江苏省泰州市天水梅兰中学2022年高三数学文联考试题含解析

2022年江苏省泰州市江淮综合中学高三数学文月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 将一颗骰子抛掷两次，所得向上点数分别为，则函数在上为增函数的概率是（）A． B． C． D．参考答案：B2. 已知，，，则A．B．C．D．参考答案：B从题意得：，，。

所以B为正确答案.【点睛】指数或者对数比较大小，考查学生对指数与对数的图像与性质的灵活处理能力，需要学生抓住定点。

算出所在区间在去比较大小。

3. 将函数y=cos2x的图象向左平移个单位，得到函数y=f（x）?cosx的图象，则f（x）的表达式可以是（）A．f（x）=﹣2sinx B．f（x）=2sinxC．f（x）=sin2x D．f（x）=（sin2x+cos2x）参考答案：A 【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】将函数y=cos2x的图象向左平移个单位，可得y=cos2（x+）=cos（2x+）=﹣sin2x=﹣2cosx?sinx，利用条件，可得结论．【解答】解：将函数y=cos2x的图象向左平移个单位，可得y=cos2（x+）=cos（2x+）=﹣sin2x=﹣2cosx?sinx，∵y=f（x）?cosx，∴f（x）=﹣2sinx．故选：A．4. 已知递增等比数列{a n}满足a3?a7=6，a2+a8=5，则=( )A．B．C．D．参考答案：D考点：等比数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：利用等比数列的性质及其通项公式即可得出．解答：解：递增等比数列{a n}满足a3?a7=6，a2+a8=5，∴a2a8=6，a2+a8=5，解得a2=2，a8=3．∴==．故选：D．点评：本题考查了等比数列的性质及其通项公式，属于基础题．5. “”是“”的A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：【解析】：B.因但。

2022年江苏省泰州市湖头中学高三数学文联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 若，且，则的最小值等于（）A．9 B．5 C．3 D ．2参考答案：C2. 已知点分别是正方的棱的中点，点分别在线段上. 以为顶点的三棱锥的俯视图不可能是（）参考答案：C【知识点】几何体的三视图. G2解析：当M与F重合、N与G重合、Q与E重合、P与重合时，三棱锥的俯视图为A；当M、N、Q、P是所在线段的中点时为B；当M、N、P是所在线段的非端点位置，而E与B重合时，三棱锥的俯视图有选项D的可能.故选C.【思路点拨】由运动变化的观点，分析三棱锥的俯视图的可能情况，从而得出其不可能情况.3. 复数的模长为（）A．B．C．D．2参考答案：B【考点】复数求模．【专题】计算题．【分析】通过复数的分子与分母同时求模即可得到结果．【解答】解：复数，所以===．故选B．【点评】本题考查复数的模的求法，考查计算能力．4. 设是两条不同的直线，是两个不同的平面，有下列四个命题：① 若；② 若；③ 若；④ 若其中正确命题的序号是（）A. ①③B. ①②C. ③④D. ②③参考答案：D略5. 下列说法正确的是A．命题“”为真命题，则命题“”和命题“”均为真命题B．已知，则“”是“”的充分不必要条件C．命题“若，则”的逆命题是真命题D．命题“”的否定是：“”参考答案：D6. 已知的充分不必要条件，则实数的取值范围A. B.C. D.参考答案：C7. 甲乙两名同学次考试的成绩统计如下图，甲乙两组数据的平均数分别为、，标准差分别为、，则、、、、参考答案：由图可知，甲同学除第二次考试成绩略低与乙同学，其他次考试都远高于乙同学，可知图中数据显示甲同学的成绩比乙同学稳定，故.故选.8. 已知映射,其中，对应法则若对实数，在集合A中不存在原象，则k的取值范围是( ）A． B． C．D．参考答案：B9. 设f（x）=，若f（0）是f（x）的最小值，则a的取值范围是（）A．[﹣1，2] B．[﹣1，0] C．[1，2] D．[0，2]参考答案：D【考点】函数的最值及其几何意义．【专题】函数的性质及应用．【分析】利用基本不等式，先求出当x＞0时的函数最值，然后结合一元二次函数的性质进行讨论即可．【解答】解：当x＞0时，f（x）=x++a，此时函数的最小值为a+2，若a＜0，则函数的最小值为f（a）=0，此时f（0）不是f（x）的最小值，此时不满足条件，若a≥0，则要使f（0）是f（x）的最小值，则满足f（0）=a2≤a+2，即a2﹣a﹣2≤0解得﹣1≤a≤2，∵a≥0，∴0≤a≤2，故选：D【点评】本题主要考查函数最值的求解，根据基本不等式的性质以及一元二次函数的性质是解决本题的关键．10. 函数y=f()在定义域R内可导，若()= (2-x)且当时（-1）·()＜0，设a= (0)，b= (0.5)，c= (3)则A、a＜b＜cB、c＜a＜bC、c＜b＜aD、b＜c＜aB二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知直线l：x=2和圆C：x2+y2﹣2x﹣2y=0，则圆C上到直线l的距离等于1的点的个数为．参考答案：2【考点】直线与圆的位置关系．【分析】将圆方程化为标准方程，找出圆心坐标与半径，求出圆心到已知直线的距离，即可得出结论．【解答】解：圆方程变形得：（x﹣1）2+（y﹣1）2=2，即圆心（1，1），半径r=，∴圆心到直线x=2的距离d=1＜，r﹣d＜1∴圆C上到直线l的距离等于1的点的个数为2，故答案为2．12. (选修4—1 几何证明选讲）如图：EB、EC是⊙O的两条切线，B、C是切点，A、D是⊙O 上两点，如果∠E＝460，∠DCF＝320，则∠A的度数是；参考答案：13. 执行如图所示的伪代码,输出的结果是▲ .参考答案：答案：2514. 如图，正方体中，，分别为棱，上的点．已知下列判断：①平面；②在侧面上的正投影是面积为定值的三角形；③在平面内总存在与平面平行的直线；④平面与平面所成的二面角（锐角）的大小与点的位置有关，与点的位置无关．其中正确结论的序号为_____________（写出所有正确结论的序号）.参考答案：②③略15. 设集合A＝，B＝，定义：，若集合中元素的最大值为2a＋1，则实数a的取值范围是__________。

江苏省泰州市靖江第一中学2021-2022学年高三数学文联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 设函数是定义在的非负可导的函数，且满足，对任意的正数，若，则必有（）A. B. C. D.参考答案：A2. 已知两点A（0，2）、B（2，0），若点C在函数的图像上，则使得的面积为2的点C的个数为A．4 B．3 C．2 D．1参考答案：A【知识点】抛物线的应用．H7解析：设C（a，a2），由已知得直线AB的方程为，即：x+y﹣2=0,点C到直线AB的距离为：d=，有三角形ABC的面积为2可得：=|a+a2﹣2|=2得：a2+a=0或a2+a﹣4=0，显然方程共有四个根，可知函数y=x2的图象上存在四个点（如上面图中四个点C1，C2，C3，C4）使得△ABC的面积为2（即图中的三角形△ABC1，△ABC2，△ABC3，△ABC4）．故应选：A 【思路点拨】本题可以设出点C的坐标（a，a2），求出C到直线AB的距离，得出三角形面积表达式，进而得到关于参数a的方程，转化为求解方程根的个数（不必解出这个跟），从而得到点C的个数．3. 下列四个结论中正确的个数是①②若，则③若命题，则命题④命题“若，则”的逆否命题为真命题A. 1个B. 2个C. 3个D.4个参考答案：B4. 定义在上的函数在区间上是增函数，且的图象关于对称，则（）A. B. C. D.参考答案：C5. 已知△ABC的内角A, B, C的对边分别是a, b, c，且，若a+b=4，则c的取值范围为A．(0,4) B．[2,4) C．[1,4) D．(2,4]参考答案：B6. 已知函数在区间上是增函数，则常数的取值范围是A. B. C. D.参考答案：A7. 已知f(x)＝则f(log23)＝()A． B． C． D．参考答案：B8. 将函数y= cos（x）的图象上各点的横坐标伸长到原的2倍（纵坐标不变），再向左平移个单位，所得函数图象的一条对称轴是A．