2022导学精炼高中数学必修二电子版

2022版人教A 版高中数学必修第二册--6.4 平面向量的应用6.4.1 平面几何中的向量方法 6.4.2 向量在物理中的应用举例基础过关练题组一 向量在平面几何中的应用1.已知A ,B ,C 是平面上的三点,其坐标分别为(1,2),(4,1),(0,-1),则△ABC 的形状为( )A.直角(非等腰)三角形B.等腰(非等边)三角形C.等腰直角三角形D.以上均不正确2.在直角三角形ABC 中,点D 是斜边AB 的中点,点P 为线段CD 的中点,则PA 2+PB 2PC 2=( )A.2B.4C.5D.103.已知O 是△ABC 所在平面内的一点,若(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ )·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ )·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(OC ⃗⃗⃗⃗⃗ +OA ⃗⃗⃗⃗⃗ )·CA⃗⃗⃗⃗⃗ =0,则点O 是△ABC 的 ( ) A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心4.已知点P 在△ABC 所在的平面内,若2PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +3PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +4PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =3AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则△PAB 与△PBC 的面积的比值为 .5.已知正方形ABCD 中,E 、F 分别是CD 、AD 的中点,BE 、CF 交于点P ,连接AP.用向量法证明: (1)BE ⊥CF ;(2)AP=AB.题组二向量在物理中的应用6.(2021江苏无锡、江阴两市高一下期末联考)体育锻炼是青少年生活学习中非常重要的组成部分.某学生做引体向上运动处于如图所示的平衡状态时,若两只胳膊的夹角为60°,每只胳膊的拉力大小均为400 N,则该学生的体重约为(参考数据:重力加速度的大小g=10 N/kg,√3≈1.732)()A.63 kgB.69 kgC.75 kgD.81 kg7.一艘渔船距对岸4 km,以2 km/h的速度向垂直于对岸的方向航行,到达对岸时,船的实际航程为8 km,则河水的流速为()A.2√3km/hB.2 km/hC.√3km/hD.3 km/h8.一个重20 N的物体从倾斜角为30°,长为1 m的光滑斜面顶端下滑到底端,则重力做的功是J.9.如图所示,在细绳O处用水平力F2缓慢拉起重力为G的物体,绳子与铅垂方向的夹角为θ,绳子所受到的拉力为F1.(1)请说明|F1|、|F2|随角θ的变化而变化的情况;(2)当|F1|≤2|G|时,求角θ的取值范围.能力提升练题组一向量在平面几何中的应用1.()已知P 是△ABC 所在平面内一点,且|PB ⃗⃗⃗⃗⃗ −PC ⃗⃗⃗⃗⃗ |−|PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC⃗⃗⃗⃗⃗ −2PA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=0,则△ABC 的形状一定是 ( )A.等腰直角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等边三角形 2.()过△ABC 内部(含边界)一点M 任作一条直线EF ,AD ⊥EF 于点D ,BE ⊥EF 于点E ,CF ⊥EF 于点F ,且AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +BE ⃗⃗⃗⃗⃗ +CF⃗⃗⃗⃗⃗ =0,则点M 是△ABC 的 ( )A.三条高的交点B.三条中线的交点C.三边中垂线的交点D.三个内角平分线的交点 3.(2020安徽六安第一中学高一下阶段测试,)已知a =(-12,√32),OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a -b ,OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a +b .若△OAB 是以O 为直角顶点的等腰直角三角形,则△AOB 的面积是 . 4.()如图,已知△ABC 的面积为14 cm 2,D ,E 分别为边AB ,BC 上的点,且AD ∶DB =BE ∶EC =2∶1,AE ,CD 交于点P ,连接BP ,则△APC 的面积为 cm 2.5.()如图,在△ABC 中,∠BAC =120°,AB =AC =3,点D 在线段BC 上,且BD =12DC.求:(1)AD 的长; (2)∠DAC 的大小.题组二向量在物理中的应用6.()一只鹰正以与水平方向成30°角的方向向下飞行,直扑猎物,太阳光从头上直照下来,鹰在地面上的影子的速度的大小是40 m/s,则鹰的飞行速度的大小为()A.803 m/s B.40√33m/s C.80√33m/s D.403m/s7.()一条河的两岸互相平行,一艘小船从岸边向河对岸航行.已知水流的速度的大小为1 m/s,小船的速度的大小为2 m/s,为使船的航程最短,小船应朝的方向行驶.8.()如图,一个力F作用于小车G,使小车G发生了40米的位移s,F的大小为50 N,且与小车的位移方向的夹角为60°,e是与小车位移方向相同的单位向量,则F在小车位移上的投影向量为,力F做的功为.9.()如图所示,一条河的两岸互相平行,河的宽度d=500 m,一艘船从A点出发航行到河对岸,船航行速度的大小为|v1|=10 km/h,水流速度的大小为|v2|=4 km/h,设v1和v2的夹角为θ(0°<θ<180°).(1)当cos θ多大时,船能垂直到达对岸?(2)当船垂直到达对岸时,航行所需时间是否最短?为什么?答案全解全析 基础过关练1.C 由题意,得AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,-1),AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,-3),∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =3×(-1)+(-1)×(-3)=0,且|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√10,∴△ABC 为等腰直角三角形.2.D PA 2+PB 2PC 2=|PA ⃗⃗⃗⃗ |2+|PB ⃗⃗⃗⃗ |2|PC⃗⃗⃗⃗ |2=PA ⃗⃗⃗⃗ 2+PB ⃗⃗⃗⃗ 2PC⃗⃗⃗⃗ 2=(PC⃗⃗⃗⃗ +CA ⃗⃗⃗⃗ )2+(PC ⃗⃗⃗⃗ +CB ⃗⃗⃗⃗ )2PC⃗⃗⃗⃗ 2=2|PC⃗⃗⃗⃗ |2+2PC ⃗⃗⃗⃗ ·(CA ⃗⃗⃗⃗ +CB ⃗⃗⃗⃗ )+|AB ⃗⃗⃗⃗ |2|PC⃗⃗⃗⃗ |2=|AB⃗⃗⃗⃗ |2|PC ⃗⃗⃗⃗ |2-6=42-6=10.3.A 由已知得(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ )·(OB ⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ )=(OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ )·(OC ⃗⃗⃗⃗⃗ −OB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=(OC ⃗⃗⃗⃗⃗ +OA ⃗⃗⃗⃗⃗ )·(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −OC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=0,即OB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2−OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2−OB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 2−OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=0,所以|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OC ⃗⃗⃗⃗⃗ |,所以点O 是△ABC 的外心.故选A .4.答案 45解析 ∵2PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +3PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +4PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =3AB ⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴2PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +3PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +4PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =3(PB ⃗⃗⃗⃗⃗ −PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ), ∴5PA⃗⃗⃗⃗⃗ =−4PC ⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴点P 在线段AC 上,且|PA⃗⃗⃗⃗⃗ |=45|PC ⃗⃗⃗⃗⃗ |. ∵△PAB 与△PBC 分别以PA ,PC 为底时,高相同, ∴△PAB 与△PBC 的面积的比值为|PA⃗⃗⃗⃗ ||PC ⃗⃗⃗⃗ |=45.5.证明 如图,建立平面直角坐标系xOy ,不妨设AB =2,则A (0,0),B (2,0),C (2,2),E (1,2),F (0,1).(1)∵BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =OE ⃗⃗⃗⃗⃗ −OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,2)-(2,0)=(-1,2),CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =OF ⃗⃗⃗⃗⃗ −OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1)-(2,2)=(-2,-1), ∴BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =-1×(-2)+2×(-1)=0, ∴BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥CF⃗⃗⃗⃗⃗ ,即BE ⊥CF. (2)设P (x ,y ),则FP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x ,y -1),BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x -2,y ),由(1)知CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2,-1),BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,2), ∵FP ⃗⃗⃗⃗⃗ ∥CF ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴-x =-2(y -1),即x =2y -2.① 同理,由BP⃗⃗⃗⃗⃗ ∥BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ,得y =-2x +4.② 联立①②,解得{x =65,y =85,即P65,85.∴AP⃗⃗⃗⃗⃗ 2=652+852=4=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2,∴|AP⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |,即AP =AB. 6.B 设两只胳膊的拉力分别为F 1,F 2,学生的体重为m kg , 则mg =|F 1+F 2|=√(F 1+F 2)2=√4002+2×400×400×cos60°+4002 =400√3≈692.8,可得m ≈69.故选B .7.A 如图,设A 为渔船,BC 所在直线为对岸,AB =4 km ,实际航程AC =8 km ,则∠BCA =30°,又|v AB |=2 km/h ,∴|v BC |=2√3 km/h ,故选A .8.答案 10解析 ∵物体的重力为20 N ,物体在重力方向上的位移大小是1×sin 30°=12(m ),∴重力做的功为12×20=10(J ).9.解析 画出物体的受力分析图,如图.(1)由力的平衡及向量加法的平行四边形法则得,G =-(F 1+F 2),|F 1|=|G |cosθ,|F 2|=|G |·tan θ.当角θ从0趋向于π2时,|F 1|、|F 2|都逐渐增大.(2)由|F 1|=|G |cosθ≤2|G |,得cos θ≥12.∵0≤θ<π2,∴0≤θ≤π3, ∴角θ的取值范围是[0,π3].能力提升练1.B ∵P 是△ABC 所在平面内一点,且|PB ⃗⃗⃗⃗⃗ −PC ⃗⃗⃗⃗⃗ |−|PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗⃗ −2PA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=0, ∴|CB ⃗⃗⃗⃗⃗ |-|(PB ⃗⃗⃗⃗⃗ −PA ⃗⃗⃗⃗⃗ )+(PC ⃗⃗⃗⃗⃗ −PA⃗⃗⃗⃗⃗ )|=0, ∴|CB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |,∴|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |, 两边平方并化简得AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,∴AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴∠BAC =90°,即△ABC 是直角三角形.无法判断△ABC 是不是等腰三角形.故选B . 2.B 根据特殊位置法,可以判断,当直线EF 经过C 点时,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +BE ⃗⃗⃗⃗⃗ +CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,于是|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|BE ⃗⃗⃗⃗⃗ |,EF 即为AB 边上的中线,同理,当EF 经过A 点时,EF 是BC 边上的中线,当EF 经过B 点时,EF 是AC 边上的中线,因此,点M 是△ABC 的三条中线的交点,故选B. 3.答案 1解析 由题意得OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥OB ⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(a -b )·(a +b )=0, ∴a 2-b 2=0, ∴|a |=|b |, ∵|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OB ⃗⃗⃗⃗⃗ |, ∴|a -b |=|a +b |,∴a 2+b 2-2a ·b =a 2+b 2+2a ·b , ∴a ·b =0,又|a |=√(-12)2+(√32)2=1,∴a ,b 是互相垂直的单位向量,∴|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OB⃗⃗⃗⃗⃗ |=√2, ∴S △OAB =12|OA⃗⃗⃗⃗⃗ |×|OB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1. 4.答案 4解析 设AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ,则AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =a +23b ,DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC⃗⃗⃗⃗⃗ =13a +b . ∵点A ,P ,E 共线,点D ,P ,C 共线,∴存在实数λ和μ,使AP⃗⃗⃗⃗⃗ =λAE ⃗⃗⃗⃗⃗ =λa +23λb ,DP ⃗⃗⃗⃗⃗ =μDC ⃗⃗⃗⃗⃗ =13μa +μb . 又∵AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DP⃗⃗⃗⃗⃗ =(23+13μ)a +μb , ∴{λ=23+13μ,23λ=μ,解得{λ=67,μ=47,∴S △PAB =47S △ABC =14×47=8(cm 2),S △PBC =14×(1-67)=2(cm 2), ∴S △APC =14-8-2=4(cm 2).5.解析 (1)设AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ,则AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13(AC⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AC⃗⃗⃗⃗⃗ =23a +13b . ∴|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=AD ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=(23a +13b)2=49a 2+2×29a ·b +19b 2=49×9+2×29×3×3×cos 120°+19×9=3,∴AD =√3(负值舍去). (2)设∠DAC =θ(0°<θ<120°), 则θ为AD ⃗⃗⃗⃗⃗ 与AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角. ∴cos θ=AD⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗ |AD ⃗⃗⃗⃗ ||AC ⃗⃗⃗⃗ |=(23a+13b )·b √3×3=23a ·b+13b 23√3=23×3×3×(-12)+13×93√3=0,∴θ=90°,即∠DAC =90°.6.C 如图所示,设鹰的飞行速度为v 1,鹰在地面上的影子的速度为v 2,则|v 2|=40 m/s .因为鹰的运动方向与水平方向成30°角,所以|v 1|=2√32=80√33m/s .7.答案 与水流方向成120°角解析 如图,为使小船的航程最短,v 水+v 船应与河岸垂直.又|v 水|=|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1 m/s ,|v 船|=|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2 m/s ,∠ADC =90°,所以∠CAD =30°.所以小船应朝与水流方向成120°角的方向行驶.8.答案 25e ;1 000 J解析 ∵|F |=50,且F 与小车的位移方向的夹角为60°,∴F 在小车位移上的投影向量为|F |·cos 60°e =25e .∵力F 作用于小车G ,使小车G 发生了40米的位移,∴力F 做的功W =25×40=1 000(J ).9.解析 (1)船垂直到达对岸,即v 1+v 2与v 2垂直,即(v 1+v 2)·v 2=0,所以v 1·v 2+v 22=0,即|v 1||v 2|cos θ+|v 2|2=0,所以40cos θ+16=0,解得cos θ=-25. 所以当cos θ=-25时,船能垂直到达对岸. (2)设船航行到对岸所需的时间为t ,则t =d|v 1|sinθ=0.510sinθ=120sinθ(h ).故当θ=90°时,船的航行时间最短,最短时间为120h .故当船垂直到达对岸时,航行所需时间不是最短的.。

