2017-2018学年高中数学苏教版选修2-2教学案：第2章 2.1 2.1.3 推理案例赏析

2.1.3 推理案例赏析[学习目标] 1.通过对具体的数学思维过程的考察，进一步认识合情推理和演绎推理的作用、特点以及两者之间的联系.2.尝试用合情推理和演绎推理研究某些数学问题，提高分析问题、探究问题的能力．[知识链接]1．归纳推理的结论是否正确？它在数学活动中有什么作用？答 归纳推理的结论具有猜测的性质，结论不一定正确；它可以为数学活动的结论提供目标和方向． 2．类比推理的结论是否一定正确？答 从类比推理的思维过程可以看出：类比的前提是观察、比较和联想，其结论只是一种直觉的、经验式的推测，它还只是一种猜想，结论的正确与否，有待于进一步论证． 3．合情推理与演绎推理有何异同之处？答 合情推理是从特殊到一般，思维开放，富于创造性，但结论不一定正确，是一种或然推理．演绎推理是从一般到特殊，思维收敛，较少创造性，当前提和推理形式都正确时，结论一定正确，是一种必然推理．合情推理为演绎推理确定了目标和方向，而演绎推理又论证了合情推理结论的正误，二者相辅相成，相互为用，共同推动着发现活动的进程． [预习导引] 1．数学活动与探索数学发现活动是一个探索创造的过程，是一个不断地提出猜想、验证猜想的过程． 2．合情推理和演绎推理的联系在数学活动中，合情推理具有提出猜想、发现结论、提供思路的作用，演绎推理为合情推理提供了前提，对猜想作出“判决”或证明，从而为调控探索活动提供依据．要点一 运用归纳推理探求结论例1 已知数列的前4项为32，1，710，917，试写出这个数列的一个通项公式．解 把已知4项改写为32，55，710，917，记此数列的第n 项为a n ，则有a 1＝2×1＋112＋1，a 2＝2×2＋122＋1，a 3＝2×3＋132＋1，a 4＝2×4＋142＋1，…. 据此猜测a n ＝2n ＋1n 2＋1.规律方法 运用归纳推理猜测一般结论，关键在于挖掘事物的变化规律和相互关系，可以对式子或命题进行适当转换，使其中的规律明晰化．跟踪演练1 下列各图均由全等的小等边三角形组成，观察规律，归纳出第n 个图形中小等边三角形的个数为________．答案 n 2解析 前4个图中小等边三角形的个数分别为1,4,9,16. 猜测：第n 个图形中小等边三角形的个数为n 2. 要点二 运用类比推理探求结论例2 Rt △ABC 中，∠C ＝90°，CD ⊥AB 于D ，则BC 2＝BD ·BA (如图甲)．类比这一定理，在三条侧棱两两垂直的三棱锥P －ABC (如图乙)中，可得到什么结论？解 如图，在三棱锥P －ABC 中，作PO ⊥平面ABC ，连结OB ，OC ，猜想下列结论：S 2△PBC ＝S △OBC ·S △ABC .证明：连结AO ，并延长交BC 于D ，连结PD .PA ⊥PB ，PA ⊥PC ⇒PA ⊥平面PBC .∵PD ⊂平面PBC ，BC ⊂平面PBC ，∴PA ⊥PD ，PA ⊥BC .∵PO ⊥平面ABC ，AD ⊂平面ABC ，BC ⊂平面ABC ， ∴PO ⊥AD ，PO ⊥BC .∴BC ⊥平面PAD . ∴BC ⊥AD ，BC ⊥PD .S 2△PBC ＝(12BC ·PD )2＝14BC 2·PD 2，S △OBC ·S △ABC ＝12BC ·OD ·12BC ·AD＝14BC 2·OD ·AD . ∵PD 2＝OD ·AD ， ∴S 2△PBC ＝S △OBC ·S △ABC .规律方法 在类比推理中，要提炼两类事物的共同属性．一般而言，提炼的共同属性越本质，则猜想的结论越可靠．跟踪演练2 如图，设△ABC 中，BC ＝a ，AC ＝b ，AB ＝c ，BC 边上的高AD ＝h .扇形A 1B 1C 1中，＝l ，半径为R ，△ABC 的面积可通过下列公式计算：(1)S ＝12ah ；(2)S ＝12bc sin ∠BAC .运用类比的方法，猜想扇形A 1B 1C 1的面积公式，并指出其真假．(1)________________________________________________________________________； (2)________________________________________________________________________． 答案 (1)S ＝12lR 真命题(2)S ＝12R 2sin A 1 假命题要点三 运用演绎推理证明结论的正确性例3 在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝4a n －3n ＋1，n ∈N *. (1)求证数列{a n －n }是等比数列； (2)求数列{a n }的前n 项和S n ；(3)求证不等式S n ＋1≤4S n 恒成立(n ∈N *)．11B C(1)证明 由a n ＋1＝4a n －3n ＋1， 得a n ＋1－(n ＋1)＝4(a n －n )，n ∈N *. ∴a n ＋1－(n ＋1)a n －n＝4 (n ∈N *)．∴数列{a n －n }是以a 1－1，即2－1＝1为首项，以4为公比的等比数列． (2)解 由(1)可知a n －n ＝4n －1，∴a n ＝n ＋4n －1.∴S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n＝(1＋40)＋(2＋41)＋…＋(n ＋4n －1) ＝(1＋2＋…＋n )＋(1＋4＋…＋4n －1)＝n (n ＋1)2＋13·4n－13. (3)证明 由(2)知，S n ＋1－4S n ＝(n ＋1)(n ＋2)2＋13·4n ＋1－13－4[n (n ＋1)2＋13·4n －13]＝(n ＋1)(n ＋2)2－2n (n ＋1)＋1＝－(n －1)(3n ＋4)2≤0，∴S n ＋1≤4S n 恒成立(n ∈N *)．规律方法 演绎推理的一般形式是三段论，证题时要明确三段论的大前提、小前提和结论，写步骤时常省略大前提或小前提．