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§5 微积分学基本定理定积分计算（续）教学目的： 熟练掌握微积分学基本定理及定积分的换元与分部积分法。
重点难点： 重点为微积分基本定理,难点为泰勒公式的积分型余项。
教学方法： 讲练结合。
本节要在定积分形式下证明连续函数必定存在原函数. 一变限积分与原函数的存在性设 f 在 a, b 上可积，根据定积分的性质 4，对任何 xa, b ， f 在 a, x 上也可积 . 于xxt dt, xa,b（ 1）是，由 fa定义了一个以积分上限为自变量的函数，称为变上限的定积分 . 类似可定义 变下限的定积xba,b . （ 2） 分：xf t dt, x与统称为 变限积分 . 注意，在变限积分（1 ）与（ 2）中，不可再把积分变量x 写成xx 相混淆 .f x dx ，以免与积分上、下限的abt dtbdt,因此下面只讨论变上限变限积分所定义的函数有着重要的性质．因为f f txx积分的情形．定理 9． 9 若 f 在 a, b 上可积，则由 (1) 式所定义的函数 在 a, b 上连续．证对 a, b 上任一确定的点x ，只要 xx a, b ，按定义式 (1) 有 x xt dtx t dtx xt dt.a f f x fa因 f 在 a, b 上有界，可设f tM , t a, b ．于是，当 x 0时有x x t dtxxt dtM x;xf xf当 x 0 时则有M x ．由此得到lim0,x即证得在点 x 连续．由 x 的任意性，在 a,b 上处处连续．口定理 9． 10( 原函数存在定理 ) 若 f 在 a,b 上连续，则由 (1) 式所定义的函数在 a,b 上处处可导，且xdxf t dtf x , xa,b .（ 3）dx a证对 a, b 上任一确定的 x ，当 x 0且 xxa, b 时，按定义式（ 1）和积分第一中值定理，有1x xt dtx x f x f x x ,0 1. 因为 f 在点x 连续，故有x lim x lim f xxf x .x 0x 0由 x 在 a,b 上的任意性，证得 是 f 在 a,b 上的一个原函数．口本定理沟通了导数和定积分这两个从表面看去似不相干的概念之间的内在联系；同时也证明了“连续函数必有原函数”这一基本结论，并以积分形式给出了 f 的一个原函数．正因为定理 9． 10 的重要作用而被誉为 微积分学基本定理．此外，又因 f 的任意两个原函数只能相差一个常数，所以当 f 为连续函数时，它的任一原函数F 必满足 Fx f t dtC.xa若在此式中令 xa ，得到 CF axF ( x) F (a). 再令 x b , 有，从而有f t dtab t dtF ( x)F (a).f a这是牛顿 - 莱布尼茨公式的又一证明 .9 11( 积分第二中值定理 )设函数 f 在 a, b上可积 .定理 ．( ⅰ ) 若函数 g 在 a,b 上减 , 且 gx0 , 则存在a, b , 使bfx dxf xg x dx g aaa( ⅱ ) 若函数 g 在 a,b 上增 , 且 gx0 , 则存在a, b , 使bx g x dx g bbf x dxf a推论 设函数 f 在 a,b 上可积 , 若函数 g 为单调函数 , 则存在a,b , 使b f x g x dx g abaaf xg b f x dx积分第二中值定理以及它的推论是今后建立反常积分收敛判别法的工具． 二换元积分法与分部积分法定理 9． 12( 定积分换元积分法 ) 若函数 f 在 a, b 上连续，在 ,上连续可微，且满足a a,b b, at b, t,，b x dxf tt dt （9）则有定积分换元公式：fa证因为 (9) 式两边的被积函数都是连续函数， 因此它们的原函数都存在． 设 F 是 f 在 a,b 上 的一个原函数，由复合函数微分法d tFttf ttFdt可见 F t 是 ft t 的一个原函数．根据牛顿一莱布尼茨公式，证得f tt dtFF aF b F abx dxfa从以上证明看到， 在用换元法计算定积分时， 一旦得到了用新变量表示的原函数后， 不必作 变量还原， 而只要用新的积分限代人并求其差值就可以了．这就是定积分换元积分法与不定积分换元积分法的区别， 这一区别的原因在于不定积分所求的是被积函数的原函数， 理应保留与原来相同的自变量；而定积分的计算结果是一个确定的数，如果 (9)式一边的定积分计 算出来了，那么另一边的定积分自然也求得了.注如果在定理 9． 12 的条件中只假定 f 为可积函数，但还要求 是单调的，那么（ 9）式仍然成立 . （本节习题第 14 题）12例计算1.x dx解令 xsin t ，当 t 由 0 变到 时， x 由 0 增到 1，故取 ,0,. 应用公式 (9) ，22并注意到在第一象限中 cost0 ，则有11 x 2dx2 1sin 2 t costdt2cos 2 tdt1 2 1cos2t dt 1 t1 sin 2t 2224 .例2计算2sin t cos 2 tdt.2 0解逆向使用公式 (9) ，令xcost, dxsin tdt , 当t 由 0 变到时， x 由 1 减到 0，则2有2sin t cos 2 tdt2dx 11.xx 2 dx131ln 1 x dx.例3计算 J1 x 2解令 xtant ，当 t 从 0 变到时， x 从 0 增到 1. 于是由公式（ 9）及 dtdx 2 得 1 x4到J4ln 1 tan t dt4 lncostsin tdtcost2 cost 4 4d tlncost4ln 2dt4ln cos t dt4ln costdt.4对最末第二个定积分作变换ut ，有44ln cos t dtdu4ln cosudu,ln cosu4 4它与上面第三个定积分相消．故得J4ln 2dt8ln 2.事实上， 例 3 中的被积函数的原函数虽然存在， 但难以用初等函数来表示， 因此无法直接使用牛顿一莱布尼茨公式．可是像上面那样，利用定积分的性质和换元公式 (9) ，消去了其中无法求出原函数的部分，最终得出这个定积分的值．换元积分法还可用来证明一些特殊的积分性质，如本节习题中的第5， 6， 7 等题．定理 9.13 ( 定积分分部积分法 ) 若 u x , v x 为 a, b 上的连续可微函数，则有定积分分部积 分公式：bbba u x v x dxu x v x aaux v x dx. （ 10）证因为 uv 是 uvu v 在 a,b 上的一个原函数，所以有bbu x v x dxbu x v x u x v x dxu x v x dx +a aau x v x a b .移项后即为 (10) 式．为方便起见，公式 (10) 允许写成bu x v xbb u x dv xaaav x du x . （10）例4计算 e2ln .x xdx1e x 2ln xdx 1 e 313 e e 2dx解 3ln xd xxln x 1x113111x 3 e1e 3 2e 3 1. 3 3 1 9例5计算 2sin n xdx 和 2 cos n xdx,n1,2, .解当 n 2 时，用分部积分求得J n2sin n xdxsin n 1 x cos x 2 n 12sin n 2 x cos 2 xdxn 12sin n2xdx n 12sin n xdxn 1 J n 2n 1 J n .移项整理后得到递推公式： J nn n 1J n 2 , n2.因为J 2 dx , J 2sin xdx 1, 00 10重复应用递推式 (11)便得2m 1 2m3 1 2m 1!! ,J2 m2m 22 22m !!22m12J2 m 12m 2m 2 2 12m !! .2m 1 2m 1 32m 1!!令 xt ，可得202 cos nxdxcos n2 t dt 02 sin n xdx.2因而这两个定积分是等值的．由例 5 结论 (12)可导出著名的 沃利斯公式 ：2m !! 21lim. 1322m 1 !!2mm1事实上，由2sin 2 n 1 xdxcos nt dt 02 sin 2m 1 xdx,22把(12) 代人，得到2m !!2m 1!! 2m 2!!,2m 1 !! 2m !!22m 1 !!2m !!2121由此又得 A m2m !!2m 1 !! 2m1 2 2m 1 !!B m . 2m2m !! 211因为 oB m A m0 m,2m 1 !! 2m 2m 1 2m 2所以 lim B mA m0. 而 Am B m A m , 故得 lim A m （即 13 式）.m2m2三泰勒公式的积分型余项 若在 a, b 上 u x 、 v x 有 n1阶连续导函数，则有abu x v n 1 x dx [u x v n x u x v n 1 xnx v x ]a b 1 n 11 u nabu n 1 x v x dxn 1,2, . 14这是推广的分部积分公式，读者不难用数学归纳法加以证明．下面应用公式14 导出泰勒公式的积分型余项.设 函 数 f 在 点 x 0 的 某 邻 域 U x 0 内 有 n 1 阶 连 续 导 函 数 ． 令xU x 0 ，u tx t n ， v tf t ， tx 0 , x （或 x, , x 0）．利用 (14)式得x xx t n f n 1 t dt[ xt n f n tn x t n 1 f n 1 tn! f t ]x xx x0 f t dtn! f x n![ f x 0 f x 0 x x 0f n x 0 x x 0n]n!n! R n x ，其中 R n x 即为泰勒公式的 n 阶余项．由此求得R n xxx 0 fn 1t xt n dt ，15n!这就是泰勒公式的 积分型余项 ． 因为 f n 1t 连续，n在 x 0 , x 或 x, x 0x t 上保持同号，因此由推广的积分第一中值定理，可将15 式写作1 R n x fn! 1 fn 1!n 1xxx t n dt n 1x x 0 n1，其中x 0x x 0 ,01 ．这就是以前所熟悉的拉格朗日型余项．如果直接用积分第一中值定理于(15) ，则得 R n x1fn 1xn!nx x 0，x 0x x 0 ,01.因为xn x x 0nx x 0x x 0 x x 0nx n 11x 0因此又可进一步把R n x 改写为R n x1f n 1 x 0x x 0 1x xn,n1n! 01. （ 16）特别当 x 0 0 时，又有R n x1 f n 1 x 1nx n 1 ,01. （17）n!公式（ 16）、（17）称为泰勒公式的柯西型余项 . 各种形式的泰勒公式余项，将在第十四章里显示它们的功用 . 作业 :2,3,4(1),(6)(9)。
定积分与微积分基本定理复习（课堂导学案）班级：；姓名：；学习小组组；号课前准备·明确目标【目标导引】1. 学生加深对定积分与微积分基本定理相关知识的理解。
2. 学生能够利用定积分相关知识解决实际应用问题，会用微积分基本定理解决相关问题。
3. 通过小组合作的形式提升学生分析解决问题的能力。
自主学习·求知探究知识梳理教与学感悟1．定积分中，a，b分别叫做积分下限与积分上叫做积分区间，f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)d x∫421 x dA.176 B.143 C.136 D.116∫101－x2d＝1x，直线＋52所围成的封闭图形的面积为⎭⎫＋1x2π⎰sin2x2d(4)利用牛顿—莱布尼兹公式求出各个定积分的值；(5)计算原始定积分的值．考点二利用定积分的几何意义求定积分[例2]∫10－x2＋2x d x＝________.变式：在本例中，改变积分上限，求∫20－x2＋2x d x的值．———————————————————利用几何意义求定积分的方法(1)当被积函数较为复杂，定积分很难直接求出时，可考虑用定积分的几何意义求定积分．(2)利用定积分的几何意义，可通过图形中面积的大小关系来比较定积分值的大小．考点三：利用定积分求平面图形的面积[例3](2014·高考)由曲线y＝x，直线y＝x－2及y轴所围成的图形的面积为()A.103B．4 C.163D．6变式训练：若将“y＝x－2”改为“y＝－x＋2”，将“y轴”改为“x轴”，如何求解？———————————————————利用定积分求曲边梯形面积的步骤(1)画出曲线的草图．(2)借助图形，确定被积函数，求出交点坐标，确定积分的上、下限．(3)将“曲边梯形”的面积表示成若干个定积分的和或差．(4)计算定积分，写出答案．考点四：定积分在物理中的应用[例4]列车以72 km/h的速度行驶，当制动时列车获得加速度a＝－0.4 m/s2，问列车应在进站前多长时间，以及离车站多远处开始制动？1个定理——微积分基本定理由微积分基本定理可知求定积分的关键是求导函数的原函数，由此可知，求导与积分是互为逆运算．3条性质——定积分的性质(1)常数可提到积分号外；(2)和差的积分等于积分的和差； (3)积分可分段进行．3个注意——定积分的计算应注意的问题(1)若积分式子中有几个不同的参数，则必须分清谁是积分变量； (2)定积分式子中隐含的条件是积分上限不小于积分下限； (3)面积非负， 而定积分的结果可以为负.易误警示——利用定积分求平面图形的面积的易错点[典例] (2013·上海高考)已知函数y ＝f (x )的图象是折线段ABC ，其中A (0,0)，B ⎝⎛⎭⎫12，5，C (1,0)．函数y ＝xf (x )(0≤x ≤1)的图象与x 轴围成的图形的面积为________．[易误辨析]1．本题易写错图形面积与定积分间的关系而导致解题错误． 2．本题易弄错积分上、下限而导致解题错误，实质是解析几何的相关知识和运算能力不够致错．3．解决利用定积分求平面图形的面积问题时，应处理好以下两个问题： (1)熟悉常见曲线，能够正确作出图形，求出曲线交点，必要时能正确分割图形；(2)准确确定被积函数和积分变量．变式训练：1．由曲线y ＝x 2，y ＝x 3围成的封闭图形面积为( ) A.112 B.14 C.13D.7122．(2014·高考)设a >0.若曲线y ＝x 与直线x ＝a ，y ＝0所围成封闭图形的面积为a 2，则a ＝________.本节学习感悟：定积分与微积分基本定理（教案设计部分）设计人： 审核：吕厚杰【教学目标】1. 学生加深对定积分与微积分基本定理相关知识的理解。