B．C．D．参考答案：D9. 已知f（x）是定义在R上的偶函数且以2为周期，则“f（x）为[0，1]上的增函数”是“f（x）为[3，4]上的减函数”的（）A．充分而不必要的条件B．必要而不充分的条件C．充要条件D．既不充分也不必要的条件参考答案：C 【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】由题意，可由函数的性质得出f（x）为[﹣1，0]上是减函数，再由函数的周期性即可得出f （x）为[3，4]上的减函数，由此证明充分性，再由f（x）为[3，4]上的减函数结合周期性即可得出f（x）为[﹣1，0]上是减函数，再由函数是偶函数即可得出f（x）为[0，1]上的增函数，由此证明必要性，即可得出正确选项【解答】解：∵f（x）是定义在R上的偶函数，∴若f（x）为[0，1]上的增函数，则f（x）为[﹣1，0]上是减函数，又∵f（x）是定义在R上的以2为周期的函数，且[3，4]与[﹣1，0]相差两个周期，∴两区间上的单调性一致，所以可以得出f（x）为[3，4]上的减函数，故充分性成立．若f（x）为[3，4]上的减函数，同样由函数周期性可得出f（x）为[﹣1，0]上是减函数，再由函数是偶函数可得出f（x）为[0，1]上的增函数，故必要性成立．综上，“f（x）为[0，1]上的增函数”是“f（x）为[3，4]上的减函数”的充要条件．故选C．10. 已知{a n}是公比为q的等比数列，且a1，a3，a2成等差数列，则q=（）1或﹣B﹣D参考答案：A解答：解：∵a1，a3，a2成等差数列∴2a1q2=a1+a1?q∴q=1或﹣故选A．点评：本题主要考查了等比数列的性质、通项公式及等差数列的性质，以及运算能力．属基础题．11. 设△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足，则．参考答案：4acosB ﹣bcosA=c，由正弦定理得sinAcosB ﹣sinBcosA=sinC=sin （A+B）=（sinAcosB+cosAsinB ），整理得sinAcosB=4cosAsinB ，两边同除以cosAcosB ，得tanA=4tanB，故.故答案为：412. △ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若2b cosB=a cosC+c cosA,则B=参考答案：由正弦定理可得13. 在直角坐标系中,以原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系.若极坐标方程为的直线与曲线(为参数)相交于两点,则参考答案：16略14. 已知向量，，则______.参考答案：-10【分析】利用向量减法和数量积的运算，直接计算出结果.【详解】依题意.【点睛】本小题主要考查向量的减法和数量积运算，属于基础题.15. 函数的定义域是参考答案：（-3，2 ）16. 设P在[0，5]上随机地取值，则关于x的方程有实数根的概率为_________.参考答案：17. 过点作斜率为的直线与椭圆：相交于，两点，若是线段的中点，则椭圆的离心率为．参考答案：设，由题得故填.三、解答题：本大题共5小题，共72分。

江苏省泰州市天水梅兰中学2018-2019学年高三数学文联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 设函数，若实数使得对任意实数恒成立，则的值等于（）A.B. C.D.参考答案：C解：令c=π，则对任意的x∈R，都有f（x）+f（x-c）=2，于是取a=b=，c=π，则对任意的x∈R，f（x）+f（x-c）=1，由此得=-1，选C2. 已知全集U={1，2，3，4}，集合A={1，2}，B={2，3}，则?U（A∩B）=（）A. {1,3,4}B. {3,4}C. {3}D. {4}参考答案：D试题分析：根据A与B求出两集合的并集，由全集U，找出不属于并集的元素，即可求出所求的集合．解：∵A={1，2}，B={2，3}，∴A∪B={1，2，3}，∵全集U={1，2，3，4}，∴?U（A∪B）={4}．故选D3. 设函数，则不等式的解集是（）（A）（B）（C）（D）参考答案：B4. 已知是虚数单位，复数满足，则A. B. C.D.参考答案：A略5. 函数的一个增区间是（）A． B． C．D．参考答案：B6. 复数（是虚数单位）的实部和虚部的和是（）A．4 B．6 C．2 D．3参考答案：C略7. （文）从中随机取一个数，则事件“不等式有解”发生的概率为A．B．C．D．参考答案：D8. 设集合，，则M N=（）A．{} B．{ }C．{ } D．{ }参考答案：A略9. 执行如图所示的程序框图，如果输入的N值是6，那么输出p的值是A15 B105 C120 D720参考答案：B略10. 设某高中的女生体重（单位：）与身高（单位：）具有线性相关关系，根据一组样本数据，用最小二乘法建立的回归方程为，则下列结论不正确的是A.具有正的线性相关关系B.回归直线过样本点的中心C.若该高中某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kgD.若该高中某女生身高为170cm，则可断定其体重必为58.79kg参考答案：D略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知等差数列{a n}和等比数列{b n}满足：a1＋b1＝3，a2＋b2＝7，a3＋b3＝15，a4＋b4＝35，则a5＋b5＝__________．参考答案：9112. 、如图，长方形的四个顶点为O(0，0)，A(2,0)，B(2,4)，C(0,4)，曲线经过点B．现将一质点随机投入长方形OABC中，则质点落在图中阴影区域的概率是▲参考答案：略13. 已知圆的直径，为圆上一点，，垂足为，且，则.参考答案：4或914. △ABC中，，，，则．参考答案：515.参考答案：16. 我国古代数学专著《孙子算法》中有“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”如果此物数量在100至200之间，那么这个数．参考答案：12817. 已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点，若点M到该抛物线焦点的距离为3，则．参考答案：2倍根号下3三、解答题：本大题共5小题，共72分。

2022届高三10月月考数学试卷（江苏省泰州中学）解答题如图，摩天轮的半径为，它的最低点距地面的高度忽略不计.地上有一长度为的景观带，它与摩天轮在同一竖直平面内，且.点从最低点处逆时针方向转动到最高点处，记.（1）当时，求点距地面的高度；（2）试确定的值，使得取得最大值.【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）将所求的高度、已知的角与线段长度放在一个三角形中结合三角函数的定义求解即可；（2）借助于角θ，把∠MPN表示出来，然后利用导数研究该函数的最值．试题解析：（1）由题意，得.从而，当时，.即点距地面的高度为.（2）由题意，得，从而.又，所以.从而令，则.由，得，解得.当时，为增函数；当时，为减函数，所以，当时，有极大值，也为最大值.因为，所以.从而当取得最大值时，取得最大值.即时，取得最大值.解答题已知函数.（1）将化简为的形式，并求最小正周期；（2）求在区间上的最大值和最小值及取得最值时的值.【答案】（1），；（2）时，，时，.【解析】试题分析：（1）由三角函数的公式化简可得，由周期公式可得答案；（2）由x的范围可得的范围，可得f（x）的范围，结合三角函数在该区间的单调性，可得最值及对应的x值．试题解析：（1）所以.（2）因为，所以所以，所以，当，即时，，当，即时，.填空题若集合，则__________．【答案】【解析】根据集合并集的运算意义，，故填.填空题设函数，其中，若存在唯一的整数，使得，则的取值范围是.【答案】【解析】试题分析:设,由题设可知存在唯一的整数，使得在直线的下方.因为,故当时,,函数单调递减; 当时,,函数单调递增;故,而当时,,故当且,解之得,应填答案.解答题如图，菱形的对角线与交于点，点分别在上，交于点，将沿折到位置，.（1）证明：平面；（2）求二面角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】试题分析：（Ⅰ）证，再证，最后证；（Ⅱ）用向量法求解.