江苏省泰州中学2021届高三上学期第二次月度检测数学试题(扫描版)

2021年高三（上）第二次质量检测数学试卷含解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1．（5分）（xx•丹东一模）复数z=（x2﹣1）+（x﹣1）i是纯虚数，则实数x= ﹣1 ．考点：复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算．专题：计算题．分析：本题是一个概念题，所给的条件是一个复数是纯虚数，根据a+bi是纯虚数所满足的条件是a=0且b≠0，这两个条件要同时成立．只要x2﹣1=0且x﹣1≠0，做出其中的x即可．解答：解：∵复数z=（x2﹣1）+（x﹣1）i是纯虚数，∴x2﹣1=0且x﹣1≠0，∴x=±1且x≠1，∴x=﹣1，故答案为：﹣1．点评：本题考查复数的实部和虚部，是一个概念题，在解题时用到复数常见的几种形式，是一个比较好的选择或填空题，可以出现在高考题的前几个题目中．2．（5分）（xx•奉贤区一模）集合M={x|lgx＞0}，N={x|x2≤4}，则M∩N=（1，2]．考点：交集及其运算．专题：阅读型．分析：根据对数函数的单调性求出集合M，解不等式x2≤4求出集合N，再进行交集运算．解答：解：∵lgx＞0⇒x＞1，x2≤4⇒﹣2≤x≤2，∴M∩N=（1，2]．故答案是（1，2]点评：本题考查集合的交集运算．3．（5分）在圆x2+y2=4所围成的区域内随机取一个点P（x，y），则|x|+|y|≤2的概率为．考点：几何概型．专题：计算题．分析：本题考查的知识点是几何概型的意义，关键是要找出（x，y）对应图形的面积，及满足条件“区域M”的点对应的图形的面积，然后再结合几何概型的计算公式进行求解．解答：解：如图所示，满足条件：“|x|+|y|≤2”的区域Ω为图中正方形，∵R=2，∴圆的面积为4π且圆内接正方形的对角线长为2R=4，∴圆内接正方形的边长为2∴圆内接正方形的面积为8，则点落在正方形内的概率P==故答案为．点评：几何概型的概率估算公式中的“几何度量”，可以为线段长度、面积、体积等，而且这个“几何度量”只与“大小”有关，而与形状和位置无关．解决的步骤均为：求出满足条件A的基本事件对应的“几何度量”N（A），再求出总的基本事件对应的“几何度量”N，最后根据P=求解．4．（5分）（xx•许昌二模）已知cosα=﹣，α∈（，π），则等于．考点：两角和与差的正切函数．专题：综合题．分析：由cosα的值及α的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出sinα的值，进而求出tanα的值，然后把所求的式子利用两角和与差的正切函数公式化简，把tanα的值代入即可求出值．解答：解：∵，∴sinα=，∴tanα==﹣，则tan（+α）===．故答案为：点评：此题考查了同角三角函数间的基本关系，以及两角和与差的正切函数公式，熟练掌握公式是解本题的关键，学生在求值时注意角度的范围．5．（5分）已知定义域为R的函数f（x）=是奇函数，则a=2．考点：函数奇偶性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：因已知奇函数，又是填空题，可以用特值法来求解．解答：解：因为所给函数的定义域为R，所以f（﹣1）=，f（1）=，因为所给函数是奇函数，所以f（﹣1）=﹣f（1），所以，解得：a=2，故答案为：2．点评：本题考察函数的奇偶性，在利用函数奇偶性解决选择填空题时，我们常用特值法来求解析式中的参数，但是要先看定义域！6．（5分）如图是一个算法的流程图，则输出S的值是7500．考点：循环结构．专题：图表型．分析：先判断程序框图的结构为直到型循环结构，然后按照程序框图进行循环，直到第50次循环结束时输出S的值即可．解答：解析：根据程序框图分析，本框图为直到型循环结构第1次循环：S=0+3×1=3 k=1+2=3第2次循环：S=3×1+3×3=12 k=3+2=5第3次循环：S=3×1+3×3+3×5=27 k=5+2=7…以此类推，直到第50次循环，执行完毕后k=101时，S=3×1+3×5+3×7+…+3×99=3×=7500此时经过判断满足k≥100，跳出循环故输出S=7500故答案为：7500点评：本题考查程序框图的理解和运算．需要对程序框图进行若干次执行运算，当满足跳出循环条件时输出此时S值，属基础题．7．（5分）（xx•普陀区一模）在△ABC中，若，，则=3．考点：平面向量数量积的运算；向量的模．专题：平面向量及应用．分析：两式相减，由向量的运算可得==9，解之即可．解答：解：∵，，∴，∴====9，∴=3故答案为：3点评：本题考查向量的模长的运算，涉及向量的数量积的运算，两式相减是解决问题的关键，属中档题．8．（5分）在样本的频率分布直方图中，共有9个小长方形，若第一个长方形的面积为0.02，前五个与后五个长方形的面积分别成等差数列且公差互为相反数，若样本容量为160，则中间一组（即第五组）的频数为36．考点：频率分布直方图．专题：计算题．分析：设出公差，利用9个小长方形面积和为1，求出公差，然后求解中间一组的频数．解答：解：设公差为d，那么9个小长方形的面积分别为0.02，0.02+d，0.02+2d，0.02+3d，0.02+4d，0.02+3d，0.02+2d，0.02+d，0.02，而9个小长方形的面积和为1，可得0.18+16d=1 可以求得d=∴中间一组的频数为：160×（0.02+4d）=36．故答案为：36．点评：本题考查频率分布直方图的应用，考查计算能力．9．（5分）已知B为双曲线（a＞0，b＞0）的左准线与x轴的交点，点A（0，b），若满足=2的点P在双曲线上，则该双曲线的离心率为．考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由题意可得B（，0），由=2可得B为PA的中点，设P（x0，y0），由中点坐标公式可得，解之，代入双曲线的方程化简可得．解答：解：由题意可得B（，0），由=2可得B为PA的中点，设P（x0，y0），由中点坐标公式可得，解得，代入双曲线的方程可得=1，即，解得故答案为：点评：本题为双曲线的离心率的求解，由已知得出关于a，c的等量关系是解决问题的关键，属基础题．10．（5分）已知变量a，θ∈R，则（a﹣2cosθ）2+（a﹣5﹣2sinθ）2的最小值为9．考点：三角函数的最值；三角函数的恒等变换及化简求值．专题：直线与圆．分析：设点A（a，a﹣5）、B（2cosθ，2sinθ），易知本题即求|AB|2的最小值．点A在直线L：x﹣y﹣5=0上，点B在圆C：x2+y2=4 上，先求出圆心到直线的距离d，可得|AB|的最小值d﹣r，从而得到|AB|2的最小值．解答：解：可设点A（a，a﹣5）、B（2cosθ，2sinθ），易知本题即求|AB|2的最小值．由于点A在直线L：x﹣y﹣5=0上，点B在圆C：x2+y2=4 上．数形结合可知，由圆心O（0，0）向直线L作垂线，|AB|的最小值就是夹在圆与直线间的部分．由于圆心到直线的距离d==5，|AB|min=d﹣r=3，∴|AB|2的最小值为9，故答案为9．点评：本题主要考查直线和愿的位置关系，点到直线的距离公式、两点间的距离公式的应用，属于中档题．11．（5分）（xx•辽宁）已知等比数列{a n}为递增数列，且，则数列a n的通项公式a n=2n．考点：数列递推式．专题：计算题．分析：通过，求出等比数列的首项与公比的关系，通过2（a n+a n+2）=5a n+1求出公比，推出数列的通项公式即可．解答：解：∵，∴，∴a1=q，∴，∵2（a n+a n+2）=5a n+1，∴，∴2（1+q2）=5q，解得q=2或q=（等比数列{a n}为递增数列，舍去）∴．故答案为：2n．点评：本题主要考查等比数列的通项公式，转化思想和逻辑推理能力，属于中档题．12．（5分）将一个长宽分别a，b（0＜a＜b）的长方形的四个角切去四个相同的正方形，然后折成一个无盖的长方体形的盒子，若这个长方体的外接球的体积存在最小值，则的取值范围为．考点：函数模型的选择与应用．专题：计算题；压轴题．分析：设出减去的正方形边长为x，表示出外接球的直径，对直径的平方的表示式求导，使得导函数等于0，得到最小值，根据自变量的范围求出结论．解答：解：设减去的正方形边长为x，其外接球直径的平方R2=（a﹣2x）2+（b﹣2x）2+x2 求导得（R2）'=18x﹣4（a+b）=0∴x=（a+b）因为a＜b有x属于（0，）所以0＜（a+b）＜∴1＜＜故答案为：（1，）．点评：本题考查函数的模型的选择与应用，本题解题的关键是写出直径的平方的表示式，并且对解析式求导做出直径的最小值．13．（5分）（2011•新余二模）在平面直角坐标系x0y中，抛物线y2=2x的焦点为F，若M 是抛物线上的动点，则的最大值为．考点：抛物线的简单性质．专题：计算题；压轴题．分析：设M 到准线x=﹣的距离等于d，由抛物线的定义可得=，化简为，令m﹣=t，则m=t+，=，利用基本不等式求得最大值．解答：解：焦点F（，0），设M（m，n），则n2=2m，m＞0，设M 到准线x=﹣的距离等于d，则=======．令m﹣=t，t＞﹣，则m=t+，==≤=（当且仅当t= 时，等号成立）．故的最大值为，故答案为．点评：本题考查抛物线的定义、简单性质，基本不等式的应用，体现了换元的思想，把化为，是解题的关键和难点，属于中档题．14．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若对任意的等差数列{a n}及任意的正整数n 都有不等式+≥λa成立，则实数λ的最大值为．考数列与不等式的综合．点：专题：等差数列与等比数列．分析：由等差数列{a n}前n项之和是S n，我们利用等差数列的前n项和公式，可将不等式+≥λ进行变形，配方后，根据实数的性质，易得实数λ的最大值．解答：解：∵S n=•n，∴λ+≥可以变形成：+a1a n+（﹣λ）≥0，即（a n+a1）2+（﹣λ）≥0，若不等式+≥λ对任意{a n}和正整数n恒成立，仅需要λ≤即可，则实数λ的最大值为．故答案为：．点评：数列是一种定义域为正整数的特殊函数，我们可以利用研究函数的方式研究它，特别是等差数列对应的一次函数，等比数列对应的指数型函数，我们要善于通过数列的通项公式、前n项和公式，或数列相关的一些性质，在解数列相关的不等式时，也可以利用配方法、放缩法等解不等式的方法．二、解答题：本大题共9小题，共90分．15．（14分）（xx•崇明县二模）已知函数f（x）=sin2x﹣cos2x﹣，x∈R．（1）求函数f（x）的最小值和最小正周期；（2）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c且c=，f（C）=0，若sinB=2sinA，求a，b的值．考点：解三角形；三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法．专题：计算题．分析：（1）将f（x）解析式第二项利用二倍角的余弦函数公式化简，整理后再利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个角的正弦函数，由正弦函数的值域得出f（x）的最小值，找出ω的值，代入周期公式，即可求出f（x）的最小正周期；（2）由（1）确定的f（x）解析式及f（C）=0，求出sin（2C﹣）=1，由C的范围，求出2x﹣的范围，利用特殊角的三角函数值及正弦函数的图象求出C的度数，由sinB=2sinA，利用正弦定理得到b=2a①，再利用余弦定理得到c2=a2+b2﹣2abcosC，将c与cosC的值代入得到关于a与b的方程，记作②，联立①②即可求出a与b的值．解答：解：（1）f（x）=sin2x﹣cos2x﹣=sin2x﹣﹣=sin2x﹣cos2x﹣1=sin（2x﹣）﹣1，∵﹣1≤sin（2x﹣）﹣≤1，∴f（x）的最小值为﹣2，又ω=2，则最小正周期是T==π；（2）由f（C）=sin（2C﹣）﹣1=0，得到sin（2C﹣）=1，∵0＜C＜π，∴﹣＜2C﹣＜，∴2C﹣=，即C=，∵sinB=2sinA，∴由正弦定理得b=2a①，又c=，∴由余弦定理，得c2=a2+b2﹣2abcos，即a2+b2﹣ab=3②，联立①②解得：a=1，b=2．点评：此题属于解三角形的题型，涉及的知识有：正弦、余弦定理，正弦函数的定义域与值域，二倍角的余弦函数公式，以及两角和与差的正弦函数公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．16．（8分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，侧棱PA⊥PD，底面ABCD是直角梯形，其中BC∥AD，∠BAD=90°，AD=3BC，O是AD上一点．（Ⅰ）若CD∥平面PBO，试指出点O的位置；（Ⅱ）求证：平面PAB⊥平面PCD．考点：平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的性质．专题：证明题；综合题．分析：（Ⅰ）CD∥平面PBO，推出BO∥CD得到AD=3BC，点O的位置满足AO=2OD．（Ⅱ）要证平面AB⊥平面PCD，只需证明平面PCD内的直线PD，垂直平面PABPD 内的两条相交直线AB、PA即可．解答：（Ⅰ）解：因为CD∥平面PBO，CD⊂平面ABCD，且平面ABCD∩平面PBO=BO，所以BO∥CD又BC∥AD，所以四边形BCDO为平行四边形，则BC=DO，而AD=3BC，故点O的位置满足AO=2OD．（Ⅱ）证：因为侧面PAD⊥底面ABCD，AB⊂底面ABCD，且AB⊥交线AD，所以AB⊥平面PAD，则AB⊥PD又PA⊥PD，且PA⊂平面PAB，AB⊂平面PAB，AB∩PA=A，所以PD⊥平面PAB，PD⊂平面PCD，所以：平面PAB⊥平面PCD．点评：本题考查平面与平面垂直的判定，直线与平面平行的性质，考查逻辑思维能力，是中档题．17．（14分）如图所示，一辆载着重危病人的火车从O地出发，沿射线OA行驶（北偏东α角），其中，在距离O地5a km（a为正数）北偏东β角的N处住有一位医学专家，其中．现110指挥部紧急征调离O地正东p km的B处的救护车赶往N处载上医学专家全速追赶载有重危病人的火车，并在C处相遇，经测算当辆车行驶路线与OB围成的三角形OBC面积S最小时，抢救最及时．（1）求S关于p的函数关系；（2）当p为何值时，抢救最及时？考点：函数模型的选择与应用．专题：计算题；应用题．分析：（1）由已知中射线OA行驶（北偏东α角），其中，在距离O地5a km（a为正数）北偏东β角的N处住有一位医学专家，其中．我们可能建立直角坐标系，分别求出直线的方程和点的坐标，进而可以得到S关于p的函数关系；（2）p为何值时，抢救最及时，可转化为求函数的最小值，根据（1）中的函数解析式，利用基本不等式，可求出函数的最小值，进而得到答案．解答：解：（1）建立如图所示的直角坐标系，∵，∴，，∴N点的坐标为（3a，4a）．又射线OA的方程为y=3x，又B（p，0），∴直线BN的方程为∴．