人教版高中选修(B版)2-21.4.2微积分基本定理课程设计一、课程背景微积分是数学的重要分支，对于学习自然科学和工程学科有着至关重要的作用。
在高中阶段，微积分是数学必修内容，也是高考数学的重点和难点。
而在选修课程中，微积分更是占据了很大的比重，且难度相对较高。
本文设计了人教版高中选修(B版)2-21.4.2微积分基本定理课程，旨在帮助学生更好地掌握微积分的基本定理，提高其数学素养和解题能力。
二、课程目标1.理解微积分的基本知识和基本定理。
2.掌握微积分基本定理的应用方法，解决实际问题。
3.通过本课程的学习，提高学生的数学素养和解题能力。
三、课程内容3.1 微积分基本概念回顾通过复习微积分的基本概念，对微积分有一个整体的认识和理解。
3.2 微积分基本定理理解微积分的基本定理，包括牛顿-莱布尼茨公式和积分中值定理，并通过例题进行讲解，让学生能够掌握其应用方法。
3.3 微积分基本公式介绍微积分中的一些基本公式，如幂函数、指数函数、对数函数的积分公式等，并通过例题进行讲解，让学生掌握其应用方法。
介绍微积分在实际问题中的应用，如曲线长度计算、定积分求解物体质心和重心、体积和表面积计算等，通过例题进行讲解，让学生掌握其应用方法。
四、课程重点微积分基本定理是本课程的重点，学生需要理解其含义，并掌握其应用方法。
同时，微积分的应用也是本课程的重点之一，学生需要掌握如何将微积分方法应用于实际问题的求解中。
五、课程难点微积分基本定理的应用是本课程的难点，学生需要运用基本定理解决实际问题并进行综合运用。
六、教学方法本课程采用讲解、例题演练和课堂讨论相结合的教学方法。
首先进行知识点的讲解和概述，然后通过例题演示和讲解，让学生能够将所学知识运用到实际问题的求解中。
最后通过课堂讨论和作业练习，巩固学生所学知识，提高其解题能力。
七、教学过程7.1 微积分基本概念回顾•概念回顾：导数、微分、积分•讲解导数、微分、积分的概念和定义7.2 微积分基本定理•基本定理的含义•讲解牛顿-莱布尼茨公式和积分中值定理•示范范例：经典题目实例演练•基本公式的介绍•通过例题进行演示和讲解7.4 微积分的应用•经典实例的讲解：曲线长度计算、定积分求解物体质心和重心、体积和表面积计算•案例实践：综合应用进行例题演示八、课程作业1.理解微积分基本理论，总结基本概念和定义，并构思相应的例子。
166-高中数学选修系列2选修2-2《微积分基本定理与定积分计算》教案2§3 微积分基本定理与定积分计算一、目标预览1.理解并能熟练运用微积分基本定理.2.掌握定积分的常用计算方法.3.了解定积分与不等式的常用证明方法.4.了解定积分相关知识的综合应用.二、概念入门设«Skip Record If...»，称函数«Skip Record If...»«Skip Record If...»为函数«Skip Record If...»在«Skip Record If...»上的变上限定积分；类似地可定义变下限定积分：«Skip Record If...».注（i）由«Skip Record If...»积分的性质，«Skip Record If...»的定义有意义.（ii）由«Skip Record If...»积分的性质易证«Skip Record If...».三、主要事实1.微积分基本定理若«Skip Record If...»，则«Skip RecordIf...»«Skip Record If...»，即«Skip Record If...»，«Skip Record If...».注（i）证明由导数的定义及第一积分中值定理即得.（ii）通过微分中值定理（推论），可获得微积分基本定理如下的等价表述：仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢41仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢42⎰'-'=)( )( )())(()())(())((x x x x f x x f dt t f dx d ψϕϕϕψψ⎰⎰=ξ )()()()(a b a dx x f a g dx x g x f ⎰=b dx x g b f )()(ξ若«Skip Record If...»，而且«Skip RecordIf...»«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»«Skip Record If...».(iii)微积分基本定理及其等价表述沟通了不定积分与定积分、微分与积分的内在联系.（iv ）利用微积分基本定理及复合函数微分法可得下述的变限积分求导公式：若«Skip Record If...»，«Skip Record If...»、«Skip Record If...»在«Skip Record If...»上可微而且«Skip Record If...»、«Skip Record If...»，则2.第二积分中值定理（1）（旁内（Bonnet ，1819-1892[法]）型第二积分中值定理）若«Skip Record If...»，而且«Skip Record If...»是«Skip Record If...»上非负递减（相应地递增）函数，则存在«Skip Record If...»使得（相应地）（2）（Werierstrass型第二积分中值定理）若«Skip Record If...»，«Skip Record If...»是«Skip Record If...»上的单调函数，则存在«Skip Record If...»使得«Skip Record If...».证（1）令«Skip Record If...»«Skip Record If...»，利用«Skip Record If...»的可积性得«Skip Record If...»«Skip Record If...»再由«Skip Record If...»«Skip Record If...»及«Skip Record If...»的单调减小性，可得«Skip Record If...»再由连续函数的介值性即得.（2）当«Skip Record If...»为单调递减（增）时，对«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»应用（1）即得.3.定积分的计算（1）（牛顿——莱布尼兹公式）若«Skip Record If...»，«Skip Record If...»而且除有限个点外有«Skip Record If...»，那么有仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢43«Skip Record If...».注（i）牛顿——莱布屁兹公式简称«Skip Record If...»—公式，它是微积分的核心定理，最初分别由牛顿与莱布尼兹在17世纪下半叶独立得到，柯西在19世纪初给出精确叙述与证明，黎曼在19世纪中叶给予完善，达布在1875年给出现在这种形式.（ii）证明可由«Skip Record If...»积分的定义（分点包括例外点）及微分中值定理（作用在«Skip Record If...»上）可推得.（2）（定积分换元积分法）如果«Skip Record If...»在«Skip Record If...»上有连续导数，«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，那么有«Skip Record If...»注（i）定积分换元积分公式由复合函数微分法及«Skip Record If...»公式可得，而且«Skip Record If...»可减弱为«Skip Record If...».进一步，定积分换元积分公式中的«Skip Record If...»可减弱为«Skip Record If...»，但«Skip Record If...»的条件稍许加强（证明较为复杂），即有以下的命题成立：若«Skip Record If...»，«Skip Record If...»是一一映射而且还满足«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，那么有仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢44«Skip Record If...».（ii）定积分换元积分法实际上是不定积分第二换元积分法的直接应用.但使用时有较大差别，在这里换元之后变量不需回代，但积分限要跟着更换（在去掉根号的情形下须注意函数的符号）.（iii）对应于不定积分中的第一换元法（即凑微分法），在这里可以不加变动地直接应用，而且积分限也不须作更改（即仍然采用原来的积分变量）.（3）（分部积分法）如果«Skip Record If...»、«Skip Record If...»具有连续的导数，那么有«Skip Record If...»«Skip Record If...».注（i）分部积分可由乘积微分法则及«Skip Record If...»公式直接证之.（ii）分部积分公式可连续使用«Skip Record If...»次，即利用数学归纳法及分部积分公式可得下面的命题：若«Skip Record If...»、«Skip Record If...»具有«Skip Record If...»阶连续导数，那么有«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...».4.定积分计算中常用的几个公式仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢45（1）若«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»«Skip Record If...».（2）若«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»«Skip Record If...»（3）若«Skip Record If...»是以«Skip Record If...»为周期的周期函数，则«Skip Record If...»有«Skip Record If...»（4）若«Skip Record If...»，则«Skip Record If...».（5）若«Skip Record If...»，则«Skip Record If...».证（1）令«Skip Record If...»可得.（2）令«Skip Record If...»得«Skip Record If...».（3）令«Skip Record If...»得«Ski p Record If...»，仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢46于是有«Skip Record If...»，再令«Skip Record If...»得«Skip Record If...».（4）令«Skip Record If...»可得.（5）令«Skip Record If...»可得«Skip Record If...»及«Skip Record If...».5.带积分余项的泰勒公式若«Skip Record If...»在«Skip Record If...»上具有«Skip Record If...»阶连续导数，那么«Skip Record If...»有«Skip Record If...»，即«Skip Record If...»，称此为泰勒公式的积分余项.注（i）令«Skip Record If...»（常数变易法），对«Skip Record If...»分别应用«Skip Record If...»公式及分部积分公式即获得积分余项公式的证明.（ii）对积分余项应用第一积分中值定理（«Skip Record If...»在积分区间«Skip Record If...»（或仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢47«Skip Record If...»上不变号）可得泰勒公式的拉格朗日余项：«Skip Record If...»（其中«Skip Record If...»）.（iii）对积分余项应用积分平均值定理泰勒公式的柯西余项：«Skip Record If...»«Skip Record If...»四、例题选讲1.定积分计算例题选.例1求下列定积分（1）«Skip Record If...»（2）«Ski p Record If...»（3）«Skip Record If...»（4）«Skip Record If...»（5）«Skip Record If...»（6）«Skip Record If...»