《定积分的概念及其应用》同步测试(新人教选修2-2)

人教新课标A版选修2-2数学1．5定积分的概念同步练习（I）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共15题；共30分)1. （2分）函数的图象与x轴所围成的封闭图形的面积为（）A .B . 1C . 2D .2. （2分）(2017·临汾模拟) 一物体A以速度v（t）=t2﹣t+6沿直线运动，则当时间由t=1变化到t=4时，物体A运动的路程是（）A . 26.5B . 53C . 31.5D . 633. （2分）在弹性限度内，弹簧所受的压缩力F与缩短的距离按胡克定律计算.今有一弹簧原长，每压缩1cm需0.049N的压缩力，若把这根弹簧从70cm压缩至50cm（在弹性限度内），外力克服弹簧的弹力做了（）功（单位：J）A . 0.196B . 0.294C . 0.686D . 0.984. （2分） (2017高二下·枣强期末) 已知二次函数的图像如图所示，则它与轴所围图形的面积为（）A .B .C .D .5. （2分）求由抛物线与直线所围成的曲边梯形的面积时，将区间[ 等分成个小区间，则第个区间为（）A .B .C .D .6. （2分）由函数y=ex ， y=e及直线x=0所围成的图形的面积为（）A . 1B .C . e7. （2分）二项式的展开式的第二项的系数为，则的值为（）A . 3B .C . 3或D . 3或8. （2分） (2016高一下·宜春期中) 二项式的展开式的第二项的系数为，则的值为（）A . 3B .C . 3或D . 3或9. （2分）已知，，记则的大小关系是（）A .B .C .D .10. （2分）设物体以速度v(t)=3t2+t(m/s)作直线运动，则它在0～4s内所走的路程为（）A . 70mC . 75mD . 80m11. （2分）（1+x+x2）（x﹣）6的展开式中常数项为m，则函数y=﹣x2与y=mx的图象所围成的封闭图形的面积为（）A .B .C .D .12. （2分） (2017高二下·临淄期末) 由直线x=﹣，x= ，y=0与直线y=cosx所围成的封闭图形的面积为（）A .B . 1C .D .13. （2分） (2016高二下·昌平期中) 由曲线y=x2﹣2x与直线x+y=0所围成的封闭图形的面积为（）A .B .C .D .14. （2分）已知甲、乙两车由同一起点同时出发,并沿同一路线（假定为直线）行驶．甲车、乙车的速度曲线分别为（如右图所示）．那么对于图中给定的，下列判断中一定正确的是（）A . 在时刻，甲车在乙车前面B . t1时刻后，甲车在乙车后面C . 在时刻，两车的位置相同D . 时刻后，乙车在甲车前面15. （2分） (2018高二下·虎林期末) 由曲线与所围成的平面图形的面积是（）A . 1B . 2C . 1.5D . 0.5二、填空题 (共5题；共5分)16. （1分）函数f（x）=x2﹣2x与x轴围成的曲边梯形的面积等于________．17. （1分）已知函数y=x2与y=kx（k＞0）的图象所围成的封闭区域的面积为，则k=________18. （1分） (2019高二下·黑龙江月考) 曲线和所围成的封闭图形的面积是________.19. （1分）若函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的图象如图所示，则图中的阴影部分的面积为________20. （1分）曲线y=与直线y=x﹣1及x=4所围成的封闭图形的面积为________三、解答题 (共5题；共40分)21. （5分）计算下列积分：（1）；（2）．22. （15分）已知f（x）是定义在R上的奇函数恒满足，且对任意实数x恒满足f（x+2）=﹣f（x）当x∈[0，2]时，f（x）=2x﹣x2（1）求证：函数f（x）是周期函数；（2）当x∈[2，4]，求f（x）的解析式；（3）计算f（x）dx 的值．23. （10分） (2018高二下·巨鹿期末) 设函数在点处有极值 .（1）求常数的值;（2）求曲线与轴所围成的图形的面积.24. （5分） (2018高二下·大庆月考) 计算由直线曲线以及轴所围图形的面积。

1.5 定积分的概念1、直线4y x =与曲线3y x =在第一象限内围成的封闭图形的面积为( )A.B. C. 2 D. 4 2、若22221231111,,x S x dx S dx S e dx x===⎰⎰⎰则123,,S S S 的大小关系为( )A. 123S S S <<B. 213S S S <<C. 231S S S << D. 321S S S <<3、定积分1xdx ⎰与⎰的大小关系是( )A. 100xdx =⎰⎰B. 100xdx >⎰⎰C.100xdx <⎰⎰D.无法确定4、下列各命题中,不正确的是( ) A.若()f x 是连续的奇函数,则()0aa f x dx -=⎰B.若()f x 是连续的偶函数,则()()02aaaf x dx f x dx -=⎰⎰C.若()f x 在[],a b 上连续且恒正,则()0baf x dx >⎰D.若()f x 在[],a b 连续,且()0baf x dx >⎰,则()f x 在[],a b 上恒正5、计算: 11||d x x -=⎰( )A. 11d x x -⎰B. 11d x -⎰C. 0110()d d x x x x --+⎰⎰D.11d ()d x x x x -+-⎰⎰6、在求由抛物线26y x =+与直线1,2,0x x y ===所围成的平面图形的面积时,把区间[]1,2等分成n 个小区间,则第i 个区间为()A. 1,i i n n -⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B. 1,n i n i n n +-+⎡⎤⎢⎥⎣⎦C. []1,i i -D. 1,i i n n +⎡⎤⎢⎥⎣⎦7、当n 很大时,函数()2f x x =在区间1,i i n n -⎡⎤⎢⎥⎣⎦(1,2,,)i n =上的值可以用哪个近似代替( ) A.in B. 1f n ⎛⎫⎪⎝⎭ C. i f n ⎛⎫ ⎪⎝⎭D.1n8、由曲线xy e =,直线3,0,2y x x x ===所围成的平面图形的面积S 可以表示为( )A. 320x e dx ⎰ B. 320xdx ⎰C.()320xe x dx -⎰ D. ()320xex dx +⎰9、设()f x 在[],a b 上连续,则()f x 在[],a b 上的平均值为( )A.()()2f a f b +B. ()baf x dx ⎰C. ()12ba f x dx ⎰D. ()1baf x dx b a -⎰ 10、定积分()b af x dx ⎰的大小( )A.与()f x 和积分区间[],a b 有关,与i ξ的取法无关B.与()f x 有关,与区间[],a b 以及i ξ的取法无关C.与()f x 以及i ξ的取法有关,与区间[],a b 无关D.与()f x 、积分区间[],a b 和i ξ的取法都有关11、由直线0x =、1x =、0y =和曲线22y x x =+围成的图形的面积为__________.12、已知函数2()321f x x x =++,若11()2()f x dx f a -=⎰成立,则实数a =__________.13、若11(2)d 3ln 2ax x x+=+⎰,则实数a =__________.14、已知12013x dx =⎰,22173x dx =⎰,则()2201x dx +=⎰__________.15、已知1220()(2)f a ax a x dx =-⎰,求()f a 的最大值.答案以及解析1答案及解析： 答案：D 解析：由 34{y x y x ==,得2x =± ,或0x = ,所以两图象的交点坐标为()0,0,()2,8,()2,8--. 