竖直平面内的圆周运动释疑讲解

水平面、竖直面内的圆周运动类型一水平面内圆周运动的临界问题知识回望1.运动特点(1)运动轨迹是水平面内的圆.(2)合外力沿水平方向指向圆心，提供向心力，竖直方向合力为零，物体在水平面内做匀速圆周运动.2.几种常见的临界条件(1)水平转盘上的物体恰好不发生相对滑动的临界条件是物体与盘间恰好达到最大静摩擦力.(2)物体间恰好分离的临界条件是物体间的弹力恰好为零.(3)绳的拉力出现临界条件的情形有：绳恰好拉直意味着绳上无弹力；绳上拉力恰好为最大承受力等.例1(多选)如图所示，两个质量均为m的小木块a和b(可视为质点)放在水平圆盘上，a 与转轴OO′的距离为l，b与转轴的距离为2l.木块与圆盘的最大静摩擦力为木块所受重力的k倍，重力加速度大小为g.若圆盘从静止开始绕转轴缓慢地加速转动，用ω表示圆盘转动的角速度，下列说法正确的是()A.b一定比a先开始滑动B.a、b所受的摩擦力始终相等C.ω＝kg2l是b开始滑动的临界角速度D.当ω＝2kg3l时，a所受摩擦力的大小为kmg【答案】AC【解析】小木块a、b做圆周运动时，由静摩擦力提供向心力，即F f＝mω2R.当角速度增加时，静摩擦力增大，当增大到最大静摩擦力时，发生相对滑动，对木块a：F f a＝mωa2l，当F f a＝kmg时，kmg＝mωa2l，ωa＝kgl；对木块b：F f b＝mωb2·2l，当F f b＝kmg时，kmg＝mωb2·2l，ωb ＝kg2l，所以b 先达到最大静摩擦力，选项A 正确；两木块滑动前转动的角速度相同，则F f a ＝mω2l ，F f b ＝mω2·2l ，F f a <F f b ，选项B 错误；当ω＝kg2l时，b 刚开始滑动，选项C 正确；ω＝2kg3l<ωa ＝kg l ，a 没有滑动，则F f a ＝mω2l ＝23kmg ，选项D 错误. 故选AC 。

变式训练1 (汽车在水平地面上转弯)(多选)如图所示为赛车场的一个水平“U ”形弯道，转弯处为圆心在O 点的半圆，内、外半径分别为r 和2r .一辆质量为m 的赛车通过AB 线经弯道到达A ′B ′线，有如图所示的①、②、③三条路线，其中路线③是以O ′为圆心的半圆，OO ′＝r .赛车沿圆弧路线行驶时，路面对轮胎的最大径向静摩擦力为F max ，选择路线，赛车以不打滑的最大速率通过弯道(所选路线内赛车速率不变，发动机功率足够大)，则( )A.选择路线①，赛车经过的路程最短B.选择路线②，赛车的速率最小C.选择路线③，赛车所用时间最短D.①、②、③三条路线的圆弧上，赛车的向心加速度大小相等 【答案】ACD【解析】由题图及几何关系知：路线①的路程为s 1＝2r ＋πr ，路线②的路程为s 2＝2r ＋2πr ，路线③的路程为s 3＝2πr ，A 正确；赛车以不打滑的最大速率通过弯道，有F max ＝ma n ＝m v 2R ，速度v ＝F max Rm，即半径越大，速率越大，选择路线①赛车的速率最小，B 错误，D 正确；根据t ＝sv ，代入数据解得，选择路线③，赛车所用时间最短，C 正确. 故选ACD 。

一、竖直平面内圆周运动的绳模型与杆模型问题1．在竖直平面内做圆周运动的物体，按运动到轨道最高点时的受力情况可分为两类：一是无支撑(如球与绳连接、沿内轨道运动的过山车等）,称为“绳（环)约束模型”,二是有支撑（如球与杆连接、在弯管内的运动等），称为“杆（管道）约束模型”。

