下载文档原格式
2019-2020学年北师大版选修2-2 定积分与微积分基本定理 教案1．定积分的定义一般地，如果函数f (x )在区间[a ，b ]上连续，用分点a ＝x 0<x 1<…<x i －1<x i <…<x n ＝b ，将区间[a ，b ]等分成n 个小区间，在每个小区间[x i －1，x i ]上任取一点ξi (i ＝1,2，…，n )，作和式i ＝1n f (ξi )Δx ＝i ＝1nb －a nf (ξi )，当n →∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数f (x )在区间[a ，b ]上的定积分，记作⎠⎛ab f (x )d x 。
2．定积分的相关概念在⎠⎛ab f (x )d x 中，a 与b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[a ，b ]叫做积分区间，函数f (x )叫做被积函数，x 叫做积分变量，f (x )d x 叫做被积式。
3．定积分的性质(1)⎠⎛a b kf (x )d x ＝k ⎠⎛ab f (x )d x (k 为常数)。
(2)⎠⎛a b [f 1(x )±f 2(x )]d x ＝⎠⎛a b f 1(x )d x ±⎠⎛ab f 2(x )d x 。
(3)⎠⎛ab f (x )d x ＝⎠⎛ac f (x )d x ＋⎠⎛cb f (x )d x (其中a <c <b )。
4．定积分的几何意义 如图：设阴影部分面积为S 。
(1)S ＝⎠⎛ab f (x )d x 。
(2)S ＝－⎠⎛ab f (x )d x 。
(3)S ＝⎠⎛a c f (x )d x －⎠⎛c b f (x )d x 。
(4)S ＝⎠⎛ab f (x )d x －⎠⎛ab g (x )d x ＝⎠⎛ab [f (x )－g (x )]d x 。
5．微积分基本定理如果F ′(x )＝f (x )，且f (x )在[a ，b ]上可积，则⎠⎛ab f (x )d x ＝F (b )－F (a )。
第4章 §2 微积分基本定理A 级 基础巩固一、选择题1．(2019·景德镇市高二质检)若曲线y ＝x 与直线x ＝a ，y ＝0所围成封闭图形的面积为a 2，则正实数a 为( A )A.49B.59 C.43D.53[解析] 由题意知，⎠⎛0a x d x ＝a 2，∵(23x 32 )′＝x 12 ，∴⎠⎛0a x d x ＝23x 32|a 0＝23a 32 ， ∴23a 32 ＝a 2，∴a ＝49. 2．若⎠⎛12(2ax ＋a ＋1)d x ＝5，则a ＝( A )A ．1B ．2C ．3D ．4[解析] ⎠⎛12(2ax ＋a ＋1)d x ＝(ax 2＋ax ＋x )|21＝4a ＋1＝5，∴a ＝1，故选A.3．(2018·玉溪模拟)由曲线xy ＝1，直线y ＝x ，x ＝3及x 轴所围成的曲边四边形的面积为( C )A.116B.92C.12＋ln3 D ．4－ln3[解析] 由xy ＝1得y ＝1x，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x y ＝1x得x D ＝1，所以曲边四边形的面积为：⎠⎛01x d x ＋⎠⎛031xd x ＝12x 2|10＋ln x |31＝12＋ln3，故选C. 4．函数F (x )＝⎠⎛0x cos t d t 的导数是( A )A ．f ′(x )＝cos xB ．f ′(x )＝sin xC ．f ′(x )＝－cos xD ．f ′(x )＝－sin x[解析] F (x )＝⎠⎛0x cos t d t ＝sin t | x 0＝sin x －sin0＝sin x .所以f ′(x )＝cos x ，故应选A.5．(2019·昆明高二检测)若直线l 1：x ＋ay －1＝0与l 2：4x －2y ＋3＝0垂直，则积分⎠⎛－a a(x 3＋sin x －5)d x 的值为( D )A ．6＋2sin 2B ．－6－2cos 2C ．20D ．－20[解析] 由l 1⊥l 2得4－2a ＝0即a ＝2，∴原式＝⎠⎛－22 (x 3＋sin x －5)d x ＝⎠⎛－22 (x 3＋sin x )d x ＋⎠⎛－22(－5)d x ＝0－20＝－20.6．⎠⎛03π⎝⎛⎭⎫1－2sin 2θ2d θ的值为( D )A ．－32 B ．－12C ．12D ．32[解析] ∵1－2sin 2θ2＝cos θ，∴⎠⎛03π⎝⎛⎭⎫1－2sin 2θ2d θ＝⎠⎛03πcos θd θ ＝sin θ⎪⎪π30＝32，故应选D. 二、填空题7．设y ＝f (x )为区间[0,1]上的连续函数，且恒有0≤f (x )≤1，可以用随机模拟方法近似计算积分⎠⎛01f (x )d x ，产生两组(每组N 个)区间[0,1]上的均匀随机数x 1，x 2，…，x N 和y 1，y 2，…，y N ，由此得到N 个点(x i ，y i )(i ＝1,2，…，N )，再数出其中满足y i ≤f (x i )(i ＝1,2，…，N )的点数N 1，那么由随机模拟方法可得积分⎠⎛01f (x )d x 的近似值为N 1N .[解析] 因为0≤f (x )≤1，且由定积分的定义知：⎠⎛01f (x )d x 是由直线x ＝0，x ＝1及曲线y ＝f (x )与x 轴围成图形的面积． 