…（4分）当p=3a时，C（3a，9a），．当p≠3a时，方程组，解为∴点C的坐标为．∴．对p=3a也成立．∴．…（8分）（2）由（1）得．令，∴，当且仅当，即，此时，上式取等号，∴当Km时，S有最小值，即抢救最及时．…（14分）点评：本题考查的知识点是函数模型的选择与应用，其中解答的关键是建立平面直角坐标系，将题目中的相关直线、点的方程或坐标具体化，进而拟合出函数模型．18．（8分）已知双曲线左右两焦点为F1，F2，P是右支上一点，PF2⊥F1F2，OH⊥PF1于H，．（1）当时，求双曲线的渐近线方程；（2）求双曲线的离心率e的取值范围；（3）当e取最大值时，过F1，F2，P的圆的截y轴的线段长为8，求该圆的方程．考点：双曲线的简单性质；圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题．专题：计算题．分析：（1）由相似三角形得到比例式，找出a、b的关系，把λ值代入求的值，进而得到双曲线的渐近线方程；（2）用λ表示离心率的平方，据λ的范围求出离心率平方得最值，可得离心率的范围，（3）确定圆心位置及直径，进而得到半径，写出圆的标准方程．解答：解：由相似三角形知，，，∴2a2λ+b2λ=b2，2a2λ=b2（1﹣λ），．（1）当时，，∴a=b，y=±x．（2）=，在上单调递增函数．∴时，e2最大3，时，e2最小，∴，∴．（3）当时，，∴b2 =2a2．∵PF2⊥F1F2，∴PF1是圆的直径，圆心是PF1的中点．再由弦的性质可得圆心还在线段F1F2的中垂线（y轴）上，∴在y轴上截得的弦长就是直径，∴PF1=8．又，∴．∴，故圆心C（0，2），半径为4，故所求的圆的方程为x2+（y﹣2）2=16．点评：本题考查圆的标准方程、双曲线的性质、直线和圆锥曲线的关系，属于中档题．19．（8分）（xx•湖北）已知数列{a n}和{b n}满足：a1=λ，，其中λ为实数，n为正整数．（Ⅰ）对任意实数λ，证明数列{a n}不是等比数列；（Ⅱ）试判断数列{b n}是否为等比数列，并证明你的结论；（Ⅲ）设0＜a＜b，S n为数列{b n}的前n项和．是否存在实数λ，使得对任意正整数n，都有a＜S n＜b？若存在，求λ的取值范围；若不存在，说明理由．考点：等比关系的确定．专题：压轴题．分析：（1）这种证明数列不是等比数列的问题实际上不好表述，我们可以选择反证法来证明，假设存在推出矛盾．（2）用数列a n构造一个新数列，我们写出新数列的第n+1项和第n项之间的关系，发现λ的取值影响数列的性质，所以要对λ进行讨论．（3）根据前面的运算写出数列的前n项和，把不等式写出来观察不等式的特点，构造新函数，根据函数的最值进行验证，注意n的奇偶情况要分类讨论．解答：解：（Ⅰ）证明：假设存在一个实数λ，使{a n}是等比数列，则有a22=a1a3，即，矛盾．所以{a n}不是等比数列．（Ⅱ）解：因为b n+1=（﹣1）n+1[a n+1﹣3（n+1）+21]=（﹣1）n+1（a n﹣2n+14）=（﹣1）n•（a n﹣3n+21）=﹣b n又b1=﹣（λ+18），所以当λ=﹣18，b n=0（n∈N+），此时{b n}不是等比数列：当λ≠﹣18时，b1=（λ+18）≠0，由上可知b n≠0，∴（n∈N+）．故当λ≠﹣18时，数列{b n}是以﹣（λ+18）为首项，﹣为公比的等比数列．（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当λ=﹣18，b n=0，S n=0，不满足题目要求．∴λ≠﹣18，故知b n=﹣（λ+18）•（﹣）n﹣1，于是可得S n=﹣，要使a＜S n＜b对任意正整数n成立，即a＜﹣（λ+18）•[1﹣（﹣）n]＜b（n∈N+）得①当n为正奇数时，1＜f（n）≤；当n为正偶数时，，∴f（n）的最大值为f（1）=，f（n）的最小值为f（2）=，．于是，由①式得a＜﹣（λ+18）＜．当a＜b≤3a时，由﹣b﹣18≥=﹣3a﹣18，不存在实数满足题目要求；当b＞3a存在实数λ，使得对任意正整数n，都有a＜S n＜b，且λ的取值范围是（﹣b﹣18，﹣3a﹣18）点评：这道题目的难度要高于高考题的难度，若函数题是一套卷的压轴题，可以出到这个难度，否则本题偏难，本小题主要考查等比数列的定义、数列求和、不等式等基础知识和分类讨论的思想，考查综合分析问题的能力和推理认证能力．20．（8分）（xx•山东）已知函数为常数，e=2.71828…是自然对数的底数），曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与x轴平行．（Ⅰ）求k的值；（Ⅱ）求f（x）的单调区间；（Ⅲ）设g（x）=xf'（x），其中f'（x）为f（x）的导函数．证明：对任意x＞0，g（x）＜1+e﹣2．考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：综合题；压轴题；探究型；转化思想．分析：（Ⅰ）由题意，求出函数的导数，再由曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与x 轴平行可得出f′（1）=0，由此方程即可解出k的值；（II）由（I）知，=，x∈（0，+∞），利用导数解出函数的单调区间即可；（III）先给出g（x）=xf'（x），考查解析式发现当x≥1时，g（x）=xf'（x）≤0＜1+e ﹣2一定成立，由此将问题转化为证明g（x）＜1+e﹣2在0＜x＜1时成立，利用导数求出函数在（0，1）上的最值，与1+e﹣2比较即可得出要证的结论．解答：解：（I）函数为常数，e=2.71828…是自然对数的底数），∴=，x∈（0，+∞），由已知，，∴k=1．（II）由（I）知，=，x∈（0，+∞），设h（x）=1﹣xlnx﹣x，x∈（0，+∞），h'（x）=﹣（lnx+2），当x∈（0，e﹣2）时，h'（x）＞0，当x∈（e﹣2，1）时，h'（x）＜0，可得h（x）在x∈（0，e﹣2）时是增函数，在x∈（e﹣2，1）时是减函数，在（1，+∞）上是减函数，又h（1）=0，h（e﹣2）＞0，又x趋向于0时，h（x）的函数值趋向于1∴当0＜x＜1时，h（x）＞0，从而f'（x）＞0，当x＞1时h（x）＜0，从而f'（x）＜0．综上可知，f（x）的单调递增区间是（0，1），单调递减区间是（1，+∞）．（III）由（II）可知，当x≥1时，g（x）=xf'（x）≤0＜1+e﹣2，故只需证明g（x）＜1+e﹣2在0＜x＜1时成立．当0＜x＜1时，e x＞1，且g（x）＞0，∴．设F（x）=1﹣xlnx﹣x，x∈（0，1），则F'（x）=﹣（lnx+2），当x∈（0，e﹣2）时，F'（x）＞0，当x∈（e﹣2，1）时，F'（x）＜0，所以当x=e﹣2时，F（x）取得最大值F（e﹣2）=1+e﹣2．所以g（x）＜F（x）≤1+e﹣2．综上，对任意x＞0，g（x）＜1+e﹣2．点评：本题考查利用导数研究函数的最值及曲线上某点处的切线方程，解题的关键是灵活利用导数工具进行运算及理解导数与要解决问题的联系，此类题运算量大，易出错，且考查了转化的思想，判断推理的能力，综合性强，是高考常考题型，学习时要严谨认真，注意总结其解题规律．21．（20分）选做题在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．A选修4﹣1：几何证明选讲如图，延长⊙O的半径OA到B，使OA=AB，DE是圆的一条切线，E是切点，过点B作DE的垂线，垂足为点C．求证：∠ACB=∠OAC．B选修4﹣2：矩阵与变换已知矩阵A=，向量．求向量，使得A2=．C选修4﹣3：坐标系与参数方程已知椭圆C的极坐标方程为ρ2=，焦距为2，求实数a的值．D选修4﹣4：不等式选讲已知函数f（x）=（x﹣a）2+（x﹣b）2+（x﹣c）2+（a，b．c为实数）的最小值为m，若a﹣b+2c=3，求m的最小值．考点：特征值、特征向量的应用；弦切角；简单曲线的极坐标方程．专题：计算题；不等式的解法及应用；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：A连接OE，AE，并过点A作AF⊥DE于点F，由DE是切线，知OE⊥DC，由BC⊥DE，知OE∥AF∥BC，由此能够推导出∠ACB=∠OAC．B由A=，知A2==，设=，则，由此能求出向量，使得A2=．C由椭圆C的极坐标方程得到，由此能求出a．D由f（x）=（x﹣a）2+（x﹣b）2+（x﹣c）2+=3（x﹣）2+a2+b2+c2．知x=时，f（x）取最小值a2+b2+c2，即m=a2+b2+c2，由此利用柯西不等式能求出m的最小值．解答：解：A证明：连接OE，AE，并过点A作AF⊥DE于点F，∵DE是圆的一条切线，E是切点，∴OE⊥DC，又∵BC⊥DE，∴OE∥AF∥BC，∴∠CAF=∠ACB，∠FAE=∠AEO，∵OA=OE，∴∠AEO=∠EAO，∴∠EAO=∠FAE，又∵点A是OB的中点，∴点F是EC的中点，∴AE=AC，∴∠CAF=∠FAE，∴∠EAO=∠FAE=∠CAF，∴∠ACB=∠OAC．B∵A=，∴A2==，设=，则，∴=，∴，解得x=﹣1，y=2，∴．C∵椭圆C的极坐标方程为ρ2=，焦距为2，∴，由=1，得a=12．D∵f（x）=（x﹣a）2+（x﹣b）2+（x﹣c）2+=3x2﹣2（a+b+c）x+a2+b2+c2+=3（x﹣）2+a2+b2+c2．∴x=时，f（x）取最小值a2+b2+c2，即m=a2+b2+c2，∵a﹣b+2c=3，由柯西不等式得[12+（﹣1）2+22]•（a2+b2+c2）≥（a﹣b+2c）2=9，∴m=a2+b2+c2，当且仅当，即a=，b=﹣，c=时等号成立，∴m的最小值为．点评：本题考查与圆有关的比例线段的应用，考查矩阵与变换的应用，考查椭圆的极坐标方程，考查柯西不等式的应用，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用．22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（﹣1，1），P是动点，且三角形POA 的三边所在直线的斜率满足k OP+k OA=k PA．（I）求点P的轨迹C的方程；（Ⅱ）若Q是轨迹C上异于点P的一个点，且，直线OP与QA交于点M，问：是否存在点P使得△PQA和△PAM的面积满足S△PQA=2S△PAM？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．考点：向量在几何中的应用；与直线有关的动点轨迹方程；轨迹方程．专题：综合题．分析：（Ⅰ）设点P（x，y）为所求轨迹上的任意一点，则由k OP+k OA=k PA得，，从而就可以得到轨迹C的方程；（Ⅱ）方法一、设，由可知直线PQ∥OA，则k PQ=k OA，可得x2+x1=﹣1，由O、M、P三点共线可知，与共线，从而可得，这样，我们可以求出M的横坐标，由S△PQA=2S△PAM，得到QA=2AM，因为PQ∥OA，所以OP=2OM，从而可求P的坐标；方法二、设，确定直线OP方程、直线QA方程，我们可以得出点M的横坐标为定值，由S△PQA=2S△PAM，得到QA=2AM，因为PQ∥OA，所以OP=2OM，从而可求P的坐标．解答：解：（Ⅰ）设点P（x，y）为所求轨迹上的任意一点，则由k OP+k OA=k PA得，，整理得轨迹C的方程为y=x2（x≠0且x≠﹣1）．（4分）（Ⅱ）方法一、设，由可知直线PQ∥OA，则k PQ=k OA，故，即x2+x1=﹣1，（6分）由O、M、P三点共线可知，与共线，∴，由（Ⅰ）知x1≠0，故y0=x0x1，（8分）同理，由与共线，∴，即（x2+1）[（x0+1）（x2﹣1）﹣（y0﹣1）]=0，由（Ⅰ）知x1≠﹣1，故（x0+1）（x2﹣1）﹣（y0﹣1）=0，（10分）将y0=x0x1，x2=﹣1﹣x1代入上式得（x0+1）（﹣2﹣x1）﹣（x0x1﹣1）=0，整理得﹣2x0（x1+1）=x1+1，由x≠﹣1得，（12分）由S△PQA=2S△PAM，得到QA=2AM，因为PQ∥OA，所以OP=2OM，由，得x1=1，∴P的坐标为（1，1）．（14分）方法二、设，由可知直线PQ∥OA，则k PQ=k OA，故，即x2=﹣x1﹣1，（6分）∴直线OP方程为：y=x1x①；（8分）直线QA的斜率为：，∴直线QA方程为：y﹣1=（﹣x1﹣2）（x+1），即y=﹣（x1+2）x﹣x1﹣1②；（10分）联立①②，得，∴点M的横坐标为定值．（12分）由S△PQA=2S△PAM，得到QA=2AM，因为PQ∥OA，所以OP=2OM，由，得x1=1，∴P的坐标为（1，1）．（14分）点评：考查向量知识在几何中的运用，实际上就是用坐标表示向量，再进行运算；（Ⅱ）的关键是确定出点M的横坐标为定值．23．（10分）已知（1+）n展开式的各项依次记为a1（x），a2（x），a3（x）…a n（x），a n+1（x）．设F（x）=a1（x）+2a2（x）+2a2（x）+3a3（x）…+na n（x）+（n+1）a n+1（x）．（1）若a1（x），a2（x），a3（x）的系数依次成等差数列，求n的值；（2）求证：对任意x1，x2∈[0，2]，恒有|F（x1）﹣F（x2）|≤2n﹣1（n+2）﹣1．考点：二项式定理；等差数列的性质．专题：函数的性质及应用．分析：（1）由题意可得a k（x）=•，求得a1（x），a2（x），a3（x）的系数，根据前三项的系数成等差数列求得n的值．（2）由F（x）的解析式求得F（2）═+2+3+…+（n+1），设S n=+2+3+…+（n+1），利用二项式系数的性质求得S n=（n+2）•2n﹣2．再利用导数可得F（x）在[0，2]上是增函数可得对任意x1，x2∈[0，2]，恒有|F（x1）﹣F（x2）|≤F（2）﹣F（0）=2n﹣1（n+2）﹣1．解答：解：（1）由题意可得a k（x）=•，k=1、2、3，…n+1，故a1（x），a2（x），a3（x）的系数依次为=1，•=，=．再由2×=1+，解得n=8．（2）∵F（x）=a1（x）+2a2（x）+2a2（x）+3a3（x）…+na n（x）+（n+1）a n+1（x）=+2•（）+3•+（n+1）•，∴F（2）=+2+3+…+（n+1）．设S n=+2+3+…+（n+1），则有S n=（n+1）+n+…+3+2+．把以上2个式子相加，并利用= 可得2S n=（n+2）[+++…+]=（n+2）•2n﹣1，∴S n=（n+2）•2n﹣2．当x∈[0，2]时，由于F′（x）＞0，∴F（x）在[0，2]上是增函数，故对任意x1，x2∈[0，2]，恒有|F（x1）﹣F（x2）|≤F（2）﹣F（0）=2n﹣1（n+2）﹣1，命题得证．点评：本题主要考查等差数列的性质，二项式定理的应用，二项式系数的性质，利用导数研究函数的单调性，根据函数的单调性求函数的值域，属于中档题．|40621 9EAD 麭26417 6731 朱29543 7367 獧21421 53AD 厭N38388 95F4 间#20166 4EC6 仆>^24909 614D 慍24462 5F8E 徎20444 4FDC 俜。