2．绳、杆模型涉及的临界问题绳模型杆模型常见类型均是没有支撑的小球均是有支撑的小球过最高点的临界条件由rmvmg2=得：grv=临由小球恰能做圆周运动得v临=0讨论分析（1）过最高点时，grv≥2NmvF mgr+=，绳、轨道对球产生弹力2NmvF mgr=-（2）不能过最高点时，grv<，在到达最高点前小（1）当v=0时，F N=mg,F N为支持力，沿半径背离圆心（2)当grv<<时,2NmvF mgr-+=,F N背向圆心，随v的增大而减小（3)当grv=时，F N=0球已经脱离了圆轨道（4）当gr v >时，2N mv F mg r+=，F N 指向圆心并随v 的增大而增大二、竖直面内圆周运动的求解思路1．定模型：首先判断是轻绳模型还是轻杆模型，两种模型过最高点的临界条件不同；2．确定临界点:gr v=临，对轻绳模型来说是能否通过最高点的临界点，而对轻杆模型来说F N 是表现为支持力还是拉力的临界点；3．研究状态：通常情况下竖直平面内的圆周运动只涉及最高点和最低点的运动情况；4．受力分析：对物体在最高点或最低点时进行受力分析,根据牛顿第二定律列出方程,F 合=F 向.5．过程分析：应用动能定理或机械能守恒定律将初、末两个状态联系起来列方程。

（2014·新课标全国卷Ⅱ)如图，一质量为M 的光滑大圆环，用一细轻杆固定在竖直平面内；套在大圆环上的质量为m 的小环（可视为质点），从大圆环的最高处由静止滑下，重力加速度为g 。

当小圆环滑到大圆环的最低点时,大圆环对轻杆拉力的大小为:A ．Mg –5mgB ．Mg+mgC ．Mg+5mgD ．Mg+10mg 【参考答案】C【试题解析】小圆环到达大圆环低端时满足：2122mg R mv⋅=，对小圆环在最低点,有牛顿定律可得：2N vF mg mR；对大圆环，由平衡可知：TN F MgF ，解得T5F Mgmg ,选项C 正确。

