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水平面内的圆周运动的临界问题嘿，伙计们！今天我们要聊聊一个超级有趣的话题——水平面内的圆周运动的临界问题。
你们知道吗，这个话题可不仅仅是一堆枯燥无味的数学公式和理论，它还涉及到我们日常生活中的很多现象呢！比如说，当你在游泳池里划水时，你会发现你的身体会自然地沿着圆形轨迹前进，这就是因为你在做圆周运动啊！所以，这个问题可是关系到我们的日常生活哦！我们来简单了解一下什么是圆周运动。
圆周运动，顾名思义，就是物体在一个圆形轨道上做的运动。
这种运动有很多种形式，比如我们刚才提到的游泳池里的划水，还有自行车轮子在地面上的滚动，甚至还有地球绕着太阳转的天文现象。
只要是物体在一个圆形轨道上做的运动，都可以叫做圆周运动。
那么，为什么物体会在圆形轨道上做运动呢？这就要涉及到物理学家们的一个伟大发现——角动量守恒定律。
角动量守恒定律告诉我们，在一个封闭系统内，系统的总角动量保持不变。
而在圆周运动中，物体的速度和方向都在不断地改变，所以它的角动量也在不断地变化。
为了保持角动量守恒，物体就需要在圆形轨道上做一些微小的调整，以便让它的总角动量保持恒定。
好了，现在我们知道了物体为什么会在圆形轨道上做运动，那么接下来我们就要探讨一下圆周运动的临界问题了。
所谓临界问题，就是指在一个特定的条件下，物体的运动状态会发生突然的变化。
在圆周运动中，最常见的临界问题就是所谓的“临界速度”。
所谓临界速度，就是指当物体在圆形轨道上运动时，如果它的速度达到一定程度，那么它的运动状态就会发生突然的变化。
具体来说，当物体的速度达到临界速度时，它将不再能够保持圆周运动，而是会沿着圆形轨道的切线方向飞出去。
这就是所谓的“离心现象”。
那么，为什么物体的速度达到临界速度时会发生离心现象呢？这是因为当物体的速度越来越快时，它所受到的向心力也会越来越大。
向心力是一种指向圆心的力，它的作用是让物体沿着圆形轨道做运动。
当物体的速度达到一定程度时，向心力就无法再继续支撑它的运动了。
圆周实例分析及临界问题姓名____________班级___________学号____________分数______________ 选择题1 ．如图,叠放在水平转台上的物体A ． B ．C 能随转台一起以角速度ω匀速转动,A ．B ．C 的质量分别为3m 、2m 、m ,A 与 B ．B 和C 与转台间的动摩擦因数都为μ,A 和B ．C 离转台中心的距离分别为r 、1.5r .设本题中的最大静摩擦力等于滑动摩擦力,下列说法正确的是（ ） A ．B 对A 的摩擦力一定为3μmgB ．B 对A 的摩擦力一定为3mω2rC ．转台的角速度一定满足:r g μω≤D ．转台的角速度一定满足:rg 32μω≤2 ．火车轨道在转弯处外轨高于内轨,其高度差由转弯半径与火车速度确定.若在某转弯处规定行驶速度为v ,则下列说法中正确的是 （ ）A ．当以v 的速度通过此弯路时,火车重力与轨道面支持力的合力提供向心力B ．当以v 的速度通过此弯路时,火车重力、轨道面支持力和外轨对轮缘弹力的合力提供向心力C ．当速度大于v 时,轮缘挤压外轨D ．当速度小于v 时,轮缘挤压外轨3 ．如图4所示,一个竖直放置的圆锥筒可绕其中心OO ′转动,筒内壁粗糙,筒口半径和筒高分别为R 和H ,筒内壁A 点的高度为筒高的一半.内壁上有一质量为m 的小物块随圆锥筒一起做匀速转动,则下列说法正确的是 （ ）A ．小物块所受合外力指向O 点B ．当转动角速度ω=2gH R时,小物块不受摩擦力作用 C ．当转动角速度ω> 2gH R时,小物块受摩擦力沿AO 方向D ．当转动角速度ω< 2gH R时,小物块受摩擦力沿AO 方向4 ．如右图,电视画面每隔301s 更迭一帧,当屏幕上出现一辆车匀速奔驰的情景时,观众如果注视车辆的辐条,往往会产生奇怪的感觉,设车上有8根对称分布的完全相同的辐条,下列说法正确的是（ ） A ．若在301s 内,每根辐条恰好转过450,则观众觉得车轮是不动的; B ．