九年级数学第7讲.第二轮复习之中考中圆的热门考点.提高班.教师版

2021年中考二轮专题复习——圆一、单选题1．（2021·江苏九年级专题练习）如图，△ABC 内接于△O ，△C=45°，AB=2，则△O 的半径为（ ）A ．1B ．C ．2 D2．（2019·江苏无锡市·）如图，点A ，B ，C 均在坐标轴上，AO=BO=CO=1，过A ，O ，C 作△D ，E 是△D 上任意一点，连结CE ，BE ，则CE 2+BE 2的最大值是（ ）A ．4B ．5C ．6D ．3．（2019·江苏无锡市·）如图，在扇形AOB 中，△AOB=90°，点C 为OA 的中点，CE△OA 交AB 于点E ，以点C 为圆心，OA 的长为直径作半圆交CE 于点D ．若OA=4，则图中阴影部分的面积为（ ）A ．3π-B ．3π-C ．53π-D ．53π-4．（2020·天津市第二南开中学九年级月考）如图，点E 是△ABC 的内心，AE 的延长线和△ABC 的外接圆相交于点D ，连接BD ，CE ，若△CBD =32°，则△BEC 的大小为（ ）A．64°B．120°C．122°D．128°5．（2021·滦南县宋道口镇初级中学九年级期末）如图A，B，C是O上的三个点，若100∠=，则AOCABC∠等于（）A．50°B．80°C．100°D．130°6．（2020·沭阳县修远中学九年级月考）如图，△ABC内接于△O，将BC沿BC翻折，BC交AC于点D，连接BD，若△BAC＝66°，则△ABD的度数是（）A．66B．44C．46D．487．（2020·安徽芜湖市·九年级月考）如图，AB为△O的直径，点C在△O上，若△C=16°,则△BOC的度数是（）A．74︒B．48︒C．32︒D．16︒8．（2017·河南九年级其他模拟）如图，正六边形ABCDEF内接于△O，若直线P A与△O相切于点A，则△P AB=（）A．30°B．35°C．45°D．60°9．（2020·湖州市第四中学教育集团九年级期中）如图，AB是△O的直径，DB、DE分别切△O于点B、C，若△ACE＝25°，则△D的度数是（）A．50°B．55°C．60°D．65°10．（2021·江苏九年级专题练习）如图，A，B，C是△O上三点，△ACB＝25°，则△BAO的度数是（）A．50°B．55°C．60°D．65°11．（2019·广东九年级一模）某数学研究性学习小组制作了如下的三角函数计算图尺：在半径为1的半圆形量角器中，画一个直径为1的圆，把刻度尺CA的0刻度固定在半圆的圆心O处，刻度尺可以绕点O旋转．从图中所示的图尺可读出cos△AOB的值是（）A．34B．710C．45D．3512．（2020·山东烟台市·九年级一模）如图，一次函数y=2x与反比例函数y=kx（k＞0）的图象交于A，B两点，点P在以C（﹣2，0）为圆心，1为半径的△C上，Q是AP的中点，已知OQ长的最大值为32，则k的值为（）A．4932B．2518C．3225D．9813．（2019·江苏无锡市·九年级一模）如图，A、B、C、D是△O上的四个点，弧AB=弧BC,58AOB∠=︒，则BDC∠的度数是（）A．58°B．42°C．32°D．29°14．（2018·江苏无锡市·）在平面直角坐标系中，A（3，0）、B（a，2）、C（0，m），D（n，0），且m2+n2=4，若E为CD中点．则AB+BE的最小值为（）A．3B．4C．5D．15．（2020·湖南长沙市·九年级期末）如图，已知BC是△O的直径，AB是△O的弦，切线AD交BC的延长线于D,若△D=40°，则△B的度数是（）A．40°B．50°C．25°D．115°二、解答题16．（2020·浙江杭州市·九年级期末）如图，△ABC的三个顶点都在△O上，直径AD＝6cm，△DAC＝2△B，求AC 的长．17．（2019·江苏无锡市·）如图，点A ，B ，C ，D 是直径为AB 的△O 上四个点，C 是劣弧BD 的中点，AC 交BD 于点E ，AE ＝2，EC ＝1．（1）求证：△DEC△△ADC ；（2）连结DO ，探究四边形OBCD 是否是菱形？若是，请你给予证明；若不是，请说明理由； （3）延长AB 到H ，使BH ＝OB ，求证：CH 是△O 的切线．18．（2019·江苏无锡市·）如图，已知直线(y m m =+>交x 轴、y 轴分别于点A 、点F ，并与反比例函数y x=的图像交于B 、C 两点（点B 在点C 的左侧），以OA 为直径作半圆，圆心为P ，过点B 作x 轴的垂线，垂足为E ，并与半圆P 交于点D ．（1）若B 、C 的横坐标分别为x 1、x 2，且x 2-x 1=5，求m 的值；（2）判断线段DE 的长是否随m 的改变而改变，若不随m 的改变而改变，请求出DE 的长；若随m 的改变而改变，请说明理由；（3）记点C 关于直线DE 的对称点为C ′，当四边形CDC ′E 为菱形时，直接写出C 的坐标和m 的值．19．（2020·广东惠州市·九年级其他模拟）如图，已知AB是O的直径，点P在BA的延长线上，PD切O 于点D，过点B作BE PD，交PD的延长线于点C，连接AD并延长，交BE于点E．(△)求证：AB=BE；(△)连结OC，如果，△ABC=60°，求OC的长．20．（2020·江苏无锡市·九年级零模）如图，AB为△O的直径，F为弦AC的中点，连接OF并延长交弧AC于点D，过点D作△O的切线，交BA的延长线于点E．（1）求证：AC△DE；（2）连接CD，若OA＝AE＝2时，求出四边形ACDE的面积．21．（2019·山西九年级专题练习）如图，CD是△O的切线，点C在直径AB的延长线上．（1）求证：△CAD=△BDC；（2）若BD=23AD，AC=3，求CD的长．22．