所以直线与曲线在第一象限内围成的封闭图形的面积:()2324021144|024S x x dx x x ⎛⎫=-=⨯- ⎪⎝⎭⎰11441684424=⨯⨯-⨯=-=,故选D.2答案及解析： 答案：B 解析：3答案及解析： 答案：C解析：在同一坐标系中画出y =y x =的图象如图,由图可见,当[]0,1x ∈时, y =y x =的图象上方,由定积分的几何意义知,1xdx <⎰⎰.4答案及解析：解析：奇函数关于原点成中心对称,其在区间(,)a a -的图像与直线,x a x a =-=,x 轴围城的面积(考虑正负)之和为零;偶函数关于y 轴对称在y 轴两侧的面积应该相等,B 正确;C 显然正确;当在区间(),a b 内负的面积少于正的面积时, ()0baf x dx >⎰,但()f x 在[],a b 上可以为负.5答案及解析： 答案：C 解析：因为(0)||(0)x x x x x ≥⎧=⎨-<⎩,所以111111||d ||d ||d ()d d x x x x x x x x x x ---=+=-+⎰⎰⎰⎰⎰,故选C.6答案及解析： 答案：B解析：在区间[]1,2上等间隔地插入1n -个点,将它等分成n 个小区间11,n n +⎡⎤⎢⎥⎣⎦,12,n n n n ++⎡⎤⎢⎥⎣⎦,,1,n i n i nn +-+⎡⎤⎢⎥⎣⎦,,21,2n n -⎡⎤⎢⎥⎣⎦,所以第i 个区间为1,n i n i n n +-+⎡⎤⎢⎥⎣⎦(1,2,,)i n =.7答案及解析： 答案：C解析：()2f x x =在区间1,i i n n -⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值可以用区间1,i i n n -⎡⎤⎢⎥⎣⎦上每一点对应的函数值近似代替,故选C.8答案及解析：解析：如图所示,阴影部分的面积为S ,则12S S S =-,其中3210x S e dx =⎰(即由曲线x y e =,直线30,2x x ==及x 轴所围成的平面图形的面积), 3220S xdx =⎰ (即由直线3,0,2y x x x ===及x 轴所围成的平面图形的面积),所以()3332220xx S e dx xdx e x dx =-=-⎰⎰⎰9答案及解析： 答案：D 解析：10答案及解析： 答案：A 解析：11答案及解析： 答案：43解析：将区间[]0,1,n 等分,每个区间长度为1n区间右端点函数值为22222i i i i y n n n n ⎛⎫=+⋅=+ ⎪⎝⎭.22223232111121212nn n ni i i i i i i i i i nn n n n n n ====⎡⎤⎛⎫⎛⎫+⋅=+=+⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦∑∑∑∑()32121112()(1)62n n n n n n n +++=⨯+⨯ 2223116n n n n n +++=+228916n n n++=, ∴所求面积2228914314lim lim 63263n n n n S n n n →+∞→+∞++⎛⎫==++= ⎪⎝⎭.12答案及解析： 答案：1?-或13解析：取32()F x x x x =++,则(1)3F =,()11F -=-, 所以11()(1)(1)4f x dx F F ---==⎰,所以2()4f a =,所以()2f a =,即23212a a ++=,解得1a =-或13.13答案及解析： 答案：2 解析：221111111(2)d 2d d ln 1ln 3ln 2aa a aa x x x x x x xa a xx +=+=+=-+=+⎰⎰⎰,解得2a =.14答案及解析： 答案：143解析：22x dx ⎰122201x dx x dx =+⎰⎰178333=+=,2012dx =⎰, ∴()2222200081411233x dx x dx dx +=+=+=⎰⎰⎰.15答案及解析：答案：∵3222221'232ax a x ax a x ⎛⎫-=-⎪⎝⎭,∴1223222012121(2)|03232ax a x dx ax a x a a ⎛⎫-=-=-⎪⎝⎭⎰,即22211442()322399f a a a a a ⎛⎫=-=--++ ⎪⎝⎭2122239a ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭.当23a =时, ()f a 有最大值29. 解析：根据题意,先求出定积分的值,即将问题转化为关于a 的一元二次函数,然后求解.。

1．5.3定积分的概念1．了解定积分的概念．2．会用定义求一些简单的定积分．基础梳理1．定积分的概念：如果函数f(x)在区间[a，b]上连续，用分点a＝x0<x1<…<x i－1<x i<…<x n＝b将区间[a，b]等分成n个小区间，在每个小区间[x i－1，x i]上任取一点ξi(i＝1，2，…，n)，作和式∑i＝1nf(ξi)Δx＝∑i＝1n b－an f(ξi)，当n→∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数f(x)在区间[a，b]上的定积，记作⎰abf(x)d x，即⎰abf(x)d x＝∑i＝1n_b－an f(ξi)．其中，a与b分别叫做积分下限与积分上限，区间[a，b]叫做积分区间，函数f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)d x叫做被积式．2．定积分的几何意义：如果在区间[a，b]上函数f(x)连续且恒有f(x)≥0，那么定积分⎰abf(x)d x表示由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积．3．定积分的性质．(1)⎰abkf(x)d x＝k⎰abf(x)d x (k为常数)；(2)⎰ab[f1(x)±f2(x)]d x＝⎰abf1(x)d x±f2(x)d x；(3)⎰abf(x)d x＝⎰acf(x)d x＋⎰cbf(x)d x(其中a＜c＜b)．想一想：直线x＝0, x＝π，y＝0与曲线y＝sin x所围成的图形的面积用积分表示为⎰0πsin_x d x．想一想：用定积分表示下图中阴影部分的面积．答案：S＝⎰abf1(x)d x－⎰abf2(x)d x想一想：定积分⎰01x3d x的取值的符号为正，⎰-1x3d x的取值的符号为负，⎰-11x3d x的取值的符号为0．自测自评1．当a <b ，且f (x )>0，则⎰a bf (x )d x 的值(A )A ．一定是正的B ．一定是负的C ．当0<a <b 时是正的，当a <b <0时是负的D ．正、负都有可能解析：由定积分的几何意义知，当a <b ，且f (x )>0时，⎰a bf (x )d x >0.2．下列等式不成立的是(C ) A.⎰a b [mf (x )＋ng (x )]d x ＝m ⎰a b f (x )d x ＋n ⎰a bg (x )d xB.⎰a b [f (x )＋1]d x ＝⎰a bf (x )d x ＋b －a C.⎰a bf (x )g (x )d x ＝⎰a bf (x )d x ·⎰a bg (x )d xD.⎰-ππ22sin x d x ＝⎰-π20sin x d x ＋⎰02πsin x d x解析：利用定积分的性质进行判断，C 不成立． 例如⎰01x d x ＝12，⎰01x 2d x ＝13，⎰01x 3d x ＝14.但⎰01x 3d x ≠⎰01x d x ·⎰01x 2d x .3．计算：⎰116－x 2d x ＝(C )A ．8πB ．16πC ．4πD ．32π解析：⎰416－x 2d x 表示以原点为圆心，半径为4的14圆的面积，∴⎰416－x2d x＝14π·42＝4π.基础巩固1．定积分⎰abf(x)d x的大小(A)A．与f(x)和积分区间[a，b]有关，与ξi的取法无关B．与f(x)有关，与区间[a，b]及ξi的取法无关C．与f(x)及ξi的取法有关，与区间[a，b]无关D．与f(x)、积分区间[a，b]和ξi的取法都有关2．下列结论中成立的个数是(C)①⎰1x3d x＝∑i＝1n·i3n3·1n②⎰01x3d x＝∑i＝1n（i－1）3n3·1n③⎰01x3d x＝∑i＝1n i3n3·1nA．