若在301s 内,每根辐条恰好转过3600,则观众觉得车轮是不动的; C 若在301s 内,每根辐条恰好转过3650,则观众觉得车轮是倒转的; D ．若在301s 内,每根辐条恰好转过3550,则观众觉得车轮是倒转的｡5 ．如图所示,两个轮子的半径R =0.20 m,由电动机驱动以角速度 =8.0 rad/s 匀速同向转动,两轮的转动轴在同一水平面上,相互平行,距离d =1.6 m . 一块均匀木板条轻轻平放在两轮上,开始时木板条的重心恰好在右轮的正上方. 已知木板条的长度L >2d ,木板条与轮子间的动摩擦因数μ=0.16 木板条运动到重心恰好到达左轮正上方所需的时间是 （ ）A ．1 sB ．0.785 sC ．1.5 sD ．条件不足,无法判断解答题6 ．图14-A-12滑的圆锥顶端,用长为L=2m 的细绳悬一质量为m=1kg 的小球,圆锥顶角为2θ=74º,求:①当小球以ω=1rad/s 的角速度随圆锥体做匀速圆周运动时,细绳上的拉力;②当小球以ω=5rad/s 的角速度随圆锥体做匀速圆周运动时,细绳上的拉力.图14-A-127 ．如图,用细绳一端系着的质量为M=0.6kg的物体A静止在水平转盘上,细绳另一端通过转盘中心的光滑小孔O吊着质量为m=0.3kg的小球B,A的重心到O点的距离为0.2m.若A 与转盘间的动摩擦因数μ=1/3,为使小球B保持静止,求转盘绕中心O旋转的角速度ω的取值范围.(g=10m /s2)8 ．(2011·桂林模拟)如图所示,一水平面光滑、距地面高为h、边长为a的正方形MNPQ桌面上,用长为L的不可伸长的轻绳连接质量分别为m A、m B的A、B两小球,两小球在绳子拉力的作用下,绕绳子上的某点O以不同的线速度做匀速圆周运动,圆心O与桌面中心重合,已知m A=0.5 kg,L=1.2 m,L A O=0.8 m,a=2.1 m,h=1.25 m,A球的速度大小v A=0.4 m/s,重力加速度g取10 m/s2,求:(1)绳子上的拉力F以及B球的质量m B;(2)若当绳子与MN平行时突然断开,则经过1.5 s两球的水平距离;(3)两小球落至地面时,落点间的距离.AB O圆周实例分析及临界问题 参考答案选择题1. BD2. AC3. 解析:匀速圆周运动物体所受合外力提供向心力,指向物体圆周运动轨迹的圆心,A 项错;当小物块在A 点随圆锥筒做匀速转动,且其所受到的摩擦力为零时,小物块在筒壁A 点时受到重力和支持力的作用, 它们的合力提供向心力,设筒转动的角速度为ω,有:mg tanθ=m ω2·R 2,由几何关系得:tan θ=H R ,联立以上各式解得ω=2gH R,B 项正确;当角速度变大时,小物块所需向心力增大,故摩擦力沿AO 方向,其水平方向分力提供部分向心力,C 项正确;当角速度变小时,小物块所需向心力减小,故摩擦力沿OA 方向,抵消部分支持力的水平分力,D 项错.答案:BC4. ABD5. C填空题解答题6. 26N 50N [提示] 要先判断小球是否离开圆锥面 [全解]小球在圆锥面上运动时,受到重力G 、细绳的拉力T 和斜面的支持力N.将这些力分解在水平方向和竖直方向上,有Tsin θ-Ncos θ=mω2Lsin θ,Tcos θ+Nsin θ=mg.设小球以角速度ω0转动时,小球刚好离开斜面时,此时,由N=0代入上述两式得ω0=θθcos 5cos =L g rad/s.当小球以ω=1rad/s 转动时,小球在斜面上运动,由上述两式得T=(mω2Ltan θsin θ-mg)/(tan θsin θ-cos θ)=26N;当小球以ω=5rad/s 转动时,小球将离开斜面,此时受到拉力和重力,设细绳与竖直方向得夹角为α,则Tsinα=mω2Lsinα,代入数据解得T=50N.7.5．√3 / 3 rad/s≤ω≤5√15 / 3 rad/s8. 【解析】(1)22A A OA v 0.4 F m 0.5N 0.1 N L 0.8⨯＝＝＝， 由F=m A ω2L OA =m B ω2L OB得OA B A OBL m m 1 kg.L ＝＝ (2)v A =0.4 m/s OB B A OAL v v 0.2 m /s L ==gx=(v A +v B )t 1=0.6×1.5 m=0.9 m,水平距离为s 1.5 m.＝(3)2t 0.5 s ＝ x′=(v A +v B )t 2+a=0.6×0.5 m+2.1 m=2.4 m距离为s '答案:(1)0.1 N 1 kg (2)1.5 m (3)5 m。
