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江苏省泰州中学20xx 届高三期中考试数学参考答案与评分标准1．2± 2．35-3．,sin x R x x ∃∈≥ 4．12()f x x = 5．1±6．1＜a ＜3 7．1(,10)108．充要； 9．114(,)(,0)(,)333-∞--+∞10．2) 11．3个12．6 13．2012201314．()(),11,-∞-+∞15．解：若p 真，则f (x )＝(2a －6)x 在R 上单调递减，∴0＜2a －6＜1，∴3＜a ＜72，若q 真，令f (x )＝x 2－3ax ＋2a 2＋1，则应满足⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝－3a2－a 2＋－－3a 2>3f ＝9－9a ＋2a 2＋1>0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≥2或a ≤－2a >2a <2或a >52，故a ＞52，又由题意应有p 真q 假或p 假q 真．…………………………6分①若p 真q 假，则⎩⎨⎧3<a <72a ≤52，a 无解．②若p 假q 真，则⎩⎨⎧a ≤3或a ≥72a >52，∴52＜a ≤3或a ≥72．………………………………………………6分 故a 的取值范围是{a |52＜a ≤3或a ≥72}．…………………14分16．(1)014sin cos ,tan 0,602bc A bc A A A A π⋅=∴=<<∴=………6分(2)原式＝000cos110cos 20(150)cos 20cos 60cos50o-= 0002cos 20(sin 20)1sin 40-==-……………14分17．(1)4分(2)单调增区间有11(,),(,)22-∞-+∞……………6分 (3)(1,0)-……………4分18．解：(1)由题意得：本年度每辆车的投入成本为10×(1＋x )； 出厂价为13×(1＋0.7x )；年销售量为5000×(1＋0.4x )， ……2分因此本年度的利润为[13(10.7)10(1)]5000(10.4)y x x x =⨯+-⨯+⨯⨯+(30.9)5000(10.4)x x =-⨯⨯+即：21800150015000(01),y x x x =-++<< …………………6分 由2180015001500015000x x -++>， 得506x << ………8分 (2)本年度的利润为)55.48.49.0(3240)352(3240)9.03()(232++-⨯=++-⨯⨯-=x x x x x x x f则),3)(59(972)5.46.97.2(3240)(2'--=+-⨯=x x x x x f ……10分 由,395,0)('===x x x f 或解得 当)(,0)()95,0('x f x f x >∈时，是增函数； 当)(,0)()1,95('x f x f x <∈时，是减函数． ∴当95=x 时，20000)95()(=f x f 取极大值万元， ……12分 因为()f x 在(0，1)上只有一个极大值，所以它是最大值， ……14分 所以当95=x 时，本年度的年利润最大，最大利润为20000万元． ……16分 19．(1)当2-=a 时，x x x f ln 2)(2-=，当),1(+∞∈x ，0)1(2)(2>-='xx x f ，故函数)(x f 在),1(+∞上是增函数．…………………………4分(2))0(2)(2>+='x xax x f ，当],1[e x ∈，]2,2[222e a a a x ++∈+． 若2-≥a ，)(x f '在],1[e 上非负(仅当2-=a ，x ＝1时，0)(='x f )， 故函数)(x f 在],1[e 上是增函数，此时=min )]([x f 1)1(=f ．……… 6分 若222-<<-a e ，当2ax -=时，0)(='x f ； 当21ax -<≤时，0)(<'x f ，此时)(x f 是减函数；当e x a≤<-2时，0)(>'x f ，此时)(x f 是增函数． 故=min )]([x f )2(a f -2)2ln(2a a a --=． 若22e a -≤，)(x f '在],1[e 上非正(仅当2e 2-=a ，x ＝e 时，0)(='x f )， 故函数)(x f 在],1[e 上是减函数，此时==)()]([min e f x f 2e a +．………8分 综上可知，当2-≥a 时，)(x f 的最小值为1，相应的x 值为1； 当222-<<-a e 时，)(x f 的最小值为2)2ln(2aa a --，相应的x 值为2a -； 当22e a -≤时，)(x f 的最小值为2e a +，相应的x 值为e ．……… 10分 (3)不等式x a x f )2()(+≤，可化为x x x x a 2)ln (2-≥-．∵],1[e x ∈， ∴x x ≤≤1ln 且等号不能同时取，所以x x <ln ，即0ln >-x x ，因而xx xx a ln 22--≥(],1[e x ∈)…………12分令x x xx x g ln 2)(2--=(],1[e x ∈)，又2)ln ()ln 22)(1()(x x x x x x g --+-='，…… 14分 当],1[e x ∈时，1ln ,01≤≥-x x ，0ln 22>-+x x ，从而0)(≥'x g (仅当x ＝1时取等号)，所以)(x g 在],1[e 上为增函数， 故)(x g 的最小值为1)1(-=g ，所以a 的取值范围是),1[+∞-．………16分20．(1)12n nn a b a ++=，12n n n n na b b a b +=+两式相乘得11n n n n a b a b ++=，{}n n a b ∴为常数列，114n n a b a b ∴==；(2分)4n nb a ∴=114()22n n n a a a +∴=+>；02n b ∴<<； (若2n a =，则12n a +=，从而可得{}n a 为常数列与14a =矛盾)；………4分(2)32log 2n n n a c a +=-， 211333311222222log log log 2log 21222222n n nn n n n n n n n na a a a a c c a a a a a +++++⎛⎫⎛⎫+++∴===== ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭+-又因为11c =，{}n c ∴为等比数列，12n n c -∴=…………………8分(3)由12n n c -=可以知道，1111222231242212313131n n n n n a ----+⎛⎫==+=+ ⎪---⎝⎭， 令12431n n d -=-，数列{}n d 的前n 项和为n D ，很显然只要证明83n D ≤()2n ≥，222314n n -≥∴+≥．因为12431n n d -=-()()()222122224414313131n n n n d ----==≤+--， ∴n d ()()222243131n n --=+-22122111444n n n d d d ---⎛⎫⎛⎫≤≤≤≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以n D =123()n d d d d ++++2212111[1]444n d d -⎛⎫⎛⎫≤+++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22211124218218221134334314n n n ---⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎝⎭≤+=+-=-< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭-所以823n S n <+．……………14分 又4,2n n n a b b =<，故4,2n n P n n =<且T ， 所以888224333n n n S T n n n P +<++=+=+()2n ≥．…………………16分。
【高三】江苏省泰州市泰兴三中2021届高三上学期期中考试数学理试题（含答试卷说明：江苏泰州泰兴第3中学2022高级3（第一）中学数学试卷（理科）1。
填空（这个大问题有14个小问题，每个小问题有5个点，总共70个点，请在答题纸的相应位置填写答案）1。
（5点）已知复数z=x+Yi（x，y∈ R），Z（1+2I）=5，然后x+y=_________________。
2.（5点）如果集合M={X5？2x？3∈ n+}是已知的，那么M的所有非空真子集的数目是_______。
3.（5点）已知序列{an}是一个等差序列，a1+A7+A13=？π. 然后sina7=______4。
（5分）给出以下建议：① 是的必要条件和不充分条件；②如果a、B、C和D是四个不共线的点，那么=是四边形，ABCD是平行四边形的一个充要条件；③ 如果=则为的充要条件=④ = 是⑤ 如果单位向量相互垂直，=？2，=+，则正确命题的序列号为______________________。
5.（5点）设函数f（x）是R上定义的偶数函数≥ 0，f（x）=2x+1。
如果f（a）=3，实数a的值为____________________。
，（5点）（2022？一种模式），已知的{an}序列的n是Sn，如果a2a8=2a3a6，s5=？62，那么A1的值是。
7.（5分）如果命题“？X∈ R、 X2+ax+1＜0“为真，实数a的取值范围为_uuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuu uuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuu∈ （0，π），如果=？，如果F（x2）的（x2）（log）是一个常数为（x1.2x）的函数，那么F（x2）的（x2）（log）被定义为一个常数为（x1.2x）的函数。
2022-2021学年度其次学期期中考试高三数学试题（考试时间：120分钟 总分：160分） 命题人、审核：姜堰区高中数学工作室留意事项：全部试题的答案均填写在答题纸上，答案写在试卷上的无效.一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题．．纸．相应位置上．．．．．．） 1．设集合{1,2},{2,3}A B ==，则A B = ▲ .2．函数()1f x x =-的定义域是 ▲ .3．函数||()2x f x =的值域为 ▲ .4．已知函数()ln f x x =，则导函数值'1()2f =▲ . 5．若3sin 3α=，则cos2α= ▲ .6．在ABC ∆中，若1,2,30AB BC C ==∠=，则A ∠= ▲ . 7．设向量(,1),(1,2)a m b ==，且//a b ，则m = ▲ . 8．已知{}n a 为等差数列，nS 为其前n 项和，若1356,0a a a =+=，则6S =▲ .9．关于x 的不等式22280(0)x ax a a --<>的解集为12(,)x x ，且2115x x -=，则a 的值为 ▲ . 10．函数1(),(1)1f x x x x =+>-的最小值为 ▲ .11．已知函数()f x 的导函数为'()f x ，若'()2f x y =的图象如图，则函数()f x 的单调增区间为 ▲ .12．在矩形ABCD 中，21AB AD ==，，边DC 上（包含端点）的动点P与CB 延长线上（包含点B ）的动点Q 满足||||CP BQ =，则PA PQ ⋅的最小值是 ▲ .13．各项均为正数的等比数列{}n a 满足1231,100,1000a a a ≥≤≥，则4a 的取值范围是▲ .14．若实数,,x y z 满足242,424x y z x y z+=+=，则z 的最小值为 ▲ .二、解答题 （本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15．（本题满分14分）已知函数21()sin cos cos 2f x x x x =+-.（1）求()f x 最小正周期；（2）当[0,]4x π∈时，求函数()f x 的值域； （3）将函数()f x 的图象向右平移8π个单位，得到函数()y g x =的图象，求()g x 的解析式.16．（本题满分14分）设ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知11,2,cos 4a b C ===.（1）求ABC ∆的周长； （2）求cos()A C -的值.17．（本题满分14分）已知函数()42x x f x =-，实数,s t 满足()()0f s f t +=，设22,2s t s ta b +=+=.（1）当函数()f x 的定义域为[1,1]-时，求()f x 的值域； （2）求函数关系式()b g a =（无需求函数()g a 的定义域）.18．（本题满分16分）如图所示的铁片由两部分组成，半径为1的半圆O 及等腰直角EFH ∆，其中FE FH ⊥．现将铁片裁剪成尽可能大的直角梯形铁片ABCD (不计损耗) ，////,//AD BC HF AB EF ，且点,A B 在弧EF 上．点,C D 在斜边EH 上,,AD BC 分别交EF 于,M N ．设AOE θ∠=.（1）求梯形铁片ABCD 的面积S 关于θ的函数关系式，并写出其定义域； （2）试确定θ的值，使得梯形铁片ABCD 的面积S 最大，并求出最大值．19．（本题满分16分）已知数列{}n a 是公差为正数的等差数列，其前n 项和为nS ，且23415,16a a S ⋅==．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）数列{}n b 满足11111,n n n n b a b b a a ++=-=⋅．①求数列{}n b 的通项公式；②是否存在正整数,()m n m n ≠，使得2,,m nb b b 成等差数列？若存在，求出,m n 的值；若不存在，请说明理由．20．（本题满分16分）已知常数0a >，函数312()4(1),()ln(1)32x f x ax a x g x ax x =--=+-+. （1）当1a =时，求函数()g x 在点(0,(0))g 处的切线方程； （2）争辩()f x 在(0,)+∞上的单调性；（3）若f (x )在1,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上存在两个极值点12,x x ，且12()()0g x g x +>，求实数a 的取值范围．（参考公式：'(ln(1))1aax ax +=+）AD OFC HE BθMN2022-2021学年度其次学期期中考试高三数学参考答案1.{2}2.[1,)+∞3.[1,)+∞4.25.136.907.12 8.6 9.52 10.3 11.(0,)+∞ 或[0,)+∞ 12.3413．46[10,10] 14.25log 33-15．解：2111cos 21()sin cos cos sin 22222x f x x x x x +=+-=+-)24x π=+ ---4分（1）所以最小正周期22T ππ== ---6分（2）当[0,]4x π∈时，32[,]444x πππ+∈，sin(2)[42x π+∈，所以()f x的值域为2] ---10分（3）将函数()f x 的图象向右平移8π个单位，得到())]22842g x x x ππ=-+= ---14分16．