又产生的随机数对在如图所示的正方形内，正方形的面积为1，且共有N 个数对，即N 个点．而满足y i ≤f (x i )的有N 1个点，即在函数f (x )的图像上及图像下方有N 1个点，所以用几何概型的概率公式得：f (x )在x ＝0到x ＝1上与x 轴围成的面积为N 1N ×1＝N 1N ，即⎠⎛01f (x )d x ＝N 1N .8．已知f (x )＝3x 2＋2x ＋1，若⎠⎛－11f (x )d x ＝2f (a )成立，则a ＝－1或13. [解析] 由已知F (x )＝x 3＋x 2＋x ，F (1)＝3，F (－1)＝－1， ∴⎠⎛－11f (x )d x ＝F (1)－F (－1)＝4， ∴2f (a )＝4，∴f (a )＝2.即3a 2＋2a ＋1＝2.解得a ＝－1或13.三、解答题9．计算下列定积分： (1)⎠⎛2(4－2x )(4－x 2)d x;(2)⎠⎛12x 2＋2x －3x d x .[解析] (1)⎠⎛02(4－2x )(4－x 2)d x ＝⎠⎛02(16－8x －4x 2＋2x 3)d x＝⎝⎛⎭⎫16x －4x 2－43x 3＋12x 4| 20＝32－16－323＋8＝403. (2)⎠⎛12x 2＋2x －3x d x ＝⎠⎛12⎝⎛⎭⎫x ＋2－3x d x ＝⎝⎛⎭⎫12x 2＋2x －3ln x | 21＝72－3ln2. 10．(2019·泉州模拟)已知f (x )＝(kx ＋b )e x 且曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线方程为y ＝e(x －1)．(1)求k 与b 的值； (2)求⎠⎛01x ·e x d x .[解析] (1)∵f (x )＝(kx ＋b )e x ，∴f ′(x )＝(kx ＋k ＋b )e x ，∴f ′(1)＝e ，f (1)＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧(2k ＋b )e ＝e (k ＋b )e ＝0解得k ＝1，b ＝－1.(2)由(1)知f (x )＝(x －1)e x ，f ′(x )＝x e x ， ∴⎠⎛01(x e x )d x ＝(x －1)e x |10＝0＋1＝1.B 级 素养提升一、选择题1．(2019·岳阳高二检测)若S 1＝⎠⎛12x 2d x ，S 2＝⎠⎛121x d x ，S 3＝⎠⎛12e x d x ，则S 1，S 2，S 3的大小关系为( B )A ．S 1<S 2<S 3B ．S 2<S 1<S 3C ．S 2<S 3<S 1D ．S 3<S 2<S 1[解析] S 1＝⎠⎛12x 2d x ＝x 33|21＝73. S 2＝⎠⎛121x d x ＝ln x |21＝ln2－ln1＝ln2. S 3＝⎠⎛12e x d x ＝e x |21＝e 2－e ＝e(e －1)．∵e>2.7，∴S 3>3>S 1>S 2.故选B.2．定义在R 上的可导函数y ＝f (x )，如果存在x 0∈[a ，b ]，使得f (x 0)＝⎠⎛abf (x )d x b －a成立，则称x 0为函数f (x )在区间[a ，b ]上的“平均值点”，那么函数f (x )＝x 3－3x 在区间[－2,2]上“平均值点”的个数为( C )A ．1B ．2C ．3D ．4[解析] 由已知得：f (x 0)＝⎠⎛－22(x 3－3x )d x4＝⎪⎪⎝⎛⎭⎫14x 4－32x 22－24＝0，即x 30－3x 0＝0，解得：x 0＝0或x 0＝±3，∴f (x )的平均值点有3个，故选C.二、填空题3． (x ＋cos x )d x ＝2.[解析]＝2.4.由曲线y ＝x 2和直线x ＝0，x ＝1，y ＝t 2，t ∈(0,1)所围成的图形(阴影部分)的面积的最小值为14.[解析] 由⎩⎨⎧y ＝x 2y ＝t2x >0得，x ＝t ，故S ＝⎠⎛0t (t 2－x 2)d x ＋⎠⎛t1(x 2－t 2)d x＝(t 2x －13x 3)|t 0＋(13x 3－t 2x )|1t＝43t 3－t 2＋13， 令S ′＝4t 2－2t ＝0，∵0<t <1，∴t ＝12，易知当t ＝12时，S min ＝14.三、解答题5．已知f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，且f (－1)＝2，f ′(0)＝0，⎠⎛01f (x )d x ＝－2，求a 、b 、c 的值．[解析] ∵f (－1)＝2，∴a －b ＋c ＝2.① 又∵f ′(x )＝2ax ＋b ，∴f ′(0)＝b ＝0② 而⎠⎛01f (x )d x ＝⎠⎛01(ax 2＋bx ＋c )d x ，取F (x )＝13ax 3＋12bx 2＋cx ，则f ′(x )＝ax 2＋bx ＋c ，∴⎠⎛01f (x )d x ＝F (1)－F (0)＝13a ＋12b ＋c ＝－2③解①②③得a ＝6，b ＝0，c ＝－4.6．如图，直线y ＝kx 分抛物线y ＝x －x 2与x 轴所围成图形为面积相等的两部分，求k 的值．[解析] 抛物线y ＝x －x 2与x 轴两交点的横坐标x 1＝0，x 2＝1，所以，抛物线与x 轴所围图形的面积S ＝⎠⎛1(x －x 2)d x ＝(x 22－x 33)|10＝12－13＝16. 