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重积分练习题A一、填空题1.222x y R σ+≤=⎰⎰323R π； 2.1(1)x y x y d σ+≤++=⎰⎰2；（对称性及积分性质3） 3. 将二重积分(,)Df x y d σ⎰⎰化为二次积分1(,)(,)(,)x yf x y dx f x y dy f x y dy =+⎰，其中D 为,0,y x y y ===在第一象限所围成的封闭区域；4. 改变积分次序 (1)2120(,)yy dy f x y dx -=⎰⎰12201(,)(,)xdx f x y dy dx f x y dy -+⎰⎰⎰；(2)120(,)xxdx f x y dx -=⎰⎰12201(,)(,)y ydy f x y dx dy f x y dx -+⎰⎰⎰⎰；5. 将二重积分(,)Df x y d σ⎰⎰转化为极坐标系下的两次单积分2cos 20(cos ,sin )d f d πθθρθρθρρ⎰⎰，其中D为0,y y ==6. 将三重积分(,,)f x y z dv Ω⎰⎰⎰化为三次积分110(,,)xxydx dy f x y z dz -⎰⎰⎰，其中Ω为z xy =，1,0x y z +==所围成的封闭区域；7.将三重积分(,,)f x y z dvΩ⎰⎰⎰化为柱面坐标系下的三次积分21(cos ,cos ,)d d f z dz πρθρρρθρθ⎰⎰，其中Ω为z =，z =所围成的封闭区域.二、计算题 1. 计算二重积分D xydxdy ⎰⎰，其中D 是由,1,3y x xy x ===所围成的区域；解：3321211111()10ln 322xxDxydxdy dx xydy x x dx x ==-=-⎰⎰⎰⎰⎰2. 计算二重积分()Dx y dxdy +⎰⎰，其中D 是由,2,1y x y x y ===所围成的区域；解：1112200022177()()()2824y yy y Dx y dxdy dy x y dx x xy dy y dy +=+=+==⎰⎰⎰⎰⎰⎰3.计算二重积分D，其中D : 22(1)1x y -+≤；解：极坐标系下，由对称性2cos 23220016322cos 39Dd d d ππθθρρθθ===⎰⎰⎰4. 计算二重积分2211Dxydxdy x y +++⎰⎰，其中D :221,0x y x +≤≥；解：由对称性1222222110,2111D D D xy dxdy dxdy dxdy x y x y x y ==++++++⎰⎰⎰⎰⎰⎰，其中1D 为D 的第一象限部分 所以原式11222200122ln 2112D dxdy d d xyπρπθρρ===+++⎰⎰⎰⎰5.计算三重积分Ω⎰⎰⎰，其中Ω是由柱面y =及平面0, (0),0z z a a y ==>=所围成的区域；解：运用柱面坐标系22cos 2cos 2222022320248cos 39aa d d zdz d d a a d ππθθπθρρθρρθθΩ====⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰6. 计算三重积分3z dv Ω⎰⎰⎰，其中Ω：1z ≥≥解：运用先重后单法2221133506x y z z dv z dzdxdy z dz ππΩ+≤===⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰B1.计算二重积分D，其中D 是由,1,0y x y x ===所围成的区域；解：31112220002122()339yDdy y xy dx y dx y ⎡⎤==--==⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰.（要先对y 积）2. 计算二重积分sin sin sin Dxdxdy x y +⎰⎰，其中:0,0D x y ππ≤≤≤≤； 解：由对换对称性，sin sin sin sin sin sin D Dx ydxdy dxdy x y x y =++⎰⎰⎰⎰， 所以2sin 1sin sin 11()1sin sin 2sin sin sin sin 22D D DD x x y dxdy dxdy dxdy dxdy x y x y x y π=+==+++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰. 3.计算二重积分)Dy dxdy ⎰⎰，其中D 为224x y +=和22(1)1x y ++=所围成的区域；； 解：记1D ：224x y +≤，2D ：22(1)1x y ++≤，由对称性12)DDD D y dxdy ==-⎰⎰⎰⎰ 3222cos 2220002163239d d d d ππθπθρρθρρπ-=-=-⎰⎰⎰⎰4. 设直线l 过点(1,0,0)A 和(0,1,1)B 两点，将l 绕z 旋转一周所得旋转曲面为∑，∑与平面0z =和2z =所围成的立体为Ω，求Ω的形心坐标（即密度为1时的质心坐标）.解：直线l 的参数1,,x t y t z t =-==，所以∑的方程为222122x y z z +=-+，由对称性 0,0x y ==，2222222221220222122(122)75(122)x y z z x y z z zdzdxdyzdv z z z dz z dvdzdxdyz z dz +≤-+ΩΩ+≤-+-+====-+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰5. 设函数()0f x >且连续，222()22()()()()t D t f x y z dv F t f x y d σΩ++=+⎰⎰⎰⎰⎰，22()2()()()D t ttf x y d G t f x dxσ-+=⎰⎰⎰，其中2222222(){(,,)|},(){(,)|}t x y z x y z t D t x y x y t Ω=++≤=+≤. （1） 讨论()F t 在(0,)+∞内的单调性； （2） 证明当0t >时，2()()F t G t π>.（1）解：222222220()()sin ()4()t tt f x y z dv d d r f r dr r f r dr ππθϕϕπΩ++==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰222220()()()2()ttD t f x y d d rf r dr rf r dr πσθπ+==⎰⎰⎰⎰⎰，所以220202()()()ttr f r drF t rf rdr =⎰⎰，2222222200222202[()()()()]2()[()()()0(())(())t ttttt f t rf r dr tf t r f r dr f t tr t r f r drF t rf r dr rf r dr --'==>⎰⎰⎰⎰⎰所以()F t 在(0,)+∞内的单调递增； （2）因为220()2()tttf x dx f r dr -=⎰⎰，所以202()()()ttrf r drG t f r dr π=⎰⎰，令222222220002222002()2()[()][()][()]2()()()2()()[()][()]tttttttttr f r drrf r drr f r dr f r dr rf r dr h t F t G t rf rdrf r drrf r dr f r dr π-=-=-=⋅⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰，222220()[()][()][()]t tt v t r f r dr f r dr rf r dr =-⎰⎰⎰，则(0)0v =，当0t >时，222222220()()()()()2()()tttv t t f t f r dr f t r f r dr tf t rf r dr '=+-⎰⎰⎰22222220()(2)()()()()0t t f t t r tr f r dr f t t r f r dr =+-=->⎰⎰所以当0t >时，()(0)0v t v >=，所以2222()()()()0[()][()]ttv t h t F t G t rf r dr f r dr π=-=>⋅⎰⎰，即2()()F t G t π>.。