（7）«Skip Record If...»（8）«Skip Record If...»（9）«Skip Record If...»仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢48解（1）«Skip Record If...».（2）«Skip Record If...».（3）令«Skip Record If...»，（3）«Skip Record I f...»（4）令«Skip Record If...»，（4）«Skip Record If...»«Skip Record If...».令«Skip Record If...»得«Skip Record If...»，于是有（4）«Skip Record If...».（5）«Skip Record If...»«Skip Record If...»（6）«Skip Record If...»«Skip Record If...»（7）利用«Skip Record If...»得仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢49（7）«Skip Record If...»（8）利用«Skip Record If...»得（8）«Skip Record If...»（9）«Skip Record If...».例2（1）求«Skip Record If...»（2）证明Wallis公式：«Skip Record If...».解（1）«Skip Record If...»«Skip Record If...»，«Skip Record If...»证（2）由«Skip Record If...»得«Skip Record If...»，由此可得«Skip Record If...»«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，50因此«Skip Record If...».例3利用定积分求下列极限（1）«Skip Record If...»（2）«Skip Record If...»（3）«Skip Record If...»（4）«Skip Record If...»（5）«Skip Record If...»解（1）«Skip Record If...»（2）«Skip Record If...».（3）由«Skip Record If...»可得（3）«Skip Record If...»（4）由«Skip Record If...»可得«Skip Record If...».因此«Skip Record If...».（5）令«Skip Record If...»51«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...».因此«Skip Record If...».2.微积分基本定理应用例题选例4 设«Skip Record If...»，试求«Skip Record If...».解应用微积分基本定理两次可得«Skip Record If...».例5确定常数«Skip Record If...»、«SkipRecord If...»、«Skip Record If...»使得«Skip Record If...».解由«Skip Record If...»可推得«Skip Record If...»，由罗比塔法则及«Skip Record If...»可推得«Skip Record If...»，接着易求得«Skip Record If...».例6 若«Skip Record If...»存在，«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，试求«Skip Record If...».52解令«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»，«Skip Record If...».例7设«Skip Record If...»连续，«Skip Record If...»，«Skip Record If...».试求：«Skip Record If...».解令«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»于是有«Skip Record If...».两边关于«Skip Record If...»求导得«Skip Record If...»再令«Skip Record If...»可得«Skip Record If...».例8试求可微函数«Skip Record If...»使得«Skip Record If...».解先关于«Skip Record If...»求导得«Skip Record If...»令«Skip Record If...»得«Skip Record If...»再关于«Skip Record If...»求导得53«Skip Record If...».因而«Skip Record If...»，因而«Skip Record If...».3.积分中值定理应用例题选例9 设«Skip Record If...»在«Skip Record If...»上可微，而且«Skip Record If...»，«Skip Record If...»（«Skip Record If...»）.证明：«Skip Record If...».证令«Skip Record If...»，则由条件可得«Skip Record If...»，由«Skip Record If...»得«Skip Record If...»«Skip Record If...»，于是有«Ski p Record If...».例10设«Skip Record If...»在«Skip Record If...»上连续，而且«Skip Record If...»，«Skip Record If...».证明：«Skip Record If...».证«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，«Skip Record If...»在«Skip Record If...»处取最大值，因而有«Skip Record If...»«Skip Record If...».证«Skip Record If...»54«Skip Record If...»例11 设«Skip Record If...».证明：«Skip Record If...»，«Skip Record If...»例12设«Skip Record If...»在«Skip Record If...»上二阶可导，而且«Skip Record If...».证明：（i）«Skip Record If...»；（ii）又若«Skip Record If...»«Skip Record If...»，则«Skip Record If...».证（i）由«Skip Record If...»及«Skip Record If...»得«Skip Record If...»，再由«Skip Record If...»得«Skip Record If...».（ii）«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，积分后得«Skip Record If...»«Skip Record If...».55例13设«Skip Record If...»在«Skip Record If...»上具有二阶连续函数，证明；存在«Skip Record If...»使得«Skip Record If...».证令«Skip Record If...»，分别求得«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，在«Skip Record If...»处的二阶泰勒展开式，两式相减再用微积分基本定理及连续函数的介值定理即得.例14设«Skip Record If...»而且«Skip Record If...»，«Skip Record If...».证明：«Skip Record If...»证由条件«Skip Record If...»，若«Skip Record If...»，则由«Skip Record If...»导出«Skip Record If...»矛盾！例15设«Skip Record If...»，«Skip Record If...»在«Skip Record If...»上单调而且可微.证明：存在«Skip Record If...»使得«Skip Record If...».56证令«Skip Record If...»，由微积分基本定理及第一积分中值定理可得«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...».例16证明下列极限（1）若«Skip Record If...»，则«Skip Record If...».（2）若«Skip Record If...»，则«Skip RecordIf...».（3）«Skip Record If...»（4）若«Skip Record If...»，则«Skip Record If...».（5）若«Skip Record If...»是以«Skip Record If...»为周期的连续函数，则«Skip Record If...»«Skip Record If...».57（6）若«Skip Record If...»而且«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»有«Skip Record If...».证（1）«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...».（2）由«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»（其中«Skip Record If...»）及«Skip Record If...»可积的第二充要条件可得.（3）由第二积分中值定理得，存在«Skip Record If...»使得«Skip Record If...»，再令«Skip Record If...»即得.（4）«Skip Record If...»«Skip Record If...»58«Skip Record If...».（5）«Skip Record If...»是以«Skip Record If...»为周期的连续函数，从而有界，由此即得.（6）由第一积分中值存在«Skip Record If...»使得«Skip Record If...».令«Skip Record If...»即得.例17设«Skip Record If...»在«Skip Record If...»上单调递增，而且«Skip Record If...»，«Skip Record If...»«Skip Record If...».若«Skip Record If...»，则«Skip Record If...».证若不然，«Skip Record If...»，«Skip RecordIf...»，«Skip Record If...»使得«Skip RecordIf...»，此时分两种情形：（i）若存在«Skip Record If...»使得«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»«Skip Record If...».59（ii）«Skip Record If...»，«Skip Re cord If...»，则«Skip Record If...»有«Skip Record If...»«Skip Record If...»，于是«Skip Record If...».上述的（i）、（ii）与«Skip Record If...»矛盾.例18 设«Skip Record If...»，令«Skip Record If...»，«Skip Record If...».证明：«Skip Record If...».证令«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，则由«Skip Record If...»«Skip Record If...»于是有«Skip Record If...».五、思考与讨论1.若«Skip Record If...»在区间«Skip Record If...»上有原函数，是否必有«Skip Record If...»公式成立？提示：考虑«Skip Record If...»602.若«Skip Record If...»，«Skip Record If...»是否必有原函数？3.若«Skip Record If...»，而且«Skip Record If...»是否必有«Skip Record If...»？4.若«Skip Record If...»在«Skip Record If...»上不«Skip Record If...»可积，«Skip Record If...»的原函数在«Skip Record If...»上是否必不存在？5.奇函数的原函数是否必为偶函数？偶函数的原函数是否必为奇函数？六、基础题训练1.计算下列定积分（1）«Skip Record If...»（2）«Skip Record If...»