0 B．1 C．2 D．3解析：由定积分的定义知，②、③成立，故选C.3．(2014·高考陕西卷)定积分⎰1(2x＋e x)d x的值为(C)A．e＋2 B．e＋1C．e D．e－1解析：⎰1(2x＋e x)d x＝(x2＋e x)f0＝(12＋e1)－(02＋e0)＝e，故选C.4.⎰024－x 2d x ＝________．解析：积分⎰24－x 2d x 表示如下图所示的圆的面积的14.所以S ＝14π(2)2＝π.答案：π 能力提升5．定积分⎰13 (－3)d x 等(A )A ．－6B ．6C ．－3D ．3解析：⎰133d x 表示图中阴影部分的面积S ＝3×2＝6，⎰13 (－3)d x ＝－⎰133d x ＝－6.故选A.6．设a ＝⎰01x 13d x ，b ＝⎰01x 2d x ，c ＝⎰01x 3d x ，则a ，b ，c 的大小关系是(B )A ．c ＞a ＞bB ．a ＞b ＞cC ．a ＝b ＞cD ．a ＞c ＞b解析：根据定积分的几何意义，易知⎰01x 3dx ＜⎰01x 2dx ＜⎰01x 13dx ，即a＞b ＞c ，故选B.7．(2013·天津高二检测)曲线y ＝1x 与直线y ＝x ，x ＝2所围成的图形面积用定积分可表示为_____________________．解析：如图所示，阴影部分的面积可表示为 ⎰12x d x －⎰121x d x ＝⎰12⎝⎛⎭⎪⎫x －1x d x答案：⎰12⎝⎛⎭⎪⎫x －1x d x8．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋4，x >1，x ＋1，0≤x ≤1，则⎰02f (x )d x ＝__________．解析：∵f (x )＝⎩⎨⎧－2x ＋4，x >1，x ＋1，0≤x ≤1，∴⎰02f (x )d x ＝⎰01(x ＋1)d x ＋⎰12(－2x ＋4)d x .又由定积分的几何意义得 ⎰01(x ＋1)d x ＝12(1＋2)×1＝32， ⎰12(－2x ＋4)d x ＝12×1×2＝1， ∴⎰02f (x )dx ＝32＋1＝52.答案：529．简化下列各式，并画出各题所表示的图形的面积． (1)⎰--32x 2d x ＋⎰-21x 2d x ；(2) ⎰01 (1－x )d x ＋⎰12(x －1)d x .解析：(1)原式＝⎰-31x 2d x ，如下图(1)所示．(2)⎰01(1－x )d x ＋⎰12(x －1)d x ＝⎰02|1－x |d x ，如图(2)所示．10．计算定积分：⎰01[1－（x －1）2－x ]d x . 解析：⎰01[1－（x －1）2－x ]d x ＝⎰011－（x －1）2d x －⎰01x d x ，令S 1＝⎰011－（x －1）2d x ，S 2＝⎰01x d x .S 1、S 2的几何意义如图(1)、(2)所示．对S 1＝⎰11－（x －1）2d x ，令y ＝1－（x －1）2≥0， 则(x －1)2＋y 2＝1(0≤x ≤1，y ≥0) 由定积分几何意义知S 1＝⎰11－（x －1）2d x ＝14π×12＝π4.对于S 2＝⎰01x d x ，由其几何意义知S 2＝12×1×1＝12，故⎰01[1－（x －1）2－x ]d x ＝S 1－S 2＝π4－12＝π－24.。

自我小测1．下列结论中成立的个数是( ) ①10⎰x 3d x ＝∑i ＝1ni 3n 3·1n ；②10⎰x 3d x ＝lim n →∞∑i ＝1n(i －1)3n3·1n；③10⎰x 3d x ＝lim n →∞∑i ＝1ni 3n 3·1n . A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 2．如图所示，阴影部分的面积为()A ．b a ⎰f (x )d xB ．ba ⎰g (x )d xC ．b a ⎰[f (x )－g (x )]d xD ．b a ⎰[g (x )－f (x )]d x3．由定积分的几何意义可得53⎰2x d x ＝( ) A ．6 B ．16 C ．25 D ．34 4．下列等式成立的是( )A ．10⎰x d x ＝2B ．10⎰(－x )d x ＝12C ．11-⎰|x |d x ＝210⎰|x |d xD ．11-⎰2d x ＝0 5．定积分10⎰x d x 与10⎰x d x 的大小关系是( )A ．10⎰x d x ＜10⎰x d xB ．10⎰x d x ＞1⎰x d x⎰x d x≥10⎰x d x D．无法确定C．1⎰(－2 016)d x＝__________.6．计算201520147．如图所示阴影部分的面积用定积分表示为__________．⎰x2d x＝13，21⎰x2d x＝73，则20⎰(x2＋1)d x＝__________.8．已知1⎰1－x2d x.9．利用定积分的几何意义求10．一辆汽车的速度—时间曲线如图所示，求汽车在这一分钟内行驶的路程．参考答案1．解析：由定积分的定义，易知②③正确，①错误，故选C ． 答案：C2．解析：由题图可知，当x ∈[a ，b ]时，f (x )＞g (x )，所以阴影部分的面积S ＝b a ⎰f (x )d x －b a ⎰g (x )d x ＝ba ⎰[f (x )－g (x )]d x .答案：C3．解析：53⎰2x d x 的值表示由直线y ＝2x ，x ＝3，x ＝5，y ＝0所围成图形的面积S ＝12×(6＋10)×2＝16.答案：B 4．解析：∵1⎰x d x ＝12，10⎰(－x )d x ＝－12，11-⎰2d x ＝4，∴A，B ，D 不正确．∵函数y ＝|x |为偶函数，∴11-⎰|x |d x ＝210⎰|x |d x ，∴C 正确．答案：C5．解析：由定积分的几何意义结合下图可知10⎰x d x ＜1⎰x d x .答案：A6．解析：∵根据定积分的几何意义，20152014⎰ 2 016d x 表示直线x ＝2 014，x ＝2 015，y ＝0，y ＝2 016围成的矩形面积，∴20152014⎰ 2 016d x ＝2 016.∴20152014⎰(－2 016)d x ＝20152014-⎰ 2 016d x ＝－2 016.答案：－2 0167．解析：阴影部分由直线x ＝－4，x ＝2，y ＝0和曲线y ＝x 22围成，所以由定积分的几何意义可知阴影部分的面积用定积分表示为24-⎰x 22d x .答案：24-⎰x 22d x8．解析：由定积分的性质，可得20⎰(x 2＋1)d x ＝20⎰x 2d x ＋20⎰1d x ，而由已知，有20⎰x 2d x ＝10⎰x 2d x ＋21⎰x 2d x ＝13＋73＝83，又由定积分的几何意义知20⎰1d x ＝1×2＝2，故20⎰(x 2＋1)d x ＝83＋2＝143.答案：1439．解：由y x 2+y 2=1(y ≥0)的图象为如图所示的半圆，由定积分的几何意义知x ⎰等于圆心角为120°的弓形CED 的面积与矩形ABCD的面积之和．S 弓形=212π12ππ11sin =23233⨯⨯-⨯⨯S 矩形=|AB |·|BC|=122，∴ππ=33x +⎰10．解：由题意，汽车的速度v 与时间t 的函数关系式为 v (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧32t ，0≤t <20，50－t ，20≤t <40，10，40≤t ≤60.所以该汽车在这一分钟内所行驶的路程为⎰v(t)d ts＝60⎰32t d t＋4020⎰(50－t)d t＋6040⎰10d t ＝20＝300＋400＋200＝900(米)．。