2022年高中数学选择性必修第二册5.2.3简单复合函数的导数学习目标 1.进一步运用导数公式和导数运算法则求函数的导数.2.了解复合函数的概念，掌握复合函数的求导法则．知识点复合函数的导数1．复合函数的概念一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝f(g(x))．思考函数y＝log2(x＋1)是由哪些函数复合而成的？答案函数y＝log2(x＋1)是由y＝log2u及u＝x＋1两个函数复合而成的．2．复合函数的求导法则一般地，对于由函数y＝f(u)和u＝g(x)复合而成的函数y＝f(g(x))，它的导数与函数y＝f(u)，u ＝g(x)的导数间的关系为y′x＝y′u·u′x，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．1．y＝cos 3x由函数y＝cos u，u＝3x复合而成．(√)2．函数f(x)＝sin(2x)的导数为f′(x)＝cos 2x.(×)3．函数f(x)＝e2x－1的导数为f′(x)＝2e2x－1.(√)一、求复合函数的导数例1求下列函数的导数：(1)y＝1(1－3x)4；(2)y＝cos(x2)；(3)y＝log2(2x＋1)；(4)y＝e3x＋2.解(1)令u＝1－3x，则y＝1u4＝u－4，所以y′u＝－4u－5，u′x＝－3.所以y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝12u －5＝12(1－3x )5.(2)令u ＝x 2，则y ＝cos u ，所以y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝－sin u ·2x ＝－2x sin(x 2). (3)设y ＝log 2u ，u ＝2x ＋1，则y x ′＝y u ′u x ′＝2u ln 2＝2(2x ＋1)ln 2.(4)设y ＝e u ，u ＝3x ＋2， 则y x ′＝(e u )′·(3x ＋2)′ ＝3e u ＝3e 3x ＋2.反思感悟 (1)求复合函数的导数的步骤(2)求复合函数的导数的注意点：①分解的函数通常为基本初等函数；②求导时分清是对哪个变量求导；③计算结果尽量简洁． 跟踪训练1 求下列函数的导数： (1)y ＝11－2x； (2)y ＝5log 2(1－x )； (3)y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. 解 (1)()12=12,y x --设y ＝12u -，u ＝1－2x ，则y ′x ＝()1212u 'x '⎛⎫- ⎪⎝⎭-()32212u -⎛⎫-⋅ ⎪⎝⎭＝－ ()32=12x .--(2)函数y ＝5log 2(1－x )可看作函数y ＝5log 2u 和u ＝1－x 的复合函数， 所以y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝5(log 2u )′·(1－x )′＝－5u ln 2＝5(x －1)ln 2. (3) 设y ＝sin u ，u ＝2x ＋π3，则y x ′＝(sin u )′⎝⎛⎭⎫2x ＋π3′＝cos u ·2＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. 二、复合函数与导数的运算法则的综合应用 例2 求下列函数的导数： (1)y ＝ln 3xe x ；(2)y ＝x 1＋x 2；(3)y ＝x cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2. 解 (1)∵(ln 3x )′＝13x ×(3x )′＝1x ，∴y ′＝(ln 3x )′e x －(ln 3x )(e x )′(e x )2＝1x －ln 3x e x ＝1－x ln 3x x e x.(2)y ′＝(x 1＋x 2)′＝x ′1＋x 2＋x (1＋x 2)′ ＝1＋x 2＋x 21＋x 2＝(1＋2x 2)1＋x 21＋x 2.(3)∵y ＝x cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2 ＝x (－sin 2x )cos 2x ＝－12x sin 4x ，∴y ′＝⎝⎛⎭⎫－12x sin 4x ′＝－12sin 4x －x2cos 4x ·4 ＝－12sin 4x －2x cos 4x .反思感悟 (1)在对函数求导时，应仔细观察及分析函数的结构特征，紧扣求导法则，联系学过的求导公式，对不易用求导法则求导的函数，可适当地进行等价变形，以达到化异求同、化繁为简的目的．(2)复合函数的求导熟练后，中间步骤可以省略，即不必再写出函数的复合过程，直接运用公式，从外层开始由外及内逐层求导． 跟踪训练2 求下列函数的导数：(1)y ＝sin 2x3；(2)y ＝sin 3x ＋sin x 3； (3)y ＝x ln(1＋x )．解 (1)方法一 ∵y ＝1－cos 23x2，∴y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－cos 23x 2′＝13sin 23x . 方法二 y ′＝2sin x 3cos x 3·13＝23sin x 3cos x3 ＝13sin 23x . (2)y ′＝(sin 3x ＋sin x 3)′ ＝(sin 3x )′＋(sin x 3)′ ＝3sin 2x cos x ＋cos x 3·3x 2 ＝3sin 2x cos x ＋3x 2cos x 3.(3)y ′＝x ′ln(1＋x )＋x [ln(1＋x )]′ ＝ln(1＋x )＋x 1＋x.三、与切线有关的综合问题例3 (1)曲线y ＝ln(2x －1)上的点到直线2x －y ＋3＝0的最短距离是( ) A. 5 B ．2 5 C ．3 5 D ．0 答案 A解析 设曲线y ＝ln(2x －1)在点(x 0，y 0)处的切线与直线2x －y ＋3＝0平行． ∵y ′＝22x －1，∴0=|x x y'＝22x 0－1＝2，解得x 0＝1，∴y 0＝ln(2－1)＝0，即切点坐标为(1,0)．∴切点(1,0)到直线2x －y ＋3＝0的距离为d ＝|2－0＋3|4＋1＝5，即曲线y ＝ln(2x －1)上的点到直线2x －y ＋3＝0的最短距离是 5.(2)设f (x )＝ln(x ＋1)＋x ＋1＋ax ＋b (a ，b ∈R ，a ，b 为常数)，曲线y ＝f (x )与直线y ＝32x 在(0,0)点相切．求a ，b 的值． 解 由曲线y ＝f (x )过(0,0)点， 可得ln 1＋1＋b ＝0，故b ＝－1. 由f (x )＝ln(x ＋1)＋x ＋1＋ax ＋b ， 得f ′(x )＝1x ＋1＋12x ＋1＋a ，则f ′(0)＝1＋12＋a ＝32＋a ，即为曲线y ＝f (x )在点(0,0)处的切线的斜率． 由题意，得32＋a ＝32，故a ＝0.反思感悟 (1)求切线的关键要素为切点，若切点已知便直接使用，切点未知则需先设再求．两直线平行与垂直关系与直线的斜率密切相关，进而成为解出切点横坐标的关键条件． (2)在考虑函数问题时首先要找到函数的定义域．在解出自变量的值或范围时也要验证其是否在定义域内．跟踪训练3 (1)已知函数f (x )＝k ＋ln xe x(k 为常数，e ＝2.718 28…是自然对数的底数)，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与x 轴平行，则k 的值为 ． 答案 1解析 由f (x )＝ln x ＋ke x，得f ′(x )＝1－kx －x ln xx e x，x ∈(0，＋∞)．由于曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与x 轴平行， 所以f ′(1)＝0，因此k ＝1.(2)设曲线y ＝e ax 在点(0,1)处的切线与直线x ＋2y ＋1＝0垂直，则a ＝ .该切线与坐标轴围成的面积为 ． 答案 2 14解析 令y ＝f (x )，则曲线y ＝e ax 在点(0,1)处的切线的斜率为f ′(0)， 又切线与直线x ＋2y ＋1＝0垂直，所以f ′(0)＝2. 因为f (x )＝e ax ，所以f ′(x )＝(e ax )′＝e ax ·(ax )′＝a e ax ， 所以f ′(0)＝a e 0＝a ，故a ＝2.由题意可知，切线方程为y －1＝2x ，即2x －y ＋1＝0. 令x ＝0得y ＝1；令y ＝0得x ＝－12.∴S ＝12×12×1＝14.1．(多选)函数y ＝(x 2－1)n 的复合过程正确的是( ) A ．y ＝u n ，u ＝x 2－1 B ．y ＝(u －1)n ，u ＝x 2 C ．y ＝t n ，t ＝(x 2－1)n D. t ＝x 2－1, y ＝t n答案 AD2．函数y ＝(2 020－8x )3的导数y ′等于( ) A ．3(2 020－8x )2 B ．－24x C ．－24(2 020－8x )2 D ．24(2 020－8x )2答案 C解析 y ′＝3(2 020－8x )2×(2 020－8x )′ ＝3(2 020－8x )2×(－8)＝－24(2 020－8x )2. 3．函数y ＝x 2cos 2x 的导数为( ) A ．y ′＝2x cos 2x －x 2sin 2x B ．y ′＝2x cos 2x －2x 2sin 2x C ．y ′＝x 2cos 2x －2x sin 2x D ．y ′＝2x cos 2x ＋2x 2sin 2x 答案 B解析 y ′＝(x 2)′cos 2x ＋x 2(cos 2x )′ ＝2x cos 2x ＋x 2(－sin 2x )·(2x )′ ＝2x cos 2x －2x 2sin 2x .4．已知f (x )＝ln(3x －1)，则f ′(1)＝ . 答案 32解析 ∵f ′(x )＝33x －1，∴f ′(1)＝33－1＝32.5．曲线 y ＝ln(2－x )在点(1,0)处的切线方程为 ． 答案 x ＋y －1＝0解析 ∵y ′＝－12－x ＝1x －2，∴y ′| x ＝1＝11－2＝－1，即切线的斜率是k ＝－1，又切点坐标为(1,0)．∴y ＝ln(2－x )在点(1,0)处的切线方程为y ＝－(x －1)，即x ＋y －1＝0.1．知识清单： (1)复合函数的概念． (2)复合函数的求导法则． 2．方法归纳：转化法．3．常见误区：求复合函数的导数时不能正确分解函数；求导时不能分清是对哪个变量求导；计算结果复杂化．1．(多选)下列函数是复合函数的是( ) A ．y ＝－x 3－1x ＋1B ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π4C ．y ＝1ln xD ．y ＝(2x ＋3)4答案 BCD解析 A 不是复合函数，B ，C ，D 均是复合函数， 其中B 由y ＝cos u ，u ＝x ＋π4复合而成；C 由y ＝1u ，u ＝ln x 复合而成；D 由y ＝u 4，u ＝2x ＋3复合而成． 2．函数y ＝x ln(2x ＋5)的导数为( ) A ．ln(2x ＋5)－x2x ＋5B ．ln(2x ＋5)＋2x2x ＋5C ．2x ln(2x ＋5) D.x 2x ＋5答案 B解析 ∵y ＝x ln(2x ＋5)， ∴y ′＝ln(2x ＋5)＋2x2x ＋5.3．函数y ＝x 3e cos x 的导数为( ) A ．y ′＝3x 2e cos x ＋x 3e cos x B ．y ′＝3x 2e cos x －x 3e cos x sin x C ．y ′＝3x 2e cos x －x 3e sin xD ．y ′＝3x 2e cos x ＋x 3e cos x sin x 答案 B解析 y ′＝(x 3)′e cos x ＋x 3(e cos x )′＝3x 2e cos x ＋x 3e cos x ·(cos x )′＝3x 2e cos x －x 3e cos x sin x . 4．曲线y ＝x e x－1在点(1,1)处切线的斜率等于( )A ．2eB ．eC ．2D ．1 答案 C解析 ∵y ＝x e x －1，∴y ′＝e x －1＋x e x －1， ∴k ＝y ′|x ＝1＝e 0＋e 0＝2，故选C.5．已知直线y ＝x ＋1与曲线y ＝ln(x ＋a )相切，则a 的值为( ) A ．1 B ．2 C ．－1 D ．－2 答案 B解析 设切点坐标是(x 0，x 0＋1)， 依题意有⎩⎪⎨⎪⎧1x 0＋a ＝1，x 0＋1＝ln (x 0＋a )，由此得x 0＋1＝0，x 0＝－1，a ＝2.6．函数y ＝sin 2x cos 3x 的导数是 ． 答案 y ′＝2cos 2x cos 3x －3sin 2x sin 3x 解析 ∵y ＝sin 2x cos 3x ，∴y ′＝(sin 2x )′cos 3x ＋sin 2x (cos 3x )′＝2cos 2x cos 3x －3sin 2x sin 3x .7．已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，若f (x )＝f ′⎝⎛⎭⎫π9sin 3x ＋cos 3x ，则f ′⎝⎛⎭⎫π9＝ . 答案 3 3解析 ∵f (x )＝f ′⎝⎛⎭⎫π9sin 3x ＋cos 3x ， ∴f ′(x )＝f ′⎝⎛⎭⎫π9·3cos 3x －3sin 3x ， 令x ＝π9可得f ′⎝⎛⎭⎫π9＝f ′⎝⎛⎭⎫π9×3cos π3－3sin π3 ＝32 f ′⎝⎛⎭⎫π9－3×32， 解得f ′⎝⎛⎭⎫π9＝3 3.8．点P 是f (x )＝(x ＋1)2上任意一点，则点P 到直线y ＝x －1的最短距离是 ，此时点P 的坐标为 ． 答案728⎝⎛⎭⎫－12，14解析 与直线y ＝x －1平行的f (x )＝(x ＋1)2的切线的切点到直线y ＝x －1的距离最短． 设切点为(x 0，y 0)，则f ′(x 0)＝2(x 0＋1)＝1，∴x 0＝－12，y 0＝14.即P ⎝⎛⎭⎫－12，14到直线y ＝x －1的距离最短． ∴d ＝⎪⎪⎪⎪－12－14－1(－1)2＋12＝728.9．求下列函数的导数： (1)y ＝ln(e x ＋x 2)； (2)y ＝102x ＋3； (3)y ＝sin 4x ＋cos 4x .解 (1)令u ＝e x ＋x 2，则y ＝ln u .∴y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝1u ·(e x ＋x 2)′＝1e x ＋x 2·(e x＋2x )＝e x ＋2x e x ＋x 2.(2)令u ＝2x ＋3，则y ＝10u ，∴y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝10u ·ln 10·(2x ＋3)′＝2×102x ＋3ln 10.(3)∵y ＝sin 4x ＋cos 4x ＝(sin 2x ＋cos 2x )2－2sin 2 x ·cos 2 x ＝1－12sin 2 2x ＝1－14(1－cos 4x )＝34＋14cos 4x . ∴y ′＝－sin 4x .10．曲线y ＝e sin x 在点(0,1)处的切线与直线l 平行，且与l 的距离为2，求直线l 的方程． 解 ∵y ＝e sin x ， ∴y ′＝e sin x cos x ， ∴y ′|x ＝0＝1.∴曲线y ＝e sin x 在点(0,1)处的切线方程为 y －1＝x ，即x －y ＋1＝0. 又直线l 与x －y ＋1＝0平行， 故直线l 可设为x －y ＋m ＝0. 由|m －1|1＋(－1)2＝2得m ＝－1或3.∴直线l 的方程为x －y －1＝0或x －y ＋3＝0.11．曲线y ＝e－2x＋1在点(0,2)处的切线与直线y ＝0和y ＝x 围成的三角形的面积为( )A.13B.12C.23 D ．1 答案 A解析 依题意得y ′＝e －2x·(－2)＝－2e－2x，y ′|x ＝0＝－2e－2×0＝－2.所以曲线y ＝e －2x＋1在点(0,2)处的切线方程是y －2＝－2x ，即y ＝－2x ＋2.在坐标系中作出直线y ＝－2x ＋2，y ＝0与y ＝x 的图象，如图所示．因为直线y ＝－2x ＋2与y ＝x 的交点坐标是⎝⎛⎭⎫23，23， 直线y ＝－2x ＋2与x 轴的交点坐标是(1,0)， 所以结合图象可得，这三条直线所围成的三角形的面积为12×1×23＝13.12．(多选)已知点P 在曲线y ＝4e x ＋1上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值可以是( )A.π4B.π2C.3π4D. 7π8 答案 CD 解析 因为y ＝4e x＋1， 所以y ′＝－4e x (e x ＋1)2＝－4e x e 2x ＋2e x ＋1＝－4e x ＋1e x ＋2. 因为e x >0，所以e x ＋1e x ≥2(当且仅当x ＝0时取等号)，所以y ′∈[－1,0)， 所以tan α∈[－1,0)． 又因为α∈[0，π)， 所以α∈⎣⎡⎭⎫3π4，π.13．设函数f (x )＝cos(3x ＋φ)(0<φ<π)，若f (x )＋f ′(x )是奇函数，则φ＝ . 答案 π6解析 ∵f ′(x )＝－3sin(3x ＋φ)， ∴f (x )＋f ′(x )＝cos(3x ＋φ)－3sin(3x ＋φ)，令g (x )＝cos(3x ＋φ)－3sin(3x ＋φ)，∵其为奇函数，∴g (0)＝0，即cos φ－3sin φ＝0，∴tan φ＝33， 又0<φ<π， ∴φ＝π6. 14．已知f (x )为偶函数，当x ＜0时，f (x )＝ln(－x )＋3x ，则曲线y ＝f (x )在点(1，－3)处的切线方程是 ．答案 y ＝－2x －1解析 设x ＞0，则－x ＜0，f (－x )＝ln x －3x ， 又f (x )为偶函数，所以f (x )＝ln x －3x ，f ′(x )＝1x－3，f ′(1)＝－2， 所以切线方程为y ＝－2x －1.15．已知f ⎝⎛⎭⎫1x ＝x 1＋x ，则f ′(x )等于( )A.11＋xB ．－11＋x C.1(1＋x )2D ．－1(1＋x )2答案 D解析 由f ⎝⎛⎭⎫1x ＝x 1＋x ＝11x＋1，得f (x )＝1x ＋1， 从而f ′(x )＝－1(1＋x )2，故选D. 16．(1)已知f (x )＝e πx sin πx ，求f ′(x )及f ′⎝⎛⎭⎫12；(2)在曲线y ＝11＋x 2上求一点，使过该点的切线平行于x 轴，并求切线方程． 解 (1)∵f (x )＝e πx sin πx ，∴f ′(x )＝πe πx sin πx ＋πe πx cos πx＝πe πx (sin πx ＋cos πx )．∴f ′⎝⎛⎭⎫12＝2e sin +cos 22πππ⎛⎫π ⎪⎝⎭ 2e .π=π(2)设切点坐标为P (x 0，y 0)，由题意可知0=|0.x x y'=又y ′＝－2x (1＋x 2)2， ∴0=|x x y'＝－2x 0(1＋x 20)2＝0. 解得x 0＝0，此时y 0＝1.即该点的坐标为P (0,1)，切线方程为y －1＝0.。