（3）«Skip Record If...»（4）«Skip Re cord If...»（5）«Skip Record If...»（6）«Skip Record If...»（7）«Skip Record If...»（8）«SkipRecord If...»61（9）«Skip Record If...»（10）«Skip Record If...»（11）«Skip Record If...»（«Skip Record If...»为实数）（12）«Skip Record If...»2.设«Skip Record If...».试求«Skip Record If...».3.设«Skip Record If...»,试求«Skip RecordIf...».4.设«Skip Record If...»，试求«Skip Record If...».5.«Skip Record If...».试求«Skip Record If...».6.设«Skip Record If...»，«Skip Record If...».试求：«Skip Record If...».7.求下列极限62（1）«Skip Record If...»（2）«SkipRecord If...»（3）«Skip Record If...»（4）«SkipRecord If...»8.设«Skip Record If...»，«Skip Record If...».试求«Skip Record If...»（答案：«Skip Record If...»）.9.设«Skip Record If...»连续而且«Skip Record If...»，«Skip Record If...».求«Skip Record If...»使得«Skip Record If...».（答案：«Skip Record If...»）10.证明：«Skip Record If...»（提示：分段，换元）.11.设«Skip Record If...»在«Skip Record If...»上连续，而且«Skip Record If...».证明：63«Skip Record If...»,«Skip Record If...».12.设«Skip Record If...»在«Skip Record If...»上单调增加.证明：«Skip Record If...».（提示：«Skip Record If...»）.七、提高性习题13.求下列积分（«Skip Record If...»为正整数）（1）«Skip Record If...»（2）«Skip Record If...»（3）«Skip Record If...»（4）«Skip Record If...»14.求下列极限（1）«Skip Record If...»（2）«Skip Record If...»（3）«Skip Record If...»（4）«Skip Record If...»64（5）«Skip Record If...»（6）«Skip Record If...»（答案：（1）.«Skip Record If...»；（2）.«Skip Record If...»；（3）«Skip Record If...»；（4）.（2）；（5）.«Skip Record If...»；（6）«Skip Reco rd If...»）15.设«Skip Record If...»而且«Skip Record If...»，令«Skip Record If...».证明：（1）«Skip Record If...»（2）«Skip Record If...»（3）«Skip Record If...».16.求下列极限（1）«Skip Record If...»（2）«SkipRecord If...»（3）«Skip Record If...».（答案：（1）.«Skip Record If...»；（2）.«Skip Record If...»；（3）.«Skip Record If...»）.6517.证明下列极限：（1）若«Skip Record If...»在«Skip Record If...»上连续，则«Skip Record If...».（2）若«Skip Record If...»不变号，则«Skip Record If...»（3）若«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»（4）若«Skip Record If...»而且«Skip Record If...»，则«Skip Record If...».（提示：（1）利用分部积分；（2）令«Skip Record If...»，再用第一积分中值定理；（3）令«Skip Record If...»，再利用积分中值定理；（4）分段估计）.18.设«Skip Record If...»，«Skip Record If...».证明：«Skip Record If...».19.设«Skip Record If...»在«Skip Record If...»上无穷次可微，«Skip Record If...»为自然数，«Skip Record If...».证明：«Skip Record If...».6620.设«Skip Record If...»，«Skip Record If...»为偶数且对于«Skip Record If...»，有«Skip Record If...».证明：«Skip Record If...»,并由此计算«Skip Record If...»（答案：«Skip Record If...»）.21.设«Skip Record If...»为连续函数.证明下述等式：（1）«Skip Record If...»（2）«Skip Record If...».（提示：（1）令«Skip Record If...»，再令«Skip Record If...»（分段）；（2）令«Skip Record If...»）.22.设«Skip Record If...»，«Skip Record If...».试求«Skip Record If...».（答案：«Skip Record If...»）.23.试求函数«Skip Record If...»在«Skip Record If...»上的最大值.（答案：«Skip Record If...»）.6724.设«Skip Record If...»连续，而且«Sk ip Record If...».试求«Skip Record If...»（答案：«Skip Record If...»）.25.设«Skip Record If...»在«Skip Record If...»上存在，«Skip Record If...»，«Skip Record If...»为«Skip Record If...»的反函数而且«Skip Record If...».试求：«Skip Record If...»（答案：«Skip Record If...»）.26.设«Skip Record If...»而且«Skip Record If...»(«Skip Record If...»).试求«Skip Record If...»（答案：«Skip Record If...»）.27.设«Skip Record If...»而且«Skip Reco rd If...»，«Skip Record If...».证明：«Skip Record If...»在«Skip Record If...»中至少有两个零点.（提示：令«Skip Record If...»，利用分部积分）.28.设«Skip Record If...»而且不恒为常数，而且«Skip Record If...».68证明：存在«Skip Record If...»使得«Skip Record If...».（提示：令«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»，«Skip Record If...»）.29.设«Skip Record If...»，«Skip Record If...»存在而且非负.证明：«Skip Record If...».（提示：利用«Skip Record If...»在«Skip Record If...»处的一阶泰展开式）.30.设«Skip Record If...».证明：«Skip Record If...».（提示：分«Skip Record If...»变号与不变号两种情形考虑）.31.设«Skip Record If...».证明«Skip Record If...».6932.设«Skip Record If...»而且«Skip Record If...»，«Skip Record If...».证明：«Skip Record If...».（提示：利用«Skip Record If...»）33.设«Skip Record If...»在«Skip Record If...»上二阶可导，«Skip Record If...»（«Skip Record If...»）而且«Skip Record If...».证明：«Skip Record If...».（提示：利用«Skip Record If...»在«Skip Record If...»处的泰勒展开式）.34.设«Skip Record If...»且«Skip RecordIf...»，«Skip Record If...».证明：«Skip Record If...».（提示：利用«Skip Record If...»在«Skip Record If...»处的一阶泰展开式）.35.设«Skip Record If...»，«Skip Record If...».证明：«Skip Record If...».（提示：«Skip Record If...»在«Skip Record If...»处取最大值）.7036.设«Skip Record If...»而且非负，«Skip Record If...».证明：«Skip Record If...».（提示：令«Skip Record If...»）.37.设«Skip Record If...»而且«Skip Record If...»，«Skip Record If...»«Skip Record If...».证明：«Skip Record If...».（提示：令«Skip Record If...»，再利用分部积分公式及换元公式）.38.设«Skip Record If...»不恒为零而且满足«Skip Record If...».证明：«Skip Record If...».（提示：利用函数单调性）.39.设«Skip Record If...»而且«Skip Record If...».证明：«Skip Record If...».（提示：令«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»）.7140.设«Skip Record If...»连续，«Skip Record If...»而且«Skip Record If...»（常数）.试求«Skip Record If...»，并讨论«Skip Record If...»在«Skip Record If...»处的连续性.（答案：«Skip Record If...»，«Skip RecordIf...»«Skip Record If...»）.41.设«Skip Record If...»而且«Skip Record If...».证明：«Skip Record If...».（提示：令«Skip Record If...»，则«Skip RecordIf...»，再由«Skip Record If...»及积分中值定理可得）.72。
第四节 定积分的概念、微积分基本定理及其简单应用一．复习要点： 1．定积分的实质如果在区间[,]a b 上函数连续且有()0f x ≥，那么定积分()baf x dx ⎰表示由直线,x a x b ==（a b ≠），0y =和曲线()y f x =所围成的曲边梯形的面积。
如果在区间[,]a b 上函数连续且有()0f x ，那么定积分()ba f x dx ⎰表示由直线,x a xb ==（a b ≠），0y =和曲线()y f x =所围成的曲边梯形的面积的相反数。
如果在区间[,]a b 上函数连续且()f x 有正有负时，那么定积分()baf x dx ⎰表示介于,x a x b ==（a b ≠）之间x 轴之上、下相应的曲边梯形的面积代数和。
()baf x dx ∴=⎰阴影A 的面积—阴影B 的面积（即x 轴上方面积减x 轴下方的面积）2．定积分的性质根据定积分的定义，不难得出定积分的如下性质：性质1 a b dx ba-=⎰1性质2⎰⎰=babadx x f k dx x kf )()( （其中k 是不为0的常数） （定积分的线性性质）性质31212[()()]()()bbbaaaf x f x d x f x d xf x d x ±=±⎰⎰⎰ （定积分的线性性质）性质4()()()()bcbaacf x dx f x dx f x dxa cb =+<<⎰⎰⎰其中（定积分对积分区间的可加性）3.微积分基本定理一般的，如果()f x 是闭区间[,]a b 上的连续函数，并且()()F x f x '=，那么()()()baf x dx F b F a =-⎰。
