则下列结论：①12AF FD =；②S △BCE =36；③S △ABE =12；④△AEF ～△ACD ，其中一定正确的是（ ）A ．①②③④B ．①④C ．②③④D ．①②③【答案】D【详解】∵在▱ABCD 中，AO=12AC ， ∵点E 是OA 的中点， ∴AE=13CE ， ∵AD ∥BC ， ∴△AFE ∽△CBE ， ∴AF AE BC CE ==13， ∵AD=BC ，∴AF=13AD ， ∴12AF FD =；故①正确； ∵S △AEF =4，AEF BCES S=（AF BC ）2=19， ∴S △BCE =36；故②正确； ∵EF AE BE CE = =13， ∴AEF ABES S=13， ∴S △ABE =12，故③正确； ∵BF 不平行于CD ，∴△AEF 与△ADC 只有一个角相等，∴△AEF 与△ACD 不一定相似，故④错误，故选D ．7．如图，ABC ∆内接于⊙O ，AC 是⊙O 的直径，40ACB ∠=，点D 是弧BAC 上一点，连接CD ，则D ∠的度数是（ ）A ．50°B ．45°C ．40°D ．35°【答案】A【分析】根据直径所对的圆周角是直角可知∠ABC=90°，计算出∠BAC 的度数，再根据同弧所对的圆周角相等即可得出∠D 的度数．【详解】解：∵AC 是⊙O 的直径， ∴∠ABC=90°， 又∵40ACB ∠=， ∴∠BAC=90°-40°=50°， 又∵∠BAC 与所对的弧相等， ∴∠D=∠BAC=50°， 故答案为A ． 【点睛】本题考查了直径所对的圆周角是直角、同弧所对圆周角相等等知识点，解题的关键是熟知直径所对的圆周角是直角及同弧所对圆周角相等．8．若扇形的圆心角为90°，半径为6，则该扇形的弧长为（ ） A ．32π B ．2π C ．3π D ．6π【答案】C【分析】根据弧长公式计算即可． 【详解】解：该扇形的弧长＝9063180ππ⨯=. 故选C ． 【点睛】本题考查了弧长的计算：弧长公式：180n Rl π=（弧长为l ，圆心角度数为n ，圆的半径为R ）． 9．如图，过⊙O 上一点C 作⊙O 的切线，交⊙O 直径AB 的延长线于点D ．若∠D ＝40°，则∠A 的度数为（ ）A ．20°B ．25°C ．30°D ．40°【答案】B【分析】直接利用切线的性质得出∠OCD=90°，进而得出∠DOC=50°，进而得出答案． 【详解】解：连接OC ， ∵DC 是⊙O 的切线，C 为切点， ∴∠OCD=90°， ∵∠D=40°， ∴∠DOC=50°， ∵AO=CO ， ∴∠A=∠ACO ， ∴∠A=12∠DOC=25°．故选：B ． 【点睛】此题主要考查了切线的性质，正确得出∠DOC=50°是解题关键．10．在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，43B ∠=︒，若BC m =，则AB 的长为（ ）． A ．cos 43mB ．cos 43m •C ．sin 43m •D ．tan 43m •【答案】A【分析】根据余弦的定义和性质求解即可． 【详解】∵90C ∠=︒，43B ∠=︒，BC m =∴cos BCB AB = ∴cos cos 43BC mAB B ==︒故答案为：A ． 【点睛】本题考查了锐角三角函数的问题，掌握余弦的定义和性质是解题的关键． 11．下列说法正确的是（ ）A ．购买江苏省体育彩票有“中奖”与“不中奖”两种情况，所以中奖的概率是12B ．国家级射击运动员射靶一次，正中靶心是必然事件C ．如果在若干次试验中一个事件发生的频率是14，那么这个事件发生的概率一定也是14D ．如果车间生产的零件不合格的概率为11000，那么平均每检查1000个零件会查到1个次品 【答案】C【详解】解：A 、购买江苏省体育彩票“中奖”的概率是中奖的张数与发行的总张数的比值，故本项错误； B 、国家级射击运动员射靶一次，正中靶心是随机事件，故本项错误； C 、如果在若干次试验中一个事件发生的频率是14，那么这个事件发生的概率一定也是14，正确； D 、如果车间生产的零件不合格的概率为11000，那么平均每检查1000个零件不一定会查到1个次品，故本项错误， 故选C ． 【点睛】本题考查概率的意义，随机事件．12．若点()10,A y ，()21,B y 在抛物线()213y x =-++上，则下列结论正确的是（ ）A ．213y y <<B ．123y y <<C ．213y y <<D ．213y y <<【答案】A【分析】将x=0和x=1代入表达式分别求y 1,y 2,根据计算结果作比较. 【详解】当x=0时，y 1= -1+3=2, 当x=1时，y 2= -4+3= -1, ∴213y y <<. 故选：A. 【点睛】本题考查二次函数图象性质，对图象的理解是解答此题的关键. 二、填空题（本题包括8个小题） 13．若点()()121,,2,A y B y 是双曲线3y x=上的点，则1y __________2y （填“>”，“<”或“=”) 【答案】>【分析】根据30k =>得出反比例图象在每一象限内y 随x 的增大而减小，再比较两点的横坐标大小，即可比较两点的纵坐标大小．【详解】解：∵3y x=，30k =>， ∴反比例函数3y x=的图象在第一、三象限内，且在每一象限内y 随x 的增大而减小， ∵点()()121,,2,A y B y 是双曲线3y x=上的点，且1<2， ∴12y y >， 故答案为：>． 【点睛】本题考查了反比例函数的图象与性质，掌握k>0时，反比例函数图象在每一象限内y 随x 的增大而减小是解题的关键．14．若α∠，β∠均为锐角，且满足sin 0α+=，则αβ∠-∠=__________︒． 【答案】15【分析】利用绝对值和二次根式的非负性求得sin ;tan αβ的值，然后确定两个角的度数，从而求解.【详解】解：由题意可知：sin 0;tan 10αβ-=-=∴sin tan 12αβ== ∴∠α=60°，∠β=45° ∴∠α-∠β=15° 故答案为：15 【点睛】本题考查绝对值及二次根式的非负性和特殊角的三角函数值，正确计算是本题的解题关键. 15．做任意抛掷一只纸杯的重复实验，部分数据如下表根据上表，可估计任意抛掷一只纸杯，杯口朝上的概率约为__________． 【答案】0.1【解析】观察表格的数据可以得到杯口朝上的频率，然后用频率估计概率即可求解． 【详解】解：依题意得杯口朝上频率逐渐稳定在0.1左右， 估计任意抛掷一只纸杯，杯口朝上的概率约为0.1． 故答案为：0.1． 【点睛】本题考查利用频率估计概率，首先通过实验得到事件的频率，然后用频率估计概率即可解决问题． 16．在实数范围内定义一种运算“※”，其规则为a ※b ＝a 2﹣b ，根据这个规则，方程（x+2）※9＝0的解为_____．【答案】x 1＝1，x 2＝﹣1．【分析】先阅读题目，根据新运算得出（x+2）2﹣9＝0，移项后开方，即可求出方程的解． 【详解】解：（x+2）※9＝0， （x+2）2﹣9＝0， （x+2）2＝9， x+2＝±3， x 1＝1，x 2＝﹣1，故答案为x 1＝1，x 2＝﹣1． 【点睛】此题主要考查一元二次方程的求解，解题的关键是根据题意列方程.17．已知0234a b c ==≠，则b ca +的值为___________. 【答案】72【分析】设234a b c k ===，分别表示出a,b,c,即可求出b ca +的值.【详解】设234a b ck ===∴2,3,4a k b k c k ===∴34722b c k k a k ++== 故答案为72【点睛】本题考查了比例的性质，利用参数分别把a,b,c 表示出来是解题的关键.18．小勇第一次抛一枚质地均匀的硬币时正面向上,他第二次再抛这枚硬币时,正面向 上的概率是 . 【答案】12【解析】∵抛掷一枚质地均匀的硬币，有两种结果：正面朝上，反面朝上，每种结果等可能出现， ∴他第二次再抛这枚硬币时，正面向上的概率是：12三、解答题（本题包括8个小题）19．如图，平面直角坐标系xOy 中点A 的坐标为（﹣1，1），点B 的坐标为（3，3），抛物线经过A 、O 、B 三点，连接OA 、OB 、AB ，线段AB 交y 轴于点E ．（1）求点E的坐标；（2）求抛物线的函数解析式；（3）点F为线段OB上的一个动点（不与点O、B重合），直线EF与抛物线交于M、N两点（点N在y轴右侧），连接ON、BN，当四边形ABNO的面积最大时，求点N的坐标并求出四边形ABNO面积的最大值．【答案】（1）E点坐标为(0,32)；（2）21122y x x=-；（3）四边形ABNO面积的最大值为7516，此时N点坐标为(32，38)．【分析】（1）先利用待定系数法求直线AB的解析式，与y轴的交点即为点E；（2）利用待定系数法抛物线的函数解析式；（3）先设N(m，12m2−12m)(0＜m＜3)，则G（m，m），根据面积和表示四边形ABNO的面积，利用二次函数的最大值可得结论．【详解】（1）设直线AB的解析式为y=mx+n，把A（-1，1），B（3，3）代入得133m nm n-+⎧⎨+⎩＝＝，解得1232mn⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩＝＝，所以直线AB的解析式为y＝12x+32，当x=0时，y＝12×0+32＝32，所以E点坐标为(0，32 )；（2）设抛物线解析式为y=ax2+bx+c，把A（-1，1），B（3，3），O（0，0）代入得1933a b ca b cc-+⎧⎪++⎨⎪⎩＝＝＝，解得1212abc⎧⎪⎪⎨-⎪⎪=⎩＝＝，所以抛物线解析式为y＝12x2−12x；（3）如图，作NG∥y轴交OB于G，OB的解析式为y=x，设N(m，12m2−12m)(0＜m＜3)，则G（m，m），GN＝m−(12m2−12m)＝−12m2+32m，S△AOB=S△AOE+S△BOE=12×32×1+12×32×3=3，S△BON＝S△ONG+S BNG＝12•3•(−12m2+32m)＝−34m2+94m所以S四边形ABNO＝S△BON+S△AOB＝−34m2+94m+3＝−34(m−32)2+7516当m＝32时，四边形ABNO面积的最大值，最大值为7516，此时N点坐标为(32，38)．【点睛】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质；会利用待定系数法求二次函数和一次函数的性质；理解坐标与图形性质，利用面积的和差计算不规则图形的面积．20．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠AOC＝116°，则∠ADC的角度是_____．【答案】58°【分析】直接利用圆周角定理求解．【详解】∵∠AOC和∠ADC都对ABC，∴∠ADC=12∠AOC=12×116°=58°．故答案为：58°．【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．21．解方程（1）2(32)25x +=（2）27100x x -+=【答案】（1）x 1=1 x 2=73-（2）x 1=2 x 2=5 【分析】（1）根据直接开平方法即可求解（2）根据因式分解法即可进行求解.【详解】解方程（1）2(32)25x +=3x+2=5或 3x+2=－5x 1=1 x 2=73- （2）27100x x -+=(x －2）（x －5）=0x －2=0或x －5=0 x 1=2 x 2=522．如图，无人机在空中C 处测得地面A 、B 两点的俯角分别为60〫、45〫，如果无人机距地面高度1003CD =米，点A 、D 、B 在同水平直线上，求A 、B 两点间的距离．（结果保留根号）【答案】A 、B 两点间的距离为100（3【分析】如图，利用平行线的性质得∠A=60°，∠B=45°，在Rt △ACD 中利用正切定义可计算出AD=100，在Rt △BCD 中利用等腰直角三角形的性质得3，然后计算AD+BD 即可．【详解】∵无人机在空中C 处测得地面A 、B 两点的俯角分别为60°、45°，∴∠A =60°，∠B =45°，在Rt ACD 中，∵tanA =CD AD， ∴AD 10031003603=100， 在Rt BCD 中，BD =CD =3，∴AB =AD+BD =3100(3．答：A 、B 两点间的距离为100(1+3)米．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题：解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形．23．如图，在正方形ABCD 中，E 为边AD 的中点，点F 在边CD 上，且90BEF ∠=︒，延长EF 交BC 的延长线于点G ．（1）求证：△ABE ∽△EGB ．（2）若6AB =，求CG 的长．【答案】（1）详见解析；（2）1．【分析】（1）先根据正方形的性质、直角三角形的性质得出ABE G ∠=∠，再加上一组直角相等，根据相似三角形的判定定理即可得证；（2）先根据正方形的性质、中点的性质求出AE 的长，再根据勾股定理求出BE 的长，最后根据相似三角形的性质、线段的和差即可得．【详解】（1）∵四边形ABCD 为正方形，且90BEF BEG ∠∠==︒90,90A BEG ABC ︒∠∴∠===∠︒90,90ABE EBG G EBG ∴∠+∠=︒∠+∠=︒ABE G ∴∠=∠ABE EGB ∴∆~∆；（2）∵四边形ABCD 为正方形，6AB = 6AD BC AB ∴===点E 为AD 的中点132AE DE AD ∴=== 在Rt ABE ∆中，22226353BE AE AB +=+=由（1）知，ABE EGB ∆∆AE BE EB GB ∴=3535=15BG ∴=1569CG BG BC ∴=-=-=故CG的长为1．【点睛】本题考查了正方形的性质、勾股定理、相似三角形的判定定理与性质等知识点，较难的是题（2），由题（1）的结论联系到利用相似三角形的性质是解题关键．24．校生物小组有一块长32m，宽20m的矩形实验田，为了管理方便，准备沿平行于两边的方向纵、横个开辟一条等宽的小道，要使种植面积为540m2，小道的宽应是多少米？【答案】2m【详解】解：设道路的宽为xm，（32-x）（20-x）=540，整理，得x2-52x+100=0，∴（x-50）（x-2）=0，∴x1=2，x2=50（不合题意，舍去），小道的宽应是2m．故答案为2.【点睛】此题应熟记长方形的面积公式，另外求出4块试验田平移为一个长方形的长和宽是解决本题的关键.25．如图，函数y1=﹣x+4的图象与函数2kyx（x＞0）的图象交于A（m，1），B（1，n）两点．（1）求k，m，n的值；（2）利用图象写出当x≥1时，y1和y2的大小关系．【答案】（1）m=3，k=3，n=3；（1）当1＜x＜3时，y1＞y1；当x＞3时，y1＜y1；当x=1或x=3时，y1=y1．【分析】（1）把A与B坐标代入一次函数解析式求出m与n的值，将A坐标代入反比例解析式求出k的值；（1）利用图像，可知分x=1或x=3，1＜x＜3与x＞3三种情况判断出y1和y1的大小关系即可．【详解】（1）把A（m，1）代入y=-x+4得：1=﹣m+4，即m=3，∴A（3，1），把A（3，1）代入y=kx得：k=3，把B（1，n）代入一次函数解析式得：n=﹣1+4=3；（1）∵A（3，1），B（1，3），∴根据图像得当1＜x＜3时，y1＞y1；当x＞3时，y1＜y1；当x=1或x=3时，y1=y1．26．如图，在△ABC中，D为BC边上的一点，且AC=26，CD＝4，BD＝2，求证：△ACD∽△BCA．【答案】证明见解析．【分析】根据AC=26CD＝4，BD＝2，可得AC CDBC AC=，根据∠C =∠C，即可证明结论．【详解】解：∵AC=26CD＝4，BD＝2∴266ACBC==，626CDAC==∴AC CD BC AC=∵∠C =∠C∴△ACD∽△BCA．【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定，掌握知识点是解题关键．27．元旦期间，商场中原价为100元的某种商品经过两次连续降价后以每件81元出售，设这种商品每次降价的百分率相同，求这个百分率．【答案】10%【分析】此题可设每次降价的百分率为x，第一次降价后价格变为100（1-x），第二次在第一次降价后的基础上再降，变为100（x-1）2，从而列出方程，求出答案．【详解】解：设每次降价的百分率为x，第二次降价后价格变为100（x-1）2元，根据题意得：100（x-1）2=81，即x-1=0.9，解之得x1=1.9，x2=0.1．因x=1.9不合题意，故舍去，所以x=0.1．即每次降价的百分率为0.1，即10%．答：这个百分率为10%．【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，解答本题的关键在于分析降价后的价格，要注意降价的基础，另外还要注意解的取舍，难度一般．九年级上学期期末数学试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．已知关于x 的方程x 2﹣3x+2k ＝0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是（ ）A ．k ＞98B ．k ＜98C ．k ＜﹣98D ．k ＜89【答案】B【分析】利用判别式的意义得到△＝（﹣3）2﹣4•2k ＞0，然后解不等式即可．【详解】解：根据题意得△＝（﹣3）2﹣4•2k ＞0，解得k ＜98． 故选：B ．【点睛】此题主要考查一元二次方程的根的情况，解题的关键是熟知根的判别式．2．一次函数(0)y ax b a =+≠与二次函数2(0)y ax bx c a =++≠在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）．A ．B ．C ．D ．【答案】C【分析】逐一分析四个选项，根据二次函数图象的开口方向以及对称轴与y 轴的位置关系，即可得出a 、b 的正负性，由此即可得出一次函数图象经过的象限，即可得出结论．【详解】A. ∵二次函数图象开口向下，对称轴在y 轴左侧，∴a<0，b<0，∴一次函数图象应该过第二、三、四象限，故本选项错误；B. ∵二次函数图象开口向上，对称轴在y 轴右侧，∴a>0，b<0，∴一次函数图象应该过第一、三、四象限，故本选项错误；C. ∵二次函数图象开口向下，对称轴在y 轴左侧，∴a<0，b<0，∴一次函数图象应该过第二、三、四象限，故本选项正确；D. ∵二次函数图象开口向下，对称轴在y 轴左侧，∴a<0，b<0，∴一次函数图象应该过第二、三、四象限，故本选项错误．故选C ．本题主要考查二次函数图象与一次函数图象的综合，掌握二次函数与一次函数系数与图象的关系，是解题的关键．3．如图，⊙O 的半径为5，将长为8的线段PQ 的两端放在圆周上同时滑动，如果点P 从点A 出发按逆时针方向滑动一周回到点A ，在这个过程中，线段PQ 扫过区域的面积为()A ．9πB ．16πC ．25πD ．64π【答案】B 【分析】如图，线段PQ 扫过的面积是图中圆环面积．作OE ⊥PQ 于E ，连接OQ 求出OE 即可解决问题．【详解】解：如图，线段PQ 扫过的面积是图中圆环面积，作OE ⊥PQ 于E ，连接OQ ．∵OE ⊥PQ ，∴EQ ＝12PQ ＝4， ∵OQ ＝5，∴OE 2222543OC QE -=-=，∴线段PQ 扫过区域的面积＝π•52﹣π•32＝16π，故选：B ．【点睛】本题主要考查了轨迹，解直角三角形，垂径定理，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线.4．不等式组542(1)2532132x x x x +≥-⎧⎪+-⎨->⎪⎩的解集是（ ） A ．2x ≤ B ．2x ≥- C ．22x -<≤ D ．22x -≤<【分析】根据不等式的性质解不等式组即可.【详解】解：542(1)2532132x x x x +≥-⎧⎪+-⎨->⎪⎩化简可得：22x x ≥-⎧⎨<⎩ 因此可得22x -≤<故选D.【点睛】本题主要考查不等式组的解，这是中考的必考点，应当熟练掌握.5．在平面直角坐标系中，点P （﹣1，2）关于原点的对称点的坐标为（ ）A ．（﹣1，﹣2）B ．（1，﹣2）C ．（2，﹣1）D ．（﹣2，1）【答案】B【解析】用关于原点的对称点的坐标特征进行判断即可.【详解】点P(-1,2)关于原点的对称点的坐标为(1,-2),故选: B.【点睛】根据两个点关于原点对称时, 它们的坐标符号相反.6．如图所示的几何体的左视图为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】根据左视图是从几何体左面看得到的图形，认真观察实物，可得这个几何体的左视图为长方形，据此观察选项即可得.【详解】观察实物，可知这个几何体的左视图为长方形，只有D 选项符合题意，故选D.【详解】本题考查了几何体的左视图，明确几何体的左视图是从几何体的左面看得到的图形是解题的关键.注意错误的选项B 、C.7．已知二次函数22y x x m =-+（m 为常数），当12x -≤≤时，函数值y 的最小值为3-，则m 的值为（ ）A ．1-B ．2-C ．3-D ．4- 【答案】B【分析】函数配方后得2(-1)1y x m =+-，抛物线开口向上，在=1x 时，取最小值为-3，列方程求解可得．【详解】∵22-2=(-1)+-1y x x m x m =+，∴ 抛物线开口向上，且对称轴为=1x ，∴在=1x 时，有最小值-3，即：-1-3m =，解得2m =-，故选：B ．【点睛】本题考查了二次函数的最值，熟练掌握二次函数的图象及增减性是解题的关键．8．如图，O 的半径为2，弦2AB =，点P 为优弧AB 上一动点，60PAC ∠=︒，交直线PB 于点C ，则ABC 的最大面积是 ( )A ．12B ．1C ．2D 2【答案】B【分析】连接OA 、OB ，如图1，由2OA OB AB ===可判断OAB 为等边三角形，则60AOB ∠=︒，根据圆周角定理得1302APB AOB ∠=∠=︒，由于60PAC ∠=︒，所以90C ∠=︒，因为2AB =，则要使ABC 的最大面积，点C 到AB 的距离要最大；由90ACB ∠=︒，可根据圆周角定理判断点C 在D 上，如图2，于是当点C 在半圆的中点时，点C 到AB 的距离最大，此时ABC 为等腰直角三角形，从而得到ABC 的最大面积．【详解】解：连接OA 、OB ，如图1，2OA OB ==，2AB =，OAB ∴为等边三角形，60AOB ∴∠=︒， 1302APB AOB ∴∠=∠=︒， 60PAC ∠=︒90ACP ∴∠=︒2AB =，要使ABC 的最大面积，则点C 到AB 的距离最大，作ABC 的外接圆D ，如图2，连接CD ，90ACB ∠=︒，点C 在D 上，AB 是D 的直径，当点C 半圆的中点时，点C 到AB 的距离最大，此时ABC 等腰直角三角形，CD AB ∴⊥，1CD =，12ABC S ∴=⋅AB ⋅CD 12112=⨯⨯=， ABC ∴的最大面积为1．故选B ．【点睛】本题考查了圆的综合题：熟练掌握圆周角定理和等腰直角三角形的判断与性质；记住等腰直角三角形的面积公式．9．方程2568a a =-化为一元二次方程一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ） A ．5，6，-8B ．5，-6，-8C ．5，-6，8D ．6，5，-8【答案】C【分析】先将该方程化为一般形式，即可得出结论．【详解】解：先将该方程化为一般形式：25680a a -+=．从而确定二次项系数为5，一次项系数为-6，常数项为8故选C ．【考点】此题考查的是一元二次方程的项和系数，掌握一元二次方程的一般形式是解决此题的关键．10．下列对二次函数y=x 2﹣x 的图象的描述，正确的是（ ）A ．开口向下B ．对称轴是y 轴C ．经过原点D ．在对称轴右侧部分是下降的 【答案】C【解析】根据抛物线的开口方向、对称轴公式以及二次函数性质逐项进行判断即可得答案.【详解】A 、∵a=1＞0，∴抛物线开口向上，选项A 不正确；B 、∵﹣221b a =，∴抛物线的对称轴为直线x=12，选项B 不正确； C 、当x=0时，y=x 2﹣x=0，∴抛物线经过原点，选项C 正确； D 、∵a ＞0，抛物线的对称轴为直线x=12， ∴当x ＞12时，y 随x 值的增大而增大，选项D 不正确， 故选C ．【点睛】本题考查了二次函数的性质：二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0），对称轴直线x=-2b a，当a ＞0时，抛物线y=ax 2+bx+c （a≠0）的开口向上，当a ＜0时，抛物线y=ax 2+bx+c （a≠0）的开口向下，c=0时抛物线经过原点，熟练掌握相关知识是解题的关键.11．圆心角为140°的扇形的半径为3cm ，则这个扇形的面积是（ ）cm 1．A ．πB ．3πC ．9πD ．6π【答案】D 【解析】试题分析：扇形面积的计算公式为：2π2409S 6π360360n r π⨯⨯===，故选择D ． 12．抛物线y=x 2+bx+c 过(-2，0)，(2，0)两点，那么抛物线对称轴为（ ）A ．x=1B ．y 轴C ．x= -1D ．x=-2 【答案】B【分析】由二次函数图像与x 轴的交点坐标，即可求出抛物线的对称轴．【详解】解：∵抛物线y=ax 2+bx+c （a≠0）与x 轴的交点是（-2，0）和（2，0），∴这条抛物线的对称轴是：x=(2)202-+=， 即对称轴为y 轴；故选：B ．【点睛】本题考查了抛物线与x 轴的交点问题．对于求抛物线的对称轴的题目，可以用公式法，也可以将函数解析式化为顶点式求得，或直接利用公式x=122x x +求解． 二、填空题（本题包括8个小题）13．已知O 的半径3,cm 点P 在O 内,则OP _________3cm （填>或=，<）【答案】< 【分析】根据点与圆的位置关系，即可求解.【详解】解：O 的半径为3,cm 点P 在O 内，3OP cm ∴<．故答案为:<．【点睛】本题考查的是点与圆的位置关系.14．因式分解：269x x -+= ．【答案】2(3)x -．【详解】解：269x x -+=2(3)x -．故答案为2(3)x -．考点：因式分解-运用公式法．15．已知：如图，在ABC ∆中，AD BC ⊥于点D ，E 为AC 的中点，若8CD =，5DE =，则AD 的长是_______．【答案】6【分析】先根据直角三角形的性质求出AC 的长，再根据勾股定理即可得出结论．【详解】解：∵△ABC 中，AD ⊥BC ，∴∠ADC ＝90°．∵E 是AC 的中点，DE ＝5，CD ＝8，∴AC ＝2DE ＝1．∴AD 2＝AC 2−CD 2＝12−82＝2．∴AD ＝3．故答案为：3．【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质，熟知在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解答此题的关键．16．写出经过点（0，0），（﹣2，0）的一个二次函数的解析式_____（写一个即可）．【答案】y ＝x 2+2x （答案不唯一）．【解析】设此二次函数的解析式为y ＝ax （x+2），令a ＝1即可．【详解】∵抛物线过点（0，0），（﹣2，0），∴可设此二次函数的解析式为y ＝ax （x+2），把a ＝1代入，得y ＝x 2+2x ．故答案为y ＝x 2+2x （答案不唯一）．【点睛】本题考查的是待定系数法求二次函数解析式，此题属开放性题目，答案不唯一．17．若点()()121,,2,A y B y 是双曲线3y x =上的点，则1y __________2y （填“>”，“<”或“=”) 【答案】>【分析】根据30k =>得出反比例图象在每一象限内y 随x 的增大而减小，再比较两点的横坐标大小，即可比较两点的纵坐标大小． 【详解】解：∵3y x =，30k =>， ∴反比例函数3y x=的图象在第一、三象限内，且在每一象限内y 随x 的增大而减小， ∵点()()121,,2,A y B y 是双曲线3y x =上的点，且1<2， ∴12y y >，故答案为：>．【点睛】本题考查了反比例函数的图象与性质，掌握k>0时，反比例函数图象在每一象限内y 随x 的增大而减小是解题的关键．18．已知12,x x 是方程2410x x -+= 的两个实数根，则1212x x x x +-的值是____．【答案】1【分析】根据一元二次方程根与系数的关系可得出124x x +=，121=x x ，再代入1212x x x x +-中计算即可．【详解】解：∵12,x x 是方程2410x x -+= 的两个实数根，∴124x x +=，121=x x ，∴1212413x x x x +-=-=，故答案为：1．【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是熟知：若12,x x 是一元二次方程20ax bx c ++=的两个根，则12b x x a +=-，12c x x a=． 三、解答题（本题包括8个小题）19．关于x 的一元二次方程为（ｍ－1）x 2－2ｍx ＋ｍ＋1＝0（1）求出方程的根；（2）ｍ为何整数时，此方程的两个根都为正整数？【答案】（1）∴12m 1x x 1m 1+==-，． （2）ｍ=2或3 ．【解析】（1）利用一元二次方程求根根式解方程．（2）利用（1）中x 的值来确定m 的值．【详解】解：（1）根据题意得ｍ≠1，△＝（–2ｍ）2－4（ｍ－1）（ｍ＋1）＝4 ，∴()()122m 2m 12m 2x x 12m 1m 12m 1++-====---，． （2）由（1）知1m 12x 1m 1m 1+==+--， ∵方程的两个根都是正整数，∴2m 1-是正整数． ∴ｍ－1=1或2. ．∴ｍ=2或3 ．考点：公式法解一元二次方程，一元二次方程的解．20．某商店经营儿童益智玩具，已知成批购进时的单价是20元．调查发现：销售单价是30元时，月销售量是230件，而销售单价每上涨1元，月销售量就减少10件，但每件玩具售价不能高于40元．设每件玩具的销售单价上涨了x 元时（x 为正整数），月销售利润为y 元．（1）求y 与x 的函数关系式并直接写出自变量x 的取值范围．（2）每件玩具的售价定为多少元时，月销售利润恰为2520元？（3）每件玩具的售价定为多少元时可使月销售利润最大？最大的月利润是多少？【答案】（1）y ＝﹣10x 2+130x +2300，0＜x ≤10且x 为正整数；（2）每件玩具的售价定为32元时，月销售利润恰为2520元；（3）每件玩具的售价定为36元或37元时，每个月可获得最大利润，最大的月利润是2720元.【分析】（1）根据题意知一件玩具的利润为（30+x-20）元，月销售量为（230-10x ），然后根据月销售利润=一件玩具的利润×月销售量即可求出函数关系式．（2）把y=2520时代入y=-10x 2+130x+2300中，求出x 的值即可．（3）把y=-10x 2+130x+2300化成顶点式，求得当x=6.5时，y 有最大值，再根据0＜x≤10且x 为正整数，分别计算出当x=6和x=7时y 的值即可．【详解】（1）根据题意得：y ＝（30+x ﹣20）（230﹣10x ）＝﹣10x 2+130x+2300，自变量x 的取值范围是：0＜x≤10且x 为正整数；（2）当y ＝2520时，得﹣10x 2+130x+2300＝2520，解得x 1＝2，x 2＝11（不合题意，舍去）当x ＝2时，30+x ＝32（元）答：每件玩具的售价定为32元时，月销售利润恰为2520元．（3）根据题意得：y ＝﹣10x 2+130x+2300＝﹣10（x ﹣6.5）2+2722.5，∵a ＝﹣10＜0，∴当x ＝6.5时，y 有最大值为2722.5，∵0＜x≤10且x 为正整数，∴当x ＝6时，30+x ＝36，y ＝2720（元），当x ＝7时，30+x ＝37，y ＝2720（元），答：每件玩具的售价定为36元或37元时，每个月可获得最大利润，最大的月利润是2720元．【点睛】本题主要考查了二次函数的实际应用，解题的关键是分析题意，找到关键描述语，求出函数的解析式，用到的知识点是二次函数的性质和解一元二次方程．21．某同学报名参加校运动会，有以下5个项目可供选择：径赛项目：100m ，200m ，400m(分别用1A 、2A 、3A 表示)；田赛项目：跳远，跳高(分别用1B 、2B 表示)．()1该同学从5个项目中任选一个，恰好是田赛项目的概率为______；()2该同学从5个项目中任选两个，利用树状图或表格列举出所有可能出现的结果，并求恰好是一个田赛项目和一个径赛项目的概率．【答案】 (1)25;(2)35. 【分析】（1）由5个项目中田赛项目有2个，直接利用概率公式求解即可求得答案；（2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与恰好是一个田赛项目和一个径赛项目的情况，再利用概率公式即可求得答案．【详解】（1）∵5个项目中田赛项目有2个，∴该同学从5个项目中任选一个，恰好是田赛项目的概率为：。