（2020·江苏无锡市·九年级一模）已知：如图，AB是△O的直径，DM切△O于点D，过点A作AE△DM，垂足为E，交△O于点C，连接AD．（1）求证：AD是△BAC的平分线；CD ，半径为5，求CE的长．（2）连接CD，若2523．（2020·南京市竹山中学九年级期中）如图，△ABC中，△O经过A、B两点，且交AC于点D，连接BD，△DBC＝△BAC．（1）证明BC与△O相切；（2）若△O的半径为6，△BAC＝30°，求图中阴影部分的面积．24．（2020·江苏无锡市·九年级一模）如图，已知AB为半圆O的直径，P为半圆上的一个动点（不含端点），以OP、OB为一组邻边作△POBQ，连接OQ、AP，设OQ、AP的中点分别为M、N，连接PM、ON．（1）试判断四边形OMPN的形状，并说明理由．（2）若点P从点B出发，以每秒15°的速度，绕点O在半圆上逆时针方向运动，设运动时间为ts．△试求：当t为何值时，四边形OMPN的面积取得最大值？并判断此时直线PQ与半圆O的位置关系（需说明理由）；△是否存在这样的t，使得点Q落在半圆O内？若存在，请直接写出t的取值范围；若不存在，请说明理由．25．（2020·江苏无锡市·九年级一模）如图，AB是△O的直径，点C是△O上一点，AC平分△DAB，直线DC与AB的延长线相交于点P，AD与PC延长线垂直，垂足为D，CE平分△ACB，交△O于E．（1）求证：PC与△O相切；（2）若AC=6，tan△BEC=23，求BE的长度以及图中阴影部分面积．26．（2020·江苏无锡市·九年级一模）（1）如图1，在△O中，AB是直径，弦EF△AB，在直径AB下方的半圆上有一个定点H（点H不与点A，B重合），请仅用无刻度的直尺．．．．．．．．画出劣弧EF的中点P，并在直线AB上画出点G，使直线AB平分△HGP．（保留作图痕迹，不写作法）（2）尺规作图．．．．：如图2，已知线段a、c，请你用两种不同的方法作Rt△ABC，使其斜边AB=c，一条直角边BC=a．（保留作图痕迹，不写作法）27．（2017·陕西九年级专题练习）已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，AE是角平分线，BM平分△ABC交AE于点M，经过B，M两点的△O交BC于点G，交AB于点F，FB恰为△O的直径．（1）求证：AE与△O相切；（2）当BC＝4，cos C＝13时，求△O的半径．28．（2020·江苏无锡市·）如图，△AOB中，A（-8，0），B（0，323），AC平分△OAB，交y轴于点C，点P是x轴上一点，△P经过点A、C，与x轴交于点D，过点C作CE△AB，垂足为E，EC的延长线交x轴于点F．（1）求证：EF为△P的切线；（2）求△P的半径．29．（2020·无锡市天一实验学校九年级一模）如图，△ABC的点A，C在△O上，△O与AB相交于点D，连接CD，△A＝30°，DC．（1）求圆心O到弦DC的距离；（2）若△ACB+△ADC＝180°，求证：BC是△O的切线．30．（2020·霍林郭勒市第五中学九年级三模）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作圆O，分别交BC 于点D ，交CA 的延长线于点E ，过点D 作DH△AC 于点H ，连接DE 交线段OA 于点F ．（1）求证：DH 是圆O 的切线；（2）若A 为EH 的中点，求EF FD的值；（3）若EA ＝EF ＝1，求圆O 的半径． 31．（2019·江苏无锡市·九年级一模）如图，在ABC ∆中，AB BC =，以AB 为直径的O 交BC 于点D ，交AC 于点F ，过点C 作CE AB ∥，与过点A 的切线相交于点E ，连接AD .（1）求证：AD AE =；（2）若10AB =，AC =AE 的长.32．（2019·江苏盐城市·九年级二模）如图，AB 为△O 的直径，AC 为△O 的弦，AD CD ⊥，且BAC CAD ∠=∠．（1）求证：CD △O 的切线；（2）若1AD =，2CD =，求△O 的半径．33．（2020·甘肃九年级二模）如图，AB 为△O 的直径，C 为△O 上一点，△CAB 的角平分线AD 交△O 于点D ，过点D 作DE△AC 交AC 的延长线于点E ．（1）求证：DE 是△O 的切线；（2）若△CAB=60°，，求AC的长．34．（2020·江阴市临港实验学校）已知：如图，已知△O是△ABC的外接圆，AB为△O的直径，AC＝6cm，BC＝8cm.(1)求△O的半径；(2)请用尺规作图作出点P，使得点P在优弧．．CAB．．．上时，△PBC的面积最大，请保留作图痕迹，并求出△PBC 面积的最大值.三、填空题35．（2019·江苏无锡市·）如图，△O的半径为4，A、C两点在△O上，点B在△O内，4 tan3ACB∠=，AB△AC，若OB△OC，那么OB的长为__________．36．（2020·江苏无锡市·九年级零模）如图，将三角形AOC绕点O顺时针旋转120°得三角形BOD，已知OA=4，OC=1，那么图中阴影部分的面积为_____．（结果保留π）37．（2020·江苏无锡市·九年级零模）如图，将半径为6的半圆，绕点A逆时针旋转60°，使点B落到点B′处，则图中阴影部分的面积是_____.38．（2021·江苏九年级专题练习）如图，直线l与半径为2的△O相切于点A，P是△O上的一个动点（不与点A重合），过点P作PB△l，垂足为B，连接PA．设PA PB=m，则m的取值范围是__________．39．（2021·江苏九年级专题练习）如图，在等腰△ABC中，AC＝BC＝5，AB，点P在以AB为直径的半圆上，M为PC的中点．当点P沿半圆从点A运动至点B时，点M运动的路径长是________．40．（2020·宜兴外国语学校九年级一模）如图，四边形ABCD内接于△O，OC△AD，△DAB＝60°，△ADC ＝106°，则△OCB＝_____°．