学业分层测评(十)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．关于定积分m ＝⎠⎛02⎝ ⎛⎭⎪⎫－13d x ，下列说法正确的是( )A ．被积函数为y ＝－13x B ．被积函数为y ＝－13 C ．被积函数为y ＝－13x ＋C D ．被积函数为y ＝－13x 3 【解析】 被积函数为y ＝－13. 【答案】 B2．已知定积分⎠⎛06f (x )d x ＝8，且f (x )为偶函数，则⎠⎛-66f (x )d x )＝( )A ．0B ．16C ．12D ．8【解析】 偶函数图象关于y 轴对称，故⎠⎛-66f (x )d x ＝2⎠⎛06f (x )d x ＝16.故选B.【答案】 B3．设f (x )＝⎩⎨⎧x 2，x ≥0，2x ，x <0，则⎠⎛-11f (x )d x 的值是( )A. ⎠⎛-11x 2d xB. ⎠⎛-112x d xC. ⎠⎛-10x 2d x ＋⎠⎛012x d x D. ⎠⎛-102x d x ＋⎠⎛01x 2d x 【解析】 被积函数f (x )是分段函数，故将积分区间[－1,1]分为两个区间[－1,0]和[0,1]，由定积分的性质知选D.【答案】 D4．变速直线运动的物体的速度为v (t )≥0，初始t ＝0时所在位置为s 0，则当t 1秒末它所在的位置为( )A ．⎠⎛0t 1∫t 10v (t )d tB ．s 0＋⎠⎛0t 1v (t )d tC ．⎠⎛0t 1v (t )d t －s 0D ．s 0－⎠⎛0t 1v (t )d t【解析】 由位移是速度的定积分，同时不可忽视t ＝0时物体所在的位置，故当t 1秒末它所在的位置为s 0＋⎠⎛0t 1v (t )d t .【答案】 B5．定积分⎠⎛ab f (x )d x 的大小( )【导学号：62952048】A ．与f (x )和积分区间[a ，b ]有关，与ξi 的取法无关B ．与f (x )有关，与区间[a ，b ]以及ξi 的取法无关C ．与f (x )以及ξi 的取法有关，与区间[a ，b ]无关D ．与f (x )，积分区间[a ，b ]和ξi 的取法都有关【解析】 定积分的大小与被积函数以及区间有关，与ξi 的取法无关． 【答案】 A 二、填空题6．定积分⎠⎛13(－3)d x ＝__________.【解析】 由定积分的几何意义知，定积分⎠⎛13(－3)d x 表示由x ＝1，x ＝3与y ＝－3，y ＝0 所围成图形面积的相反数．所以⎠⎛13(－3)d x ＝－(2×3)＝－6.【答案】 －67．定积分⎠⎛-12|x |d x ＝__________.【解析】 如图，⎠⎛-12|x |d x ＝12＋2＝52.【答案】 528．曲线y ＝1x 与直线y ＝x ，x ＝2所围成的图形面积用定积分可表示为________．【解析】 如图所示，阴影部分的面积可表示为⎠⎛12x d x －⎠⎛121x d x ＝⎠⎛12⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x d x .【答案】 ⎠⎛12⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x d x 三、解答题9．已知⎠⎛01x 3d x ＝14，⎠⎛12x 3d x ＝154，⎠⎛12x 2d x ＝73，⎠⎛24x 2d x ＝563，求：(1)⎠⎛023x 3d x ；(2)⎠⎛146x 2d x ；(3)⎠⎛12(3x 2－2x 3)d x . 【解】 (1)⎠⎛023x 3d x ＝3⎠⎛02x 3d x＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫⎠⎛01x 3d x ＋⎠⎛12x 3d x ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫14＋154＝12.(2)⎠⎛146x 2d x ＝6⎠⎛14x 2d x ＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫⎠⎛12x 2d x ＋⎠⎛24x 2d x ＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫73＋563＝126.(3)⎠⎛12 (3x 2－2x 3)d x ＝3⎠⎛12x 2d x －2⎠⎛12x 3d x ＝3×73－2×154＝－12. 10．利用定积分的几何意义，求⎠⎛-11 1－x 2d x 的值．【导学号：62952049】【解】 y ＝1－x 2(－1≤x ≤1)表示圆x 2＋y 2＝1在x 轴上方的半圆(含圆与x 轴的交点)．根据定积分的几何意义，知⎠⎛-111－x 2d x 表示由曲线y ＝1－x 2与直线x ＝－1，x ＝1，y ＝0所围成的平面图形的面积，所以⎠⎛-111－x 2d x ＝S 半圆＝12π.[能力提升]1．设曲线y ＝x 2与直线y ＝x 所围成的封闭区域的面积为S ，则下列等式成立的是( )A ．S ＝⎠⎛01(x 2－x )d xB ．S ＝⎠⎛01(x －x 2)d xC ．S ＝⎠⎛01(y 2－y )d yD ．S ＝⎠⎛01(y －y )d y【解析】 作出图形如图，由定积分的几何意义知，S ＝⎠⎛01(x －x 2)d x ，选B.【答案】 B2．已知甲、乙两车由同一起点同时出发，并沿同一路线(假定为直线)行驶．甲车、乙车的速度曲线分别为v 甲和v 乙(如图1-5-4所示)．那么对于图中给定的t 0和t 1，下列判断中一定正确的是( )图1-5-4A ．在t 1时刻，甲车在乙车前面B ．t 1时刻后，甲车在乙车后面C ．在t 0时刻，两车的位置相同D ．t 0时刻后，乙车在甲车前面【解析】 根据定积分的概念以及几何意义等有关知识可知，由题图可知，曲线v 甲比v 乙在0～t 0,0～t 1与x 轴所围成图形面积大，则在t 0，t 1时刻，甲车均在乙车前面，故选A.【答案】 A3．定积分⎠⎛2 0162 0172 017 d x ＝________________.【解析】 由定积分的几何意义知，定积分表示由直线x ＝2 016，x ＝2 017与y ＝2 017，y ＝0所围成矩形的面积，所以⎠⎛2 0162 0172 017d x ＝(2 017－2 016)×2 017＝2 017.【答案】 2 0174．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x 3，x ∈[－2，2)，2x ，[2，π)，cos x ，[π，2π]，求f (x )在区间[－2,2π]上的积分．【导学号：62952050】【解】 由定积分的几何意义知⎠⎛-22x 3d x ＝0，⎠⎛2π2x d x ＝(2π＋4)(π－2)2＝π2－4，⎠⎛π2π∫2ππcos x d x ＝0.由定积分的性质得⎠⎛－22πf (x )d x ＝⎠⎛-22x 3d x ＋⎠⎛2π2x d x ＋⎠⎛π2πcos x d x ＝π2－4.。

人教新课标A版选修2-2数学1．7定积分的简单应用同步练习A卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共15题；共30分)1. （2分）求由抛物线与直线所围成的曲边梯形的面积时，将区间[ 等分成个小区间，则第个区间为（）A .B .C .D .2. （2分）直线y=x与抛物线y=x(x+2)所围成的封闭图形的面积等于（）A .B .C .D .3. （2分） (2016高二上·吉林期中) 由直线x= ，x=2，曲线y= 及x轴所围图形的面积是（）A . 2ln2B .C .4. （2分）设集合P={x|∫0x（3t2﹣10t+6）dt=0，x＞0}，则集合P的非空子集个数是（）A . 2B . 3C . 7D . 85. （2分）边界在直线及曲线上的封闭的图形的面积为（）A . 1B .C . 2D .6. （2分） (2017高二下·黄山期末) 直线y=﹣x与函数f（x）=﹣x3围成封闭图形的面积为（）A . 1B .C .D . 07. （2分） (2016高三上·成都期中) 若f（x）=x2+2 f（x）dx，则 f（x）dx=（）A . ﹣1B . ﹣D . 18. （2分） (2017高一下·伊春期末) 从如图所示的长方形区域内任取一个点，则点取自阴影部分的概率为（）A .B .C .D .9. （2分） (2017高二下·桂林期末) 由曲线xy=1，直线y=x，y=3所围成的平面图形的面积为（）A .B . 