江苏省泰州中学2021届高三第二次月度检测(数学)命题人:审核人:2020.10.5一､单选题(共8题,每题5分,总计40分,在每小题给出的选项中,只有1项符合题意)1.已知集合2{|23},{|21},x A x xx B x =-≤=>则A ∩B=() A.[0,3]B.(0,3]C.[-1,+∞)D.[-1,1) 2.已知2(),f x x =i 是虚数单位,则在复平面内复数(1)3f i i ++对应的点在() A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限D.第四象限 3.已知(2,3),(3,),||1,AB AC t BC ===则AB BC ⋅=( )A.-3B.-2C.2D.3 4.在△ABC 中,“0AB BC ⋅>”是“△ABC 是钝角三角形”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.根据有关资料,围棋状态空间复杂度的上限M 约为3613,而可观测字宙中普通物质的原子总数N 约8010.则下列各数中与M N最接近的是(参考数据:1g3≈0.48)() 33.10A53.10B 73.10C 93.10D 6.已知函数322()7f x x ax bx a a =++--在x=1处取得极大值10,则a b的值为() 2.3A - B.-2 C.-2或23- D.2或23- 7.在△ABC 中,a,b,c 分别为三个内角A,B,C 的对边,且BC边上的高为,6a 则c b b c+取得最大值时,内角A 的值为() .2A π.6B π2.3C π .3D π8.已知点G 为△ABC 的重心,∠A=120°,·2AB AC =- ,则||AG 的最小值是()AB 2.3C 3.4D 二､多选题(共4题,每题5分,总计20分,在每小题给出的选项中,有多项符合要求,全部选对得5分,部分选对得3分,有选错的0分)9.给出下列命题:。

1 绝密★启用前江苏省泰州市普通高中2021届高三年级上学期期末教学质量调研测试数学试题2021年1月本试卷满分150分，考试时间120分钟一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求）1．若集合A ={}04|2<-x x ，B ={}0lg |<x x ，则B A =( ▲ )A.()12，- B ．()22，- C ．()10， D ．()20， 2．设R x ∈，则“1<x ”是“13<x ”的( ▲ )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件3．若复数i z -=2，其中i 是虚数单位，则下列结论正确的是( ▲ )A ．z 的虚部为iB ．5=zC ．i z --=2D ．i z 432-=4．人的心脏跳动时，血压在增加或减少．血压的最大值、最小值分别称为收缩压和舒张压，血压计上的读数就是收缩压和舒张压，读数120/80mmHg 为标准值设某人的血压满足函数式p (t )=102+24sin(160πt )，其中p (t )为血压(单位:mm Hg )，t 为时间(单位:min)，则下列说法正确的是( ▲ )A.收缩压和舒张压均高于相应的标准值B.收缩压和舒张压均低于相应的标准值C.收缩压高于标准值、舒张压低于标准值D.收缩压低于标准值、舒张压高于标准值5. 我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”日：置积尺数,以十六乘之, 九而一,所得开立方除之,即立圆径．意思是：球的体积V 乘16,除以9,再开立方,即为球的直径d,由此我们可以推测当时球的表面积S 计算公式为( ▲ )。

江苏省泰州市第二中学2021届高三12月月考数学试题 Word版含答案江苏省泰州市第二中学2021届高三12月月考数学试题word版含答案温馨提示：多少汗水被洒下，多少期待被播种，最后在高考的那一刻尘埃落定。

你错过了多少回忆和梦想，你给了流水多少青春。

在生活中，在你成长之前，总会有这样的成功或失败。

在高考中保持冷静。

别紧张。

做一些像平时考试一样的问题。

完成后检查问题。

不要直接交论文。

检查是否有问题，然后耐心等待考试结束。

2022-2022学年高三数学限时作业诉自己“我一定行”!金榜题名，高考必胜!蝉鸣声里勾起高考记忆三年的生活，每天睡眠不足六个小时，十二节四十五分钟的课加上早晚自习，每天可以用完一支中性笔，在无数杯速溶咖啡的刺激下，依然活蹦乱跳，当我穿过昏暗的清晨走向教学楼时，我看到了远方地平线上渐渐升起的黎明充满自信，相信自己很多考生失利不是输在知识技能上而是败在信心上，觉得自己不行。

临近考试前可以设置完成一些小目标，比如说今天走1万步等，考试之前给自己打气，告一、填空：每个小问题5分，共70分。

请在答题纸的相应位置填写答案。

1.如果函数y？COS（？X？3）（？0）的最小正周期为？，然后2．若复数(1?2i)(1?ai)是纯虚数，则实数a的值是．3.已知平面向量a？（1，1），b？（x？2,1）和a？b、那么真的是x吗？4．. 已知集合a？？1,3?, B1,2,m？，如果是？b、那么实数M=。

5.右图为程序流程图，其输出结果为。

6.给出了以下四个命题：（1）如果平面?与平面?相交，那么平面?内所有都是直线和平面吗？横断（2）如果平面?⊥平面?，那么平面?内所有直线都垂直于平面?（3）如果是飞机？⊥ 飞机飞机呢？内部和外部环境交线不垂直的直线与平面?也不垂直（4）如果是飞机？不垂直于平面？，飞机呢？内伊定不存在直线垂直于平面?真命题的序列号为。

（写出所有正确命题的序列号）7设直线ax－y＋3＝0与圆(x－1)2＋(y－2)2＝4相交于a、b两点，且弦ab的长为23，然后a=____8．已知二次函数f(x)?ax2?4x?c?1的值域是[1,??)，则（问题5）开始s?0k?1k?2021否是s?s?1k(k?1)输出s结束k?k?119?的最小值是．ac9．设函数f(x)??x3?3x?2，若不等式f(3?2sin?)?m2?3m对任意??r恒成立，则实数m的取值范围为．2倍？Y4n？M10.不动点P（m，n）是否在不等式群中？十、0代表平面区域内及其边界上的运动，那么t？M1.Y0的值范围为。