41．（2020·曲阜市息陬乡春秋中学九年级月考）如图，△ABC中，△C=90°，AC=3，AB=5，D为BC边的中点，以AD上一点O为圆心的△O和AB、BC均相切，则△O的半径为___．42．（2020·竹溪县实验中学九年级其他模拟）用一个圆心角为120°，半径为6的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径是_____．43．（2020·四川成都外国语学校高新校区九年级月考）如图，已知△O的半径为3cm，点A、B、C把△O三等分，分别以OA、OB、OC为直径作圆，则图中阴影部分的面积为____．44．（2020·沭阳县修远中学九年级月考）如图，已知△O的半径是2，点A，B在△O上，且△AOB＝90°，动点C在△O上运动（不与A，B重合），点D为线段BC的中点，连接AD，则线段AD的长度最大值是_______．45．（2020·江苏无锡市·九年级月考）如图，AB是半圆O的直径，点P在AB的延长线上，PC切半圆O于点C，连接AC．若△CPA=20°，则△A=___________．46．（2020·山东省青岛第二十六中学）如图，在矩形ABCD中，AB=2DA，以点A为圆心，AB为半径的圆弧交DC于点E，交AD的延长线于点F，设DA=2，图中阴影部分的面积为．参考答案1．D2．C3．D4．C5．D6．D7．C8．A9．A10．D11．D12．C13．D14．B15．C16．3cm．17．解：（1）C是劣弧BD的中点，CAD CDE∴∠=∠，又DCE DCA∠=∠，DEC ADC∴△∽△；（2）由（1）得DC EC AC DC=，2313DC AC EC∴=⋅=⨯=，BC DC∴==AB是O的直径，90ACB∴∠=︒．22222312 AB AC CB∴=+=+=，AB∴=OD OB BC DC ∴====∴四边形OBCD 是菱形；（3）连接OC 交BD 于G ，四边形OBCD 是菱形，OC BD ∴⊥且OG GC =，又已知OB BH =，△BG 是△OHC 的中位线，△BG CH ，90OCH OGB ∴∠=∠=︒，CH ∴是O 的切线．18．（1）m =（2）不改变，DE =（3）C ⎛ ⎝⎭，m =19．(△)证明见解析；(△)OC =. (△)连接OD ，△PD 切O 于点D ，△OD PD ⊥．△BE PC ⊥，△OD BE ，△ADO E ∠=∠，△OA OD =，△OAD ADO ∠=∠，△OAD E ∠=∠，△AB BE =．20．（1）证明见解析；（2）2√3.解：（1）连接OD，BD△DM切△O于点D，△OD△MD，△AE△DM，△OD△AE，△△ODA=△EAD，△OD=OA，△△ODA=△DAB，△△EAD=△BAE，即AD是△BAC的平分线；23．（1）证明见解析；（2）6π－（1）证明：连接BO并延长交△O于点E，连接DE,△BE是直径，△△EDB＝90°，△△E＋△EBD＝90°△＝，△△E＝△A又△△DBC＝△BAC，△△DBC＝△E△△DBC＋△EBD＝90°，△△EBC＝90°，△BC△EB.又△OB是半径（B在△O上），△BC与△O相切. 24．（1）四边形OMPN为矩形，理由如下：△四边形POBQ为平行四边形，△PQ△OB，PQ=OB．又△OB=OA，△PQ=AO．又△PQ△OA，△四边形PQOA为平行四边形，△P A△QO，P A=QO．又△M、N分别为OQ、AP的中点，△OM=12OQ，PN=12AP，△OM=PN，△四边形OMPN为平行四边形．△OP=OA，N是AP的中点，△ON△AP，即△ONP=90°，△四边形OMPN为矩形；（2）△△四边形OMPN为矩形，△S矩形OMPN=ON·NP=ON·12AP，即S矩形OMPN=S△AOP．△△AOP的底AO为定值，△当P旋转运动90°（运动至最高点）时，△AOP的AO边上的高取得最大值，此时△AOP 的面积取得最大值，△t=90÷15=6秒，△当t=6秒时，四边形OMPN面积最大．此时，PQ与半圆O相切．理由如下：△此时△POB=90°，PQ//OB，△△OPQ=90°，△PQ与半圆O相切；△当点Q在半圆O上时，△四边形POBQ为平行四边形，且OB=OP，△四边形POBQ为菱形，△OB=BQ=OQ=OP=PQ，△△POQ=△BOQ=60°，即：△BOP=120°，△此时，t=120°÷15°=8秒，当点P与点A重合时，t=180°÷15°=12秒，综上所述：当8＜t＜12时，点Q在半圆O内．25．（1）见解析；（2）BE，13264Sπ-=阴影．（1）如图，连结OC，△AC平分△DAB，△△DAC=△CAO，△OC =OA，△△ACO=△CAO，△△ACO =△DAC，△OC△AD，△AD△PD，则△D=90°，△△OCP=△D=90°，△OC△PC，即PC与△O相切；26．解：（1）如图1所示，点P、点G即为所求；（2）方法一：如图2所示，Rt△ABC即为所求；方法二：如图3所示，Rt△ABC即为所求．27．(1) 连接OM，则OM＝OB，如图所示：△△OBM=△OMB△BM平分△ABC△△OBM=△EBM△△OMB=△EBM△OM△BE△△AMO=△AEB而在△ABC中，AB=AC,AE是角平分线△AE△BC△△AMO=△AEB=90°△AE与△O相切.(2) 在△ABC中，AB=AC,AE是角平分线△BE=12BC=2,△ABC=△ACB△在Rt△ABC中cos△ABC=cos△ACB=2AB=13△AB=6设△O的半径为r,则AO=6-r △OM△BC△△AOM△△ABE△OM AO BE AB即r6-r = 26△r=3 228．