BA 6122--图6121--图专题二： 竖直平面内的圆周运动的综合问题【学习目标】1. 了解竖直平面内的圆周运动的特点．2. 了解变速圆周的运动物体受到的合力产生的两个效果，知道做变速圆周运动的物体受到的合力不指向圆心．3. 掌握处理变速圆周运动正交分解的方法．4. 学会用能量观点研究竖直平面内圆周运动．【教材解读】1. 竖直平面内的圆周运动的特点竖直平面内的圆周运动分为匀速圆周运动和变速圆周运动两种．常见的竖直平面内的圆周运动是物体在轨道弹力（或绳、杆的弹力）与重力共同作用下运动，多数情况下弹力（特别是绳的拉力与轨道的弹力）方向与运动方向垂直对物体不做功，而重力对物体做功使物体的动能不断变化，因而物体做变速圆周运动．若物体运动过程中，还受其他力与重力平衡，则物体做匀速圆周运动．2. 变速圆周运动所受合外力产生两个效果 做变速圆周运动的物体受到的合力不指向圆心(图6-12-1)，它产生两个方向的效果． 12F F F ⎧−−−−−−−→⎪⎨−−−−−−−→⎪⎩ 合产生向心加速度产生切线方向加速度半径方向的分力改变速度的方向切线方向的分力改变速度的大小 因此变速圆周运动的合外力不等于向心力，只是在半径方向的分力F 1提供向心力．3. 变速圆周运动中的正交分解应用牛顿运动定律解答圆周运动问题时，常采用正交分解法，其坐标原点是做圆周运动的物体（视为质点）所在的位置，建立相互垂直的两个坐标轴：一个沿法线（半径）方向，法线方向的合力F 1改变速度的方向；另一个沿切线方向，切线方向的合力F 2改变速度的大小．（想一想，图 6-12-1中物体的速度在增大还是减小？）4. 处理竖直平面内圆周运动的方法如前所述，通常情况下，由于弹力对物体不做功，只有重力（或其他力）对物体做功，因此，运用能量观点（动能定理、机械能守恒定律）和牛顿运动定律相结合是解决此类问题的有效方法．另外要注意在不同约束条件下物体能完成圆周运动的条件不同：在绳（或沿圆轨道内侧运动）的约束下，最高点速度v ≥度v ≥ 0．【案例剖析】例1．如图6-12-2所示，质量为m 的小球自半径为R 的光滑半圆形轨道最高点A 处由静止滑下，当滑至最低点B 时轨道对小球的支持力是多大？解析：小球下滑过程中轨道对小球的弹力不做功，只有重力对小球做功，所以小球的机械能守恒．212mgR mv =由机械能守恒定律得: 2, 3v B F mg m F mg R-==在点,根据牛顿第二定律有:由可解得 例2．如图6-12-3所示，长为l 的细绳一端固定在O 点，另一端拴质量为m 的小球，在O 点正下方距离O 点d 处有一钉子．将细绳拉成水平无初速释放小球，为使细绳碰到钉子后小球能在竖直平面内做完整的圆周运动，d 应满足什么条件？ 解析：为使小球能绕钉子做完整的圆周运动，小球必须能通过圆周的最高点，设小球运动的轨道半径为R ，则小球在最高点的速度应满足：v ≥21 22mgl mgR mv =+根据机械能定律有: 由此可解得：R ≤ 0.4l ．所以，d 满足的条件是：0.6l ≤ d < l ．例3．风洞实验室中可产生大小、方向可调节的风力．用长为l 的细线拴一小球将其放入风洞实验室，调节风力方向为水平向右（如图6-12-4所示），当小球静止在A 点时，悬线与竖直方向夹角为α．试求：⑴ 水平风力的大小；⑵ 若将小球从竖直位置由静止释放，当悬线与竖直方向成多大角度时，小球的速度最大？最大速度是多少？解析： ⑴参照图6-12-5，根据平衡知识，可求得风力大小F = mgtanα，同时还可求得风力与重力的合力为mg/cos α．⑵当小球运动到细线与竖直方向夹角为β时，建立如图6-12-6所示的坐标系：在x 轴方向，当Fcosβ >m gsinβ时，小球速度在增大；当Fcosβ <mgsinβ时，小球速度在减小．当Fcosβ = mgsinβ时小球的速度达到最大，将第⑴问中的F 代入即可解得：β = α．21sin (1cos )2Fl mgl mv αα--=根据动能定理得:tan F mg v α==将代入可解得思考：⑴小球静止在A 点时，给小球多大的速度才能使它在竖直平面内做完整的圆周运动？如图6-12-7所示，小球必须能通过B 点才能做完整的圆周运动，设通过B 点时小球的最小速度为v min ，则此时绳上拉力恰好为零．222min min 11 2cos cos 22v mg mg m l mv mv l v αα==-=(1)(2)由(1)(2)可解得: ⑵若将风力方向调节为竖直向上，并使风力大小恰好等于小球重力，那么，在最低点给小球水平方向的初速度，试分析小球的运动情况．6124--图6123--图F6125--图6126--图6127--图分析：因为合力对小球始终不做功，故动能不变，所以小球做匀速圆周运动．【知识链接】飞行员在进行特技飞行表演时，会发生黑视现象．当飞行员从俯冲状态往上拉时（图6-12-8），血液处于超重状态，视重增大，心脏无法象平常一样运输血液，导致血压降低，从而导致视网膜缺血．【目标达成】1．如图6-12-9所示，小球在竖直放置的光滑圆弧轨道内侧做圆周运动，下列关于小球加速度方向的说法中，正确的是（ ）A. 一定指向圆心B. 一定不指向圆心C. 只有在最高点和最低点指向圆心D. 除最高点和最低点外，肯定不指向圆心解析：对小球受力分析可知，只有小球处于最高点和最低点时，弹力与重力的合力才指向圆心，其他位置均不指向圆心，故选项C 、D 正确．2．上海锦江乐园新建的“摩天转轮”是在直径为98m 的圆周上每隔一定位置固定一座舱，每座舱有6个座位．游人乘坐时，转轮始终不停地在竖直平面内匀速转动，试判断下列说法中正确的是（ ）A. 每时每刻，乘客受到的合力都不为零B. 每个乘客都在做加速度为零的匀速运动C. 乘客在乘坐过程中对座位的压力始终不变D. 乘客在乘坐过程中的机械能始终保持不变解析：由于乘客随座舱在竖直平面内做匀速圆周运动，故受到合力指向圆心，选项A 正确、B 错误．