2020-2021学年江苏泰州高三上数学月考试卷一、选择题1. 已知集合，，则A. B. C. D.2. ,，且，则下面结论正确的是（）A. B. C. D.3. 函数的部分图像是A. B.C. D.4. 已知角的终边经过点，则（）．A. B. C. D.5. 已知，为第三象限角，则（）A. B. C. D. 6. 在中，如果，那么的形状为( )A.钝角三角形B.直角三角形C.锐角三角形D.等腰三角形7. 如图，在等腰直角中，，分别为斜边的三等分点（靠近点），过作的垂线，垂足为，则 ( )A. B. C. D.8. 世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过:“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割. 如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿.”黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是顶角为的等腰三角形（另一种是顶角为的等腰三角形）. 例如，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金中，. 根据这些信息，可得A. B. C. D.二、多选题9. 已知角的顶点与原点重合，始边与轴非负半轴重合，终边上的一点为，则下列各式一定为负值的是A. B. C. D.10. 已知函数，则（）A.函数在区间上为增函数B.直线是函数图象的一条对称轴C.函数的图象可由函数的图象向右平移个单位得到D.对任意，恒有11. 将函数的图象向左平移个单位．若所得图象与原图象重合，则的值可能等于（）A. B. C.D.12. 数学的对称美在中国传统文化中多有体现，譬如如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，充分展现了相互转化、对称统一的和谐美．如果能够将圆的周长和面积同时平分的函数称为这个圆的“优美函数“，下列说法正确的是（）A.对于任意一个圆，其“优美函数“有无数个B.可以是某个圆的“优美函数”C.正弦函数可以同时是无数个圆的“优美函数”D.函数是“优美函数”的充要条件为函数的图象是中心对称图形三、填空题13. 已知函数则________.14. _________.15. 海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被誉为“地球给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上已知最深的海洋蓝洞，若要测量如图所示的海洋蓝洞的口径(即，两点间的距离)，现取两点，，测得，，，，则图中海洋蓝洞的口径为________.16. 在中，角，，的对边分别为，，，且面积为，则面积的最大值为________.四、解答题17. 设函数且是定义域为的奇函数．求值；若，试判断函数单调性并求使不等式恒成立的的取值范围．18. 如图，已知中，为的中点，，，交于点，设，．用，分别表示向量，；若，求实数的值．19. 已知，为锐角，，.求的值；求的值．20. 已知内角，，的对边分别为，，，．设为线段上一点，．有下列条件：①；②；③．请从这三个条件中任选两个，求的大小和的面积．21. 已知函数的部分图象如图所示．将函数的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的，再将所得函数图象向左平移个单位长度．得到函数的图象，求的单调递增区间；当时，求函数的值域．22. 已知函数，.若，且函数的图象是函数图象的一条切线，求实数的值；若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围；若对任意实数，函数在上总有零点，求实数的取值范围．参考答案与试题解析2020-2021学年江苏泰州高三上数学月考试卷一、选择题1.【答案】C【考点】一元二次不等式的解法对数函数的定义域交集及其运算【解析】化简集合，，再求它们的交集即可．【解答】解：集合，集合，∴ .故选．2.【答案】D【考点】函数单调性的性质【解析】观察本题的形式，当角的取值范围是时，角与其正弦值符号是相同的，故与皆为正，可以得出，故可以确定结论．【解答】解：是偶函数且在上单调递增，∵，∴，皆为非负数.∵，∴，∴，∴ .故选.3.【答案】A【考点】函数奇偶性的判断函数的单调性及单调区间函数图象的作法函数的图象【解析】此题暂无解析【解答】解：函数的定义域为，且，所以函数为奇函数，故选项错误；当时，，故，故选项，错误；综上，只有选项符合题意.故选.4.【答案】B【考点】三角函数的恒等变换及化简求值任意角的概念【解析】由题意任意角的三角函数的定义，同角三角函数的基本关系，求得结论．【解答】解：∵角终边经过点，,则.故选．5.【答案】A【考点】两角和与差的正弦公式三角函数的恒等变换及化简求值【解析】此题暂无解析【解答】解：∵，，∴，∴，即，∵是第三象限角，,,∴．故选．6.【答案】A【考点】三角形的形状判断两角和与差的余弦公式【解析】结合和余弦的两角和差公式，可将原不等式化简为，即，又，，所以B与一正一负，故而得解．【解答】解：,,，即与异号.又∵，，∴与一正—负，故必有一角为钝角，∴为钝角三角形．故选．7.【答案】C【考点】余弦定理向量的减法及其几何意义向量的加法及其几何意义【解析】此题暂无解析【解答】解∶设，则，，所以，所以因为,所以.故选.8.【答案】D 【考点】三角函数的化简求值正弦定理【解析】此题暂无解析【解答】解：在中，由正弦定理可知：∴，又．故选.二、多选题9.【答案】A,B【考点】二倍角的余弦公式任意角的三角函数【解析】利用三角函数的定义，逐个判断即可. 【解答】解：由三角函数的定义可知：，，，①当时，，,②当时，，,，，故选项满足题意；，，故选项满足题意；，由①可知：，故选项不满足题意；，.故选项不满足题意.故选.10.【答案】A,B,D【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换正弦函数的对称性正弦函数的单调性【解析】求出三角函数的增区间判断A；把代入函数的解析式求解函数值判断B；利用函数图象的平移求得函数解析式判断C；直接代入验证判断D．【解答】解：，由，，解得，，取，得，∴在区间上为增函数，故正确；取，得为函数的最大值，∴直线是函数图象的一条对称轴，故正确；函数的图象向右平移个单位，得，故错误；对任意，，故正确．故选.11.【答案】A,C,D【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换三角函数的周期性及其求法【解析】由题意将函数的图象向左平移个单位．若所得图象与原图象重合，说明是函数周期的整数倍，求出与，的关系，然后判断选项．【解答】解：因为将函数的图象向左平移个单位，若所得图象与原图象重合，所以是已知函数周期的整数倍，即，解得，，，符合题意.故选.12.【答案】A,B,C【考点】函数新定义问题【解析】利用“优美函数”的定义判断选项，，正确，函数＝的图象是中心对称图形，则函数＝是“优美函数”，但是函数＝是“优美函数”时，图象不一定是中心对称图形，举出反例，可判断选项错误．【解答】解：对于，圆的‘’优美函数‘’可以有无限个，故选项正确；对于，因为函数图象关于原点成中心对称，所以将圆的圆心放在原点，则函数是该圆“优美函数”，故选项正确；对于，将圆的圆心放在正弦函数的对称中心上，则正弦函数是该圆的“优美函数”，故选项正确；对于，函数的图象是中心对称图形，则函数是“优美函数”，但是函数是“优美函数”时，图象不一定是中心对称图形，如图所示：所以函数的图象是中心对称图形是函数是“优美函数”的充分不必要条件，故选项错误.故选．三、填空题13.【答案】【考点】分段函数的应用【解析】此题暂无解析【解答】解：.故答案为：.14.【答案】【考点】三角函数的恒等变换及化简求值【解析】化为，然后展开两角和的正弦求解．【解答】解：．故答案为：.15.【答案】【考点】解三角形余弦定理正弦定理【解析】根据题意画出图形，中利用正弦定理求出的值，中利用等角对等边求出的值，再在中由余弦定理求得的值．【解答】解：如图所示，在中，，，，所以.由正弦定理得：，解得，在中，，，，所以，所以；在中，由余弦定理得：，所以，即，两点间的距离为.故答案为：.16.【答案】【考点】基本不等式在最值问题中的应用余弦定理同角三角函数间的基本关系【解析】由已知利用三角形的面积公式可求，可得，的值，由余弦定理，基本不等式可求，根据三角形的面积公式即可求解其最大值．【解答】解：由余弦定理得，∴，∴，，，.又∵，由余弦定理可得：，∴，∴．∴面积的最大值为．故答案为：．四、解答题17.【答案】解：∵是定义域为的奇函数，∴，∴，∴．函数且，∵，∴，∵，∴．由于在上单调递减，在上单调递增，故在上单调递减.不等式，可化为,∴，即恒成立，∴ .解得．【考点】奇偶性与单调性的综合函数奇偶性的性质【解析】（1）根据奇函数的性质可得＝，由此求得值．（2）由＝且，，求得，在上单调递减，不等式化为，即恒成立，由求得的取值范围．【解答】解：∵是定义域为的奇函数，∴，∴，∴．函数且，∵，∴，∵，∴．由于在上单调递减，在上单调递增，故在上单调递减.不等式，可化为,∴，即恒成立，∴ .解得．18.【答案】解：由题意，为的中点，且.∵，∴，∴ .∵，∴ .∵，∴，共线，∴，∴．【考点】向量的线性运算性质及几何意义向量的共线定理【解析】（1）利用向量的线性运算，即可用，分别表示向量，；（2）若，利用，共线，求实数的值．【解答】解：由题意，为的中点，且.∵，∴，∴ .∵，∴ .∵，∴，共线，∴，∴．19.【答案】解：因为，所以.因为，为锐角，所以，，又因为，，所以，，所以．【考点】二倍角的余弦公式两角和与差的正弦公式同角三角函数间的基本关系【解析】此题暂无解析【解答】解：因为，所以.因为，为锐角，所以，，又因为，，所以，，所以．20.【答案】解：选①②，则，，由余弦定理可得.又，所以，所以.在中，由正弦定理及，可得.又，所以，所以，所以，所以.选②③，因为，，，所以.由余弦定理可得.又，所以，所以，.在中，由正弦定理及，可得.又，所以，所以，所以，所以.选①③，由余弦定理可得. 又，所以.因为，所以，所以.在中，由正弦定理及，可得.又，所以．所以，所以，所以.【考点】余弦定理正弦定理【解析】【解答】解：选①②，则，，由余弦定理可得.又，所以，所以.在中，由正弦定理及，可得.又，所以，所以，所以，所以.选②③，因为，，，所以.由余弦定理可得.又，所以，所以，.在中，由正弦定理及，可得. 又，所以，所以，所以，所以.选①③，由余弦定理可得.又，所以.因为，所以，所以.在中，由正弦定理及，可得.又，所以．所以，所以，所以.21.【答案】解：由图得，，．由得，，.，．由得，,,．令,解得．的单调递增区间为．．，，，，即的值域为．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换正弦函数的单调性正弦函数的定义域和值域【解析】此题暂无解析【解答】解：由图得，，．由得，，.，．由得，,,．令,解得．的单调递增区间为．．，，，，即的值域为．22.【答案】解：由知，的图象过点.设函数的图象与函数的图象切于点, 由得切线方程是，此直线过点,故，解得，所以由题意得，恒成立．令，，则，再令，则，故当时，单调递减；当时，单调递增，从而在上有最小值，即有在上恒成立，所以在上单调递增，故，所以.所以实数的取值范围是.若，在上单调递增，故在上总有零点的必要条件是，即. 以下证明当时，在上总有零点．①若，由于, ，且在上连续，由零点存在定理可知在上必有零点．②若，由知在上恒成立．取，则由于，且在上连续，由零点存在定理可知在上必有零点．综上，实数的取值范围是.【考点】利用导数研究函数的最值利用导数研究不等式恒成立问题函数恒成立问题利用导数研究曲线上某点切线方程利用导数研究函数的单调性函数零点的判定定理【解析】此题暂无解析【解答】解：由知，的图象过点.设函数的图象与函数的图象切于点, 由得切线方程是，此直线过点,故，解得，所以由题意得，恒成立．令，，则，再令，则，故当时，单调递减；当时，单调递增，从而在上有最小值，即有在上恒成立，所以在上单调递增，故，所以.所以实数的取值范围是.若，在上单调递增，故在上总有零点的必要条件是，即. 以下证明当时，在上总有零点．①若，由于, ，且在上连续，由零点存在定理可知在上必有零点．②若，由知在上恒成立．取，则由于，且在上连续，由零点存在定理可知在上必有零点．综上，实数的取值范围是.第21页共22页◎第22页共22页。