抛物线y ＝x －x 2与直线y ＝kx 两交点的横坐标为x ′1＝0，x ′2＝1－k ，所以S2＝⎠⎛01－k (x －x 2－kx )d x ＝(1－k 2x 2－x 33)|1－k 0＝16(1－k )3， 又知S ＝16，所以(1－k )3＝12.于是k ＝1－312＝1－342. C 级 能力拔高设f (x )是二次函数，方程f (x )＝0有两个相等的实根，且f ′(x )＝2x ＋2. (1)求y ＝f (x )的表达式；(2)若直线x ＝－t (0<t <1)把y ＝f (x )的图像与两坐标轴所围成图形的面积二等分，求t 的值． [解析] (1)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， 则f ′(x )＝2ax ＋b ，又已知f ′(x )＝2x ＋2，所以a ＝1，b ＝2， 所以f (x )＝x 2＋2x ＋c .又方程f (x )＝0有两个相等实根． 所以判别式Δ＝4－4c ＝0，即c ＝1. 故f (x )＝x 2＋2x ＋1.(2)依题意有⎠⎜⎛－1－t (x 2＋2x ＋1)d x ＝⎠⎛－t0(x 2＋2x ＋1)d x ，所以⎝⎛⎭⎫13x 3＋x 2＋x |－t －1＝⎝⎛⎭⎫13x 3＋x 2＋x |0－t即－13＋t2－t＋13＝13t3－t2＋t.3t所以2t3－6t2＋6t－1＝0，所以2(t－1)3＝－1，所以t＝1－1.32。
试题试卷 参考学习一、学习目标1.了解连续函数，原函数的概念． 2．理解微积分基本定理的推导过程． 3．能够利用微积分基本定理求简单的定积分．二、自学导引1、如果函数y ＝f (x )的图像是不间断的，称函数y ＝f (x )是( ).A.导函数B.原函数C.连续函数D.分段函数 2、如果)()(x f x F ='，函数)(x F y =称为f (x ) 的( )A.导函数B.原函数C.连续函数D.幂函数3、下列函数不是连续函数的为( ) A.2x y = B.xy 2= C.x y sin =D.]0,1(,0]1,0(,10122-∈=∈⎪⎩⎪⎨⎧--=x x x x x y 4、写出下列函数的一个原函数： ①c y =（c 为常数）的一个原函数为：________________.②)1(-≠=ααx y 的一个原函数为：________________.③xy 1=的一个原函数为：________________.④xe y =的一个原函数为：________________.⑤x a y =（10≠>a a 且）的一个原函数为：____________.⑥xy sin =的一个原函数为：________________.⑦xy cos =的一个原函数为：________________.⑧xy 2cos 1=的一个原函数为：________________.5、如果)(x F y =是y ＝f (x )的原函数，下列函数中不是f (x )的原函数的是( ) A. 2)(+=x F y B. 2)(-=x F y C. )(2x F y =D. c x F y +=)( 6、若物体走过的路程S 是时间t 的函数)(t S S =，走此路程的速度V 是时间t 的函数)(t V V =。
①)(t V 与)(t S 的关系_________.② 与⎰ba dt t V )(表示的意义不符合的选项是（ ）A. 1S 的面积B. 2S 的面积C.])()()([lim 1100t t V t t V t t V n t ∆++∆+∆-→∆D.)]()([)]()([)]()([1121--++-+-n t S b S t S t S a S t S ③)()(__________)(a S b S dt dt t V b aba ba -===⎰⎰§4.2微积分基本定理7、速度的积分等于____________，线密度的积分是__________.8、微积分基本定理，如果)()(x f x F ='，则⎰=badx x f )(( )A.)()(a f b f - B.)()(b F a F - C.)()(a F b F - D.)()(a F b F '-' 三、双基训练 1、计算下列定积分： ①=⎰dx x 212（ ）A ．1 B.2 C.3 D. 4 ②=⎰-dx x 112（ ）A ．0 B.31C.331x D. 32③=⎰-dx x 22cos ππ（ ）A ．1 B.2 C.π D.0 ④=⎰dx e x 10_______________2、若==⎰⎰dx x f A dx x f a b b a )()(，则_________四、典例剖析 例1 求定积分： （1）dx x ⎰103 （2）dx xe ⎰11跟踪训练：求定积分： （1）dx x⎰11 =_________（2）dx xae⎰1=__________ 例2 （1）求定积分dx x ⎰π0cos ，并解释其意义。