试题解析：（Ⅰ）由已知得，，又由得，故.因此，从而.由, 得.由得.所以，.于是，，故.又，而，所以.（Ⅱ）如图，以为坐标原点，的方向为轴的正方向，建立空间直角坐标系，则，，，，，，，.设是平面的法向量，则，即，所以可以取.设是平面的法向量，则，即，所以可以取.于是，.因此二面角的正弦值是.解答题已知命题函数在上单调递增；命题不等式的解集为，若为真，为假，求实数的取值范围.【答案】.【解析】试题分析：如果p∨q为真，p∧q为假，则p，q只能一真一假，进而得到答案.试题解析：若真，则，真恒成立，设，则，易知，即，为真，为假一真一假，（1）若真假，则且，矛盾，（2）若假真，则且，综上可知，的取值范围是.填空题若，则__________．【答案】【解析】因为，而所以，两边同除以得：，故填.解答题设集合是的两个非空子集，且满足集合中的最大数小于集合中的最小数，记满足条件的集合对的个数为.（1）求的值；（2）求的表达式.【答案】（1），.（2）.【解析】试题分析：（Ⅰ）根据具体数值，结合新定义，列举满足条件的数对：当时，即，此时，，所以，当时，即，若，则，或，或；若或，则；所以.（Ⅱ）由定义知，A,B 无共同元素，分别在两部分取相应子集：当集合中的最大元素为“”时，集合的其余元素可在中任取若干个（包含不取），所以集合共有种情况，此时，集合的元素只能在中任取若干个（至少取1个），所以集合共有种情况，集合对共有对，再求和试题解析：（1）当时，即，此时，，所以，2分当时，即，若，则，或，或；若或，则；所以. 4分（2）当集合中的最大元素为“”时，集合的其余元素可在中任取若干个（包含不取），所以集合共有种情况，6分此时，集合的元素只能在中任取若干个（至少取1个），所以集合共有种情况，所以，当集合中的最大元素为“”时，集合对共有对，8分当依次取时，可分别得到集合对的个数，求和可得. 10分解答题已知二次函数，关于实数的不等式的解集为．（1）当时，解关于的不等式：；（2）是否存在实数，使得关于的函数（）的最小值为？若存在，求实数的值；若不存在，说明理由．【答案】（1）当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为．（2）【解析】试题分析：（1）由二次不等式解集与二次方程根的关系得：的两根为和，且，从而，解得，再化简不等式，因式分解：，最后根据两根2与大小关系，分三种情况讨论不等式解集（2）先化简函数，为一元二次函数，其中，再根据对称轴与定义区间位置关系研究函数最小值：因为，所以当时，取最小值试题解析：（1）由不等式的解集为知，关于的方程的两根为和，且，由根与系数关系，得∴所以原不等式化为，①当时，原不等式化为，且，解得或；②当时，原不等式化为，解得且；③当时，原不等式化为，且，解得或；综上所述：当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为．（2）假设存在满足条件的实数，由（1）得：，，．令（），则，（），对称轴，因为，所以，，所以函数在单调递减，所以当时，的最小值为，解得．填空题设二次函数（为常数）的导函数为，对任意，不等式恒成立，则的最大值为__________．【答案】【解析】试题分析：根据题意易得：，由得：在R上恒成立，等价于：，可解得：，则：，令，，故的最大值为．解答题已知为上的偶函数，当时，.（1）当时，求的解析式；（2）当时，试比较与的大小；（3）求最小的整数，使得存在实数，对任意的，都有.【答案】（1）当时，；（2）时，；当时，；当时，；（3）最小整数.【解析】试题分析：（1）当时，，利用为R上的偶函数，当时，，可求函数的解析式；（2）当时，单调递增，而是偶函数，所以在上单调递减，从而可得当时，；当时，；当时，；（3）转化为对恒成立，从而有求利用建立关系, 由此可求适合题意的最小整数m的值.试题解析：（1）当时，；（2）当时，单调递增，而是偶函数，所以在上单调递减，所以所以当时，；当时，；当时，；（3）当时，，则由，得，即对恒成立从而有对恒成立，因为，所以因为存在这样的，所以，即又，所以适合题意的最小整数.填空题已知直线与函数及的图象分别交于两点，则线段的长度为__________．【答案】.【解析】分别联立与函数及解得：，所以，故填.填空题已知，则__________．【答案】【解析】由诱导公式得：，，所以，故填.填空题函数的最小值为__________．【答案】【解析】试题分析：所以，当，即时，取得最小值.所以答案应填：.解答题在平面直角坐标系中，已知曲线（为参数，），直线（为参数，），求曲线上的动点到直线的距离的最小值.【答案】.【解析】试题分析：根据已知中直线的参数方程，消参求出直线的一般式方程，代入点到直线距离公式，结合三角函数的图象和性质，可得曲线C上的动点P到直线l的距离的最小值．试题解析：将直线的参数方程化为普通方程为.因为点在曲线上，所以可设.因为点到直线距离，其中是锐角，所以当时，，所以点到直线的距离最小值为.解答题已知函数.（1）若曲线与直线相切，求实数的值；（2）记，求在上的最大值；（3）当时，试比较与的大小.【答案】（1）；（2）当时，；当时，；（3）.【解析】试题分析：（1）研究函数的切线主要是利用切点作为突破口求解；（2）通过讨论函数在定义域内的单调性确定最值，要注意对字母m的讨论；（3）比较两个函数的大小主要是转化为判断两个函数的差函数的符号，然后转化为研究差函数的单调性研究其最值．试题解析：（1）设曲线与相切于点，由，知，解得，又可求得点为，所以代入，得.（2）因为，所以.①当，即时，，此时在上单调递增，所以；②当即，当时，单调递减，当时，单调递增，.（i）当，即时，；（ii）当，即时，；③当，即时，，此时在上单调递减，所以.综上，当时，；当时，.（3）当时，，①当时，显然；②当时，，记函数，则，可知在上单调递增，又由知，在上有唯一实根，且，则，即（*），当时，单调递减；当时，单调递增，所以，结合（*）式，知，所以，则，即，所以.综上，.填空题设函数，则__________．【答案】【解析】由分段函数解析式知，，所以，故填9.填空题函数的定义域为A，值域为B，则A∩B=____________.【答案】【解析】填空题已知角的终边过点，且，则的值为．【答案】【解析】试题分析：由题意得填空题命题“若，则”的否命题为．【答案】若，则【解析】试题分析：否定条件作条件，同时否定结论做结论，所以命题“若，则”的否命题为若，则解答题在平面直角坐标系中，设点在矩阵对应的变换下得到点，求.【答案】.【解析】试题分析：由题意得到，再由逆矩阵公式,求出矩阵M的逆矩阵由此能求出M.−1试题解析：依题意，，即，解得，由逆矩阵公式知，矩阵的逆矩阵，所以.填空题已知函数，若对任意的，都有，则实数的取值范围是__________．【答案】【解析】构造函数，则是奇函数，是R上的增函数，所以原不等式变为，所以，即恒成立，所以，解得：，故填.填空题设函数是奇函数的导函数，，当时，，则使得成立的的取值范围是__________．【答案】【解析】令，所以在上是减函数，又，所以是偶函数，因此，当时，，所以，同理，当时，，所以，综上应填.21。

2022届江苏省泰州中学高三上学期12月月考数学试题一、单选题1．已知集合{}24,A x x x =<∈N ，{}1,1,2,3B =-，则A B =（ ）A ．{}1B ．{}0,1C ．{}1,1-D ．{}0,1,2,3答案：A先解不等式化简集合A ，再进行交集运算即可.解：集合{}{}24,22,A x x x x x x =<∈=-<<∈N N {}0,1=，{}1,1,2,3B =-，因此{}1A B ⋂=. 故选：A.2．复数z 对应复平面上的点12Z ⎛ ⎝⎭，则2z 在复平面上对应的点在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案：B首先根据复数的几何意义表示出复数z ，再根据复数的乘方运算求出2z 即可得到其坐标，即可判断；解：解：因为复数z 对应复平面上的点12Z ⎛ ⎝⎭，所以12z =+，所以221122z ⎛⎫=+=- ⎪ ⎪⎝⎭，在复平面内对应的点的坐标为12⎛- ⎝⎭位于第二象限.故选：B.3．已知直线()1:3453l m x y m ++=-，()2:258l x m y ++=，则“7m =-”是“12//l l ”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分又不必要条件答案：C根据两直线平行可求得实数m 的值，进而判断可得出结论.