跟踪演练3 已知函数y ＝f (x )满足：对任意a ，b ∈R ，a ≠b ，都有af (a )＋bf (b )>af (b )＋bf (a )，试证明：f (x )为R 上的单调增函数． 证明 设x 1，x 2∈R ，取x 1<x 2，则由题意得x 1f (x 1)＋x 2f (x 2)>x 1f (x 2)＋x 2f (x 1)， ∴x 1[f (x 1)－f (x 2)]＋x 2[f (x 2)－f (x 1)]>0， [f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)>0，∵x 1<x 2，∴f (x 2)－f (x 1)>0，f (x 2)>f (x 1)． ∴y ＝f (x )为R 上的单调增函数.1．一个数列的第2项到第4项分别是3，15，21，据此可以猜想这个数列的第一项是________． 答案3解析 ∵a 2＝9＝6×2－3，a 3＝15＝6×3－3， a 4＝21＝6×4－3，∴猜想a 1＝6×1－3＝ 3.2．在平面中，圆内接平行四边形一定是矩形．运用类比，可猜想在空间有如下命题：________________________________________________________________________. 答案 球内接平行六面体一定是长方体3．设x i >0 (i ∈N *)，有下列不等式成立，x 1＋x 2≥2x 1x 2；x 1＋x 2＋x 3≥33x 1x 2x 3，…类比上述结论，对于n 个正数x 1，x 2，…，x n ，猜想有下述结论________________________________． 答案 x 1＋x 2＋…＋x n ≥n nx 1x 2…x n4．已知a ，b ∈N *，f (a ＋b )＝f (a )f (b )，f (1)＝2，则f (2)f (1)＋f (3)f (2)＋…＋f (2015)f (2014)＝________. 答案 4028解析 令b ＝1，则f (a ＋1)＝f (a )f (1)， ∴f (a ＋1)f (a )＝f (1)＝2. ∴f (2)f (1)＋f (3)f (2)＋…＋f (2015)f (2014)＝2＋2＋…＋2＝2×2014＝4028.1.数学活动中，合情推理和演绎推理相辅相成，共同推动发现活动的进程．2．合情推理中要对已有事实进行分析，作出猜想，猜想的结论为演绎推理提供了目标和方向．一、基础达标1．有两种花色的正六边形地板砖，按下面的规律拼成若干个图案，则第6个图案中有底纹的正六边形的个数是________．答案 31解析 有底纹的正六边形的个数组成等差数列a 1＝6，d ＝5，∴a 6＝6＋(6－1)×5＝31.2．观察下列不等式：1>12，1＋12＋13>1,1＋12＋13＋…＋17>32，1＋12＋13＋…＋115>2,1＋12＋13＋…＋131>52，… 由此猜测第n 个等式为________________________________________________________________________(n ∈N *)． 答案 1＋12＋13＋…＋12n －1>n23．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝n 2＋1.则此数列的前4项分别为a 1＝________，a 2＝________，a 3＝________，a 4＝________.据此猜测，数列{a n }的通项公式为a n ＝______________________.答案 2 3 5 7 ⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝12n －1，n ≥24．正方形ABCD 中，对角线AC ⊥BD .运用类比的方法，猜想正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，相关结论：______________________. 答案 对角面AA 1C 1C ⊥面BB 1D 1D5．如果函数f (x )是奇函数，那么f (0)＝0.因为函数f (x )＝1x是奇函数，所以f (0)＝0.这段演绎推理错误的原因是__________________． 答案 大前提错误6．已知△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，三边是a ，b ，c ，则有a ＝c cos B ＋b cos C ；类比上述推理结论，写出下列条件下的结论：四面体P －ABC 中，△ABC ，△PAB ，△PBC ，△PCA 的面积分别是S ，S 1，S 2，S 3，二面角P －AB －C ，P －BC －A ，P －AC －B 的度数分别是α，β，γ，则S ＝__________________________. 答案 S 1cos α＋S 2cos β＋S 3cos γ7．已知等式：3tan30°·tan30°＋tan30°＋tan30°＝3， 3tan20°·tan40°＋tan20°＋tan40°＝3， 3tan15°·tan45°＋tan15°＋tan45°＝ 3. 据此猜想出一个一般性命题，并证明你的猜想． 解 猜想：3tan α·tan β＋tan α＋tan β＝3， 其中α＋β＝60°.证明：∵tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan α·tan β，即3＝tan α＋tan β1－tan α·tan β.整理，得3tan α·tan β＋tan α＋tan β＝ 3. 二、能力提升8．已知等式：(tan5°＋1)(tan40°＋1)＝2；(tan15°＋1)·(tan30°＋1)＝2；(tan25°＋1)(tan20°＋1)＝2.据此可猜想出一个一般性命题：________________________________________________________________________. 答案 (tan α＋1)[tan(45°－α)＋1]＝29．设M 是具有以下性质的函数f (x )的全体：对于任意s >0，t >0，都有f (s )＋f (t )<f (s ＋t )．