（1）证明：连接CP ， △AP=CP ，△△PAC=△PCA ，△AC 平分△OAB ，△△PAC=△EAC ，△△PCA=△EAC ，△PC△AE ，△CE△AB ，△CP△EF ，即EF 是△P 的切线；（2）由（1）知，PC△AB ，△△OPC△△OAB ，△ ,PC OP AB OA= △A （-8，0），B （0，323）， △OA=8，OB=323，=403， △ 84083PC PC -=，△PC=5，△△P 的半径为5．29．解：（1）连接OD ，OC ，过O 作OE △OC 于E ，△△A＝30°，△△DOC＝60°，△OD＝OC，CD，△△OCD是等边三角形，△OD＝OC＝CD，△OE△DC，△DE，△DEO＝90°，△DOE＝30°，△OE＝2△圆心O到弦DC的距离为：2（2）由（1）得，△ODC是等边三角形，△△OCD＝60°，△△ACB+△ADC＝180°，△CDB+△ADC＝180°，△△ACB＝△CDB，△△B＝△B，△△ACB△△CDB，△△A＝△BCD＝30°，△△OCB＝90°，△BC是△O的切线．30．（1）连接OD，如图1，△OB=OD，△△ODB是等腰三角形，△OBD=△ODB△，在△ABC 中，△AB=AC，△△ABC=△ACB△，由△△得：△ODB=△OBD=△ACB，△OD△AC，△DH△AC，△DH △OD ，△DH 是圆O 的切线；（2）如图2，在△O 中，△△E =△B ，△由（1）可知：△E =△B =△C ，△△EDC 是等腰三角形，△DH △AC ，且点A 是EH 中点，设AE =x ，EC =4x ，则AC =3x ，连接AD ，则在△O 中，△ADB =90°，AD △BD ，△AB =AC ，△D 是BC 的中点，△OD 是△ABC 的中位线，△OD △AC ，OD =12AC =32x ，△OD △AC ，△△E =△ODF ，在△AEF 和△ODF 中，△△E =△ODF ，△OFD =△AFE ，△△AEF △△ODF ，△EF AE FD OD =，△32AE x OD x = =23，△EF FD =23； （3）如图2，设△O 的半径为r ，即OD =OB =r ，△EF =EA ，△△EF A =△EAF ，△OD △EC ，△△FOD =△EAF ，则△FOD =△EAF =△EF A =△OFD ，△DF =OD =r ，△DE =DF +EF =r +1，△BD =CD =DE =r +1，在△O 中，△△BDE =△EAB ，△△BFD =△EF A =△EAB =△BDE ，△BF =BD ，△BDF 是等腰三角形，△BF =BD =r +1，△AF =AB ﹣BF =2OB ﹣BF =2r ﹣（1+r ）=r ﹣1，在△BFD 和△EF A 中，△△BDF =△EF A ，△B =△E ，△△BFD △△EFA ，△EF BF FA DF =，△111r r r +=-，解得：r 1=12+，r 2=12（舍），综上所述，△O的半径为12+．31．（1）证明：△AE 与△O 相切，AB 是△O 的直径，△△BAE=90°，△ADB=90°，△CE△AB ，△△E=90°，△△E=△ADB ，△在△ABC 中，AB=BC ，△△BAC=△BCA ，△△BAC+△EAC=90°，△ACE+△EAC=90°，△△BAC=△ACE ，△△BCA=△ACE ，又△AC=AC ，△△ADC△△AEC （AAS ），△AD=AE ；（2）解：设AE=AD=x ，CE=CD=y ，则BD=（10-y ），△△AEC 和△ADB 为直角三角形，△AE 2+CE 2=AC 2，AD 2+BD 2=AB 2，AB=10，AE=AD=x ，CE=CD=y ，BD=（10-y ）代入得： 22210)280(100y x y x -⎧+=⎨+=⎩， 解得：84x y =⎧⎨=⎩, 所以AD ＝8.32．（1）如图：连接BC ，OC△OA OC =OAC OCA ∴∠=∠，且CAD OAC ∠=∠ △OCA CAD ∠=∠△AD CD ⊥△90CAD ACD ∠+∠=︒△90OCA ACD ∠+∠=︒OC CD ∴⊥且OC 为半径CD ∴是O 的切线（2）AD CD ⊥，1AD =，2CD =AC ∴=， AB 是直径△90ACB ∠=︒90ACB ADC ∠=∠=︒，BAC CAD ∠=∠ △ACD ABC ∆∆∽∴ AD AC AC AB= 5AB ∴=.△△O 的半径为52. 33．证明：（1）连接OD ，如图，△OA=OD ，△△OAD=△ODA ，△AD 平分△CAB ，△△CAD=△OAD ，△△CAD=△ODA ，△OD△AC ，△DE△AC ，△DE△OD ，△DE 是△O 的切线；（2）连接BD ，则△ADB=90°， △△CAB=60°，AD 平分△CAB ， △△CAD=△DAB=30°，△AB=12，连接OC ，则OC=OA=6， △△CAB=60°，△AC=OA=OC=6．34．（1）△O 的半径为5cm ；（2）S △PBC ＝32． 35．4336．5π37．24π38．01m ≤≤39．.440．46°41．67． 42．24446．83π-。