解：若12//l l ，则()()358m m ++=，即2870m m ++=，解得1m =-或7-.当1m =-时，直线1l 的方程可化为24x y +=，直线2l 的方程可化为24x y +=，两直线重合，不合乎题意；当7m =-时，直线1l 的方程可化为22130x y -+=，直线2l 的方程可化为40x y --=， 此时，两直线平行，合乎题意.因此，“7m =-”是“12//l l ”的充分必要条件. 故选：C.4．曾侯乙编钟现存于湖北省博物馆，是世界上目前已知的最大、最重、音乐性能最完好的青铜礼乐器，全套编钟可以演奏任何调性的音乐并做旋宫转调．其初始四音为宫、徵、商、羽．我国古代定音采用律管进行“三分损益法”．将一支律管所发的音定为一个基音，然后将律管长度减短三分之一（即“损一”）或增长三分之一（即“益一”），即可得到其他的音．若以宫音为基音，宫音“损一”得徵音，徵音“益一”可得商音，商音“损一”得羽音，则羽音律管长度与宫音律管长度之比是（ ） A ．23B ．89C ．1627D ．6481答案：C根据题意，设出宫音的律管长度，表示出羽音的律管长度，作比即可. 解：设以宫音为基音的律管长度为x ，则徵音的律管长度为113x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，商音的律管长度为111133x ⎛⎫⎛⎫-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，羽音的律管长度为111111333x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+- ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以，羽音律管长度与宫音律管长度之比是1111111633327x x⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+- ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=.故选：C.5．已知下表中是关于变量x ，y 的5组观测数据，甲同学根据表中数据通过模型mx n y e +=得到回归方程 2.6 3.8x y e -=，则ab =（ ）A ．10eB ．11eC ．12eD ．13e答案：B令ln z y =，然后求出,x z ，而由 2.6 3.8x y e -=可得 2.6 3.8z x =-，再将,x z 的值代入可求出ab 的值 解：令ln z y =，则3x =，()111ln ln 95z a b =⨯-++++，∵ 2.6 3.8x y e -=，∴ 2.6 3.8z x =-，∴ 2.63 3.84z =⨯-=，解得ln ln 11a b +=， ∴11ab e =， 故选：B.6．一个封闭的圆柱形容器，内部装有高度为三分之一的水（图一），将容器歪倒放在水平放置的的桌面上，设水面截底面得到的弦AB 所对的圆心角为θ，则（ ）A ．π3θ=B ．2π3θ=C ．πsin 3θθ=- D ．2πsin 3θθ=- 答案：D根据水平放置前后的水的体积相等列方程化简即可求解． 解：设圆柱体底面半径为r ，高为h ，则水的体积为213r h π水平放置后，水的体积为221sin 22r r h θπθπ⎛⎫⋅-⎪⎝⎭所以22211sin 322r h r r h θππθπ⎛⎫=⋅-⎪⎝⎭，解得2πsin 3θθ=- 故选：D7．将双曲线绕其对称中心旋转，会得到我们熟悉的函数图象，例如将双曲线22122x y -=的图象绕原点逆时针旋转45°后，能得到反比例函数1y x=的图象(其渐近线分别为x 轴和y 轴)；同样的，如图所示，常见的“对勾函数”(0,0)ny mx m n x=+>>也能由双曲线的图象绕原点旋转得到．设3m =，n ＝1，则此“对勾函数”所对应的双曲线的离心率为（ ）AB C D ．1答案：C由两条渐近线的夹角可得双曲线渐近线的斜率，然后由公式e =.解：易知对勾函数1y x+的渐近线为y =与y 轴，其夹角为30︒，故旋转之前双曲线的一条渐近线斜率为tan15︒，即()tan15tan 4530b a =︒=︒-︒=，所以双曲线离心率e =故选：C8．已知2log 3a =，函数()e ln 4=+-xf x x 的零点为b ，()3212g x x x x =--的极小值点为c ，则（ ） A ．()()()f a f b f c >> B ．()()()f b f a f c >> C ．()()()f b f c f a >> D ．()()()f c f a f b >>答案：A求出c 的值，利用零点存在定理得出31,2b ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，然后比较a 、b 、c 的大小关系，结合函数()f x 的单调性可得出结论.解：因为()f x 的定义域为()0,∞+，()1e 0xf x x'=+>，则函数()f x 在其定义域上为增函数， 3e 16>，则32e 4>，则3233e ln 4022f ⎛⎫=+-> ⎪⎝⎭，因为()1e 40f =-<，由零点存在定理可知31,2b ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，由()2310g x x x '=--=可得1=x 2=x当x <x >时，()0g x '>x <<()0g x '<.所以，1c =<.因为2223log log 3log 422a ==<=，所以，01cb a <<<<，故()()()f a f b fc >>. 故选：A. 二、多选题9．下列说法正确的是（ ）A ．()522x x -的展开式中含7x 的系数是80- B ．已知随机变量X 服从正态分布()2,N μσ，若()()151P X P X >-+≥=，则2μ=C ．若实数221a b +=，则a b +的最大值为1D ．若函数()24f x x x m =-+有4个零点，则40m -≤<答案：AB利用二项式定理可判断A 选项；利用正态密度曲线的对称性可判断B 选项；利用基本不等式可判断C 选项；数形结合可判断D 选项.解：对于A 选项，()522x x -的展开式通项为()()()5210155C 2C 2kk kkkk k T x x x --+=⋅⋅-=⋅-⋅，令107k -=，可得3k =，所以，展开式中含7x 的系数是()335C 280⋅-=-，A 对； 对于B 选项，由已知可得()()()5111P X P X P X ≥=->-=≤-， 由正态曲线的对称性可得5122μ-==，B 对； 对于C 选项，()()22222222a b a b ab a b +=++≤+=，当且仅当a b =时，等号成立，故22a b -≤+≤，C 错；对于D 选项，由()0f x =，可得24m x x -=-，作出直线y m =-与曲线24y x x =-的图象如下图所示：由图象可知，当04m <-<时，即当40m -<<时，直线y m =-与曲线24y x x =-有4个交点，此时函数()24f x x x m =-+有4个零点，D 错.故选：AB.10．已知方程22sin sin 21x y θθ-=，则（ ） A ．存在实数θ，该方程对应的图形是圆，且圆的面积为43π B ．存在实数θ，该方程对应的图形是平行于x 轴的两条直线C ．存在实数θ，该方程对应的图形是焦点在xD ．存在实数θ，该方程对应的图形是焦点在x答案：CD根据二元二次方程表示各种曲线时的结构特征，取值计算可得. 解：2222sin sin 21(2)sin 1cos x y x y θθθθ-=⇔-=当1cos 2θ=-，sin θ=22x y +=，故A 不正确；要使该方程表示平行于x 轴的两条直线，需满足sin 0,sin 20θθ=≠，显然无实数解，故B 不正确；当1cos ,sin 2θθ==221=，表示焦点在x，故C 正确；当3cos ,sin 4θθ=-=221=，表示焦点在x轴上的椭圆，且椭圆的离心率为D 正确. 故选：CD11．已知函数f (x )＝sin(|cos x |)＋cos(|sin x |)，则以下结论正确的是（ ） A ．