水平面内的圆周运动一、水平圆盘问题例1、水平圆盘以角速度ω匀速转动,距转动轴L的位置有一小物块与圆盘相对静止,小物块的向心加速度多大所受摩擦力多大对接触面有什么要求离轴近的还是远的物体容易滑动练习：质量相等的小球A、B分别固定在轻杆的中点和端点,当杆在光滑的水平面上绕O点匀速转动时,求杆的OA段和AB段对小球的拉力之比;O A例2、中心穿孔的光滑水平圆盘匀速转动,距转动轴L的位置有一质量为m的小物块A通过一根细线穿过圆盘中心的光滑小孔吊着一质量为M的物体B,小物块A与圆盘相对静止,求盘的角速度;°变式：若圆盘上表面不光滑,与A的动摩擦因数为μ,则圆盘角速度的取值范围是多少例3、在半径为r的匀速转动的竖直圆筒内壁上附着一物块,物块与圆筒的动摩擦因数为μ,要使物块不滑下来,圆筒转动的角速度应满足什么条件例4、长为L的细线悬挂质量为M的小球,小球在水平面内做匀速圆周运动,细线与竖直方向夹角为θ,求1小球的角速度;2小球对细线的拉力大小;变式：一个光滑的圆锥形筒的轴线垂直于水平面,圆锥筒固定,质量为m的小球沿着筒的内壁在水平面内做匀速圆周运动,圆锥母线与轴线夹角为θ,小球到锥面顶点的高为h,1小球的向心加速度为多少2对圆锥面的压力为多大3小球的角速度和线速度各为多少·θ思考：小球的向心加速度与小球质量有关吗与小球的高度有关吗若有两个小球在同一光滑的圆锥形筒内转动,A球较高而B球较低,试比较它们的向心加速度、对圆锥面的压力、线速度、角速度大小;二、临界问题例5：如图所示,洗衣机内半径为r 的圆筒,绕竖直中心轴OO ′转动,小物块a 靠在圆筒的内壁上,它与圆筒的动摩擦因数为μ,现要使a 不下落,则圆筒转动的角速度ω至少为A ．r g /μB ．g μC ．r g /D ．r g μ/例6：如图所示,细绳一端系着质量M ＝的物体,静止在水平桌面上,另一端通过光滑的小孔吊着质量m ＝的物体 m,已知M 与圆孔距离为,M 与水平面间的最大静摩擦力为2N;现使此平面绕中心轴线转动,问角速度ω在什么范围m 会处于静止状态g ＝10m ／s 2例7、如图所示,两根相同的细线长度分别系在小球和竖直杆M 、N 两点上,其长度分别为L 、R 且构成如图一个直角三角形,小球在水平面内做匀速圆周运动,细线能承受的最大拉力为2mg,当两根细线都伸直时,若保持小球做圆周运动的半径不变,求：小球的角速度范围变式、如图所示,两根相同的细线长度分别系在质量为m 的小球和竖直杆M 、N 两点上;小球在水平面内做匀速圆周运动,当两根细线都伸直时,小球到杆的距离为R,且细线与杆的夹角分别为θ和α,承受的最大拉力为2mg,若保持小球做圆周运动的半径不变,求：小球的角速度范围三、两个或多个物体的圆周运动例4：如图所示,A 、B 、C 三个物体放在水平旋转的圆盘上,三物与转盘的最大静摩擦因数均为μ,A 的质量是2m ,B 和C 的质量均为m ,A 、B 离轴距离为R ,C 离轴2R ,若三物相对盘静止,则A ．每个物体均受重力、支持力、静摩擦力、向心力四个力作用B ．C 的向心加速度最大 C ．B 的摩擦力最小D ．当圆台转速增大时,C 比B 先滑动,A 和B 同时滑动例5：在光滑杆上穿着两个小球m 1、m 2,且m 1=2m 2,用细线把两球连起来,当盘架匀速转动时,两小球刚好能与杆保持无相对滑动,如右图所示,此时两小球到转轴的距离r 1与r 2之比为A ．1∶1B ．1∶2C ．2∶1D ．1∶2四、课后作业1．在水平面上转弯的汽车,提供向心力的是A ．重力与支持力的合力B ．静摩擦力Mr o mgR v ≤μC ．滑动摩擦力 D ．重力、支持力、牵引力的合力 2．有长短不同,材料相同的同样粗细的绳子,各拴着一个质量相同的小球在光滑水平面上做匀速圆周运动,那么A ．两个小球以相同的线速度运动时,长绳易断B ．两个小球以相同的角速度运动时,长绳易断C ．两个球以相同的周期运动时,短绳易断D ．不论如何,短绳易断3．