将加速度沿水平、竖直方向分解可知：人位于转轴以下时，人处于超重状态，人对座位的压力大于人的重力；人位于转轴以上时，人处于失重状态，人对座位的压力小于人的重力，故选项C 错误．在运动过程中，人动能始终不变，而势能在变化，所以选项D 错误．故本题正确选项为A ．3．如图6-12-10所示，细线长为l ，一端固定在O 点，另一端系一小球，把线拉至水平位置，然后无初速释放小球，在达到最低点时小球加速度为a ，线的拉力为F ，则它们之间的关系为（ ） A ． l 越长，a 越大，F 也越大B ． l 越长，a 越大，F 不变C ． l 越长，F 越大，a 不变D ． a 、F 均不随l 的变化而变化解析：根据机械能守恒定律和牛顿第二定律可求得：F = 3mg ，a = 2g ，故选项D 正确．4．如图6-12-11所示，将完全相同的两个小球A 、B ，用长0.8m 的细线悬于以v = 4m/s 向右匀速行驶的车厢顶部，两球分别与小车前后壁接触，由于某种原因，车厢突然停止，此时前后悬线的拉力之比为（ ）A. 1：1B. 1：2C. 1：361210--图6129--图61211--图6128--图D. 1：4解析：车厢停止时，前面小球也静止，故拉力等于重力；后面小球由于惯性开始做圆周运动，根据牛顿第二定律可解得此时绳上拉力是其重力的3倍，故选项C 正确．5．如图6-12-12所示，质量为m 的小球用细绳拴住，在竖直平面内做圆周运动，已知小球运动到最高点时对绳的拉力为mg ，则小球运动到最低点时对绳的拉力为（ ）A ．3mgB ．5mgC ．7mgD ．9mg 解析：在最高点：21v mg mg m R +=，在最低点：22v F mg m R-= 由机械能守恒定律：222111222mgR mv mv =-；由此可得正确选项为C ． 6．如图6-12-13所示，从光滑的1/4圆弧槽的最高点滑下的小滑块，滑出槽口时速度方向为水平方向，槽口与一个半球顶点相切，半球底面为水平，若要使小物块滑出槽口后不沿半球面下滑，已知圆弧轨道的半径为R 1，半球的半径为R 2，则R 1和R 2应满足的关系是（ ） 21212121A. B.2C. D. 2R R R R R R R R ≤≤≥≥解析：为使小物块不沿半球面下滑，则它在球顶端的速度v 定律可得：2112mgR mv =，联立解得D 为正确选项． 7．童非是我国著名的体操运动员，首次在单杠项目上实现了“单臂大回环”，即用一只手抓住单杠，伸展身体以单杠为轴做圆周运动．假设童非的质量为65kg ，那么，在完成“单臂大回环”的过程中，童非的单臂至少要能够承受 N 的力（g 取10m/s 2）解析：设童非做圆周运动的轨道半径为R （R 为其重心离转轴的距离），则在最高点，其最小速度可为0． 在最低点：2v F mg m R-= 由机械能守恒定律：2122mgR mv =，由此解得F = 5mg =3250N ． 8．如图6-12-14所示，支架质量为M ，放在水平地面上，转轴O处用长 l 的细绳悬挂质量为m 的小球．⑴ 把小球拉起到细绳水平的位置，然后释放小球，当它运动到最低点时地面对支架的支持力多大？⑵若小球在竖直平面内摆动到最高点时，支架恰对地面无压力，则小球在最高点的速度是多大？61212--图61214--图61213--图61216--图解析：⑴设小球运动到最低点速度为v ，由机械能守恒定律和牛顿第二定律得：221; 32v mgl mv F mg m F mg l=-==由此可得 所以此时地面对支架的支持力F N = Mg + F = Mg +3mg⑵运动到最高点时，支架恰对地面无压力，说明细绳上的拉力F = Mg2: :v mg F m v l+==对小球解得【拓展提高】 9．如图6-12-15所示，半径为R 、内径很小的光滑半圆管置于竖直平面内，两个质量均为m 的小球A 、B ，以不同的速度进入管内，A 通过最高点C 时，对管壁上部的压力为3mg ，B 通过最高点C 时，对管壁的下部压力为0.75mg ，求A 、B 两球落地点间的距离．解析：设A 、B 两球到达最高点时速度分别为vA 、vB ，根据牛顿第二定律，22: 3 :: 0.75 :A A B B v A mg mg m v R v B mg mg m v R +==-==对球解得对球解得A 、B 两球离开C 后做平抛运动，落地点间距设为△x ，根据平抛运动规律有： 2() 3122A B x v v t x R R gt ∆=-⨯⎫⎪∆=⎬=⎪⎭解得 10．如图6-12-16所示，光滑水平面AB 与竖直平面内半圆形导轨在B 点衔接，导轨半径为R ．一个质量为m 的物块静止在A 处压缩弹簧，在弹力作用下获得向右的初速度，当它经过B 点进入导轨瞬间对导轨的压力为其重力的7倍，之后向上运动恰能完成半圆周运动到达C 点．求： ⑴ 弹簧对物块的弹力做的功； ⑵ 物块从B 至C 克服阻力做的功； ⑶ 物块离开C 点后落回水平面时的动能是多大？解：物块在B 点时受力mg 和导轨的支持力F N =7mg ，由牛顿第二定律得：2217 32B KB B v mg mg m E mv mgR R -=∴==物块到达C 点时仅受重力mg ，由牛顿第二定律得：2211 22c KC C v mg m E mv mgR R =∴== ⑴根据动能定理，可求得弹簧弹力对物块做功为= 3KB W E mgR =弹⑵物体从B 到C 只有重力和阻力做功，根据动能定理有：61215--图2 :0.5KC KB W mgR E E W mgR -=-=-阻阻解得即物体从B 到C 克服阻力做功为0.5mgR⑶物体离开轨道后做平抛运动，仅有重力做功，机械能守恒． 0.52 2.5K KC pC E E E mgR mgR mgR =+=+=章末综合知识网络。