2022版人教A 版高中数学选择性必修第二册--5.2.2 导数的四则运算法则基础过关练题组一 导数的四则运算法则 1.函数f (x )=x 2x+3的导数f '(x )= ( )A.x 2+6x x+3B.-2x (x+3)2 C.x 2+6x(x+3)2D.3x 2+6x (x+3)22.函数y =x 2cos x 的导数为 ( ) A.y'=2x cos x -x 2sin x B.y'=2x cos x +x 2sin xC.y'=x 2cos x -2x sin xD.y'=x cos x -x 2sin x3.(2021江苏南通启东、通州高二上期末联考)已知函数f (x )=e x ln x , f '(x )为f (x )的导函数,则f '(1)的值为 ( )A.1eB.eC.1D.04.(2021河南焦作高二上期末)已知函数f (x )=e x -e2x 2, f '(x )为f (x )的导函数,若f '(a )=f (a ),则a =( )A.0B.-1C.2D.0或25.(2020浙江宁波余姚中学高二下月考)设f (x )与g (x )是定义在R 上的两个可导函数,若f (x ),g (x )满足f '(x )=g'(x ),则f (x )与g (x )满足 ( ) A.f (x )=g (x ) B.f (x )=g (x )=0C.y =f (x )-g (x )为常数函数D.y =f (x )+g (x )为常数函数6.已知函数f (x ),g (x )满足f (5)=5, f '(5)=3,g (5)=4,g'(5)=1,若h (x )=f (x )+2g (x ),则h'(5)= . 7.求下列函数的导数. (1)y =x -2+x 2; (2)y =3x e x -2x +e; (3)y =lnxx 2+1; (4)y =x 2-4sin x 2cos x 2.题组二 求导法则的综合应用8.(2021江苏南通如东高二上期末)一物体做直线运动,其位移s 与时间t 的关系是s =t 2+2t ,则物体在t =2时的瞬时速度为 ( )A.4B.6C.8D.10 9.已知函数f (x )=f '(1)+x ln x ,则f (e)= ( ) A.1+e B.e C.2+e D.310.(2021陕西宝鸡高二上期末)曲线f (x )=x 2-sin x 在点(0, f (0))处的切线方程为 ( )A.y =-xB.y =-2xC.y =-12x D.y =-13x11.(2020浙江嘉兴高三上期末)设曲线y=x+1x-2在点(1,-2)处的切线与直线ax+by+c=0(b≠0)垂直,则ab= ()A.13B.-13C.3D.-312.(2020河北保定高二上期末)设曲线f(x)=a e x-ln x(a≠0)在x=1处的切线为l,则l在y轴上的截距为()A.1B.2C.a eD.a e-113.曲线y=x3+3x2+6x-10的所有切线中,斜率最小的切线方程为.14.(2020江西南昌三中高二下期中)已知函数f(x)=x-2ln x,求曲线y=f(x)在点A(1, f(1))处的切线方程.能力提升练题组导数的四则运算法则及其应用1.(2021河南焦作高二上期末,)已知曲线y=ax b在点(-1,a)处的切线方程为8x-y+6=0,则 ()A.a=2,b=4B.a=-2,b=4C.a=8,b=1D.a=8,b=-12.(多选)()函数f(x)=x2(x+1),若f(x 0)=f'(x0),则x0的值可以为 ()A.-1B.0C.1+√3D.1-√33.(2020湖南长沙长郡中学高二上期末,)下面四个图象中,有一个是函数f(x)=13x3+ax2+(a2-1)x+1(a∈R)的导函数y=f'(x)的图象,则f(-1)= ()A.13B.-23C.73D.-13或534.()已知f'(x)是函数f(x)的导函数,且对任意的实数x都有f'(x)=e x(2x-2)+f(x)(e是自然对数的底数), f(0)=1,则 ()A.f(x)=e x(x+1)B.f(x)=e x(x-1)C.f(x)=e x(x+1)2D.f(x)=e x(x-1)25.(2021山东菏泽郓城一中高二上期末,)已知函数y=f(x),其导函数y=f'(x)满足f(x)=2xf'(e)+ln x,则f'(e)=.6.()已知函数f(x)=13x3-2x2+3x(x∈R)的图象为曲线C.(1)求曲线C上任意一点的切线的斜率的取值范围;(2)若在曲线C 上存在两条相互垂直的切线,求其中一条切线与曲线C 的切点的横坐标的取值范围. 7.()对于三次函数f (x )=ax 3+bx 2+cx +d (a ≠0),现给出定义:设f '(x )是函数f (x )的导数,f ″(x )是f '(x )的导数,若方程f″(x )=0有实数解x 0,则称点(x 0, f (x 0))为函数f (x )=ax 3+bx 2+cx +d (a ≠0)的“拐点”.经过探究发现:任何一个三次函数都有“拐点”,任何一个三次函数都有对称中心,且“拐点”就是对称中心.设函数g (x )=2x 3-3x 2+1,求g (1100)+g (2100)+…+g (99100)的值.8. ()已知函数f (x )(x ∈(0,+∞))的导函数为f '(x ),且满足xf '(x )-2f (x )=x 3e x , f (1)=e-1,求曲线y =f (x )在点(2, f (2))处的切线方程.答案全解全析基础过关练1.C f '(x )=(x 2)'(x+3)-x 2(x+3)'(x+3)2=2x (x+3)-x 2(x+3)2=2x 2+6x -x 2(x+3)2=x 2+6x(x+3)2.故选C.2. A 对函数y =x 2cos x 求导,得y'=2x cos x +x 2·(-sin x )= 2x cos x -x 2sin x.故选A.3.B ∵f (x )=e x ln x ,∴f '(x )=e x (lnx +1x ),因此, f '(1)=e .故选B .4.D 由题意得f '(x )=e x-e x ,根据条件得ea-e 2a 2=e a-e a ,解得a =0或a =2.5.C 取f (x )=x ,g (x )=x +1,满足f '(x )=g'(x ),可以验证A 、B 、D 错误;由f'(x )=g'(x ),得f '(x )-g'(x )=0,即[f (x )-g (x )]'=0,所以f (x )-g (x )=c (c 为常数),C 正确.故选C. 6.答案516解析 由题意得,h'(x )=f '(x )g (x )-[f (x )+2]g '(x )[g (x )]2,由f (5)=5, f '(5)=3,g (5)=4,g'(5)=1, 得h'(5)=f '(5)g (5)-[f (5)+2]g '(5)[g (5)]2=3×4-(5+2)×142=516. 7.解析 (1)y'=2x -2x -3. (2)y'=(ln 3+1)·(3e)x -2x ln 2. (3)y'=x 2+1-2x 2lnx x (x 2+1)2.(4)∵y =x 2-4sin x 2cos x2=x 2-2sin x , ∴y'=2x -2cos x.8.B 因为s =t 2+2t ,所以s'=2t +2,则有s't =2=2×2+2=6,即物体在t =2时的瞬时速度为6,故选B .9. A ∵f '(x )=ln x +1,∴f '(1)=ln 1+1=1, 则f (x )=1+x ln x ,∴f (e)=1+eln e=1+e .10.A f (x )=x 2-sin x 的导数为f '(x )=2x -cos x , 所以曲线f (x )=x 2-sin x 在点(0, f (0))处的切线的斜率k =2×0-cos 0=-1,又f (0)=0,所以切点为(0,0),所以切线的方程为y =-x ,故选A . 11.B 依题意得y'=x -2-(x+1)(x -2)2=-3(x -2)2,则y'x =1=-3,由于曲线y =x+1x -2在点(1,-2)处的切线与直线ax +by +c =0(b ≠0)垂直,所以(-3)·(-a b )=-1,解得a b =-13.故选B.12.A 因为函数f (x )=a e x -ln x (a ≠0), 所以f '(x )=a e x -1x,将x =1代入,得f '(1)=a e-1,又f (1)=a e,所以曲线f (x )在x =1处的切线l 的方程为y -a e=(a e-1)(x -1), 整理得y =(a e-1)x +1,令x =0,得y =1. 所以l 在y 轴上的截距为1.故选A. 13.答案 3x -y -11=0解析 ∵y'=3x 2+6x +6=3(x 2+2x +2) =3(x +1)2+3≥3,∴当x =-1时,y'最小,即此时切线的斜率最小,此时切点为(-1,-14), ∴切线方程为y +14=3(x +1), 即3x -y -11=0.14.解析 ∵函数f (x )=x -2ln x 的导函数为f '(x )=1-2x,∴曲线y =f (x )在点A (1,f (1))处的切线斜率为f '(1)=1-2=-1,又f (1)=1,∴曲线y =f (x )在点A (1, f (1))处的切线方程为y -1=-(x -1),即x +y -2=0.能力提升练1.B 将(-1,a )代入8x -y +6=0,得a =-2, 易知直线8x -y +6=0的斜率为8. 因为y'=abx b -1,所以-2b (-1)b -1=8,所以b =4.故选B . 2.BCD ∵f (x )=x 2(x +1)=x 3+x 2, ∴f '(x )=3x 2+2x ,由f (x 0)=f '(x 0),得x 03+x 02=3x 02+2x 0, 即x 0(x 02-2x 0-2)=0,解得x 0=0或x 0=1±√3.故选BCD .3.D 因为f '(x )=x 2+2ax +a 2-1,所以y =f '(x )的图象开口向上,排除②④.若y =f'(x )的图象为①,则a =0, f (-1)=53;若y =f '(x )的图象为③,则a 2-1=0,得a =±1.又y =f '(x )的图象的对称轴为直线x =-a ,所以-a >0,所以a =-1,所以f (-1)=-13. 4.D 由f '(x )=e x (2x -2)+f (x ), 得f '(x )-f (x )e x =2x -2,即[f (x )e x]'=2x -2, 所以f (x )e x=x 2-2x +c (c 为常数),所以f (x )=(x 2-2x +c )e x , 又因为f (0)=1,所以c =1,所以函数f (x )的解析式是f (x )=e x (x -1)2.故选D.易错警示已知原函数可求出唯一的导函数,已知导函数求原函数,则结论不唯一,如本题中由y'=2x -2可以得到y =x 2-2x +c (c 为常数),解题时容易将c 遗漏导致解题错误. 5.答案 -1e解析 ∵f (x )=2xf '(e)+ln x ,∴f '(x )=2f '(e)+1x,令x =e,得f '(e)=2f '(e)+1e, ∴f '(e)=-1e. 6.解析 (1)由题意得f '(x )=x 2-4x +3, 则f '(x )=(x -2)2-1≥-1,即曲线C 上任意一点的切线的斜率的取值范围是[-1,+∞).(2)设曲线C 的其中一条切线的斜率为k ,则由条件和(1)中结论可知, {k ≥-1,-1k≥-1,解得-1≤k <0或k ≥1,故由-1≤x 2-4x +3<0或x 2-4x +3≥1,得x ∈(-∞,2-√∪(1,3)∪[2+√.7.解析 依题意得,g'(x )=6x 2-6x ,g″(x )=12x -6,令g″(x )=0,解得x =12,∵g (12)=12,∴函数g (x )图象的对称中心为(12,12),则g (1-x )+g (x )=1,∵1100+99100=2100+98100=…=49100+51100=1, ∴g (1100)+g (99100)=g (2100)+g (98100)=…=g (49100)+g (51100)=1,∴g (1100)+g (2100)+…+g (99100)=[g (1100)+g (99100)]+[g (2100)+g (98100)] +…+[g (49100)+g (51100)]+g (12)=49+12=992.8.解析 ∵xf '(x )-2f (x )=x 3e x ,x ∈(0,+∞),∴xf '(x )-2f (x )x 3=e x.令g(x)=f(x),x2=e x,则g'(x)=xf '(x)-2f(x)x3=e x+c(c为常数),∴g(x)=f(x)x2∴f(x)=x2(e x+c).又f(1)=e+c=e-1,∴c=-1,∴f(x)=x2(e x-1),∴f'(x)=2x(e x-1)+x2e x=(x2+2x)e x-2x,∴f'(2)=8e2-4.又f(2)=4(e2-1),∴所求切线方程为y-4(e2-1)=(8e2-4)·(x-2),即y=(8e2-4)x-12e2+4.。