f (x )的图象关于直线2x π=对称 B ．f (x )是最小正周期为2π的偶函数 C ．f (x )在区间(0,)2π上单调递减D ．方程1()2f x x =恰有三个不相等的实数根 答案：ACD根据对称性，周期性，复合函数单调性可判断选项ABC ，结合单调性和周期性对函数1()2g x x =和()f x 的图象交点情况讨论可判断D.解：()sin(cos())cos(sin())sin(sin )cos(cos )222f x x x x x πππ-=-+-=+， ()sin(cos())cos(sin())sin(sin )cos(cos )222f x x x x x πππ+=+++=+， ()()22f x f x ππ∴-=+，故A 正确； ()sin(cos())cos(sin())sin(cos )cos(sin )()f x x x x x f x πππ+=+++=+=，故B 不正确；当(0,)2x π∈时，cos t x =单调递减，sin ,(0,1)y t t =∈单调递增，所以，sin(cos )sin(cos )y x x ==单调递减，同理，cos(sin )cos(sin )y x x ==单调递减，故函数()f x 在区间(0,)2π上单调递减，所以C正确；易知()f x 为偶函数，综上可知：()f x 的周期为π，且在区间(0,)2π上单调递减，在区间(,)2ππ上单调递增，在区间3(,)2ππ上单调递减.令1()2g x x =，因为(0)sin11(0)0f g =+>=，()cos1cos ()24224f g ππππ=<=<=，故函数()f x 与()g x 的图象在区间(0,)2π内有且只有一个交点；又()sin11sin 1()42f g ππππ=+>+=>=，故函数()f x 与()g x 的图象在区间(,)2ππ内有且只有一个交点； 又333()cos1()224f g πππ=<=，故函数()f x 与()g x 的图象在区间3(,)2ππ内有且只有一个交点. 因为(2)sin11(2)f g πππ=+<=，由()f x 周期性和()g x 单调性可知，当2x π>或0x ≤时，两函数图象无交点.综上所述，方程1()2f x x =恰有三个不相等的实数根 故选：ACD12．已知三棱柱111ABC A B C -为正三棱柱，且A 12,A AB ==D 是11B C 的中点，点P 是线段1A D 上的动点，则下列结论正确的是（ ） A ．四面体11A BC B -外接球的表面积为20πB ．若直线PB 与底面ABC 所成角为θ，则sin θ的取值范围为12⎡⎢⎣⎦C ．若12A P =，则异面直线AP 与1BC 所成的角为4πD ．若过BC 且与AP 垂直的截面α与AP 交于点E ，则三棱锥P －BCE 答案：ABD可求得底面外接圆的半径2r =，再构造直角三角形求得外接球的半径R =A ；取BC 的中点F ，连接DF ，AF ，BD ，1A D ，由正三棱柱的性质可求得1sin [2θ∈，从而判断B ；将正三棱柱补成如图所示的直四棱柱，从而判断C ；由2123P ABC V -=⨯=P BCE -的体积最小，则三棱锥E ABC -的体积最大，从而判断D ．解：四面体11A BC B -外接球即为正三棱柱111ABC A B C -外接球， 因为ABC外接圆的半径2r ==，且12AA =，设正三棱柱111ABC A B C -外接球的半径为R ，设正三棱柱的高为h ＝12AA =，则由2222h R r ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭得R =2420R ππ=，故A 正确；取BC 的中点F ，连接DF ，AF ，BD ，1A D ，由正三棱柱的性质可知平面1AA DF ⊥平面ABC ，所以当点P 与1A 重合时，θ最小为∠1BAA ，11121sin 42AA BAA A B ∠===， 当点P 与D 重合时，θ最大为DBF ∠，sinDF DBF DB∠===，所以1sin [2θ∈，故B 正确； 将正三棱柱补成如图所示的直四棱柱，则GAP ∠(或其补角)为异面直线AP 与1BC 所成的角，14AG BC ==，AP =，∵111160,30GAC C A D ∠=︒=︒∠，∴190GA D ∠=︒，∴GP ，所以cos GAP ∠，即4GAP π∠≠，故C 错；因2123P ABC V -==⨯=故要使三棱锥P BCE -的体积最小，则三棱锥E ABC -的体积最大，设BC 的中点为F ，作出截面如图所示，∵AP α⊥，∴AP ⊥EF ，∴点E 在以AF 为直径的圆上， ∴点E 到底面ABC距离的最大值为113222AF =⨯=⎝， ∴三棱锥PBCE -的体积的最小值为21332⨯，故D 正确； 故选：ABD ．【点睛】本题为立体几何的综合题，研究空间点、线、面的位置关系，需要良好的空间想象能力和作图能力.C 选项的关键在于把三棱柱补成四棱柱，从而构造出要求的异面直线夹角；D 选项的关键是把三棱锥P BCE -看成是三棱锥P ABC -的一部分，利用割补思想求解. 三、填空题13．公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割值约为0.618，这一数值也可以表示为2sin18m ︒=.若24m n +=m n+=_________.答案：22利用同角的基本关系式，可得24cos 18n =︒，代入所求，结合辅助角公式，即可求解． 解：因为2sin18m =︒，24m n +=，所以222444sin 184cos 18n m =-=-︒=︒， 2sin182cos1822sin(1845)22sin 63m n +︒+︒︒+︒===︒22【点睛】本题考查同角三角函数的基本关系式，辅助角公式，考查计算化简的能力，属基础题14．已知数列{}n a 的首项11021a =，其n 前项和n S 满足21n n S S n -=--，则2021a =______.答案：999-利用题干中的递推关系找出an 与n 的关系，进而计算出结果.解：由题知，21n n S S n -+=-，则()211n n S S n ++=-+.两式做差得()()221121n n a a n n n ++=-+--=--.整理得()()11n n a n a n +++=-+.所以{n a n + }是以111022a +=为首项，-1为公比的等比数列. ()202020212021102211022a +=⨯-=.故答案为999-【点睛】方法点睛：在处理数列的通项与前n 项和的相关问题时，一定要抓住题干中给出的递推关系，利用递推关系将抽象的数列问题转化为我们熟悉的等差数列、等比数列问题，从而运用我们所学的等差、等比数列的知识取解决问题.15．在ABC 中，6,63,12,AB AC BC ===动点P 自点C 出发沿CB 运动，到达点B 时停止，动点Q 自点B 出发沿BC 运动，到达点C 时停止，且动点Q 的速度是动点P 的3倍．若二者同时出发，且当其中一个点停止运动时．另一个点也停止运动，则该过程中AP AQ →→⋅的最大值是________________________． 答案：72先求出90,BAC ∠=︒且30,ACB ∠=︒建立平面直角坐标系xAy ，如图所示．设点[],633,0,2()P x x x -∈，求出2512752AP AQ x →→⎛⎫⋅=--+ ⎪⎝⎭，即得解.解：因为2226,63,12,AB AC BC AB AC BC ===+=， 所以90,BAC ∠=︒且30,ACB ∠=︒ 建立平面直角坐标系xAy ，如图所示．设点[],633,0,2()P x x x ∈，则2,6CP x BQ x ==， 从而可得3(6)3,3Q x x -，所以2563336331275()2()AP AQ x x x x x →→⎛⎫⋅=-+=--+ ⎪⎝⎭．因为2512752y x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭在[]0,2上单调递增，所以当2x =时，AP AQ →→⋅取得最大值，且最大值为72． 故答案为：7216．对任意的1(,)x m∈-+∞，不等式21mx n e x m +-≥恒成立，则n m 的最小值为______.