解：（1）由余弦定理可得，22212cos 1421244c a b ab C =+-=+-⨯⨯⨯=，所以2c = ---4分 所以ABC ∆的周长为5. ---6分（2）在ABC ∆中，由于1cos 4C =，所以sin 4C =---7分 由正弦定理sin sin a cA C =，可得sin 8A =, ---10分 由余弦定理得2227cos 28b c a A bc +-==---12分 所以11cos()cos cos sin sin 16A C A C A C -=+=---14分17．（1）令2x t =，当[1,1]x ∈-时，1[,2]2t ∈， --3分 函数可化简为2()h t t t =-，可以推断()h t 在1[,2]2上单调递增，所以()h t 的值域为1[,2]4-， 即()f x 的值域在[1,1]-的值域为1[,2]4-. --7分（2）由()()0f s f t +=可得42420s s t t-+-=，化简得2(22)22(22)0s t s t s t ++-⋅-+=， --10分 由于22,2s t s t a b +=+=，所以220a b a --=，即22a a b -=，2()2a a g a -=. --14分 18．（1）由于,1AOE BOF OA OB θ∠==∠==，所以1cos sin ,1cos sin ,2cos AD BC AB θθθθθ=-+=++= --4分所以()2(1sin )cos ,(0,)22ABCD AD BC AB S πθθθ+⋅==+∈ --7分（2）'22()2[cos (1sin )sin ]2(2sin sin 1)S θθθθθθ=-+=-+- 2(2sin 1)(sin 1)θθ=--+，(0,)2πθ∈ --9分当06πθ<<，'()0,()S S θθ>单调递增,当62ππθ<<，'()0,()S S θθ<单调递减, --12分所以当且仅当6πθ=时，max S =. --16分答：当6πθ=时，梯形铁片ABCD 的面积S最大，最大值为19． 解：（1）设数列{}n a 的公差为d ，则0d >．由23415,16a a S ==，得111()(2)154616a d a d a d ++=⎧⎨+=⎩，解得112a d =⎧⎨=⎩或172a d =⎧⎨=-⎩（舍去），所以21n a n =- --5分（2）①由于11111,n n n n b a b b a a ++=-=，所以1111111111,()(21)(21)22121n n n n b a b b a a n n n n ++==-===--+-+，所以1121321111(1)23111()235...111(),(2)22321n n b a b b b b b b n n n -==-=--=--=-≥--累加得1111(1)22121n n b b n n --=-=--，所以32,221n n b n n -=≥- --9分11b =也符合上式．故32,21n n b n N n *-=∈-． --10分②假设存在正整数,,()m n m n ≠，使得2,,m nb b b 成等差数列，则22n mb b b +=．又24323131,,321242242n m n b b b n n m -===-=----， 所以43131()2()3242242n m +-=---化简得7292711n m n n -==-++ --12分当13n +=，即2n =时，2m =（舍去）； 当19n +=，即8n =时，3m =，符合题意． 所以存在正整数3m =，8n =，使得2,,m nb b b 成等差数列． --16分20. 解：(1) 当1a =时，'214()=1(2)g x x x -++，当0(0)0x g ==时,所以，()g x 在点(0,0)处的切线方程为0y = --4分（2）由题意可知：'2()4(1)f x ax a =-- 当1a ≥时，'()0f x >，此时，()f x 在区间(0,)+∞上单调递增． --6分当0＜a ＜1时，由f '(x )＝0得：x 1＝2a (1－a )a （x 2＝－2a (1－a )a＜0舍去）当x ∈(0, x 1)时，f '(x )＜0；当x ∈(x 1,＋∞)时，f '(x )＞0.故f (x )在区间(0, x 1)上单调递减，在区间(x 1,＋∞)上单调递增．综上所述，当a ≥1时，f (x )在区间(0,＋∞)上单调递增； --8分当0＜a ＜1时，f (x )在区间(0, 2a (1－a )a )上单调递减，在区间(2a (1－a )a,＋∞)上单调递增．--10分 （3）由（2）知，当a ≥1时，f '(x )≥0，此时f (x )不存在极值点， 因而要使得f (x )有两个极值点，必有0＜a ＜1.又∵f (x )的极值点只可能是x 1＝2a (1－a )a 和x 2＝－2a (1－a )a，由g (x )的定义可知，x ＞－1a 且x ≠－2，∴－2a (1－a )a ＞－1a 且2a (1－a )ax ≠2解得：0＜a ＜12或12＜a ＜1 --12分此时，由（*）式易知，x 1, x 2分别是f (x )的微小值点和极大值点．而g (x 1)＋g (x 2)＝ln(ax 1＋1)(ax 2＋1)－2x 1x 1＋2－2x 2x 2＋2＝ln[a 2x 1x 2＋a (x 1＋x 2)＋1]－4x 1x 2＋4(x 1＋x 2)x 1x 2＋2(x 1＋x 2)＋4＝ln(2a －1)2－4(a －1)2a －1＝ln(2a －1)2－22a －1－2 --14分令x ＝2a －1，由0＜a ＜12且a ≠12知，当0＜a ＜12时，－1＜x ＜0；当12＜a ＜1时，0＜x ＜1 ，记h (x )＝ln x 2＋2x－2．①当－1＜x ＜0时，h (x )＝2ln(－x )＋2x －2，设t ＝－x ∈(0,1)，(t )＝2ln t －2t －2单调递增 ∴(t )＜(1)＝－4＜0∴h (x )＜－4＜0，故当0＜a ＜12时，g (x 1)＋g (x 2)＜0，不合题意，舍去．②当0＜x ＜1时，h (x )＝2ln x ＋2x －2，∴h (x )＝2x －2x 2＝2x －2x2＜0，∴h (x )在(0,1)上单调递减，∴h (x )＞h (1)＝0，故当12＜a ＜1时，g (x 1)＋g (x 2)＞0．综上，a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫12，1． --16分姜堰区2022-2021学年度其次学期期中考试高三数学试题（附加题）（考试时间：30分钟 总分：40分） 命题人、审核人：高中数学工作室留意事项：全部试题的答案均填写在答题纸上，答案写在试卷上的无效. 1．（本题满分10分）已知集合2{|230},{|}A x x x B x x a =--≤=≥. （1）求集合A ； （2）若A B A =，求实数a 的取值范围.2.（本题满分10分）已知向量(4,5cos ),(3,4tan ),(0,)2a b πααα==-∈，若a b ⊥，求： （1）||a b +；（2）cos()4πα+的值.3.（本题满分10分）已知函数22()ln (2)g x m x mx m x =+++，试求()g x 的单调区间； 4．（本题满分10分）已知数列{}n a 的前n 项和238n S n n =+，{}n b 是等差数列，且1n n n a b b +=+（1）求数列{}n b 的通项公式；（2）设1(1)(2)n n n nn a c b ++=+，求数列{}n c 的前n 项和n T .2022-2021学年度其次学期期中考试高三数学（附加题）参考答案1.解：（1）解不等式2230x x --≤得13x -≤≤，即[1,3]A =-， ---5分（2）由于A B A =，所以A B ⊆，所以1a ≤- ---10分2．由于(4,5cos ),(3,4tan )a b αα==-，且a b ⊥，所以12-20cos tan 1220sin 0ααα=-=，所以3sin 5α=； ---2分 又由于(0,)2πα∈，所以43cos ,tan 54αα==; （1）(4,4),(3,3),|||(7,1)|a b a b ==-+===---4分（2）43cos()(cos sin )()4225510πααα+=-=-=---4分 3.解： 由已知条件可得222(2)(2)(1)()mx m x m x m mx g x x x +++++'==， ---2分（1）当0m ≥时，()0g x '≥，函数()g x 在(0,)+∞上单调递增； ---4分 （2）当0m <时，由()0g x '=，得2m x=-或1x m =-，①若m =，则12m m -=-，此时()0g x '≤， 函数()g x 在(0,)+∞上单调递减； ---6分②若0m <<，则12m m -<-，由()0g x '>，解得1(,2m x m ∈--），由()0g x '<，解得10+2m x m ∈--∞（，）（，），所以函数()g x 在1(,2m m --）上单调递增，在02m -（，）与1+m-∞（，）上单调递减； ---8分③若m <12m m ->-，同理可得，函数()g x 在1(,2mm --）上单调递增，在10m -（，）与+2m-∞（，）上单调递减. ---10分综上所述①当0m≥时，函数()g x 在(0,)+∞上单调递增；②当m =时，函数()g x 在(0,)+∞上单调递减；③当0m <<时，函数()g x 的增区间为1(,2m m --），减区间为02m -（，）与1+m -∞（，）；④当m <()g x 在1(,2m m --）上单调递增，在10m -（，）与+2m-∞（，）上单调递减.4. （1）由题意当2≥n 时，561+=-=-n S S a n n n ，当1=n 时，1111==S a ；所以56+=n a n ； ---2分设数列{}n b 的首项为1b ，公差为d ，由⎩⎨⎧+=+=322211b b a b b a ，即⎩⎨⎧+=+=d b db 321721111，解得3,41==d b ，所以13+=n b n ---5分 （2）由（1）知11(66)3(1)2(33)n n n nn c n n +++==+⋅+，又n n c c c c T +⋅⋅⋅+++=321，即]2)1(242322[31432+++⋅⋅⋅+⨯+⨯+⨯=n n n T ，所以]2)1(242322[322543+++⋅⋅⋅+⨯+⨯+⨯=n n n T ，以上两式两边相减得234123[22222(1)2]n n n T n ++-=⨯+++⋅⋅⋅+-+224(21)3[4(1)2]3221n n n n n ++-=+-+=-⋅-.所以223+⋅=n n n T . ---10分。
2020届江苏省泰州中学高三上学期期中考试数学（理）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1．已知集合{}1,2,4,5,6A =，{}2,3,4B =，则AB =__________. 2．命题“1x ∀≥，21x ≥”的否定为__________.3．函数y =_________． 4．在等差数列{}n a 中，若2523a a +=，则数列{}n a 的前6项的和6S =__________. 5．函数()2x f x e x =+ (e 为自然对数的底数）的图像在点（0,1）处的切线方程是____________6．已知x ，y ∈R ，直线(1)10a x y -+-=与直线20x ay ++=垂直，则实数a 的值为_______．7．设实数x y ，满足0121x y x y x y -≥⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩，，，则32x y +的最大值为________ 8．已知正数x 、y 满足22log log 0x y +=，则41x y+的最小值为__________. 9．如下图，在平行四边形ABCD 中，4AB =，3AD =，3DAB π∠=，点E ，F 在BC ，DC 上，且12BE EC =，DF FC =，则AE AF ⋅=__________.10．设α，β都是锐角，且cos 5α=，3sin()5αβ+=，则cos β=__________. 11．已知函数()f x 的定义域为R ， ()'f x 是()f x 的导函数，且()23f =， ()'1f x <，则不等式()1f x x >+的解集为_______．12．在公比不等于1的等比数列{a n }中，已知2a 3a 5=a 4,且a 3,32a 4,2a 5成等差数列，则数列{a n }的前10项的和的值为_______________.13．在边长为8正方形ABCD 中，点M 为BC 的中点，N 是AD 上一点，且3DN NA =，若对于常数m ，在正方形ABCD 的边上恰有6个不同的点P ，使得PM PN m ⋅=，则实数m 的取值范围为______.14．已知函数()3cos f x x x =-，若不等式()12f x kx b kx b +≤≤+对一切实数x 恒成立，则21b b -的最小值为__________.二、解答题15．设p ：实数x 满足22430x ax a -+≤，其中0a >；q ：实数x 满足302x x -<-. （1）若1a =，且p q ∨为真，求实数x 的取值范围；（2）若p 是q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围.16．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且3cos 5A =，1tan()3B A -=． （1）求tan B 的值；（2）若13,c =求ABC ∆的面积．17．某地环保部门跟踪调查一种有害昆虫的数量．根据调查数据，该昆虫的数量y （万只）与时间x （年）（其中*x N ∈）的关系为2x y e =．为有效控制有害昆虫数量、保护生态环境，环保部门通过实时监控比值21ay M x x =-+（其中a 为常数，且0a >）来进行生态环境分析． （1）当1a =时，求比值M 取最小值时x 的值；（2）经过调查，环保部门发现：当比值M 不超过4e 时不需要进行环境防护．为确保恰好．．3年不需要进行保护，求实数a 的取值范围．（e 为自然对数的底，2.71828e =）18．如图，圆C 与x 轴相切于点T(2，0)，与y 轴的正半轴相交于A ，B 两点（A 在B 的上方），且AB ＝3．（1）求圆C 的方程；（2）直线BT 上是否存在点P 满足PA 2＋PB 2＋PT 2＝12，若存在，求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由；（3）如果圆C 上存在E ，F 两点，使得射线AB 平分∠EAF，求证：直线EF 的斜率为定值．19．已知函数()214ln 22x a x f x x =---，其中a 为正实数. （1）若函数()y f x =在1x =处的切线斜率为2，求a 的值；（2）求函数()y f x =的单调区间；（3）若函数()y f x =有两个极值点12,x x ，求证：()()126ln f x f x a +<-20．设各项均为正数的数列{}n a 满足n nS pn r a =+（p ，r 为常数），其中n S 为数列{}n a 的前n 项和.（1）若1p =，0r =，求证：{}n a 是等差数列；（2）若13p =，12a =，求数列{}n a 的通项公式； （3）若202012020a a =，求p r +的值.参考答案1．{}2,4【解析】【分析】根据交集的定义直接求解即可.【详解】{}1,2,4,5,6A =，{}2,3,4B =，∴{}2,4A B =.故答案为：{}2,4.【点睛】本题考查交集的求法，属于基础题.2．1x ∃≥，使得21x <【分析】根据命题的否定直接求解即可.【详解】根据全称命题的否定为特称命题，所以命题“1x ∀≥，21x ≥”的否定为“1x ∃≥，使得21x <”.