专题5.2 导数的运算1．导数的概念(1)函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数记作f ′(x 0)或0'|x x y =.f ′(x 0)＝lim Δx →0 ΔyΔx ＝lim Δx →0 f x 0＋Δx －f x 0Δx . (2)函数y ＝f (x )的导函数 f ′(x )＝lim Δx →0f x ＋Δx －f xΔx.2．导数的几何意义函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数的几何意义就是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率，相应的切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)． 3．基本初等函数的导数公式基本初等函数 导函数 f (x )＝c (c 为常数) f ′(x )＝0 f (x )＝x α(α∈Q ，且α≠0)f ′(x )＝αx α－1 f (x )＝sin x f ′(x )＝cos_x f (x )＝cos x f ′(x )＝－sin_x f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)f ′(x )＝a x ln_a f (x )＝e xf ′(x )＝e x f (x )＝log a x (a >0，且a ≠1)f ′(x )＝1x ln af (x )＝ln xf ′(x )＝1x4.导数的运算法则 若f ′(x )，g ′(x )存在，则有 [f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； [f (x )g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )；⎣⎡⎦⎤f x g x ′＝f ′x g x －f x g ′x [g x ]2(g (x )≠0)； [cf (x )]′＝cf ′(x )．5．复合函数的定义及其导数复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y ′x ＝y ′u ·u ′x ，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积． 【常用结论】1．区分在点处的切线与过点处的切线 (1)在点处的切线，该点一定是切点，切线有且仅有一条． (2)过点处的切线，该点不一定是切点，切线至少有一条．2.⎣⎡⎦⎤1f x ′＝－f ′x [f x ]2(f (x )≠0)． 6．函数的单调性与导数的关系条件 恒有 结论函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上可导 f ′(x )>0 f (x )在区间(a ，b )上单调递增 f ′(x )<0 f (x )在区间(a ，b )上单调递减 f ′(x )＝0f (x )在区间(a ，b )上是常数函数2.利用导数判断函数单调性的步骤 第1步，确定函数的定义域； 第2步，求出导数f ′(x )的零点；第3步，用f ′(x )的零点将f (x )的定义域划分为若干个区间，列表给出f ′(x )在各区间上的正负，由此得出函数y ＝f (x )在定义域内的单调性． 【常用结论】1．若函数f (x )在(a ，b )上单调递增，则x ∈(a ，b )时，f ′(x )≥0恒成立；若函数f (x )在(a ，b )上单调递减，则x ∈(a ，b )时，f ′(x )≤0恒成立．2．若函数f (x )在(a ，b )上存在单调递增区间，则x ∈(a ，b )时，f ′(x )>0有解；若函数f (x )在(a ，b )上存在单调递减区间，则x ∈(a ，b )时，f ′(x )<0有解． 7．函数的极值 (1)函数的极小值函数y ＝f (x )在点x ＝a 的函数值f (a )比它在点x ＝a 附近其他点的函数值都小，f ′(a )＝0；而且在点x ＝a 附近的左侧f ′(x )<0，右侧f ′(x )>0，则a 叫做函数y ＝f (x )的极小值点，f (a )叫做函数y ＝f (x )的极小值． (2)函数的极大值函数y ＝f (x )在点x ＝b 的函数值f (b )比它在点x ＝b 附近其他点的函数值都大，f ′(b )＝0；而且在点x ＝b 附近的左侧f ′(x )>0，右侧f ′(x )<0，则b 叫做函数y ＝f (x )的极大值点，f (b )叫做函数y ＝f (x )的极大值．(3)极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值． 8．函数的最大(小)值(1)函数f (x )在区间[a ，b ]上有最值的条件：如果在区间[a ，b ]上函数y ＝f (x )的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值．(2)求y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的最大(小)值的步骤：①求函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上的极值；②将函数y ＝f (x )的各极值与端点处的函数值f (a )，f (b )比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． 【常用结论】对于可导函数f (x )，“f ′(x 0)＝0”是“函数f (x )在x ＝x 0处有极值”的必要不充分条件．一、单选题1．下列求导结果正确的是（ ） A ．()122x x x -'=⋅ B ．1cos sin 333x x '⎛⎫=- ⎪⎝⎭ C ．1ln x x '⎛⎫= ⎪⎝⎭D ．()2sin 2sin x x '=【来源】广东省佛山市南海区狮山石门高级中学2021-2022学年高二下学期第一次大测数学试题 【答案】B【解析】A 选项：()22ln 2x x '=，故A 选项错误；B 选项：1cos sin 333x x'⎛⎫=- ⎪⎝⎭，故B 选项正确；C 选项：211x x '⎛⎫=- ⎪⎝⎭，故C 选项错误；D 选项：()2sin 2sin cos x x x '=，故D 选项错误；故选：B 2．已知函数()ln xf x x=，()()g x f x kx =-，若()g x 有两个零点，则k 的取值范围为（ ） A ．(]0,1B ．210,e ⎛⎫⎪⎝⎭C ．10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．10,2e ⎛⎫ ⎪⎝⎭【来源】山东省德州市2021-2022学年高二下学期期中考试数学试题 【答案】D 令()0g x =，则ln xkx x= ()ln x f x x=与y kx =有两个交点，则()21ln xf x x -'= 设直线与()ln x f x x =相切时，切点坐标为000ln ,x x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则斜率00201ln x k x -=则切线方程为()000020ln 1ln x x y x x x x --=- ∵切线过原点()0,0O ，代入得0000ln ln 1x x x x --=，解得0x ∵012e k =，因为()ln x f x x =与y kx =有两个交点，所以10,2e k ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭故选：D ．3．已知()()31213f x x xf '=+，则()1f '等于（ ） A ．0B ．1-C ．2D ．1【来源】青海省西宁市大通县、湟源县2021-2022学年高二下学期期末考试数学（理科）试题 【答案】B 【解析】∵()()31213f x x xf '=+， ∵()()221f x x f ''=+，∵()()1121f f ''=+，∵()11f '=-．故选：B.4．已知函数()f x 的导函数为()f x '，且()()312f x f x x '=-，则()1f '=（ ）A ．3B ．2C ．2-D ．1【来源】河南省驻马店市新蔡县第一高级中学2021-2022学年高二下学期6月份月考理科数学试题 【答案】D【解析】因为()()312f x f x x '=-，所以2()3(1)2f x f x ''=-，令x =1代入可得(1)3(1)12f f ''=⨯- 解得(1)1f '=.故选：D5．已知函数()sin f x x =，()f x '是函数()f x 的导函数，则2f π⎛⎫'= ⎪⎝⎭（ ）A．0 B ．1- C ．1 D【来源】广东省肇庆市2021-2022学年高二下学期期末数学试题 【答案】A【解析】因为()cos f x x '=，所以cos 022f ππ⎛⎫'== ⎪⎝⎭.故选：A.6．以点()1,2P -为切点的曲线()():21C y x x x =+-的切线与坐标轴围成的三角形的面积为（ ） A ．12B ．1C ．32D ．2【来源】河南省信阳市2021-2022学年高二上学期期末数学文科试题 【答案】A【解析】()()32212y x x x x x x =+-=+-，'2322y x x =+- ，所以切线的斜率为'1|1x y =-=- ，切线方程为()211y x -=-+，即1x y +=， 与x 轴y 轴的交点坐标分别为（0，1），（1，0）， 所围成的面积111122=⨯⨯= ；故选：A.7．已知函数()()42e 21x f x x --=⋅+，则()0f '=（ ）A ．2e -B ．1C ．27e -D ．29e -【答案】C【解析】()22e e x x -----'=，()()4321821x x '⎡⎤+=+⎣⎦，∵()()()4322e 21e 821x x f x x x ----'=-⋅++⋅+．当0x =时，()2220e 8e 7e f ---'=-+=．故选：C8．已知函数()f x 的导函数是f x ，且()()32133f x f x x '=-+，则()2f '=（ ）A ．1B ．2C ．12D ．24【来源】四川省眉山市2021-2022学年高二下学期期末数学（文）试题 【答案】D【解析】由题设，2()3(1)6f x f x x ''=-，故(1)3(1)6f f ''=-，可得(1)3f '=， 所以2()96f x x x '=-，故(2)946224f '=⨯-⨯=.故选：D9．若函数()f x 满足()()32113f x x x f x =--'，则()1f '的值为（ ）．A ．1B ．2C ．0D ．1-【来源】甘肃省民勤县第一中学2021-2022学年高二下学期期中考试数学（理） 试卷【答案】C【解析】()()32113f x x x f x =--'，则()()2211f x x f x ''=--，则()()11211f f ''=--，故()10f '=.故选：C.10．定义满足方程()()1f x f x '+=的实数解0x 叫做()f x 函数的“自足点”，则下列函数存在“自足点”的是（ ）A ．()23f x x =+B ．()e 1xf x =+C ．()ln f x x =D ．()e sin 3xf x x =-+【来源】云南省昭通市市直中学2021-2022学年高二下学期期末数学试题 【答案】C【解析】对于A 选项，()23f x x =+，则()2f x x '=，由()()2231f x f x x x '+=++=， 即2220x x ++=，480∆=-<，因此，()23f x x x =-不存在“自足点”，故A 不满足易于题意；对于B 选项，()e 1x f x =+，则()'e x f x =，由()()e 1+e 1x xf x f x '+=+=，得2e 0x =，又e >0x ，所以2e 0x =无解，所以()e 1xf x =+不存在“自足点”，故B 不满足题意；对于C 选项，()ln f x x =，则()1f x x'=，其中0x >，所以()()1ln 1f x f x x x'+=+=， 又()()111f f '+=，故函数()ln f x x =存在“自足点”，C 选项满足题意；对于D 选项，()e sin 3xf x x =-+，则()e cos x f x x '=-，由()()2e sin cos 31xf x f x x x '+=--+=，得2e sin cos 20x x x --+=，所以()sin cos 2e 1xx x +=+()2e 14x x π⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，4x π⎛⎫⎡+∈ ⎪⎣⎝⎭，()2e 12x +>()2e 14xx π⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭无解，D 选项不满足题意.故选：C.11．已知函数()f x 的导函数为()'f x ，且满足2()ln (1)f x x x f x '=++，则(1)f '-=（ ）A ．323B ．323-C ．4D ．4-【来源】陕西省宝鸡市渭滨区2021-2022学年高二下学期期末理科数学试题 【答案】C【解析】因为()()2ln 1f x x x f x '=++ ，所以()()1211f x f x x''=++ ， 所以()()1221f f ''=+ ，所以()12f '=- ()141f x x x'=-+ ，所以()11414f '-=-++= .故选：C. 12．已知函数()2e e xx f x -=+，则（ ）A ．()f x 为偶函数B ．()f x 在区间()1,+∞单调递减C ．()f x 的最小值为2eD ．()f x 有1个零点【来源】安徽省安庆市第二中学2021-2022学年高二下学期期末数学试题 【答案】C【解析】()f x 的定义域为R ，()()|||2|e e x xf x f x +-=+≠，A 选项不正确；当[)2,x ∞∈+时，()2e e x xf x -=+，()2222e 12ee f -=++= ，()33323e ee ef -=++=，()()3222e e e 3121e>e e 1e 1f f ++===++）（ ，即()()23f f <，不满足()f x 在区间()1,+∞单调递减，B 选项不正确；因为()()|2|||2e e x x f x f x --=+=，所以()f x 关于1x =对称，当(1,2)x ∈时，()22e e ee e xxxx f x -=+=+，令()22e e e,e ,()x g t t t t=+=∈，因为()g t 在2()e,e t ∈单调递增；而e x 在(1,2)x ∈也递增，由复合函数单调性可知，()f x 在区间(1,2)上单调递增，故()f x 在1x =处取最小值()12e f =，C 选项正确；x ∈R 时，2e 0,e 0x x ->>，所以()0f x >，所以()f x 没有零点，D 选项不正确.故选：C.13．已知函数()cos(2)6f x x π=-，则()6f π'=（ ）A ．1-B ．0C ．12D ．1【来源】吉林省长春外国语学校2021-2022学年高二下学期阶段测试数学试题 【答案】A【解析】因为()cos(2)6f x x π=-为复合函数，所以()2sin(2)6f x x π'=--，所以()2sin(2)2sin 16666f ππππ'=-⨯-=-=-，故选：A.14．已知()f x '是函数()f x 的导数，且对任意的实数x 都有()()()e 22xf x x f x -'=--，()08f =则不等式()0f x <的解集是（ ）A ．()2,4-B ．()(),02,-∞+∞C ．()(),42,-∞-+∞ D ．()(),24,-∞-+∞【来源】第02讲 一元函数的导数及其应用-【寒假自学课】2022年高二数学寒假精品课（人教A 版2019选择性必修第二册） 【答案】D【解析】设()()x g x e f x =，000)e )8((f g ==，因为()()()e 22xf x x f x -'=--，所以()()e (22)x f x f x x -'+=-，所以()e ()e ()e (()())22x x x g x f x f x f x f x x '''=+=+=-．因此2()2g x x x c =-+，(0)8g c ==，所以2()28g x x x =-++， 228()e xx x f x -++=，不等式()0f x <即为2280exx x -++< ，2280x x -->，解得2x <-或4x >．故选：D ． 15．设曲线11x y x +=-在点(32)，处的切线与直线10ax y ++=垂直，则=a A ．2 B ．12C ．12-D ．2-【答案】D 【解析】32221(1)221,|(1)(1)(31)2x x x y y x x =--+==-=-=----'',直线10ax y ++=的斜率为-a.所以a=-2, 故选D16．已知曲线ln y x x =+在点()1,1处的切线与曲线()221y ax a x =+++相切，则a =（ ） A ．4 B ．8 C ．2 D ．1【答案】B【解析】解：ln y x x =+的导数为11y x'=+， 曲线ln y x x =+在1x =处的切线斜率为2k =，则曲线ln y x x =+在1x =处的切线方程为()121y x -=-，即21y x =-.由于切线与曲线()221y ax a x =+++相切，()221y ax a x =+++可联立21y x =-，得220ax ax ++=，又0a ≠，两线相切有一切点， 所以有280a a =-=△，解得8a =.故选：B.17．若函数()22ln 45f x x x bx =+++的图象上的任意一点的切线斜率都大于0，则b 的取值范围是（ ） A ．(),8-∞- B ．()8,-+∞ C ．(),8-∞ D ．()8,+∞【答案】B【解析】因为函数()22ln 45f x x x bx =+++，定义域()0,∞+所以()28f x x b x'=++，因为()f x 图象上的任意一点的切线斜率都大于0， 所以()280f x x b x'=++>对任意的()0,x ∈+∞恒成立， 所以28b x x >--，设()28g x x x=--，则()max b g x >()228g x x '=-令()0g x '=，得到12x =，舍去负根，所以当10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '>，()g x 单调递增，当1,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0g x '<，()g x 单调递减，所以12x =时，()g x 取最大值，为()max 182g x g ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，所以8b >-，故选B.18．如图所示为函数y ＝f(x)，y ＝g(x)的导函数的图象，那么y ＝f(x)，y ＝g(x)的图象可能是( )A ．B ．C ．D ．【来源】江苏省苏州中学2021-2022学年高二下学期线上教学阶段调研（期中）数学试题 【答案】D【解析】从导函数的图象可知两个函数在0x 处斜率相同，可以排除B 答案，再者导函数的函数值反映的是原函数的斜率大小，可明显看出y =f (x )的导函数的值在减小，所以原函数应该斜率慢慢变小，排除AC ，最后就只有答案D 了，可以验证y =g (x )． 19．已知()'f x 是函数()f x 的导函数，且对于任意实数x 都有()e (21)()x f x x f x =-+'，(0)1f =-，则不等式()5e x f x >的解集为（ ） A ．(2)(3)-∞-⋃+∞，， B ．(3)(2)x --⋃+∞，， C ．(23)-，D ．(32)-，【答案】A【解析】因为()e (21)()xf x x f x =-+'，所以()21e x f x x '⎛⎫=- ⎪⎝⎭，即()2e x f x x x m =-+，亦即()()2e x f x x x m =-+，又()01f =-，所以1m =-，即有()()2e 1xf x x x =--．原不等式()5e x f x >可等价于215x x -->，即260x x -->，解得x 的取值范围是(2)(3)-∞-⋃+∞，，．故选：A ． 20．已知定义在R 上的函数()f x 和函数()g x 满足()()()2221202x f f x e x f x -⋅+-'=⋅，且()()20g x g x '+<，则下列不等式成立的是A ．()()()220172019f g g >B ．()()()220172019f g g <C ．()()()201722019g f g >D ．()()()201722019g f g <【答案】C 【解析】()()()2221202x f f x e x f x -=-'⋅+⋅，()()()221220x f x f ex f -''∴=⋅+-， 则()()()011220f f e f ''=⋅+-，()01f ∴=，()()222122x f f x e x x -∴⋅+-'=，将0x =代入函数()y f x =的解析式得()()21012f f e'==，得()212f e '=， ()222x f x e x x ∴=+-，则()42f e =.构造函数()()2xh x e g x =⋅，则()()()()()222220x x x h x e g x e g x e g x g x '''=⋅+⋅=⋅+<⎡⎤⎣⎦，所以，函数()y h x =在R 上单调递减，()()20172019h h ∴>，即()()4034403820172019e g e g >，即()()420172019g e g >，因此，()()()201722019g f g >，故选C. 二、填空题21．已知函数()f x 满足()πsin 2cos 23f x f x x ⎛⎫'=- ⎪⎝⎭，则π3f ⎛⎫'= ⎪⎝⎭___________.【来源】广东省东莞市2021-2022学年高二下学期期末数学试题【解析】因为()πsin 2cos 23f x f x x ⎛⎫'=- ⎪⎝⎭，所以()2cos 22sin 23f x f x x π⎛⎫''=+ ⎪⎝⎭，则ππ2π2ππ2cos 2sin 33333f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫'''=+=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭π3f ⎛⎫'= ⎪⎝⎭.故答案为：22．已知函数()f x 的定义域为R ，且()()2e xf x f x x -'+=，若()01f =，则函数()()f x f x '的取值范围为______．【来源】四川省峨眉第二中学校2021-2022学年高二下学期5月月考理科数学试卷 【答案】[]2,0-【解析】由()()2e xf x f x x -'+=，得()()e e 2x x f x f x x '+=，∵()e 2xf x x '⎡⎤=⎣⎦，设()2e x f x x c =+，由于()01f =，因而1c =， ∵()21e x x f x +=，()()()2222e 1e 1e ex x x x x x x f x -+-'==-， ∵()()()22212111f x x x f x x x '-=-=-+++，当0x =时，()()1f x f x '=-，当0x ≠时，[)(]2221,00,111x x x x=∈-⋃++，当1x =-时取得最小值，当1x =时取得最大值，()()'f x f x 的取值范围为[]2,0-．故答案为：[]2,0-23．已知函数3()1(R f x ax x a =++∈且12)3a -<<-的图像在点()()1,1f 处的切线与x 轴，y 轴分别交于A ，B 点，O 为坐标原点，则当OAB 面积最小时，=a ___________. 【来源】海南省琼海市嘉积中学2021-2022学年高二下学期第二次月考数学试题【答案】76-##116-【解析】由函数3()1f x ax x =++求导得：2()31f x ax '=+，则(1)31f a '=+，而(1)2f a =+，则切线AB 的方程为：(2)(31)(1)y a a x -+=+-，而123a -<<-，由0x =得：21y a =-+，由0y =得：2131a x a -=+，因此，21,2131a OA OB a a -==-++， OAB 面积225125[()]11(21)22156336||||[()]112231333333a a S OA OB a a a a +---=⋅=⋅=⋅=+--+------2520]339≥=，当且仅当25136133a a =----，即76a =-时取“=”， 所以，当OAB 面积最小时，76a =-.故答案为：76-24．已知函数32()454f x x x x =-+-，经过点(2,2)A -且与()f x 相切的两条切线，斜率之和=____________.【来源】安徽省池州市青阳县第一中学2021-2022学年高二下学期4月月考数学试题 【答案】1【解析】设切点为00(,)M x y ．2()385f x x x '=-+，则2000()385f x x x '=-+，所以32200000000()2454238522f x x x x x x x x +-+-+==-+--， 320002101680x x x -+-=，即()()2002120x x --=，01x =或02x =，()01f '=，2(2)328251f '=⨯-⨯+=，切线斜率之和(1)(2)011f f ''+=+=．故答案为：1．25．已知函数f （x ）的导函数为()'f x ，且满足关系式()()22ln 1f x x f x x=++'，则f （1）＝______． 【答案】3【解析】函数()()22ln 1f x x f x x=++'，则()()21221f x f x x x '=+-'，当1x =时，()()11212f f =+'-'，因此()11f '=， 所以()22ln f x x x x=++，则()13f =，故答案为：326．已知函数()f x 的解析式唯一，且满足()()()e ,12e xxf x f x f +=='.则函数()f x 的图象在点()()1,1f 处的切线方程为___________.【来源】福建省漳州市第三中学2021-2022学年高二下学期期末考试数学试题 【答案】3y ex e =-+【解析】由()()()'[]xf x f x xf x +='，可得()'[]e x xf x =，设()e x xf x m =+，又由()12e f =，有()1e 2e f m =+=，得e m =，可得()()()()()'22e e e 1e e e e ,,1e x x x x x xf x f x f x x x-+--+='===-，故所求切线方程为()2e e 1y x -=--，整理为e 3e y x =-+.故答案为：3y ex e =-+27．已知函数ln 03()(6)36x x f x f x x <≤⎧=⎨-<<⎩，，，，若函数()()g x f x kx =+有两个不同的零点，则实数k 的取值范围为__________. 【答案】1,e ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭【解析】依题意得()()ln ,03ln 6,36x x f x x x <≤⎧=⎨-<<⎩，设过原点的直线与ln y x =切于点()00,ln x x ，则切线斜率000ln 1x x x =，解得0e x =. 所以ln y x =与1ey x =切于点()e,1， ()0g x =即()f x kx =-，作出()y f x =的简图，由图可知，要使动直线y kx =-与()y f x =的图象有两个不同的交点， 则1e k -<，解得1e k >-.故答案为：1,e ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭.28．已知()()()212ln 212f f x x x f x ⎛⎫'=-+ ⎪⎝⎭，则()()11f f '+=______.【答案】3- 【解析】()()()212ln 212f f x x x f x ⎛⎫'=-+ ⎪⎝⎭()()()()()111'2ln 2412ln 24122f f f x x x f x x f x x x ⎛⎫''=+-⋅+=+-+ ⎪⎝∴⎭()()()()()112412121f f f f f '''⎧=-+⎪∴⎨⎪=⎩，解得()()1112f f ⎧=-⎪⎨=-'⎪⎩，()()113f f '=-+故答案为： 3-. 29．已知a ，b 为正实数，直线y =x －a 与曲线y =ln(x +b )相切于点(x 0，y 0)，则11a b+的最小值是_______________. 【答案】4【解析】对()ln y x b =+求导得1y x b'=+，因为直线y =x －a 与曲线y =ln(x +b )相切于点(x 0，y 0)， 所以011x b=+即01x b =-，所以()()00ln ln 10y x b b b =+=-+=，所以切点为()1,0b -， 由切点()1,0b -在切线y =x －a 上可得10b a --=即1b a +=，所以()1111224b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥+⎝= ⎪⎭，当且仅当12b a ==时，等号成立.所以11a b+的最小值是4.故答案为：4. 30．若直线y kx b =+是曲线ln 2y x =+的切线，也是曲线ln(1)y x =+的切线，则b =_______．【来源】四川省南充市阆中市阆中中学校2021-2022学年高二下学期期中数学（理）试题【答案】1ln2-【解析】：对函数ln 2y x =+求导得1y x '=，对ln(1)y x =+求导得11y x '=+，设直线y kx b =+与曲线ln 2y x =+相切于点111(,)P x y ，与曲线ln(1)y x =+相切于点222(,)Px y ，则1122ln 2,ln(1)y x y x =+=+，由点111(,)P x y 在切线上得()1111ln 2()y x x x x -+=-，由点222(,)P x y 在切线上得2221ln(1)()1y x x x x -+=-+，这两条直线表示同一条直线，所以，解得11111,2,ln 211ln 22x k b x x =∴===+-=-.。