可以把()2()0aa af x dx f x dx -==⎰⎰()()F b F a -记作()|baF x ，即()()|()()bb a af x dx F x F b F a ==-⎰。
《定积分与微积分基本定理》教案一、教学目标1. 理解定积分的概念，掌握定积分的计算方法。
2. 掌握微积分基本定理，了解其应用。
3. 能够运用微积分基本定理解决实际问题。
二、教学内容1. 定积分的概念：定积分是函数在区间上的积累量，用符号∫表示。
2. 定积分的计算方法：牛顿-莱布尼茨公式、换元法、分部积分法等。
3. 微积分基本定理：微积分基本定理是定积分与导数之间的关系，表述为∫(f'(x)dx) = F(b) F(a)，其中F(x) 是f(x) 的一个原函数。
4. 微积分基本定理的应用：求解曲线下的面积、弧长、质心等问题的计算。
三、教学重点与难点1. 教学重点：定积分的概念、计算方法，微积分基本定理的理解与应用。
2. 教学难点：微积分基本定理的证明，定积分的计算方法的综合运用。
四、教学方法1. 讲授法：讲解定积分的概念、计算方法，微积分基本定理的证明。
2. 案例分析法：分析实际问题，引导学生运用微积分基本定理解决。
3. 练习法：课堂练习与课后作业，巩固所学知识。
五、教学安排1. 第一课时：定积分的概念与计算方法。
2. 第二课时：微积分基本定理的证明。
3. 第三课时：微积分基本定理的应用。
4. 第四课时：定积分的综合练习。
六、教学策略1. 互动讨论：鼓励学生提问，师生共同探讨定积分与微积分基本定理的相关问题。
2. 小组合作：同学之间分工合作，共同完成定积分的计算和应用问题。
3. 利用多媒体：通过动画、图像等直观展示定积分的几何意义和应用。
七、教学评价1. 课堂问答：检查学生对定积分概念、计算方法和微积分基本定理的理解。
2. 课后作业：布置有关定积分的计算和应用问题，检验学生掌握程度。
3. 课程报告：要求学生选择一个实际问题，运用微积分基本定理进行解决，以此评估学生的实际应用能力。
八、教学资源1. 教材：选用权威、实用的教材，如《微积分学导论》等。
2. 辅导资料：提供定积分与微积分基本定理的相关习题及解答。
实用文档2021年高中数学《微积分基本定理》教案2 新人教A 版选修2-2教学目标：通过实例，直观了解微积分基本定理的含义，会用牛顿-莱布尼兹公式求简单的定积分教学重点：通过探究变速直线运动物体的速度与位移的关系，使学生直观了解微积分基本定理的含义，并能正确运用基本定理计算简单的定积分。
教学难点：了解微积分基本定理的含义 一. 问题再现：1、复习：导数的定义及运算法则；定积分的概念及用定义计算2、利用定积分的定义计算 二. 自学导引：1、自学教材 51—53页,回答下面的问题：微积分基本定理 一般地，如果是区间上的连续函数，并且，那么_______________,这个结论叫做微积分基本定理，又叫做_______________，为了方便起见，还常用 表示________，即()()|()()bb a af x dx F x F b F a ==-⎰注意：1、在定理中：若，那么_________，所以求定积分的关键是找到满足的任意一个函数即可；2、无论是或，此公式 都成立。
3、微积分基本定理的简单证明过程，了解即可。
证明：因为=与都是的原函数，故-=C （），其中C 为某一常数。
令得-=C ，且==0即有C=，故 =+即=-= 令，有2、看53-54页的例2回答下面的问题：定积分的取值：定积分的取值可能取________，也可能取_______，还可能是__________（1）当对应的曲边梯形位于_________，定积分的值取________，且等于____________ （2）当对应的曲边梯形位于_________，定积分的值取________，且等于____________ （3）当位于轴_____________等于位于轴____________，定积分的值为__________ ， 且等于位于轴_____________减去位于 x 轴__________________．三. 交流展示：比较用定积分定义计算定积分与用微积分基本基本定理求定积分的优越性： 四. 典型例题：例1．计算下列定积分：（1）；（2）； 例2．计算下列定积分：（1） ；（2）点拨提升：本节课借助于变速运动物体的速度与路程的关系以及图形得出了特殊情况下的牛顿-莱布尼兹公式成立，进而推广到了一般的函数，得出了微积分基本定理，得到了一种求定积分的简便方法，运用这种方法的关键是找到被积函数的原函数，这就要求对前面导数的知识非常熟练.1.7定积分的简单应用学习目标：1.进一步深刻体会“分割、以直代曲、求和、逼近”求曲边梯形的思想方法；2.深刻理解定积分的几何意义以及微积分的基本定理；3.初步掌握利用定积分求曲边梯形的几种常见题型及方法；4.体会定积分在物理中应用（变速直线运动的路程、变力沿直线做功）。
苏教版选修22高中数学定积分教案教学目标：知识与技能：体会求汽车行驶的路程有关问题的过程；过程与方法：感受在其过程中渗透的思想方法：分割、以不变代变、求和、取极限（逼近）。
情感、态度与价值观：了解求曲边梯形面积的过程和解决有关汽车行驶路程问题的过程的共同点；教学重点：掌握过程步骤：分割、以不变代变、求和、逼近（取极限）． 教学难点：过程的理解．教具准备：与教材内容相关的资料。
教学设想：提供一个舞台, 让学生展示自己的才华，这将极大地调动学生的积极性，增强学生的荣誉感，培养学生独立分析问题和解决问题的能力，体现了“自主探究”，同时，也锻炼了学生敢想、敢说、敢做的能力。
教学过程： 学生探究过程： 一．创设情景复习：1．连续函数的概念；2．求曲边梯形面积的基本思想和步骤；利用导数我们解决了“已知物体运动路程与时间的关系，求物体运动速度”的问题．反之，如果已知物体的速度与时间的关系，如何求其在一定时间内经过的路程呢？二．新课讲授问题：汽车以速度v 组匀速直线运动时，经过时间t 所行驶的路程为S vt =．如果汽车作变速直线运动，在时刻t 的速度为()22v t t =-+（单位：km/h ），那么它在0≤t ≤1(单位：h)这段时间内行驶的路程S （单位：km ）是多少？分析：与求曲边梯形面积类似，采取“以不变代变”的方法，把求匀变速直线运动的路程问题，化归为匀速直线运动的路程问题．把区间[]0,1分成n 个小区间，在每个小区间上，由于()v t 的变化很小，可以近似的看作汽车作于速直线运动，从而求得汽车在每个小区间上行驶路程的近似值，在求和得S （单位：km ）的近似值，最后让n 趋紧于无穷大就得到S （单位：km ）的精确值．（思想：用化归为各个小区间上匀速直线运动路程和无限逼近的思想方法求出匀变速直线运动的路程）． 解：1．分割在时间区间[]0,1上等间隔地插入1n -个点，将区间[]0,1等分成n 个小区间：10,n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，12,n n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，…，1,1n n -⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 记第i 个区间为1,(1,2,,)i i i n n n -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，其长度为11i i t n n n-∆=-= 把汽车在时间段10,n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，12,n n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，…，1,1n n -⎡⎤⎢⎥⎣⎦上行驶的路程分别记作： 1S ∆，2S ∆，…，n S ∆ 显然，1ni i S S ==∆∑（2）近似代替当n 很大，即t ∆很小时，在区间1,i i n n -⎡⎤⎢⎥⎣⎦上，可以认为函数()22v t t =-+的值变化很小，近似的等于一个常数，不妨认为它近似的等于左端点1i n-处的函数值2112i i v n n --⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，从物理意义上看，即使汽车在时间段1,(1,2,,)i i i n n n -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦上的速度变化很小，不妨认为它近似地以时刻1i n-处的速度2112i i v n n --⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭作匀速直线运动，即在局部小范围内“以匀速代变速”，于是的用小矩形的面积i S '∆近似的代替i S ∆，即在局部范围内“以直代取”，则有21112i i i i S S v t n n n⎡⎤--⎛⎫⎛⎫'∆≈∆=∆=-+⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦2112(1,2,,)i i n n n n -⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭ ①（3）求和由①，21111112nnn n i i i i i i S S v t n n n n ===⎡⎤--⎛⎫⎛⎫'=∆=∆=-+⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦∑∑∑ =221111102n n n nn n-⎛⎫⎛⎫----+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=()222311212n n ⎡⎤-+++-+⎣⎦=()()3121126n n n n ---+=11111232n n ⎛⎫⎛⎫---+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 从而得到S 的近似值 11111232n S S n n ⎛⎫⎛⎫≈=---+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭（4）取极限当n 趋向于无穷大时，即t ∆趋向于0时，11111232n S n n ⎛⎫⎛⎫=---+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭趋向于S ，从而有1111115lim lim lim 112323nn n n n i i S S v nn n n →∞→∞→∞=-⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫===---+= ⎪ ⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦∑思考：结合求曲边梯形面积的过程，你认为汽车行驶的路程S 与由直线0,1,0t t v ===和曲线22v t =-+所围成的曲边梯形的面积有什么关系？结合上述求解过程可知，汽车行驶的路程lim n n S S →∞=在数据上等于由直线0,1,0t t v ===和曲线22v t =-+所围成的曲边梯形的面积．一般地，如果物体做变速直线运动，速度函数为()v v t =，那么我们也可以采用分割、近似代替、求和、取极限的方法，利用“以不变代变”的方法及无限逼近的思想，求出它在a ≤t ≤b 内所作的位移S ．三．典例分析例1．弹簧在拉伸的过程中，力与伸长量成正比，即力()F x kx =（k 为常数，x 是伸长量），求弹簧从平衡位置拉长b 所作的功．分析：利用“以不变代变”的思想，采用分割、近似代替、求和、取极限的方法求解．解： 将物体用常力F 沿力的方向移动距离x ，则所作的功为W F x =⋅．1．分割在区间[]0,b 上等间隔地插入1n -个点，将区间[]0,1等分成n 个小区间：0,b n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，2,b b n n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，…，()1,n b b n -⎡⎤⎢⎥⎣⎦记第i 个区间为()1,(1,2,,)i b i b i n n n -⎡⎤⋅=⎢⎥⎣⎦，其长度为()1i b i b bx n n n-⋅∆=-= 把在分段0,b n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，2,b b n n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，…，()1,n b b n -⎡⎤⎢⎥⎣⎦上所作的功分别记作：1W ∆，2W ∆，…，n W ∆ （2）近似代替有条件知：()()11i i b i b b W F x k n n n --⎛⎫∆=⋅∆=⋅⋅ ⎪⎝⎭ (1,2,,)i n =（3）求和()111nnn i i i i b bW W k nn==-=∆=⋅⋅∑∑=()()22222110121122n n kb kb kb n n n n -⎛⎫++++-==-⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭从而得到W 的近似值 2112n kb W W n ⎛⎫≈=- ⎪⎝⎭（4）取极限2211lim lim lim 122nn i n n n i kb kb W W W n →∞→∞→∞=⎛⎫==∆=-= ⎪⎝⎭∑ 所以得到弹簧从平衡位置拉长b 所作的功为：22kb四．巩固练习 1．课本 练习五．教学反思求汽车行驶的路程有关问题的过程．。