故答案为：1x ∃≥，使得21x <.【点睛】本题考查命题的否定，解题时应注意命题的否定与否命题的区别，属于基础题.3．(1,2]-【分析】 由201x x -≥+解得12x -<≤，即可得函数的定义域. 【详解】 依题意，得：201x x -≥+，等价于：(2)(1)010x x x -+≥⎧⎨+≠⎩，即(2)(1)010x x x -+≤⎧⎨+≠⎩， 得12x -<≤，所以定义域为：(1,2]-故答案为(1,2]-【点睛】本题考查函数的定义域，分式不等式的解法，属于基础题.4．2【分析】 先根据等差数列的性质得出162523a a a a +=+=，再根据等差数列的求和公式进行计算即可.【详解】 根据等差数列的性质可得：162523a a a a +=+=， ∴1666()23223S a a ⋅==⋅=+. 故答案为：2.【点睛】本题考查等差数列的性质，考查等差数列前n 项和公式，解题时应注意对公式的选择，属于常考题.5．31y x【分析】对函数求导得到导数f ′(x )＝e x ＋2，图像在点(0，1)处的切线斜率k ＝e 0＋2＝3，故得到切线方程为31y x . 【详解】∵函数f (x )＝e x ＋2x ，∴导数()'f x ＝e x ＋2，∴f (x )的图像在点(0，1)处的切线斜率k ＝e 0＋2＝3，∴图像在点(0，1)处的切线方程为y ＝3x ＋1.故答案为31y x .【点睛】这个题目考查了利用导数求函数在某一点处的切线方程；步骤一般为：一，对函数求导，代入已知点得到在这一点处的斜率；二，求出这个点的横纵坐标；三，利用点斜式写出直线方程.6．12【分析】利用直线与直线垂直的性质直接求解．【详解】∵x ，y ∈R ，直线（a ﹣1）x +y ﹣1=0与直线x +ay+2=0垂直，∴（a ﹣1）×1+1×a=0，解得a=12， ∴实数a 的值为12． 故答案为12． 【点睛】 两直线位置关系的判断： 1111:0l A x B y C ++=和2222:0l A x B y C ++=的平行和垂直的条件属于常考题型，如果只从斜率角度考虑很容易出错，属于易错题题型，应熟记结论： 垂直： 12120A A B B +=；平行： 1221A B A B =，同时还需要保证两条直线不能重合，需要检验.7．3【详解】试题分析：可行域为一个三角形ABC 及其内部，其中1111(,),(,),(1,0)2233A B C ，则直线32x y z +=过点C 时取最大值3考点：线性规划【易错点睛】线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得. 8．4【分析】由22log log 0x y +=易得1xy=，再根据基本不等式求解即可.【详解】正数x 、y 满足22log log 0x y +=，∴021xy ==，∴414x y +≥==，所以41x y +的最小值为4. 故答案为：4.【点睛】本题考查对数的运算法则，考查基本不等式的应用，考查计算能力，属于常考题. 9．18【分析】由向量的加法可得AE AB BE =+和AF AD DF =+，再根据题中条件得出AE AF ⋅的值即可.【详解】由向量的加法可得：AE AB BE =+和AF AD DF =+，4AB =，3AD =，3DAB π∠=，且12BE EC =，DF FC =， ∴4AB ，3AD =，12DF FC DC ==，2DF FC ==， 13BE BC =，311BE BC ==， ∴AE AF ⋅=（AB BE +）⋅ （AD DF +）AB AD AB DF BE AD BE DF =⋅+⋅+⋅+⋅cos cos 33AB AD AB DF BE AD BE DF ππ=⋅⋅+⋅+⋅+⋅⋅114342311222=⋅⋅+⋅+⋅+⋅⋅18=.故答案为：18.【点睛】本题考查向量的加法，考查向量数量积的定义，考查平面向量在平面几何中的应用，考查计算能力，考查对基础知识的掌握与理解，属于中档题.10【分析】由α为锐角，根据cos α的值，求出sin α的值，利用sin()αβ+，根据其值范围确定出αβ+的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出cos()αβ+的值，所求式子中的角β变形为()αβα+-，利用两角和与差的余弦函数公式化简，将各自的值代入计算即可求出值．【详解】α为锐角，cosα=，∴sin α==>()352sin αβ+=<，()sin sin ααβ∴>+ 又α为锐角，ααβ<+ ∴2παβπ<+<，∴4()5cos αβ+==-， 则[]()cos cos βαβα=+- ()()cos cos sin sin αβααβα=+++4355=-+=.【点睛】本题考查了同角三角函数间的基本关系，考查了正、余弦函数的性质，考查了两角和差的余弦函数公式，熟练掌握公式是解题的关键，属于常考题.11．(),2-∞【详解】令()()()1g x f x x =-+，因为()23f =，且()'1f x <，所以()20g =， ()'0g x <， 即()()()1g x f x x =-+在R 上单调递减，且()1f x x >+可化为()()2g x g >，则2x <，即不等式()1f x x >+的解集为(),2-∞.点睛：本题考查利用导数研究不等式的解集.解决本题的关键是合理根据条件（()'1f x <且()23f =）构造函数()()()1g x f x x =-+和()()2g x g >，再利用单调性进行求解. 12．1023128【分析】先根据已知的条件求出等比数列的a 1,q 的值，再求数列{a n }的前10项和的值.【详解】由题得{2a 1q 2⋅a 1q 4=a 1q 33a 1q 3=a 1q 2+2a 1q 4q ≠1,∴a 1=4,q =12.所以数列的前10项和为4[1−(12)10]1−12=1023128. 故答案为1023128【点睛】本题主要考查等比数列的通项和等差中项的运用，考查等比数列的前n 项和的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.13．(1,8)-【分析】建立平面直角坐标系，按照点P 在线段AB ，AD ，DC ，BC 上进行逐段分析PM PN ⋅的取值范围及对应的解，然后取各个范围的交集即可得答案．【详解】以AB 所在直线为x 轴，以AD 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，如图所示，则(8,4)M ，(0,2)N ，（1）当点P 在AB 上时，设(,0)P x ，08x ≤≤， ∴(,2)PN x =-，(8,4)PM x =-， ∴288PM PN x x ⋅=-+， ∵08x ≤≤，∴88PM PN -≤⋅≤．∴当8m =-时有一解，当88m -<≤时有两解； （2）当点P 在AD 上时，设(0,)P y ，08y <≤， ∴(0,2)PN y =-，(8,4)PM y =-， ∴268PM PN y y ⋅=-+， ∵08y <≤，∴124PM PN -≤⋅≤，∴当1m =-或824m ≤≤时有一解，当18m -<<时有两解； （3）若P 在DC 上，设(,8)P x ，08x <≤， ∴(,6)PN x =--，(8,4)PM x =--， ∴2824PM PN x x ⋅=-+， ∵08x <≤， ∴824PM PN ≤⋅≤．∴当8m =时有一解，当824m <≤时有两解； （4）当点P 在BC 上时，设(8,)P y ，08y <<， ∴(8,2)PN y =--，(0,4)PM y =-， ∴268PM PN y y ⋅=-+， ∵08y <<，∴124PM PN -≤⋅<，∴当1m =-或824m <<时有一解，当18m -<<时有两解，综上，在正方形ABCD 的四条边上有且只有6个不同的点P ，使得PM PN m ⋅=成立，那么m 的取值范围是(1,8)-， 故答案为：(1,8)-． 【点睛】解答本题的关键有两个：一是正确理解题意，将问题转化为判断方程根的个数的问题求解；二是利用数形结合的思想进行求解，通过建立坐标系，将问题转化为函数的知识求解，难度较大． 14．2 【分析】根据23cos x x kx b ≤+-恒成立可知21b ≥，同理得出11b ≤-，故21b b -的最小值为2． 【详解】由2()f x kx b ≤+恒成立，可得23cos x x kx b ≤+-，即2cos 3)(k x x b --≤+恒成立， 而1cos 1x -≤-≤，且cos y x =-为周期函数，故30k -=，且21b ≥，同理可得11b ≤-，∴21b b -的最小值为1(1)2--=.故答案为：2. 【点睛】本题主要考查函数的性质，考查不等式恒成立，考查分析问题和解决问题的能力，考查学生的逻辑推理能力.15．（1）13x ≤≤；（2）12a ≤≤.【分析】（1）分别求出p 和q ，然后求出并集即可；（2）p 是q 的必要不充分条件，等价于q p ⇒且p q ⇒/，可得出B A ，列出不等式组0233a a <≤⎧⎨≥⎩，求解即可. 【详解】（1）由22430x ax a -+≤，得(3)()0x a x a --≤， 又0a >，所以3a x a <<， 当1a =时，13x ≤≤，即p 为真时，实数x 的取值范围是13x ≤≤，q 为真时，302x x -<-等价于(2)(3)0x x --<，得23x <<，即q 为真时，实数x 的取值范围是23x <<， 若p q ∨为真，则实数x 的取值范围是13x ≤≤；（2）p 是q 的必要不充分条件，等价于q p ⇒且p q ⇒/， 设{|3}A x a x a =≤≤，{|23}B x x =<<，则BA ，则0233a a <≤⎧⎨≥⎩，所以实数a 的取值范围是12a ≤≤. 【点睛】本题考查复合命题真假性的应用，考查充分条件和必要条件的应用，考查逻辑思维能力和运算能力，属于常考题. 16．（1）3（2）78 【解析】试题分析：（1）由两角和差公式得到()()()tan tan tan tan 1tan tan B A A B B A A B A A-+⎡⎤=-+=⎣⎦--⋅，由三角形中的数值关系得到sin 4tan cos 3A A A ==，进而求得数值；（2）由三角形的三个角的关系得到sin C =，再由正弦定理得到b=15,故面积公式为78S =. 解析：（1）在ABC 中，由3cos 5A =，得A为锐角，所以4sin 5A ==， 所以sin 4tan cos 3A A A ==， 所以()()()tan tan tan tan 1tan tan B A A B B A A B A A-+⎡⎤=-+=⎣⎦--⋅.1433314133+==-⨯（2）在三角形ABC 中,由tan 3B =，所以sin B B ==， 由()sin sin sin cos cos sin C A B A B A B =+=+=由正弦定理sin sin b c B C =,得13sin sin c B b C ==， 所以ABC 的面积114sin 151378225S bc A ==⨯⨯⨯=. 17．(1)M 在x 2=时取最小值(2) 13722e ，⎛⎤⎥⎦⎝ 【解析】试题分析：（1）求导，利用导函数的符号变化研究函数的单调性和最值；（2）利用（1）结论，列出不等式组进行求解.试题解析：（1）当1a =时，22(1)1xe M x x x =>-+，∴()()()22212'1xx x e M x x --=-+ 列表得：∴M 在()1,2上单调递减，在()2,+∞上单调递增 ∴M 在2x =时取最小值； （2）∵()()()22212'(0)1xa x x e M a xx --=>-+ 根据（1）知：M 在()1,2上单调减，在()2,+∞上单调增∵确保恰好．．3年不需要进行保护 ∴()()()43444122372413M e e ae M e ae M e ⎧=≤⎪⎪⎪=≤⎨⎪⎪=>⎪⎩，解得：13722e a <≤ 答：实数a 的取值范围为137,22e ⎛⎤⎥⎝⎦． 18．（1）225252)()24x y -+-=（；（2）点P 坐标为1151236（，）或（，）.（3）见解析. 【解析】 【分析】（1）求出圆C 的半径为52，即得圆C 的方程；（2）先求出直线BT 的方程为x+2y-2=0. 设P(2-2y,y),根据PA 2＋PB 2＋PT 2＝12 求出点P 的坐标；（3）由题得ECB BCF ∠=∠,即EF ⊥BC,再求EF 的斜率. 【详解】（1）由题得223252+=24（），所以圆C 的半径为52. 所以圆C 的方程为225252)()24x y -+-=（. (2)在225252)()24x y -+-=（中，令x=0,则y=1或y=4. 所以A(0,4),B(0,1).所以直线BT 的方程为x+2y-2=0. 设P(2-2y,y),因为PA 2＋PB 2＋PT 2＝12，所以22222222)(4)22)(1)222)(0)12y y y y y y -+-+-+-+--+-=（（（, 由题得21526130y y -+=因为2=26415136767800∆-⋅⋅=-<, 所以方程无解. 所以不存在这样的点P.(3)由题得,EAB BAF ECB BCF ∠=∠∴∠=∠,所以512,1,120EF BCEF BC EF k k k -⊥∴⋅=-∴⋅=--，所以43EF k =-. 所以直线EF 的斜率为定值． 【点睛】本题主要考查圆的方程的求法，考查直线和圆的位置关系，考查圆中的定值问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 19．（1）1；（2）见解析；（3）见解析 【解析】试题分析：（1）根据导数几何意义得()12f '=，解得a 的值；（2）先求导数，再根据导函数是否变号分类讨论，最后根据导函数符号确定单调区间（3）先根据韦达定理得12124,x x x x a +==，再化简()()12f x f x +，进而化简所证不等式为ln ln 20a a a a --+>，最后利用导函数求函数()ln ln 2g x x x x x =--+单调性，进而确定最小值，证得结论 试题解析：(1)因为()214ln 22f x x a x x =---，所以()4af x x x=--'， 则()132f a ='-=,所以a 的值为1．(2) ()244a x x af x x x x-+=--=-'，函数()y f x =的定义域为()0,+∞，1若1640a -≤,即4a ≥,则()0f x '≤,此时()f x 的单调减区间为()0,+∞; 2若1640a ->,即04a <<,则()0f x '=的两根为2± 此时()f x的单调减区间为(0,2,()2++∞,单调减区间为(2-．(3)由(2)知，当04a <<时，函数()y f x =有两个极值点12,x x ,且12124,x x x x a +==．因为()()2212111222114ln 24ln 222f x f x x a x x x a x x +=---+--- ()()()2212121214ln 42x x a x x x x =+--+- ()2116ln 4244ln 2a a a a a a =----=+- 要证()()126ln f x f x a +<-,只需证ln ln 20a a a a --+>． 构造函数()ln ln 2g x x x x x =--+，则()111ln 1ln g x x x x x+-='=--， ()g x '在()0,4上单调递增,又()()1110,2ln202g g ='-'=-,且()g x '在定义域上不间断,由零点存在定理，可知()0g x '=在()1,2上唯一实根0x , 且001ln x x =． 则()g x 在()00,x 上递减,()0,4x 上递增,所以()g x 的最小值为()0g x ．