2﹣ln3C . 4+ln3D . 4﹣ln310. （2分）由曲线f（x）=与y轴及直线y=m（m＞0）围成的图形面积为，则m=（）A . 2B . 3C . 1D . 811. （2分）已知二次函数y=f(x)=-x2+1，则它与x轴所围图形的面积为（）A .B .C .D .12. （2分）(2017·临汾模拟) 一物体A以速度v（t）=t2﹣t+6沿直线运动，则当时间由t=1变化到t=4时，物体A运动的路程是（）A . 26.5B . 53C . 31.5D . 6313. （2分） (2015高一上·腾冲期末) 已知积分，则实数（）A . 2B .C . 1D .14. （2分）(2017·葫芦岛模拟) 已知随机变量X﹣N（1，1），其正态分布密度曲线如图所示，若向正方形OABC中随机投掷10000个点，则落入阴影部分的点个数的估计值为（）附：若随机变量ξ﹣N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜ξ≤μ+σ）=0.6826，P（μ﹣2σ＜ξ≤μ+2σ）=0.9544．A . 6038B . 6587C . 7028D . 753915. （2分） (2018高二下·中山月考) 设，则（）A .B .C .D . 不存在二、填空题 (共5题；共5分)16. （1分） (2017高三上·漳州开学考) 如图所示，直线y=kx分抛物线y=x2﹣x与x轴所围成图形为面积相等的两部分，则实数k的值为________．17. （1分） (2017高二下·桃江期末) （3x2+k）dx=10，则k=________．18. （1分） (2018高三上·双鸭山月考) =________19. （1分） (2015高二下·福州期中) 曲线y= 和直线y=x围成的图形面积是________．20. （1分） (2017高二下·邢台期末) 曲线f（x）=sin（﹣x）与直线x=﹣，x= ，y=0所围成的平面图形的面积为________．三、解答题 (共5题；共35分)21. （5分）求曲线y=2x﹣x2 ， y=2x2﹣4x所围成图形的面积．22. （5分）已知作用于某一质点的力F（x）=（单位：N），试求力F（x）从x=0处运动到x=2处（单位：m）所做的功23. （10分） (2017高二下·宜春期中) 如图，设A（2，4）是抛物线C：y=x2上的一点．（1）求该抛物线在点A处的切线l的方程；（2）求曲线C、直线l和x轴所围成的图形的面积．24. （5分） (2016高二下·三亚期末) 计算 f（x）dx，其中，f（x）= ．25. （10分）设f(a)＝|x2－a2|dx（1）当0≤a≤1与a＞1时，分别求f(a)；（2）当a≥0时，求f(a)的最小值．参考答案一、选择题 (共15题；共30分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、二、填空题 (共5题；共5分) 16-1、17-1、18-1、19-1、20-1、三、解答题 (共5题；共35分)21-1、22-1、23-1、23-2、24-1、25-1、25-2、。

选修2-2 第一章 1.5 1.5.1、2一、选择题1．和式∑i ＝15(y i ＋1)可表示为( )A ．(y 1＋1)＋(y 5＋1)B ．y 1＋y 2＋y 3＋y 4＋y 5＋1C ．y 1＋y 2＋y 3＋y 4＋y 5＋5D ．(y 1＋1)(y 2＋1)…(y 5＋1)[答案] C[解析] ∑i ＝15(y i ＋1)＝(y 1＋1)＋(y 2＋1)＋(y 3＋1)＋(y 4＋1)＋(y 5＋1)＝y 1＋y 2＋y 3＋y 4＋y 5＋5，故选C.2．在求由x ＝a 、x ＝b (a <b )、y ＝f (x )(f (x )≥0)及y ＝0围成的曲边梯形的面积S 时，在区间[a ，b ]上等间隔地插入n －1个分点，分别过这些分点作x 轴的垂线，把曲边梯形分成n 个小曲边梯形，下列说法中正确的个数是( )①n 个小曲边梯形的面积和等于S ； ②n 个小曲边梯形的面积和小于S ； ③n 个小曲边梯形的面积和大于S ；④n 个小曲边梯形的面积和与S 之间的大小关系无法确定 A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个[答案] A[解析] n 个小曲边梯形是所给曲边梯形等距离分割得到的，因此其面积和为S .∴①正确，②③④错误，故应选A.3．在“近似代替”中，函数f (x )在区间[x i ，x i ＋1]上的近似值等于( ) A ．只能是左端点的函数值f (x i ) B ．只能是右端点的函数值f (x i ＋1)C ．可以是该区间内任一点的函数值f (ξi )(ξi ∈[x i ，x i ＋1])D ．以上答案均不正确 [答案] C[解析] 由求曲边梯形面积的“近似代替”知，C 正确，故应选C.4．求由抛物线y ＝2x 2与直线x ＝0、x ＝t (t >0)、y ＝0所围成的曲边梯形的面积时，将区间[0，t ]等分成n 个小区间，则第i －1个区间为( )A ．⎣⎡⎦⎤i －1n ，i nB ．⎣⎡⎦⎤i n ，i ＋1n C ．⎣⎡⎦⎤t (i －1)n ，ti nD ．⎣⎡⎦⎤t (i －2)n ，t (i －1)n[答案] D[解析] 在[0，t ]上等间隔插入(n －1)个分点，把区间[0，t ]等分成n 个小区间，每个小区间的长度均为t n ，故第i －1个区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤t (i －2)n ，t (i －1)n ，故选D. 5．在求由函数y ＝1x 与直线x ＝1、x ＝2、y ＝0所围成的平面图形的面积时，把区间[1,2]等分成n 个小区间，则第i 个小区间为( )A ．[i －1n ，i n ]B ．[n ＋i －1n ，n ＋in ]C ．[i －1，i ]D ．[i n ，i ＋1n][答案] B[解析] 把区间[1,2]等分成n 个小区间后，每个小区间的长度为1n ，且第i 个小区间的左端点不小于1，排除A 、D ；C 显然错误；故选B.6．在等分区间的情况下，f (x )＝11＋x 2(x ∈[0,2])及x 轴所围成的曲边梯形面积和式的极限形式正确的是( )A ．lim n →∞∑i ＝1n[11＋⎝⎛⎭⎫i n 2·2n ] B ．lim n →∞∑i ＝1n[11＋⎝⎛⎭⎫2i n 2·2n ] C ．lim n→∞∑i ＝1n ⎝⎛⎭⎫11＋i 2·1n D ．lim n →∞∑i ＝1n [11＋⎝⎛⎭⎫i n 2·n ] [答案] B[解析] 将区间[0,2]n 等分后每个区间长度为2n ，第i 个小区间为[2(i －1)n ，2i n ](i ＝1,2,3，…，n )，故应选B.二、填空题7．直线x ＝0、x ＝2、y ＝0与曲线y ＝x 2＋1围成的曲边梯形，将区间[0,2]5等分，按照区间左端点和右端点估计梯形面积分别为________、________.[答案] 3.92 5.528．已知某物体运动的速度为v ＝t ，t ∈[0,10]，若把区间10等分，取每个小区间右端点处的函数值为近似小矩形的高，则物体运动的路程近似值为________．[答案] 559．在求由直线x ＝0、x ＝1、y ＝0和曲线y ＝x 3所围成的曲边梯形面积时，若令Δx ＝1n ，ξi ＝i －1n，则曲边梯形的面积表达式为________．[答案] ∑i ＝1n ⎣⎡⎦⎤1n ·(i －1n )3三、解答题10．求直线x ＝0、x ＝2、y ＝0与曲线y ＝x 2所围成曲边梯形的面积． [解析] 将区间[0,2]等分成n 个小区间，则第i 个小区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2(i －1)n ，2i n .