《定积分与微积分基本定理》教案第一章：定积分的概念1.1 引入定积分解释定积分的定义通过实际例子说明定积分的意义1.2 定积分的性质定积分的基本性质定积分的可加性和可乘性1.3 定积分的计算方法定积分的计算公式分段函数的定积分计算方法第二章：微积分基本定理2.1 微积分基本定理的引入解释微积分基本定理的含义通过实际例子说明微积分基本定理的应用2.2 微积分基本定理的证明利用极限的定义证明微积分基本定理利用导数的定义证明微积分基本定理2.3 微积分基本定理的应用利用微积分基本定理计算定积分利用微积分基本定理求解不定积分第三章：定积分的应用3.1 面积和体积的计算利用定积分计算平面区域的面积利用定积分计算旋转体的体积3.2 曲线的长度和弧长利用定积分计算曲线的长度利用定积分计算弧长3.3 质心、转动中心和面积分布利用定积分计算质心利用定积分计算转动中心利用定积分分析面积分布第四章：定积分的进一步应用4.1 函数的平均值和累积量利用定积分计算函数的平均值利用定积分计算函数的累积量4.2 曲线的曲率和弧长利用定积分计算曲率利用定积分计算弧长4.3 变限积分的导数利用定积分求解变限积分的导数利用变限积分的导数求解定积分第五章：定积分的近似计算5.1 数值积分方法解释数值积分的概念介绍常用的数值积分方法5.2 梯形公式和辛普森公式解释梯形公式和辛普森公式的原理利用梯形公式和辛普森公式进行数值积分5.3 蒙特卡洛方法介绍蒙特卡洛方法的基本原理利用蒙特卡洛方法进行数值积分第六章：定积分的几何意义6.1 定积分与曲线围成的面积解释定积分与曲线围成的面积之间的关系利用定积分计算由曲线和坐标轴围成的封闭区域的面积6.2 定积分与曲线的弧长解释定积分与曲线的弧长之间的关系利用定积分计算曲线的弧长6.3 定积分与曲线的质心解释定积分与曲线的质心之间的关系利用定积分计算曲线的质心第七章：定积分的物理应用7.1 定积分在物理学中的基本应用解释定积分在物理学中的基本应用，如速度、位移的累积等利用定积分计算物理学中的基本量7.2 定积分在动力学中的应用利用定积分计算物体的速度、加速度等物理量利用定积分求解动力学方程7.3 定积分在电磁学中的应用利用定积分计算电场、磁场等物理量利用定积分求解电磁学方程第八章：定积分的数值计算8.1 数值积分的基本概念解释数值积分的基本概念和原理介绍常用的数值积分方法8.2 梯形公式和辛普森公式的应用利用梯形公式和辛普森公式进行数值积分解释梯形公式和辛普森公式的误差估计8.3 蒙特卡洛方法的应用介绍蒙特卡洛方法的基本原理和步骤利用蒙特卡洛方法进行数值积分第九章：定积分的不定积分9.1 不定积分的概念和性质解释不定积分与定积分的关系介绍不定积分的性质和运算规则9.2 基本积分表和换元积分法掌握基本积分表和常用积分公式利用换元积分法求解不定积分9.3 分部积分法和不定积分的应用利用分部积分法求解复杂的不定积分介绍不定积分在几何和物理中的应用第十章：定积分的实际应用案例分析10.1 定积分在经济学中的应用利用定积分计算经济变量如消费、生产等量的累积变化分析定积分在经济学中的优化问题10.2 定积分在生物学中的应用利用定积分计算生物种群的增长、衰减等过程分析定积分在生物学中的模型建立和预测10.3 定积分在其他领域的应用介绍定积分在工程、环境科学等领域的应用案例分析定积分在不同领域中的重要作用重点和难点解析一、定积分的概念与性质：理解定积分的定义，掌握定积分的性质，如可加性、可乘性等，以及定积分的计算方法。
§3 微积分基本定理与定积分计算一、目标预览1.理解并能熟练运用微积分基本定理.2.掌握定积分的常用计算方法.3.了解定积分与不等式的常用证明方法.4.了解定积分相关知识的综合应用. 二、概念入门设],[b a R f ∈，称函数⎰=Φxadt t f x )()(]),[(b a x ∈为函数)(x f 在],[b a 上的变上限定积分；类似地可定义变下限定积分：⎰=ψbxdt t f x )()(.注（i ）由)(R 积分的性质，)(x Φ的定义有意义. （ii ）由)(R 积分的性质易证],[)(b a C x ∈Φ.三、主要事实 1.微积分基本定理若],[b a C f ∈，则)()(x f x =Φ']),[(b a x ∈，即⎰=xax f dt t f dx d )()(，],[b a x ∈. 注（i ）证明由导数的定义及第一积分中值定理即得. （ii ）通过微分中值定理（推论），可获得微积分基本定理如下的等价表述：若],[b a C f ∈，而且)()(x f x F =']),[(b a x ∈，则⎰-=xaa F x F dt t f )()()(]),[(b a x ∈.(iii)微积分基本定理及其等价表述沟通了不定积分与定积 分、微分与积分的内在联系.（iv ）利用微积分基本定理及复合函数微分法可得下述的变限⎰'-'=)( )( )())(()())(())((x x x x f x x f dt t f dx d ψϕϕϕψψ⎰⎰=ξ)()()()(abadx x f a g dx x g x f ⎰=bdxx g b f )()(ξ积分求导公式：若],[b a C f ∈，)(x ϕ、)(x ψ在],[d c 上可微而且]),([d c ϕ、],[]),([b a d c ⊂ψ，则2.第二积分中值定理（1）（旁内（Bonnet ，1819-1892[法]）型第二积分中值定理）若],[b a R f ∈，而且)(x g 是],[b a 上非负递减（相应地递增）函数，则存在],[b a ∈ξ使得 （相应地）（2）（Werierstrass 型第二积分中值定理）若],[b a R f ∈，)(x g 是],[b a 上的单调函数，则存在],[b a ∈ξ使得⎰⎰⎰+=babadx x f b g dx x f a g dx x g x f )()()()()()(ξξ.证（1）令⎰=xadt t f x F )()(]),[(b a x ∈，利用g 的可积性得⎰⎰--=→∑=ii x x i ni T badx x f x g dx x g x f 110|||| 1)()(lim )()())()()((lim 1110||||--=→-∑=i i i ni T x F x F x g再由 ))()()((111--=-∑i i i n i x F x F x g)()()]()()[(1111---=+-∑=n i i i n i x g b F x g x g x F及g 的单调减小性，可得)()()()(max min a g F dx x g x f a g F ba≤≤⎰再由连续函数的介值性即得.（2）当g 为单调递减（增）时，对)()()(b g x g x h -=)((x g =))(a g -应用（1）即得.3.定积分的计算（1）（牛顿——莱布尼兹公式）若],[b a R f ∈，],[b a C F ∈而且除有限个点外有)()(x f x F ='，那么有⎰-=baa Fb F dx x f )()()(.注（i ）牛顿——莱布屁兹公式简称L N -—公式，它是微积 分的核心定理，最初分别由牛顿与莱布尼兹在17世纪下半叶独立得到，柯西在19世纪初给出精确叙述与证明，黎曼在19世纪中叶给予完善，达布在1875年给出现在这种形式.（ii ）证明可由)(R 积分的定义（分点包括例外点）及微分中值定理（作用在F 上）可推得.（2）（定积分换元积分法）如果)(t ϕ在],[βα上有连续导数，a =)(αϕ，b =)(βϕ，],[]),([b a ⊂βαϕ，],[b a C f ∈，那么有⎰⎰'=badt t t f dx x f )())(()(βαϕϕ注（i ）定积分换元积分公式由复合函数微分法及L N -公式 可得，而且],[)(b a C t ∈'ϕ可减弱为],[βαϕR ∈'.进一步，定积分换元积分公式中的],[b a C f ∈可减弱为],[b a R f ∈，但ϕ的条件稍许加强（证明较为复杂），即有以下的命题成立：若],[b a R f ∈，],[],[:b a →βαϕ是一一映射而且还满足a =)(αϕ，b =)(βϕ，],[)(βαϕR t ∈'，那么有⎰⎰'=badt t t f dx x f )())(()(βαϕϕ.（ii ）定积分换元积分法实际上是不定积分第二换元积分法的 直接应用.但使用时有较大差别，在这里换元之后变量不需回代，但积分限要跟着更换（在去掉根号的情形下须注意函数的符号）.（iii ）对应于不定积分中的第一换元法（即凑微分法），在这里可以不加变动地直接应用，而且积分限也不须作更改（即仍然采用原来的积分变量）.（3）（分部积分法）如果u 、v 具有连续的导数，那么有⎰⎰='babax dv x u dx x v x u )()()()(⎰-=bab a x du x v x v x u )()(|)()(.注（i ）分部积分可由乘积微分法则及L N -公式直接证之. （ii ）分部积分公式可连续使用n 次，即利用数学归纳法及分部积分公式可得下面的命题：若u 、v 具有1+n 阶连续导数，那么有⎰+ban dx x v x u )1()()(b a n n n n x v x u x v x u x v x u |)]()()1()()()()([)()1()(-++'-=- ⎰++-+ban n dx x v x u )1(1)()()1(),3,2,1( =n .4.定积分计算中常用的几个公式 （1）若],[b a C f ∈，则⎰⎰-+=babadx x b a f dx x f )()(⎰-++=ba dx xb a f x f )]()([21. （2）若],[a a C f -∈，则⎰⎰-+=-aaadx x f x f dx x f 0))()(()(⎪⎩⎪⎨⎧=⎰为奇函数为偶函数f ，f dx x f a 0 ,)(2 0 （3）若)(x f 是以T 为周期的周期函数，则1R a ∈∀有⎰⎰⎰-+==T/22/ 0)()()(T TTa adx x f dx x f dx x f（4）若]1,0[C f ∈，则⎰⎰=22)(cos )(sin ππdx x f dx x f .（5）若]1,1[-∈C f ，则⎰⎰⎰==2)(sin )(sin 2)(sin πππππdx x f dx x xf dx x xf .证（1）令t b a x -+=可得. （2）令t x -=得⎰⎰-=aadt t f dx x f 0)()(.（3）令T t x +=得⎰⎰⎰=+=+aa Ta Tdt t f dt T t f dx x f 0)()()(，于是有⎰⎰⎰⎰++=+=TTa TTaTa adx x f dx x f dx x f dx x f 0)()()()(，再令2Ta -=得⎰⎰=T ππ/dx x f dx x f 0 2/ 2- )()(.（4）令t x -=2/π可得.（5）令t x -=π可得⎰⎰⎰-=ππππ 0)(sin )(sin )(sin dt t tf dt t f dx x xf及⎰⎰=22)(sin )(sin πππdt t f dx x f .5.带积分余项的泰勒公式若)(x f 在],[b a 上具有1+n 阶连续导数，那么],[,0b a x x ∈∀有⎰-+-∑=+=xx n n k k nk dt t x t f n x x k x f x f )1(00)(00))((!1)(!)()(，即⎰-=+x x n n n dt t x t fn x R )1(0))((!1)(，称此为泰勒公式的积分余 项.注（i ）令n k nk t x k t f x f t F )(!)()()()(0-∑-==（常数变易法），对)(t F '分别应用L N -公式及分部积分公式即获得积分余项公式的证明.（ii ）对积分余项应用第一积分中值定理（n t x t g )()(-=在积分区间],[0x x （或],[0x x 上不变号）可得泰勒公式的拉格朗日余项：10)1())(()!1(1)(++-+=n n n x x f n x R ξ（其中10),(00≤≤-+=θθξx x x ）.（iii ）对积分余项应用积分平均值定理泰勒公式的柯西余项：)())((!1)(0)1(x x x f n x R n n n --=+ξξ )10()()1))(((!11000)1(≤≤---+=++θθθn n n x x x x x f n 四、例题选讲 1.定积分计算例题选. 例1 求下列定积分 （1）⎰-20 24dx x x （2）⎰20 2cos sin πtdt t （3）⎰-121dx x（4）⎰++10 21)1ln(dx x x （5）⎰e xdx x 0 2ln （6）⎰--ln2 021dx e x（7）⎰++--42)3ln()9ln()9ln(dx x x x （8）⎰+44- 21sin ππdx e xx （9）⎰+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+221 111dx e x x x x解（1）⎰=--=---=2 0 202322238|)4(31)4(421x x d x .（2）⎰=-=-=2 0 203231|cos 31cos cos ππt t td .（3）令t x s i n =，（3）4|)2sin 21(21cos 202 0 2πππ=+==⎰t t tdt （4）令t x tan =，（4）⎰+=4tant)ln(1πdt⎰⎰+=+=4 0 40 cos ))4/(sin(2ln cos sin cos ln πππdx xx dx x x x . 