§2 微积分基本定理1．微积分基本定理如果连续函数f (x )是函数F (x )的导函数，即f (x )＝F ′(x )，则有⎠⎛abf (x )d x ＝F (b )－F (a )．2．定积分和曲边梯形面积的关系设曲边梯形在x 轴上方的面积为S 上，x 轴下方的面积为S 下，则(1)(1)当曲边梯形的面积在x 轴上方时，如图(1)，则⎠⎛abf (x )d x ＝S 上．(2)当曲边梯形的面积在x 轴下方时，如图(2)，则⎠⎛abf (x )d x ＝－S 下．(2) (3)(3)当曲边梯形的面积在x 轴上方、x 轴下方均存在时，如图(3)，则⎠⎛abf (x )d x ＝S 上－S 下，若S 上＝S 下，则⎠⎛abf (x )d x ＝0.1．下列定积分的值等于1的是( ) A.⎠⎛01x d xB.⎠⎛01(x ＋1)d xC.⎠⎛011d xD.⎠⎛0112d x C [选项A ，因为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22′＝x ，所以⎠⎛01x d x ＝x 22⎪⎪⎪1＝12； 选项B ，因为⎝ ⎛⎭⎪⎫x22＋x ′＝x ＋1，所以⎠⎛01(x ＋1)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x22＋x ⎪⎪⎪10＝32； 选项C ，因为x ′＝1，所以⎠⎛011d x ＝x ⎪⎪⎪1＝1；选项D ，因为⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ′＝12，所以⎠⎛0112d x ＝12x ⎪⎪⎪10＝12.] 2．⎠⎛02π(－sin x )d x 等于( )A ．0B ．2C ．－2D ．4A [⎠⎛02π(－sin x )d x ＝cos x |2π0＝cos 2π－cos 0＝0.]3．⎠⎛12⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x d x ＝________.ln 2＋32 [根据题意得⎠⎛12⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x d x ＝⎝⎛⎭⎪⎫ln x ＋12x 2⎪⎪⎪21＝ln 2＋2－⎝ ⎛⎭⎪⎫0＋12＝ln 2＋32.](1)⎠⎛12(x 2＋2x ＋3)d x ；(2)⎠⎛－π(cos x －e x )d x ；(3)⎠⎛122x 2＋x ＋1xd x ；(4) ⎠⎜⎛π2sin 2x2d x .思路探究：(1)、(2)先求被积函数的一个原函数F (x )，然后利用微积分基本定理求解；(3)、(4)则需先对被积函数变形，再利用微积分基本定理求解．[解] (1)⎠⎛12(x 2＋2x ＋3)d x＝⎠⎛12x 2d x ＋⎠⎛122x d x ＋⎠⎛123d x＝x 33⎪⎪⎪21＋x 2⎪⎪⎪ 21＋3x ⎪⎪⎪21＝253.(2)⎠⎛－π(cos x －e x)d x ＝⎠⎛－πcos x d x －⎠⎛－πe xd x＝sin x ⎪⎪⎪－π－e x ⎪⎪⎪－π＝1eπ－1． (3)2x 2＋x ＋1x＝2x ＋1＋1x，而(x 2＋x ＋ln x )′＝2x ＋1＋1x.∴⎠⎛122x 2＋x ＋1xd x ＝(x 2＋x ＋ln x )⎪⎪⎪21＝4＋ln 2．(4)原式＝⎠⎜⎛π212(1－cos x )d x ＝12⎠⎜⎛π2(1－cos x )d x＝12⎠⎜⎛0π21d x －12⎠⎜⎛0π2cos x d x ＝x2⎪⎪⎪⎪π2－sin x 2⎪⎪⎪⎪π20＝π－24.求简单的定积分应注意两点：1．掌握基本函数的导数以及导数的运算法则，正确求解被积函数的原函数，当原函数不易求时，可将被积函数适当变形后再求解；2．精确定位积分区间，分清积分下限与积分上限．1．⎠⎛12x －1x 2d x ＝________.ln 2－12 [⎠⎛12x －1x 2d x ＝⎠⎛12⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －1x 2d x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x ＋1x | 21＝⎝⎛⎭⎪⎫ln 2＋12－(ln 1＋1)＝ln 2－12.](1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x ，0≤x <π2，1，π2≤x ≤2，x －1，2<x ≤4，求⎠⎛04f (x )d x ；(2)⎠⎛02|x 2－1|d x .思路探究：(1)按f (x )的分段标准，分成⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2，⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，2，(2,4]三段求定积分，再求和．(2)先去掉绝对值号，化成分段函数，再分段求定积分． [解] (1)⎠⎛04f (x )d x ＝⎠⎜⎛0π2sin x d x ＋⎠⎜⎛π221d x ＋⎠⎛24(x －1)d x ＝(－cos x )⎪⎪⎪⎪π2＋x ⎪⎪⎪⎪2π2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－x ⎪⎪⎪42＝1＋⎝⎛⎭⎪⎫2－π2＋(4－0)＝7－π2.(2)⎠⎛02|x 2－1|d x ＝⎠⎛01(1－x 2)d x ＋⎠⎛12(x 2－1)d x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －13x 3⎪⎪⎪1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－x ⎪⎪⎪21＝2．分段函数的积分问题1．本例(2)中被积函数f (x )含有绝对值号，可先求函数f (x )的零点，结合积分区间，分段求解．