5.2.1 基本初等函数的导数课标解读课标要求 素养要求1.能用导数定义求初等函数的导数；2.能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数.1.数学运算——能计算简单函数的导数； 2.直观想象——能根据图形研究导数的几何意义.自主学习·必备知识教材研习教材原句要点一 常用函数的导数1.函数y =f(x)=c 的导数 因为ΔyΔx =f(x+Δx)−f(x)Δx=c−c Δx=0 ，所以y ′=limΔx→0ΔyΔx=lim Δx→00= ① 0 .2.函数y =f(x)=x 的导数 因为Δy Δx=f(x+Δx)−f(x)Δx=(x+Δx)−xΔx=1 ，所以y ′=limΔx→0ΔyΔx=lim Δx→01= ② 1 .3.函数y =f(x)=x 2 的导数 因为ΔyΔx =f(x+Δx)−f(x)Δx=(x+Δx)2−x 2Δx=x 2+2x⋅Δx+(Δx)2−x 2Δx=2x +Δx ，所以y ′=limΔx→0ΔyΔx=lim Δx→0(2x +Δx)= ③ 2x .4.函数y =f(x)=x 3 的导数 因为ΔyΔx =f(x+Δx)−f(x)Δx =(x+Δx)3−x 3Δx=x 3+3x 2⋅Δx+3x⋅(Δx)2+(Δx)3−x 3Δx=3x 2+3x ⋅Δx +(Δx)2 ，所以y ′=limΔx→0ΔyΔx=lim Δx→0[3x 2+3x ⋅Δx +(Δx)2]= ④ 3x 2 .5.函数y =f(x)=1x 的导数 因为ΔyΔx =f(x+Δx)−f(x)Δx =1x+Δx −1xΔx =x−(x+Δx)x(x+Δx)Δx =−1x 2+x⋅Δx ，所以y ′=limΔx→0ΔyΔx=lim Δx→0(−1x 2+x⋅Δx )= ⑤ −1x 2 .6.函数y =f(x)=√x 的导数 因为ΔyΔx =f(x+Δx)−f(x)Δx=√x+Δx−√xΔx=√x+Δx−√x)(√x+Δx+√x)Δx(√x+Δx+√x)=√x+Δx+√x，所以y ′=lim Δx→0ΔyΔx=lim√x+Δx+√x⑥ 2√x . 要点二 基本初等 函数的导数公式1.若f(x)=c（c为常数），则f′(x)=0；2.若f(x)=xα(α∈Q，且α≠0)，f′(x)=⑦αxα−1；3.若f(x)=sin x，则f′(x)=⑧cos x；4.若f(x)=cos x，则f′(x)=⑨−sin x；5.若f(x)=a x(a>0，且a≠1)，则f′(x)=⑩a x lna；特别地，若f(x)=e x，则f′(x)=⑪e x；6.若f(x)=loga x(a>0，且a≠1)，则f′(x)=⑫1xlna；特别地，若f(x)=lnx，则f′(x)=⑬1x.自主思考1.由y=x的导数猜想y=kx（k是常数）的导数是什么.答案：提示y=kx（k是常数）的导数为y′=k.2.求正弦曲线y=sin x在x=0处的切线方程.答案：提示由f′(x)=cos x，得f′(0)=1，故曲线y=sin x在x=0处的切线方程为y= x.名师点睛1.导函数概念：一般地，如果一个函数f(x)在区间(a,b)上的每一点处都有导数，导数值记为f′(x)=limΔx→0f(x+Δx)−f(x)Δx，则f′(x)是关于x的函数，称f′(x)为f(x)的导函数，通常也简称为导数.2.关于导数的有关概念的辨析注意“函数f(x)在x=x0处的导数”“导函数”“导数”三者之间的区别与联系：（1）导函数也简称导数.（2）函数f(x)在x=x0处的导数f′(x0)是一个数值，不是变量.3.对于基本初等函数的导数公式不要求推导证明，只要求记住基本初等函数的导数公式并能用于解题，如能运用导数公式求位移时间函数的瞬时速度和切线斜率等.互动探究·关键能力探究点一简单函数的导数公式与应用1.下列关于常数函数的导数的叙述正确的是( )A.若y=3，则y′=3B.若y′=3，则y=3C.若y=3，则y′=0D.若y′=0，则y=3答案：C2.已知函数f(x)=2−3x，则f′(0)的值为( )A.1B.2C.3D.-3答案：D3.函数y=x3的图象在原点处的切线方程为( )A.y=xB.y=−xC.y=0D.x=0答案：C4.函数y=1x的图象在x=1处的切线斜率为，切线与坐标轴围成的三角形的面积为.答案：-1; 2解析：函数y=1x 的导数为y′=−1x2，函数y=1x的图象在x=1处的切线斜率为k=−1x2|x=1=−1，切线方程为y−1=−(x−1)，即y=−x+2，切线与坐标轴围成的三角形的面积为S=12×2×2=2.解题感悟简单函数的导数公式及其应用（1）利用常用函数的导数公式可以计算函数在任意一点处的瞬时变化率，即导数.（2）利用常用函数的导数公式可以计算函数的图象在任意一点处的切线斜率与切线方程.（3）求函数f(x)在x=x0处的导数时，先计算导数f′(x)，再将x=x0代入，求值得到f′(x0).探究点二三角函数的导数公式与应用精讲精练例正弦曲线y=sin x在x=π2处的切线斜率为，切线方程为.答案：0; y=1解析：因为y=sin x的导数为y′=cos x，所以正弦曲线y=sin x在x=π2处的切线斜率为y′|x=π2=cosπ2=0，切线方程为y=1.变式1（2021山东烟台一中高二质检）余弦曲线y=cos x在x=π2处的切线斜率为，切线方程为.答案：-1; y=−x+π2解析：因为y=cos xy′|x=π2=−sinπ2=−1的导数为y′=−sin x，所以余弦曲线y=cos x在x=π2处的切线斜率为，所以余弦曲线在点(π2,0)处的切线方程为y=−x+π2.变式2如何求正弦曲线y=sin x的切线斜率的取值范围？答案：因为y=sin x的导数为y′=cos x，所以正弦曲线y=sin x在任意一点处的切线斜率的取值范围是y′=cos x的值域，即[−1,1].解题感悟1.掌握三角函数的导数公式(sin x)′=cos x，(cos x)′=−sin x，注意符号是易错点.2.记住特殊角的三角函数值，理解三角函数图象在某一点处的切线斜率等于对应导数在该点处的函数值.迁移应用1.计算limΔx→0sin(π3+Δx)−√32Δx=.答案：122.（2021山东枣庄高二质检）已知余弦曲线y=cos x在x=x0处的切线为l，切线l的斜率的最大值为；若l平行于x轴，则x0的值为.答案：1; kπ,k∈Z解析：因为y=cos x的导数为y′=−sin x，且−1≤−sin x≤1，所以切线l的斜率k=−sin x0的最大值为1，若l平行于x轴，则切线斜率为0，即−sin x0=0，x0的值为kπ,k∈Z.探究点三指数函数与对数函数的导数公式与应用精讲精练类型1 指数函数的导数公式与应用例1函数y=e x的图象在点P(0,1)处的切线斜率为，切线方程为. 答案：1; y=x+1解析：因为函数y=e x的导数为y′=e x，所以曲线y=e x在点P(0,1)处的切线斜率为k= y′=e x|x=0=1，切线方程为y=x+1.变式1-1函数y=2x的图象在点P(0,1)处的切线斜率为，切线方程为.答案：ln2; y=xln2+1解析：因为函数y=2x的导数为y′=2x ln2，所以曲线y=2x在点P(0,1)处的切线斜率为k=y′=2x ln2|x=0=ln2，切线方程为y−1=(ln2)(x−0)，即y=xln2+1.变式1-2e x与x+1的大小关系为.答案：e x≥x+1解析：易知函数y=e x的图象在点(0,1)处的切线方程为y=x+1，作出函数图象，如图所示，显然e x≥x+1.解题感悟1.掌握指数函数y=a x(a>0,a≠1)的导数公式y′=a x lna. 特别地，指数函数y=e x的导数公式是其本身，即(e x)′=e x.2.指数函数为单调函数，根据函数图象可知，指数函数的图象在任意一点的切线与指数函数的图象只有一个公共点，即切点.类型2 对数函数的导数公式与应用例2已知函数y=lnx的图象为曲线C.（1）求曲线C在点(1,0)处的切线方程；（2）求经过原点且与曲线C相切的直线的方程.答案：（1）函数y=lnx的导数为y′=1x，函数图象在点(1,0)处的切线斜率为k=1，所以切线方程为y=x−1.（2）设曲线C:y=lnx上切点的坐标为P(x0,lnx0)，则切线斜率为k=y′|x=x0=1x0，所以切线方程为y−lnx0=1x0(x−x0)，由于切线经过原点，所以−lnx0=1x0(−x0)=−1，解得x0=e，所以切线方程为y−lne=1e (x−e)，即y=1ex.变式2-1若本例函数不变，函数图象是否存在倾斜角是30∘的切线？若存在，求出切线方程；若不存在，请说明理由.答案：假设函数y=lnx的图象存在倾斜角是30∘的切线，切点的坐标为(x0,lnx0)，依题意，得k=1x0=√33，解得x0=√3，切点坐标为(√3,ln√3)，所以切线方程为y−ln√3=√33(x−√3)，即y=√33x+ln√3−1.解题感悟（1）注意对数函数的定义域是(0,+∞)，所以对数函数图象的切点都在y轴右侧；（2）自然对数函数f(x)＝lnx的导数是有理函数，该函数图象的切线以及单调性问题是考查的重点.迁移应用1.（2021山东东营一中高二质检）已知f(x)=log2x，则f(3)+f′(1)=( )A.2B.ln2C.log23+ln2D.log2(3e)答案：D解析：已知f(x)=log2x，则f′(x)=1xln2，所以f(3)+f′(1)==log23+1ln2=log23+log2e=log2(3e).2.求经过原点且与函数y=e x的图象相切的直线方程.答案：设函数y=e x图象上的切点坐标为(x0,e x0)，切线斜率为k=e x0，切线方程为y−e x0=e x0(x−x0)，因为切线经过原点，所以0−e x0=e x0(0−x0)，解得x0=1，所以切线方程为y−e=e(x−1)，即y=ex.评价检测·素养提升课堂检测1.函数f(x)=log3x的导数为A.f′(x)=1x B.f′(x)=1xlog3eC.f′(x)=1xlge D.f′(x)=1xln3答案：D2.（2021辽宁锦州高二质检）已知函数f(x)=log a x(a＞0,a≠1)的图象经过点(e,1)（e是自然对数的底数），则f(1)+f′(1)=( )A.0B.1C.2D.e答案：B3.（多选）下列导数运算正确的是( )A.(3)′=3B.(3x)′=3C.(x3)′=3x3D.(√x)′=2√x＞0)答案：B; D4.函数y=sin x的图象在x=x0处的切线的倾斜角为45∘，则x0=.答案：2 kπ,k∈Z5.已知函数f(x)=1x，且f′(a)−f(a)=−2，则a=.答案：1或−12解析：由f(x)=1x，得f ′(x)=−1x2 ，∴f ′(a)=−1a2 ，∴f ′(a)−f(a)=−1a 2−1a ， ∴1a2+1a=2 ，解得a =1 或−12. 素养演练直观想象——利用数形结合法求参数的取值范围1.（2021海南海口高二检测）已知k 为常数，函数f(x)={x+2x−1,x ≤0,|lnx|,x ＞0, 若关于x 的函数g(x)=f(x)−kx −2 有4个零点，则实数k 的取值范围为 . 答案：(0,1e 3)解析：审：已知分段函数以及函数的零点个数，求参数的取值范围.联：将函数的零点转化为方程的根，再构造函数，结合函数的图象，由曲线的切线确定直线的位置，从而求得参数的解.因为函数g(x)=f(x)−kx −2 有4个零点，所以方程f(x)−kx −2=0 即f(x)=kx +2 有4个不等实根，所以曲线y =f(x) 与直线y =kx +2 有4个不同的交点，在同一坐标系中作出y =f(x) 与y =kx +2 的图象，如图，结合图象可知k ① ＞0 .当x ≤0 时，y =x+2x−1=1+3x−1 单调递减，其图象与直线y =kx +2 有② 1 个交点，所以当x＞0时，函数f(x)的图象与直线有3个交点，当x＞1时，若函数f(x)的图象与直线相切，设切点坐标为P(x0,lnx0)，则k=f′(x0)=1x0，所以切线方程为y−lnx0=③1x0(x−x0)，又因为点(0,2)在切线上，所以2−lnx0=1x0(0−x0)，解得x0=e3，所以k=④1e3，由函数的图象知g(x)=f(x)−kx−2有4个零点，则需满足0＜k＜1e3，故答案为(0,1e3).思：解决函数的零点个数与参数问题的方法技巧：（1）如果对应的方程可解，通过解方程即可得出参数的值或取值范围.（2）若方程不易解或不可解，则将问题转化为两个函数，利用两个函数图象的公共点求解，这样会使得问题变得直观、简单，体现了数形结合的思想方法.（3）直观想象既是一种重要的数学素养，也是常用的解题途径和方法.迁移应用1.（2021山东聊城一中高二质检）已知曲线C：y=x2，点A(0,−1)及点B(2，a），从点A观察点B，为了让视线不被曲线C挡住，则实数a的取值范围是( )A.a＜1B.a＜2C.a＜3D.a＜4答案：C解析：在曲线C：y=x2上取一点D(x0,x02)(x0＞0)，∵y=x2,∴y′=2x,y′|x=x=2x0.令k AD=x02+1x0=2x0，得x0=1，此时AD所在直线与曲线C相切，点D(1,1)为切点，k AD= 2，所以AD所在直线的方程为y=2x−1.如图，要满足视线不被曲线C挡住，则实数a＜2×2−1=3.课时评价作业 基础达标练1.下列导数运算正确的是( ) A.(cos x)′=sin x B.(sin x)′=−cos x C.(log 2x)′=1x D.(lgx)′=lge x答案：D2.已知函数f(x)=3x 的导数为f ′(x) ，则f ′(log 32)= ( ) A.ln9 B.log 32 C.ln3 D.2 lg3 答案：A3.（2021北京海淀高二质检）计算lim Δx→0sin(Δx)Δx= ( )A.0B.1C.-1D.±1 答案：B4.（2021辽宁营口高二检测）曲线y =1x 的切线的倾斜角的取值范围是( ) A.(0,π2) B.(π4,π2)C.(π2,π) D.(π4,3 π4)答案：C5.下列函数的导数与函数y =x 2 的导数相等的是( ) A.y =2x B.y =x +2 C.y =x 2+1 D.y =x 2+x 答案：C6.（多选）下列命题正确的是( ) A.若f(x)=sin x ，则f ′(π2)=0B.若f(x)=sin π6 ，则f ′(x)=√32C.若f(x)=cos x ，则f ′(π6)=−12D.若f(x)=cos π6 ，则f ′(x)=−12 答案：A ; C解析：若f(x)=sin x ，则f ′(x)=cos x,f ′(π2)=0 ，选项A 正确； 若f(x)=sin π6=12 ，则f ′(x)=0 ，选项B 错误；若f(x)=cos x，则f′(x)=−sin x,f′(π6)=−12，选项C正确；若f(x)=cosπ6=√32，则f′(x)=0，选项D错误.故选AC.7.（多选）（2021山东泰安一中高二质检）已知f(x)=cos x,g(x)=x，下列满足f′(x)+ g′(x)=0的x的值为( )A.π2B.πC.3 π2D.5 π2答案：A; D解析：由f(x)=cos x,g(x)=x，得f′(x)=−sin x,g′(x)=1，结合题意得sin x=1，解得x=2kπ+π2,k∈Z，故选项A、D符合题意.8.（2021辽宁沈阳一中高二质检）若函数y=x n在x=2处的导数为12，则整数n的值为.答案：39.（2020天津河东高二质检）已知函数f(x)=2x，f(0)+f′(0)=a，则e a的值为. 答案：2e10.（2021山东淄博高二模拟）已知直线3x−y−b=0与函数f(x)=lnx的图象相切，则切点的横坐标为，实数b=.答案：13; ln(3e)解析：设直线3x−y−b=0与函数f(x)=lnx的图象相切于点P(x0,lnx0)，则切线斜率为k=f′(x0)=1x0=3，得x0=13，点P(13,ln13)，故切线方程为y−ln13=3(x−13)，即3x−y−ln(3e)=0，所以b=ln(3e).素养提升练11.下列说法不正确的是( )A.常数函数的导数都是0B.常数函数图象的切线平行于x轴C.正比例函数图象上不同两点处的切线斜率不相等D.在正比例函数图象上任意一点处的切线都是原直线答案：C解析：常数函数的图象都是水平直线，导数都是0，选项A 说法正确；由导数的几何意义知，选项B 说法正确；正比例函数图象上任意一点处的切线斜率都相等，且切线都是直线本身，选项C 说法错误，选项D 说法正确.12.（2021辽宁抚顺一中高二质检）若曲线y =x 4 的一条切线l 与直线x +4y −8=0 垂直，则l 的方程为( )A.4x −y +3=0B.x +4y −5=0C.4x −y −3=0D.x +4y +3=0答案：C解析：设切线l 与曲线的切点坐标为(x 0,y 0) ，得切线斜率为k =y ′|x=x 0=4x 03 ，由直线l 与直线x +4y −8=0 垂直，得4x 03=4 ，解得x 0=1 ，故切点坐标为(1,1)，则l 的方程为y −1=4(x −1) ，即4x −y −3=0 .故选C.13.计算lim Δx→03Δx −1Δx = .答案：ln3解析：由导数的意义，得lim Δx→03Δx −1Δx =lim Δx→030+Δx −30Δx =(3x )′|x=0=3x ln3|x=0=ln3 .14.（2021天津和平高二质检）设曲线y =x n+1(n ∈N ∗) 在点(1,1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为x n ，令a n =lgx n ，则a 1+a 2+⋯+a 99 的值为 .答案：-2解析：∵y =x n+1,∴y ′=(n +1)x n ,y ′|x=1=n +1 ，∴ 曲线在点(1,1)处的切线方程为y −1=(n +1)(x −1) .令y =0 ，得x n =1−1n+1=n n+1 ，故a n =lgx n =lg n n+1=lgn −lg(n +1) ，∴a 1+a 2+⋯+a 99=(lg1−lg2)+(lg2−lg3)+⋯+(lg98−lg99)+(lg99−lg100)=lg1−lg100=−2 .15.试比较曲线y =x 2 与y =1x 在它们交点处的切线的倾斜角的大小，并说明理由.答案：解方程组{y =x 2,y =1x ,.得{x =1,y =1, 即两条曲线的交点坐标为(1,1). 对于函数y =x 2,y ′=2x ，所以曲线y =x 2 在交点(1,1)处的切线l 1 的斜率k 1=2 ； 对于函数y =1x ,y ′=−1x 2 ，所以曲线y =1x 在交点(1,1)处的切线l 2 的斜率k 2=−1 . 由于k 1＞0,k 2＜0 ，所以切线l 1 的倾斜角α1 是锐角，切线l 2 的倾斜角α2=135∘ ，所以α1＜α2 .创新拓展练16.（2021山东济宁梁山一中高二质检）已知函数f(x)=lnx的图象与y=g(x)的图象关于直线y=x对称.（1）求f′(1)+g′(0)的值；（2）分别求函数y=f(x),y=g(x)的图象经过原点的切线方程.解析：命题分析本题考查对数函数与指数函数的对称关系，考查导数的运算和几何意义，是高考考查的重点内容之一.答题要领（1）先求出函数y=g(x)的解析式，再计算导数.（2）先设出切点坐标，求导数得到切线斜率，再表示出切线方程.答案：（1）因为函数f(x)=lnx的图象与y=g(x)的图象关于直线y=x对称，所以f(x)=lnx与y=g(x)互为反函数，所以g(x)=e x.由于f′(x)=(lnx)′=1x,g′(x)=(e x)′=e x，所以f′(1)+g′(0)=2.（2）设函数y=f(x)=lnx的图象的切点坐标为P(x0,lnx0)，则切线斜率为k=1x0，切线方程为y−lnx0=1x0(x−x0)，由于切线经过原点，所以−lnx0=−1，解得x0=e，故切点P(e,1)，所以切线方程为y=1ex.同理，求得函数y=g(x)=e x的图象经过原点的切线方程为y=ex.方法感悟指数函数与对数函数的关系与导数运算：1.指数函数y=a x与对数函数y=log a x(a＞0，且a≠1)互为反函数，二者图象关于直线y=x对称.2.求指数函数和对数函数图象上任意一点处的切线方程的方法步骤：先设出切点的坐标，再计算函数的导数，得到切线斜率，最后利用点斜式方程表示出切线方程.。