第二轮复习一 化归思想Ⅰ、专题精讲：数学思想是数学内容的进一步提炼和概括，是对数学内容的种本质认识，数学方法是实施有关数学思想的一种方式、途径、手段，数学思想方法是数学发现、发明的关键和动力．抓住数学思想方法，善于迅速调用数学思想方法，更是提高解题能力根本之所在．因此，在复习时要注意体会教材例题、习题以及中考试题中所体现的数学思想和方法，培养用数学思想方法解决问题的意识．初中数学的主要数学思想是化归思想、分类讨论思想、数形结合思想等．本专题专门复习化归思想．所谓化归思想就是化未知为已知、化繁为简、化难为易．如将分式方程化为整式方程，将代数问题化为几何问题，将四边形问题转化为三角形问题等．实现这种转化的方法有：待定系数法、配方法、整体代人法以及化动为静、由抽象到具体等． Ⅱ、典型例题剖析【例1】如图3－1－1，反比例函数y=－8x 与一次函数y=－x+2的图象交于A 、B 两点．（1）求 A 、B 两点的坐标； （2）求△AOB 的面积．解：⑴解方程组82y x y x ⎧=-⎪⎨⎪=-+⎩ 得121242;24x x y y ==-⎧⎧⎨⎨=-=⎩⎩ 所以A 、B 两点的坐标分别为A （－2，4）B(4，－2（2）因为直线y=－x+2与y 轴交点D 坐标是(0， 2）， 所以11222,24422AOD BOD S S ∆∆=⨯⨯==⨯⨯= 所以246AOB S ∆=+=点拨：两个函数的图象相交，说明交点处的横坐标和纵坐标，既适合于第一个函数，又适合于第二个函数，所以根据题意可以将函数问题转化为方程组的问题，从而求出交点坐标． 【例2】解方程：22(1)5(1)20x x ---+= 解：令y= x —1，则2 y 2—5 y +2=0． 所以y 1=2或y 2=12 ，即x —1＝2或x —1=12 ．所以x ＝3或x=32 故原方程的解为x ＝3或x=32点拨：很显然，此为解关于x －1的一元二次方程．如果把方程展开化简后再求解会非常麻烦，所以可根据方程的特点，含未·知项的都是含有（x —1）所以可将设为y ，这样原方程就可以利用换元法转化为含有y 的一元二次方程，问题就简单化了． 【例3】如图 3－1－2，梯形 ABCD 中，AD ∥BC ，AB=CD ，对角线AC 、BD 相交于O 点，且AC ⊥BD ，AD=3,BC=5，求AC 的长．解：过 D 作DE ⊥AC 交BC 的延长线于E ，则得AD=CE 、AC=DE ．所以BE=BC+CE=8． 因为 AC ⊥BD ，所以BD ⊥DE ．因为 AB=CD ， 所以AC ＝BD ．所以GD=DE ． 在Rt △BDE 中，BD 2＋DE 2=BE 2所以BDBE=4 2 ，即AC=4 2 . 点拨：此题是根据梯形对角线互相垂直的特点通过平移对角线将等腰梯形转化为直角三角形和平行四边形，使问题得以解决．【例4】已知△ABC 的三边为a ，b ，c ，且222a b c ab ac bc ++=++，试判断△ABC 的形状． 解：因为222a b c ab ac bc ++=++， 所以222222222a b c ab ac bc ++=++， 即：222()()()0a b b c a c -+-+-=所以a=b ，a=c ， b=c所以△ABC 为等边三角形．点拨：此题将几何问题转化为代数问题，利用凑完全平方式解决问题．【例5】△ABC 中，BC ＝a ，AC ＝b ，AB ＝c ．若90C ∠=︒，如图l ，根据勾股定理，则222a b c +=。

画出“隐圆”求最值滁州市第六中学高在为教学背景：本节课是与圆有关的一节复习课，学生已掌握了圆的相关概念，会运用圆的性质解决简单实际问题，因而本节课一开始安排了有关圆的知识以及三角形三边之间的关系的回顾，为后面的教学奠定基础.教学目标：1.从学生的实际出发，依据数学思维规律，提出恰当地富于启发性的问题，去启发和引导学生积极思维，同时采用几何画板动态演示，引导学生观察、分析、猜想、证明，运用动态思维、数形结合、逻辑推理与合情想象相结合的思想方法，主动地发现问题，总结规律，解决问题.2.让学生掌握各类隐圆的最值求法.教学重点与难点：1.学生通过观察、分析、猜想、证明、归纳等思想方法，主动地发现问题，总结规律，解决问题.2.分析题目条件发现题目中的隐藏圆，并利用圆求出最值.教学过程：一、知识回顾1.平面内到定点（圆心O）的距离等于定长（半径r）的所有点组成的图形是 .2.半圆或直径所对的圆周角是，90°的圆周角所对的弦是 .3.以线段AB为斜边作Rt△ABC，满足条件的直角顶点C都在 .4.三角形三边之间的关系： .二、探索思考1．如图，点P是⊙O外的一个定点，点A是⊙O上的一个动点，设点P到圆心O 的距离为d ，⊙O 的半径为r ，当点A 运动到何处时PA 的值最小，何处时PA 的值最大,请求出最小值和最大值.2．如图，如果点P 是⊙O 内的一个定点，点A 运动到何处时PA 的值最小，何处时PA 的值最大，请求出最小值和最大值.3．如图，如果点P 是⊙O上的一个定点，点A 运动到何处时PA 的值最小，何处时PA 的值最大，请求出最小值和最大值.4．归纳：若点P 是平面内一定点，点A是⊙O 上一动点，则PA 的最小值= ，最大值= .三、典型例题例题：（2016年安徽中考第10题）如图，Rt △ABC 中，AB ⊥BC ，AB=6，BC=4，点P 是△ABC 内部的一个动点，且满足∠PAB=∠PBC ，则线段CP 长的最小值为（ ）A.32C四、巩固应用1．（2011安徽中考第22题）在△ABC ，∠ACB=90°，∠ABC=30°，将△ABC 绕顶点C 顺时针旋转，旋转角为θ（0°＜θ＜180°），得到△''A B C .（1）、（2）略（3）如图，设AC 的中点为E ，''A B 中点为P ，AC=a ，连接EP ，当θ= °时，EP 长度最大，最大值为 .2．在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=4，BC=6，点D 是边BC 的中点，点E 是边AB 上任意一点（点E 不于点B 重合）沿DE 翻折△BDE 使点B 落在点F 处，连接AF ，则线段AF 的最小值是 .3．如图,⊙O 的半径为2，弦AB=，直径EF ⊥AB 于点H ，点C 在直径EF 上运动，以弦AB 为斜边作任意Rt △ABD ，则线段CD 的最大长度为（ ）A.2+2 B.2+3 C.3+ 3 D.2+3E CB B'CB E五、小结提升请说说这节课你有什么收获？