竖直平面内的圆周运动问题分析竖直平面内的圆周运动，是典型的变速圆周运动，对于物体在竖直平面内做变速圆周运动的问题，中学物理中只研究物体通过最高点和最低点的情况，并且经常出现临界状态.（1）如图4-21所示，没有物体支撑的小球，在竖直平面内做圆周运动过最高点的情况：图4-21○1临界条件：小球到达最高点时绳子的拉力（或轨道的弹力）刚好等于零，小球的重力提供做圆周运动的向心力.即rv mmg 2临界 .上式中的临界v 是小球通过最高点的最小速度，通常叫临界速度临界v ＝rg . ○2能过最高点的条件：v >临界v （此时绳或轨道对球产生拉力F 或压力FN ）. ○3不能过最高点的条件：v <临界v （实际上球还没有到最高点就脱离了轨道）.（2）如图4-22所示，有物体支撑的小球在竖直平面内做圆周运动过最高点的情况：图4-22○1临界条件：由于硬杆和管壁的支撑作用，小球恰能达到最高点的临界速度 临界v ＝0○2图4-22甲所示的小球过最高点时，轻杆对小球的弹力的情况： 当v ＝0时，轻杆对小球有竖直向上的支持力F N ，其大小等于小球的重力，即F N ＝mg . 当0 <v <rg 时，杆对小球的支持力的方向竖直向上，大小随速度的增大而减小，其取值范围是：mg > F N > 0.当v =rg 时，F N ＝0.当v ＞rg 时，杆对小球有指向圆心的拉力，其大小随速度的增大而增大.○3图4-22乙所示的小球过最高点时，光滑硬管对小球的弹力情况： v ＝0时，管的内壁下侧对小球有竖直向上的支持力F N ，其大小等于小球重力，即F N =mg .当0＜v ＜rg 时，管的内壁下侧对小球有竖直向上的支持力F N ，大小随速度的增大而减小，其取值范围是mg > F N > 0.当v ＝rg 时，F N ＝0.当v >rg 时，管的内壁上侧对小球有竖直向下指向圆心的压力，其大小随速度的增大而增大.一、竖直平面圆周运动的最大高度分析例1、如图所示，固定在竖直平面内的光滑圆轨道半径为R ，轨道内侧底部静止着一个光滑小球，现给小球一个冲量使其在瞬间得到一个水平初速0v ，若0v 大小不同，则小球能够上升到的最大高度（距离底部）也不同．下列说法中正确的是A．如果0=v R /2 B．如果0=v 3R /2 C．如果0=v 2R D．如果0=v 2R1、ABD 【解析】在竖直平面内圆环轨道内侧运动的小球，只可能在与圆心等高的B 点上方离开轨道，在B 点下方运动，无论速度多大，都不会离开轨道，因此B 点下方速度可以为零，恰能上升到B点，则20012m =m gR v v ，，A 项小球不通上升到B 点，因此满足2012m gh=m v ，得2R h=，A 正确；当小球能通过轨道最高点时，速度应满足2211222m -m =m g R ⋅v v ，而2mg mRv≤，得0v ≥，C错D对；当0=v BC 之间离开轨道做斜上抛运动，在轨迹最高点时速度大于零，不满足2012m =m gh v ，即上升的最大高度比32h=R 小，B 正确。