答案：22e -根据不等式恒成立，构造2()(0)mx n f x e x m +=-≠，有2()21mx n f x me +'=-，利用二阶导数研究()'f x 单调性，再讨论0m <、0m >时()f x 的单调性，进而确定()f x 在1(,)x m∈-+∞上的最小值及对应m 、n 的关系式，将n m 与所得关系式转化为直线与曲线相切的问题，求nm的最小值即可. 解：令2()(0)mx n f x e x m +=-≠，则2()21mx n f x me +'=-，即22()40mx n f x m e +''=>， ∴()'f x 单调递增，∴当0m <时，()0f x '<，即()f x 在1(,)x m∈-+∞上递减，而当x →+∞时，()f x →-∞，故不满足1()f x m≥； 当0m >时，若()0f x '=得212mx nem +=，即ln(2)2n m x m+=-， ∴ln(2)2n m x m +<-时，()0f x '<，即()f x 递减；当ln(2)2n m x m+>-时，()0f x '>，即()f x 递增；若令n k m =，即n m k=， 则：①当1ln(2)2n m m m+->-，即ln(2)2n m +>，2min 111()()n f x f e m m m -=-=+>恒成立；∴22ne m ->情况下n m 最小，即直线n m k =与曲线2()2n e g n -=相切，而2()2n e g n -'=-，∴01()g n k '=时，0022022n n n e e ---=，有01n =-，302e m =，则0302n m e =-； 当1ln(2)2n m m m+-≤-，即ln(2)2n m +≤，min ln(2)1ln(2)1()()22n m n m f x f m m m +++=-=≥，得ln(2)1n m +≥，∴1222n n e e m --≤≤情况下n m 最小，即直线n m k =与曲线1()2ne g n -=相切，而1()2n e g n -'=-，∴01()g n k '=时，0011022n n n e e ---=，有01n =-，202e m =，则0202n m e =-； ∴综上：2322e e-<-，即n m 的最小值为22e -. 故答案为：22e -. 【点睛】关键点点睛：根据不等式恒成立，利用导数、分类讨论的方法判断()f x 单调性，并构造函数结合导数确定目标代数式中参数的关系，由所得条件中代数式的几何含义求最小值 四、解答题17．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知b c =∠B ＝45°． (1)求边BC 的长以及三角形ABC 的面积； (2)在边BC 上取一点D ，使得4cos 5ADB ，求tan ∠DAC 的值． 答案：(1)3BC =；32ABCS =； (2)211（1）在ABC 中，利用余弦定理即可求解3BC =，结合面积公式求得面积；（2）在ABC 中，由正弦定理可以求出sin C =，再利用ADC ∠与ADB ∠互补可以求出4cos 5ADC ∠=-，得出ADC ∠是钝角，从而可得C ∠为锐角，即可求出cos C 和sin ADC ∠的值，利用sin sin()DAC ADC C ∠=∠+∠展开代入数值即可求解，从而求解tan ∠DAC 的值． (1)在ABC 中，因为b =c =45B ∠=， 由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，得2522a a =+-所以2230a a --=解得：3a =或1a =-（舍） 所以3BC =，113sin 3222ABC S ac B ==⨯=△ (2)在ABC 中，由正弦定理sin sin b cB C=，245sin =所以sin C =在ADC 中，因为()4cos 180cos cos 5ADB ADB ADC -∠=-∠∠=-=，所以ADC ∠为钝角.而180ADC C CAD ∠+∠+∠=， 所以C ∠为锐角故cos C =因为4cos 5ADC ∠=-，所以3sin5ADC∠==，()sin sin180sin()DAC ADC C ADC C∠=-∠-∠=∠+∠，sin cos cos sinADC C ADC C=∠∠+∠∠3455=-=由题可知∠DAC为锐角，cos DAC∠==所以sin2tancos11DACDACDAC∠∠==∠．18．已知数列{}n a的前n项和为n S，满足：11a=，11n n nS S a+-=+，数列{}n b为等比数列，满足134b b=，2114b b=<，*n N∈.（1）求数列{}n a，{}n b的通项公式；（2）若数列11n na a+⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n项和为n W，数列{}n b的前n项和为n T，试比较n W与n T的大小.答案：（1）n a n=，12nnb⎛⎫= ⎪⎝⎭；（2）当1n=时，n nW T=.当2n≥时，12nn+<，即有n nW T<. （1）由11a=,11n n nS S a+-=+可证数列{}n a为等差数列，然后求出其通项公式，设{}n b的公比为q，然后根据134b b=，2114b b=<，列出关于1b和q的方程组求解；（2）由()1111111n na a n n n n-==-++，用裂项相消法求数列{}na的前n项和nW，再利用等比数列的前n项和公式求解nT，然后比较nW与nT的大小.解：（1）由1S1Sn n na+-=+，得11n n nS S a+-=+，即11n na a+-=，又11a=，所以数列{}n a是首项和公差均为1的等差数列，可得n a n=.因为数列{}n b为等比数列，满足134b b=，2114b<b=，*n N∈，所以设公比为q，可得2114b b q=，所以12q=±，当12q=时，11124b=，可得11124b=>.当12q =-时，11124b -=，得112b =-，不满足21b b <，舍去，所以12nn b ⎛⎫= ⎪⎝⎭.（2）()1111111n n a a n n n n -==-++， 11111111223111n n W n n n n =-+-+⋅⋅⋅+-=-=+++，112n n T =-，此时1111(1)21112212(1)n n n n n n n w T n n n +-⎛⎫⎛⎫-=---=-= ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭. 易知：当1n =时，n n w T =. 当2n ≥时，12n n +<，即有n n w T <.【点睛】本题考查等差数列和等比数列的定义和通项公式、求和公式的运用，考查数列的裂项相消求和，以及不等式的性质，考查运算能力和推理能力，属于中档题．19．新疆棉以绒长､品质好､产量高著称于世.现有两类以新疆长绒棉为主要原材料的均码服装，A 类服装为纯棉服饰，成本价为120元/件，总量中有30%将按照原价200元/件的价格销售给非会员顾客，有50%将按照8.5折的价格销售给会员顾客.B 类服装为全棉服饰，成本价为160元/件，总量中有20%将按照原价300元/件的价格销售给非会员顾客，有40%将按照8.5折的价格销售给会员顾客.这两类服装剩余部分将会在换季促销时按照原价6折的价格销售给顾客，并能全部售完. (1)通过计算比较这两类服装单件收益的期望（收益=售价-成本）；(2)某服装专卖店店庆当天，全场A ，B 两类服装均以会员价销售.假设每位来店购买A ，B 两类服装的顾客只选其中一类购买，每位顾客限购1件，且购买了服装的顾客中购买A 类服装的概率为13.已知该店店庆当天这两类服装共售出5件，设X 为该店当天所售服装中B 类服装的件数，Y 为当天销售这两类服装带来的总收益.求当()0.5()P X n n <∈N 时，n 可取的最大值及Y 的期望E （Y ）. 答案：(1)B 类服装单件收益的期望更高 (2)n 可取的最大值为3，()400E Y =（元）（1）结合期望公式由单件总盈利减去成本即可计算；（2）由题知B 类服装的销售件数符合二项分布，求出对应(0)P X =，(1)P X =，……，(4)P X =的值，可确定n 的最大值；先列出这5件衣服总收益关于X 的关系式，得25045Y X =+，结合()(25045)E Y E X =+化简即可求解.