九年级上学期期末数学试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．边长相等的正方形与正六边形按如图方式拼接在一起，则ABC ∠的度数为（ ）A ．10︒B ．15︒C ．20︒D ．30【答案】B 【解析】利用多边形的内角和定理求出正方形与正六边形的内角和，进而求出每一个内角，根据等腰三角形性质，即可确定出所求角的度数．【详解】正方形的内角和为360°，每一个内角为90°；正六边形的内角和为720°，每一个内角为120°，则BAC ∠ =360°-120°-90°=150°，因为AB=AC,所以ABC ∠=ACB ∠=15°故选B【点睛】此题考查了多边形内角和外角，等腰三角形性质，熟练掌握多边形的内角和定理是解本题的关键． 2．下列图形中，可以看作是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】根据中心对称图形的定义：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，直接判断即可.【详解】解：A .不是中心对称图形；B .是中心对称图形；C .不是中心对称图形；D .不是中心对称图形．故选：B ．本题考查的知识点是中心对称图形的判定，这里需要注意与轴对称图形的区别，轴对称形是：一定要沿某直线折叠后直线两旁的部分互相重合；中心对称图形是:图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合. 3．如图，直角坐标平面内有一点(2,4)P，那么OP与x轴正半轴的夹角α的余切值为（）A．2B．12C．55D．5【答案】B【分析】作PA⊥x轴于点A，构造直角三角形，根据三角函数的定义求解．【详解】过P作x轴的垂线，交x轴于点A，∵P(2,4)，∴OA=2,AP=4，．∴4 tan22APOAα===∴1 cot2=α.故选B．【点睛】本题考查的知识点是锐角三角函数的定义，解题关键是熟记三角函数的定义.4．如图，在Rt△ABC中，CE是斜边AB上的中线，CD⊥AB，若CD＝5，CE＝6，则△ABC的面积是（）A．24 B．25 C．30 D．36【分析】根据题意及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得：AB=2CE=12再根据三角形面积公式，即△ABC 面积=12AB×CD=30.故选C. 【详解】解：∵CE 是斜边AB 上的中线，∴AB ＝2CE ＝2×6＝12，∴S △ABC ＝12×CD×AB ＝12×5×12＝30， 故选：C ．【点睛】本题的考点是直角三角形斜边上的中线性质及三角形面积公式.方法是根据题意求出三角形面积公式中的底，再根据面积公式即可得出答案.5．二次函数22y x =-图像的顶点坐标为( )A ．(0，-2)B ．(-2，0)C ．(0，2)D ．(2，0) 【答案】A【分析】根据顶点式的坐标特点，直接写出顶点坐标即对称轴．【详解】解：抛物线y=x 2-2是顶点式，根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（0，-2），故选A ．【点睛】此题考查了二次函数的性质，二次函数y=a （x-h ）2+k 的顶点坐标为()h k ，，对称轴为x=h ． 6．若关于的一元二次方程2210kx x +-= 有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是（ ） A ．1k >-B ．1k >-且0k ≠C ．1k <D ．1k <且0k ≠【答案】B【分析】根据一元二次方程的定义和根的判别式列出不等式求解即可．【详解】由题意得：20,4440k b ac k ≠∆=-=+>解得：1k >-且0k ≠故选：B ．【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式，熟记根的判别式是解题关键．对于一般形式20(a 0)++=≠ax bx c 有：（1）当240b ac ∆=->时，方程有两个不相等的实数根；（2）当240b ac ∆=-=时，方程有两个相等的实数根；（3）当240b ac ∆=-<时，方程没有实数根．7．如图，以点O 为位似中心，将△ABC 缩小后得到△A ′B ′C ′，已知OB =3OB ′，则△A ′B ′C ′与△ABC 的周长比为 （ ）A ．1:3B ．1:4C ．1:8D ．1:9【答案】A 【分析】以点O 为位似中心，将△ABC 缩小后得到△A′B′C′，OB=1OB′，可得△A′B′C′与△ABC 的位似比，然后由相似三角形的性质可得△A′B′C′与△ABC 的周长比．【详解】∵以点O 为位似中心，将△ABC 缩小后得到△A′B′C′，OB=1OB′，，∴△A′B′C′与△ABC 的位似比为：1：1，∴△A′B′C′与△ABC 的周长比为：1：1．故选：A ．【点睛】此题考查了位似图形的性质．此题难度不大，注意三角形的周长比等于相似比．8．如图，已知双曲线(0)k y k x=<经过直角三角形OAB 斜边OA 的中点D ，且与直角边AB 相交于点C ．若点A 的坐标为（6-，4），则△AOC 的面积为A ．12B ．9C ．6D ．4【答案】B 【解析】∵点(6,4)A -，D 是OA 中点∴D 点坐标(3,2)-∵(3,2)D -在双曲线(0)k y k x =<上，代入可得23k =- ∴6k =-∵点C 在直角边AB 上，而直线边AB 与x 轴垂直∴点C 的横坐标为-6又∵点C 在双曲线6y x -= ∴点C 坐标为(6,1)- ∴22(66)(14)3AC =-++-=从而1136922AOC S AC OB ∆=⨯⨯=⨯⨯=，故选B 9．如图，在正方形ABCD 中，点E 是CD 的中点，点F 是BC 上的一点，且BF ＝3CF ，连接AE 、AF 、EF ，下列结论：①∠DAE ＝30°，②△ADE ∽△ECF ，③AE ⊥EF ，④AE 2＝AD•AF ，其中正确结论的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C 【分析】根据题意可得tan ∠DAE 的值，进而可判断①；设正方形的边长为4a ，根据题意用a 表示出FC ，BF ，CE ，DE ，然后根据相似三角形的判定方法即可对②进行判断；在②的基础上利用相似三角形的性质即得∠DAE ＝∠FEC ，进一步利用正方形的性质即可得到∠DEA+∠FEC ＝90°，进而可判断③；利用相似三角形的性质即可判断④.【详解】解：∵四边形ABCD 是正方形，E 为CD 中点，∴CE ＝ED ＝12DC ＝12AD ， ∴tan ∠DAE ＝12DE AD =，∴∠DAE ≠30°，故①错误； 设正方形的边长为4a ，则FC ＝a ，BF ＝3a ，CE ＝DE ＝2a ，∴2,2DE AD FC EC ==，∴DE AD FC EC=，又∠D ＝∠C=90°， ∴△ADE ∽△ECF ，故②正确；∵△ADE ∽△ECF ，∴∠DAE ＝∠FEC ，∵∠DAE+∠DEA ＝90°∴∠DEA+∠FEC ＝90°，∴AE ⊥EF ．故③正确；∵△ADE ∽△ECF ，∴AD AE AE AF=，∴AE 2＝AD•AF ，故④正确. 综上，正确的个数有3个，故选：C.本题考查了正方形的性质、锐角三角函数、相似三角形的判定和性质等知识，属于常考题型，熟练掌握正方形的性质和相似三角形的判定和性质是解题的关键.10．下列事件中，是随机事件的是（ ）A ．两条直线被第三条直线所截，同位角相等B ．任意一个四边形的外角和等于360°C ．早上太阳从西方升起D ．平行四边形是中心对称图形【答案】A【分析】根据随机事件的概念对每一事件进行分析.【详解】选项A,只有当两条直线为平行线时,同位角才相等，故不确定为随机事件.选项B ，不可能事件.选项C ，不可能事件选项D,必然事件.故选A【点睛】本题考查了随机事件的概念.11．将抛物线()2213y x =+-先向上平移3个单位长度，再向右平移1个单位长度可得抛物线（ ）A ．22y x =B ．()222y x =+C ．226y x =-D ．()2226y x =+-【答案】A【分析】根据抛物线平移的规律：上加下减，左加右减，即可得解.【详解】平移后的抛物线为()22211332y x x =+--+=故答案为A.【点睛】此题主要考查抛物线平移的性质，熟练掌握，即可解题.12．下列函数中，当x ＞0时，y 随x 的增大而增大的是( )A ．y x 1=-+B ．2y x 1=-C ．1y x =D ．2y x 1=-+【分析】根据二次函数、一次函数、反比例函数的增减性，结合自变量的取值范围，逐一判断【详解】解：A 、y x 1=-+，一次函数，k ＜0，故y 随着x 增大而减小，错误；B 、2y x 1=-（x ＞0），故当图象在对称轴右侧，y 随着x 的增大而增大，正确；C 、1y x=，k=1＞0，分别在一、．三象限里，y 随x 的增大而减小，错误； D 、2y x 1=-+（x ＞0），故当图象在对称轴右侧，y 随着x 的增大而减小，错误．故选B ．【点睛】本题考查一次函数，二次函数及反比例函数的增减性，掌握函数图像性质利用数形结合思想解题是本题的解题关键.二、填空题（本题包括8个小题）13．四边形ABCD 内接于⊙O ，∠A ＝125°，则∠C 的度数为_____°．【答案】1．【分析】根据圆内接四边形的对角互补的性质进行计算即可．【详解】解：∵四边形ABCD 内接于⊙O ，∴∠A+∠C ＝180°，∵∠A ＝125°，∴∠C ＝1°，故答案为：1．【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，理解圆内接四边形的对角互补的性质是解答本题的关键.14．已知锐角α，满足tanα=2，则sinα=_____．25 【解析】分析：根据锐角三角函数的定义，可得答案．详解：如图，由tanα=a b=2，得a=2b ，由勾股定理，得： 22a b +5，sinα=a c 5b 25．故答案为255．点睛：本题考查了锐角三角函数，利用锐角三角函数的定义解题的关键．15．已知二次函数y＝3x2+2x，当﹣1≤x≤0时，函数值y的取值范围是_____．【答案】﹣13≤y≤1【分析】利用配方法转化二次函数求出对称轴，根据二次函数的性质即可求解．【详解】∵y＝3x2+2x＝3（x+13）2﹣13，∴函数的对称轴为x＝﹣13，∴当﹣1≤x≤0时，函数有最小值﹣13，当x＝﹣1时，有最大值1，∴y的取值范围是﹣13≤y≤1，故答案为﹣13≤y≤1．【点睛】本题考查二次函数的性质、一般式和顶点式之间的转化，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质．16．如图，已知菱形ABCD中，∠B=60°，点E在边BC上，∠BAE=25°，把线段AE绕点A逆时针方向旋转，使点E落在边CD上，那么旋转角 的度数为______．【答案】60°或70°．【分析】连接AC，根据菱形的性质及等边三角形的判定易证△ABC是等边三角形．分两种情况：①将△ABE 绕点A逆时针旋转60°，点E可落在边DC上，此时△ABE与△ABE1重合；②将线段AE绕点A逆时针旋转70°，点E可落在边DC上，点E与点E2重合，此△AEC≌△AE2C．【详解】连接AC．∵菱形ABCD中，∠ABC=60°，∴△ABC 是等边三角形，∴∠BAC=∠ACB=60°，∴∠ACD=60°．本题有两种情况：①如图，将△ABE 绕点A 逆时针旋转，使点B 与点C 重合，点E 与点E 1重合，此时△ABE ≌△ABE 1，AE=AE 1，旋转角α=∠BAC=60°；②∵∠BAC=60°，∠BAE=25°，∴∠EAC=35°．如图，将线段AE 绕点A 逆时针旋转70°，使点E 到点E 2的位置，此时△AEC ≌△AE 2C ，AE=AE 2，旋转角α=∠EAE 2=70°．综上可知，符合条件的旋转角α的度数为60度或70度．17．已知2x =-是一元二次方程240x mx ++=的一个解，则m 的值是__________．【答案】4【分析】把x=-2代入x 2+mx+4=0可得关于m 的一元一次方程，解方程即可求出m 的值.【详解】∵2x =-是一元二次方程240x mx ++=的一个解，∴4-2m+4=0，解得：m=4，故答案为：4【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 18．如图，在平面直角坐标系中，()()()0,44,46,2A B C 、、，则经过、、A B C 三点的圆弧所在圆的圆心M 的坐标为__________；点D 坐标为()8,2-，连接CD ，直线CD 与M 的位置关系是___________．【答案】（2，0）相切【分析】由网格容易得出AB的垂直平分线和BC的垂直平分线，它们的交点即为点M，根据图形即可得出点M的坐标；由于C在⊙M上，如果CD与⊙M相切，那么C点必为切点；因此可连接MC，证MC 是否与CD垂直即可．可根据C、M、D三点坐标，分别表示出△CMD三边的长，然后用勾股定理来判断∠MCD是否为直角．【详解】解：如图，作线段AB，CD的垂直平分线交点即为M，由图可知经过A、B、C三点的圆弧所在圆的圆心M的坐标为（2，0）．连接MC，MD，∵MC2=42+22=20，CD2=42+22=20，MD2=62+22=40，∴MD2=MC2+CD2，∴∠MCD=90°，又∵MC为半径，∴直线CD是⊙M的切线．故答案为：（2，0）；相切．【点睛】本题考查的直线与圆的位置关系，圆的切线的判定等知识，在网格和坐标系中巧妙地与圆的几何证明有机结合，较新颖．三、解答题（本题包括8个小题）19．解方程（1）2x2﹣7x+3=1；（2）x2﹣3x=1．【答案】（1）x1=2，x212；（2）x1 =1或x2 =2．【分析】（1）先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可； (2)提取公因式x 后，求出方程的解即可； 【详解】解： （1）2x 2﹣7x+2=1， (x ﹣2)(2x ﹣1)=1， ∴x ﹣2=1或2x ﹣1=1， ∴x 1=2，x 212=； （2）x 2﹣2x=1， x(x ﹣2)=1， x 1 =1 或，x 2 =2． 【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程是解题的关键.20．某汽车专卖店经销某种型号的汽车.已知该型号汽车的进价为15万元/辆，经销一段时间后发现：当该型号汽车售价定为25万元/辆时，平均每周售出8辆；售价每降低1万元，平均每周多售出2辆. （1）当售价为22万元/辆时，平均每周的销售利润为___________万元；（2）若该店计划平均每周的销售利润是90万元，为了尽快减少库存，求每辆汽车的售价． 【答案】（1）98 （2）20万元【分析】（1）根据当该型号汽车售价定为25万元/辆时，平均每周售出8辆；售价每降低0.5万元，平均每周多售出1辆，即可求出当售价为22万元/辆时，平均每周的销售量，再根据销售利润＝一辆汽车的利润×销售数量列式计算；（2）设每辆汽车降价x 万元，根据每辆的盈利×销售的辆数＝90万元，列方程求出x 的值，进而得到每辆汽车的售价．【详解】（1）由题意，可得当售价为22万元/辆时，平均每周的销售量是：25220.5-×1＋8＝14， 则此时，平均每周的销售利润是：（22−15）×14＝98（万元）； （2）设每辆汽车降价x 万元，根据题意得： （25−x−15）（8＋2x ）＝90， 解得x 1＝1，x 2＝5，当x ＝1时，销售数量为8＋2×1＝10（辆）； 当x ＝5时，销售数量为8＋2×5＝18（辆），为了尽快减少库存，则x ＝5，此时每辆汽车的售价为25−5＝20（万元）， 答：每辆汽车的售价为20万元． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，本题关键是会表示一辆汽车的利润，销售量增加的部分．找到关键描述语，找到等量关系：每辆的盈利×销售的辆数＝90万元是解决问题的关键．21．某班为推荐选手参加学校举办的“祖国在我心中”演讲比赛活动，先在班级中进行预赛，班主任根据学生的成绩从高到低划分为A ，B ，C ，D 四个等级，并绘制了不完整的两种统计图表．请根据图中提供的信息，回答下列问题：（1）a 的值为 ；（2）求C 等级对应扇形的圆心角的度数；（3）获得A 等级的4名学生中恰好有1男3女，该班将从中随机选取2人，参加学校举办的演讲比赛，请利用列表法或画树状图法，求恰好选中一男一女参加比赛的概率． 【答案】（1）8 ；（2）144︒；（3）12【分析】（1）根据D 等级的人数除以其百分比得到班级总人数，再乘以B 等级的百分比即可得a 的值； （2）用C 等级的人数除以班级总人数即可得到其百分比，用360°乘以其百分比得到其扇形圆心角度数； （3）画树状图可知，共有12种均等可能结果，恰好选中一男一女的有6种．然后根据概率公式求解即可 【详解】解：（1）班级总人数为1230%40÷= 人，B 等级的人数为4020%8⨯= 人，故a 的值为8； （2）16360144?40⨯︒=︒ ∴C 等级对应扇形的圆心角的度数为144︒． （3）画树状图如图：(画图正确）由树状图可知，共有12种均等可能结果，恰好选中一男一女的有6种． ∴P （一男一女）61122==答：恰好选中一男一女参加比赛的概率为12． 【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n ，再从中选出符合事件A的结果数目m ，然后利用概率公式计算事件A 的概率为mn．也考查了统计图． 22．（阅读材料）某校九年级数学课外兴趣探究小组在学习完《第二十八章锐角三角函数》后，利用所学知识进行深度探究，得到以下正确的等量关系式：sin()sin cos cos sin αβαβαβ+=⋅+⋅，sin()sin cos cos sin αβαβαβ-=⋅-⋅cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=⋅-⋅，cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=⋅+⋅tan tan tan()1tan tan αβαβαβ++=-⋅，tan tan tan()1tan tan αβαβαβ--=+⋅，（理解应用）请你利用以上信息求下列各式的值：（1）sin15︒；（2）cos105︒（拓展应用）（3）为了求出海岛上的山峰AB 的高度，在D 处和F 处树立标杆CD 和EF ，标杆的高都是3丈，,D F 两处相隔1000步（1步等于6尺），并且,AB CD 和EF 在同一平面内，在标杆CD 的顶端C 处测得山峰顶端A 的仰角75°，在标杆EF 的顶端E 处测得山峰顶端A 的仰角30°，山峰的高度即AB 的长是多少步？（结果保留整数）（参考数据：2 1.4,3 1.7,5 2.2,6 2.4≈≈≈≈）【答案】（162-（226-（3）山峰的高度即AB 的长大约是719步 【分析】（1））sin15sin(4530)︒=︒-︒，直接利用所给等量关系式代入求解即可； （2）cos105cos 6045︒=︒+（），直接利用所给等量关系式代入求解即可； （3）连接CE ，返向延长CE 交AB 于点K ，再用含AK 的式子表示出KE ，KC ，再根据KE=CK+1000求解即可．【详解】解：（1）sin15sin(4530)︒=︒-︒sin 45cos30cos4530sin =︒︒-︒︒2321622-==（2）cos105cos 6045cos60cos45sin 60sin 45︒=︒+=︒︒-︒︒（）12322622224-=⨯-⨯= （3）连接CE ，返向延长CE 交AB 于点K ，则35KB CD ===丈步，1000EC DF ==步，在Rt AKC ∆中，tan 75AKKC =同理：tan 30AKKE =∵31tan 45tan 30333tan 75tan(4530)1tan 45tan 30333113+++=+===-⋅--⨯3 1.7 3.63 1.7+≈≈- 1000KE KC EC KC =+=+∴1000tan 30tan 75AK AK=+∴1000tan 30tan 75AK AK-=解得：714AK ≈（步）∴7145719AB AK KB =+≈+=（步） 答：山峰的高度即AB 的长大约是719步. 【点睛】本题考查的知识点是锐角三角函数，解题的关键是读懂题意，能够灵活运用所给等量关系式．23．李老师将1个黑球和若干个白球放入一个不透明的口袋中并搅匀，让学生进行摸球试验，每次摸出一个球（放回），下表是活动进行中的一组统计数据． 摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000 摸到黑球的次数m 23 31 60 130 203 251 摸到黑球的频率mn0.230.210.30_______________（1）补全上表中的有关数据，根据上表数据估计从袋中摸出一个黑球的概率是______．（结果都保留小数点后两位）（2）估算袋中白球的个数为________．（3）在（2）的条件下，若小强同学有放回地连续两次摸球，用画树状图或列表的方法计算出两次都摸出白球的概率．【答案】表格内数据：0.26，0.25，0.25 （1）0.25；（2）1；（1）916．【分析】(1)直接利用频数÷总数=频率求出答案;(2)设袋子中白球有x个,利用表格中数据估算出得到黑球的频率列出关于x的分式方程,【详解】（1）251÷1000=0.251;∵大量重复试验事件发生的频率逐渐稳定到0.25附近0.25,∴估计从袋中摸出一个球是黑球的概率是0.25;（2）设袋中白球为x个,11+x=0.25,x=1．答：估计袋中有1个白球．（1）由题意画树状图得:由树状图可知,所有可能出现的结果共有16种,这些结果出现的可能性相等,其中两次都摸出白球的有9种情况．所以P(两次都摸出白球)=916．【点睛】本题主要考查了模拟实验以及频率求法和树状图法与列表法求概率, 解决本题的关键是要熟练掌握概率计算方法.24．如图，⊙O的直径AB与弦CD相交于点E，且DE＝CE，⊙O的切线BF与弦AD的延长线交于点F．（1）求证：CD∥BF；（2）若⊙O的半径为6，∠A＝35°，求DBC的长．【答案】（1）见解析；（2）143π【分析】（1）根据垂径定理、切线的性质求出AB ⊥CD ，AB ⊥BF ，即可证明； （2）根据圆周角定理求出∠COD ，根据弧长公式计算即可． 【详解】（1）证明：∵AB 是⊙O 的直径，DE ＝CE ， ∴AB ⊥CD ， ∵BF 是⊙O 的切线， ∴AB ⊥BF ， ∴CD ∥BF ；（2）解：连接OD 、OC ， ∵∠A ＝35°，∴∠BOD ＝2∠A ＝70°， ∴∠COD ＝2∠BOD ＝140°， ∴DBC 的长为：1406180π⨯＝143π．【点睛】本题考查的是切线的性质、垂径定理、弧长的计算，掌握切线的性质定理、垂径定理和弧长的计算公式是解题的关键．25．在综合实践课中，小慧将一张长方形卡纸如图1所示裁剪开，无缝隙不重叠的拼成如图2所示的“L ”形状，且成轴对称图形.裁剪过程中卡纸的消耗忽略不计，若已知9AB =，16BC =，FG AD ⊥. 求（1）线段AF 与EC 的差值是___ （2）FG 的长度.【答案】9 6【分析】如图1，延长FG 交BC 于H ，设CE ＝x ，则E'H'＝CE ＝x ，根据轴对称的性质得：D'E'＝DC ＝E'F'＝9，表示GH ，EH ，BE 的长，证明△EGH ∽△EAB ，则GH EHAB BE=，可得x 的值， 即可求出线段AF 、EC 及FG 的长，故可求解.【详解】(1)如图1，延长FG交BC于H，设CE＝x，则E'H'＝CE＝x，由轴对称的性质得：D'E'＝DC＝E'F'＝9，∴H'F'＝AF＝9＋x，∵AD＝BC＝16，∴DF＝16−（9＋x）＝7−x，即C'D'＝DF＝7−x＝F'G'，∴FG＝7−x，∴GH＝9−（7−x）＝2＋x，EH＝16−x−（9＋x）＝7−2x，∴EH∥AB，∴△EGH∽△EAB，∴GH EH AB BE=，∴272 916x xx +-=-，解得x＝1或31（舍），AF、EC及FG∴AF=9+x=10，EC=1，故AF-EC=9故答案为：9;(2)由（1）得FG＝7−x =7-1=6.【点睛】本题考查了图形的拼剪，轴对称的性质，矩形、直角三角形、相似三角形等相关知识，积累了将实际问题转化为数学问题经验，渗透了数形结合的思想，体现了数学思想方法在现实问题中的应用价值．26．如图，在正方形ABCD中，等边△AEF的顶点E、F分别在BC和CD上．（1）、求证：△ABE≌△ADF；（2）、若等边△AEF的周长为6，求正方形ABCD的边长．【答案】（1）证明见解析；（226 +【解析】试题分析：（1）根据四边形ABCD 是正方形，得出AB=AD ，∠B=∠D=90°，再根据△AEF 是等边三角形，得出AE=AF ，最后根据HL 即可证出△ABE ≌△ADF ；（2）根据等边△AEF 的周长是6，得出AE=EF=AF 的长，再根据（1）的证明得出CE=CF ，∠C=90°，从而得出△ECF 是等腰直角三角形，再根据勾股定理得出EC 的值，设BE=x ，则，在Rt △ABE 中，AB 2+BE 2=AE 2，求出x 的值，即可得出正方形ABCD 的边长． 试题解析：（1）证明：∵四边形ABCD 是正方形， ∴AB=AD ，∵△AEF 是等边三角形， ∴AE=AF ，在Rt △ABE 和Rt △ADF 中， ∵AB ＝AD ，AE ＝AF ∴Rt △ABE ≌Rt △ADF ； （2）∵等边△AEF 的周长是6， ∴AE=EF=AF=2，又∵Rt △ABE ≌Rt △ADF ， ∴BE=DF ，∴CE=CF ，∠C=90°， 即△ECF 是等腰直角三角形， 由勾股定理得CE 2+CF 2=EF 2， ∴，设BE=x ，则，在Rt △ABE 中，AB 2+BE 2=AE 2，即（）2+x 2=4，解得x 1=2x 2=2，∴∴正方形ABCD 的边长为考点: 1.