在一段半径为R 的圆孤形水平弯道上,已知弯道路面对汽车轮胎的最大静摩擦力等于车重的μ倍,则汽车拐弯时的安全速度是A ．v gR ≤μ B ． C ．v gR ≤2μ D ．v gR ≤μ 4．如图所示,A 、B 、C 三个小物体放在水平转台上,m A =2m B =2m C ,离转轴距离分别为2R A =2R B =R C ,当转台转动时,下列说法正确的是A ．如果它们都不滑动,则C 的向心加速度最大B ．如果它们都不滑动,则B 所受的静摩擦力最小C ．当转台转速增大时,B 比A 先滑动D ．当转台转速增大时,C 比B 先滑动5．如图所示,甲、乙两名滑冰运动员,M 甲=80kg,M 乙=40kg,面对面拉着弹簧秤做圆周运动的溜冰表演,两人相距,弹簧秤的示数为600N,下列判断中正确的是A ．两人的线速度相同,约为sB ．两人的角速度相同,约为5rad/sC ．两人的运动半径相同,都是D ．两人的运动半径不同,甲为,乙为6．汽车在倾斜的轨道上转弯如图所示,弯道的倾角为θ,半径为r ,则汽车完全不靠摩擦力转弯的速率是设转弯半径水平A ．θsin grB ．θcos grC ．θtan grD ．θcot gr7．一辆质量为1t 的赛车正以14m/s 的速度进入一个圆形跑道,已知跑道半径为50m,最大静摩擦力约等于滑动摩擦力,则：1此赛车转弯所需的向心力是多大2当天气晴朗时,赛车和路面之间的摩擦系数是,问比赛过程中赛车是否能顺利通过弯道3在雨天时,赛车和路面之间的摩擦系数是,问比赛过程中赛车是否能顺利通过弯道8．水平圆盘绕竖直轴以角速度ω匀速转动;一个质量为50kg 的人坐在离轴r=m/3处随盘一起转动;设人与盘的最大静摩擦力均为体重的倍,g取10 m/s2,求：1ω为多大时,人开始相对盘滑动;2此时离中心ｒ′= m处的质量为100kg的另一个人是否已相对滑动请简述理由;。
第六章 圆周运动专题7 水平面内的圆周运动的临界问题课程标准核心素养1. 知道水平面内的圆周运动的几种常见模型，并会找它们的临界条件.2. 掌握圆周运动临界问题的分析方法．3.会应用动力学方法分析匀速圆周运动问题．1、物理观念：水平面内做圆周运动的向心力来源。
2、科学思维：水平面内的圆周运动的临界问题是由哪些因素引起的。
3、科学探究：探究水平面内的圆周运动的临界问题的解决方法。
4、科学态度与责任：利用所学水平面内的圆周运动的临界问题的知识解决实际问题。
知识点01 水平面内圆周运动的临界问题1．运动特点(1)运动轨迹是水平面内的圆．(2)合外力沿水平方向指向圆心，提供向心力，竖直方向合力为零，物体在水平面内做匀速圆周运动． 2．过程分析重视过程分析，在水平面内做圆周运动的物体，当转速变化时，物体的受力可能发生变化，转速继续变化，会出现绳子张紧、绳子突然断裂、静摩擦力随转速增大而逐渐达到最大值、弹簧弹力大小方向发生变化等，从而出现临界问题． 3．方法突破(1)水平转盘上的物体恰好不发生相对滑动的临界条件是物体与盘间恰好达到最大静摩擦力． (2)物体间恰好分离的临界条件是物体间的弹力恰好为零．(3)绳的拉力出现临界条件的情形有：绳恰好拉直意味着绳上无弹力；绳上拉力恰好为最大承受力等． 4．解决方法当确定了物体运动的临界状态和临界条件后，要分别针对不同的运动过程或现象，选择相对应的物理规律，目标导航知识精讲然后再列方程求解．【即学即练1】如图所示，a为置于距圆桌转盘中心r1处的杯子，装满水的总质量为2m，另有一空杯子b质量为m，置于距圆盘中心r2处，已知r2＝2r1，圆盘从静止开始缓慢地加速转动，两杯子与桌面间的动摩擦因数均为μ(设最大静摩擦力等于滑动摩擦力)，且均未相对桌面滑动，用ω表示圆盘转动的角速度，下列说法不正确的是()A．b比a先达到最大静摩擦力B．a、b所受的摩擦力始终相同C．ω＝μg2r1是b开始滑动的临界角速度D．