2．分段函数在区间[a ，b ]上的定积分可分成n 段定积分和的形式，分段的标准可按照函数的分段标准进行．3．带绝对值号的解析式，可先化为分段函数，然后求解．2．计算定积分：⎠⎛-33(|2x ＋3|＋|3－2x |)d x .[解] 设f (x )＝|2x ＋3|＋|3－2x |，x ∈[－3,3]，则f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－4x ，－3≤x <－32，6，－32≤x ≤32，4x ，32<x ≤3.所以⎠⎛-33(|2x ＋3|＋|3－2x |)d x1．满足F ′(x )＝f (x )的函数F (x )唯一吗？[提示] 不唯一，它们相差一个常数，但不影响定积分的值． 2．如何求对称区间上的定积分？[提示] 在求对称区间上的定积分时，应首先考虑函数性质和积分的性质，使解决问题的方法尽可能简便．【例3】 (1)设函数f (x )＝ax 2＋c(a ≠0)，若⎠⎛01f (x )d x ＝f (x 0)，0≤x 0≤1，求x 0的值；(2)已知f (x )是一次函数，其图像过点(3,4)，且⎠⎛01f (x )d x ＝1，求f (x )的解析式．思路探究：(1)先利用微积分基本定理求出定积分⎠⎛01f (x )d x ，然后列出关于x 0的方程，求出x 0的值．(2)设出f (x )的解析式，再根据已知条件列方程组求解． [解] (1)∵f (x )＝ax 2＋c(a ≠0)， 且⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3x 3＋c x ′＝ax 2＋c ， ∴⎠⎛01f (x )d x ＝⎠⎛01(ax 2＋c)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3x 3＋c x ⎪⎪⎪1＝a3＋c ＝ax 20＋c ，解得x 0＝33或x 0＝－33(舍去)． (2)依题意设一次函数f (x )的解析式为f (x )＝kx ＋b (k ≠0)．∵函数图像过点(3,4)，∴3k ＋b ＝4.①∵⎠⎛01f (x )d x ＝⎠⎛01(kx ＋b )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2x 2＋bx |10＝k2＋b ，∴k2＋b ＝1． ②由①②得，k ＝65，b ＝25，∴f (x )＝65x ＋25.1．含有参数的定积分可以与方程、函数或不等式综合起来考查，先利用微积分基本定理计算定积分是解决此类综合问题的前提．2．计算含有参数的定积分，必须分清积分变量与被积函数f (x )、积分上限与积分下限、积分区间与函数F (x )等概念．3．若函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)且f (1)＝4，f ′(1)＝1，⎠⎛01f (x )d x ＝316，求函数f (x )的解析式．[解] 由题意知f (1)＝a ＋b ＋c ＝4， ①f ′(1)＝2a ＋b ＝1， ②又由⎠⎛01f (x )d x ＝⎠⎛01(ax 2＋bx ＋c)d x ＝316，知a 3＋b 2＋c ＝316. ③①②③联立，解得a ＝－1，b ＝3，c ＝2， 所以函数f (x )的解析式为f (x )＝－x 2＋3x ＋2．1．定积分的值可能取正值也可能取负值，还可能是0.(1)当对应的曲边梯形位于x 轴上方时，定积分的值取正值，且等于曲边梯形的面积． (2)当对应的曲边梯形位于x 轴下方时，定积分的值取负值，且等于曲边梯形的面积的相反数．2．定积分计算时常用的几个结论 (1)⎠⎛a bf (x )d x ＝－⎠⎛baf (x )d x .(2)⎠⎛a b f (x )d x ＝⎠⎛a c f (x )d x ＋⎠⎛cbf (x )d x (a <c<b )，该结论称为定积分对积分区间的可加性，积分区间的可加性也可以推广：⎠⎛a bf (x )d x ＝⎠⎛ax 1f (x )d x ＋⎠⎜⎛x 1x 2f (x )d x ＋…＋⎠⎛x nbf (x )d x ，其中a <x 1<…<x n <b .(3)若在区间[a ，b ]上，f (x )≥0，则⎠⎛abf (x )d x ≥0.推论1：若在区间[a ，b ]上，f (x )≤g(x )，则⎠⎛a b f (x )d x ≤⎠⎛abg(x )d x .推论2：|⎠⎛a b f (x )d x |≤⎠⎛ab|f (x )|d x .(4)若函数f (x )为偶函数，则不含常数项的原函数F (x )为奇函数，⎠⎛-aaf (x )d x ＝F (x )|a －a ＝F (a )－F (－a )＝2F (a )； (5)若函数f (x )为奇函数，则不含常数项的原函数F (x )为偶函数，⎠⎛-aaf (x )d x ＝F (x )|a －a ＝F (a )－F (－a )＝0.1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)微积分基本定理中，被积函数f (x )是原函数F (x )的导数．( )(2)应用微积分基本定理求定积分的值时，为了计算方便通常取原函数的常数项为0. (3)应用微积分基本定理求定积分的值时，被积函数在积分区间上必须是连续函数． [答案] (1)√ (2)√ (3)√2．