正方形的性质；2.全等三角形的判定与性质；27．如图，抛物线y=ax 2+bx+4(a ≠0)与x 轴交于点B (－3 ，0) 和C (4 ，0)与y 轴交于点A ． (1) a = ，b = ；(2) 点M 从点A 出发以每秒1个单位长度的速度沿AB 向B 运动，同时，点N 从点B 出发以每秒1个单位长度的速度沿BC 向C 运动，当点M 到达B 点时，两点停止运动．t 为何值时，以B 、M 、N 为顶点的三角形是等腰三角形？(3) 点P 是第一象限抛物线上的一点，若BP 恰好平分∠ABC ，请直接写出此时点P 的坐标．【答案】（1）13-，13；(2)52530,,21111t =；(3)511(,)24 【解析】（1）直接利用待定系数法求二次函数解析式得出即可；（2）分三种情况：①当BM=BN 时，即5-t=t ，②当BM=NM=5-t 时，过点M 作ME ⊥OB ，因为AO ⊥BO ，所以ME ∥AO ，可得：BM BEBA BO =即可解答；③当BE=MN=t 时，过点E 作EF ⊥BM 于点F ，所以BF=12BM=12（5-t ），易证△BFE ∽△BOA ，所以BE BFBA BO=即可解答； （3）设BP 交y 轴于点G ，过点G 作GH ⊥AB 于点H ，因为BP 恰好平分∠ABC ，所以OG=GH ，BH=BO=3，所以AH=2，AG=4-OG ，在Rt △AHG 中，由勾股定理得：OG=32，设出点P 坐标，易证△BGO ∽△BPD ，所以BO GOBD PD=，即可解答. 【详解】解：解：（1）∵抛物线过点B (－3 ，0) 和C (4 ，0)， ∴934016440a b a b -+⎧⎨++⎩＝＝ ，解得：1313a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩；（2）∵B (－3 ，0)，y=ax 2+bx+4，∴A(0，4)，0A=4，OB=3， 在Rt △ABO 中，由勾股定理得：AB=5， t 秒时，AM=t ，BN=t ，BM=AB-AM=5-t ， ①如图：当BM=BN 时，即5-t=t ，解得：t=52;,②如图，当BM=NM=5-t 时，过点M 作ME ⊥OB ，因为BN=t ，由三线合一得：BE=12BN=12t ，又因为AO ⊥BO ，所以ME ∥AO ，所以BM BE BA BO =，即15-253tt = ，解得：t=3011；③如图：当BE=MN=t 时，过点E 作EF ⊥BM 于点F ，所以BF=12BM=12（5-t ），易证△BFE ∽△BOA ，所以BE BF BA BO=，即5t 253t-= ，解得：t=2511 .(3)设BP 交y 轴于点G ，过点G 作GH ⊥AB 于点H ，因为BP 恰好平分∠ABC ，所以OG=GH ，BH=BO=3，所以AH=2，AG=4-OG ，在Rt △AHG 中，由勾股定理得：OG=32，设P （m ，-13m 2+13m+4），因为GO ∥PD ，∴△BGO ∽△BPD ，∴BO GO BD PD = ，即2332113+433m m m =-++ ，解得：m 1=52，m 2=-3(点P 在第一象限，所以不符合题意，舍去)，m 1=52时，-13m 2+13m+4=114故点P的坐标为511(,)24【点睛】本题考查用待定系数法求二次函数解析式，还考查了等腰三角形的判定与性质、相似三角形的性质和判定.九年级上学期期末数学试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．如图，两根竹竿AB 和AD 都斜靠在墙CE 上，测得,CAB CAD αβ∠=∠=，则两竹竿的长度之比AB AD 等于（ ） A ．sin sin αβ B ．cos cos αβ C ．sin sin βα D ．cos cos βα【答案】D【分析】在两个直角三角形中，分别求出AB 、AD 即可解决问题．【详解】根据题意：在Rt △ABC 中，cos AC AB α=，则cos AC AB α=， 在Rt △ACD 中，cos AC ADβ=，则cos AC AD β=， ∴cos cos cos cos ACAB AC AD βααβ==． 故选：D ．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题． 2．按如图所示的运算程序，输入的 x 的值为12，那么输出的 y 的值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】D【分析】把1=2x 代入程序中计算，知道满足条件，即可确定输出的结果. 【详解】把1=2x 代入程序， ∵12是分数， ∴120=-=-<y x 不满足输出条件，进行下一轮计算；把=2x -代入程序，∵2-不是分数 ∴()()22112122214044=--+=-⨯--⨯-+=>y x x 满足输出条件，输出结果y=4，故选D.【点睛】本题考查程序运算，解题的关键是读懂程序的运算规则.3．已知实数m ，n 满足条件m 2﹣7m+2=0，n 2﹣7n+2=0，则n m +m n 的值是（ ） A ．452 B ．152 C ．152或2 D ．452或2 【答案】D【分析】①m≠n 时，由题意可得m 、n 为方程x 2﹣7x+2=0的两个实数根，利用韦达定理得出m+n 、mn 的值，将要求的式子转化为关于m+n 、mn 的形式，整体代入求值即可；②m=n ，直接代入所求式子计算即可.【详解】①m≠n 时，由题意得：m 、n 为方程x 2﹣7x+2=0的两个实数根，∴m+n=7，mn=2，n m +m n =22n m mn +=22m n mn mn +-（）=27222-⨯=452； ②m=n 时，n m +m n=2. 故选D.【点睛】 本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，分析出m 、n 是方程的两个根以及分类讨论是解题的关键. 4．关于x 的一元二次方程ax 2﹣4x+1＝0有实数根，则整数a 的最大值是（ ）A ．1B ．﹣4C ．3D ．4【答案】D【分析】根据根的判别式即可求出答案．【详解】由题意可知：△＝16﹣4a≥0且a≠0，∴a≤4且a≠0，所以a 的最大值为4，故选：D ．【点睛】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法.5．人教版初中数学教科书共六册，总字数是978000，用科学记数法可将978000表示为（ ） A ．978×103B ．97.8×104C ．9.78×105D ．0.978×106 【答案】C【详解】解：978000用科学记数法表示为：9.78×105，故选C ．【点睛】本题考查科学记数法—表示较大的数．6．按照一定规律排列的个数：-2，4，-8，16，-32，64，…．若最后三个数的和为768，则为（ ） A ．9B ．10C ．11D ．12 【答案】B【分析】观察得出第n 个数为（-2）n ，根据最后三个数的和为768，列出方程，求解即可．【详解】由题意，得第n 个数为（-2）n ，那么（-2）n-2+（-2）n-1+（-2）n =768，当n 为偶数：整理得出：3×2n-2=768，解得：n=10；当n 为奇数：整理得出：-3×2n-2=768，则求不出整数．故选B ．7．用配方法解方程x 2+4x+1＝0时，原方程应变形为( )A ．(x+2)2＝3B ．(x ﹣2)2＝3C ．(x+2)2＝5D ．(x ﹣2)2＝5 【答案】A【分析】先把常数项移到方程右侧，然后配一次项系数一半的平方即可求解．【详解】x 2+4x ＝﹣1，x 2+4x+4＝3，(x+2)2＝3，故选：A ．【点睛】本题考查了解一元二次方程-配方法，掌握在二次项系数为1的前提下，配一次项系数一半的平方是关键． 8．下列四组a 、b 、c 的线段中，不能组成直角三角形的是（ ）A ．1a =，3b =2c =B ．13a =，14b =，15c =C ．9a =，12b =，15c =D ．8a =，15b =，=17c【答案】B 【分析】根据勾股定理的逆定理判断三角形三边是否构成直角三角形，依次计算判断得出结论．【详解】A.∵222214a b +=+=，2224c ==，∴222+=a b c ，A 选项不符合题意．B.∵22221141()()45400b c +=+=，2211()39a ==， ∴222bc a +≠，B 选项符合题意．C.∵2222912225a b +=+=，2215225c ==，∴222+=a b c ，C 选项不符合题意．D.∵2222815289a b +=+=，2217289c ==∴222+=a b c ，D 选项不符合题意．故选：B ．【点睛】本题考查三角形三边能否构成直角三角形，熟练逆用勾股定理是解题关键．9．方程(2)x x x -=的根是（ ）A ．2B ．0C ．0或2D ．0或3【答案】D【分析】先把右边的x 移到左边，然后再利用因式分解法解出x 即可.【详解】解：22x x x -= 230x x -=()30x x -=120,3x x ==故选D.【点睛】本题是对一元二次方程的考查，熟练掌握一元二次方程的解法是解决本题的关键.10．如图，在一块斜边长60cm 的直角三角形木板（Rt ACB ）上截取一个正方形CDEF ，点D 在边BC 上，点E 在斜边AB 上，点F 在边AC 上，若CD ：CB ＝1：3，则这块木板截取正方形CDEF 后，剩余部分的面积为（ ）A ．202.5cm 2B ．320cm 2C ．400cm 2D ．405cm 2【答案】C 【分析】先根据正方形的性质、相似三角形的判定与性质可得13AF EF AC BC ==，设AF x =，从而可得3,2,6AC x EF CF x BC x ====，再在Rt ACB 中，利用勾股定理可求出x 的值，然后根据三角形的面积公式、正方形的面积公式计算即可．【详解】∵四边形CDEF 为正方形，∴//EF BC ，EF CD =，∴AEF ABC ，AF EF AC BC∴=， ∵:1:3CD CB =， 13AF EF CD AC BC BC ∴===， 设AF x =，则3,2AC x EF CF x ===，∴6BC x =，在Rt ACB 中，222AC BC AB +=，即222(3)(6)60x x +=， 解得5x =45x =-（不符题意，舍去）， 125,245,85AC BC EF ∴===， 则剩余部分的面积为22211125245(85)400()22AC BC EF cm ⋅-=⨯=， 故选：C ．【点睛】本题考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，利用正方形的性质找出两个相似三角形是解题关键．11．将抛物线y=﹣（x+1）2+3向右平移2个单位后得到的新抛物线的表达式为（ ）A ．y=﹣（x+1）2+1B ．y=﹣（x ﹣1）2+3C ．y=﹣（x+1）2+5D ．y=﹣（x+3）2+3 【答案】B【解析】解：∵将抛物线y=﹣（x +1）2+1向右平移2个单位，∴新抛物线的表达式为y=﹣（x +1﹣2）2+1=﹣（x ﹣1）2+1．故选B ．12．下列事件中，是随机事件的是（ ）A ．三角形任意两边之和大于第三边B ．任意选择某一电视频道，它正在播放新闻联播C ．a 是实数，|a|≥0D ．在一个装着白球和黑球的袋中摸球，摸出红球【答案】B【分析】随机事件就是可能发生也可能不发生的事件，根据定义即可判断．【详解】A 、三角形任意两边之和大于第三边是必然事件，故选项不合题意；B 、任意选择某一电视频道，它正在播放新闻联播，是随机事件，故选项符合题意；C 、a 是实数，|a|≥0，是必然事件，故选项不合题意；D 、在一个装着白球和黑球的袋中摸球，摸出红球，是不可能事件，故选项不合题意．故选：B ．【点睛】本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．二、填空题（本题包括8个小题）13．已知二次函数y=－x －2x ＋3的图象上有两点A(－7，1y )，B(－8，2y )，则1y ▲ 2y .（用>、<、=填空）．【答案】＞．【解析】根据已知条件求出二次函数的对称轴和开口方向，再根据点A 、B 的横坐标的大小即可判断出y 1与y 1的大小关系：∵二次函数y=﹣x 1﹣1x+3的对称轴是x=﹣1，开口向下，∴在对称轴的左侧y 随x 的增大而增大．∵点A （﹣7，y 1），B （﹣8，y 1）是二次函数y=﹣x 1﹣1x+3的图象上的两点，且﹣7＞﹣8，∴y 1＞y 1．14．已知3-是关于x 的一元二次方程2230ax x -+=的一个解，则此方程的另一个解为____.【答案】1x =【分析】将x =-3代入原方程,解一元二次方程即可解题.【详解】解：将x=-3代入2230ax x -+=得,a=-1,∴原方程为2230x x --+=,解得：x=1或-3,【点睛】。

九年级上学期期末数学试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=5，将△ABC绕边AC所在直线旋转一周得到圆锥，则该圆锥的侧面积是A．25πB．65πC．90πD．130π【答案】B【解析】解：由已知得，母线长l=13，半径r为5，∴圆锥的侧面积是s=πlr=13×5×π=65π．故选B．2．一个不透明的袋子里装有两双只有颜色不同的手套，小明已经摸出一只手套，他再任意摸取一只，恰好两只手套凑成同一双的概率为( )A．14B．13C．12D．1【答案】B【分析】列举出所有情况，让恰好是一双的情况数除以总情况数即为所求的概率．【详解】解：设一双是红色，一双是绿色，则列表得：∵一共有12种等可能的情况，恰好是一双的有4种情况，∴恰好是一双的概率：41123 P==；故选择：B.【点睛】列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．3．如图，已知⊙O的半径为13，弦AB长为24，则点O到AB的距离是( )A．6 B．5 C．4 D．3【答案】B【解析】过点O 作OC⊥AB，垂足为C ，则有AC=12AB=12×24=12，在Rt △AOC 中，∠ACO=90°，AO=13， ∴OC=22AO AC -=5，即点O 到AB 的距离是5.4．方程05)1(22=-+-mx x m 是关于x 的一元二次方程，则m 的值不能是（ ）A ．0B ．12C ．±1D ．12- 【答案】C【详解】解：05)1(22=-+-mx x m 是关于x 的一元二次方程，则210m -≠， 解得m ≠±1故选C ．【点睛】本题考查一元二次方程的概念，注意二次项系数不能为零．5．如图，是一个几何体的三视图，则这个几何体是( )A ．长方体B ．圆柱体C ．球体D ．圆锥体【答案】B 【分析】根据三视图的规律解答：主视图表示由前向后观察的物体的视图；左视图表示在侧面由左向右观察物体的视图，俯视图表示由上向下观察物体的视图，由此解答即可.【详解】解：∵该几何体的主视图和左视图都为长方形，俯视图为圆∴这个几何体为圆柱体故答案是：B.【点睛】本题主要考察简单几何体的三视图，熟练掌握简单几何体的三视图是解题的关键.6．二次函数224y x x =-+图像的顶点坐标是（ ）A ．()1,2-B ．()1,1-C ．()1,1D ．()1,2【答案】D【分析】先把二次函数进行配方得到抛物线的顶点式，根据二次函数的性质即可得到其顶点坐标．【详解】∵224y x x =-+ ()22211x x =--+-22(1)2x =--+， ∴二次函数224y x x =-+的顶点坐标为()12，． 故选：D ．【点睛】本题考查二次函数的顶点坐标，配方是解决问题的关键，属基础题．7．在数轴上，点A 所表示的实数为3，点B 所表示的实数为a ，⊙A 的半径为2，下列说法中不正确的是（ ）A ．当1<a<5时，点B 在⊙A 内 B ．当a<5时，点B 在⊙A 内C ．当a<1时，点B 在⊙A 外D ．当a>5时，点B 在⊙A 外【答案】B【解析】试题解析：由于圆心A 在数轴上的坐标为3，圆的半径为2，∴当d=r 时，⊙A 与数轴交于两点：1、5，故当a=1、5时点B 在⊙A 上；当d ＜r 即当1＜a ＜5时，点B 在⊙A 内；当d ＞r 即当a ＜1或a ＞5时，点B 在⊙A 外．由以上结论可知选项A 、C 、D 正确，选项B 错误．故选B ．点睛：若用d 、r 分别表示点到圆心的距离和圆的半径，则当d ＞r 时，点在圆外；当d=r 时，点在圆上；当d ＜r 时，点在圆内．8．如图，关于抛物线2(1)2y x =--，下列说法错误的是 （ ）A ．顶点坐标为(1，2-)B ．对称轴是直线x=lC ．开口方向向上D ．当x>1时，y 随x 的增大而减小【答案】D【分析】根据抛物线的解析式得出顶点坐标是（1，-2），对称轴是直线x=1，根据a=1＞0，得出开口向上，当x ＞1时，y 随x 的增大而增大，根据结论即可判断选项．【详解】解：∵抛物线y=（x-1）2-2，A 、因为顶点坐标是（1，-2），故说法正确；B 、因为对称轴是直线x=1，故说法正确；C 、因为a=1＞0，开口向上，故说法正确；D 、当x ＞1时，y 随x 的增大而增大，故说法错误．故选D ．9．如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=3，AB=5，则cosB 的值为（ ）A ．45B ．34C ．43D ．35【答案】B【详解】解：在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=3，AB=5，由勾股定理，得：BC=22AB AC -=2253-=1．cosB=BC AB =45， 故选B ．【点睛】本题考查锐角三角函数的定义．10．某十字路口的交通信号灯每分钟红灯亮30秒，绿灯亮25秒，黄灯亮5秒，当你抬头看信号灯时，是黄灯的概率为（ ）A ．112B ．512C ．16D ．12【答案】A【解析】随机事件A 的概率P （A ）＝事件A 可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数，据此用黄灯亮的时间除以三种灯亮的总时间，求出抬头看信号灯时，是黄灯的概率为多少．【详解】根据题意可知，每分钟内黄灯亮的时间为秒，每分钟内黄灯亮的概率为516012P ==，故抬头看是黄灯的概率为112. 故选A.【点睛】本题主要考查求随机事件概率的方法，熟悉掌握随机事件A 的概率公式是关键.11．如图，在正方形ABCD中，E为AB的中点，G，F分别为AD、BC边上的点，若AG=1，BF=2，∠GEF=90°，则GF的长为( )A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【解析】∵四边形ABCD是正方形，∴∠A=∠B=90°，∴∠AGE+∠AEG=90°，∠BFE+∠FEB=90°，∵∠GEF=90°，∴∠GEA+∠FEB=90°，∴∠AGE=∠FEB，∠AEG=∠EFB，∴△AEG∽△BFE，∴AE AGBF BE，又∵AE=BE，∴AE2=AG•BF=2，∴2，∴GF2=GE2+EF2=AG2+AE2+BE2+BF2=1+2+2+4=9，∴GF的长为3，故选B.【点睛】本题考查了相似三角形的性质的应用，利用勾股定理即可得解，解题的关键是证明△AEG∽△BFE．12．在一个不透明的盒子中有大小均匀的黄球与白球共12个，若从盒子中随机取出一个球，若取出的球是白球的概率是13，则盒子中白球的个数是（）.A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】B【分析】根据白、黄球共有的个数乘以白球的概率即可解答.【详解】由题意得：12×13=4，即白球的个数是4.故选：B.【点睛】本题考查概率公式：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A 的概率P （A ）=m n． 二、填空题（本题包括8个小题）13．如图，在矩形 ABCD 中，如果 AB ＝3，AD ＝4，EF 是对角线 BD 的垂直平分线，分别交 AD ，BC 于 点 EF ，则 ED 的长为____________________________．【答案】258【分析】连接EB ，构造直角三角形，设AE 为x ，则4DE BE x ==-，利用勾股定理得到有关x 的一元一次方程，即可求出ED 的长．【详解】连接EB ，∵EF 垂直平分BD ，∴ED=EB ，设AE x =，则4ED EB x ==-，在Rt △AEB 中，222AE AB BE +=，即：()22234x x +=-，解得：78x =． ∴725488ED EB ==-=， 故答案为：258． 【点睛】 本题考查了矩形的性质，线段的垂直平分线的性质和勾股定理，正确根据勾股定理列出方程是解题的关键． 14．菱形ABCD 的周长为20，且有一个内角为120°，则它的较短的对角线长为______．【答案】1【分析】根据菱形的性质可得菱形的边长为1，然后根据内角度数进而求出较短对角线的长．【详解】 如图所示：菱形ABCD 的周长为20，∴AB=20÷4=1， 又120ABC ∠=︒，四边形ABCD 是菱形，∴60A ∠=︒，AB=AD ，∴ABD △是等边三角形，∴ BD=AB=1．故答案为1．【点睛】本题主要考查菱形的性质及等边三角形，关键是熟练掌握菱形的性质．15．如图，△ABC 绕点B 逆时针方向旋转到△EBD 的位置，∠A=20°，∠C=15°，E 、B 、C 在同一直线上，则旋转角度是_______．【答案】35°【分析】根据旋转角度的概念可得∠ABE 为旋转角度，然后根据三角形外角的性质可进行求解．【详解】解：由题意得：∠ABE 为旋转角度，∵∠A=20°，∠C=15°，E 、B 、C 在同一直线上，∴∠ABE=∠A+∠C=35°；故答案为35°．【点睛】本题主要考查旋转及三角形外角的性质，熟练掌握旋转的性质及三角形外角的性质是解题的关键．16．将抛物线22y x =向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，所得到的抛物线解析式为______．【答案】22(2)3y x =-+【分析】根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可．【详解】解：将抛物线y=2x 2向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度后，得到的抛物线的解析式为22(2)3y x =-+，故答案为：22(2)3y x =-+【点睛】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减． 17．若点P(2a+3b ，﹣2)关于原点的对称点为Q(3，a ﹣2b)，则(3a+b)2020＝______.【答案】1【分析】直接利用关于原点对称点的性质得出3a+b ＝﹣1，进而得出答案.【详解】解：∵点P(2a+3b ，﹣2)关于原点的对称点为Q(3，a ﹣2b)，∴23322a b a b +=-⎧⎨-=⎩， 故3a+b ＝﹣1，则(3a+b)2020＝1.故答案为：1.【点睛】此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确记忆横纵坐标的符号关系是解题关键．18．一个几何体的三视图如图所示，根据图中数据，计算出该几何体的表面积是__________．【答案】16π【分析】根据三视图可得出该几何体为圆锥，圆锥的表面积=底面积+侧面积（侧面积将圆锥的侧面积不成曲线地展开，是一个扇形．），用字母表示就是S=πr²+πrl （其中l=母线，是圆锥的顶点到圆锥的底面圆周之间的距离）．【详解】解：由题意可知，该几何体是圆锥，其中底面半径为2，母线长为6，∴²42616S r rl πππππ=+=+⨯⨯=故答案为：16π．【点睛】本题考查的知识点是几何体的三视图以及圆锥的表面积公式，熟记圆锥的面积公式是解此题的关键．三、解答题（本题包括8个小题）19．将一元二次方程232=1x x --化为一般形式，并求出根的判别式的值．【答案】23210x x -+=，-8【分析】先移项，将方程化为一般式，然后算判别式的大小可得．【详解】解：将方程化为一般形式为:23210x x -+=∴a=3,b=－2,c=1∴ 根的判别式的值为224(2)4318b ac -=--⨯⨯=-．【点睛】本题考查一元二次方程的化简和求解判别式，注意此题的判别式为负数，即表示方程无实数根． 20．已知：如图，⊙O 的直径AB 与弦CD 相交于点E ，且E 为CD 中点，过点B 作CD 的平行线交弦AD 的延长线于点F .（1）求证：BF 是⊙O 的切线；（2）连结BC ，若⊙O 的半径为2，tan ∠BCD=34，求线段AD 的长． 【答案】（1）见解析；（2）165【分析】（1）由垂径定理可证AB ⊥CD ，由CD ∥BF ，得AB ⊥BF ，则BF 是⊙O 的切线；（2）连接BD ，根据同弧所对圆周角相等得到∠BCD =∠BAD ，再利用圆的性质得到∠ADB=90°，tan ∠BCD= tan ∠BAD=34，得到BD 与AD 的关系，再利用解直角三角形可以得到BD 、AD 与半径的关系，进一步求解即可得到答案.【详解】（1）证明：∵ ⊙O 的直径AB 与弦CD 相交于点E ，且E 为CD 中点∴ AB ⊥CD, ∠AED =90°∵ CD // BF∴ ∠ABF =∠AED =90°∴ AB ⊥BF∵ AB 是⊙O 的直径∴ BF 是⊙O 的切线（2）解：连接BD∵∠BCD、∠BAD是同弧所对圆周角∴∠BCD =∠BAD∵ AB是⊙O的直径∴∠ADB=90°∵ tan∠BCD= tan∠BAD=3 4∴34 BD AD=∴设BD=3x，AD=4x∴AB=5x∵⊙O的半径为2，AB=4∴5x=4，x=4 5∴AD=4x=16 5【点睛】本题考查了切线的判定与性质，垂径定理，圆周角定理，解直角三角形的知识．关键是利用圆周角定理将已知角进行转化，利用直径证明直角三角形．21．如图，反比例函数y＝kx（x＞0）与直线AB：122y x=-交于点C(232,)m+，点P是反比例函数图象上一点，过点P作x轴的垂线交直线AB于点Q，连接OP，OQ．（1）求反比例函数的解析式；（2）点P在反比例函数图象上运动，且点P在Q的上方，当△POQ面积最大时，求P点坐标．【答案】（1）y ＝4x ；（2）P （2，2） 【分析】（1）点C 在一次函数上得：m ＝()123+2-2=3-12，点C 在反比例函数上：3-1=232+，求出 k 即可．（2）动点P （m ，4m ），则点Q （m ，1m 2﹣2），PQ=4m -1m 2+2，则△POQ 面积=1m 2PQ ，利用-b 2a 公式求即可． 【详解】解：（1）将点C 的坐标代入一次函数表达式得：m ＝()123+2-2=3-12， 故点C ()232,3-1+，将点C 的坐标代入反比例函数表达式得：3-1=232+，解得k ＝4， 故反比例函数表达式为y ＝4x ； （2）设点P （m ，4m），则点Q （m ，1m 2﹣2）， 则△POQ 面积＝12PQ×x P ＝12（4m ﹣12m+2）•m ＝﹣14m 2+m+2， ∵﹣14＜0，故△POQ 面积有最大值，此时m ＝1-12-4⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭＝2， 故点P （2，2）．【点睛】本题考查反比例函数解析式，及面积最大值问题，关键是会利用一次函数求点C 坐标，利用动点P 表示Q ，求出面积函数，用对称轴公式即可解决问题．22．如图，ABO 与CDO 关于O 点中心对称，点E 、F 在线段AC 上，且AF=CE ．求证：FD=BE ．【答案】详见解析【分析】根据中心对称得出OB=OD ，OA=OC ，求出OF=OE ，根据SAS 推出△DOF ≌△BOE 即可．【详解】证明：∵△ABO 与△CDO 关于O 点中心对称，∴OB=OD ，OA=OC ．∵AF=CE ，∴OF=OE ．∵在△DOF 和△BOE 中，OB OD DOF BOE OF OE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△DOF ≌△BOE （SAS ）．∴FD=BE ．23．如图，在ABC ∆中，90BAC ∠=，AB AC =，点,D E 均在边BC 上，且45DAE ∠=．（1）将ABD ∆绕A 点逆时针旋转90，可使AB 与AC 重合，画出旋转后的图形ACG ∆，在原图中补出旋转后的图形．（2）求DAG ∠和ECG ∠的度数．【答案】（1）见解析；（2）=90DAG ∠︒，=90ECG ∠︒.【分析】（1）以C 为圆心BD 为半径作弧，与以A 为圆心AD 为半径作弧的交点即为G 点，然后连线即可得解；（2）根据旋转的性质可得∠CAG=∠BAD ，∠ACG=∠ABD ，然后根据题意即可得各角的大小.【详解】（1）△ACG 如图：（2）∵90BAC ∠=，45DAE ∠=，∴∠B+∠ACB=90°，∠BAD+∠CAE=45°，又∵ACG ∆为ABD ∆绕A 点逆时针旋转90所得，∴∠CAG=∠BAD ，∠ACG=∠ABD ，∴=90DAG DAE EAC GAC ∠=++︒∠∠∠，==90ECG ECA ACG ∠+︒∠∠.【点睛】本题主要考查画旋转图形，旋转的性质，解此题的关键在于熟练掌握其知识点.24．某校七年级一班和二班各派出10名学生参加一分钟跳绳比赛，成绩如下表：（1）两个班级跳绳比赛成绩的众数、中位数、平均数、方差如下表：表中数据a ＝ ，b ＝ ，c ＝ ．