因为()00000000011ln ln 2123g x x x x x x x x x ⎛⎫=--+=--+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭, 当()01,2x ∈时, 00152,2x x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭,则()00g x >,所以()()00g x g x ≥>恒成立． 所以ln ln 20a a a a --+>,所以()()126ln f x f x a +<-，得证． 20．（1）证明见解析；（2）2n a n n =+；（3）1. 【分析】（1）利用递推关系即可得出； （2）利用递推关系和累乘法即可得出；（3）利用递推关系，对p 进行分类讨论即可得出.【详解】（1）由1p =，0r =，得n n S na =， 所以11(1)(2)n n S n a n --=-≥， 两式相减，得10(2)n n a a n --=≥， 所以{}n a 是等差数列；（2）令1n =，得1p r +=，所以23r =， 则1233n n S n a ⎛⎫=+⎪⎝⎭，所以1111(2)33n n S n a n --⎛⎫=+≥ ⎪⎝⎭，两式相减，得11(2)1n n a n n a n -+=≥-， 所以3241231nn a a a a a a a a -⋅⋅=34511231n n +⋅⋅-， 化简得1(1)(2)12n a n n n a +=≥⋅， 所以2(2)n a n n n =+≥， 又12a =适合2(2)n a n n n =+≥，所以2n a n n =+； （3）由（2）知1r p =-， 所以1()n n S pn p a =+-，得11(12)n n S pn p a --=+-(2)n ≥，两式相减，得1(1)(12)n n p n a pn p a --=+-(2)n ≥， 易知0p ≠，所以112(1)n n a a pn p p n -=+--(2)n ≥，①当12p =时，得1(2)1n n a a n n n -=≥-， 所以201520141201520141a a a ===，满足202012020a a =； ②当12p >时，由1(1)(12)n n p n a pn p a --=+-(2)n ≥，又0n a >， 所以1(1)n n p n a pna --<(2)n ≥，即1(2)1n n a a n n n -<≥-， 所以2020120201a a<，不满足202012020a a =；③当2p 1<且0p ≠时，类似可以证明202012020a a =也不成立；综上所述，12p =，12r =，所以1p r +=.【点睛】本题考查数列递推式的应用，考查等差数列的证明，考查累乘法求数列通项公式，考查逻辑思维能力和运算能力，属于中档题.。
江苏省泰州市泰州中学2021届高三数学上学期开学考试试题 理（含解析）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应的位置．．．．．．．．上．. 1.已知集合{}1,0,2,3U =-，{}0,3A =，则U C A =______. 【答案】{}1,2- 【解析】 【分析】根据补集定义直接求解可得结果.【详解】由补集定义可知：{}1,2U C A =- 本题正确结果：{}1,2-【点睛】本题考查集合运算中的补集运算，属于基础题.2.在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为32cos (22sin x tt y t =+⎧⎨=-+⎩为参数），则圆C 的普通方程为_____.【答案】()()22324x y -++= 【解析】 【分析】利用22cos sin 1t t +=消去参数即可得到结果.【详解】由22cos sin 1t t +=可得：()()22324x y -++= 即圆C 的普通方程为：()()22324x y -++= 【点睛】本题考查参数方程化普通方程，属于基础题.3.设x R ∈ ，则“21x -< ”是“220x x +-> ”的______________条件．（从“充分不必要”、“必要不充分”、“既不充分也不必要”、“充要”中选择）． 【答案】充分不必要 【解析】x-<，得1＜x＜3；由x2+x﹣2＞0得x＞1或x＜﹣2，再根据充分条件和必要条件的由21定义进行判断即可．【详解】由|x﹣2|＜1得﹣1＜x﹣2＜1，得1＜x＜3，由x2+x﹣2＞0得x＞1或x＜﹣2，（1，3）⊊（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞），故“|x﹣2|＜1”是“x2+x﹣2＞0”的充分不必要条件，故答案为：充分不必要【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据绝对值不等式以及一元二次不等式的解法求出不等式的等价条件是解决本题的关键，属于基础题.4.阅读如图的程序框图，运行相应的程序，输出S的值为_______.【答案】8【分析】按照程序框图运行程序，直到4i时输出结果即可.【详解】按照程序框图运行程序，输入1i =，0S =1i =不是偶数，则011S =+=，1124i =+=<，循环2i =是偶数，则1j =，11225S =+⨯=，2134i =+=<，循环 3i =不是偶数，则538S =+=，3144i =+=≥，输出结果：8S =本题正确结果：8【点睛】本题考查根据程序框图的循环结构计算输出结果，属于基础题.5.用分层抽样的方法从某校学生中抽取一个容量为45的样本，其中高一年级抽20人，高三年级抽10人，已知该校高二年级共有学生300人，则该校学生总数是_____人. 【答案】900 【解析】 【分析】计算可得样本中高二年级人数，从而可计算得到抽样比，从而可求得学生总数. 【详解】由题意可知，高二年级抽取：45201015--=人 ∴抽样比为：151453= ∴该校学生总数为：13009003÷=人 本题正确结果：900【点睛】本题考查分层抽样的应用，关键是能够明确每层在样本中占比与该层在总体中的占比相同.6.两位男同学和两位女学生随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是______. 【答案】12【解析】 分析】利用捆绑法可求得两位女同学相邻的排法数；通过全排列求得四位同学排成一列的排法总数，根据古典概型概率公式求得结果.【详解】两位女同学相邻的排法共有：23232612A A =⨯=种排法四位同学排成一列共有：4443224A =⨯⨯=种排法∴两位女同学不相邻的概率：121242p == 本题正确结果：12【点睛】本题考查古典概型求解概率问题，关键是能够利用排列的知识求解出符合题意的排法数和总体的排法数，涉及到利用捆绑法解决排列中的相邻问题. 7.已知(0,)2πα∈，2sin 2cos21αα=+，则sin α=_______.【解析】 【分析】根据二倍角公式可将已知等式化简为24sin cos 2cos ααα=，根据0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭可求得1tan 2α=；根据同角三角函数关系，结合0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭可求得结果.【详解】由二倍角公式可知：sin 22sin cos ααα=，2cos 22cos 1αα=-24sin cos 2cos ααα∴=又0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭cos 0α∴≠ 2sin cos αα∴=，即1tan 2α=sin 5α∴=【点睛】本题考查利用二倍角公式、同角三角函数关系求解三角函数值的问题，关键是能够利用公式，结合角的范围来对已知等式进行化简.8.设函数()()(sin ,,f x A x A ωϕωϕ=+为参数，且)0,0,0A ωϕπ>><<的部分图象如图所示，则ϕ的值为______.【答案】3π 【解析】 【分析】根据图象首先求得()f x 最小正周期2T ππω==，从而解得2ω=；代入712f A π⎛⎫=-⎪⎝⎭可得到23k πϕπ=+，结合0ϕπ<<即可求得结果.【详解】由图象可得()f x 最小正周期：473126T πππ⎛⎫=⨯+= ⎪⎝⎭，即2ππω= 2ω∴= 又77sin 126f A A ππϕ⎛⎫⎛⎫=+=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 73262k ππϕπ∴+=+，k Z ∈ 23k πϕπ∴=+，k Z ∈又0ϕπ<< 3πϕ∴=本题正确结果：3π 【点睛】本题考查根据三角函数图象求解函数解析式的问题，关键是能够通过整体对应的方式确定最值所对应的点，从而得到初相的取值.9.已知()f x 是奇函数，且当0x <时，()e axf x =-.若(ln 2)8f =，则a =__________.【答案】-3 【解析】 【分析】当0x >时0x ->，()()axf x f x e-=--=代入条件即可得解.【详解】因为()f x 是奇函数，且当0x >时0x ->，()()axf x f x e -=--=．又因为ln 2(0,1)∈，(ln 2)8f =，所以ln 28a e -=，两边取以e 为底的对数得ln 23ln 2a -=，所以3a -=，即3a =-． 【点睛】本题主要考查函数奇偶性，对数的计算．渗透了数学运算、直观想象素养．使用转化思想得出答案．10.若423401234(2x a a x a x a x a x =++++，则2202413()()a a a a a ++-+的值为___.【答案】1 【解析】【详解】令1x =，得423014(2a a a a a =++++；令1x =-，得142340(2a a a a a =+---+；两式相加得22024130241302413()()()()a a a a a a a a a a a a a a a ++-+=++++⋅++--444(2(2(1)1=+⋅-=-=．点睛： “赋值法”普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，对形如2(),()(,)n n ax b ax bx c a b R +++∈的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法， 只需令1x =即可；对形如()(,)nax by a b +∈R 的式子求其展开式各项系数之和，只需令1x y ==即可.11.在ABC ∆中，角A B C ，，的对边分别为,,a b c ，已知3A π=，a =A 的平分线交边BC 于点D ，其中AD =ABC S ∆=______.【答案】【解析】 【分析】根据余弦定理可得()23112b c bc +-=；利用ABC ACD ABD S S S ∆∆∆=+和1sin 2ABC S bc A ∆=可构造方程求得13b c bc +=，代入余弦定理的式子可求出48bc =，代入三角形面积公式求得结果.【详解】由余弦定理2222cos a b c bc A =+-可得：()2223112b c bc b c bc +-=+-=)1133sin sin 2222ABC ACD ABD A A S S S b AD c AD b c ∆∆∆=+=⋅+⋅=+又13sin 2ABC S bc A ∆== )333b c =+ 13b c bc ∴+= ()2131129bc bc ∴-=，解得：48bc = 348123ABC S ∆∴== 本题正确结果：123【点睛】本题考查解三角形中三角形面积的求解问题，涉及到余弦定理和三角形面积公式的应用；本题的解题关键是能够通过面积桥的方式构造方程求得b c +和bc 之间的关系，进而结合余弦定理求得所需的值.12.甲乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分,负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止.设甲在每局中获胜的概率为23，乙在每局中获胜的概率为13，且各局胜负相互独立，比赛停止时一共已打ξ局， 则ξ的期望值()E ξ=______. 【答案】26681【解析】 【分析】首先确定ξ所有可能的取值；根据每个取值所对应的情况计算出其所对应的概率，从而根据数学期望计算公式求得结果.【详解】由题意可知ξ所有可能的取值为：2,4,6则()222152339P ξ⎛⎫⎛⎫==+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；()3311221212204333381P C C ξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯+⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭； ()520166198181P ξ==--=()520162662469818181E ξ∴=⨯+⨯+⨯=本题正确结果：26681【点睛】本题考查离散型随机变量的数学期望的求解，关键是能够准确求解出随机变量每个取值所对应的概率，从而结合公式直接求得结果，属于常考题型. 13.已知2tan tan()43παα-=，则cos(2)4πα-的值是______.【答案】10【解析】 【分析】根据两角和差正切公式可构造方程求得1tan 3α=-或tan 2α=；利用两角和差余弦公式和二倍角公式可将cos 24πα⎛⎫-⎪⎝⎭)22cos sin 2sin cos αααα-+，根据正余弦齐次式的221tan 2tan 1tan ααα-++，代入tan α即可求得结果. 【详解】tan tantan 124tan tan tan tan 41tan 31tan tan 4παπαααααπαα--⎛⎫-=⋅=⋅= ⎪+⎝⎭+ 解得：1tan 3α=-或tan 2α=()cos 2cos 2cos sin 2sin cos 2sin 24442πππααααα⎛⎫-=+=+ ⎪⎝⎭)222222cos sin 2sin cos cos sin 2sin cos cos sin αααααααααα-+=-+=+221tan 2tan 1tan ααα-+=+当1tan 3α=-时，12193cos 21421019πα--⎛⎫-== ⎪⎝⎭+当tan 2α=时，144cos 2421410πα-+⎛⎫-== ⎪+⎝⎭综上所述，cos 2410πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭【点睛】本题考查利用三角恒等变换公式化简求值、正余弦齐次式的求解问题，涉及到两角和差正切公式和余弦公式、二倍角公式的应用、同角三角函数关系的应用等知识；关键是能够将正余弦齐次式配凑出正切的形式. 14.设直线12,l l 分别是函数ln ,01()ln ,1x x f x x x -<<⎧=⎨>⎩图象上点12,P P 处的切线，1l 与2l 垂直相交于点P ，且1l 与2l 分别与y 轴相交于点,A B ，则PAB ∆的面积的取值范围是_______. 【答案】()0,1 【解析】 【分析】首先可确定12,P P 分别在分段函数的两段上，设()111,P x y ，()222,P x y 且1201x x <<<，通过导数可求得切线斜率；根据12,l l 相互垂直可得到121=x x ；通过12,l l 的方程可求得,A B 两点坐标，从而得到2AB =；联立12,l l 求得P 点横坐标，从而将PAB ∆面积表示为1121PAB S x x ∆=+，根据()10,1x ∈可求得PAB ∆面积的取值范围.