令t x -=4π得⎰⎰=+4 0 4 0 cos ln )4sin(ln πππtdt dx x ，于是有（4）2ln 8|2ln 2140ππ=⋅=x .（5）⎰⎰-==e e edx x x x x xd 1 1 2133)|ln (31)(ln 31 )12(913+==e（6）2ln 022ln 02|1)(1--=--=-⎰x x x x e e e d e⎰++-==-+2ln 0 2)32ln(231dx e e x x （7）利用⎰⎰-++=babadx x a b f x f dx x f )]()([21)(得（7）⎰==42121dx （8）利用⎰⎰-+=aaadx x f x f dx x f - 0)]()([)(得（8）⎰-==42418sin ππxdx （9）⎰⎰==+=++221 25221 2211123|e xdedx exx xx . 例2 （1）求⎰=22sin πxdx I n（2）证明Wallis 公式：2!)!12(!)!2(121lim 2π=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+∞→m m n m .解（1）⎰---+-=22)2(21cos sin )1(|cos sinππxdx x n x x I n n nn n I n I n )1()1(2---=-，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+==-==-=-,2,1,0,12,!)!12(!)!2(,2,1,2,2!)!2(!)!12(12m m n m m m m n m m J n n I n n π证（2）由⎰⎰⎰++<<21222212sin sinsinπππxdx xdx xdx m mn 得!)!12(!)!22(2!)!2(!)!12(!)!12(!)!2(--<⋅-<+m m m m m m π，由此可得m m B m m m m m m A =⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-<<+⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=21!)!12(!)!2(2121!)!12(!)!2(22πm A m A B m m m 4210π<=-<，m m m A B A -<-<20π，因此2lim π=∞→m m A .例3 利用定积分求下列极限（1）⎪⎭⎫ ⎝⎛-+∑=∞→b n i a n n i n 1sin 1lim 1 （2）2211lim in n i n +∑=∞→ （3）⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+∑-=∞→πn i n i n n i n sin lim 11 （4）i n n i n 1ln 1lim1=∞→∑ （5）n n n n n n n)()2)(1(1lim +++∞→解（1）⎰+-=+=1)cos(cos )sin(b a a dx bx a（2）⎰+=+=+∑==∞→1 0 221)21ln(1)/(111lim x dxn i n n i n .（3）由1+<+<n nin n 可得（3）⎰==∑==∞→1 0 12sin sin 1lim πππxdx n i n n i n（4）由⎰+=<<+i i i idx x i 1 11 ),2,1(1111 可得n in n i ln 11)1ln(1+<∑<+=.因此11ln 1lim1=∑==∞→in n i n . （5）令n n n n n n na )()2)(1(1+++=)]ln([11ln ln 1i n n n a ni n +∑+==⎪⎭⎫ ⎝⎛+∑=-+∑===n i n n i n n n i n i 1ln 1)ln )(ln(111⎰=+→10 4ln )1ln(e dx x .因此ea n n 4lim =∞→.2.微积分基本定理应用例题选 例4 设⎰⎰+=xtdt du u x f 0sin 12)1()(，试求)(x f ''.解 应用微积分基本定理两次可得x x x f 4sin 1cos )(+=''. 例5 确定常数a 、b 、)0( ≠c 使得⎰=-+-→xb xc x ax dt t t 130)sin ())1ln((lim . 解 由⎰=+→x b x dt tt 300)1ln(lim 可推得0=b ，由罗比塔法则及)0( ~)1ln(33→+x x x 可推得1=a ，接着易求得21=c .例6 若)(x f '存在，0)0(=f ，⎰-=-xn n n dt t x f t x F 01)()(，试求n x xx F 20)(lim →.解 令nn t x u -=，则⎰=n x du u f n x F 0)(1)(，)0(21)(lim 21)(lim 121020f n xx f x n x x F n n n x n x '==--→→. 例7 设f 连续，1)1(=f ，⎰=-x x dt t x tf 0 2arctan 21)2(.试求：⎰21)(dx x f .解 令u t x =-2，则⎰⎰--=-xxxdu u f u x dt t x tf 02 )()2()2(于是有22 2 arctan 21)()(2x du u uf du u f x xxxx=-⎰⎰.两边关于x 求导得⎰++=xxx xf xxdu u f 2 4)(1)(2 再令1=x 可得⎰=2143)(du u f . 例8 试求可微函数)(x f 使得⎰⎰⎰+=txtx du u f x du u f t du u f 111)()()(.解 先关于x 求导得⎰+=tdu u f x tf xt tf 1)()()(令1=x 得⎰+=t du u f u tf t tf 1)()()(再关于t 求导得)()1()()(t f f t f t t f +='=.因而t f t f /)1()(='，因而c t f t f +=ln )1()(.3.积分中值定理应用例题选例9 设f 在]1,0[上可微，而且0)0(=f ，1)(0≤'≤x f （]1,0[∈x ）.证明：⎰⎰≥10 10 32)())((dx x f dx x f .证 令⎰⎰-=xxdt t f dt t f x F 032)())(()(，则由条件可得0)(≥'x F ，由0)0(=F 得0)(≥x F ])1,0[(∈x ，于是有1)1(≥F .例10 设)(x f '在]1,0[上连续，而且0)0(=f ，1)1(=f .证 明：⎰>-'1 0 1|)()(|edx x f x f .证 x x x x f n 2sin )1()(-='，0)0(='f ，0)1(='f ，)(x f在1=x 处取最大值，因而有⎰-=≤122sin )()1()(tdt t t f x f n⎰++=-≤122)32)(22(1)(n n dt t t t n .证⎰⎰'=-'-110 |))((||)()(|dx x f e e dx x f x f x xe dx xf e dx x f e x x /1 |))((| |))((|11 0⎰⎰='≥'>--例11 设⎰+∈-=xn N n tdt t t x f 022)( sin )()(.证明：)32)(22/(1)(++≤n n x f ，0≥∀x例12 设)(x f 在],[b a 上二阶可导，而且0)(>''x f .证明：（i ）⎰+≤-≤⎪⎭⎫⎝⎛+b a a f b f dx x f ab b a f 2)()()(12； （ii ）又若0)(≤x f ]),[(b a x ∈，则⎰∈≤-ba b a x x f dt t f ab ]),[( )()(2. 证（i ）由⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+'+⎪⎭⎫ ⎝⎛+≥222)(b a x b a f b a f x f 及⎰=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-b a dx b a x 02得⎰⎪⎭⎫⎝⎛+≥-b a b a f dx x f a b 2)(1，再由 )()()()()(a f a x a b a f b f a a b x b b a b ax x f +---≤⎪⎭⎫ ⎝⎛--+--=得 ⎰+≤-b a a f b f dx x f a b 2)()()(1. （ii ）],[b a x ∈∀，))(()()(t x t f t f x f -'+≥，积分后得⎰⎰-'+≥-bab adt t x t f dt t f x f a b ))(()()()(⎰⎰≥-+=bab abadt t f t f t x dt t f )(2|)()()(2.例13 设)(x f 在],[b a 上具有二阶连续函数，证明；存在),(b a ∈ξ使得⎰''-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=baf a b b a f a b dx x f 3)()(2412)()(ξ. 证 令⎰=xadt t f x F )()(，分别求得)(a F ，)(b F ，在2ba c +=处的二阶泰勒展开式，两式相减再用微积分基本定理及 连续函数的介值定理即得.例14 设],[)(b a C x f ∈而且⎰-==bakn k dx x f x )1,,1,0( 0)( ，⎰=ban c dx x f x )(.证明：c a b n x f n nb a x 1],[)()1(2 |)(|max +∈-+≥证 由条件⎰⎪⎭⎫⎝⎛+-=b a ndx x f b a x c )(2，若c a b n x f n n1)()1(2 |)(|+-+<，则由⎰+-=+-+b a nn n n a b dx b a x 1)1(2)(|2|导 出c c <矛盾！例15 设],[b a C f ∈，g 在],[b a 上单调而且可微.证明：存在],[b a ∈ξ使得⎰⎰⎰+=babadx x f b g dx x f a g dx x g x f )()()()()()(ξξ.证 令⎰=xadt t f x F )()(，由微积分基本定理及第一积分中值定理可得⎰⎰=babax dF x g dx x g x f )()()()(⎰'-=bdx x g x f b F b g )()()()(ξ))()()(()()(a g b g F b F b g --=ξ ))()()(()()(ξξF b F b g F a g -+=.例16 证明下列极限 （1）若]1,0[C f ∈，则⎰=++→10 220)0(2)(lim f dx x f x h h h π. （2）若],[b a R f ∈，则⎰=∞→baxdx x f 0sin )(limλλ.（3）⎰=+∞→xx tdt t x 00sin 1lim （4）若]2,0[πR f ∈，则⎰⎰=∞→πππ2 02 0)(2|sin |)(lim dx x f dx nx x f n .（5）若f 是以T 为周期的连续函数，则⎰=+∞→x x dt t f x 0 )(1lim⎰Tdt t f T0 )(1. （6）若],0[b C f ∈而且A x f x =+→)(lim 0，则0>>∀a b 有 ⎰=∞→b/n a/n n a b A dx x x f ln )(lim . 证（1） ))0(2)((lim 1 0 220⎰-+→f dx x f x h h h π)))0()(((lim 1 0 220⎰-+=→dx f x f x h hh ⎰-+=→1 220))0()(((lim δdx f x f x h hh ⎰=-++δ 0 220)))0()((dx f x f x h h . （2）由 ⎰-ii x x xdx x f 1|sin )(|λ⎰⎰--+-≤ii ii x x x x i i xdx x f dx x f x f 11|sin | |)(||)()(|λλω2)(⋅+∆≤M x f i i（其中M x f ≤ |)(|）及)(R 可积的第二充要条件可得.（3）由第二积分中值定理得，存在),0(x ∈ξ使得⎰⎰≤=x xxtdt xxtdt t x 02 |sin | |sin 1|ξ，再令+∞→x 即得.（4）⎰⎰-=∑=πππ2 212 01|sin |)(|sin |)(n kn k nk dx nx x f dx nx x f⎰-==∑=∑=ππξξ2 21 11)(4|sin |)(n k nk k nk k nk f n dx nx f ⎰→∑⋅==ππξππ2 01)(2)(22dx x f f n k n k . （5）⎰⎰-=x Tdt t f T x dt t f x 0 0)()()(ϕ是以T 为周期的连续函数，从而有界，由此即得.（6）由第一积分中值存在)/,/(n b n a n ∈ξ使得⎰=b/na/nn abf dx x x f ln )()(ξ. 令∞→n 即得.例17 设f 在),0[+∞上单调递增，而且0>∀b ，∈)(x f],0[b R .若⎰=+∞→xx A dt t f x 0)(1lim ，则A x f x =+∞→)(lim .