1．点P 是平面内一定点，点A 是⊙O 上一动点，则PA 的最小值与最大值分别是多少？2.怎样找出隐圆，利用隐圆求最值.3.你还有其他的感悟或收获吗？六、布置作业1．已知⊙O 的半径为13，弦AB 长为24，弦CD 长为10，点N 是CD 中点，圆心O 到AB 的距离为OM ，则MN 的最小值是 .2．如图，AB 是⊙O 的弦，AB=3，点C 是⊙O 上的一个动点，且∠C=45°，若点M 、N 分别是AB 、BC 的中点，则MN 长的最大值是（ ）3.（2013年浙江中考）如图，E 、F 是正方形ABCD 边AD 上的两个动点，满足AE=DF ，连接CF 交BD 于点G ，连接BE 交AG 于点H ，若正方形边长为2，则线段DH 长度的最小值是 .H GF B C A D E。

九年级中考数学圆的综合解答题压轴题提高专题练习含答案一、圆的综合1．如图，⊙O是△ABC的外接圆，点E为△ABC内切圆的圆心，连接AE的延长线交BC于点F，交⊙O于点D；连接BD，过点D作直线DM，使∠BDM=∠DAC．（1）求证：直线DM是⊙O的切线；（2）若DF=2，且AF=4，求BD和DE的长．【答案】（1）证明见解析（2）23【解析】【分析】（1）根据垂径定理的推论即可得到OD⊥BC，再根据∠BDM=∠DBC，即可判定BC∥DM，进而得到OD⊥DM，据此可得直线DM是⊙O的切线；（2）根据三角形内心的定义以及圆周角定理，得到∠BED=∠EBD，即可得出DB=DE，再判定△DBF∽△DAB，即可得到DB2=DF•DA，据此解答即可．【详解】（1）如图所示，连接OD．∵点E是△ABC的内心，∴∠BAD=∠CAD，∴¶¶BD CD=，∴OD⊥BC．又∵∠BDM=∠DAC，∠DAC=∠DBC，∴∠BDM=∠DBC，∴BC∥DM，∴OD⊥DM．又∵OD为⊙O半径，∴直线DM是⊙O的切线．（2）连接BE．∵E为内心，∴∠ABE=∠CBE．∵∠BAD=∠CAD，∠DBC=∠CAD，∴∠BAD=∠DBC，∴∠BAE+∠ABE=∠CBE+∠DBC，即∠BED=∠DBE，∴BD=DE．又∵∠BDF=∠ADB（公共角），∴△DBF∽△DAB，∴DF DBDB DA=，即DB2=DF•DA．∵DF=2，AF=4，∴DA=DF+AF=6，∴DB2=DF•DA=12，∴DB=DE=23．【点睛】本题主要考查了三角形的内心与外心，圆周角定理以及垂径定理的综合应用，解题时注意：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧；三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．2．如图，AB 是半圆的直径，过圆心O 作AB 的垂线，与弦AC 的延长线交于点D ，点E 在OD 上DCE B ∠=∠．（1）求证：CE 是半圆的切线；（2）若CD=10，2tan 3B =，求半圆的半径．【答案】（1）见解析；(2)413【解析】分析: （1）连接CO ，由DCE B ∠=∠且OC=OB,得DCE OCB ∠=∠,利用同角的余角相等判断出∠BCO+∠BCE=90°，即可得出结论；（2）设AC=2x ，由根据题目条件用x 分别表示出OA 、AD 、AB ，通过证明△AOD ∽△ACB ，列出等式即可.详解：（1）证明：如图，连接CO .∵AB 是半圆的直径，∴∠ACB =90°.∴∠DCB =180°-∠ACB =90°.∴∠DCE+∠BCE=90°.∵OC =OB ,∴∠OCB =∠B.∵=DCE B ∠∠，∴∠OCB =∠DCE .∴∠OCE =∠DCB =90°.∴OC ⊥CE .∵OC 是半径，∴CE 是半圆的切线.（2）解：设AC =2x ，∵在Rt △ACB 中，2tan 3AC B BC ==, ∴BC =3x .∴()()222313AB x x x =+=. ∵OD ⊥AB ,∴∠AOD =∠A CB=90°.∵∠A =∠A ，∴△AOD ∽△ACB .∴AC AO AB AD=. ∵1132OA AB x ==，AD =2x +10, ∴113221013x x x =+. 解得 x =8. ∴138413OA =⨯=. 则半圆的半径为413.点睛：本题考查了切线的判定与性质，圆周角定理，相似三角形.3．如图，AB 为⊙O 的直径，点E 在⊙O 上，过点E 的切线与AB 的延长线交于点D ，连接BE ，过点O 作BE 的平行线，交⊙O 于点F ，交切线于点C ，连接AC（1）求证：AC 是⊙O 的切线；（2）连接EF ，当∠D= °时，四边形FOBE 是菱形．【答案】（1）见解析；（2）30.【解析】【分析】（1）由等角的转换证明出OCA OCE ∆∆≌，根据圆的位置关系证得AC 是⊙O 的切线. （2）根据四边形FOBE 是菱形，得到OF=OB=BF=EF ，得证OBE ∆为等边三角形，而得出60BOE ∠=︒，根据三角形内角和即可求出答案.【详解】（1）证明：∵CD 与⊙O 相切于点E ，∴OE CD ⊥，∴90CEO ∠=︒，又∵OC BE P ，∴COE OEB ∠=∠，∠OBE=∠COA∵OE=OB ，∴OEB OBE ∠=∠，∴COE COA ∠=∠，又∵OC=OC ，OA=OE ，∴OCA OCE SAS ∆∆≌（）， ∴90CAO CEO ∠=∠=︒，又∵AB 为⊙O 的直径，∴AC 为⊙O 的切线；（2）解：∵四边形FOBE 是菱形，∴OF=OB=BF=EF ，∴OE=OB=BE ，∴OBE ∆为等边三角形，∴60BOE ∠=︒，而OE CD ⊥，∴30D ∠=︒．故答案为30．【点睛】本题主要考查与圆有关的位置关系和圆中的计算问题，熟练掌握圆的性质是本题的解题关键.4．