【详解】由题意可知，12,P P 分别在分段函数的两段上设()111,P x y ，()222,P x y 且1201x x <<< ()1,011,1x xf x x x⎧-<<⎪⎪∴⎨>'=⎪⎪⎩111l k x ∴=-，221l k x = 1212111l l k k x x ∴⋅=-⋅=-，即：121=x x 1l ∴方程为：()1111ln y x x x x =---；2l 方程为：()2221ln y x x x x =-+ ()10,1ln A x ∴-，()20,ln 1B x - ()12121ln ln 12ln 2AB x x x x ∴=---=-=联立12,l l 可得P 点横坐标为：12121222x x x x x x =++121211122212PAB S AB x x x x x x ∆∴=⋅==+++()10,1x ∈且1y x x =+在()0,1上单调递减 111112x x ∴+>+= 01PAB S ∆∴<<，即PAB ∆的面积的取值范围为：()0,1本题正确结果：()0,1【点睛】本题考查三角形面积取值范围的求解问题，求解取值范围的常用方法是能够将所求三角形面积表示为某一变量的函数，从而利用变量的范围求得面积的取值范围；本题的解题关键是能够熟练应用导数求解切线斜率，通过垂直关系得到斜率间的关系，进而能够进行化简消元.二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字．．．．．．．．．．．．．．．．．．．说明、证明或演算步骤．．．．．．．．．．.．15.已知矩阵0A a⎡=⎢⎣ 10⎤⎥⎦，矩阵0B b⎡=⎢⎣ 20⎤⎥⎦，直线1:40l x y -+=经矩阵A 所对应的变换得到直线2l ，直线2l 又经矩阵B 所对应的变换得到直线3:40l x y ++=. （1）求,a b 的值； （2）求直线2l 的方程. 【答案】（1）12a =，1b =-；（2）240x y --= 【解析】 【分析】（1）根据矩阵的乘法运算可建立关于,a b 的方程组，解方程组求得结果；（2）根据（1）可得矩阵A ，得到变换公式，从而可得所求方程.【详解】（1）020120000a BA b a b ⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 1l ∴变换到3l 的变换公式为：2x ax y by ''=⎧⎨=⎩可得到直线240ax by ++=即直线1:40l x y -+=211a b =⎧∴⎨=-⎩，解得：12a =，1b =-（2）由（1）知：01102A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦1l ∴变换到2l 的变换公式为：12x yy x =⎧''⎪⎨=⎪⎩ ∴直线2l 的方程为：240y x -+=，即240x y --=【点睛】本题考查矩阵的乘法运算和直线在矩阵下的线性变换，关键是能够通过矩阵运算得到线性变换的公式，属于常考题型.16.在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C所对边的长，cos cos a B A =，cos A =（1）求角B 的值； （2）若a =的面积．【答案】（1）π4B =（2）S = 【解析】 【分析】（1）由已知利用同角三角函数基本关系式可求sin A ，由正弦定理化简已知等式可求1sinBtanB cosB==，结合范围0＜B ＜π，可求B 的值． （2）由（1）及正弦定理可求b 的值，利用两角和的正弦函数公式可求sin C 的值，根据三角形面积公式即可计算得解．【详解】（1）在△ABC中，因为cos 3A =，0πA <<，所以sin A==因为cos cosa B A=，由正弦定理sin sina bA B=，得sin cos cosA B B A=．所以cos sinB B=．若cos=0B，则sin=0B，与22sin cos1B B+=矛盾，故cos0B≠．于是sin tan1cos B B B==．又因为0πB<<，所以π4B=．（2）因为a=sin3A=，由（1）及正弦定理sin sina bA B==，所以2b=．又()()sin sinπsinC A B A B=--=+=sin cos cos sinA B A B+32326=+⋅=．所以△ABC的面积为116sin22264S ab C+==⨯=.【点睛】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．17.如图，AE⊥平面ABCD，//CF AE，//AD BC，AD AB⊥，1AB AD==，2AE BC==.（1）直线CE 与平面BDE 所成角的正弦值； （2）若二面角E BD F --的余弦值为13，求线段CF 的长. 【答案】（1）49；（2）87. 【解析】 【分析】以A 为原点建立空间直角坐标系；（1）表示出,,,C E B D 的坐标，首先求解出平面BDE 的法向量()12,2,1n =，根据直线CE 与平面BDE 所成角的正弦值等于11CE n CE n ⋅⋅可求得结果；（2）设()0CF t t =>得到()2,1,F t ，可求解出平面BDF 的法向量()2,,2n t t =-，从而得到122cos ,324n n t <>=+；根据二面角余弦值与法向量夹角余弦值的关系可建立方程24213324t t -=+，解方程求得结果.【详解】以A 为原点可建立如下图所示的空间直角坐标系：（1）由题意得：()2,1,0C ，()0,0,2E ，()0,1,0B ，()1,0,0D()2,1,2CE ∴=--，()1,1,0BD =-，()0,1,2BE =-设平面BDE 的法向量()1111,,n x y z =111111020BD n x y BE n y z ⎧⋅=-=⎪∴⎨⋅=-+=⎪⎩，令11z =，则12y =，12x = ()12,2,1n ∴=设直线CE 与平面BDE 所成角为θ114224sin 339CE n CE n θ⋅--+∴===⨯⋅ 即直线CE 与平面BDE 所成角的正弦值为：49（2）设()0CF t t =>，则()2,1,F t ()2,0,BF t ∴= 设平面BDF 的法向量()2222,,n x y z =222222020BD n x y BF n x tz ⎧⋅=-=⎪∴⎨⋅=+=⎪⎩，令22z =-，则2x t =，2y t = ()2,,2n t t ∴=-由（1）知，平面BDE 的法向量()12,2,1n =1212212cos ,3nn n n n n t ⋅∴<>===⋅又二面角E BD F --的余弦值为1313=，解得：87t = ∴线段CF 的长为：87【点睛】本题考查空间向量法求解直线与平面所成角、利用平面与平面所成角求解其他量的问题；关键是能够熟练掌握直线与平面所成角、平面与平面所成角的向量求法，对于学生的计算能力有一定要求，属于常考题型.18.如图，一楼房高AB 为某广告公司在楼顶安装一块宽BC 为4米的广告牌，CD 为拉杆，广告牌的倾角为60EF 站在楼前观察该广传牌的安装效果：为保证安全，该监理人员不得站在广告牌的正下方：设AE x =米，该监理人员观察广告牌的视角BFC θ∠=.（1）试将tan θ表示为x 的函数； （2）求点E 的位置，使θ取得最大值. 【答案】（1）()23363tan 2x x θ+=>；（2）当121018AE =-米时，θ取得最大值. 【解析】 【分析】（1）作CG AB ⊥，垂足为G ；作FHAB ⊥，垂足为H ，交CG 于M ；作BN CG⊥，垂足为N ；在Rt CFM ∆和Rt BFH ∆分别用x 表示出tan CFM ∠和tan BFH ∠，根据()tan tan CFM BFH θ=∠-∠，利用两角和差正切公式可求得结果；（2）根据（1）的结论，设18t x =+，可得23tan 38t tθ=+-1210t =时，tan θ取最大值，又tan θ在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，可知1210t =时，θ最大，从而可得到结果. 【详解】（1）作CG AB ⊥，垂足为G ；作FH AB ⊥，垂足为H ，交CG 于M ；作BN CG ⊥，垂足为N ，如下图所示：在Rt CFM ∆中，4sin 601933203tan CM CN NM CFM MF AE BN ++-∠====- 在Rt BFH ∆中，183tan BH AB EF BFH HF AE -∠===()tan tan tan tan 1tan tan CFM BFHCFM BFH CFM BFHθ∠-∠∴=∠-∠=+∠∠221080x x +==-+ 监理人员必须在G 的右侧 2x ∴>综上所述：)tan 2x θ=> （2）由（1）可得：()218tan 221080x x x x θ+==>-+ 令18t x =+，则()20,t ∈+∞()()2tan 18218108038tt t t tθ∴==---++-1440t t +≥=（当且仅当1440t t =，即t=tanθ∴≤=∴当t =18x =时，tan θ取最大值又0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭且tan θ在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增tan θ∴最大时，θ最大 ∴当18AE =米时，θ取得最大值【点睛】本题考查函数模型的实际应用问题，涉及到两角和差正切公式的应用、利用基本不等式求解函数的最值问题；关键是能够建立起准确的函数模型，在求解最值时，将函数化为符合基本不等式的形式；易错点是忽略了函数模型中定义域的要求. 19.已知函数()()ln 425f x a x a ⎡⎤=-+-⎣⎦，()1ln g x a x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，其中a 为常数． ()1当3a =时，设函数()()()2221h x f x f x =--，判断函数()h x 在()0,+∞上是增函数还是减函数，并说明理由；()2设函数()()()F x f x g x =-，若函数()F x 有且仅有一个零点，求实数a 的取值范围．【答案】（1）见解析；（2）(]1,2{3⋃，4} 【解析】 【分析】()1代入a 的值，求出()h x 的解析式，判断函数的单调性即可；()2由题意把函数()F x 有且仅有一个零点转化为()()24a x a 5x 10-+-+=有且只有1个实数根，通过讨论a 的范围，结合二次函数的性质得到关于a 的不等式组，解出即可．【详解】（1）由题意，当a 3=时，()()f x ln x 1=+，则()()222x h x ln x 0x 1=≠+，因为2222x 22x 1x 1=-++，又由22x 1+在()0,∞+递减， 所以222x 1-+在()0,∞+递增， 所以根据复合函数的单调性，可得函数()h x 在()0,∞+单调递增函数；()2由()F x 0=，得()()f x g x =，即()1ln 4a x 2a 5ln a x⎛⎫⎡⎤-+-=- ⎪⎣⎦⎝⎭， 若函数()F x 有且只有1个零点，则方程()1ln 4a x 2a 5ln a x ⎛⎫⎡⎤-+-=- ⎪⎣⎦⎝⎭有且只有1个实数根， 化简得()14a x 2a 5a x-+-=-， 即()()24a x a 5x 10-+-+=有且只有1个实数根，a 4=①时，()()24a x a 5x 10-+-+=可化为x 10-+=，即x 1=，此时(4)12530130a a a -⋅+-=>⎧⎨-=>⎩，满足题意，②当a 4≠时，由()()24a x a 5x 10-+-+=得：()()4a x 1x 10⎡⎤---=⎣⎦，解得：14x a=-或x 1=，()i 当114a=-即3a =时，方程()()24510a x a x -+-+=有且只有1个实数根， 此时(4)12520120a a a -⋅+-=>⎧⎨-=>⎩，满足题意，()ii 当114a≠-即3a ≠时， 若1x =是()F x 的零点，则(4)125010a a a -⋅+->⎧⎨->⎩，解得：1a >，若14x a =-是()F x 的零点，则(4)1250114a a a a -⋅+->⎧⎪⎪⎨->⎪⎪-⎩，解得：2a >， 函数()F x 有且只有1个零点，所以12a a >⎧⎨≤⎩或12a a ≤⎧⎨>⎩，1a 2∴<≤，综上，a 的范围是(]1,2{3⋃，4}．【点睛】本题主要考查了函数与方程的综合应用，其中解答中涉及到函数的单调性，函数的零点，以及二次函数的性质等知识点的综合应用，同时把函数()F x 有且仅有一个零点转化为方程有且只有1个实数根，合理令二次函数的性质，分类讨论是解答的关键，着重考查了转化思想，分类讨论思想，以及推理与运算能力，属于中档试题. 20.已知实数0a ≠，设函数()=ln 0.f x a x x >（1）当34a =-时，求函数()f x 的单调区间； （2）对任意21[,)e x ∈+∞均有()f x ≤ 求a 的取值范围. 注：e 2.71828...=为自然对数的底数.【答案】（1）()f x 的单调递增区间是()3,+∞,单调递减区间是()0,3；（2）04a <≤. 【解析】 【分析】(1)首先求得导函数的解析式，然后结合函数的解析式确定函数的单调区间即可.(2)由题意首先由函数在特殊点的函数值得到a 的取值范围，然后证明所得的范围满足题意即可.【详解】(1)当34a =-时，()3ln 4f x x =-()0,∞+，且： ()3433'4x x f x x -+=-+== 因此函数()f x 的单调递增区间是()3,+∞,单调递减区间是()0,3. (2)由1(1)2f a ≤，得04a <≤，当04a <≤时，()2f x a≤，等价于22ln 0x a a --≥， 令1t a=，则t ≥， 设()22lng t t x =，t ≥，则2()2ln g t t x =-， （i ）当1,7x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭则()(22)2ln g xg x =， 记1()ln ,7px x x =≥，则1()p x x '=== 列表讨论：()(1)0,()(22)2()0p x p g t g p x ∴=∴=（ii ）当211,7x e ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()g t g ≥=，令211()(1),,7q x x x x e ⎡⎤=++∈⎢⎥⎣⎦， 则()10q x'=>， 故()q x 211,7e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，1()7q x q ⎛⎫∴≤ ⎪⎝⎭，由（i ）得11(1)07777q p p ⎛⎫⎛⎫=-<-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()0,()0q x g t g ∴<∴≥=>，由（i ）（ii ）知对任意21,,),()0x t g t e ⎡⎫∈+∞∈+∞≥⎪⎢⎣⎭，即对任意21,x e ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，均有()2f x a≤，综上所述，所求的a 的取值范围是0,4⎛ ⎝⎦． 【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用．。