（2）请用所学的统计知识，从两个角度比较两个班跳绳比赛的成绩．【答案】解：（1）a ＝135，b ＝134.5，c ＝1.6；（2）①从众数（或中位数）来看，一班成绩比二班要高，所以一班的成绩好于二班；②一班和二班的平均成绩相同，说明他们的水平相当；③一班成绩的方差小于二班，说明一班成绩比二班稳定．【分析】（1）根据表中数据和中位数的定义、平均数和方差公式进行计算可求出表中数据；（2）从不同角度评价，标准不同，会得到不同的结果．【详解】解：（1）由表可知，一班135出现次数最多，为5次，故众数为135；由于表中数据为从小到大依次排列，所以处于中间位置的数为134和135，中位数为1341352+=134.5； 根据方差公式:s 2=()()()()()2222211321351341355135135213613513713510⎡⎤-+-+-+-+-⎣⎦=1.6， ∴a ＝135，b ＝134.5，c ＝1.6；（2）①从众数看，一班一分钟跳绳135的人数最多，二班一分钟跳绳134的人数最多；所以一班的成绩好于二班；②从中位数看，一班一分钟跳绳135以上的人数比二班多；③从方差看，S 2一＜S 2二；一班成绩波动小，比较稳定；④从最好成绩看，二班速度最快的选手比一班多一人；⑤一班和二班的平均成绩相同，说明他们的水平相当.【点睛】此题是一道实际问题，不仅考查了统计平均数、中位数、众数和方差的定义，更考查了同学们应用知识解决问题的发散思维能力．25．某商场以每件20元购进一批衬衫，若以每件40元出售，则每天可售出60件，经调查发现，如果每件衬衫每涨价1元，商场平均每天可少售出2件，若设每件衬衫涨价x 元，回答下列问题：（1）该商场每天售出衬衫 件（用含x 的代数式表示）；（2）求x 的值为多少时，商场平均每天获利1050元？（3）该商场平均每天获利 （填“能”或“不能”）达到1250元？【答案】（1）602x -；（2）当15x =时，商场平均每天获利1050元；（3）能【分析】(1)根据题意写出答案即可.(2)根据题意列出方程,解出答案即可.(3)令利润代数式为1250,解出即可判断.【详解】（1）根据题意：每天可售出60件，如果每件衬衫每涨价1元，商场平均每天可少售出2件，则商场每天售出衬衫：602x -（2）(4020)(602)1050x x +--=解得115x =，25x =-（不符合题意，舍去）.答：当15x =时，商场平均每天获利1050元.（3）根据题意可得：(4020)(602)1250x x +--=解得：x=5所以，商场平均每天获利能达到1250元【点睛】本题考查一元二次方程的应用,关键在于理解题意找出等量关系.26．放寒假，小明的爸爸把油箱注满油后准备驾驶汽车到距家300km 的学校接小明，在接到小明后立即按原路返回，已知小明爸爸汽车油箱的容积为70L ，请回答下列问题：（1）写出油箱注满油后，汽车能够行使的总路程()s km 与平均耗油量(/)x L km 之间的函数关系式； （2）小明的爸爸以平均每千米耗油0.1L 的速度驾驶汽车到达学校，在返回时由于下雨，小明的爸爸降低了车速，此时每千米的耗油量增加了一倍，如果小明的爸爸始终以此速度行使，油箱里的油是否够回到家？如果不够用，请通过计算说明至少还需加多少油？【答案】（1）70s x=；（2）不够，至少要加油20L 【分析】（1）根据总路程()s km ×平均耗油量(/)x L km =油箱总油量求解即可；（2）先计算去时所用油量，再计算返回时用油量，与油箱中剩余油量作比较即可得出答案．【详解】解：（1）由题意可得出总路程()s km 与平均耗油量(/)x L km 的函数关系式为：70s x=； （2）小明的爸爸始终以此速度行使，油箱里的油不能够回到家小明爸爸去时用油量是：3000.130⨯=（L ）油箱剩下的油量是：703040-=（L ）返回每千米用油量是：0.120.2⨯=（/L km ）返回时用油量是：3000.260⨯=（L ）40L >.所以，油箱里的油不能够回到家，至少要加油：604020L -=（）【点睛】本题考查的知识点是求反比例函数的解析式，比较基础，易于掌握．27．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC 的顶点坐标分别为O （0，0），A （6，0），B （4，3），C （0，3）．动点P 从点O 出发，以每秒32个单位长度的速度沿边OA 向终点A 运动；动点Q 从点B 同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿边BC 向终点C 运动．设运动的时间为t 秒，PQ 2＝y ．（1）直接写出y 关于t 的函数解析式及t 的取值范围： ；（2）当PQ ＝10时，求t 的值；（3）连接OB 交PQ 于点D ，若双曲线y k x=（k≠0）经过点D ，问k 的值是否变化？若不变化，请求出k 的值；若变化，请说明理由．【答案】（1）22520254y t t =-+（0≤t ≤4）；（2）t 1＝2，t 2＝65；（2）经过点D 的双曲线k y x =（k ≠0）的k 值不变，为10825． 【分析】（1）过点P 作PE ⊥BC 于点E ，由点P ，Q 的出发点、速度及方向可找出当运动时间为t 秒时点P ，Q 的坐标，进而可得出PE ，EQ 的长，再利用勾股定理即可求出y 关于t 的函数解析式（由时间=路程÷速度可得出t 的取值范围）；（2）将10代入（1）的结论中可得出关于t 的一元二次方程，解之即可得出结论；（2）连接OB ，交PQ 于点D ，过点D 作DF ⊥OA 于点F ，求得点D 的坐标，再利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出k 值，此题得解．【详解】解：（1）过点P 作PE ⊥BC 于点E ，如图1所示．当运动时间为t秒时（0≤t≤4）时，点P的坐标为（32t，0），点Q的坐标为（4-t，2），∴PE=2，EQ=|4-t-32t|=|4-52t|，∴PQ2=PE2+EQ2=22+|4-52t|2=254t2-20t+21，∴y关于t的函数解析式及t的取值范围：y＝254t2−20t+21(0≤t≤4)；故答案为：y＝254t2−20t+21(0≤t≤4)．（2）当PQ＝10时，254t2−20t+21＝(10)2整理，得1t2-16t+12=0，解得：t1=2，t2＝65．（2）经过点D的双曲线y＝kx(k≠0)的k值不变．连接OB，交PQ于点D，过点D作DF⊥OA于点F，如图2所示．∵OC=2，BC=4，∴OB22OC BC1．∵BQ∥OP，∴△BDQ∽△ODP，∴2332BD BQ ttOD OP＝＝＝，∴OD=2．∵CB∥OA，∴∠DOF=∠OBC．在Rt△OBC中，sin∠OBC＝35OCOB＝，cos∠OBC＝BCOB＝45，∴OF＝OD•cos∠OBC＝2×45＝125，DF＝OD•sin∠OBC＝2×35＝95，∴点D的坐标为(125，95)，∴经过点D的双曲线y＝kx(k≠0)的k值为125×95＝10825．．【点睛】此题考查勾股定理、解直角三角形、解一元二次方程、相似三角形的判定与性质、平行线的性质以及反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是：（1）利用勾股定理，找出y关于t的函数解析式；（2）通过解一元二次方程，求出当t的值；（2）利用相似三角形的性质及解直角三角形，找出点D的坐标．九年级上学期期末数学试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．下列结论中，错误的有：（）①所有的菱形都相似；②放大镜下的图形与原图形不一定相似；③等边三角形都相似；④有一个角为110度的两个等腰三角形相似；⑤所有的矩形不一定相似．A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B【分析】根据相似多边形的定义判断①⑤，根据相似图形的定义判断②，根据相似三角形的判定判断③④.【详解】相似多边形对应边成比例，对应角相等，菱形之间的对应角不一定相等，故①错误；放大镜下的图形只是大小发生了变化，形状不变，所以一定相似，②错误；等边三角形的角都是60°，一定相似，③正确；钝角只能是等腰三角形的顶角，则底角只能是35°，所以两个等腰三角形相似，④正确；矩形之间的对应角相等，但是对应边不一定成比例，故⑤正确.有2个错误，故选B.【点睛】本题考查相似图形的判定，注意相似三角形与相似多边形判定的区别.2．对于一个函数，自变量x取a时，函数值y也等于a，我们称a为这个函数的不动点.如果二次函数y ＝x2+2x+c有两个相异的不动点x1、x2，且x1＜1＜x2，则c的取值范围是( )A．c＜﹣3 B．c＜﹣2 C．c＜14D．c＜1【答案】B【分析】由题意知二次函数y＝x2+2x+c有两个相异的不动点x1、x2，由此可知方程x2+x+c＝0有两个不相等的实数根，即△=1-4c>0，再由题意可得函数y= x2+x+c＝0在x=1时，函数值小于0，即1+1+c<0，由此可得关于c的不等式组，解不等式组即可求得答案.【详解】由题意知二次函数y＝x2+2x+c有两个相异的不动点x1、x2，所以x1、x2是方程x2+2x+c＝x的两个不相等的实数根，整理，得：x2+x+c＝0，所以△=1-4c>0，又x2+x+c＝0的两个不相等实数根为x1、x2，x1＜1＜x2，所以函数y= x2+x+c＝0在x=1时，函数值小于0，即1+1+c<0，综上则140 110cc-⎧⎨++⎩＞＜，解得c＜﹣2，故选B.【点睛】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，正确理解题中的定义，熟练掌握二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键.3．抛物线y=x 2+2x-2最低点坐标是（ ）A ．（2，-2）B ．（1，-2）C ．（1，-3）D ．（-1，-3）【答案】D【分析】利用配方法把抛物线的一般式转化为顶点式，再写出顶点坐标即可．【详解】∵()22222211213y x x x x x =+-=++--=+-，且10a =>， ∴最低点（顶点）坐标是()13--，． 故选：D ．【点睛】此题考查利用顶点式求函数的顶点坐标，注意根据函数的特点灵活运用适当的方法解决问题． 4．已知直角三角形中30°角所对的直角边为2cm ，则斜边的长为（ ）A ．2cmB ．4cmC ．6cmD ．8cm【答案】B【详解】由题意可知，在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，所以斜边=2×2=4cm. 考点：含30°的直角三角形的性质.5．若点()1,6A x -，2(,2)B x -，()3,2C x 在反比例函数21m y x +=（m 为常数）的图象上，则1x ，2x ，3x 的大小关系是（ ）A ．123x x x <<B ．321x x x <<C ．231x x x <<D ．213x x x <<【答案】D【分析】根据反比例函数的性质，可以判断出x 1，x 2，x 3的大小关系，本题得以解决． 【详解】解：∵反比例函数21m y x+=（m 为常数），m 2+1＞0， ∴在每个象限内，y 随x 的增大而减小，∵点A （x 1，-6），B （x 2，-2），C （x 3，2）在反比例函数21m y x+=（m 为常数）的图象上，∵6202-<-<<， ∴x 2＜x 1＜x 3，故选：D.【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答． 6．13的倒数是（ ） A ．3 B ．13 C ．13- D ．3-【答案】A 【分析】根据乘积为1的两个数互为倒数进行解答即可．【详解】解：∵13×1=1， ∴13的倒数是1． 故选A ．【点睛】本题考查了倒数的概念，熟记倒数的概念是解答此题的关键．7．在同一平面直角坐标系中，函数y=x ﹣1与函数1y x=的图象可能是 A ． B ． C ． D ．【答案】C【解析】试题分析：一次函数y=kx+b 的图象有四种情况：①当k 0>，b 0>时，函数y=kx+b 的图象经过第一、二、三象限；②当k 0>，b 0<时，函数y=kx+b 的图象经过第一、三、四象限；③当k 0<，b 0>时，函数y=kx+b 的图象经过第一、二、四象限；④当k 0<，b 0<时，函数y=kx+b 的图象经过第二、三、四象限．因此，∵函数y=x ﹣1的k 0>，b 0<，∴它的图象经过第一、三、四象限．根据反比例函数()k y k 0x=≠的性质：当k 0>时，图象分别位于第一、三象限；当k 0<时，图象分别位于第二、四象限．∵反比例函数1y x=的系数1>0，∴图象两个分支分别位于第一、三象限． 综上所述，符合上述条件的选项是C ．故选C ．8．下列美丽的壮锦图案是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】根据中心对称图形的定义逐项进行判断即可得.【详解】A 、是中心对称图形，故此选项正确；B 、不是中心对称图形，故此选项错误；C 、不是中心对称图形，故此选项错误；D 、不是中心对称图形，故此选项错误，故选A ．【点睛】本题主要考查了中心对称图形，熟练掌握中心对称图形的定义是解题的关键；把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形.9．关于x 的一元二次方程x 2+bx ﹣10＝0的一个根为2，则b 的值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．7【答案】C【解析】根据一元二次方程的解的定义，把x=2代入方程得到关于b 的一次方程，然后解一次方程即可．【详解】解：把x=2代入程x 2+bx ﹣10=0得4+2b ﹣10=0解得b=1．故选C ．点睛：本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 10．已知0x =是方程22210x x a ++-=的一个解，则a 的值是（ ）A ．±1B ．0C ．1D ．-1 【答案】A【分析】利用一元二次方程解得定义，将0x =代入22210x x a ++-=得到210a -=，然后解关于a 的方程.【详解】解：将0x =代入22210x x a ++-=得到210a -=，解得1a =±故选A【点睛】本题考查了一元二次方程的解.11．关于x 的一元二次方程x 2+mx ﹣1＝0的根的情况为（ ）A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．没有实数根D ．不能确定 【答案】A【解析】计算出方程的判别式为△＝m 2+4，可知其大于0，可判断出方程根的情况．【详解】方程x 2+mx ﹣1＝0的判别式为△＝m 2+4＞0，所以该方程有两个不相等的实数根，【点睛】此题主要考查根的判别式，解题的关键是求出方程根的判别式进行判断.12．下列方程中，是一元二次方程的是( )A ．230x -=B ．220x y -=C ．213x x +=-D ．20x = 【答案】D【解析】只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程．一元二次方程有三个特点：（1）只含有一个未知数；（2）未知数的最高次数是2；（3）是整式方程．【详解】解：A 、是一元一次方程，故A 不符合题意；B 、是二元二次方程，故B 不符合题意；C 、是分式方程，故C 不符合题意；D 、是一元二次方程，故D 符合题意；故选择：D.【点睛】此题主要考查了一元二次方程的定义，要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理．如果能整理为ax 2+bx+c=0（a ≠0）的形式，则这个方程就为一元二次方程．二、填空题（本题包括8个小题）13．若点（p ，2）与（﹣3，q ）关于原点对称，则p+q ＝__．【答案】1【分析】直接利用关于原点对称点的性质得出p ，q 的值进而得出答案．【详解】解：∵点（p ，2）与（﹣3，q ）关于原点对称，∴p ＝3，q ＝﹣2，∴p+q ＝3﹣2＝1．故答案为：1．【点睛】此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确掌握关于原点对称点的坐标之间的关系是解题关键． 14．已知扇形的半径为6，面积是12π，则这个扇形所对的弧长是_____．【答案】4π．【分析】根据扇形的弧长公式解答即可得解．【详解】设扇形弧长为l ，面积为s ，半径为r ． ∵1161222S lr l π==⨯⨯=， ∴l=4π．故答案为：4π．本题考查了扇形面积的计算，弧长的计算，熟悉扇形的弧长公式是解题的关键，属于基础题． 15．如图，∠C=∠E=90°，AC=3，BC=4，AE=2，则AD=_________ ．【答案】103. 【解析】试题分析：由∠C=∠E=90°，∠BAC=∠DAE 可得△ABC ∽△ADE ，根据相似三角形的对应边的比相等就可求出AD 的长．试题解析：∵∠C=∠E=90°，∠BAC=∠DAE∴△ABC ∽△ADE∴AC ：AE=BC ：DE∴DE=83∴2210=3AD AE DE =+ 考点: 1.相似三角形的判定与性质；2.勾股定理.16．抛物线y ＝ax 2+bx +c 的部分图象如图所示，则当y ＜0时，x 的取值范围是_____．【答案】x ＜﹣1或x ＞1．【分析】利用二次函数的对称性得到抛物线与x 轴的另一个交点坐标为（1，0），然后写出抛物线在x 轴下方所对应的自变量的范围即可．【详解】∵抛物线的对称轴为直线1x =，而抛物线与x 轴的一个交点坐标为（-1，0），∴抛物线与x 轴的另一个交点坐标为（1，0），∴当0y <时，x 的取值范围为1x <-或3x >．故答案为：1x <-或3x >．【点睛】本题考查抛物线与x 轴的交点、二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．。

度第一学期九年级期末考试数学试题本试卷共8大题，计23小题，满分150分，考试时间120分钟．一．选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A、B、C、D四个选项，其中只有一个是正确的，请把正确选项写在题后的表格中，不选、错选或多选的，一律得0分．1．若=，则的值为：A．1 B．C．D．2．在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，下列等式中不一定成立的是：A．b=atanB B．a=ccosB C．D．a=bcosA3．如图，⊙O是△ABC的外接圆，连接OA、OB，∠OBA=50°，则∠C的度数为：第3题图第4题图第5题图A．30°B．40°C．50°D．80°4．如图，点P在△ABC的边AC上，要判断△ABP∽△ACB，添加一个条件，不正确的是：A．∠ABP=∠C B．∠APB=∠A BC C．=D．=5．如图，先锋村准备在坡角为α的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为5米，那么这两树在坡面上的距离AB为：A．5cosαB．C．5sinαD．6．某同学在用描点法画二次函数y=ax2+bx+c的图象时，列出了下面的表格：x …﹣2 ﹣1 0 1 2 …y …﹣11 ﹣2 1 ﹣2 ﹣5 …A．﹣11 B．﹣2 C．1 D．﹣57．如图，已知⊙O的半径为5，点O到弦AB的距离为3，则⊙O上到弦AB所在直线的距离为2的点有：A．1个B．2个C．3个D．4个8．若等腰直角三角形的外接圆半径的长为2，则其内切圆半径的长为：A．B．2﹣2 C．2﹣D．﹣2第7题图第9题图第10题图9．如图，在▱ABCD中，E为CD上一点，连接AE、BD，且AE、BD交于点F，若EF：AF=2：5，则S△DEF：S四边形EFBC为：A．2：5 B．4：25 C．4：31 D．4：3510．如图，等腰Rt△ABC（∠ACB=90°）的直角边与正方形DEFG的边长均为2，且AC与DE在同一直线上，开始时点C与点D重合，让△ABC沿这条直线向右平移，直到点A与点E重合为止．设CD的长为x，△ABC与正方形DEFG重合部分（图中阴影部分）的面积为y，则y与x之间的函数关系的图象大致是：A B C D题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10答案二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）11．抛物线y=x2﹣4x+m与x轴的一个交点的坐标为（1，0），则此抛物线与x轴的另一个交点的坐标是．12．如图，点A是反比例函数y=图象上的一个动点，过点A作AB⊥x轴，AC⊥y轴，垂足点分别为B、C，矩形ABOC的面积为4，则k=．第12题图第14题图13．已知△ABC的边BC=4cm，⊙O是其外接圆，且半径也为4cm，则∠A的度数是．14．如图，AB是⊙O的直径，P为AB延长线上的一个动点，过点P作⊙O的切线，切点为C，连接AC，BC，作∠APC的平分线交AC于点D．下列结论正确的是（写出所有正确结论的序号）①△CPD∽△DPA；②若∠A=30°，则PC=BC；③若∠CPA=30°，则PB=OB；④无论点P在AB延长线上的位置如何变化，∠CDP为定值．三．（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）15．计算：4sin60°+tan45°﹣．16．已知二次函数y=ax2+4x+2的图象经过点A（3，﹣4）．（1）求此函数图象抛物线的顶点坐标；（2）直接写出函数y随自变量增大而减小的x的取值范围．四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）17．如图，在6×4的正方形方格中，△ABC的顶点A、B、C在单位正方形的格点上．请按要求画图：（1）以点B为位似中心，在方格内将△ABC放大为原来的2倍，得到△EBD，且点D、E都在单位正方形的顶点上．2，点F、G、H都在单位正方形的顶（2）在方格中作一个△FGH，使△FGH∽△ABC，且相似比为1:点上。

合肥市瑶海区2019 届九年级上期末数学试卷含答案分析一、选择题（本大题共10 小题，每题 4 分，满分 40 分）以下每题都给出了A，B，C，D 四个选项，此中只有一个是正确的，请把正确答案的代号填在表中．．抛物线2+bx﹣ 3 经过点（ 1，1），则代数式 a+b 的值为（）1y=axA．2 B．3 C．4D．62．在 Rt△ABC中，∠ C=90°，AB=5，AC=3．以下选项中，正确的选项是（）A．sinA=B．cosA=C．tanA=D．cotA=3．若 ab=cd，且 abcd≠0，则以下式子正确的选项是（）A．a：c=b： d B．d：c=b：aC．a：b=c：d D．a：d=c：b4．对于反比率函数，以下说法中不正确的选项是（）A．点（﹣ 2，﹣ 1）在它的图象上B．它的图象在第一、三象限C．y 随 x 的增大而减小D．当 x＜ 0 时， y 随 x 的增大而减小5．如图，△ABC 中，点D、 E 分别是AB、 AC 的中点，则以下结论：①BC=2DE；②△ ADE∽△ ABC；③．此中正确的有（）A．3 个B．2 个C．1 个D．0 个6．AB 为⊙ O 的直径，点C、D 在⊙ O 上．若∠ ABD=42°，则∠ BCD 的度数是（）A．122°B．132°C．128°D．138°7．已知点 C 在线段 AB 上，且点 C 是线段 AB 的黄金切割点（ AC＞BC），则下列结论正确的选项是（）A．AB2=AC?BC B．BC2=AC?BC C．AC=BC D．BC=AB 8．如图，在△ ABC 中， AB=AC=13，BC=10，点 D 为 BC 的中点， DE⊥AB 于点E，则 tan∠BDE的值等于（）A．B．C．D．9．如图，已知点 P 是 Rt△ABC的斜边 BC 上随意一点，若过点 P 作直线 PD 与直角边 AB 或 AC 订交于点 D，截得的小三角形与△ ABC相像，那么 D 点的地点最多有（）A．2 处B．3 处C．4 处D．5 处10．如图， Rt△ABC中， AC=BC=2，正方形 CDEF的极点 D、F 分别在 AC、 BC边上，设 CD的长度为 x，△ ABC与正方形 CDEF重叠部分的面积为 y，则以下图象中能表示 y 与 x 之间的函数关系的是（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共 4 小题，每题 5 分，满分 20 分）11．计算： sin60 ° ?cos30﹣tan45° °=．12．如图，点 A、 B、 C 在⊙ O 上，∠ AOC=60°，则∠ ABC的度数是．13．有甲、乙两张纸条，甲纸条的宽度是乙纸条宽的 2 倍，如图，将这两张纸条交错重叠地放在一同，重合部分为四边形ABCD．则AB 与 BC 的数目关系为．14．如图，在正方形ABCD中，△ BPC 是等边三角形， BP、 CP 的延伸线分别交AD 于点 E、F，连结 BD、DP， BD 与 CF订交于点 H．给出以下结论：①△ ABE≌△ DCF；②= ；③ DP2；④=．=PH?PB此中正确的选项是．（写出全部正确结论的序号）三、（本大题共 2 小题，每题 8 分，满分 16 分）15．（ 8 分）抛物线 y=﹣ 2x2+8x﹣ 6．（1）用配方法求极点坐标，对称轴；（2） x 取何值时， y 随 x 的增大而减小？16．（ 8 分）已知如图， AB 是⊙ O 的直径，弦 CD⊥ AB，垂足为 E，连结AC．若∠ A=22.5 °，CD=8cm，求⊙ O 的半径．四、（本大题共 2 小题，每题 8 分，满分 16 分）17．（ 8 分）如图，△ ABC 的极点坐标分别为A（1，3）、 B（4，2）、 C（ 2，1）．（ 1）作出与△ ABC对于 x 轴对称的△ A 1B1C1，并写出点 A1的坐标；（ 2）以原点O 为位似中心，在原点的另一侧画出△A2B2C2，使=，并写出点 A2的坐标．18．（ 8 分）如下图，我市某中学课外活动小组的同学利用所学知识去丈量釜溪河沙湾段的宽度．小宇同学在 A 处观察对岸 C 点，测得∠ CAD=45°，小英同学在距 A 处 50 米远的 B 处测得∠ CBD=30°，请你依据这些数据算出河宽．（精准到 0.01 米，参照数据≈，≈）五、（本大题共 2 小题，每题 10 分，满分 20 分）19．（ 10 分）如图， D 是 AC 上一点， BE∥AC，AE 分别交 BD、BC 于点 F、G．若∠ 1=∠ 2，线段 BF、FG、FE之间有如何的关系？请说明原因．20．（ 10 分）杂技团进行杂技表演，演员从跷跷板右端 A 处弹跳到人梯顶端椅子 B 处，其身体（当作一点）的路线是抛物线y=x2+3x+1 的一部分，如图所示．（1）求演员弹跳离地面的最大高度；（2）已知人梯高 BC=3.4 米，在一次表演中，人梯到起跳点 A 的水平距离是 4米，问此次表演能否成功？请说明原因．六、（本题满分12 分）21．（ 12 分）如图，点M 是△ ABC 内一点，过点M 分别作直线平行于△ ABC 的各边，所形成的三个小三角形△ 1 、△2、△3（图中暗影部分）的面积分别是1、4、25．则△ ABC的面积是．七、（本题满分12 分）22．（ 12 分）某商场购进一批单价为16 元的日用品，销售一段时间后，为了获取更多的收益，商铺决定提升价钱．经检查发现，若按每件20 元的价钱销售时，每个月能卖出 360 件，在此基础上，若涨价 5 元，则每个月销售量将减少 150 件，若每个月销售量 y（件）与价钱 x（元 / 件）知足关系式 y=kx+b．（1）求 k，b 的值；（2）问日用品单价应定为多少元？该商场每个月获取收益最大，最大收益是多少？八、（本题满分14 分）23．（ 14 分）如图，在□ ABCD，E 为边 BC 的中点， F 为线段 AE 上一点，联络 BF 并延伸交边 AD 于点 G，过点 G 作 AE 的平行线，交射线 DC 于点 H．设==x．（1）当 x=1 时，求 AG： AB 的值；（2）设=y，求 y 对于 x 的函数关系式；（3）当 DH=3HC时，求 x 的值．-学年九年级（上）期末数学试卷参照答案与试题分析一、选择题（本大题共10 小题，每题 4 分，满分 40 分）以下每题都给出了A，B，C，D 四个选项，此中只有一个是正确的，请把正确答案的代号填在表中．2bx﹣ 3 经过点（ 1，1），则代数式 a b 的值为（）1．抛物线 y=ax ++ A．2 B．3 C．4 D．6【考点】二次函数图象上点的坐标特点．【剖析】把点（1，1）代入函数分析式即可求出 a b 的值．+【解答】解：∵二次函数y=ax2 bx﹣3（a≠0）的图象经过点（ 1，1），+∴a+b﹣3=1，∴a+b=4，应选： C．【评论】本题考察了二次函数图象上点的坐标特点，整体思想的利用是解题的重点．2．在 Rt△ABC中，∠ C=90°，AB=5，AC=3．以下选项中，正确的选项是（）A．sinA=B．cosA=C．tanA=D．cotA=【考点】锐角三角函数的定义．【剖析】第一在直角△ ABC中利用勾股定理求得 BC 的长，而后利用三角函数的定义进行判断．【解答】解：在直角△ ABC中 BC===4．A、sinA==，选项错误；B、cosA==，选项正确；C、tanA= =，选项错误；D、cotA= =，选项错误．应选 B．