给出函数f 1(x )＝log 2x ，f 2(x )＝2x－1.下列判断正确的是________． ①f 1(x )∈M ；②f 1(x )∉M ；③f 2(x )∈M ；④f 2(x )∉M . 答案 ②③解析 对于f 1(x )＝log 2x ；log 22＋log 24>log 2(2＋4)，所以f 1(x )∉M .对于f 2(x )＝2x－1：2s－1＋2t－1－(2s ＋t－1)＝－(2s －1)(2t－1)<0，f 2(x )∈M .10．已知命题：平面直角坐标系xOy 中，△ABC 的顶点A (－p,0)和C (p,0)，顶点B 在椭圆x 2m 2＋y 2n2＝1(m >n >0，p ＝m 2－n 2)上，椭圆的离心率是e ，则sin A ＋sin C sin B ＝1e .将该命题类比到双曲线中，给出一个命题：________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________.答案 平面直角坐标系xOy 中，△ABC 的顶点A (－p,0)和C (p,0)，顶点B 在双曲线x 2m 2－y 2n 2＝1(m ，n >0，p ＝m 2＋n 2)上，双曲线的离心率为e ，则|sin A －sin C |sin B ＝1e11．已知等差数列{a n }的公差d ＝2，首项a 1＝5. (1)求数列{a n }的前n 项和S n ；(2)设T n ＝n (2a n －5)，求S 1，S 2，S 3，S 4，S 5；T 1，T 2，T 3，T 4，T 5，并归纳出S n 与T n 的大小规律． 解 (1)∵a 1＝5，d ＝2， ∴S n ＝5n ＋n (n －1)2×2＝n (n ＋4)．(2)∵T n ＝n (2a n －5)＝n [2(2n ＋3)－5]＝4n 2＋n . ∴T 1＝5，T 2＝4×22＋2＝18，T 3＝4×32＋3＝39，T 4＝4×42＋4＝68，T 5＝4×52＋5＝105.S 1＝5，S 2＝2×(2＋4)＝12，S 3＝3×(3＋4)＝21， S 4＝4×(4＋4)＝32，S 5＝5×(5＋4)＝45.由此可知S 1＝T 1，当2≤n ≤5，n ∈N 时，S n <T n .归纳猜想：当n ＝1时，S n ＝T n ；当n ≥2，n ∈N 时，S n <T n .12．在平面中有命题：等腰三角形底边上任一点到两腰距离之和等于一腰上的高．把此结论类比到空间的正三棱锥，猜想并证明相关结论．解 猜想结论：正三棱锥底面上任一点到三个侧面的距离之和等于以侧面为底时三棱锥的高．证明如下：设P 为正三棱锥A －BCD 底面上任一点，点P 到平面ABC ，ACD ，ABD 的距离分别为h 1，h 2，h 3，以侧面ABC 为底时对应的高为h ，则： V P －ABC ＋V P －ACD ＋V P －ABD ＝V D －ABC .即：13S △ABC ·h 1＋13S △ACD ·h 2＋13S △ABD ·h 3＝13S △ABC ·h . ∵S △ABC ＝S △ACD ＝S △ABD ，∴h 1＋h 2＋h 3＝h ，此即要证的结论． 三、探究与创新13．记S n 为数列{a n }的前n 项和，给出两个数列： (Ⅰ)5,3,1，－1，－3，－5，－7，… (Ⅱ)－14，－10，－6，－2,2,6,10,14,18，…(1)对于数列(Ⅰ)，计算S 1，S 2，S 4，S 5；对于数列(Ⅱ)，计算S 1，S 3，S 5，S 7；(2)根据上述结果，对于存在正整数k ，满足a k ＋a k ＋1＝0的这一类等差数列{a n }的和的规律，猜想一个正确的结论，并加以说明．解 (1)对于数列(Ⅰ)，S 1＝S 5＝5，S 2＝S 4＝8；对于数列(Ⅱ)，S 1＝S 7＝－14，S 3＝S 5＝－30. (2)对于等差数列{a n }，当a k ＋a k ＋1＝0时，猜想S n ＝S 2k －n (n ≤2k ，n ，k ∈N *)． 下面给出证明：设等差数列{a n }的前项为a 1，公差为d . ∵a k ＋a k ＋1＝0，∴a 1＋(k －1)d ＋a 1＋kd ＝0， ∴2a 1＝(1－2k )d .又S 2k －n －S n ＝(2k －n )a 1＋(2k －n )(2k －n －1)2d －na 1－n (n －1)2d＝[(k －n )(1－2k )＋(2k －n )(2k －n －1)2－n (n －1)2]d ＝0.∴S 2k －n ＝S n ，猜想正确．。

第3节 数学归纳法一、学习目标：了解数学归纳法的原理，会用数学归纳法证明与自然数有关的命题。

二、重点、难点能运用数学归纳法证明和自然数有关的命题。

三、考点分析：数学归纳法中的归纳思想是比较常见的数学思想，因此要重视。

数学归纳法在考试中时隐时现，且较隐蔽，因此在复习中应引起重视。

只要与自然数有关，都可考虑使用数学归纳法，当然主要是恒等式、等式、不等式、整除问题、几何问题、三角问题、数列问题等联系得更多一些。

一、数学归纳法的定义：由归纳法得到的与自然数有关的数学命题常采用下面的证明方法： （1）先证明当n ＝n 0（n 0是使命题成立的最小自然数）时命题成立；（2）假设当n ＝k （k ∈N*， k ≥n 0）时命题成立，再证明当n ＝k ＋1时命题也成立，那么就证明这个命题成立，这种证明方法叫数学归纳法。

二、数学归纳法的应用：（1）证恒等式； （2）整除性的证明； （3）探求平面几何中的问题； （4）探求数列的通项； （5）不等式的证明。

特别提示（1）用数学归纳法证题时，两步缺一不可;（2）证题时要注意两凑：一凑归纳假设；二凑目标。