(1)设A 类服装､B 类服装的单件收益分别为X 1元，X 2元，则1()0.32000.52000.850.22000.612049E X =⨯+⨯⨯+⨯⨯-=，20.23000.43000.850.4300(0.616074)E X =⨯+⨯⨯+⨯⨯-=， 12()()E X E X <，故B 类服装单件收益的期望更高；(2)由题意可知，2~(5,)3X B ，511(0)()3243P X ===，11452110(1)C ()()33243P X ===，22352140(2)C ()()33243P X ===，33252180(3)C ()()33243P X ===，44252180(4)C ()()33243P X ===.因为1104017(3)0.524381P X ++<==<，1104080131(4)0.5243243P X +++<==>， 所以当()0.5()P X n n <∈N 时，n 可取的最大值为3.(2000.85120)(5)(3000.85160)25045Y X X X =⨯--+⨯-=+（元）， 因为210()533E X =⨯=， 所以()(25045)25045()400E Y E X E X =+=+=（元）.20．某商品的包装纸如图1，其中菱形ABCD 的边长为3，且60ABC ∠=，3AE AF ==，23BE DF ==，将包装纸各三角形沿菱形的边进行翻折后，点E 、F 、M 、N 汇聚为一点P ，恰好形成如图2的四棱锥形的包裹．(1)证明PA ⊥底面ABCD ；(2)设点T 为BC 上的点，且二面角B PA T --3试求PC 与平面PAT 所成角的正弦值．答案：(1)证明见解析； 37. （1）证明出PA AB ⊥，PA AD ⊥，利用线面垂直的判定可证得结论；（2）连接AC ，取BC 的中点E ，连接AE ，证明出AD AE ⊥，以点A 为坐标原点，AE 、AD 、AP所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，设点33,,02T t ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，其中3322t -≤≤，利用已知条件求出t ，然后利用空间向量法可求得PC 与平面PAT 所成角的正弦值. (1)证明：由菱形ABCD 的边长为3，3AE AF ==，23BE DF ==， 所以，222BE AB AE =+，即有AB AE ⊥，同理可得AD AF ⊥， 在翻折的过程中，垂直关系保持不变可得PA AB ⊥，PA AD ⊥，AB AD A =，PA ∴⊥底面ABCD .(2)解：连接AC ，取BC 的中点E ，连接AE ，由已知AB BC =，60ABC ∠=，故ABC 为等边三角形， 因为E 为BC 的中点，则AE BC ⊥，因为//AD BC ，则AD AE ⊥，因为PA ⊥平面ABCD ，以点A 为坐标原点，AE 、AD 、AP 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，PA ⊥平面ABCD ，AB 、AT ⊂平面ABCD ，则PA AB ⊥，PA AT ⊥，故二面角B PA T --的平面角为BAT ∠，由题意可得22sin 3tan cos sin cos 1sin 0BAT BAT BAT BAT BAT BAT ⎧∠∠==⎪∠⎪⎪∠+∠=⎨⎪∠>⎪⎪⎩，可得21sin 27cos BAT BAT ⎧∠=⎪⎪⎨⎪∠=⎪⎩， 易知点()0,0,0A 、333,02B ⎫-⎪⎪⎝⎭、333,02C ⎫⎪⎪⎝⎭、()0,3,0D 、(3P ，设点,0T t ⎫⎪⎪⎝⎭，其中3322t -≤≤，33,022AB ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，3,02AT t ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，所以，2734cos ,3tAB AT AB AT AB AT-⋅<>===⋅，整理可得2428150t t +-=，解得12t =或152-（舍），故点1,02T⎫⎪⎪⎝⎭， 设平面PAT 的法向量为(),,n x y z =，(AP =，31,022AT ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，由30331022n AP z n AT y ⎧⋅==⎪⎨⋅=+=⎪⎩，取1x =，可得()1,33,0n =-， 33,22PC ⎛=⎝，cos ,23PC n PC n PC n ⋅-<>===⋅因此，PC 与平面PAT 21．在平面直角坐标系xOy 中，O 是坐标原点，P 是直线x ＝－4上的动点，过P 作两条相异直线1l 和2l ，其中1l 与抛物线C ：28y x =交于A 、B 两点，2l 与C 交于M 、N 点，记1l 、2l 和直线OP 的斜率分别为1k 、2k 和3k ．(1)当P 在x 轴上，且A 为PB 中点时，求|k 1|；(2)当AM 为△PBN 的中位线时，请问是否存在常数μ，使得31211k k k μ+=若存在，求出μ的值；若不存在，请说明理由． 答案：(1)23(2)存在；2μ=-(1)设出直线1l 方程，联立抛物线方程消去x 得到关于y 的一元二次方程，根据韦达定理和中点坐标公式列出方程，解方程即可；(2)设点A 、B 、M 、N 、P 的坐标，利用两点坐标求斜率公式和中点坐标公式、韦达定理列出方程，解方程即可. (1)由条件知P （-4，0）且10k ≠，设()114l y k x =+：，所以()1248y k x y x ⎧=+⎨=⎩消去x 可得218320y y k -+=，所以1832A B A B y y y y k +==，． 又因为A 为PB 中点，所以2P B A y y y +=．所以2B A y y = 所以2183232A A y y k ==，，所以218163k ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以123k =； (2)设2222(,)(,)(,)(,)(4,)8888N A B MA B M N y y y y A y B y M y N y P a -，，，，，所以21288A B A B B A B A A By y y y k x x y y y y --==-=-+，222888M N M N N M M N M N y y y y k y y x x y y --===-+- 所以121188M N A B y y y y k k +++=+．． 因为AM 为△PBN 的中位线，所以A 为PB 的中点，M 是PN 的中点，所以422P B B A x x x x +-+==，即22141882BA y y -+=，即2211448AB y y =-+ 又22p BBA y y a y y ++==，所以2B A y y a =- 所以22114(2)48A A y y a =-+-，所以2224320A A y ay a -+-=①．．．同理，222,24320N M M M y y a y ay a =--+-=②由①②可知：,A M y y 是满足方程2224320y ay a -+-=的两个根． 所以2,A M y y a +=． 所以12(2)(2)11,8888M N A B A A M M y y y y y y a y y a k k +++-+-+=+=+ 所以123()21162882A M y y a a a a k k +--+===．．．．． 3144p py a k a x ===--，所以12112k k k +=-，所以2μ=-所以存在常数2μ=-使得31211k k k μ+=成立． 22．已知函数2()ln f x x x ax =-+． (1)当a ＝1时，求函数f (x )的极值；(2)设函数f (x )的极值点为0x ，当a 变化时，点00(,()x f x )构成曲线M ．证明：任意过原点的直线y ＝kx ，与曲线M 均仅有一个公共点． 答案：(1)极大值为()10f =，无极小值 (2)证明见解析（1）求导，根据函数单调性求解极值；（2）先通过求导求出函数的极值表达式，再将任意过原点的直线y ＝kx ，与曲线M 均仅有一个公共点的问题转化为函数只有一个零点的问题，最后利用导数来研究零点个数即可证明. (1)当1a =时，()2ln f x x x x =-+则()()()211121x x f x x x x+-+=-='+． 