江苏省泰州市2021届高三数学上学期期中调研试题一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 1．设集合M ＝{}2log 1x x <，集合N ＝{}21x x -<<．则MN ＝A ．(0，1)B ．(﹣2，2)C ．(0，2)D ．(﹣2，1) 2．已知a ，b ∈R ，i 为虚数单位，则“ab ＝0”是“a ＋ib为纯虚数”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．欧拉是瑞士著名数学家，他首先发现：e cos isin i θθθ=+（e 为自然对数的底数，i 为虚数单位），此结论被称为“欧拉公式”，它将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数的关系．根据欧拉公式可知，i e π＝A ．1B ．0C ．﹣1D ．1＋i4．埃及金字塔是古埃及的帝王（法老）陵墓，世界七大奇迹之一，其中较为著名的是胡夫金字塔．令人吃惊的并不仅仅是胡夫金字塔的雄壮身姿，还有发生在胡夫金字塔上的数字“巧合”．如胡夫金字塔的底部周长除以其两倍的高度，得到的商为3.14159，这就是圆周率较为精确的近似值，金字塔底部形为正方形，整个塔形为正四棱锥，经古代能工巧匠建设完成后，底座边长大约230米，因年久风化，顶端剥落10米，则胡夫金字塔现在的高度大约为A ．128.4米B ．132.4米C ．136.4米D ．110.4米 5．在平行四边形ABCD 中，点E ，F 分别满足1BE BC 2=，1DF DC 3=．若BD AE λ=+AF μ，则实数λ＋μ的值为A ．15-B ．15C ．75-D ．756．函数sin ()33x xx xf x -+=+的图像大致为7．电影《流浪地球》中反复出现这样的人工语音：“道路千万条，安全第一条，行车不规范， 亲人两行泪”成为网络热句．讲的是“开车不喝酒，喝酒不开车”．2019年，公安部交通管理局下发《关于治理酒驾醉驾违法犯罪行为的指导意见》，对综合治理酒驾醉驾违法犯罪行为提出了新规定，根据国家质量监督检验检疫总局下发的标准，车辆驾驶人员饮酒后或者醉酒后驾车血液中的酒精含量阅值见表。
江苏省南通、徐州、宿迁、淮安、泰州、镇江六市联考2021届高三第一次调研测试数 学2021．02注意事项：1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号，考场号、座位号填写在答题卡上。
2.回答选择题时， 选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题 5分，共 40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设集合A ＝{}26x N x ∈<<，B ＝{}2log (1)2x x -<，则A B ＝A ．{}35x x ≤<B ．{}25x x <<C ．{3，4}D ．{3，4，5} 2．已知2＋i 是关于x 的方程250x ax ++=的根，则实数a ＝A ．2－iB ．－4C ．2D ．4 3．哥隆尺是一种特殊的尺子，图1的哥隆尺可以一次性度量的长度为1，2，3，4，5，6．图2的哥隆尺不能一次性度量的长度为A ．11B ．13C ．15D ．174．医学家们为了揭示药物在人体内吸收、排出的规律，常借助恒速静脉滴注一室模型来进行描述，在该模型中，人体内药物含量x （单位：mg ）与给药时间t （单位：h ）近似满足函数关系式0(1e )kt k x k-=-，其中0k ，k 分别称为给药速率和药物消除速率（单位：mg /h ）．经测试发现，当t ＝23时，02k x k=，则该药物的消除速率k 的值约为（ln2≈0.69） A ．3100 B ．310 C ．103 D ．10035．(12)n x -的二项展开式中，奇数项的系数和为 A ．2nB ．12n - C ．(1)32n n -+ D ．(1)32n n--6．函数sin 21xy x π=-的图象大致为A BC D 7．已知点P 是△ABC 所在平面内一点，有下列四个等式： 甲：PA PB PC ++=0； 乙：()()PA PA PB PC PA PB ⋅-=⋅-； 丙：PA PB PC ==； 丁：PA PB PB PC PC PA ⋅=⋅=⋅． 如果只有一个等式不成立，则该等式为A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁8．已知曲线ln y x =在A (1x ，1y )，B (2x ，2y )两点处的切线分别与曲线e x y =相切于C (3x ，3y )，D (4x ，4y )，则1234x x y y +的值为A ．1B ．2C ．52D ．174二、 选择题：本大题共4小题，每小题5分， 共计20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
江苏省泰州市2021届新高考数学一模试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若()()()20192019012019111x a a x a x -=+++++，x ∈R ，则22019122019333a a a ⋅+⋅++⋅的值为（ ） A ．201912-- B ．201912-+ C ．201912- D ．201912+【答案】A 【解析】 【分析】取1x =-，得到201902a =，取2x =，则2201901220193331a a a a +⋅+⋅++⋅=-，计算得到答案.【详解】取1x =-，得到201902a =；取2x =，则2201901220193331a a a a +⋅+⋅++⋅=-.故22019201912201933312a a a ⋅+⋅++⋅=--.故选：A . 【点睛】本题考查了二项式定理的应用，取1x =-和2x =是解题的关键.2．已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，且a 与b 的夹角为120°，则3a b -＝（ ）A BC ．D 【答案】D 【解析】 【分析】先计算a b ⋅，然后将3a b -进行平方，，可得结果. 【详解】 由题意可得：1cos1201212a b a b ⎛⎫⋅==⨯⨯-=- ⎪⎝⎭∴()222369163643a ba ab b -=-⋅+=++=∴则343a b -=.故选：D.3．已知函数()cos sin 2f x x x =，下列结论不正确的是（ ） A ．()y f x =的图像关于点(),0π中心对称 B ．()y f x =既是奇函数，又是周期函数C ．()y f x =的图像关于直线2x π=对称D ．()y f x =的最大值是2【答案】D 【解析】 【分析】通过三角函数的对称性以及周期性，函数的最值判断选项的正误即可得到结果． 【详解】解：:(2)cos(2)sin 2(2)cos sin 2()A f x x x x x f x πππ-=--=-=-，正确； :()cos()sin 2()cos sin 2()B f x x x x x f x -=--=-=-，为奇函数，周期函数，正确； :()cos()sin 2()cos sin 2()C f x x x x x f x πππ-=--==，正确；D ： 232sin cos 2sin 2sin y x x x x ==-，令sin t x =，[]1,1t ∈-则()322g t t t =-，()226g t t '=-，[1t ∈-，1]，则t <<时()0g t '>，1t -<<1t >>()0g t '<，即()g t 在⎛ ⎝⎭上单调递增，在1,3⎛-- ⎝⎭和,13⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭上单调递减；且39g ⎛=⎝⎭，()10g -=，max y g ∴==<⎝⎭，故D 错误． 故选：D ． 【点睛】本题考查三角函数周期性和对称性的判断，利用导数判断函数最值，属于中档题．4．已知数列{}n a 是以1为首项，2为公差的等差数列，{}n b 是以1为首项，2为公比的等比数列，设n n b c a =，12n n T c c c =+++()*n ∈N ，则当2020n T <时，n 的最大值是（ ）A ．8B ．9C ．10D ．11【答案】B 【解析】 【分析】根据题意计算21n a n =-，12n n b -=，122n n T n +=--，解不等式得到答案.∵{}n b 是以1为首项，2为公比的等比数列，∴12n nb -=.∴2112n n n b b b T c c c a a a =++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+11242n a a a a -=+++⋯+()1(211)(221)(241)221n -=⨯-+⨯-+⨯-+⋅⋅⋅+⨯-()121242n n -=+++⋅⋅⋅+-11222212nn n n +-=⨯-=---.∵2020n T <，∴1222020n n +--<，解得9n ≤.则当2020n T <时，n 的最大值是9. 故选：B . 【点睛】本题考查了等差数列，等比数列，f 分组求和，意在考查学生对于数列公式方法的灵活运用.5．在ABC 中，3AB =，2AC =，60BAC ∠=︒，点D ，E 分别在线段AB ，CD 上，且2BD AD =，2CE ED =，则BE AB ⋅=（ ）． A ．3- B ．6-C ．4D ．9【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，分析可得1AD =,由余弦定理求得DC 的值，由()BE AB BD DE AB BD AB DE AB BD AB ⋅=+⋅=⋅+⋅=⋅可得结果.【详解】根据题意，3,2AB BD AD ==，则1AD = 在ADC 中，又2AC =,60BAC ∠=︒则2222cos 3DC AD AC AD DC BAC =+⋅∠=-则DC =则CD AB ⊥则()32cos1806BE AB BD DE AB BD AB DE AB BD AB ⋅=+⋅=⋅+⋅=⋅=⨯⨯=- 故选：B 【点睛】此题考查余弦定理和向量的数量积运算，掌握基本概念和公式即可解决，属于简单题目.6．已知定义在R 上的函数()2xf x x =⋅，3(log a f =，31(log )2b f =-，(ln 3)c f =，则a ，b ，【答案】D 【解析】 【分析】先判断函数在0x >时的单调性，可以判断出函数是奇函数，利用奇函数的性质可以得到3(log 2)b f =，比较33log 2,ln3三个数的大小，然后根据函数在0x >时的单调性，比较出三个数,,a b c 的大小. 【详解】当0x >时，'()22()2ln 220xx x x f x x x f x x =⋅=⋅⇒=+⋅⋅>，函数()f x 在0x >时，是增函数.因为()22()xx f x x x f x --=-⋅=-⋅=-，所以函数()f x 是奇函数，所以有33311(log )(log )(log 2)22b f f f =-=-=，因为33log lo ln31g 20>>>>，函数()f x 在0x >时，是增函数，所以c a b >>，故本题选D. 【点睛】本题考查了利用函数的单调性判断函数值大小问题，判断出函数的奇偶性、单调性是解题的关键. 7．已知点A 是抛物线24x y =的对称轴与准线的交点，点F 为抛物线的焦点，点P 在抛物线上且满足PA m PF =，若m 取得最大值时，点P 恰好在以,A F 为焦点的椭圆上，则椭圆的离心率为（ ）A1 B1CD．12【答案】B 【解析】 【分析】设(),P x y ，利用两点间的距离公式求出m 的表达式，结合基本不等式的性质求出m 的最大值时的P 点坐标，结合椭圆的定义以及椭圆的离心率公式求解即可. 【详解】设(),P x y ，因为A 是抛物线24x y =的对称轴与准线的交点，点F 为抛物线的焦点，所以()()0,1,0,1A F -， 则PA m PF====当0y >时，m ==≤= 当且仅当1y =时取等号，∴此时()2,1P ±，2PA PF ==，点P 在以,A F 为焦点的椭圆上，22c AF ==，∴由椭圆的定义得22a PA PF =+=，所以椭圆的离心率212c c e a a ====，故选B. 【点睛】本题主要考查椭圆的定义及离心率，属于难题.离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出,a c ，从而求出e ;②构造,a c 的齐次式，求出e ;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解．8．已知命题:p x R ∀∈，20x >，则p ⌝是（ ） A ．x ∀∈R ，20x ≤B ．0x ∃∈R ，200x ≤.C ．0x ∃∈R ，200x >D ．x ∀∉R ，20x ≤.【答案】B 【解析】 【分析】根据全称命题的否定为特称命题，得到结果. 【详解】根据全称命题的否定为特称命题，可得0:p x R ⌝∃∈，200x ≤本题正确选项：B 【点睛】本题考查含量词的命题的否定，属于基础题.9．已知函数()f x 在R 上都存在导函数()f x '，对于任意的实数都有2()e ()x f x f x -=，当0x <时，()()0f x f x '+>，若e (21)(1)a f a f a +≥+，则实数a 的取值范围是( )2⎡⎤2⎡⎤【解析】 【分析】先构造函数，再利用函数奇偶性与单调性化简不等式，解得结果. 【详解】令()()x g x e f x =，则当0x <时，()[()()]0xg x e f x f x ''=+>，又()()()()xx g x ef x e f xg x --=-==，所以()g x 为偶函数，从而()()211ae f a f a +≥+等价于211(21)(1),(21)(1)a a ef a e f ag a g a +++≥++≥+， 因此22(|21|)(|1|),|21||1|,3200.3g a g a a a a a a -+≥-+-+≥-++≤∴-≤≤选B. 【点睛】本题考查利用函数奇偶性与单调性求解不等式，考查综合分析求解能力，属中档题. 10．已知向量(,4)a m =-，(,1)b m =（其中m 为实数），则“2m =”是“a b ⊥”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】结合向量垂直的坐标表示，将两个条件相互推导，根据能否推导的情况判断出充分、必要条件. 【详解】由2m =，则(2,4)(2,1)440a b ⋅=-⋅=-+=，所以a b ⊥；而当a b ⊥，则2(,4)(,1)40a b m m m ⊥=-⋅=-+=，解得2m =或2m =-.所以 “2m =”是“a b ⊥”的充分不必要条件. 故选：A 【点睛】本小题考查平面向量的运算，向量垂直，充要条件等基础知识；考查运算求解能力，推理论证能力，应用意识.11．复数()(1)2z i i =++的共轭复数为（ ） A ．33i - B ．33i +C ．13i +D ．13i -【答案】D直接相乘，得13i +，由共轭复数的性质即可得结果 【详解】∵21()()13z i i i =++=+ ∴其共轭复数为13i -. 故选：D 【点睛】熟悉复数的四则运算以及共轭复数的性质. 12．函数1()f x ax x=+在(2,)+∞上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭ B ．1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．[1,)+∞D ．1,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【答案】B 【解析】 【分析】对a 分类讨论，当0a ≤，函数()f x 在(0,)+∞单调递减，当0a >，根据对勾函数的性质，求出单调递增区间，即可求解. 