例1 已知n n n n n f 21312111)(+++++++=，则)1(+n f 的值为（ ） A. )(n f ＋)1(21+n B. )(n f ＋121+n ＋)1(21+nC. )(n f -)1(21+nD. )(n f ＋121+n -)1(21+n思路分析：)(n f 是从n ＋1开始的n 个连续自然数的倒数和，故)1(+n f 是从n ＋2开始的n ＋1个连续自然数的倒数和，即)1(+n f ＝111111113121+++++++-+++++++n n n n n n n n ＝)1(21121213121+++++++++n n n n n ＝)(n f ＋121+n ＋)1(21+n -11+n ＝)(n f ＋121+n -)1(21+n 故选D 。

第4课时推理案例赏析教学过程一、问题情境在前两节中,我们分别对合情推理和演绎推理的特点与思维过程进行了考察.那么合情推理和演绎推理之间具有怎样的联系和差异?合情推理和演绎推理是怎样推进数学发现活动的?二、数学建构正整数平方和公式的推导.[3][处理建议]本题宜采用师生共同参与、共同讨论的合作交流形式,尽可能让学生发言、交流各自思路,尝试不同方法,体验归纳推理的过程,教师在这个过程中注意调控和引导,避免学生走一些不必要的弯路.提出问题我们已经知道前n个正整数的和为S1(n)=1+2+3+…+n=n(n+1),①那么,前n个正整数的平方和S2(n)=12+22+32+…+n2=?②问题1如何用你已经掌握的方法来求S2(n)呢?先由学生讨论教师引导思路1(归纳的方案)如下表1所示,列举出S2(n)的前几项,希望从中归纳出一般的结论.表1n123456…S2(n)1514305591…但是,从表1的数据中并没有发现明显的关系.这时我们可能会产生一个念头:S1(n)与S2(n)会不会有某种联系?如下表2所示,进一步列举出S1(n)的值,比较S1(n)与S2(n),希望能有所发现.表2n123456…S1(n)136101521…S2(n)1514305591…问题2观察S1(n)与S2(n)的相应数据,并没有发现明显的联系.怎么办呢?教师引导尝试计算.终于在计算S1(n)和S2(n)的比时,发现“规律”了.表3n123456…S1(n)136101521…S2(n)1514305591……从表3中发现=,于是猜想S2(n)=. ③公式③的正确性还需要证明.[题后反思]上面的数学活动是由那些环节构成的?在这个过程中提出了哪些猜想?提出猜想时使用了哪些推理方法?合情推理和演绎推理分别发挥了什么作用?思路2(演绎的方案)尝试用直接相加的方法求出正整数的平方和.(1)把正整数的平方表示出来,有12=1,22=(1+1)2=12+2×1+1,32=(2+1)2=22+2×2+1,42=(3+1)2=32+2×3+1,…,n2=(n-1)2+2(n-1)+1,左右两边相加,得S2(n)=[S2(n)-n2]+[2S1(n)-2n]+n,等号两边的S2(n)被消去了,所以无法从中求出S2(n)的值,尝试失败了!(2)从失败中汲取有用信息,进行新的尝试.前面的失败尝试还是有意义的,因为尽管我们没有求出S2(n),但是却求出了S1(n)的表达式,即S1(n)==n(n+1),它启示我们:既然能用上面方法求出S1(n),那么我们也应该可以用类似的方法求出S2(n).(3)尝试把两项和的平方公式改为两项和的立方公式.具体方法如下:13=1,23=(1+1)3=13+3×12+3×1+1,33=(2+1)3=23+3×22+3×2+1,…,n3=(n-1)3+3(n-1)2 +3(n-1)+1.左右两边分别相加,得S3(n)=[S3(n)-n3]+3[S2(n)-n2]+3[S1(n)-n]+n.由此知S2(n)===,终于导出了公式.[题后反思]上面的数学活动是由哪些环节构成的?在这个过程中提出了哪些猜想?提出猜想时使用了哪些推理方法?合情推理和演绎推理分别发挥了什么作用?三、数学运用【例1】(教材第77页例2)棱台体积公式的推导.[4](见学生用书P39)[处理建议]本题宜采用师生共同参与、共同讨论的合作交流形式,尽可能让学生讨论、交流各自思路,尝试不同方法,体验类比推理的过程,教师在这过程中注意调控和引导.[提出问题]问题1怎样求棱台的体积?联系所学推理方法,有什么启发?问题2能通过类比推导出棱台的体积公式吗?问题3什么知识可以和棱台进行类比?问题4怎样对梯形和四棱台作比较?思路以四棱台为例,通过和梯形的类比推导公式.(1)确定类比对象,对梯形和四棱台作比较,列表找出相似之处.梯形棱台(四棱台)上、下底平行上、下底面平行另外两边不平行另外4个面不平行两腰延长后交于一点4个侧面伸展后交于一点中位线平行于上、下底中截面平行于上、下底面(2)对类比对象的进一步分析.梯形可以认为是用平行于三角形一边的直线截去一个小三角形后得到的,而棱台则可认为是用平行于棱锥底面的平面截去一个小棱锥后得到的.据此,应该有如下的对应关系:直线↔平面三角形↔棱锥梯形↔棱台进而有梯形底边长↔棱台底面积三角形面积↔棱锥体积梯形面积↔棱台体积(3)通过类比推理,建立猜想.求棱台的体积的方法与求梯形面积的方法是类似的,棱台的体积公式与梯形的面积公式是类似的.已知梯形的面积公式为S梯形=h(a+b),④其中a,b分别表示梯形上、下底的长度,h表示高.猜想棱台的体积公式可能具有如下的形式:V棱台=h(S上+S下),⑤其中S上,S下分别表示棱台的上、下底面积,h表示棱台的高.(4)验证猜想.⑤式的正确性要通过严格的证明来确认.在作出正式的证明之前,可以先通过具体的例子来加以验证.把棱锥看成棱台的特例,此时,公式⑤中的S上=0,因此有V棱台=hS下,这与实际结果hS下不符,这表明,猜想⑤是错误的,需要修正.于是设想公式具有V棱台=h(S上+S0+S下)⑥的形式,其中S0应该是表示面积的量,它究竟是多少还有待进一步确定.与⑤式相比,公式⑥的分母从2变为3,相应的分子由2项变成3项,这些都恰如其分地反映了2维和3维的差异.因此,公式⑥从整体结构上就给人一种协调的美感.应该说,公式⑥比公式⑤更合理.既然⑥式被认为是合理的,那么下一步的行动就是要具体的确定公式中S0的意义和大小了.容易看出:第一,由于从棱锥的体积公式可知,当S上=0时,S0=0,因此,S0应含有S上的因子.第二,棱台的上底和下底具有同等地位,因此,S上和S下在公式中应该具有同等地位,据此,我们可以猜想S0具有k的形式.第三,进一步确定k的值.