5.2 导数的运算【题组一 初等函数求导】1．（2018·全国高二课时练习）求函数()2y f x x x==+在下列各点处的导数． （1）0x x =； （2）1x =； （3）2x =-．【答案】(1) 2021x -+ (2)-1 (3) 12【解析】∵()2f x x x =+，∴()221f x x=-'+． （1）当0x x =时，()02021f x x =-'+． （2）当1x =时，()221111f '=-+=-． （3）当2x =-时，()()2212122f -=-+=-'．2．求下列函数的导数：(1)y =；(2)cos 2y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭；(3)xy =.【答案】（1）1232x ；（2）cos x ；（3）1ln 32x【解析】(1)y′＝(32x )′＝1232x(2)∵y ＝cos ＝sin x ，∴y′＝(sin x)′＝cos x.(3)y′＝[()x]′＝()xln＝()13ln32x.3．（2020·海林市朝鲜族中学高二课时练习）求下列函数的导数：(1)cos y x=； (2)2311y x x x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭. 【答案】（1）（2）2332x x-【解析】(1)y′＝′＝′cos x ＋ (cos x)′＝′cos x －sin x ＝－x －cos x －sin x ＝－－sin x ＝－.(2)∵y ＝x ＝x 3＋1＋，∴y′＝3x 2－.4．（2020·海林市朝鲜族中学高二课时练习）求下列函数的导数. (1)()3411632f x x x =-+； (2)f(x)=(5x -4)cos x; (3)()ln xf x x=. 【答案】（1）232x x -；（2）5cos 5sin 4sin x x x x -+；（3）21ln xx- 【解析】(1)∵()3411632f x x x =-+，∴()23'2f x x x =-． (2)∵f(x)=(5x -4)cos x ，∴()()'5x 4cos?x '5cos 5sin 4sin f x x x x x ⎡⎤=-=-+⎣⎦．(3)∵()ln xf x x =，∴()()221ln x lnx lnx x f x x x '--==，． 【题组二 复合函数求导】1．（2020·宁县第二中学高二期中（理））求下列函数的导数：（1）cos3xy = （2）n xy x e =【答案】（1）'1sin33x y =-；（2）()'1x n y e x x n -=+ 【解析】（1）cos 3x y =，∴''1sin sin 3333x x xy ⎛⎫=-⋅=- ⎪⎝⎭. （2）n x y x e =，∴()'11n x n x x n y nx e x e e x x n --=+=+2．（2020·江苏徐州·高二月考）求下列函数的导数. （1）()ln xf x x=（2）()()239f x x x x ⎛⎫=+-⎪⎝⎭（3）()()2ln 51xf x x =+-【答案】（1）()'21ln x fx x -=；（2）()'222736f x x x =++；（3）()'52ln 251xf x x =+- 【解析】（1）()'''22(ln )ln ()1ln x x x x xf x x x⋅-⋅-==；（2）()()''239f x x x x ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭()'239x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭ 2222233272()(9)(1)2639x x x x x x x x =-+++=-++++=222736x x ++； （3）()()''12ln 25151x fx x x =+⨯-=-52ln 251x x +-. 3．（2020·江苏省如东高级中学高二期中）求下列函数的导函数. （1）()521y x =+（2）1log 32ay x =+ 【答案】（1）410(21)y x '=+；（2）3(32)ln y x a'=-+【解析】（1）445(21)210(21)y x x '=+⨯=+；（2）log (32)a y x =-+，133(32)ln (32)ln y x a x a'=-⨯=-++．4．（2020·陕西泾阳·高二期中（理））求下列函数的导数： （Ⅰ）2sin y x x =；（Ⅱ）)22y =.【答案】（Ⅰ）22sin cos y x x x x '=+（Ⅱ）1y'= 【解析】（Ⅰ）()()222sin sin 2sin cos y x x x x x x x x '''=+=+.（Ⅱ）))222221y ''===-. 5．（2020·长春兴华高中高二期末（文））求下列函数的导数：（1）sin xy e x = ；（2）y ＝2311x x x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭； （3）sincos 22x y x x =-； 【答案】（1）y ′＝e x sinx ＋e x cosx .（2）y ′＝3x 2－32x.（3）y ′＝1－12cosx . 【解析】（1）y ′＝(e x )′sinx ＋e x (sinx )′＝e x sinx ＋e x cosx ..（2）因为y ＝x 3＋21x ＋1，所以y ′＝3x 2－32x. （3）因为y ＝x －12sinx ，所以y ′＝1－12cosx . 6．（2020·江西南昌·高二期末（理））求出下列函数的导数． （1）tan xy e x ＝ （2）()3ln 45y x +＝（3）2311y x x x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭（4）y ＝sin nx x（5）()5221x y e x ++﹣＝【答案】（1）'2tan cos x xe y e x x=+；（2）'1245y x =+；（3）'2332x y x =-； （4）'1cos sin n x x n x y x+-=；（5）()4'29221()x y x x e +=+﹣﹣ 【解析】（1）由tan xy e x =，则()''2'tan tan t cos ()an x x xxe y e x e x e x x+==+， 即'2tan cos xxe y e x x=+（2）由3ln 45y x +=（），则'1245y x =+（3）由2323111y x x x x x x ⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭﹣，则'2332xy x =-， （4）由sin n x y x =，则'1cos sin n x x n x y x+-=， （5）由()5221x y e x +=+﹣，则()4'29221()x y x x e +=+﹣﹣． 【题组三 求导数值】1．（2020·四川高二期中（理））已知()sin 2f x x =，则()()limx f x x f x x∆→+∆-=∆（ ）A ．cos2xB ．cos2x -C ．2cos2xD ．2cos2x -【答案】C【解析】由()()()()0limcos 222cos 2x f x x f x f x x x x∆→+∆-'==⋅=∆.故选：C.2．（2020·江西高二期末（理））若函数()f x 的导数()f x '满足()()121ln f x f x x '=+，则12f ⎛⎫'= ⎪⎝⎭（ ）A ．eB ．2C ．1D ．0【答案】D【解析】∵()()121ln f x f x x'=+，∴()()21121f x f x x ''=⨯-，令1x =，可得(1)2(1)1f f ''=-，解得(1)1f '=，因此()221f x x x '=-，14402f ⎛⎫'∴=-= ⎪⎝⎭，故选：D 3．（2020·四川省南充市白塔中学高二开学考试（文））已知函数()f x 的导函数为()f x '，且满足关系式()()232x f x x xf e '=++，则()2f '的值等于（ ）A ．2-B ．222e -C ．22e -D ．222e --【答案】D【解析】依题意()()''232xf x x f e =++，令2x =得()()''22432f f e =++，()2'222e f =--，故选D.4．（2020·四川棠湖中学高二月考（文））若函数f (x )满足f (x )＝13x 3－f ′(1)·x 2－x ，则f ′(1)的值为( ) A ．1 B ．2 C ．0D ．－1【答案】C 【解析】依题意()()'3'211fx x f x =--，令1x =得()()''11211f f =--，解得()'10f =，故选C.5．（2020·河南商丘·高二期末（理））已知函数()()2ln 31f x x x f x '=-+，则()1f =（ ）A ．2B ．1C ．0D ．1-【答案】D【解析】因为()()2ln 31f x x x f x '=-+，则()()1321f x f x x''=-+， 所以()()'1132'1f f =-+，则()12f '=，所以()2ln 32f x x x x =-+，所以()1ln1321f =-+=-.故选：D.6．（2020·江西高二期末（文））已知函数()f x 的导函数为()f x '，且满足()()2322f x x xf '=+，则()2f '=______. 【答案】12-【解析】因为()()2322f x x xf '=+，所以()()622f x x f ''=+，将2x =代入得()()21222f f ''=+，解得()212f '=-，故答案为：12-.7．（2020·四川内江·高二期末（文））已知2()x f x e x =+，则(1)(1)f f '+=________．【答案】23e +【解析】因为2()xf x e x =+，所以()2xf x e x '=+所以(1)1,(1)2f e f e '=+=+所以(1)(1)23f f e '+=+.故答案为：23e +. 【题组四 求切线方程】1．（2020·湖南高二期末）曲线sin x xy e=在点()0,0处的切线方程为______.【答案】0x y -=【解析】因为()cos sin x xxe x xef x e-'=，所以切线斜率()01k f '==，所以曲线()sin xf x e x =在点()0,0处的切线方程为：0x y -=.故答案为：0x y -=2．（2020·江西高二期末（理））已知函数()xxf x e ae -=+为偶函数，则()f x 在其图象上的点()()ln3,ln3f 处的切线的斜率为______．【答案】83【解析】函数()xxf x e ae -=+为偶函数，()()f x f x ∴-=，即x x x x e ae e ae --+=+，解得1a =，则'()x x f x e e -=-，∴()f x 在点()()ln3,ln3f 处的切线的斜率ln3ln318'(ln 3)333kf e e.故答案为：83.3．（2020·陕西西安·高新一中高三期末（文））曲线(sin )e xy x x =+在点(0,0)处的切线方程为________.【答案】2y x =【解析】0(sin cos 1)e ,|2xx y x x x y =''=+++=,所以切线方程为2y x =.故答案为:2y x =.4．（2020·重庆八中高三月考）已知函数()f x 为奇函数，当0x >时，3()ln =- f x x x ，则曲线()y f x =在点(1,(1))-- f 处的切线方程为________.【答案】210x y -+=【解析】∵函数()f x 是奇函数，()()f x f x ∴-=-， 当0x >时，3()ln =- f x x x ，不妨设0x <，则0x ->， 故()3()ln () f x xx f x -=---=-，故0x <时，()3()ln f x x x +=-，故'2()31 f x x x=+，故(1)1ln11 f -+=-=-，'(1)312 f -=-=，故切线方程是：2(1)1y x =+-，整理得：210x y -+=，故答案为：210x y -+=．5．（2020·重庆高三期中（文））曲线()2ln 2f x x x =-在点()()1,1f 处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为____________.【答案】16【解析】()2ln 2f x x x =-，()()'14,0f x x x x∴=->， ()'13f ∴=-，12f ，∴切线方程为：()231y x +=--即31y x =-+，当0x =，时1y =，当0y =，时13x =， ∴三角形面积为：1111236⨯⨯=.故答案为：16. 6．（2020·五华·云南师大附中高三月考（理））曲线()21ln y x x =+在()1,0处的切线方程为______.【答案】220x y --=【解析】2n '12l x x x xy +=+，当1x =时，切线斜率'2k y ==，故切线方程为()21y x =-，即220x y --=.故答案为：220x y --=7．（2020·江西高三月考（理））1()e x f x -=+的图像在1x =处的切线方程为________．【答案】210x y -+=【解析】112()e 2x f x x -=+，则()112x f x e x --'=+，且()12f '=()13,f =∴切线方程为()321y x -=-，即210x y -+=故答案为：210x y -+=8．（2020·五华·云南师大附中高三月考（文））过原点与曲线ln y x =相切的切线方程为______． 【答案】x y e= 【解析】设切点坐标为()00,x y ，切线方程为y kx =，由ln y x =，则1y x'=，则001|x x y x ='=， 则0001y x x =，即000ln 1x x x =，即0ln 1x =，解得0x e =，所以01|x x k y e='==， 所以原点与曲线ln y x =相切的切线方程为x y e=． 故答案为：x y e= 9．（2020·黑龙江萨尔图·大庆实验中学高二期末（文））已知()2f x x =，则曲线()y f x =过点()1,0P -的切线方程是______．【答案】0y =或440x y ++=【解析】设切点为(,)m n ，2()f x x =的导数为()2f x x '=，可得切线的斜率为2k m =， 又20211n m m m m -==++，解得0m =或2m =-， 当0m =时，0k =；2m =-时，4k =-；曲线()y f x =过点(1,0)P -的切线方程为(1)y k x =+，则切线的方程为0y =或44y x =--．故答案为：0y =或44y x =--．10．（2020·黑龙江道里·哈尔滨三中（文））过函数()33f x x x =-上的点()2,2M --的切线方程是_________.【答案】2y =-或9160x y -+=【解析】因为()233f x x ='- 设切点为00,x y ，则()20033k f x x '==-， 所以切线方程为：()()()320000333y x x x x x --=--， 因为()2,2M --在切线方程上，所以()()()32000023332x x x x ---=---，解得：01x =或02x =-. 当01x =时，20330k x =-=，此时切线方程为2y =-；当02x =-时，20339k x =-=，此时切线方程为9160x y -+=.所以，切线方程为：2y =-或9160x y -+=.故答案为：2y =-或9160x y -+=.11．（2020·辽宁省本溪满族自治县高级中学高三其他（文））过点(0,1)-作曲线ln f x =（0x >）的切线，则切点坐标为________．【答案】【解析】由ln f x =（0x >），则2()ln ,0f x x x =>，化简得()2ln ,0f x x x =>， 则2()f x x'=，设切点为00(,2ln )x x ，显然(0,1)-不在曲线上， 则0002ln 12x x x +=，得0x =，则切点坐标为.故答案为：.12．（2020·石嘴山市第三中学高二期末（理））过点(1,1)--与曲线x y e x =+相切的直线方程为______________.【答案】21y x =+.【解析】设切点坐标为()000,e x x x +， 由x y e x =+得e 1x y '=+，∴切线方程为()()0000e 1e x x y x x x =+-++， 切线过点()1,1--，∴()()00001e 11e x x x x -=+--++，即00e 0x x =， ∴00x =，即所求切线方程为21y x =+.故答案为：21y x =+.13．（2020·吉林净月高新技术产业开发区·东北师大附中高二月考（理））过点()1,1作曲线3y x =的切线，则切线方程是______.【答案】3410x y -+=和320x y --=【解析】设切点坐标为()3,t t ，对函数3y x =求导得23y x '=，则所求切线的斜率为23t ， 所以，曲线3y x =在点()3,t t 处的切线方程为()323y t t x t -=-，由于该直线过点()1,1，即()32131t t t -=-，整理得()()22110t t +-=，解得12t =-或1t =. 当12t =-时，所求切线的方程为131842y x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，即3410x y -+=； 当1t =时，所求切线的方程为()131y x -=-，即320x y --=.故答案为：3410x y -+=和320x y --=.【题组五 利用切线求参数】1．（2020·辽宁高二期末）已知函数()21f x ax x =-+，若()()011lim 3x f x f x∆→+∆-=∆，则实数a 的值为（ ） A ．2B ．1C ．1-D ．2- 【答案】A 【解析】根据题意，函数()21f x ax x =-+，其导数()21f x ax ='-，则()121f a '=-，又由()()011lim 3x f x f x∆→+∆-=∆，即()1213f a '=-=，解可得2a =； 故选：A.2．（2020·湖北省天门中学高二月考）曲线3()2f x x x =+-在0P 处的切线平行于直线41y x =-，则0P 点的坐标为（ ）A ．(1, 0)B ．(2, 8)C ．(1, 0)和(-1, -4)D ．(2, 8)和(-1, -4)【答案】C 【解析】依题意,令2()314f x x '=+=，解得1x =±(1)0,(1)4f f =-=-故0P 点的坐标为(1, 0)和(-1, -4)，故选：C3．（2020·甘肃城关·兰州一中高二期中（文）） 设函数f (x )＝24x －a ln x ，若f ′(2)＝3，则实数a 的值为( ) A ．4B ．－4C ．2D ．－2 【答案】B【解析】f ′(x )＝－，故f ′(2)＝－＝3，因此a ＝－4.4．（2020·唐山市第十一中学高二期末）设()ln f x x x =，若()3f a '=，则a =（ ） A ．eB ．ln 2C ．2eD ．ln 22【答案】C 【解析】对()f x 求导得()ln +1f x x '=将a 带入有()2ln +13f a a a e '==⇒=． 5．（2020·陕西新城·西安中学高二期末（理））如图，()y f x =是可导函数，直线:2l y kx =+是曲线()y f x =在3x =处的切线，令()()g x xf x =，'()g x 是()g x 的导函数，则'(3)g =（ ）．A ．－1B ．0C ．2D ．4【答案】B 【解析】将点()3,1代入直线2y kx =+的方程得321k +=，得13k =-，所以，()133f k '==-， 由于点()3,1在函数()y f x =的图象上，则()31f =，对函数()()g x xf x =求导得()()()g x f x xf x ''=+， ()()()133331303g f f ⎛⎫''∴=+=+⨯-= ⎪⎝⎭，故选B ．。