【详解】当0a ≤时，函数1()f x ax x=+在(2,)+∞上单调递减， 所以0a >，1()f x axx =+的递增区间是⎫+∞⎪⎭， 所以2≥14a ≥. 故选:B. 【点睛】本题考查函数单调性，熟练掌握简单初等函数性质是解题关键，属于基础题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2021-2022学年度江苏省泰州中学高三第一学期期初检测数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集为R,集合112xA x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫=≤⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭,{}2|680B x x x =-+≤,则R A C B =( )A.{}|0x x ≤B.{}|24x x ≤≤C. {}|024x x x ≤<>或D.{}|024x x x <≤≥或 2.下列关于,x y 的关系中为函数的是（ ） A.43y x x =-+-B.24y x =C.,112,1x x y x x ≥⎧=⎨-≤⎩D.3. “18a =”是“对任意的正数x ，21ax x+≥”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4.《张丘建算经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾（注：从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布），第一天织5尺布，现一月（按30天计）共织390尺”，则从第2天起每天比前一天多织（ ） A ．12尺布 B ．518尺布 C ．1631尺布 D ．1629尺布 5．设113244342,,433a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则,,a b c 的大小关系是( ) A. c a b << B.c b a << C. a c b << D. b c a <<6.已知x ＞0，y ＞0，且2x ＋1y ＝1，若x ＋2y ＞m 2＋2m 恒成立，则实数m 的取值范围是( )A. (－∞，－2]∪[4，＋∞)B. (－∞，－4]∪[2，＋∞)C. (－2，4)D. (－4，2)7.已知函数(),0,1ln ,xx x f x x x x⎧≤⎪⎪-=⎨⎪>0.⎪⎩ 若关于x 的方程，()f x x a =+无实根，则实数a 的取值范围为( ) A. ()1,0,1e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B. (－1，0)C. 10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭D. (0，1)8.如图，在△ABC 中，3BAC π∠＝，2ADDB ＝，P 为CD 上一点，且满足 12AP mAC AB ＝＋，若3,=4AC AB =,则AP CD ⋅的值为（ ） A. 125 B. 1213 C. 1312 D. 1312-二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分. 9．若复数z 满足(12)10z i -=，则（ ） A.24z i =-B.2z -是纯虚数C.复数z 在复平面内对应的点在第三象限D.若复数z 在复平面内对应的点在角α的终边上，5sin α=则10．已知集合{}23180A x x x =∈--<R ∣，{}22270B x x ax a =∈++-<R ∣，则下列 命题中正确的是（ ）A ．若AB =，则3a =- B ．若A B ⊆，则3a =-C ．若B =∅，则6a ≤-或6a ≥D ．若BA 时，则63a -<≤-或6a ≥11.已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，201920212020S S S <<，设12n n n n b a a a ++=，则数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，则下列结论中正确的是（ ） A ．20200a >B ．20210a <C ．2019202020212022a a a a ⋅>⋅D ．2019n =时，n T 取得最大值12.设函数{}2()min 2,,2f x x x x =-+，其中{}min ,,x y z 表示,,x y z 中的最小者.下列说法正确的有（ ）A.函数()f x 为偶函数B.当[1,)x ∈+∞时,有(2)()f x f x -≤C.当R x ∈时, (())()f f x f x ≤D.当[4,4]x ∈-时, ()2()f x f x -≥ 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知平面向量()2,a x =-，()1,3b =，且()a b b -⊥，则实数x 的值为 . 14.若数列{}n a 的通项公式是()()132nn a n =--，则1220a a a ++⋅⋅⋅+等于 .15.若函数()()()()20202112,0x x f x f f x f x x -⎧≤⎪==⎨--->⎪⎩，则 .16.在数列{}n a 中，13a =，122313*********n n a a a na a a n +++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅++()*n N ∈， 则n a = ，4nn a λ≥对所有*n N ∈恒成立，则λ的取值范围是 .四、解答题：本题包括6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）等差数列{}n a 中，24a =，4715a a +=．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设22n a n b n -=+，求12310b b b b +++⋅⋅⋅+的值．18．（12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足312n n S a =+，（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列{(21)}n n a -的前n 项和n T ．19. （12分）已知函数()e cos xf x x x =-．（1）求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程；（2）求函数()f x 在区间π[0,]2上的最大值和最小值．20．（12分） 已知数列{}n a 满足:16a =，11690n n n a a a --⋅-+=，n ∈N *且n ≥2.（1）求证: 数列13n a ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭为等差数列； （2）求数列{}n a 的通项公式； （3）设2(1)nn a b n =+，求数列{}n b 的前n 项和n T .21．（12分）已知函数()22(,)xf x e ax x R a R =--∈∈．（1）当时，求曲线在处的切线方程；（2）已知时，不等式()0f x ≥恒成立，求实数的取值范围．22．（12分）已知函数1ln(1)()1x f x x ++=+（1）求函数()y f x =的最大值；（2）令2()(1)()(2)g x x f x a x x =+--+，若()g x 既有极大值，又有极小值，求实数a 的取值范围；（3）求证：当*n N ∈时，ln(11)ln(1ln(1(1)223n n+++++++<…+ln .2021-2022学年度江苏省泰州中学第一学期期初检测高三数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集为R,集合112xA x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫=≤⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭,{}2|680B x x x =-+≤,则R A C B =( )A.{}|0x x ≤B.{}|24x x ≤≤C. {}|024x x x ≤<>或D.{}|024x x x <≤≥或 【答案】C 【解答】解：∵≤1＝， ∴x ≥0， ∴A ＝{x |x ≥0}；又x 2﹣6x +8≤0⇔（x ﹣2）（x ﹣4）≤0， ∴2≤x ≤4． ∴B ＝{x |2≤x ≤4}， ∴∁R B ＝{x |x ＜2或x ＞4}， ∴A ∩∁R B ＝{x |0≤x ＜2或x ＞4}， 故选：C ．2.下列关于,x y 的关系中为函数的是（ ） A.43y x x =-+-B.24y x =C.,112,1x x y x x ≥⎧=⎨-≤⎩D.【答案】D【解析】对于A ，定义域需满足240,4,30,x A B y x x -≥⎧∅=⎨-≥⎩解集为，故不是函数；对于，因为即2y x =±，不能满足函数的定义，故B 不是函数；对于C ，,1,1,1112,1,x x y x y y x x ≥⎧====-⎨-≤⎩当时或不能满足函数的定义，故C 不是函数；对于D ，满足构成函数的要素，故D 是函数，故选D.3. “18a =”是“对任意的正数x ，21ax x+≥”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A解：当“a ＝”时，由基本不等式可得： “对任意的正数x ，2x +”一定成立，即“a ＝”⇒“对任意的正数x ，2x +”为真命题；而“对任意的正数x ，2x +的”时，可得“a ≥” 即“对任意的正数x ，2x +”⇒“a ＝”为假命题；故“a ＝”是“对任意的正数x ，2x +的”充分不必要条件故选：A ．4.《张丘建算经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾（注：从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布），第一天织5尺布，现一月（按30天计）共织390尺”，则从第2天起每天比前一天多织（ ） A ．12尺布 B ．518尺布 C ．1631尺布 D ．1629尺布 【答案】D解：设该女子第()N n n *∈天织n a 尺布，前()N n n *∈天工织布n S 尺，则数列{}n a 为等差数列，设其公差为d ， 由题意可得30130293015015293902S a d d ⨯=+=+⨯=，解得1629d =.故选：D. 5．设113244342,,433a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则,,a b c 的大小关系是( ) A. c a b << B.c b a << C. a c b << D. b c a <<【答案】A解：a ＝＝＜1，b ＝＞1，c ＝＝＜1；且0＜＜＜1，函数y ＝在（0，+∞）上是单调增函数，所以＜，所以c ＜a ；综上知，c ＜a ＜b ． 故选：A ．6.已知x ＞0，y ＞0，且2x ＋1y＝1，若x ＋2y ＞m 2＋2m 恒成立，则实数m 的取值范围是( )A ．(－∞，－2]∪[4，＋∞)B ．(－∞，－4]∪[2，＋∞)C ．(－2，4)D ．(－4，2) 【答案】D解析：∵x ＞0，y ＞0，∴x ＋2y ＝(x ＋2y )⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1y ＝x y ＋4yx＋4≥2x y ·4yx ＋4＝4＋4＝8，当且仅当x ＝4，y ＝2时，等号成立．∵x ＋2y ＞m 2＋2m 恒成立，∴m 2＋2m ＜8，解得－4＜m ＜2，故选D.7.已知函数(),0,1ln ,xx x f x x x x⎧≤⎪⎪-=⎨⎪>0.⎪⎩若关于x 的方程，()f x x a =+无实根，则实数a 的取值范围为( ) A. ()1,0,1e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B.(－1，0)C. 10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．(0，1)【答案】B解：因为函数f （x ）＝，关于x 的方程f （x ）＝x +a 无实根等价于函数y ＝f （x ）的图象与直线y ＝x +a 无交点，设直线y ＝x +a 与f （x ）＝（x ＞0）切与点P （x 0，y 0），由f ′（x ）＝，由已知有：，解得x 0＝1，则P （1，0），则切线方程为：y ＝x ﹣1，由图知：函数y ＝f （x ）的图象与直线y ＝x +a 无交点时实数a 的取值范围为实数a 的取值范围为﹣1＜a ＜0， 故选：B ．8.如图，在△ABC 中，3BAC π∠＝，2ADDB ＝，P 为CD 上一点，且满足 12AP mAC AB ＝＋，若3,=4AC AB =,则AP CD ⋅的值为（ ）A.125 B. 1213 C. 1312 D. 1312- 【答案】C解：如图所示，建立直角坐标系．AC ＝3，AB ＝4∵∠CAB ＝，∴|OA |＝，|OC |＝，∴A （﹣，0），C （0，），B （，0）． ∵，∴＝＝（，0），∴＝+（，0）＝（，0）， ∴＝（，﹣）．设＝λ+（1﹣λ）＝λ+（1﹣λ）×，与＝m +比较，可得：m ＝λ，＝， 解得m ＝．∴＝+＝（，）+（4，0）＝（，），∴＝×﹣×＝．故选：C ．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分. 9．若复数z 满足(12)10z i -=，则（ ） A.24z i =-B.2z -是纯虚数C.复数z 在复平面内对应的点在第三象限D.若复数z 在复平面内对应的点在角α的终边上，5sin α=则【答案】AB【解析】由题意，复数z 满足1010(12)(12)10,2412(12)(12)i z i z i i i i +-====+--+可得复数，所以24,z i =-故选项A 正确；24z i -=是纯虚数，故选项B 正确；复数z 在复平面内对应点的坐标为（2，4）位于第一象限，故选项C 错误；因为24z i +＝在复平面内对应的（2，4）在角α的终边上，所以25sin 25α=故选项D 错误，故选AB. 10．已知集合{}23180A x x x =∈--<R ∣，{}22270B x x ax a =∈++-<R ∣，则下列命题中正确的是（ ）A ．若AB =，则3a =- B ．若A B ⊆，则3a =-C ．若B =∅，则6a ≤-或6a ≥D ．若B A 时，则63a -<≤-或6a ≥【答案】ABC解析：{36}A x x =∈-<<R∣，若A B =，则3a =-，且22718a -=-，故A 正确， 3a =-时A B =．故D 不正确．若A B ⊆，则22(3)(3)270a a -+⋅-+-≤且2266270a a ++-≤， 解得3a =-，故B 正确，当B =∅时，()224270a a --≤，解得6a ≤-或6a ≥，故C 正确．11.已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，201920212020S S S <<，设12n n n n b a a a ++=，则数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，则下列结论中正确的是（ ） A ．