仍然使用特殊化的方法,当S上=S下时,棱台变为棱柱,则V棱台=h(S上+k+S下)=hS0.此时S上=S下=S0,所以有k=1,因此,S0=,⑥式即为V棱台=h(S上++S下).四、课堂练习1.在数学考试中,甲同学觉得有一道题和他平时做的题类似,于是他就用相同的方法来解决考试题目,他的想法用的是类比推理.2.数列{a n}的前4项分别是,3,,,有些同学说,数列{a n}的通项公式a n=,他们的说法用的是归纳推理.3.已知数列,,,,…,由此猜想第n个数为.4.“开心辞典”中有这样的问题:给出一组数,要你根据规律填出后面的第几个数.现给出一级数,-,,-,,…,则它的第8个数可能是-.五、课堂小结合情推理和演绎推理的区别和联系.本课的案例说明:(1)数学发现活动是一个探索创造的过程.这是一个不断地提出猜想、验证猜想的过程.合情推理和演绎推理相辅相成,相互为用,共同推动着发现活动的进程.(2)合情推理是富于创造性的或然推理.在数学发现活动中,它为演绎推理确定了目标和方向,具有提出猜想、发现结论、提供思路的作用.(3)演绎推理是形式化程度较高的必然推理.在数学发现活动中,它具有类似于“实验”的功能,它不仅为合情推理提供了前提,而且可以对猜想作出“判决”和证明,从而为调控探索活动提供依据.对这两种推理在数学活动中的作用,著名的数学家G.波利亚作了精辟的论述:“数学的创造过程与任何其他知识的创造过程一样,在证明一个数学定理之前,先得猜测这个定理的内容;在完成详细的证明之前,先得推测证明的思路.创造过程是一个艰苦曲折的过程.数学家创造性的工作是论证推理,即证明.但这个证明是通过合情推理、通过猜想而发现的.”。

2．1.2 演 绎 推 理看下面两个问题：(1)∅是任意非空集合的真子集，A 是非空集合，所以∅是集合A 的真子集； (2)循环小数是有理数，0.332·是循环小数，所以0.332·是有理数． 问题1：这两个问题中的第一句都说明什么？ 提示：都说的一般原理． 问题2：第二句又说什么？ 提示：都说的特殊示例． 问题3：第三句呢？提示：由一般原理对特殊示例作出判断．1．演绎推理含义由一般性的命题推演出特殊性命题的推理方法．特点(1)演绎的前提是一般性原理，演绎所得的结论是蕴涵于前提之中的个别、特殊事实，结论完全蕴涵于前提之中．(2)在演绎推理中，前提与结论之间存在必然的联系．(3)演绎推理是一种收敛性的思维方法，它缺少创造性，但却具有条理清晰、令人信服的论证作用，有助于科学的理论化和系统化.2．三段论一般模式常用格式大前提提供了一个一般性的原理M是P小前提指出了一个特殊对象S是M结论揭示了一般原理与特殊对象的内在联系S是P1．演绎推理是由一般到特殊的推理，一种必然性的推理，这决定了演绎推理的结论不会超出前提所界定的范围，所以其前提与结论之间的联系是必然的．2．三段论中大前提是一个一般性结论，是共性，小前提是指其中的一个，结论为这一个也具有大前提中的结论．要得到一个正确的结论，大前提和小前提都必须正确，二者中有一个错误，结论就不正确．[对应学生用书P20]把演绎推理写成三段论[例1] (1)所有椭圆的离心率e 的取值范围为(0,1)，曲线C ：x 22＋y 2＝1是椭圆，所以曲线C 的离心率e的取值范围为(0,1)．(2)等比数列的公比都不为零，数列{2n }(n ∈N *)是等比数列，所以数列{2n }的公比不为零． [思路点拨] 这种类型的题目只要明确各推理案例中的大前提、小前提与结论即可． [精解详析] (1)大前提：所有椭圆的离心率e 的取值范围为(0,1)． 小前提：曲线C ：x 22＋y 2＝1是椭圆．结论：曲线C 的离心率e 的取值范围为(0,1)． (2)大前提：等比数列的公比都不为零． 小前提：数列{2n }(n ∈N *)是等比数列． 结论：数列{2n }的公比不为零．[一点通] 演绎推理的重要形式是三段论，分清大前提、小前提和结论是解题的关键．大前提是给出一般性的原理，小前提是指出特殊对象，结论是体现一般性原理与特殊对象的内在联系的必然结果．1．用三段论的形式写出下列演绎推理．(1)菱形的对角线相互垂直，正方形是菱形，所以正方形的对角线相互垂直． (2)若两角是对顶角，则此两角相等，所以若两角不是对顶角，则此两角不相等． (3)0.332是有理数．(4)y ＝sin x (x ∈R )是周期函数．解：(1)因为菱形的对角线相互垂直，(大前提) 正方形是菱形，(小前提)所以正方形的对角线相互垂直．(结论)(2)如果两个角是对顶角，则这两个角相等，(大前提) ∠1和∠2不是对顶角，(小前提) 所以∠1和∠2不相等．(结论)(3)因为所有的有限小数是有理数，(大前提) 0．332是有限小数，(小前提) 所以0.332是有理数．(结论)(4)因为三角函数是周期函数，(大前提) y ＝sin x (x ∈R )是三角函数，(小前提) 所以y ＝sin x 是周期函数．(结论)2．指出下列各演绎推理中的大前提、小前提，并判断结论是否正确． (1)a ∥b 一定有a ＝λb (λ∈R )，向量c 与向量d 平行，所以c ＝λd .(2)指数函数y ＝a x (0<a <1)是减函数，而y ＝⎝⎛⎭⎫12x是指数函数，所以y ＝⎝⎛⎭⎫12x 是减函数． 解：(1)大前提：a ∥b 一定有a ＝λb (λ∈R )． 小前提：向量c 与向量d 平行． 结论是错误的，原因是大前提错误． 因为当a ≠0，b ＝0时a ∥b ， 这时找不到实数λ使得a ＝λb .(2) 大前提：指数函数y＝a x(0<a<1)是减函数．小前提：y＝⎝⎛⎭⎫1x是指数函数．2结论是正确的．因为大前提、小前提均是正确的．利用三段论证明数学问题[例2]在平面四边形ABCD中，AB＝CD，BC＝AD，求证：四边形ABCD为平行四边形．写出三段论形式的演绎推理．[思路点拨]原题可用符号表示为：AB＝CD且BC＝AD⇒四边形ABCD为平行四边形．用演绎推理来证明命题的方法，也就是从包含在命题中的一般原理推出包含在命题中的个别、特殊事实．为了证明这个命题为真，我们只需在前提(AB＝CD且BC＝AD)为真的情况下，以已知公理、已知定义、已知定理为依据，根据推理规则，导出结论为真．[精解详析](1)连结AC.