2022届《功到自然成》课时导学案高中数学选择性必修册配答案电子版
一、课时导学案
1、课题：功到自然成
2、教学目标：
（1）掌握高中数学中的功到自然成的概念；
（2）学会利用功到自然成的方法解决数学问题；
（3）培养学生的分析问题、解决问题的能力。

3、教学重点：
（1）掌握功到自然成的概念；
（2）学会利用功到自然成的方法解决数学问题。

4、教学难点：
（1）理解功到自然成的概念；
（2）学会利用功到自然成的方法解决数学问题。

5、教学过程：
（1）复习：复习上节课所学的内容，检查学生的学习情况。

（2）讲授：讲解功到自然成的概念，并给出相关的例题，让学生动手解答。

（3）讨论：让学生分组讨论，讨论解题思路，并讨论解题过程中出现的问题。

（4）总结：总结本节课所学的内容，并给出相关的练习题，让学生自主完成。

二、配答案
1、题目：已知函数f(x)=x^2+2x+1，求f(x)的最小值。

答案：f(x)的最小值为2。

2、题目：已知函数f(x)=x^3-2x^2+3x-4，求f(x)的极值。

答案：f(x)的极值为f(1)=0。

2022高考数学精讲精练（新人教a 版）第02章函数b第6课 二次函数【考点导读】1.明白得二次函数的概念，把握二次函数的图像和性质；2.能结合二次函数的图像判定一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程根的联系．【基础练习】1. 已知二次函数232y x x =-+,则其图像的开口向__上__；对称轴方程为32x =；顶点坐标为 31(,)24-，与x 轴的交点坐标为(1,0),(2,0)，最小值为14-． 2. 二次函数2223y x mx m =-+-+的图像的对称轴为20x +=,则m =__－2___，顶点坐标为(2,3)-，递增区间为(,2]-∞-，递减区间为[2,)-+∞．3. 函数221y x x =--的零点为11,2-．4. 实系数方程20(0)ax bx c a ++=≠两实根异号的充要条件为0ac <；有两正根的充要条件为0,0,0b c aa∆≥->>；有两负根的充要条件为0,0,b caa∆≥-<>． 5. 已知函数2()23f x x x =-+在区间[0,]m 上有最大值3，最小值2，则m 的取值范畴是__________．【范例解析】例1.设a 为实数，函数1||)(2+-+=a x x x f ，R x ∈． （1）讨论)(x f 的奇偶性；（2）若2a =时，求)(x f 的最小值． 分析：去绝对值．解：（1）当0=a 时，函数)(1||)()(2x f x x x f =+-+-=- 现在，)(x f 为偶函数．当0≠a 时，1)(2+=a a f ，1||2)(2++=-a a a f ，[1,2])()(a f a f -≠，)()(a f a f --≠．现在)(x f 既不是奇函数，也不是偶函数． （2）⎪⎩⎪⎨⎧<+-≥-+=212 3)(22x x x x x x x f由于)(x f 在),2[+∞上的最小值为3)2(=f ，在)2,(-∞内的最小值为43)21(=f ．故函数)(x f 在),(∞-∞内的最小值为43．点评：注意分类讨论；分段函数求最值，先求每个区间上的函数最值，再确定最值中的最值．例2.函数()f x 212ax x a=+-()a R ∈在区间2]的最大值记为)(a g ，求)(a g 的表达式．分析：二次函数在给定区间上求最值，重点研究其在所给区间上的单调性情形． 解：∵直线1x a=-是抛物线()f x 212ax x a=+-的对称轴，∴可分以下几种情形进行讨论：（1）当0>a 时，函数()y f x =，2]x ∈的图象是开口向上的抛物线的一段，由1x a=-<知()f x在2]x ∈上单调递增，故)(a g (2)f =2+=a ； （2）当0=a 时，()f x x =，2]x ∈，有)(a g =2；（3）当0<a 时，，函数()y f x =，2]x ∈的图象是开口向下的抛物线的一段，若1x a=-]2,0(∈即22-≤a 时，)(ag f ==， 若1x a =-]2,2(∈即]21,22(--∈a 时，)(a g 11()2f a a a =-=--， 若1x a =-),2(+∞∈即)0,21(-∈a 时，)(a g (2)f =2+=a ． 综上所述，有)(a g =⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-≤-≤<---->+)22(2)2122(,21)21(2a a a a a a ．点评：解答本题应注意两点：一是对0a =时不能遗漏；二是对0a ≠时的分类讨论中应同时考察抛物线的开口方向，对称轴的位置及()y f x =在区间2]上的单调性．【反馈演练】 1．函数[)()+∞∈++=,02x c bx x y 是单调函数的充要条件是0b ≥．2．已知二次函数的图像顶点为(1,16)A ，且图像在x 轴上截得的线段长为8，则此二次函数的解析式为2215y x x =-++．3. 设0>b ，二次函数122-++=a bx ax y 的图象为下列四图之一：则a 的值为 （ B ）A ．1B ．－1C ．251--D ．251+-4．若不等式210x ax ++≥关于一切1(0,)2x ∈成立，则a 的取值范畴是5[,)2-+∞． 5.若关于x 的方程240x mx -+=在[1,1]-有解，则实数m 的取值范畴是(,5][5,)-∞-⋃+∞．6.已知函数2()223f x x ax =-+在[1,1]-有最小值，记作()g a ．（1）求()g a 的表达式； （2）求()g a 的最大值．解：（1）由2()223f x x ax =-+知对称轴方程为2a x =，当12a≤-时，即2a ≤-时，()(1)25g a f a =-=+；当112a -<<，即22a -<<时，2()()322a a g a f =-=-；当12a ≥，即2a ≥时，()(1)52g a f a ==-；综上，225,(2)()3,(22)252,(2)a a a g a a a a +≤-⎧⎪⎪=--<<⎨⎪-≥⎪⎩．（2）当2a ≤-时，()1g a ≤；当22a -<<时，()3g a ≤；当2a ≥时，()1g a ≤．故当0a =时，()g a 的最大值为3．7. 分别依照下列条件,求实数a 的值：（1）函数2()21f x x ax a =-++-在在[0,1]上有最大值2； （2）函数2()21f x ax ax =++在在[3,2]-上有最大值4．解：（1）当0a <时，max ()(0)f x f =，令12a -=，则1a =-；当01a ≤≤时，max ()()f x f a =，令()2f a =，a ∴=；当1a >时，max ()(1)f x f =，即2a =． 综上，可得1a =-或2a =．（2）当0a >时，max()(2)f x f =，即814a +=，则38a =；当0a <时，max ()(1)f x f =-，即14a -=，则3a =-．综上，38a =或3a =-． 8. 已知函数2(),()f x x a x R =+∈． （1）对任意12,x x R ∈，比较121[()()]2f x f x +与12()2x x f +的大小； （2）若[1,1]x ∈-时，有()1f x ≤，求实数a 的取值范畴．解：（1）对任意1x ，2x R ∈，212121211[()()]()()0224x x f x f x f x x ++-=-≥ 故12121[()()]()22x x f x f x f ++≥．（2）又()1f x ≤，得1()1f x -≤≤，即211x a -≤+≤，得2max 2min (1),[1,1](1),[1,1]a x x a x x ⎧≥--∈-⎪⎨≤-+∈-⎪⎩，解得10a -≤≤．第7课 指数式与对数式【考点导读】1.明白得分数指数幂的概念，把握分数指数幂的运算性质；2.明白得对数的概念，把握对数的运算性质；3.能运用指数，对数的运算性质进行化简，求值，证明，并注意公式成立的前提条件；4.通过指数式与对数式的互化以及不同底的对数运算化为同底对数运算． 【基础练习】1.写出下列各式的值：(0,1)a a >≠=3π-； 238=____4____； 3481-=127；log 1a =___0_____； log a a =____1____；log 4=__－4__．2.化简下列各式：(0,0)a b >> （1）2111333324()3a ba b ---÷-=6a -；（2）2222(2)()a a a a ---+÷-=2211a a -+．3.求值：（1）35log (84)⨯=___－38____；（2）33(lg 2)3lg 2lg 5(lg 5)+⋅+=____1____；（3）234567log 3log 4log 5log 6log 7log 8⨯⨯⨯⨯⨯=_____3____．【范例解析】 例1. 化简求值：（1）若13a a -+=，求1122a a --及442248a a a a --+-+-的值； （2）若3log 41x =，求332222x x x x--++的值．分析：先化简再求值．解：（1）由13a a -+=，得11222()1a a --=，故11221a a --=±； 又12()9a a -+=，227a a -+=；4447a a -∴+=，故44224438a a a a --+-=-+-．（2）由3log 41x =得43x =；则33227414223x xx xx x---+=-+=+． 点评：解条件求值问题：（1）将已知条件适当变形后使用；（2）先化简再代入求值． 例2.（1）求值：11lg9lg 240212361lg 27lg 35+-+-+； （2）已知2log 3m =，3log 7n =，求42log 56．分析：化为同底． 解：（1）原式=lg10lg3lg 240136lg10lg9lg 5+-+-+1lg810lg8=+=； （2）由2log 3m=，得31log 2m=；因此33342333log 563log 2log 73log 56log 4213log 2log 71mn m mn++===++++．点评：在对数的求值过程中，应注意将对数化为同底的对数． 例3. 已知35a b c ==，且112a b+=，求c 的值． 分析：将a ，b 都用c 表示． 解：由35a b c ==，得1log 3c a=，1log 5c b=；又112a b+=，则log 3log 52c c+=， 得215c =．0c >，c ∴=．点评：三个方程三个未知数，消元法求解．【反馈演练】1．若21025x =，则10x -=15．2．设lg321a =，则lg0.321=3a -． 3．已知函数1()lg1x f x x-=+，若()f a b =，则()f a -=－b ．4．设函数⎪⎩⎪⎨⎧>≤-=-0,0,12)(,21x xx x f x 若1)(0>x f ，则x 0的取值范畴是（－∞，－1）∪（1，+∞）．5．设已知f (x 6) = log 2x ，那么f (8)等于12．6．若618.03=a ，)1,[+∈k k a ，则k =__－1__． 7．已知函数21(0)()21(1)xc cx x c f x c x -+⎧⎪=⎨⎪+≤⎩＜＜＜，且89)(2=c f ．（1）求实数c 的值； （2）解不等式182)(+＞x f ．解：（1）因为01c <<，因此2c c <， 由29()8f c =，即3918c +=，12c =． （2）由（1）得：4111022()12112x x x f x x -⎧⎛⎫+<< ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪+< ⎪⎪⎝⎭⎩≤由()18f x >+得，当102x <<时，解得142x <<．当112x <≤时，解得1528x <≤，因此()18f x >+的解集为58x ⎧⎫⎪⎪<<⎨⎬⎪⎪⎩⎭．第8课 幂函数、指数函数及其性质【考点导读】1.了解幂函数的概念，结合函数y x =，2y x =，3y x =，1y x=，12y x =的图像了解它们的变化情形；2.明白得指数函数的概念和意义，能画出具体指数函数的图像，探究并明白得指数函数的单调性；3.在解决实际问题的过程中，体会指数函数是一类重要的函数模型． 【基础练习】1.指数函数()(1)x f x a =-是R 上的单调减函数，则实数a 的取值范畴是(1,2)． 2.把函数()f x 的图像分别沿x 轴方向向左，沿y 轴方向向下平移2个单位，得到()2x f x =的图像，则()f x =222x -+． 3.函数220.3x x y --=的定义域为___R __；单调递增区间1(,]2-∞-；值域14(0,0.3]．4.已知函数1()41x f x a =++是奇函数，则实数a 的取值12-．5.要使11()2x y m-=+的图像不通过第一象限，则实数m 的取值范畴2m ≤-． 6.已知函数21()1x f x a -=-(0,1)a a >≠过定点，则此定点坐标为1(,0)2．【范例解析】例1.比较各组值的大小：（1）0.20.4，0.20.2，0.22， 1.62； （2）b a -，b a ，a a ，其中01a b <<<； （3）131()2，121()3． 分析：同指不同底利用幂函数的单调性，同底不同指利用指数函数的单调性． 解：（1）0.20.200.20.40.41<<=，而0.2 1.6122<<，0.20.20.2 1.60.20.422∴<<<．（2）01a <<且b a b -<<，b a b a a a -∴>>．（3）111322111()()()223>>． 点评：比较同指不同底可利用幂函数的单调性，同底不同指可利用指数函数的单调性；另注意通过0，1等数进行间接分类．例2.已知定义域为R 的函数12()2x x b f x a+-+=+是奇函数,求,a b 的值；解：因为()f x 是奇函数，因此(0)f =0，即111201()22x x b b f x a a +--=⇒=∴=++又由f （1）= －f （－1）知11122 2.41a a a --=-⇒=++例3.已知函数2()(1)1xx f x a a x -=+>+，求证： （1）函数()f x 在(1,)-+∞上是增函数； （2）方程()0f x =没有负根． 分析：注意反证法的运用． 证明：（1）设121x x -<<，122112123()()()(1)(1)x x x x f x f x a a x x --=-+++，1a >，210x x a a ∴->，又121x x -<<，因此210x x ->，110x +>，210x +>，则12()()0f x f x -<故函数()f x 在(1,)-+∞上是增函数．（2）设存在00x <0(1)x ≠-，满足0()0f x =，则0021x x a x -=-+．又001xa <<，002011x x -∴<-<+即0122x <<，与假设00x <矛盾，故方程()0f x =没有负根．点评：本题要紧考察指数函数的单调性，函数和方程的内在联系．【反馈演练】1．函数)10()(≠>=a a a x f x 且关于任意的实数y x ,都有（ C ） A ．)()()(y f x f xy f =B ．)()()(y f x f xy f +=C ．)()()(y f x f y x f =+D ．)()()(y f x f y x f +=+2．设713=x，则（ A ） A ．－2<x <－1 B ．－3<x <－2 C ．－1<x <0 D ．0<x <13．将y =2x 的图像 ( D ) 再作关于直线y =x 对称的图像，可得到函数2log (1)y x =+的图像．A ．先向左平行移动1个单位B ．先向右平行移动1个单位C ．先向上平行移动1个单位D ． 先向下平行移动1个单位4．函数b x a x f -=)(的图象如图，其中a 、b 为常数，则下列结论正确的是（ C ）A ．0,1<>b aB ．0,1>>b aC ．0,10><<b aD ．0,10<<<b a5．函数x a y =在[]1,0上的最大值与最小值的和为3，则a 的值为___2__． 