第3讲 ⎪⎪⎪抓住“三类模型”，破解竖直面内的圆周运动 [考法·学法]圆周运动是历年高考必考的运动形式。

特别是竖直面内的圆周运动，在高考中考查的频率较高。

本讲主要解决的是竖直面内的三类典型模型(绳模型、杆模型和外轨模型)及相关的多过程问题。

考查内容 ①三类典型模型②向心力的分析及其方程应用 ③圆周运动与平抛运动的多过程组合问题思想方法 ①应用临界条件处理临界问题的方法②正交分解法 ③矢量三角形法 ④等效思想 ⑤分解思想一、通过“绳模型”考查竖直面内的圆周运动基础保分类考点[全练题点]1.[多选]如图所示，竖直放置的光滑圆轨道被固定在水平地面上，半径r ＝0.4 m ，最低点处有一小球(半径比r 小很多)，现给小球一水平向右的初速度v 0，则要使小球不脱离轨道运动，v 0应当满足(g ＝10 m/s 2)( ) A ．v 0≥0 B ．v 0≥4 m/s C ．v 0≥2 5 m/sD ．v 0≤2 2 m/s解析：选CD 解决本题的关键是全面理解“小球不脱离圆轨道运动”所包含的两种情况：(1)小球通过最高点并完成圆周运动；(2)小球没有通过最高点，但小球没有脱离圆轨道。

对于第(1)种情况，当v 0较大时，小球能够通过最高点，这时小球在最高点处需要满足的条件是mg≤mv 2r ，又根据机械能守恒定律有12mv 2＋2mgr ＝12mv 02，可求得v 0≥2 5 m/s ，故选项C 正确；对于第(2)种情况，当v 0较小时，小球不能通过最高点，这时对应的临界条件是小球上升到与圆心等高位置处，速度恰好减为零，根据机械能守恒定律有mgr ＝12mv 02，可求得v 0≤2 2 m/s ，故选项D 正确。

2.如图所示，长均为L 的两根轻绳，一端共同系住质量为m 的小球，另一端分别固定在等高的A 、B 两点，A 、B 两点间的距离也为L 。

重力加速度大小为g 。

现使小球在竖直平面内以AB 为轴做圆周运动，若小球在最高点速率为v 时，两根绳的拉力恰好均为零，则小球在最高点速率为2v 时，每根绳的拉力大小为( ) A.3mg B.433mg C ．3mgD ．23mg解析：选A 设小球在竖直面内做圆周运动的半径为r ，小球运动到最高点时轻绳与圆周运动轨道平面的夹角为θ＝30°，则有r ＝Lcos θ＝32L 。