第i 个小区间的面积ΔS i ＝f ⎝⎛⎭⎪⎫2(i －1)n ·2n，∴S n ＝∑i ＝1nf ⎝⎛⎭⎪⎫2(i －1)n ·2n ＝2n ∑i ＝1n 4(i －1)2n 2＝8n3∑i ＝1n(i －1)2 ＝8n 3[02＋12＋22＋…＋(n －1)2] ＝8n 3·(n －1)n (2n －1)6＝4(n －1)(2n －1)3n 2. S ＝lim n→∞S n ＝lim n→∞4(n －1)(2n －1)3n 2＝43lim n →∞[(1－1n )(2－1n )]＝83， ∴所求曲边梯形面积为83.一、选择题11．曲线y ＝cos x (0≤x ≤2π)与y ＝1围成的面积是( ) A ．4πB ．5π2C ．3πD ．2π[答案] D[解析] 如图，求曲线y ＝cos x (0≤x ≤2π)与y ＝1围成的面积可转化为求由直线y ＝0、y ＝1、x ＝0、x ＝2π围成的矩形面积．[点评] 这里利用了曲线y ＝cos x (0≤x ≤2π)的图象的对称性质，将不规则的图形转化为矩形求得面积，自己再用求曲边梯形面积的方法求出所求面积．12.lim n→∞∑i ＝1n[(15i n )·(5n)]的含义可以是( ) A ．求由直线x ＝1，x ＝5，y ＝0，y ＝3x 围成的图形的面积 B ．求由直线x ＝0，x ＝1，y ＝0，y ＝15x 围成的图形的面积 C ．求由直线x ＝0，x ＝5，y ＝0，y ＝3x 围成的图形的面积 D ．求由直线x ＝0，x ＝5，y ＝0及曲线y ＝5x 围成的图形的面积[答案] C[解析] 将区间[0,5]n 等分，则每一区间的长度为5n ，各区间右端点对应函数值为y ＝15in ，因此∑i ＝1n [(15i n )·(5n)]可以表示由直线x ＝0、x ＝5、y ＝0和y ＝3x 围成的图形的面积的近似值．二、填空题13．由直线x ＝0、x ＝1、y ＝0和曲线y ＝x 2＋2x 围成的图形的面积为________． [答案] 43[解析] 将区间[0,1]n 等分，每个区间长度为1n ，区间右端点函数值y ＝(i n )2＋2·i n ＝i 2n 2＋2in.作和∑i ＝1n [(i 2n 2＋2i n )1n ]＝∑i ＝1n (i 2n 3＋2in2)＝1n 3∑i ＝1n i 2＋2n2∑i ＝1n i＝1n 3×16n (n ＋1)(2n ＋1)＋2n 2×n (n ＋1)2 ＝(n ＋1)(2n ＋1)6n 2＋n ＋1n ＝8n 2＋9n ＋16n 2，∴所求面积S ＝lim n →∞ 8n 2＋9n ＋16n 2＝lim n →∞ (43＋32n ＋16n 2)＝43. 三、解答题14．汽车以速度v 做匀速直线运动时，经过时间t 所行驶的路程s ＝v t .如果汽车做变速直线运动，在时刻t 的速度为v (t )＝t 2＋2(单位：km/h)，那么它在1≤t ≤2(单位：h)这段时间行驶的路程是多少？[分析] 汽车行驶路程等于速度与时间的乘积，由于是变速运动，故路程类似曲边梯形面积，根据曲边梯形求面积思想，求和后再求极限值．[解析] 将区间[1,2]等分成n 个小区间，第i 个小区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋i －1n ，1＋i n . ∴Δs i ＝f ⎝⎛⎭⎪⎫1＋i －1n ·1n .s n ＝∑i ＝1nf ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i －1n ·1n ＝1n ∑i ＝1n ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i －1n 2＋2 ＝1n ∑i ＝1n ⎣⎢⎡⎦⎥⎤(i －1)2n 2＋2(i －1)n ＋3 ＝1n 3n ＋1n 2[02＋12＋22＋…＋(n －1)2]＋1n [0＋2＋4＋6＋…＋2(n －1)] ＝3＋(n －1)(2n －1)6n 2＋n －1n.s ＝lim n →∞s n ＝lim n →∞ ⎣⎢⎡⎦⎥⎤3＋(n －1)(2n －1)6n 2＋n －1n ＝133. ∴这段时间行驶的路程为133km.15．求由直线x ＝1、x ＝2、y ＝0及曲线y ＝1x 2围成的图形的面积S .[解析] (1)分割在区间[1,2]上等间隔地插入n －1个点，将它等分成n 个小区间：⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，n ＋1n ，⎣⎢⎡⎦⎥⎤n ＋1n ，n ＋2n ，…，⎣⎢⎡⎦⎥⎤n ＋n －1n ，2，记第i 个区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤n ＋i －1n ，n ＋i n (i ＝1,2，…，n )，其长度为Δx ＝n ＋i n －n ＋i －1n ＝1n.分别过上述n －1个分点作x 轴的垂线，把曲边梯形分成n 个小曲边梯形(如下图)，它们的面积记作：ΔS 1、ΔS 2、…、ΔS n ，则小曲边梯形面积的和为S ＝∑i ＝1nΔS i.(2)近似代替记f (x )＝1x 2.当n 很大，即Δx 很小时，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤n ＋i －1n ，n ＋i n 上，可以认为f (x )＝1x 2的值变化很小，近似地等于一个常数，不妨认为它等于f (n ＋i －1n ·n ＋in)．从图形上看，就是用平行于x 轴的直线段近似地代替小曲边梯形的曲边．这样，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤n ＋i －1n ，n ＋i n 上，用小矩形面积ΔS i ′近似地代替ΔS i ，即在局部小范围内“以直代曲”，则有ΔS i ≈ΔS i ′＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋i －1n ·n ＋i n Δx ＝n 2(n ＋i －1)(n ＋i )·1n ＝n (n ＋i －1)(n ＋i )(i ＝1,2，…，n )． (3)求和小曲边梯形的面积和S n ＝∑i ＝1nΔS i ≈∑i ＝1nΔS i ′＝∑i ＝1nn (n ＋i －1)(n ＋i )＝n n (n ＋1)＋n (n ＋1)(n ＋2)＋…＋n(n ＋n －1)(n ＋n )＝n 1n －1n ＋1＋1n ＋1－1n ＋2＋…＋1n ＋n －1－1n ＋n ＝n ⎝⎛⎭⎫1n －12n ＝12. (4)取极限S ＝lim n →∞S n＝12. ∴由直线x ＝1、x ＝2、y ＝0及曲线y ＝1x 2围成的图形的面积S 为12.。

1.5.3 定积分的概念练习1．下列结论中成立的个数是( )①130d x x ⎰＝3311ni i nn -⋅∑；②13d x x ⎰＝31(1)1lim nn i i n n→∞--⋅∑； ③130d x x ⎰＝3311lim nn i i nn →∞-⋅∑.A ．0B ．1C ．2D ．32．已知d t x x ⎰＝2，则0d tx x -⎰等于( )A ．0B ．2C ．－1D ．－23．设a ＝113d x x ⎰，b ＝120d x x ⎰，c ＝130d x x ⎰，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．c ＞a ＞bB ．a ＞b ＞cC ．a ＝b ＞cD ．a ＞c ＞b4．已知甲、乙两车由同一起点同时出发，并沿同一路线(假定为直线)行驶．甲车、乙车的速度曲线分别为v 甲和v 乙(如图所示)，那么对于图中给定的t 0和t 1，下列判断中一定正确的是()A ．在t 1时刻，甲车在乙车前面B ．t 1时刻后，甲车在乙车后面C ．在t 0时刻，两车的位置相同D ．t 0时刻后，乙车在甲车前面5．根据定积分的定义，230d x x ⎰不等于( )A ．3122lim (1)nn i i n n →∞-⎡⎤-⋅⎢⎥⎣⎦∑B ．