已知AB ，CD 都是O e 的直径，连接DB ，过点C 的切线交DB 的延长线于点E ． ()1如图1，求证：AOD 2E 180∠∠+=o ；()2如图2，过点A 作AF EC ⊥交EC 的延长线于点F ，过点D 作DG AB ⊥，垂足为点G ，求证：DG CF =；()3如图3，在()2的条件下，当DG 3CE 4=时，在O e 外取一点H ，连接CH 、DH 分别交O e 于点M 、N ，且HDE HCE ∠∠=，点P 在HD 的延长线上，连接PO 并延长交CM 于点Q ，若PD 11=，DN 14=，MQ OB =，求线段HM 的长．【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）837+【解析】【分析】（1）由∠D +∠E =90°，可得2∠D +2∠E =180°，只要证明∠AOD =2∠D 即可；（2）如图2中，作OR ⊥AF 于R ．只要证明△AOR ≌△ODG 即可；（3）如图3中，连接BC 、OM 、ON 、CN ，作BT ⊥CL 于T ，作NK ⊥CH 于K ，设CH 交DE 于W ．解直角三角形分别求出KM ，KH 即可；【详解】()1证明：如图1中，O Q e 与CE 相切于点C ，OC CE ∴⊥，OCE 90∠∴=o ，D E 90∠∠∴+=o ，2D 2E 180∠∠∴+=o ，AOD COB ∠∠=Q ，BOC 2D ∠∠=，AOD 2D ∠∠=，AOD 2E 180∠∠∴+=o ．()2证明：如图2中，作OR AF ⊥于R ．OCF F ORF 90∠∠∠===o Q ，∴四边形OCFR 是矩形，AF//CD ∴，CF OR =，A AOD ∠∠∴=，在AOR V 和ODG V 中，A AOD ∠∠=Q ，ARO OGD 90∠∠==o ，OA DO =，AOR ∴V ≌ODG V ，OR DG ∴=，DG CF ∴=，()3解：如图3中，连接BC 、OM 、ON 、CN ，作BT CL ⊥于T ，作NK CH ⊥于K ，设CH 交DE 于W ．设DG 3m =，则CF 3m =，CE 4m =，OCF F BTE 90∠∠∠===o Q ，AF//OC//BT ∴，OA OB =Q ，CT CF 3m ∴==，ET m ∴=，CD Q 为直径，CBD CND 90CBE ∠∠∠∴===o ，E 90EBT CBT ∠∠∠∴=-=o ，tan E tan CBT ∠∠∴=，BT CT ET BT∴=， BT 3m m BT∴=， BT 3m(∴=负根已经舍弃)，3m tan E 3∠∴== E 60∠∴=o ，CWD HDE H ∠∠∠=+Q ，HDE HCE ∠∠=，H E 60∠∠∴==o ，MON 2HCN 60∠∠∴==o ，OM ON =Q ，OMN ∴V 是等边三角形，MN ON ∴=，QM OB OM ==Q ，MOQ MQO ∠∠∴=，MOQ PON 180MON 120∠∠∠+=-=o o Q ，MQO P 180H 120∠∠∠+=-=o o ， PON P ∠∠∴=，ON NP 141125∴==+=，CD 2ON 50∴==，MN ON 25==，在Rt CDN V 中，2222CN CD DN 501448=-=-=，在Rt CHN V 中，CN 48tan H 3HN HN∠===， HN 163∴=，在Rt KNH V 中，1KH HN 832==，3NK HN 24==， 在Rt NMK V 中，2222MK MN NK 25247=-=-=，HM HK MK 837∴=+=+．【点睛】本题考查圆综合题、全等三角形的判定和性质、平行线的性质、勾股定理、等边三角形的判定和性质、锐角三角函数等知识，添加常用辅助线，构造全等三角形或直角三角形解题的关键.5．如图，已知在△ABC 中，AB=15，AC=20，tanA=12，点P 在AB 边上，⊙P 的半径为定长.当点P 与点B 重合时，⊙P 恰好与AC 边相切；当点P 与点B 不重合时，⊙P 与AC 边相交于点M 和点N ．（1）求⊙P 的半径；（2）当AP=5△APM 与△PCN 是否相似，并说明理由．【答案】（1）半径为52）相似，理由见解析.【解析】【分析】（1）如图，作BD⊥AC，垂足为点D，⊙P与边AC相切，则BD就是⊙P的半径，利用解直角三角形得出BD与AD的关系，再利用勾股定理可求得BD的长；（2）如图，过点P作PH⊥AC于点H，作BD⊥AC，垂足为点D，根据垂径定理得出MN=2MH，PM=PN，再利用勾股定理求出PH、AH、MH、MN的长，从而求出AM、NC的长，然后求出AMMP、PNNC的值，得出AMMP=PNNC，利用两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似即可证明.【详解】（1）如图，作BD⊥AC，垂足为点D，∵⊙P与边AC相切，∴BD就是⊙P的半径，在Rt△ABD中，tanA= 1BD2AD =，设BD=x，则AD=2x，∴x2+(2x)2=152，解得：5∴半径为5（2）相似，理由见解析，如图，过点P作PH⊥AC于点H，作BD⊥AC，垂足为点D，∴PH垂直平分MN，∴PM=PN，在Rt△AHP中，tanA=12PHAH =，设PH=y，AH=2y，y2+（2y）2=（52解得：y=6（取正数），∴PH=6，AH=12，在Rt△MPH中，()22356-，∴MN=2MH=6，∴AM=AH-MH=12-3=9，NC=AC-MN-AM=20-6-9=5，∴935535AM MP ==，355PN NC =， ∴AM MP =PN NC， 又∵PM=PN ，∴∠PMN=∠PNM ，∴∠AMP=∠PNC ，∴△AMP ∽△PNC.