高中物理模型11 竖直平面圆周运动（原卷版）竖直平面内两类典型模型分析轻绳模型轻杆模型实例如球与绳连接、沿内轨道运动的球等如球与杆连接、球在内壁光滑的圆管内运动等图示最高点无支撑最高点有支撑最高点受力特征重力、弹力,弹力方向指向圆心重力、弹力,弹力方向指向圆心或背离圆心受力示意图力学方程mg+F N=m mg±F N=m临界特征F N=0,v min=竖直向上的F N=mg,v=0过最高点条件v≥v≥0速度和弹力关①能过最高点①当v=0时,F N=mg,F N为支持力,沿半径背离圆心系讨论分析时,v≥,F N+mg=m,绳、轨道对球产生弹力F N②不能过最高点时,v<,在到达最高点前小球已经脱离了圆轨道做斜抛运动②当0<v<时,-F N+mg=m,F N背离圆心,随v的增大而减小③当v=时,F N=0④当v>时,F N+mg=m,F N指向圆心并随v的增大而增大【典例1】“水流星”是一个经典的杂技表演项目,杂技演员将装水的杯子(可视为质点)用细绳系着让杯子在竖直平面内做圆周运动。

杯子到最高点时杯口向下,水也不会从杯中流出,如图所示。

若杯子质量为m,所装水的质量为M,杯子运动到圆周的最高点时,水对杯底刚好无压力,重力加速度为g,则杯子运动到圆周最高点时,杂技演员对细绳的拉力大小为()。

A.0B.mgC.MgD.(M+m)g【变式训练1a】如图3所示为模拟过山车的实验装置，小球从左侧的最高点释放后能够通过竖直圆轨道而到达右侧．若竖直圆轨道的半径为R，要使小球能顺利通过竖直圆轨道，则小球通过竖直圆轨道的最高点时的角速度最小为()图3A．gR B．2gR C．gR D．Rg【变式训练1b】一细绳与水桶相连，水桶中装有水，水桶与细绳一起在竖直平面内做圆周运动，如图2所示，水的质量m＝0.5 kg，水的重心到转轴的距离l＝50 cm.(g取10 m/s2)图2(1)若在最高点水不流出来，求桶的最小速率；(结果保留三位有效数字)(2)若在最高点水桶的速率v＝3 m/s，求水对桶底的压力大小．【典例2】长度为0.5 m的轻杆OA绕O点在竖直平面内做圆周运动，A端连着一个质量m＝2 kg的小球．求在下述的两种情况下，通过最高点时小球对杆的作用力的大小和方向．(g取10 m/s2)(1)杆做匀速圆周运动的转速为2.0 r/s；(2)杆做匀速圆周运动的转速为0.5 r/s.【变式训练1a】(多选)如图所示，一个固定在竖直平面上的光滑圆形管道，管道里有一个直径略小于管道内径的小球，小球在管道内做圆周运动，下列说法中正确的是()A．小球通过管道最低点时，小球对管道的压力向下B．小球通过管道最低点时，小球对管道的压力向上C．小球通过管道最高点时，小球对管道的压力可能向上D．小球通过管道最高点时，小球对管道可能无压力【变式训练2b】(多选)如图5所示，有一个半径为R的光滑圆轨道，现给小球一个初速度，使小球在竖直面内做圆周运动，则关于小球在过最高点的速度v，下列叙述中正确的是()图5A．v的极小值为gRB．v由零逐渐增大，轨道对球的弹力逐渐增大C．当v由gR值逐渐增大时，轨道对小球的弹力也逐渐增大D．当v由gR值逐渐减小时，轨道对小球的弹力逐渐增大【典例3】(多选)如图所示,半径为R的光滑细圆环轨道被固定在竖直平面上,轨道正上方和正下方分别有质量为2m 和m的静止小球A、B,它们由长为2R的轻杆固定连接,圆环轨道内壁开有环形小槽,可使细杆无摩擦、无障碍地绕其中心点转动。

竖直平面内的圆周运动及实例分析重庆市丰都中学 付红周 邮编（408200）e-mail ：fezfhz@竖直平面内的圆周运动一般是变速圆周运动(带电粒子在匀强磁场中运动除外)，运动的速度大小和方向在不断发生变化，运动过程复杂，合外力不仅要改变运动方向，还要改变速度大小，所以一般不研究任意位置的情况，只研究特殊的临界位置———最高点和最低点。

一、两类模型——轻绳类和轻杆类。

1、轻绳类。

运动质点在一轻绳的作用下绕中心点作变速圆周运动。

由于绳子只能提供拉力而不能提供支持力，质点在最高点所受的合力不能为零，合力的最小值是物体的重力。

所以：（1）质点过最高点的临界条件：质点达最高点时绳子的拉力刚好为零，质点在最高点的向心力全部由质点的重力来提供，这时有rv m m g 2min =，式中的min v 是小球通过最高点的最小速度，叫临界速度，（2）质点能通过最高点的条件是gr v v =≥min 。