6．若关于x 的方程4220x x m ++-=有实数根，求实数m 的取值范畴． 解：由4220x x m ++-=得，219422(2)224xxxm =--+=-++<，(,2)m ∴∈-∞ 7．已知函数2()()(0,1)2x xa f x a a a a a -=->≠-． （1）判定()f x 的奇偶性；（2）若()f x 在R 上是单调递增函数，求实数a 的取值范畴． 解：（1）定义域为R ，则2()()()2x xa f x a a f x a --=-=--，故()f x 是奇函数． （2）设12x x R <∈，12121221()()()(1)2x x x x a f x f x a a a a-+-=-+-， 当01a <<时，得220a -<，即01a <<； 当1a >时，得220a ->，即a >综上，实数a的取值范畴是(0,1))⋃+∞．第9课 对数函数及其性质【考点导读】1.明白得对数函数的概念和意义，能画出具体对数函数的图像，探究并明白得对数函数的单调性；2.在解决实际问题的过程中，体会对数函数是一类重要的函数模型；3.熟练运用分类讨论思想解决指数函数，对数函数的单调性问题． 【基础练习】 1. 函数)26(log 21.0x x y -+=的单调递增区间是1[,2)4．2. 函数2()log 21f x x =-的单调减区间是1(,)2-∞． 【范例解析】例1. （1）已知log (2)a y ax =-在[0,1]是减函数，则实数a 的取值范畴是_________．（2）设函数2()lg()f x x ax a =+-，给出下列命题：①)(x f 有最小值； ②当0=a 时，)(x f 的值域为R ； ③当40a -<<时，)(x f 的定义域为R ；④若)(x f 在区间),2[+∞上单调递增，则实数a 的取值范畴是4-≥a ． 则其中正确命题的序号是_____________． 分析：注意定义域，真数大于零．解：（1）0,1a a >≠，2ax ∴-在[0,1]上递减，要使log (2)a y ax =-在[0,1]是减函数，则1a >；又2ax -在[0,1]上要大于零，即20a ->，即2a <；综上，12a <<． （2）①)(x f 有无最小值与a 的取值有关；②当0=a 时，2()lg f x x R =∈，成立；③当40a -<<时，若)(x f 的定义域为R ，则20x ax a +->恒成立，即240a a +<，即40a -<<成立；④若)(x f 在区间),2[+∞上单调递增，则2,2420.aa a ⎧-≤⎪⎨⎪+->⎩解得a ∈∅，不成立．点评：解决对数函数有关问题第一要考虑定义域，并能结合对数函数图像分析解决． 例3.已知函数xx x x f -+-=11log 1)(2，求函数)(x f 的定义域，并讨论它的奇偶性和单调性.分析：利用定义证明复合函数的单调性． 解：x 须满足,11011,0110<<->-+⎪⎩⎪⎨⎧>-+≠x x x x xx 得由因此函数)(x f 的定义域为（－1，0）∪（0，1）.因为函数)(x f 的定义域关于原点对称，且对定义域内的任意x ，有)()11log 1(11log 1)(22x f x xx x x x x f -=-+--=+---=-，因此)(x f 是奇函数. 研究)(x f 在（0，1）内的单调性，任取x 1、x 2∈（0，1），且设x 1<x 2 ，则,0)112(log )112(log ,011)],112(log )112([log )11(11log 111log 1)()(1222211222212222112121>----->------+-=-++--+-=-x x x x x x x x x x x x x x x f x f 由得)()(21x f x f ->0，即)(x f 在（0，1）内单调递减，由因此)(x f 奇函数，因此)(x f 在（－1，0）内单调递减.点评：本题重点考察复合函数单调性的判定及证明，运用函数性质解决问题的能力． 【反馈演练】1．给出下列四个数：①2(ln 2)；②ln(ln 2)；③；④ln 2.其中值最大的序号是___④___.2．设函数()log ()(0,1)af x x b a a =+>≠的图像过点(2,1)，(8,2)，则a b +等于___5_ _．3．函数log (3)1(0,1)a y x a a =+->≠的图象恒过定点A ，则定点A 的坐标是(2,1)--． 4．函数]1,0[)1(log )(在++=x a x f a x 上的最大值和最小值之和为a ，则a 的值为12．5．函数()⎩⎨⎧>+-≤-=1,341,442x x x x x x f 的图象和函数()x x g 2log =的图象的交点个数有___3___个.6．下列四个函数：①lg y x x =+； ②lg y x x =-；③lg y x x =-+；④lg y x x =--.其中，函数图像只能是如图所示的序号为___②___.7．求函数22()log 2log 4x f x x =⋅,1[,4]2x ∈的最大值和最小值． 解：2222()log 2log (log 1)(log 2)4x f x x x x =⋅=+-222log log 2x x =--令2log t x =，1[,4]2x ∈，则[1,2]t ∈-， 即求函数22y t t =--在[1,2]-上的最大值和最小值． 故函数()f x 的最大值为0，最小值为94-． 8．已知函数()log ax b f x x b+=-(0,1,0)a a b >≠>．（1）求()f x 的定义域；（2）判定()f x 的奇偶性；（3）讨论()f x 的单调性，并证明． 解：（1）解：由 0x bx b+>-，故的定义域为()(,)b b -∞-⋃+∞．（2）()log ()()a x bf x f x x b-+-==---，故()f x 为奇函数． （3）证明：设12b x x <<，则121221()()()()log ()()ax b x b f x f x x b x b +--=+-，第6题12212121()()2()10()()()()x b x b b x x x b x b x b x b +---=>+-+-．当1a >时，12()()0f x f x ∴->，故)(x f 在(,)b +∞上为减函数；同理)(x f 在(,)b -∞-上也为减函数；当01a <<时，12()()0f x f x ∴-<，故)(x f 在(,)b +∞，(,)b -∞-上为增函数．第10课 函数与方程【考点导读】1.能利用二次函数的图像与判别式的正负，判定一元二次方程根的存在性及根的个数，了解函数零点与方程根的联系．2.能借助运算器用二分法求方程的近似解，并明白得二分法的实质．3.体验并明白得函数与方程的相互转化的数学思想方法． 【基础练习】1.函数2()44f x x x =++在区间[4,1]--有_____1 ___个零点．2.已知函数()f x 的图像是连续的，且x 与()f x 有如下的对应值表：则()f x 在区间[1,6]上的零点至少有___3__个． 【范例解析】例1.()f x 是定义在区间[－c ，c ]上的奇函数，其图象如图所示：令()()g x af x b =+， 则下列关于函数()g x 的结论：①若a <0，则函数()g x 的图象关于原点对称；②若a =－1，－2<b <0，则方程()g x =0有大于2的实根； ③若a ≠0，2b =，则方程()g x =0有两个实根； ④若0a ≠，2b =，则方程()g x =0有三个实根． 其中，正确的结论有___________． 分析：利用图像将函数与方程进行互化．解：当0a <且0b ≠时，()()g x af x b =+是非奇非偶函数，①不正确；当2a =-，0b =时，()2()g x f x =-是奇函数，关于原点对称，③不正确；当0a ≠，2b =时，2()f x a=-，由图知，当222a -<-<时，2()f x a=-才有三个实数根，故④不正确；故选②．点评：本题重点考察函数与方程思想，突出考察分析和观看能力；题中只给了图像特点，因此，应用其图，察其形，舍其次，抓其本．例2.设2()32f x ax bx c =++，若0a b c ++=，(0)0f >，(1)0f >． 求证：（1）0a >且12-<<-ab； （2）方程()0f x =在(0,1)内有两个实根．分析：利用0a b c ++=，(0)0f >，(1)0f >进行消元代换． 证明：（1）(0)0f c =>，(1)320f a b c =++>，由0a b c ++=，得b a c =--，代入(1)f 得：0a c ->，即0a c >>，且01c a <<，即1(2,1)b ca a=--∈--，即证．（2）11()024f a =-<，又(0)0f >，(1)0f >．则两根分别在区间1(0,)2，1(,1)2内，得证．点评：在证明第（2）问时，应充分运用二分法求方程解的方法，选取(0,1)的中点12来考察1()2f 的正负是首选目标，如不能实现1()02f <，则应在区间内选取其它的值．本题也可选3b a-，也可利用根的分布来做．【反馈演练】1．设123)(+-=a ax x f ，a 为常数．若存在)1,0(0∈x ，使得0)(0=x f ，则实数a 的取值范畴是1(,1)(,)2-∞-⋃+∞． 2．设函数2,0,()2,0.x bx c x f x x ⎧++≤=⎨>⎩若(4)(0)f f -=，(2)2f -=-，则关于x 的方程()f x x =解的个数为（ C ）A ．1B ．2C．3D ．43．已知2()(0)f x ax bx c a =++≠，且方程()f x x =无实数根，下列命题：①方程[()]f f x x =也一定没有实数根；②若0a >，则不等式[()]f f x x >对一切实数x 都成立；③若0a <，则必存在实数0x ，使00[()]f f x x> ④若0a b c ++=，则不等式[()]f f x x <对一切实数x 都成立． 其中正确命题的序号是 ①②④ ．4．设二次函数2()f x x ax a =++，方程()0f x x -=的两根1x 和2x 满足1201x x <<<．求实数a 的取值范畴．解：令2()()(1)g x f x x x a x a =-=+-+，则由题意可得01012(1)0(0)0a g g ∆>⎧⎪-⎪<<⎪⎨⎪>⎪>⎪⎩，，，，01133a a a a ⎧>⎪⇔-<<⎨⎪<->+⎩，，03a ⇔<<- 故所求实数a的取值范畴是(03-，．5．已知函数2()log (41)()x f x kx k R =++∈是偶函数,求k 的值；解：()f x 是偶函数，()()f x f x ∴-=22log (41)log (41)x x kx kx -∴+-=++220x kx ∴+=由于此式关于一切x R ∈恒成立，1k ∴=-6．已知二次函数c bx ax x f ++=2)(．若a>b >c ， 且f （1）=0，证明f （x ）的图象与x 轴有2个交点. 证明：2(1)0,00,40,f a b c a b c a c b ac =++=>>∴><∴∆=->且且()f x ∴的图象与x 轴有两个交点.第11课 函数模型及其应用【考点导读】1.能依照实际问题的情境建立函数模型，结合对函数性质的研究，给出问题的解答．2.明白得数据拟合是用来对事物的进展规律进行估量的一种方法，会依照条件借助运算工具解决一些简单的实际问题．3.培养学生数学地分析问题，探究问题，解决问题的能力． 【基础练习】1今有一组实验数据如下：现预备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律，①2log v t = ②12log v t= ③212t v -=④22v t =-其中最接近的一个的序号是______③_______．2.某摩托车生产企业，上年度生产摩托车的投入成本为1万元/辆，出厂价为1.2万元/辆，年销售量为1000辆.本年度为适应市场需求，打算提高产品档次，适度增加投入成本.若每辆车投入成本增加的比例为x (0 < x < 1)，则出厂价相应的提高比例为0.75x ，同时估量年销售量增加的比例为0.6x .已知年利润 = (出厂价－投入成本)×年销售量. (Ⅰ)写出本年度估量的年利润y 与投入成本增加的比例x 的关系式；(Ⅱ)为使本年度的年利润比上年有所增加，问投入成本增加的比例x 应在什么范畴内？ 解：（Ⅰ）由题意得y = [ 1.2×(1+0.75x )－1×(1 + x ) ] ×1000×( 1+0.6x )（0 < x < 1）整理得 y = －60x 2 + 20x + 200（0 < x < 1）.（Ⅱ）要保证本年度的利润比上年度有所增加，当且仅当⎩⎨⎧<<>⨯--.10,01000)12.1(x y即⎩⎨⎧<<>+-.10,020602x x x 解不等式得310<<x .答：为保证本年度的年利润比上年度有所增加，投入成本增加的比例x 应满足0 < x < 0.33.【范例解析】例. 某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内，西红柿市场售价与上市时刻的关系用图一的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时刻的关系用图二的抛物线段表示．(Ⅰ)写出图一表示的市场售价与时刻的函数关系式p =f (t )；写出图二表示的种植成本与时刻的函数关系式Q =g (t )；(Ⅱ)认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大？(注：市场售价和种植成本的单位：元/102kg ，时刻单位：天)解：(Ⅰ)由图一可得市场售价与时刻的函数关系为()⎩⎨⎧≤<-≤≤-=.3002003002,2000300t t t t t f ，，由图二可得种植成本与时刻的函数关系为 g (t )=2001(t －150)2+100，0≤t ≤300． (Ⅱ)设t 时刻的纯收益为h (t )，则由题意得 h (t )=f (t )－g (t )， 即()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<-+-≤≤++-=.30020021025272001,20002175********t t t t t t t h ，，当0≤t ≤200时，配方整理得 h (t )=－2001(t －50)2+100，因此，当t =50时，h (t )取得区间[0，200]上的最大值100； 当200<t ≤300时，配方整理得：h (t )=－2001(t －350)2+100，因此，当t=300时，h(t)取得区间（200，300]上的最大值87.5．综上:由100>87.5可知，h(t)在区间[0，300]上能够取得最大值100，现在t=50，即从二月一日开始的第50天时，上市的西红柿纯收益最大【反馈演练】1．把长为12cm的细铁丝截成两段，各自围成一个正三角形，则这两个正三角形面积之和___________2cm．2．某地高山上温度从山脚起每升高100m降低0.7℃，已知山顶的温度是14.1℃，山脚的温度是26℃，则此山的高度为_____17_____m．3．某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润（单位：万元）分别为L1=5.06x－0.15x 2和L2=2x，其中x为销售量（单位：辆）.若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为____45.6___万元．4．某单位用木料制作如图所示的框架，框架的下部是边长分别为x，y(单位：m)的矩形.上部是等腰直角三角形. 要求框架围成的总面积8cm2. 问x、y分别为多少时用料最省?解：由题意得xy+41x2=8，∴y=xx482-=48xx-(0<x<42).则框架用料长度为l=2x+2y+2(x22)=(23+2)x+x16≥4246+.当(23+2)x=x16,即x=8－42时等号成立.现在，x=8－42，y=故当x为8－42m，y为时，用料最省. 第4题。