2021-2022学年度江苏省泰州中学高三第一学期期初检测数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集为R,集合112xA x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫=≤⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭,{}2|680B x x x =-+≤,则R A C B =( )A.{}|0x x ≤B.{}|24x x ≤≤C. {}|024x x x ≤<>或D.{}|024x x x <≤≥或 2.下列关于,x y 的关系中为函数的是（ ） A.43y x x =-+-B.24y x =C.,112,1x x y x x ≥⎧=⎨-≤⎩D.3. “18a =”是“对任意的正数x ，21ax x+≥”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4.《张丘建算经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾（注：从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布），第一天织5尺布，现一月（按30天计）共织390尺”，则从第2天起每天比前一天多织（ ） A ．12尺布 B ．518尺布 C ．1631尺布 D ．1629尺布 5．设113244342,,433a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则,,a b c 的大小关系是( ) A. c a b << B.c b a << C. a c b << D. b c a <<6.已知x ＞0，y ＞0，且2x ＋1y ＝1，若x ＋2y ＞m 2＋2m 恒成立，则实数m 的取值范围是( )A. (－∞，－2]∪[4，＋∞)B. (－∞，－4]∪[2，＋∞)C. (－2，4)D. (－4，2)7.已知函数(),0,1ln ,xx x f x x x x⎧≤⎪⎪-=⎨⎪>0.⎪⎩ 若关于x 的方程，()f x x a =+无实根，则实数a 的取值范围为( ) A. ()1,0,1e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B. (－1，0)C. 10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭D. (0，1)8.如图，在△ABC 中，3BAC π∠＝，2ADDB ＝，P 为CD 上一点，且满足 12AP mAC AB ＝＋，若3,=4AC AB =,则AP CD ⋅的值为（ ） A. 125 B. 1213 C. 1312 D. 1312-二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分. 9．若复数z 满足(12)10z i -=，则（ ） A.24z i =-B.2z -是纯虚数C.复数z 在复平面内对应的点在第三象限D.若复数z 在复平面内对应的点在角α的终边上，5sin α=则10．已知集合{}23180A x x x =∈--<R ∣，{}22270B x x ax a =∈++-<R ∣，则下列 命题中正确的是（ ）A ．若AB =，则3a =- B ．若A B ⊆，则3a =-C ．若B =∅，则6a ≤-或6a ≥D ．若BA 时，则63a -<≤-或6a ≥11.已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，201920212020S S S <<，设12n n n n b a a a ++=，则数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，则下列结论中正确的是（ ） A ．20200a >B ．20210a <C ．2019202020212022a a a a ⋅>⋅D ．2019n =时，n T 取得最大值12.设函数{}2()min 2,,2f x x x x =-+，其中{}min ,,x y z 表示,,x y z 中的最小者.下列说法正确的有（ ）A.函数()f x 为偶函数B.当[1,)x ∈+∞时,有(2)()f x f x -≤C.当R x ∈时, (())()f f x f x ≤D.当[4,4]x ∈-时, ()2()f x f x -≥ 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知平面向量()2,a x =-，()1,3b =，且()a b b -⊥，则实数x 的值为 . 14.若数列{}n a 的通项公式是()()132nn a n =--，则1220a a a ++⋅⋅⋅+等于 .15.若函数()()()()20202112,0x x f x f f x f x x -⎧≤⎪==⎨--->⎪⎩，则 .16.在数列{}n a 中，13a =，122313*********n n a a a na a a n +++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅++()*n N ∈， 则n a = ，4nn a λ≥对所有*n N ∈恒成立，则λ的取值范围是 .四、解答题：本题包括6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）等差数列{}n a 中，24a =，4715a a +=．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设22n a n b n -=+，求12310b b b b +++⋅⋅⋅+的值．18．（12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足312n n S a =+，（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列{(21)}n n a -的前n 项和n T ．19. （12分）已知函数()e cos xf x x x =-．（1）求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程；（2）求函数()f x 在区间π[0,]2上的最大值和最小值．20．（12分） 已知数列{}n a 满足:16a =，11690n n n a a a --⋅-+=，n ∈N *且n ≥2.（1）求证: 数列13n a ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭为等差数列； （2）求数列{}n a 的通项公式； （3）设2(1)nn a b n =+，求数列{}n b 的前n 项和n T .21．（12分）已知函数()22(,)xf x e ax x R a R =--∈∈．（1）当时，求曲线在处的切线方程；（2）已知时，不等式()0f x ≥恒成立，求实数的取值范围．22．（12分）已知函数1ln(1)()1x f x x ++=+（1）求函数()y f x =的最大值；（2）令2()(1)()(2)g x x f x a x x =+--+，若()g x 既有极大值，又有极小值，求实数a 的取值范围；（3）求证：当*n N ∈时，ln(11)ln(1ln(1(1)223n n+++++++<…+ln .2021-2022学年度江苏省泰州中学第一学期期初检测高三数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集为R,集合112xA x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫=≤⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭,{}2|680B x x x =-+≤,则R A C B =( )A.{}|0x x ≤B.{}|24x x ≤≤C. {}|024x x x ≤<>或D.{}|024x x x <≤≥或 【答案】C 【解答】解：∵≤1＝， ∴x ≥0， ∴A ＝{x |x ≥0}；又x 2﹣6x +8≤0⇔（x ﹣2）（x ﹣4）≤0， ∴2≤x ≤4． ∴B ＝{x |2≤x ≤4}， ∴∁R B ＝{x |x ＜2或x ＞4}， ∴A ∩∁R B ＝{x |0≤x ＜2或x ＞4}， 故选：C ．2.下列关于,x y 的关系中为函数的是（ ） A.43y x x =-+-B.24y x =C.,112,1x x y x x ≥⎧=⎨-≤⎩D.【答案】D【解析】对于A ，定义域需满足240,4,30,x A B y x x -≥⎧∅=⎨-≥⎩解集为，故不是函数；对于，因为即2y x =±，不能满足函数的定义，故B 不是函数；对于C ，,1,1,1112,1,x x y x y y x x ≥⎧====-⎨-≤⎩当时或不能满足函数的定义，故C 不是函数；对于D ，满足构成函数的要素，故D 是函数，故选D.3. “18a =”是“对任意的正数x ，21ax x+≥”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A解：当“a ＝”时，由基本不等式可得： “对任意的正数x ，2x +”一定成立，即“a ＝”⇒“对任意的正数x ，2x +”为真命题；而“对任意的正数x ，2x +的”时，可得“a ≥” 即“对任意的正数x ，2x +”⇒“a ＝”为假命题；故“a ＝”是“对任意的正数x ，2x +的”充分不必要条件故选：A ．4.《张丘建算经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾（注：从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布），第一天织5尺布，现一月（按30天计）共织390尺”，则从第2天起每天比前一天多织（ ） A ．12尺布 B ．518尺布 C ．1631尺布 D ．1629尺布 【答案】D解：设该女子第()N n n *∈天织n a 尺布，前()N n n *∈天工织布n S 尺，则数列{}n a 为等差数列，设其公差为d ， 由题意可得30130293015015293902S a d d ⨯=+=+⨯=，解得1629d =.故选：D. 5．设113244342,,433a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则,,a b c 的大小关系是( ) A. c a b << B.c b a << C. a c b << D. b c a <<【答案】A解：a ＝＝＜1，b ＝＞1，c ＝＝＜1；且0＜＜＜1，函数y ＝在（0，+∞）上是单调增函数，所以＜，所以c ＜a ；综上知，c ＜a ＜b ． 故选：A ．6.已知x ＞0，y ＞0，且2x ＋1y＝1，若x ＋2y ＞m 2＋2m 恒成立，则实数m 的取值范围是( )A ．(－∞，－2]∪[4，＋∞)B ．(－∞，－4]∪[2，＋∞)C ．(－2，4)D ．(－4，2) 【答案】D解析：∵x ＞0，y ＞0，∴x ＋2y ＝(x ＋2y )⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1y ＝x y ＋4yx＋4≥2x y ·4yx ＋4＝4＋4＝8，当且仅当x ＝4，y ＝2时，等号成立．∵x ＋2y ＞m 2＋2m 恒成立，∴m 2＋2m ＜8，解得－4＜m ＜2，故选D.7.已知函数(),0,1ln ,xx x f x x x x⎧≤⎪⎪-=⎨⎪>0.⎪⎩若关于x 的方程，()f x x a =+无实根，则实数a 的取值范围为( ) A. ()1,0,1e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B.(－1，0)C. 10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．(0，1)【答案】B解：因为函数f （x ）＝，关于x 的方程f （x ）＝x +a 无实根等价于函数y ＝f （x ）的图象与直线y ＝x +a 无交点，设直线y ＝x +a 与f （x ）＝（x ＞0）切与点P （x 0，y 0），由f ′（x ）＝，由已知有：，解得x 0＝1，则P （1，0），则切线方程为：y ＝x ﹣1，由图知：函数y ＝f （x ）的图象与直线y ＝x +a 无交点时实数a 的取值范围为实数a 的取值范围为﹣1＜a ＜0， 故选：B ．8.如图，在△ABC 中，3BAC π∠＝，2ADDB ＝，P 为CD 上一点，且满足 12AP mAC AB ＝＋，若3,=4AC AB =,则AP CD ⋅的值为（ ）A.125 B. 1213 C. 1312 D. 1312- 【答案】C解：如图所示，建立直角坐标系．AC ＝3，AB ＝4∵∠CAB ＝，∴|OA |＝，|OC |＝，∴A （﹣，0），C （0，），B （，0）． ∵，∴＝＝（，0），∴＝+（，0）＝（，0）， ∴＝（，﹣）．设＝λ+（1﹣λ）＝λ+（1﹣λ）×，与＝m +比较，可得：m ＝λ，＝， 解得m ＝．∴＝+＝（，）+（4，0）＝（，），∴＝×﹣×＝．故选：C ．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分. 9．若复数z 满足(12)10z i -=，则（ ） A.24z i =-B.2z -是纯虚数C.复数z 在复平面内对应的点在第三象限D.若复数z 在复平面内对应的点在角α的终边上，5sin α=则【答案】AB【解析】由题意，复数z 满足1010(12)(12)10,2412(12)(12)i z i z i i i i +-====+--+可得复数，所以24,z i =-故选项A 正确；24z i -=是纯虚数，故选项B 正确；复数z 在复平面内对应点的坐标为（2，4）位于第一象限，故选项C 错误；因为24z i +＝在复平面内对应的（2，4）在角α的终边上，所以25sin 25α=故选项D 错误，故选AB. 10．已知集合{}23180A x x x =∈--<R ∣，{}22270B x x ax a =∈++-<R ∣，则下列命题中正确的是（ ）A ．若AB =，则3a =- B ．若A B ⊆，则3a =-C ．若B =∅，则6a ≤-或6a ≥D ．若B A 时，则63a -<≤-或6a ≥【答案】ABC解析：{36}A x x =∈-<<R∣，若A B =，则3a =-，且22718a -=-，故A 正确， 3a =-时A B =．故D 不正确．若A B ⊆，则22(3)(3)270a a -+⋅-+-≤且2266270a a ++-≤， 解得3a =-，故B 正确，当B =∅时，()224270a a --≤，解得6a ≤-或6a ≥，故C 正确．11.已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，201920212020S S S <<，设12n n n n b a a a ++=，则数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，则下列结论中正确的是（ ） A ．20200a >B ．20210a <C ．2019202020212022a a a a ⋅>⋅D ．