当1x >时，()0f x '<，f (x )单调递减， 当01x <<时．()0f x '>，f (x )单调递增， 所以当1x =时，f (x )的极大值为()10f =，无极小值； (2)()21212x ax f x x a x x-++'=-+=令2210x ax -++=，得280a ∆=+>，且由韦达定理得方程必一正根一负根，所以存在()00,x ∞∈+，使得()00f x '=，即200210x ax -++=且当()00,x x ∈时，()00f x '>，当()0x x ∈+∞，时()00f x '<， 所以f (x )在（00x ，）上单调递增，在（0x ，+∞）上单调递减， ∴f (x )的极大值为22000000()ln ln 1f x x x ax x x =-+=+-则曲线M 的方程为2ln 1y x x =+-，故只要证明对任意k ∈R ，方程2ln 1x x kx +-=均只有唯一解即可． 设2()ln 1h x x x kx =+--，则()21212x kx h x x k x x-+'=+-=①当0k ≤时，()0h x '>恒成立，所以h (x )在（0，+∞）上单调递增．∵(1)0h k =-≥，()2()1(1)10k k k k kh e k e ke e k e =+--=---≤所以存在x '满足21k e x '≤≤时，使得()0h x '=又因为h (x )单调递增，所以x x '=为唯一解；②当0k >且280k ∆=-≤，即0k <≤()0h x '≥恒成立，所以成h (x ）在(0,)+∞上单调递增，∵363323(1)0,()31()0h k h e e ke e k e =-<=+--=+> 存在3(1,)x e '∈使得()0h x '=又∵h (x )单调递增，所以x x '=为唯一解；③当k >时，()0f x =有两解12x x ，，且120x x >，不妨设120x x <<因为1212x x ⋅=，所以12x x <<，列表如下：由表可知．当1x x =时．h (x )的极大值为()21121ln 1h x x x kx =+--． ∵211210x kx -+=，所以()2111ln 20h x x x =--<∴()2222222221()()0(11,)0.k k k k k h x h x h k e k e ke e ke <<=+--=+>--∴存在22(,)k x x e '∈，使得()0h x '=又因为h (x )单调递增，所以x x '=为唯一解， 综上，原命题得证.【点睛】关键点点睛：将图像有一个公共点的问题转化为函数的零点问题来解决；另外，对于对于方程的根无法解出的情况，可以设出方程的根，利用根产生的等式进行计算.。

2021-2022学年江苏省泰州市姜堰第三高级中学高三数学文联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 设函数，的零点分别为，则( )A． B． C． D．参考答案：B略2. 已知，则（）.参考答案：3.等差数列的前n 项和为，且=6，=4，则公差d等于A．1 B C.- 2 D 3参考答案：C略4. 某程序框图如图所示，若程序运行后，输出S的结果是(A)143(B)120(C)99(D)80参考答案：B 5. 若对任意的，函数满足，且，则（）A．1 B．-1 C．2012 D．-2012参考答案：C6. 设函数是定义在R上的以5为周期的奇函数，若，则a的取值范围是（）A． B．C．D．参考答案：A7. 一个几何体的三视图如图所示，已知正（主）视图是底边长为1的平行四边形，侧（左）视图是一个长为，宽为1的矩形，俯视图为两个边长为1的正方形拼成的矩形，则该几何体的体积V是（）(A)1 (B) (C) (D)2参考答案：C8. 设，且=sin x+cos x，则（）A．0≤x≤π B．―≤x≤C．≤x≤D．―≤x≤―或≤x＜参考答案：B9. 右图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是（）A． B． C． D．参考答案：D10. 定义表示不超过的最大整数，记，其中对于时，函数和函数的零点个数分别为则（）A．B．C．D．参考答案：B 略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 复数在复平面上对应的点的坐标为.参考答案：(0,-1)试题分析：由题首先化简所给复数，然后根据复数第对应的复平面上的点即可判断对应坐标；由题，所以对应坐标为(0,-1).考点：复数几何性质12. 过椭圆()的左焦点作轴的垂线交椭圆于点，为右焦点，若，则椭圆的离心率为______________.参考答案：由题意知点P的坐标为（-c,）,或（-c,-），因为，那么，这样根据a,b,c的关系式化简得到结论为13. 15．已知甲盒内有外形和质地相同的1个红球和2个黑球，乙盒内有外形和质地相同的2个红球和2个黑球，现从甲、乙两个盒内各任取1个球，则取出的2个球中恰有1个红球的概率是。

江苏省泰州市中学分校2021-2022学年高三数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 将一个棋盘中的8个小方格染黑,使每行每列都恰有两个黑格,则不同的染法种数是A.60B.78C.84D.90参考答案：D略2. 设集合，则A∩B等于（） A． B． C． D．参考答案：A3. 在等差数列中，如果，那么数列的前9项的和是A．54 B．81 C. D.参考答案：C在等差数列中，，又，所以，数列的前9项的和4. 设是两个非零向量，则下列命题为真命题的是A.若B.若C.若，则存在实数，使得D. 若存在实数，使得，则参考答案：C略5. 若函数f(x)＝log a有最小值，则实数a的取值范围是()A．(0,1) B．(0,1)∪(1，)C．(1，) D．，＋∞)参考答案：C6. 若关于的方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（）参考答案：B7. 已知直线，直线，若则（）A. 或B.C. D. 或参考答案：A【分析】根据直线垂直的充要条件，列出等式，求解，即可得出结果.【详解】因为直线与直线垂直，所以，即，解得或.故选A【点睛】本题主要考查根据直线垂直求参数的问题，熟记直线垂直的充要条件即可，属于常考题型.8. 设函数则（）A．有最大值 B．有最小值 C．是增函数 D．是减函数参考答案：A略9. 下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（）A．B．C．D．参考答案：D略10. 设a1=2，数列{1+a n}是以3为公比的等比数列，则a4=（）A．80 B．81 C．54 D．53参考答案：A【考点】8G：等比数列的性质；8H：数列递推式．【分析】先利用数列{1+a n}是以3为公比的等比数列以及a1=2，求出数列{1+a n}的通项，再把n=4代入即可求出结论．【解答】解：因为数列{1+a n}是以3为公比的等比数列，且a1=2所以其首项为1+a1=3．其通项为：1+a n=（1+a1）×3n﹣1=3n．当n=4时，1+a4=34=81．∴a4=80．故选A．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 某空间几何体的三视图如下，则它的表面积______________.参考答案：略12. 如果等差数列{a n}中，a5+a6+a7=15，那么a3+a4+…+a9等于．参考答案：35【考点】等差数列的性质．【分析】由条件利用等差数列的性质求得a6=6，再根据a3+a4+…+a9 =7a6，运算求得结果．【解答】解：∵等差数列{a n}中，a5+a6+a7=15，由等差数列的性质可得 3a6=15，解得a6=5．那么a3+a4+…+a9 =7a6=35．故答案为 35．13.函数在定义域（）内存在反函数，若= ，则 .参考答案：答案：8 ；－214. 若直线与函数（的图像有两个公共点，则的取值范围是 .参考答案：因为的图象是由向下平移一个单位得到，当时，作出函数的图象如图，此时，如图象只有一个交点，不成立。