【评论】本题考察锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．3．若 ab=cd，且 abcd≠0，则以下式子正确的选项是（）A．a：c=b： d B．d：c=b：aC．a：b=c：d D．a：d=c：b【考点】比率的性质．【剖析】依据比率的性质，可得答案．【解答】解： A、a：c=b：d，得 ad=bc，故 A 错误；B、d：c=b： a，得 bc=ad，故 B 错误；C、a：b=c：d，得 ac=bd，故 C 错误；D、a：d=c： b，得 ab=cd，故 D 正确；应选： D．【评论】本题考察了比率的性质，比率的性质是：两外项的乘积等于两内项的乘积．4．对于反比率函数，以下说法中不正确的选项是（）A．点（﹣ 2，﹣ 1）在它的图象上B．它的图象在第一、三象限C．y 随 x 的增大而减小D．当 x＜ 0 时， y 随 x 的增大而减小【考点】反比率函数的性质．【剖析】依据反比率函数的性质用清除法解答，当系数k＞0 时，函数图象在第一、三象限，当x＞ 0 或 x＜0 时， y 随 x 的增大而减小，据此能够获取答案．【解答】解： A、把点（﹣ 2，﹣ 1）代入反比率函数y=得﹣1=﹣1，本选项正确；B、∵ k=2＞0，∴图象在第一、三象限，本选项正确；C、当 x＞ 0 时， y 随 x 的增大而减小，本选项不正确；D、当 x＜0 时， y 随 x 的增大而减小，本选项正确．应选 C．【评论】本题考察了反比率函数y=（k≠ 0）的性质：①当k＞ 0 时，图象分别位于第一、三象限；当k＜0 时，图象分别位于第二、四象限．②当k＞0 时，在同一个象限内， y 随 x 的增大而减小；当 k＜0 时，在同一个象限， y 随 x 的增大而增大．5．如图，△ABC 中，点D、 E 分别是AB、 AC 的中点，则以下结论：①BC=2DE；②△ ADE∽△ ABC；③．此中正确的有（）A．3 个B．2 个C．1 个D．0 个【考点】三角形中位线定理；相像三角形的判断与性质．【剖析】若 D、E 是 AB、AC 的中点，则DE 是△ ABC的中位线，可依据三角形中位线定理得出的等量条件进行判断．【解答】解：∵ D、 E 是 AB、AC的中点，∴DE是△ ABC的中位线；∴DE∥BC，BC=2DE；（故①正确）∴△ ADE∽△ ABC；（故②正确）∴，即；（故③正确）所以本题的三个结论都正确，应选A．【评论】本题主要考察了三角形中位线定理以及相像三角形的判断和性质．6．AB 为⊙ O 的直径，点C、D 在⊙ O 上．若∠ ABD=42°，则∠ BCD 的度数是（）A．122°B．132°C．128°D．138°【考点】圆周角定理．【剖析】连结 AD，依据圆周角定理可得∠ADB=90°，而后可得∠ DAB=48°，再依据圆内接四边形对角互补可得答案．【解答】解：连结 AD，∵AB为⊙O 的直径，∴∠ ADB=90°，∵∠ ABD=42°，∴∠ DAB=48°，∴∠ BCD=180°﹣ 48°=132°，应选： B．【评论】本题主要考察了圆周角定理和圆内接四边形的性质，重点是掌握半圆（或直径）所对的圆周角是直角．7．已知点 C 在线段 AB 上，且点 C 是线段 AB 的黄金切割点（ AC＞BC），则下列结论正确的选项是（）A．AB2=AC?BC B．BC2=AC?BC C．AC=BC D．BC=AB 【考点】黄金切割．【剖析】依据黄金切割的定义得出=，从而判断各选项．【解答】解：∵点 C 是线段 AB 的黄金切割点且AC＞BC，∴=，即AC2=BC?AB，故A、B错误；∴ AC=AB，故 C 错误；BC=AB，故 D 正确；应选： D．【评论】本题主要考察黄金切割，掌握黄金切割的定义和性质是解题的重点．8．如图，在△ ABC 中， AB=AC=13，BC=10，点 D 为 BC 的中点， DE⊥AB 于点E，则 tan∠BDE的值等于（）A．B．C．D．【考点】解直角三角形；等腰三角形的性质；勾股定理．【剖析】连结 AD，由△ ABC 中， AB=AC=13，BC=10，D 为 BC 中点，利用等腰三角形三线合一的性质，可证得AD⊥BC，再利用勾股定理，求得AD 的长，那么在直角△ ABD 中依据三角函数的定义求出 tan∠BAD，而后依据同角的余角相等得出∠ BDE=∠ BAD，于是 tan∠BDE=tan∠BAD．【解答】解：连结 AD，∵△ ABC中， AB=AC=13，BC=10， D 为 BC中点，∴AD⊥BC，BD= BC=5，∴ AD==12，∴tan∠ BAD= = ．∵AD⊥BC，DE⊥AB，∴∠ BDE+∠ADE=90°，∠ BAD+∠ ADE=90°，∴∠ BDE=∠BAD，∴tan∠ BDE=tan∠ BAD= ．应选 C．【评论】本题考察认识直角三角形、等腰三角形的性质、勾股定理、锐角三角函数的定义以及余角的性质．本题难度适中，解题的重点是正确作出协助线，注意数形联合思想的应用．9．如图，已知点 P 是 Rt△ABC的斜边 BC 上随意一点，若过点 P 作直线 PD 与直角边 AB 或 AC 订交于点 D，截得的小三角形与△ ABC相像，那么 D 点的地点最多有（）A．2 处B．3 处C．4 处D．5 处【考点】相像三角形的判断．【剖析】过点 P 作直线 PD 与直角边 AB 或 AC 订交于点 D，截得的三角形与原三角形有一个公共角，只要作一个直角即可．【解答】解：∵截得的小三角形与△ABC相像，∴过 P 作 AC 的垂线，作 AB 的垂线，作 BC 的垂线，所截得的三角形知足题意，则D 点的地点最多有 3处．应选 B．【评论】本题考察了相像三角形的判断，娴熟掌握相像三角形的判断方法是解本题的重点．10．如图， Rt△ABC中， AC=BC=2，正方形 CDEF的极点 D、F 分别在 AC、 BC边上，设 CD的长度为 x，△ ABC与正方形 CDEF重叠部分的面积为 y，则以下图象中能表示 y 与 x 之间的函数关系的是（）A．B．C．D．【考点】动点问题的函数图象；等腰三角形的性质．【剖析】分类议论：当0＜x≤ 1 时，依据正方形的面积公式获取y=x2；当 1＜x ≤2 时， ED交 AB 于 M， EF交 AB 于 N，利用重叠的面积等于正方形的面积减去等腰直角三角形 MNE 的面积获取 y=x2﹣2（x﹣1）2，配方获取 y=﹣（ x﹣ 2）2+2，而后依据二次函数的性质对各选项进行判断．【解答】解：当 0＜ x≤ 1 时， y=x2，当1＜x≤ 2 时， ED 交 AB 于 M ， EF交 AB 于 N，如图，CD=x，则 AD=2﹣x，∵Rt△ABC中， AC=BC=2，∴△ADM 为等腰直角三角形，∴ DM=2﹣x，∴ EM=x﹣（ 2﹣x）=2x﹣2，∴ S△ENM= （ 2x﹣2）2=2（x﹣1）2，∴ y=x2﹣2（x﹣1）2=﹣x2+4x﹣ 2=﹣（ x﹣2）2+2，∴ y=，应选： A．【评论】本题考察了动点问题的函数图象：经过看图获守信息，不单能够解决生活中的实质问题，还能够提升剖析问题、解决问题的能力．用图象解决问题时，要理清图象的含义即会识图．也考察了等腰直角三角形的性质．二、填空题（本大题共 4 小题，每题 5 分，满分 20 分）11．计算： sin60 ° ?cos30﹣tan45° °=．【考点】特别角的三角函数值．【剖析】先把 sin60 °=，tan45°=1，cos30°=代入原式，再依据实数的运算法例进行计算．【解答】解： sin60 °?cos30﹣°tan45 °，=? ﹣ 1，=﹣．故答案为：﹣．【评论】本题考察的是特别角的三角函数值，熟记各特别角的三角函数值是解答本题的重点．12 A B C在⊙O上，∠AOC=60°ABC150°．．如图，点、、，则∠的度数是【考点】圆周角定理．【剖析】第一在优弧上取点D，连结 AD，CD，由圆周角定理，即可求得∠ADC的度数，又由圆的内接四边形的性质，即可求得答案．【解答】解：在优弧上取点D，连结AD，CD，∵∠ AOC=60°，∴∠ ADC= ∠AOC=30°，∵∠ ABC+∠ADC=180°，∴∠ ABC=180°﹣∠ ADC=180°﹣30°=150°．故答案为： 150°．【评论】本题考察了圆周角定理与圆的内接四边形的性质．本题比较简单，注意掌握协助线的作法．13．有甲、乙两张纸条，甲纸条的宽度是乙纸条宽的 2 倍，如图，将这两张纸条交错重叠地放在一同，重合部分为四边形ABCD AB与BC的数目关系为．则AB=2BC ．【考点】相像三角形的判断与性质．【剖析】分别过 A 作 AE⊥ BC 于 E、作 AF⊥ CD 于 F，再依据甲纸条的宽度是乙纸条宽的 2 倍可得出 AE=2AF，再由平行四边形的性质得出∠ ABC=∠ADC，从而可判断出△ ABE∽△ ADF，其相像比为 2：1．【解答】解：过 A 作 AE⊥BC于 E、作 AF⊥CD 于 F，∵甲纸条的宽度是乙纸条宽的 2 倍，∴AE=2AF，∵纸条的两边相互平行，∴四边形 ABCD是平行四边形，∴∠ ABC=∠ADC， AD=BC，∵∠ AEB=∠AFD=90°，∴△ ABE∽△ ADF，∴= = ，即 = ．故答案为： AB=2BC．【评论】本题考察的是相像三角形的判断与性质，依据题意作出协助线，结构出相像三角形是解答本题的重点．14．如图，在正方形ABCD中，△ BPC 是等边三角形， BP、 CP 的延伸线分别交AD 于点 E、F，连结 BD、DP， BD 与 CF订交于点 H．给出以下结论：①△ ABE≌△ DCF；②= ；③ DP2；④=．=PH?PB此中正确的选项是①③④．（写出全部正确结论的序号）【考点】相像三角形的判断与性质；全等三角形的判断与性质；正方形的性质．【剖析】依据等边三角形的性质和正方形的性质，获取∠ABE=∠ DCF，∠ A=∠ADC， AB=CD，证得△ ABE≌△ DCF，故①正确；因为∠FDP=∠ PBD，∠ DFP=∠BPC=60°，推出△ DFP∽△ BPH，获取= = =故②错误；因为∠PDH=∠PCD=30°，∠ DPH=∠ DPC，推出△ DPH∽△ CPD，获取=，PB=CD，等量代换获取 PD2，故③正确；依据三角形面积计算公式，联合图形获取△=PH?PBBPD 的面积 =△BCP的面积 +△ CDP 面积﹣△ BCD的面积，获取=故④正确．【解答】解：∵△ BPC是等边三角形，∴ BP=PC=BC，∠ PBC=∠ PCB=∠ BPC=60°，在正方形 ABCD中，∵ AB=BC=CD，∠ A=∠ ADC=∠BCD=90°∴∠ ABE=∠DCF=30°，在△ ABE与△ CDF中，，∴△ ABE≌△ DCF，故①正确；∵PC=CD，∠ PCD=30°，∴∠ PDC=75°，∴∠ FDP=15°，∵∠ DBA=45°，∴∠ PBD=15°，∴∠ FDP=∠PBD，∵∠ DFP=∠BPC=60°，∴△ DFP∽△ BPH，∴= = = ，故②错误；∵∠ PDH=∠PCD=30°，∵∠ DPH=∠DPC，∴△ DPH∽△ CDP，∴= ，∴PD2=PH?CD，∵PB=CD，∴PD2=PH?PB，故③正确；如图，过 P 作 PM⊥ CD，PN⊥BC，设正方形 ABCD的边长是 4，△ BPC为正三角形，∴∠ PBC=∠PCB=60°， PB=PC=BC=CD=4，∴∠ PCD=30°∴PN=PB?sin60 °=4× =2 ，PM=PC?sin30°=2，△ BPD四边形 PBCD﹣S△ BCD △ PBC+S△ PDC﹣S△ BCD×4×2 +×2×﹣×4×S =S=S=44=4 +4﹣ 8=4﹣4，∴=．故答案为：①③④．【评论】本题考察的正方形的性质以及等积变换，解答本题的重点是作出协助线，利用锐角三角函数的定义求出 PE 及 PF 的长，再依据三角形的面积公式得出结论．三、（本大题共 2 小题，每题 8 分，满分 16 分）2（1）用配方法求极点坐标，对称轴；（2） x 取何值时， y 随 x 的增大而减小？【考点】二次函数的三种形式；二次函数的性质．【剖析】（1）利用配方法将抛物线分析式边形为 y=﹣2（ x﹣2）2 +2，由此即可得出抛物线的极点坐标以及抛物线的对称轴；（ 2）由 a=﹣2＜0 利用二次函数的性质即可得出：当x≥2 时， y 随 x 的增大而减小，本题得解．【解答】解：（ 1）∵ y=﹣ 2x2+8x﹣ 6=﹣ 2（ x2﹣ 4x）﹣ 6=﹣ 2（ x2﹣ 4x+4） +8﹣6=﹣2（x﹣ 2）2+2，∴该抛物线的极点坐标为（2，2），对称轴为直线x=2．（2）∵ a=﹣2＜ 0，∴当 x≥2 时， y 随 x 的增大而减小．【评论】本题考察了二次函数的三种形式以及二次函数的性质，利用配方法将二次函数分析式的一般式换算成极点式是解题的重点．16．已知如图， AB 是⊙ O 的直径，弦 CD⊥ AB，垂足为 E，连结 AC．若∠A=22.5 °， CD=8cm，求⊙ O 的半径．【考点】垂径定理；勾股定理．【剖析】连接 OC，由圆周角定理得出∠ COE=45°，依据垂径定理可得CE=DE=4cm，证出△COE 为等腰直角三角形，利用特别角的三角函数可得答案．【解答】解：连结 OC，如下图：∵AB是⊙ O 的直径，弦 CD⊥AB，∴ CE=DE= CD=4cm，∵∠°，∴∠ COE=2∠ A=45°，∴△ COE为等腰直角三角形，∴ OC= CE=4cm，即⊙ O 的半径为 4 cm．【评论】本题主要考察了圆周角定理、垂径定理、以及三角函数的应用；重点是掌握圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．四、（本大题共 2 小题，每题 8 分，满分 16 分）17．如图，△ ABC的极点坐标分别为A（ 1， 3）、 B（4， 2）、 C（2，1）．（ 1）作出与△ ABC对于 x 轴对称的△ A 1B1C1，并写出点 A1的坐标；（ 2）以原点O 为位似中心，在原点的另一侧画出△A2B2C2，使=，并写出点 A2的坐标．【考点】作图 -位似变换；作图 -轴对称变换．【剖析】（1）利用对于 x 轴对称的点的坐标特点，写出 A1、B1、C1的坐标，而后描点即可获取△ A 1B1C1；（2）把 A、B、C 的横纵坐标后乘以﹣ 2 获取出 A2、B2、 C2的坐标，而后描点即可获取△ A 2B2C2．【解答】解：（ 1）如图，△ A 1B1C1为所作， A1（ 1，﹣ 3）；（ 2）如图，△ A2B2C2为所作， A2（﹣ 2，﹣ 6）．【评论】本题考察了位似变换：假如两个图形不单是相像图形，并且对应极点的连线订交于一点，对应边相互平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．18．如下图，我市某中学课外活动小组的同学利用所学知识去丈量釜溪河沙湾段的宽度．小宇同学在 A 处观察对岸 C 点，测得∠ CAD=45°，小英同学在距 A 处50 米远的B 处测得∠CBD=30°，请你依据这些数据算出河宽．（精准到0.01 米，参照数据≈，≈）【考点】解直角三角形的应用．【剖析】设河宽为未知数，那么可利用三角函数用河宽表示出AE、EB，而后根据 BE﹣ AE=50就能求得河宽．【解答】解：过 C 作 CE⊥AB 于 E，设 CE=x米，在 Rt△AEC中：∠ CAE=45°， AE=CE=x在 Rt△BCE中：∠ CBE=30°，BE= CE=x，∴x=x 50解之得： x=2525≈．++答：河宽为 68.30 米．【评论】本题主要考察了三角函数的观点和应用，解题重点是把实质问题转变为数学识题，抽象到三角形中，利用三角函数进行解答．五、（本大题共 2 小题，每题 10 分，满分 20 分）19．（ 10 分）（秋 ?期末）如图， D 是 AC 上一点， BE∥ AC，AE 分别交 BD、BC于点 F、G．若∠ 1=∠ 2，线段 BF、FG、FE之间有如何的关系？请说明原因．【考点】相像三角形的判断与性质．【剖析】依据 BE∥ AC，可得∠ 1=∠E，而后有∠ 1=∠2，可得∠ 2=∠ E，又由∠ GFB=∠BFE，可得出△ BFG∽△ EFB，最后可得出 BF2=FG?FE．【解答】解： BF2=FG?FE．原因：∵ BE∥AC，∴∠ 1=∠ E，∵∠ 1=∠ 2，∴∠ 2=∠ E，又∵∠ GFB=∠BFE，∴△ BFG∽△ EFB，∴= ，即BF2=FG?FE．【评论】本题考察了相像三角形的判断与性质，解答本题的重点是依据BE∥AC，得出∠ 1=∠ E，从而判断△ BFG∽△ EFB．20．（ 10 分）（ ?安徽）杂技团进行杂技表演，演员从跷跷板右端 A 处弹跳到人梯顶端椅子 B 处，其身体（当作一点）的路线是抛物线y=x2+3x+1 的一部分，如下图．（1）求演员弹跳离地面的最大高度；（2）已知人梯高 BC=3.4 米，在一次表演中，人梯到起跳点 A 的水平距离是 4米，问此次表演能否成功？请说明原因．【考点】二次函数的应用．【剖析】（1）将二次函数化简为 y=﹣（ x﹣）2+，即可解出 y 最大的值．（ 2）当 x=4 时代入二次函数可得点 B 的坐标在抛物线上．1y=x2 3x 1化成y=（x）2，，【解答】解：（）将二次函数+ +当 x= 时， y 有最大值， y 最大值 =，（ 5 分）所以，演员弹跳离地面的最大高度是 4.75 米．（ 6 分）（ 2）能成功表演．原因是：当x=4 时， y=× 42+3× ．即点 B（4，）在抛物线 y=x2+3x+1 上，所以，能表演成功．（ 12 分）．【评论】本题考察点的坐标的求法及二次函数的实质应用．本题为数学建模题，借助二次函数解决实质问题．六、（本题满分12 分）21．（ 12 分）（秋 ?期末）如图，点 M 是△ ABC内一点，过点 M 分别作直线平行于△ ABC 的各边，所形成的三个小三角形△1、△ 2、△ 3 （图中暗影部分）的面积分别是 1、4、25．则△ ABC的面积是64．【考点】相像三角形的判断与性质．【剖析】第一过 M 作 BC 的平行线交 AB、AC 于 D、E，过 M 作 AC 平行线交AB、BC 于 F、 H，过 M 作 AB 平行线交 AC、 BC 于 I、G，判断出△1∽△2∽△3，再依据相像三角形的性质，判断出它们的边长比为1： 2： 5；而后判断出BC、 DM 的关系，依据相像三角形的面积的比等于它们的相像比的平方，判断出 S△ABC、S△FDM的关系，求出△ ABC的面积是多少即可．【解答】解：如图，，过 M 作 BC 的平行线交 AB、AC 于 D、 E，过 M 作 AC 平行线交 AB、BC 于 F、H，过 M 作 AB 平行线交 AC、BC于 I、G，依据题意得，△ 1∽△ 2∽△ 3，∵△ 1：△ 2=1：4，△ 1：△ 3=1：25，∴它们的边长比为1：2：5，又∵四边形 BDMG 与四边形 CEMH为平行四边形，∴DM=BG，EM=CH，设 DM 为 x，则BC=BG+GH+CH=x+5x+2x=8x，∴ BC：DM=8：1，∴S△ABC： S△FDM=64： 1，∴S△ABC=1×64=64．故答案为： 64．【评论】本题主要考察了三角形相像的判断和性质的应用，要娴熟掌握，解答本题的重点是要明确：①三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相像；②两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相像；③两角法：有两组角对应相等的两个三角形相像．七、（本题满分12 分）22．（ 12 分）（秋 ?期末）某商场购进一批单价为16 元的日用品，销售一段时间后，为了获取更多的收益，商铺决定提升价钱．经检查发现，若按每件20 元的价钱销售时，每个月能卖出 360 件，在此基础上，若涨价 5 元，则每个月销售量将减少 150 件，若每个月销售量 y（件）与价钱 x（元 / 件）知足关系式 y=kx+b．（1）求 k，b 的值；（2）问日用品单价应定为多少元？该商场每个月获取收益最大，最大收益是多少？【考点】二次函数的应用．【剖析】（1）待定系数法求解可得；（2）依据“总收益 =单件收益×销售量”列出函数分析式，由二次函数的性质可得最值状况．【解答】解：（ 1）由题意可知：，解得：；（ 2）由（ 1）可知： y 与 x 的函数关系应当是 y=﹣30x+960设商场每个月获取的收益为 W，由题意可得W=（x﹣16）（﹣ 30x+960）=﹣30x2+1440x﹣15360．∵﹣ 30＜ 0，∴当 x=﹣=24 时，收益最大， W 最大值 =1920答：当单价定为24 元时，获取的收益最大，最大的收益为1920 元．【评论】本题主要考察二次函数的应用能力，理解题意找到题目包含的相等关系并列出函数分析式是解题的重点．八、（本题满分14 分）23．（ 14 分）（秋 ?期末）如图，在□ ABCD，E 为边 BC 的中点， F 为线段 AE 上一点，联络 BF 并延伸交边 AD 于点 G，过点 G 作 AE 的平行线，交射线 DC 于点H．设==x．（1）当 x=1 时，求 AG： AB 的值；（2）设=y，求 y 对于 x 的函数关系式；（3）当 DH=3HC时，求 x 的值．【考点】相像形综合题．【剖析】（1）依据平行四边形的性质得：AD∥BC，由平行线分线段成比率定理得：，由 x=1 得：= =1，依据中点 E 得： AG= AB，从而得出AG：AB 的值；（2）假定 AB=1，则 AD=x，由（ 1）得： BE= ，AG= ， DG=x﹣，证明△ GDH∽△ EBA，依据面积比等于相像比的平方列式可求得y 对于 x 的函数关系式；（ 3）因为 H 是射线 DC 上一点，所以分两种状况：①如图2，当点 H 在边 DC上时，依据已知DH=3HC，得，再利用△ GDH∽△ EBA，列比率式可求得x 的值；②如图 3，当 H 在 DC的延伸线上时，同理可求得 x 的值．【解答】解：（ 1）如图 1，在□ABCD中， AD=BC，AD∥BC，∴，∵ x=1，即=1，∴= =1，∴AD=AB， AG=BE，∵ E 为 BC的中点，∴BE= BC，∴AG=BE= BC= AB，即 AG：AB= ；（ 2）如图 1，∵= =x，∴不如设 AB=1，则 AD=x， BE= ，∵AD∥BC，∴，∴AG= ，DG=AD﹣AG=x﹣，∵GH∥ AE，∴∠DGH=∠DAE，∵AD∥BC，∴∠ DAE=∠AEB，∴∠ DGH=∠AEB，在□ABCD中，∠ D=∠ABE，∴△ GDH∽△ EBA，∴=（）2，∴ y=，∴ y=；（3）①如图 2，当点 H 在边 DC上时，∵ DH=3HC，∴，∴，∵△ GDH∽△ EBA，∴=，∴= ，解得： x= ；②如图 3，当 H 在 DC的延伸线上时，∵DH=3HC，∴ = ，∴= ，∵△ GDH∽△ EBA，∴，合肥市瑶海区2019届九年级上期末数学试卷含分析∴= ，解得： x=2，综上所述，可知x 的值为或2．31 / 3131 / 31。

九年级上学期期末数学试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．如图，矩形ABCD 的对角线交于点O .若BC n =，BAC α∠=∠，则下列结论错误的是（ ）A ．sin nAC α=B ．tan nCD α=C ．2sin nOA α=D ．cos nBD α=【答案】D【分析】根据矩形的性质得出∠ABC=∠DCB=90°，AC=BD ，AO=CO ，BO=DO ，再解直角三角形求出即可． 【详解】解：∵四边形ABCD 是矩形，∴∠ABC=∠DCB=90°，AC=BD ，AO=CO ，BO=DO ， A 、在Rt △ABC 中，sin BCACα= ∴sin nAC α=，此选项不符合题意 由三角形内角和定理得：∠BAC=∠BDC=∠α， B 、在Rt △BDC 中，tan BCDCα=， ∴tan nCD α=，故本选项不符合题意； C 、在Rt △ABC 中，sin nAC α=，即AO=12AC 2sin n α=，故本选项不符合题意； D 、∴在Rt △DCB 中，cos DCBDα= ∴cos DCBD α=，故本选项符合题意； 故选：D ． 【点睛】本题考查了矩形的性质和解直角三角形，能熟记矩形的性质是解此题的关键． 2．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A ．4πB ．3πC ．2π+4D ．3π+4【答案】D【解析】试题解析：观察该几何体的三视图发现其为半个圆柱，半圆柱的直径为2，表面积有四个面组成：两个半圆，一个侧面，还有一个正方形. 故其表面积为： 212π1π12223π42⨯⨯⨯+⨯⨯+⨯=+， 故选D.3．抛物线2y ax x =+的对称轴是（ ） A ．1x a=B ．1x a=-C ．12x a=D ．12x a=-【答案】D【解析】根据二次函数的对称轴公式2bx a =-计算即可，其中a 为二次项系数，b 为一次项系数． 【详解】由二次函数的对称轴公式得：122b x a a=-=- 故选：D ． 【点睛】本题考查了二次函数的对称轴公式，熟记公式是解题关键． 4．一元二次方程x 2+x ﹣1=0的两根分别为x 1，x 2，则1211x x +=（ ） A ．12B ．1 CD【答案】B【解析】根据根与系数的关系得到x 1+x 2=-1，x 1•x 2=-1，然后把1211x x +进行通分，再利用整体代入的方法进行计算．【详解】根据题意得x 1+x 2=-1，x 1•x 2=-1，所以1211x x +=121211x x x x +-=-=1， 故选B ． 【点睛】本题考查了一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的根与系数的关系：若方程两个为x 1，x 2，则x 1+x 2=-b a ，x 1•x 2=ca. 5．某班抽取6名同学参加体能测试，成绩如下：1，95，1，80，80，1．下列表述错误的是（ ） A ．众数是1 B ．平均数是1C ．中位数是80D ．极差是15【答案】C【分析】本题考查统计的有关知识．找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个．利用平均数和极差的定义可分别求出．【详解】解：这组数据中1出现了3次，出现的次数最多，所以这组数据的众数位1；由平均数公式求得这组数据的平均数位1，极差为95-80=15；将这组数据按从大到校的顺序排列，第3，4个数是1，故中位数为1． 所以选项C 错误． 故选C ． 【点睛】本题考查了统计学中的平均数，众数，中位数与极差的定义．解答这类题学生常常对中位数的计算方法掌握不好而错选．6．如图，Rt ABC △中，90ACB ∠=，30CAB ∠=，2BC =，O H ，分别为边AB AC ，的中点，将ABC 绕点B 顺时针旋转120到11A BC 的位置，则整个旋转过程中线段OH 所扫过部分的面积（即阴影部分面积）为（ ）A ．77π338- B ．47π338+ C ．πD ．4π33+ 【答案】C【分析】连接BH ，BH 1，先证明△OBH ≌△O 1BH 1，再根据勾股定理算出BH ，再利用扇形面积公式求解即可.【详解】∵O 、H 分别为边AB ，AC 的中点，将△ABC 绕点B 顺时针旋转120°到△A 1BC 1的位置， ∴△OBH ≌△O 1BH 1，利用勾股定理可求得437+=所以利用扇形面积公式可得()()2212012074360360BH BC πππ-⨯-==．故选C ． 【点睛】本题考查全等三角形的判定及性质、勾股定理、扇形面积的计算，利用全等对面积进行等量转换方便计算是关键.7．四边形ABCD 内接于⊙O ，点I 是ABC ∆的内心，124AIC ∠=，点E 在AD 的延长线上，则CDE ∠的度数为( )A ．56°B ．62°C ．68°D ．48°【答案】C【分析】由点I 是ABC 的内心知2BAC IAC =∠∠ ，2ACB ICA =∠∠，从而求得()1802180B AIC =︒-⨯︒-∠∠ ，再利用圆内接四边形的外角等于内对角可得答案．【详解】∵点I 是ABC 的内心 ∴2BAC IAC =∠∠ ，2ACB ICA =∠∠ ∵124AIC =︒∠∴B ()180BAC ACB =︒-+∠∠()1802180AIC =︒-⨯︒-∠ 68=︒∵四边形ABCD 内接于⊙O ∴68CDE B ==︒∠∠ 故答案为：C ． 【点睛】本题考查了三角形的内心，圆内接四边形的性质，掌握三角形内心的性质和圆内接四边形的外角等于内对角是解题的关键．8．如图,在矩形ABCD 中,BC=2,AE ⊥BD,垂足为E,∠BAE=30°,那么△ECD 的面积是 （ ）A．23B．3C．3D．3【答案】D【分析】根据已知条件，先求Rt△AED的面积，再证明△ECD的面积与它相等．【详解】如图：过点C作CF⊥BD于F.∵矩形ABCD中，BC=2，AE⊥BD，∠BAE=30°.∴∠ABE=∠CDF=60°,AB=CD,AD=BC=2,∠AEB=∠CFD=90°，∠AED=30°，∴△ABE≌△CDF.∴AE=CF.∴S△AED=12ED⋅AE,S△ECD=12ED⋅CF.∴S△AED=S△CDE∵AE=12AD=1,DE=223AD AE=-=，∴△ECD3故答案选:D.【点睛】本题考查了矩形的性质与含30度角的直角三角形相关知识，解题的关键是熟练的掌握矩形的性质与含30度角的直角三角形并能运用其知识解题.92x+x的取值范围是（）A．x＞﹣2 B．x≥﹣2 C．x＜﹣2 D．x≤﹣2【答案】B【分析】根据二次根式有意义的条件可得20x+≥，再解不等式即可．【详解】解：由题意得：20x+≥，解得：2x≥-，故选：B ． 【点睛】此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数． 10．