当ω＝μg2r1时，a所受摩擦力的大小为μmg【答案】B【解析】杯子随着圆盘一起转动，静摩擦力提供向心力，a刚要开始滑动时有μ2mg＝2mωa2r1，解得ωa＝μgr1，b刚要开始滑动时有μmg＝mωb2r2，解得ωb＝μgr2＝μg2r1，因为b比a先达到最大静摩擦力，故b先开始滑动，故A、C正确；在杯子b的摩擦力没有达到最大前，静摩擦力提供向心力，由牛顿第二定律可知F f a ＝2mω2r1，F f b＝mω2r2＝2mω2r1，所以a和b受到的摩擦力大小是相等的，方向不同，故B错误；当ω＝μg2r1时，a没有发生相对滑动，静摩擦力为F f＝2mω2r1＝μmg，故D正确．知识点02 斜面内圆周运动的临界问题物体在斜面上做圆周运动时，设斜面的倾角为θ，重力垂直斜面的分力与物体受到的支持力相等，解决此类问题时，可以按以下操作，把问题简化．【即学即练2】(多选)如图所示，一倾斜的匀质圆盘绕垂直于盘面的固定对称轴以恒定角速度ω转动，盘面上离转轴2.5 m处有一小物体与圆盘始终保持相对静止，物体与盘面间的动摩擦因数为32，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，盘面与水平面的夹角为30°，g取10 m/s2，则以下说法中正确的是()A．小物体随圆盘做匀速圆周运动时，一定始终受到三个力的作用B．小物体随圆盘以不同的角速度ω做匀速圆周运动时，ω越大时，小物体在最高点处受到的摩擦力一定越大C．小物体受到的摩擦力可能背离圆心D．ω的最大值是1.0 rad/s【答案】CD【解析】当物体在最高点时，可能只受到重力与支持力2个力的作用，合力提供向心力，故A错误；当物体在最高点时，可能只受到重力与支持力2个力的作用，也可能受到重力、支持力与摩擦力三个力的作用，摩擦力的方向可能沿斜面向上，也可能沿斜面向下，摩擦力的方向沿斜面向上时，ω越大时，小物体在最高点处受到的摩擦力越小，故B错误；当物体在最高点时，摩擦力的方向可能沿斜面向上，也可能沿斜面向下，即可能指向圆心，也可能背离圆心，故C正确；当物体转到圆盘的最低点恰好不滑动时，转盘的角速度最大，此时小物体受竖直向下的重力、垂直于斜面向上的支持力、沿斜面指向圆心的摩擦力，由沿斜面的合力提供向心力，支持力F N＝mg cos θ，摩擦力F f＝μF N＝μmg cos θ，又μmg cos 30°－mg sin 30°＝mω2R，解得ω＝1.0 rad/s，故D正确．考法01 水平面内圆周运动的临界问题【典例1】如图所示，在匀速转动的水平圆盘上，沿半径方向放着用水平细线相连的质量相等的两个物体A 和B，它们分居圆心两侧，质量均为m，与圆心距离分别为R A＝r，R B＝2r，与盘间的动摩擦因数μ相同，重力加速度为g，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力．当圆盘转速加快到两物体刚好还未发生滑动时，下列说法正确的是()A．此时绳子张力为F T＝4μmgB．此时圆盘的角速度为ω＝2μg rC．此时A所受摩擦力方向沿半径指向圆内D．若此时烧断绳子，A仍相对盘静止，B将做离心运动能力拓展【答案】 B 【解析】A 和B 随着圆盘转动时，合外力提供向心力，则F ＝mω2R ，B 的运动半径比A 的半径大，所以B 所需向心力大，细线拉力相等，所以当圆盘转速加快到两物体刚好还未发生滑动时，B 的静摩擦力方向沿半径指向圆心，A 的最大静摩擦力方向沿半径指向圆外，对物体A 、B ，根据牛顿第二定律分别得：F T －μmg ＝mω2r ，F T ＋μmg ＝mω2·2r ，解得：F T ＝3μmg ，ω＝2μgr，此时A 所需的向心力大小为F n A ＝mω2r ＝2μmg ，B 所需的向心力大小为F n B ＝mω2·2r ＝4μmg ，若此时烧断细线，A 、B 的最大静摩擦力均不足以提供物体所需向心力，则A 、B 均做离心运动，故B 正确，A 、C 、D 错误．考法02 斜面内圆周运动的临界问题【典例2】（多选）如下图所示是自行车场地赛中一段半径为R 的圆弧赛道（忽略道路宽度），赛道路面与水平面间的夹角为θ，不考虑空气阻力，自行车与骑手总质量为m ，两者一起在该路段做速度为v 的匀速圆周运动。
水平面上圆周运动的临界问题嘿，伙计们，今天咱们来聊聊那些让人心跳加速、眼睛为之一亮的奇妙现象。
想象一下，你站在光滑的水平面上，突然一个念头闪过——要是我能像鸟儿一样在天空中自由翱翔，那该多好！但是，你知道吗？在现实里，我们只能仰望星空，而无法真正触碰到云朵和星星。