(2)AB＝CD，(已知)BC＝AD，(已知)CA＝AC.(3)平面几何中的边边边定理是：有三边对应相等的两个三角形全等．这一定理相当于：对于任意两个三角形，如果它们的三边对应相等，则这两个三角形全等；(大前提)△ABC和△CDA的三边对应相等；(小前提)△ABC与△CDA全等．(结论)符号表示：AB＝CD且BC＝DA且CA＝AC⇒△ABC≌△CDA.(4)由全等三角形的性质可知：全等三角形的对应角相等．这一性质相当于：对于任意两个三角形，如果它们全等，则它们的对应角相等；(大前提)△ABC和△CDA全等；(小前提)它们的对应角相等，即∠1＝∠2，∠3＝∠4.(结论) (5)内错角相等，两直线平行；(大前提) ∠1与∠2、∠3与∠4分别是AB 与CD 、AD 与BC 被AC 所截得到的内错角；(小前提) AB ∥CD ，AD ∥BC .(结论)(6)两组对边分别平行的四边形为平行四边形；(大前提) 四边形ABCD 的两组对边分别平行；(小前提) 四边形ABCD 是平行四边形．(结论)[一点通] 应用三段论证明问题时，要充分挖掘题目的外在和内在条件(小前提)，根据需要引入相关的适用的定理和性质(大前提)，并保证每一步的推理都是正确的、严密的，才能得出正确的结论．常见的解题错误：①条件理解错误(小前提错)； ②定理引入和应用错误(大前提错)； ③推理过程错误等．3．设a ，b ，c ，x ，y ，z 是正数，且a 2＋b 2＋c 2＝10，x 2＋y 2＋z 2＝40，ax ＋by ＋cz ＝20，则a ＋b ＋cx ＋y ＋z ＝________.解析：∵由题意可得，x 24＋y 24＋z 24＝10，∴a 2＋b 2＋c 2＋x 24＋y 24＋z 24－ax －by －cz ＝0，即⎝⎛⎭⎫a －x 22＋⎝⎛⎭⎫b －y 22＋⎝⎛⎭⎫c －z22＝0. ∴a ＝x 2，b ＝y 2，c ＝z 2.∴a ＋b ＋c x ＋y ＋z ＝x ＋y ＋z 2x ＋y ＋z ＝12. 答案：124.梯形的两腰和一底如果相等，它的对角线必平分另一底上的两个角． 已知：在如图所示的梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝DC ＝AD ，AC 和BD 是它的对角线．求证：AC 平分∠BCD ，BD 平分∠CBA . 证明：(1)等腰三角形两底角相等，(大前提) △DAC 是等腰三角形，DA ，DC 为两腰，(小前提) ∴∠1＝∠2.(结论)(2)两条平行线被第三条直线截出的内错角相等，(大前提) ∠1和∠3是平行线AD ，BC 被AC 截出的内错角，(小前提)， ∴∠1＝∠3.(结论)(3)等于同一个量的两个量相等，(大前提) ∠2和∠3都等于∠1，(小前提) ∴∠2＝∠3.(结论)即AC 平分∠BCD . (4)同理DB 平分∠CBA .5.如图，平行四边形ABCD 中，∠DAB ＝60°，AB ＝2，AD ＝4，将△CBD 沿BD 折起到△EBD 的位置，使平面EDB ⊥平面ABD .求证：AB ⊥DE .证明：在△ABD 中，∵AB ＝2，AD ＝4，∠DAB ＝60°， ∴BD ＝AB 2＋AD 2－2AB ·AD cos ∠DAB ＝23，∴AB2＋BD2＝AD2，∴AB⊥BD.又∵平面EBD⊥平面ABD，平面EBD∩平面ABD＝BD，AB⊂平面ABD，∴AB⊥平面EBD.∵DE⊂平面EBD，∴AB⊥DE.合情推理演绎推理区别定义根据已有的事实和正确的结论(包括实验和实践的结果)，以及个人的经验和直觉等推测某些结果的推理过程根据已有的事实和正确的结论(包括定义、公理、定理等)，按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程思维方法归纳、类比三段论推理形式由部分到整体、由个别到一般的推理或是由特殊到特殊的推理由一般到特殊的推理结论结论不一定正确，有待于进一步证明在前提和推理形式都正确的前提下，得到的结论一定正确作用具有猜测和发现结论，探索和提供按照严格的逻辑法则推理，利于培养思路的作用，利于创新意识的培养和提高演绎推理和逻辑证明的能力联系合情推理与演绎推理是相辅相成的，数学结论、证明思路等的发现主要靠合情推理；数学结论、猜想的正确性必须通过逻辑推理来证明[对应学生用书P22]一、填空题1．函数y＝2x＋5的图象是一条直线，用三段论表示为：大前提_____________________________________________________________________；小前提_____________________________________________________________________；结论______________________________________________________________________．答案：一次函数的图象是一条直线函数y＝2x＋5是一次函数函数y＝2x＋5的图象是一条直线．2．“指数函数y＝a x(a>1)是增函数，y＝xα(α>1)是指函数，所以y＝xα(α>1)是增函数”，在以上演绎推理中，下列说法正确的命题序号是________．①推理完全正确②大前提不正确③小前提不正确④推理形式不正确解析：∵y＝xα(α>1)是幂函数，而不是指数函数，∴小前提错误．答案：③3．“公差不为零的等差数列{a n}的前n项和为关于n的没有常数项的二次函数，{b n}的前n项和为S n＝n2＋3n.所以{b n}为等差数列”．上述推理中，下列说法正确的序号是________．①大前提错误②小前提错误③结论错误④正确解析：该推理过程中，大前提、小前提、结论都正确．答案：④4．三段论“①只有船准时起航，才能准时到达目的港，②这艘船是准时到达目的港的，③这艘船是准时起航的．”中的小前提是序号________．解析：该推理的大前提是①，小前提是③，结论是②.答案：③5．α<0，幂函数y＝xα的图象在区间(0，＋∞)上是减函数，y＝x－2是幂函数，由“三段论”可得结论________．