证 若不然，00>∃ε，n ∀，n x n >∃使得0 |)(|ε≥-A x f n ，此时分两种情形：（i ）若存在N 使得0)(ε≥-A x f N ，则⎰+∞→xx dt t f x 0))(1(lim0 0 ))(1)(1(lim ε+≥+=⎰⎰+∞→A dt t f x dt t f x N Nx xx x . （ii ）n ∀，0)(ε-≤-A x f n ，则),0[+∞∈∀x 有A x f ≤)(0ε-，于是⎰-≤xA dt t f x0 0)(1ε. 上述的（i ）、（ii ）与⎰=∞→xx A dt t f x 0)(1lim 矛盾.例18 设],[)(b a C x f ∈'，令),,2,1,0( )(n k a b nka x k =-+=，⎰-∑-==b a k nk dx x f x f n a b n r 1)()()(.证明：))()((2)(lim a f b f ab n nr n --=∞→. 证 令)(inf x f m kx k '=∆∈，)(sup x f M kx k '=∆∈，则由⎰⎰---'∑=-∑===kk kk x x k k nk x x k nk dx x x f dx x f x f n r 1 111))(())()(()(ξk nk kn k M n a b n r m n a b 1221222)()(2)(==∑-≤≤∑- 于是有⎰--='-→b a a f b f ab dx x f a b n r n ))()((2)(2)((. 五、思考与讨论1.若)(x f 在区间I 上有原函数，是否必有L N -公式成立？提示：考虑⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,00,1sin )(22x x xx x F 2.若],[b a R f ∈，f 是否必有原函数？3.若],[b a R f ∈，而且⎰=xadt t f x F )()(是否必有)()(x f x F ='？4.若f 在I 上不)(R 可积，)(x f 的原函数在I 上是否必不存在？5.奇函数的原函数是否必为偶函数？偶函数的原函数是否必为奇函数？六、基础题训练 1.计算下列定积分（1）⎰20 52sin cos πxdx x （2）⎰-adx x a x 0 222（3）⎰-+10 x x e e dx（4）⎰10 arcsin xdx（5）⎰+20 cos sin cos πθθθdx （6）⎰e edx x 1/ |ln | （7）⎰+4 1 42dx xx（8）⎰-π 0sin 1dx x （9）⎰---π 0 1010cos sin 4cos sin dx x x x x （10）⎰+2 2- 41sin ππdx e x x（11）⎰+3 6 sin cos sin ππαααdx x x （α为实数） （12）⎰+4 0 2)cos (sin πdx x x x2.设⎰-++=1 0 22)(111)(dx x f x x x f .试求⎰1 0 )(dx x f . 3.设2/)13(x xex f =+,试求⎰1)(dx x f .4.设2)(x e x f -=，试求⎰'''1)()(dx x f x f .5.⎰-=xdt t tx f 0 sin )(π.试求⎰π 0 )(dx x f . 6.设2)(=πf ，⎰''+πsin ))()((xdx x f x f .试求：)0(f '.7.求下列极限 （1）⎰→x x dt t x 0 20cos 1lim（2）⎰⎰+∞→x t xt x dte dt e 02 0222)(lim（3）32sin lim xdt t x x ⎰+→ （4）3sin 020sin limxdt t xx ⎰→8.设⎰+=)( 021)(x g t dt x f ，⎰+=xdt t x g cos 02))sin(1()(.试求)2/(πf '（答案：1-）.9.设)(x f '连续而且0)0(=f ，0)0(≠'f .求k 使得0)()(lim220≠=-⎰→c xdtt f t x kxx .（答案：4=k ）10.证明：0sin 2 0 >⎰πdx x x（提示：分段，换元）.11.设)(x f '在],[b a 上连续，而且0)()(==b f a f .证明：⎰'≤badt t f x f |)(|21 |)(|,],[b a x ∈∀.12.设)(x f 在],[b a 上单调增加.证明：⎰⎰+≥ba b a dx x f b a dx x xf )(2)(.（提示：0)2))(2()((≥+-+-ba xb a f x f ）. 七、提高性习题13.求下列积分（n 为正整数）（1）⎰42tan πxdx n （2）⎰-10 2)1(dx x n（3）⎰π2 0sin xdx n （4）⎰2 0sin cos πxdx x n n14.求下列极限（1）221lim k n n nk n +∑=∞→ （2）πnin n i n 4tan 1lim 1=∞→∑ （3）i n ni n 12/31lim =∞→∑ （4）i n i n n i n ⋅-⋅∑=∞→/1lim 1（5）ni n i n n i n /112)/(lim -=∞→+∑ （6）π21sin )/1(lim n i n i n i n +∑=∞→（答案：（1）.4/π；（2）.π/2ln 2；（3）3/2；（4）.（2）；（5）.2ln /1；（6）6/5π）15.设],[b a R f ∈而且0)(>x f ，令)()(nab ia f f n i-+=. 证明：（1）⎰-=∑=∞→ba n i n i n dx x f ab f n )(1)(11lim （2）⎰=-∞→badxx f a b n n n n n e f f f )(ln 1)()(2)(1lim（3）⎰--=∞→-=∑ban ini n x f dx a b f n 11)(1))()(()1(lim . 16.求下列极限 （1）⎰+∞→1limn nn xn dx xe （2）x dt t xx ⎰+∞→ 0|sin |lim （3）⎰-+∞→xx dt t t 0])[(lim.（答案：（1）.0；（2）.π/2；（3）.2/1）. 17.证明下列极限：（1）若)(x f '在]1,0[上连续，则⎰=∞→1)1()(lim f dx x f nx n n .（2）若],1[e R f ∈不变号，则⎰⎰+∞→=ennn dx xx f dx x f n 111 1)()(lim （3）若],[b a C f ∈，则⎰+∞→∈=1]),[( )()/(lim nx nxn b a x x f dt n t f（4）若),0[+∞∈C f 而且A x f x =+∞→)(lim ，则⎰=+∞→xx A dt t f x 0)(1lim.（提示：（1）利用分部积分；（2）令t x n=，再用第一积分中 值定理；（3）令n t u /=，再利用积分中值定理；（4）分段估计）.18.设]1,0[)(C x f ∈'，]1,0[∈x .证明：)(22ln ))()((lim 221x f x f k n k x f n k n '=-++∑=∞→. 19.设)(x f 在1R 上无穷次可微，n 为自然数，10R x ∈.证明：1)()()(lim 0)1(000+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+→n x f x x x f x f dx d n n n x x . 20.设],[,a a C g f -∈，)(x g 为偶数且对于],[a a x -∈∀，有A x f x f =-+)()(.证明：⎰⎰=aaadx x g A dx x g x f 0- )()()(,并由此计算dx e x I x ⎰-=22arctan |sin |ππ（答案：2/π）.21.设)(x f 为连续函数.证明下述等式：（1）⎰⎰+=+ 1 2 1 222)()(a ax dxx a x f x dx x a x f （2）⎰⎰+=+4 1 4 1 )22(2ln ln )22(xdxx x f dx x x x x f .（提示：（1）令t x =2，再令t a u /2=（分段）；（2）令t x /4=）.22.设⎰+=x dt ttx f 1 1ln )(，),0(+∞∈x .试求)()/1(x f x f +. （答案：x 2ln 21）.23.试求函数⎰+-=xe dt t t t x I 212ln )(在],[2e e 上的最大值. （答案：))1/(()1ln(e e e +-+）.24.设)(x f 连续，而且⎰-=-xx dt t x tf 0cos 1)(.试求⎰2)(πdx x f （答案：1）.25.设)(x f '在),0[+∞上存在，0)0(=f ，)(x g 为)(x f 的反函数而且⎰=)( 02)(x f x e x dt t g .试求：)(x f （答案：c e x x ++)1(）. 26.设)(1R C f ∈而且)()()()(y x xy y f x f y x f +++=+ (1,R y x ∈∀).试求)(x f （答案：c x x f +++3/)1(313）. 27.设],0[πC f ∈而且0)( 0=⎰πdx x f ，⎰=π 00cos )(xdx x f .证明：)(x f 在],0[π中至少有两个零点.（提示：令⎰=xdt t f x F 0)()(，利用分部积分）.28.设],[b a C f ∈而且不恒为常数，而且)(min )()(],[x f b f a f b a x ∈==.证明：存在),(b a ∈ξ使得)()()( ξξξf a dx x f a-=⎰.（提示：令⎰--=tadx x f t f a t t F )()()()(，)(max )(],[0t f t f b a t ∈=，则0)(0>t F ，0)(<b F ）.29.设],[b a C ∈ϕ，)(x f ''存在而且非负.证明：⎰⎰≥aa dt t a f dt t f a 00 ))(1())((1ϕϕ. （提示：利用)(x f 在⎰=adx x f ax 0 0)(1处的一阶泰展开式）.30.设]1,0[)(C x f ∈''.证明：⎰⎰⎰''≤11 01|})(|,|)(|max{|)(|dx x f dx x f dx x f .（提示：分)(x f 变号与不变号两种情形考虑）. 31.设],[)(b a C x f ∈'.证明|)(|max |)(||)(1|],[ x f dx x f dx x f ab b a x b a b a ∈≥'=-⎰⎰. 32.设],0[)(a C x f ∈'而且0)0(=f ，|)(|max ],[x f M b a x '=∈.证明：⎰≤a a M dx x f 0 22|)(|.（提示：利用 ⎰⎰'---=aa adx x f a x x f a x dx x f 00 0)()(|)()()(）33.设)(x f 在]2,0[上二阶可导，M x f ≤' |)(|（20≤≤x ）而且0)1(=f .证明：⎰≤23/ |)(|M dx x f .（提示：利用)(x f 在1=x 处的泰勒展开式）. 34.设],[)(b a C x f ∈''且0)2(=+ba f ，|)(|max ],[x f Mb a x ''=∈.证明：⎰-≤baa b Mdx x f 3)(24|)(|. （提示：利用)(x f 在2/)(0b a x +=处的一阶泰展开式）.35.设⎰+-=x dt nt t x f 0 )1ln()1()(，0>x .证明：6)(nx f ≤.（提示：)(x f 在1=x 处取最大值）.36.设]1,0[C f ∈而且非负，⎰+≤'xdt t f x f 0)(21)(.证明：])1,0[( 1)(∈+≤x x x f .（提示：令⎰+=xdt t f x F 0)(21)(）.37.设],[)()2(b a C x fn ∈而且M x f n ≤ |)(|)2(，=)()(a f i)1,,2,1,0( 0)()(-==n i b f i .证明：⎰+-+≤a n a b M n n n dx x f 0 122)()!12()!2()!( |)(|. （提示：令n n b x a x x g )()()(--=，再利用分部积分公式及换元公式）.38.设],[)(b a C x f ∈不恒为零而且满足M x f ≤≤)(0.证明：⎰⎰⎰-++≤bababaa b M dx x f dx x f dx x f 4222212)())(())(())((.（提示：利用函数单调性）. 39.设],[)(b a C x f ∈而且⎰∈≤xadt t f x f b])[a,(x )()(.证明：]),[( 0)(b a x x f ∈≤.（提示：令⎰=xadt t f x F )()(，则0))((≤'-x F e x ）. 40.设)(x f 连续，⎰=1 0 )()(dt xt f x ϕ而且A xx f x =→)(lim0（常 数）.试求)(x ϕ'，并讨论)(x ϕ'在0=x 处的连续性.（答案：2 0/)()(()(x dt t f x xf x x⎰-='ϕ，2/)(lim 0A x x ='→ϕ)0(ϕ'=）.41.设),0[)(+∞∈'C x f 而且0))()((lim ='++∞→x f x f x .证明：0)(lim =+∞→x f x .（提示：令)()()(x f x f x F '+=，则))(()('=x f e x F e x x ，再由⎰-=xx x x t x f e x f e dt t F e 000)()()(及积分中值定理可得）.。