不过，别急，今天我要带你一起走进一个神奇的世界，让你体验一次“空中之旅”，让你的想象力和好奇心得到最大的满足。
让我们来谈谈“临界问题”。
这个问题就像是一道难题，它考验着我们的逻辑思维和创新能力。
比如，当你在水平面上做圆周运动时，你会如何判断自己是否达到了临界点呢？是不是会有一种“我在空中飞呀飞”的感觉？哈哈，别急，让我来给你揭晓答案。
想象一下，你站在地面上，就像是一个刚刚学会走路的孩子。
你的身体在水平面上旋转，就像是在玩一个有趣的游戏。
你看着自己的脚尖，想象着它们能够触碰到远方的地平线。
但是，你知道吗？即使你的脚尖离地面只有几厘米的距离，你也仍然没有达到临界点。
为什么呢？因为临界点并不是一个具体的数值，而是一种状态，一种感觉。
如何才能找到那种感觉呢？这就需要我们运用一些特殊的技巧和方法了。
比如说，你可以试着让自己的脚尖接触到地面，然后慢慢松开手。
你会发现，当脚尖离开地面时，你的脚掌会开始向上翘起。
这时候，你就可以感受到那种轻盈、自由的感觉了。
我们再来看看另一个例子。
想象一下，你在地面上进行圆周运动时，你会如何判断自己是否达到了临界点呢？是不是会有一种“我在空中飞呀飞”的感觉？哈哈，别急，让我来给你揭晓答案。
在这个例子中，我们可以通过测量自己的速度来判断是否达到了临界点。
具体来说，我们可以计算自己在单位时间内前进的距离或者转动的角度。
如果这个距离或角度超过了某个特定的值，那么我们就认为已经达到了临界点。
我们再来说说“临界问题”的另一个方面。
这个问题不仅仅是关于物理的，还涉及到数学、生物学等多个领域的知识。
比如，我们在研究动物的运动方式时，就需要运用到临界点的概念。
第18讲水平面内的圆周运动（圆锥摆模型）及其临界问题1．（江苏高考）如图所示，“旋转秋千”中的两个座椅A、B质量相等，通过相同长度的缆绳悬挂在旋转圆盘上，不考虑空气阻力的影响，当旋转圆盘绕竖直的中心轴匀速转动时，下列说法正确的是（）A．A的速度比B的大B．A与B的向心加速度大小相等C．悬挂A、B的缆绳与竖直方向的夹角相等D．悬挂A的缆绳所受的拉力比悬挂B的小【解答】解：A、A、B的角速度相等，根据公式：v＝ω•r，A的运动半径小，A的速度就小。
故A错误。
B、根据公式：a＝ω2r，A的运动半径小，A的向心加速度就小，A的向心力就小，根据平行四边形定则知，A对缆绳的拉力就小，故D正确，B错误。
C、对任一座椅，受力如图，由绳子的拉力与重力的合力提供向心力，则得：mgtanθ＝mω2r，则得tanθ=ω2rg，A的半径r较小，ω相等，可知A与竖直方向夹角θ较小，故C错误。
故选：D。
一.知识总结1．圆周运动相关物理量2.圆周运动各物理量间的关系3.匀速圆周运动与变速圆周运动的区别与联系匀速圆周运动变速圆周运动运动特点线速度的大小不变，角速度、周期和频率都不变，向心加速度的大小不变线速度的大小、方向都变，角速度变，向心加速度的大小、方向都变，周期可能变也可能不变受力特点所受到的合力为向心力，大小不变，方向变，其方向时刻指向圆心所受到的合力不总指向圆心，合力产生两个效果：①沿半径方向的分力F n，即向心力，它改变速度的方向；②沿切线方向的分力F t，它改变速度的大小运动性质非匀变速曲线运动(加速度大小不变，方向变化)非匀变速曲线运动(加速度大小、方向都变化)二. 圆锥摆模型及其临界问题1.圆锥摆模型的受力特点受两个力，且两个力的合力沿水平方向，物体在水平面内做匀速圆周运动。
2．运动实例运动模型向心力的来源图示飞机水平转弯火车转弯圆锥摆物体在光滑半圆形碗 内做匀速圆周运动(1)对研究对象进行受力分析，确定向心力来源。
(2)确定圆心和轨道半径。
(3)应用相关力学规律列方程求解。
4．规律总结 (1)圆锥摆的周期如图摆长为L ，摆线与竖直方向夹角为θ。
受力分析，由牛顿第二定律得：mg tan θ＝m 4π2T 2rr ＝L sin θ解得T ＝2πL cos θg ＝2πh g 。
(2)结论①摆高h ＝L cos θ，周期T 越小，圆锥摆转得越快，θ越大。
②摆线拉力F ＝mgcos θ，圆锥摆转得越快，摆线拉力F 越大。