解析：“三段论”的结论是蕴涵于前提之中的特殊事实，结合大前提，小前提可得答案．答案：y＝x－2的图象在区间(0，＋∞)上是减函数二、解答题6．将下面的演绎推理写成三段论的形式：(1)在一个标准大气压下，水的沸点是100℃，所以在一个标准大气压下把水加热到100℃时，水会沸腾．(2)两直线平行，同位角相等，如果∠A与∠B是两平行直线被第三条直线所截而成的同位角，则∠A＝∠B.解：(1)大前提：在一个标准大气压下，水的沸点是100℃，小前提：在一个标准大气压下把水加热到100℃，结论：水会沸腾．(2)大前提：两条直线平行，同位角相等．小前提：∠A与∠B是两平行直线被第三条直线所截而成的同位角．结论：∠A＝∠B.7．已知函数f(x)＝aa2－1(a x－a－x)，其中a＞0，且a≠1.(1)判断函数f(x)在(－∞，＋∞)上的单调性，并加以证明；(2)判断f(2)－2与f(1)－1，f(3)－3与f(2)－2的大小关系，由此归纳出一个更一般的结论，并加以证明．解：(1)由已知得f′(x)＝a ln aa2－1(a x＋a－x)＞0，所以f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数．(2)f (2)－2＞f (1)－1，f (3)－3＞f (2)－2.一般的结论：f (n ＋1)－(n ＋1)＞f (n )－n (n ∈N *)．证明如下：上述不等式等价于f (n ＋1)－f (n )＞1，即a 2n ＋1＋1a n ＋1＋a n＞1， 化简得(a n ＋1－1)(a n －1)＞0，在a ＞0且a ≠1的条件下，(a n ＋1－1)(a n －1)＞0显然成立， 故f (n ＋1)－(n ＋1)＞f (n )－n (n ∈N *)成立．8．已知{a n }是各项均为正数的等差数列．lg a 1、lg a 2、lg a 4成等差数列，又b n ＝1a 2n(n ＝1,2,3，…)．证明：{b n }为等比数列．证明：∵lg a 1、lg a 2、lg a 4成等差数列，∴2lg a 2＝lg a 1＋lg a 4，即a 22＝a 1a 4. 若{a n }的公差为d ，即(a 1＋d )2＝a 1(a 1＋3d )，a 1d ＝d 2，从而d (d －a 1)＝0.①若d ＝0，{a n }为常数列，相应{b n }也是常数列，此时{b n }是首项为正数，公比为1的等比数列． ②若d ＝a 1≠0，则a 2n ＝a 1＋(2n －1)d ＝2n d ，b n ＝1a 2n ＝12n d. 这时{b n }是首项b 1＝12d ，公比为12的等比数列． 综上，{b n }为等比数列．。

归纳推理【学习目标】1.了解合情推理的含义，体会合情推理基本的分析问题的方法，认识归纳推理的方法，并把它用于对问题的发现中去；2.归纳推理是从特殊到一般的一种推理方法，通常归纳的个体数目越多越具有代表性，推广的一般命题越可靠，它是发现问题的重要方法.【预习导引】1.由数列1，10，100，1000，…猜想该数列的第n项可能是______________2.观察下列等式，并从中归纳出一般结论（1）1=1²(2)1+2=32+3+4=3²1+2+3=63+4+5+6+7=5²1+2+3+4=104+5+6+7+8+9+10=7²……结论___________________ 结论_____________________仿照上面的过程，观察1²，1²+2²，1²+2²+3²，…得结论___________________1³，1³+2³，1³+2³+3³，…得结论____________________3.楼梯共有n级，每步只能跨一级或两级，走完这n级楼梯共有f（n）种不同的走法，则f（n），f（n-1），f（n-2）的关系是_________________________【典例剖析】例1.（1）在平面内观察：凸四边形有两条对角线，凸五边形有5条对角线，凸六边形有9条对角线，…，由此猜想凸n边形有_____________条对角线（2）1)1021(21=⨯-⨯ 2)2132(21=⨯-⨯ 3)3243(21=⨯-⨯ 4)4354(21=⨯-⨯ 你能作出什么猜想？证明你的猜想（3） 已知数列{an}的前n 项和为Sn ， ,321-=a ),2(21*N n n a S S n n n ∈≥=++， 计算S1.S2.S3.S4，并猜想Sn 表达式例2.计算2()11f n n n =-+(n N ∈)的值：当0n =时，211n n -+=11； 当1n =时，211n n -+=11； 当2n =时，211n n -+=13； 当3n =时，211n n -+=17； 当4n =时，211n n -+=23； 当5n =时，211n n -+=31； 而11.13.17.23.31都是质数，请作出归纳推理，并验证猜想是否正确.例3.设平面内有n 条直线(3)n ≥，其中有且仅有2条直线互相平行，任意3条直线不过同一点，若用()f n 表示这n 条直线的交点个数，（1）求(3),(4),(5)f f f ；（2）猜想()f n 的表达式，并尝试解释你的发现.江苏省泰兴中学高二数学课后作业（44）班级: 姓名: 学号：1.观察2222221311511171,1,1,222332344+<++<+++<，由此可得到的一般规律是___________________________________2.根据数塔19211129311112394111112349511111⨯+=⨯+=⨯+=⨯+=，猜想12345697__________⨯+= 3.====（a .b 均为正实数），则推测_____,_____a b ==4.经过计算发现下列正确不等式：<，根据以上不等式的规律，试写出一个对正实数a .b 成立的条件不等式 .5.已知数列如下，试归纳出其通项公式.（1）*110,23,n n a a a n N +==+∈（2）*1121,()2n n n a a a n N a +==∈+（3）*,1n n n N a a ∀∈>=+.6.观察 ①2020003sin 10cos 40sin10cos 404++=②2020003sin 7cos 37sin 7cos374++= ③2020003sin 13cos 43sin13cos 434++= 由此，你能提出一个什么猜想？请尝试加以证明.7.一条直线将平面分成2个区域，两条直线最多将平面分成4个区域，三条直线最多将平面分成7个区域，则n条直线最多将平面分成多少个区域？。