2019n =时，n T 取得最大值【答案】ABC【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ， 因为201920212020S S S <<，可得2021202020210S S a -=<，2020201920200S S a -=>，20212019S S -=202120200a a +>， 即202020210a a >->，202020210a d a d ->-->，即201920220a a >->， 所以20192020a a >20212022a a ，且0d <，即数列{}n a 递减，且10a >，20a >，…，20200a >，20210a <， 又由12n n n n b a a a ++=，可得1211n n n n a a b a ++=， 当2018n ≤时，可得12110n n n n b a a a ++=>， 当2019n =时，可得2019201920202021110b a a a =<，当2020n =时，可得2020202020212022110b a a a =>，当2021n ≥时，可得12110n n n n b a a a ++=<， 又由201920222019202020202021201920222020202120192022+111111()a a b b a a a a a a a a +=+=⨯，因为20192020202120220,0,0,0a a a a >><<，且201920220a a +>，所以20192022201920202020202120192022+1110a a b b a a a a +=⨯>， 所以当2020n =时，121211n n a a a a ++⎛⎫-⎪⎝⎭取得最小值.综上可得，D 不正确. 12.设函数{}2()min 2,,2f x x x x =-+，其中{}min ,,x y z 表示,,x y z 中的最小者.下列说法正确的有A.函数()f x 为偶函数B.当[1,)x ∈+∞时,有(2)()f x f x -≤C.当R x ∈时, (())()f f x f x ≤D.当[4,4]x ∈-时,()2()f x f x -≥【答案】ABC解：在同一直角坐标系中画出函数y ＝|x ﹣2|，y ＝x 2，y ＝|x +2|的图象如右图所示， 由图象可知：f （x ）＝，显然有f （﹣x ）＝f （x ），可得f （x ）为偶函数；故A 正确；又当x ≥1时，f （x ）＝|x ﹣2|，f （x ﹣2）的图象可看作f （x ）的图象右移2个单位得到，显然x ≥1时，f （x ）的图象在f （x ﹣2）图象之上，∴当x ∈[1，+∞）时，有f （x ﹣2）≤f （x ），故B 正确；又由图象可知：若x ∈R 时，f （x ）≥0，可令t ＝f （x ），由y ＝f （t ）和y ＝t （t ≥0）的图象可知：当t ≥0时，y ＝t 在曲线y ＝f （t ）的上方，∴当t ≥0时，有t ≥f （t ），即有f （f （x ））≤f （x ）成立，故C 正确；若x ∈[﹣4，4]，f （﹣4）＝2，f （﹣4）﹣2＝0，显然f （﹣4）＞|f （﹣4）﹣2|，故D 不正确，故选：ABC ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知平面向量()2,a x =-，()1,3b =，且()a b b -⊥，则实数x 的值为_________.【答案】2314.若数列{}n a 的通项公式是()()132n n a n =--，则1220a a a ++⋅⋅⋅+等于 .【答案】30【详解】 由题意，数列{}n a 的通项公式是()()132n n a n =--，则()22162653n n a a n n -+=---=， 所以()()()12201234192010330a a a a a a a a a ++⋅⋅⋅+=++++⋅⋅⋅++=⨯=．15.若函数()()()()20202112,0x x f x f f x f x x -⎧≤⎪==⎨--->⎪⎩，则__________.【答案】2解：当x ＞0时，由f （x ）＝f （x ﹣1）﹣f （x ﹣2），可得f （x +1）＝f （x ）﹣f （x ﹣1）， 两式相加得f （x +1）＝﹣f （x ﹣2），则f （x +3）＝﹣f （x ），∴当x ＞0时，f （x +6）＝﹣f （x +3）＝﹣[﹣f （x ）]＝f （x ），即x ＞0时，f （x ）是周期为6的周期函数，又f （x ）＝，∴f （2021）＝f （5）＝﹣f （2）＝f （﹣1）=2，故答案为：216．在数列{}n a 中，13a =，122313*********n n a a a n a a a n +++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅++()*n N ∈，则n a =______，4n n a λ≥对所有*n N ∈恒成立，则λ的取值范围是______.【答案】()61n n n + 320,81⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. 【详解】解：由于122313*********n n a a a n a a a n +++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅++()*n N ∈，所以当2n ≥时，有11223333111112312n n a a a n a a a n --++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅++-， 两式相减可得1311222n n a n a n n ++=+=，即当2n ≥时，162n n a n a n +=+，当1n =时，求得26a =，即12n a a =也符合该递推关系，所以()12112161nn n n n n a a a a a a a a n n ---=⋅⋅⋅=+. 由于()2413n n n a n n λλ⎛⎫≥⇒≥⋅+ ⎪⎝⎭，令()213n n c n n ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 由于()()()1121224243333213n n n n n n c n c n n n n ++⎛⎫++ ⎪+⎝⎭===+⎛⎫+ ⎪⎝⎭，当4n =时，45c c =，当4n <单调递增，当4n >单调递减，所以123456c c c c c c <<<=>>⋅⋅⋅，故数列最大项为32081， 即32081λ≥. 故答案为：()61n n n +；320,81⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. 四、解答题：本题包括6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）等差数列{}n a 中，24a =，4715a a +=．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设22n a n b n -=+，求12310b b b b +++⋅⋅⋅+的值．【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ．由已知得()()1114{3615a d a d a d +=+++=，解得13{1a d ==．所以()112n a a n d n =+-=+．（2）由（Ⅰ）可得2n n b n =+．所以()()()()231012310212223210b b b b +++⋅⋅⋅+=++++++⋅⋅⋅++()()2310222212310=+++⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅+ ()()1021211010122-+⨯=+-()112255=-+112532101=+=．18．（12分）已知数列{}n a 的前n 项和n S ，满足3=1+2n n S a（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列{(21)}n n a -的前n 项和n T ．解：（1）3S n ＝1+2a n ，①，当n ＝1时，3S 1＝1+2a 1，解得a 1＝1，当n ≥1时，3S n +1＝1+2a n +1，②，由②﹣①可得3a n +1＝2a n +1﹣2a n ，即a n +1＝﹣2a n ， ∴＝﹣2，∴数列{a n }是以1为首项，以﹣2为公比的等比数列，∴a n ＝（﹣2）n ﹣1，（2）（2n ﹣1）a n ＝（2n ﹣1）（﹣2）n ﹣1， 则T n ＝1×（﹣2）0+3×（﹣2）1+5×（﹣2）2+…+（2n ﹣1）（﹣2）n ﹣1， ∴﹣2T n ＝1×（﹣2）1+3×（﹣2）2+5×（﹣2）3+…+（2n ﹣1）（﹣2）n ，两式相减，可得3T n ＝1+2×（﹣2）1+2×（﹣2）2+2×（﹣2）3+…+2×（﹣2）n ﹣1﹣（2n ﹣1）（﹣2）n ， ＝1+2×﹣（2n ﹣1）（﹣2）n ， ＝1﹣﹣×（﹣2）n ﹣（2n ﹣1）（﹣2）n ＝﹣﹣（2n ﹣）×（﹣2）n ，∴T n ＝﹣﹣． 19.（12分）已知函数()e cos x f x x x =-．（1）求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程；（2）求函数()f x 在区间π[0,]2上的最大值和最小值． 【解析】（1）因为()e cos x f x x x =-，所以()()()e cos sin 1,00x f x x x f -''=-=. 又因为()01f =，所以曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程为1y =.（2）设()()e cos sin 1x h x x x =--，则()()e cos sin sin cos 2e sin x x h x x x x x x =--=-'-. 当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0h x '<， 所以()h x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减. 所以对任意π0,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦有()()00h x h <=，即()0f x '<. 所以函数()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减. 因此()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为()01f =，最小值为22f ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭. 20．（12分） 已知数列{}n a 满足:16a =，11690n n n a a a --⋅-+=，n ∈N *且n ≥2. （1）求证: 数列13n a ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭为等差数列； （2）求数列{}n a 的通项公式；（3）设2(1)n n a b n =+，求数列{}n b 的前n 项和n T .（1）证明：111169690n n n n n n a a a a a a -----⋅-+=⇒= 111111(3)1111333933(3)3n n n n n n n a a a a a a a -------∴-=-==----- 又11133a =- ∴数列13n a ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是以首项为13，公差为13的等差数列（2）由（1）得111(1)3333n n n a =+-⋅=-， 3(1)n n a n+∴= （3）解：23113(1)(1)1n n a b n n n n n ⎛⎫===- ⎪+++⎝⎭ 12111111131223341n n T b b b n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=+++=-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦133111n n n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭21．（12分）已知函数．（1）当时，求曲线在处的切线方程；（2）已知时，不等式()0f x ≥恒成立，求实数的取值范围．解：（1）当a ＝1时，f （x ）＝2e x ﹣x ﹣2，f ′（x ）＝2e x﹣1，f ′（1）＝2e ﹣1， 即曲线y ＝f （x ）在x ＝1处的切线的斜率k ＝2e ﹣1，又f （1）＝2e ﹣3，故所求的切线方程是y ＝（2e ﹣1）x ﹣2．（2）当x ≥0时，若不等式f （x ）≥0恒成立⇔[f （x ）]min ≥0．易知f ′（x ）＝2e x ﹣a ．①若a ≤0，则f ′（x ）＞0恒成立，f （x ）在R 上单调递增；又f （0）＝0，∴当x ∈[0，+∞）时，f （x ）≥f （0）＝0，符合题意．②若 a ＞0，由f ′（x ）＝0，解得x ＝ln ．则当时，f ′（x ）＜0，f （x ）单调递减； 当时，f ′（x ）＞0，f （x ）单调递增． ∴x ＝时，函数f （x ）取得最小值． 当，即0＜a ≤2时，当x ∈[0，+∞）时，f （x ）≥f （0）＝0，符合题意．当，即a ＞2时，当时，f （x ）单调递增，f （x ）＜f （0）＝0，不符合题意． 综上，实数a 的取值范围是（﹣∞，2]．22．（12分）已知函数1ln(1)()1x f x x ++=+ （1）求函数()y f x =的最大值；（2）令2()(1)()(2)g x x f x a x x =+--+，若()g x 既有极大值，又有极小值，求实数 a 的范围；（3）求证：当*n N ∈时，111ln(11)ln(1)ln(1)(1)223n n+++++++<…+ln . （1）解：（1）函数y ＝f （x ）定义域为x ∈（﹣1，+∞），f ′（x ）＝﹣， ∴x ∈（﹣1，+∞）当x ∈（﹣1，0）时，f ′（x ）＞0；当x ∈（0，+∞）时，f ′（x ）＜0， ∴函数f （x ）在区间（﹣1，0）上为增函数；在区间（0，+∞）为减函数，所以f （x ）max ＝f （0）＝1；（2）解：g （x ）＝1+ln （x +1）﹣（a ﹣2）x +x 2， g ′（x ）＝﹣（a ﹣2）+2x ＝，g （x ）既有极大值，又有极小值，等价于方程2x 2+（4﹣a ）x +3﹣a ＝0在区间（﹣1，+∞）上有两个不相等的实数根， 即：，解得：a ＞2，所以所求实数a 的取值范围是：（2，+∞）；（3）证明：由（1）知当x ＞0时，f （x ）＜f （0）＝1，∴ln （1+x ）＜x ，∴ln （1+）＜， ∴ln （1+1）＜1，ln （1+）＜，ln （1+）＜，…，ln （1+）＜，∴ln（1+1）+ln（1+）+ln（1+）+…+ln（1+）＜1+++…+＜1+++…+＝1+2（﹣+﹣+…+﹣）＝1+2﹣2＝2﹣1＜2。