③摆球的加速度a ＝g tan θ。
5．圆锥摆的两种变形变形1：具有相同锥度角的圆锥摆(摆长不同)，如图甲所示。
由a ＝g tan θ知A 、B 的向心加速度大小相等。
由a ＝ω2r 知ωA <ωB ，由a ＝v 2r 知v A >v B 。
变形2：具有相同摆高、不同摆长和摆角的圆锥摆，如图乙所示。
由T ＝2πhg 知摆高h 相同，则T A ＝T B ，ωA ＝ωB ，由v ＝ωr 知v A >v B ，由a ＝ω2r 知a A >a B 。
6. 解决圆锥摆临界问题的技巧圆锥摆的临界问题，主要就是与弹力有关的临界问题。
(1)绳子松弛或断开的临界条件是：①绳恰好拉直且没有弹力；②绳上的拉力恰好达最大值。
(2)接触或脱离的临界条件是物体与物体间的弹力恰好为零。
(3)对于火车转弯、半圆形碗内的水平圆周运动有两类临界情况：①摩擦力的方向发生改变；②发生相对滑动。
三.例题精讲题型一：圆锥摆模型常规问题例1．如图所示，一根不可伸长的轻质细绳（绳长为L），一端系着质量为m的小球（可视为质点），另一端悬于O点。
重力加速度大小为g，当小球在水平面内做匀速圆周运动的角速度为ω时，下列说法正确的是（）A．细绳的拉力大小为2mω2lB．悬点O到轨迹圆心高度为2gω2C．小球的向心加速度大小为√ω4l2−g2D．小球的线速度大小为2√ω2l2−g2ω2【解答】解：设小球做匀速圆周运动时细绳与竖直方向的夹角为θ，有Fsinθ＝mω2lsinθ，得F＝mlω2，故A错误；由mgtanθ＝mω2lsinθ，h＝lcosθ，得h=gω2，故B错误；由mgtanθ＝mω2lsinθ，可得cosθ=glω2，小球的向心加速度大小a＝ω2lsinθ=√ω4l2−g2，故C正确；由cosθ=glω2，得小球的线速度大小v＝ωlsinθ=√ω2l2−g2ω2，故D错误．故选：C。
题型二：圆锥摆模型临界问题例2．质量为m的小球由轻绳a和b分别系于一轻质细杆的A点和B点，如图所示，绳a与水平方向成θ角，绳b在水平方向且长为L，当轻杆绕轴AB以角速度ω匀速转动时，小球在水平面内做匀速圆周运动，重力加速度为g，则下列说法正确的是（）A．a绳的张力可能为零B．a绳的张力随角速度的增大而增大C．当角速度ω＞√gLtanθ，b绳将出现弹力D．若b绳突然被剪断，则a绳的弹力一定发生变化【解答】解：A、小球做匀速圆周运动，在竖直方向上的合力为零，水平方向上的合力提供向心力，所以a绳在竖直方向上的分力与重力相等，可知a绳的张力不可能为零，故A错误；BC、当b绳恰好拉直且拉力为零时，有：mgtanθ=mLω2，解得ω=√gLtanθ，可知当角速度ω＞√gLtanθ时，b绳出现弹力；此后角速度再增大时，竖直方向上受力始终平衡，得：F a sinθ＝mg，解得F a =mgsinθ，可知a 绳的拉力不再变化，故B 错误，C 正确； D 、由于b 绳可能没有弹力，故b 绳突然被剪断，a 绳的弹力可能不变，故D 错误。
故选：C 。
四.举一反三，巩固训练1. 有一种杂技表演叫“飞车走壁”，由杂技演员驾驶摩托车沿圆台形表演台的侧壁高速行驶，做匀速圆周运动。
如图所示，图中虚线表示摩托车的行驶轨迹，轨迹离地面的高度为h ，下列说法中正确的是（ ）A ．h 越高，摩托车对侧壁的压力将越大B ．h 越高，摩托车做圆周运动的线速度将越大C ．h 越高，摩托车做圆周运动的周期将越小D ．h 越高，摩托车做圆周运动的向心力将越大【解答】解：A 、摩托车做匀速圆周运动，提供圆周运动的向心力是重力mg 和支持力F 的合力，作出力图。
侧壁对摩托车的支持力F =mgcosθ不变，则摩托车对侧壁的压力不变。
故A 错误。
B 、第二定律得F n ＝mv 2r，h 越高，r 越大，F n 不变，则v 越大。
故B 正确。
C 、根据牛顿根据牛顿第二定律得F n ＝mr 4π2T 2，h 越高，r 越大，F n 不变，则T 越大。
故C 错误。
D 、如图向心力F n ＝mgtan θ，m ，θ不变，向心力大小不变。
故D 正确。
故选：B 。
2. 火车轨道的转弯处外轨高于内轨，如图所示。
若已知某转弯处轨道平面与水平面夹角为θ，弯道处的圆弧半径为R 。