1．下面几种推理过程是演绎推理的是__________．(填序号)①两条直线平行，同旁内角互补，如果∠A 和∠B 是两条平行直线的同旁内角，则∠A ＋∠B ＝180°②由平面三角形的性质，推测空间四面体的性质③某校高三共有10个班，一班有51人，二班有53人，三班有52人，由此推测各班都超过50人④在数列{a n }中，a 1＝1，(n ≥2)，由此归纳出{a n }的通项公式11112n n n a a a --⎛⎫=+ ⎪⎝⎭2． “平面内到两定点F 1，F 2的距离之和为定值的点的轨迹是椭圆(大前提)，平面内动点M 到两定点F 1(－2,0)，F 2(2,0)的距离之和为4(小前提)，则M 点的轨迹是椭圆(结论)．”此推理中错误的是____________．3．类比梯形的面积公式：S ＝×(上底＋下底)×高，可推知上底半径为r 1，下底半径12为r 2，母线长为l 的圆台侧面展开图中扇环的面积公式S 扇环＝__________.4．因为直线a ，b 为异面直线，所以直线a ，b 没有交点，这里运用的推理规则是________．5．定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它后面一项的和都为同一常数，那么这个数列叫等和数列．下列数列不是等和数列的为__________(填正确结论的序号)．①a n ＝10 ②2,3,n n a n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数③ ④2,3,n n n n a n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数22sin ,cos ,n n a n αα⎧=⎨⎩为奇数为偶数6．在三段论“∵a ＝(1,0)，b ＝(0，－1)，∴a·b ＝(1,0)·(0，－1)＝1×0＋0×(－1)＝0，∴a⊥b ”中，大前提：___________________________________________________________________，小前提：___________________________________________________________________，结论：_____________________________________________________________________.7．(2012山东济宁一模，文14)观察下列式子：，，，…，根据上述规律，第n 个不等213122+<221151233++<222111712344+++<式应为________________________________________________________________________．8．在德国不莱梅举行的第48届世乒赛期间，某商场橱窗里用同样的乒乓球堆成若干堆“正三棱锥”形的展品，其中第1堆只有一层，就一个球；第2,3,4，…堆最底层(第一层)分别按下图所示方式固定摆放，从第二层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第n堆第n层就放一个乒乓球．以f(n)表示第n堆的乒乓球总数，则f(3)＝________，f(n)＝________(答案用含n的式子表示)．9．如图所示，点P为斜三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱BB1上一点，PM⊥BB1交AA1于点M，PN⊥BB1交CC1于点N.(1)求证：CC1⊥MN；(2)在任意△DEF中有余弦定理：DE2＝DF2＋EF2－2DF·EF cos∠DFE.拓展到空间，类比三角形的余弦定理，写出斜三棱柱的三个侧面面积与其中两个侧面所成的二面角之间的关系式，并加以证明．参考答案1答案：①2答案：大前提　解析：大前提应是到两定点F 1，F 2距离之和为定值(大于|F 1F 2|)的点的轨迹是椭圆，概念出错，不严密.3答案：π(r 1＋r 2)l 解析：S 扇环＝(2πr 1＋2πr 2)l ＝π(r 1＋r 2)l .124答案：三段论6答案：若a ·b ＝0，则a ⊥b a ＝(1,0)，b ＝(0，－1)且a ·b ＝(1,0)·(0，－1)＝0a ⊥b8答案：　解析：第1个式子的左边为从1开始的22221112112311n n n +++++<(+)+…个连续自然数平方的倒数和，右边分母为2，分子为3＝2×2－1，第2个式子的左边为从1开始的3个连续自然数平方的倒数和，右边分母为3，分子为5＝2×3－1，第3个式子的左边为从1开始的4个连续自然数平方的倒数和，右边分母为4，分子为7＝2×4－1，∴第n 个式子的左边应是从1开始的(n ＋1)个连续自然数平方的倒数和，右边分母为n ＋1，分子为2(n ＋1)－1＝2n ＋1，即.2221112112311n n n +++++<(+)+…8答案：(1)证明：∵CC 1∥BB 1，PM ⊥BB 1，PN ⊥BB 1，∴CC 1⊥PM ，CC 1⊥PN .又PM ∩PN ＝P ，∴CC 1⊥平面PMN .∴CC 1⊥MN .(2)解：在斜三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，有，其中α为侧面11111111112222cos AA C C AA B B CC B B AA B B CC B B S S S S S α=+-⋅四边形四边形四边形四边形四边形AA 1B 1B 与侧面CC 1B 1B 所成的二面角.在△PMN 中，MN 2＝PM 2＋PN 2－2PM ·PN cos α，两边同乘侧棱长BB 12即可得到结论.。