311lim nn i i n n →∞-⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭∑C ．3122lim nn i i n n →∞-⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭∑D ．32211lim nn i i n n →∞-⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭∑6．不用计算，根据图形，用不等号连结下列各式． (1)1d x x ⎰__________1d x x ⎰(如图所示)；(2)x ⎰__________22d x ⎰(如图所示)．7．已知1201d 3x x =⎰，2207d 3x x =⎰，则220(+1)d x x ⎰＝__________.8．利用定积分的几何意义，计算：1x ⎰＝__________.9．利用定积分的几何意义求2222()d sin f x x ππ--+⎰⎰ x cos x d x ，其中f (x )＝21310x x x x -⎧⎨-<⎩≥0.﹐﹐﹐ 10．用定积分表示极限lim n →∞参考答案1. 答案：C 由定积分的定义，易知②③正确，①错误，故选C.2. 答案：D ∵f (x )＝x 在[－t ，t ]上是奇函数， ∴d 0ttx x -=⎰.而00d d d t tttx x x x x x --=+⎰⎰⎰，又d t x x ⎰＝2，∴0d tx x -⎰＝－2.故选D.3. 答案：B 根据定积分的几何意义，易知13d x x ⎰＜12d x x ⎰＜113d x x ⎰，即a ＞b ＞c ，故选B.4. 答案：A 由图象可知，曲线v 甲比v 乙在0～t 0,0～t 1与t 轴所围成图形的面积大，则在t 0，t 1时刻，甲车均在乙车前面，故选A.5. 答案：B 将[0,2]等分为n 个小区间2(1)2,i i nn -⎡⎤⎢⎥⎣⎦(i ＝1,2，…，n )，若取ξi ＝2(1)i n -，则23d x x ⎰＝312(1)2lim nn i i n n →∞=-⎡⎤⋅⎢⎥⎣⎦∑，若取ξi ＝2i n ，则3230122d lim n n i i x x n n →∞=⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭∑⎰； 将[0,2]等分成2n 个小区间1,i i n n -⎡⎤⎢⎥⎣⎦(i ＝1，2，…，2n )，则Δx ＝1n ，取ξi ＝1n ，则230d x x ⎰＝3211lim nn i i n n →∞=⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭∑.故选B. 6. 答案：(1)＞ (2)＜7. 答案：143由定积分的性质，可得220(1)d x x +⎰＝22200d 1d x x x +⎰⎰，而由已知，有220d x x ⎰＝122201178d d 333x x x x +=+=⎰⎰，又由定积分的几何意义知201d x ⎰＝1×2＝2，故22(1)d x x +⎰＝814233+=. 8.答案：232π-由定积分的几何意义知，所求积分是图中阴影部分的面积．S＝114162π⨯-⨯＝232π-. 9. 分析：利用定积分的性质及其几何意义求解． 解：202222222()d sin cos d (31)d (21)d sin cos d f x x x x x x x x x x x x ππππ----+=-+-+⎰⎰⎰⎰⎰.∵y ＝sin x cos x 为奇函数，∴22sin cos d x x x ππ-⎰＝0.利用定积分的几何意义，如图，∴271(31)d 282x x -+-=-⨯=-⎰， 2031(21)d 122x x +-=⨯=⎰. ∴2222()d sin cos d f x x x x x ππ--+⎰⎰＝2－8＋0＝－6.10．分析：解答本题的关键是将此极限式变形成为1limnn i b an →∞=-∑f (ξi )的形式，则由定积分的定义，即得1limnn i b a n →∞=-∑f (ξi )＝()d b a f x x ⎰.解法一：lim n →∞＝222112lim ln 111n n n n n n →∞⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦… ＝lim n →∞ 211ln 1n i i n n =⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑ ＝lim n →∞ 12ln 12lim n n i i n n →∞=⎛⎫+= ⎪⎝⎭∑ 11ln 1n i i n n =⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑＝212ln d x x ⎰.解法二：lim n →∞ln ＝lim n →∞ 222112ln 111n n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦… ＝lim n →∞ 211ln 1n i i n n =⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑＝lim n →∞ 12ln 1n i i n n =⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑ ＝2lim n →∞ 11ln 1n i i n n =⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑＝12ln(1)d x x +⎰.。

人教新课标A版选修2-2数学1．5定积分的概念同步练习D卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共15题；共30分)1. （2分） (2016高二下·三原期中) 定积分∫ sinxdx等于（）A . 1B . 2C . ﹣1D . 02. （2分） (2017高二下·安阳期中) 曲线y=x2和曲线y2=x围成的图形面积是（）A .B .C . 1D .3. （2分）设集合P={x|∫0x（3t2﹣10t+6）dt=0，x＞0}，则集合P的非空子集个数是（）A . 2B . 3C . 7D . 84. （2分）如图，矩形OABC的四个顶点坐标依次为O（0，0），A（， 0），B（， 1），C（0，1），记线段OC，CB以及y=sinx（0）的图象围成的区域（图中阴影部分）为Ω，若向矩形OABC内任意投一点M，则点M落在区域Ω内的概率为（）A .B .C .D .5. （2分）设函数在区间上连续，用分点，把区间等分成个小区间，在每个小区间上任取一点，作和式(其中为小区间的长度)，那么的大小（）A . 与和区间有关，与分点的个数和的取法无关B . 与和区间以及分点的个数有关，与的取法无关C . 与和区间以及分点的个数，的取法都有关D . 与和区间以及的取法有关，与分点的个数无关6. （2分） (2017高二下·荔湾期末) 直线x= ，x= ，y=0及曲线y=cosx所围成图形的面积是（）A . 2B . 3C . πD . 2π7. （2分）若，则a的值是（）A . 2B . 3C . 4D . 68. （2分）已知，，记则的大小关系是（）A .B .C .D .9. （2分）一物体在力F(x)＝4x－1(单位：N)的作用下，沿着与力F相同的方向，从x＝1运动到x＝3处(单位：m)，则力F(x)所做的功为（）A . 8(J)B . 10(J)C . 12(J)D . 14(J)10. （2分）边界在直线及曲线上的封闭的图形的面积为（）A . 1C . 2D .11. （2分） (2016高二下·新洲期末) 由直线x=﹣，y=0与曲线y=sinx所围成的封闭图形的面积为（）A .B .C .D . 112. （2分） (2016高二下·郑州期末) 由曲线y2=2x和直线y=x﹣4所围成的图形的面积（）A . 