已知二次函数23y ax bx =++自变量x 的部分取值和对应函数值y 如表：则在实数范围内能使得50y +>成立的x 取值范围是（ ） A ．2x >- B ．2x <-C ．24x -<<D ．2x >-或4x <【答案】C【分析】根据y=0时的两个x 的值可得该二次函数的对称轴，根据二次函数的对称性可得x=4时，y=5，根据二次函数的增减性即可得图象的开口方向，进而可得答案. 【详解】∵50y +>， ∴5y >-，∵x=-1时，y=0，x=3时，y=0， ∴该二次函数的对称轴为直线x=132-+=1， ∵1-3=-2，1+3=4，∴当2x =-时的函数值与当4x =时的函数值相等， ∵2x =-时，5y =-， ∴4x =时，5y =-，∵x>1时，y 随x 的增大而减小，x<1时，y 随x 的增大而增大， ∴该二次函数的开口向下，∴当24x -<<时，5y >-，即50y +>， 故选：C. 【点睛】本题考查二次函数的性质，正确提取表中信息并熟练掌握二次函数的性质是解题关键.11．要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形的三边长分别为5cm ，6cm ，9cm ，另一个三角形的最长边长为4.5cm ，则它的最短边长是（ ） A ．1.5cm B ．2.5cmC ．3cmD ．4cm【答案】B【分析】根据题意可得出两个三角形相似，利用最长边数值可求出相似比，再用三角形的最短边乘以相似比即可．【详解】解：由题意可得出：两个三角形的相似比为：4.5192=， 所以另一个三角形最短边长为：15 2.52⨯=． 故选：B ． 【点睛】本题考查的知识点是相似三角形的相似比，根据题目求出两个三角形的相似比是解此题的关键． 12．若点P （﹣m ，﹣3）在第四象限，则m 满足（ ） A ．m ＞3 B ．0＜m≤3C ．m ＜0D ．m ＜0或m ＞3【答案】C【分析】根据第四象限内点的特点，横坐标是正数，列出不等式求解即可． 【详解】解：根据第四象限的点的横坐标是正数，可得﹣m ＞1，解得m ＜1． 故选：C ． 【点睛】本题考查平面直角坐标系中各象限内点的坐标符号，关键是掌握四个象限内点的坐标符号． 二、填空题（本题包括8个小题）13．若二次函数2y ax bx =+的图象开口向下，则a _____0（填“＝”或“>”或“<”）． 【答案】<【解析】由二次函数2y ax bx =+图象的开口向下，可得0a <． 【详解】解：∵二次函数2y ax bx =+的图象开口向下， ∴0a <． 故答案是：<． 【点睛】考查了二次函数图象与系数的关系．二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小．当0a >时，抛物线向上开口；当0a <时，抛物线向下开口；a 还可以决定开口大小，a 越大开口就越小． 14．半径为6 cm 的圆内接正四边形的边长是____cm ．. 【答案】62 【详解】解：如图：圆的半径是6cm ，那么内接正方形的边长为：AB=CB ，因为：AB 2+CB 2=AC 2， 所以：AB 2+CB 2=122 即AB 2+CB 2=144 解得AB=62cm. 故答案为：62．15．若12,x x 是方程2210x x --=的两个根，则12122x x x x ++的值为________ 【答案】1【分析】先由根与系数的关系得出12122,1x x x x +==-，然后代入即可求解． 【详解】∵12,x x 是方程2210x x --=的两个根12122,1x x x x ∴+==-∴原式=22(1)220+⨯-=-= 故答案为：1． 【点睛】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 16．如图，AB 为O 的弦，O 的半径为5，OC AB ⊥于点D ，交O 于点C ，且1CD =，则弦AB的长是_____．【答案】1【分析】连接AO ，得到直角三角形，再求出OD 的长，就可以利用勾股定理求解． 【详解】连接AO ，∵半径是5，1CD =， ∴514OD =-=， 根据勾股定理，2222543AD AO OD =--=，∴326AB =⨯=， 因此弦AB 的长是1． 【点睛】解答此题不仅要用到垂径定理，还要作出辅助线AO ，这是解题的关键．17．在直角坐标平面内有一点A(3，4)，点A 与原点O 的连线与x 轴的正半轴夹角为α，那么角α的余弦值是_____． 【答案】35【解析】根据勾股定理求出OA 的长度，根据余弦等于邻边比斜边求解即可. 【详解】∵点A 坐标为（3，4）， ∴OA=2234+=5，∴cosα=35， 故答案为35【点睛】本题主要考查锐角三角函数的概念，在直角三角形中，在直角三角形中，正弦等于对边比斜边；余弦等于邻边比斜边；正切等于对边比邻边，熟练掌握三角函数的概念是解题关键.18．如图，⊙O 与矩形ABCD 的边AB 、CD 分别相交于点E 、F 、G 、H ，若AE+CH=6，则BG+DF 为_________．【答案】6【分析】作EM ⊥BC ，HN ⊥AD ，易证得EG FH =，继而证得Rt EMG Rt HNF ≅，利用等量代换即可求得答案.【详解】过E 作EM ⊥BC 于M ，过H 作HN ⊥AD 于N ，如图， ∵四边形ABCD 为矩形， ∴AD ∥BC ， ∴EG FH =， ∴EG FH =，∵四边形ABCD 为矩形，且EM ⊥BC ，HN ⊥AD ， ∴四边形ABME 、EMHN 、NHCD 均为矩形， ∴ME NH =，AE=BM ，EN=MH ，ND=HC ， 在Rt EMG 和RtHNF 中ME NHEG FH=⎧⎨=⎩， ∴Rt EMG Rt HNF ≅(HL ) ， ∴MG NF =，∴6BG FD BM MG FD BM NF FD BM ND AE CH +=++=++=+=+=， 故答案为：6【点睛】本题考查了矩形的判定和性质、直角三角形的判定和性质、平行弦所夹的弧相等、等弧对等弦等知识，灵活运用等量代换是解题的关键. 三、解答题（本题包括8个小题）19．当前，“精准扶贫”工作已进入攻坚阶段，凡贫困家庭均要“建档立卡”．某初级中学七年级共有四个班，已“建档立卡”的贫困家庭的学生人数按一、二、三、四班分别记为A 1，A 2，A 3，A 4，现对A 1，A 2，A 3，A 4统计后，制成如图所示的统计图．（1）求七年级已“建档立卡”的贫困家庭的学生总人数；（2）将条形统计图补充完整，并求出A 1所在扇形的圆心角的度数；（3）现从A 1，A 2中各选出一人进行座谈，若A 1中有一名女生，A 2中有两名女生，请用树状图表示所有可能情况，并求出恰好选出一名男生和一名女生的概率．【答案】（1）15人;(2)补图见解析.（3）12. 【分析】（1）根据三班有6人，占的百分比是40%，用6除以所占的百分比即可得总人数；（2）用总人数减去一、三、四班的人数得到二班的人数即可补全条形图，用一班所占的比例乘以360°即可得A 1所在扇形的圆心角的度数；（3）根据题意画出树状图，得出所有可能，进而求恰好选出一名男生和一名女生的概率． 【详解】解:（1）七年级已“建档立卡”的贫困家庭的学生总人数：6÷40%=15人；（2）A2的人数为15﹣2﹣6﹣4=3（人）补全图形，如图所示，A1所在圆心角度数为：215×360°=48°；（3）画出树状图如下：共6种等可能结果,符合题意的有3种∴选出一名男生一名女生的概率为：P=31 62 .【点睛】本题考查了条形图与扇形统计图，概率等知识，准确识图，从图中发现有用的信息，正确根据已知画出树状图得出所有可能是解题关键．20．求的值.【答案】4【解析】先设t=x2+y2，则方程即可变形为t（t-1）-12=0，解方程即可求得t即x2+y2的值．【详解】设t=x2+y2，所以原式可变形为为t（t-1）-12=0，t2-t-12=0，（t-4）（t+3）=0，所以t=-3或t=4；因为x2+y2≥0，所以x2+y2=4.【点睛】此题考查换元法解一元二次方程，解题关键在于设t=x2+y2.21．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，AC=10cm，P为BC的中点，动点Q从点P出发，沿射线PC3的速度运动，以P为圆心，PQ长为半径作圆．设点Q运动的时间为t秒．（1）当t=2.5s时，判断直线AB与⊙P的位置关系，并说明理由．（2）已知⊙O为Rt△ABC的外接圆，若⊙P与⊙O相切，求t的值．【答案】（1）相切，证明见解析；（2）t为53s 53s【分析】（1）直线AB与⊙P关系，要考虑圆心到直线AB的距离与⊙P的半径的大小关系，作PH⊥AB于H点，PH为圆心P到AB的距离，在Rt△PHB中，由勾股定理PH，当t=2.5s时，求出PQ的长，比较PH、PQ 大小即可，（2）OP为两圆的连心线，圆P与圆O内切r O-r P=OP, 圆O与圆P内切，r P-r O=OP即可．【详解】（1）直线AB与⊙P相切．理由：作PH⊥AB于H点，∵∠ACB=90°，∠ABC=30°，AC=10，∴AB=2AC=20，BC=103∵P为BC的中点∴BP=53∴PH=1253，当t=2.5s时，533=22，∴53∴直线AB与⊙P相切，（2）连结OP，∵O为AB的中点，P为BC的中点，∴OP=12AC=5，∵⊙O为Rt△ABC的外接圆，∴AB为⊙O的直径，∴⊙O的半径OB=10 ，∵⊙P与⊙O相切，∴ PQ-OB=OP或OB-PQ=OP 3或3，∴ t=53或t= 53， 故当t 为53s 或53s 时，⊙P 与⊙O 相切．【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，圆与圆相切时求运动时间t 问题，关键点到直线的距离与半径是否相等，会求点到直线的距离，会用t 表示半径与点到直线的距离，抓住两圆相切分清情况，由圆心在圆O 内，没有外切，只有内切，要会分类讨论，掌握圆P 与圆O 内切r O -r P =OP, 圆O 与圆P 内切，r P -r O =OP ． 22．某校综合实践小组要对一幢建筑物MN 的高度进行测量.如图，该小组在一斜坡坡脚A 处测得该建筑物顶端M 的仰角为45︒，沿斜坡向上走20m 到达B 处，（即20AB m =）测得该建筑物顶端M 的仰角为30.已知斜坡的坡度3:4i =，请你计算建筑物MN 的高度（即MN 的长，结果保留根号）.【答案】建筑物MN 的高度为()14326m .【分析】过点B 作BC MN ⊥，根据坡度的定义求出AB ，BD,AD ，再利用三角函数的定义列出方程求解.【详解】解：过点B 作BC MN ⊥，垂足为C .过点B 作BD AN ⊥，垂足为D .∵MN AN ⊥，∴90BCN CND BDN ∠=∠=∠=︒，∴四边形BCND 是矩形，∴BC DN =，BD CN =，90ADB ∠=︒.∵3:4i =，∴34BD AD =， ∴设3BD k =，4AD k =，∴520AB k ==，∴4x =，∴12BD m =，16AD m =.根据题意，30MBC ∠=︒，45MAN ∠=︒，在Rt BCM ∆中，设CM x m =， ∵3tan 303CM BC ︒==， ∴3BC x m =，∴3DN x m =，∴()316AN DN AD x m =-=-， 在Rt AMN ∆中，∵45MAN ∠=︒，()316MN AN x m ==-. 又∵()12MN MC CN x m =+=+，∴31612x x -=+，解得14314x =+，∴()14326MN m =+.答：建筑物MN 的高度为()14326m +.【点睛】此题主要考查解直角三角形，解题的关键是熟知三角函数的定义.23．有A 、B 两组卡片共1张，A 组的三张分别写有数字2，4，6，B 组的两张分别写有3，1．它们除了数字外没有任何区别，（1）随机从A 组抽取一张，求抽到数字为2的概率；（2）随机地分别从A 组、B 组各抽取一张，请你用列表或画树状图的方法表示所有等可能的结果.现制定这样一个游戏规则：若选出的两数之积为3的倍数，则甲获胜；否则乙获胜．请问这样的游戏规则对甲乙双方公平吗？为什么？【答案】（1）P （抽到数字为2）=13；（2）不公平，理由见解析. 【解析】试题分析：（1）根据概率的定义列式即可；（2）画出树状图，然后根据概率的意义分别求出甲、乙获胜的概率，从而得解．试题解析: （1）P= 13； （2）由题意画出树状图如下：一共有6种情况，甲获胜的情况有4种，P=42 63 =，乙获胜的情况有2种，P=21 63 =，所以，这样的游戏规则对甲乙双方不公平．考点：游戏公平性；列表法与树状图法．24．一个盒子中装有两个红球，一个白球和一个蓝球，这些球除颜色外都相同，从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，再从中随机摸出一个球，请你用列表法和画树状图法求两次摸到的球的颜色能配成紫色的概率（说明：红色和蓝色能配成紫色）【答案】14．【分析】利用画树状图法得到总的可能和可能发生的结果数，即可求出概率. 【详解】解：画树状图为：共有16种等可能的结果数，其中红色和蓝色的结果数4，所以摸到的两个球的颜色能配成紫色的概率＝41 164=.【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A 或B的结果数目m，然后利用概率公式求事件A或B的概率.25．如图，在⊙O中，AB AC=，∠ACB=60°，求证∠AOB=∠BOC=∠COA.【答案】详见解析.【解析】试题分析：根据弧相等，则对应的弦相等从而证明AB=AC，则△ABC易证是等边三角形，然后根据同圆中弦相等，则对应的圆心角相等即可证得．试题解析：证明：∵=AB AC，∴AB=AC，△ABC为等腰三角形（相等的弧所对的弦相等）∵∠ACB=60°∴△ABC为等边三角形，AB=BC=CA∴∠AOB=∠BOC=∠COA（相等的弦所对的圆心角相等）26．如图，已知一次函数y=ax+b（a，b为常数，a≠0）的图象与x轴，y轴分别交于点A，B，且与反比例函数kyx=（k为常数，k≠0）的图象在第二象限内交于点C，作CD⊥x轴于D，若OA=OD=34OB=1．（1）求一次函数与反比例函数的解析式；（2）观察图象直接写出不等式0＜ax+b≤kx的解集；（1）在y轴上是否存在点P，使得△PBC是以BC为一腰的等腰三角形？如果存在，请直接写出P点的坐标；如果不存在，请简要说明理由【答案】（1）24yx=-；（2）-1≤x＜0；（1）存在满足条件的点P，其坐标为（0，-1）或（0，9）或（0，12）【分析】（1）根据平行线分线段成比例性质可得3162OB OACD AD===，求出A（1，0），B（0，4），C（-1，8），再用待定系数法求解；（2）由题意可知所求不等式的解集即为直线AC在x轴上方且在反比例函数图象下方的图象所对应的自变量的取值范围：0＜-43x+4≤-24x ；（1）△PBC 是以BC 为一腰的等腰三角形，有BC=BP 或BC=PC 两种情况.【详解】解：（1）∵CD ⊥OA ，∴DC ∥OB ， ∴3162OB OA CD AD ===， ∴CD=2OB=8，∵OA=OD=34OB=1， ∴A （1，0），B （0，4），C （-1，8），把A 、B 两点的坐标分别代入y=ax+b 可得304a b b +=⎧⎨=⎩，解得434a b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴一次函数解析式为443y x =-+， ∵反比例函数y=k x 的图象经过点C ， ∴k=-24，∴反比例函数的解析式为y=-24x（2）由题意可知所求不等式的解集即为直线AC 在x 轴上方且在反比例函数图象下方的图象所对应的自变量的取值范围，即线段BC （包含C 点，不包含B 点）所对应的自变量x 的取值范围，∵C （-1，8），∴0＜-43x+4≤-24x的解集为-1≤x ＜0 （1）∵B （0，4），C （-1，8），∴BC=5，∵△PBC 是以BC 为一腰的等腰三角形，∴有BC=BP 或BC=PC 两种情况，①当BC=BP 时，即BP=5，∴OP=BP+OB=4+5=9，或OP=BP-OB=5-4=1，∴P 点坐标为（0，9）或（0，-1）；②当BC=PC 时，则点C 在线段BP 的垂直平分线上，∴线段BP 的中点坐标为（0，8），∴P点坐标为（0，12）；综上可知存在满足条件的点P，其坐标为（0，-1）或（0，9）或（0，12）【点睛】考核知识点：相似三角形，反比例函数.数形结合分类讨论是关键.27．如图，△ABC中，AB=AC，BE⊥AC于E，D是BC中点，连接AD与BE交于点F，求证：△AFE∽△BCE．【答案】证明详见解析．【解析】试题分析：根据等腰三角形的性质，由AB=AC，D是BC中点得到AD⊥BC，易得∠ADC=∠BEC=90°，再证明∠FAD=∠CBE，于是根据有两组角对应相等的两个三角形相似即可得到结论．试题解析：证明：∵AB=AC，D是BC中点，∴AD⊥BC，∴∠ADC=90°，∴∠FAE+∠AFE=90°，∵BE⊥AC，∴∠BEC=90°，∴∠CBE+∠BFD=90°，∵∠AFE=∠BFD，∴∠FAD=∠CBE，∴△AFE∽△BCE．考点：相似三角形的判定．九年级上学期期末数学试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．在矩形ABCD 中，B 的角平分线BE 与AD 交于点E ，BED ∠的角平分线EF 与DC 交于点F ，若7AB =，34DF FC =，则BC 的长为（ ）A ．721-B ．432+C ．225+D ．423+【答案】D 【分析】先延长EF 和BC ，交于点G ，再根据条件可以判断三角形ABE 为等腰直角三角形，并求得其斜边BE 的长，然后根据条件判断三角形BEG 为等腰三角形，最后根据△EFD ∽△GFC 得出CG 与DE 的倍数关系，并根据BG ＝BC ＋CG 进行计算即可．【详解】延长EF 和BC ，交于点G ，∵3DF ＝4FC ，∴34CF DF =， ∵矩形ABCD 中，∠ABC 的角平分线BE 与AD 交于点E ，∴∠ABE ＝∠AEB ＝45°，∴AB ＝AE ＝7，∴直角三角形ABE 中，BE 227772+=又∵∠BED 的角平分线EF 与DC 交于点F ，∴∠BEG ＝∠DEF ，∵AD ∥BC ，∴∠G ＝∠DEF ，∴∠BEG ＝∠G ，∴BG ＝BE ＝72∵∠G ＝∠DEF ，∠EFD ＝∠GFC ，∴△EFD ∽△GFC ，∴34 CG CFDE DF==，设CG＝3x，DE＝4x，则AD＝7＋4x＝BC，∵BG＝BC＋CG，∴7＋4x＋3x＝72，解得x＝2−1，∴BC＝7＋4x＝7＋42−4＝3＋42，故选：D．【点睛】本题主要考查了矩形、相似三角形以及等腰三角形，解决问题的关键是掌握矩形的性质：矩形的四个角都是直角，矩形的对边相等．解题时注意：有两个角对应相等的两个三角形相似．2．等腰三角形底边长为10㎝，周长为36cm，那么底角的余弦等于（）．A．513B．1213C．1013D．512【答案】A【分析】过顶点A作底边BC的垂线AD，垂足是D点，构造直角三角形．根据等腰三角形的性质，运用三角函数的定义，则可以求得底角的余弦cosB的值．【详解】解：如图，作AD⊥BC于D点．则CD=5cm，AB=AC=13cm．∴底角的余弦=513．故选A．【点睛】本题考查的是解直角三角形，解答本题的关键是熟练掌握等腰三角形的三线合一的性质：等腰三角形顶角平分线、底边上的高，底边上的中线重合．3．抛物线y=（x+2）2﹣2的顶点坐标是（）A．（2，﹣2）B．（2，2）C．（﹣2，2）D．（﹣2，﹣2）【答案】D【分析】根据二次函数的顶点式方程可以直接写出其顶点坐标．【详解】∵抛物线为y=（x+2）2﹣2，∴顶点坐标为（﹣2，﹣2）．故选D．【点睛】本题考查了二次函数的顶点坐标的求法，掌握二次函数的顶点式y=a（x﹣h）2+k是解题的关键．4．如图2，四边形ABCD的对角线AC、BD互相垂直，则下列条件能判定四边形ABCD为菱形的是（）A．BA＝BC B．AC、BD互相平分C．AC＝BD D．AB∥CD【答案】B【详解】解：对角线互相垂直平分的四边形为菱形．已知对角线AC、BD互相垂直，则需添加条件：AC、BD互相平分故选：B5．如图，等边三角形ABC的边长为5，D、E分别是边AB、AC上的点，将△ADE沿DE折叠，点A恰好落在BC边上的点F处，若BF＝2，则BD的长是（）A．2 B．3 C．218D．247【答案】C【分析】根据折叠得出∠DFE＝∠A＝60°，AD＝DF，AE＝EF，设BD＝x，AD＝DF＝5﹣x，求出∠DFB＝∠FEC，证△DBF∽△FCE，进而利用相似三角形的性质解答即可．【详解】解：∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，AB＝BC＝AC＝5，∵沿DE折叠A落在BC边上的点F上，∴△ADE≌△FDE，∴∠DFE＝∠A＝60°，AD＝DF，AE＝EF，设BD＝x，AD＝DF＝5﹣x，CE＝y，AE＝5﹣y，∵BF＝2，BC＝5，∴CF＝3，∵∠C＝60°，∠DFE＝60°，∴∠EFC+∠FEC＝120°，∠DFB+∠EFC＝120°，∴∠DFB＝∠FEC，∵∠C＝∠B，∴△DBF∽△FCE，∴BD BF DFFC CE EF==，即2535x xy y-==-，解得：x＝218，即BD＝218，故选：C．【点睛】此题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟知折叠的性质、相似三角形的判定定理.6．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∠CAB＝25°，则∠BOD等于（）A．70°B．65°C．50°D．45°【答案】C【分析】先根据垂径定理可得BC BD=，然后根据圆周角定理计算∠BOD的度数．【详解】解：∵弦CD⊥AB，∴BC BD=，∴∠BOD＝2∠CAB＝2×25°＝50°．故选：C．【点睛】本题考查了垂径定理、圆心角定理和圆周角定理，熟悉掌握定义，灵活应用是解本题的关键7．在一个不透明的袋子中装有除颜色外其余均相同的m个小球，其中8个黑球，从袋中随机摸出一球，记下其颜色，这称为一次摸球实验，之后把它放回袋中，搅匀后，再继续摸出一球，记下其颜色，以下是利用计算机模拟的摸球试验次数与摸出黑球次数的列表：摸球试验次数100 1000 5000 10000 50000 100000根据列表，可以估计出m 的值是（ ）A ．8B ．16C ．24D ．32【答案】C【分析】利用大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率求解即可．【详解】解：∵通过大量重复试验后发现，摸到黑球的频率稳定于3332911000003≈， 由题意得：813=m ， 解得：m=24，故选：C ．【点睛】此题主要考查了利用频率估计概率，本题利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率，关键是根据黑球的频率得到相应的等量关系．8．若关于x 的方程kx 2﹣2x ﹣1＝0有实数根，则实数k 的取值范围是（ ）A ．k ＞﹣1B ．k ＜1且k≠0C ．k≥﹣1且k≠0D ．k≥﹣1【答案】C【分析】根据根的判别式（240b ac =-≥△ ）即可求出答案．【详解】由题意可知：440k +≥△＝∴1k ≥-∵0k ≠∴1k ≥- 且0k ≠ ，故选：C ．【点睛】本题考查了根的判别式的应用，因为存在实数根，所以根的判别式成立，以此求出实数k 的取值范围． 9．下列图形中，是相似形的是（ ）A ．所有平行四边形B ．所有矩形C ．所有菱形D ．所有正方形 【答案】D【分析】根据对应角相等，对应边成比例的两个多边形相似，依次分析各项即可判断.【详解】所有的平行四边形、矩形、菱形均不一定是相似多边形，而所有的正方形都是相似多边形，故选D.【点睛】本题是判定多边形相似的基础应用题，难度一般，学生只需熟练掌握特殊四边形的性质即可轻松完成. 10．如图所示是滨河公园中的两个物体一天中四个不同时刻在太阳光的照射下落在地面上的影子，按照时间的先后顺序排列正确的是（ ）A ．(3)(4)(1)(2)B ．(4)(3)(1)(2)C ．(4)(3)(2)(1)D ．(2)(4)(3)(1)【答案】C 【解析】试题分析：根据平行投影的特点和规律可知，（3），（4）是上午，（1），（2）是下午，根据影子的长度可知先后为（4）（3）（2）（1）．故选C ．考点：平行投影．11．下列各组图形中，两个图形不一定是相似形的是（ ）A ．两个等边三角形B ．有一个角是100︒的两个等腰三角形C ．两个矩形D ．两个正方形 【答案】C【分析】根据相似图形的定义，以及等边三角形，等腰三角形，矩形，正方形的性质对各选项分析判断后利用排除法求解．【详解】解：A 、两个等边三角形，对应边的比相等，角都是60°，相等，所以一定相似，故A 正确； B 、有一个角是100°的两个等腰三角形，100°的角只能是顶角，夹顶角的两边成比例，所以一定相似，故B 正确；C 、两个矩形，四个角都是直角，但四条边不一定对应成比例，不一定相似，故C 错误；D 、两个正方形，对应边的比相等，角都是90°，相等，所以一定相似，故D 正确．故选：C ．【点睛】本题考查了相似图形的判断，严格按照定义，对应边成比例，对应角相等进行判断即可，另外，熟悉等腰三角形，等边三角形，正方形的性质对解题也很关键．12．已知一元二次方程的一般式为20(a 0)++=≠ax bx c ，则一元二次方程x 2－5＝0中b 的值为（ ） A ．1B ．0C ．－5D ．5【答案】B【分析】对照一元二次方程的一般形式，根据没有项的系数为0求解即可．【详解】∵一元二次方程的一般式为20(a 0)++=≠ax bx c ，对于一元二次方程x 2－5＝0中没有一次项，故b 的值为0，故选：B ．【点睛】此题主要考查对一元二次方程的一般形式的认识，掌握住各项系数是解题的关键．二、填空题（本题包括8个小题）13．半径为2的圆中，60°的圆心角所对的弧的弧长为_____. 【答案】2π3 【解析】根据弧长公式可得：602180π⨯⨯=23π， 故答案为23π. 14．一元二次方程()()320x x --=的根是_____．【答案】123,2==x x【分析】利用因式分解法把方程化为x-3=0或x-2=0，然后解两个一次方程即可．【详解】解：30x -=或20x -=，所以123,2==x x ．故答案为123,2==x x ．【点睛】本题考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．15．如图，在矩形ABCD 中对角线AC 与BD 相交于点O ，CE BD ⊥，垂足为点, 5E CE =，且2EO DE =，则AD 的长为___________.【答案】56【分析】由矩形的性质可得OC ＝OD ，于是设DE ＝x ，则OE ＝2x ，OD ＝OC ＝3x ，然后在Rt △OCE 中，根据勾股定理即可得到关于x 的方程，解方程即可求出x 的值，进而可得CD 的长，易证△ADC ∽△CED ，然后利用相似三角形的性质即可求出结果．。