⎠⎜⎜⎛-π2π2(sin x ＋cos x )d x 的值是( ) A ．0 B.π4 C ．2 D ．43．已知2≤⎠⎛12(kx ＋1)d x ≤4，则实数k 的取值范围为______．⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，2 [⎠⎛12(kx ＋1)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12kx 2＋x ⎪⎪⎪21＝(2k ＋2)－⎝ ⎛⎭⎪⎫12k ＋1＝32k ＋1，所以2≤32k ＋1≤4，解得23≤k ≤2．]4．已知f (x )＝ax ＋b ，且⎠⎛-11f 2(x )d x ＝1，求f (a )的取值范围．[解] 由f (x )＝ax ＋b ，⎠⎛-11f 2(x )d x ＝1，得2a 2＋6b 2＝3,2a 2＝3－6b 2≥0， 所以－22≤b ≤22， 所以f (a )＝a 2＋b ＝－3b 2＋b ＋32＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫b －162＋1912，所以－22≤f (a )≤1912.。
定积分与微积分基本定理教学重点：定积分的概念、定积分的几何意义．求简单的定积分,微积分基本定理的应用教学难点：定积分的概念、求曲边图形面积．一．定积分的概念回忆前面曲边图形面积，变速运动的路程等问题的解决方法，这几个问题都有什么共同点呢？分割→以直代曲→求和→取极限（逼近一般地，设函数()f x 在区间[,]a b 上连续，分割 用分点0121i i n a x x x x x x b -=<<<<<<<=L L 将区间[,]a b 等分成n 个小区间，每个小区间长度为x ∆（b ax n-∆=）， 以直代曲 在每个小区间[]1,i i x x -上取一点()1,2,,i i n ξ=L ，每份小曲边梯形的面积近似为()i f x ξ∆ 求和：11()()nnn i i i i b aS f x f nξξ==-=∆=∑∑取极限 如果x ∆无限接近于0（亦即n →+∞）时，上述和式n S 无限趋近于常数S ，那么称该常数S 为函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分。
记为：()baS f x dx =⎰其中()f x 成为被积函数，x 叫做积分变量，[,]a b 为积分区间，b 积分上限，a 积分下限。
思考 定积分()baf x dx ⎰是一个常数还是个函数？即n S 无限趋近的常数S （n →+∞时）称为()baf x dx ⎰，而不是n S ．常见定积分 曲边图形面积：()baS f x dx =⎰；变速运动路程21()t t S v t dt =⎰；变力做功 ()baW F r dr=⎰理解 本来 面积=底⨯高 路程=速度⨯时间 功=力⨯位移因为都是不规则的，所以都用先分割，再以直代曲，这样就可以相乘了，再求和 ，再取极限。
二．定积分的几何性质 定积分()baf x dx ⎰表示由直线,(),0x a x b a b y ==≠=和曲线()y f x =所围成的曲边梯形(如图中的阴影部分)的面积，。
§2 微积分基本定理1．微积分基本定理如果连续函数f (x )是函数F (x )的导函数，即f (x )＝F ′(x )，则有⎠⎛a bf (x )d x ＝F (b )－F (a )．2．定积分和曲边梯形面积的关系设曲边梯形在x 轴上方的面积为S 上，x 轴下方的面积为S 下，则(1)(1)当曲边梯形的面积在x 轴上方时，如图(1)，则⎠⎛a bf (x )d x ＝S 上．(2)当曲边梯形的面积在x 轴下方时，如图(2)，则⎠⎛ab f (x )d x ＝－S 下．(2) (3)(3)当曲边梯形的面积在x 轴上方、x 轴下方均存在时，如图(3)，则⎠⎛abf (x )d x ＝S上－S 下，若S 上＝S 下，则⎠⎛abf (x )d x ＝0.1．下列定积分的值等于1的是( ) A.⎠⎛01x d x B.⎠⎛01(x ＋1)d xC.⎠⎛011d x D.⎠⎛0112d x C [选项A ，因为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22′＝x ，所以⎠⎛01x d x ＝x 22⎪⎪⎪1＝12；选项B ，因为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22＋x ′＝x ＋1，所以⎠⎛01(x ＋1)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22＋x ⎪⎪⎪10＝32；选项C ，因为x ′＝1，所以⎠⎛011d x ＝x ⎪⎪⎪1＝1；选项D ，因为⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ′＝12，所以⎠⎛0112d x ＝12x ⎪⎪⎪1＝12.]2．⎠⎛02π(－sin x )d x 等于( )A ．0B ．2C ．－2D ．4A [⎠⎛02π(－sin x )d x ＝cos x |2π0＝cos 2π－cos 0＝0.]3．