江苏省泰州市泰兴市黄桥中学2020-2021学年高三上学期第二次月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知cos 2α=-，则()sin 270α︒-=（ ） A． B．2 CD． 2．已知集合{|||1}A x x =<，{|21}x B x =<，则有（ ）A ．{|10}AB x x =-<< B ．A B R =C ．{|1}A B x x =>D ．A B φ⋂= 3．设152a b m ⎛⎫== ⎪⎝⎭且112a b -=，则m =（ ） A ．110 B ．10 CD4．若实数a ，b满足14a b+=ab 的最小值为（ ） AB ．2 C．D ．4 5．函数()e 1sin ()e 1x x xf x -=+在区间,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上的图象的大致形状是（ ） A ．B ．C ．D ．6．在等比数列{}n a 中，5113133,4a a a a =+=，则122a a =（ ） A ．3 B ．13- C ．3或13 D ．3-或13- 7．已知函数()ln ,,[1,2],a f x x m n m n x =+∀∈≠时，都有(1)(1)0f m f n m n+-+>-，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(,1)-∞B ．(,1]-∞C ．(,2)-∞D ．(,2]-∞8．设函数()41,0log ,0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩，若关于x 的方程()f x a =有四个不同的解1x ，2x，3x ，4x ，且1234x x x x <<<，则()3122341x x x x x ++的取值范围是（ ） A ．71,2⎛⎤- ⎥⎝⎦ B ．71,2⎛⎫- ⎪⎝⎭ C ．()1,-+∞ D ．7,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦二、多选题 9．下列命题正确的是（ ）A ．“1a >”是“21a >”的充分不必要条件B ．“M N >”是“lgM lgN >”的必要不充分条件C ．命题“2,10x R x ∀∈+<”的否定是“x R ∃∈，使得210x +<”D ．设函数()f x 的导数为()'f x ，则“0()0f x '=”是“()f x 在0x x =处取得极值”的充要条件10．在《增删算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关.”则下列说法正确的是（ ）A ．此人第二天走了九十六里路B ．此人第三天走的路程站全程的18C ．此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里D ．此人后三天共走了42里路 11．对于函数()()1x f x x R x=∈+，下列判断正确的是（ ） A ．()()110f x f x -++-=B ．当()0,1m ∈时，方程()f x m =有唯一实数解C ．函数()f x 的值域为(),-∞+∞D ．12x x ∀≠，()()12120f x f x x x ->- 12．关于函数()24cos 4sin cos 6f x x x x π⎛⎫=++⎪⎝⎭，下列说法正确的是（ ） A ．若12,x x 是函数()f x 的零点，则12x x -是2π的整数倍 B ．函数()f x 的图象关于点,16π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称 C ．函数()f x的图象与函数216y x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的图象相同D ．函数()f x 的图象可由2y x =的图象先向上平移1个单位长度，再向左平移3π个单位长度得到三、填空题13．已知数列*{}()n a n N ∈是等差数列，n S 是其前n 项和.若156913,18a a a S +==，则{}n a 的通项公式=n a _______14．已知函数()()sin f x A x =+ωϕ0,0,2A πωϕ⎛⎫>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则()f x 的解析式是__________．15．已知0x >，0y >，且3x y xy +=，若23t t x y +<+恒成立，则实数t 的取值范围是________.16．设m R ∈，若函数()33f x x x m =--在x ⎡∈⎣上的最大值与最小值之差为2，则实数m 的取值范围是__________．四、解答题17．请从下面三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并作答.①sin sin sin sin A C A B b a c--=+；②2cos cos cos c C a B b A =+；③ABC 的面积为1(sin sin sin )2c a A b B c C +-.已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且________.（1）求C ；（2）若D 为AB 中点，且2c =，CD =a ，b .18．已知各项均不相等的等差数列{}n a 的前4项和为10，且1a ，2a ，4a 是等比数列{}n b 的前3项.（1）求{}n a ，{}n b ；（2）设()11n n n n c b a a =++，求{}n c 的前n 项和n S .19．已知函数()2cos2f x x x =-.（1）求()f x 的最小正周期及()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值； （2）若()065f x =，0ππ,42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求0cos2x 的值. 20．设函数()()()32211233f x x k x k k x =+-+--，x ∈R ，k ∈R . （1）若函数()f x 为奇函数，求函数()f x 在区间[]3,3-上的单调性；（2）若函数()f x 在区间()0,2内不单调，求实数k 的取值范围.21．已知二次函数()f x 满足()212f x x x +=-+． （1）求()f x 的解析式；（2）若()3f x x m >+在区间[]1,3-上恒成立，求实数m 的范围；（3）求函数()()()23h x f x t x =--在区间[]0,1上的最小值，其中t R ∈．22．已知函数()()()24112ln 2122x a f x a x x +=-+++，0a >. （1）已知函数()f x 在2x =取得极小值，求a 的值；（2）讨论函数()f x 的单调区间；（3）当14a >时，若存在01,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭使得()20122f x a <-，求实数a 的取值范围.参考答案1．B【分析】利用三角函数的诱导公式即可得到答案.【详解】()sin 270cos αα-=-=故选：B【点睛】 本题主要考查三角函数的诱导公式，属于简单题.2．A【分析】解绝对值不等式求得集合A 中x 的范围，解指数不等式求得集合B 中x 的范围，再根据选项逐一判断正误.【详解】 由1x <解得11x -<<，故集合()1,1A =-，由0212x <=解得0x <，故集合(),0B =-∞.故()1,0AB =-，A 选项正确，D 选项错误，(),1A B ⋃=-∞，故B,C 选项错误.所以选 A.【点睛】本小题主要考查绝对值不等式的解法，考查指数不等式的解法，考查集合交集以及并集的求法.属于基础题.含有单个绝对值的不等式的解法口诀是“大于在两边，小于在中间”，即()()f x a f x a >⇔<-或()f x a >，()()f x a a f x a <⇔-<<.指数不等式的解法主要是化为同底来计算.3．D【分析】 先由152ab m ⎛⎫== ⎪⎝⎭，用对数表示出,a b ，再根据112a b -=即可求出m . 【详解】152a b m ⎛⎫== ⎪⎝⎭， 12log a m ∴=，5log b m =， 112a b -=，1log log 522m m ∴-=，即1log 210m =， m ∴=. 故选：D.【点睛】本题考查指数式和对数式的互化，考查对数的运算和换底公式的应用，属于基础题. 4．D【分析】利用基本不等式的性质即可得出结果.【详解】解：实数a ，b 满足14a b+=,0a b>，≥=可得4ab ≥. 当且仅当44a b ==时，等号成立，故答案为：D.【点睛】本题考查了基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.5．A【分析】先求出函数的定义域，再利用函数的奇偶性的定义判断函数的奇偶性，最后特殊值代入即可得出结论.【详解】由()e 1sin ()e 1x x xf x -=+知，函数的定义域为R ，又()()()()e 1sin 1sin ()e 11x x x x x e x f x f x e ------===++，则函数()f x 为偶函数，排除B D ；又()e 1sin1(1)0e 1f -=>+，排除C. 故选：A.【点睛】 本题主要考查了利用函数的奇偶性以及特殊值代入选择图像的问题.属于较易题. 6．C【分析】设公比为q ，根据等比数列的性质知313511a a a a =，又3134a a +=即可求得313,a a 进而求得10q ，即可求122a a 的值. 【详解】若{}n a 的公比为q ，∵3135113a a a a ==，又由3134a a +=，即有31313a a =⎧⎨=⎩或31331a a =⎧⎨=⎩, ∴1013q =或3，故有101223a q a ==或13 故选：C【点睛】本题考查了等比数列的性质，根据等比数列性质结合已知求项，进而得到公比，最后即可求目标式的值.7．D【分析】[],1,2m n ∀∈且m n ≠，都有()()110f m f n m n+-+>-，等价于()()ln 11a g x x x =+++在[]1,2x ∈上单调递增，只需()'0g x ≥恒成立即可.【详解】()()1ln 11a f x x x +=+++， 令()()()1ln 11a g x f x x x =+=+++， [],1,2m n ∀∈且m n ≠，都有()()110f m f n m n+-+>-， ()g x ∴在[]1,2x ∈上单调递增，即()()()2211'0111a x a g x x x x +-=-=≥+++恒成立， 即1a x ≤+，[]1,2,12x x ∈∴+≥，2a ∴≤，故选：D.【点睛】本题主要考查函数单调性的定义，考查利用导数研究函数的单调性以及不等式恒成立问题，属于中档题.8．A【分析】根据图象可得：11x a +=-，21x a +=，43log x a =-，44log x a =.(01)a <≤， 则31222342()24414144a a a a a x x x x x --++=-⋅+=-⋅.令4a t ，(]1,4t ∈，求函数2y t t=-的值域，即可得出结果.【详解】画出函数()41,0log ,0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩的大致图象如下：根据图象可得：若方程()f x a =有四个不同的解1x ，2x ，3x ，4x ，且1234x x x x <<<， 则11x a +=-，21x a +=，43log x a =-，44log x a =.(01)a <≤，122x x +=-，34a x -=，44a x = ∴则31222342()24414144a aa a ax x x x x --++=-⋅+=-⋅. 令4at ，(]1,4t ∈，而函数2y t t=-在(]1,4t ∈单调递增， 所以2712t t -<-≤，则271442aa -<-≤.故选：A. 【点睛】本题考查函数的图象与性质，考查函数与方程思想、转化与化归思想、数形结合思想，考查运算求解能力，求解时注意借助图象分析问题，属于中档题. 9．AB 【分析】根据定义法判断是否为充分、必要条件，由全称命题的否定是∀→∃，否定结论，即可知正确的选项. 【详解】A 选项中，211a a >⇒>，但211a a >⇒>或1a <-，故A 正确；B 选项中，当0M N >>时有lgM lgN >，而lgM lgN >必有0M N >>，故B 正确；C 选项中，否定命题为“x R ∃∈，使得210x +≥”，故C 错误；D 选项中，0()0f x '=不一定有()f x 在0x x =处取得极值，而()f x 在0x x =处取得极值则0()0f x '=，故D 错误；故选：AB 【点睛】本题考查了充分、必要条件的判断以及含特称量词命题的否定，属于简单题. 10．ACD 【分析】若设此人第n 天走n a 里路，则数列{}n a 是首项为1a ，公比为12q =的等比数列，由6378S =求得首项，然后分析4个选项可得答案. 【详解】解：设此人第n 天走n a 里路，则数列{}n a 是首项为1a ，公比为12q =的等比数列， 因为6378S =，所以1661(1)2=378112a S -=-，解得1192a =，对于A ，由于21192962a =⨯=，所以此人第二天走了九十六里路，所以A 正确； 对于B ，由于 3148119248,43788a =⨯=>，所以B 不正确； 对于C ，由于378192186,1921866-=-=，所以此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里，所以C 正确；对于D ，由于4561111924281632a a a ⎛⎫++=⨯++= ⎪⎝⎭，所以D 正确， 故选：ACD 【点睛】此题考查等比数的性质，等比数数的前项n 的和，属于基础题. 11．ABD 【分析】先根据奇函数的定义证得函数为奇函数，然后根据复合函数的单调性求得单调性及值域，逐项判断即可. 【详解】解：()()01||1||x xf x f x x x --+=+=+-+，故()f x 为奇函数，对于A ，令1t x =-，即()()0f t f t -+=，正确，故A 正确；当0x >时，1()111x f x x x==-++， ()f x ∴在(0,)+∞上单调递增，又(0)0f =，()11xf x x=<+，且()f x 是奇函数， ()f x ∴的值域为(1,1)-． ()f x ∴的单调增区间为(),-∞+∞．故B 正确，C 错误，∵()f x 的单调增区间为(),-∞+∞，故2x x ∀≠，()()12120f x f x x x +>-正确．D 正确；故选：ABD ． 【点睛】本题考查了函数奇偶性、单调性值域等性质，属于中档题． 12．BC 【分析】首先由三角恒等变换化简函数解析式，作出图象，数形结合判断A 错误；由正弦函数的对称性可判断函数()f x 的对称性；利用三角函数诱导公式可判断C 选项；根据三角函数图象变换规则可判断D 选项. 【详解】()224cos 4sin cos 22cos 2cos 2sin 6f x x x x x x x x π⎛⎫=++=++- ⎪⎝⎭13cos 22213x x x π⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭，画出函数的图象，如图所示：()f x 的图象与x 轴相邻的两个交点的距离不相等，且不为2π，故A 错； 因为sin[2]063ππ⎛⎫⨯-+= ⎪⎝⎭，所以函数23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象关于,06π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称，则函数()f x 的图象关于点,16π⎛⎫-⎪⎝⎭对称，故B 正确； 函数()212136f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=++=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故C 正确；函数()f x的图象可由2y x =先向上平移1个单位，再向左平移6π个单位长度得到，故D 错误. 故选：BC 【点睛】本题考查三角恒等变换、正弦型函数的对称性、三角函数诱导公式及三角函数图象变换规则，属于中档题. 13．7n -+ 【分析】由已知条件求出首项1a 和公差d ，即可得通项公式． 【详解】设数列{}n a 公差为d ，由已知得1111(4)51393618a a d a d a d +++=⎧⎨+=⎩，解得161a d =⎧⎨=-⎩．∴6(1)7n a n n =--=-． 故答案为：7n -+． 【点睛】本题考查求等差数列的通项公式，考查等差数列的前n 项和公式，解题方法是基本量法，即用1a 和d 表示已知并求出，再由1a 和d 解决其他问题． 14．()2sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭【解析】分析：首先根据函数图象得函数的最大值为2，得到2A =，然后算出函数的周期T π=，利用周期的公式，得到2ω=，最后将点5212（，）π代入，得：522212sinπϕ=⨯+（）， 结合2πϕ<，可得6，πϕ=- 所以()f x 的解析式是()2sin 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭． 