在该转弯处规定的安全行驶的速度为v ，则下列说法中正确的是（ ） A ．该转弯处规定的安全行驶的速度为v =√Rgtanθ B ．该转弯处规定的安全行驶的速度为v =√Rgsinθ C ．当实际行驶速度大于v 时，轮缘挤压内轨 D ．当实际行驶速度小于v 时，轮缘挤压外轨【解答】解：AB 、火车以某一速度v 通过某弯道时，内、外轨道均不受侧压力作用，其所受的重力和支持力的合力提供向心力，由图得：F 合＝mgtan θ（θ为轨道平面与水平面的夹角），根据合力提供向心力得：mgtan θ＝m v 2R，解得：v =√Rgtanθ，故A 正确，B 错误；C 、当转弯的实际速度大于规定速度时，火车所受的重力和支持力的合力不足以提供所需的向心力，火车有离心趋势，故其外侧车轮轮缘会与铁轨相互挤压，外轨受到侧压力作用方向平行轨道平面向外，轮缘挤压外轨，故C 错误；D 、当转弯的实际速度小于规定速度时，火车所受的重力和支持力的合力大于所需的向心力，火车有向心趋势，故其内侧车轮轮缘会与铁轨相互挤压，内轨受到侧压力作用方向平行轨道平面向内，轮缘挤压内轨，故D 错误； 故选：A 。
3. 3D 地图技术能够为无人驾驶汽车分析数据，提供操作的指令.如图所示为一段公路拐弯处的地图，则（ ）A ．若弯道是水平的，汽车拐弯时受到重力、支持力、摩擦力和向心力B ．若弯道是水平的，为防止汽车侧滑，汽车拐弯时收到的指令是让车速大一点C ．若弯道是倾斜的，为了防止汽车侧滑，道路应为内（东北）高外（西南）低D ．若弯道是倾斜的，为了防止汽车侧滑，道路应为外（西南）高内（东北）低【解答】解：A 、如果弯道是水平的，则“无人驾驶”汽车在拐弯时受到重力、支持力、摩擦力，向心力不是汽车实际受到的力，故A 错误；B 、如果弯道是水平的，由静摩擦力提供向心力，根据f ＝mv 2R可知，速度越大，所需要的向心力越大，当需要的向心力大于最大静摩擦力时，汽车做离心运动，所以“无人驾驶”汽车在拐弯时收到的指令应让车速小一点，防止汽车做离心运动而发生侧翻，故B 错误；CD 、如果弯道是倾斜的，重力和支持力的合力可以提供向心力，而向心力指向圆心，所以3D 地图上应标出外（西南）高内（东北）低，故C 错误，D 正确。
故选：D 。
4. 如图所示是利用圆锥摆粗略验证向心力表达式的实验装置图，已知小球质量为m ，小球距悬点的竖直高度为h ，小球在水平面内做圆周运动的半径为r ，用秒表测得小球运动n 圈的时间为t ，则下列说法正确的是（ ） A ．小球受到重力、拉力、向心力 B ．向心力的表达式F n ＝m4π2t 2rC ．小球所受的合外力为F 合＝mg r ℎD ．小球转动越快，细线与竖直方向的夹角越小【解答】解：A 、小球受到重力和绳子拉力，两者的合力提供向心力，故A 错误；B、小球做圆周运动的周期T=tn，其向心力公式为F n=m4π2T2r=m4π2n2t2r，故B错误；C、设绳子与竖直方向的夹角为θ，则有tanθ=rℎ，其所受重力和绳子拉力的合力提供向心力，有F合=mgtanθ=mg rℎ，故C正确；D、设绳长为L，根据牛顿第二定律有mgtanθ＝m•Lsinθ•ω2，解得；ω=√gLcosθ，由此可知，角速度越大，θ越大，故D错误；故选：C。
5.铁路在弯道处的内、外轨道高度是不同的，已知内、外轨道平面与水平面的夹角为θ，如图所示，弯道处的圆弧半径为R，若质量为m的火车转弯时速度等于√gRtanθ，则（）A．内轨对内侧车轮轮缘有挤压B．外轨对外侧车轮轮缘有挤压C．这时铁轨对火车的支持力等于mgcosθD．这时铁轨对火车的支持力大于mgcosθ【解答】解：CD、火车在水平面内运动，所以，在竖直方向上受力平衡，所以，铁轨对火车的支持力F N的竖直分量与重力平衡，即F N cosθ＝mg，所以，F N=mgcosθ，故C正确，D错误；AB、铁轨对火车的支持力F N的水平分量为F N sinθ＝mgtanθ，火车在弯道半径为R的转弯处的速度v=√gRtanθ，所以，火车转弯时需要的向心力F=mv2R=mgtanθ；支持力的水平分量正好等于向心力，故火车轮缘对内外轨道无挤压，故A错误，B错误；故选：C。