⎠⎛12⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x d x ＝________.ln 2＋32 [根据题意得⎠⎛12⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x ＋12x 2⎪⎪⎪21＝ln 2＋2－⎝ ⎛⎭⎪⎫0＋12＝ln 2＋32.](1)⎠⎛12(x 2＋2x ＋3)d x ；(2)⎠⎛－π(cos x －e x )d x ；(3)⎠⎛122x 2＋x ＋1xd x ；(4) ⎠⎜⎛0π2sin 2x 2d x . 思路探究：(1)、(2)先求被积函数的一个原函数F (x )，然后利用微积分基本定理求解；(3)、(4)则需先对被积函数变形，再利用微积分基本定理求解．[解] (1)⎠⎛12(x 2＋2x ＋3)d x＝⎠⎛12x 2d x ＋⎠⎛122x d x ＋⎠⎛123d x ＝x 33⎪⎪⎪ 21＋x 2⎪⎪⎪21＋3x ⎪⎪⎪21＝253.(2)⎠⎛－π0(cos x －e x )d x ＝⎠⎛－π0cos x d x －⎠⎛－π0e x d x ＝sin x ⎪⎪⎪0－π－e x ⎪⎪⎪－π＝1e π－1．(3)2x 2＋x ＋1x ＝2x ＋1＋1x ，而(x 2＋x ＋ln x )′＝2x ＋1＋1x .∴⎠⎛122x 2＋x ＋1x d x ＝(x 2＋x ＋ln x )⎪⎪⎪21＝4＋ln 2．(4)原式＝⎠⎜⎛0π212(1－cos x )d x ＝12⎠⎜⎛0π2(1－cos x )d x ＝12⎠⎜⎛0π21d x －12⎠⎜⎛0π2cos x d x ＝x 2⎪⎪⎪⎪ π20－sin x 2⎪⎪⎪⎪π2＝π－24.求简单的定积分应注意两点：1．掌握基本函数的导数以及导数的运算法则，正确求解被积函数的原函数，当原函数不易求时，可将被积函数适当变形后再求解；2．精确定位积分区间，分清积分下限与积分上限．1．⎠⎛12x －1x 2d x ＝________. ln 2－12 [⎠⎛12x －1x 2d x ＝⎠⎛12⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －1x 2d x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x ＋1x | 21 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 2＋12－(ln 1＋1)＝ln 2－12.](1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x ，0≤x <π2，1，π2≤x ≤2，x －1，2<x ≤4，求⎠⎛04f (x )d x ； (2)⎠⎛02|x 2－1|d x . 思路探究：(1)按f (x )的分段标准，分成⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2，⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，2，(2,4]三段求定积分，再求和．(2)先去掉绝对值号，化成分段函数，再分段求定积分．[解] (1)⎠⎛04f (x )d x ＝⎠⎜⎛0π2sin x d x ＋⎠⎜⎛π221d x ＋⎠⎛24(x －1)d x ＝(－cos x )⎪⎪⎪⎪ π20＋x ⎪⎪⎪⎪2π2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－x ⎪⎪⎪42＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2－π2＋(4－0)＝7－π2.(2)⎠⎛02|x 2－1|d x ＝⎠⎛01(1－x 2)d x ＋⎠⎛12(x 2－1)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －13x 3⎪⎪⎪10＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－x ⎪⎪⎪21＝2．分段函数的积分问题1．本例(2)中被积函数f (x )含有绝对值号，可先求函数f (x )的零点，结合积分区间，分段求解．2．分段函数在区间[a ，b ]上的定积分可分成n 段定积分和的形式，分段的标准可按照函数的分段标准进行．3．带绝对值号的解析式，可先化为分段函数，然后求解．2．计算定积分：⎠⎛-33(|2x ＋3|＋|3－2x |)d x .[解] 设f (x )＝|2x ＋3|＋|3－2x |，x ∈[－3,3]，则f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－4x ，－3≤x <－32，6，－32≤x ≤32，4x ，32<x ≤3.所以⎠⎛-33(|2x ＋3|＋|3－2x |)d x1．满足F ′(x )＝f (x )的函数F (x )唯一吗？[提示] 不唯一，它们相差一个常数，但不影响定积分的值． 2．如何求对称区间上的定积分？[提示] 在求对称区间上的定积分时，应首先考虑函数性质和积分的性质，使解决问题的方法尽可能简便．【例3】 (1)设函数f (x )＝ax 2＋c(a ≠0)，若⎠⎛01f (x )d x ＝f (x 0)，0≤x 0≤1，求x 0的值；(2)已知f (x )是一次函数，其图像过点(3,4)，且⎠⎛01f (x )d x ＝1，求f (x )的解析式．