【点睛】本题考查了解直角三角形、垂径定理、相似三角形的判定与性质等，综合性较强，有一定的难度，正确添加辅助线、灵活应用相关的性质与定理是解题的关键.6．如图，已知AB 是⊙O 的直径，点C 为圆上一点，点D 在OC 的延长线上，连接DA ， 交BC 的延长线于点E ，使得∠DAC=∠B ．（1）求证：DA 是⊙O 切线；（2）求证：△CED ∽△ACD ；（3）若OA=1，sinD=13，求AE 的长．【答案】（1）证明见解析；（22【解析】分析：（1）由圆周角定理和已知条件求出AD ⊥AB 即可证明DA 是⊙O 切线；（2）由∠DAC =∠DCE ，∠D =∠D 可知△DEC ∽△DCA ；（3）由题意可知AO =1，OD =3，DC =2，由勾股定理可知AD =2，故此可得到DC 2=DE •AD ，故此可求得DE 的长，于是可求得AE 的长．详解：（1）∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB =90°，∴∠CAB +∠B =90°．∵∠DAC =∠B ，∴∠CAB +∠DAC =90°，∴AD ⊥AB ．∵OA是⊙O半径，∴DA为⊙O的切线；（2）∵OB=OC，∴∠OCB=∠B．∵∠DCE=∠OCB，∴∠DCE=∠B．∵∠DAC=∠B，∴∠DAC=∠DCE．∵∠D=∠D，∴△CED∽△ACD；（3）在Rt△AOD中，OA=1，sin D=13，∴OD=OAsinD=3，∴CD=OD﹣OC=2．∵AD=22OD OA-=22．又∵△CED∽△ACD，∴AD CDCD DE=，∴DE=2CDAD=2，∴AE=AD﹣DE=22﹣2=2．点睛：本题主要考查的是切线的性质、圆周角定理、勾股定理的应用、相似三角形的性质和判定，证得△DEC∽△DCA是解题的关键．7．如图，在以点O为圆心的两个同心圆中，小圆直径AE的延长线与大圆交于点B，点D 在大圆上，BD与小圆相切于点F，AF的延长线与大圆相交于点C，且CE⊥BD．找出图中相等的线段并证明．【答案】见解析【解析】试题分析：由AE是小⊙O的直径，可得OA=OE，连接OF，根据切线的性质，可得OF⊥BD，然后由垂径定理，可证得DF=BF，易证得OF∥CE，根据平行线分线段成比例定理，可证得AF=CF，继而可得四边形ABCD是平行四边形，则可得AD=BC，AB=CD．然后连接OD、OC，可证得△AOD≌△EOC，则可得BC=AD=CE=AE．试题解析：图中相等的线段有：OA=OE，DF=BF，AF=CF，AB=CD，BC=AD=CE=AE．证明如下：∵AE是小⊙O的直径，∴OA=OE．连接OF，∵BD与小⊙O相切于点F，∴OF⊥BD．∵BD是大圆O的弦，∴DF=BF．∵CE⊥BD，∴CE∥OF，∴AF=CF．∴四边形ABCD是平行四边形．∴AD=BC，AB=CD．∵CE：AE=OF：AO，OF=AO，∴AE=EC．连接OD、OC，∵OD=OC，∴∠ODC=∠OCD．∵∠AOD=∠ODC，∠EOC=∠OEC，∴∠AOC=∠EOC，∴△AOD≌△EOC，∴AD=CE．∴BC=AD=CE=AE．【点睛】考查了切线的性质，垂径定理，平行线分线段成比例定理，平行四边形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质等知识．此题综合性很强解题的关键是注意数形结合思想的应用，注意辅助线的作法，小心不要漏解．8．如图，△ABC内接于⊙O，弦AD⊥BC,垂足为H，连接OB．(1)如图1,求证:∠DAC=∠ABO;(2)如图2,在弧AC上取点F,使∠CAF=∠BAD,在弧AB取点G，使AG∥OB，若∠BAC=600，求证:GF=GD;(3)如图3,在(2)的条件下,AF、BC的延长线相交于点E,若AF：FE=1:9，求sin∠ADG的值。

代数几何综合题Ⅰ、综合问题精讲：代数几何综合题是初中数学中覆盖面最广、综合性最强的题型，近几年中考试题中的综合题大多以代数几何综合题的形式出现，其解题关键点是借助几何直观解题，运用方程、函数的思想解题，灵活运用数形结合，由形导数，以数促形，综合运用代数和几何知识解题．Ⅱ、典型例题剖析【例1】（，温州，12分）如图，已知四边形ABCD 内接于⊙O，A 是BDC 的中点，AE⊥AC 于A ，与⊙O 及CB 的延长线分别交于点F 、E ，且BF AD =，EM 切⊙O 于M 。

⑴ △ADC∽△EBA ;⑵ AC2＝12 BC·CE；⑶如果AB ＝2，EM ＝3，求cot∠CAD 的值。

解:⑴∵四边形ABCD 内接于⊙O，∴∠CDA＝∠ABE， ∵BF AD =，∴∠DCA＝∠BAE， ∴△CAD∽△AEB⑵ 过A 作AH⊥BC 于H(如图)∵A 是BDC 中点，∴HC＝HB ＝12 BC ，∵∠CAE＝900，∴AC 2＝CH·CE＝12 BC·CE⑶∵A 是BDC 中点，AB ＝2，∴AC＝AB ＝2， ∵EM 是⊙O 的切线，∴EB·EC＝EM 2① ∵AC 2＝12 BC·CE，BC·CE＝8 ②①＋②得：EC(EB ＋BC)＝17，∴EC 2＝17 ∵EC 2＝AC 2＋AE 2，∴AE＝17－22＝13 ∵△CAD∽△ABE，∴∠CAD＝∠AEC， ∴cot∠CAD＝cot∠AEC＝AE AC ＝132点拨：此题的关键是树立转化思想，将未知的转化为已知的．此题表现的非常突出．如，将∠CAD 转化为∠AEC 就非常关键.【例2】（，自贡）如图 2－5－2所示，已知直线y=2x+2分别与x 轴、y 轴交于点A 、B ，以线段AB 为直角边在第一象限内作等腰直角△ABC ，∠BAC=90○。

过C 作CD ⊥x 轴，D 为垂足． （1）求点 A 、B 的坐标和AD 的长；（2）求过B 、A 、C 三点的抛物线的解析式。