九年级上学期期末数学试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．若34yx=，则x yx+的值为（）A．1 B．47C．54D．74【答案】D【解析】∵34yx=，∴x yx+=434+=74，故选D2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=900，CD⊥AB于点D，BC=3，AC=4，tan∠BCD的值为（）A．34；B．43；C．45；D．54；【答案】A【分析】根据余角的性质，可得∠BCD=∠A，根据等角的正切相等，可得答案．【详解】由∠ACB=90°，CD⊥AB于D，得∠BCD=∠Atan∠BCD=tan∠A=34 BCAC=，故选A．【点睛】此题考查锐角三角函数的定义，利用余角的性质得出∠BCD=∠A是解题关键．3．在一个不透明的盒子中有大小均匀的黄球与白球共12个，若从盒子中随机取出一个球，若取出的球是白球的概率是13，则盒子中白球的个数是（）.A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】B【分析】根据白、黄球共有的个数乘以白球的概率即可解答.【详解】由题意得：12×13=4，即白球的个数是4.故选：B.那么事件A 的概率P （A ）=m n． 4．已知a =3，b =5，且b 与a 的方向相反，用a 表示b 向量为（ ） A ．35b a =B ．53b a =C ．35b a =-D ．53b a =-【答案】D【分析】根据a =3，b =5，且b 与a 的方向相反，即可用a 表示b 向量. 【详解】a =3，b =5，b =53a ,b 与a 的方向相反,∴5.3b a =-故选D. 【点睛】考查了平面向量的知识，注意平面向量的正负表示的是方向.5．如图，在ABCD □中，AE BC ⊥，垂足为E ，BAE DEC ∠=∠，若45,sin 5AB B ==，则DE 的长为（ ）A ．203B ．163C ．5D ．125【答案】A【分析】根据题意先求出AE 和BE 的长度，再求出∠BAE 的sin 值，根据平行线的性质得出∠ADE=∠BAE ，即可得出答案.【详解】∵45,sin 5AB B ==，AE BC ⊥ ∴4AE AB sinB == 223AB AE -=∴35BE sin BAE AB ∠== ∵ABCD 是平行四边形 ∴AD ∥BC又∵∠BAE=∠DEC ∴∠BAE=∠ADE∴35AE sin ADE sin BAE DE ∠=∠== ∴203DE =故答案选择A. 【点睛】本题考查的是平行四边形的综合，难度适中，涉及到了平行四边形的性质以及三角函数值相关知识，需要熟练掌握.6．某商品原价为180元，连续两次提价后售价为300元，设这两次提价的年平均增长率为x ，那么下面列出的方程正确的是（ ） A ．180（1+x ）＝300 B ．180（1+x ）2＝300 C ．180（1﹣x ）＝300 D ．180（1﹣x ）2＝300【答案】B【分析】本题可先用x 表示出第一次提价后商品的售价，再根据题意表示出第二次提价后的售价，然后根据已知条件得到关于x 的方程．【详解】当商品第一次提价后，其售价为：180（1+x ）； 当商品第二次提价后，其售价为：180（1+x ）1． ∴180（1+x ）1＝2． 故选：B ． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，要根据题意表示出第一次提价后商品的售价，再根据题意列出第二次提价后售价的方程，令其等于2即可．7．若要得到函数2(1)2y x =-+的图象，只需将函数2yx 的图象（ ）A ．先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度B ．先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度C ．先向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度D ．先向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度 【答案】A【分析】找出两抛物线的顶点坐标，由a 值不变即可找出结论．【详解】∵抛物线y=（x-1）1+1的顶点坐标为（1，1），抛物线y=x 1的顶点坐标为（0，0）， ∴将抛物线y=x 1先向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度即可得出抛物线y=（x-1）1+1．【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，通过平移顶点找出结论是解题的关键． 8．下列运算中，正确的是（ ）． A ．2x - x = 2 B ．x 2 y ÷ y = x 2 C ．x ⋅ x 4 = 2x D ．(-2x )3 = -6x 3【答案】B【分析】根据同底数幂的除法，底数不变指数相减；合并同类项，系数相加字母和字母的指数不变；幂的乘方，底数不变指数相乘，对各选项计算后利用排除法求解． 【详解】A. 2x - x = x,故本选项错误， B. x 2 y ÷ y = x 2 ,故本选项正确， C. 45x x x ⋅=,故本选项错误， D.()3328x x -=- ,故本选项错误. 故选B. 【点睛】此题考查幂的乘方与积的乘方、合并同类项、同底数幂的除法，解题关键在于掌握运算法则. 9．已知点()()()1233,2,,1,A y B y C y --,都在函数3y x=-的图象上，则y 1、y 2、y 3的大小关系是（ ） A ．y 2＞y 1＞y 3 B ．y 1＞y 2＞y 3C ．y 1＞y 3＞y 2D ．y 3＞y 1＞y 2【答案】A【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征，将点()()()1233,2,,1,A y B y C y --,分别代入函数3y x=-，求得123,,y y y 的，然后比较它们的大小．【详解】解：把()()()1233,2,,1,A y B y C y --,分别代入：3,y x=-12331,,3,2y y y ∴===-∵32＞1＞3-， ∴2y ＞1y ＞3y 故选：A ． 【点睛】本题考查的是反比例函数的性质，考查根据自变量的值判断函数值的大小，掌握判断方法是解题的关键． 10．在平面直角坐标系中，对于二次函数22()1y x =-+，下列说法中错误的是（ ） A ．y 的最小值为1B ．图象顶点坐标为（2，1），对称轴为直线2x =D ．它的图象可以由2y x 的图象向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度得到【答案】C【分析】根据题目中的函数解析式，可以判断各个选项中的说法是否正确． 【详解】解：二次函数22()1y x =-+，10a =>，∴该函数的图象开口向上，对称轴为直线2x =，顶点为(2,1)，当2x =时，y 有最小值1，当2x >时，y 的值随x 值的增大而增大，当2x <时，y 的值随x 值的增大而减小；故选项A 、B 的说法正确，C 的说法错误； 根据平移的规律，2yx 的图象向右平移2个单位长度得到2(2)y x =-，再向上平移1个单位长度得到22()1y x =-+；故选项D 的说法正确， 故选C ． 【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，二次函数图象与几何变换，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．11．如图，在⊙O 中，AE 是直径，半径OC 垂直于弦AB 于D ，连接BE ，若AB=27，CD=1，则BE 的长是()A ．5B ．6C ．7D ．8【答案】B【分析】根据垂径定理求出AD,根据勾股定理列式求出半径 ，根据三角形中位线定理计算即可． 【详解】解：∵半径OC 垂直于弦AB ， ∴AD=DB=127 在Rt △AOD 中，OA 2=(OC-CD)2+AD 2,即OA 2=(OA-1)27 )2， 解得，OA=4 ∴OD=OC-CD=3， ∵AO=OE,AD=DB,故选B 【点睛】本题考查的是垂径定理、勾股定理，掌握垂直于弦的直径平分这条弦是解题的关键12．为了让市民游客欢度“五一”，泉州市各地推出了许多文化旅游活动和景区优惠，旅游人气持续兴旺．从市文旅局获悉，“五一”假日全市累计接待国内外游客171.18万人次，171.18万这个数用科学记数法应表示为（ ） A ．1.7118×102 B ．0.17118×107 C ．1.7118×106 D ．171.18×10【答案】C【分析】用科学记数法表示较大数的形式是10n a ⨯ ，其中110a ≤<，n 为正整数，只要确定a,n 即可. 【详解】将171.18万用科学记数法表示为：1.7118×1． 故选：C ． 【点睛】本题主要考查科学记数法，掌握科学记数法是解题的关键. 二、填空题（本题包括8个小题）13．某一建筑物的楼顶是“人”字型，并铺上红瓦装饰．现知道楼顶的坡度超过0.5时，瓦片会滑落下来．请你根据图中数据判断这一楼顶铺设的瓦片是否会滑落下来？________．（填“会”或“不会”）【答案】不会【分析】根据斜坡的坡度的定义，求出坡度，即可得到答案． 【详解】∵∆ABC 是等腰三角形，AB=AC=13m ，AH ⊥BC ， ∴CH=12BC=12m ， ∴2213125-=m ， ∴楼顶的坡度=50.512AH CH =<， ∴这一楼顶铺设的瓦片不会滑落下来． 故答案是：不会． 【点睛】本题主要考查斜坡坡度的定义，掌握坡度的定义，是解题的关键．14．若点P(2a+3b ，﹣2)关于原点的对称点为Q(3，a ﹣2b)，则(3a+b)2020＝______.【分析】直接利用关于原点对称点的性质得出3a+b ＝﹣1，进而得出答案. 【详解】解：∵点P(2a+3b ，﹣2)关于原点的对称点为Q(3，a ﹣2b)，∴23322a b a b +=-⎧⎨-=⎩，故3a+b ＝﹣1， 则(3a+b)2020＝1. 故答案为：1. 【点睛】此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确记忆横纵坐标的符号关系是解题关键．15．在英语句子“Wish you success”（祝你成功）中任选一个字母，这个字母为“s”的概率是 ． 【答案】【解析】试题解析：在英语句子“Wishyousuccess!”中共14个字母，其中有字母“s”4个．故其概率为42=147. 考点：概率公式．16．请你写出一个函数，使它的图象与直线y x =无公共点，这个函数的表达式为_________．【答案】1y x=-（答案不唯一） 【分析】直线y x =经过一三象限，所以只要找到一个过二、四象限的函数即可.【详解】∵直线y x =经过一三象限，1y x=-图象在二、四象限 ∴两个函数无公共点 故答案为1y x=- 【点睛】本题主要考查正比例函数的图象与性质，掌握正比例函数与反比例函数的图象与性质是解题的关键. 17．一元二次方程2310x x -++=的两根之积是_________． 【答案】1-【分析】根据一元二次方程两根之积与系数的关系可知． 【详解】解：根据题意有两根之积x 1x 2=ca=-1． 故一元二次方程-x 2+3x+1=0的两根之积是-1． 故答案为：-1． 【点睛】本题重点考查了一元二次方程根与系数的关系，是基本题型．两根之积x 1x 2=c a．【答案】4cm≤A′C≤8cm【分析】根据矩形的性质得到∠C＝90°，BC＝AD＝10cm，CD＝AB＝6cm，当折痕EF移动时，点A’在BC边上也随之移动，由此得到：点E与B重合时，A′C最小，当F与D重合时，A′C最大，据此画图解答.【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠C＝90°，BC＝AD＝10cm，CD＝AB＝6cm，当点E与B重合时，A′C最小，如图1所示：此时BA′＝BA＝6cm，∴A′C＝BC﹣BA′＝10cm﹣6cm＝4cm；当F与D重合时，A′C最大，如图2所示：此时A′D＝AD＝10cm，∴A′C＝22＝8（cm）；106综上所述：A′C的取值范围为4cm≤A′C≤8cm．故答案为：4cm≤A′C≤8cm．【点睛】此题考查折叠问题，利用了矩形的性质，解题中确定点E与F的位置是解题的关键.三、解答题（本题包括8个小题）19．已知，如图，在△ABC中，∠C=90°，点D是AB外一点，过点D分别作边AB、BC的垂线，垂足分别为点E、F，DF与AB交于点H，延长DE交BC于点G．求证：△DFG∽△BCA【答案】见解析【分析】通过角度转化，先求出∠D=∠B，然后根据∠C=∠DFG=90°，可证相似．【详解】∵ DF⊥BC于F，∠C=90°∴∠DFG＝∠C＝90°又DE⊥AB于点E∴∠DGB＋∠B＝90°又∠DGB＋∠D＝90°∴∠B=∠D∴△DFG∽△BCA．【点睛】本题考查证相似，解题关键是通过角度转化，得出∠D=∠B．20．已知反比例函数3kyx-=，（k为常数，3k≠）．（1）若点(2,3)A在这个函数的图象上，求k的值；（2）若在这个函数图象的每一分支上，y随x的增大而增大，求k的取值范围．【答案】（1）k=9；（2）k<3（2）根据反比例函数的性质得30k-<，然后解不等式即可；【详解】解：（1）∵点(2,3)A在这个函数的图象上，323k∴-=⨯，解得9k=；（2）∵在函数3kyx-=图象的每一支上，y随x的增大而增大，30k∴-<，得3k<．【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数kyx=（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy=k．也考查了反比例函数的性质．21．为了庆祝中华人民共和国成立70周年，某市决定开展“我和祖国共成长”主题演讲比赛，某中学将参加本校选拔赛的40名选手的成绩(满分为100分，得分为正整数且无满分，最低为75分)分成五组，并绘制了下列不完整的统计图表.分数段频数频率74.5～79.5 2 0.0579.5～84.5 m 0.284.5～89.5 12 0.389.5～94.5 14 n94.5～99.5 4 0.1(1)表中m＝__________，n＝____________；(2)请在图中补全频数直方图；(3)甲同学的比赛成绩是40位参赛选手成绩的中位数，据此推测他的成绩落在_________分数段内；(4)选拔赛中，成绩在94.5分以上的选手，男生和女生各占一半，学校从中随机确定2名选手参加全市决赛，请用列举法或树状图法求恰好是一名男生和一名女生的概率.【答案】 (1)8，0.35；(2)见解析；(3)89.5～94.5；(4)23. 【分析】(1)根据频数=总数×频率可求得m 的值，利用频率=频数÷总数可求得n 的值；(2)根据m 的值补全直方图即可；(3)根据中位数的概念进行求解即可求得答案；(4)画树状图得到所有等可能的情况数，找出符合条件的情况数，然后利用概率公式进行求解即可.【详解】(1)m ＝40×0.2＝8，n ＝14÷40＝0.35， 故答案为8，0.35；(2)补全图形如下：(3)由于40个数据的中位数是第20、21个数据的平均数，而第20、21个数据均落在89.5～94.5， ∴推测他的成绩落在分数段89.5～94.5内，故答案为89.5～94.5；(4)选手有4人，2名是男生，2名是女生，画树状图如下：共有12种等可能的结果，其中一名男生一名女生的结果数有8种，所以恰好是一名男生和一名女生的概率为82123=. 【点睛】本题考查了频数(率)分布表，频数分布直方图，中位数，列表法或树状图法求概率，正确把握相关知识是解题的关键.22．如图，在矩形纸片ABCD 中，已知2AB =6=BC E 在边CD 上移动，连接AE ，将多边形ABCE 沿AE 折叠，得到多边形AB C E ''，点B 、C 的对应点分别为点B '，C '.（1）连接AC .则AC =______，DAC ∠=______°；（2）当B C ''恰好经过点D 时，求线段CE 的长；（3）在点E 从点C 移动到点D 的过程中，求点C '移动的路径长.【答案】（1）22，30；（2）2322CE =-；（3）CC '的长223π= 【分析】(1)直接利用勾股定理可求出AC 的长，再利用特殊角的三角函数值可得出∠DAC 的度数(2)设CE=x ，则DE=2x -，根据已知条件得出AD B DEC '',再利用相似三角形对应线段成比例求解即可.(3)点C?运动的路径长为´CC 的长，求出圆心角，半径即可解决问题.【详解】解：(1)连接AC22AC 2622AB BC +=+=∵21sin 30222AB AC ===︒ ∴ACB DAC 30∠∠==︒（2）由已知条件得出，A 2B '=,D 2B '=,D 62C '= 易证AB D DC E ''∆∆∽∴C E DC BD AB ''='' ∴6222CE -= ∴2322CE =（3）如图所示，C'运动的路径长为CC '的长由翻折得：30C AD DAC '∠=∠=︒∴60CAC '∠=︒∴CC '的长602222ππ⋅== 【点睛】本题考查的知识点有相似三角形的判定与性质，特殊的三角函数值，弧长的相关计算等，解题的关键是弄清题意，综合利用各知识点来求解.23．如图，反比例函数y ＝k x （k≠0，x ＞0）的图象与矩形OABC 的边AB 、BC 分别交于点E 、F ，E （32，6），且E 为BC 的中点，D 为x 轴负半轴上的点．（1）求反比倒函数的表达式和点F 的坐标；（2）若D （﹣32，0），连接DE 、DF 、EF ，则△DEF 的面积是 ． 【答案】（1）y ＝9x ，F （3，3）；（2）S △DEF ＝1． 【分析】（1）利用待定系数法即可求得反比例函数的解析式，根据题意求得B 的坐标，进而得到F 的横坐标，代入解析式即可求得纵坐标；（2）设DE 交y 轴于H ，先证得H 是OC 的中点，然后根据S △DEF ＝S 矩形OABC +S △ODH ﹣S △ADF ﹣S △CEH ﹣S △BEF 即可求得．【详解】（1）∵反比例函数y ＝k x （k≠0，x ＞0）的图象过E （32，6）， ∴k ＝32×6＝1，∴反比例函数的解析式为y ＝9x ， ∵E 为BC 的中点， ∴B （3，6），∴F 的横坐标为3，把x ＝3代入y ＝9x 得，y ＝93＝3， ∴F （3，3）；（2）设DE 交y 轴于H ，∵BC ∥x 轴，∴△DOH ∽△ECH ， ∴OH D CH CEO =＝3232＝1， ∴OH ＝CH ＝3，∴S △DEF ＝S 矩形OABC +S △ODH ﹣S △ADF ﹣S △CEH ﹣S △BEF ＝3×6+12×32×3﹣12×（3+32）×3﹣13322⨯⨯﹣13322⨯⨯＝1．【点睛】此题主要考查反比例函数与相似三角形，解题的关键是熟知反比例函数的图像与性质及相似三角形的判定与性质.24．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格图中，△ABC 的顶点都在网格线交点上． （1）图中AC 边上的高为 个单位长度；（2）只用没有刻度的直尺，在所给网格图中按如下要求画图（保留必要痕迹）：①以点C 为位似中心，把△ABC 按相似比1:2缩小，得到△DEC ；②以AB 为一边，作矩形ABMN ，使得它的面积恰好为△ABC 的面积的2倍．【答案】（1）32；（2）①见解析，②见解析【分析】（1）利用等面积法即可求出AC边上的高；（2）①利用位似图形的性质得出对应点位置连接即可；②利用矩形的判定方法即可画出．【详解】解：（1）由图可知225552AC=+=,设AC边上的高为x，则由三角形面积公式可得：116552 22x⨯⨯=⨯解得32x=，即AC边上的高为32. （2）①如图所示：△DEC即为所求．②如图所示：矩形ABMN即为所求．【点睛】本题考查作位似图形，矩形的判定，勾股定理.（1）中熟练掌握等面积法是解决此问的关键；（2）中能作出AC 的中点是解题关键；（3）中注意矩形的四个角都是直角，且矩形的一边为AB ，另一边要与△ABC 中AB 边上的高相等.25．某商场将进货价为30元的台灯以40元的价格售出，平均每月能售出600个，经调查表明，这种台灯的售价每上涨1元，其销量就减少10个，市场规定此台灯售价不得超过60元．（1）为了实现销售这种台灯平均每月10000元的销售利润，售价应定为多少元？（2）若商场要获得最大利润，则应上涨多少元？【答案】（1）50元；（2）涨20元.【分析】（1）设这种台灯上涨了x 元，台灯将少售出10x ，那么利润为（40+x-30）（600-10x ）=10000，解方程即可；（2）根据销售利润=每个台灯的利润×销售量，每个台灯的利润=售价-进价，列出二次函数解析式，根据二次函数的性质即可求最大利润．【详解】解：（1）设这种台灯上涨了x 元，依题意得：()()40306001010000x x +--=，化简得：2504000x x -+=，解得：40x =（不合题意，舍去）或10x =，售价：401050+=（元）答：这种台灯的售价应定为50元.（2）设台灯上涨了t 元，利润为y 元，依题意：()()403060010y t t =+--∴2105006000y t t =-++对称轴25t =，在对称轴的左侧y 随着t 的增大而增大，∵单价在60元以内，∴20t ≤∴当20t =时，12000y =最大元，答：商场要获得最大利润，则应上涨20元.【点睛】此题考查一元二次方程和二次函数的实际运用---销售利润问题，能够由实际问题转化为一元二次方程或二次函数的问题是解题关键，要注意的是二次函数的最值要考虑自变量取值范围，不一定在顶点处取得，这点很容易出错．26．一个不透明的袋子中装有3个标号分别为1、2、3的完全相同的小球，随机地摸出一个小球不放回，再随机地摸出一个小球．（1）采用树状图或列表法列出两次摸出小球出现的所有可能结果；（2）求摸出的两个小球号码之和等于4的概率．【答案】 (1)见解析;(2)13. 【分析】（1）画树状图列举出所有情况；（2）让摸出的两个球号码之和等于4的情况数除以总情况数即为所求的概率．【详解】解：（1）根据题意，可以画出如下的树形图：从树形图可以看出，两次摸球出现的所有可能结果共有6种．（2）由树状图知摸出的两个小球号码之和等于4的有2种结果，∴摸出的两个小球号码之和等于4的概率为=．【点睛】本题要查列表法与树状图法求概率，列出树状图得出所有等可能结果是解题关键.27．在水果销售旺季，某水果店购进一优质水果，进价为20元/千克，售价不低于20元/千克，且不超过32元/千克，根据销售情况，发现该水果一天的销售量y （千克）与该天的售价x （元/千克）满足如下表所示的一次函数关系．销售量y （千克）… 34.8 32 29.6 28 … 售价x （元/千克） … 22.6 24 25.2 26 …（1）某天这种水果的售价为23.5元/千克，求当天该水果的销售量．（2）如果某天销售这种水果获利150元，那么该天水果的售价为多少元？【答案】（1）当天该水果的销售量为2千克；（2）如果某天销售这种水果获利150元，该天水果的售价为3元．【分析】（1）根据表格内的数据，利用待定系数法可求出y 与x 之间的函数关系式，再代入x=23.5即可求出结论；（2）根据总利润每千克利润销售数量，即可得出关于x 的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．【详解】（1）设y 与x 之间的函数关系式为y=kx+b ，将（22.6，34.8）、（24，32）代入y=kx+b ，22.634.82432k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得：280k b =-⎧⎨=⎩， ∴y 与x 之间的函数关系式为y=﹣2x+1．当x=23.5时，y=﹣2x+1=2．答：当天该水果的销售量为2千克．（2）根据题意得：（x﹣20）（﹣2x+1）=150，解得：x1=35，x2=3．∵20≤x≤32，∴x=3．答：如果某天销售这种水果获利150元，那么该天水果的售价为3元．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）根据表格内的数据，利用待定系数法求出一次函数关系式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．九年级上学期期末数学试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．已知矩形ABCD ，下列结论错误的是（ ）A ．AB ＝DCB ．AC ＝BD C ．AC ⊥BD D ．∠A+∠C ＝180°【答案】C【分析】由矩形的性质得出AB ＝DC ，AC ＝BD ，∠A ＝∠B ＝∠C ＝∠D ＝90°，则∠A+∠C ＝180°，只有AB ＝BC 时，AC ⊥BD ，即可得出结果．【详解】∵四边形ABCD 是矩形，∴AB ＝DC ，AC ＝BD ，∠A ＝∠B ＝∠C ＝∠D ＝90°，∴∠A+∠C ＝180°，只有AB ＝BC 时，AC ⊥BD ，∴A 、B 、D 不符合题意，只有C 符合题意，故选：C ．【点睛】此题主要考查了矩形的性质的运用，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．2．为了测量某沙漠地区的温度变化情况，从某时刻开始记录了12个小时的温度，记时间为t （单位：h ）温度为y （单位：C ︒）.当48t ≤≤时，y 与t 的函数关系是21011y t t =-++，则48t ≤≤时该地区的最高温度是（ ）A ．11C ︒B ．27C ︒ C ．35︒CD ．36C ︒ 【答案】D【分析】利用配方法求最值.【详解】解：221011(5)36y t t t =-++=--+∵a=-1<0∴当t=5时，y 有最大值为36故选：D【点睛】本题考查配方法求最值，掌握配方法的方法正确计算是本题的解题关键.3．若一个矩形对折后所得矩形与原矩形相似，则此矩形的长边与短边的比是（ ）．A ．2:1B ．4:1 C．2:1 D ．1:2【答案】C 【分析】根据相似图形对应边成比例列出关系式即可求解.【详解】如图，矩形ABCD 对折后所得矩形与原矩形相似，则矩形ABCD ∽矩形BFEA ，设矩形的长边长是a ，短边长是b ，则AB=CD=EF=b ，AD=BC=a ，BF=AE=2a ， 根据相似多边形对应边成比例得：BF EF =AB BC ，即b 2=b a a∴222=b 1a ∴b=2::1a故选C.【点睛】本题考查相似多边形的性质，根据相似多边形对应边成比例建立方程是关键.4．如图，△ABC 中，点D 是AB 的中点，点E 是AC 边上的动点，若△ADE 与△ABC 相似，则下列结论一定成立的是（ ）A ．E 为AC 的中点B ．DE 是中位线或AD·AC=AE·ABC ．∠ADE=∠CD ．DE ∥BC 或∠BDE+∠C=180°【答案】D 【分析】如图，分两种情况分析：由△ADE 与△ABC 相似，得，∠ADE=∠B 或∠ADE=∠C ，故DE ∥BC 或∠BDE+∠C=180°.【详解】因为，△ADE 与△ABC 相似，所以，∠ADE=∠B 或∠ADE=∠C所以，DE ∥BC 或∠BDE+∠C=∠BDE+∠ADE=180°故选D【点睛】本题考核知识点：相似性质.解题关键点：理解相似三角形性质. 5．正方形网格中，∠AOB如图放置，则cos∠AOB的值为（）A．12B．22C．32D．3【答案】B【详解】解：连接AD，CD，设正方形网格的边长是1，则根据勾股定理可以得到：OD=AD=，OC=AC=，∠OCD=90°．则cos∠AOB=22．故选B．6．抛物线y＝3（x+2）2﹣（m2+1）（m为常数）的顶点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】C【分析】根据二次函数的性质求出抛物线的顶点坐标，根据偶次方的非负性判断．【详解】抛物线y ＝3（x+2）2﹣（m 2+1）的的顶点坐标为（﹣2，﹣（m 2+1）），∵m 2+1＞0，∴﹣（m 2+1）＜0，∴抛物线的顶点在第三象限，故选：C ．【点睛】本题考查的是二次函数的性质，掌握二次函数的顶点坐标的确定方法、偶次方的非负性是解题的关键． 7．如图，在扇形纸片AOB 中，OA =10，ÐAOB=36°，OB 在直线l 上．将此扇形沿l 按顺时针方向旋转(旋转过程中无滑动)，当OA 落在l 上时，停止旋转．则点O 所经过的路线长为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】点O 所经过的路线是三段弧，一段是以点B 为圆心，10为半径，圆心角为90°的弧，另一段是一条线段，和弧AB 一样长的线段，最后一段是以点A 为圆心，10为半径，圆心角为90°的弧，从而得出答案．【详解】由题意得点O 所经过的路线长.故选A.【点睛】 解题的关键是熟练掌握弧长公式：，注意在使用公式时度不带单位.8．半径为3的圆中，30的圆心角所对的弧的长度为（ ）A ．2πB ．32πC ．34πD ．12π 【答案】D【分析】根据弧长公式l=180n r π ，计算即可． 【详解】弧长=303=1802ππ⨯ ， 故选：D ．【点睛】本题考查弧长公式，解题的关键是记住弧长公式，属于中考常考题型．9．数学课外兴趣小组的同学们要测量被池塘相隔的两棵树A，B的距离，他们设计了如图的测量方案：从树A沿着垂直于AB的方向走到E，再从E沿着垂直于AE的方向走到F，C为AE上一点，其中4位同学分别测得四组数据：①AC，∠ACB；②EF，DE，AD；③CD，∠ACB，∠ADB；④∠F，∠ADB，FB．其中能根据所测数据求得A，B两树距离的有（）A．1组B．2组C．3组D．4组【答案】C【分析】根据三角函数的定义及相似三角形的判定定理及性质对各选项逐一判断即可得答案．【详解】∵已知∠ACB的度数和AC的长，∴利用∠ACB的正切可求出AB的长，故①能求得A，B两树距离，∵AB//EF，∴△ADB∽△EDF，∴AB ADEF DE=，故②能求得A，B两树距离，设AC＝x，∴AD＝CD+x，AB＝tanxACB∠，AB＝tanx CDADB+∠；∵已知CD，∠ACB，∠ADB，∴可求出x，然后可得出AB，故③能求得A，B两树距离，已知∠F，∠ADB，FB不能求得A，B两树距离，故④求得A，B两树距离，综上所述：求得A，B两树距离的有①②③，共3个，故选：C．【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质及解直角三角形的应用，解答道题的关键是将实际问题转化为数学问题，本题只要把实际问题抽象到相似三角形，解直角三角形即可求出．10．下列长度的三条线段能组成三角形的是（）A．1，2，3 B．2，3，4 C．3，4，7 D．5，2，8【答案】B【解析】根据三角形三边关系定理得出：如果较短两条线段的和大于最长的线段，则三条线段可以构成三角形，由此判定即可．【详解】A ．1+2=3，不能构成三角形，故此选项错误；B ．2+3＞4，能构成三角形，故此选项正确；C ．3+4=7，不能构成三角形，故此选项错误；D ．5+2＜8，不能构成三角形，故此选项错误．故选：B ．【点睛】本题考查了三角形的三边关系，在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形． 11．如图，排球运动员站在点O 处练习发球，将球从O 点正上方2m 的A 处发出，把球看成点，其运行的高度y （m ）与运行的水平距离x （m ）满足关系式y ＝a （x ﹣k ）2+h ．已知球与D 点的水平距离为6m 时，达到最高2.6m ，球网与D 点的水平距离为9m ．高度为2.43m ，球场的边界距O 点的水平距离为18m ，则下列判断正确的是（ ）A ．球不会过网B ．球会过球网但不会出界C ．球会过球网并会出界D ．无法确定【答案】C 【解析】分析：（1）将点A(0,2)代入2(6) 2.6y a x =-+求出a 的值；分别求出x=9和x=18时的函数值，再分别与2.43、0比较大小可得．详解：根据题意,将点A(0,2)代入2(6) 2.6y a x =-+，得：36a+2.6=2， 解得：160a ，=- ∴y 与x 的关系式为21(6) 2.660y x =--+； 当x=9时,()2196 2.6 2.45 2.4360y =--+=>， ∴球能过球网， 当x=18时,()21186 2.60.2060y =--+=>， ∴球会出界.故选C.点睛：考查二次函数的应用题，求范围的问题，可以利用临界点法求出自变量的值，根据题意确定范围.12．对于反比例函数32y x=，下列说法错误的是（ ） A ．它的图像在第一、三象限B ．它的函数值y 随x 的增大而减小C ．点P 为图像上的任意一点，过点P 作PA x ⊥轴于点A ．POA ∆的面积是34．D ．若点()11,A y -和点()2B y 在这个函数图像上，则12y y <【答案】B 【分析】对反比例函数32y x =化简得32y x=，所以k=32＞0，当k ＞0时，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y 随x 的增大而减小，根据反比例函数的性质对四个选项进行逐一分析即可．【详解】解：A 、∵k=32＞0，∴它的图象分布在第一、三象限，故本选项正确； B 、∵它的图象分布在第一、三象限，∴在每一象限内y 随x 的增大而减小，故本选项错误；C 、∵k=32，根据反比例函数中k 的几何意义可得POA ∆的面积为12k ⨯=34，故本选项正确；D 、∵它的图象分布在第一、三象限，在每一象限内y 随x 的增大而减小，∵x 1=﹣1＜0，x 2=0，且x 1＞x 2，∴12y y <，故本选项正确．故选：B ．【点睛】题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数y=k x （k≠0）中，当k ＞0时函数图象的两个分支分别位于一三象限是解答此题的关键．二、填空题（本题包括8个小题）13．点A(﹣2，y 1)，B(0，y 2)，，y 3)是二次函数y ＝ax 2﹣ax （a 是常数，且a ＜0）的图象上的三点，则y 1，y 2，y 3的大小关系为_____（用“＜”连接）．【答案】y 1＜y 3＜y 1【分析】求出抛物线的对称轴，求出C 关于对称轴的对称点的坐标，根据抛物线的开口方向和增减性，即可求出答案．【详解】y=ax 1﹣ax(a 是常数，且a ＜0)，对称轴是直线x 122a a -=-=， 即二次函数的开口向下，对称轴是直线x 12=， 即在对称轴的左侧y 随x 的增大而增大，。