思路探究：(1)先利用微积分基本定理求出定积分⎠⎛01f (x )d x ，然后列出关于x 0的方程，求出x 0的值．(2)设出f (x )的解析式，再根据已知条件列方程组求解． [解] (1)∵f (x )＝ax 2＋c(a ≠0)， 且⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3x 3＋c x ′＝ax 2＋c ， ∴⎠⎛01f (x )d x ＝⎠⎛01(ax 2＋c)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3x 3＋c x ⎪⎪⎪1＝a 3＋c ＝ax 20＋c ， 解得x 0＝33或x 0＝－33(舍去)． (2)依题意设一次函数f (x )的解析式为 f (x )＝kx ＋b (k ≠0)．∵函数图像过点(3,4)，∴3k ＋b ＝4.①∵⎠⎛01f (x )d x ＝⎠⎛01(kx ＋b )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2x 2＋bx |10＝k 2＋b ， ∴k2＋b ＝1．②由①②得，k ＝65，b ＝25， ∴f (x )＝65x ＋25.1．含有参数的定积分可以与方程、函数或不等式综合起来考查，先利用微积分基本定理计算定积分是解决此类综合问题的前提．2．计算含有参数的定积分，必须分清积分变量与被积函数f (x )、积分上限与积分下限、积分区间与函数F (x )等概念．3．若函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)且f (1)＝4，f ′(1)＝1，⎠⎛01f (x )d x ＝316，求函数f (x )的解析式．[解] 由题意知f (1)＝a ＋b ＋c ＝4， ① f ′(1)＝2a ＋b ＝1，②又由⎠⎛01f (x )d x ＝⎠⎛01(ax 2＋bx ＋c)d x ＝316，知a 3＋b 2＋c ＝316.③①②③联立，解得a ＝－1，b ＝3，c ＝2， 所以函数f (x )的解析式为f (x )＝－x 2＋3x ＋2．1．定积分的值可能取正值也可能取负值，还可能是0.(1)当对应的曲边梯形位于x 轴上方时，定积分的值取正值，且等于曲边梯形的面积．(2)当对应的曲边梯形位于x 轴下方时，定积分的值取负值，且等于曲边梯形的面积的相反数．2．定积分计算时常用的几个结论(1)⎠⎛a b f (x )d x ＝－⎠⎛baf (x )d x . (2)⎠⎛a bf (x )d x ＝⎠⎛a cf (x )d x ＋⎠⎛cbf (x )d x (a <c<b )，该结论称为定积分对积分区间的可加性，积分区间的可加性也可以推广：⎠⎛a b f (x )d x ＝⎠⎛a x 1f (x )d x ＋⎠⎜⎛x 1x 2f (x )d x ＋…＋⎠⎛x n b f (x )d x ，其中a <x 1<…<x n <b .(3)若在区间[a ，b ]上，f (x )≥0，则⎠⎛abf (x )d x ≥0.推论1：若在区间[a ，b ]上，f (x )≤g(x )，则⎠⎛a bf (x )d x ≤⎠⎛a bg(x )d x .推论2：|⎠⎛a bf (x )d x |≤⎠⎛ab|f (x )|d x .(4)若函数f (x )为偶函数，则不含常数项的原函数F (x )为奇函数，⎠⎛-a af (x )d x ＝F (x )|a－a ＝F (a )－F (－a )＝2F (a )； (5)若函数f (x )为奇函数，则不含常数项的原函数F (x )为偶函数，⎠⎛-a af (x )d x ＝F (x )|a －a ＝F (a )－F (－a )＝0.1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)微积分基本定理中，被积函数f (x )是原函数F (x )的导数．( )(2)应用微积分基本定理求定积分的值时，为了计算方便通常取原函数的常数项为0.( )(3)应用微积分基本定理求定积分的值时，被积函数在积分区间上必须是连续函数．( )[答案] (1)√ (2)√ (3)√2．⎠⎜⎜⎛-π2π2(sin x ＋cos x )d x 的值是( )A ．0 B.π4 C ．2 D ．43．已知2≤⎠⎛12(kx ＋1)d x ≤4，则实数k 的取值范围为______．⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，2 [⎠⎛12(kx ＋1)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12kx 2＋x ⎪⎪⎪21＝(2k ＋2)－⎝ ⎛⎭⎪⎫12k ＋1＝32k ＋1，所以2≤32k＋1≤4，解得23≤k ≤2．]4．已知f (x )＝ax ＋b ，且⎠⎛-11f 2(x )d x ＝1，求f (a )的取值范围．[解] 由f (x )＝ax ＋b ，⎠⎛-11f 2(x )d x ＝1，得2a 2＋6b 2＝3,2a 2＝3－6b 2≥0， 所以－22≤b ≤22，所以f (a )＝a 2＋b ＝－3b 2＋b ＋32＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫b －162＋1912，所以－22≤f (a )≤1912.。