详解：根据函数图象得函数的最大值为2，得2A =，又∵函数的周期35,4123T T πππ⎛⎫=--∴= ⎪⎝⎭，利用周期的公式，可得2ω=， 将点5212（，）π 代入，得：522212sin πϕ=⨯+（）， 结合2πϕ<，可得3πϕ=-， 所以()f x 的解析式是()2sin 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭． 点睛：本题给出了函数y=Asin （ωx+φ）的部分图象，要确定其解析式，着重考查了三角函数基本概念和函数y=Asin （ωx+φ）的图象与性质的知识点，属于中档题． 15．()4,3-. 【分析】在等式3x y xy +=两边同时除以xy 得到311x y +=，将代数式3x y +和31x y+相乘，展开后利用基本不等式求出3x y +的最小值12，由题意得出()2min 312t t x y +<+=，解出该不等式即可得出实数t 的取值范围. 【详解】0x，0y >，且3x y xy +=，在等式3x y xy +=两边同时除以xy 得311x y+=，由基本不等式得()319336612x y x y x y x y y x ⎛⎫+=++=++≥+=⎪⎝⎭， 当且仅当3x y =时，等号成立，所以，3x y +的最小值为12，由于不等式23t t x y +<+恒成立，则()2min 312t t x y +<+=，即2120t t +-<，解得43t -<<，因此，实数t 的取值范围是()4,3-，故答案为()4,3-. 【点睛】本题考查基本不等式处理不等式恒成立问题，同时也考查了一元二次不等式的解法，在利用基本不等式求最值时，要创造出定值条件，并对代数式进行配凑，考查化归与转化数学思想，属于中等题.16．(,2][0,)-∞-⋃+∞ 【分析】设()33,g x x x x =-∈，结合导数可得函数()y g x =的值域为[]2,0-，最大值与最小值之差为2，从而得到函数33,y x x m x =--∈的值域为[]2,m m ---，最大值与最小值之差也为2．然后根据题意可得20--≥m 或0m -≤，于是可得所求的范围． 【详解】设()33,g x x x x =-∈，则()2333(1)(1)g x x x x =-'-=+，所以函数()y g x =在区间[)0,1上单调递减，在区间(上单调递增．∵()00g =，()12g =-，0g=，∴函数()y g x =的值域为[]2,0-，最大值与最小值之差为2，∴函数33,y x x m x =--∈的值域为[]2,m m ---，最大值与最小值之差也为2．∵函数()33f x x x m =--在x ∈上的最大值与最小值之差为2，∴20--≥m 或0m -≤， 解得2m ≤-或0m ≥.∴实数m 的取值范围为(,2][0,)-∞-⋃+∞． 故答案为(,2][0,)-∞-⋃+∞． 【点睛】本题考查用导数研究函数的最值问题，具有综合性和难度，解题的关键是注意将问题进行合理的转化． 17．（1）3C π=；（2）2a b ==.【分析】（1）根据所选条件，由正弦定理和余弦定理，逐步计算，即可得出结果；（2）先根据题意，由余弦定理，得出24b ADC =-∠，24a BDC =-∠，求出228a b +=，再由（1）的结果，根据余弦定理，得到4ab =，进而可求出结果. 【详解】（1）方案一：选条件① ∵sin sin sin sin A C A Bb ac --=+，由正弦定理可得，a c a b b a c--=+，即222a c ab b -=-， ∴222a b c ab +-=，∴由余弦定理可得：2221cos 22a b c C ab +-==.∴3C π=.方案二：选条件②（1）∵2cos cos cos c C a B b A =+，∴根据正弦定理可得，2sin cos sin cos sin cos C C A B B A =+， ∴2sin cos sin()C C A B =+， ∴2sin cos sin C C C =. ∴1cos 2C =， ∴3C π=.方案三：选条件③ （1）由题意知，sin si 11()2si si 2n n n C A ab c a b c B C =+-， ∴由正弦定理可得，()222abc c a b c =+-，∴222a b c ab +-=，∴由余弦定理可得，2221cos 22a b c C ab +-==，∴3C π=.（2）由题意知，1AD BD ==，CD =在ACD △中，2222cos AC AD CD AD CD ADC =+-⋅⋅∠，即24b ADC =-∠.在BCD △中，2222cos BC BD CD BD CD BDC =+∠-⋅⋅，即24a BDC =-∠， ∵ADC BDC π∠+∠=， ∴cos cos ADC BDC ∠=-∠， ∴228a b +=.由（1）知，2221cos 22a b c C ab +-==，∴2224a b c ab ab +=+=+， ∴4ab =，由2284a b ab ⎧+=⎨=⎩，解得2a b ==. 【点睛】本题主要考查解三角形，熟记正弦定理和余弦定理即可，属于常考题型. 18．（1）n a n =，12n n b -=；（2）121nn S n =-+. 【分析】（1）在等差数列{}n a 中，先建立方程14610a d +=和1a d =求出1a 、d ，再求{}n a 的通项公式；在等比数列{}n b 中，直接求出1b 、2b 、q ，再求{}n b 的通项公式； （2）直接运用分组求和法与裂项相消法求{}n c 的前n 项和n S 即可. 【详解】解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，因为各项均不相等的等差数列{}n a 的前4项和为10，所以()123411441446102a a a a a d a d ⨯-+++=+=+=，即14610a d +=， 因为1a ，2a ，4a 成等比数列，所以2214a a a =⋅，所以()()21113a d a a d +=⋅+，即21d a d =，因为0d ≠，所以1a d = 所以114610a d a d+=⎧⎨=⎩，解得11a =，1d =，所以n a n =，在等比数列{}n b 中， 111b a ==，222b a ==，212b qb ==， 所以12n nb -=.（2）()111112211n n n c n n n n --⎛⎫=+=+- ⎪++⎝⎭，所以0111111122212231n n S n n -⎛⎫=++⋅⋅⋅++-+-+⋅⋅⋅+- ⎪+⎝⎭1211121n n -=+--+121n n =-+， 所以数列{}n a 的前n 项和121nn S n =-+. 【点睛】本题考查利用等差数列的基本量法求通项公式、利用定义法求等比数列的通项公式、利用分组求和法与裂项相消法求数列的前n 项和，是中档题. 19．（1）π，()max 2f x =，()min 1f x =-；（2）【分析】（1）利用两角差正弦公式化函数为一个角的一个三角函数形式，然后结合正弦函数性质可得周期与最值；（2）已知条件是0π3sin 265x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，再求出0π4cos 265x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，然后由两角和的余弦公式计算． 【详解】（1）()1π2cos 222cos 22sin 2226f x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=-=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其最小正周期为π又π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴ππ5π2,666x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦， ∴()max 2f x =，()min 1f x =-， （2）∵()065f x =，∴0π3sin 265x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，又0ππ,42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴0ππ2,π62x ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭∴0π4cos 265x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，∴000ππππ3cos 2cos 2cos sin 2sin 666610x x x +⎛⎫⎛⎫=---=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 【点睛】本题考查两角和与差的正弦、余弦公式，考查正弦函数的性质．三角函数问题常常需要利用诱导公式、二倍角公式，两角和与差的正弦、余弦公式化函数为一个角的一个三角函数形式，然后结合正弦函数（或余弦函数）的性质求解．20．（1）[)3,2-和(]2,3上单调递增，在()2,2-上单调递减；（2）()()3,11,3--⋃. 【分析】（1）利用特殊值(1)(1)f f -=-求出k ，然后验证它是奇函数，接着求导数，由导数确定单调性；（2）求出导函数，再求出()0f x '=的解，它有两个不等实根，只要有一个根在区间(0,2)即可． 【详解】（1）∵()f x 为奇函数，∴()()11f f -=-，()22151123333f k k k k k -=-+--++=-++， ()22111112333f k k k k k =+-+--=-- 则22511333k k k k ⎛⎫-++=--- ⎪⎝⎭，整理为22k =，解得1k = 即()3143f x x x =-，()f x 的定义域为R ，关于原点对称， ()()33114433f x x x x x f x ⎛⎫-=-+=--=- ⎪⎝⎭，即()f x 为奇函数，即()3143f x x x =- ()()()2422f x x x x '=-=-+当2x <-或2x >时，()0f x '>当22x -<<时，()0f x '<，即()f x 在[)3,2-和(]2,3上单调递增，在()2,2-上单调递减；（2）()()()()()22221232113x k x k k x k x x k k f =+-+--=+-++-' ()()13x k x k =+++-令()()()13h x x k x k =+++-∵()f x 在区间()0,2内不单调，∴()h x 在区间()0,2内有零点，令()0h x =，解得11x k =--，23x k =-，显然12x x ≠，（ⅰ）当1x 落在区间()0,2，即012k <--<，解得31k -<<-（ⅱ）当2x 落在区间()0,2，即032k <-<，解得13k <<综上，实数k 的取值范围是()()3,11,3--⋃.【点睛】本题考查函数的奇偶性，用导数确定函数的单调性，掌握导数与单调性的关系是解题关键． 21．（1）(),5-∞-；（2）(),5-∞-；（3）分类讨论，答案见解析．【分析】（1）令1t x =+，则1x t =-，然后利用换元法求解.（2）根据()3f x x m >+对于[]13,x ∈-恒成立，转化为264m x x <-+对[]13,x ∈-恒成立，再确定()264g x x x =-+的最小值即可.（3）根据()h x ()224x t t =-+-，[]0,1x ∈，对称轴为x =t ，然后分0t ≤， 01t <<， 1t ≥三种情况讨论求解.【详解】（1）令1t x =+，则1x t =-，所以()()()2211234t t f t t t =-+---+=，所以()234f x x x =-+. （2）因为()3f x x m >+对于[]13,x ∈-恒成立，所以264m x x <-+对[]13,x ∈-恒成立，因为()264g x x x =-+在[]13,x ∈-上的最小值为-5， 所以实数a 的取值范围为(),5-∞-．（3）()()()22324h x f x t x x tx =--=-+()224x t t =-+-，[]0,1x ∈． i ）当对称轴0x t =≤时，()h x 在0x =处取得最小值()04h =；ii ）当对称轴01x t <=<时，()h x 在x t =处取得最小值()24h t t =-； iii ）当对称轴1x t =≥时，()h x 在1x =处取得最小值()112425h t t =-+=-+． 综上：当0t ≤时，()h x 最小值4；当01t <<时，()h x 最小值24t -；当1t ≥时，()h x 最小值25t -+．【点睛】本题主要考查函数解析式的求法，不等式的恒成立问题以及二次函数的最值求法，还考查了分类讨论的思想和运算求解的能力，属于中档题.22．（1）1；（2）答案见解析；（3）11,44e -⎛⎫⎪⎝⎭. 【分析】 （1）由题意得出()20f '=，求得实数a 的值，并代入导数验证即可得解；（2）求得()()()21221x x a f x x --'=+，对2a 与12的大小进行分类讨论，分析导数的符号变化，由此可求得函数()f x 的单调区间；（3）由题意可知，当14a >且01,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()2min 122f x a <-，由（2）中的结论可得出关于实数a 的不等式，由此可解得实数a 的取值范围.【详解】（1）()()()24112ln 2122x a f x a x x +=-+++，则()()412121a f x x a x +'=-+++， 由题意()()41221205a f a +'+=-+=，解得1a =， 此时()()()221532121x x f x x x x --=+='-++. 当122x <<时，()0f x '<，()f x 递减；当2x >时，()0f x '>，()f x 递增. 当2x =时，()f x 取得极小值，合乎题意.因此，1a =；（2）函数()f x 定义域是1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭， ()()()()()224122124112212121x a x a x x a a f x x a x x x -++--+=-++==+++'， ①当122a >时，即14a >时，当1122x -<<或2x a >时，()0f x '>；当122x a <<时，()0f x '<.此时，()f x 的增区间是11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭和()2,a +∞，减区间是1,22a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，②当14a =时，()0f x '≥对任意的1,2x ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭恒成立， 此时，函数()f x 增区间1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭，无减区间； ③当1022a <<时，即104a <<时，当122x a -<<或12x >时，()0f x '>；当122a x <<时，()0f x '<.此时，函数()f x 的增区间是1,22a ⎛⎫- ⎪⎝⎭和1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，减区间是12,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 综上，当14a >时，函数()f x 的增区间是11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭和()2,a +∞，减区间是1,22a ⎛⎫ ⎪⎝⎭； 当14a =时，函数()f x 的增区间是1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭； 当104a <<时，函数()f x 的增区间是1,22a ⎛⎫- ⎪⎝⎭和1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，减区间是12,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭； （3）由（2）14a >时，()f x 在1,22a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上递减，在()2,a +∞上递增，则()()min 2f x f a =， 若存在01,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭使得()20122f x a <-，则只要()21222f a a <-， ()()22411222ln 41222a f a a a a a +=--++<-， 因为14a >，所以()ln 411a +<，所以，41a e +<，14e a -<，所以1144e a -<<. 即实数a 的取值范围是11,44e -⎛⎫⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：一般地，已知函数()y f x =，定义域为D .（1）对任意的x D ∈，()()max a f x a f x ≥⇔≥；（2）对于任意的x D ∈，()()min a f x a f x ≤⇔≤；（3）存在x D ∈，()()min a f x a f x ≥⇔≥； （4）存在x D ∈，()()max a f x a f x ≤⇔≤.。

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