九年级上学期期末数学试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．已知x2＋y＝3，当1≤x≤2时，y的最小值是( )A．－1 B．2 C．2.75 D．3【答案】A【分析】移项后变成求二次函数y=-x2+2的最小值，再根据二次函数的图像性质进行答题．【详解】解：∵x2+y=2，∴y=-x2+2．∴该抛物线的开口方向向下，且其顶点坐标是（0，2）．∵2≤x≤2，∴离对称轴越远的点所对应的函数值越小，∴当x=2时，y有最小值为-4+2=-2．故选：A．【点睛】本题考查了二次函数的最值．求二次函数的最值有常见的两种方法，第一种是配方法，第二种是直接套用顶点的纵坐标求，熟练掌握二次函数的图像及性质是解决本题的关键．2．在下列图形中，是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【答案】C【分析】把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．据此判断即可．【详解】解：A、不是中心对称图形，故此选项错误；B、不是中心对称图形，故此选项错误；C、是中心对称图形，故此选项正确；D、不是中心对称图形，故此选项错误；故选：C．【点睛】本题考查的是中心对称图形的概念：中心对称图形关键是寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．3．如图，甲乙两楼相距30米，乙楼高度为36米，自甲楼顶A 处看乙楼楼顶B处仰角为30°，则甲楼高度为（）A．11米B．（36﹣153）米C．153米D．（36﹣103）米【答案】D【分析】分析题意可得：过点A作AE⊥BD，交BD于点E；可构造Rt△ABE，利用已知条件可求BE；而乙楼高AC＝ED＝BD﹣BE．【详解】解：过点A作AE⊥BD，交BD于点E，在Rt△ABE中，AE＝30米，∠BAE＝30°，∴BE＝30×tan30°＝103（米），∴AC＝ED＝BD﹣BE＝（36﹣103）（米）．∴甲楼高为（36﹣103）米．故选D．【点睛】此题主要考查三角函数的应用，解题的关键是熟知特殊角的三角函数值.4．如图，某水库堤坝横断面迎水坡AB的坡比是1：3，堤坝高BC=50m，则应水坡面AB的长度是（）A．100m B．3m C．150m D．3【答案】A【解析】∵堤坝横断面迎水坡AB 的坡比是1：3，∴BC =AC 3， ∵BC=50，∴AC=503，∴()2222AB=AC +BC 503+50100==（m ）．故选A 5．将抛物线()2213y x =+-先向上平移3个单位长度，再向右平移1个单位长度可得抛物线（ ） A ．22y x = B ．()222y x =+ C ．226y x =- D ．()2226y x =+-【答案】A【分析】根据抛物线平移的规律：上加下减，左加右减，即可得解. 【详解】平移后的抛物线为()22211332y x x =+--+= 故答案为A. 【点睛】此题主要考查抛物线平移的性质，熟练掌握，即可解题.6．已知0x =是方程22210x x a ++-=的一个解，则a 的值是（ ） A ．±1 B ．0C ．1D ．-1【答案】A【分析】利用一元二次方程解得定义，将0x =代入22210x x a ++-=得到210a -=，然后解关于a 的方程.【详解】解：将0x =代入22210x x a ++-=得到210a -=， 解得1a =± 故选A 【点睛】本题考查了一元二次方程的解.7．如图，A ，B ，C ，D 四个点均在⊙O 上，∠AOB ＝40°，弦BC 的长等于半径，则∠ADC 的度数等于（ ）A ．50°B ．49°C ．48°D ．47°【答案】A【解析】连接OC ，根据等边三角形的性质得到∠BOC ＝60°，得到∠AOC ＝100°，根据圆周角定理解答． 【详解】连接OC ，由题意得，OB＝OC＝BC，∴△OBC是等边三角形，∴∠BOC＝60°，∵∠AOB＝40°，∴∠AOC＝100°，由圆周角定理得，∠ADC＝∠AOC＝50°，故选：A．【点睛】本题考查的是圆周角定理，等边三角形的判定和性质，掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键．8．如图，MN所在的直线垂直平分线段AB，利用这样的工具，可以找到圆形工件的圆心，如果使用此工具找到圆心，最少使用次数为（）.A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】根据垂径定理可知，MN所在直线是直径的位置，而两条直径的交点即为圆心，故最少使用2次就可以找到圆形工件的圆心．【详解】根据垂径定理可知，MN所在直线是直径的位置，而两条直径的交点即为圆心，如图所示，使用2次即可找到圆心O，故选B.【点睛】本题考查利用垂径定理确定圆心，熟练掌握弦的垂直平分线经过圆心是解题的关键.9．某药品原价为100元，连续两次降价%a 后，售价为64元，则a 的值为（ ） A ．10 B ．20C ．23D ．36【答案】B【解析】根据题意可列出一元二次方程100（1-%a ）²=64，即可解出此题. 【详解】依题意列出方程100（1-%a ）²=64， 解得a=20，（a=180100>,舍去） 故选B. 【点睛】此题主要考察一元二次方程的应用，依题意列出方程是解题的关键. 10． 如图，AB 是⊙O 直径，若∠AOC ＝140°，则∠D 的度数是（ ）A ．20°B ．30°C ．40°D ．70°【答案】A【分析】根据邻补角的性质，求出∠BOC 的值，再根据圆周角与圆心角的关系求出∠D 的度数即可． 【详解】∵∠AOC ＝140°， ∴∠BOC ＝180°-∠AOC=40°， ∵∠BOC 与∠BDC 都对BC ， ∴∠D ＝12∠BOC ＝20°， 故选A ． 【点睛】本题考查了圆周角定理，知道同弧所对的圆周角是圆心角的一半是解题的关键． 11．一元二次方程2660x x --=配方后化为( ) A ．2(3)15x -= B ．2(3)3x -=C ．2(3)15x +=D ．2(3)3x +=【答案】A【分析】先把常数项移到方程的右边，再在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，即可. 【详解】2660x x --= 移项得：266x x -=，方程两边同加上9，得：26915x x -+=，即：2(3)15x -=， 故选A. 【点睛】本题主要考查解一元二次方程的配方法，熟练掌握完全平方公式，是解题的关键. 12．下面的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行判断即可. 【详解】解：A 、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误； B 、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误； C 、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确； D 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误； 故选C. 【点睛】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的定义，属于基础题型，熟知轴对称图形和中心对称图形的定义是正确判断的关键.二、填空题（本题包括8个小题） 13．若2sin 2α=，则锐角α的度数是_____． 【答案】45°．【分析】直接利用特殊角的三角函数值得出答案． 【详解】解：∵2sin α=， ∴α＝45°． 故答案为：45°． 【点睛】本题考查的知识点特殊角的三角函数值，理解并熟记特殊角的三角函数值是解题的关键. 14．已知抛物线2y x 3x m =+－与 x 轴只有一个公共点，则m=___________． 【答案】94【解析】试题分析：根据抛物线解析式可知其对称轴为x=322b a -=，根据其与x 轴只有一个交点，可知其顶点在x 轴上，因此可知x=32时，y=0，代入可求得m=94.点睛：此题主要考查了二次函数的图像与性质，解题关键是明确与x 轴只有一个交点的位置是抛物线的顶点在x 轴上，因此可求出对称轴代入即可. 15．一元二次方程x （x ﹣3）=3﹣x 的根是____． 【答案】x 1=3，x 2=﹣1．【分析】整体移项后，利用因式分解法进行求解即可. 【详解】x （x ﹣3）=3﹣x ， x （x ﹣3）-（3﹣x ）=0， （x ﹣3）（x+1）=0， ∴x 1=3，x 2=﹣1， 故答案为x 1=3，x 2=﹣1． 16．一元二次方程x 2﹣x ﹣14=0配方后可化为__________． 【答案】21122x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭ 【分析】移项，配方，即可得出选项． 【详解】x 2﹣x ﹣14=0 x 2﹣x=14x 2﹣x+14=14+1421122x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭故填：21122x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭.【点睛】本题考查了解一元二次方程的应用，能正确配方是解此题的关键．17．若关于x 的一元二次方程（a +3）x 2+2x +a 2﹣9＝0有一个根为0，则a 的值为_____． 【答案】1【分析】将x ＝0代入原方程，结合一元二次方程的定义即可求得a 的值． 【详解】解：根据题意，将x ＝0代入方程可得a 2﹣9＝0， 解得：a ＝1或a ＝﹣1， ∵a +1≠0，即a ≠﹣1， ∴a ＝1． 故答案为：1．【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．18．如图，在△ABC中，点D是边AB上的一点，∠ADC=∠ACB，AD=2，BD=6，则边AC的长为_____【答案】1【分析】只要证明△ADC∽△ACB，可得ACAB=ADAC，即AC2=AD•AB，由此即可解决问题.【详解】解：∵∠A=∠A，∠ADC=∠ACB，∴△ADC∽△ACB，∴ACAB =AD AC，∴AC2=AD•AB=2×8=16，∵AC＞0，∴AC=1，故答案为：1．【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质、解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．三、解答题（本题包括8个小题）19．为了创建文明城市，增弘环保意识，某班随机抽取了8名学生（分别为A，B，C，D，E，F，G，H），进行垃圾分类投放检测，检测结果如下表，其中“√”表示投放正确，“×”表示投放错误，学生垃圾类别A B C D E F G H可回收物√××√√×√√其他垃圾×√√√√×√√餐厨垃圾√√√√√√√√有害垃圾×√×××√×√（1）检测结果中，有几名学生正确投放了至少三类垃圾？请列举出这几名学生．（2）为进一步了解学生垃圾分类的投放情况，从检测结果是“有害垃圾”投放错误的学生中随机抽取2名进行访谈，求抽到学生A的概率．【答案】（1）有5位同学正确投放了至少三类垃圾，他们分别是B 、D 、E 、G 、H 同学；（2）25． 【分析】（1）从表格中，找出正确投放了至少三类垃圾的同学即可；（2））“有害垃圾”投放错误的学生有A 、C 、D 、E 、G 同学，用列表法列举出所有可能出现的结果，从中找出“有A 同学”的结果数，进而求出概率．【详解】解：（1）有5位同学正确投放了至少三类垃圾，他们分别是B 、D 、E 、G 、H 同学，（2）“有害垃圾”投放错误的学生有A 、C 、D 、E 、G 同学，从中抽出2人所有可能出现的结果如下：共有20种可能出现的结果数，其中抽到A 的有8种， 因此，抽到学生A 的概率为82205=． 【点睛】本题考查的知识点是概率，理解题意，利用列表法求解比较简单．20．某网店销售一种商品，其成本为每件30元.根据市场调查，当每件商品的售价为x 元（30x >）时，每周的销售量y （件）满足关系式：10600y x =-+.（1）若每周的利润W 为2000元，且让消费者得到最大的实惠，则售价应定为每件多少元？ （2）当3552x ≤≤时，求每周获得利润W 的取值范围.【答案】（1）售价应定为每件40元；（2）每周获得的利润的取值范围是1250元W ≤≤2250元. 【分析】（1）根据题意列出方程即可求解；（2）根据题意列出二次函数，根据3552x ≤≤求出W 的取值. 【详解】解：（1）根据题意得()()30106002000x x --+=， 解得140x =，250x =.∵让消费者得到最大的实惠，∴140x =. 答：售价应定为每件40元.（2）()()230106001090018000W x x x x =--+=-+-()210452250x =--+.∵100-<，∴当45x =时，W 有最大值2250. 当35x =时，1250W =；当52x =时，1760W =.∴每周获得的利润的取值范围是1250元W ≤≤2250元. 【点睛】此题主要考查二次函数的应用，解题的关键是根据题意找到等量关系列出方程或二次函数进行求解.21．（1）计算：122126045330452(2)tan tan cos sin ---︒+-⎛⎫⎝⎭-⎪．（2）如图，正方形纸板ABCD 在投影面a 上的正投影为1111D C B A ，其中边AB CD 、与投影面平行，,AD BC 与投影面不平行.若正方形ABCD 的边长为5厘米，145BCC ∠=，求其投影1111D C B A 的面积．【答案】（1）3525+-；（2）252． 【分析】(1)代入特殊角的三角函数值，根据实数的混合运算法则计算即可；(2) 作BE ⊥CC 1于点E ，利用等腰直角三角形的性质求得BE 的长即可求得BC 的正投影11B C 的长，即可求得答案．【详解】(1) 122126045330452(2)tan tan cos sin ---︒+-⎛⎫ ⎝⎭-⎪ ()21232=231()22--+-- ()232=231()22-+-- 352=5+-； (2)过点B 作BE ⊥CC 1于点E ，在Rt BCE 中，45BCE ∠=︒，5BC =，∴52sin 452BE BC =︒=， ∵1BB ⊥11B C ，1CC ⊥11B C ，且BE ⊥CC 1，∴四边形11BB C E 为矩形， ∴11522B C BE ==， ∵115C D CD ==，∴1111111152252522A B C D S B C C D ===四边形． 【点睛】本题主要考查了平行投影的性质，特殊角的三角函数值，等腰直角三角形的性质，本题理解并掌握正投影的特征是解题的关键：正投影是在平行投影中，投影线垂直于投影面产生的投影．22．一种拉杆式旅行箱的示意图如图所示，箱体长60AB cm =，拉杆最大伸长距离40BC cm =，(点,,A B C 在同一条直线上)，在箱体的底端装有一圆形滚轮, A A 与水平地面切于点, //,D AE DN 某一时刻，点B 距离水平面42cm ，点C 距离水平面66cm ．（1）求圆形滚轮的半径AD 的长； （2）当人的手自然下垂拉旅行箱时，人感觉较为舒服，已知某人的手自然下垂在点C 处且拉杆达到最大延伸距离时，点C 距离水平地面83.3cm ，求此时拉杆箱与水平面AE 所成角CAE ∠的大小(精确到1%，参考数据：500.77, 500.64, 50 1.19sin cos tan ︒︒︒≈≈≈)．【答案】（1）6cm ；（2）50︒【分析】（1）过点B 作BH AF ⊥于点G ，交DM 于点H ，由平行得到ABG ACF ∽，再根据相似三角形的性质得到BG AB CF AC=，列出关于半径()AD xcm 的方程，解方程即可得解； （2）在（1）结论的基础上结合已知条件，利用锐角三角函数解Rt ACF 即可得解．【详解】解：（1）过点B 作BH AF ⊥于点G ，交DM 于点H ，如图：∴//BG CF∴ABG ACF ∽∴设圆形滚轮的半径AD 的长是xcm ∴BG AB CF AC=，即6042360+40665x x -==- ∴6x =∴圆形滚轮的半径AD 的长是6cm ；（2）∵83.3677.3CF cm =-=∴在Rt ACF 中，77.3sin 0.77100CF CAF AC ∠==≈ ∴50CAF ∠=︒．故答案是：（1）6cm ；（2）50︒【点睛】本题考查了解直角三角形以及相似三角形的判定和性质，在求线段长度时，可以通过建立方程模型来解决问题．23．已知：关于x 的方程23(1)230--+-=mx m x m（1）求证：m 取任何值时，方程总有实根．（2）若二次函数213(1)23y mx m x m =--+-的图像关于y 轴对称. a 、求二次函数1y 的解析式b 、已知一次函数222y x =-，证明：在实数范围内，对于同一x 值，这两个函数所对应的函数值12y y ≥均成立.(3)在（2）的条件下，若二次函数23y ax bx c =++的象经过（-5,0），且在实数范围内，对于x 的同一个值，这三个函数所对应的函数值132y y y ≥≥均成立，求二次函数23y ax bx c =++的解析式.【答案】（1）证明见解析；（2）a 、y 1=x 2-1；b 、证明见解析；（3）23145333y x x =+-. 【解析】（1）首先此题的方程并没有明确是一次方程还是二次方程，所以要分类讨论：①m=0，此时方程为一元一次方程，经计算可知一定有实数根；②m≠0，此时方程为二元一次方程，可表示出方程的根的判别式，然后结合非负数的性质进行证明．（2）①由于抛物线的图象关于y 轴对称，那么抛物线的一次项系数必为0，可据此求出m 的值，从而确定函数的解析式；②此题可用作差法求解，令y 1-y 2，然后综合运用完全平方式和非负数的性质进行证明．（3）根据②的结论，易知y 1、y 2的交点为（1，0），由于y 1≥y 3≥y 2成立，即三个函数都交于（1，0），结合点（-5，0）的坐标，可用a 表示出y 3的函数解析式；已知y 3≥y 2，可用作差法求解，令y=y 3-y 2，可得到y 的表达式，由于y 3≥y 2，所以y≥0，可据此求出a 的值，即可得到抛物线的解析式．【详解】解：（1）分两种情况：当m=0时，原方程可化为3x-3=0，即x=1； ∴m=0时，原方程有实数根；当m≠0时，原方程为关于x 的一元二次方程，∵△=[-3（m-1）]2-4m （2m-3）=m 2-6m+9=（m-3）2≥0，∴方程有两个实数根；综上可知：m 取任何实数时，方程总有实数根；（2）①∵关于x 的二次函数y1=mx 2-3（m-1）x+2m-3的图象关于y 轴对称；∴3（m-1）=0，即m=1；∴抛物线的解析式为：y 1=x 2-1；②∵y 1-y 2=x 2-1-（2x-2）=（x-1）2≥0，∴y 1≥y 2（当且仅当x=1时，等号成立）；（3）由②知，当x=1时，y 1=y 2=0，即y 1、y 2的图象都经过（1，0）；∵对应x 的同一个值，y 1≥y 3≥y 2成立，∴y 3=ax 2+bx+c 的图象必经过（1，0），又∵y 3=ax 2+bx+c 经过（-5，0），∴y3=a （x-1）（x+5）=ax2+4ax-5a ；设y=y 3-y 2=ax 2+4ax-5a-（2x-2）=ax 2+（4a-2）x+（2-5a ）；对于x 的同一个值，这三个函数对应的函数值y 1≥y 3≥y 2成立，∴y 3-y 2≥0，∴y=ax 2+（4a-2）x+（2-5a ）≥0；根据y1、y2的图象知：a ＞0，∴y 最小=()24a 25a 424a a ---（）≥0∴（4a-2）2-4a （2-5a ）≤0， ∴（3a-1）2≤0，而（3a-1）2≥0，只有3a-1=0，解得a=13， ∴抛物线的解析式为：23145333y x x =+- 【点睛】本题考查二次函数与一元二次方程的关系、根的判别式、完全平方公式、非负数的性质以及用待定系数法确定函数解析式的方法，难度较大,24．如图，AB是⊙O的直径，AC⊥AB，BC交⊙O于点D，点E在劣弧BD上，DE的延长线交AB的延长线于点F，连接AE交BD于点G．（1）求证：∠AED＝∠CAD；（2）若点E是劣弧BD的中点，求证：ED2＝EG•EA；（3）在（2）的条件下，若BO＝BF，DE＝2，求EF的长．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）1．【分析】（1）可得∠ADB＝90°，证得∠ABD＝∠CAD，∠AED＝∠ABD，则结论得证；（2）证得∠EDB＝∠DAE，证明△EDG∽△EAD，可得比例线段ED EAEG ED=，则结论得证；（3）连接OE，证明OE∥AD，则可得比例线段OF EFOA DE=，则EF可求出．【详解】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠ABD+∠BAD＝90°∵AC⊥AB，∴∠CAB＝90°，∴∠CAD+∠BAD＝90°∴∠ABD＝∠CAD，∵ AD ＝ AD ，∴∠AED＝∠ABD，∴∠AED＝∠CAD；（2）证明：∵点E是劣弧BD的中点，∴ DE BE=，∴∠EDB＝∠DAE，∵∠DEG＝∠AED，∴△EDG∽△EAD，∴ED EA EG ED=，∴ED2＝EG•EA；（3）解：连接OE，∵点E是劣弧BD的中点，∴∠DAE＝∠EAB，∵OA＝OE，∴∠OAE＝∠AEO，∴∠AEO＝∠DAE，∴OE∥AD，∴OF EF OA DE=，∵BO＝BF＝OA，DE＝2，∴212EF =，∴EF＝1．【点睛】本题考查了圆的综合应用题，涉及了圆周角定理、相似三角形的性质与判定等知识点，解题的关键是熟悉上述知识点．25．如图，C地在A地的正东方向，因有大山阻隔，由A地到C地需要绕行B地，已知B地位于A地北偏东67°方向，距离A地520km，C地位于B地南偏东30°方向，若打通穿山隧道，建成两地直达高铁，求A地到C地之间高铁线路的长（结果保留整数）（参考数据：sin67°≈0.92；cos67°≈0.38；3≈1.73）【答案】A地到C地之间高铁线路的长为592km．【分析】过点B作BD⊥AC于点D，利用锐角三角函数的定义求出AD及CD的长，进而可得出结论．【详解】过点B作BD⊥AC于点D，∵B地位于A地北偏东67°方向，距离A地520km，∴∠ABD＝67°，∴AD＝AB•sin67°＝520×0.92＝478.4km，BD＝AB•cos67°＝520×0.38＝197.6km．∵C地位于B地南偏东30°方向，∴∠CBD＝30°，∴CD＝BD•tan30°＝197.6×33≈113.9km，∴AC＝AD+CD＝478.4+113.9≈592（km）．答：A地到C地之间高铁线路的长为592km．【点睛】考查了解直角三角形的应用-方向角问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，需要熟记锐角三角函数的定义．26．如图，AB是⊙O的直径，⊙O过AC的中点D，DE切⊙O于点D，交BC于E．（1）求证DE⊥BC；（2）若⊙O的半径为5，BE＝2，求DE的长度．【答案】（1）证明见解析；（2）DE＝4【分析】（1）连接OD，DE是切线，则OD⊥DE，则OD是△ABC的中位线，可得OD∥BC，据此即可求证；（2）过B 作OD 的垂线，垂足为F ，证明四边形DFBE 为矩形，Rt△OFB 中用勾股定理即可求得DE 的长度.【详解】证明（1）连接OD∵DE 切⊙O 于点D∴OD ⊥DE∴∠ODE ＝90°∵D 是AC 的中点，O 是AB 的中点∴OD 是△ABCD 的中位线∴OD ∥BC∴∠DEC ＝90°∴DE ⊥BC（2）过B 作BF ⊥OD∵BF ⊥OD∴∠DFB ＝90°∴∠DFB ＝∠DEB ＝∠ODE ＝90°∴四边形DFBE 为矩形∴DF ＝BE ＝2∴OF ＝OD －DF ＝5－2＝3∴DE ＝BF ＝4【点睛】本题考查了圆的切线的性质、三角形中位线的判定和性质、矩形的判定和性质、直角三角形的性质，辅助线是关键.27．已知关于x 的一元二次方程2(2)(21)0x m x m -++-=.（1）求证：方程总有两个不相等的实数根.（2）若此方程的一个根是1，求出方程的另一个根及m 的值.【答案】（1）证明见解析；（2）2m =，2；【分析】（1）要证明方程有两个不相等的实数根，即证明△＞1即可；（2）将x=1代入方程，求出m 的值，进而得出方程的解．【详解】（1）证明：∵222(2)41(21)48(2)4m m m m m ∆=+-⨯⨯-=-+=-+而2(2)m -≥1，∴△＞1．∴方程总有两个不相等的实数根；（2）解：∵方程的一个根是1，∴1-（m+2）+2m-1=1，解得：m=2，∴原方程为：2430x x -+=，解得：121,3x x ==．即m 的值为2，方程的另一个根是2．∴方程总有两个不相等的实数根；【点睛】此题考查了根的判别式，一元二次方程20ax bx c ++=（a ≠1）的根与△=24b ac -有如下关系： （1）△＞1方程有两个不相等的实数根；（2）△=1方程有两个相等的实数根；（2）△＜1方程没有实数根．同时考查了一元二次方程的解的定义．第（2）问还可以利用根与系数的关系得到另一个解与m 的二元一次方程组来解题．九年级上学期期末数学试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．已知在直角坐标平面内，以点P（﹣2，3）为圆心，2为半径的圆P与x轴的位置关系是（）A．相离B．相切C．相交D．相离、相切、相交都有可能【答案】A【解析】先求出点P到x轴的距离，再根据直线与圆的位置关系得出即可．【详解】解：点P(-2，3)到x轴的距离是3，3>2，所以圆P与x轴的位置关系是相离，故选A.【点睛】本题考查了坐标与图形的性质和直线与圆的位置关系等知识点，能熟记直线与圆的位置关系的内容是解此题的关键．2．把一个正六棱柱如图摆放，光线由上向下照射此正六棱柱时的正投影是( )A．B．C．D．【答案】A【解析】试题分析：根据平行投影特点以及图中正六棱柱的摆放位置即可求解．把一个正六棱柱如图摆放，光线由上向下照射此正六棱柱时的正投影是正六边形．考点：平行投影．3．已知点E在半径为5的⊙O上运动，AB是⊙O的一条弦且AB=8，则使△ABE的面积为8的点E共有（）个．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】根据△ABC的面积可将高求出，即⊙O上的点到AB的距离为高长的点都符合题意．【详解】过圆心向弦AB作垂线，再连接半径.设△ABE的高为h，由182ABES AB h=⨯⨯=可求2h=.由圆的对称性可知，有两个点符合要求；又弦心距22543-=.。