20200a >B ．20210a <C ．2019202020212022a a a a ⋅>⋅D ．2019n =时，n T 取得最大值【答案】ABC【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ， 因为201920212020S S S <<，可得2021202020210S S a -=<，2020201920200S S a -=>，20212019S S -=202120200a a +>， 即202020210a a >->，202020210a d a d ->-->，即201920220a a >->， 所以20192020a a >20212022a a ，且0d <，即数列{}n a 递减，且10a >，20a >，…，20200a >，20210a <， 又由12n n n n b a a a ++=，可得1211n n n n a a b a ++=， 当2018n ≤时，可得12110n n n n b a a a ++=>， 当2019n =时，可得2019201920202021110b a a a =<，当2020n =时，可得2020202020212022110b a a a =>，当2021n ≥时，可得12110n n n n b a a a ++=<， 又由201920222019202020202021201920222020202120192022+111111()a a b b a a a a a a a a +=+=⨯，因为20192020202120220,0,0,0a a a a >><<，且201920220a a +>，所以20192022201920202020202120192022+1110a a b b a a a a +=⨯>， 所以当2020n =时，121211n n a a a a ++⎛⎫-⎪⎝⎭取得最小值.综上可得，D 不正确. 12.设函数{}2()min 2,,2f x x x x =-+，其中{}min ,,x y z 表示,,x y z 中的最小者.下列说法正确的有A.函数()f x 为偶函数B.当[1,)x ∈+∞时,有(2)()f x f x -≤C.当R x ∈时, (())()f f x f x ≤D.当[4,4]x ∈-时,()2()f x f x -≥【答案】ABC解：在同一直角坐标系中画出函数y ＝|x ﹣2|，y ＝x 2，y ＝|x +2|的图象如右图所示， 由图象可知：f （x ）＝，显然有f （﹣x ）＝f （x ），可得f （x ）为偶函数；故A 正确；又当x ≥1时，f （x ）＝|x ﹣2|，f （x ﹣2）的图象可看作f （x ）的图象右移2个单位得到，显然x ≥1时，f （x ）的图象在f （x ﹣2）图象之上，∴当x ∈[1，+∞）时，有f （x ﹣2）≤f （x ），故B 正确；又由图象可知：若x ∈R 时，f （x ）≥0，可令t ＝f （x ），由y ＝f （t ）和y ＝t （t ≥0）的图象可知：当t ≥0时，y ＝t 在曲线y ＝f （t ）的上方，∴当t ≥0时，有t ≥f （t ），即有f （f （x ））≤f （x ）成立，故C 正确；若x ∈[﹣4，4]，f （﹣4）＝2，f （﹣4）﹣2＝0，显然f （﹣4）＞|f （﹣4）﹣2|，故D 不正确，故选：ABC ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知平面向量()2,a x =-，()1,3b =，且()a b b -⊥，则实数x 的值为_________.【答案】2314.若数列{}n a 的通项公式是()()132n n a n =--，则1220a a a ++⋅⋅⋅+等于 .【答案】30【详解】 由题意，数列{}n a 的通项公式是()()132n n a n =--，则()22162653n n a a n n -+=---=， 所以()()()12201234192010330a a a a a a a a a ++⋅⋅⋅+=++++⋅⋅⋅++=⨯=．15.若函数()()()()20202112,0x x f x f f x f x x -⎧≤⎪==⎨--->⎪⎩，则__________.【答案】2解：当x ＞0时，由f （x ）＝f （x ﹣1）﹣f （x ﹣2），可得f （x +1）＝f （x ）﹣f （x ﹣1）， 两式相加得f （x +1）＝﹣f （x ﹣2），则f （x +3）＝﹣f （x ），∴当x ＞0时，f （x +6）＝﹣f （x +3）＝﹣[﹣f （x ）]＝f （x ），即x ＞0时，f （x ）是周期为6的周期函数，又f （x ）＝，∴f （2021）＝f （5）＝﹣f （2）＝f （﹣1）=2，故答案为：216．在数列{}n a 中，13a =，122313*********n n a a a n a a a n +++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅++()*n N ∈，则n a =______，4n n a λ≥对所有*n N ∈恒成立，则λ的取值范围是______.【答案】()61n n n + 320,81⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. 【详解】解：由于122313*********n n a a a n a a a n +++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅++()*n N ∈，所以当2n ≥时，有11223333111112312n n a a a n a a a n --++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅++-， 两式相减可得1311222n n a n a n n ++=+=，即当2n ≥时，162n n a n a n +=+，当1n =时，求得26a =，即12n a a =也符合该递推关系，所以()12112161nn n n n n a a a a a a a a n n ---=⋅⋅⋅=+. 由于()2413n n n a n n λλ⎛⎫≥⇒≥⋅+ ⎪⎝⎭，令()213n n c n n ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 由于()()()1121224243333213n n n n n n c n c n n n n ++⎛⎫++ ⎪+⎝⎭===+⎛⎫+ ⎪⎝⎭，当4n =时，45c c =，当4n <单调递增，当4n >单调递减，所以123456c c c c c c <<<=>>⋅⋅⋅，故数列最大项为32081， 即32081λ≥. 故答案为：()61n n n +；320,81⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. 四、解答题：本题包括6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）等差数列{}n a 中，24a =，4715a a +=．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设22n a n b n -=+，求12310b b b b +++⋅⋅⋅+的值．【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ．由已知得()()1114{3615a d a d a d +=+++=，解得13{1a d ==．所以()112n a a n d n =+-=+．（2）由（Ⅰ）可得2n n b n =+．所以()()()()231012310212223210b b b b +++⋅⋅⋅+=++++++⋅⋅⋅++()()2310222212310=+++⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅+ ()()1021211010122-+⨯=+-()112255=-+112532101=+=．18．（12分）已知数列{}n a 的前n 项和n S ，满足3=1+2n n S a（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列{(21)}n n a -的前n 项和n T ．解：（1）3S n ＝1+2a n ，①，当n ＝1时，3S 1＝1+2a 1，解得a 1＝1，当n ≥1时，3S n +1＝1+2a n +1，②，由②﹣①可得3a n +1＝2a n +1﹣2a n ，即a n +1＝﹣2a n ， ∴＝﹣2，∴数列{a n }是以1为首项，以﹣2为公比的等比数列，∴a n ＝（﹣2）n ﹣1，（2）（2n ﹣1）a n ＝（2n ﹣1）（﹣2）n ﹣1， 则T n ＝1×（﹣2）0+3×（﹣2）1+5×（﹣2）2+…+（2n ﹣1）（﹣2）n ﹣1， ∴﹣2T n ＝1×（﹣2）1+3×（﹣2）2+5×（﹣2）3+…+（2n ﹣1）（﹣2）n ，两式相减，可得3T n ＝1+2×（﹣2）1+2×（﹣2）2+2×（﹣2）3+…+2×（﹣2）n ﹣1﹣（2n ﹣1）（﹣2）n ， ＝1+2×﹣（2n ﹣1）（﹣2）n ， ＝1﹣﹣×（﹣2）n ﹣（2n ﹣1）（﹣2）n ＝﹣﹣（2n ﹣）×（﹣2）n ，∴T n ＝﹣﹣． 19.（12分）已知函数()e cos x f x x x =-．（1）求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程；（2）求函数()f x 在区间π[0,]2上的最大值和最小值． 【解析】（1）因为()e cos x f x x x =-，所以()()()e cos sin 1,00x f x x x f -''=-=. 又因为()01f =，所以曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程为1y =.（2）设()()e cos sin 1x h x x x =--，则()()e cos sin sin cos 2e sin x x h x x x x x x =--=-'-. 当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0h x '<， 所以()h x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减. 所以对任意π0,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦有()()00h x h <=，即()0f x '<. 所以函数()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减. 因此()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为()01f =，最小值为22f ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭. 20．（12分） 已知数列{}n a 满足:16a =，11690n n n a a a --⋅-+=，n ∈N *且n ≥2. （1）求证: 数列13n a ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭为等差数列； （2）求数列{}n a 的通项公式；（3）设2(1)n n a b n =+，求数列{}n b 的前n 项和n T .（1）证明：111169690n n n n n n a a a a a a -----⋅-+=⇒= 111111(3)1111333933(3)3n n n n n n n a a a a a a a -------∴-=-==----- 又11133a =- ∴数列13n a ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是以首项为13，公差为13的等差数列（2）由（1）得111(1)3333n n n a =+-⋅=-， 3(1)n n a n+∴= （3）解：23113(1)(1)1n n a b n n n n n ⎛⎫===- ⎪+++⎝⎭ 12111111131223341n n T b b b n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=+++=-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦133111n n n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭21．（12分）已知函数．（1）当时，求曲线在处的切线方程；（2）已知时，不等式()0f x ≥恒成立，求实数的取值范围．解：（1）当a ＝1时，f （x ）＝2e x ﹣x ﹣2，f ′（x ）＝2e x﹣1，f ′（1）＝2e ﹣1， 即曲线y ＝f （x ）在x ＝1处的切线的斜率k ＝2e ﹣1，又f （1）＝2e ﹣3，故所求的切线方程是y ＝（2e ﹣1）x ﹣2．（2）当x ≥0时，若不等式f （x ）≥0恒成立⇔[f （x ）]min ≥0．易知f ′（x ）＝2e x ﹣a ．①若a ≤0，则f ′（x ）＞0恒成立，f （x ）在R 上单调递增；又f （0）＝0，∴当x ∈[0，+∞）时，f （x ）≥f （0）＝0，符合题意．②若 a ＞0，由f ′（x ）＝0，解得x ＝ln ．则当时，f ′（x ）＜0，f （x ）单调递减； 当时，f ′（x ）＞0，f （x ）单调递增． ∴x ＝时，函数f （x ）取得最小值． 当，即0＜a ≤2时，当x ∈[0，+∞）时，f （x ）≥f （0）＝0，符合题意．当，即a ＞2时，当时，f （x ）单调递增，f （x ）＜f （0）＝0，不符合题意． 综上，实数a 的取值范围是（﹣∞，2]．22．（12分）已知函数1ln(1)()1x f x x ++=+ （1）求函数()y f x =的最大值；（2）令2()(1)()(2)g x x f x a x x =+--+，若()g x 既有极大值，又有极小值，求实数 a 的范围；（3）求证：当*n N ∈时，111ln(11)ln(1)ln(1)(1)223n n+++++++<…+ln . （1）解：（1）函数y ＝f （x ）定义域为x ∈（﹣1，+∞），f ′（x ）＝﹣， ∴x ∈（﹣1，+∞）当x ∈（﹣1，0）时，f ′（x ）＞0；当x ∈（0，+∞）时，f ′（x ）＜0， ∴函数f （x ）在区间（﹣1，0）上为增函数；在区间（0，+∞）为减函数，所以f （x ）max ＝f （0）＝1；（2）解：g （x ）＝1+ln （x +1）﹣（a ﹣2）x +x 2， g ′（x ）＝﹣（a ﹣2）+2x ＝，g （x ）既有极大值，又有极小值，等价于方程2x 2+（4﹣a ）x +3﹣a ＝0在区间（﹣1，+∞）上有两个不相等的实数根， 即：，解得：a ＞2，所以所求实数a 的取值范围是：（2，+∞）；（3）证明：由（1）知当x ＞0时，f （x ）＜f （0）＝1，∴ln （1+x ）＜x ，∴ln （1+）＜， ∴ln （1+1）＜1，ln （1+）＜，ln （1+）＜，…，ln （1+）＜，∴ln（1+1）+ln（1+）+ln（1+）+…+ln（1+）＜1+++…+＜1+++…+＝1+2（﹣+﹣+…+﹣）＝1+2﹣2＝2﹣1＜2。