21B . 16C . 20D . 1813. （2分） (2017高二下·沈阳期末) 如图，由曲线直线和轴围成的封闭图形的面积是（）A .C .D .14. （2分）已知甲、乙两车由同一起点同时出发,并沿同一路线（假定为直线）行驶．甲车、乙车的速度曲线分别为（如右图所示）．那么对于图中给定的，下列判断中一定正确的是（）A . 在时刻，甲车在乙车前面B . t1时刻后，甲车在乙车后面C . 在时刻，两车的位置相同D . 时刻后，乙车在甲车前面15. （2分） (2018高二下·虎林期末) 由曲线与所围成的平面图形的面积是（）A . 1B . 2C . 1.5D . 0.5二、填空题 (共5题；共5分)16. （1分） (2015高三上·秦安期末) （2﹣|1﹣x|）dx=________．17. （1分） (2018高二下·惠东月考) 定积分的值为________.18. （1分） (2015高二上·集宁期末) 曲线y=cosx（0≤x≤2π）与直线y=1所围成的图形面积是________．19. （1分）=________ .20. （1分）两曲线x﹣y=0，y=x2﹣2x所围成的图形的面积是________三、解答题 (共5题；共50分)21. （10分）平地上有一条水渠，其横断面是一段抛物线弧，如图，已知渠宽为 m，渠深为6m．（1）若渠中水深为m，求水面的宽，并计算水渠横断面上的过水面积；（2）为了增大水渠的过水量，现要把这条水渠改挖（不能填土）成横断面为等腰梯形的水渠，使水渠的底面与地面平行（不改变渠深），要使所挖土的土方量最少，请你设计水渠改挖后的底宽，并求出这个底宽．22. （5分）已知复数，且，求倾斜角为θ并经过点（﹣6，0）的直线l与曲线y=x2所围成的图形的面积．23. （10分） (2019高二下·海东月考) 如图：已知通过点（1,2），与有一个交点横坐标为，且 .（1）求与所围的面积与的函数关系；（2）当为何值时，取得最小值.24. （10分）已知＝＝1，＝，求下列定积分：（1）；（2） .25. （15分） (2018高二下·通许期末) 已知函数，函数，（1）当时，求函数的表达式；（2）若时，函数在上的最小值是2，求a的值；（3）在（2）的条件下，求直线与函数的图象所围成图形的面积。

第一章导数及其应用1.5定积分的观点定积分的观点A 级基础稳固一、选择题1．已知∫a b f(x)dx＝ 6，则∫a b6f(x)dx＝ ()A． 6B． 6(b－ a)C． 36D．不确立b b∫分析： a6f(x)dx＝6∫ a f(x)dx＝6×6＝36.答案： Csin x， x∈（ 0，π]，1f(x)dx＝()2．设 f(x)＝则∫－1e x， x∈（－∞， 0]，11xA.∫－1sin xdxB.∫－1e dx01x0x1C.∫－1sin xdx＋∫0e dxD.∫－1e dx＋∫0sin xdx分析：由定积分的性质知选项 D 正确．答案： D3．以下式子中不建立的是()分析：由定积分的几何意义知∫ π∫0πcos xdx＝0，所以C不建立．0 sin xdx＞0，答案： C4．由函数 y＝－ x 的图象 (图略 )，直线 x＝ 1、x＝ 0、y＝ 0 所围成的图形的面积可表示为()A.∫10(－ x)dx0B.∫10|－ x|dx1分析：由定积分的几何意义可知，所求图形面积S＝－∫ 1(－x)dx＝∫ 1|－x|dx.00答案： B5．以下命题不正确的选项是()A．若 f(x)是连续的奇函数，则a∫a f(x)dx＝0－B．若 f(x)是连续的偶函数，则a a∫－a f(x)dx＝2∫ 0f( x)dxC．若 f(x)在上连续且恒正，则∫a b f(x)dx＞ 0D．若 f(x)在上连续且∫a b f(x)dx＞ 0，则 f( x)在上恒正分析：对于选项 A，由于 f(x)是奇函数，所以图象对于原点对称，所以x 轴上方的面积和x 轴下方的面积相等，故积分是0，所以 A 正确；对于选项B，由于 f(x)是偶函数，所以图象对于 y 轴对称，故图象都在x 轴下方 (或上方 )且面积相等，故 B 正确； C 明显正确； D 选项中f (x) 也能够小于 0，但一定有大于0 的部分，且 f (x)＞ 0的曲线围成的面积比 f(x)＜ 0 的曲线围成的面积大．答案： D二、填空题6． (2015 湖·南卷 )∫02( x－ 1)dx＝ ________．分析：由定积分的几何意义可得∫2(x－1)dx＝0.答案： 07.∫13|x－ 2|dx＝ ________．分析：依据定积分的几何意义，所求定积分表示的是y＝ |x－ 2|和 x＝ 3， x＝1 及 y＝ 0 所围成的图形的面积，即图中暗影部分面积．所以，∫31|x－ 2|dx＝12× 1× 1＋12× 1× 1＝ 1.答案： 18．用定积分表示以下暗影部分的面积(不要求计算 )：图①图②图③(1)S1＝ ________________(图① )；(2)S2＝ ________________(图② )；(3)S3＝ ________________(图③ )．答案：三、解答题2 49．已知 ∫ 0e xdx ＝ e ， ∫0e x 3dx ＝ e ，求以下定积分：2 4 (1)∫ e 0(2x ＋ x 3)dx ； (2)∫ e 0(2x3 －x ＋ 1)dx.4e3ee32e解： (1) ∫ 0(2x ＋ x )dx ＝ 2∫ 0xdx ＋ ∫ 0x dx ＝ e ＋ .e3－x ＋ 1)dx ＝ 2∫e 3e ee 4 e 2(2)∫0(2x0x dx － ∫ 0xdx ＋∫01dx ＝－＋ e.2 210．用定积分的几何意义求1－ x 2 dx.解：由 y ＝ 1－x 2 可知， x 2＋ y 2＝ 1(y ≥0)的图象如图，由定积分的几何意义知1－ x 2dx 等于圆心角为 120 °的弓形 CED 的面积与矩形ABCD 的面积之和．弓形 CED 面积为 S 1＝1 2 21 π 32× π· 1 －2× 1× 1× sin π＝ －，334矩形 ABCD 面积为 S ＝ 2× 3× 1＝ 3，222 2所以2π 3 ＋ 3 π 3 1－ x dx ＝ －2 ＝ ＋ 4.34 3B 级 能力提高1．已知 t ＞0，若 ∫ 0t (2x － 2)dx ＝8，则 t ＝ ( )A ．1B ．2C ．3D ．4分析：作出函数 f(x)＝2x － 2 的图象与 x 轴交于点 A(1， 0)，与 y 轴交于点 B(0，－ 2)，易求得 S △ OAB ＝ 1，t1∫由于 0(2x － 2)dx ＝8，且 ∫ 0(2x － 2)dx ＝－ 1，所以 t ＞ 1，11× (t － 1)(2t － 2)＝ (t － 1) 2＝ 9，所以 t ＝ 4.所以 S △ AEF ＝|AE ||EF |＝22答案： D2．已知 f(x)是一次函数，其图象过点1∫(3， 4)且 0f(x)dx ＝ 1，则 f(x)的分析式为 ________． 分析：设 f( x)＝ ax ＋ b(a ≠0)，由于 f(x)图象过 (3， 4)点，所以 3a ＋ b ＝ 4.① 又 ∫ 1∫ 11∫10f(x)dx ＝ ∫10bdx ＝ 2a ＋ b ＝ 1.② 0(ax ＋ b)dx ＝ a 0 xdx ＋62①②联立方程组，解得 a ＝ 5，b ＝ 5.6 2所以 f(x)＝ 5x ＋5.62答案： f(x)＝ x ＋23 ． 利 用 定 积 分 的 几 何 意 义 ， 求 ∫ － 2 f(x)dx ＋sin xcos xdx ， 其 中 f (x) ＝2x － 1（ x ≥0）， 3x － 1（ x ＜ 0） .2解：∫－ 2f(x)dx ＋sin xcos xdx ＝∫ － 2(3x － 1)dx ＋∫20(2x － 1)dx ＋sin xcos xdx ，由于 y ＝ sin xcos x 为奇函数，所以sin xcos xdx＝ 0.利用定积分的几何意义，如下图，所以∫0－2(3x－1)dx＝－7＋1× 2＝－ 8；2∫20(2x－ 1)dx＝3＋21× 1＝ 2.所以∫2－2f(x)dx＋sin xcos xdx＝－ 6.。