（3）当质点的速度小于这一值时，质点运动不到最高点高作抛体运动了，（4）在只有重力做功的情况下，质点在最低点的速度不得小于gr v 5/≥，质点才能运动过最高点。

（5）过最高点的最小向心加速度g a =。

2、轻杆类。

运动质点在一轻杆的作用下，绕中心点作变速圆周运动，由于轻杆能对质点提供支持力和拉力，所以质点过最高点时受的合力可以为零，质点在最高点可以处于平衡状态。

所以质点过最高点的最小速度为零，（1）当0=v 时，轻杆对质点有竖直向上的支持力，其大小等于质点的重力，即mg N =，（2）当gr v =时，0=N ；（3）当gr v >，质点的重力不足以提供向心力，杆对质点有指向圆心的拉力；且拉力随速度的增大而增大；当（4）gr v <<0时，质点的重力大于其所需的向心力，轻杆对质点的竖直向上的支持力，支持力随v 的增大而减小，mg N <<0；（5）质点在只有重力做功的情况下，最低点的速度gr v 2≥，才能运动到最高点。

竖直面内的圆周运动1．竖直面内圆周运动两类模型一是无支撑(如球与绳连接、沿内轨道运动的过山车等)，称为“绳(环)约束模型”，二是有支撑(如球与杆连接、在弯管内的运动等)，称为“杆(管)约束模型”．2．竖直平面内圆周运动的两种模型特点及求解方法最高点无支撑最高点有支撑例1 小球P 和Q 用不可伸长的轻绳悬挂在天花板上，P 球的质量大于Q 球的质量，悬挂P 球的绳比悬挂Q 球的绳短．将两球拉起，使两绳均被水平拉直，如图11所示．将两球由静止释放．在各自轨迹的最低点( )图1A ．P 球的速度一定大于Q 球的速度B ．P 球的动能一定小于Q 球的动能C ．P 球所受绳的拉力一定大于Q 球所受绳的拉力D ．P 球的向心加速度一定小于Q 球的向心加速度①P 球的质量大于Q 球的质量；②由静止释放；③在各自轨迹的最低点．答案 C解析 小球从水平位置摆动至最低点，由动能定理得，mgL ＝12m v 2，解得v ＝2gL ，因L P <L Q ，故v P <v Q ，选项A 错误；因为E k ＝mgL ，又m P >m Q ，L P <L Q ，则两小球的动能大小无法比较，选项B 错误；对小球在最低点受力分析得，F T －mg ＝m v 2L ，可得F T ＝3mg ，选项C 正确；由a n ＝v 2L＝2g 可知，两球的向心加速度相等，选项D 错误．例2 如图2所示，一质量为m ＝0.5 kg 的小球，用长为0.4 m 的轻绳拴着在竖直平面内做圆周运动．g 取10 m/s 2，求：图2(1)小球要做完整的圆周运动，在最高点的速度至少为多大？ (2)当小球在最高点的速度为4 m/s 时，轻绳拉力多大？(3)若轻绳能承受的最大张力为45 N ，小球的速度不能超过多大？①轻绳拴着在竖直平面内做圆周运动；②小球要做完整的圆周运动；③最大张力为45 N.答案 (1)2 m/s (2)15 N (3)4 2 m/s解析 (1)在最高点，对小球受力分析如图甲，由牛顿第二定律得mg ＋F 1＝m v 2R ①由于轻绳对小球只能提供指向圆心的拉力，即F 1不可能取负值， 亦即F 1≥0②联立①②得v ≥gR ， 代入数值得v ≥2 m/s所以，小球要做完整的圆周运动，在最高点的速度至少为2 m/s. (2)将v 2＝4 m/s 代入①得，F 2＝15 N.(3)由分析可知，小球在最低点张力最大，对小球受力分析如图乙，由牛顿第二定律得 F 3－mg ＝m v 23R③将F 3＝45 N 代入③得v 3＝4 2 m/s 即小球的速度不能超过4 2 m/s.。